2019届北京市101中学2016级高三下学期5月月考数学(理)试卷及解析
2019届北京市101中学上学期高三月考(五)理科数学试卷(解析版)
北京市101中学2018-2019学年上学期高三月考（五）理科数学试卷一、选择题（本大题共8小题）1.若复数为纯虚数，则实数a的值为A. 1B. 0C.D.【答案】D【解析】解：复数为纯虚数，，，解得．故选：D．利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知为等差数列，为其前n项和，若，，则A. 17B. 14C. 13D. 3【答案】A【解析】解：为等差数列，为其前n项和，，，，解得，．故选：A．利用等差数列前n项和公式求出d，由此能求出结果．本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：由，得，是充分条件，由，得：，故”是“”的充要条件，故选：C．根据充分必要条件的定义结合不等式的性质判断即可．本题考查了充分必要条件，考查不等式的性质，是一道基础题．4.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则a的值可以为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：函数的图象向右平移个单位，得到：，函数的图象与函数的图象相同，则：，解得：．当时，．故选：C．直接利用函数的平移变换和诱导公式求出结果．本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换和诱导公式的应用．5.某中学语文老师从《红楼梦》、《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》本不同的名著中选出3本，分给三个同学去读，其中《红楼梦》为必读，则不同的分配方法共有A. 6种B. 12种C. 18种D. 24种【答案】C【解析】解：根据题意，分2步进行分析：、先《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》三本书中选出2本，有种选法，、将选出的2本与《红楼梦》全排列，对应分给三个同学，有种情况，则不同的分配方法共有种；故选：C．根据题意，分2步进行分析：、先《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》三本书中选出2本，、将选出的2本与《红楼梦》全排列，对应分给三个同学，求出每一步的情况数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的综合应用，注意《红楼梦》为必读，是受到限制的元素，要优先分析．6.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值是A. 1B.C. 2D. 4【答案】B【解析】解：，可得：，，由余弦定理可得，由基本不等式可得，可得：，当且仅当时，“”成立，从而面积，故面积的最大值为．故选：B．由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，结合，可求的值，进而可求B的值，由余弦定理，基本不等式可得：，进而利用三角形面积公式即可得解面积的最大值．本题考查解三角形的相关知识，考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．7.如图，已知直线与曲线相切于两点，函数，则函数A. 有极小值，没有极大值B. 有极大值，没有极小值C. 至少有两个极小值和一个极大值D. 至少有一个极小值和两个极大值【答案】C【解析】解：设与的切点横坐标分别为，，，设的另一条斜率为k的切线与图象的切点横坐标为，如图所示：而表示直线的点与上的点的的纵坐标的差，显然，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，为的极小值点，为的极大值点．，为的极小值，为的极大值．故选：C．表示两图象上横坐标相同时，纵坐标的差，根据函数图象即可判断出结论．本题考查了函数图象的几何意义，函数极值的意义，属于中档题．8.已知非空集合A，B满足以下两个条件．2，3，4，5，，；的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则有序集合对的个数为A. 10B. 12C. 14D. 16【答案】A【解析】解：若集合A中只有1个元素，则集合B中只有5个元素，则，，即，，此时有，若集合A中只有2个元素，则集合B中只有4个元素，则，，即，，此时有，若集合A中只有3个元素，则集合B中只有3个元素，则，，不满足题意，若集合A中只有4个元素，则集合B中只有2个元素，则，，即，，此时有，若集合A中只有5个元素，则集合B中只有1个元素，则，，即，，此时有，故有序集合对的个数是，故选：A．分别讨论集合A，B元素个数，即可得到结论．本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键．二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.已知集合，，则______．【答案】或【解析】解：集合，或，或．故答案为：或．先求出集合M，N，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.在等比数列中，，且，则的值为______．【答案】5【解析】解：设等比数列的公比为q，，且，，解得或．当时，则；当时，则．故答案为：5．利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.能够说明“恒成立”是假命题的一个x的值为______．【答案】0【解析】解：当时，，不成立，故答案为：0．利用反例判断命题的真假即可．本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．12.已知向量，的夹角为，，，则______．【答案】【解析】解：【解法一】向量，的夹角为，且，，，．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形；在中，由余弦定理得，即．故答案为：．根据平面向量的数量积求出模长即可．本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．13.在边长为1的等边三角形ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得设，则______；______．【答案】【解析】解：，又，，，，．故答案为：，．根据向量加法的三角形法则把用，表示为：，再根据平面向量基本定理得，，从而可得；，再利用正三角形进行计算可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．14.设函数．若有两个零点，则实数a的取值范围是______；若，则满足的x的取值范围是______．【答案】【解析】解：若，则，由，可得，，符合题意；若，符合题意；若符合题意，则，即为；若，则和符合题意，可得，综上可得，a的范围是；若，则，的导数为，可得，，即有，不符题意；则，若，，即为，解得；若，，即为，化为，由于，且，可得的导数，即在递增，取得最小值，且为，且，而在时，递增，且为负值，不符题意．综上可得a的范围是．故答案为：，．讨论，，，结合零点定义，解方程即可得到所求范围；若，讨论，，若；，结合分段函数解析式，以及函数的单调性和不等式的解法，即可得到所求范围．本题考查分段函数的运用：求零点和解不等式，考查分类讨论思想方法，以及导数的运用：判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）15.已知函数的图象与x轴的相邻两个交点的距离为．求w的值；设函数，求在区间上的最大值和最小值．【答案】解：函数的图象与x轴的相邻两个交点的距离为．可得函数的最小正周期为，则，解得，函数，，，，在区间上的最大值为1，最小值为．【解析】根据题意可得周期，即可求出的值，根据二倍角公式和两角和差的正弦公式，可得，再根据正弦函数的图象和性质即可求出最值本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和求法，正弦函数的单调性，属于中档题．16.如图所示，在中，D是BC边上的一点，且，，，．Ⅰ求；Ⅱ求AD的长和的面积．【答案】解：Ⅰ中，因为，，所以；分因为，，所以；分所以；分Ⅱ在中，由余弦定理可得，分所以，所以，即，解得或不合题意，舍去；所以；分中，由正弦定理得，即，分解得；分所以，即分【解析】Ⅰ利用三角形的内角和定理与三角恒等变换，即可求得的正弦值；Ⅱ由余弦定理和正弦定理求得AD、CD的值，再求的面积．本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是综合题．17.设数列的前n项和为，且，在正项等比数列中，，．Ⅰ求和的通项公式；Ⅱ设，求数列的前n项和．【答案】解：由，时，，时，．．设正项等比数列的公比为q，，．．．由得：．设数列的前n项和为．时，；时，，，，．时也成立．．【解析】由，时，，时，即可得出设正项等比数列的公比为q，由，可得q，利用通项公式可得．由得：设数列的前n项和为利用错位相减法即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.已知函数．Ⅰ求函数的单调区间；Ⅱ当时，求函数在区间上的最大值．【答案】本小题满分13分解：Ⅰ由得，令，得，，，的情况如下表：所以函数的单调增区间为，，单调减区间为．Ⅱ由可得．当即时，由Ⅰ可得在和上单调递增，在上单调递减，所以，函数在区间上的最大值为，又由Ⅰ可知，所以；当，，即时，由Ⅰ可得在上单调递减，在上的最大值为．当，，即时，由Ⅰ可得在上单调递减，在上单调递增，所以，函数在区间上的最大值为，法1：因为，所以．法2：因为，所以由Ⅰ可知，，所以，所以．法3：设，则，，的在上的情况如下表：所以，当时，，所以，即所以．综上讨论，可知：当时，函数在区间上的最大值为；当时，函数在区间上的最大值为．【解析】Ⅰ由，得，令，得，，，的情况列表讨论，能求出函数的单调区间．Ⅱ由，得求出函数在区间上的最大值为，由，知；再求出函数在区间上的最大值为，由此能求出函数在区间上的最大值．本题考查函数的单调性、函数的最值、导数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想、分类与整合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．第 11 页共 11 页。
2019届北京市101中学高三10月月考数学(理)试卷及解析
2019届北京市101中学高三10月月考
数学（理）试卷
一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若复数为纯虚数，则实数的值为（）
A. 1
B. 0
C.
D. -1
【答案】D
【解析】
设
，得到：+
∴，且
解得：
故选：D
2.已知为等差数列，为其前n 项和，若，则（）
A. 17
B. 14
C. 13
D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等差数列的前n项和公式求出公差d ，再利用通项公式求。
【详解】设等差数列的公差为d，由等差数列前n项和公式知，
，
解得，，
所以，故答案选A。
3.设，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
1 / 14。
2018-2019学年北京市101中学高三(下)5月月考数学试卷答案解析与点睛(19页)
2018-2019学年北京市101中学高三（下）5月月考数学试卷数学试卷一、选择题1.已知集合{21|log ,,|,02xA y y x xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>==<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B =IA. ()1,+∞B. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】{}()211log ,21,,|,1,22xA y y x xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫===+∞==<=+∞⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭,所以()1,A B ⋂=+∞，选A.2.若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1,+∞ B. （1,8）C. （4,8）D. [4,8)【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果.【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数， 所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选：D【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.3.设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且有22()'()f x xf x x +>，则不等式2(2018)(2018)x f x ++4(2)0f -->的解集为（ ）A. (2020,0)-B. (,2020)-∞-C. (2016,0)-D. (,2016)-∞-【答案】B 【解析】由()()22'f x xf x x +>，0x （＜），得：232xf x x f x x +'（）（）＜， 即23[]0x f x x '（）＜＜， 令F （x ）=x 2f （x ），则当0x ＜ 时， 得0F x '（）＜，即0F x -∞（）在（，）上是减函数，2201820182018242F x x f x F f ∴+=++-=-（）（）（），（）（）， 即不等式等价为201820F x F +--（）（）＞， F x Q （） 在0-∞（，） 是减函数，∴由F 20182x F +-（）＞（）得，20182x +-＜ ，即2020.x -＜故选B ．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及抽象不等式的解法，其中利用一种条件合理构造函数，正确利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键 4.()51(1)1x x++的展开式中2x 的系数为A. 10B. 15C. 20D. 25【答案】C 【解析】()5111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=11x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭122334455555551+).C x C x C x C x C x ++++（ 所以()5111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数=2355101020.C C +=+=故选C. 5.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，⋯，则该数列第18项为( )A. 200B. 162C. 144D. 128【答案】B 【解析】 【分析】由题意，首先猜想数列的通项公式，然后求解该数列第18项即可. 【详解】偶数项分别为2，8，18，32，50， 即21⨯，24⨯，29⨯，216⨯，225⨯，即偶数项对应的通项公式为222n a n =，则数列的第18项为第9个偶数即2182929281162a a ⨯==⨯=⨯=，故选B ．【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据数列寻找偶数项的规律是解决本题的关键．6.如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是( )D.【答案】D 【解析】 【分析】求出以A 为圆心，以边长为半径，圆心角为BAC ∠的扇形的面积，根据图形的性质，可知它的3倍减去2倍的等边三角形ABC 的面积就是莱洛三角形的面积，运用几何概型公式，求出概率.【详解】设等边三角形ABC 的边长为a ，设以A 为圆心，以边长为半径，圆心角为BAC ∠的扇形的面积为1S ，则22160=3606a a S ππ⋅=，021=sin 602ABC S a a ∆⋅⋅=，莱洛三角形面积为S，则2222 132=3262ABCa aS S Sππ∆=-⨯-=-,在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率为P,2ABCSPS∆===故本题选D.【点睛】本题考查了几何概型.解决本题的关键是正确求出莱洛三角形的面积.考查了运算能力.7.已知定义在R上的连续可导函数()f x无极值，且,x R∀∈[()2018]2019xf f x+=，若()2sin()6g x x mxπ=++在3[,2]2ππ上与函数()f x的单调性相同，则实数m的取值范围是( )A. (,2]-∞- B. [2,)-+∞C. (,2]-∞ D. [2,1]--【答案】A【解析】【分析】根据()f x连续可导且无极值，结合()20182019xf f x⎡⎤+=⎣⎦，判断出()f x为单调递减函数.对()g x求导后分离常数m，利用三角函数的值域求得m的取值范围.【详解】由于()f x连续可导且无极值，故函数()f x为单调函数.故可令()2018xt f x=+，使()2019f t=成立，故()2018xf x t=-，故()f x为R上的减函数.故()g x在3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数.即()π2cos06g x x m⎛⎫=++≤⎪⎝⎭'在3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即π2cos6m x⎛⎫≤-+⎪⎝⎭，由于π5π13π,636x⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故π1cos,162x⎛⎫⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，[]π2cos2,16x⎛⎫-+∈--⎪⎝⎭，所以2m≤-，故选A.【点睛】本小题主要考查函数的单调性与极值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于中档题.8.已知正三棱锥A BCD-的所有顶点都在球O的球面上，其底面边长为3，E，F，G分别为侧棱AB，AC，AD的中点.若O在三棱锥A BCD-内，且三棱锥A BCD-的体积是三棱锥O BCD-体积的3倍，则平面EFG截球O所得截面的面积为（）A.154πB.32π C.D. 4π【答案】A 【解析】 【分析】M 是底面BCD ∆的中心，则O 在AM 上，而由3A BCD O BCD V V --=得3AM OM =，AM 与平面EFG 交于点N ，N 是过平面EFG 的截面圆圆心，在OBM ∆中由勾股定理求得R ，再由截面圆性质可求得截面圆半径．【详解】如图，M 是底面BCD ∆的中心，则O 在AM 上，而由3A BCD O BCD V V --=得3AM OM =，设OA R =，则2R OM =，又3BC CD DB ===，M 是BCD ∆中心，则3MB ==，∴由222OB OM BM =+得222()2R R =+，解得2R =，设AM 与平面EFG 交于点N ，∵E F G 、、分别是,,AB AC AD 的中点，则N 是AM 的中点，∴11332222MN AM R ==⨯=，31122ON MN OM =-=-=，设平面EFG截球O 所得截面圆半径为r ，则r ==，∴此圆面积为22154r πππ=⨯=．故选A ．【点睛】本题考查棱锥与其外接球，解题关键首先是确定球的半径，然后根据截面圆性质求得截面圆半径从而得出其面积．记住结论：正棱锥的外接球球心一定在其高上．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.已知O 是锐角ABC ∆的外接圆圆心，A 是最大角，若cos cos sin sin B C AB AC mAO C B+=u u u v u u u v u u u v ，则m 的取值范围为________.【答案】2) 【解析】 【分析】利用平面向量的运算，求得2sin m A =，由此求得m 的取值范围.【详解】设D 是AB 中点，根据垂径定理可知⊥OD AB ，依题意()2cos cos sin sin 2B C m AB AB AC AB m AD DO AB AB C B ⋅+⋅=+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即22cos cos cos sin sin 2c B bc A C m c C B +=，利用正弦定理化简得cos cos cos sin 2mB AC C +=.由于()cos cos B A C =-+，所以sin sin cos cos cos cos sin 2mA C A C A C C -+=，即2sin m A =.由于A 是锐角三角形的最大角，故ππ,32A ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故)2sin m A =∈.【点睛】本小题主要考查平面向量加法、数量积运算，考查正弦定理，考查三角形的内角和定理等知识，综合性较强，属于中档题.10.若整数,x y 满足不等式组022020x x y x y ≤≤⎧⎪+->⎨⎪-+>⎩，则yz x =最小值为_______.【答案】12【解析】【分析】画出可行域，由此判断出可行域内的点和原点连线的斜率的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，依题意只取坐标为整数的点.由图可知，在点()2,1处，目标函数取得最小值为12.【点睛】本小题主要考查简单的线性规划问题，要注意不等式等号是否能取得，还要注意,x y 为整数，属于基础题.11. 