双曲线知识点总结例题

（二）双曲线知识点及巩固复习
1.双曲线的定义
如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线
若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支
F 1，F
2
为两定点，P为一动点，(1)若||PF
1
|-|PF
2
||=2a
①0<2a<|F
1F
2
|则动点P的轨迹是
②2a=|F
1F
2
|则动点P的轨迹是
③2a=0则动点P的轨迹是
(2) 若|P F
1|-|PF
2
|=2a
①0<2a<|F
1F
2
|则动点P的轨迹是
②2a=|F
1F
2
|则动点P的轨迹是
③2a=0则动点P的轨迹是
2.双曲线的标准方程
3.双曲线的性质
（1）焦点在x轴上的双曲线
标准方程
x,y的范围
顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距
离心率e=范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线
的开口越
准线渐近线焦半径公式|PF
1
|=
|PF
2|= (F
1
，F
2
分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的
一点)
（1）焦点在y轴上的双曲线
标准方程
x,y的范围
顶点焦点对称轴对称中心
实半轴的长虚半轴的长焦距
离心率e=范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线
的开口越
准线渐近线焦半径公式|PF
1
|=
|PF
2|= (F
1
，F
2
分别为双曲线的下上两焦点，P为椭
圆上的一点)
1.等轴双曲线：特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直
③离心率为
2.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线
的共轭双曲线
特点①有共同的渐近线②四焦点共圆
双曲线的共轭双曲线是
6.双曲线系
（1）共焦点的双曲线的方程为(0<k<c2,c为半焦距)
（2）共渐近线的双曲线的方程为
例题
在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支
考点1、双曲线定义
例1、已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程
【例2】若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是（）
A. B. C. D.
【例3】已知双曲线与点M（5，3），F为右焦点，若双曲线上有一点P，使最小，则P点的坐标为
考点2、求双曲线的方程 求双曲线标准方程的方法
1．定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a 、b 、c 即可求得方程． 2．待定系数法
(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法
①与双曲线a2x2
－b2y2
＝1有共同渐近线的双曲线方程可表示为a2x2
－b2y2
＝t (t ≠0)；
②若双曲线的渐近线方程是y ＝±a b x ，则双曲线的方程可表示为a2x2－b2y2
＝t (t ≠0)；③与双曲线a2x2－b2y2＝1共焦点的方程可表示为a2－k x2－b2＋k y2
＝1(－b 2＜k ＜a 2)；
④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为m x2
＋n y2
＝1(mn ＜0)；
⑤与椭圆a2x2
＋b2y2
＝1(a ＞b ＞0)有共同焦点的双曲线方程可表示为a2－λx2
＋b2－λy2
＝1(b 2＜λ＜a 2)．
例4、求下列条件下的双曲线的标准方程．
(1)与双曲线9x2－16y2
＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)；
(2)与双曲线16x2
－4y2
＝1有公共焦点，且过点(3，2)．
1.在双曲线的标准方程中，若x 2的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2的系数是正的，那么焦点在y 轴上，且对于双曲线，a 不一定大于b .
2．若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，以避免分类讨论． 考点3、双曲线的几何性质
双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量，如a 、b 、c 、e 的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程
例5、(12分)双曲线C ：a2x2－b2y2
＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，x 轴上有一点Q (2a,0)，若C 上存在一点P ，使→AP ·→PQ
＝0，求此双曲线离心率的取值范围．
例6、【活学活用】 3.(2012北京期末检测)若双曲线a2x2－b2y2
＝1(a ＞0，b ＞0)
的两个焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．
【例7】直线过双曲线的右焦点，斜率k =2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支
上，则双曲线的离心率e 的范围是 （ ）
A .e >
B.1<e <
C.1<e <
D.e >
【例8】设为双曲线
上的一点，是该双曲线的
两个焦点，若，则
的面积为（ ）A ．
B ．
C.
D ．
【评注】解题中发现△PF 1F 2是直角三角形，是事前 不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能 临场发现的.
