15第3章不定积分-第一换元积分法

F ( x) d x d F ( x) F ( x) C
应用方法：
若求 g ( x) d x ，如果 g ( x) f (( x)) ( x) 的形 式，则可利用：
g ( x) d x [ f (u ) d u ]u ( x ) f ( ( x)) ( x) d x
1 2 tan x tan x d tan x
2 4


经验：
2 1 3 5 tan x tan x tan x C 3 5
利用三角恒等式转化被积函数也是方法之一。
例17 求 tan x sec x d x
5 3
(sec u ) sec u tan u
原式 tan 4 x sec 2 x d sec x 解：
降次总是一种求三角函数积分的有效方法。 经验：
例15 求 sec x d x
1 dx 解： 原式 cos x

d( x ) 2 sin(x


x ln tan C 2 4 ln csc x cot x C 2 2

C
方法的实质：
即：凑成的积分变量为复合函数的中间变量，
使得凑出的结果：
A. 可利用积分公式， B. 与原来的式子相等．
例6
求 tan x d x
sin x dx cos x
解： 原式

1 d cos x cos x
ln cos x C
类似地：
cot x d x ln sin x C
★注意
u ( x )
f ( ( x)) d ( x)
记号 f ( ( x)) ( x) d x 虽为一整体记号，就
dy dy 象 一样，但这里的 d x 也可象 中的 d x 一样 dx dx 视为变量 x 的微分，从而有：
F ( x) d x d F ( x)
高等数学
主讲人：
第3章来自百度文库不定积分
第2节 换元积分法
主要内容： 第一换元积分法
引问：
2 cos 2 x d x ?
利用上节学过的内容我们无法计算该积分；
这类积分我们要用换元积分法。 换元积分法是把复合函数的微分法反过来，
利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法。 通常分为两类：
第一换元积分法和第二换元积分法
第一换元积分法（凑微分法）
设 f (u) 具有原函数 F (u ) ， F (u) f (u) ， 又 则 u 是另一变量 x 的函数 u ( x) ，若 ( x ) 可微，
则由复合函数微分法：
d F (( x)) F (( x)) ( x) d x 即： d F (( x)) f (( x)) ( x) d x
13 1 x sin 2 x sin 4 x C 42 8
3 sin 2 x 1 x sin 4 x C 8 4 32
1 (tan u ) sec u 2 例13 求 csc x d x cos u x d 1 dx 2 d x 原式 解： sin x x x x x 2 sin cos sin cos 2 2 2 2 du d t anu x tanu cos2 u u x t anu x ln tan 2 C
由不定积分的定义得：
f (( x)) ( x) d x [ f (u) d u]
u ( x )
F ( ( x)) C
定理3.3 设 f (u) 具有原函数， u ( x) 可导，则有
第一换元法换元公式：
f (( x)) ( x) d x ( f (u ) d u )
例9
dx 求 x(1 2 ln x)
d ln x 1 2 ln x
原式 解：

1 d 2 ln x 2 1 2 ln x
1 d 2 ln x 1 1 ln 1 2 ln x C 2 2 1 2 ln x
经验： 当分母为不同类型的函数的乘积， 看看可否分离一部分到微分因子中。

熟记积分公式
熟练运用凑微分法求不定积分 总结积累积分的经验
课后作业
1）作业：课本第96页练习3-2： 1
2）预习：第3章第2节换元积分法之 第二换元积分法
例5 求 x 1 x d x
2

解： 原式

1 1 2 2 1 x d x 2 2
1 2 2 1 x d x 2

1 x2 d 1 x2




1 1 1 x 2 1 1 2

1 2 2 1

C 1 1 x 3

3 2 2
例12
求 cos x d x
4
2
1 1 cos 2 x 1 2 cos 2 x cos 2 2 x d x 原式 dx 解： 4 2 1 1 cos4 x 1 2 cos2 x d x 4 2 1 3 cos4 x 2 cos2 x d x 4 2 2
2
解：原式
dx
类似地，可以得到：

1 dx 2 2 a a x
1
dx x 1 a
2

x arcsin C 2 a x 1 a
x d a
1 dx 例8 求 2 2 x a
1 1 1 ). d x 解：原式 ( x a x a 2a
1 cos x cos 5 x d x 2
1 cos x d x cos 5 x d x 2
1 1 sin x sin 5 x C 2 10 1 cos cos cos( ) cos( ) 2
小结：
因式分解
1 1 1 dx d x 2a x a xa 1 1 1 x a dx a x a dx a 2a
1 xa 1 ln x a ln x a C ln C 2a 2a x a
这里的 f (u) 为积分表中的公式，问题便解决了。
第一换元积分法的关键是： 通过引入中间变量 u ( x) ，把被积表达式 凑成某个函数的微分，然后利用基本积分公式 求出结果，所以又称为凑微分法。
例1 求 2 cos 2 x d x

原式 cos 2 x d 2 x 解：
cosu d u
sec x 1 sec2 x d sec x
2 2


sec x 2 sec x sec x d sec x
6 4 2


1 2 5 1 3 7 sec x sec x sec x C 7 5 3
例18 求 cos 3 x cos 2 x d x 解：原式
2
)
为了 利用 例13 的结 果
ln sec x tan x C
x csc x d x ln tan 2 C ln csc x cot x C
例16
求 sec x d x
6
(tan x) sec x
2
解： (1 tan 2 x) 2 d tan x 原式
例7
1 dx 求 2 2 a x
x 1 a 1 1 x 2 a d 2 a a x 1 a 1 x 1 1 x d arctan C 2 a a a x a 1 a 1 2 a 1
例3
求 2 xe d x
x2
解： 原式
e
e
x2
dx e
2
x2
C
1 2 x
x
例4
求
3 x
经验：只要含有指数函数，就应当想法能否使 微分因子成为其指数。
2 原式 2 e d x e3 解： 3 2 3 x e C 3
3 x
x
dx d x
dx
d3 x

例10 求 sin x d x
3
原式 (1 cos x) d cos x 解：
2
cos x 1 d cos x
2


cos x d cos x d cos x
2
1 3 cos x cos x C 3 当被积函数为三角函数的奇次方时，我 经验：
sin u C
u 2 x
sin 2 x C
1 dx 例2 求 3 2x
解：原式

1 1 d 2 x 2 3 2x 1 1 d2 x 3 2 3 2x
1 ln 2 x 3 C 2
结论：

f (ax b) d x
1 f (ax b) d( ax b) a 1 f (u ) d u |u ax b a
们常分离出其中一个，放在微分因子中。
例11 求 sin x cos x d x
2 5
解： 原式 sin x(1 sin x) d sin x
2 2 2

sin x 2 sin x sin x d sin x
2 4 6


1 3 2 5 1 7 sin x sin x sin x C 3 5 7

2
2
u
2
ln csc x cot x C
x 1 cos x 因 tan csc x cot x 2 sin x
例14 求 cos x d x 1 cos 2 x dx 解：原式 2
2
1 d x cos 2 x d x 2 1 1 x cos 2 x d 2 x 2 4 x sin 2 x C 2 4