高中排列组合基础题 (含答案)

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排列、组合问题基本题型及解法

同学们在学习排列、组合的过程中,总觉得抽象,解法灵活,不容易掌握.然而排列、组合问题又是历年高考必考的题目.本文将总结常见的类型及相应的解法.

一、相邻问题“捆绑法”

将必须相邻的元素“捆绑”在一起,当作一个元素进行排列. 例1 甲、乙、丙、丁四人并排站成一排,如果甲、乙必须站在一起,不同的排法共有几种? 分析:先把甲、乙当作一个人,相当于三个人全排列,有33A =6种,然后再将甲、乙二人全排列有22A =2种,所以共有6×2=12种排法. 二、不相邻问题“插空法”

该问题可先把无位置要求的元素全排列,再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空位中(注意两端).

例2 7个同学并排站成一排,其中只有A 、B 是女同学,如果要求A 、B 不相邻,且不站在两端,不同的排法有多少种?.

分析:先将其余5个同学先全排列,排列故是55A =120.再把A 、B 插入五个人组成的四个空位(不包括两端)中,(如图0×0×0×0×0“×”表示空位,“0”表示5个同学)有24A =2

种方法.则共有52

54A A =440种排法.

三、定位问题“优先法”

指定某些元素必须排(或不排)在某位置,可优先排这个元素,后排其他元素.

例3 6个好友其中只有一个女的,为了照像留念,若女的不站在两端,则不同的排法有 种.

分析:优先排女的(元素优先).在中间四个位置上选一个,有14A 种排法.然后将其余5个

排在余下的5个位置上,有55A 种方法.则共15

45A A =480种排法.还可以优先排两端(位置优先)

. 四、同元问题“隔板法”

例4 10本完全相同的书,分给4个同学,每个同学至少要有一本书,共有多少种分法? 分析:在排列成一列的10本书之间,有九个空位插入三块“隔板”.如图: ×× × ××× ××××

一种插法对应于一种分法,则共有39C =84种分法. 五、先分组后排列

对于元素较多,情形较复杂的问题,可根据结果要求,先分为不同类型的几组,然后对每一组分别进行排列,最后求和.

例5 由数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有( )

(A )210个 (B )300个 (C )464个 (D )600个

分析:由题意知,个位数字只能是0,1,2,3,4共5种类型,每一种类型分别有55A 个、113433A A A 个、113333A A A 个、113233A A A 个、13

33A A 个,合计300个,所以选B

例6 用0,1,2,3,…,9这十个数字组成五位数,其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个?

【解法1】考虑0的特殊要求,如果对0不加限制,应有325555C C A 种,

其中0居首位的有314

544C C A 种,故符合条件的五位数共有325314

555544C C A C C A =11040个.

【解法2】按元素分类:奇数字有1,3,5,7,9;偶数字有0,2,4,6,8. 把从五个偶数中任取两个的组合分成两类:①不含0的;②含0的.

①不含0的:由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有325

545C C A 个;

②含0的,这时0只能排在除首位以外的四个数位上,有14A 种排法,

再选三个奇数数与一个偶数数字全排放在其他数位上,共有3141

5444C C A A 种排法.

综合①和②,由分类计数原理,符合条件的五位数共有325545C C A +3141

5444C C A A =11040个. 例8 由数字1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字,比20000大,且百位数字不是3

的自然数?

【解】设A ={满足题设条件,且百位数字是3的自然数},B ={满足题设条件,且比20000大的自然数},则原题即求()card U B A I ð,画韦恩图如图,阴影部分 即U B A I ð,从图中看出()()card card U B A B A B =-I I ð

. 又A B B I Ø,由性质2,有()()()card card card .B A B B A B -=-I I

()card B 即由数字1,2,3,4,5组成无重复数字,且比20000()1444card A A B =.

()card A B I 即由数字1,2,3,4,5组成无重复数字、比20000大,且百位数字是3的自

然数的个数,易知()1333card A A A B =I ,

所以()1413

4433card A A A A U B A =-I ð=78.即可组成78个符合已知条件的自然数.

典型例题

例1 用0到9这10 个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数?

解法1:当个位数上排“0”时,千位,百位,十位上可以从余下的九个数字中任选3个来

排列,故有3

9A 个;

当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排,则千位上从余下的八个非零数字中任选一个,

百位,十位上再从余下的八个数字中任选两个来排,按乘法原理有2

81814A A A ⋅⋅(个).

∴ 没有重复数字的四位偶数有

229617925042

8181439=+=⋅⋅+A A A A 个.

例2 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 (1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种? (2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种?

解:(1)先排歌唱节目有5

5A 种,歌唱节目之间以及两端共有6个位子,从中选4个放入舞蹈节目,共有46A 中方法,所以任两个舞蹈节目不相邻排法有:55A 46

A =43200. (2)先排舞蹈节目有4

4A 中方法,在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位,恰好供5个歌

唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有:4

4A 55A =2880种方法。

例3 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有多少种不同的排课程表的方法.

分析与解法1:6六门课总的排法是6

6A ,其中不符合要求的可分为:体育排在第一书有55A 种排法,如图中Ⅰ;数学排在最后一节有5

5

A 种排法,如图中Ⅱ;但这两种排法,都包括体育排在第一书数学排在最后一节,如图中Ⅲ,这

A B I U B A I ð

U

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