将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维 能力，这正是命题人的高明之处. 渐近线——双曲线与直线相约天涯
对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.
双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.
【例9】过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是
【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置.
共轭双曲线——虚、实易位的孪生弟兄
将双曲线的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.
【例10】两共轭双曲线的离心率分别为，证明：=1.
设而不求——与借舟弃舟同理
减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例：
【例11】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）
A. B. C. D.
“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.
但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：
【例12】在双曲线
上，是否存在被点M （1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直
线方程；如不存在，请说明理由.
如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：
练习
1．(2011安徽高考)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2
B ．2
C ．4
D ．4
2．(2011山东高考)已知双曲线a2x2－b2y2
＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2
－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )
A.5x2－4y2＝1
B.4x2－5y2＝1
C.3x2－6y2＝1
D.6x2－3y2＝1
3.(2012嘉兴测试)如图，P 是双曲线4x2
－y 2＝1右支(在第一象限内)上的任意一点，A 1，A 2分别是左、右顶点，O 是坐标原点，直线P A 1，PO ，P A 2的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则斜率之积k 1k 2k 3的取值范围是( )
A ．(0,1)
B ．(0，81)
C ．(0，41)
D ．(0，21
)
4．(金榜预测)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－5,0)和C (5,0)，顶点B 在双曲线16x2－9y2＝1上，则|sin A －sin C|sin B
为( )
A.23
B.32
C.45
D.54
5．P 为双曲线9x2－16y2
＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2
＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
6．(2012南宁模拟)已知点F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，P 为该曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )
A.＋1
B.＋1 C ．2
D ．2
7．方程2－m x2＋|m|－3y2
＝1表示双曲线．那么m 的取值范围是________．
8．(2012大连测试)在双曲线4x 2－y 2＝1的两条渐近线上分别取点A 和B ，使得|OA |·|OB |＝15，其中O 为双曲线的中心，则AB 中点的轨迹方程是________．
9．双曲线a2x2－b2y2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率是2，则3a b2＋1
的最小值是________．
10(2012肇庆模拟)已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是F 1(－3,0)，一条渐近线的方程是 x －2y ＝0.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若以k (k ≠0)为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为281
，求k 的取值范围．
11．(文用)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)． (1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围．
12已知中心在原点，顶点A 1、A 2在x 轴上，离心率e =
的双曲线过点P (6，6) (1)求双曲线方程 (2)
动直线l 经过△A 1PA 2的重心G ，与双曲线交于不同的两点M 、N ，问 是否存在直线l ,使G 平分线段MN ，证明你的结论
13．已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。

14已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线于A、B两点，且（1）
求直线AB的方程；（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
（二）双曲线知识点及巩固复习
1.双曲线的定义
如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线
若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支
F 1，F
2
为两定点，P为一动点，(1)若||PF
1
|-|PF
2
||=2a
①0<2a<|F
1F
2
|则动点P的轨迹是
②2a=|F
1F
2
|则动点P的轨迹是
③2a=0则动点P的轨迹是
(2) 若|P F
1|-|PF
2
|=2a
①0<2a<|F
1F
2
|则动点P的轨迹是
②2a=|F
1F
2
|则动点P的轨迹是
③2a=0则动点P的轨迹是
2.双曲线的标准方程
3.双曲线的性质
（1）焦点在x轴上的双曲线
标准方程
x,y的范围
顶点焦点对称轴对称中心
实半轴的长虚半轴的长焦距
离心率e=范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线
的开口越
准线渐近线焦半径公式|PF
1
|=
|PF
2|= (F
1
，F
2
分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的
一点)
（2）焦点在y轴上的双曲线
标准方程
x,y的范围
顶点焦点对称轴对称中心
实半轴的长虚半轴的长焦距
离心率e=范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线的开口越
准线渐近线焦半径公式|PF
1
|=
|PF
2|= (F
1
，F
2
分别为双曲线的下上两焦点，P为椭
圆上的一点)
3.等轴双曲线：特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直
③离心率为
4.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线
的共轭双曲线
特点①有共同的渐近线②四焦点共圆
双曲线的共轭双曲线是
6.双曲线系
（3）共焦点的双曲线的方程为(0<k<c2,c为半焦距)
（4）共渐近线的双曲线的方程为
考点1。

双曲线的定义及应用
在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支
考点1、双曲线定义
例1、已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程
【自主解答】设动圆M的半径为r，则由已知
|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，
∴|MC 1|－|MC 2|＝2.
