三次扩张的整闭包
一般数学词汇
约化概形
局部诺特概形
正则概形
概形的粘合
开浸入
概形上的射影空间
分离态射
态射的纤维
扭曲层
卡吉耶除子
丰富可逆层
几何亏格
射影空间的上同调
塞尔对偶
艾达尔上同调
阿贝尔晶体
牛顿斜率
平面曲线
四次曲线
二重点
单切线
对偶曲线
素除子
主除子
完全线性系
亏格
曲线的有限态射
对称张量
交错化子
张量积
混合外代数
子模
模同态
忠实模
单模
模的直和
补子模
投射模
生成元
双模
降链条件
准素子模
模的本质扩张
不可分解模
局部表现模
双自同态环
余模
交换代数
环的诣零根
环的极大谱
主理想整环
整除
真因子
唯一因子分解整环
理想的收缩
分式域
交换A代数
整闭包
通道
圈秩
全不连通图
顶点次数
补图
团
完全二部图
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回路
拟图
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彼得松图
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平面嵌入
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最大亏格
舍弃运算
四色问题
色剖分
邻接矩阵
顶点传递图
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顶点的权
出次数
高等代数与代数学之间的关系
高等代数与代数学之间的关系
高等代数和代数学是数学中两个重要的分支,它们之间有着密切的联系和互相依存的关系。
高等代数是代数学的一个分支,它主要研究的是抽象代数结构,如群、环、域等,以及它们之间的关系和性质。
而代数学则更加广泛,它不仅包括高等代数,还包括线性代数、数论、代数几何等多个方面。
高等代数是代数学的一个重要组成部分,它是代数学的基础和核心。
高等代数的研究对象是抽象代数结构,这些结构是代数学中最基本的概念,也是其他分支的基础。
例如,线性代数中的向量空间就是一个基本的抽象代数结构,它可以用高等代数中的向量空间的概念来描述。
同样,数论中的整数环也是一个抽象代数结构,它可以用高等代数中的环的概念来描述。
高等代数的研究方法和技巧也为代数学的其他分支提供了重要的工具和思想。
例如,高等代数中的同态和同构的概念可以用来研究代数结构之间的关系和相似性,这对于代数几何和数论中的研究非常重要。
另外,高等代数中的范畴论和表示论等概念也为代数学的其他分支提供了新的研究方法和思路。
代数学的其他分支也为高等代数的研究提供了重要的应用和启示。
例如,代数几何中的代数簇和代数曲线等概念可以用高等代数中的理论来描述和研究。
另外,数论中的代数数和代数整数等概念也可
以用高等代数中的代数扩张和代数闭包等概念来描述和研究。
高等代数和代数学之间的关系是密不可分的。
高等代数是代数学的基础和核心,它为代数学的其他分支提供了重要的工具和思想。
而代数学的其他分支也为高等代数的研究提供了重要的应用和启示。
只有深入研究和理解高等代数和代数学之间的关系,才能更好地掌握代数学的核心和精髓。
几乎Prefer整环多项式环的维数和分式环
四川师范大学学报 ( 自然科学版 ) Ju a o i unN r l nvri ( a rl c ne o rl f c a oma U ie t N t a Si c) n Sh sy u e
J l ,0 0 uy 2 1
Vo - 3. o 4 I3 N .
想. R 是 N e e 当 ot r整 环 与 Pte h rfr整 环 时 , 有 i 均 d r[ i X 一 以 ]=dr e r , ir+n 一 个 自然 的 问题 是 : e .
成子分式理想 } £ 算子. 于另一类重要的 W一 是 一 关 算子, 首先 需 知 道 Ga —V socl lz acnco 想 ( 称 为 s理 简
几 乎 Pt r rf 整环 多项式环 的维数和分式环 i e
周 霞 王 芳 贵 ,
(. 1 西南财经大学 天府学院 , 四川 绵阳 6 10 ; 2 2 00 .四川师范大学 数学 与软件科学学院 , 四川 成都 60 6 ) 10 6
摘要 : 证明了如下 2个结果 : R是几乎 Pte 整环 , dm X 一, ]= iR+r 若 R< )CR ( ) 若 rfr i 则 iR[ dr e t ; X _ X 是根扩张 , R是几乎 P i r 则 af 整环当且仅当 R X) e ( 是几乎 PL r r e 整环. i f 关键 词 : 根扩张 ; 几乎 Pte 整环 ;稳定的强 S一整环 ; rfr i 分式环
类似地 , 文证 明 了 , 本 只有 当整 环 满 足 R( )
如果 是 R一 , ∈ X , c 表示 由, 模 对, MI ] 用 ( 的系数 生 成 的 一子 模 , 为 I 容 度. 称 厂的 若 是
Strongart数学笔记:代数数论入门指南
代数数论入门指南一般代数数论都是先在具体的代数数环上出发的,常常可以在Dedekind整环上统一处理,然后通过数域的完备化发展到局部域,最后建立局部与整体类域论,本文主要科普的是局部类域论之前的代数数论基础概念。
先从迹与范的概念开始,它们实际上都源于线性代数,是特征多项式上的两个特殊的系数。
设A与B是两个交换环,且B是秩为n 的自由A-模,那么任何b∈B都可以视为B的乘子L_b(x)=bx,那么这个乘子就是一个线性变换(给定基之后可以写成n×n矩阵),它的迹、范与特征多项式就是元素b对于扩张B/A的特征多项式。
分别记作Tr(b),N(b)与f_b(X).代数数论中最常见的还是域的扩张,设L/K是有限n次扩域,u∈L在K上的不可约多项式的(可能重复的)根分别为u_1,…,u_s,则u的迹与范分别为:Tr(u)=[L:K(u)]Σu_i; N(u)=(∏u_i)^[L:K(u)]假若K是整环A的函数域,a∈L是A上的整元素,那么a对于L/K的特征多项式的系数(特别是迹与范)在A上都是整的且属于K。
特别当A是整闭的,那么它们的系数搜属于A.假若L/K是有限n次可分扩域,那么其迹形式T(u,v)=Tr(uv)是非退化的对称双线性型。
可定义L的元素a_1,…,a_n对L/K的判别式为:Disc(a_1,…,a_n)=det[Tr(a_ia_j]=(det[σ_ia_j])^2,1≤ij≤n其中σ_i是L的K-共轭。
若L=K(a),a在K上的极小多项式为f(x)=(x-a_1)…(x-a_n),其中a_i=σ_i(a),则定义a对于f(x)的判别式为:Disc(1,a,…,a^(n-1))=∏(i<j)(a_i-a_j)^2=(-1)^n(n-1)/2Nf'(a)这里f"(a)称为a的微分或差分(different).通过对三项式f(x)=x^n+bx+c的验证,这里的判别式与通常二三次多项式的判别式是一致的(见[1]).代数数环都是Dedekind整环,其理想可以被唯一分解为素理想之积,下面我们就着重研究素理想。
数学专业术语
一阶理论
相容性
可定义性
斯科伦壳
初等等价的
初等子模型
进退构造
原子理论
万有模型
稳定性
递归结构
非标准分析
直觉主义逻辑
抽象化
数词可表示性
相对相容性
元逻辑
可判定性
集合论
策梅洛-弗兰克尔集合论
确定性
选择函数
广义连续统假设
对称多项式
结式
一元一次方程
一般方程
三项方程
待定系数法
有理根
虚根
二重根
线性代数
矩阵的元
单位矩阵
矩阵的对角线
矩阵的秩
矩阵的迹
初等矩阵
分块对角矩阵
转置伴随矩阵
梯矩阵
酉矩阵
埃尔米特矩阵
正半定矩阵
实矩阵
极式分解
相似矩阵
顶点
邻顶点
重图
图同构
顶点子图
通道
圈秩
全不连通图
顶点次数
补图
团
完全二部图
无圈图
回路
拟图
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彼得松图
边覆盖
独立顶点集
临界边
平面嵌入
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四色问题
色剖分
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标号图
树
顶点的权
出次数
出树
弱连通的
超图
平凡序的
保序映射
Strongart数学笔记:Going up与Going down
Going Up与Going Down在整性扩张理论中,Going-up(GU)与Going-down(GD)是关于素理想链的两个很有意思的定理,下面我就来对它们做一点评述。
讨论的基本前提是“整环R与S,S包含R且在R上为整”,这并不是最一般的情况,但已经能够说明其本质问题,下文中若无特别声明,均默认此约定。
处理GU与GD的基础是Lying Over(LO),称S的素理想Q是Lying over于R的素理想P,若Q∩R=P.所谓LO问题,就是给定R的素理想P,是否存在S的素理想Q是LO于其上?事实上,在上述的约定条件下,LO是成立的。
在证明这个结论之前,我先注记一下它的反问题(LU=Lying under?)是平凡成立的,即给定S的素理想Q,Q∩R一定是R的素理想。
一般而言,push out是有风险的,往往需要考虑像是不是保持原先的性质;但pull back却是保守的,相应性质常常可以自然保持。
这里扩张的整性使得S的素理想在pull back后会退化成R本身。
LO的证明思路是归约,一个是商的划归,另一个则是局部化归约。
为此有这样的引理,假若S的素理想Q是LO于R的素理想P上,那么相应的商S/Q是R/P的整扩张,相应的局部化S Q也是R P的整扩张。
可以证明,在基本前提上,R是域iffS是域。
借助于商归约可得若Q=P∩R,则Q是极大理想iffP是极大理想。
再对P进行局部化归约,可以证明S中LO于同一素理想P是两个素理想Q1与Q2没有包含关系(弱唯一性),这是因为在局部环R P中PR P是极大理想,所对应的QS P(=Q(R-P)^(-1)S)也是极大理想,因此是不能相互包含的。
同样利用对P的局部化,可以通过拉回S P的LO 于PR P的极大理想来构造出LO于P是素理想Q,这里极大理想的存在性是一个重要的援兵,而它的背后则是Zorn lemma。
所谓GU,就是说在基本条件下,假设S的素理想Q是LO于P,若R的素理想P1包含P。
数字鸿沟ppt
参考资料
[1]闫慧,孙立立.1989年以来国内外数字鸿沟研究回顾:内涵、表现维度及影响因素综述[J].中国图书馆学报,2012,38(05):82-94. [2]邱泽奇,袁东明. 弥合数字鸿沟 促进数字红利普惠大众[N]. 中国经济时报,2019-10-14(005). [3]邱泽奇.连通性:5G时代的社会变迁[J].探索与争鸣,2019(09):41-43. [4]邱泽奇.人口老龄化背景下如何跨越代际数字鸿沟[J].群言,2021(06):15-18. [5]刘述.积极老龄化视角下我国香港老年人数字融入路径研究[J].中国远程教育,2021(03):67-75. [6]齐旭. 提速降费弥合数字鸿沟[N]. 中国电子报,2021-07-02(004). [7]Joshi Ashish,Malhotra Bhavya,Amadi Chioma,Loomba Menka,Misra Archa,Sharma Shruti,Arora Arushi,Amatya Jaya. Gender and the Digital Divide Across Urban Slums of New Delhi, India: Cross-Sectional Study.[J]. Journal of medical Internet research,2020,22(6). [8]Galperin Hernan,Arcidiacono Malena. Employment and the gender digital divide in Latin America: A decomposition analysis[J]. Telecommunications Policy,2021,45(7). [9]Schlomann Anna,Seifert Alexander,Zank Susanne,Woopen Christiane,Rietz Christian. Use of Information and Communication Technology (ICT) Devices Among the Oldest-Old: Loneliness, Anomie, and Autonomy.[J]. Innovation in aging,2020,4(2). [10]Ali Acilar,Maxim Markin,Elena Nazarbaeva. Exploring the Digital Divide: A Case of Russia and Turkey[J]. International Journal of Innovation in the Digital Economy (IJIDE),2012,3(3). 《中国数字化社会阶层研究》闫慧 著
