7-2 可分离变量微分方程
高等数学教学教案§7-1--微分方程的基本概念-§7-2--可分离变量的微分方程
例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶当制动时列车获得加速度04m/s2问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程?
几个概念
微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程常微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程
例3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系
例4求微分方程 的通解
例4有高为1m的半球形容器水从它的底部小孔流出小孔横截面面积为1cm2开始时容器内盛满了水求水从小孔流出过程中容器里水面高度h随时间t变化的规律
解由水力学知道水从孔口流出的流量Q可用下列公式计算
讨论下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？
(1)y2xy是y1dy2xdx
(2)3x25xy0是dy(3x25x)dx
(3)(x2y2)dxxydy=0不是
(4)y1xy2xy2是y(1x)(1y2)
(5)y10xy是10ydy10xdx
(6) 不是
第一步分离变量将方程写成g(y)dyf(x)dx的形式
作业布置
《高等数学》标准化作业
双语教学
导数：derivative；微分：differential calculus；微分方程：differential equation；阶：order；
常微分方程：ordinary differential equation；偏微分方程：partial differential equation；
教 学 基 本 内 容
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究因此如何寻找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在许多问题中往往不能直接找出所需要的函数关系但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行研究找出未知函数来这就是解微分方程
变量分离法解微分方程
变量分离法解微分方程变量分离法是求解一阶常微分方程的一种常用方法，它的基本思想是将微分方程中的变量分离，从而得到两个单独关于各自变量的微分方程，进而解出原方程的解析解。
这种方法在实际问题的建模和求解中具有广泛的应用。
在变量分离法中，首先需要将原方程变形为关于两个变量的等式。
对于形如dy/dx = f(x)g(y)的微分方程，我们可以将其改写为1/g(y)dy = f(x)dx。
我们可以通过对方程两边同时积分来解出原方程的解。
下面我们以一个具体的实例来说明变量分离法的应用。
考虑一阶线性微分方程dy/dx = y/x，我们可以使用变量分离法来求解。
将方程变形为1/y dy = 1/x dx。
然后我们对方程两边同时积分，得到ln|y| = ln|x| + C，其中C为常数。
进一步，我们可以应用指数函数的对数性质得到|y| = e^(ln|x| + C) = e^(ln|x|) * e^C = Cx，其中C为非零常数。
由于|y| = Cx，我们可以将常数C的正负号去掉，得到y = Cx，其中C为任意常数。
原方程的解为y = Cx，其中C为任意常数。
通过这个具体的实例，我们可以看出变量分离法在求解微分方程时的奏效。
通过将微分方程变形为两个变量的等式，并应用积分求解的方法，我们可以得到原方程的解析解。
这种方法在实际问题的求解中具有广泛的应用，特别是对于具有分离变量性质的一阶常微分方程来说，变量分离法是一种非常有效的求解方法。
在实际应用中，变量分离法的步骤一般是比较清晰和直观的，但是在解析解的求解过程中，可能会涉及到一些复杂的积分计算，需要运用积分技巧或者其他数学工具来求解。
变量分离法在求解高阶微分方程时不是常用的方法，常用的方法是利用特征方程或者线性微分方程的特殊解求解。
总结和回顾一下，变量分离法是一种常见且实用的求解一阶常微分方程的方法。
通过将微分方程变形为两个变量的等式，并应用积分求解的方法，我们可以得到微分方程的解析解。
可分离变量的微分方程
例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求 在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. dM 衰变系数 M ( 0 ) 解: 根据题意, 有 d t M t 0 M 0 (初始条件) 对方程分离变量, 然后积分:
dy x 解: 分离变量得 dx 2 y 1 x
两边积分得
即
y x2 1 C
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x 1 1
2
例3. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有 即 解得
1 u sin 2 u
通过适当变量代 换可化为可分离 变量的微分方程
t 0
0
dv m mg kv dt
对方程分离变量, 然后积分 : 得
( 此处 mg k v 0 )
1 t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln ( mg ) mg k k v t k mg 代入上式后化简, 得特解 v (1 e m ) k
作 业
P 304 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 6 ; 7
第二节 可分离变量的微分方程
一、可分离变量的微分方程及其解法 二、典型例题
一、可分离变量的微分方程及其解法
1、 可分离变量的微分方程
dy f1 ( x) f 2 ( y ) dx （一阶） M1 ( x)M 2 ( y) d x N1 ( x) N 2 ( y) d y 0
｝
转化
g ( y ) d y f ( x) d x
可分离变量方程
•可分离变量方程
•齐次方程
•其它
一、可分离变量的微分方程
1. 定义： 一阶微分方程：y h( x, y )
dy 即 h( x, y ) dx
f ( x) 若 h( x , y ) g( y )
即形如
g( y )dy f ( x )dx
可分离变量的微分方程.