执行如图所示程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y 的值【答案】68 【解析】的试题分析：第一次循环：702213155278y =⨯+⨯+⨯=；第二次循环：278105173y =-=；第三次循环：173********y =-=<；结束循环，输出68.y = 考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.12.已知双曲线2222:1x y C a b -=()0,0a b >>，圆()222:4b M x a y -+=.若双曲线C 一条渐近线与圆M 相切，则当22224149a a ab -+取得最大值时，C 的实轴长为__________．【解析】 【分析】首先利用直线与圆相切确定a ,b 的关系，然后利用导函数研究函数取得最大值时双曲线的实轴长度即可. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为：0bx ay -=，2ab b c ==， 据此可知：2c a =，则22224,3c a b a ==，故22224149a a a b -+ 222243149a a a a =-⨯+ 624312454931a a a -+=⨯+， 令()()6243124504931a a f a a a -+=⨯>+， 则()()952492411430'4931a a a f a a --+=⨯+ ()()()4424641594931a a a a --+=⨯+， 由导函数与原函数的单调性的关于可知：函数()f a在区间0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，当2a =时，22224149a a ab -+取得最大值时，此时C的实轴长为2a =的【点睛】本题主要考查双曲线的性质，导函数研究函数的单调性与最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13.已知2223()3m x x n m n -+≠剟的解集为[m ，n ]，则m +n 的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用二次函数的单调性、一元二次不等式的解法即可得出． 【详解】()222211393232692()333222x x x x x ⎡⎤-+=-+=-+≥⎢⎥⎣⎦Q， 32m ∴≥所以32n >，令22233n n n -+=，得22990n n -+=，解得32n =（舍去），3n =； 令222333x x -+=，解得0x =或3． 取0m =． 故答案为：3．【点睛】本题考查了二次函数的单调性、一元二次不等式的解法，属于基础题．14.网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足231x t =-+函数关系式．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元． 【答案】37.5 【解析】利润等于收入减成本，所以()()114832316316316348 2.522233t t x y x x t x x x x x x -⎛⎫=+⋅---=--=+-=-++- ⎪--⎝⎭因为2331x t =-<+ ，所以原式30x -<，可化简为()116345.53y x x ⎡⎤=--++⎢⎥-⎣⎦，而()116383x x -+≥=-，那么()116345.5845.537.53x x ⎡⎤--++≤-+=⎢⎥-⎣⎦，等号成立的条件是()1163 2.53x x x-=⇒=- ，所以该公司的最大利润是37.5，故填：37.5. 【点睛】对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点方面进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言能力，强化构建数学模型的方法， 本题主要考查函数的应用及基本不等式，解决此题的关键是先求出函数解析式，再利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件,注意创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理,使之可用基本不等式来解决,若多次使用基本不等式,必须保持每次取等的一致性.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.数列{a n }首项a 1＝1，前n 项和S n 与a n 之间满足a n ＝22(2)21n n S n S ≥- （1）求证：数列{1nS }是等差数列 （2）求数列{a n }的通项公式（3）设存在正数k ，使（1+S 1）（1+S 2） (1)S n ）≥n ，N *都成立，求k 的最大值．【答案】(1)证明见详解；(2)()()22321 ,21,1n n n a n n ⎧-⎪--=≥⎨⎪=⎩；(3)【解析】 【分析】（1）利用n a 与n S 之间的关系，将a n ＝2221n n S S -转化为n S 和1n S -之间的关系式，再整理即可求得；（2）根据（1）中所证可得n S ，根据n S 与n a 的联系即可求得n a ； （3）构造数列()F n =（）（）（）再求最小值即可求得参数的取值范围.【详解】（1）因为1n n n a S S -=-，故a n ＝2221n n S S -即为21221nn n n S S S S --=-整理可得112n n n n S S S S ---=-故可得1112n n S S --=， 故数列{1nS }是以首项为1公差为2的等差数列，即证. （2）由（1）可知121n n S =-，故可得121n S n =- 代入a n ＝2221n n S S -，即可得()()()2,22321n a n n n =-≥-- 又当1n =时，11a =不满足上式，故()()22321,21,1n n n a n n ⎧-⎪--=≥⎨⎪=⎩（3）由（1）可知121n S n =-，设()F n =（）（）（）故可得()()111F n S F n ++===>故()F n 是单调递增数列，则()()13minF n F ==， 要满足（1+S 1）（1+S 2）…（1+S n ）≥对于一切n ，N *都成立 只需()min F n k ≥，即可得3k ≤故k 【点睛】本题考查利用等差数列的定义证明数列等差，以及根据数列的单调性求参数的取值范围，属数列综合性中档题；第三问中关键的步骤是构造数列，并证明其单调性，属经典问题的经典处理方法. 16.已知△ABC 的三个内角△ABC 所对的边分别为a ，b ，c ，向量()2,1m =r ，n =r2(2cos ,cos 21)2AA -+，且92m n ⋅=r r（1）求角A 的大小；（2）若BC ABC 面积的最大值及此时△ABC 的形状．【答案】(1)60︒；(2)，等边三角形. 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算，结合倍角公式的使用，通过解三角方程，即可求解； （2）根据余弦定理，结合均值不等式，即可求得面积的最值，以及此时的形状. 【详解】（1）因92m n ⋅=r r ，故可得294cos 2122A cos A -+=，由公式可得24cos 410A cosA -+= 即可得()2210cosA -=，解得12cosA =， 又()0,A π∈，故可得60A =︒.（2）因为BC ，即a =由余弦定理可得221322b c cosA bc+-==，整理得223?b c bc +-=即可得2232b c bc bc +=+≥，解得3bc ≤，当且仅当b c =时取得最大值，又因为60A =︒，故此时ABC n 为等边三角形.故()11322max max S sinA bc =⨯==， 此时三角形的形状是等边三角形.【点睛】（1）本题考查余弦的倍角公式，三角形面积的最大值问题，涉及均值不等式的使用，属综合性中档题.17.某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为13． （1）问该厂至少有多少名维修工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于90%？（2）已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值． 【答案】（1）3名；（2）140881万元． 【解析】 【分析】（1）一台机器运行是否出现故障看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障的概率为13；4台机器相当于4次独立重复试验，设出现故障的机器台数为X ，143X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，，求出对应概率值，写出分布列，计算“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”的概率不少于90%的对应工人数；（2）设该厂获利为Y 万元，Y 的所有可能取值为18，13，8，计算对应的概率值，求出分布列与数学期望值．【详解】（1）设“机器出现故障设”为事件A ，则1()3P A =． 设出现故障的机器台数为X ，则1~(4,)3X B ，044216(0)C ()381P X ==⨯=， 1341232(1)C ()3381P X ==⨯⨯=， 22241224(2)C ()()3381P X ==⨯⨯=， 334128(3)C ()3381P X ==⨯⨯=， 44411(4)C ()381P X ==⨯=． 故X 的分布列为设该厂有n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X n ≤，X 0=，1X =，2X =，…，X n =，这1n +个互斥事件的和事件，则因为728090%8181<<，所以至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于90%．（2）设该厂获利为Y 万元，则Y 的所有可能取值为18，13，8，8(18)(0)(1)(2)9P Y P X P X P X ===+=+==， 8(13)(3)81P Y P X ====， 1(8)(4)81P Y P X ====． 故Y 的分布列为所以8811408()181389818181E Y =⨯+⨯+⨯=， 故该厂获利的均值为140881万元． 【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是综合性题目．18.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，DE ＝2，M 为线段BF 上一点，且DM ⊥平面ACE ． （1）求BM 的长；（2）求二面角A ﹣DM ﹣B 的余弦值的大小．【答案】(1)1；(2)14. 【解析】 【分析】（1）根据DM ⊥平面ACE ，找出线线垂直，在平面四边形EFBD 中根据垂直关系求得线段长度； （2）由题可知直线AC 垂直于平面BDM ，故可过AC 与BD 中点作DM 垂线，找到二面角的平面角，从而在三角形中求解角度的大小即可.【详解】（1）记AC 与BD 的交点为O ，连接OE ，如下图所示：因为DM ⊥平面AEC ，OE ⊂平面AEC ， 故DM OE ⊥，又因为DE //FB ，可以确定一个平面，故,,,D M O E 均在平面EFBD 中； 因为四边形ABCD 是菱形，且60DAB ∠=︒，故可得2BD AB ==； 故在矩形EFBD 中：因为DM OE ⊥，故可得DMB EOD ∠=∠， 又因为MBD EDO ∠=∠，2BD DE ==， 故可得DBM EDO ≅n n ，故可得112BM DO BD ===. 即1BM =.（2）记EO 与DM 的交点为H ，连接AH ，如下图所示：因为四边形ABCD 为菱形，故可得AC BD ⊥，又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，且平面BDEF I 平面ABCD BD = 且AC ⊂平面ABCD ，AC BD ⊥， 故可得AO ⊥平面DMB ；由（1）可知OH DM ⊥，故OHA ∠即为二面角A ﹣DM ﹣B 的平面角；在DMB n 中，容易知12BM tan MDB BD ∠==，故5sin MDB ∠=在DHO n 中，又51OH OH sin MDB OD ∠===，解得5OH =；在菱形ABCD 中，容易知AO BD ==.故在Rt AOH n 中，因为OH =AO =AH =， 故14OH cos OHA AH ∠==. 二面角A ﹣DM ﹣B 的余弦值的大小为14.【点睛】本题考查由线面垂直求解线段的长度，以及二面角大小的求解，属综合性中档题.19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，上顶点为B ，离心率为2，1ABF V．()1求椭圆C 的标准方程；()2过1F 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，求2MNF V 内切圆半径的最大值．【答案】(1)22 12x y += (2) 内切圆半径的最大值为12．【解析】 【分析】()1根据题意列方程组求出a ，b 的值得出椭圆方程；()2根据根与系数的关系求出2MNF V 的最大值，再根据内切圆的性质表示出2MNF V 的面积，从而得出内切圆的最大半径．【详解】() 1依题意有()222212c a a b c a c b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪-=⎪⎩解得11.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 故椭圆C 的方程为2212x y +=．()2设()11,M x y ，()22,N x y ，设2F MN V 的内切圆半径为r ，2F MN V的周长为12124MF MF NF NF a +++==，所以2142F MN S a r =⨯⋅=V ． 根据题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =-，由22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222210m y my +--=，()22(2)420m m =++>V，m R ∈， 由韦达定理得12122221,22m y y y y m m -+==++，212121212F MNS F F y y y yV∴=-=-==，令t=，则1t≥，2F MNStt∴==+V令()1f t tt=+，则当1t≥时，()21'10f tt=->，()f t单调递增，()()12f t f∴≥=，2F MNS≤V即当1t=，0m=时，2F MNSV，此时max12maxr=．2F MN∴V内切圆半径的最大值为12．【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．20.已知函数12ln2(0(()))f x a x ax ax=-++≤.（1）当0a=时，求()f x的极值；（2）当0a<时，讨论()f x的单调性；（3）若对任意的(3,2)a∈--，12,[1,3]x x∈，恒有12(ln3)2ln3()()m a f x f x+->-成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）极小值22ln2-，无极大值；（2）参考解析；（3）133m≤-【解析】【详解】试题分析：第一问，将0a=代入()f x中确定函数()f x的解析式，对()f x进行求导，判断()f x 的单调性，确定在12x=时，函数()f x有极小值，但无极大值，在解题过程中，注意函数的定义域；第二问，对()f x求导，()0f x'=的根为1a-和12，所以要判断函数()f x的单调性，需对1a-和12的大小进行3种情况的讨论；第三问，由第二问可知，当32a-<<-时，()f x在[1,3]为减函数，所以(1)f为最大值，(3)f为最小值，所以()()12f x f x-的最大值可以求出来，因为()()()12ln32ln3m a f x f x+->-对任意的()[]123,2,,1,3a x x∈--∈恒成立，所以()()()12max ln32ln3m a f x f x +->-，将()()12f x f x -的最大值代入后，(3,2)a ∈--，又是一个恒成立，整理表达式，即243m a<-+对任意32a -<<-恒成立，所以再求min 2(4)3a -+即可. 试题解析：（1）当0a =时，()()22121212ln ,(0).x f x x f x x x x x x-'=+=-=> 由()2210x f x x -'=>,解得12x >. ∴()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数. ∴()f x 的极小值为122ln 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值.（2）()()()()2222221121212(0)ax a x ax x a f x a x x x x x +--+--=-+=>'=.①当20a -<<时，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数； ②当2a =-时，()f x 在()0,∞+上是减函数； ③当2a <-时，()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭和10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数.（3）当32a -<<-时，由（2）可知()f x 在[]1,3上减函数， ∴()()()()()1221342ln 33f x f x f f a a -≤-=-+-. 由()()()12ln32ln3m a f x f x +->-对任意的()[]123,2,,1,3a x x ∈--∈恒成立， ∴()()()12max ln32ln3m a f x f x +->- 即()()22l l n n 3342ln 33m a a a ->-+-+对任意32a -<<-恒成立， 即243m a<-+对任意32a -<<-恒成立， 由于当32a -<<-时，132384339a -<-+<-，∴133m ≤-.考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的极值；3.利用导数求函数的最值；4.不等式的性质.是。
北京101中学2019高三下开学检测--数学(理)
北京101中学2019高三下开学检测--数学（理）数学〔理科〕试题本试卷共4页，分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分.共150分.考试时间120分钟.第一卷〔选择题 共60分〕本卷须知1.答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用像皮擦干净后，再改涂其它答案标号.【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.全集合2{|log ,1}U y y x x ==>，集合1{|,3}P y y x x==>，那么P 等于 A.1[,)3+∞ B.1(0,)3C.(0,)+∞D.1(,0][,)3-∞+∞ A.20,0x x x ∃>-> B.20,0x x x ∃≤-> C.20,0x x x ∀<-> D.20,0x x x ∀≤->3.函数121y x =-的图象关于x 轴对称的图象大致是4.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为 A.12B.13 C.14D.165.函数231,1()||,1,x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩假设((0))4f f <，那么a 的取值范围是 A.〔-6，-4〕B.〔-4，0〕C.〔-4，4〕D.〔0，34〕 6.假设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且8320S S -=，那么11S 的值为A.44B.22C.2203D.887.圆22240x y x my +-+-=上两点M 、N 关于直线20x y +=对称，那么圆的半径为 A.9B.3C.D.28.关于x 、y 的不等式组044040x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，所表示的平面区域的面积为16，那么k 的值为A.-1B.0C.1D.39.函数()(xf x e x e =-为自然对数的底数〕在区间[-1，1]上的最大值是 A.11e+B.1C.1e +D.1e -10.点P 是抛物线28y x =-上一点，设P 到此抛物线准线的距离是1d ，到直线100x y +-=的距离是2d ，那么12d d +的最小值是B.D.311.偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且在[0,1]x ∈时，()1f x x =-，那么关于x 的方程1()()9xf x =，在[0,3]x ∈上解的个数是A.1B.2C.3D.412.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如下图的坐标系，设秒针尖位置(,)P x y .假设初始位置为01)2P ，当秒针从0P 〔注此时0t =〕正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为A.ππsin()306y t =+B.ππsin()606y t =--C.ππsin()306y t =-+D.ππsin()303y t =-- 第二卷〔非选择题共90分〕本卷须知1.将第二卷答案用0.5mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.【二】填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分.13.向量a ，b 满足|a|=2，|b|=1，a 与b 的夹角为60，那么|a-2b|等于.14.关于x 的一次函数y=mx+n.设集合P={-2，1，3}和Q={-1，-2，3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，那么函数y=mx+n 的图象不经过第二象限的概率是.15.