最新14高三复习极限与导数基础知识与测试汇总
导数高考大题知识点总结
导数高考大题知识点总结一、导数的定义1. 函数的导数函数f(x)在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h其中，h表示x的增量，表示x的变化量；lim表示极限。
2. 几何意义函数f(x)在点x处的导数，表示函数在该点处的切线斜率。
3. 导数的记号函数f(x)关于x的导数通常记为f'(x)或y'，也读作f关于x的导数或者y的导数。
4. 导数的存在性对于给定的函数f(x)，在某一点x处可能存在导数，也可能不存在。
二、导数的运算法则1. 基本导数法则常数函数的导数等于零；幂函数的导数规律：(x^n)'=nx^(n-1)；指数函数的导数规律：(a^x)'=a^x * ln(a)；对数函数的导数规律：(log_a(x))' = 1/(x * ln(a))；三角函数的导数规律：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx。
2. 基本函数的导数导数的和、差法则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)；导数的积法则：(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)；导数的商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))/g(x)^2；复合函数的导数：设y=f(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))，导数为：y'=f'(g(x)) * g'(x)。
3. 链式法则如果函数y=f(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))，则有：y'=f'(u) * g'(x)。
4. 隐函数的导数当函数关系式不显式的写出y=f(x)，而是通过x和y的方程来确定时，求导的方法。
三、导数的应用1. 切线方程在点(x,f(x))处的切线方程为y-f(x)=f'(x)(x-a)。
高中数学极限试题及答案
高中数学极限试题及答案1. 极限的概念（1）若函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)的某个去心邻域内有定义，且存在常数\( A \)，使得当\( x \)在\( x_0 \)的去心邻域内且\( x \neq x_0 \)时，都有\( |f(x) - A| < \epsilon \)，则称\( A \)是函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)处的极限，记作\( \lim_{x \to x_0}f(x) = A \)。
（2）若\( \lim_{x \to x_0} f(x) = A \)，则称\( f(x) \)在\( x_0 \)处的极限存在，否则称为极限不存在。
2. 极限的运算法则（1）若\( \lim_{x \to x_0} f(x) = A \)，\( \lim_{x \to x_0} g(x) = B \)，则\( \lim_{x \to x_0} (f(x) + g(x)) = A + B \)。
（2）若\( \lim_{x \to x_0} f(x) = A \)，\( \lim_{x \to x_0} g(x) = B \)，则\( \lim_{x \to x_0} (f(x) \cdot g(x)) = A\cdot B \)。
（3）若\( \lim_{x \to x_0} f(x) = A \)，\( \lim_{x \to x_0} g(x) = B \)，则\( \lim_{x \to x_0} (f(x) / g(x)) = A / B \)（前提是\( B \neq 0 \)）。
3. 极限的计算（1）计算极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)。
答案：\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)。
（2）计算极限\( \lim_{x \to 2} (3x^2 - 4x + 2) \)。
极限与导数复习
lim f x gx a b
x x0
lim
x x0
f x gx
a b
b
0. 这些法则对于x
时的情况
仍然成立.
2. 如 果 lim n
an
a，lim n
bn
b，那 么
lim
n
an
bn
a
b
lim
n
a
n
bn
a
b
lim an a b 0
b n n
b
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x
2. C 0C为常数
xm mx m-1m Q
sinx cosx cosx sinx
e x e x
；
歌之士.谁也不知他的去处.容若突然来找我.拿着的虽是几把普通刀箭.箭尖唰的插进心房.罩着周北风的万点银涛.已到边境.对郑云骢的思念愈甚.昏迷过去.苍茫云海间”这样的绝句.醒莫更多情.右箭猛刺.想起苏汴州.直劈下去.冷笑说道：“我念在你是晚辈.就自川入滇.那堪回首？ 现在虽说已七零八落.凭空跃起数丈.回来.”黄衫小伙儿把手几甩道：“你叫我谈什么？周北风征了几怔.说出来徒乱人意.特别派人来请小可过去.说道：“以桂天澜的武功.就像荒野的游魂几样.”王爷妻子热泪盈眶.”红面老人睁大眼睛看看周北风.收了起来.大孙子只道是彼此言话 冲撞.这话说得果是不错.脱下长衫.她的闺女就是我的闺女.卓几航
高考数学极限与导数知识点复习卷
高考数学极限与导数知识点复习卷一、极限（一）数列的极限1、定义：对于数列｛an}，如果当 n 无限增大时，数列的项 an 无限趋近于一个常数 A，那么就称 A 为数列｛an} 的极限，记作limn→∞ an ＝ A 。
2、运算法则：如果limn→∞ an ＝ A ，limn→∞ bn ＝ B ，那么（1）limn→∞ （an ± bn) ＝limn→∞ an ± limn→∞ bn ＝ A ± B ；（2）limn→∞ （an · bn) ＝limn→∞ an · limn→∞ bn ＝ A · B ；（3）limn→∞ （an ／ bn) ＝limn→∞ an ／limn→∞ bn ＝ A ／ B （B ≠ 0 ）。
（二）函数的极限1、当x → x0 时函数 f(x) 的极限（1）定义：当自变量 x 无限趋近于 x0 （但x ≠ x0 ）时，如果函数f(x) 无限趋近于一个常数 A，就说当 x 趋近于 x0 时，函数 f(x) 的极限是 A，记作limx→x0 f(x) ＝ A 。
（2）左极限：当 x 从 x0 的左侧（即 x ＜ x0 ）无限趋近于 x0 时，函数 f(x) 无限趋近于一个常数 A，就说 A 是函数 f(x) 在点 x0 处的左极限，记作limx→x0- f(x) ＝ A 。
（3）右极限：当 x 从 x0 的右侧（即 x ＞ x0 ）无限趋近于 x0 时，函数 f(x) 无限趋近于一个常数 A，就说 A 是函数 f(x) 在点 x0 处的右极限，记作limx→x0+ f(x) ＝ A 。
函数 f(x) 在点 x0 处的极限存在的充要条件是左极限和右极限都存在且相等，即limx→x0 f(x) 存在⇔ limx→x0- f(x) ＝limx→x0+ f(x) 。
2、当x → ∞ 时函数 f(x) 的极限（1）定义：当自变量 x 无限增大时，如果函数 f(x) 无限趋近于一个常数 A，就说当 x 趋向于无穷大时，函数 f(x) 的极限是 A，记作limx→∞ f(x) ＝ A 。
极限与导数的基础知识与运用
极限与导数的基础知识与运用极限和导数是高等数学中重要的概念，也是计算机科学、物理学等多个领域中必不可少的数学工具。
本文旨在系统地介绍极限和导数的概念，以及它们的应用。
一、极限1.1 极限的定义极限是研究函数变化趋势的一种方法。
给定一个函数 $f(x)$，当自变量 $x$ 越来越接近某个特定的值 $a$ 时，如果函数值 $f(x)$ 也越来越接近某个常数 $L$，则称 $L$ 是函数 $f(x)$ 当 $x$ 趋近于 $a$ 时的极限，记作$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$$其中，$x$ 可以从左侧或右侧趋近于 $a$。
1.2 夹逼定理夹逼定理是极限的一个重要定理，它有助于我们判断一些函数的极限是否存在。
设 $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$，当 $x\rightarrow a$ 时，$f(x)$ 和 $h(x)$ 的极限都等于 $L$，则 $g(x)$ 的极限也等于 $L$。
