§4 二次函数性质的再研究 4.2 二次函数的性质(北师大版)
北师大版高中数学第二章第4节二次函数性质的再研究与幂函数
北师大版高中数学第二章第4节二次函数性质的再研究与幂函数二次函数是高中数学中的重要内容，其性质和应用极其广泛。
在第二章第4节中，我们对二次函数的性质进行了初步的研究，如函数的图像、对称轴、顶点等。
本文将对这些性质进行再研究，并且结合幂函数进行探讨。
首先，我们再次回顾二次函数的图像特点。
二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项的系数确定。
当二次项系数大于0时，抛物线开口向上；当二次项系数小于0时，抛物线开口向下。
在图像上，我们可以找到抛物线的对称轴，它是函数图像的对称轴，对称轴的方程式为x=-b/(2a)。
使用这个公式，我们可以很方便地求出对称轴。
其次，我们再次研究二次函数图像的顶点。
顶点是二次函数图像的最高点或者最低点，它的横坐标即为对称轴的横坐标。
对于开口向上的二次函数，顶点是最低点，对于开口向下的二次函数，顶点是最高点。
我们可以使用求解对称轴的横坐标的公式，将对称轴的横坐标代入函数中，求得对应的纵坐标，从而求得顶点的坐标。
接下来，我们将对幂函数进行讨论。
幂函数是一种特殊的函数形式，其函数公式为f(x)=x^a，其中a是实数。
我们可以通过调整a的值，得到不同形态的幂函数。
当a>0时，幂函数的图像在原点右侧递增，而在原点左侧递减。
实际上，我们可以通过描绘a>0时幂函数图像的几个特殊点，来把握其大致形态。
当x=-1时，f(-1)=(-1)^a，即横坐标为-1的点在图像上。
当x=0时，f(0)=0^a=0，即函数图像经过原点。
当x=1时，f(1)=1^a=1，即横坐标为1的点在图像上。
根据这些特殊点，我们可以准确绘制出a>0时幂函数的图像。
当a<0时，幂函数的图像在整个定义域上都是递减的，在x轴正方向无穷远处趋于0，而在x轴负方向无穷远处趋于无穷小。
同样地，我们可以根据特殊点（x=-1，x=0，x=1）来绘制出a<0时幂函数的图像。
总结一下，二次函数和幂函数分别是一次函数和常函数的扩展形式。
高中数学 第二章 函数 2.4 二次函数性质的再研究学案 北师大版
2。
4 二次函数性质的再研究第1课时二次函数的图像[核心必知]二次函数图像间的变换（1)y＝x2与y＝ax2（a≠0)图像间的变换:二次函数y＝ax2(a≠0)的图像可由y＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的｜a｜倍得到．(2）y＝ax2与y＝a(x＋h)2＋k（a≠0）图像间的变换：函数y＝a(x＋h)2＋k（a≠0)的图像可由函数y＝ax2(a≠0）的图像变换得到．其中a 决定了二次函数图像的开口大小及方向；h 决定了二次函数图像的左右平移，而且“h 正左移，h负右移”;k决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．（3)y＝ax2与y＝ax2＋bx＋c（a≠0)图像间的变换．一般地,二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0),通过配方可以得到它的恒等形式y＝a（x＋h)2＋k,从而知道,由y＝ax2的图像如何平移得到y＝ax2＋bx＋c（a≠0)的图像．[问题思考］1．二次函数y＝a（x＋h）2＋k（a≠0）的图像的顶点坐标与对称轴分别是什么?提示:顶点坐标为（－h,k)，对称轴是x＝－h.2．二次函数y＝a（x＋h）2＋k（a≠0）的参数a对其图像的开口大小与方向有什么影响？提示：当a>0时，图像开口向上,a值越大,开口越小;当a〈0时，图像开口向下，a值越大，开口越大．3．二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，h，k对函数图像的变换有何影响？提示：h决定了二次函数图像的左、右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图像的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”．讲一讲1．在同一坐标系中作出下列函数的图像．(1）y ＝x 2; (2）y ＝x 2－2； （3）y ＝2x 2－4x .并分析如何把y ＝x 2的图像变换成y ＝2x 2－4x 的图像．[尝试解答］ （1)列表：（2）描点、连线即得相应函数的图像，如图所示．由图像可知由y ＝x 2到y ＝2x 2－4x 的变化过程如下．法一：先把y ＝x 2的图像向右平移1个单位长度得到y ＝(x －1）2的图像，然后把y ＝(x －1）2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y ＝2(x －1）2的图像，最后把y ＝2（x －1)2的图像向下平移2个单位长度便可得到y ＝2x 2－4x 的图像．法二：先把y ＝x 2的图像向下平移1个单位长度得到y ＝x 2－1的图像，然后再把y ＝x 2－1的图像向右平移一个单位长度得到y ＝(x －1)2－1的图像，最后把y ＝(x －1)2－1的图像横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍，便可得到y ＝2（x －1)2－2，即y ＝2x 2－4x 的图像．本例中如何把y ＝2x 2－4x 的图像变换成y ＝x 2的图像?解：∵y ＝2x 2－4x ＝2(x －1)2－2，故可先把y ＝2x 2－4x 的图像向上平移2个单位长度得到y ＝2(x －1)2的图像，然后再把y ＝2（x －1)2的图像向左平移1个单位长度，得到y ＝2x 2的图像，最后把y ＝2x 2的图像纵坐标变为原来的错误!，便可得到y ＝x 2的图像．二次函数图像的作法(1）描点法：在利用描点法时，通过配方直接选出关键点，即顶点．再依据对称性选点，可减少选点的盲目性．二次函数图像的开口方向、对称轴与坐标轴的交点在作图时起关键作用，作图时应关注这些几何要素．(2）图像变换法：所有二次函数的图像均可以由函数f （x )＝x 2的图像经过变换得到．变换前,先将二次函数的解析式化为顶点式后，再确定变换的步骤．练一练1．画出y ＝错误!x 2－6x ＋21的图像，并说明由y ＝x 2的图像如何变换得到y ＝错误!x 2－6x ＋21的图像？解：y ＝错误!x 2－6x ＋21＝错误!(x －6)2＋3，顶点坐标为(6，3）,对称轴为x ＝6。
高中数学《二次函数性质的再研究》课件2 北师大版必修1
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【答案】 －2
4.求函数的最大值和最小值： 5 3 y＝3－2x－x2，x∈［－ ， ］ ； 2 2
【解析】 二次函数 y＝3－2x－x2 的对称轴为 x ＝－ b ，即 x＝－1.画出函数的图象， 2a 3 由图可知，当 x＝－1 时，ymax＝4；当 x＝ 时， 2 9 ymin＝－ . 4 5 3 所以函数 y＝3－2x－x2，x∈[－ ， ]的最大值为 2 2 9 4，最小值为－ . 4
7 15 f 求 － ＝ ， 不直接计算函数值， 8 2 5 f － . 2
【解析】 将函数解析式配方，找出对称轴，根据对称性求值，将
1 f－ 转化到与 4 15 f－ 在对称轴的同侧，利用二次函数的单调性比较两 4
(2)中(－∞，2)中的“2”是增减的分界点，即x＝2是对称轴.