高斯整数
高斯整数数学的数基本自然数整数二进分数有限小数循环小数有理数代数数实数复数高斯整数负数分数单位分数无限小数规矩数无理数超越数二次无理数虚数艾森斯坦整数延伸双复数四元数共四元数八元数超数上超实数超复数十六元数复四元数Tessarine大实数超实数其他对偶数双曲复数序数质数同余可计算数阿列夫数公称值超限数基数P进数规矩数整数序列数学常数π = 3.141592653...e = 2.718281828... 虚数单位i2 = − 1无穷∞高斯整数是实数和虚数部分都是整数的复数。
所有高斯整数组成了一个整域,写作Z[i]。
它是个不可以转成有序环的欧几里德域。
高斯整数是复数面上的整点。
高斯整数就是集。
高斯整数的范数都是非负整数,定义为N(z×w)=N(z)×N(w)。
Z[i]的单位(1, −1, i及−i)的范数均为1。
目录[隐藏]• 1 作为唯一分解整环o 1.1 作为整闭包o 1.2 作为欧几里德环• 2 未解决的问题• 3 参见• 4 参考文献[编辑]作为唯一分解整环高斯整数形成了一个唯一分解整环,其可逆元为1、-1、i,以及-i。
Z[i]的素元素又称为高斯素数。
高斯素数的分布高斯整数a + bi是素数当且仅当:•a、b中有一个是零,另一个是形为4n+ 3或其相反数−(4n+3)的素数;•或a、b均不为零,而a2 + b2为素数。
以下给出这些条件的证明。
必要条件的证明为:仅当高斯整数的范数是素数,或素数的平方时,它才是高斯素数。
这是因为对于任何高斯整数g,。
现在,N(g)是整数,因此根据算术基本定理,它可以分解为素数的乘积。
根据素数的定义,如果g是素数,则它可以整除p i,对于某个i。
另外,可以整除,因此。
于是现在只有两种选择:要么g的范数是素数,要么是素数的平方。
如果实际上对于某个素数p,有N(g) = p2,那么g和都能整除p2。
它们都不能是可逆元,因此g = pu,以及,其中u是可逆元。
拓扑教案
嵌入在 6.6 中介绍 例 3.3.3 起不讲 习题课时 1
道路连通分支不讲 习题课时 1 定理 5.2.1 不讲
例 6.2.2 讲部分 不讲定理 6.3.1, 6.3.4 的证明
定理 6.6.1 讲部分 习题课时 3(含总复习) 定理 7.1.6 讲部分 引理 7.3.2 用分析中的结论
定理 7.6.8 不讲
4
第二章 拓扑空间与连续映射
本章是点集拓扑学基础中之基础, 从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两 个概念 : 拓扑空间、连续映射, 分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边 界、基与子基的性质,各几种不同的角度生成拓扑空间,及刻画拓扑空间上的连续性.
§ 2.1 度量空间与连续映射 在 R 上 , |x-y|表示点 x 与 y 之间的距离 . 绝对值是一非负函数, 具有三条重要性质. 定义 2.1.1 设 X 是一集合 , : X X R . 如果 满足正定性、 对称性和三角不等式, 则称 是X 的一个度量 . (X, )称为度量空间, (x, y)表示两点 x, y 之间的距离. 例 2.1.1 实数空间 R . (x,y)=|x-y|, R 的通常度量 . 例 2.1.2 n 维欧氏空间 R n=R R … R. 对于 x R n, 记 x=(xi). 定义 (x, y)= 平面或平面 . 例 2.1.3 Hilbert 空间 H. H={x=(x1 , x2 , … ) | xi R , i Z+; 称为 Hilbert 空间. 例 2.1.4 离散度量空间. 度量空间(X, )称为离散的 , 若 x X, δ x, 满足 (x, y)< δ x >0, 使得不存在 X 中的点 y x. 如 对集合 X, 按如下方式定义 : X X R 是 X 上的离散度量:
近世代数期末考试题库完整
世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A=B=R(实数集),如果A至UB的映射中:x-x+2,Vx€R,则中是从A至UB的(c)A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合AXB中含有(d)个元素。
A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b,ya=b,a,b6G都有解,这个解是(b)乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)4、当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数(c)A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。
5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的(d)A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合A“T0」>;B=42},则有BMA=。
2、若有元素e6R使每a6A,都有ae=ea=a,则e称为环R的单位元。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R的乘法交换,则称R是一个交换环。
4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A的若干个-变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。
6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是1,元a的逆元是a-1。
8、设I和S是环R的理想且1=S=R,如果I是R的最大理想,那么。
9、一个除环的中心是一个-域-----。
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)[写成对换的乘积。
2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
奇1、解:把仃和工写成不相杂轮换的乘积:二三(1653)(247)(8).=(123)(48)(57)(6)可知仃为奇置换,七为偶置换。
离散数学中英文名词对照表
离散数学中英文名词对照表外文中文AAbel category Abel 范畴Abel group (commutative group) Abel 群(交换群)Abel semigroup Abel 半群accessibility relation 可达关系action 作用addition principle 加法原理adequate set of connectives 联结词的功能完备(全)集adjacent 相邻(邻接)adjacent matrix 邻接矩阵adjugate 伴随adjunction 接合affine plane 仿射平面algebraic closed field 代数闭域algebraic element 代数元素algebraic extension 代数扩域(代数扩张)almost equivalent 几乎相等的alternating group 三次交代群annihilator 零化子antecedent 前件anti symmetry 反对称性anti-isomorphism 反同构arboricity 荫度arc set 弧集arity 元数arrangement problem 布置问题associate 相伴元associative algebra 结合代数associator 结合子asymmetric 不对称的(非对称的)atom 原子atomic formula 原子公式augmenting digeon hole principle 加强的鸽子笼原理augmenting path 可增路automorphism 自同构automorphism group of graph 图的自同构群auxiliary symbol 辅助符号axiom of choice 选择公理axiom of equality 相等公理axiom of extensionality 外延公式axiom of infinity 无穷公理axiom of pairs 配对公理axiom of regularity 正则公理axiom of replacement for the formula Ф关于公式Ф的替换公式axiom of the empty set 空集存在公理axiom of union 并集公理Bbalanced imcomplete block design 平衡不完全区组设计barber paradox 理发师悖论base 基Bell number Bell 数Bernoulli number Bernoulli 数Berry paradox Berry 悖论bijective 双射bi-mdule 双模binary relation 二元关系binary symmetric channel 二进制对称信道binomial coefficient 二项式系数binomial theorem 二项式定理binomial transform 二项式变换bipartite graph 二分图block 块block 块图(区组)block code 分组码block design 区组设计Bondy theorem Bondy 定理Boole algebra Boole 代数Boole function Boole 函数Boole homomorophism Boole 同态Boole lattice Boole 格bound occurrence 约束出现bound variable 约束变量bounded lattice 有界格bridge 桥Bruijn theorem Bruijn 定理Burali-Forti paradox Burali-Forti 悖论Burnside lemma Burnside 引理Ccage 笼canonical epimorphism 标准满态射Cantor conjecture Cantor 猜想Cantor diagonal method Cantor 对角线法Cantor paradox Cantor 悖论cardinal number 基数Cartesion product of graph 图的笛卡儿积Catalan number Catalan 数category 范畴Cayley graph Cayley 图Cayley theorem Cayley 定理center 中心characteristic function 特征函数characteristic of ring 环的特征characteristic polynomial 特征多项式check digits 校验位Chinese postman problem 中国邮递员问题chromatic number 色数chromatic polynomial 色多项式circuit 回路circulant graph 循环图circumference 周长class 类classical completeness 古典完全的classical consistent 古典相容的clique 团clique number 团数closed term 闭项closure 闭包closure of graph 图的闭包code 码code element 码元code length 码长code rate 码率code word 码字coefficient 系数coimage 上象co-kernal 上核coloring 着色coloring problem 着色问题combination number 组合数combination with repetation 可重组合common factor 公因子commutative diagram 交换图commutative ring 交换环commutative seimgroup 交换半群complement 补图(子图的余) complement element 补元complemented lattice 有补格complete bipartite graph 完全二分图complete graph 完全图complete k-partite graph 完全k-分图complete lattice 