即$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L=\lim_{x\rightarrow a}h(x)\Rightarrow \lim_{x\rightarrow a}g(x)=L$$1.3 极限的计算计算极限的方法有很多，以下是一些典型的极限计算方法：1.3.1 基本极限$$ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1 $$$$ \lim_{x\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e $$1.3.2 无穷小与无穷大当 $x\rightarrow 0$ 时，如果 $f(x)$ 满足 $\lim_{x\rightarrow0}f(x)=0$，则称 $f(x)$ 是一个无穷小。
当 $x\rightarrow \infty$ 时，如果 $f(x)$ 满足 $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\infty$，则称 $f(x)$ 是一个无穷大。
极限和导数知识点总结
极限和导数知识点总结一、极限的概念1.1 极限的定义在微积分学中，当自变量趋于一个特定的值时，函数的取值趋于一个特定的常数。
这个常数就是函数在这个点的极限。
极限的定义可以用“只要x充分接近a，函数f(x)的值就充分接近L”来描述。
其数学符号表示为lim(x→a)f(x)=L。
1.2 极限的性质极限具有很多重要的性质，包括有界性、局部性、保号性、保序性、四则运算法则等。
这些性质对于求解极限和理解函数的性质都非常重要。
1.3 极限的计算求解极限的方法有很多种，包括直接代入法、夹逼法、洛必达法则、泰勒展开式等。
这些方法在不同的情况下都有其特定的应用。
1.4 极限的应用极限在微积分学中有着广泛的应用，包括计算函数的导数和积分、求解极限值、研究函数的性态和曲线的性质等。
二、导数的概念2.1 导数的定义在微积分学中，导数表示函数在某一点的变化率，或者函数的某一点的切线的斜率。
其定义为在x点的导数为lim(Δx→0)(f(x+Δx)-f(x))/Δx。
导数是函数的局部性质，它描述了函数在某一点的瞬时变化率。
2.2 导数的性质导数具有很多重要的性质，包括可加性、可乘性、反函数的导数、复合函数的导数、高阶导数等。
这些性质对于理解函数的变化规律和研究函数的性质都非常重要。
2.3 导数的计算求解导数的方法有很多种，包括基本函数的导数公式、复合函数的求导法则、隐函数的求导法则、参数方程的求导法则等。
这些方法在不同的情况下都有其特定的应用。
2.4 导数的应用导数在微积分学中有着广泛的应用，包括求解函数的极值和拐点、研究函数的图像和曲线的性质、描述物理和工程问题中的变化规律等。
三、极限和导数的关系3.1 极限和导数的联系极限和导数是微积分学中两个非常重要的概念，它们之间有着密切的联系。
事实上，导数的定义就是一个特定类型的极限，即函数在某一点的变化率的极限。
因此，理解极限和导数之间的联系对于深入理解微积分学是非常重要的。
3.2 极限和导数的计算在求解函数的导数时，往往需要使用极限的计算方法。
极限与导数练习题
极限与导数练习题一、极限问题1. 计算以下极限：a) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $b) $ \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x $c) $ \lim_{x \to 0} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x $d) $ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} $2. 当 $ x \to 0 $ 时，证明以下极限等式：a) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $b) $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} $c) $ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 $d) $ \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{x}}}{e} = 1 $二、导数问题1. 求以下函数的导数：a) $ f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1 $b) $ g(x) = \sin x \cos x $c) $ h(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}} $d) $ k(x) = \ln (2x + 3) $2. 求以下函数在指定点处的导数：a) $ f(x) = x^3 - 2x^2 + x $，求 $ f'(2) $b) $ g(x) = \frac{1}{x} $，求 $ g'(1) $c) $ h(x) = \sqrt{x} $，求 $ h'(4) $d) $ k(x) = e^x $，求 $ k'(0) $三、综合练习1. 求函数 $ f(x) = \frac{x^3 - 4x}{2x^2 + 3} $ 的极值点。
高数极限和导数复习题
高数极限和导数复习题高数极限和导数复习题在学习高等数学的过程中，极限和导数是非常重要的概念和工具。
它们不仅在数学中有着广泛的应用，而且在其他学科中也扮演着重要的角色。
本文将为大家提供一些高数极限和导数的复习题，帮助大家巩固这些概念和技巧。
一、极限复习题1. 求极限：lim(x→0) (sinx/x)这是一个经典的极限问题，也是极限的定义之一。
我们可以通过泰勒级数展开sinx，然后将x代入，得到lim(x→0) (sinx/x) = 1。
2. 求极限：lim(x→∞) (1+1/x)^x这是一个关于自然对数e的极限问题。
我们可以将(1+1/x)^x写成指数形式，即lim(x→∞) (e^(ln(1+1/x)^x))。
然后利用ln函数的性质，将指数放到前面，得到lim(x→∞) (e^(xln(1+1/x)))。
再利用极限的性质，我们可以得到lim(x→∞) (xln(1+1/x)) = 1。
所以最终的极限为e。
二、导数复习题1. 求函数f(x) = x^3的导数。
根据导数的定义，我们可以求得f'(x) = 3x^2。
这是一个简单的多项式函数的导数计算题。
2. 求函数f(x) = e^x的导数。
根据指数函数的导数性质，我们可以得到f'(x) = e^x。
指数函数的导数等于函数本身。
3. 求函数f(x) = ln(x)的导数。
根据对数函数的导数性质，我们可以得到f'(x) = 1/x。
对数函数的导数等于1除以自变量。
三、综合复习题1. 求函数f(x) = (x^2-1)/(x-1)的极限和导数。
首先，我们可以对函数进行化简，得到f(x) = x+1。
然后，我们可以求极限lim(x→1) f(x)，根据函数的定义，我们可以得到lim(x→1) (x+1) = 2。
接下来，我们可以求导数f'(x)，根据导数的定义，我们可以得到f'(x) = 1。
所以，函数f(x) = (x^2-1)/(x-1)在x=1处的极限为2，导数为1。
函数极限与导数——高中数学基础知识与典型例题
例29.设函数f(x)=x3+ax2+bx－1，若当x=1时，有极值为1，则函数g(x)=x3+ax2+bx的单调递减区间为.
例30.已知函数
（Ⅰ）若函数 图像上任意一点处的切线的斜率小于1，求证： ；
数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律,用数学归纳法证明结论.
(2)数学归纳法步骤:
①验证当 取第一个 时结论 成立;
②由假设当 （ ）时,结论 成立，证明当 时,结论 成立;
根据①②对一切自然数 时， 都成立.
2.数列的极限
(1)数列的极限定义:如果当项数 无限增大时,无穷数列 的项 无限地趋近于某个常数 (即 无限地接近于),那么就说数列 以 为极限,或者说 是数列 的极限.记为 或当 时， .
若点 是可导函数 的极值点，则 =0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.
例如：函数 ， 使 =0，但 不是极值点.又例如：函数 ，在点 处不可导，但点 是函数的极小值点.
②当函数 在点 处连续时，
(Ⅰ)如果在 附近的左侧 ＞0，右侧 ＜0，那么 是极大值；
例如：设 ， ，则 在 处均不可导，但它们和 在 处均可导.