【解析】 ∵f(x)＝－(x－a)2＋a2，其函数图象开口向下，对称轴为x＝a.
(1)∵f(x)的增区间为(－∞，a］，
由题意(－∞，a］(－∞，2)，∴a≥2. (2)由题意，f(x)的对称轴为x＝a＝2，即a＝2.
二次函数的对称轴是其单调区间的分界线，解答此类问题
又∵f(x)在［0,1］上是增函数，在［2,3］上是减函数.
∴［0,1］(－∞，a］且［2,3］［a，＋∞)，∴1≤a≤2.
a 、 b、 c 的代数 式
作用
说明
开口向上，a越小，开口 越大 在上递减，在上递增 开口向下，|a|越小，开口 越大 在上递增，在上递减 偶函数 既不是奇函数也不是偶 函数 交点在x轴上方 抛物线过原点 交点在x轴下方
的关键在于借助于函数的对称轴，通过集合间的关系来建立变量间的关系， 得出参数的取值范围.
高中数学第二章函数2.4二次函数性质的再研究学案含解析北师大版必
学习资料§4二次函数性质的再研究内容标准学科素养1。
理解y＝ax2与y＝a(x＋b)2＋k(a≠0）及y＝ax2＋bx＋c的图像之间的关系．2.理解并掌握二次函数的定义域、值域、单调性、对称轴．3。
能利用配方法或图像法掌握二次函数的重要性质．4.会求二次函数在给定闭区间上的最大值、最小值。
提升逻辑推理发挥直观想象恰当分类讨论授课提示:对应学生用书第31页[基础认识］知识点一二次函数的定义预习教材P41－47，思考并完成以下问题(1）函数y＝x2＋2x－2的图像的顶点坐标是________．（2）二次函数的图像过点(0，1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是_____________．提示：(1)（－1，－3)（2)f（x)＝错误!x2－2x＋1知识梳理二次函数的定义形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数，其中a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0）称为二次函数的一般式,二次函数的解析式还有其他两种形式；顶点式:y＝a（x＋h）2＋k（a≠0）；零点式：y＝a（x－x1）(x－x2)（a≠0)．说明：所有二次函数的解析式均有一般式和顶点式，并不是所有二次函数的解析式均有零点式，只有图像与x轴有交点的二次函数才有零点式．知识点二二次函数的图像变换错误!(1)y＝x2和y＝2（x＋1）2＋3的图像之间有什么关系?提示:y＝x2的图像各点纵坐标变为原来的2倍，可得y＝2x2的图像;再把y＝2x2的图像向左平移1个单位，再向上移3个单位，得y＝2（x＋1）2＋3的图像．(2)函数y＝3x2－x＋2的图像向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数解析式是________．提示：y＝3x2＋5x＋2知识梳理二次函数的图像变换(1）首先将二次函数的解析式整理成顶点式y＝a(x＋h)2＋k（a≠0),再由二次函数y＝x2的图像经过下列的变换得到：①将函数y＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变，得到函数y＝ax2的图像．②将函数y＝ax2的图像向左（h＞0）或向右(h＜0）平移｜h|个单位得到y＝a(x＋h）2的图像．③将函数y＝a(x＋h）2的图像向上(k＞0）或向下（k＜0）平移|k｜个单位得到y＝a(x＋h）2＋k的图像．(2）一般地，二次函数y＝a（x＋h）2＋k(a≠0)，a决定了二次函数图像的开口大小和方向;h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移,h负右移”，k决定了二次函数图像的上下平移,而且“k正上移，k负下移"．知识点三二次函数的图像和性质错误!(1）函数y＝2x＋1在［1，2]上的最大值是（)A．3 B．4C．5 D．1（2）函数f(x)＝x2－4x＋3，x∈［1,4]的最小值为________．提示:(1）C（2）－1知识梳理二次函数的图像和性质a＞0a＜0 图像定义域x∈R值域错误!错误!单调性在错误!上递减,在错误!上递增在错误!上递增，在错误!上递减图像①对称轴：x＝－错误!；②顶点：错误!特点［自我检测］1．二次函数y＝（x－3)（x－1)的对称轴是（)A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝－2 D．x＝2解析：函数与x轴两个交点的横坐标分别是1和3，则函数的对称轴为x＝错误!＝2.答案：D2．二次函数y＝－x2＋4x＋t的顶点在x轴上，则t的值是(）A．－4 B．4 C．－2 D．2解析:函数图像开口向下,其最大值为0，即错误!＝0，得t＝－4.答案：A3．已知函数y＝x2－4x＋6，当x∈[1，4]时，则函数的最大值为________．解析：∵y＝x2－4x＋6＝(x－2）2＋2，∴函数y＝x2－4x＋6在［1，2]上递减，在［2,4]上递增．又当x＝1时，y＝3;当x＝4时,y＝6，∴函数的最大值为6.答案：6授课提示：对应学生用书第32页探究一求二次函数的解析式［例1］已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f（x）的最大值为8，求二次函数的解析式．[思路点拨］可以考虑从二次函数的三种形式着手解决，注意各种形式中的要素参数．[解析]法一利用二次函数的一般式．设f(x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）,由题意得错误!解得错误!故所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7。
北师版高中数学教材目录
北师大版高中教材目录第一章 集合§1 集合的含义与表示 §2 集合的基本关系 §3 集合的基本运算 3.1 交集与并集3.2 全集与补集第二章 函数§1 生活中的变量关系 §2 对函数的进一步认识 2.1 函数概念2.2 函数的表示法 2.3 映射§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究4.1 二次函数的图像 4.2 二次函数的性质§5 简单的幂函数第三章 指数函数和对数函数 §1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质2.1 指数概念的扩充 2.2 指数运算的性质§3 指数函数3.1 指数函数的概念3.2 指数函数x y 2= 和xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21 的图像和 性质3.3 指数函数的图像和性质§4 对数4.1 对数及其运算 4.2 换底公式§5 对数函数5.1 对数函数的概念 5.2 对数函数x y 2log =的图像和性质5.3 对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较第四章 函数应用 §1 函数与方程1.1 利用函数性质判断方程解的存在 1.2 利用二分法求方程的近似解§2 实际问题的函数建模2.1 实际问题的函数刻画 2.2 用函数模型解决实际问题 2.3 函数建模案例第一章 立体几何初步 §1 简单几何体1.1 简单旋转体 1.2 简单多面体§2 直观图 §3 三视图3.1 简单组合体的三视图 3.2 由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理4.1 空间图形基本关系的认识 4.2 空间图形的公理§5 平行关系5.1 平行关系的判定 5.2 平行关系的性质§6 垂直关系6.1 垂直关系的判定 6.2 垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积7.1 简单几何体的侧面积7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积7.3 球的表面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用第二章 解析几何初步 §1 直线与直线的方程1.1 直线的倾斜角和斜率 1.2 直线的方程 1.3 两条直线的位置关系 1.4 两条直线的交点1.5 平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程2.1 圆的标准方程 2.2 圆的一般方程2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系3.1 空间直角坐标系的建立3.2 空间直角坐标系中点的坐标3.3 空间两点间的距离公式第一章统计§1 从普查到抽样§2 抽样方法2.1 简单随机抽样2.2 分层抽样与系统抽样§3 统计图表§4 数据的数字特征4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差 4.2 标准差§5 用样本估计总体5.1 估计总体的分别5.2 估计总体的数字特征§6 统计活动：结婚年龄的变化§7 相关性§8 最小二乘估计第二章算法初步§1 算法的基本思想1.1 算法案例分析1.2 排序问题与算法的多样性§2 算法框图的基本结构及设计2.1 顺序结构与选择结构2.2 变量与赋值2.3 循环结构§3 几种基本语句3.1 条件语句3.2 循环语句第三章概率§1 随机事件的概率1.1 频率与概率1.2 生活中的概率§2 古典概型2.1 古典概型的特征和概率计算公式2.2 建立概率模型2.3 互斥事件§3模拟方法——概率的应用第一章三角函数§1 周期现象§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性4.3 单位圆与诱导公式§5 余弦函数的性质与图像5.1 从单位圆看正弦函数的性质5.2 正弦函数的图像5.3 正弦函数的性质§6 余弦函数的图像与性质6.1 余弦函数的图像6.2 余弦函数的性质§7 正切函数7.1 正切函数的定义7.2 正切函数的图像和性质7.3 正切函数的诱导公式§8 函数)sin(ϕ+ω=xAy的图像§9 三角函数的简单应用第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量1.1 位移、速度和力1.2 向量的概念§2 从位移的合成到向量的加法2.1 向量的加法2.2 向量的减法§3 从速度的倍数到数乘向量3.1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4 平面向量的坐标4.1 平面向量的坐标表示4.2 平面向量线性运算的坐标表述4.3 向量平行的坐标表示§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例7.1 点到直线的距离公式7.2 向量的应用举例第三章三角恒等变形§1 同角三角函数的基本关系§2 两角和与差的三角函数2.1 两角差的余弦函数2.2 两角和与差的正弦、余弦函数 2.3 两角和与差的正切函数§3 二倍角的三角函数第一章数列§1 数列1.1 数列的概念1.2 数列的函数特性§2 等差数列2.1 等差数列2.2 等差数列的前n项和§3 等比数列3.1 等比数列3.2 等比数列的前n项和§4 数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形§1 正弦定理与余弦定理1.1 正弦定理1.2 余弦定理§2 三角形中的几何计算§3 解三角形的实际应用举例第三章不等式§1 不等关系1.1 不等关系1.2 比较大小§2 一元二次不等式2.1 一元二次不等式的解法2.2 一元二次不等式的应用§3 基本不等式3.1 基本不等式3.2 基本不等式与最大小值§4 简单线性规划4.1 二元一次不等式组与平面区域 4.2 简单线性规划4.3 简单线性规划的应用第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件2.1 充分条件2.2 必要条件2.3 充要条件§3 全称量词与存在量词3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题3.3 全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”“或”“非”4.1 逻辑联结词“且”4.2 逻辑联结词“或”4.3 逻辑联结词“非”第二章空间向量与立体几何§1 从平面向量到空间向量§2 空间向量的运算§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示 3.2 空间向量基本定理3.3 空间向量运算的坐标表示§4 用向量讨论垂直与平行§5 夹角的计算5.1 直线间的夹角5.2 平面间的夹角5.3 直线与平面的夹角§6 距离的计算第三章圆锥曲线与方程§1 椭圆1.1 椭圆及其标准方程1.2 椭圆的简单性质§2 抛物线2.1 抛物线及其标准方程2.2 抛物线的简单性质§3 双曲线3.1 双曲线及其标准方程3.2 双曲线的简单性质§4 曲线与方程4.1 曲线与方程4.2 圆锥曲线的共同特征4.3 直线与圆锥曲线的交点第一章推理与证明§1 归纳与类比1.1 归纳推理1.2 类比推理§2 综合法与分析法2.1 综合法2.2 分析法§3 反证法§4 数学归纳法第二章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率§2 导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念2.2 导数的几何意义§3 计算导数§4 导数的四则运算法则4.1 导数的加法与减法法则4.2 导数的乘法与除法法则§5 简单复合函数的求导法则第三章导数应用§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性1.3 函数的极值§2 导数在实际问题中的应用2.1 实际问题中导数的应用2.2 最大值、最小值问题第四章定积分§1 定积分的概念1.1 定积分背景——面积和路程问题 1.2 定积分§2 微积分基本定理§3 定积分的简单应用3.1 平面图形的面积3.2 简单几何体的体积第五章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入1.1 数的概念的扩展1.2 复数的有关概念§2 复数的四则运算2.1 复数的加法与减法2.2 复数的乘法与除法第一章计数原理§1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理1.1 分类加法计数原理1.2 分类乘法计数原理§2 排列§3 组合§4 简单计数问题§5 二项式定理5.1 二项式定理5.2 二项式系数的性质第二章概率§1 离散型随机变量及其分布列§2 超几何分布§3 条件概率与独立事件§4 二项分布§5 离散型随机变量的均值与方差§6 正态分布6.1 连续型随机变量6.2 正态分布第三章统计案例§1 回归分析1.1 回归分析1.2 相关系数1.3 可线性化的回归分析§2 独立性检验2.1 独立性检验2.2 独立性检验的基本思想2.3 独立性检验的应用第一章直线、多边形、圆§1 全等与相似§2 圆与直线§3 圆与四边形第二章圆锥曲线§1 截面欣赏§2 直线与球、平面与球的位置关系§3 柱面与平面的截面§4 平面截圆锥面§5 圆锥曲线的几何性质第一章平面向量与二阶方阵§1平面向量及向量的运算§2向量的坐标表示及直线的向量方程§3二阶方阵与平面向量的乘法第二章几何变换与矩阵§1几种特殊的矩阵变换§2矩阵变换的性质第三章变换的合成与矩阵乘法§1变换的合成与矩阵乘法§2矩阵乘法的性质第四章逆变换与逆矩阵§1逆变换与逆矩阵§2初等变换与逆矩阵§3二阶行列式与逆矩阵§4可逆矩阵与线性方程组第五章矩阵的特征值与特征向量§1矩阵变换的特征值与特征向量§2特征向量在生态模型中的简单应用第一章坐标系§1 平面直角坐标系§2 极坐标系§3 柱坐标系和球坐标系第二章参数方程§1 参数方程的概念§2 直线和圆锥曲线的参数方程§3 参数方程化成普通方程§4 平摆线和渐开线§5 圆锥曲线的几何性质第一章不等关系与基本不等式§1 不等式的性质§2 含有绝对值的不等式§3 平均值不等式§4 不等式的证明§5 