2018届高考数学(文)二轮专题复习习题：第1部分 专题六 解析几何 1-6-3 Word版含答案

限时规范训练十六 圆锥曲线的综合问题
限时60分钟，实际用时________ 分值60分，实际得分________
解答题(本题共5小题，每小题12分，共60分)
1．(2017·高考全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2
2＋y 2
＝1上，过M 作x 轴的
垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →
.
(1)求点P 的轨迹方程；
(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →
＝1，证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .
解：(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，
则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →
＝(0，y 0)． 由NP →＝2NM →
得x 0＝x ，y 0＝22y .
因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 2
2＝1.
因此点P 的轨迹方程为x 2
＋y 2
＝2.
(2)由题意知F (－1,0)．设Q ＝(－3，t )，P (m ，n )，
则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →
＝(－3－m ，t －n )．
由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2
＝1， 又由(1)知m 2
＋n 2
＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.
又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .
2．(2017·黑龙江哈尔滨模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1(－3，0)，
F 2(3，0)，点P 在椭圆C 上，满足|PF 1|＝7|PF 2|，tan ∠F 1PF 2＝4 3.
(1)求椭圆C 的方程．
(2)已知点A (1,0)，试探究是否存在直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于D ，E 两点，且使得|AD |＝|AE |？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：(1)由|PF 1|＝7|PF 2|，PF 1＋PF 2＝2a 得PF 1＝7a 4，PF 2＝a 4，由cos 2
∠F 1PF 2＝11＋tan 2
∠F 1PF 2
＝
1
1＋ 43 2
＝149
，又由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝17＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 42＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 42－ 23 2
2×7a 4×
a 4
，所以a ＝2，
故所求C 的方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)假设存在直线l 满足题设，设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋m 代入x 2
4＋y 2
＝1并整理
得(1＋4k 2
)x 2
＋8kmx ＋4m 2
－4＝0，由Δ＝64k 2m 2
－4(1＋4k 2
)(4m 2
－4)＝－16(m 2
－4k 2
－1)＞0，得4k 2
＋1＞m 2①，又x 1＋x 2＝
－8km 1＋4k 2设D ，E 中点为M (x 0，y 0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－
4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2，k AM ·k ＝－1，得m ＝－1＋4k 2
3k ②，将②代入①得4k 2
＋1＞⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋4k 2
3k 2，化简得20k 4＋k 2－1＞0⇒(4k 2＋1)(5k 2
－1)＞0，解得k ＞55或k ＜－
55，所以存在直线l ，使得|AD |＝|AE |，此时k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－55∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
55，＋∞. 3．(2017·高考全国卷Ⅰ)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 2
4上两点，A 与B 的横坐标之和为4.
(1)求直线AB 的斜率；
(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程． 解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 22
4，x 1＋x 2＝4，
于是直线AB 的斜率k ＝
y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2
4
＝1. (2)由y ＝x 24，得y ′＝x
2
.
设M (x 3，y 3)，由题设知x 3
2＝1，解得x 3＝2，于是M (2,1)．
设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，
故线段AB 的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 2
4
得x 2
－4x －4m ＝0.
当Δ＝16(m ＋1)＞0，即m ＞－1时，x 1,2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42 m ＋1 .
由题设知|AB |＝2|MN |，即42 m ＋1 ＝2(m ＋1)，解得m ＝7. 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.
4．已知椭圆C
1：x 2a ＋y 2
b ＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，
F 2，
F 2的坐标满足圆Q 方程(x －2)2＋(y －1)2＝1，且圆心Q 满足
|QF 1|＋|QF 2|＝2a .
(1)求椭圆C 1的方程．
(2)过点P (0,1)的直线l 1交椭圆C 1于A ，B 两点，过P 与l 1垂直的直线l 2交圆Q 于C ，D 两点，
M 为线段CD 中点，求△MAB 面积的取值范围．
解：(1)方程(x －2)2
＋(y －1)2
＝1为圆，此圆与x 轴相切，切点为F 2(2，0)，所以c ＝2，即a 2
－b 2
＝2，且F 2(2，0)，F 1(－2，0)，|QF 1|＝|F 1F 2|2
＋|QF 2|2
＝ 22 2
＋12
＝3，
又|QF 1|＋|QF 2|＝3＋1＝2a .