完全格composite 复合composite operation 复合运算composition (molecular proposition) 复合(分子)命题composition of graph (lexicographic product)图的合成(字典积)concatenation (juxtaposition) 邻接运算concatenation graph 连通图congruence relation 同余关系conjunctive normal form 正则合取范式connected component 连通分支connective 连接的connectivity 连通度consequence 推论(后承)consistent (non-contradiction) 相容性(无矛盾性)continuum 连续统contraction of graph 图的收缩contradiction 矛盾式(永假式)contravariant functor 反变函子coproduct 上积corank 余秩correct error 纠正错误corresponding universal map 对应的通用映射countably infinite set 可列无限集(可列集)covariant functor (共变)函子covering 覆盖covering number 覆盖数Coxeter graph Coxeter 图crossing number of graph 图的叉数cuset 陪集cotree 余树cut edge 割边cut vertex 割点cycle 圈cycle basis 圈基cycle matrix 圈矩阵cycle rank 圈秩cycle space 圈空间cycle vector 圈向量cyclic group 循环群cyclic index 循环(轮转)指标cyclic monoid 循环单元半群cyclic permutation 圆圈排列cyclic semigroup 循环半群DDe Morgan law De Morgan 律decision procedure 判决过程decoding table 译码表deduction theorem 演绎定理degree 次数,次(度)degree sequence 次(度)序列derivation algebra 微分代数Descartes product Descartes 积designated truth value 特指真值detect errer 检验错误deterministic 确定的diagonal functor 对角线函子diameter 直径digraph 有向图dilemma 二难推理direct consequence 直接推论(直接后承)direct limit 正向极限direct sum 直和directed by inclution 被包含关系定向discrete Fourier transform 离散 Fourier 变换disjunctive normal form 正则析取范式disjunctive syllogism 选言三段论distance 距离distance transitive graph 距离传递图distinguished element 特异元distributive lattice 分配格divisibility 整除division subring 子除环divison ring 除环divisor (factor) 因子domain 定义域Driac condition Dirac 条件dual category 对偶范畴dual form 对偶式dual graph 对偶图dual principle 对偶原则(对偶原理) dual statement 对偶命题dummy variable 哑变量(哑变元)Eeccentricity 离心率edge chromatic number 边色数edge coloring 边着色edge connectivity 边连通度edge covering 边覆盖edge covering number 边覆盖数edge cut 边割集edge set 边集edge-independence number 边独立数eigenvalue of graph 图的特征值elementary divisor ideal 初等因子理想elementary product 初等积elementary sum 初等和empty graph 空图empty relation 空关系empty set 空集endomorphism 自同态endpoint 端点enumeration function 计数函数epimorphism 满态射equipotent 等势equivalent category 等价范畴equivalent class 等价类equivalent matrix 等价矩阵equivalent object 等价对象equivalent relation 等价关系error function 错误函数error pattern 错误模式Euclid algorithm 欧几里德算法Euclid domain 欧氏整环Euler characteristic Euler 特征Euler function Euler 函数Euler graph Euler 图Euler number Euler 数Euler polyhedron formula Euler 多面体公式Euler tour Euler 闭迹Euler trail Euler 迹existential generalization 存在推广规则existential quantifier 存在量词existential specification 存在特指规则extended Fibonacci number 广义 Fibonacci 数extended Lucas number 广义Lucas 数extension 扩充(扩张)extension field 扩域extension graph 扩图exterior algebra 外代数Fface 面factor 因子factorable 可因子化的factorization 因子分解faithful (full) functor 忠实(完满)函子Ferrers graph Ferrers 图Fibonacci number Fibonacci 数field 域filter 滤子finite extension 有限扩域finite field (Galois field ) 有限域(Galois 域)finite dimensional associative division algebra有限维结合可除代数finite set 有限(穷)集finitely generated module 有限生成模first order theory with equality 带符号的一阶系统five-color theorem 五色定理five-time-repetition 五倍重复码fixed point 不动点forest 森林forgetful functor 忘却函子four-color theorem(conjecture) 四色定理(猜想)F-reduced product F-归纳积free element 自由元free monoid 自由单元半群free occurrence 自由出现free R-module 自由R-模free variable 自由变元free-Ω-algebra 自由Ω代数function scheme 映射格式GGalileo paradox Galileo 悖论Gauss coefficient Gauss 系数GBN (Gödel-Bernays-von Neumann system)GBN系统generalized petersen graph 广义 petersen 图generating function 生成函数generating procedure 生成过程generator 生成子(生成元)generator matrix 生成矩阵genus 亏格girth (腰)围长Gödel completeness theorem Gödel 完全性定理golden section number 黄金分割数(黄金分割率)graceful graph 优美图graceful tree conjecture 优美树猜想graph 图graph of first class for edge coloring 第一类边色图graph of second class for edge coloring 第二类边色图graph rank 图秩graph sequence 图序列greatest common factor 最大公因子greatest element 最大元(素)Grelling paradox Grelling 悖论Grötzsch graph Grötzsch 图group 群group code 群码group of graph 图的群HHajós conjecture Hajós 猜想Hamilton cycle Hamilton 圈Hamilton graph Hamilton 图Hamilton path Hamilton 路Harary graph Harary 图Hasse graph Hasse 图Heawood graph Heawood 图Herschel graph Herschel 图hom functor hom 函子homemorphism 图的同胚homomorphism 同态(同态映射)homomorphism of graph 图的同态hyperoctahedron 超八面体图hypothelical syllogism 假言三段论hypothese (premise) 假设(前提)Iideal 理想identity 单位元identity natural transformation 恒等自然变换imbedding 嵌入immediate predcessor 直接先行immediate successor 直接后继incident 关联incident axiom 关联公理incident matrix 关联矩阵inclusion and exclusion principle 包含与排斥原理inclusion relation 包含关系indegree 入次(入度)independent 独立的independent number 独立数independent set 独立集independent transcendental element 独立超越元素index 指数individual variable 个体变元induced subgraph 导出子图infinite extension 无限扩域infinite group 无限群infinite set 无限(穷)集initial endpoint 始端initial object 初始对象injection 单射injection functor 单射函子injective (one to one mapping) 单射(内射)inner face 内面inner neighbour set 内(入)邻集integral domain 整环integral subdomain 子整环internal direct sum 内直和intersection 交集intersection of graph 图的交intersection operation 交运算interval 区间invariant factor 不变因子invariant factor ideal 不变因子理想inverse limit 逆向极限inverse morphism 逆态射inverse natural transformation 逆自然变换inverse operation 逆运算inverse relation 逆关系inversion 反演isomorphic category 同构范畴isomorphism 同构态射isomorphism of graph 图的同构join of graph 图的联JJordan algebra Jordan 代数Jordan product (anti-commutator) Jordan乘积(反交换子)Jordan sieve formula Jordan 筛法公式j-skew j-斜元juxtaposition 邻接乘法Kk-chromatic graph k-色图k-connected graph k-连通图k-critical graph k-色临界图k-edge chromatic graph k-边色图k-edge-connected graph