高中排列组合基础题 (含答案)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
排列、组合问题基本题型及解法
同学们在学习排列、组合的过程中,总觉得抽象,解法灵活,不容易掌握.然而排列、组合问题又是历年高考必考的题目.本文将总结常见的类型及相应的解法.
一、相邻问题“捆绑法”
将必须相邻的元素“捆绑”在一起,当作一个元素进行排列. 例1 甲、乙、丙、丁四人并排站成一排,如果甲、乙必须站在一起,不同的排法共有几种? 分析:先把甲、乙当作一个人,相当于三个人全排列,有33A =6种,然后再将甲、乙二人全排列有22A =2种,所以共有6×2=12种排法. 二、不相邻问题“插空法”
该问题可先把无位置要求的元素全排列,再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空位中(注意两端).
例2 7个同学并排站成一排,其中只有A 、B 是女同学,如果要求A 、B 不相邻,且不站在两端,不同的排法有多少种?.
分析:先将其余5个同学先全排列,排列故是55A =120.再把A 、B 插入五个人组成的四个空位(不包括两端)中,(如图0×0×0×0×0“×”表示空位,“0”表示5个同学)有24A =2
种方法.则共有52
54A A =440种排法.
三、定位问题“优先法”
指定某些元素必须排(或不排)在某位置,可优先排这个元素,后排其他元素.
例3 6个好友其中只有一个女的,为了照像留念,若女的不站在两端,则不同的排法有 种.
分析:优先排女的(元素优先).在中间四个位置上选一个,有14A 种排法.然后将其余5个
排在余下的5个位置上,有55A 种方法.则共15
45A A =480种排法.还可以优先排两端(位置优先)
. 四、同元问题“隔板法”
例4 10本完全相同的书,分给4个同学,每个同学至少要有一本书,共有多少种分法? 分析:在排列成一列的10本书之间,有九个空位插入三块“隔板”.如图: ×× × ××× ××××
一种插法对应于一种分法,则共有39C =84种分法. 五、先分组后排列
对于元素较多,情形较复杂的问题,可根据结果要求,先分为不同类型的几组,然后对每一组分别进行排列,最后求和.
例5 由数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有( )
(A )210个 (B )300个 (C )464个 (D )600个
分析:由题意知,个位数字只能是0,1,2,3,4共5种类型,每一种类型分别有55A 个、113433A A A 个、113333A A A 个、113233A A A 个、13
33A A 个,合计300个,所以选B
例6 用0,1,2,3,…,9这十个数字组成五位数,其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个?
【解法1】考虑0的特殊要求,如果对0不加限制,应有325555C C A 种,
其中0居首位的有314
544C C A 种,故符合条件的五位数共有325314
555544C C A C C A =11040个.
【解法2】按元素分类:奇数字有1,3,5,7,9;偶数字有0,2,4,6,8. 把从五个偶数中任取两个的组合分成两类:①不含0的;②含0的.
①不含0的:由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有325
545C C A 个;
②含0的,这时0只能排在除首位以外的四个数位上,有14A 种排法,
再选三个奇数数与一个偶数数字全排放在其他数位上,共有3141
5444C C A A 种排法.
综合①和②,由分类计数原理,符合条件的五位数共有325545C C A +3141
5444C C A A =11040个. 例8 由数字1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字,比20000大,且百位数字不是3
的自然数?
【解】设A ={满足题设条件,且百位数字是3的自然数},B ={满足题设条件,且比20000大的自然数},则原题即求()card U B A I ð,画韦恩图如图,阴影部分 即U B A I ð,从图中看出()()card card U B A B A B =-I I ð
. 又A B B I Ø,由性质2,有()()()card card card .B A B B A B -=-I I
()card B 即由数字1,2,3,4,5组成无重复数字,且比20000()1444card A A B =.
()card A B I 即由数字1,2,3,4,5组成无重复数字、比20000大,且百位数字是3的自
然数的个数,易知()1333card A A A B =I ,
所以()1413
4433card A A A A U B A =-I ð=78.即可组成78个符合已知条件的自然数.
典型例题
例1 用0到9这10 个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数?
解法1:当个位数上排“0”时,千位,百位,十位上可以从余下的九个数字中任选3个来
排列,故有3
9A 个;
当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排,则千位上从余下的八个非零数字中任选一个,
百位,十位上再从余下的八个数字中任选两个来排,按乘法原理有2
81814A A A ⋅⋅(个).
∴ 没有重复数字的四位偶数有
229617925042
8181439=+=⋅⋅+A A A A 个.
例2 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 (1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种? (2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种?
解:(1)先排歌唱节目有5
5A 种,歌唱节目之间以及两端共有6个位子,从中选4个放入舞蹈节目,共有46A 中方法,所以任两个舞蹈节目不相邻排法有:55A 46
A =43200. (2)先排舞蹈节目有4
4A 中方法,在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位,恰好供5个歌
唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有:4
4A 55A =2880种方法。
例3 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有多少种不同的排课程表的方法.
分析与解法1:6六门课总的排法是6
6A ,其中不符合要求的可分为:体育排在第一书有55A 种排法,如图中Ⅰ;数学排在最后一节有5
5
A 种排法,如图中Ⅱ;但这两种排法,都包括体育排在第一书数学排在最后一节,如图中Ⅲ,这
A B I U B A I ð
U