齐次方程
1、变量代换
2、求解
思考题
dy x y x y 求解微分方程 cos cos . dx 2 2
思考题解答
dy x y x y cos cos 0, dx 2 2 dy x y 2 sin sin 0, dx 2 2
x sin dx , y 2 2 sin 2
由牛顿力学的知识可得 dv F mg kv m ma dt dv 1 mg 即 dt v mg kv m k
mg v0 0 C v k mg t , v k
Ce
k t m
k t mg 1 e m k
例 5 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小 孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过 程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间 的距离)随时间t的变化规律.
设M ( x , y)为L上任一点， M
MT为切线, 斜率为 y,
o
x
OMN NMR,
1 MN为法线, 斜率为 , y
N
L
tan OMN tan NMR,
y
M
o
T
R
x
N
L
由夹 角正 切公 式得
可分离变量的微分方程
一、可分离变量的微分方程
g( y )dy f ( x )dx 可分离变量的微分方程. 4 4 dy 例如 2 x 2 y 5 y 5 dy 2 x 2dx , dx 解法 设函数 g( y ) 和 f ( x ) 是连续的,
g( y )dy f ( x )dx
分离变量法
； 4 x 2、cos ydx (1 e ) sin ydy 0 , y x 0 . 4
1、cos x sin ydy cos y sin xdx , y x 0
三、质量为 1 克 的质点受外力作用作直线运动,这外力 t 10 和时间成正比,和质点运动的速度成反比.在 2 50 厘米 / 秒 4 克 厘米 / 秒 秒时,速度等于 ,外力为 , 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? 四、 小船从河边点 0 处 出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为 a , 船行方向始终与河岸垂直, 设河宽 为 h , 河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离 的乘积成正比(比例系数为 k ).求小船的航行路 线 .
例 3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M 成 正比,已知 M
t 0
M 0 ,求衰变过程中铀含量M ( t )
随时间t 变化的规律.
解 衰变速度 , 由题设条件 dt dM M ( 0衰变系数) dt
dM M dt ,
dM
dM dt M
ln M t ln C ,
dy x y x y cos cos 0, dx 2 2 dy x y 2 sin sin 0, dx 2 2
x sin dx , y 2 2 sin 2
为所求解.