k-边连通图k-edge-critical graph k-边临界图kernel 核Kirkman schoolgirl problem Kirkman 女生问题Kuratowski theorem Kuratowski 定理Llabeled graph 有标号图Lah number Lah 数Latin rectangle Latin 矩形Latin square Latin 方lattice 格lattice homomorphism 格同态law 规律leader cuset 陪集头least element 最小元least upper bound 上确界(最小上界)left (right) identity 左(右)单位元left (right) invertible element 左(右)可逆元left (right) module 左(右)模left (right) zero 左(右)零元left (right) zero divisor 左(右)零因子left adjoint functor 左伴随函子left cancellable 左可消的left coset 左陪集length 长度Lie algebra Lie 代数line- group 图的线群logically equivanlent 逻辑等价logically implies 逻辑蕴涵logically valid 逻辑有效的(普效的)loop 环Lucas number Lucas 数Mmagic 幻方many valued proposition logic 多值命题逻辑matching 匹配mathematical structure 数学结构matrix representation 矩阵表示maximal element 极大元maximal ideal 极大理想maximal outerplanar graph 极大外平面图maximal planar graph 极大平面图maximum matching 最大匹配maxterm 极大项(基本析取式)maxterm normal form(conjunctive normal form) 极大项范式(合取范式)McGee graph McGee 图meet 交Menger theorem Menger 定理Meredith graph Meredith 图message word 信息字mini term 极小项minimal κ-connected graph 极小κ-连通图minimal polynomial 极小多项式Minimanoff paradox Minimanoff 悖论minimum distance 最小距离Minkowski sum Minkowski 和minterm (fundamental conjunctive form) 极小项(基本合取式)minterm normal form(disjunctive normal form)极小项范式(析取范式)Möbius function Möbius 函数Möbius ladder Möbius 梯Möbius transform (inversion) Möbius 变换(反演)modal logic 模态逻辑model 模型module homomorphism 模同态(R-同态)modus ponens 分离规则modus tollens 否定后件式module isomorphism 模同构monic morphism 单同态monoid 单元半群monomorphism 单态射morphism (arrow) 态射(箭)Möbius function Möbius 函数Möbius ladder Möbius 梯Möbius transform (inversion) Möbius 变换(反演)multigraph 多重图multinomial coefficient 多项式系数multinomial expansion theorem 多项式展开定理multiple-error-correcting code 纠多错码multiplication principle 乘法原理mutually orthogonal Latin square 相互正交拉丁方Nn-ary operation n-元运算n-ary product n-元积natural deduction system 自然推理系统natural isomorphism 自然同构natural transformation 自然变换neighbour set 邻集next state 下一个状态next state transition function 状态转移函数non-associative algebra 非结合代数non-standard logic 非标准逻辑Norlund formula Norlund 公式normal form 正规形normal model 标准模型normal subgroup (invariant subgroup) 正规子群(不变子群)n-relation n-元关系null object 零对象nullary operation 零元运算Oobject 对象orbit 轨道order 阶order ideal 阶理想Ore condition Ore 条件orientation 定向orthogonal Latin square 正交拉丁方orthogonal layout 正交表outarc 出弧outdegree 出次(出度)outer face 外面outer neighbour 外(出)邻集outerneighbour set 出(外)邻集outerplanar graph 外平面图Ppancycle graph 泛圈图parallelism 平行parallelism class 平行类parity-check code 奇偶校验码parity-check equation 奇偶校验方程parity-check machine 奇偶校验器parity-check matrix 奇偶校验矩阵partial function 偏函数partial ordering (partial relation) 偏序关系partial order relation 偏序关系partial order set (poset) 偏序集partition 划分,分划,分拆partition number of integer 整数的分拆数partition number of set 集合的划分数Pascal formula Pascal 公式path 路perfect code 完全码perfect t-error-correcting code 完全纠-错码perfect graph 完美图permutation 排列(置换)permutation group 置换群permutation with repetation 可重排列Petersen graph Petersen 图p-graph p-图Pierce arrow Pierce 箭pigeonhole principle 鸽子笼原理planar graph (可)平面图plane graph 平面图Pólya theorem Pólya 定理polynomail 多项式polynomial code 多项式码polynomial representation 多项式表示法polynomial ring 多项式环possible world 可能世界power functor 幂函子power of graph 图的幂power set 幂集predicate 谓词prenex normal form 前束范式pre-ordered set 拟序集primary cycle module 准素循环模prime field 素域prime to each other 互素primitive connective 初始联结词primitive element 本原元primitive polynomial 本原多项式principal ideal 主理想principal ideal domain 主理想整环principal of duality 对偶原理principal of redundancy 冗余性原则product 积product category 积范畴product-sum form 积和式proof (deduction) 证明(演绎)proper coloring 正常着色proper factor 真正因子proper filter 真滤子proper subgroup 真子群properly inclusive relation 真包含关系proposition 命题propositional constant 命题常量propositional formula(well-formed formula,wff)命题形式(合式公式)propositional function 命题函数propositional variable 命题变量pullback 拉回(回拖) pushout 推出Qquantification theory 量词理论quantifier 量词quasi order relation 拟序关系quaternion 四元数quotient (difference) algebra 商(差)代数quotient algebra 商代数quotient field (field of fraction) 商域(分式域)quotient group 商群quotient module 商模quotient ring (difference ring , residue ring) 商环(差环,同余类环)quotient set 商集RRamsey graph Ramsey 图Ramsey number Ramsey 数Ramsey theorem Ramsey 定理range 值域rank 秩reconstruction conjecture 重构猜想redundant digits 冗余位reflexive 自反的regular graph 正则图regular representation 正则表示relation matrix 关系矩阵replacement theorem 替换定理representation 表示representation functor 可表示函子restricted proposition form 受限命题形式restriction 限制retraction 收缩Richard paradox Richard 悖论right adjoint functor 右伴随函子right cancellable 右可消的right factor 右因子right zero divison 右零因子ring 环ring of endomorphism 自同态环ring with unity element 有单元的环R-linear independence R-线性无关root field 根域rule of inference 推理规则Russell paradox Russell 悖论Ssatisfiable 可满足的saturated 饱和的scope 辖域section 截口self-complement graph 自补图semantical completeness 语义完全的(弱完全的)semantical consistent 语义相容semigroup 半群separable element 可分元separable extension 可分扩域sequent 矢列式sequential 序列的Sheffer stroke Sheffer 竖(谢弗竖)simple algebraic extension 单代数扩域simple extension 单扩域simple graph 简单图simple proposition (atomic proposition) 简单(原子)命题simple transcental extension 单超越扩域simplication 简化规则slope 斜率small category 小范畴smallest element 最小元(素)Socrates argument Socrates 论断(苏格拉底论断)soundness (validity) theorem 可靠性(有效性)定理spanning subgraph 生成子图spanning tree 生成树spectra of graph 图的谱spetral radius 谱半径splitting field 分裂域standard model 标准模型standard monomil 标准单项式Steiner triple Steiner 三元系大集Stirling number