4-1-2概率论
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k
1 因此, 只要选择 k 使 1 q 1, k 则 N 个人平均需化验的次数 N .
k
当 p 固定时, 选取 k 使得 1 k L 1 q 小于1且取到最小值 , k 此时可得到最好的分组 方法.
1 EX 1 q 取得 例如，p=0.03，则当k=6时， k
பைடு நூலகம்
例9 顾客平均等待多长时间? 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间
X(以分计)服从指数分布,其概率密度为 1 x 5 e , x 0, f ( x) 5 x 0. 0,
试求顾客等待服务的平均时间? 解 E( X ) x f ( x)d x
假设每个人化验呈 阳性的概率为 p, 且这些人 的化验反应是相互独立 的.试说明当p较小时, 选取 适当的k , 按第二种方法可以减少 化验的次数.并说 明 k 取什么值时最适宜. 解 由于血液呈阳性反应的概率为 p,
所以血液呈阴性反应的概率为 q 1 p,
因而 k 个人的混合血呈阴性反 应的概率为q k , k 个人的混合血呈阳性反 应的概率为 1 qk .
12 11 P{ X 12} 1 P{ X 12} 1 0.1587 1
故销售一个零件的平均利润为
EY 20 P{10 X 12} P{ X 10} 5 P{ X 12} 20 0.6826 0.1587 5 0.1587 12.6998
k 1 k 1
因此, EX k P{ X k } k pqk 1
q k k p (q ) p q p 1 q i 1 i 1 1 1 1 p . 2 p 2 p p (1 q )
10 5% 0.5(万元),
2 0.7
EX 8 0.3 2 0.7 1(万元), 存入银行的利息:
故应选择投资.
例5 假设由自动生产线加工的某种零件的内径X(毫米) 服从正态分布N(11，1)，内径小于10或大12为不合格 品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件 不合格品亏损，已知销售利润Y(单位：元)与销售零 件的内径X有如下关系： 1, 若X 10 Y 20, 若10 X 12 5, 若X 12 试求销售一个零件的平均利润？
0
1 x 5 x e d x 5(分钟). 5
因此, 顾客平均等待5分钟就可得到服务.
例10 设连续型随机变量X 的概率密度为 kx 2 , 0 x 1 f ( x) 0， 其它 试求：(1)系数k；(2)EX。 3 1 x k 1 2 解 (1)由 1 f ( x )dx 0 kx dx k 3 3 1 0
nk 频率 n
0
2
1
13
2
15
3 10
4 20
5
30
30 90
2 90
13 90
15 90
10 90
20 90
试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?
解
射中靶的总环数 平均射中环数 射击次数
0 2 1 13 2 15 3 10 4 20 5 30 90 2 13 15 10 20 0 1 2 3 4 90 90 90 90 90 30 5 90 5 5 nk k k f k 3.37. n k 0 k 0 设射手命中的环数为随机变量 Y .
一、 离散型随机变量的数学期望
定义 设离散型随机变量X的分布律为
P{X xk } pk
k 1
k 1, 2
若级数： x k pk 绝对收敛， 则称该级数的和为随机变量X的数学期望。 记为E(X)或简记为EX ，即：
EX
k 1
xk pk
重新分析射击问题
“平均射中环数”应为随机变量Y 的数学期望
例1 设随机变量X服从(0－1)分布， 其分布律为
P{X x} p q
k 1k
k 1, 2
其中0<p<1，q=1-p。试求EX 。
解 EX = 0×q+1×p = p。
例2 甲、乙2人生产同一种产品，日产量相等，在一 天中出现的废品数分别为X和Y ，其分布律如下表所 示。试比较2人的技术情况。 X 0 1 2 3 4 p 0.4 0.3 0.2 0.1 0
Y p
0 0.5
1 2 0.1 0.2
3 0.1
4 0.1
解 因为 EX= 0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0=1.0； EY=0×0.5+1×0.1+2×0.2+3×0.1+4×0.1=1.2。 因此，就平均而言，乙每天出现的废品数比甲多，从 这个意义上讲，甲的技术要比乙好些。
主要内容：
§1 §2 §3 §4 数学期望 方差 协方差及相关系数 矩、协方差矩阵
§4.1
数学期望
一、随机变量的数学期望 二、随机变量函数的数学期望 三、几个常用随机变量的数学期望 四、数学期望的性质
射击问题
设某射击手在同样的条 件下,瞄准靶子相继射击90次, (命中的环数是一个随机变量). 射中次数记录如下 命中环数 k 命中次数 nk
每张彩票平均可赚
2 0.5 0.3 1.2(元),
因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为
100000 1.2 120000(元).
