2018届高考数学(文)二轮专题复习习题:第1部分 专题六 解析几何 1-6-3 Word版含答案
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限时规范训练十六 圆锥曲线的综合问题
限时60分钟,实际用时________ 分值60分,实际得分________
解答题(本题共5小题,每小题12分,共60分)
1.(2017·高考全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :x 2
2+y 2
=1上,过M 作x 轴的
垂线,垂足为N ,点P 满足NP →=2NM →
.
(1)求点P 的轨迹方程;
(2)设点Q 在直线x =-3上,且OP →·PQ →
=1,证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .
解:(1)设P (x ,y ),M (x 0,y 0),
则N (x 0,0),NP →=(x -x 0,y ),NM →
=(0,y 0). 由NP →=2NM →
得x 0=x ,y 0=22y .
因为M (x 0,y 0)在C 上,所以x 22+y 2
2=1.
因此点P 的轨迹方程为x 2
+y 2
=2.
(2)由题意知F (-1,0).设Q =(-3,t ),P (m ,n ),
则OQ →=(-3,t ),PF →=(-1-m ,-n ),OQ →·PF →=3+3m -tn ,OP →=(m ,n ),PQ →
=(-3-m ,t -n ).
由OP →·PQ →=1得-3m -m 2+tn -n 2
=1, 又由(1)知m 2
+n 2
=2,故3+3m -tn =0. 所以OQ →·PF →=0,即OQ →⊥PF →.
又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ,所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .
2.(2017·黑龙江哈尔滨模拟)已知椭圆C :x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的焦点分别为F 1(-3,0),
F 2(3,0),点P 在椭圆C 上,满足|PF 1|=7|PF 2|,tan ∠F 1PF 2=4 3.
(1)求椭圆C 的方程.
(2)已知点A (1,0),试探究是否存在直线l :y =kx +m 与椭圆C 交于D ,E 两点,且使得|AD |=|AE |?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:(1)由|PF 1|=7|PF 2|,PF 1+PF 2=2a 得PF 1=7a 4,PF 2=a 4,由cos 2
∠F 1PF 2=11+tan 2
∠F 1PF 2
=
1
1+ 43 2
=149
,又由余弦定理得cos ∠F 1PF 2=17=⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 42+⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 42- 23 2
2×7a 4×
a 4
,所以a =2,
故所求C 的方程为x 2
4
+y 2
=1.
(2)假设存在直线l 满足题设,设D (x 1,y 1),E (x 2,y 2),将y =kx +m 代入x 2
4+y 2
=1并整理
得(1+4k 2
)x 2
+8kmx +4m 2
-4=0,由Δ=64k 2m 2
-4(1+4k 2
)(4m 2
-4)=-16(m 2
-4k 2
-1)>0,得4k 2
+1>m 2①,又x 1+x 2=
-8km 1+4k 2设D ,E 中点为M (x 0,y 0),M ⎝ ⎛⎭⎪⎫-
4km 1+4k 2,m 1+4k 2,k AM ·k =-1,得m =-1+4k 2
3k ②,将②代入①得4k 2
+1>⎝ ⎛⎭
⎪⎫1+4k 2
3k 2,化简得20k 4+k 2-1>0⇒(4k 2+1)(5k 2
-1)>0,解得k >55或k <-
55,所以存在直线l ,使得|AD |=|AE |,此时k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-55∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
55,+∞. 3.(2017·高考全国卷Ⅰ)设A ,B 为曲线C :y =x 2
4上两点,A 与B 的横坐标之和为4.
(1)求直线AB 的斜率;
(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM ,求直线AB 的方程. 解:(1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1≠x 2,y 1=x 214,y 2=x 22
4,x 1+x 2=4,
于是直线AB 的斜率k =
y 1-y 2x 1-x 2=x 1+x 2
4
=1. (2)由y =x 24,得y ′=x
2
.
设M (x 3,y 3),由题设知x 3
2=1,解得x 3=2,于是M (2,1).
设直线AB 的方程为y =x +m ,
故线段AB 的中点为N (2,2+m ),|MN |=|m +1|. 将y =x +m 代入y =x 2
4
得x 2
-4x -4m =0.
当Δ=16(m +1)>0,即m >-1时,x 1,2=2±2m +1. 从而|AB |=2|x 1-x 2|=42 m +1 .
由题设知|AB |=2|MN |,即42 m +1 =2(m +1),解得m =7. 所以直线AB 的方程为y =x +7.