不等式的应用第二章几个重要不等式§1 柯西不等式§2 排序不等式§3 数学归纳法与贝努利不等式第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件2.1 充分条件2.2 必要条件2.3 充要条件§3 全称量词与存在量词3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题3.3 全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”“或”“非”4.1 逻辑联结词“且”4.2 逻辑联结词“或”4.3 逻辑联结词“非”第二章圆锥曲线与方程§1 椭圆1.1 椭圆及其标准方程1.2 椭圆的简单性质§2 抛物线2.1 抛物线及其标准方程2.2 抛物线的简单性质§3 双曲线3.1 双曲线及其标准方程3.2 双曲线的简单性质第三章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率§2 导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念2.2 导数的几何意义§3 计算导数§4 导数的四则运算法则4.1 导数的加法与减法法则4.2 导数的乘法与除法法则第四章导数应用§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性1.2 函数的极值§2 导数在实际问题中的应用2.1 实际问题中导数的应用 2.2 最大值、最小值问题第一章统计案例§1 回归分析1.1 回归分析1.2 相关系数1.3 可线性化的回归分析§2 独立性检验2.1 条件概率与独立事件2.2 独立性检验2.3 独立性检验的基本思想2.4 独立性检验的应用第二章框图§1 流程图§2 结构图第三章推理与证明§1 归纳与类比1.1 归纳推理1.2 类比推理§2 数学证明§3 综合法与分析法3.1 综合法3.2 分析法§4 反证法第四章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入1.1 数的概念的扩展1.2 复数的有关概念§2 复数的四则运算2.1 复数的加法与减法2.2 复数的乘法与除法。
北师大版高中数学必修1二次函数性质的再研究二次函数的性质课件
当 a<0 时，ff（ （xx） ）mmainx＝＝ff（（－1）2）＝＝－8aa＋＋bb＝＝9－，9， 解得ab＝ ＝－ 7. 2，∴ab＝ ＝2－，7或ab＝ ＝－7. 2，
A．为正数
B．为负数
C．为非负数
D．与 m 有关
解析：∵f(－m)＝m2＋m＋a<0，∴f(m＋1)＝(m＋1)2－(m＋1)
＋a＝m2＋m＋a＝f(－m)<0. 答案：B
3．函数 y＝x2－4ax＋1 在区间[－2，4]上单调递增，则实数 a
的取值范围是( )
A．(－∞，2]
B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞)
C．[－2，2]
D．[－2，－1]
解析：函数 f(x)的对称轴方程是 x＝3，则最小值为 f(3)＝32 －6×3＋7＝－2.又 f(2)＝22－6×2＋7＝－1，f(5)＝52－6×5＋7 ＝2.∴函数的值域是[－2，2]．
答案：C
2．若 f(x)＝x2－x＋a，f(－m)<0，则 f(m＋1)的值( )
【解】(1)当 a＝－1 时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－ 5，5]，
∴x＝1 时，f(x)的最小值为 1； x＝－5 时，f(x)的最大值为 37. (2)函数 f(x)＝(x＋a)2＋2－a2 图像的对称轴为 x＝－a， ∵f(x)在区间[－5，5]上是单调函数，∴－a≤－5 或－a≥5， 故实数 a 的取值范围是 a≤－5 或 a≥5.
【方法总结】 已知二次函数在某个区间上的单调性，应考 虑开口方向，对称轴与区间端点位置关系．可结合函数草图进行 分析．
已知函数 ƒ(x)＝x2＋bx＋c 的对称轴为 x
＝2，则下列不等式成立的是( )
《二次函数性质的再研究》(北师大版必修)
教案、学案用纸例1 由函数22y x =的图像如何平移得到函数2243y x x =-+的图像？练一练函数的图像可由下列（ ）的图像向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度得到A 2(1)1y x =-+B 2(+1)1y x =+C 2(1)3y x =--D 2(+1)3y x =+例2二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）通过配方可以得到2()y a x h R =++，那么函数2y ax =如何平移得到2y ax bx c =++练一练1.如何平移抛物线y ＝2x 2可得到抛物线y ＝2(x －4)2－1…………………………( )A.向左平移4个单位，再向上平移1个单位B.向左平移4个单位，再向下平移1个单位C.向右平移4个单位，再向上平移1个单位D.向右平移4个单位，再向下平移1个单位2二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则点(a ，c)在…………………………………( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限1.已知抛物线与x 轴交于点(－1,0)，(1,0)，并且与y 轴交于点(0,1)，则抛物线的解析式为…………………………………( )A.y ＝－x 2＋＝x 2＋1 C.y ＝－x 2－＝x 2－12.二次函数y ＝x 2＋ax ＋b ，若a ＋b ＝0，则它的图象必经过点…………( )A.(－1，－1)B.(1，－1)C.(1,1) －1,1)3.函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3(a ≤x ≤b)的图象关于直线x ＝1对称，则b ＝ .4.设点(3,1)及(1,3)为二次函数f(x)＝ax 2－2ax ＋b 的图象上的两个点，则f(x)的解析式为 .5.函数2y x =的图象 平移 个单位长度，得到函数2(2)y x =+的图象，再 平移 个单位长度，得到函数2(2)1y x =+-的图象.若想要变回原来的函数，则需 平移 个单位长度，再 平移 个单位长度.6如何平移抛物线22y x =可得到抛物线22(4)y x k =++?。
2020年高中数学第二章函数4二次函数性质的再研究第2课时二次函数的性质课件北师大版必修1
∴f(x)max＝1－a＝4，得 a＝－3.
答案：－3 或38
三、解答题 9.已知函数 f(x)＝x2－2x＋2. (1)求 f(x)在区间12，3上的最大值和最小值； (2)若 g(x)＝f(x)－mx 在区间[2,4]上是单调函数，求 m 的取 值范围. 解：(1)∵f(x)＝x 2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈12，3， ∴f(x)的最小值为 f(1)＝1. 又 f12＝54，f(3)＝5，∴f(x)的最大值为 f(3)＝5. ∴f(x)在区间12，3的最大值为 5，最小值为 1.
答案：[1,2]
知识点三 二次函数的综合应用 5.已知函数 f(x)＝x2－4x－4. (1)若函数的定义域为[3,4]，求函数的值域； (2)若函数的定义域为[－3,4]，求函数的值域； (3)若函数在区间[a－1，a]上的值域为[1,8]，求 a. 解：(1)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8，其图像开口向上，对 称轴 x＝2，∴当 x∈[3,4]时，f(x)为增函数，∴最小值为 f(3)＝ －7，最大值为 f(4)＝－4，∴值域为[－7，－4].
A.0<a≤15
B.0≤a≤15
1 C.0<a<5
1 D.a>5
解析：选 B 当 a＝0 时，f(x)＝－2x＋2 在(－∞，4)上为减
函数；
当 a>0 时，－2a2－a 1≥4，解得 0<a≤15.综上，0≤a≤15.