例4 如何确定投资决策方向? 某人有10万元现金，想投资于某 项目，预估成功的机会为 30%，可得 利润8万元 ， 失败的机会为70%，将 损失 2 万元．若存入银行，同期间的 利率为5% ，问是否作此项投资? X 8 解 设 X 为投资利润，则 p 0 .3
解 设每张彩票中奖的数额为随机变量X, 则
X 10000 p 1 105
5000 2 105
1000 100 10 0 10 105 100 1051000 105 p0
每张彩票平均能得到奖金
1 2 EX 10000 5 5000 5 0 p0 10 10
0.5(元),
是比较平均成绩以及该班每个学生的成绩与平均成
绩的偏离程度，一般总是认为平均成绩高、偏离程
度小的班级当然学习情况好些。这种“平均成绩”、 “偏离程度”显然不是对考试成绩这个随机变量的 全 面描述，但它们确实反映了考试成绩这个随机变量
的某些特征。
这样的例子还可以举出很多：比较不同品种 农作物的产量，通常只需比较平均亩产量；比较 两种钢材的抗拉强度，只需比较它们的平均抗拉 强度； 检查一批棉花的质量，只需了解这批棉花的平 均纤维长度及这批绵花的纤维长度与平均纤维长
即销售一个零件的平均利润为12.6998元。
例6 按规定，某车站每天8:00—9:00，9:00—10:00 都恰有一辆客车到站, 但到站时刻是随机的, 且两者 到站的时间相互独立, 其规律为： 到站时刻 概率 8:10 8:30 9:10 9:30 1/6 3/6 8:50 9:50 2/6
(1) 一旅客8:00到站，求他候车时间的数学期望；
例8 分组验血 在一个人数很多的团体中普查某种疾病, 为 此要抽验 N 个人的血, 可以用两种方法进行.
(i) 将每个人的血分别去化验 , 这就需化验 N 次. (ii) 按 k 个人一组进行分组 , 把从 k 个人抽来
的血混合在一起进行化 验 , 如果这混合血液呈阴 性反应 , 就说明 k 个人的血都呈阴性反应 , 这样, 这 k 个人的血就只需验一次 . 若呈阳性 , 则再对这 k 个人的血液分别进行化 验 , 这样, k 个人的血共 最多需化验 k 1 次.
第四章 随机变量的数字特征
从前面的讨论中知道，随机变量的分布函
数(分布律或概率密度)全面描述了随机变量的统
计规律性。但是，要求出随机变量的分布函数
有时并不容易，同时在许多实际问题中，这种
全面描述有时并不方便。
举例来说，要比较两个班级学生的学习情况， 如果仅考察某次考试的成绩分布，有高有低、参差
不齐，难以看出哪个班的学生成绩更好一些。通常
设以 k 个人为一组时, 组内每人的血化验的次数为 X ,
则 X 为一随机变量 , 且其分布律为
X
1 k
k 1 k
pk
qk
1 qk
X 的数学期望为
1 k 1 1 k k E ( X ) q (1 )(1 q ) 1 q . k k k 1 N 个人平均需化验的次数为 N (1 q ). k
度的偏离程度等等。
由这些例子可以看到，某些与随机变量有关的 数值，虽然不能完整地描述随机变量，但比较集中
地概括了人们所关心的某些特征，我们把描述随机
变量某些特征的数字，称为随机变量的数字特征。
这些数字特征无论在理论上，还是在实践上都
具有重要意义。 本章将介绍随机变量的几个常用的数字特征： 数学期望、方差、相关系数和矩。
(1/6) × (1/6) (3/6) ×(1/6) (2/6) ×(1/6)
EX 27. 22
例7 设某射手的命中率为p(0<p<1)，试求射击时，首 次命中时的平均射击次数。
解 显然,
P{ X k } (1 p)k 1 p pqk 1 , q 1 p, i 1,2,.