4.已知椭圆C
1:x 2a +y 2
b =1(a >b >0)的左、右焦点为F 1,
F 2,
F 2的坐标满足圆Q 方程(x -2)2+(y -1)2=1,且圆心Q 满足
|QF 1|+|QF 2|=2a .
(1)求椭圆C 1的方程.
(2)过点P (0,1)的直线l 1交椭圆C 1于A ,B 两点,过P 与l 1垂直的直线l 2交圆Q 于C ,D 两点,
M 为线段CD 中点,求△MAB 面积的取值范围.
解:(1)方程(x -2)2
+(y -1)2
=1为圆,此圆与x 轴相切,切点为F 2(2,0),所以c =2,即a 2
-b 2
=2,且F 2(2,0),F 1(-2,0),|QF 1|=|F 1F 2|2
+|QF 2|2
= 22 2
+12
=3,
又|QF 1|+|QF 2|=3+1=2a .
所以a =2,b 2
=a 2
-c 2
=2,所以椭圆C 1的方程为x 24+y 2
2=1.
(2)当l 1平行x 轴时,l 2与圆Q 无公共点,从而△MAB 不存在; 所以设l 1:x =t (y -1),则l 2:tx +y -1=0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 24+y 2
2=1,x =t y -1
消去x 得(t 2+2)y 2-2t 2y +t 2-4=0,则|AB |=1+t 2
|y 1-y 2|=
2 1+t 2
2t 2
+8
t 2+2
.
又圆心Q (2,1)到l 2的距离d 1=
|2t |1+t
2
<1得t 2
<1. 又MP ⊥AB ,QM ⊥CD ,所以M 到AB 的距离即Q 到AB 的距离,设为d 2,即d 2=|2-t +t |1+t 2=2
1+t 2
. 所以△MAB 面积S =12|AB |·d 2=2t 2
+4
t 2+2,
令u =t 2
+4∈[2,5),则S =f (u )=
2u u 2
-2=2u -
2u
∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤
253,2. 所以△MAB 面积的取值范围为⎝
⎛⎦
⎥⎤
253,2. 5.(2017·山东潍坊模拟)如图,点O 为坐标原点,点F 为抛物线C 1:x 2
=2py (p >0)的焦点,且抛物线C 1上点P 处的切线与圆C 2:x 2
+y 2
=1相切于点Q .
(1)当直线PQ 的方程为x -y -2=0时,求抛物线C 1的方程;
(2)当正数p 变化时,记S 1,S 2分别为△FPQ ,△FOQ 的面积,求S 1S 2
的最小值.
解:(1)设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0,x 202p ,由x 2
=2py (p >0)得,y =x 2
2p ,求导得y ′=x p .
因为直线PQ 的斜率为1,所以x 0p =1且x 0-x 20
2p
-2=0,
解得p =22,
所以抛物线C 1的方程为x 2
=42y .
(2)因为点P 处的切线方程为:y -x 20
2p =x 0p
(x -x 0),
即2x 0x -2py -x 2
0=0, 根据切线又与圆相切,得|-x 2
0|4x 2
0+4p
2
=1,
化简得x 4
0=4x 2
0+4p 2,
由4p 2
=x 4
0-4x 2
0>0,得|x 0|>2.
由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
2x 0x -2py -x 2
0=0,
x 2+y 2
=1,
解得Q ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2x 0,4-x 2
02p ,
所以|PQ |=1+k 2
|x P -x Q | =
1+x 20p 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0-2x 0= p 2+x 20p ⎪⎪⎪⎪⎪⎪
x 2
0-2x 0 =
14x 40-x 20+x 20p ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20-2x 0=|x 0|2p
(x 20-2). 点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,p 2到切线PQ 的距离是d =|-p 2
-x 2
0|4x 20+4p 2
= 12x 20+p 2=12
x 20
+14x 40-x 2
0=x 2
04
,
所以S 1=12|PQ |·d =|x 3
0|16p
(x 2
0-2),
S 2=12|OF ||x Q |=
p
2|x 0|
, 所以S 1S 2=x 40 x 20-2 8p 2=x 40 x 20-2 2 x 40-4x 20 =x 20 x 2
0-2 2 x 2
0-4
=
x 20-4
2
+
4
x 20
-4
+3≥22+3, 当且仅当
x 20-4
2
=
4
x 20
-4
时取“=”号, 即x 2
0=4+22,此时,p =2+22, 所以S 1S 2
的最小值为3+2 2.。