dy
y y x ln csc cot 2 cos C , 2 2 2
可分离变量的微分方程
微积分Calculus可分离变量的微分方程0),,(='y y x F 或),(y x f y ='一阶微分方程的一般形式形如的方程称为变量已分离的微分方程．නM(x)dx +නN(y)dy =C 其中Ｃ是任意常数。
一可分离变量的微分方程1定理一M(x )dx+N(y)dy=0（9-13）将式两边积分得其通解为：（9-13）（9-14）形如dy dx =f x g y 或M(x)N(y)dx +P(x)Q(y)dy =0的微分方程称为可分离变量的微分方程．2定理二（9-15）（9-16）)()()()(=+dy y N y Qdx x P x M dxx f y g dy)()(=对于式，当可变形为0)(,0)(≠≠y N x P （9-16 ）对式当可转化为0)(≠y g （9-15）例一解微分方程21y e dx dy x −=解当时，分离变量得012≠−y dxe y dyx =−21两边同时积分得⎰⎰=−dxe y dyx 21因此通解为c e y x +=arcsin 其中Ｃ是任意常数.1−y 2=0当时，有1±=y 显然和也是该微分方程的两个解(称为奇解)。
1=y 1±=y求定解问题⎪⎩⎪⎨⎧=+−−=1)1(1122y x y y x dx dy 解当时，分离变量得012≠−y 2211x xdx y ydy+−=−两边同时积分得微分方程通解c y x =−−+2211例二,1±=y 且满足所给条件。
y =±1把代入通解可得1)1(=y 2=c 因此满足定解条件的特解为21122=−−+y x 当时，012=−y求解Logistic 人口模型.)0(,)()1(00m m x x x t x xx xa dt dx≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=−=解分离变量得adtdx xx x x m m=−)(即adt dx xx x m =−+)11(两边同时积分得1)ln(ln c at x x x m +=−−例三整理得cex t x at m−+=1)(其中为任意常数.1c e c =将初始条件代入上式得00)(x t x =c =1(x m x 0−1)e at 0所以特解为)(00)1(1)(t t a m me x x x t x −−−+=。
可分离变量的微分方程
M t=0 = M 0 (初始条件)
对方程分离变量,
然后积分:
∫
dM M
=
∫(−λ )d t
得 ln M = −λ t + ln C, 即 M = C e−λ t
M
利用初始条件, 得 C = M 0
M0
故所求铀的变化规律为 M = M 0 e−λ t . o
t
解法 1 分离变量 e− y d y = ex dx
− e−y = ex + C
即
(ex +C)ey +1= 0 ( C < 0 )
解法 2 令 u = x + y, 则u′ = 1+ y′
故有 积分
u′ =1+ eu
∫
1
d +
u eu
=
x+C
∫
(1
+ eu 1+
)− eu
eu
du
u − ln (1+ eu ) = x + C
(1 −
−
e
k m
t
)
v
≈
mg k
k
内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解 说明: 通解不一定是方程的全部解 .
例如, 方程 (x + y) y′ = 0 有解
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
dt
初始条件为 v t=0 = 0
∫ ∫ 对方程分离变量, 然后积分 :
dv = mg − kv
dt m
常见的微分方程类型归纳
常见的微分方程类型归纳微分方程是指含有未知函数的导数的方程。
未知函数是一元函数的叫做常微分方程，未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。
《微积分》里面的微分方程仅限于常微分方程。
咱们所讲到的微分方程归纳为以下几类：一、可分离变量的微分方程 形如：()()dy f x g y dx= 求解方式：若是()0g y ≠，方程可化为： ()()dy f x dx g y = ,两边取积分, ()()dy f x dx c g y =+⎰⎰求出积分，那么为方程的通解。
