第二节 长度和角度计量

2 2
2


n
i
n
2
i 1
（3-8）
n
式中 n
i
测量次数； 测量列中各测得值相应的随机误差。
3. 随机误差的极限值
由于超出δ=±3σ的概率已很小，故在实践中常认为δ=±3σ的 概率P≈1。从而将±3σ看作是单次测量的随机误差的极限值，将 此值称为极限误差，记作

δ
lim =±3σ
n
2 i
3
|vi|>3S
（3-22）
剔除具有粗大误差的测量值后，应根据剩下的测量值重新计算 S，然后再根据3σ准则去判断剩下的测量值中是否还存在粗大误差。 每次只能剔除一个，直到剔除完为止。
在测量次数较少(小于10次）的情况下，最好不用3σ准 则，而用其他准则。
小结
本节课主要内容包括测量的基本概念；量块基 本知识，随机误差的分布规律及其特性； 测量列中 随机误差的处理；测量结果的数据处理。
单次测量的标准偏差σ的估计值（用S表示）。S可用下式表示为
S=
v n 1
i 1
1
n
2 i
（3-17）
由式（3-17），算出S后，便可取±3S代替作为单次测 量的极限误差。即 δ
lim=±
3S
（3-18）
（3）测量列算术平均值的标准偏差 相同条件下，对同一被测量，将测量列分为若干组，每 组进行n次的测量称为多次测量。 标准偏差σ代表一组测得值中任一测得值的精密程度， 但在多次重复测量中是以算术平均值作为测量结果的。因 此，更重要的是要知道算术平均值的精密程度，可用算术 平均值的标准偏差表示。根据误差理论，测量列算术平均 值的标准偏差用下式计算
L1
L4 L L2 L3
量块 平晶
图3-4量块
量块的用途：量块在机械制造厂和各级计量部门中应 用较广，常作为尺寸传递的长度标准和计量仪器示值误差的 检定标准，也可作为精密机械零件测量、精密机床和夹具调 整时的尺寸基准。 量块的精度（级）：GB/T6093－2001按制造精度将 量块分为00，0，1，2，3和K级共6级，其中00级精度最 高，3级精度最低，K级为校准级。主要根据量块长度极限偏 差、测量面的平面度、粗糙度及量块的研合性等指标来划分 的。量块按“级”使用时，以量块的标称长度为工作尺寸， 该尺寸包含了量块的制造误差，并将被引入到测量结果中。 由于不需要加修正值，故使用较方便。
x 1 n