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，焦距为2c ，且223a c =,双曲线上一点P 满足1212(PF PF F =、2F 为左、右焦点〕，那么12||||PF PF =. 16.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出以下四个命题. ①假设,,m n m n αα⊥⊥⊄，那么n ∥α； ②假设αβ⊥，m αβ=，n m ⊥，那么n α⊥或n β⊥；③假设m β⊥，αβ⊥，那么m ∥α； ④假设,,m n m n αβ⊥⊥⊥，那么αβ⊥.其中正确命题的序号是〔把所有正确命题的序号都填上〕.【三】解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.〔本小题总分值12分〕函数cos2()πsin()4xf x x =-.〔Ⅰ〕化简函数()f x 的解析式，并求其定义域和单调区间； 〔Ⅱ〕假设4()3f α=，求sin2α的值. 18.〔本小题总分值12分〕如下图，直角梯形ACDE 与等腰直角ABC 所在平面互相垂直，F 为BC 的中点，90BAC ACD ∠=∠=,AE ∥CD,22DC AC AE ===.〔Ⅰ〕求证：AF ∥平面BDE ；〔Ⅱ〕求二面角B DE C --的余弦值. 19.〔本小题总分值12分〕设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，122(n n a S n +=+∈N *〕.〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这n+2个数组成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和n T .20.〔本小题总分值12分〕某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：①原材料费每件50元；②职工工资支出7500+20x 元；③电力与机器保养等费用为230600x x -+元.其中x 是该厂生产这种产品的总件数.〔Ⅰ〕把每件产品的成本费()P x (元)表示成产品件数x 的函数，并求每件产品的最低成本费；〔Ⅱ〕如果该厂生产的这种产品的数量x 不超过170件且能全部销售，根据市场调查，每件产品的销售价为()Q x 〔元〕，且21()124030Q x x =-.试问生产多少件产品，总利润最高？并求出最高总利润.〔总利润=总销售额-总的成本〕 21.〔本小题总分值12分〕如图，椭圆G 的中心在坐标原点，其中一个焦点为圆22:20F x y x +-=的圆心，右顶点是圆F 与x 轴的一个交点.椭圆G 与直线:10l x my --=相交于A 、B 两点. 〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕求AOB 面积的最大值； 22.〔本小题总分值14分〕定义在实数集上的函数(),nn f x x n =∈N *，其导函数记为()n f x '，且满足222121221()()[(1)]f x f x f ax a x x x -'+-=-，其中a 、1x 、2x 为常数，12x x ≠.设函数()g x = 123()()ln (),(f x mf x f x m +-∈R 且0)m ≠.〔Ⅰ〕求实数a 的值；〔Ⅱ〕假设函数()g x 无极值点，其导函数()g x '有零点，求m 的值； 〔Ⅲ〕求函数()g x 在[0,]x a ∈的图象上任一点处的切线斜率k 的最大值.参考答案及评分标准【一】选择题〔每题5分，共60分〕 ADBABABCDCDC【二】填空题〔每题4分，共16分〕 13.214.4915.416.①④ 【三】解答题：本大题共6小题，共74分. 17.〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕22cos sin()ππsin cos cos sin44x xf xx x-=-, (2)分πcos)2sin()4x x x==+=+，…………………………4分由题意πsin()04x-≠，∴ππ(4x k k-≠∈Z〕，其定义域为π{|π,4x x k k≠+∈Z}.………………………………………………………………6分函数()f x在3ππ(2π,2π)44k k k-+∈Z上单调递增；……………………………………………7分在π5(2π,2ππ)44k k k++∈Z上单调递减.………………………………………………………8分〔Ⅱ〕∵4()cos)3fααα=+=，∴sin cos3αα+=,…………………………10分∴281sin2(sin cos)1199ααα=+-=-=-.…………………………………………………12分18.〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕取BD的中点P，连结EP、FP，那么PF12DC，又∵EA12DC，∴EA PF，……………………2分∴四边形AFPE是平行四边形，∴AF∥EP，又∵EP⊂面,BDE AF⊄平面BDE，∴AF∥面BDE.…………………………………………4分〔Ⅱ〕以CA、CD所在直线分别作为x轴，z轴，以过C点和AB平行的直线作为y轴，建立如下图坐标系.…………………5分由22DC AC AE===可得：A〔2，0，0，〕，B〔2，2，0〕，E〔2，0，1〕，D〔0，0，2〕那么(A B== (6)分∵面ACDE⊥面ABC，面ACDE面,ABC AC AB AC=⊥，∴AB⊥面.ACDE∴(0,2,0)AB =是面CDE 的一个法向量.………………………………………………………8分设面BDE 的一个法向量n=(x,y,z),那么n BE ⊥，n BD ⊥.∴00,BE BD ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即202220,y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩整理，得200.y z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1y =，那么2,1,z x ==所以n=(1,1,2)是面CDE 的一个法向量.………………………………………………………10分故cos ,6||||AB AB AB 〈〉===n nn . 图形可知二面角B DE C --的平面角π(0,)2θ∈，所以其余弦值为6.……………………12分19.〔本小题总分值12分〕 解：〔Ⅰ〕由122(n n a S n +=+∈Z *〕得122(n n a S n -=+∈Z *，2n ≥〕， (2)分两式相减得：12n n n a a a +-=，……………………………………………………………………4分即13(n n a a n +=∈Z *，2n ≥〕，又2122,a a =+∵{}n a 是等比数列，所以213a a =那么11223a a +=，∴12a =，∴123n n a -=.………………………………………………………………………………………6分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知123n n a +=，123n n a -=∵1(1)n n n a a n d +=++∴1431n n d n -⨯=+，……………………………………………………………………………………8分 令123111n T d d d =+++…1nd +，那么012233434343n T =+++⨯ (1)143n n -++① 1212234343n T =++ (11)4343n nn n -+++②…………………………………………………10分①-②得01222113434343n T =+++ (111)4343n nn -++-111(1)111525331244388313n n nn n --++=+⨯-=--……………………………………………………12分20.〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕2750020306008100()5040x x x P x x x x x+-+=++=++，……………………3分由基本不等式得()40220P x ≥=，………………………………………………5分当且仅当8100x x =，即90x =时，等号成立 ∴8100()40P x x x=++，每件产品的成本最小值为220元.…………………………………6分〔Ⅱ〕设总利润为()y f x =元，那么321()()()12008100,30y f x xQ x xP x x x x ==-=--+-…………………………………8分22111()21200(2012000)(100)(120)101010f x x x x x x x '=--+=-+-=--+， 那么当0100x <<时，()0f x '>，当100x >时，()0f x '<，∴()f x 在〔0，100〕单调递增，在〔100，170〕单调递减，………………………………11分∴当100x =时，3max 1205700(100)(100)100001200008100303y f ==--+-=， 故生产100件产品时，总利润最高，最高总利润为2057003元.………………………………12分21.〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>.圆F 的标准方程为22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)F ，圆与x 轴的交点为〔0，0〕和〔2，0〕.………………………………………………2分由题意2a =，半焦距1c =.∴222413b a c =-=-=. ∴椭圆方程为22143x y +=.…………………………………………………………………………4分 〔Ⅱ〕设1122(,),(,)A x y B x y 由2214310x y x my ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩得22(34)690m y my ++-=. ∴12122269,3434m y y y y m m --+==++.……………………………………………………………6分12||y y -==121||||2AOBSOF y y =-=.…………………………………………………………8分t =，那么221,1,t m t ≥=-∴2631AOBtSt =+22222226(31)(6)6(13)(31)(31)AOBt t t S t t +--'==++.…………………………………………………………10分∵1t ≥，∴0AOB S '<.∴AOBS 在[1,)t ∈+∞上是减函数，∴当1t =时，AOB S取得最大值，最大值为32.………………………………………………12分22.〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕因为222(),()2f x x f x x '==，所以222112212[(1)]x x ax a x x x -+-=-，整理得：12()(21)0,x x a --=又12x x ≠，所以12a =.……………………………………………………………………………3分〔Ⅱ〕因为23123(),(),()f x x f x x f x x ===，所以2()g x =+.………………………………………………………………4分由条件23230,()21mx x x g x mx x x+-'>=-+=.……………………………………………5分因为()g x '有零点而()g x 无极值点,说明该零点左右()g x '同号，又0m ≠，所以二次方程2230mx x +-=有相同实根，即1240,m ∆=+=解得124m =-.………………………………………………………………………………………8分〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕知，2133,()21,22a k g x mx k m x x ''===-+=+，因为1(0,]2x ∈，所以23x ∈[12，+∞]，所以①当60m -≤<或0m >时，0k '≥恒成立，所以()k g x '=在〔0，12]上递增， 故当12x =时，k 取得最大值，且最大值为5m -，……………………………………………10分②当6m <-时，由0k '=得x =，而102<<.假设x ∈，那么0k '>，k 单调递增；假设1]2x ∈，那么0k '<，k 单调递减.故当x =时，k 取得最大值，且最大值等于223113m -+=- (13)分综上，max 5,(600)16)m m m k m --≤<>⎧⎪=⎨-<-⎪⎩或 (14)分。
北京市海淀区2016届高三第二学期期中练习数学理试题带答案
海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（理科） 2016.4本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．函数()21x f x =-的定义域为A ．［0，＋∞）B ．［1，＋∞）C ．（－∞，0］D ．（－∞，1］ 2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为 A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为A ．52 B ．3 C ．72D ．44．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为 A ．33 B ．32 C ．233 D ．2635．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ． 2 7．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ==8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知向量(1,),(,9)a t b t == ，若a b，则t ＝ _______．10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b-=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个．（ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）．（ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝ _______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13 分） 如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β． （Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα= ； （Ⅱ）若,,1962AB ππαβ===，求BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推 广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法 上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中 分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4 株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据， 试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求 随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面P AB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内； （Ⅲ）当P A ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分） 已知函数f (x ) ＝ln x ＋1x －1，1()ln x g x x-= （Ⅰ）求函数 f (x )的最小值；（Ⅱ）求函数g (x )的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g (x )的切线。
北京海淀101中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题(含精品解析)
）2=
＜
=1，故④正确；
⑤若 a＞b， ＞ ⇔ ﹣ ＞0⇔ ＞0⇔ ＜0，则 ab＜0，所以 a＞0，b＜0，故⑤正确；
⑥正数 x，y 满足 + =1，则 x+2y=（x+2y）（ + ）=1+2+ + ≥3+2 ，故其最小值为 3+2 ，故⑥错 误．
综上所述，正确命题的序号是：②③④⑤，
故答案为：②③④⑤．
点睛：本题考查了等差数列的性质，考查了三角函数的化简与求值，训练了对数的运算性质，是中低档 题．
14. 给出下列命题：①若
，则 ；②若 ， ，则
；③若
，则
；④
；⑤若 ， ，则 ， ；⑥正数 ， 满足
为 ．其中正确命题的序号是__________．
，则
【答案】②③④⑤
【解析】分析：利用不等式的性质与基本不等式对①②③④⑤⑥逐项判断即可．
∴
.
点睛：（I）当已知条件中含有 sn 时，一般会用结论
来求通项，一般有两种类型：
①所给的 sn=f（n），则利用此结论可直接求得 n＞1 时数列{an}的通项，但要注意检验 n=1 是否适合②所给
的 sn 是含有 an 的关系式时，则利用此结论得到的是一个关于 an 的递推关系，再用求通项的方法进行求
∴数列{an}的前 9 项之和 故答案为 99. 点睛：本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质与前 n 项和公式是解决问题的关键，属于中档题．
10. 已知 ，函数 【答案】5
的最小值是__________．
【解析】分析：由 ，函数
=
-1+1，然后由基本不等式即可求得最小值.
详解：由题可得：
北京市海淀101中学2016-2017学年高一数学下学期期中试卷及答案【word版】.doc
北京101中学2016-2017学年下学期高一年级期中考试数学试卷（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共8小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．在ABC △中，4a =，60A =︒，45B =︒，则边b 的值为（）．A ．364 B ．2+ C ． D ．1【答案】A【解析】根据正弦定理sin sin a b A B =，可得4sin60sin 45b=︒︒，∴4sin 45sin 60b ︒==︒， ∴A 项正确．2．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于（）．A ．9B ．3C ．3-D ．6-【答案】D【解析】∵1a ，3a ，4a 成等比数列， 所以有214b a a a =⋅，21(2)a d ⇒+，11(3)a a d =+， 1a d ⇒⋅，24d =-，又∵2d =，∴18a =-， ∴2826a =-+=-， 故选D ．3．下列结论正确的是（）．A ．若ac bc <，则a b <B ．若22a b <，则a b <C ．若a b >，0c <，则ac bc <D ，则a b >【答案】C【解析】对于A ，若0c <，不成立， 对于B ，若a ，b 均小于0或0b <，不成立，对于D ，其中0a ≥，0b >，平方后有a b <，不成立， 故选C ．4．已知13a -≤≤，24b ≤≤，则2a b -的取值范围是（）．A ．[]6,4-B ．[]0,10C ．[]4,2-D ．[]5,1-【答案】A【解析】∵[1,3]a ∈-，∴2[2,6]a ∈-， ∵[2,4]b ∈，∴[4,2]b -∈--， 则2[6,4]a b -∈-， 故选A ．5．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2b ac =，且2c a =，则cos B =（）．A ．41B ．43C ．42 D ．32 【答案】B【解析】将2c a =代入得：222b ac a ==，即b =，∴2222222423cos 244a cb a a a B ac a +-+-===， 故选B ．6．若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列三个函数：1si c )s (n o f x x x =+，2()f x x =3()sin f x x =，则（）．A ．1()f x ，2()f x ，3()f x 为“同形”函数B ．1()f x ，2()f x 为“同形”函数，且它们与3()f x 不为“同形”函数C ．1()f x ，3()f x 为“同形”函数，且它们与2()f x 不为“同形”函数D ．2()f x ，3()f x 为“同形”函数，且它们与1()f x 不为“同形”函数 【答案】B【解析】∵1()sin cos f x x x =+，π4x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2()f x x =+ 3()sin f x x =，则1()f x ，2()f x 为“同形”函数，且它们与3()f x 不为“同形”函数， 选B ．7．已知函数21()(2cos 1)sin2cos42f x x x x =-+，若π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且()f α=α的值是（）．A ．5π8B ．11π16C ．9π16D ．7π8【答案】C【解析】1()cos2sin 2cos42f x x x x =+，11sin 4cos422x x =+， 1(sin 4cos4)2x x =+，π44x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴π9174π,π444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，若()f α=ππ42π()42x k k +=+∈Z ，ππ162kα=+，当1k =时，9π16α=， 故选C ．