例1：2cos dy y x dx= 解：将变量分离，取得 2cos dy xdx y= 两边积分，即得 1sin x c y-=+ 那么通解为 1sin y x c =-+ 二、一阶线性微分方程形如： )()(x Q y x P dxdy =+ （1） 若0)(=x Q ，那么原方程称为一阶线性齐次方程；假设0)(≠x Q ，原方程称为一阶线性非齐次方程。
求解方式：先解原方程对应齐次方程的通解：对应齐次方程为： 0)(=+y x P dxdy （2） 分离变量，得 dx x P ydy )(-= 两边积分，得 ⎰=-dx x P ce y )( （3）（3）为一阶线性齐次方程（2）的通解。
常数变易法：令对应齐次方程的通解⎰=-dx x P ce y )(中的常数c 为 ()c u x =（常数变函数）则⎰=-dx x P e x u y )()(为非齐次方程(1)的通解；将⎰=-dx x P e x u y )()(代入（1）式，解得()u x 的具体函数表达式，即求出（1）式的通解。
例2：求微分方程x xy y =-'2的通解解：对应齐次方程为： 20y xy '-=分离变量，得 12xdx dy y= 两边取积分，得 12 xdx dy y =⎰⎰解得：22211x c c x x y e e e ce +=±=±⋅=令 ()c u x =那么 ()2x y u x e =为原方程的通解，带入原式。
可分离变量的微分方程
机动 目录 上页 下页 返回 结束
令u = xy, 则 du = xdy + ydx ,
du − ydx f ( u) ydx + g ( u) x ⋅ = 0, x u [ f ( u) − g ( u)] dx + g ( u)du = 0, x
dx g(u) du = 0, + x u[ f (u) − g(u)] g ( u) du = C . 通解为 ln | x | + ∫ u[ f ( u) − g ( u)]
u − ln(1 + eu ) = x + C ln(1 + ex+ y ) = y − C ( C 为任意常数 ) 所求通解: 所求通解
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、小结
1.可分离变量微分方程的概念 可分离变量微分方程的概念 说明］ ［说明］通解不一定是方程的全部解 . 例如, 例如 方程
y x 提示］ ［提示］(1) 分离变量 1 + y2dy = 1 + x2dx
(2) 方程变形为 y′ = −2cos xsin y y ln tan = −2sin x + C 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
补例1】 【补例 】 当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37° 按照牛 当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的 °C按照牛 顿冷却定律（ 顿冷却定律（物体温度的变化率与该物体和周围介质 温度之差成正比）开始变凉。 温度之差成正比）开始变凉。假设两个小时后尸体温 并且假定周围空气的温度保持 空气的温度保持20° 度变为 35°C ，并且假定周围空气的温度保持 °C ° 不变。 不变。 (1)求出自谋杀发生后尸体的温度 是如何作为时间 t 求出自谋杀发生后尸体的温度H是如何作为时间 求出自谋杀发生后尸体的温度 以小时为单位）的函数随时间变化的; （以小时为单位）的函数随时间变化的; (2)画出温度 画出温度——时间曲线； 时间曲线； 画出温度 时间曲线 (3)最终尸体的温度如何？用图象和代数两种方式表示 最终尸体的温度如何？ 最终尸体的温度如何 这种结果； 这种结果； (4)如果尸体被发现时的温度是 °C， 时间是下午 如果尸体被发现时的温度是30° ， 时间是下午4 如果尸体被发现时的温度是 那么谋杀是何时发生的？ 时，那么谋杀是何时发生的？
2019-高等数学上72可分离变量的微分方程-文档资料
因此特解为： ln y tan x ． 2
P301-2 例 2 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量 M 成 正 比, 已知 M t0 M0 ,求衰变过程中铀含量 M(t)随时间t 变化的规律.