例3 发行彩票的创收利润 某一彩票中心发行彩票 10万张, 每张2元. 设 头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个,奖金各 5 千元; 三等奖 10个, 奖金各1千元; 四等奖100个, 奖金各 100元; 五等奖1000个, 奖金各10 元.每张彩票的成 本费为 0.3 元, 请计算彩票发行单位的创收利润.
(2) 一旅客8:20到站，求他候车时间的数学期望。
解：设旅客的候车时间为X （分钟）。 X 10 30 50 （ 1） 1/6 3/6 2/6 pk
1 3 2 EX 10 30 50 33. 33 6 6 6
(2) X 10 30 50 70 90
pk 3/6 2/6
k
最小值，此时得到最好的分组方法。此时每人平均只 需检验1－0.97+1/ 6≈0.334。这样，平均说来，可以减 少近2/3的工作量。
二、连续型随机变量的数学期望
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x ), 若积分
x f ( x ) d x
绝对收敛 , 则称积分 x f ( x ) d x 的值为随机 变量 X 的数学期望 , 记为 EX . 即 EX x f ( x ) d x .
解 先求零件的内径X在各个区间的概率，即有
10 11 P{ X 10} ( 1) 1 0.8413 0.1587 1
12 11 12 10 P{10 X 12} (1) ( 1) 1 1 2(1) 1 2 0.8413 1 0.6826
EX 0 p0 1 p1 2 p2 3 p3 4 p4 5 p5 .
关于定义的几点说明 (1) EX是一个实数,而非变量,它是一种加
权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变. (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同.
nk 平均射中环数 k n k 0 随机波动
5
频率随机波动
“平均射中环数”的稳定值 ? 由第一章中关于频率和概率的关系讨论可知， 在求平均值时，理论上应该用概率pk去代替上述 和式中的频率fk，这样得到的平均值才是理论上
的(也是真正意义上的)平均值，它不会随试验的
变化而变化。这种平均值，称为随机变量的数学 期望或简称为期望(均值)。
1 因此, 只要选择 k 使 1 q 1, k 则 N 个人平均需化验的次数 N .
k
当 p 固定时, 选取 k 使得 1 k L 1 q 小于1且取到最小值 , k 此时可得到最好的分组 方法.
1 EX 1 q 取得 例如，p=0.03，则当k=6时， k
பைடு நூலகம்
例9 顾客平均等待多长时间? 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间
X(以分计)服从指数分布,其概率密度为 1 x 5 e , x 0, f ( x) 5 x 0. 0,
试求顾客等待服务的平均时间? 解 E( X ) x f ( x)d x
假设每个人化验呈 阳性的概率为 p, 且这些人 的化验反应是相互独立 的.试说明当p较小时, 选取 适当的k , 按第二种方法可以减少 化验的次数.并说 明 k 取什么值时最适宜. 解 由于血液呈阳性反应的概率为 p,
所以血液呈阴性反应的概率为 q 1 p,
因而 k 个人的混合血呈阴性反 应的概率为q k , k 个人的混合血呈阳性反 应的概率为 1 qk .
12 11 P{ X 12} 1 P{ X 12} 1 0.1587 1
故销售一个零件的平均利润为
EY 20 P{10 X 12} P{ X 10} 5 P{ X 12} 20 0.6826 0.1587 5 0.1587 12.6998
k 1 k 1
因此, EX k P{ X k } k pqk 1
q k k p (q ) p q p 1 q i 1 i 1 1 1 1 p . 2 p 2 p p (1 q )
10 5% 0.5(万元),
2 0.7
EX 8 0.3 2 0.7 1(万元), 存入银行的利息:
故应选择投资.
例5 假设由自动生产线加工的某种零件的内径X(毫米) 服从正态分布N(11，1)，内径小于10或大12为不合格 品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件 不合格品亏损，已知销售利润Y(单位：元)与销售零 件的内径X有如下关系： 1, 若X 10 Y 20, 若10 X 12 5, 若X 12 试求销售一个零件的平均利润？
0
1 x 5 x e d x 5(分钟). 5
因此, 顾客平均等待5分钟就可得到服务.