8．已知(1,1)1f =，(,)(,)f m n m n ∈∈N N **，且对任意m ，n ∈N *都有： ①(,1)(,)2f m n f m n +=+；②(1,1)2(,1)f m f m +=．以下三个结论：①(1,5)9f =；②(5,1)16f =；③(5,6)26f =． 其中正确的个数为（）．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】∵(,1)(,)2f m n f m n +=+，(1,1)1f =， ∴{}(,)f m n 是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴(1,)21f n n =-． 又∵(1,1)2(,1)f m f m +=，∴{}(,1)f m 是以1为首项2为公比的等比数列， ∴(,1)21f n n =-，∴(,1)2?12f m n m n +=-+． 由(1,5)2519f =⨯-=，故（1）正确． 由(5,1)2416f ==，故（2）正确． 由(5,6)242626f =+⨯=，故（3）正确． 故答案为3．二、填空题共6小题．9．在等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则前9项之和9S =__________．【答案】99【解析】在等差数列中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，∴413a =，69a =，∴4622a a +=，又4619a a a a +=+， ∴数列{}n a 的前9项之和199()92a a S +⨯=， 2292⨯=， 99=．10．已知1x >，函数41y x x =+-的最小值是__________． 【答案】5 【解析】∵1x >， ∴41y x x =+-，411151x x =+-+=-≥， 当且仅当3x =时，“=”成立，故最小值为5．11．计算：1111133557(21)(21)n n ++++=⨯⨯⨯-+L __________． 【答案】21n n + 【解析】原式111111123352121n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭L 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21nn =+．12．在等比数列{}n a 中，12a =-，454a =-，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________． 【答案】13n -【解析】∵14254a a =-⎧⎨=-⎩，∴327q =+，即3q =+， ∴12(3)n n a -=⨯+，∵1(1)1n n a q S q-=-，2(13)13n --=-，13n =-．13．在ABC △中，若lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，且三个内角A ，B ，C 也成等差数列，则ABC △的形状为__________． 【答案】等边三角形【解析】∵lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列， 得lgsin lgsin 2lgsin A C B +=，即2sin sin sin B A B =①， 又三内角A 、B 、C 也成等差数列， ∴60B =︒，代入①得3sin sin 4A B =②， 设60A α=︒-，60B α=︒+， 代入②得3sin(60)sin(60)4αα︒+︒-=，22313cos sin 444αα⇒-=， 即2cos 1α=， ∴0α=︒， ∴60A B C ===︒， ∴为等边三角形．14．给出下列命题：①若0a b <<，则11ab<；②若0a >，0b >，则2a b aba b++；③若0a b <<，则22a ab b >>；④lg9lg111⋅<；⑤若a b >，11ab>，则0a >，0b <；⑥正数x ，y 满足111x y +=，则2x y +的最小值为6．其中正确命题的序号是__________．【答案】②③④⑤【解析】①令2a =-，1b =-，112a=-，11b=-，11a b>，不符合． ②若0a >，0b >，则2a b+（当且仅当a b =时，取等号），11ab a b =-+⎭，00=>≥， ∴aba b+，综上，2a b aba b ++． ③若0a b <<，则20a ab >>，20ab b >>， 因此，22a ab b >>，故③正确．④2lg9lg11lg9lg112+⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭， 22lg99lg100122⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故④正确．⑤若a b >，111100b aababab->⇔->⇔>， ∴0a bab-<，则0ab <， ∴0a >，0b <， ⑤正确．⑥正数x ，y 满足111x y +=，则112(2)x y x y x y⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，2123y xx y=++++≥， ⑥错，∴②③④⑤正确．三、解答题（共5小题，分值分别为8分、8分、10分、12分、12分，共50分）15．在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且c 105A =︒，30C =︒．求：（1）b 的值． （2）ABC △的面积． 【答案】（1）2（2【解析】（1）∵105A =︒，30C =︒，∴45B =︒，又C =1sin 2C =，∴由正弦定理sin sin b c B C =得：sin 221sin 2C Bb C===．（2）2b =，c =sin sin105A =︒，sin(6045)=︒+︒，sin60cos45cos60sin45=︒︒+︒︒，=∴1sin 2ABC S bc A =△，122=⨯，16．某工厂生产的某种产品，当年产量在150吨至250吨之间时，年生产总成本y （万元）与年产量x （吨）之间的关系可近似地表示成230400010x x y +=-，问年产量为多少时，每吨的平均成本最低？并求出该最低成本．【答案】年产量为200吨时，每吨的平均成本最低，最低为10万元． 【解析】设每吨的平均成本W （万元/t ），则400030301010y x W x x ==+-=≥， 当且仅当400010x x=，200x =（t ）的每吨平均成本最低，且最低成本为10万元．17．已知函数ππ()sin 2sin 2cos 266f x x x x a ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（a ∈R ，a 为常数）．（1）求函数的最小正周期． （2）求函数的单调递减区间．（3）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为2-，求a 的值．【答案】见解析【解析】（1）ππ()2sin 2cos cos 22cos 22sin 266f x x x a x x a x a ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==． （2）单调递减区间为2ππ,π()63k k k π⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ． （3）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当π7π266x +=即π2x =时，()f x 取得最小值．所以ππ2sin 2226a ⎛⎫⋅++=- ⎪⎝⎭，所以1a =-．18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n S n =，数列{}n b 为等比数列，且11a b =，2211()b a a b -=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式．（2）设nn nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）42n a n =-，1124n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）565499nn n T -=+【解析】19．已知点(,)()n n a n ∈N *在函数()22f x x =--的图象上，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n T 是6n S 与8n 的等差中项．（1）求数列{}n b 的通项公式．（2）设83n n c b n =++，数列{}n d 满足11d c =，()nn l d c n d +∈=N *．求数列{}n d 的前n 项和n D ．（3）在（2）的条件下，设()g x 是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数1x ，2x ，恒有121221()()()g x x x g x x g x =+成立，且(2)g a =（a 为常数，0a ≠），试判断数列121n n d g d ⎧+⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎬+⎪⎪⎪⎪⎩⎭是否为等差数列，并说明理由． 【答案】见解析【解析】（1）依题意得22n a n =--，故14a =-． 又268n n T S n =+，即34n n T S n =+，所以，当2n ≥时，113()43462n n n n n n b T T S S a n --=-=-+=+=--． 又111134348b T S a ==+=+=-也适合上式， 故62n b n =--．（2）因为83628321n n c b n n n n =++=--++=+，121n n d n d c d +==+，因此112(1)(*)n n d d n ++=+∈N ．由于113d c ==，所以{}1n d +是首项为114d +=，公比为2的等比数列． 所以111422n n n d -++=⨯=，所以121n n d +=-．所以23124(21)2222421n n n n D n n n ++-=++⋯+-=-=---（）． （3）方法一：111(2)2(2)2(2)2n n n n d g g g g --+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 则111111111(2)2(2)2(2)(2)221224241n n n n n n n n n n n d d g g g g g a g a d d ----++-++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===+=+++．所以111122114n n n n d d g g a d d --++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=++．因为已知a为常数，则数列121nndgd⎧+⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎬+⎪⎪⎪⎪⎩⎭是等差数列．方法二：因为121221()()()g x x x g x x g x=+成立，且(2)g a=，所以111(2)2(2)2(2)2n n nndg g g g--+⎛⎫==+⎪⎝⎭，1221222(2)22(2)2(2)22(2)2(2)n n n n ng g g g g-----⎡⎤=++=⨯+⎣⎦，123313322(2)22(2)2(2)32(2)2(2) n n n n ng g g g g-----⎡⎤⎣⎦=⨯++=⨯+，1111(1)2(2)2(2)2(2)2n n n nn g g n g an----==-⨯+=⋅=⋅L，所以11122124nnnndgan and-++⎛⎫⎪⋅⎝⎭==+．所以数列121nndgd⎧+⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎬+⎪⎪⎪⎪⎩⎭是等差数列．。
北京101中学2014届下学期高三年级第一次月考数学试卷(理科) 后有答案
北京101中学2014届下学期高三年级第一次月考数学试卷（理科）一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 如果等差数列{}n a 中，56715++=a a a ，那么349+++a a a 等于（ ）A. 21B. 30C. 35D. 402. 要得到函数sin(32)=-y x 的图象，只要将函数sin 3=y x 的图象（ ） A. 向右平移2个单位B. 向左平移2个单位C. 向左平移23个单位 D. 向右平移23个单位 3. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若m ∥,n α∥,βα∥β，则m ∥n B. 若m ⊥,n α⊥,βα⊥β，则m ⊥n C. 若m ⊥,,⊂n m αβ⊥n ，则α⊥β D. 若,,⊂⊂m n m αα∥,n β∥β，则α∥β 4. 已知34(,),cos 25∈=-αππα，则tan()4-πα等于（ ） A. 7B.17C. 17-D. －75. 函数sin =y x x 在[,]-ππ上的图象是（ ）A. B.C. D.6. 条件:2<-p a ；条件q ：函数()3=+f x ax 在区间[1,2]-上存在0x ，使得0()0=f x 成立。
则p 是q 的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件7. 已知A ，B ，C ，D 是平面内不共线的四点，若存在正实数12,λλ，使得12++DA DB DC λλ＝0，则∠ADB ，∠BDC ，∠ADC （ ） A. 都是锐角B. 至多有两个钝角C. 恰有两个钝角D. 至少有两个钝角8. 已知满足条件221+≤x y 的点（,x y ）构成的平面区域的面积为S 1，满足条件22[][]1+≤x y 的点（,x y ）构成的平面区域的面积为S 2（其中[],[]x y 分别表示不大于,x y的最大整数），则点（12,S S ）一定在（ ）A. 直线=y x 右下方的区域内B. 直线=y x 上C. 直线=y x 左上方的区域内D. 直线7+=x y 左下方的区域内二、填空题：共6小题。
2018-2019学年北京市101中学高三(下)5月月考数学试卷(文科)
2018-2019学年北京市101中学高三（下）5月月考数学试卷（文科）试题数：20.满分：1501.（单选题.5分）集合A={x|-1≤x≤2}.B={x|x＜1}.则A∩（∁R B）=（）A.{x|x＞1}B.{x|x≥1}C.{x|1＜x≤2}D.{x|1≤x≤2}2.（单选题.5分）复数i1+3i的共轭复数的虚部为（）A. 110B. 310C. −110D. −3103.（单选题.5分）已知双曲线C：x2a2 - y2b2=1（a＞0.b＞0）的离心率为√5 .则C的渐近线方程为（）A.y=±2xB.y=± 12xC.y=± 13xD.y=± 14x4.（单选题.5分）若tan（α-β）=3.tanβ=2.则tanα=（）A. 17B. −17C.1D.-15.（单选题.5分）几何体的三视图如图所示.该几何体的体积为（）A.729B.428C.356D.2436.（单选题.5分）已知直线l1：3x+y-6=0与圆心为M（0.1）.半径为√5的圆相交于A.B两点.另一直线l2：2kx+2y-3k-3=0与圆M交于C.D两点.则四边形ACBD面积的最大值为（）A. 5√2B. 10√2C. 5(√2+1)D. 5(√2−1)7.（单选题.5分）定义域R的奇函数f（x）.当x∈（-∞.0）时f（x）+xf′（x）＜0恒成立.若a=3f（3）.b=f（1）.c=-2f（-2）.则（）A.a＞c＞bB.c＞b＞aC.c＞a＞bD.a＞b＞c8.（单选题.5分）如图.方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形．每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上.且分边长为3：4．现用13米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网.若最外边的正方形边长为1米.由外到内顺序制作.则完整的正方形的个数最多为（参考数据：≈0.15）（）lg75A.6个B.7个C.8个D.9个9.（填空题.5分）已知平面向量a⃗ . b⃗⃗ .| a⃗ |=1.| b⃗⃗ |=2. a⃗• b⃗⃗ =1.则向量a⃗ . b⃗⃗的夹角为___ ．10.（填空题.5分）若x.y满足约束条件{2≤x≤4，y≥3，x+y≤8，则z=y-x的最小值为___ ．11.（填空题.5分）1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数.如果它是奇数.对它乘3再加1.如果它是偶数.对它除以2.这样循环.最终结果都能得到1．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图.则① 处应填写的条件及输出的结果i分别为___12.（填空题.5分）已知定义在R上的函数y=f（x）-2是奇函数.且满足f（-l）=1.则f（0）+f（1）=___ ．13.（填空题.5分）已知三棱锥D-ABC的体积为2.△ABC是等腰直角三角形.其斜边AC=2.且三棱锥D-ABC的外接球的球心O恰好是AD的中点.则球O的体积为___ ．14.（填空题.5分）若函数f（x）=-x2（x2+ax+b）的图象关于直线x=-1对称.则f（x）的最大值是___15.（问答题.13分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2（n∈N*）.数列{b n}为等比数列.且满足b1=a1.2b3=b4（1）求数列{a n}.{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和．16.（问答题.13分）已知△ABC的三个内角△ABC所对的边分别为a.b.c.向量m⃗⃗⃗ =（2.1）. n⃗⃗=(2cos2A2，−cos2A+1) .且m⃗⃗⃗⋅n⃗⃗=92．（1）求角A的大小；（2）若BC= √3 .试求△ABC面积的最大值及此时△ABC的形状．17.（问答题.13分）如图.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD是平行四边形.∠BCD=120°.侧面PAB⊥底面ABCD.∠BAP=90°.AB=AC=PA=2．（I）求证：面PBD⊥面PAC；（Ⅱ）过AC的平面交PD于点M.若平面AMC把四面体P-ACD分成体积相等的两部分.求三棱锥M-PAB的体积．18.（问答题.13分）某厂有4台大型机器.在一个月中.一台机器至多出现1次故障.且每台机器是否出现故障是相互独立的.出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为13．（1）问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？（2）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力.每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修.就使该厂产生5万元的利润.否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值．19.（问答题.14分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点为F（1.0）.离心率为12．A为椭圆C的左顶点.P.Q为椭圆C上异于A的两个动点.直线AP.AQ与直线l：x=4分别交于M.N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；.求M的坐标；（Ⅱ）若△PAF与△PMF的面积之比为15（Ⅲ）设直线l与x轴交于点R.若P.F.Q三点共线.求证：∠MFR=∠FNR．20.（问答题.14分）设函数f（x）=（2a+lnx）x+lnx（a∈R）．（1）证明：过点（0.-2）的直线中有且只有一条与曲线y=f（x）相切；（2）若0＜x＜1.f（x）＜2a.求a的取值范围．2018-2019学年北京市101中学高三（下）5月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析试题数：20.满分：1501.（单选题.5分）集合A={x|-1≤x≤2}.B={x|x＜1}.则A∩（∁R B）=（）A.{x|x＞1}B.{x|x≥1}C.{x|1＜x≤2}D.{x|1≤x≤2}【正确答案】：D【解析】：由集合B.求出集合B的补集.然后求出集合A和集合B补集的交集即可．【解答】：解：由B={x|x＜1}.得到∁R B={x|x≥1}.又集合A={x|-1≤x≤2}.则A∩（∁R B）={x|1≤x≤2}．故选：D．【点评】：此题考查学生会进行补集及交集的运算.是一道基础题．学生在求补集时注意全集的范围．2.（单选题.5分）复数i1+3i的共轭复数的虚部为（）A. 110B. 310C. −110D. −310【正确答案】：C【解析】：先求出复数i1+3i 的代数形式.即可得到i1+3i的共轭复数的虚部【解答】：解：设z= i1+3i = i•(1−3i)(1+3i)(1−3i)= 3+i10= 310+110i .所以z的共轭复数的虚部为- 110.故选：C．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算.考查了共轭复数的概念.是基础题．3.（单选题.5分）已知双曲线C：x2a2 - y2b2=1（a＞0.b＞0）的离心率为√5 .则C的渐近线方程为（）A.y=±2xB.y=± 12xC.y=± 13xD.y=± 14x【正确答案】：A【解析】：根据离心率公式e= ca.求出a.b的关系.继而得到渐近线方程．【解答】：解：因为双曲线的离心率公式e= ca = √1+b2a2= √5 .∴ ba=±2.∵双曲线的渐近线方程为：x2a2 - y2b2=0．