三次函数的性质研究

三次函数的性质研究
导数是中学数学的重要内容，它和向量和复数一样都是解决其它问题的工具，唯一不同的是它主要解决的是数学中抽象而又尤为重要的函数问题，特别是三次以上函数以及非常规的函数问题。

利用导数将三次函数问题转化为二次函数进行研究的思想实际上就是化归思想的具体体现，也就是说，熟练把握导数的相关性质和二次函数的性质是研究三次函数图像与性质的重要保证。

系列探究1：从最简单的三次函数3x y =开始
反思1：三次函数31y x =+的相关性质呢？
反思2：三次函数31y x =-+的相关性质呢？
反思3：三次函数()311y x =-+的相关性质呢？
系列探究2：探究一般三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 的性质： 先求导2()32(0)f x ax bx c a '=++>，令2()320f x ax bx c '=++=的判别式222124(4)b ac b ac =-=-△()。

1．函数的定义域与值域均为R 。

2．单调性：（1）若22120b ac =-≤△()，此时函数()f x 在R 上是增函数；
（2）若2
2120b ac =->△()，令2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <， 则()f x 在12(,),()x x -∞+∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减。

3．极值：（1）若0≤△，此时函数无极值；
（2）若0△>，且2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <，此时函数()f x 在
1x x =处取极大值)(1x f ，在2x x =处取极小值)(2x f 。

4．奇偶性：函数当且仅当0==d b 时是奇函数。

5．对称性：函数图象关于点))3(,3(a
b f a b --中心对称（了解）
（1）证明：三次函数d cx bx ax x f +++=2
3)(关于点（m ，n ）对称的充要条件是n x m f x m f 2)()(=++-，即
])()()([23d x m c x m b x m a +-+-+-+n d x m c x m b x m a 2])()()([23=++++++，
整理得，n d mc bm am x b ma 2)2222()26(232=+++++
据多项式恒等对应系数相等,可得
a b
m 3-=且d mc bm am n +++=23=)3()(a b
f m f -=，
从而三次函数是中心对称曲线，且对称中心是))3(,3(a b
f a b
--；
系列探究3：一般三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 的图像：
（1）若22120b ac =-≤△()时，…（2）若22120b ac =->△()时，…
反思4：由图像能够探究出在区间],[n m 的最大值与最小值吗？
（1）若22120b ac =-≤△()，函数有最大值)(n f ，最小值)(m f ；
（2）若22120b ac =->△()，令2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <， ①21x m x n ><或时，函数有最大值)(n f ，最小值)(m f ，
②21x n m x ≤<<时，函数有最大值)(m f ，最小值)(n f ，
③n x x m ≤<≤21时，函数有最大值)(1x f ，最小值)(2x f ，
④21x n x m ≤<≤时，函数有最大值)(1x f ，最小值)}(),(min{n f m f ，
⑤n x m x ≤<<21时，函数有最大值)}(),(max{n f m f ，最小值)(2x f 。

反思5：从数形结合的视角看三次方程的实数根：
（1）若22120b ac =-≤△()，方程有且只有一个实数解；
（2）若22120b ac =->△()，令2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <， ①若0)()(21<⋅x f x f ，则方程有三个不同的实数解)(,,γ<β<αγβα，且有 γ<<β<<α21x x ，
②若0)(0)(21==x f x f 或，则方程有两个不同的实数解，
③若0)()(21>⋅x f x f ，则方程有且只有一个实数解α，且21x x >α<α或， 请你了解：三次函数解析式的形式
（1）一般形式：32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠
（2）已知函数的对称中心为),(n m ，则)0()()()(3≠+-+-=a n m x B m x A x f
（3）已知函数图象与x 轴的三个交点的横坐标)(,,γ<β<αγβα，则
)0)()()(()(≠γ-β-α-=a x x x a x f
（4）已知函数图象与x 轴的一个交点的横坐标0x ，则
)0)()(()(20≠++-=a n mx ax x x x f
学以致用
例1、已知函数f (x )=-x 3＋3x 2＋9x ＋a ,
（I ）求f (x )的单调递减区间；
（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
解：（I ） 0)(,963)(2<'++-='x f x x x f 令，解得x <－1或x >3
所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．
（II ）)}2(),2(m ax {)(,5)1()(,3212m ax m in f f x f a f x f -=+-=-=∴<<-<- )2()2(,22)2(,2)2(->∴+=+=-f f a f a f
于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．
故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝－7，
即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．
例2、设R a ∈，讨论关于x 的方程0323=-+a x x 的相异实根的个数？
0,2063)()(212=-==+='x x x x x f x f 的两根为导函数函数
()(2)4-a,()(0)f x f f x f a ∴-==函数的极大值是的极小值是如上图十一，
（1）当0<a 或4>a 时，函数)(x f 与)(x g 只有一个交点，即方程只有一个根．
（2）当0=a 或4=a 时，函数)(x f 与)(x g 只有两个交点，即方程只有两个根．
（3）当40<<a 时，函数)(x f 与)(x g 有三个交点，方程有三个根．
例3、已知d cx bx x x f +++=2
3)(在（－∞，0）上是增函数，在(0，2)上是减函数，且方程0)(=x f 有三个根，它们分别为βα,2,.
（1）求c 的值.（2）求证：2)1(≥f （3）求|α－β|的取值范围.
解：（1）的极值点为由题意知)(0,23)(2x f x c bx x x f =++=' ∴0,0)0(=∴='c f
（2） 令3
2,0023)(212b x x bx x x f -===+='得， ∵)(x f 在(－∞,0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，∴3,232-≤≥-
b b 即 又∵2371)1(,48,048)2(≥--=++=∴--=∴=++=b d b f b d d b f
（3）∵方程0)(=x f 有3个根α、2、β，
∴设))(2()(223n mx x x d cx bx x x f ++-=+++= 比较系数得：2,2d n b m -=+= ，∴α、β为方程02
)2(2=-++d x b x 的两根， ∴α+β=)2(+-b ,αβ=2d
-
∴16)2(2)2(4)(||2222--=++=αβ-β+α=β-αb d b
∵3-≤b ，∴,9||2≥β-α ∴3||≥-βα.。