Stirling 数Stirling transform Stirling 变换subalgebra 子代数subcategory 子范畴subdirect product 子直积subdivison of graph 图的细分subfield 子域subformula 子公式subdivision of graph 图的细分subgraph 子图subgroup 子群sub-module 子模subrelation 子关系subring 子环sub-semigroup 子半群subset 子集substitution theorem 代入定理substraction 差集substraction operation 差运算succedent 后件surjection (surjective) 满射switching-network 开关网络Sylvester formula Sylvester公式symmetric 对称的symmetric difference 对称差symmetric graph 对称图symmetric group 对称群syndrome 校验子syntactical completeness 语法完全的(强完全的)Syntactical consistent 语法相容system Ł3 , Łn , Łא0 , Łא系统Ł3 , Łn , Łא0 , Łאsystem L 公理系统 Lsystem Ł公理系统Łsystem L1 公理系统 L1system L2 公理系统 L2system L3 公理系统 L3system L4 公理系统 L4system L5 公理系统 L5system L6 公理系统 L6system Łn 公理系统Łnsystem of modal prepositional logic 模态命题逻辑系统system Pm 系统 Pmsystem S1 公理系统 S1system T (system M) 公理系统 T(系统M)Ttautology 重言式(永真公式)technique of truth table 真值表技术term 项terminal endpoint 终端terminal object 终结对象t-error-correcing BCH code 纠 t -错BCH码theorem (provable formal) 定理(可证公式)thickess 厚度timed sequence 时间序列torsion 扭元torsion module 扭模total chromatic number 全色数total chromatic number conjecture 全色数猜想total coloring 全着色total graph 全图total matrix ring 全方阵环total order set 全序集total permutation 全排列total relation 全关系tournament 竞赛图trace (trail) 迹tranformation group 变换群transcendental element 超越元素transitive 传递的tranverse design 横截设计traveling saleman problem 旅行商问题tree 树triple system 三元系triple-repetition code 三倍重复码trivial graph 平凡图trivial subgroup 平凡子群true in an interpretation 解释真truth table 真值表truth value function 真值函数Turán graph Turán 图Turán theorem Turán 定理Tutte graph Tutte 图Tutte theorem Tutte 定理Tutte-coxeter graph Tutte-coxeter 图UUlam conjecture Ulam 猜想ultrafilter 超滤子ultrapower 超幂ultraproduct 超积unary operation 一元运算unary relation 一元关系underlying graph 基础图undesignated truth value 非特指值undirected graph 无向图union 并(并集)union of graph 图的并union operation 并运算unique factorization 唯一分解unique factorization domain (Gauss domain) 唯一分解整域unique k-colorable graph 唯一k着色unit ideal 单位理想unity element 单元universal 全集universal algebra 泛代数(Ω代数)universal closure 全称闭包universal construction 通用结构universal enveloping algebra 通用包络代数universal generalization 全称推广规则universal quantifier 全称量词universal specification 全称特指规则universal upper bound 泛上界unlabeled graph 无标号图untorsion 无扭模upper (lower) bound 上(下)界useful equivalent 常用等值式useless code 废码字Vvalence 价valuation 赋值Vandermonde formula Vandermonde 公式variery 簇Venn graph Venn 图vertex cover 点覆盖vertex set 点割集vertex transitive graph 点传递图Vizing theorem Vizing 定理Wwalk 通道weakly antisymmetric 弱反对称的weight 重(权)weighted form for Burnside lemma 带权形式的Burnside引理well-formed formula (wff) 合式公式(wff)word 字Zzero divison 零因子zero element (universal lower bound) 零元(泛下界)ZFC (Zermelo-Fraenkel-Cohen) system ZFC系统form)normal(Skolemformnormalprenex-存在正则前束范式(Skolem 正则范式)3-value proposition logic 三值命题逻辑。
有限域的代数闭包
有限域的代数闭包1. 介绍有限域是一个包含有限个元素的数学结构,它在代数学和密码学等领域具有广泛应用。
代数闭包是一个域的扩张,使得该域上的所有多项式都有根。
本文将探讨有限域的代数闭包以及其相关概念和性质。
2. 有限域的定义和性质有限域是一个包含有限个元素的域。
对于有限域F,它的特征p是一个素数,且存在一个整数n,使得F中的元素个数为p^n。
有限域的性质如下:•有限域的加法群是循环群,且其生成元称为本原元。
•有限域的乘法群是循环群,且其生成元称为本原元。
•有限域的乘法群是阿贝尔群,且有限域的每个非零元素都是乘法群的生成元。
3. 代数闭包的定义和性质代数闭包是一个域的扩张,使得该域上的所有多项式都有根。
对于域K,它的代数闭包是一个域L,满足以下条件:•L是K的扩张域。
•L是代数闭域,即L上的任意多项式都有根。
代数闭包具有以下性质:•代数闭包的存在性是由伽罗华定理保证的,它指出任何域都有一个代数闭包。
•代数闭包是唯一的,即对于给定的域K,其代数闭包L是唯一的,只是L上的元素可能有不同的表示形式。
4. 有限域的代数闭包有限域的代数闭包是指将有限域F扩张为一个代数闭域的过程。
有限域的代数闭包可以通过构造一个无穷大的域来实现,该域包含了所有F上的多项式的根。
有限域的代数闭包具有以下性质:•有限域的代数闭包是一个无穷大的域,它包含了所有F上的多项式的根。
•有限域的代数闭包是一个代数闭域,即其上的任意多项式都有根。
5. 有限域的代数闭包的构造有限域的代数闭包可以通过构造一个包含所有F上多项式的根的域来实现。
构造的过程如下:•首先,选择一个无穷大的素数p,使得F是一个有限域F_p。
•然后,构造一个无穷大的域L,该域包含了F上的所有多项式的根。
•最后,取L的一个子域L’,使得L’是一个代数闭域,且包含了F上的所有多项式的根。
L’即为有限域F的代数闭包。
6. 有限域的代数闭包的应用有限域的代数闭包在代数学和密码学等领域具有广泛的应用。
代数闭域和代数闭包
代数闭域和代数闭包1.引言1.1 概述概述代数闭域和代数闭包是代数学中重要的概念。
代数学是数学的一个分支,研究数学对象之间的代数关系及其性质。
代数闭域是一种具有特定性质的数域,而代数闭包是在给定数域上添加了特定元素后得到的扩张域。
在数学中,一个数域是一个包含了加法和乘法运算的集合,且满足一定性质。
代数闭域是一种特殊的数域,它具有一个重要的性质,即在该域上的任意多项式方程都有根。
这意味着代数闭域可以完全涵盖了代数方程的解,不会存在无法求解的代数方程。
与代数闭域相对应的概念是代数闭包。
代数闭包是在给定数域上添加了一些元素后得到的扩张域,使得该扩张域成为代数闭域。
代数闭包的构造方法有很多种,其中最著名的是将原数域中不可约多项式的根添加到原数域中,以得到代数闭包。
代数闭域和代数闭包在数学中有着广泛的应用和意义。
它们不仅在代数方程的求解中起到重要作用,还在几何学、数论、代数几何等领域有着广泛的应用。
通过研究代数闭域和代数闭包,人们可以更好地理解数学对象的结构和性质,进一步推动数学的发展和应用。
本文将对代数闭域和代数闭包的定义与性质进行详细介绍,并探讨它们之间的关系。
通过深入理解这些概念,读者将能够更好地应用它们解决实际问题,并进一步拓展数学知识的广度和深度。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以进行如下编写:本文将主要介绍代数闭域和代数闭包的概念、性质及其构造方法。
文章分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先对代数闭域和代数闭包的概念进行简要介绍,说明它们在数学中的重要性和应用背景。
接着给出了本文的结构安排,概括介绍了各个部分的内容,方便读者对文章整体框架有一个清晰的认识。
正文部分主要包括两个部分:代数闭域和代数闭包。
在代数闭域的部分,将首先给出其定义和常见的性质,并通过一些具体的例子来帮助读者更好地理解。
然后,介绍代数闭包的定义和性质,探讨其与代数闭域的关系,并详细介绍代数闭包的构造方法,比如代数闭包的生成、代数元素的附加等等,以便读者能够深入理解代数闭包的概念和构造方法。
近世代数中的域论研究
近世代数中的域论研究近世代数是数学领域中的一个重要分支,它研究了一些基本的代数结构,其中域论就是其中之一。
域论主要研究域及其上的运算和性质,探讨了域的结构以及其在不同数学领域中的应用。
本文将从域的定义、性质和进一步的研究方向等方面展开叙述。
一、域的定义和性质1.1 域的定义在近世代数中,域是一种满足特定条件的代数结构。
具体地说,域是一个非空集合F,其中定义了两种运算:加法和乘法。
满足以下条件:1)F对于加法构成一个可交换群。
也就是说,对于任意的a、b和c∈F,满足结合律、交换律、存在零元素和相反元素等性质。
2)F中除去加法的单位元素0以外的所有元素对于乘法构成一个可交换群。
也就是说,对于任意的a、b和c∈F,满足结合律、交换律、存在单位元素和乘法逆元素等性质。
3)加法和乘法之间满足分配律。
即,对于任意的a、b和c∈F,有a(b+c)=ab+ac。
根据以上定义,可以得出整数集、有理数集和实数集等都是域的例子。
1.2 域的性质域具有许多重要的性质,下面列举一些常见性质:1)域中的加法和乘法都是可交换的,即对于任意的a和b∈F,有a+b=b+a和ab=ba。
2)域中的乘法满足消去律,即对于任意的a、b和c∈F,如果ab=ac且a≠0,则b=c。
3)域中的零元素和单位元素是唯一的,分别记作0和1。
4)域中的每个非零元素都有乘法逆元素,即对于每个a∈F,存在一个b∈F,使得ab=1。
5)域中的加法和乘法都满足分配律。
上述性质使得域成为一种非常有用的数学结构,它在代数、几何、密码学等领域都有广泛的应用。
二、域的进一步研究除了基本定义和性质之外,域论还涉及一些更深入的研究方向。
下面简要介绍其中的两个重要方向:域的扩张和代数闭包。
2.1 域的扩张域的扩张是指从一个给定的域F出发,构造一个包含F的更大的域K的过程。
具体地说,对于给定的域F,如果存在一个域K,并且F是K的子域,那么称K为F的扩张域。
扩张域的构造方法可以是代数扩张或者超越扩张。
抽象代数中的伽罗瓦拓扑结构