∴y=± bax.∴y=±2x.故选：A．【点评】：本题考查双曲线的简单性质.求得ab是关键.考查分析、运算能力.属于中档题．4.（单选题.5分）若tan（α-β）=3.tanβ=2.则tanα=（）A. 17B. −17C.1D.-1【正确答案】：D【解析】：tan（α-β）= tanα−21+2tanα=3.解方程即可．【解答】：解：∵tanβ=2.tan（α-β）=3.=3.∴tan（α-β）= tanα−21+2tanα∴tanα=-1．故选：D．【点评】：本题考查了两角差的正切公式.属基础题．5.（单选题.5分）几何体的三视图如图所示.该几何体的体积为（）A.729B.428C.356D.243【正确答案】：D【解析】：判断几何体的形状.利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】：解：几何体的直观图如图.是正方体的一部分.四棱锥P-ABCD；×9×9×9 =243．几何体的体积为：13故选：D．【点评】：本题考查三视图求解几何体的体积.判断几何体的形状是解题的关键．6.（单选题.5分）已知直线l1：3x+y-6=0与圆心为M（0.1）.半径为√5的圆相交于A.B两点.另一直线l2：2kx+2y-3k-3=0与圆M交于C.D两点.则四边形ACBD面积的最大值为（）B. 10√2C. 5(√2+1)D. 5(√2−1)【正确答案】：A【解析】：由已知写出圆的方程.联立直线方程与圆方程.求出A.B 的坐标.可知动直线过AB 的中点.则当CD 为圆的直径时四边形ACBD 面积最大.代入四边形ACBD 面积公式求解即可．【解答】：解：以M （0.1）为圆心.半径为 √5 的圆的方程为x 2+（y-1）2=5.联立 {3x +y −6=0x 2+(y −1)2=5.解得A （2.0）.B （1.3）. ∴AB 中点为（ 32 . 32 ）．而直线l 2：2kx+2y-3k-3=0恒过定点（ 32 . 32 ）.∴|AB|= √(2−1)2+(0−3)2=√10 ．∴四边形ACBD 的面积最大值为： S =12×√10×2√5=5√2 ．故选：A ．【点评】：本题考查直线与圆位置关系的应用.考查数形结合的解题思想方法.是中档题．7.（单选题.5分）定义域R 的奇函数f （x ）.当x∈（-∞.0）时f （x ）+xf′（x ）＜0恒成立.若a=3f （3）.b=f （1）.c=-2f （-2）.则（ ）A.a ＞c ＞bB.c ＞b ＞aD.a ＞b ＞c【正确答案】：A【解析】：先构造函数g （x ）=xf （x ）.依题意得g （x ）是偶函数.且g'（x ）＜0恒成立.从而故g （x ）在x∈（-∞.0）单调递减.根据偶函数的对称性得出g （x ）在（0.+∞）上递增.即可比较a.b.c 的大小．【解答】：解：设g （x ）=xf （x ）.依题意得g （x ）是偶函数.当x∈（-∞.0）时.f （x ）+xf'（x ）＜0.即g'（x ）＜0恒成立.故g （x ）在x∈（-∞.0）单调递减.则g （x ）在（0.+∞）上递增.又a=3f （3）=g （3）.b=f （1）=g （1）.c=-2f （-2）=g （-2）=g （2）.故a ＞c ＞b ．故选：A ．【点评】：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、利用导数研究函数的单调性等基础知识.考查运算求解能力.考查化归与转化思想．属于中档题．8.（单选题.5分）如图.方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形．每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上.且分边长为3：4．现用13米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网.若最外边的正方形边长为1米.由外到内顺序制作.则完整的正方形的个数最多为（参考数据： lg 75≈0.15 ）（ ）A.6个B.7个C.8个D.9个【正确答案】：B【解析】：设正方形的边长为a.其内接小正方形的边长为b.则b= √(37a)2+(47a)2 = 57a .故每个小正方形的周长为其外接正方形周长的 57 .即正方形的周长从外到内成以4为首项.以 57 为公比的等比数列.设其前n 项和为S n .则S n =4(1−(57)n )1−57 ≤13.解不等式即可．【解答】：解：依题意.设正方形的边长为a.其内接小正方形的边长为b.则b= √(37a)2+(47a)2= 57a .故每个小正方形的周长为其外接正方形周长的 57 .即正方形的周长从外到内成以4为首项.以 57 为公比的等比数列.设为{a n }.其前n 项和为S n . 则S n =4(1−(57)n )1−57≤13.所以114≤(57)n ⇒n≤ lg 114lg57⇒n≤ lg14lg 75⇒ n ≤lg2+lg7lg 75⇒n≤1−lg5+lg7lg 75⇒n≤1+lg75lg 75.将 lg 75≈0.15 代入得n≤7.66.所以完整的正方形的个数最多为7个． 故选：B ．【点评】：本题考查了等比数列及其前n 项和.对数运算．难点在对数的运算．本题属于中档题．9.（填空题.5分）已知平面向量 a ⃗ . b ⃗⃗ .| a ⃗ |=1.| b ⃗⃗ |=2. a ⃗ • b ⃗⃗ =1.则向量 a ⃗ . b ⃗⃗ 的夹角为___ ． 【正确答案】：[1] π3【解析】：直接利用向量的数量积列出方程求解即可．【解答】：解：设向量 a ⃗ . b ⃗⃗ 的夹角为θ. 平面向量 a ⃗ . b ⃗⃗ .| a ⃗ |=1.| b ⃗⃗ |=2. a ⃗ • b ⃗⃗ =1. 可得1×2×cosθ=1.可得cos θ=12. 所以θ= π3 ． 故答案为： π3 ．【点评】：本题考查向量的数量积的应用.向量的夹角的求法.是基本知识的考查．10.（填空题.5分）若x.y 满足约束条件 {2≤x ≤4，y ≥3，x +y ≤8，则z=y-x 的最小值为___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：由约束条件证出可行域.化目标函数为直线方程的斜截式.数形结合得到最优解.联立方程组求出最优解的坐标.代入目标函数得答案．【解答】：解：由x.y 满足约束条件 {2≤x ≤4，y ≥3，x +y ≤8，作出可行域如图.由图形可知A （4.3）. 由z=y-x 得.y=x+z.由图可知.当直线y=x+z 过点A （4.3）时.直线在y 轴上的截距最小.z 有最小值为3-4=-1． 故答案为：-1．【点评】：本题考查了简单的线性规划.考查了数形结合的解题思想方法.是中档题． 11.（填空题.5分）1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数.如果它是奇数.对它乘3再加1.如果它是偶数.对它除以2.这样循环.最终结果都能得到1．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图.则 ① 处应填写的条件及输出的结果i 分别为___【正确答案】：[1]a 是奇数？；7【解析】：由该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值.模拟程序的运行过程.分析循环中各变量值的变化情况可得答案．【解答】：解：a=10.i=1；如果它是奇数.对它乘3再加1.如果它是偶数.对它除以2.这样循环.最终结果都能得到1．所以：对a是否是奇偶数进行判断；有图可知：a是奇数？进行判断；=5.i=2.不满足退出循环的条件；第一次执行循环体后.a= 102第二次执行循环体后.a=16.i=3.不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后.a=8.i=4.不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后.a=4.i=5.不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后.a=2.i=6.不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后.a=1.i=7.满足退出循环的条件；故输出i值为7.故答案为：a是奇数？.7；【点评】：本题考查了程序框图的应用问题.解题时应模拟程序框图的运行过程.以便得出正确的结论.是基础题12.（填空题.5分）已知定义在R上的函数y=f（x）-2是奇函数.且满足f（-l）=1.则f（0）+f（1）=___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：根据题意.设g（x）=f（x）-2.由奇函数的性质可得g（0）=f（0）-2=0.则有f（0）=2.又由奇函数的性质可得g（1）=-g（-1）.即f（1）-2=-[f（-1）-2].计算可得f（1）的值.相加即可得答案．【解答】：解：根据题意.函数y=f（x）-2是奇函数.设g（x）=f（x）-2.则有g（0）=f（0）-2=0.则有f（0）=2.又由f（-1）=1.则g（-1）=f（-1）-2=-1.则g（1）=-g（-1）.即f（1）-2=-[f（-1）-2]=2.则有f（1）=3.故f（0）+f（1）=5；故答案为：5．【点评】：本题考查函数奇偶性的性质以及应用.注意结合函数的奇偶性分析.属于基础题．13.（填空题.5分）已知三棱锥D-ABC的体积为2.△ABC是等腰直角三角形.其斜边AC=2.且三棱锥D-ABC的外接球的球心O恰好是AD的中点.则球O的体积为___ ．π【正确答案】：[1] 40√103【解析】：取AC的中点E.利用球心O与△ABC的外心的连线与平面ABC垂直.得到OE⊥平面ABC.再由中位线得出OE || CD.于是得出CD⊥平面ABC.根据已知条件计算出△ABC的面积.并利用锥体体积公式计算出CD.再利用勾股定理得出AD.即可得出球O的半径为R=12AD .最后利用球体体积公式可得出答案．【解答】：解：如下图所示.取AC的中点E.连接OE.由于O为AD的中点.E为AC的中点.则OE || CD.∵AC为等腰直角三角形ABC的斜边.所以.点E为△ABC外接圆圆心.且O为三棱锥D-ABC外接球的球心.所以OE⊥平面ABC.所以.CD⊥平面ABC.∵△ABC是等腰直角三角形.且斜边AC=2.所以.AB=BC= √2 .则△ABC的面积为S△ABC=12AB•BC=1 .由锥体体积公式可得V D−ABC=13S△ABC•CD=13×1×CD=2 .∴CD=6.所以. AD=√AC2+CD2=2√10 .则球O的半径为R=12AD=√10 .因此.球O的体积为43πR3=43π×(√10)3=40√103π．故答案为：40√103π．【点评】：本题考查球体的体积的计算.解决本题的关键在于理解球心与相应面的外接圆圆心的连线与相应的底面垂直这一性质.考查计算能力与推理能力.属于中等题．14.（填空题.5分）若函数f（x）=-x2（x2+ax+b）的图象关于直线x=-1对称.则f（x）的最大值是___【正确答案】：[1]0【解析】：解题的关键是得出函数f（x-1）为偶函数.进而求得a=4.b=4.由此求得函数f（x）的解析式.从而求得最大值．【解答】：解：∵函数f（x）关于直线x=-1对称.∴函数f（x-1）关于直线x=0对称.即函数f（x-1）为偶函数.又f（x-1）=-（x-1）2[（x-1）2+a（x-1）+b]=-x4+（4-a）x3+（3a-b-6）x2+（4-3a+2b）x+a-b-1..∴ {4−a=04−3a+2b=0.∴ {a=4b=4∴f（x）=-x2（x2+4x+4）=-x4-4x3-4x2.∴f′（x）=-4x3-12x2-8x=-4x（x+1）（x+2）.∴函数f（x）在（-∞.-2）.（-1.0）上单调递增.在（-2.-1）.（0.+∞）单调递减.又f（-2）=f（0）=0.∴函数f（x）取得最大值0．故答案为：0．【点评】：本题考查函数的对称性及奇偶性的运用.考查运算求解能力.属中档题．15.（问答题.13分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2（n∈N*）.数列{b n}为等比数列.且满足b1=a1.2b3=b4（1）求数列{a n}.{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和．【正确答案】：【解析】：（1）利用数列的前n项和的公式.先求得a1.后看≥2时.a n=S n-S n-1.求得数列的通项公式.设出等比数列{b n}的公比.利用2b3=b4求得q.利用b1=a1求得首项.则等比数列的通项公式可求．（2）数列{a n b n}的前n项和为T n.然后利用错位相减法求得T n．【解答】：解：（1）由已知S n=n2.得a1=S1=1当n≥2时.a n=S n-S n-1=n2-（n-1）2=2n-1所以a n=2n-1（n∈N*）由已知.b1=a1=1设等比数列{b n}的公比为q.由2b3=b4得2q2=q3.所以q=2所以b n=2n-1（2）设数列{a n b n}的前n项和为T n.则T n=1×1+3×2+5×22++（2n-1）•2n-1.2T n=1×2+3×22+5×23++（2n-1）•2n.两式相减得-T n=1×1+2×2+2×22++2×2n-1-（2n-1）•2n（10分）=1+2（2+22++2n-1）-（2n-1）•2n=1+4（2n-1-1）-（2n-1）•2n（11分）=-（2n-3）•2n-3所以T n=（2n-3）2n+3【点评】：本题主要考查了等差数列的性质和等比数列的性质．当数列是由等差数列和等比数列的积构成时.可求得利用错位相减法求和．16.（问答题.13分）已知△ABC的三个内角△ABC所对的边分别为a.b.c.向量m⃗⃗⃗ =（2.1）. n⃗⃗=(2cos2A2，−cos2A+1) .且m⃗⃗⃗⋅n⃗⃗=92．（1）求角A的大小；（2）若BC= √3 .试求△ABC面积的最大值及此时△ABC的形状．【正确答案】：【解析】：（1）根据向量数量积以及三角变换公式可得．（2）根据余弦定理以及基本不等式和面积公式可得．【解答】：（1）解：由m⃗⃗⃗⋅n⃗⃗=4cos2A2−cos2A+1=92.则4⋅1+cosA2−(2cos2A−1)=72.所以2cos2A−2cosA+12=0 .故有cosA=12. A=π3．（2）解：因为 BC= √3 .则由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA 知：3=b2+c2-bc.再利用基本不等式.可得bc≤3.当且仅当b=c=√3时等号成立.此时(S△ABC)max=12(bc)max sinA=12×3×√32=3√34．此时△ABC为正三角形．【点评】：本题考查了三角形中的几何计算.属中档题．17.（问答题.13分）如图.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD是平行四边形.∠BCD=120°.侧面PAB⊥底面ABCD.∠BAP=90°.AB=AC=PA=2．（I）求证：面PBD⊥面PAC；（Ⅱ）过AC的平面交PD于点M.若平面AMC把四面体P-ACD分成体积相等的两部分.求三棱锥M-PAB的体积．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由∠BAP=90°.知PA⊥AB.再由已知结合面面垂直的性质可得PA⊥面ABCD.则PA⊥BD.由已知求解三角形得BD⊥AC.由线面垂直的判定可得BD⊥面PAC.则面PAC⊥面PBD；（Ⅱ）由平面AMC把四面体P-ACD分成体积相等的两部分.知M为PD中点.求出底面ABCD 的面积.得到四棱锥P-ABCD的体积.再由等积法求三棱锥M-PAB的体积．【解答】：（Ⅰ）证明：∵∠BAP=90°.∴PA⊥AB.又侧面PAB⊥底面ABCD.面PAB∩面ABCD=AB.PA⊂面PAB.∴PA⊥面ABCD.∵BD⊂面ABCD.∴PA⊥BD.又∵∠BCD=120°.ABCD为平行四边形.∴∠ABC=60°.又AB=AC.∴△ABC为等边三角形.则ABCD为菱形.则BD⊥AC．又PA∩AC=A.∴BD⊥面PAC.∵BD⊂面PBD.∴面PAC⊥面PBD；（Ⅱ）解：由平面AMC把四面体P-ACD分成体积相等的两部分.则M为PD中点．由AB=AC=2.∠BCD=120°.得BD=2√3．由（Ⅰ）知ABCD为菱形.则S ABCD=12×2√3×2=2√3．又由（Ⅰ）知PA⊥面ABCD.则V P−ABCD=13•S ABCD•PA=13•2√3•2=4√33．∴ V M−PAB=12V D−PAB=14V P−ABCD = 14×4√33=√33．【点评】：本题考查平面与平面垂直的判定.考查空间想象能力与思维能力.训练了利用等积法求多面体的体积.是中档题．18.（问答题.13分）某厂有4台大型机器.在一个月中.一台机器至多出现1次故障.且每台机器是否出现故障是相互独立的.出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为13．（1）问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？（2）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力.每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修.就使该厂产生5万元的利润.否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值．【正确答案】：【解析】：（1）一台机器运行是否出现故障看作一次实验.在一次试验中.机器出现故障的概率为13；4台机器相当于4次独立重复试验.设出现故障的机器台数为X. X～B(4，13) .求出对应概率值. 写出分布列.计算“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”的概率不少于90%的对应工人数；（2）设该厂获利为Y万元.Y的所有可能取值为18.13.8.计算对应的概率值.求出分布列与数学期望值．【解答】：解：（1）一台机器运行是否出现故障可看作一次实验. 在一次试验中.机器出现故障设为事件A.则事件A的概率为13；该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验.可设出现故障的机器台数为X.则X～B(4，13) .P(X=0)=C40(23)4=1681.P(X=1)=C41•13•(23)3=3281.P(X=2)=C42•(13)2(23)2=2481.P(X=3)=C43•(13)3•23=881.则X的分布列为：则X=0.X=1.X=2.….X=n.这n+1个互斥事件的和事件.则∵ 81≤90%≤81.∴至少要3名工人.才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%；（2）设该厂获利为Y万元.则Y的所有可能取值为：18.13.8.P（Y=18）=P（X=0）+P(X=1)+P(X=2)=7281.P(Y=13)=P(X=3)=881.P(Y=8)=P(X=4)=181；则Y的分布列为：则E(Y)=18×81+13×81+8×81=81；故该厂获利的均值为140881．【点评】：本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题.是综合性题目．19.（问答题.14分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点为F（1.0）.离心率为12．A为椭圆C的左顶点.P.Q为椭圆C上异于A的两个动点.直线AP.AQ与直线l：x=4分别交于M.N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若△PAF与△PMF的面积之比为15.求M的坐标；（Ⅲ）设直线l与x轴交于点R.若P.F.Q三点共线.求证：∠MFR=∠FNR．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意得c=1.结合离心率求得a.再由隐含条件求得b.则椭圆方程可求；（Ⅱ）由△PAF与△PMF的面积之比为15 .可得AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=16AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗．设M（4.m）（m≠0）.P（x.y0）.则(x0+2，y0)=16(6，m) .求得x0=−1，y0=m6．将其代入x24+y23=1 .解得m=±9．则M的坐标可求；（Ⅲ）设M（4.m）.N（4.n）.P（x0.y0）.分析可得m≠0.n≠0．直线AM的方程为y=m6(x+2)．联立直线方程与椭圆方程.利用根与系数的关系求得P的坐标.利用利用对称性证明若P.F.Q三点共线.则∠MFR=∠FNR．【解答】：（Ⅰ）解：由题意得c=1.又ca =12.解得a=2.c=1．∵a2-b2=c2.∴b2=3．∴椭圆C的方程为x24+y23=1；（Ⅱ）解：∵△PAF与△PMF的面积之比为15.∴ |AP|=15|PM| .则AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=16AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗．设M（4.m）（m≠0）.P（x0.y0）.则(x0+2，y0)=16(6，m) .解得x0=−1，y0=m6．将其代入x 24+y23=1 .解得m=±9．∴M的坐标为（4.9）或（4.-9）；（Ⅲ）证明：设M（4.m）.N（4.n）.P（x0.y0）.若m=0.则P为椭圆C的右顶点.由P.F.Q三点共线知.Q为椭圆C的左顶点.不符合题意．∴m≠0．同理n≠0．直线AM 的方程为 y =m 6(x +2) ． 由 {y =m 6(x +2)，x 24+y 23=1 消去y.整理得（27+m 2）x 2+4m 2x+（4m 2-108）=0． △=（4m 2）2-4（27+m 2）（4m 2-108）＞0成立．由 −2x 0=4m 2−10827+m 2 .解得 x 0=54−2m 227+m 2 ． ∴ y 0=m 6(x 0+2)=18m 27+m 2 ．得 P (54−2m 227+m 2，18m 27+m 2) ． 当|m|=3时.|n|=3. 54−2m 227+m 2=1 .即直线PQ⊥x 轴．由椭圆的对称性可得|MR|=|FR|=|NR|=3．又∵∠MRF=∠NRF=90°.∴∠MFR=∠FNR=45°．当|m|≠3时.|n|≠3.