5.已知二次函数 y＝ax2＋bx＋1 的图像的对称轴是 x＝1，并
且通过点 A(－1,7)，则 a，b 的值分别是( )
A.2,4
B.－2,4
《二次函数性质的再研究》
通过深入研究二次函数的定义和性质，我们可以更全面地理解和应用这个重 要的数学概念。
二次函数的定义和性质
二次函数的定义
二次函数是一个以二次方程为表达式的函数， 其中最高次项系数不为零。
值域和定义域
二次函数的值域和定义域取决于二次函数的特 点和变换。
顶点形式和标准形式
二次函数可以写成顶点形式或标准形式，两种 形式之间可以相互转换。
通过伸缩，我们可以 改变二次函数图像的 形状和大小。
关于坐标轴的 反射
通过反射，我们可以 改变二次函数图像关 于坐标轴的对称性。
二次函数的应用
抛物线的运动学应用
抛物线模型经常用于描述物体的运动轨迹和抛体运动。
抛物线的经济学应用
抛物线模型在经济学中用于分析成本、收益和供求关系。
抛物线的自然科学应用
抛物线模型在物理学和自然科学中广泛应用于研究天体运动和自然现象。
对称性和轴对称
二次函数图像关于顶点对称，也可以关于坐标 轴对称。
求过给定点的二次函数
1
过顶点
通过顶点，可以确定二次函数的对称轴和最值。
2
过一点
通过给定的一点，可以确定二次函数的具体形式。
3
通过两点
通过给定的两点，可以构建一个二次函数来穿过这两个点。
判别式和二次函数的图像
判别式
二次函数的判别式可以告诉我们 二次函数的图像类型。
上凸和下凸
二次函数的图像可以是上凸的抛 物线或下凸的抛物线。
开口方向
二次函数图像的开口方向具体取 决于二次函数的系数。
二次函数的图像和图像变换
基本二次函数 的图像
基本二次函数的图像 是一条对称轴与y轴 垂直的上凸或下凸抛 物线。
二次函数性质的再研究
二次函数性质的再研究§二次函数性质的再研究一、内容与解析（一）内容：二次函数性质的再研究。
（二）解析：二次函数问题多以解答题的一个部分出现，主要考查利用二次函数的图像和性质研究最值、值域、单调性、求函数值等问题特别是定轴动区间或（动轴定区间）问题是高考考查的热点也是难点，学本节时应加强练习，并能灵活运用数形结合的思想解决问题二、目标及其解析：（一）教学目标（1）掌握二次函数的求最值、对称性和平移以及二次函数解析式的求法和二次函数的应用；（二）解析（1）二次函数是一重要的函数，掌握好二次函数，对学生学习以后的函数有重要的启发作用，学习时，要特别注意其性质的把握，这里面一个最关键的是对称轴。
三、问题诊断分析研究二次函数问题一定注意问题成立的范围，超出范围的解是无效的因此研究二次函数时，不仅要关注函数的解析式还要关注函数的定义域，这一点对初学者说，是很容易犯错的。
四、教学支持条分析在本节一次递推的教学中，准备使用PerPint 2003。
因为使用PerPint 2003，有利于提供准确、最核心的字信息，有利于帮助学生顺利抓住老师上思路，节省老师板书时间，让学生尽快地进入对问题的分析当中。
五、教学过程（一）研探新知：（1）1二次函数的性质图像开口方向①②顶点坐标③④对称轴单调区间单调递减区间⑤调递增区间单调递增区间⑥单调递减区间最值当,取得最小值为当,取得最大值为2．二次函数性质的应用①如何确定二次函数的性质②如何确定二次函数在闭区间上的值域或最值3二次函数的三种解析式①顶点式：=a(x-h)2+ (a≠0),其中点(h,)为顶点,对称轴为x=h如果已知顶点，则可设成这种形式②交点式：=a(x-x1)(x-x2) (a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标如果已知二次函数与x 轴的交点坐标，则可设成这种形式③一般式：=ax2+bx+(a≠0),若已知二次函数上任意3点坐标，可设为这种形式（二）类型题探究题型一二次函数的最值与解析式问题例1 已知，函数、表示函数在区间上的最小值，最大值，求、表达式．解析：由，知图像关于对称，结合图像知，当，即时，；而当，即时，；当，即时，．∴．当，即时，；当，即时，．∴．题型二二次函数的实际应用问题例2 某租赁公司拥有汽车100辆当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出当每辆车的月租金每增加0元时，未租出的车将会增加一辆租出的车每辆每月需要维护费10元，未租出的车每辆每月需要维护费0元（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解析：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：，所以这时租出了88辆车；（2）设每辆车的月租金定为元，则租赁公司的月收益为：，整理得：，所以，当时，取最大值，其最大值为，即当每辆车的月租金定为400元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为30700元设计意图：通过以上问题的探讨，使学生逐渐体会研究函数问题的一般方法。
北师大版高中数学必修1《二章 函数 4 二次函数的再研究 4.2 二次函数的性质》示范课课件_16
x
2
b a
x
c a
a
x
2
2
b 2a
x
b 2a
2
b 2a
2
c a
a
x
b 2a
2
4ac 4a
b2
新知探究
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
y x b 2a
x
A
b 2a
-1
B 1x
-1
例3 绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料.根据以
前的统计数据,若零售价定为每瓶4元,每月可销售400瓶;若每 瓶售价每降低0.05元,则可多销售40瓶.在每月的进货量当月 销售完的前提下,请你给该商店设计一个方案:销售价应定为 多少元和从工厂购进多少瓶时,才可获得最大利润?
解 设销售价为x元/瓶,则根据题意(销售量等于进 货量),正好当月销售完的进货量为 4 x 40 400
因为x1
b 2a
,
x2
b 2a
, 所以x1
x2
b a
,
a(x1 x2 ) b,
a(x1 x2 ) b 0,
又x2 x1 0, 所以 f (x2 ) f (x1) 0,
f (x2 ) f (x1).