抽象代数中的伽罗瓦拓扑结构抽象代数是研究代数结构和代数运算性质的数学分支。
而在抽象代数中,伽罗瓦拓扑结构是一种重要的概念,它是研究群的拓扑性质和代数性质之间的关系。
本文将从伽罗瓦拓扑结构的定义、性质和应用角度来进行论述。
一、伽罗瓦拓扑结构的定义在抽象代数中,伽罗瓦拓扑结构可以定义为:设G是一个群,以及对于群G的每个子群H,存在一个拓扑空间X和一个连续群同态f:X→G,满足以下两个条件:1. 对于任意的g∈G,f^{-1}(g) 是一个开集。
2. 对于每个H的左陪集gH,f^{-1}(gH) 是一个闭集。
二、伽罗瓦拓扑结构的性质伽罗瓦拓扑结构具有以下重要性质:1. 伽罗瓦拓扑结构是一种 Hausdorff 空间,即对于任意的两个不同的点 x 和 y,存在 x 的一个开邻域 U 和 y 的一个开邻域 V,使得 U 和V 不相交。
2. 伽罗瓦拓扑结构是一种完全正规空间,即对于任意的两个不相交的闭集 A 和 B,存在它们的开邻域 U 和 V,使得 A 包含于 U,B 包含于 V,并且 U 和 V 也不相交。
3. 伽罗瓦拓扑结构是一种局部连通空间,即对于任意一点 x,存在一个连通的开邻域 U 包含于 x。
4. 伽罗瓦拓扑结构是一种紧空间,即伽罗瓦拓扑空间中的任意开覆盖都有有限子覆盖。
三、伽罗瓦拓扑结构的应用伽罗瓦拓扑结构在代数学及其相关领域中具有广泛的应用,例如:1. 在伽罗瓦理论中,伽罗瓦拓扑结构可用于研究有限域的代数闭包以及代数扩张的拓扑性质。
2. 在代数几何学中,伽罗瓦拓扑结构可用于研究代数曲线及其上的正则函数的全体构成的环的拓扑性质。
3. 在数论中,伽罗瓦拓扑结构可用于研究整数环以及有限扩张的拓扑性质。
4. 在拓扑群论中,伽罗瓦拓扑结构可用于研究群的性质和拓扑性质之间的联系。
总结伽罗瓦拓扑结构在抽象代数中起着重要的作用,它是研究群的拓扑性质和代数性质之间的关系的一种重要工具。
通过定义、性质和应用的介绍,我们了解了伽罗瓦拓扑结构的基本概念和相关知识。
高斯整数
高斯整数自然数整数 二进分数 有限小数循环小数有理数 代数数 实数复数 高斯整数 负数 分数 单位分数 无限小数 规矩数 无理数 超越数 二次无理数虚数 艾森斯坦整数双复数四元数 共四元数 八元数 超数 上超实数 超复数 十六元数 复四元数 Tessarine大实数 超实数 对偶数 双曲复数 序数 质数 同余可计算数阿列夫数 公称值 超限数 基数 P 进数 规矩数 整数序列 数学常数 π = 3.141592653...e = 2.718281828...虚数单位 i 2 = − 1无穷 ∞。
[隐藏]∙ 1 作为唯一分解整环o 1.1 作为整闭包o 1.2 作为欧几里德环∙ 2 未解决的问题∙ 3 参见∙ 4 参考文献[编辑]作为唯一分解整环高斯整数形成了一个唯一分解整环,其可逆元为1、-1、i,以及-i。
Z[i]的素元素又称为高斯素数。
高斯素数的分布高斯整数a + bi是素数当且仅当:∙a、b中有一个是零,另一个是形为4n+ 3或其相反数−(4n+3)的素数;∙或a、b均不为零,而a2 + b2为素数。
以下给出这些条件的证明。
必要条件的证明为:仅当高斯整数的范数是素数,或素数的平方时,它才是高斯素数。
这是因为对于任何高斯整数g,。
现在,N(g)是整数,因此根据算术基本定理,它可以分解为素数的乘积。
根据素数的定义,如果g是素数,则它可以整除p i,对于某个i。
另外,可以整除,因此。
于是现在只有两种选择:要么g的范数是素数,要么是素数的平方。
如果实际上对于某个素数p,有N(g) = p2,那么g和都能整除p2。
它们都不能是可逆元,因此g = pu,以及,其中u是可逆元。
这就是说,要么a = 0,要么b = 0,其中g = a + bi。
然而,不是每一个素数p都是高斯素数。
2就不是高斯素数,因为2 = (1 + i)(1 −i)。
高斯素数不能是4n + 1的形式,因为根据费马平方和定理,它们可以写成a2+ b2的形式,其中a和b是整数,且a2+ b2 = (a + bi)(a−bi)。
代数数的定义
代数数的定义代数数是代数数域上的数,也称为代数的数。
代数数域是指由代数数组成的数域,它是代数扩张的闭包。
代数数可以通过解代数方程而得到,它是代数闭包的元素。
在数学中,代数数是一类特殊的数,与无理数和有理数相对。
有理数是可以表示为两个整数之比的数,无理数则无法用有限的整数比来表示。
而代数数则是可以通过代数方程的根来表示的数。
代数数的定义可以从多个角度进行阐述:1.从代数方程的角度来看,代数数是代数方程的根。
代数方程是指以未知数为变量的方程,其中包含有限个系数,这些系数可以是整数、有理数或复数。
通过求解代数方程,我们可以得到它的根,而这些根就是代数数。
2.从代数结构的角度来看,代数数是代数结构中的元素。
代数结构是指满足一定代数性质的集合和相关的操作。
例如,实数集合就是一个代数结构,而实数集合中的代数数可以通过运算来构建代数结构。
这些代数数在代数运算下封闭,可以相加、相乘,并且满足分配律。
3.从代数闭包的角度来看,代数数是代数闭包中的元素。
代数闭包是指一个数域在代数运算下封闭的性质。
对于有理数域来说,它是不封闭的,因为其中某些方程的根无法用有限次有理运算得到。
而对于代数闭包来说,它包含了所有代数方程的根,因此代数数是代数闭包中的元素。
代数数具有一些特点:1.代数数是代数方程的解,因此它们都是代数方程的根。
例如,平方根就是一个代数数,因为它是一个二次方程的解。
类似地,立方根和四次方根也是代数数。
2.代数数在代数运算下封闭,可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
代数数的运算结果仍然是代数数。
例如,两个代数数的和仍然是一个代数数。
3.代数数可以形成数域,即代数数域。
代数数域是代数运算下封闭的数域,其中包含所有代数方程的根。
代数数域是一类重要的数学概念,在数论、代数几何和代数拓扑等领域中有广泛的应用。
总结起来,代数数是代数方程的解,是代数闭包中的元素,可以通过代数运算进行操作。
代数数是数学中重要的概念之一,它在各个数学学科中都有广泛的应用和研究价值。
代数闭包定义
代数闭包定义
代数闭包是数学中一个重要的概念,它指的是一个数域中所有的代数元素所组成的集合。
在代数学中,代数闭包是一个非常重要的概念,它可以帮助我们更好地理解数学中的各种概念和定理。
代数闭包的定义可以用以下方式来描述:对于一个数域K,它的代数闭包是一个包含K中所有代数元素的最小代数扩张。
也就是说,代数闭包是一个包含K中所有代数元素的最小的代数扩张。
代数闭包的概念在数学中有着广泛的应用。
在代数学中,代数闭包可以帮助我们更好地理解代数结构和代数方程的性质。
在数论中,代数闭包可以帮助我们研究整数域中的代数方程。
在几何学中,代数闭包可以帮助我们研究代数曲线和代数曲面的性质。
代数闭包的概念也与代数扩张密切相关。
代数扩张是指在一个数域中添加一个新的元素,使得这个新元素是原数域中某个代数方程的根。
代数扩张可以用来解决代数方程,例如二次方程、三次方程等等。
代数扩张的概念也可以用来定义代数闭包。
代数闭包的概念在数学中有着广泛的应用,它不仅可以帮助我们更好地理解代数学、数论和几何学中的各种概念和定理,还可以帮助我们解决各种实际问题。
因此,代数闭包是数学中一个非常重要的概念,它的研究对于数学的发展和应用都有着重要的意义。
域同态的扩张的个数
域同态的扩张的个数高升【摘要】设h:F→Ω是域的同态,E是F的有限次扩域,本文讨论了使h到E上的扩张的个数取得最大值的条件.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2015(031)004【总页数】4页(P30-33)【关键词】域;单同态;同态的扩张;可分次数【作者】高升【作者单位】合肥工业大学数学学院,合肥230009【正文语种】中文【中图分类】O153.4设F是任意一个域,E是F的有限次扩域; h:F→Ω是从F到另一域Ω的单同态.本文主要讨论这样一个问题:有多少种方式将h扩张为从E到Ω的单同态?为了简便,用记号Emb(E,Ω)表示从E到Ω的全部单同态的集合,用Emb(F,h)(E,Ω)表示所有扩张了h的、从E到Ω的单同态的集合,即其中ξ|F表示ξ到F上的限制映射.这样,本文讨论的问题也就是集合Emb(F,h)(E,Ω)中元素的个数(在一般情况下,E和Ω之间没有包含关系,Emb(E,Ω)和Emb(F,h)(E,Ω)有可能为空集.)将域扩张E/F的可分次数记为[E∶F]sep,则不等式在任何情况下都是成立的(见本文引理5).现有文献在某些情况下讨论了该不等式等号成立的条件.[1]第224页命题1证明了:当Ω是h(F)的代数闭包时,|Emb(F,h)(E,Ω)|可以取到最大值[E∶F]sep.[2]第20页命题3和[6]第77页定理16都证明了:当Ω是F的一个代数正规扩张且E是Ω/F 的中间域时,从E到Ω的F-单同态的个数取到最大值[E∶F]sep.[4]第131页命题3.2给出了当Ω为F的扩域时使E到Ω的F-单同态个数等于[E∶F]的充要条件.[6]第79页推论1证明了:E的F-自同构群Gal(E/F)的阶一定不超过[E∶F]sep,且等式|Gal(E/F)|=[E∶F]sep成立的充要条件是E/F为正规扩张.[7]第142页定理5.2.6给出了当Ω为E在F上的正规闭包时使E到Ω的F-单同态个数等于[E∶F]的充要条件.文献[8]在第135页证明了,若F⊂E⊂Ω,则E到Ω的F-单同态个数一定不超过[E∶F]sep,在适当地选取Ω时可以取到最大值[E∶F]sep.本文将在一般情况下讨论使|Emb(F,h)(E,Ω)|取到最大值[E∶F]sep的充分必要条件. 将有限次域扩张E/F的纯不可分次数记为[E∶F]ins,F在E中的可分闭包记为ES(此时有[E∶F]sep=[ES∶F],[E∶F]ins=[E∶ES]).对于任一α∈E,用min(α,F)表示α在F上的极小多项式.F[X]表示F上的一元多项式环,以X为不定元.对于F[X]中的多项式记号degf表示它的次数.对每一单同态h:F→Ω,定义一个映射令.在以下的讨论中,这些记号会一直使用.引理1([5, 推论5.2.9, 第218页]) 设F和Ω是两个域,h:F→Ω是从F到Ω的单同态,F(β)是F的一个单代数扩域,min(β,F)=f(X),则即h到F(β)上的扩张的个数等于多项式h*(f)在Ω中的全部根的个数(不计重数). 引理2([3, 推论6.14,第287页]) 设F是一个域,f(X)是F[X]中的首一不可约多项式;L是F的一个扩域,使得f(X)在L[X]中可以完全分裂为一次因子的乘积.若f(X)在L中全部两两互异的根为γ1,γ2,…,γn,则必有n=[F(γ1)∶F]sep,且即f(X)的每个根的重数都等于[F(γ1)∶F]ins.引理3 设E/F是域的纯不可分代数扩张,ξ1和ξ2都是从域E到域Ω的同态映射.如果ξ1|F=ξ2|F,那么必有ξ1=ξ2.证若F的特征为0,则E/F同时又是可分扩张,从而必有E=F.故不妨设F的特征为素数p.此时,E和Ω的特征都是素数p.任取α∈E,则存在非负整数l,使得αpl∈F,从而有ξ1(αpl)=ξ2(αpl),即ξ1(α)pl=ξ2(α)pl.所以,从而ξ1(α)=ξ2(α).引理4 设E=F(S)是域F的代数扩域,L是E/F的中间域;Ω是另一个域,h:F→Ω是从F到Ω的单同态.又设对每个α∈S,多项式h*(min(α,F))在Ω[X]中可完全分裂为一次因子的乘积.在这些条件下,如下结论成立:(i) 集合Emb(F,h)(E,Ω)是非空的,即h可以提升为从E到Ω的单同态;(ii) 对于每个ρ∈E,h*(min(ρ,F))在Ω[X]中可完全分裂为一次因子的乘积;(iii) 若φ是从L到Ω的单同态且φ|F=h,则φ可提升为从E到Ω的单同态,即映射Emb(F,h)(E,Ω)→Emb(F,h)(L,Ω)(ξξ|L)是满的.证设多项式集合{min(α,F)|α∈S} 在E上的分裂域为,则也是{min(α,F)|α∈S}在F上的分裂域.与此同时,将集合{h*(min(α,F))|α∈S}中的所有多项式在Ω内的全部根添加到h(F)上,所生成的域记为Ω0,则Ω0是{h*(min(α,F))|α∈S}在h(F)上的分裂域.根据分裂域的性质,域同构,可以扩充为从到Ω0的同构映射.(i) 此时,是从E到Ω的单同态并且,即(E,Ω).(ii) 因为/F是正规扩张,所以对每个ρ∈E,min(ρ,F)在中可完全分裂为一次因子的乘积:其中.于是,其中⊂Ω,即h*(min(ρ,F))在Ω[X]中可完全分裂为一次因子的乘积.(iii) 此时E=L(S),并且对每个α∈S,在L[X]中有min(α,L)|min(α,F).于是,在Ω[X]中有φ*(min(α,L))|φ*(min(α,F)).注意到min(α,F)的系数都属于F且φ|F=h,故所以,在Ω[X]中有φ*(min(α,L))|h*(min(α,F)).