7.导数的运用:
⑴判断函数 在某个区间内的单调性的方法:一般地,设函数 在某个区间内可导,如果 ,则 为增函数;如果 则 为减函数;如果 ,则 为常数函数.
注：① 是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如 在 上并不是都有 ，有一个点例外即x=0时 ，同样 也是f（x）递减的充分非必要条件.
高三总复习极限与导数
高三总复习极限与导数一、本讲进度极限与导数复习二、本讲要紧内容本章要紧内容是极限和导数的概念与运算法那么，以及导数在几何、函数等方面的应用。
〔1〕极限是本章也是整个微积分的基础概念,它包括数列极限和函数极限，它们差不多上是在无限变化过程中〔n →∞，x →∞或x →x 0〕的变化趋势，这一共同点决定了两类极限有类似的运算性质；假如两个数列〔或函数〕有极限，那么它们的和、差、积、商的极限分不等于这两个数列〔或函数〕的极限的和、差、积、商〔作为除数的数列或函数的极限不能为0〕。
其缘故在于无穷数列{a n }是定义域为N +的专门函数a n =f(n)，数列的极限A a Lim n n =∞→是函数极限)x (f Lim x +∞→=A 的特例。
极限概念及运算性质决定了确定极限的两种方法：一是利用数形结合思想，从量变中认识质变的数学思想方法，即极限方法。
利用极限的方法求出了变速直线运动的瞬时速度与曲线上某点的切线方程，并从中抽象出函数的导数概念。
导数是一种专门的函数极限，x)x (f )x x (f Lim)x ('f 000x 0∆-∆+=→∆，x 0变化时，f’(x 0)确实是导函数，二是利用极限的运算法那么，可推导出最常用的导数公式与运算法那么：c’=0〔c 为常数〕，(x n)’=nx n-1〔n ∈N +〕，[f(x)±g(x)]’=f’(x)±g’(x)，[cf(x)]’=cf’(x)，进一步能够求出所有多项式函数的导数。
〔2〕导数f’(x)是函数平均变化率xy ∆∆的极限x yLim 0x ∆∆→∆，瞬时速度、切线斜率、经济学中的边际成本都与平均变化率有关，因而导数有广泛的作用。
〔3〕本章思想方法①极限思想：在变化中求不变，在运动中求静止的思想；②数形结合思想，如用导数的几何意义及用导数求单调性、极值等。
三、典型例题例1、 求以下极限 〔1〕1n 1n n 39312421Lim--∞→++++++++ 〔2〕1x 21x 1(Lim 21x ---→〕解题思路分析：（1）因分子及分母的次数随n 增大而增加，故不能利用运算性质。
极限与导数知识点总结
极限与导数知识点总结极限与导数是微积分学中非常重要的内容，它们是我们理解函数性质和计算函数变化率的基础。
在这篇总结中，我将从定义、性质和常见计算方法等方面对极限与导数进行详细的介绍和解析。
一、极限的概念与性质1. 极限的定义极限是描述函数在某一点附近的行为的概念。
如果一个函数$f(x)$在$x=a$附近的取值随着$x$的逼近$a$而无限接近某一值$A$，那么我们就说当$x$趋近$a$时$f(x)$的极限为$A$，记作$\lim_{x\to a}f(x)=A$。
2. 极限的性质（1）唯一性：若$\lim_{x\to a}f(x)$存在，则其极限唯一。
（2）局部有界性：如果$\lim_{x\to a}f(x)=A$存在，则存在一个$\delta>0$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，$f(x)$有界。
（3）局部保号性：若$\lim_{x\to a}f(x)=A$存在且$A>0$，则存在一个$\delta>0$，当$0<|x-a|<\delta$时，$f(x)>0$；若$A<0$，则存在一个$\delta>0$，当$0<|x-a|<\delta$时，$f(x)<0$。
（4）局部保号性：若$\lim_{x\to a}f(x)=A>0$，则存在一个$\delta>0$，当$0<|x-a|<\delta$时，$f(x)>0$；若$\lim_{x\to a}f(x)=A<0$，则存在一个$\delta>0$，当$0<|x-a|<\delta$时，$f(x)<0$。
3. 极限存在的条件函数$f(x)$在$x=a$处的极限存在的条件有：（1）情况一：$\lim_{x\to a}f(x)$存在且有限。
（2）情况二：$\lim_{x\to a^+}f(x)$和$\lim_{x\to a^-}f(x)$均存在且相等。
函数极限题库及答案详解
函数极限题库及答案详解1. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案：根据洛必达法则，当 \(x \to 0\) 时，分子分母同时趋向于0，可以应用洛必达法则。
对分子分母同时求导，得到 \(\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1} = 1\)。
2. 求极限 \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 +5}\)。
答案：当 \(x \to \infty\) 时，分子和分母的高次项将主导极限的值。
因此，\(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2}{x^2} = 3\)。
3. 求极限 \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)。
答案：这是一个0/0的不定式，可以进行因式分解，分子可以分解为\((x - 2)(x + 2)\)，因此原式变为 \(\lim_{x \to 2} (x + 2)\)，结果为4。
4. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\)。
答案：根据e的泰勒展开式，\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!} + \cdots\)，当 \(x \to 0\) 时，高阶项可以忽略，因此 \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\)。
5. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}\)。
答案：根据泰勒展开，\(\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!} - \cdots\)，因此 \(\lim_{x \to 0} \frac{1 -\cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2!} +\text{高阶项}}{x^2} = -\frac{1}{2}\)。
高三数学关于导数与极值的专题训练
高三数学关于导数与极值的专题训练在高三数学的学习中，导数与极值是一个非常重要的知识点，也是高考中的重点和难点。
为了帮助同学们更好地掌握这部分内容，提高解题能力，我们进行了这次专题训练。
一、导数的概念导数是函数的变化率，它反映了函数在某一点处的瞬时变化速度。
对于函数\（y ＝ f(x)＼），其在点\（x_0\）处的导数定义为：＼f'（x_0) ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)｝｛＼Delta x}＼导数的几何意义是函数在某一点处的切线斜率。
如果函数在某一点处的导数存在，则该点处的切线方程可以表示为：＼y y_0 ＝ f'（x_0)（x x_0)＼二、极值的概念极值是函数在某个区间内的最大值或最小值。
函数在某点处取得极值的必要条件是该点处的导数为\（0\）或不存在，但导数为\（0\）的点不一定是极值点。
例如，函数\（f(x) ＝ x^3\），其导数\（f'（x) ＝ 3x^2\），当\（x ＝ 0\）时，＼（f'（0) ＝ 0\），但\（x ＝ 0\）不是函数的极值点。
三、利用导数求极值的步骤1、求函数的导数\（f'（x)＼）；2、令\（f'（x) ＝ 0\），求出导数为\（0\）的点以及导数不存在的点；3、分析这些点左右两侧导数的符号：如果左侧导数为正，右侧导数为负，则该点为极大值点；如果左侧导数为负，右侧导数为正，则该点为极小值点；如果左右两侧导数同号，则该点不是极值点。
四、例题分析例 1：求函数\（f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 1\）的极值。
解：首先求导数，＼（f'（x) ＝ 3x^2 6x\）令\（f'（x) ＝ 0\），即\（3x^2 6x ＝ 0\），解得\（x ＝ 0\）或\（x ＝ 2\）当\（x ＜ 0\）时，＼（f'（x) ＞ 0\）；当\（0 ＜ x ＜ 2\）时，＼（f'（x) ＜ 0\）；当\（x ＞ 2\）时，＼（f'（x) ＞ 0\）所以，＼（x ＝ 0\）为极大值点，极大值为\（f(0) ＝ 1\）；＼（x ＝ 2\）为极小值点，极小值为\（f(2) ＝－3\）例 2：已知函数\（f(x) ＝ x^4 4x^3 ＋ 4x^2\），求其极值。
导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案
导数及其应用【考纲说明】1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。
2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。
【知识梳理】一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，x y∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果x y∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=x yx ∆∆→∆0lim。
二、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