解 衰变速d度 M, 由题设条件
dt
dM M dt
解 由力学知识得,水从孔口流 出的流量为
QdV 0.62S2gh , dt
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
s1cm2
h
d V 0 .62 2 g d ,h t( 1 ) h
hdh r
设在微小的时间间隔 [t, td]t, o
dV r2d,h
r12 0 ( 1 0 0 h ) 2 02h 0 h 2 ,0
d V ( 2 h 0 h 2 ) d 0 , h ( 2 )
比较(1)和(2)得: (20h 0h2)dh 0.622gd h,t
(20h 0h2)dh 0.622gd h,t
例:求解 y＝2x , 两边积分，有： y x2 C
例: 求微分方程 y 6xy 的通解。
分析:
变形
d d
y x
6xy
.分离变量有：
dy y
6x d
x
,
两端积分：
dy y
6xd x ,
可得： ln
y
3x2 C1
通解为： y Ce3x2 （其中 C eC1 为任意常数）．
二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
1、cos x sin
ydy
cos y sin xdx
,y x0
常微分方程分离变量法
常微分方程分离变量法
常微分方程是指只包含一个未知函数及其导数的方程。
分离变量法是求解常微分方程的一种常用方法。
下面介绍具体步骤：
1. 将方程移项，将未知函数和导数分别归到等式的两边。
2. 将方程两边除以包含未知函数的项，将未知函数和导数分开。
3. 将未知函数的导数乘以一个系数（可以是任意实数），将等式两边分别积分。
4. 对于积分后的表达式，解释其含义得到未知函数的解。
5. 若原方程中包含初值条件，则通过代入初值条件求解得到特定的解。
需要注意的是，在进行分离变量的时候，应该考虑到未知函数的定义域以及可能的不可导点。
这只是一种常用的求解常微分方程的方法，对于特定的方程可能还存在其他更适用的方法。
此外，对于某些特殊的微分方程，分离变量法可能无法解决，需要采用其他的方法，如变量代换法、常系数线性齐次方程等。
可分离变量的微分方程课程思政教学设计
可分离变量的微分方程课程思政教学设计发布时间：2022-09-21T03:40:32.815Z 来源：《教学与研究》2022年56卷5月10期作者：唐伟明[导读] 可分离变量的微分方程是最简单也是最基础的微分方程类型之一，为后续齐次方程的学习提供解题思路，而且可分离变量的微分方程在生活实际中的应用也非常广泛，唐伟明武警警官学院四川成都 610000摘要：可分离变量的微分方程是最简单也是最基础的微分方程类型之一，为后续齐次方程的学习提供解题思路，而且可分离变量的微分方程在生活实际中的应用也非常广泛，本文主要探讨用可分离变量建立传染病数学模型来预测新冠疫情的传播规律，从而做到精准施策，科学防控。
关键词：可分离变量微分方程传染病模型一、课程导入上节课我们给出了微分方程解、通解以及特解的概念，但是并没有给出微分方程解的具体求法。
所以从这节课开始，我们一起探讨微分方程解的求法，首先从最基础的可分离变量的微分方程讲起。
大家看到的图片是我的家乡--湖北武汉，晴川历历汉阳树，芳草萋萋鹦鹉洲。
武汉，是一座充满活力与浪漫的城市。
然而，2020年初，一场突如其来的新冠疫情席卷这座城市，一时间，整个城市笼罩在一层灰暗之中，当昔日熙熙攘攘的街道变得冷冷清清的时候，我意识到：武汉，我的城市生病了。
面对疫情，当西方国家选择“躺平”的时候，我国却一直坚持人民至上，生命至上的抗疫理念，习主席在多个场合特别强调，我们一定要精准施策，科学防控。
所以，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报疫情拐点的到来等等，一直是医学专家关注的问题。
首先我们假设：（1）在较短时间内，地区总人口数保持不变；（2）新冠确诊人数和健康人数比例分别为和；（3）每个新冠确诊人数每天接触人数为，且使接触的健康人致病。
根据以上假设我们可知，在时刻，每个病人每天可使个健康者变成病人，病人数为，故每天共有个健康者被感染，即：我们来看这个方程，大家先思考一下，这个方程有什么特征呢？给1分钟的时间大家思考，可以小组讨论。
合肥工业大学-高等数学-上-7-2一阶微分方程的常见类型及解法
(7.2.12)
把式（7.2.11） 、式（7.2.12）代入
dy P( x) y Q( x) ，得 dx
C( x) Q( x)e P ( x )dx
27-13
积分得
C ( x) Q( x)e P ( x )dxdx C ．
(7.2.13)
将式（7.2.13）代回式（7.2.11） ，得方程
dx x x ( )2 1 ． dy y y
x dx dv 这是齐次方程．令 v ，则 x yv ，有 v y ，代入上式，得 y dy dy v y dv dv dy v v 2 1 ，得 ． 2 dy v 1 y
积分得 以v
ln(v v 2 1) ln y ln C ，
27-6
7.2.2
齐次方程
形如
dy y ( ) dx x
定义 7.2.2
(7.2.6)
的一阶微分方程称为齐次方程．
dy y y ln 是齐次方程． dx x x
例如
y 2dx (2 x2 xy)dy 0 也是齐次方程．这是因为可将方程化为
y ( )2 dy y dy x ． 2 ，进而 dx xy 2 x dx y 2 x
1 及f ( x) 的原函数，则有 g ( y)
G( y) F ( x) C .