由函数单调性的定义,f
(
x)在
,
b 2a
抛 物 线 y=ax2+bx+c(a<0)
北师大版高中数学必修1《二章 函数 4 二次函数的再研究 4.2 二次函数的性质》优质课教案_30
北师大版必修一第二章第四节第二讲“二次函数的性质”教学设计【教材版本】北师大版【教学内容】二次函数的性质；二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系。
【学情分析】学生已经学习了“函数的单调性、二次函数的图象”等内容，初步掌握了研究“函数的单调性”的一般方法，但学生的抽象思维概括能力还有待于进一步提高．因此，在教学中应充分发挥多媒体教学手段的作用，采用动手操作、观察、分析、概括及合作交流等方式，调动学生积极参与到“归纳、总结、交流”中来，在“归纳、总结、交流”中实现思维的升华。
【教学目标】1、知识与技能：进一步研究二次函数及其图像；理解在二次函数的图像中a，b，c，h，k的作用，领会研究二次函数图像移动的方法，并能迁移到其他函数；了解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式之间的关系，善于利用三个“二次”的关系进行相关问题的处理。
2、过程与方法：能够熟练地对一般二次函数解析式配方，研究二次函数图像的上下左右移动，并能研究其定义域、值域、单调性、最大（小）值等性质及其图像的开口方向和顶点坐标通过动手操作、观察、分析、概括及合作交流等方式，提高学生的学习兴趣。
3、情态与价值：培养抓住一个典型例子及化归的意识，学到讨论参数的能力体会研究函数问题的一般方法，体验由具体到抽象的思维过程，感受二次函数是一类简单实用的重要函数模型，领悟数形结合的数学思想，培养学生的合作意识、概括归纳能力和科学的思维方式。
【重点难点】教学重点：二次函数的性质（函数的定义域、最大值、最小值及增减性的理解和求法）。
教学难点：二次函数的性质的应用。
【知识要点】1、二次函数：形如y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的函数称为二次函数，其定义域是R 。
2、二次函数的解析式：①一般式：y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）； ②顶点式：22244(),,)2424b ac b b ac b y a x a a a a --=++其中顶点的坐标为(-；③零点式（两根式）：y ＝a （x －x1）（x －x2）（a ≠0），其中，x1、x2是函数y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的零点（或是方程ax2＋bx ＋c ＝0的两个根）。
学年高中数学第2章函数4二次函数性质的再研究4.2二次函数的性质课件北师大版必修1
二次函数的实际应用
【例2】 某企业生产一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万 元，每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元，市场对 这种电器的年需求量为5百台．已知这种电器的销售收入(R)与销售量 (t)的关系用抛物线段表示，如图所示．
第二十页，编辑于星期六：点 三十一分。
(1)－1 (2)(－∞，2] [(1)函数f(x)的对称轴为x＝－1， f(x)在(－∞，－1]上为减函数， 由题意(－∞，a]⊆(－∞，－1]， 故a≤－1， 即a的最大值为－1. (2)因为二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的图像的对称轴为直线x＝ a－2 1，又函数f(x)在区间12，1上是增函数，所以a－2 1≤21，解得a≤2.]
[解] (1)由图可知：R＝a(t－5)2＋225， 由t＝0时，R＝0得a＝－12. ∴R＝－12(t－5)2＋225(0≤t≤5)． (2)年纯收益y＝－12t2＋5t－0.5－14t＝－12t2＋149t－0.5， 故t＝149＝4.75时，y取得最大值为10.78万元． 故年产量为475台，纯收益取得最大值为10.78万元．
最大值、最小值 函4数ac取－得b2最小值
函数取得最大值 4ac－b2
____4_a____；无最大值 ____4_a_____；无最小值
第七页，编辑于星期六：点 三十一分。
思考：如何判断二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴有无 公共点？
[提示] 利用判别式Δ＝b2－4ac来判断． 当Δ>0时，有两个不同的公共点； 当Δ＝0时，有唯一公共点； 当Δ<0时，无公共点．
第十页，编辑于星期六：点 三十一分。
2．若函数f(x)＝x2－2ax在(－∞，5]上是递减的，在[5，＋∞)上 是递增的，则实数a＝________.
高中数学北师大版必修一：第二章 4 二次函数性质的再研究
函数，在区间[－2ba，＋∞) 函数，在区间[－2ba，＋∞)
上是增函数
上是减函数
当 x＝－2ba时，y 有最小值， 当 x＝－2ba时，y 有最大值，
4ac－b2 ymin＝ 4a
4ac－b2 ymax＝ 4a
题型探究
类型一 二次函数解析式的求解 例1 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴相交于点A(－3,0)， 对称轴为x＝－1，顶点M到x轴的距离为2，求此函数的解析式.
(3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5). 解 y＝x2－2x＋2.
12345
解答
1.配方法是重要的数学方法，在处理二次函数图像变换， 研究二次函数性质时使用频繁. 2.二次函数图像变换规律可以推广到一般函数，即： (1)y＝f(x)―左―移――a―个――单―位→y＝f(x＋a)；
规律与方法
(2)y＝f(x)―上―移――b―个――单―位→y＝f(x)＋b；
D.c<f(－1)<f(1)
解析 因为f(－1)＝f(3)，所以f(x)图像的对称轴为x＝1， 因此函数在区间(－∞，1]上是减函数，又c＝f(0)，所以f(1)<c<f(－1).
12345
解析 答案
4.已知二次函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，a]且f(x)的最小值为f(a)，则a的
取值范围是__(_2_,3_]___.
解 方法一 由 f(－4)＝f(0)，知 f(x)的对称轴为 x＝ 2 ＝－2， 又f(－2)＝－2，∴顶点坐标为(－2，－2)， ∴f(x)＝(x＋2)2－2＝x2＋4x＋2. 方法二 由f(－4)＝f(0)，可设f(x)＝x(x＋4)＋c. 代入x＝－2，得－2×(－2＋4)＋c＝－2，∴c＝2. ∴f(x)＝x2＋4x＋2.
2.4.2二次函数的性质(北师大版教案)
4 二次函数性质再研究4.2二次函数的性质教学目标：1、掌握二次函数的概念、图像特征；2、能熟练地对一般二次函数的解析式配方,研究二次函数的对称性、值域和单调性，会求二次函数在给定区间上的最值；3、逐步培养学生对参数的讨论能力；4、通过本节学习进一步体会数形结合思想的作用，感受数学中数与形的辩证统一。
重点难点：1．教学重点：二次函数的图像性质 .2．教学难点：利用二次函数的图像性质解决一些实际问题.教学过程：一、复习回顾1.二次函数解析式的三种形式：⑴一般式 )0(2≠++=a c bx ax y ; ⑵顶点式 )0()(2≠+-=a k h x a y ; ⑶ 交点式)0())((21≠--=a x x x x a y（任意二次函数解析式都有顶点式和一般式，但不一定有交点式。
）2.求二次函数的解析式常见方法是待定系数法——根据题设条件选取二次函数解析式的某种形式,将已知条件代入解析式，求解关于系数的方程（组）.3. 求二次函数的顶点坐标常用配方法.(要熟练掌握配方法.) 二、学习新知将二次函数2(0)y ax bx c a =++≠配成2()(0)y a x h k a =++≠2(0)y ax bx c a =++≠2b c a x x a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2222222b b b c a x x a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和性质练一练：1、把下列二次函数配方2(1)()352f x x x =+- 23(2)()24f x x x =- 2(3)()361f x x x =+- 三、典型例题例2 将函数y x x =--+2361配方,确定其对称轴,顶点坐标,求出它的单调区间及最大值或最小值,并画出它的图像.注：在配方后选取函数的关键点,使画图的操作更简便,图像更精确例3 绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一各饮料.根据以前的统计数据,若零售价定为每瓶4元,每月可销售400瓶;若每瓶售价每降低0.05元,则可多销售40瓶.在每月的进货量当月销售完的前提下,请你给该商店设计一个方案:销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时,才可获得最大利润?四、课堂练习【课本第46页练习2、3、4】2、从1990年到1997年,某地区每人每年吃的蔬菜平均数量(㎏)可以用函数c(t )=2.7t+165表示,在此期间,人口函数可以用p (t )=2.6t+248表示,其中t 代表年数.那么,每年该地吃掉的蔬菜总量就是上述两个式子的乘积,即()27.021098.640920v t t t =++.试求1995年该地消耗的蔬菜总量.（47764.32㎏）3、指出下列函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴,以及函数的单调性: (1) 221y x =+; (2) ()221y x =+; (3) 2652y x x =--; (4) ()()12y x x =-+-4、汽车使用单位容积燃料行驶的千米数是行车速度的函数.由实验可知这个函数是2()0.011.2 5.8f x x x =-+-.求(50)f ,并说明它的意义;当速度为多少时,汽车最省油?解答：其意义是速度为50km/h 时,单位容积燃料行驶29.2km 速度为60km/h 时,汽车最省油 五、补充练习1、函数24 5y x mx =-+的对称轴为2x =-则1x =时y =____ A –7 B 1 C 17 D 252、23 (26)3y x m x m =-+++的值域为()0,+∞，则m 的范围是 ()A 答案：A {}-3,0B []-3,0C ()-3,0D ∅3、26y x x k =--+图像顶点在x 轴上，k =___________ 4、 ()y f x =的图像关于直线1x =对称，当1x ≤时，21y x =+;则1x >时， y =_______()245y x x =-+答案：5、函数()322+-=mx x x f ，当]1,(-∝-∈x 时，是减函数，则实数m 的取值范围是6、当22≤≤-x 时，求二次函数x x y 622+-=的最大、最小值。
高中数学 第二章 函数 2.4 二次函数性质的再研究 2.4.2 二次函数的性质教案1 北师大版必修1
1 2.4.