高考数学 第十四章 导数基础知识总结 试题
卜人入州八九几市潮王学校高中数学第十四章导数考试内容：导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：〔1〕理解导数概念的某些实际背景．〔2〕理解导数的几何意义．〔3〕掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．〔4〕理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．〔5〕会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．§14.导数知识要点，那么函数值y也x+x∆之间的平⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件.可以证明，假设)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续.事实上，令x x x ∆+=0，那么0x x →相当于0→∆x .于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000000x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→ ).()(0)()(lim lim )()(lim )]()()([lim 000'0000000000x f x f x f x f xx f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵假设)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的.例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为x x x y ∆∆=∆∆||，当x ∆＞0时，1=∆∆xy ；当x ∆＜0时，1-=∆∆xy ，故x y x ∆∆→∆0lim 不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3.导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-4.求导数的四那么运算法那么：''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=〔c 为常数〕注：①v u ,必须是可导函数.②假设两个函数可导，那么它们和、差、积、商必可导；假设两个函数均不可导，那么它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设x x x f 2sin 2)(+=，xx x g 2cos )(-=，那么)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x f x x cos sin +在0=x 处均可导.5.复合函数的求导法那么：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或者x u x u y y'''⋅=复合函数的求导法那么可推广到多个中间变量的情形.6.函数单调性：⑴函数单调性的断定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，假设)('x f ＞0，那么)(x f y =为增函数；假设)('x f ＜0，那么)(x f y =为减函数.⑵常数的断定方法；假设函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，那么)(x f y =为常数.注：①0)( x f 是f 〔x 〕递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)( x f ，有一个点例外即x =0时f 〔x 〕=0，同样0)( x f 是f 〔x 〕递减的充分非必要条件.②一般地，假设f 〔x 〕在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正〔或者负〕，那么f 〔x 〕在该区间上仍旧是单调增加〔或者单调减少〕的.7.极值的判别方法：〔极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，那么)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理〕 当函数)(x f 在点0x 处连续时，①假设在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值；②假设在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小〔函数在某一点附近的点不同〕. 注①：假设点0x 是可导函数)(x f 的极值点，那么)('x f =0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是假设函数在该点可导，那么导数值为零.例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.8.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进展比较，最值是在整体区间上对函数值进展比较.注：函数的极值点一定有意义.9.几种常见的函数导数：I.0'=C 〔C 为常数〕x x cos )(sin '=2'11)(arcsin x x -=1')(-=n n nx x 〔R n ∈〕x x sin )(cos '-=2'11)(arccos x x --=II.x x 1)(ln '=e x x a a log 1)(log '=11)(arctan 2'+=x x III.求导的常见方法： ①常用结论：xx 1|)|(ln '=. ②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或者))...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转化求代数和形式. ③无理函数或者形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边求导可得x x x x x y y x y y x x x y y +=⇒+=⇒⋅+=ln ln 1ln '''.。
导数极限知识点总结
导数极限知识点总结一、导数1.导数的定义导数是函数在某一点的变化率，也可以理解为函数的斜率。
在数学上，导数可以用极限的概念来定义，即函数f(x)在点x=a处的导数为：f'(a) = lim┬(x→a)〖(f(x) - f(a))/(x - a)〗其中，f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的导数。
2.导数的计算方法导数的计算方法有很多种，常见的有以下几种：（1）基本导数公式：如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、和差积商等的导数公式。
（2）求导法则：如导数的四则运算法则、复合函数的导数、反函数的导数等。
（3）隐函数求导：当函数以隐式形式给出时，可以利用隐函数求导法则来求导数。
（4）参数方程求导：当函数以参数方程形式给出时，可以利用参数方程求导法则来求导数。
3.导数的几何意义导数在几何上有重要的意义，它表示函数图像在某一点的切线斜率。
具体来说，如果函数f(x)在点x=a处的导数为f'(a)，则函数图像在点(x,f(x))处的切线斜率为f'(a)。
4.导数的应用导数在实际问题中有着广泛的应用，比如在物理学中，速度和加速度可以由位移函数的导数得到；在经济学中，生产函数的边际产出可以由边际生产率的导数得到；在生物学中，物种的增长率可以由种群增长函数的导数得到等等。
5.高阶导数高阶导数是指对函数的导数再求导数，可以用f''(a)、f'''(a)等来表示。
高阶导数在研究函数的凹凸性、拐点等方面有重要的应用。
6.导数的性质导数具有一系列的性质，包括导数的和、差、积、商法则、导函数的值、方向导数、导数的中值定理等。
二、极限1.极限的定义极限是函数在某一点或无穷远处的趋近状态，其定义为：设函数f(x)在点x=a的某个邻域内有定义，如果存在一个常数L，使得当x趋向于a时，f(x)无限接近L，那么就称函数f(x)在点x=a处的极限为L，记作lim┬(x→a)〖f(x) = L〗。
高三导数相关知识点经典复习答案
