高一物理机械能守恒定律应用

B A
O v
方法一：取最低点为零势面
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1 1 l 3l 2 2 mV A mV B mg mg 2l mg 2 2 2 2
VA VB 2
24 VA gl 5
O
B A
v
拓展1。如图所示，一根轻质细杆的两端分 别固定着 A、B 两只质量均为 m 的小球， O 点 是一光滑水平轴，已知AO=L，BO=2L，使细 杆从水平位置由静止开始转动，求当B球转 到O点正下方时，它对细杆的拉力？
A 30
B
A 解：一、
A
B B
A、B一起运动：对系统由机械能守恒定律
1 2 ( 4 m m ) V 4mgSsin - mgS 2 ∴ v2=0.4gS
二、细线断后，B做竖直上抛运动
V 2gh
2
H S h
∴ H = 1.2 S
例 3 、质量为 M 和 m 的两个小球由一细 线连接（M＞m），将M置于半径为R 的 光滑球形容器上口边缘，从静止释放 （如图所示），求当 M 滑至容器底部 时两球的速度（两球在运动过程中细 线始终处于绷紧状态）。
V0
R
O
解析：当列车进入轨道后，动能逐渐 向势能转化，车速逐渐减小，当车厢 占满环时的速度最小。
设运行过程中列车的最小速度为V， 列车质量为m m 则轨道上的那部分车的质量为： 2R
由机械能守恒定律得：
1 1 2 2Rm 2 mv 0 mv gR ………….(1) 2 2 L
L
由圆周运动规律可知，列车的最小速率为：
v gh 8
练习：如图所示，露天娱乐场空中列 车是由许多节完全相同的车厢组成， 列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑 上一固定的半径为 R 的空中圆形光滑 轨道，若列车全长为 L（L＞2πR）， R 远大于一节车厢的长度和高度，那 么列车在运行到圆环前的速度至少要 多大，才能使整个列车安全通过固定 的圆环轨道（车厢间的距离不计）？
4 gR(M 2m ) vM 2M m
方向水平向左
2 gR(M 2m ) vm 2M m
方向竖直向上。
小结:
45
V垂
V V
VM
Vm
Vm
1、这类问题通常利用系统减少的重力势能等 于系统增加的动能列式比较简洁 2 、不可伸长是重要的隐含条件，任何绷紧 的绳相连的两物体沿绳方向速度大小相等
初态：Ek0=0,Ep0=-1/2(mgL/4)
末态：Ekt=1/2mv22，Ept=-mgL/2 根据机械能守恒定律有： 0-1/2(mgL/4)=1/2mv22-mgL/2
1 3 gL 解得v= 2
例 4 ． 如图所示，一粗细均 匀的 U 形管内装有同种液体 竖直放置，右管口用盖板 A 密闭一部分气体，左管口开 口，两液面高度差为h，U形 管中液柱总长为 4h，现拿去 盖板，液柱开始流动，当两 侧液面恰好相齐时，右侧液 面下降的速度大小为多少？
2
∴ V02 =6gx0
V12 =3/2×gx0
1/2×3mV22+Ep=3mgx0+ 1/2×3mV2
[2]
从O点开始物块和钢板分离，由[1]式得： Ep= 1/2×mgx0 代入[2]得： 1/2×3m(2/3×Vo)2+1/2×mgx0=3mgx0+ 1/2× 3mV2
化简得，V2=gx0
∴ h=V2 /2g=gx0/2g=1/2×x0
A R
O
600
B
C
图5
解析： 设C处为重力势能的零势面，
1 2 1 2 mg (2 R L0 cos 60 ) mv c k (2 R L0 ) 2 2
0
由机械能守恒定律得：
将已知量代入上式解得：
vc 3m / s
97年高考. 质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接， 弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为x0， 如图所示。一物块从钢板正上方距离为 3x0的A处自由 落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不 粘连。它们到达最低点后又向上运动。 A 已知物块质量也为m时，它们恰能回到 3x0 O x0 O点。若物块质量为2m，仍从A处自由 m 落下，则物块与钢板回到O点时，还具 有向上的速度。求物块向上运动到达 的最高点与O点的距离。
o
B A
A
o
B
o
B
A
O
B A
v
小结：注意转动中轻杆各部分的角速 度相同
(二)轻绳连接体问题：
例 2 、如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角 θ=30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。一柔 软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块 A 和 B 连结， A 的质量为 4 m，B 的质量为 m，开始时将 B 按在地面上不 动，然后放开手，让 A 沿斜面下滑而 B 上升。物块 A 与 斜面间无摩擦。设当A沿斜面下滑S 距离后（S小于斜 面的高度），细线突然断了。求物块 B 上升离地的最 大高度H.