又C 1(－4,0)，C 2(4,0)，∴|C 1C 2|＝8，∴2＜|C 1C 2|.
根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以C 1(－4,0)、C 2(4,0)为焦点的双曲线的右支．∵a ＝，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝14，∴点M 的轨迹方程是：2x2
－14y2
＝1(x ≥)．
【例1】若椭圆与双曲线有相同的焦点F 1，
F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ）
A. B. C. D.
【解析】椭圆的长半轴为
双曲线的实半轴为
，故选A.
【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键.
【例2】已知双曲线
与点M （5，3），F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使
最小，则P 点的坐标为
【分析】待求式中的是什么？是双曲线离心率的
倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.
【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率
右准线为.作于N ，交双曲线右支于P ，
连FP ，则.此时
为最小.
在中，令，得取.所求P 点
的坐标为
.
考点2、求双曲线的方程 求双曲线标准方程的方法
1．定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a 、b 、c 即可求得方程． 2．待定系数法
(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法
①与双曲线a2x2－b2y2＝1有共同渐近线的双曲线方程可表示为a2x2－b2y2
＝t (t ≠0)；
②若双曲线的渐近线方程是y ＝±a b
x ，则双曲线的方程可表示为a2x2
－b2y2
＝t (t ≠0)；③与双曲线a2x2
－b2y2
＝1共焦点的方程可表示为a2－k x2
－b2＋k y2
＝1(－b 2＜k ＜a 2)；
④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为m x2
＋n y2
＝1(mn ＜0)；
⑤与椭圆a2x2＋b2y2＝1(a ＞b ＞0)有共同焦点的双曲线方程可表示为a2－λx2＋b2－λ
y2
＝1(b
2
＜λ＜a 2)．
例2、求下列条件下的双曲线的标准方程．
(1)与双曲线9x2－16y2
＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)；
(2)与双曲线16x2
－4y2
＝1有公共焦点，且过点(3，2)．
【自主解答】(1)解法一：经检验知双曲线焦点在x 轴上，故设双曲线的方程为a2x2
－b2y2
＝1，由题意，得＝1，解得a 2＝49
，b 2＝4，
所以双曲线的方程为49－4y2
＝1.
(2)解法一：设双曲线方程为a2x2
－b2y2
＝1，由题意易求c ＝2，又双曲线过点(3，2)，∴a22
－b24
＝1.又∵a 2＋b 2＝(2)2，∴a 2＝12，b 2＝8. 12x2
－8y2
＝1.
解法二：设所求双曲线方程为9x2－16y 2＝λ(λ≠0)，将点(－3,2)代入得λ＝41.
所以双曲线方程为9x2
－16y2
＝41
，即49
－4y2
＝1.
解法二：设双曲线方程为16－k x2
－4＋k y2
＝1，且16－k ＞0,4＋k ＞0.
将点(3，2)代入得k ＝4，且满足上面的不等式，所以双曲线方程为12x2－8y2
＝1.
1.在双曲线的标准方程中，若x 2的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2的系数是正的，那么焦点在y 轴上，且对于双曲线，a 不一定大于b .
2．若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，以避免分类讨论． 考点3、双曲线的几何性质
双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量，如a 、b 、c 、e 的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程
例3、(12分)双曲线C ：a2x2－b2y2
＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，x 轴上有一点Q (2
a,0)，若C 上存在一点P ，使→AP ·→PQ ＝0，求此双曲线离心率的取值范围．
【规范解答】设P 点坐标为(x ，y )，
则由→AP ·→PQ ＝0，得AP ⊥PQ ，
即P 点在以AQ 为直径的圆上，
∴(x －23a )2＋y 2＝(2a )2.①又P 点在双曲线上，得a2x2－b2y2＝1.②
(a 2＋b 2)x 2－3a 3x ＋2a 4－a 2b 2＝0.