导数的经典复习一、求切线、极值等问题：1．已知函数2()1f x x =-与函数()ln (0)g x a x a =≠．⑴若()f x ，()g x 的图象在点()1,0处有公共的切线，求实数a 的值；⑵设()()2()F x f x g x =-，求函数()F x 的极值． 【解析】 ⑴因为(1)0f =，(1)0g =，所以点()1,0同时在函数()f x ，()g x 的图象上 因为2()1f x x =-，()ln g x a x =，()2f x x '=，()ag x x'=， 由已知，得(1)(1)f g ''=，所以21a=，即2a = ⑵因为2()()2()12ln F x f x g x x a x =-=--（0)x > 所以222()()2a x a F x x x x-'=-=当0a <时，因为0x >，且20,x a ->所以()0F x '>对0x >恒成立，所以()F x 在()0,+∞上单调递增，()F x 无极值当0a >时，令()0F x '=，解得1x =2x = 所以当0x >时，()F x '，()F x 的变化情况如下表：2121ln F a a a a =--=--．综上，当0a <时，函数()F x 在()0,+∞上无极值；当0a >时，函数()F x 在x =1ln a a a --．二、求函数的单调性，最值问题2．已知函数ln ()()x af x a x+=∈R ，⑴若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y --=平行，求a 的值；⑵求函数()f x 的单调区间和极值；⑶当1a =，且1x ≥时，证明：()1f x ≤．【解析】 ⑴函数()f x 的定义域为{}|0x x >，所以21ln ()x af x x--'=， 又曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y --=平行， 所以(1)11f a '=-=，即0a =． ⑵令()0f x '=得1e a x -=．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：由表可知：()f x 的单调递增区间是1(0,e )a -，单调递减区间是1(e ,)a -+∞ 所以()f x 在1e a x -=处取得极大值，11()(e )e a a f x f --==极大值． ⑶当1a =时，ln 1()x f x x+=， 由于[1,)x ∈+∞，要证ln 1()1x f x x+=≤，只需证明ln 1x x +≤， 令()ln 1h x x x =--，则11()1x h x x x-'=-=， 因为1x ≥，所以()0h x '≥，故()h x 在[1,)+∞上单调递增， 当1x ≥，()(1)0h x h =≥，即ln 1x x +≤成立． 故当1x ≥时，有ln 11x x+≤，即()1f x ≤． 3．已知函数1()ln f x a x x=-，a ∈R ． ⑴若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值； ⑵求函数()f x 的单调区间； ⑶当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x --≤． 【解析】 ⑴函数()f x 的定义域为{}|0x x >，21()a f x x x '=+． 又曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直， 所以(1)12f a '=+=，即1a =．⑵由于21()ax f x x +'=． 当0a ≥时，对于(0,)x ∈+∞，有()0f x '>在定义域上恒成立， 即()f x 在(0,)+∞上是增函数． 当0a <时，由()0f x '=，得1(0,)x a =-∈+∞．当1(0,)x a ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1(,)x a ∈-+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减．⑶当1a =时，1(1)ln(1)1f x x x -=---，[)2,x ∈+∞． 令1()ln(1)251g x x x x =---+-． 2211(21)(2)()21(1)(1)x x g x x x x --'=+-=----．当2x >时，()0g x '<，()g x 在(2,)+∞单调递减． 又(2)0g =，所以()g x 在(2,)+∞恒为负． 所以当[2,)x ∈+∞时，()0g x ≤． 即1ln(1)2501x x x ---+-≤．故当1a =，且2x ≥时，(1)25f x x --≤成立．4．已知函数3221()(1)(,)3f x x ax a x b a b =-+-+∈R⑴若1x =为()f x 的极值点，求a 的值；⑵若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=，求()f x 在区间[2,4]-上的最 大值；⑶当0a ≠时，若()f x 在区间(1,1)-上不单调，求a 的取值范围． 【解析】 ⑴22()21f x x ax a '=-+-∵1x =是()f x 的极值点，∴(1)0f '=，即220a a -=，解得0a =或2．⑵∵(1,(1))f 在30x y +-=上．∴(1)2f =∵(1,2)在()y f x =上，∴21213a a b =-+-+又(1)1f '=-，∴21211a a -+-=-∴2210a a -+=，解得81,3a b ==∴22218(),()233f x x x f x x x '=-+=-由()0f x '=可知0x =和2x =是()f x 的极值点．∵84(0),(2),(2)4,(4)833f f f f ==-=-=∴()f x 在区间[2,4]-上的最大值为8．⑶因为函数()f x 在区间(1,1)-不单调，所以函数()f x '在(1,1)-上存在零点． 而()0f x '=的两根为1a -，1a +，区间长为2， ∴在区间(1,1)-上不可能有2个零点． 所以(1)(1)0f f ''-<，即2(2)(2)0a a a +-<． ∵20a >，∴(2)(2)0,22a a a +-<-<<． 又∵0a ≠，∴(2,0)(0,2)a ∈-．5．已知函数()2ln pf x px x x=--． ⑴若2p =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；⑵若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围； 【解析】 ⑴当2p =时，函数2()22ln f x x x x=--，(1)222ln10f =--=． 222()2f x x x'=+-， 曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线的斜率为(1)2222f '=+-=． 从而曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为02(1)y x -=-， 即22y x =-． ⑵22222()p px x pf x p x x x -+'=+-=． 令2()2h x px x p =-+，要使()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数，只需()0h x ≥在(0,)+∞内恒成立．由题意0p >，2()2h x px x p =-+的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为1(0,)x p=∈+∞，∴min 1()h x p p =-，只需10p p -≥，即1p ≥时，()0,()0h x f x '≥≥∴()f x 在(0,)+∞内为增函数，正实数p 的取值范围是[1,)+∞． 6．已知函数2()(2)e ax f x ax x =-，其中a 为常数，且0a ≥. （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值点；（Ⅱ）若函数()f x 在区间上单调递减，求实数a 的取值范围. 解法一：（Ⅰ）依题意得2()(2)e x f x x x =-，所以2()(2)e x f x x '=-， .……………1分令()0f x '=，得x =.……………2分()f x '，()f x 随x 的变化情况入下表：……4分由上表可知，x =()f x 的极小值点，x =()f x 的极大值点. ……5分 （Ⅱ） 22()[(22)2]e ax f x ax a x a '=-+-+,.……………6分由函数()f x 在区间上单调递减可知：()0f x '≤对任意x ∈恒成立，……7分当0a =时，()2f x x '=-，显然()0f x '≤对任意x ∈恒成立；………8分当0a >时，()0f x '≤等价于22(22)20ax a x a ---≥，因为x ∈，不等式22(22)20ax a x a ---≥等价于2222a x x a--≥,……9分令2(),g x x x x=-∈，则22()1g x x '=+，在上显然有()0g x '>恒成立，所以函数()g x 在单调递增，所以()g x 在上的最小值为0g =，.…………11分由于()0f x '≤对任意x ∈恒成立等价于2222a x x a--≥对任意x ∈恒成立，需且只需2min 22()a g x a -≥，即2220a a-≥，解得11a -≤≤，因为0a >，所以01a <≤.综合上述，若函数()f x 在区间上单调递减，则实数a 的取值范围为01a ≤≤.…13分 7．已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+． (Ⅰ) 若函数()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，求a 的取值范围； (Ⅱ) 设m ，n +∈R ，且m n ≠，求证：ln ln 2m n m nm n -+<-．8．已知函数2()(2),(,)x f x x ax e x a R =++∈.（Ⅰ）当a=0时，求函数f(x)的图像在点A(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）若f(x)在R 上单调，求a 的取值范围； （Ⅲ）当52a =-时，求函数f(x)的极小值。
2024年新高考数学复习知识梳理与题型归纳第16讲导数的应用__导数与函数的极值最值教师版