(7.2.5)
将式（7.2.5）两边微分即可证明由式（7.2.5）所确定的 x, y 之间的 隐函数关系式一定满足方程式（7.2.3） ，且式（7.2.5）含有一个任意常 数 C，所以式（7.2.5）为方程（7.2.3）的通解，也即为方程（7.2.1）的 通解，称为隐式通解，在方便时可以转化为显式通解．
第二节 可分离变量的微分方程
第二节 可分离变量的微分方程
一、可分离变量的微分方程 二、典型例题
一、可分离变量的微分方程
形如 y f ( x) g( y) 的方程，称为可分离变量
解 分离变量 , 得
dy 2xdx, y
两端积分 , 得
dy y
2
xdx,
解得 ln y x2 C1
即 y Ce x2 (C 为任意常数)
y Ce x2为所求通解.
例2 求解微分方程 ( y 1)2 y x3 0 的通解.
解 分离变量,得 ( y 1)2dy x3dx,
四、小船从河边点 0 处 出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为 a ,船行方向始终与河岸垂直,设河宽 为 h ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离 的乘积成正比(比例系数为 k ).求小船的航行路 线.
练习题答案
一、1、tan x tan y C ； 2、(e x 1)(e y 1) C ； 3、4( y 1)3 3 x4 C .
正 比 , 已 知 M t0 M0 , 求 衰 变 过 程 中 铀 含 量
M (t )随时间 t 变化的规律.
解 根据题意,有
dM M ( 0)
dt M t0 M0 (初始条件)
对方程分离变量, 然后积分:
得 ln M t lnC, 即 M C e t
二、1、 2 cos y cos x ； 2、e x 1 2 2 cos y .
微分方程可分离变量
微分方程可分离变量
微分方程是一种常见的数学问题，也是物理学中重要的概念，通过研究未知函数在特定区间内的极限值，可以用微分方程描述物理现象过程。
而微分方程可分离变量，是指方程可以像将不同变量单独提出并解决那样进行分离，以便分别求解不同的方程变量。
其中，一个常见的微分方程可分离变量的形式是这样的：它主要包括一个已知的常数和一个未知变量的微分，即∆y/∆t，一般会出现在形式中。
这类微分方程的
解决方法是，先把微分方程单独把y和t分离出来，然后再求解y和t的变量，最
后再把所得到的y和t变量代入微分方程中进行求解。
因此，微分方程可分离变量广泛应用于各个数学和物理学中，它能很好地解决那种不同变量间发生交互作用的微分方程，可以把求解问题分解成多个更容易求解的模块，从而可以解决复杂的问题。
研究者可以根据具体的微分方程形式，采用不同的方式来求解。
总之，微分方程可分离变量是用来解决复杂微分方程的有效方法，可以减少问题的耦合度，提高求解效率。
微分方程中的变量分离法
微分方程中的变量分离法微分方程作为数学的一个重要分支，在科学和工程领域具有广泛的应用。
解决微分方程可以帮助我们预测物理现象的发展，解决实际问题。
而在微分方程的解法中，变量分离法是一种常用且有效的方法。
一、基本概念变量分离法是一种利用代数手段将微分方程中涉及的未知函数的变量分离，从而使得方程可以逐个变量地积分求解的方法。
通常，变量分离法适用于形如dy/dx = φ(x)ψ(y)的一阶微分方程。
其中，φ(x)和ψ(y)分别是仅包含自变量x和因变量y的函数。
二、解题步骤使用变量分离法解一阶微分方程的一般步骤如下：1. 将方程中涉及到的未知函数的导数关系表达式dy/dx = φ(x)ψ(y)写出；2. 将方程两边同时乘以ψ(y)，并将所有包含y的项移到方程左边，含有x的项移到方程右边，得到ψ(y)dy = φ(x)dx；3. 对等式两边同时积分，得到∫ψ(y)dy = ∫φ(x)dx；4. 分别对y和x积分，得到一个关于y的函数F(y)和一个关于x的函数G(x)；5. 消去常数项，得到F(y) = G(x)作为解的通解。
