15年高考真题——理科数学(新课标I卷)

2015年普通高等学校招生全国统一考试新课标I 卷数学（理科）一．选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z 满足11zi z+=-，则||z =( ) （A ）1 （B（C（D ）2 2．0sin 20cos10cos160sin10-=( ) （A）BC ）12-（D ）123．设命题p ：n N ∃∈，22n n >，则p ⌝为( ) （A ）n N ∀∈，22n n > （B ）n N ∃∈，22n n ≤ （C ）n N ∀∈，22n n ≤ （D ）n N ∃∈，22n n = 4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。

已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.3125．已知()00,M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是( ) （A）() （B）()（C）()- （D）()-6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图），米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有( )（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛7．设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD = ，则（ ） （A ）1433AD AB AC =-+（B ）1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ （D ）4133AD AB AC =- 8．函数()()cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）()13,44k k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭54141yxO（B ）()132,244k k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭（C ）()13,44k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ （D ）()132,244k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭9．执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n = ( ) （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）810．()52x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( ) （A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）6011．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。

若该几何体的表面积为1620π+，则r =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）812．设函数()()21xf x ex ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是( ) （A ）3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ （B ）33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭（C ）33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ （D ）3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．若函数()(ln f x x x =为偶函数，则a =______。

14．一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为_____________。

15．若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为__________。

16．在平面四边形ABCD 中，已知075A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值范围是___________。

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，2243n n n a a S +=+。

俯视图正视图⑴求{}n a 的通项公式；⑵设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和。

18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，0120ABC ∠=，,E F 是平面ABCD 同侧两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，2BE DF =，AE EC ⊥。

⑴证明：平面AEC ⊥平面AFC ；⑵求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。

19．（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i = 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

表中i w =8118i i w w ==∑。

⑴根据散点图判断，y a bx =+与y c =+个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；⑵根据⑴的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；⑶已知这种产品的年利率z 与,x y 的关系为0.2z y x =-。

根据⑵的结果回答下列问题：①年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？（附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121=niii ni i u u v v u uβ==---∑∑， =v u αβ-） 20．（本小题满分12分) 在直角坐标系xOy 中，曲线C ：24x y =与直线()0y kx a a =+>交于,M N 两点。

⑴当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；⑵y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由。

FEDCBA21．（本小题满分12分）已知函数()314f x x ax =++，()ln g x x =-。

⑴当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；⑵用{}min ,m n 表示,m n 中的最小值，设函数()()(){}()min ,0h x f x g x x => ，讨论()h x 零点的个数。

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于E 。

⑴若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；⑵若OA =，求A C B ∠的大小。

23．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线1C ：2x =-，圆2C ：()()22121x y -+-=。

以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

⑴求1C ，2C 的极坐标方程；⑵若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为,M N ，求2C MN ∆的面积。

24．（本小题满分10分）已知函数()()|1|2||0f x x x a a =+-->。

⑴当1a =时，求不等式()1f x >的解集；⑵若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围。

2015年普通高校招生全国统考数学试卷新课标I 卷解答一．ADCAA BADCC BD二．13．1；14．2232524x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭；15．3；16．17．解：⑴由题2111124343a a S a +=+=+，因为0n a >，所以13a =。

当2n ≥时，2211224n n n n n a a a a a --+--=，即()()()1112n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以12n n a a --=，所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+；⑵由⑴得()()1111212322123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以数列{}n b 的前n 项和为12111111111235572123646n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 。

D BA18．解：⑴连BD ，设BD AC G = ，连,,EG FG EF 。

在菱形ABCD 中，设1GB =，易得AG GC ==BE ⊥平面ABCD ，AB BC =可知AE EC =。

又AE EC ⊥，故EG =，EG ⊥AC 。

在Rt EBG ∆中，可得BE，故DF =。

在Rt FDG ∆中，可得FG =。

在直角梯形BDFE中，易得EF =，故222EG FG EF +=，因此EG FG ⊥。

又FG AC G = ，故EG ⊥平面AFC 。

因EG ⊂平面AEC ，故平面AEC ⊥平面AFC ；⑵如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为,x y 轴正方向，||GB为单位长度，建立空间直角坐标系G xyz -。

由⑴可得()0,A，(E，()F -，()C，故(AE =，()1,CF =-，因此cos ,3||||AE CF AE CF AE CF ⋅==-。

所以直线AE 与CF。

19．解：⑴由散点图可以判断，y c =+y 关于年宣传费用x 的回归方程类型；⑵令w =，先建立y 关于w 的回归方程。

因 ()()()81821108.8=6816iii i i w w y y dw w==--==-∑∑，故 56368 6.8100.6c y dw =-=-⨯= ，所以y 关于x 的回归方程为100.6y =+⑶①由⑵知，当49x =时，年销售量y 的预报值100.6576.6y =+=，年利润z的预报值576.60.24966.32z=⨯-= ； ②由⑵知，年利润z的预报值(0.2100.620.12zx x =+-=-+，当6.8=即46.24x =时，z取得最大值。

故宣传费用为46.24千元时，年利润预报值最大。

20．解：⑴由题设可得()M a，()N a -，或()M a -，()N a 。

z yxGFEDCBA因12y x'=，故24xy=在x=C在()a处的切线方程为y a x-=-，y a--=；24xy=在x=-C在()a-处的切线方程为y a x-=+，y a++=。

故所求切线方程为0y a--=y a++=；⑵存在符合题意的点，证明如下：设()0,P b为符合题意得点，()11,M x y，()22,N x y，直线,PM PN的斜率分别为12,k k。