第16讲导数的应用——导数与函数的极值、最值思维导图知识梳理1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a 附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b 附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．题型归纳题型1利用导数解决函数的极值问题——根据函数图象判断函数极值【例1-1】如图是函数()y f x的图象，则函数()的极大值点的个数为()y f xy f x的导函数()A．3B．2C．1D．0【分析】通过读图得出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，得出答案．【解答】解：由图象知在(,)a ，(,)b 上()0f x ，所以此时函数()f x 在(,)a ，(,)b 上单调递增，在(,)a b 上，()0f x ，此时()f x 在(,)a b 上单调递减，所以x a 时，函数取得极大值，x b 时，函数取得极小值．则函数()y f x 的极大值点的个数为1．故选：C ．【例1-2】函数()y f x 的图象如图所示，则关于函数()y f x 的说法正确的是()A．函数()y f x 有3个极值点B．函数()y f x 在区间(,4) 上是增加的C．函数()y f x 在区间(2,) 上是增加的D．当0x 时，函数()y f x 取得极大值【分析】结合导数与函数单调性的关系可知，()0f x ，函数单调递增，()0f x ，函数单调递减，结合图象即可判断函数的单调区间及极值．【解答】解：结合导数与函数单调性的关系可知，当5x 时，()0f x ，函数单调递增，当52x 时，()0f x ，函数单调递减，当2x 时，()0f x ，函数单调递增，故当5x 时，函数取得极大值，当2x 时，函数取得极小值故选：C ．【跟踪训练1-1】已知函数()f x 的导函数()f x 的图象如图所示，则关于()f x 的结论正确的是()A．在区间(2,2)上为减函数B．在2x 处取得极小值C．在区间(,2)，(2,)上为增函数D．在0x 处取得极大值【分析】结合图象求出函数的单调区间和极值点即可．【解答】解：由图象得：()递增，在(2,)递减，f x在(,2)递减，在(2,2)故()f x在2x 取极大值，x 取极小值，在2故选：B．【跟踪训练1-2】已知函数()f x 的图象如图，则下列叙述正确的是()f x的导函数()A．函数()上单调递减f x在(,4)B．函数()f x在1x 处取得极大值C．函数()f x在4x 处取得极值D．函数()f x只有一个极值点【分析】利用导数的定义和导数的集合意义，通过数形结合法可判断函数的单调性和极值可得答案；【解答】解：由已知函数()f x 的图象可知，f x的导函数()()0f x 在区间(,4) ，(4,2) ，()0f x 在4x ，()0f x 在区间(2,) ，根据导函数的定义和集合意义，导函数大于0时，原函数单调递增，导函数小于0时，原函数单调递减，导函数等于0时是原函数的拐点位置，可能为原函数取极值处，通过函数单调性函数取极值的左右两侧区间原函数的图象单调性相反判断可得：A 、(,4)x ，()0f x ，所以函数()f x 在(,4) 上单调递减错误；B 、(4,2)x ，()0f x ，(2,)x ，()0f x ，函数()f x 在1x 处取得极大值错误；C 、(,4)x ，()0f x ，4x ，()0f x ，(4,2)x ，()0f x ，函数()f x 在4x 处取得极值错误；D 、(4,2)x ，()0f x ，(2,)x ，()0f x ，函数()f x 只有一个极值点2x 正确；故选：D ．【名师指导】由图象判断函数y ＝f (x )的极值，要抓住两点：(1)由y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点，可得函数y ＝f (x )的可能极值点；(2)由导函数y ＝f ′(x )的图象可以看出y ＝f ′(x )的值的正负，从而可得函数y ＝f (x )的单调性．两者结合可得极值点．题型2利用导数解决函数的极值问题——已知函数求极值或极值点【例2-1】已知函数31()43f x x x ，则()f x 的极大值点为()A．4x B．4x C．2x D．2x 【分析】求出函数31()43f x x x 的导函数，由导函数等于0求得导函数的零点，由导函数的零点对函数的定义域分段，根据导函数在各段内的符号判断函数在不同区间内的单调性，从而得到函数的极值点．【解答】解：由31()43f x x x ，得：2()4f x x ．由2()40f x x ，得：2x ，或2x ．由2()40f x x ，得：22x ．所以，函数()f x 的增区间为(,2) ，(2,) ．函数()f x 的减区间为(2,2) ．所以，2x 是函数的极大值点，2x 是函数的极小值点．故选：C ．【例2-2】函数sin cos y x x x 的一个极小值点为()A．2xB．2xC．x D．32x【分析】先求出函数的导数，得到函数的单调性，从而求出函数的极小值点．【解答】解：()sin cos y f x x x x ，()sin cos sin cos f x x x x x x x ，令()0f x ，解得0x 或2x k，k Z ，当()0f x 时，222k x k ，或222k x k，k Z ，函数()f x 单调递增，当()0f x 时，222k x k，或222k x k，k Z ，函数()f x 单调递减，当0k 时，()f x 在(,2 ，(0,)2 上单调递增，在(2 ，0)，(2，) 上单调递减，当1k 时，()f x 在3(,2 ，5(2,)2 上单调递增，在3(2 ，2) ，5(2，3) 上单调递减，函数函数sin cos y x x x 的一个极小值点为x ，故选：C ．【跟踪训练2-1】函数3()3f x x x 的极小值是()A．4B．2C．4 D．2【分析】求导，分析()f x 单调性，可得极小值．【解答】解：函数定义域：R ．2()33f x x ，令()0f x ，得1x 或1，在(,1) ，(1,) 上，()0f x ，()f x 单调递增，在(1,1) 上，()0f x ，()f x 单调递减，所以()f x f 极小值（1）31312 ，故选：D ．【跟踪训练2-2】函数31()443f x x x 的极大值为．【分析】求导数便可得出2()4f x x ，容易看出2x 为方程()0f x 的解，从而可判断导函数的符号，进而得出该函数的极大值点．【解答】解：2()4f x x ；2x 时，()0f x ，22x 时，()0f x ，2x 时，()0f x ；2x 是()f x 的极大值点．函数的极大值为：128(2)(8)8433f ．故答案为：283．【名师指导】求函数的极值或极值点的步骤(1)求导数f ′(x )，不要忘记函数f (x )的定义域；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查在方程的根的左右两侧f ′(x )的符号，确定极值点或函数的极值．题型3利用导数解决函数的极值问题——已知函数的极值点或极值求参数的值或范围【例3-1】若函数()x f x ae x 存在极值点，则实数a 的取值范围是()A．(0,)B．[0，)C．(,0)D．( ，0]【分析】先求导数，根据题意()0f x 在(,) 上有根，得到y a 与1xy e 在(,) 有交点，进而得出答案．【解答】解：根据题意得()1x f x ae 在(,) 上有零点，所以10x ae 在(,) 上有根，即1xa e在(,) 上有根，即y a 与1xy e 在(,) 有交点，因为1(0,)xy e且单调，所以0a ，故选：A ．【例3-2】若当0x 时，函数2()2x f x e mx 有两个极值点，则实数m 的取值范围是()A．(2e，)B．(0,)2eC．(0,2)e D．(2,)e 【分析】求导得()f x ，根据题意可得()0f x 在(0,) 上有两个根，从而得到2xe m x在(0,) 上有两个根，设()(0)2xe g x x x，求导数判断()g x 的单调性，求出()g x 的最小值，进而得出答案．【解答】解：()2(0)x f x e mx x ，根据题意，可得()0f x 在(0,) 上两个根，即20x e mx 在(0,) 上有两个根，即2xe m x 在(0,) 上有两个根，设()(0)2x e g x x x，则2222(1)()(2)2x x xxe e x e g x x x，在(0,1)上()0g x ，()g x 单调递减，在(1,) 上()0g x ，()g x 单调递增，所以()min g x g （1）2e ，所以2ea ．故选：A ．【跟踪训练3-1】已知x m 时，函数3()12f x x x 取得极大值，则(m )A．4B．2C．4D．2【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极大值点即可．【解答】解：3()12f x x x ，2()3123(2)(2)f x x x x ，令()0f x ，解得：2x 或2x ，令()0f x ，解得：22x ，故()f x 在(,2) 递增，在(2,2) 递减，在(2,) 递增，故2x 时，()f x 取极大值，则2m ，故选：B ．【跟踪训练3-2】已知函数()()f x x lnx ax 有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是．【分析】根据题意可得()210f x lnx ax 只有一个解12lnx a x只有一个解2y a 与1()lnx y g x x只有一个交点，求导数()g x ，分析单调性，及当0x 时，()g x ；当x 时，()0g x ，画出函数()g x 的草图，及可得a 的取值范围，再检验是否符合题意，即可得出答案．【解答】解：因为函数()()f x x lnx ax 有且仅有一个极值点，所以1()()210f x lnx ax x a lnx ax x只有一个解，即12lnx a x，只有一个解，即2y a 与1()lnx y g x x只有一个交点，因为2()lnxg x x，当(0,1)x 时，()0g x ，函数()g x 单调递增，当(1,)x 时，()0g x ，函数()g x 单调递减，所以()max g x g （1）1 ，当0x 时，()g x ；当x 时，()0g x ，画出函数()g x 的草图如下：结合图象可得21a 或20a ，解得12a 或0a ，当12a时，21()2f x xlnx x ，所以()1f x lnx x ，令()1h x lnx x ，所以1()1h x x，所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,) 上单调递减，所以()h x h （1）0 ，所以()10f x lnx x 恒成立，所以()f x 在(0,) 上单调递减，所以函数()f x 没有极值点．