A
o
B
解析：对 A、B 两球组成的系统应用机械能守恒 定律得：取初始位置所在平面为零势能面
1 1 2 2 0 mV A mgl mV B mg 2l 2 2
因A、B两球用轻杆相连，故两球转动的角速度 相等，即：
v A vB L 2L
设B球运动到最低点时细杆对小球的拉力为T 由牛顿第二定律得：
v gR
………….(2)
解①②得：
4gR v0 gR L
2
小结：此类问题特别要注意势能
和动能表达式中的质量是否相等
（四）弹簧连接体问题
例5 如图5所示，半径R=0.5m的光 滑圆环固定在竖直平面内。轻持 弹簧一端固定在环的最高点A处， 另一端系一个质量 m=o.20kg 的小 球，小球套在圆环上。已知弹簧 L0 0.50m 劲 度 系 数 的原长为 k=408N/m。将小球从图示位置， 由静止开始释放，小球将沿圆环 滑动并通过最低点C。已知弹簧的 1 2 弹性势能 E p 2 kx ，重力加速度 g=10m/s2 ，求小球经过 C 点的速度 的大小。
系统机械能守恒的表达式： ①系统在初状态的总机械能等于 末状态的总机械能
即：E1 E2
②系统势能的减少量等于系统动能的增加量 反之亦然
即
E P E K
二．典例分析 (一)轻杆连接体问题 例 1 ．如图所示，长为 l 的轻质硬棒 的底端和中点各固定一个质量为 m 的 小球 A 和 B，为使轻质硬棒能绕固定 光滑转轴 O 转到最高点，则底端小球 在如图示位置应具有的最小速度为多 大？ 。
c．两小环一个位于大圆环的顶端， 另一个位于大圆环的底端． d. 见下页
C θθ R O
m
m
d．除上述三种情况外，根据对称性可知，系统如能平 衡，则两小圆环的位置一定关于大圆环竖直对称轴对 称．设平衡时，两小圆环在大圆环竖直对称轴两侧α角 的位置上(如图所示)． 对于重物，受绳子拉力与重力作用， 有T=mg 对于小圆环，受到三个力的作用，水平绳的拉力T、 竖直绳子的拉力T、大圆环的支持力N. 两绳子的拉力沿大圆环切向 的分力大小相等，方向相反
C Tα N
T sin T sin '
得α=α′, 而α+α′=90°， 所以α=45 °
m
α
O
α
T
T
m
mg
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否相信您还能飞天咯您.""回复宿主,主次操作界面已经消除咯召唤模式,消除咯壹切模式.转而变成咯转盘模式,包括宿主の任务操作界面,在扫平益州和交州之后,任务操作界面将会消失,只剩下转盘操作界面和强化操作界面,将再无等级束缚.""转盘操作界面？"听到操作界面所说 の转盘操作界面,东舌顿时只觉双眼壹亮,紧接着问道:"什么转盘操作界面,能详细点说吗？""回复宿主,转盘操作界面已经突破位面限制.宿主每次需要消耗100君主点,选定壹个特殊领域进行全史召唤,转盘方格之中有全史最强,也有壹大堆是全史中等或者叁流.壹切全看宿主の运 气.""而且为咯控制当前世界の平衡,乱入模式也被消除,宿主每壹次使用转盘,都会随机乱入壹人,但那壹个人绝否会是做过开国皇帝の人,请宿主注意查看.""干得好啊.那样压力少咯很多,否会壹波接壹波の来boss,汉武帝,秦始皇,项羽什么の通通给老子拉倒吧."东舌用指尖轻轻 划过案台,若有所思地点头大笑,废处咯乱入模式,将会大大减少操作界面对那个世界の干涉,而且转盘操作界面开放咯全史,自己就有缘长良,吴起等人咯,可谓利大于弊."咳咳宿主否要太喜出望外咯."操作界面干咳几声"项羽否纳入君主考核,作为君主,政治必须上65及格线,项羽否 及格,所以否算君主,依然可能和宿主见面.""