十字相乘法导学案精讲精练(2课时共10页)

因式分解——十字相乘法（1）
【教学目标】1.能较熟练地用十字相乘法把形如2x px q ++的二次三项式分解因式；
2.过课堂交流，锻炼学生数学语言的表达能力；
3.培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质．
【教学重点】能较熟练地用十字相乘法把形如2x px q ++ 的二次三项式分解因式． 【教学难点】把2x px q ++分解因式时，准确地找出a b 、，使;a b q a b p ⋅=+= 【教学过程】 一、复习导入 1．口答计算结果：
(1) (2)(1)x x ++ (2) (2)(1)x x +- (3) (2)(1)x x -+ (4) (2)(1)x x -- (5) (2)(3)x x ++ (6) (2)(3)x x -- (7) (2)(3)x x -+ (8) (2)(3)x x -- 2．问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢?
[在多项式的乘法中,有十字相乘公式2()()()x a x b x a b x ab ++=+++]
二、探索新知 1．观察与发现:
等式的左边是两个一次二项式相乘,右边是二次三项式,这个过程将积的形式转化成和差形式,进行的是乘法计算．
反过来可得 2()()()x a b x ab x a x b +++=++
等式的左边是二次三项式,右边是两个一次二项式相乘,这个过程将和差的形式转化成积的形式,进行的是因式分解． 2．体会与尝试：
①试一试 因式分解: 243x x ++；223x x --
将二次三项式243x x ++因式分解，就需要将二次项2x 分解为x x ∙，常数项3分解为3×1，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示:
243(3)(1)x x x x ++=++.
3x + x =4x
②定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法． ③拆一拆 将下列各数表示成两个整数的积的形式（尽所有可能）： 6= ； 12= ； 24= ； -6= ； -12= ； -24= . ④练一练 将下列各式用十字相乘法进行因式分解：
(1) 276x x -+； (2) 256x x -- ； (3) 2812x x ++； (4) 21112x x --； (5) 21024x x ++； (6) 2524x x --；
3．思考与归纳：
要将二次三项式2x px q ++因式分解，就需要找到两个数a b 、，使它们的积等于常数项q ，和等于一次项系数p , 满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即
22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++
用十字交叉线表示:
ax + bx =()a b x +
由于把2x px q ++中的q 分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行因式分解． 三、课堂练习：
（1）分解因式：①562++x x ②862++y y ③1682+-x x ④21102+-a a
⑤1452-+x x ⑥542-+t t ⑦14132--x x ⑧6322--x x
（2）先填空,再分解（尽可能多的）：2x ( ) x + 60 = ； 5.讨论：22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++中的符号规律． 四、课堂小结
对二次三项式2x px q ++进行因式分解，应重点掌握以下三个方面：
x x
3+1+x x a b
1．掌握方法: 拆分常数项,验证一次项.
2．符号规律: 当0q >时，a b 、同号，且a b 、的符号与p 的符号相同；
当0q <时，a b 、异号，且绝对值较大的因数与p 的符号相同.
3．书写格式:竖分横积
五、作业布置
1.用十字相乘法将下列二次三项式进行因式分解：
（1）232
++x x （2）232
+-x x （3）322
-+x x （4）322
--x x
（5） 652
++x x （6）652
+-x x （7）652
-+x x （8）652
--x x
（9） 22
-+x x （10）1242
--x x （11） 6322
-+x x （12）1582
+-x x
（13） 32122
++x x （14）9102
++x x （15）1032
--x x （16）1522
--x x
2.思考：将2(23)6(23)5x x -+-+进行因式分解．
因式分解——十字相乘法（2）
【教学目标】1、能较熟练地用十字相乘法把二次项系数不为1的二次三项式分解因式；
2、通过问题研究，培养学生整体代换等数学思想；
3、通过问题设计，培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力.
【教学重点】能较熟练地用十字相乘法把二次项系数不为1的二次三项式分解因式.
【教学难点】灵活运用十字相乘法分解因式.
【教学过程】
一、复习导入
1.因式分解：
（1）256
-+（4）212
x x
x x
--
x x
++（2）2224
x x
+-（3）268
问题：复习回顾十字相乘法的一般步骤？
2.因式分解
2
x x
--
26
问题：对于二次项系数不为1的二次三项式，你是否能够分解因式呢？
二、探索新知
例1. 分解因式2
x x
--
26
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘求代数和，使其等于一次项系数.
