中考数学复习指导：浅谈中考数学规律探究题的解题方法(pdf)

浅谈中考数学规律探究题的解题方法

新课标核心要求：用代数式表示数量关系及所反映的规律，发展学生的抽象思维能力。根据一列数或一组图形的特例进行归纳，猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式，称之为规律探究。它体现了“特殊到一般”数学思想方法，考察了学生的分析，解决问题的能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力，题型可涉及填空，选择或解答，它是近几年中考试题的命题热点。

一、数式规律探究

通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。数式规律探究是规律探究问题中的主要部分，解决此类问题注意以下三点：

1、一般地，常用字母n为正整数，从1开始。

2、在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。

正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…

偶数…2n-2,2n,2n+2…

3、熟记常用的规律

正方形数：1、4、9、16...... n2三角形数：1、3、6、10……

(1)

2

n n+

折痕数：1、3、7、15……2n-1正整数和：1+2+3+4+…n=

(1)

2

n n+

数字规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：

1、观察法

找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律.所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常观察包含着事物的序列号与变量的关系.

例1：观察下列等式：①1×1

2

=1-

1

2

②2×

2

3

=2-

2

3

③3×

3

4

=3-

3

4

④4×4

5

=4-

4

5

……猜想第几个等式为（用含n的式子表示）

分析：将等式竖排：

①1×1

2

=1-

1

2

观察相应位置上变化的数字与序列号

②2×2

3

=2-

2

3

的对应关系（注意分清正整数的奇偶）

③3×3

4

=3-

3

4

易观察出结果为：

④4×4

5

=4-

4

5

n×

1

n

n+

=n-

1

n

n+

例2：探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……，那么

32009的个位数字是。

分析：这类问题，主要是通过观察末位数字，找出其循环节共几位，然后用指数除以循环节的位数，结果余几，就和第几个数的末位数字相同，易得出本

题结果为：3

2、函数法

数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算,所以，要求把变量和序列号放在一起，做一些计算，是解答找规律题的好途径.

例3、将一正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成更小的正三角形…，如此继续下去，结果如下表：

则a n= （用含n的代数式表示）

分析：对结果数据做求差处理（相邻两数求差，大数减小数）

正三角形个数：4、7、10、13 第一次求差结果相等，用一次函数y=kx+b

第一次求差： 3 3 3 代入（1、4）（2、7）解之得：y=3x+1

∴a n=3n+1

例4：有一组数：1、2、5、10、17、26……请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为。

分析：对这组数据做求差处理：原数1 2 5 10 17 26

第一次求差：1 3 5 7 9

第二次求差：2 2 2 2

第二次求差结果相等，同二次函数y=ax2+bx+c 代入（1、1）（2、2）（3、5）解之得y= x2-2x+2=（x-1）2+1 ∴当=8时，y=50

练习：

1、观察下列等式：1×3=12+2×1；2×4=22+2×2；3×5=32+2×3……请将

你猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来：。

2、已知：2+2

3

=22×

2

3

；3+

3

8

=32×

3

8

；4+

4

15

=42×

4

15

；5+

5

24

=52×

5

24

…，若

10+b

a

=102×

b

a

符合前面式子的规律，则a+b= 。

3、观察下列等式：9-1=8；16-4=12；25-9=16；36-16=20……设n（n≥1）表示正

整数，用关于n的等式表示这个规律为。

4、下列一组按规律排列的数：1，2，4，8，16……第2010个数是。

5、观察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2041……由此可判断7100的个位数字是。

6、小说《达·芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神密排列的数：1，1，2，3，5，8……则这列数的第8个数是。

二、图形规律探究

由结构类似，多少和位置不同的几何图案的图形个数之间也有一定的规律可寻，并且还可以由一个通用的代数式来表示。这种探索图形结构成元素的规律的试题，解决思路有两种：一种是数图形，将图形转化为数字规律，再用函数法、观察法解决问题；另一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律，常用“拆图法”解决问题。

拆图法

探索发现有关图形所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律

例5．如图，由若干火柴棒摆成的正方形，第①图用了4根火柴，第②图用了7根火柴棒，第③图用了10根火柴棒，依次类推，第⑩图用根火柴棒，摆第n个图时，要用根火柴棒。