即[(a 2＋b 2)x －(2a 3－ab 2)](x －a )＝0.6分
当x ＝a 时，P 与A 重合，不符合题意，舍去当x ＝a2＋b22a3－ab2时，满足题意的
P 点存在，需x ＝a2＋b22a3－ab2＞a ，化简得a 2＞2b 2，即3a 2＞2c 2，a c ＜26.10分∴离心
率e ＝a c ∈(1，26).12分
例4、【活学活用】 3.(2012北京期末检测)若双曲线a2x2－b2y2＝1(a ＞0，b ＞0)
的两个焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．
解析：依题意得|PF1|－|PF2|＝2a |PF1|＝3|PF2|，
由此解得|PF 2|＝a ≥c －a ，即c ≤2a ，e ＝a c ≤2，
即该双曲线的离心率不超过2.
又双曲线的离心率大于1，
因此该双曲线的离心率e 的取值范围是(1,2]．
【例5】直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围是（）
A.e>
B.1<e<
C.1<e<
D.e>
【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就
考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握，
但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线
的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的
渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与
之相交.故有如下妙解.
【解析】如图设直线的倾斜角为α，双曲线渐近线
的倾斜角为β.显然。

当β＞α时直线与双曲线的两
个交点分别在左右两支上.由
.
∵双曲线中，故取e>.选D.
【例6】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）
A． B． C. D．
【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：
.设；
于是
，
故知△PF1F2是直角三角形，∠F1P F2=90°.
∴.选B.
【评注】解题中发现△PF1F2是直角三角形，是事前
不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能
临场发现的.
将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维
能力，这正是命题人的高明之处.
渐近线——双曲线与直线相约天涯
对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.
双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.
【例7】过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是
【解析】设所求双曲线为
点（1，3）代入：.代入（1）：
即为所求.
【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置.
共轭双曲线——虚、实易位的孪生弟兄
将双曲线的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.
【例8】两共轭双曲线的离心率分别为，证明：=1.
【证明】双曲线的离心率；
双曲线的离心率.
∴.
考点5、直线与双曲线位置关系
设而不求——与借舟弃舟同理
减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例：
【例9】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（）
A. B. C. D.
【解析】设弦的两端分别为.则有：
.
∵弦中点为（2，1），∴.故直线的斜率.
则所求直线方程为：，故选C.
“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.
但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：
【例10】在双曲线上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.
如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：
【错解】假定存在符合条件的弦AB，其两端分别为：A（x1，y1），B（x2，y2）.那么：
.
∵M（1，1）为弦AB的中点，
∴
故存在符合条件的直线AB，其方程为：.
这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：
其一：将点M（1，1）代入方程，发现左式=1-＜1，故点M（1，1）在双曲线
的外部；其二：所求直线AB的斜率，而双曲线的渐近线为.这里，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.
问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件.
【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由
这里，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.
此外，上述解法还疏忽了一点：只有当时才可能求出k=2.若.说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.
结论；不存在符合题设条件的直线.
练习
1．(2011安徽高考)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )
A ．2
B ．2
C ．4
D ．4
解析：2x 2－y 2＝8化为标准形式：4x2－8y2＝1，∴a 2＝4.∴a ＝2.∴实轴长2a ＝4.
2．(2011山东高考)已知双曲线a2x2－b2y2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2
－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )
A.5x2－4y2＝1
B.4x2－5y2＝1
C.3x2－6y2＝1
D.6x2－3y2＝1
解析：由题意得，a2x2－b2y2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线方程为y ＝±a b x ，
即bx ±ay ＝0，又圆C 的标准方程为：(x －3)2＋y 2＝4，半径为2，圆心坐标为(3,0)．
∴a 2＋b 2＝32＝9，且a2＋b2|3b|＝2，解得a 2＝5，b 2＝4.∴该双曲线
的方程为5x2－4y2＝1.