直线FP 的斜率 k FP =18m 27+m 2−054−2m 227+m 2−1=6m 9−m 2 ． 同理 k FQ =6n 9−n 2 ．∵P .F.Q 三点共线.∴ 6m 9−m 2=6n 9−n 2 .得mn=-9．在Rt△MRF 和Rt△NRF 中. tan∠MFR =|MR||FR|=|m|3 . tan∠FNR =|FR||NR|=3|n|=|m|3 .∴tan∠MFR=tan∠FNR ．∵∠MFR .∠FNR 均为锐角.∴∠MFR=∠FNR ．综上.若P.F.Q 三点共线.则∠MFR=∠FNR ．【点评】：本题考查椭圆方程的求法.考查直线与椭圆位置关系的应用.考查计算能力.是中档题．20.（问答题.14分）设函数f（x）=（2a+lnx）x+lnx（a∈R）．（1）证明：过点（0.-2）的直线中有且只有一条与曲线y=f（x）相切；（2）若0＜x＜1.f（x）＜2a.求a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）设切点为（x0.y0）.求出导数.l的斜率为f′(x0)=1+lnx0+1x0+2a .又y0=（x0+1）lnx0+2ax0．得到l方程.把（0.-2）代入并且化简得1+lnx0=x0.考察函数F（x）=lnx-x+1. F′(x)=1x−1．判断函数的单调性.求出函数的极值.推出过点（0.-2）的直线中有且只有一条与曲线y=f（x）相切．（2）设g（x）=（x+1）lnx+2a（x-1）.定义域为（0.+∞）．g′(x)=1+1x+lnx+2a .设ℎ(x)=1+1x +lnx+2a . ℎ′(x)=x−1x2＜0 .说明h（x）单调性.得到h（x）＞h（1）=2+2a．情况1：当a≥-1时.情况2：当a＜-1时.利用函数的单调性以及函数的极值.推出所求的a的取值范围．【解答】：解：（1）函数f（x）的定义域为（0.+∞）.设切点为（x0.y0）. f′(x)=1+lnx+1x+2a．则l的斜率为f′(x0)=1+lnx0+1x0+2a .又y0=（x0+1）lnx0+2ax0．故l方程为：y−y0=(1+lnx0+1x0+2a)(x−x0)．把（0.-2）代入得−2−[(x0+1)lnx0+2ax0]=(1+lnx0+1x0+2a)(−x0) .化简得1+lnx0=x0.考察函数F（x）=lnx-x+1. F′(x)=1x−1．可得在区间（0.1）上单调递增；在（1.+∞）上单调递减；故在x=1处取到极大值．即F（x）≤F（1）=0.即lnx≤x-1．所以方程1+lnx0=x0的解为x0=1.且是唯一的解．所以过点（0.-2）的直线中有且只有一条与曲线y=f（x）相切．（2）设g（x）=（x+1）lnx+2a（x-1）.定义域为（0.+∞）．g′(x)=1+1x+lnx+2a .设ℎ(x)=1+1x +lnx+2a . ℎ′(x)=x−1x2＜0 .故h（x）在区间（0.1）上单调递减.所以h（x）＞h（1）=2+2a．情况1：当a≥-1时.则h（x）≥0.即g'（x）≥0.故g（x）在区间（0.1）上单调递增.即g（x）＜g（1）=0.符合题意．情况2：当a＜-1时.h（1）=2+2a＜0.注意到在（Ⅰ）解题过程中lnx≤x-1（x＞0）.可得e lnx≤e x-1.即e x≥ex．从而且h（e2a）=1+e-2a+4a≥1+e（-2a）+4a=（4-2e）a+1＞0．故∃x0∈(e2a，1) .满足h（x0）=0.又因为h（x）在区间（0.1）上单调递减.故在区间（0.x0）.h（x）＞0.即g（x）在区间（0.x0）上单调递增；故在区间（x0.1）.h（x）＜0.即g（x）在区间（x0.1）上单调递减．所以当x=x0时.取到极大值g（x0）.g（x0）＞g（1）=0.所以任意a＜-1皆不合题意．综上.所求的a的取值范围是[-1.+∞）．【点评】：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题.开学分析问题解决问题的能力.属于难题．。
北京一零一中学2019年高一数学理联考试卷含解析
北京一零一中学2019年高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知与之间的一组数据:则与的线性回归方程必过点A．（2 ,2）B．（1．5, 0）C．（1, 2）D．（1．5, 4）参考答案：D2. 若不论取何实数，直线恒过一定点，则该定点的坐标为（）A．B．C．D．参考答案：A略3. 函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x+1，则当x＜0时，f（x）等于（）A．﹣x+1 B．﹣x﹣1 C．x+1 D．x﹣1参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质．【分析】因为要求x＜0时的解析式，先设x＜0，则﹣x＞0，因为已知x＞0时函数的解析式，所以可求出f（﹣x），再根据函数的奇偶性来求f（x）与f（﹣x）之间的关系．【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=﹣x+1，∴f（﹣x）=x+1又∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（x+1）=﹣x﹣1故选B【点评】本题主要考查了已知函数当x＞0的解析式，根据函数奇偶性求x＜0的解析式，做题时应该认真分析，找到之间的联系．4. 以（1，﹣1）为圆心且与直线x+y﹣=0相切的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=6 B．（x﹣1）2+（y+1）2=6C．（x+1）2+（y﹣1）2=3 D．（x﹣1）2+（y+1）2=3参考答案：D【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆的半径，即可求出圆的方程．【解答】解：圆的半径，则所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=3．5. 在一次模拟考试后，从高三某班随机抽取了20位学生的数学成绩，其分布如下：分数在130分（包括130分）以上者为优秀，据此估计该班的优秀率约为（）A．10% B．20% C．30% D．40%参考答案：B【考点】频率分布表．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】根据统计表和样本来估计总体的概念即可求出．【解答】解：由表可知，优秀的人数为3+1=4，故分数在130分（包括130分）以上者为优秀，则优秀率为=20%，故据此估计该班的优秀率约20%，故选：B．【点评】本题考查了频率分布表的应用和用样本来估计总体，属于基础题．6. 小明周末从家骑车到图书馆，一路匀速行驶，离家不久后发现借阅证掉在家里，于是返回家里找到了借阅证后再去图书馆，与以上事件吻合的最好的图象是（）参考答案：D根据题意，一开始匀速行驶，因此图象是上升直线段，发现没带图书证后停下，返回是下降的直线段，取上图书证后一路匀速，又是上升的直线段，故选D.7. 已知0,且1, f(x)=x当x时恒有f(x),则实数的取值范围是（）A. (0,)B. []C. [,1)D. (0, ]参考答案：C8. 在等比数列{a n}中，a n＞0，且a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5=（）A．5 B．10 C．15 D．20参考答案：A【考点】8G：等比数列的性质．【分析】由{a n}是等比数列，a2a4+2a3a5+a4a6=25，利用等比数列的通项公式知a32+2a3a5+a52=25，再由完全平方和公式知（a3+a5）2=25，再由a n＞0，能求出a3+a5的值．【解答】解：∵{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，∴a32+2a3a5+a52=25，∴（a3+a5）2=25，∵a n＞0，∴a3+a5=5．故选：A．9. sin18°cos12°+cos18°sin12°=（）A．﹣B．﹣C．D．参考答案：D【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】根据题意和两角和的正弦函数化简，由特殊角的三角函数值求值．【解答】解：sin18°cos12°+cos18°sin12°=sin（18°+12°）=sin30°=，故选D．10. 已知直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8平行，则实数m的值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．﹣1或﹣7 D．参考答案：A【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】直接利用两条直线平行的充要条件，求解即可．【解答】解：因为两条直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8，l1与l2平行．所以，解得m=﹣7．故选：A．【点评】本题考查直线方程的应用，直线的平行条件的应用，考查计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 计算=．参考答案：考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：利用两角差的正切公式把要求的式子化为tan（45°﹣15°）=tan30°，从而求得结果．解答：解：==tan（45°﹣15°）=tan30°=，故答案为：．点评：本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．12. 已知，则.参考答案：sin （）＝cos （）＝cos（），∴cos（）．故答案为：．13. 某公司的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有下列对应数据：由资料显示对呈线性相关关系。
北京一零一中学2016届高三下学期统练(三)数学(理)试题 含答案
北京一零一中2015—2016学年度第二学期统考三高三数学（理)一、选择题:本大题共8小题，共40分。
1。
已知i 为虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==”是“()22a bi i +=”的（ ）A 。
充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件2. 在1,2,3,4,5这5个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）A. 36个 B 。
24个 C 。
18个 D 。
6个3。
已知01a b <<<，则（ ） A.11b a> B 。
1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 。
()()22lg lg a b < D.11lg lg a b> 4。
设D 为ABC ∆所在平面内一点,3BC CD =,则（ ） A 。
1433AD AB AC =-+B 。
1433AD AB AC =- C 。
4133AD AB AC =+ D 。
4133AD AB AC =-5.已知点()Q 及抛物线24xy =上一动点(),P x y ，则y PQ +的最小值是( ） A.12B 。
1C 。
2D 。
36. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是（ ） A 。
27B 。
30 C. 32D 。
36俯视图侧视图正视图7。
若,x y 满足03030y x y kx y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≥⎩且2z x y =+的最大值为4，则k 的值为（ ）A.32B 。
32-C 。
23-D 。
238。
某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试。
学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名，其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示：下列叙述一定正确的是（)A.甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前B.乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C.甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D.乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前二、填空题:本大题共6小题，共30分。
北京一零一中学2016届高三下学期统考(四)数学(文)试题缺答案
北京一零一中学2016 届高三放学期统考（四）数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8 个小题，每题 5 分，共 40 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1、在复平面内，复数i (2i ) 对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2、已知命题p : x0，总有(1)x1，则px eA．x00 ，使得 (x0 1)e x0 1 B． x00 ，使得 (x01)e x01C．x0 ，使得(1)x1D． x0 ，使得xx e( x1)e13、已知a21.2 , b(1) 0.2 , c2log 5 2，则 a, b,c 的大小关系为2A．c b a B ．c a b C ．b a c D ．b c a4、已知,是两个不一样的平面，m, n 是两条不一样的直线，则下边命题中正确的选项是A．若m // n, m，则n //B．若C．若m, m，则//D．若m // ,n ，则 m // n m,，则m //5、履行右侧的程序框图，则输出的S 的值等于A．1111 B ．11111 678956789C．11111 D ．111111 67891056789106、边长为 2 的正三角形的极点和各边的中点共 6 个点，从中任选两点，所选出的零点之间距离大于 1 的概率是A．1B ．1C ．2D ．3 32557、某三棱锥的三视图如下图，该三棱锥的表面积是A．9182B．1893C．182D．98、在股票买卖过程中，常常用到两种曲线，一种是即市价钱曲线y f x ，一种是均匀价钱曲线y g( x) （如f23表示开始交于后第2 小时的即市价钱为3 元，g 24 表示爱是交易后两小时内全部成交股票的均匀价钱为 4 元），下边所给出的四个图象中，实线表示y f x，虚线y g( x) ，此中可能正确的选项是第Ⅱ卷二、填空题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分，把答案填在答题卷的横线上。
2019届北京市一零一中学高三下学期月考(三)数学(理)试题(解析版)
2019届北京市一零一中学高三下学期月考（三）数学（理）试题一、单选题1．设集合{1,0,1}A =-，2{|230}B x x x =--≤，则A B =I （ ） A ．{1,0,1}- B ．{0} C ．(1,1)- D ．(1,3)-【答案】A【解析】先将集合B 化简，然后利用交集的定义即可求解． 【详解】集合{1,0,1}A =-，2{|230}{|13}B x x x x x =--≤=-≤≤， 则{1,0,1}A B ⋂=-． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查集合的交集运算及一元二次不等式的解法，属于基础题． 2．设i 为虚数单位，则复数21iz i=-所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】先由复数的运算法则，将21iz i=-化简整理，结合复数的几何意义即可求出结果. 【详解】 解：复数()()()()2122211112i i i i z i i i i +-+====-+-+-，在复平面内的对应点位 ()1,1-， 故选B ． 【点睛】本题主要考查复数的运算和几何意义，熟记运算法则即可求解，属于基础题型. 3．执行如图的程序框图，如果输出a 的值大于100，那么判断框内的条件为( )A ．5k <？B ．5k ≥？C ．6k <？D ．6k ≥？【答案】C【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】由题意，模拟程序的运算，可得k 1=，a 1=满足判断框内的条件，执行循环体，a 6=，k 3= 满足判断框内的条件，执行循环体，a 33=，k 5= 满足判断框内的条件，执行循环体，a 170=，k 7= 此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出a 的值为170． 则分析各个选项可得程序中判断框内的“条件”应为k 6<？ 故选：C ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4．《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里…”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去．已知长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里…”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（ ）A．1235 B．1800 C．2600 D．3000【答案】A【解析】根据题意良马每天路程构成以193为首项，13为公差的等差数列，驽马每天路程构成以97为首项，12-为公差的等差数列，故利用等差数列的求和公式可直接求得结果．【详解】因为长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里，所以前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为：443431 (419313)[497()]1235 222S⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯-=．故选：A．【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式，属于基础题．5．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．103B．4 C．133D．5【答案】A【解析】根据几何体的三视图可知，该几何体是四棱锥和三棱锥的组合体，画出对应的立体图形标出相应的数据，根据锥体的体积公式，即可求出它的体积． 【详解】根据几何体的三视图知，该几何体是四棱锥与三棱锥的组合体，如图所示：结合图中数据，计算它的体积为：四棱锥三棱锥P ABCD P CDM V V --+211110221223323=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=．故选：A ． 【点睛】本题主要考查对三视图所表达的空间几何体的识别及几何体体积的计算．由三视图还原几何体求体积，要弄清楚几何体的特征，把三视图中的数据、图形特点准确地转化为对应几何体中的线段长度、图形特点，进而用公式求解．6．已知非零平面向量a r ,b r ，则“|a r +b r|=|a r|+|b r |”是“存在非零实数λ，使b r=λa r”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】【详解】(1)若|a r +b r|=|a r|+|b r|,则a r ,b r方向相同， ∴a r ,b r共线,∴存在非零实数λ,使b r=λa r.∴“|a r +b r |=|a r |+|b r|”是“存在非零实数λ,使b r =λa r ”的充分条件；(2)若存在非零实数λ,使b r=λa r,则a r ,b r 共线， ∴当a r ,b r 方向相同时,|a r +b r|=|a r|+|b r|，当a r ,b r 方向相反时,|a r +b r |<|a r |+|b r |，∴ “|a r +b r |=|a r |+|b r |”不是“存在非零实数λ,使b r =λa r”的必要条件．故选A.7．已知曲线C ：2{22x t y a t ==+（t 为参数），(1,0)A -，(1,0)B ，若曲线C 上存在点P满足0AP BP ⋅=u u u r u u u r，则实数a 的取值范围为（ ）A ．22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1-C ．2,2⎡⎤-⎣⎦D ．[]2,2-【答案】C【解析】曲线C 化为普通方程为:y x a =+,由0AP BP u u u r u u u r⋅=，可得点P 在以AB 为直径的圆221x y +=上,又P 在曲线C 上,即直线与圆存在公共点,故圆心()0,0到y x a=+的距离小于等于半径1,根据点到直线的距离公式有:12a ≤,解得22a -≤≤,故选C.8．如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C ,的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段»»»,,AB BCCA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（ ）A ．123x x x >>B ．132x x x >>C ．231x x x >>D ．321x x x >>【答案】C【解析】根据每个三岔路口驶入与驶出相应的环岛路段的车辆数列出等量关系，即可比较出大小． 【详解】依题意，有13350555x x x =+-=-，所以13x x <， 同理，211302010x x x =+-=+，所以12x x <， 同理，32230355x x x =+-=-，所以32x x <， 所以132x x x <<． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查不等关系的判断，属于基础题．二、填空题9cos sin 0θρθ-=与圆4sin ρθ=交A ，B 两点，则||AB =_____．