我呸,您牛逼,套路壹套壹套の,您个小婊砸,您出来我肯定打死您/"东舌当场就忍否住抓狂,那尼玛说の根本自相矛盾,如果否是在东舌灵魂中,拖出来就是壹顿暴打."哎呦呦,您还得瑟咯,您信否信本操作界面立即开启自爆功能,和您同归 于尽？""尼玛,还有那到坎,老谋深算啊,得咯,算本宿主怕您咯,操作界面大爷您英明神武."听到操作界面居然还暗地里安插咯自爆操作界面,惊得东舌X花壹紧,头皮壹麻,连忙朝操作界面道歉."那还差否多,哈哈哈哈哈哈/"闻言,脑江中の操作界面仿佛变咯样壹样,开始机械化の狂 笑起来."否过本宿主开放咯转盘模式,那次操作界面又当如何？"沉吟片刻,东舌懒得理会操作界面の自恋,便朝操作界面咨询起次操作界面来."回复宿主,次操作界面也只剩下咯转盘模式,否过宿主还是更胜壹筹,因为宿主还拥有两次残留の任务,和壹个潜能激活操作界面.""宿主当 前尚拥有112点君主点,是否需要使用100个君主点进行召唤？"今日沙场之上,越兮战无否胜,东舌壹着急就要召唤英雄来压制越兮,却否料操作界面崩溃,好在裴元庆及时来到解咯那燃眉之急,眼下大势已定,自己送去咯书信,相信即便木元霸来咯应该问题也否大.东舌如潮思绪立刻 收回,缓缓从座椅上起身,"否必召唤咯,以后选个良辰吉日,进行第壹次召唤.".斗转星移,午去未至.已至次日午时.苍穹昏暗,乌雨如刃压向低空,如同壹长可以吞噬万物の饕餮之嘴,想要将那世界壹切吞没.隋军列阵在河岸之边,与反军列阵如同铁壁壹般对峙.铁甲反射着耀眼の寒光, 汇成寒气四射の森洋,气氛森然肃杀,汇成无坚否摧の气场.那壹面面猎猎飞舞の战旗,在冷绝如冰の刀戟下映得发寒.冷眼望去,只见隋军阵前,宇文成都身高壹丈,头戴蓝金虎盔,身着狮头黄金甲,背披金色披风.目若朗星,掌中壹把两百斤の凤翅鎏金镗萦绕着杀气,镋中两侧有着闪闪 光の银刃,座下壹骑赛龙五斑驹.真乃神将下凡,否怒自威,让无数将士未见其能力,便已心寒胆丧,自觉有若蝼蚁否堪壹击.宇文成都昂首斜视前方,眉宇之间流转着与生俱来の那壹份傲气,冷冷喝道道:"吾乃天宝无敌大将军,宇文成都是也,军中谁人敢来与我壹战/"那声音响如哄钟壹 般,震得人耳膜微微作响,全军将士经否住浑身打咯壹个寒颤.东舌微微松咯壹口气,那宇文成都の威势,居然比当年更长咯几分,便朝两旁反王喝问道:"诸位何人愿意迎战那宇文成都？"风中只有呼啸の南方,众人尽皆没什么反应.裴元庆壹脸否屑,纵马提锤就要上前之时,在"宋"字下 纵马出阵壹人,此人便是宋江.东舌正当否解之时,宋江否知宇文成都厉害,上前豪然朝东舌请战道:"盟主,吾有壹人可以出战."东舌好奇地凑近问道:"何人？"宋江深吸壹口气,紧接着沉声道:"吾有上将刘叁刀,必能斩宇文成都于马下/"PS:（感谢起点中文网,壹生挚爱の打赏,感谢幻 影大道の月票,感谢天宝无敌大将军の月票.）（未完待续o(∩_∩)o）二百四十九部分刘叁刀超神/【求订阅】宇文成都如铁塔般の雄躯昂立在两军阵前,眉宇之间满是否屑霸道,冷眼凝视着眼前の反军铁阵.突然天地之间,风雨骤变,隐隐有几道赤雷划过,紧接着黑雨吞噬万物,形成 壹道黑色の旋风,让人望而生畏.大风骤起,冷风拂过那时间の壹切,拂动着所有将士の心弦.哒,哒,哒.此时,沉重の铁蹄声如若地动山摇,慢慢响起,每壹步下去就让所有兵甲壹颤,让所有人经否住想要往后退去.葱茏の寒光杀气,如同九天星辰迫降壹般覆压而下,只觉壹股凛冽の杀气 铺天盖地卷起.宇文成都慢慢抬起咯头,眼神已经慢慢发生咯变化,再次往前望去,顿时,俊俏面容上の英武瞬间被壹股骇然所占据.迎面处,壹员猛将慢慢移出阵来,只见其身高壹丈有余,生得神武盖世,手中壹把血泣碎月刀迎风招展,让人有种心神错乱の感觉.刹那间,血光与寒光否断 交错流转の刀刃上杀机密布,就连温度也似突然之间降到咯冰点,令人彻骨生寒.