2 二次函数的性质
本节教材分析
本节教材先给出了抽象的字母形式的配方结果，进而从字母出发对0 a 时函数的单调性进行证明.与二次函数图像一节相比，例题也比较综合，有一定的难度，可以而且应该适度综合，适度抽象.
三维目标
1。
知识与技能：对一般二次函数解析式配方，确定其位置，并能研究其定义域、值域、单调性、最大（小）值等性质.
2.过程与方法:在回归初中知识的基础上通过画图分析研究二次函数的性质.
3.情感态度与价值观:培养和提高学生数形结合的应用能力.
教学重点：二次函数的性质.
教学难点：应用二次函数的性质解决实际问题．
教学建议：可以自选一些题目来做，对于抽象的一般二次函数单调性证明，用文字表示对称轴、顶点、最大（小）值、单调区间等.上课时注意组织学生动手，活动，实践.教材中安排了学生的“动手实践”和“思考交流”教师要创造性地用好它们.
新课导入设计
导入一:上一节课，我们学习了二次函数的图像,本节课我们来学习二次函数性质. 导入二：“菊花”烟火是最壮观的烟花之一，人们在制造时一般是期望在它达到最高点（大约是距离地面25米到30米处）时爆炸，烟花冲出去后的运动路线是抛物线形的，为了达到放烟花的最佳效果，烟花设计者按照有关的数据设定引线的长度，如果是你来设计，你可以吗？教师引出课题.。
高中数学 第二章 函数 2.4 二次函数性质的再研究 2.4.2 二次函数的性质教案2 北师大版必修
高中数学第二章函数2.4 二次函数性质的再研究2.4.2 二次函数的性质教案2 北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章函数2.4 二次函数性质的再研究2.4.2 二次函数的性质教案2 北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第二章函数2.4 二次函数性质的再研究2.4.2 二次函数的性质教案2 北师大版必修1的全部内容。
2．4．2二次函数的性质【教学目标】1、 使学生掌握研究二次函数的一般方法—-配方法；2、 应“描点法”画出二次函数2y ax bx c =++（0)a ≠的图像,通过图像总结二次函数的性质； 3、 通过研究二次函数和图像的性质，能进一步体会研究一般函数的方法，能由特殊到一般地研究问题.重难点： 重点：二次函数的性质。
难点：二次函数在区间上的值域．教学方法：观察、思考、探究.教学设计二次函数的性质与图像1）定义:函数 叫二次函数,它的定义域是 。
特别地，当0b c ==时，二次函数变为 （0)a ≠.2)函数2(0)y ax a =≠的图像和性质：（1）函数2(0)y ax a =≠的图像是一条顶点为原点的抛物线，当0a >时，抛物线开口 ，当0a <时，抛物线开口 。
(2）函数2(0)y ax a =≠为 （填“奇函数”或“偶函数”）。
(3）函数2(0)y ax a =≠的图像的对称轴为 。
3)二次函数2()()f x a x h k =-+的性质（1)函数的图像是 ,抛物线的顶点坐标是 ，抛物线的对称轴是直线 。
（2）当0a >时，抛物线开口向上，函数在 处取得最小值 ;在区间 上是减函数，在 上是增函数。
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二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴 与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数 时，要根据参数的最值情况进行分类讨论。
（1）定轴定区间
[例1] 已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3，
①当x∈[－2,0]时，求f(x)的最值；
②当x∈[－2,3]时，求f(x)的最值；
（2）定轴动区间 [例2] 已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3， 当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最值g(t)．
引入新课
二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) a>0 图 像 a<0
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
(1)抛物线开口向 上 ， (1)抛物线开口向 下 ， 并向上无限延伸 性 质 并向下无限延伸
1 C. ，＋∞ 4
)
B．[2，＋∞)
1 D.－∞， 4
2
解析：函数 y＝－2x
12 1 ＋x＝－2x－4 ＋8的图像的对称轴
1 1 是直线 x＝4， 图像的开口向下， 所以函数在对称轴 x＝4的 左边是增加的．
答案：D
3．(1)已知函数f(x)＝－x2＋2ax在(－∞，2)上是增函数， 求实数a的取值范围．
间上，再利用函数的单调性比较它们的大小．
1 4 2 1．本例条件不变，试比较 f(－1)与 f( )，f(－ )与 f( )， 3 3 3 5 f(－ )与 f(1)的大小关系，并归纳出一个使上述关系 3 式成立的式子．(不必证明)
1 1 1 解：∵|－1－(－3)|＝|3－(－3)|， 4 1 2 1 |－3－(－3)|＝|3－(－3)|，
求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在[m，n]上的最值 的步骤： (1)配方，找对称轴； (2)判断对称轴与区间的关系；
(3)求最值．若对称轴在区间外，则 f(x)在[m，n]上单
调, 利用单调性求最值；若对称轴在区间内，则在对称轴 取得最小值，最大值在[m，n]端点处取得．
4．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a
完的前提下, 请你给该商店设计一个方案: 销售
价应定为多少元 和从工厂购进多少瓶时, 才可
获得最大的利润?
课堂练习
练习P47：T1, 2, 3, 4.