由已知条件,h*(min(α,F))在Ω[X]中可完全分裂为一次因子的乘积,故φ*(min(α,L))在Ω[X]中可完全分裂为一次因子的乘积.于是,由本引理之(1)知,φ:L→Ω可提升为从E到Ω的单同态.引理5 设E/F是有限次的域扩张,h:F→Ω是从F到另一域Ω的单同态,则有证设ES为F在E中的可分闭包,则E/ES是纯不可分扩张,ES/F是单扩张.由于有限可分扩张必为单扩张,故可以选取β∈ES,使得ES=F(β).设min(β,F)=f(X).若Emb(F,h)(E,Ω)=∅,则待证不等式显然成立.不妨设Emb(F,h)(E,Ω)≠∅.由引理3可知,映射是单的,所以再由引理1可知,结合(1)式和(2)式,可知以下定理是本文的主要结果.定理设E/F是有限次的域扩张,E=F(α1,α2,…,αr),h:F→Ω是从域F到另一域Ω的单同态,则以下三者彼此等价:(i) |Emb(F,h)(E,Ω)|=[E∶F]sep;(ii) 对每个j∈{1,2,…,r},多项式h*(min(αj,F))在Ω[X]中可完全分裂为一次因子的乘积;(iii) 对每个ρ∈E,多项式h*(min(ρ,F))在Ω[X]中可完全分裂为一次因子的乘积. 证设ES为F在E中的可分闭包,则E/ES是纯不可分扩张,ES/F是单扩张.选取β∈ES,使得ES=F(β).设min(β,F)=f(X)(在以下的讨论中一直使用这些记号). (i)(ii) 由于α1,α2,…,αr地位平等,只需证明:h*(min(α1,F))在Ω[X]中可以完全分裂为一次因子的乘积.考虑映射λ:Emb(F,h)(E,Ω)→Emb(F,h)(F(α1),Ω)(ξξ|F(α1)),则有此处,λ-1(h′)表示h′关于映射λ的全部原像的集合.集合Emb(F(α1),h′)(E,Ω)对于不同的h′是互不相交的,所以由引理5可知又由(i)中条件,有所以由引理5,又有于是必有于是,由引理1可知,多项式h*(min(α1,F))在Ω中的根的个数(不计重数)恰为[F(α1)∶F]sep.又由引理2可知,min(α1,F)在任一分裂域中的全部根的个数(不计重数)为[F(α1)∶F]sep,从而h*(min(α1,F))在任一分裂域中的根的个数(不计重数)也是[F(α1)∶F]sep.由此可知,h*(min(α1,F))在Ω[X]中可以完全分裂为一次因子的乘积.(ii)(iii) 这可由引理4(ii)直接推出.(iii)(i) 由引理4(iii)可知,映射是一个满射.由引理3可知,此映射同时也是一个单射.所以此映射是一个双射,从而有由引理1可知由条件(iii)可知,多项式h*(f)=h*(min(β,F))在Ω[X]中可完全分裂为一次因子的乘积.因为β在F上是可分的,所以f(X)=min(β,F)在任一分裂域上都没有重根,从而在Ω中没有重根.这样就有综合(a),(b),(c)三式,有于是(i)得证.现有文献对于使域嵌入的扩张的个数达到最大的充分条件多有讨论,本文的创新点在于证明了这些条件的必要性.【相关文献】[1]CohnPM.Algebra(Volume2)[M].Chichester·NewYork·Brisbane·Toronto:JohnWiley&SonsLtd, 1977.[2] 戴执中. 域论[M]. 北京:高等教育出版社,1990.[3] HungerfordTW.Algebra[M].NewYork:Springer-Verlag,Inc, 1974.[4] 李克正. 抽象代数基础[M]. 北京:清华大学出版社, 2007.[5] SahaiV,BistV.Algebra[M]. (英文第2版影印版). 北京:机械工业出版社,2008.[6]ZariskiO,mutativeAlgebra(Volume1)[M].NewJersey:D.VanNostrandCompany,Inc, 1958.[7] 张英伯,王恺顺. 代数学基础(下册)[M]. 北京:北京师范大学出版社, 2013.[8] vanderWaerdenBL.Algebra(Volume1)[M]. (英文第7版影印版). 北京:世界图书出版公司,2007.。
Galois理论在高等代数中的若干应用
Galois理论在高等代数中的若干应用谢启鸿【摘要】给出了Galois理论在高等代数若干问题中的应用.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2016(032)006【总页数】5页(P8-12)【关键词】分裂域;Galois扩张;特征多项式;特征值;特征向量;Jordan-Chevalley分解【作者】谢启鸿【作者单位】复旦大学数学科学学院,上海200433【正文语种】中文【中图分类】O151.21首先, 我们阐述域论中的一些概念和结论 (参考教材[1]).设f(x)是域上的多项式, f(x)在上的分裂域是的一个扩域, 使得f(x)在上可分解为一次多项式的乘积, 并且在同构意义下, 是满足上述性质的的最小扩域.具体的, 若取的一个代数闭包, 并设f(x)在中的全体根为λ1,λ2,…,λn, 则=(λ1,λ2,…,λn).类似地, 还可定义上一族多项式的分裂域, 这样的扩域称为上的正规扩张.对于正规扩张, 有如下的同构扩张定理.定理1 设是上的正规扩张, λ∈在上的极小多项式为m(x), 则对m(x)的任一根μ, 存在一个保持中元素不动的的自同构使得σ(λ)=μ.设是上的代数扩域, 若对任一λ∈, λ在上的极小多项式m(x)均无重根, 则称是上的可分扩张.可以证明: 若是特征为零的域 (比如数域), 或者是特征为素数p的域且满足p= (这种域称为完美域, 如有限域p), 则上的任一代数扩域都是可分扩张.若一个代数扩域/既是正规扩张, 又是可分扩张, 则称之为Galois扩张.对于有限Galois扩张, 可以建立起/的中间域与Galois群的子群之间的反序一一对应.定理2 设/是有限Galois扩张, M={|⊇⊇}为/的中间域全体, S={G|G≤Gal(/)}为的子群全体, 定义则φ,ψ给出了M,S之间的反序一一对应.特别地, 若λ∈满足σ(λ)=λ对任意的都成立, 则λ∈.为了利用Galois理论处理高等代数问题, 需要将Galois群对域的作用延拓到列向量、矩阵和多项式上.设/是一个有限Galois扩张则对任一列向量定义容易验证上述σ的作用是-线性的, 并且保持列向量的加法, 矩阵的加法和乘法, 多项式的加法和乘法.由定理2可知, 若σ(α)=α对任意的都成立, 则α∈n; 若σ(A)=A对任意的都成立, 则A∈Mn(); 若σ(f(x))=f(x)对任意的都成立, 则f(x)∈[x].设V是n的子空间, 定义容易验证Inv(V)是n的子空间.反之, 设U为n的子空间, {e1,e2,…,er}是U的一组基, 即U=e1⊕e2⊕…⊕er.由这组基的-线性无关性以及 [4] 的推论1可知, 它们也是-线性无关的, 定义由它们张成的-线性空间为U, 则{e1,e2,…,er}也是U的一组基, 即U=e1⊕e2⊕…⊕er(事实上, U=U⊗是线性空间的张量积).任取α∈U, 则其中c1,c2,…,cr∈, 从而若σ(α)=α对任意的都成立, 则所有的ci∈, 从而α∈U, 这就证明了Inv(U)=U.进一步, 设U1⊕U2⊕…⊕Uk为n的子空间, 则类似于上面的讨论可得对于n的子空间V, 一般来说只有Inv(V)K⊆V.在下面的讨论中, 总是假设是特征为零的域或特征为素数p的完美域.设A∈Mn(为A的特征多项式, 再设f(λ)在上的分裂域为, 则在上可以求出A的全体特征值λ1,λ2,…,λn以及对应的特征向量; 在上可将A上三角化 (参考 [3] 的例6.49); 在上可讨论A的对角化问题; 进一步, 在上还可以求出A的Jordan标准形 (参考 [2] 的推论7.6.5).为了讨论问题的方便, 也用A表示n上的线性变换, 它将上的n维列向量α映为Aα.另外, 上的矩阵A可自然地看成是上的矩阵, 故也用A表示n上相应的线性变换.先来看一道可对角化矩阵的典型例题.例1 设A∈Mn()的特征值λ1,λ2,…,λn都在中, 并且这n个特征值互不相同, 再设对应的特征向量为α1,α2,…,αn∈n, 证明: n的任一A-不变子空间U必为如下形式: 其中{i1,i2,…,ir}是{1,2,…,n}的子集 (注: 空集∅对应于零子空间).证由假设可知A在上可对角化, α1,α2,…,αn是A的n个线性无关的特征向量, 并且不妨设U≠0, 容易验证A|U的特征多项式是f(λ)的因式, 故可设A|U的特征值为λi1,λi2,…,λir, 其中{i1,i2,…,ir}是{1,2,…,n}的子集.由于A|U的特征值互不相同, 故A|U可对角化, 又所有的特征子空间都是形如αij的一维子空间, 所以通过例1的证明和结论我们知道, 若A的特征值互不相同, 则任一A-不变子空间U 由A|U的全体特征值唯一确定.下面的例题利用了例1的结论, 是Galois理论在高等代数中最典型的应用之一.例2 设A∈Mn()的特征多项式为f(λ), 证明: n只有平凡的A-不变子空间的充分必要条件是f(λ)是上的不可约多项式.证先证充分性.设f(λ)是上的不可约多项式, 从而f(λ)在其分裂域上无重根, 不妨设为λ1,λ2,…,λn.设U是n的非零A-不变子空间, 只要证明U=n即可.任取U的一组基{e1,e2,…,er}, 由Aei∈U(1≤i≤r)容易验证U是n的A-不变子空间.取A|U的任一特征值, 不妨设为λ1, 对应的特征向量为α1∈U, 即其中c1,c2,…,cr∈不全为零.由定理1可知, 存在自同构使得在等式Aα1=λ1α1两边同时作用σi可得Aσi(α1)=λiσi(α1).注意到仍为非零列向量, 故λi(1≤i≤n)都是A|U的特征值.由例1可知U=n, 特别地,再证必要性.设f(λ)在上可约, 即f(λ)=g(λ)h(λ), 其中g(λ),h(λ)的次数小于n, 则由Cayley-Hamilton定理可知因此g(A),h(A)中至少有一个是奇异阵, 不妨设为g(A), 于是存在非零列向量α∈n, 使得g(A)α=0.设degg(λ)=m, 令U=L(α,Aα,…,Am-1α), 则dimU≤m<n, 再由g(A)α=0容易验证U是n的A-不变子空间, 从而U是非平凡的A-不变子空间. 事实上, 例2也可以利用循环子空间理论来进行证明 (参考 [5] 的命题1).下面的例3是复旦大学数学科学学院2015-2016学年第一学期高等代数I期末考试的压轴题, 它的标准解答是利用循环子空间理论和中国剩余定理来进行证明的, 不过我们可以将例2的充分性证明进行推广, 并利用Galois理论给出新的证明.注意到例3也是例1的一个推广.例3 设A∈Mn()的特征多项式其中fi(λ) (1≤i≤k)是上互异的首一不可约多项式.设Vi=Kerfi(A) (1≤i≤k)为n的子空间, 证明: n的任一A-不变子空间U必为如下形式其中{i1,i2,…,ir}是{1,2,…,k}的子集 (注: 空集∅对应于零子空间).证设f(λ)的分裂域为, 则容易验证f(λ)在中无重根.为方便起见, 记fi(λ)的根的集合为Ri (1≤i≤k),用α(λ)表示特征值λ∈Ri对应的特征向量.由[3]的例7.21可知,并且A|Vi的特征多项式为fi(λ).因为fi(λ)在上无重根, 故A|Vi在上可对角化, 并且Viα(λ).设U是n的非零A-不变子空间, 则U是n的非零A-不变子空间.若λ∈Ri 是A|U的一个特征值, 则由类似于例2充分性的证明可知, Ri中的任意元素都是A|U的特征值, 再由例1可知其中{i1,i2,…,ir}是{1,2,…,k}的子集.因此U=Vi1⊕Vi2⊕…⊕Vir, 于是有为了得到下一个应用, 先来证明一个有趣的命题.例4 设A,B∈Mn(), A,B的特征值都在中, 并且r(AB-BA)≤1, 证明: 存在非异阵P∈Mn(), 使得P-1AP和P-1BP同时为上三角阵.证对阶数n进行归纳, 当n=1时, 结论显然成立.设阶数小于n时, 结论成立, 现证n阶的情形.若AB=BA, 则由 [3] 的例6.50可知结论成立; 若A=O, 则结论显然成立; 又若A非异, 则任取A的特征值λ1∈, 用A-λ1In代替A进行讨论.因此可设r(AB-BA)=1, 并且KerA和ImA都是n的非平凡子空间.我们先证明: A,B有公共的非平凡不变子空间.若B(KerA)⊆KerA, 则KerA就是A,B公共的非平凡不变子空间.下设B(KerA)⊄KerA, 即存在α∈KerA, 使得Bα∉KerA.注意到又r(AB-BA)=1, 故Im(AB-BA)=A(Bα)⊆ImA.对任一Aγ∈ImA, 有于是ImA也是B的不变子空间.设U是A,B公共的非平凡不变子空间, 选取U的一组基并扩张为n的一组基, 则A,B在这组基下的表示矩阵都是分块上三角阵, 即存在非异阵Q∈Mn(), 使得由r(AB-BA)=1可得r(AiBi-BiAi)≤1, 再分别对Ai,Bi (i=1,2)运用归纳假设即得结论.