3.(2012嘉兴测试)如图，P 是双曲线4x2－y 2＝1右支(在第一象限内
)上的任意一点，A 1，A 2分别是左、右顶点，O 是坐标原点，直线P A 1，PO ，P A 2的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则斜率之积k 1k 2k 3的取值范围是( )
A ．(0,1)
B ．(0，81)
C ．(0，41)
D ．(0，21)
解析：设P (x ，y )，则x y ∈(0，21)，且x 2－4＝4y 2(x ＞0，y ＞0)，∴k 1k 2k 3＝x(x2－4y3＝4x y ∈(0，
81)．
4．(金榜预测)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－5,0)和C (5,0)，顶点B
在双曲线16x2－9y2＝1上，则|sin A －sin C|sin B 为( )
A.23
B.32
C.45
D.54
解析：由题意得a ＝4，b ＝3，c ＝5. A 、C 为双曲线的焦点，∴||BC |－|BA ||＝8，|AC |＝10.
由正弦定理得|sin A －sin C|sin B ＝||BC|－|BA|||AC|＝810＝45.
5．P 为双曲线9x2－16y2＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2
＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
解析：易知两圆圆心为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线方程
知a ＝3，b ＝4，则c ＝5，故两圆心恰好为双曲线的两个焦点．
|PM |－|PN |的最大值为如图所示的情况，
即|PM |－|PN |≤|PF 1|＋|F 1M |－(|PF 2|－|NF 2|)＝|PF 1|＋2－|PF 2|＋1＝2a ＋3＝2×3＋3＝9.
6．(2012南宁模拟)已知点F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，P 为该曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )
A.＋1
B.＋1
C ．2
D ．2
解析：不妨设P点在双曲线的右支上，
则|PF 1|－|PF 2|＝2a .
∵△PF 1F 2是等腰直角三角形，
∴只能是∠PF 2F 1＝90°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ， ∴|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝2a ＋2c ，∴(2a ＋2c )2＝2·(2c )2，
即c 2－2ac －a 2＝0，两边同除以a 2，得e 2－2e －1＝0.∵e ＞1，∴e ＝＋1.
7．方程2－m x2＋|m|－3y2
＝1表示双曲线．那么m 的取值范围是________．
解析：注意分两种情况．一是实轴在x 轴上，二是实轴在y 轴上．依题意有|m|－3＜0，2－m ＞0，
或|m|－3＞0，2－m ＜0，
得m ＞3或－3＜m ＜2.
8．(2012大连测试)在双曲线4x 2－y 2＝1的两条渐近线上分别取点A 和B ，使得|OA |·|OB |＝15，其中O 为双曲线的中心，则AB 中点的轨迹方程是________．
解析：双曲线4x 2－y 2＝1的两条渐近线方程为2x ±y ＝0，设A (m,2m )，B (n ，－2n )，AB 中点M (x ，y )，则，2m －2n 即y ＝m －n ，，
所以4x 2－y 2＝4mn .
由|OA |·|OB |＝×＝|m |×|n |＝15，得|mn |＝3，
所以AB 中点的轨迹方程是4x 2－y 2＝±12，即3x2－12y2
＝±1.
9．双曲线a2x2－b2y2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率是2，则3a b2＋1
的最小值是________． 解析：a c ＝2⇒a2c2＝4⇒a 2＋b 2＝4a 2⇒3a 2＝b 2，则3a b2＋1＝3a 3a2＋1＝a ＋3a 1≥231＝33， 当a ＝3a 1，即a ＝33时取最小值33.