n
xi
（3-15）
i 1
（2）残差（剩余误差）及其应用
vi
=
xi
-
x
（3-16）
由符合正态分布曲线分布规律的随机误差的分布特性可知残差具有下 述两个特性：
1）当测量次数n足够多时，残差的代数和趋近于零，即≈0； 2）残差的平方和为最小 即。 实际应用中，常用≈0来验证数据处理中求得的与是否正确。
量块的精度（等）：国家计量局标JJG146－2003 《量块检定规程》按检定精度将量块分为六等，即1、2、3、 4、5、6等，其中1等精度最高，6等精度最低，“等”主要 依据量块中心长度测量的极限偏差和平面平行性允许偏差来 划分的。 量块的“级”与“等” : 量块的“级”和“等”是 从成批制造和单个检定两种不同的角度出发，对其精度进行 划分的两种形式。 按“级”使用时，以标记在量块上的标称 尺寸作为工作尺寸，该尺寸包含其制造误差。 按“等”使用 时，必须以检定后的实际尺寸作为工作尺寸，该尺寸不包含 制造误差，但包含了检定时的测量误差。 • 就同一量块而言，检定时的测量误差要比制造误差小 得多。所以，量块按“等”使用时其精度比按“级”使用要 高，并且能在保持量块原有使用精度的基础上延长其使用寿 命。
四个要素
测量对象 计量单位 测量方法 测量精确度（或准确度）
第二节 长度和角度计量 单位与尺寸传递
一、长度和角度的计量单位（自学） 二、 尺寸和角度量值传递系统（自学）
三、 量块
量块的构成： 它有两个测量面 和四个非测量面。两相 互平行的测量面之间的 距离为量块的工作长度， 称为标称长度（量块上 标出的长度）。从量块 一个测量面上任意点到 与这个量块另一个测量 面相研合的面的垂直距 离称为量块长度Li。从 量块一个测量面中心点 到与这个量块另一个测 量面相研合的面的垂直 距离称为量块的中心长 度。
频率（n i / n）
0.01 0.02 0.05 0.12 0.185 0.225 0.195 0.115 0.06 0.015 0.005
ni/n 0.225
实际分布曲线
y
正态分布曲线
0.12
0.01 19.991 x = 20.0 20.007
μ
O
δ
教材图3-9频率直方图和正态分布曲线
不同的σ对应不同形状的正 态分布曲线，σ越小，ymax 值越大，曲线越陡，随机 误差越集中，即测得值分 布越集中，测量精密度越 高；σ越大，ymax 值越小， 曲线越平坦，随机误差越 分散，即测得值分布越分 散，测量精密度越低。图310所示为σ1<σ2<σ3 时三种正 态分布曲线，因此，σ可作 为表征各测得值的精度指 标。
第三章 测量Fra Baidu bibliotek术的基础知识及 光滑工件尺寸的检测
第一节 测量的基本概念
所谓“测量”就是将被测的量与作为单位或标准的量， 在量值上进行比较，从而确定二者比值的实验过程。
若被测量为L，标准量为E，那么测量就是确定L是E的多少 倍。即确定比值q = L / E，最后获得被测量L的量值，即 L = qE。 一个完整的测量过程应包含:
量块的选用： 量块在使用时，常常用几个量块组合使 用。为了能用较少的块数组合成所需要的尺 寸，量块应按一定的尺寸系列成套生产供应。 国家标准共规定了17种系列的成套量块。组 合量块时，为减少量块组合的累积误差，应 尽量减少量块的组合块数，一般不超过4块。 选用量块时，应从所需组合尺寸的最后一位 数开始，每选一块至少应减去所需尺寸的一 位尾数。
σx S n
（3-19）
由上式可知，多次测量的总体算术平均值的标准偏差 为单次测量值的标准差的。这说明随着测量次数的增多， 越小，测量的精密度就越高。但当S一定时，n＞20以后， 减小缓慢，即用增加测量次数的方法来提高测量精密度， 收效不大，故在生产中，一般取n=5～20，通常取≤10次 为宜。故测量列的算术平均值的测量极限误差为
组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
区间中心 值/ mm 19.991 19.993 19.995 19.997 19.999 20.001 20.003 20.005 20.007 20.009 20.011
每组出现的次数 （频数n i） 2 4 10 24 37 45 39 23 12 3 1
y
σ1 σ2 σ3 δ
0 6σ1 6σ2 6σ3
教材图3-10总体标准偏差对随 机误差分布特性的影响
从理论上讲，正态分布中心位置的均值μ代表被测量的真值Q，标准偏差σ 代表测得值的集中与分散程度。
根据误差理论，等精度测量列中单次测量的标准偏差σ是各 随机误差δ 平方和的平均值的正平方根，即
σ＝
δ1 2 n
6.5
20
1.28 1.005
28.785
量块使用的注意事情项： 1. 量块必须在使用有效期内，否则应及时送专业部门检定。 2. 使用环境良好，防止各种腐蚀性物质及灰尘对测量面的 损伤，影响其粘合性。 3. 分清量块的“级”与“等”，注意使用规则。 4. 所选量块应用航空汽油清洗、洁净软布擦干，待量块温 度与环境温度相同后方可使用。 5. 轻拿、轻放量块，杜绝磕碰、跌落等情况的发生。 6. 不得用手直接接触量块，以免造成汗液对量块的腐蚀及 手温对测量精确度的影响。 7. 使用完毕，应用航空汽油清洗所用量块，并擦干后涂上 防锈脂存于干燥处。
li m ( x )
=
3σ x
（3-20）
这样， 测量列的测量结果可表示为 Q = x li m
( x )
=
x 3σ x
（3-21）
这时的置信概率P=99.73％。
三、系统误差(自学) 四、粗大误差 判断粗大误差常用拉依达(Paй Ta))准则(又称3σ 准则)。 该准则的依据主要来自随机误差的正态分布规律。从随机误差的特性 中可知，测量误差 越大，出现的概率越小，误差的绝对值超过±3σ的概率仅为0.27％， 即在连续370次测量中只有一次测量的残差超出±3σ（370×0.0027≈1 次），而连续测量的次数决不会超过370次，测量列中就不应该有超出 ±3σ的残差。因此，凡绝对值大于3σ的残差，就看作为粗大误差而予 以剔除。在有限次测量时，其判断式为
第五节 测量误差与数据处理
• 一、测量误差的概述 （自学） 二、随机误差
1. 随机误差的分布规律及其特性
随机误差可用试验方法来确定。实践表明，大 多数情况下，随机误差符合正态分布。为便于理解， 现举例说明。
表3-2 测量数据统计表
尺寸分组区间 / mm 19.990～19.992 19.992～19.994 19.994～19.996 19.996～19.998 19.998～20.000 20.000～20.002 20.002～20.004 20.004～20.006 20.006～20.008 20.008～20.010 20.010～20.012
i 1
（3-13）
n
即单次测量的测量结果为 x=xi±δ 式中 xi
lim
= xi±3σ
（3-14）
某次测得值。
4. 测量列中随机误差的处理
（1）测量列的算术平均值 x 在评定有限测量次数测量列的随机误差时，必须获 得真值，但真值是不知道的，因此只能从测量列中找 到一个接近真值的数值加以代替，这就是测量列的算 术平均值。 若测量列为x1、、x2、…、xn，则算术平均值为