配方法是研究二次函数最值及对称轴、顶点坐标
等的基本方法, 在探究出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
的对称轴后，其图像的对称性及单调性就会较直观地 反应在大脑中．
（3）动轴定区间 [例3] 已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋3， 当x∈[0，2]时，求f(x)的最值g(a)．
[精解详析]
∵f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2, 其对称轴
为x＝1，开口向上． (1)当x∈[－2,0]时，f(x)在[－2,0]上是单调递减的, 故当 x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11； 当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3； (2)当x∈[－2,3]时，f(x)在[－2,3]上是先减后增的, 故当 x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2，
又|－2－1|>|3－1|，
∴f(x)的最大值为f(－2)＝11；
(3)①当t>1时， f(x)在[t，t＋1]上单调递增，
所以当x＝t时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3. ②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时， f(x)在区间[t，t＋1]上先减再增， 故当x＝1时，f(x)取得最小值，
(1)写出如图的销售收入(k)与销售量(t)之间的函数关系
R＝f(t)；
(2)认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益 与年生产量的函数关系式， 并求年生产量是多少时纯收益 最大？ [思路点拨] 解答本题可先由图求出销售收入与销售量
之间的函数关系式，即R＝f(t)，然后建立纯收益与销售量之
间的函数关系式进而求出纯收益的最大值．
1．已知二次函数在某区间上的单调性，求参数的 取值范围, 应借助于函数的对称轴与区间的关系建立关 于参数的不等式，从而求解得出参数的取值范围．
2．二次函数在闭区间上的最值
对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[m，n] 上的最值可作如下讨论， 对称轴x＝h与[m，n] 最大值 的位置关系 h<m h>n f(n) f(m ) f(m) f(n) 最小值
典题精讲
[例 2] 将函数y= -3x²-6x+1 配方, 确定其对称 轴, 顶点坐标, 求出它的单调区间及最大值或最
小值, 并画出它的图像.
[例 3]
绿缘商店每月按出厂价每瓶 3元购进一
种饮料. 根据以前的统计数据, 若零售价定为每
瓶 4元, 每月可销售400瓶; 若每瓶售价降低0.05
元, 则可多销售 40瓶, 在每月的进货量当月销售
2
1 2 1 (1)顶点坐标为(－3，3)，对称轴是直线 x＝－3； 2 1 1 (2)∵f(－3)＝1，又|0－(－3)|＝3， 2 1 1 |－3－(－3)|＝3， 2 所以结合二次函数的对称性可和 f(0)＝f(－3)＝1；
12 2 (3)由 f(x)＝3(x＋3) ＋3知二次函数图像开口向上，且 1 对称轴为 x＝－3，所以离对称轴越近，函数值越小． 3 1 15 1 又|－4－(－3)|<| 4 －(－3)|， 3 15 ∴f(－4)<f( 4 )．
间，实际养殖量不能达到最大养殖量， 必须留出适当 的空闲量．已知鱼群的年增长量 y吨与实际养殖量x吨 实际养殖量 和空闲率（1）的乘积成正比, 比例系数为 最大养殖量 k(k>0)． (1)写出y关于x的函数关系式，并求出定义域； (2)求鱼群的年增长量的最大值；
(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k所应满足的条件.
(2)已知函数f(x)＝－x2＋2ax的增区间为(－∞，2)，求
实数a的值． 解：∵f(x)＝－(x－a)2＋a2，其函数图像开口向下，对
称轴为x＝a.
(1)∵f(x)的增区间为(－∞，a]， 由题意(－∞，a]⊇(－∞，2)， ∴a≥2.即实数a的取值范围是：[2，＋∞) (2)由题意，f(x)的对称轴为x＝a＝2，即a＝2.
设置情境
对于给定的二次函数y＝－2x2＋8x＋24.
问题1：将该二次函数化成顶点式．
提示：顶点式为y＝－2(x－2)2＋32. 问题2：该函数的单调区间是什么？ 提示：单调增区间为(－∞，2]，减区间为[2，＋∞)． 问题3：当自变量x取何值时，函数的图像达到最高点？
提示：当x＝2时，函数的图像达到最高点．
[精解详析]
25 (1)由图可知：R＝a(t－5) ＋ 2 ，
2
1 由 t＝0 时，R＝0 得 a＝－2. 1 25 2 ∴R＝－2(t－5) ＋ 2 (0≤t≤5)． 12 1 1 2 19 (2)年纯收益 y＝－2t ＋5t－0.5－4t＝－2t ＋ 4 t－0.5， 19 当 t＝ 4 ＝4.75 时，y 取得最大值 10.78 万元． 故年产量为 475 台，纯收益取得最大值 10.78 万元．
[一点通] 解答实际问题的步骤为：
7．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：
万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为 销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆 车，则能获得的最大利润为 A．45.606万元 B．45.56元 ( )
C．45.6万元
D．45.51万元
5 1 1 1 |－3－(－3)|＝|1－(－3)|， 结合二次函数关于 x＝－3对称 可知 1 4 2 f(－1)＝f(3)，f(－3)＝f(3)， 5 f(－3)＝f(1)． 由上述等式的变量间的关系可归纳出一个恒等式： 1 1 f(－3＋x)＝f(－3－x)，x∈R.
2．下列区间中，使函数 y＝－2x2＋x 是增函数的是 ( A．R
x 解：(1)由题意，知空闲率为(1－m)， x ∴y＝kx(1－m)(0<x<m)； k 2 k m 2 km (2)y＝－mx ＋kx＝－m(x－ 2 ) ＋ 4 ， k ∵－m<0 且 0<x<m， m km ∴当 x＝ 2 时，ymax＝ 4 ；
m km (3)∵当 x＝ 2 时，ymax＝ 4 ， 又实际养殖量不能达到最大养殖量， m km ∴此时，需要 2 ＋ 4 <m，解得 k<2. 又∵k>0，∴0<k<2.
性 质
上是减函数，在区间 上是增函数，在区间 b b (－2a，+∞] 上是增函数 (－ ，+∞]上是减函数 2a (4)抛物线有最低点，当 x＝ (4)抛物线有最高点， b － 时，y 有最小值，ymin 2a b 当 x＝－ 时， y 有最大值， 2a
＝
4ac－b2 4a
ymax＝
4ac－b2 4a
的取值范围是
A．0≤a≤1 C．－2≤a≤0 B．0≤a≤2
(
)
D．－1≤a≤0
解析：y＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2. ∵函数在[0,1]上的最大值是a2，
∴0≤－a≤1，即－1≤a≤0.
答案：D
5．函数f(x)＝2x2－6x＋1在区间[－1,1]上的最小值是
________，最大值是________．
b b － 2a － 2a (2)对称轴是 x＝ ，(2)对称轴是 x＝ ，
顶点ห้องสมุดไป่ตู้标是 顶点坐标是
2
b 4ac－b (－2a， 4a )
b 4ac－b (－2a， 4a )
2
函数
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
b (－∞，－2a] (3)在区间 b (－∞，－2a] (3)在区间