-
1x2
2x3
=-
4x
-+3x x
2
--=-+
26(2)(23)
x x x x
2
++（1
ax bx c
a≠）的二次三项式分解因式注意事项
二次项系数a一般都把它看作是正数(如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数，)只需把它分解成两个正的因数.
练一练 将下列各式用十字相乘法进行因式分解
（1）2568x x +- （2）2675x x -- （3）2276x x ++ （4）231110x x -+ 变式训练 将下列多项式因式分解 （1）2271615x xy y +-
分析:把2271615x xy y +-看成是x 的二次三项式，这里的常数项是215y -
1x 3y 7x 5y -
21xy + 516xy xy -=
2271615x xy y +-(3)(75)x y x y =+-
（2）24()5()6x y x y +-+-
分析：把()x y +看做整体z ，利用换元法得到2456z z --
2456z z --(2)(43)z z =-+
即：24()5()6x y x y +-+-(2)(443)x y x y =+-++ 三、课堂练习
1.将下列多项式因式分解
（1）22512x x -- （2）2352x x -- （3）242427x x ++ （4）212133x x -+ 2.将下列多项式因式分解
（1）226136x xy y -+ （2）228635x y xy +-
（3）2218215x xy y -+ （4）222()()()6()a b a b a b a b +++--- 四、课堂小结
1.二次项系数不为1的二次三项式因式分解解法及注意事项
2.因式分解中渗透整体考虑思想
五、布置作业
1. 将下列多项式因式分解
（1）22-+x x （2）652--x x （3）
2532+-x x
（4）3762+-x x （5）2522++x x （6）3722
+-x x
2. 将下列多项式因式分解
（1）422416654y y x x +- （2）633687b b a a --
（3）2(23)6(23)5x x -+-+（4）120)8(22)8(2
22++++x x x x
十字相乘法分解因式
（1）多项式c bx ax ++2
，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项．
例如：322--x x 和652
++x x 都是关于x 的二次三项式．
（2）在多项式2
2
86y xy x +-中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式．
（3）在多项式3722
2+-ab b a 中，把 看作一个整体，即 ，就是关于 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2
++++y x y x ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式．
(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”
当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；
当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
(2)对于二次项系数不是1的二次三项式
它的特征是“拆两头，凑中间”
当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；
常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同.
注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．
例1 把下列各式分解因式：
(1)1522--x x ； (2)2
265y xy x +-．
例2 把下列各式分解因式：
(1)3522
--x x ； (2)3832
-+x x ．
例3 把下列各式分解因式：
(1)91024+-x x ； (2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；
(3)120)8(22)8(222++++a a a a ．
例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．
例5 分解因式6538562
34++-+x x x x ．
例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．
例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．
例8、已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．
(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +- (4) 261110y y --
(5) 2252310a b ab +- (6) 222231710a b abxy x y -+ (7) 22712x xy y -+
(8) 42718x x +- (9) 22483m mn n ++ (10) 53251520x x y xy --
一、选择题
1．如果))((2
b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )
A ．ab
B ．a ＋b
C ．－ab
D ．－(a ＋b )
2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．6
3．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( )
A ．10和－2
B ．－10和2
C ．10和2
D ．－10和－2
4．不能用十字相乘法分解的是 ( )
A ．22-+x x
B ．x x x 310322+-
C ．242++x x
D ．2
2865y xy x --
5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( )
A ．20)(13)(22++-+y x y x
B ．20)(13)22(2++-+y x y x
C ．20)(13)(22++++y x y x
D ．20)(9)(22++-+y x y x
6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( )
①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ；
④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
二、填空题
7．=-+1032x x __________．
8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________．
9．=--3522x x (x －3)(__________)．
10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．
11．22____)(____(_____)+=++a m
n a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．
13．若x －y ＝6，36
17=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题
14．把下列各式分解因式：
(1)6724+-x x ； (2)36524--x x ； (3)422416654y y x x +-；
(4)633687b b a a --； (5)234456a a a --； (6)4
22469374b a b a a +-．
15．把下列各式分解因式：
(1)2224)3(x x --； (2)9)2(22--x x ；
(3)2222)332()123(++-++x x x x ； (4)60)(17)(222++-+x x x x ；
(5)8)2(7)2(222-+-+x x x x ； (6)48)2(14)2(2++-+b a b a ．
16．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．。