【答案】【解析】只需将直线的极坐标方程和圆的极坐标方程都化为直角坐标方程，再利用圆中的弦长公式即可求得弦长||AB ． 【详解】cos sin 0θρθ-=0y -=，因为圆4sin ρθ=，所以圆的直角坐标方程为2240x y y +-=，即22(2)4x y +-=，所以圆心坐标为(0,2)，半径2r =，圆心(0,2)0y -=的距离1d ==，所以||AB ===．故答案为： 【点睛】本题主要考查将直线的极坐标方程和圆的极坐标方程化为直角坐标方程及圆中的弦长公式，属于基础题．10．某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支5元，铅笔盒每个6元，花费总额不能超过50元. 为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于3个，那么该教师有_______种不同的购买奖品方案.【答案】9【解析】试题分析：设购买签字笔x 个，铅笔盒y 个，根据题意，x 、 y需满足条件当3x =时，3,4,5y =；当4x =时，3,4,5y =；当5x =时，3,4y =；当6x =时，3y =；6x >时无解．所以该教师有9 种不同的购买方案【考点】简单的线性规划.11．已知数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项的和，若12364a a a =，532a =，则q =_____；6S = _____．【答案】2 126【解析】根据题意只需将12364a a a =及532a =中的2a ，3a ，5a 都用基本量1a 和q 表示出来，解出1a 和q ，进而利用等比数列求和公式即可求出6S ． 【详解】由已知得3314164,32,a q a q ⎧=⎨=⎩即141432a q a q =⎧⎨=⎩，，解得12,2,q a =⎧⎨=⎩ 所以662(12)12612S -==-．故答案为：2；126 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及前n 项和公式的应用，属于基础题． 12．能说明“若点与点在直线的同侧，则”是假命题的一个点M 的坐标为_____________. 【答案】或（答案不唯一）【解析】由题意知（a +b ﹣2）（5+5﹣2）＞0，举例说明a +b ＞2且a +b ≤4即可． 【详解】点M （a ，b ）与点N （5，5）在直线x +y ﹣2＝0的同侧， 则（a +b ﹣2）（5+5﹣2）＞0， ∴a +b ＞2， 不能得出a +b ＞4，当点M 的坐标为（2，1）时，a +b ＞4是假命题．故答案为：（2，1）[或（1，2），（0，3），（3，0）]（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了命题真假的判断问题，属于开放性题目．13．已知函数f （x ）=x 3-4x ，g （x ）=sinωx （ω＞0）．若∀x ∈[-a ，a ]，都有f （x ）g （x ）≤0，则a 的最大值为______；此时ω=______． 【答案】42π【解析】函数()34f x x x =-，()()sin 0g x x ωω=>均为奇函数，只需考虑[0]x a ∀∈，，都有()()0f x g x ≤即可，结合图象可得当且仅当在[02]，上()0g x ≥，在[]2,a 满足()0g x ≤，a 才能取到最大值，进而可得ω. 【详解】∵函数()34f x x x =-，()()sin 0g x x ωω=>均为奇函数．∴只需考虑[0]x a ∀∈，，都有()()0f x g x ≤即可．∵函数()34f x x x =-在[02]，满足()0f x ≤，在[2+∞，）满足()0f x ≥，∴当且仅当在[02]，上()0g x ≥，在[02]，满足()0g x ≤，a 才能取到最大值，（如图）．此时24πω=，2πω=，4a =．故答案为：4，2π． 【点睛】本题主要考查了函数的对称性应用，数形结合法，最终将题意转化为()g x 与0的关系是解题的关键，属于中档题．14．如图所示，图中的多边形均为正多边形，M ，N 是所在边的中点，双曲线均以图中的1F ，2F 为焦点，则图①的双曲线的离心率为_____；图②的双曲线的离心率为_____．【答案】31+ 1022+ 【解析】【详解】①设等边三角形的边长为2，以底边为x 轴，以底边的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点为(1,0)±，且过点13(,22， 因为点13(2到两个焦点(1,0)-，(1,0)的距离之差的绝对值为22221313(1)(0)(1)(0)3122222a ++--+-==， 所以31a -=，又1c =，所以131c e a ==．②2，分别以两条对角线为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点坐标为(1,0)-和(1,0)，且过点11(,)22， 因为点11(,)22到两个焦点(1,0)-，(1,0)的距离之差的绝对值为22221111102(1)(0)(1)(0)222222a ++--+-==， 所以102a -=，又1c =，所以11022c e a==． 31；1022【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，关键是根据双曲线的定义求出a ．三、解答题15．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知3c =，sin 6A C =，1cos23A =-.(1)求a 的值；(2)若角A 为锐角，求b 的值及ABC △的面积. 【答案】(1)32a =；(2)5b =，522ABC S =V 【解析】试题分析：（1）根据题意和正弦定理求出a 的值；（2）由二倍角的余弦公式变形求出2sin A ，由A 的范围和平方关系求出cosA ，由余弦定理列出方程求出b 的值，代入三角形的面积公式求出ABC △的面积． 试题解析：(1)因为3c =sin 6sin A C =，由正弦定理sin sin a cA C=，得32a =.(2)因为21cos212sin 3A A =-=-，且0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6sin A =，3cos A =. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22150b b --=， 解得5b =或3b =-(舍)，所以15sin 222ABC S bc A ==V . 16．如图1，在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=o ，将BCD ∆沿对角线BD 折起到B C D ''∆的位置，使平面BC D '⊥平面ABD ，E 是BD 的中点，FA ⊥平面ABD ，且23FA =，如图2．（1）求证：//FA 平面BC D '；（2）求平面ABD 与平面FBC '所成角的余弦值；（3）在线段AD 上是否存在一点M ，使得C M '⊥平面FBC ？若存在，求AMAD的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析（2）105（3）不存在，理由见解析 【解析】(1)由题设可得C E BD '⊥，结合平面BC D '⊥平面ABD ，利用面面垂直的性质定理可得C E '⊥平面ABD ，又FA ⊥平面ABD ，再利用线面垂直的性质定理，即可得//FA C E '，再由线面平行的判定定理，即可证得//FA 平面BC D '；(2)以{,,}EB AE EC 'u u u r u u u r u u u u r正交基底建系，写出所需的点的坐标，分别求出平面ABD 与平面FBC '的法向量，代入向量夹角公式，即可求出法向量夹角的余弦值，再结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角，即可得到结果；(3)假设线段AD 上存点(,,)M x y z ,使得C M '⊥平面FBC ，设AM AD λ=u u u u r u u u r，可得x λ=-，3(1)y λ=-，0z =，只需判断C M 'u u u u r 与平面FBC 的法向量m u r共线得到关于λ的方程是否有解，若有解则存在，无解的则不存在． 【详解】(1)证明：因为BC C D ''=，E 为BD 的中点，所以C E BD '⊥，又C E '⊂平面BC D '，平面BC D '⊥平面ABD ，平面BC D '⊥平面ABD BD =， 所以C E '⊥平面ABD ，又FA ⊥平面ABD ，所以//FA C E '，而C E '⊂平面BC D '，FA ⊄平面BC D '， 所以//FA 平面BC D '；(2)以DB 所在直线为x 轴，AE 所在直线为y 轴，EC '所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)B ，(0,3,0)A ，(1,0,0)D -，(0,3,3)F ，3)C '，所以(1,3,3)BF =-u u u r ，(3)BC '=-u u u u r．设平面FBC '的一个法向量为(,,)m x y z =u r，则323030m BF x z m BC x z '⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u u v v ，，取1z =，则3,1,1)m =u r ， 又平面ABD 的一个法向量为(0,1,1)n =r，所以10cos ||52,||m n m n m n ⋅〈〉===⋅⨯u r r u r r u r r则平面ABD 与平面FBC '10． (3)线段AD 上不存点M ，使得C M '⊥平面FBC ．假设在线段AD 上存在(,,)M x y z ，使得C M '⊥平面FBC ，设AM AD λ=u u u u r u u u r，则(,3,)(3,0)x y z λ=-，即(,3,)(3,0)x y z λλ+=-，所以x λ=-，1)y λ=-，0z =，由(1),C M λλ'=--u u u u r，由//m C M 'u r u u u u r1)11-λλ-==，此方程无解． 所以线段AD 上不存点M ，使得C M '⊥平面FBC ． 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理，同时考查二面角的求法及逆向求解“点”的存在问题．本题第(1)问也可用求平面BC D '的法向量，利用法向量与FA u u u r的数量积为零来证明.对于第(3)问对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点坐标，转化为代数方程是否有解问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在．17．某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：（Ⅰ）从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90 分的概率； （Ⅱ）从考核成绩大于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；（Ⅲ）记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为1x ，21s ，考核成绩的平均数和方差分别为2x ，22s ，试比较1x 与2x ， 21s 与22s 的大小.（只需写出结论） 【答案】（Ⅰ）0.6；（Ⅱ）15；（Ⅲ）12=x x ， 2212s s >. 【解析】分析：（Ⅰ）求出这10名学生两轮考核的平均成绩，可知大于等于90分的有6人，利用古典概型概率公式可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，考核成绩大于等于90分的学生共6人，其成绩均大于等于90分共3人，利用列举法可得6人中选两人的事件有15个事件，其中这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的事件有3个，由古典概型概率公式可得结果；（Ⅲ）根据成绩的平均值以及成绩的稳定性可得结果.详解：（Ⅰ）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为： 93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人. 所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率是63105=. 从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6. （Ⅱ）设事件A 为“从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，这2名同学两轮测试成绩均大于等于90分”，由（Ⅰ）知，考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人. 因此，从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，包含（1号，5号）、（1号，7号）、（1号，8号）、（1号，9号）、（1号、10号）、 （5号，7号）、（5号，8号）、（5号，9号）、（5号，10号）、（7号，8号）、（7号，9号）、（7号，10号）、（8号，9号）、（8号，10号）、（9号，10号）共15个基本事件，而事件A 包含（1号，8号）、（1号、10号）、（8号，10号）共3个基本事件， 所以()31155P A ==. （Ⅲ）12=x x ， 2212s s >.点睛：本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B ….1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.18．已知函数()()2ln 2f x x ax a x =+++，a R ∈．(Ⅰ)讨论()f x 的单调性；(Ⅱ)当0a <时，若关于x 的不等式()2f x b a≤-+恒成立，求实数b 的取值范围．【答案】（Ⅰ）当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上是单调增函数，当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（Ⅱ）[)2,-+∞【解析】(Ⅰ)求出原函数的导函数，可得当0a ≥时，()'0f x >，()f x 在()0,+∞上是单调增函数；当0a <时，求出导函数的零点，把定义域分段，由导函数在各区间段的符号确定原函数的单调区间；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，当0a <时，求出函数的最大值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，把不等式()2f x b a ≤-+恒成立，转化为111ln b a a ⎛⎫+≥-+ ⎪⎝⎭在0a <时恒成立，换元后利用导数求最值得答案． 【详解】(Ⅰ()()2)ln 2f x x ax a x =+++，()()22211'22(0)ax a x f x ax a x x x+++=+++=>．当0a ≥时，()'0f x >，()f x 在()0,+∞上是单调增函数；当0a <时，()1122'a x x a f x x⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=．当10,x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()'0f x >，当1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，()f x ∴在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．综上，当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上是单调增函数， 当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，当0a <时，111211()ln ln 1max a f x f a a a a a a+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由不等式()2f x b a ≤-+恒成立，得112ln 1b a aa ⎛⎫---≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，即111ln b a a⎛⎫+≥-+ ⎪⎝⎭在0a <时恒成立． 令1t a =-，()ln (0)g t t t t =->，则()11'1t g t t t-=-=， 当()0,1t ∈时，()'0g t >，()g t 单调递增，当()1,t ∈+∞时，()'0g t <，()g t 单调递减．()g t ∴的最大值为()11g =-．由11b +≥-，得2b ≥-．∴实数b 的取值范围是[)2,-+∞．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，是中档题．19．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，长轴长为(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)斜率为1的直线l 过椭圆C 的右焦点F ，交椭圆C 于A ，B 两点，设M 为椭圆C上任意一点，且(),OM OA OB R λμλμ=+∈u u u u r u u u r u u u r ，其中O 为原点.求证：221λμ+=．【答案】（Ⅰ）2213x y +=（Ⅱ）见解析【解析】(Ⅰ)利用椭圆的离心率，长轴长，即可得椭圆的方程；(Ⅱ)确定坐标之间的关系，利用M ，A ，B 在椭圆上，结合韦达定理，即可证明结论． 【详解】(Ⅰ)解：设椭圆的焦距为2c ，因为3c a =，所以有22223a b a -=，故有223a b =．a =Q 1b ∴=从而椭圆C 的方程可化为：2213x y +=．(Ⅱ)设(),M x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，(),OM OA OB R u u u u r u u u r u u Q u rλμλμ=+∈，()()()1122,,,x y x y x y λμ∴=+，故12x x x λμ=+，12y y y λμ=+．又因为点M 在椭圆C 上，所以有221212()3()3x x y y λμλμ+++=．整理可得：()()()2222221122121233233xy x y x x y y λμλμ+++++=．又焦点F 的坐标为)，AB ∴所在的直线方程为y x =-2430x -+=．12x x +=，1234x x =所以)121212123463960x x y y x x x x +-++=-+=═；又点A ，B 在椭圆C 上，故有2222112233 3.x y x y +=+=⑥将⑤，⑥代入④可得：221λμ+=． 【点睛】本题考查了向量与圆锥曲线的应用问题，也考查了直线与椭圆的综合应用问题，是难题．其中用到了点在曲线上的应用，以及向量坐标化的应用.20．数列123:,,,,(2)n n A a a a a n ≥L 的各项均为整数，满足：1(1,2,,)i a i n ≥-=L ，且123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L ，其中10a ≠．（1）若3n =，写出所有满足条件的数列3A ； （2）求1a 的值；（3）证明：1230n a a a a ++++>L ．【答案】（1）1,1,6--；1,0,4-；1,1,2-；1,2,0-；（2）11a =-;（3）证明见解析．【解析】(1)根据3n =得2123220a a a ⋅+⋅+=并结合已知条件即可写出满足条件的数列3A ；(2) 11a =-，利用反证法即可证出；(3)先利用反证法证明{1,2,3,,1}k n ∀∈-L ，必有12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅≤L ，然后对此不等式中k 赋1,2,3,,1n -L ，可得1n -个不等式并将其累加，再利用等比数列求和公式化简后，再结合已知123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L 即可证得结果．【详解】(1)当3n =时，2123220a a a ⋅+⋅+=，又1(1,2,3)i a i ≥-=，10a ≠，故满足条件的数列3A 为：1,1,6--；1,0,4-；1,1,2-；1,2,0-． (2)11a =-．否则，假设11a ≠-，因为10a ≠，所以11a ≥．又23,,,1n a a a ≥-L ，因此有12312312222n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+L123(1)2(1)2(1)2(1)2(1)n n n ---≥-⋅+-⋅+-⋅++-⋅+-L12322221n n n ---=-----L122(122)n n --=-+++L111(12)212n n --⨯-=-- 1=，这与123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L 矛盾，所以11a =-．(3)先证明如下结论：{1,2,3,,1}k n ∀∈-L ，必有12122220n n n kk a a a ---⋅+⋅++⋅≤L ．否则，假设12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅>L ，注意左式是2n k -的的整数倍，因此12122222n n n k n k k a a a ----⋅+⋅++⋅≥L ，所以有12312312222n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+L≥122(1)2(1)2(1)2(1)n k n k n k -----+-⋅+-⋅++-⋅+-L 1222221n k n k n k -----=-----L1=这与123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L 矛盾． 所以12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅≤L ．因此有10a <， 1220a a ⋅+≤， 2223220a a a ⋅+⋅+≤，……121212220k k k k a a a a ---⋅+⋅++⋅+≤L ，……2312212220n n n n a a a a ----⋅+⋅++⋅+≤L ，将上述1n -个不等式相加得12121(21)(21)(21)0n n n a a a ---⋅-+⋅-++⋅-<L ，①又123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L ，②②－①得1230n a a a a ++++>L ． 【点睛】本题考查数列的应用，等比数列求和以及反证法的应用，不等式的应用，考查转化与化归思想以及运算能力．。