例10 设连续型随机变量X 的概率密度为 kx 2 , 0 x 1 f ( x) 0， 其它 试求：(1)系数k；(2)EX。 3 1 x k 1 2 解 (1)由 1 f ( x )dx 0 kx dx k 3 3 1 0
nk 频率 n
0
2
1
13
2
15
3 10
4 20
5
30
30 90
2 90
13 90
15 90
10 90
20 90
试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?
解
射中靶的总环数 平均射中环数 射击次数
0 2 1 13 2 15 3 10 4 20 5 30 90 2 13 15 10 20 0 1 2 3 4 90 90 90 90 90 30 5 90 5 5 nk k k f k 3.37. n k 0 k 0 设射手命中的环数为随机变量 Y .
一、 离散型随机变量的数学期望
定义 设离散型随机变量X的分布律为
P{X xk } pk
k 1
k 1, 2
若级数： x k pk 绝对收敛， 则称该级数的和为随机变量X的数学期望。 记为E(X)或简记为EX ，即：
EX
k 1
xk pk
重新分析射击问题
“平均射中环数”应为随机变量Y 的数学期望
例1 设随机变量X服从(0－1)分布， 其分布律为
P{X x} p q
k 1k
k 1, 2
其中0<p<1，q=1-p。试求EX 。
解 EX = 0×q+1×p = p。
例2 甲、乙2人生产同一种产品，日产量相等，在一 天中出现的废品数分别为X和Y ，其分布律如下表所 示。试比较2人的技术情况。 X 0 1 2 3 4 p 0.4 0.3 0.2 0.1 0
Y p
0 0.5
1 2 0.1 0.2
3 0.1
4 0.1
解 因为 EX= 0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0=1.0； EY=0×0.5+1×0.1+2×0.2+3×0.1+4×0.1=1.2。 因此，就平均而言，乙每天出现的废品数比甲多，从 这个意义上讲，甲的技术要比乙好些。
主要内容：
§1 §2 §3 §4 数学期望 方差 协方差及相关系数 矩、协方差矩阵
§4.1
数学期望
一、随机变量的数学期望 二、随机变量函数的数学期望 三、几个常用随机变量的数学期望 四、数学期望的性质
射击问题
设某射击手在同样的条 件下,瞄准靶子相继射击90次, (命中的环数是一个随机变量). 射中次数记录如下 命中环数 k 命中次数 nk
每张彩票平均可赚
2 0.5 0.3 1.2(元),
因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为
100000 1.2 120000(元).
例4 如何确定投资决策方向? 某人有10万元现金，想投资于某 项目，预估成功的机会为 30%，可得 利润8万元 ， 失败的机会为70%，将 损失 2 万元．若存入银行，同期间的 利率为5% ，问是否作此项投资? X 8 解 设 X 为投资利润，则 p 0 .3
解 设每张彩票中奖的数额为随机变量X, 则
X 10000 p 1 105
5000 2 105
1000 100 10 0 10 105 100 1051000 105 p0
每张彩票平均能得到奖金
1 2 EX 10000 5 5000 5 0 p0 10 10
0.5(元),
是比较平均成绩以及该班每个学生的成绩与平均成
绩的偏离程度，一般总是认为平均成绩高、偏离程
度小的班级当然学习情况好些。这种“平均成绩”、 “偏离程度”显然不是对考试成绩这个随机变量的 全 面描述，但它们确实反映了考试成绩这个随机变量
的某些特征。
这样的例子还可以举出很多：比较不同品种 农作物的产量，通常只需比较平均亩产量；比较 两种钢材的抗拉强度，只需比较它们的平均抗拉 强度； 检查一批棉花的质量，只需了解这批棉花的平 均纤维长度及这批绵花的纤维长度与平均纤维长
即销售一个零件的平均利润为12.6998元。
例6 按规定，某车站每天8:00—9:00，9:00—10:00 都恰有一辆客车到站, 但到站时刻是随机的, 且两者 到站的时间相互独立, 其规律为： 到站时刻 概率 8:10 8:30 9:10 9:30 1/6 3/6 8:50 9:50 2/6
(1) 一旅客8:00到站，求他候车时间的数学期望；
例8 分组验血 在一个人数很多的团体中普查某种疾病, 为 此要抽验 N 个人的血, 可以用两种方法进行.