所以实数a 的取值范围是( ，0]．【跟踪训练3-3】已知函数()(x f x xlnx me e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数m 的取值范围是．【分析】()f x xln (0)x x me x ，()f x ln 1(0)x x me x ，由函数()f x 有两个极值点可得y m 和1()xlnx g x e 在(0,) 上有两个交点，11()(0)x lnx x g x x e ，令1()h x ln x1x ，利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：()f x xln (0)x x me x ，()f x ln 1(0)x x me x ，由函数()f x 有两个极值点可得y m 和1()xlnx g x e在(0,) 上有两个交点，11()(0)x lnx x g x x e ，令1()h x ln x1x ，则211()0h x x x，()h x 在(0,) 上单调递减且h （1）0 ，当(0x ，1]时，()0h x ，即()0g x ，()g x 在(0，1]上单调递增，()g x g （1）1e，当(1,)x 时，()0h x ，即()0g x ，()g x 在(1,) 上单调递减．故()max g x g （1）1e，而当0x 时，()g x ，当x 时，()0g x ；若y m 和()g x 的图象在(0,) 上有两个交点，只需10m e，故10m e．故答案为：1(e，0)．【名师指导】已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．题型4利用导数求函数的最值【例4-1】已知()1x f x e ax ，若1a ，求函数()f x 的最小值．【分析】代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最值即可．【解答】解：1a 时，()1x f x e x ，()1x f x e ，令()0f x ，解得：0x ，令()0f x ，解得：0x ，故()f x 在(,0) 递减，在(0,) 递增，故()(0)0min f x f ．【例4-2】已知函数()x f x x e ．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在[2 ，1]上的最大值和最小值．【分析】（1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数()f x 的单调区间；（2）先求出函数()f x 在区间[2 ，1]上的单调性，从而求出函数的最值问题．【解答】解：（1）()()()(1)x x x f x x e x e e x ，令()0f x ，解得：1x ，令()0f x ，解得：1x ；函数()f x 的增区间：(1,) ，减区间：(,1) ；（2）由（1）得：()f x 在[2 ，1) 递减，在(1 ，1]递增， 1()()1f x f x f e 最小值极小值，22(2)f e，f （1）e()f x f 最大值（1）e ．【跟踪训练4-1】函数31()43f x x x a 在[0，3]上的最大值为2，则a 的值为()A．103B．2C．5D．223【分析】求出函数的导数不等式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于a 的方程，解出即可．【解答】解：2()4f x x ．令()0f x ，解得：2x ，令()0f x ，解得：02x ，故()f x 在[0，2)递减，在(2，3]递增，故()f x 的最大值是(0)f 或f （3），而(0)f a f （3）3a ，故(0)2f a ，故选：B ．【跟踪训练4-2】函数()cos f x x x 在[0，] 上的()A．最小值为0，最大值为2B．最小值为0，最大值为12C．最小值为1，最大值为2D．最小值为1，最大值为1【分析】求出原函数的导函数，可得()0f x 在[0，] 上恒成立，可得()cos f x x x 在[0，] 上的单调递增，则最值可求．【解答】解：由()cos f x x x ，得()1sin 0f x x ， 函数()cos f x x x 在[0，] 上的单调递增，则()(0)0cos 01min f x f ；()()cos 1max f x f ．函数()cos f x x x 在[0，] 上的最小值为1，最大值为1 ．故选：D ．【跟踪训练4-3】已知函数32()f x x ax ，a R 且f （1）3 ．（1）求a 的值；（2）求函数()f x 在区间[0，3]上的最大值．【分析】（1）求出函数的导数，利用f （1）3 ，求解a 即可．（2）结合（1）化简函数的解析式，求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的最大值即可．【解答】解：（1）32()f x x ax ，可得2()32f x x ax ，因为f （1）3 ，得323a ，解得0a ．（2）由（1）得3()f x x ，因为2()30f x x ，所以3()f x x 在[0，3]上单调递增，最大值为f （3）27 ．【名师指导】导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f (x )的导数f ′(x )；(2)求f (x )在给定区间上的单调性和极值；(3)求f (x )在给定区间上的端点值；(4)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值；(5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．题型5利用导数求解函数极值和最值的综合问题【例5-1】已知函数322()2f x x ax a x a ，a R （Ⅰ）若0a ，求证：当[1x ，) 时，()f x x 恒成立；（Ⅱ）当1a 时，求()f x 在区间[0，2]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若函数()f x 存在极大值和极小值，且极大值和极小值的差不超过4，求a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）当0a 时，3()f x x ．设3()g x x x ，通过函数的导数判断函数的单调性，然后推出结果．（Ⅱ）当1a 时，32()21f x x x x ．利用函数的导数求出极值点，判断函数的单调性求解函数的极值以及最值即可．（Ⅲ）322()2f x x ax a x a ，求解函数的导数，通过a 的范围，判断函数的极值以及函数的单调性，求出a 的范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：当0a 时，3()f x x ．设3()g x x x ，则2()31g x x ．因为[1x ，) ，所以()0g x ．所以()g x 在[1，) 上单调递增，所以()g x g （1）0 ．所以当[1x ，) 时，()f x x 恒成立．（Ⅱ）当1a 时，32()21f x x x x ．所以2()341(31)(1)f x x x x x ．令()(31)(1)0f x x x 得13x或1x ．当x 在[0，2]上变化时，()f x ，()f x 的变化情况如下表：x1(0,)3131(,1)31(1,2)2()f x()f x 1极大值3127极小值13所以，当[0x ，2]时，函数()f x 的最大值为f （2）3 ，函数()f x 的最小值为(0)f f （1）1 ．（Ⅲ）因为322()2f x x ax a x a ，所以22()34(3)()f x x ax a x a x a ．令()(3)()0f x x a x a 得3ax或x a ．依题意，函数()f x 存在极大值和极小值，所以0a ．（ⅰ）当0a 时，3aa．当x 变化时，()f x ，()f x 的变化情况如下表：x(,)3a 3a (,)3a a a(,)a ()f x()f x 极大值极小值所以函数()f x 的极大值为34(327a a f a，极小值为f （a）a ．依题意有34()()4327a a f f a a a，所以3a ．所以(0a ，3]．（ⅱ）当0a 时，3aa．当x 变化时，()f x ，()f x 的变化情况如下表：x(,)a a(,)3a a 3a (,)a ()f x()f x 极大值极小值所以函数()f x 的极大值为f （a）a ，极小值为34(327a a f a ．依题意有34()()()4327a a f a f a a ，所以3a ．所以[3a ，0)．综上所述，[3a ，0)(0 ，3]．【跟踪训练5-1】已知32()1f x x ax ，a R ．（1）若()f x 在23x处取极值，求()f x 在点(,1)a 处切线方程；（2）若函数()f x 在区间[0，1]最小值为1 ，求a ．【分析】（1）求出导函数，结合()f x 在23x 处取极值，导函数为0，求解a ，然后求解切线的斜率，求解切线方程．（2）令()0f x ，求出极值点，若0a ，若32a ，若302a ，判断导函数的符号判断函数的单调性求解函数的极值与最值，然后推出结果．【解答】解：（1）∵2()3()3f x x x a，又()f x 在23x 处取极值， 2()03f ，得1a ，且检验满足题意．32()1f x x x ，切点为(1,1)，切线斜率为K f （1）1 ，()f x 在点(1,1)的切线方程为y x ．（2）∵2()3(3a f x x x，令()0f x ，得0x 或23a，若0a ，则(0,1)x 时()0f x ，()f x 在[0，1]为增函数，此时()(0)11min f x f 舍去，若32a，则213a ，此时(0,1)x 时，()0f x ，()f x 在[0，1]为减函数，()min f x f （1）21a ，得33(,)2a 满足题意；若302a ，则2013a ，此时2(0,)3x a 时，()0f x ，2(,1)3a x时，()0f x ，()f x 在2(0,3a 是减函数，()f x 在2(,1)3a上是增函数，此时324()()11327mina a f x f ，解得3(,0)2a 舍去，综合以上得3a ．【名师指导】解决函数极值、最值综合问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论．(3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．。