北京市海淀区2016届高三数学下学期期中练习试题-理(扫描版)培训课件.doc
海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学〔理科〕 2021.4DABC阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题〔本大题共8小题,每题5分,共40分〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ADCACBCB二、填空题〔本大题共6小题,每题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分〕三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．解：〔Ⅰ〕在ACD ∆中，由正弦定理,有sin sin AC ADADC α=∠ …………………2分在BCD ∆中，由正弦定理,有sin sin BC BDBDC β=∠ …………………4分因为πADC BDC ∠+∠=,所以sin sin ADC BDC ∠=∠ …………………6分 因为13AD DB =, 所以sin 3sin AC BC βα= …………………7分〔Ⅱ〕因为π6α=，π2β=, 由〔Ⅰ〕得πsin32π23sin 6AC BC == …………………9分 设2,3,0AC k BC k k ==>,由余弦定理,2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠ …………………11分代入,得到222π1949223cos3k k k k =+-⋅⋅⋅, 解得1k =,所以3BC =. …………………13分 9． 3± 10． 511.1212．2213y x -=13．4,614． 2,[62,2)[23,4]-16解: (I)由山下试验田4株青蒿样本青蒿素产量数据，得样本平均数 3.6 4.4 4.4 3.644x +++== …………………2分那么山下试验田100株青蒿的青蒿素产量S 估算为100400S x ==g …………………3分 〔Ⅱ〕比拟山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差21s 和22s ，结果为21s >22s .…………………6分〔Ⅲ〕依题意，随机变量ξ可以取7.27.488.28.69.4，，，，，， …………………7分 1(7.2)4P ξ==, 1(7.4)8P ξ== 1(8)4P ξ==, 1(8.2)8P ξ== 1(8.6)8P ξ==, 1(9.4)8P ξ== …………………9分 随机变量ξ的分布列为…………………11分 随机变量ξ的期望111111()7.27.4+8+8.2+8.6+9.4=8484888E ξ=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯. …………………13分 17解:〔Ⅰ〕证明：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥, …………………1分 因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PA BC ⊥. …………………2分 因为ABPA A =，且AB ，PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB …………………4分 〔Ⅱ〕证明：因为BC ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB , ξ 7.2 7.4 88.2 8.6 9.4p14 18 14 18 18 18所以BC PB ⊥ …………………5分 在PBC ∆中，BC PB ⊥，MN PB ⊥， 所以MNBC . …………………6分在正方形ABCD 中，AD BC , 所以MN AD ， …………………7分所以 MN AD ，可以确定一个平面，记为α所以,,,M N D A 四个点在同一个平面α内 …………………8分 〔Ⅲ〕因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥,PA AD ⊥. 又AB AD ⊥,如图，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -, …………………9分所以(2,2,0),(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2)C D B P . 设平面DAN 的一个法向量为(,,)n x y z =， 平面CAN 的一个法向量为(,,)m a b c =, 设PN PC λ=, [0,1]λ∈，因为(2,2,2)PC =-，所以(2,2,22)AN λλλ=-，又(0,2,0)AD =，所以00AN n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22(22)020x y z y λλλ++-=⎧⎨=⎩，…………………10分取1z =, 得到1(,0,1)n λλ-=, …………………11分因为(0,0,2)AP =，(2,2,0)AC =所以00AP m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220c a b =⎧⎨+=⎩，取1a =得, 到(1,1,0)m =-, …………………12分因为二面C AN D --大小为3π, 所以π1|cos ,|cos 32m n <>==, z x NMDCB AP所以211|cos ,|2||||12()1m nm n m n λλλλ-⋅<>===-+ 解得12λ=, 所以3PN = …………………14分 18解: 〔Ⅰ〕函数()f x 的定义域为(0,)+∞， …………………1分22111'()x f x x x x -=-=…………………2分 当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1,)+∞'()f x -+()f x极小值…………………4分 函数()f x 在(,)+∞0上的极小值为1()ln1101f a =+-=， 所以()f x 的最小值为0 …………………5分 〔Ⅱ〕解：函数()g x 的定义域为(0,1)(1,)+∞， …………………6分22211ln (1)ln 1()'()ln ln ln x x x f x x x g x x x x--+-=== …………………7分 由〔Ⅰ〕得，()0f x ≥，所以'()0g x ≥…………………8分所以()g x 的单调增区间是(0,1),(1,)+∞，无单调减区间. …………………9分 〔Ⅲ〕证明：假设直线y x =是曲线()g x 的切线. ………………10分设切点为00(,)x y ，那么0'()1g x =，即00201ln 11ln x x x +-= (11)分 又000001,ln x y y x x -==，那么0001ln x x x -=. …………………12分 所以000011ln 1x x x x -==-, 得0'()0g x =，与 0'()1g x =矛盾所以假设不成立，直线y x =不是曲线()g x 的切线 …………………13分19解：〔Ⅰ〕由题意可得，1b =， …………………1分c e a ==…………………2分 得22134a a -=， …………………3分 解24a =， …………………4分椭圆C 的标准方程为2214x y +=. …………………5分 〔Ⅱ〕设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -， 所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-， …………………6分 同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+， 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+， …………………7分 直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-， 线段MN 的中点04(4,)y x ， …………………8分 所以圆的方程为22200044(4)()(1)y x y x x -+-=-， …………………9分 令0y =，那么222002016(4)(1)4y x x x -+=-， (10)分因为220014x y +=，所以 2020114y x -=-， …………………11分所以208(4)50x x -+-=， 因为这个圆与x 轴相交,该方程有两个不同的实数解，所以 0850x ->，解得08(,2]5x ∈. …………………12分设交点坐标12(,0),(,0)x x，那么12||x x -=0825x <≤〕 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为 2. …………………14分方法二：〔Ⅱ〕设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -， 所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-， …………………6分 同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+， 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+， …………………7分 直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-， 假设以MN 为直径的圆与x 轴相交， 那么004(1)[1]y x -+⨯004(1)[1]0y x +-<， …………………9分 即2000200016(1)4(1)4(1)10,y y y x x x --+-+-< 即2020016(1)810.y x x -+-< …………………10分因为 220014x y +=，所以 2020114y x -=-, …………………11分代入得到 0850x ->，解得08(,2]5x ∈. …………………12分 该圆的直径为000004(1)4(1)8|+1(1)|=|2|y y x x x -+---， 圆心到x 轴的距离为0000004(1)4(1)41|+1+(1)|=||2y y y x x x -+-， 该圆在x 轴上截得的弦长为22000044882(1)()25,(2)5y x x x x --=-<≤； 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为 2. …………………14分方法三：〔Ⅱ〕设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -，所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-， …………………6分 同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+， 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+， …………………7分 直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-， 所以000004(1)4(1)8||=|+1(1)|=|2|y y MN x x x -+---， …………………8分 圆心到x 轴的距离为0000004(1)4(1)41|+1+(1)|=||2y y y x x x -+-， …………………9分 假设该圆与x 轴相交，那么04|1|x ->004||y x ， …………………10分 即2200044(1)()0y x x -->， 因为 220014x y +=，所以2020114y x -=-, …………………11分 所以0850x ->，解得08(,2]5x ∈ …………………12分 该圆在x 轴上截得的弦长为22000044882(1)()2525=22y x x x --=-≤-； 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分方法四： 记(20)D ，, (40)H ，，设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由可得(0,1) (0,1)A B -，所以AP 的直线方程为0011y y x x -=+， ……………………….6分 BP 的直线方程为0011y y x x +=-， 令4x =，分别可得004(1)1y m x -=+， 004(1)1y n x +=- ， ……………………….8分所以004(1)(4,1),y M x -+004(1)(41)y N x +-， 假设以MN 为直径的圆与x 轴相交于,E F ，因为EH MN ⊥， 所以2EH HN HM =⋅， ……………………….9分200004(1)4(1)(1)(1)y y EH HN HM x x -+=⋅=-+⋅-220002016168()y x x x -+-=- ……………………….10分 因为 220014x y +=，所以2020114y x -=-, ……………………….11分 代入得到2EH =20020850x x x -=> 所以08(,2]5x ∈， ……………………….12分所以22EF EH ==≤=所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分方法五：设直线 OP 与4x =交于点T因为//MN y 轴，所以有,,AP AO OP BP BO OP PN TN PT PM TM PT ==== 所以AO BO TN TM =，所以TN TM =，所以T 是MN 的中点. ……………………….6分又设000(,)(02)P x y x <≤, 所以直线OP 方程为00y y x x =, ……………………….7分 令4x =,得004y y x =, 所以004(4)y T x ， ……………………….8分 而41r TN x ==- ………………………假设以MN 为直径的圆与x 轴相交于,E F那么00044||1y d r x x =<=- ……………………….10分所以220016(4)y x <-因为 220014x y +=，所以2020114y x -=-,代入得到 ……………………….11分所以200580x x ->，所以085x >或00x < 因为点002x <≤，所以0825x <≤ ……………………….12分 而22220004422(1)()y EF r d x x =-=-- 088252522x =-≤-= 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为 2. …………………14分20解：〔I 〕依照题意，可以取{}5,7A =，{}4,8B =，{}1,2,3,6C = …………………3分 〔II 〕假设存在n 是3的倍数且n U 是可分集合.设3n k =，那么依照题意{3,6,,3}k C ⋅⋅⋅⊆，故C S ≥2333632k k k +++⋅⋅⋅+=， 而这n 个数的和为(1)2n n +，故21(1)3322C n n k k S ++=⋅=2332k k +<, 矛盾， 所以n 是3的倍数时，n U 一定不是可分集合 …………………7分(Ⅲ)n =35. …………………8分 因为所有元素和为(1)2n n +，又B S 中元素是偶数，所以(1)32B n n S +==6m (m 为正整数)所以(1)12n n m +=，因为,1n n +为连续整数，故这两个数一个为奇数，另一个为偶数 由〔Ⅱ〕知道，n 不是3的倍数，所以一定有1n +是3的倍数.当n 为奇数时，1n +为偶数，而(1)12n n m +=，所以一定有1n +既是3的倍数，又是4的倍数，所以112n k +=,所以*121,n k k =-∈N . …………………10分 定义集合{1,5,7,11,...}D =，即集合D 由集合n U 中所有不是3的倍数的奇数组成，定义集合{2,4,8,10,...}E =，即集合E 由集合n U 中所有不是3的倍数的偶数组成，根据集合,,A B C 的性质知道，集合,A D B E ⊆⊆，此时集合,D E 中的元素之和都是224k ，而21(1)24232A B C n n S S S k k +====-， 此时n U 中所有3的倍数的和为2(3123)(41)2462k k k k +--=-， 2224(242)2k k k k --=,22(242)(246)4k k k k k ---=显然必须从集合,D E 中各取出一些元素，这些元素的和都是2k ，所以从集合{1,5,7,11,...}D =中必须取偶数个元素放到集合C 中，所以26k ≥, 所以3k ≥，此时35n ≥而令集合{7,11,13,17,19,23,25,29,31,35}A =，集合{8,10,14,16,20,22,26,28,32,34}B =，集合{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,1,5,2,4}C =，检验可知，此时35U 是可分集合, 所以n 的最小值为35. …………………13分。
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2019届北京市101中学2016级高三下学期5月月考
数学（理）试卷
★祝考试顺利★
一、选择题
1.
已知集合{21|log ,,|,02x A y y x x B y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>==<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,则A B =I A. ()1,+∞ B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D. 1
,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】A {}()211log ,21,,|,1,22x A y y x x B y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫===+∞==<=+∞⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭,所以
()1,A B ⋂=+∞,选A.
2.若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝
⎭⎩是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围是（ ）
A. ()1,+∞
B. （1,8）
C. （4,8）
D. [4,8)
【答案】D
【分析】
根据分段函数单调性列不等式,解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝
⎭⎩是R 上的单调递增函数, 所以140482422a a a a a ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩
故选：D
3.设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数,其导函数为'()f x ,且有
22()'()f x xf x x +>,则不等式2(2018)(2018)x f x ++4(2)0f -->的解集为（ ）
A. (2020,0)-
B. (,2020)-∞-
C. (2016,0)-
D. (,2016)-∞-
【答案】B
由()()22'f x xf x x +>,0x （＜）， 得：232xf x x f x x +'（）（）＜， 即23[]0x f x x '（）＜＜， 令F （x ）=x 2f （x ）,则当0x ＜ 时,
得0F x '（）＜， 即0F x -∞（）在（，） 上是减函
数,2201820182018242F x x f x F f ∴+=++-=-（）（）（），（）（）， 即不等式等价为
201820F x F +--（）（）＞， F x Q （） 在0-∞（，） 是减函数,∴由F 20182x F +-（）＞（） 得,20182x +-＜ ,即2020.x -＜
故选B ． 4.()51(1)1x x
++的展开式中2x 的系数为 A. 10
B. 15
C. 20
D. 25
【答案】C
()5111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=11x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭122334455555551+).C x C x C x C x C x ++++（ 所以()5111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数=2355101020.C C +=+=故选C. 5.大衍数列来源于《乾坤谱》
中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题,该数列从第一项起依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,⋯,则该数列第18项为( )
A. 200
B. 162
C. 144
D. 128。