10(2012肇庆模拟)已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是F 1(－3,0)，一条渐近线的方程是 x －2y ＝0.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
281
，求k 的取值范围．
解：(1)设双曲线C 的方程为a2x2－b2y2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题设得5解得b2＝5.a2＝4，
所以双曲线C 的方程为：
(2)设直线l 的方程为：4x2－5y2
＝1. y ＝kx ＋m (k ≠0)，
则点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)的坐标满足方程组＝1， ②y2得4x2－5(kx ＋m
＝1， 整理得(5－4k 2)x 2－8kmx －4m 2－20＝0.此方程有两个不等实根，于是5－4k 2≠0， 且Δ＝(－8km )2＋4(5－4k 2)(4m 2＋20)＞0，整理得m 2＋5－4k 2＞0.③
由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标(x 0，y 0)满足x 0＝2x1＋x2＝5－4k24km
，y 0＝kx 0
＋m ＝5－4k25m ，从而线段MN 的垂直平分线的方程为y －5－4k25m ＝－k 1(x －5－4k24km
)．
此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为
(5－4k29km ，0)，(0，5－4k29m )，由题设可得21|5－4k29km |·|5－4k29m |＝281， 整理得m 2＝|k|(5－4k2，k ≠0.将上式代入③式得|k|(5－4k2
＋5－4k 2＞0，
整理得(4k 2－5)(4k 2－|k |－5)＞0，k ≠0，解得
0＜|k |＜25或|k |＞45
.
所以k 的取值范围是(－∞，－45)∪(－25，0)∪(0，25)∪(45
，＋∞)． 10．(文用)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)． (1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围．
解：(1)设双曲线方程为a2x2－b2y2
＝1(a ＞0，b ＞0)．由已知得a ＝，c ＝2.
又a 2
＋b 2
＝c 2
，得b 2
＝1.故双曲线C 的方程为3x2
－y 2＝1.
(2)联立－y2＝1x2
整理得，(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴Δ＝12(m2＋1－3k21－3k2≠0，
可得m 2＞3k 2－1且k 2≠31
.①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为B (x 0，y 0)，
则x 1＋x 2＝1－3k26km ，x 0＝2x1＋x2＝1－3k23km ，y 0＝kx 0＋m ＝1－3k2m
. 由题意，AB ⊥MN ，∵k AB ＝1－3k23km ＝－k 1
(k ≠0，m ≠0)．
整理得3k 2＝4m ＋1.②将②代入①，得m 2－4m ＞0，∴m ＜0或m ＞4.
又3k 2＝4m ＋1＞0(k ≠0)，即
m ＞－41.∴m 的取值范围是(－41
，0)∪(4，＋∞)．
11已知中心在原点，顶点A 1、A 2在x 轴上，离心率e =
的双曲线过点P (6，6) (1)求双曲线方程 (2)
动直线l 经过△A 1PA 2的重心G ，与双曲线交于不同的两点M 、N ，问 是否存在直线l ,使G 平分线段MN ，证明你的结论
解 (1)如图，设双曲线方程为=1 由已知得
,解得a 2=9,b 2=12 所以所求双曲线方程为
=1
(2)P 、A 1、A 2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G 的坐标为(2，2） 假设存在直线l ，使G (2，2)平分线段MN ，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2) 则有
，∴k l =∴l 的方程为
y=(x－2)+2,由,消去y,整理得x2－4x+28=0∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l不存在
12．已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。

错解设符合题意的直线存在，并设、
则（1）得
因为A（1，1）为线段PQ的中点，所以将(4)、(5)代入（3）得
若，则直线的斜率所以符合题设条件的直线存在。

其方程为剖析在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推
出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。

应在上述解题的基础上，再由
得根据,说明所求直线不存在。

13已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线于A、B两点，且（1）
求直线AB的方程；（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
解：（1）设直线AB：代入得
（＊）
令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程的两根∴且
∵∴N是AB的中点∴
∴k = 1 ∴AB方程为：y = x + 1
（2）将k = 1代入方程（＊）得或由得，
∴，∵∴CD垂直平分AB∴CD所在直线方程为即代入双曲线方程整理得令，及CD中点则，，∴，
|CD| =，，即A、B、C、D 到M距离相等
∴A、B、C、D四点共圆
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。