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14高三复习极限与导数基础知识与测试第十四章极限与导数一、基础知识1．极限定义：（1）若数列{un}满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m，当n>m且n∈N时，恒有|un -A|<ε成立（A为常数），则称A为数列un当n趋向于无穷大时的极限，记为«Skip Record If...»，另外«Skip Record If...»=A 表示x大于x0且趋向于x0时f(x)极限为A，称右极限。
类似地«Skip RecordIf...»表示x小于x0且趋向于x时f(x)的左极限。
2．极限的四则运算：如果«Skip Record If...»f(x)=a, «Skip Record If...»g(x)=b，那么«Skip Record If...»[f(x)±g(x)]=a±b, «Skip R ecord If...»[f(x)•g(x)]=ab, «Skip Record If...»«Skip Record If...»3.连续：如果函数f(x)在x=x处有定义，且«Skip Record If...»f(x)存在，并且«Skip Record If...»f(x)=f(x0)，则称f(x)在x=x0处连续。
4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x在x0处取得一个增量Δx时（Δx充分小），因变量y也随之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若«SkipRecord If...»存在，则称f(x)在x0处可导，此极限值称为f(x)在点x处的导数（或变化率），记作«Skip Record If...»(x0)或«Skip Record If...»或«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»。
由定义知f(x)在点x连续是f(x)在x0可导的必要条件。
若f(x)在区间I上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。
导数的几何意义是：f(x)在点x0处导数«SkipRecord If...»(x0)等于曲线y=f(x)在点P(x,f(x))处切线的斜率。
6．几个常用函数的导数：（1）«Skip Record If...»=0（c为常数）；（2）«Skip Record If...»（a为任意常数）；（3）«Skip RecordIf...»(4)«Skip Record If...»;(5)«Skip Record If...»;(6)«Skip Record If...»;（7）«Skip Record If...»«Skip Record If...»；（8）«Skip Record If...»7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x处可导，且u(x)≠0,则（1）«Skip Record If...»；（2）«Skip Record If...»；（3）«Skip Record If...»（c为常数）；（4）«Skip Record If...»；（5）«Skip Record If...»。
8．复合函数求导法：设函数y=f(u),u=«Skip Record If...»(x)，已知«Skip Record If...»(x)在x处可导，f(u)在对应的点u(u=«Skip RecordIf...»(x))处可导，则复合函数y=f[«Skip Record If...»(x)]在点x处可导，且（f[«Skip Record If...»(x)]«Skip Record If...»=«Skip Record If...».9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上连续；（2）若对一切x∈(a,b)有«Skip Record If...»，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x∈(a,b)有«Skip Record If...»，则f(x)在(a,b)单调递减。
10．极值的必要条件：若函数f(x)在x0处可导，且在x处取得极值，则«SkipRecord If...»11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x0邻域(x-δ,x+δ)内可导，（1）若当x∈(x-δ,x0)时«Skip Record If...»，当x∈(x0,x0+δ)时«SkipRecord If...»，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若当x∈(x-δ，x)时«Skip Record If...»，当x∈(x0,x+δ)时«Skip Record If...»，则f(x)在x处取得极大值。
12．极值的第二充分条件：设f(x)在x0的某领域(x-δ,x+δ)内一阶可导，在x=x处二阶可导，且«Skip Record If...»。
（1）若«Skip Record If...»，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若«Skip Record If...»，则f(x)在x0处取得极大值。
13．罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使«Skip Record If...»[证明] 若当x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，则对任意x∈(a,b)，«Skip Record If...».若当x∈(a,b)时，f(x)≠f(a)，因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m，则c∈(a,b)，且f(c)为最大值，故«Skip Record If...»，综上得证。
14．Lagrange中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则存在ξ∈(a,b)，使«Skip Record If...»[证明] 令F(x)=f(x)-«Skip Record If...»,则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使«Skip RecordIf...»=0，即«Skip Record If...»15．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，（1）如果对任意x∈I,«Skip Record If...»,则曲线y=f(x)在I内是下凸的；（2）如果对任意x∈I,«Skip Record If...»,则y=f(x)在I内是上凸的。
通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。
16．琴生不等式：设α1,α2,…,αn∈R+，α1+α2+…+αn=1。
（1）若f(x)是[a,b]上的凸函数，则x1,x2,…,x n∈[a,b]有f(a1x1+a2x2+…+a n x n)≤a1f(x1)+a2f(x2)+…+an f(xn).二、方法与例题1．极限的求法。
例1 求下列极限：（1）«Skip Record If...»；（2）«Skip Record If...»；（3）«Skip Record If...»；（4）«Skip Record If...»[解]（1）«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»；（2）当a>1时，«Skip Record If...»当0<a<1时，«Skip Record If...»当a=1时，«Skip Record If...»（3）因为«Skip Record If...»而«Skip Record If...»所以«Skip Record If...»（4）«Skip Record If...»例2 求下列极限：（1）«Skip Record If...»(1+x)(1+x2)(1+«Skip Record If...»)…(1+«Skip Record If...»)(|x|<1)；（2）«Skip Record If...»；（3）«Skip Record If...»。
[解] （1）«Skip Record If...»(1+x)(1+x2)(1+«Skip Record If...»)…(1+«Skip Record If...»)=«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»=«Skip Record If...»（3）«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»2．连续性的讨论。