需要注意的是，变量分离法得到的解通常带有常数项，为了得到特解，还需要根据问题的边界条件，对常数项进行求解。
三、实例分析以一阶线性微分方程为例，来演示变量分离法的具体求解步骤。
问题：求解微分方程dy/dx = e^x y1. 将方程写为dy/y = e^x dx；2. 对等式两边同时积分，得到∫dy/y = ∫e^x dx；3. 得到ln|y| = e^x + C1，其中C1为常数；4. 求指数函数的等价形式，得到|y| = e^x e^C1 = C2 e^x，其中C2为正常数；5. 化简得到y = ±C2 e^x，其中C2为非零常数。
四、注意事项在使用变量分离法求解微分方程时，需要注意以下几点：1. 方程的分子和分母要能够进行合并，方程两边的分母不能为零；2. 需要注意积分常数的引入和消去，合理确定常数的取值范围；3. 对于无穷积分的计算，要注意积分上下限。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、可分离变量的微分方程
二、典型例题
三、小结、思考题
可分离变量方程
dy f1 ( x) f 2 ( y ) dx M1 ( x)M 2 ( y) dx N1 ( x) N 2 ( y) d y 0
转化
解分离变量方程 g ( y ) d y f ( x) d x
设函数G ( y ) 和 F ( x ) 是依次为g( y ) 和 f ( x ) 的原函 数, G ( y ) F ( x ) C 为微分方程的解.
隐式解
二、典型例题
dy 2 xy 的通解. 例1 求解微分方程 dx dy 解 分离变量 2 xdx , y dy 2 xdx , 两端积分 y
ln y x 2 C1
y Ce 为所求通解.
x2
例2 求方程 f ( xy) ydx g( xy) xdy 0 通解.
解 令u xy,
则 du xdy ydx, du ydx f ( u) ydx g( u) x 0, x u [ f ( u) g( u)] dx g( u)du 0, x dx g ( u) du 0, x u[ f ( u) g( u)] g ( u) 通解为 ln | x | du C . u[ f ( u) g( u)]
即M Ce t ,
代入M t 0 M0 得 M 0 Ce 0 C ,
M M 0 e t
衰变规律
三、小结
分离变量法步骤: 1、分离变量;
2、两端积分-------隐式通解.
思考题
dy x y x y 求解微分方程 cos cos . 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量 M 成 正比,已知 M
t 0
M 0 ,求衰变过程中铀含量 M ( t )
随时间t 变化的规律.
解 衰变速度 , 由题设条件 dt dM M ( 0衰变系数) dt
dM M dt ,
dM
dM dt M
ln M t ln C ,
dy x y x y cos cos 0, dx 2 2 dy x y 2 sin sin 0, dx 2 2
x sin dx , y 2 2 sin 2
为所求解.
dy
y y x ln csc cot 2 cos C , 2 2 2
作业
P 308
1 (1) , (5) , (7) , (10);
2 (3), (4) ; 4; 5; 6
一、可分离变量的微分方程
g( y )dy f ( x )dx 可分离变量的微分方程. 4 4 dy 例如 2 x 2 y 5 y 5 dy 2 x 2dx , dx 解法 设函数 g( y ) 和 f ( x ) 是连续的,
g( y )dy f ( x )dx
分离变量法