所以a ＝2，b 2
＝a 2
－c 2
＝2，所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2
2＝1.
(2)当l 1平行x 轴时，l 2与圆Q 无公共点，从而△MAB 不存在； 所以设l 1：x ＝t (y －1)，则l 2：tx ＋y －1＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 24＋y 2
2＝1，x ＝t y －1
消去x 得(t 2＋2)y 2－2t 2y ＋t 2－4＝0，则|AB |＝1＋t 2
|y 1－y 2|＝
2 1＋t 2
2t 2
＋8
t 2＋2
.
又圆心Q (2，1)到l 2的距离d 1＝
|2t |1＋t
2
＜1得t 2
＜1. 又MP ⊥AB ，QM ⊥CD ，所以M 到AB 的距离即Q 到AB 的距离，设为d 2，即d 2＝|2－t ＋t |1＋t 2＝2
1＋t 2
. 所以△MAB 面积S ＝12|AB |·d 2＝2t 2
＋4
t 2＋2，
令u ＝t 2
＋4∈[2，5)，则S ＝f (u )＝
2u u 2
－2＝2u －
2u
∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤
253，2. 所以△MAB 面积的取值范围为⎝
⎛⎦
⎥⎤
253，2. 5．(2017·山东潍坊模拟)如图，点O 为坐标原点，点F 为抛物线C 1：x 2
＝2py (p ＞0)的焦点，且抛物线C 1上点P 处的切线与圆C 2：x 2
＋y 2
＝1相切于点Q .
(1)当直线PQ 的方程为x －y －2＝0时，求抛物线C 1的方程；
(2)当正数p 变化时，记S 1，S 2分别为△FPQ ，△FOQ 的面积，求S 1S 2
的最小值．
解：(1)设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 202p ，由x 2
＝2py (p ＞0)得，y ＝x 2
2p ，求导得y ′＝x p .
因为直线PQ 的斜率为1，所以x 0p ＝1且x 0－x 20
2p
－2＝0，
解得p ＝22，
所以抛物线C 1的方程为x 2
＝42y .
(2)因为点P 处的切线方程为：y －x 20
2p ＝x 0p
(x －x 0)，
即2x 0x －2py －x 2
0＝0， 根据切线又与圆相切，得|－x 2
0|4x 2
0＋4p
2
＝1，
化简得x 4
0＝4x 2
0＋4p 2，
由4p 2
＝x 4
0－4x 2
0＞0，得|x 0|＞2.
由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
2x 0x －2py －x 2
0＝0，
x 2＋y 2
＝1，
解得Q ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2x 0，4－x 2
02p ，
所以|PQ |＝1＋k 2
|x P －x Q | ＝
1＋x 20p 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0－2x 0＝ p 2＋x 20p ⎪⎪⎪⎪⎪⎪
x 2
0－2x 0 ＝
14x 40－x 20＋x 20p ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20－2x 0＝|x 0|2p
(x 20－2)． 点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到切线PQ 的距离是d ＝|－p 2
－x 2
0|4x 20＋4p 2
＝ 12x 20＋p 2＝12
x 20
＋14x 40－x 2
0＝x 2
04
，
所以S 1＝12|PQ |·d ＝|x 3
0|16p
(x 2
0－2)，
S 2＝12|OF ||x Q |＝
p
2|x 0|
， 所以S 1S 2＝x 40 x 20－2 8p 2＝x 40 x 20－2 2 x 40－4x 20 ＝x 20 x 2
0－2 2 x 2
0－4
＝
x 20－4
2
＋
4
x 20
－4
＋3≥22＋3， 当且仅当
x 20－4
2
＝
4
x 20
－4
时取“＝”号， 即x 2
0＝4＋22，此时，p ＝2＋22， 所以S 1S 2
的最小值为3＋2 2.。