(i) 将每个人的血分别去化验 , 这就需化验 N 次. (ii) 按 k 个人一组进行分组 , 把从 k 个人抽来
的血混合在一起进行化 验 , 如果这混合血液呈阴 性反应 , 就说明 k 个人的血都呈阴性反应 , 这样, 这 k 个人的血就只需验一次 . 若呈阳性 , 则再对这 k 个人的血液分别进行化 验 , 这样, k 个人的血共 最多需化验 k 1 次.
第四章 随机变量的数字特征
从前面的讨论中知道，随机变量的分布函
数(分布律或概率密度)全面描述了随机变量的统
计规律性。但是，要求出随机变量的分布函数
有时并不容易，同时在许多实际问题中，这种
全面描述有时并不方便。
举例来说，要比较两个班级学生的学习情况， 如果仅考察某次考试的成绩分布，有高有低、参差
不齐，难以看出哪个班的学生成绩更好一些。通常
设以 k 个人为一组时, 组内每人的血化验的次数为 X ,
则 X 为一随机变量 , 且其分布律为
X
1 k
k 1 k
pk
qk
1 qk
X 的数学期望为
1 k 1 1 k k E ( X ) q (1 )(1 q ) 1 q . k k k 1 N 个人平均需化验的次数为 N (1 q ). k
度的偏离程度等等。
由这些例子可以看到，某些与随机变量有关的 数值，虽然不能完整地描述随机变量，但比较集中
地概括了人们所关心的某些特征，我们把描述随机
变量某些特征的数字，称为随机变量的数字特征。
这些数字特征无论在理论上，还是在实践上都
具有重要意义。 本章将介绍随机变量的几个常用的数字特征： 数学期望、方差、相关系数和矩。
(1/6) × (1/6) (3/6) ×(1/6) (2/6) ×(1/6)
EX 27. 22
例7 设某射手的命中率为p(0<p<1)，试求射击时，首 次命中时的平均射击次数。
解 显然,
P{ X k } (1 p)k 1 p pqk 1 , q 1 p, i 1,2,.
例3 发行彩票的创收利润 某一彩票中心发行彩票 10万张, 每张2元. 设 头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个,奖金各 5 千元; 三等奖 10个, 奖金各1千元; 四等奖100个, 奖金各 100元; 五等奖1000个, 奖金各10 元.每张彩票的成 本费为 0.3 元, 请计算彩票发行单位的创收利润.
(2) 一旅客8:20到站，求他候车时间的数学期望。
解：设旅客的候车时间为X （分钟）。 X 10 30 50 （ 1） 1/6 3/6 2/6 pk
1 3 2 EX 10 30 50 33. 33 6 6 6
(2) X 10 30 50 70 90
pk 3/6 2/6
k
最小值，此时得到最好的分组方法。此时每人平均只 需检验1－0.97+1/ 6≈0.334。这样，平均说来，可以减 少近2/3的工作量。
二、连续型随机变量的数学期望
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x ), 若积分
x f ( x ) d x
绝对收敛 , 则称积分 x f ( x ) d x 的值为随机 变量 X 的数学期望 , 记为 EX . 即 EX x f ( x ) d x .
解 先求零件的内径X在各个区间的概率，即有
10 11 P{ X 10} ( 1) 1 0.8413 0.1587 1
12 11 12 10 P{10 X 12} (1) ( 1) 1 1 2(1) 1 2 0.8413 1 0.6826
EX 0 p0 1 p1 2 p2 3 p3 4 p4 5 p5 .
关于定义的几点说明 (1) EX是一个实数,而非变量,它是一种加
权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变. (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同.
nk 平均射中环数 k n k 0 随机波动
5
频率随机波动
“平均射中环数”的稳定值 ? 由第一章中关于频率和概率的关系讨论可知， 在求平均值时，理论上应该用概率pk去代替上述 和式中的频率fk，这样得到的平均值才是理论上
的(也是真正意义上的)平均值，它不会随试验的
变化而变化。这种平均值，称为随机变量的数学 期望或简称为期望(均值)。