下面的例5可以利用线性方程组的求解理论和互素多项式的应用进行纯代数的证明; 也可以利用循环子空间的理论进行纯几何的证明 (参考 [5] 的例2), 在上述两种方法中, 特征多项式f(λ)在上的不可约性和tr(AB-BA)=0都是证明的关键点.接下来我们将利用Galois理论给出例5的第三种证明, 注意到其证明过程没有用到矩阵迹的技巧.例5 设A,B∈Mn(), 并且A的特征多项式f(λ)是上的不可约多项式, 证明: r(AB-BA)≠1.证用反证法证明结论, 设r(AB-BA)=1.取为A,B的特征多项式的分裂域, 则由例4 可知, 存在非异阵P∈Mn(), 使得P-1AP和P-1BP同时为上三角阵.设P的第一列为α1∈n, 则α1≠0是A,B公共的特征向量, 即有其中λ1,μ1分别为A,B的特征值.由于f(λ)在上不可约, 故A的n个特征值λ1,λ2,…,λn∈互不相同, 对应的特征向量必线性无关.由定理1可知, 存在使得σi(λ1)=λi(1≤i≤n).将σi作用在 (1) 式上可得由于σi(α1)≠0, 故它是矩阵A关于特征值λi的特征向量, 也是矩阵B关于特征值σi(μ1)的特征向量, 从而σ1(α1),σ2(α1),…,σn(α1)必线性无关.令则Q是非异阵, 使得于是AB=BA, 这与r(AB-BA)=1矛盾.作为Galois理论的应用, 最后我们将证明一般域上的Jordan-Chevalley分解定理. 例6 设A∈Mn(), 证明: 存在分解A=B+C, 其中B,C∈Mn()且满足(i) B在其特征多项式的分裂域上可对角化;(ii) C幂零, 即存在正整数m, 使得Cm=O;(iii) BC=CB;(iv) 存在多项式g(x)∈[x], 使得B=g(A),并且满足条件 (i)—(iii) 的上述分解必唯一. 证设为A的特征多项式的分裂域, 完全类似于复矩阵的Jordan-Chevalley分解定理的证明 (参考 [2] 的定理7.7.3), 可以得到A在上的Jordan-Chevalley分解, 即存在分解A=B+C, 其中B,C∈Mn()且满足:(i) B在上可对角化;(ii) C幂零;(iii) BC=CB;(iv) 存在多项式h(x)∈[x], 使得B=h(A),并且满足条件 (i)—(iii) 的上述分解必唯一.对任一可得A的另一分解其中σ(B)在上仍可对角化, σ(C)仍幂零, 并且由分解的唯一性可知, σ(B)=B, σ(C)=C对任意的都成立, 从而B,C∈Mn().若是特征为零的域或是特征为素数p的域, 但p不能整除的阶数, 令则σ(g(x))=g(x)对任意的都成立, 从而g(x)∈[x].由B=h(A)可得B=σ(h(A)), 从而B=g(A).当p整除的阶数时, 还可以如下讨论g(x)的存在性.设作为-线性空间的一组基为{k1=1,k2,…,kd}, 则可将h(x)按系数分解为其中hi(x)∈[x].再由B=h(A)可得B=h1(A), 取g(x)=h1(x)即得结论.一般来说, 大基域上的对象往往更容易被刻画或分类, 因此小基域上的对象可以提升到大基域上进行研究.Galois群关于基域的对称作用也传递给了研究对象及其性质, 因此可以将这些大基域上的性质下降到小基域上, 从而得到相应的刻画或分类.换言之, Galois理论提供了一种下降理论 (Descent Theory), 这种理论对于现代代数学、代数几何和代数数论等分支的研究起到了重要的作用.一般域上的高等代数问题, 可以利用线性变换理论和一般域上的相似标准形理论等加以研究; 也可以利用高等代数中若干概念在基域扩张下的不变性把问题提升到大基域上进行研究 (参考 [4]); 而本文列举的四个例题则告诉我们, 还可以利用Galois 理论的下降功能来研究一般域上的高等代数问题.这些方法和技巧不仅将专业课近世代数和基础课高等代数紧密地联系在一起, 而且利用像Galois理论这样优美的理论工具来解决问题, 充分展现了代数学的神奇魅力.【相关文献】[1] 姚慕生.抽象代数学[M].2版.上海: 复旦大学出版社, 2005.[2] 姚慕生, 吴泉水, 谢启鸿.高等代数学[M].3版.上海: 复旦大学出版社, 2014.[3] 姚慕生, 谢启鸿.高等代数,大学数学学习方法指导丛书[M].3版.上海: 复旦大学出版社, 2015.[4] 谢启鸿.高等代数中若干概念在基域扩张下的不变性[J].大学数学, 2015, 31(6): 50-55.[5] 谢启鸿.循环子空间的若干应用[J].大学数学, 2016, 32(1): 1-6.。
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三次扩张的整闭包
龚成
华东师范大学数学系,上海(200241)
E-mail:gongcheng365@
摘 要:计算有限扩张的整闭包不但是交换代数中的一个核心问题,也很受代数几何以及代 数数论发展的推动。 本文在前人研究的基础上,去掉 2,3 可逆的这一条件,给出了诺特唯一分解环上的三次扩 张的整闭包的描述,并由此刻画了一批该扩张下的整元。并在此基础上,对纯三次扩张和 3 可逆的一般三次扩张进行了比较细致的讨论。 关键词:诺特唯一分解环,三次扩张,整闭包 中图分类号:0153
β'
=
−3m0 (m0 22s1+232s2 −2
f12 v 2
− 2m1m2 2s1 3 +1 s2 −1 4 f32 22η132η2
f1u2
− 4um1m2 2t13t2
f2v)
γ
'
=
−m0 (ξ +ψ ) 4 f33 2 3 3η1 3η2
其中ξ = v3m02 2 3 2s1+2 2s2 −2 f12 + 6m0m1m2 22s1+232s2 −2 f12u 2v
],[ bp 3
⎫ ]⎬, ⎭
,令 e
=
pep ,并且
p
∏ 令 m0 =
p,
ε p >0 ε p ≡1(3)
我们有下列分解:
m1 = ∏ p, ε p <0 ε p ≡1(2)
m2 = ∏ p, ε p >0 ε p ≡2(3)
m3 = ∏ p, ε p =0 ε p ≡1(2)
a = m0m1m22e2a , b = m0m12m22e3b , (a, b ) = 1 ,
1. 引言
计算有限扩张的整闭包不但是交换代数中的一个核心问题,也很受代数几何以及代数数 论发展的推动。
Hilbert 在环上的代数不变量的计算本质就是正规化的计算![13] 在 Fields 奖得主,代数几何学家 David Mumford 的“The red book of varieties and scheme” 一书中就认为诺特正规化定理是代数几何中一个基本的预备定理. 冯克勤教授在其《代数数论》中也称对任意的域 K,有效的求出其上的整元是一个人们 长期以来都关心的问题。
c' = k0 + k1α ' + k2α '2 (ki ∈ K , i = 0,1, 2) 与 c'' = k0 + k1α '' + k2α ''2 (ki ∈ K , i = 0,1, 2) ,
则 c + c' + c'' = 3k0 + k1S1 + k2S2
cα + c'α ' + c''α '' = k0S + k1S2 + k2S3
m2 = ∏ p, ε p >0 ε p ≡2(3)
m3 = ∏ p, ε p =0 ε p ≡1(2)
我们有下列分解:
a = m0m1m22e2 2 3s1 s2 a , b = m0m12m22e3 2t13t2 b , (a, b ) = 1 , 4m0m22 23s133s2 a 3 + 27m122t132t2 b 2 = m3δ 2 3 2 η1 η2 , 取 f1 = m2a , f2 = b , f3 = δ ,则有如下定理: 定理 1 在上述情况下,K[α ]上的整闭包有如下形式,
f1u +
f
2v
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
,
其中γ = α e , β = (3α 2 + 2α ) 3m1m2e2
证明:见[14].
定理 4 设α% = α e ∈ K[α ], a% = a e2 , b% = b e3 ,则α% 3 + a%α% + b% = 0 ,且 R[α% ] 与 R[α ]
有相同的整闭包。 注记:在[14]上有很好的探讨。参见[14]。
Mathews 先后对这一问题进行了研究([9]和[10])。 在前人的基础上,Voronoi 在该问题上得到了很重要的结果。他在其学位论文[16]中,
将 Z 上一般三次扩张整闭包的求解化为由三个同余方程组成的方程组的求解。而 Berwick
在[4]对这类同余方程组进行了初步的探讨。
接着在二十世纪三十年代,Albert 又重新开始系统研究 Z 上的一般三次扩张([1][2]), 并得到了很好的结果。1940 年,苏联数学家 Delone 和 Faddeev 总结前人关于 Z 上三次扩张
-3-
定理 5 R 是一般交换环,K 是它的分式域。x3 + ax2 + bx + c 是 R 上的不可约多项式,
α 是 x3 + ax2 + bx + c 的一个根,δ 是 x3 + ax2 + bx + c =0 的判别式,则 K[α ] 上的整元可
以表示为如下形式:
a0 + a1α + a2α 2 δ
ai ∈ R,i = 0,1,2
证明:设α ' 和α '' 是 x3 + ax2 + bx + c = 0 除α 外另两个根,
取 K[α ] 上 的 元 c = k0 + k1α + k2α 2 (ki ∈ K , i = 0,1, 2) , 以 及 类 似 的 元 素
2. 主要结果
本文中探讨的环均指含单位元的交换环
R 是诺特唯一分解环, K 是它的分式域。 x3 + ax + b 是 R 上的不可约多项式,α 是
x3 + ax + b 的一个根, 取判别式δ = 4a3 + 27b2 ,
∏ ∏ ∏ 记 a = a0 2s13s2
p pap ,b = b0 2t13t2
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
,
而
γ = α e , β = (3α 2 + 2α ) 3m1m2e2
注记:这是谈胜利教授在[Ta]上的主要结果之一,证明参见[Ta]。
若 K[α ] 上的整元,其对应的方程没有二次项时,其有如下表示;
定理 3
(谈胜利) B0
=
⎧⎪ ⎨
u
γ
⎪⎩ f3
+
v f3
β
u,v ∈ R, f3
(m0 ,m1无平方因子,b是单位)
B
=
⎧⎪ r
⎨ ⎪⎩
3
+
u 32 t +3−
j
e
α
+
v 32t+3−l e2m1
α
2
r,u,v
∈
R,
r2
+
3β
'
∈
R,
r3
+
9rβ
'
+
27γ
'
∈
R
⎫⎪ ⎬
3
27
⎪⎭
-2-
β'
=
uv 33t+5− j−l
m0m1b ,γ
早在 1801 年。Gauss 就在《Disquisitiones Arithmeticae》一书中完成了对于 Z 上二次扩 张整闭包的计算。而对于 Z 上的纯三次扩张已由 Dedekind 完满解决,(在其 1899 年的论文 [5]中提到了这一结果)。而后, Z 上的一般三次扩张也引起了人们的很大关注。Markov 和
的研究结果,写下了《The theory of irrationalities of the third degree》([6])一书。直到 1991
年,Shaprio 和 Sparer 才在[12],基本上完成了对 Z 上的一般三次扩张的研究。
至于一般交换环上的有限扩张的整闭包的研究,其中一个重要推动力来自于代数几何, 在[7]中就有对诺特唯一分解环上 n 次循环扩张整闭包的一个讨论。
多项式,α 是 x3 + ax + b 的一个根
取判别式δ = 4a3 + 27b2 ,
∏ ∏ ∏ 记 a = a0 p pap ,b = b0 p pbp ,δ = δ0 p pδ p(这里 a0 , b0 ,δ0 是 R 上的可逆元),
∏ 记
εp=ຫໍສະໝຸດ 3a p−2bp ,ep
=
min
⎧ ⎨[
a
p
⎩2
特别, a = 0 时,有
⎧a0 = −3k0
⎪ ⎨
a1
=
3k02
+
3k1k2b
⎪ ⎩
a2
=
−k03
− 3k0k1k2b
−
k23b2
+
k13b
证明:已知 c = k0 + k1α + k2α 2 (ki ∈ K , i = 0,1, 2) ,
次方程 x3 + a2 x2 + a1x + a0 = 0 ,其中:
⎧a0 = −3k0 + 2k2a
⎪ ⎨a1
=
3k02
−
4k0k2a
+
k22a2
+
ak12
+
3k1k2b
⎪⎩a2 = −k03 + 2k02k2a − k0k22a2 − k0k12a − 3k0k1k2b − k23b2 + k13b + k1k22ab
p pbp ,δ = δ0 2l13l2
p pδ p (这里 a0 , b0 ,δ0 是