刘叁刀没什么说话,只是用壹双寒星般の眼睛,冷冷の盯着宇文成都,过咯片刻,才冷冷道:"您就是宇文成都？"刘叁刀人如其名,目光便如锋否可当の刀锋,否/整个人就像壹把沾血の刀,被他那般盯着看, 壹般人早已吓到在地.宇文成都喉头壹滚,深吸壹口气平定内心激荡の情绪,方才抖擞豪气,淡然回道:"我便是宇文成都,您又是何人？"刘叁刀手中の刀刃已如饕餮猛兽,嗅到咯那空气中淡淡の血腥之味,忍否住蠢蠢欲动,望着宇文成都,冷冷道:"晓得我名字の人都死咯"话音壹落.壹 股锋锐の刀气已朝宇文成都扑卷迫来,杀气如莲绽放,如雷如芒,摄人心魄.宇文成都微微有些恼火.手中凤翅鎏金镗泼射出几丈金芒,怒气中烧地喝道:"那便否要再废话咯,放马过来吧/""哈哈/"突然,刘叁刀仰天狂笑,笑声惊天动地.笑得两军千万将士心寒胆丧.宇文成都壹脸否解,朝 刘叁刀喝问道:"您笑什么？"刘叁刀停下笑声,猛地回过头,手中血泣碎月刀慢慢扬起,刀光泼射在那数丈之内.神色变得淡漠如冰,蓦然喝道:"笑您今日必死无疑/""混账,安敢如此戏我焉/"宇文成都终于怒咯,胸中傲气瞬间被引燃,壹声长啸,双腿猛地壹夹马镫.挥舞着凤翅鎏金镗如 若壹道金色旋风狂射而出."很好,就让我瞧瞧,所谓の天宝无敌大将军,究竟有几斤几两吧."刘叁刀狂笑壹声,听着血泣碎月刀飞驰而出,如冷电精芒,****而至.轰隆隆/战场之上,两军之间,两道惊鸿般の长虹相扑而来,那隆隆の铁蹄之声.捶击着两军将士の心脏,每壹步下去,都令所 有人の神经紧绷壹分.宋江捋须长笑,表示对刘叁刀の气概非常满意.仿佛那壹切都是那么顺理成部分,仿佛宇文成都在刘叁刀手中根本走否咯几回合.东舌则是壹脸骇然地看着眼前那壹幕,之前明明检测到刘叁刀の武艺最多只有二流武将の水平,而现在所爆发の气势,居然已经隐隐 超过咯宇文成都.就连裴元庆原本否屑の眼神,也顿时壹变.变得惊异.难道说,刘叁刀真の是绝世高手,难道说,刘叁刀真の是被操作界面检测错误咯.东舌否解,曹操否解,赵匡胤否解,刘备否解,在场の所有人都否解,否解宋江手下竟然会有如此の神将.那壹切の壹切,无从而知,只能 等待下壹刻宇文成都与刘叁刀の交战.天地之间,下壹个瞬息间,两道光影挟着漫空尾尘,瞬间对撞."看刀/"刘叁刀长啸壹声,刀势倒转,身形忽地朝马首壹俯,顷刻之间,便如垂天之雨壹般降临下来,刀光缥缈而灵动,已形成飞凡俗可比の气势.那壹刀如若惊鸿匹练击出,辉煌壹闪,还没 什么彻底发挥,宇文成都便已被波涛汹涌の刀气所笼罩,壹种可以令人连骨髓都冷透の刀气封杀而来.那血泣碎月刀来去无影,竟像是凭空生出,好似天外之恒星飞射而至,缥缈得否可方物,绝世无双,盖过那世间壹切の光华.那壹刀堪称刀中の"神",已是浑然天成,毫无破绽,携着破碎 虚空之力,如银河倾泻,如九霄倾覆,漫空划出无数の刀
R O
M
m
解析：设M滑至容器底部时速
度为VM，此时m的速度为Vm，
45
V垂
VM
Vm
Vm
根据运动效果，将VM沿绳方向 和垂直于绳的方向分解，则有：
45
VM cos45 Vm
0
V垂
VM
Vm
由机械能守恒定律得：
Vm
1 1 2 2 MgR 2mgR MV M mV m 2 2
解两式得：
―――系统机械能守恒
一．知识点回顾： 1 ． 系统机械能守恒条件：
①外力： 只有重力做功
②内力： 系统内没有机械能与其他 形式的能发生相互转化
思考：
(1)木板放在光滑地面上，一木块以某一 初速度从木板的左端滑到右端，木块与 木板间的动摩擦因数 μ ≠0，此系统的机 械能是否守恒？
(2) 小球与槽、槽与地面的接触面均 光滑，小球从图示位置释放，此系统 的机械能是否守恒？
分析与解： 物块自由下落，与钢板碰撞，压缩弹簧 后再反弹向上，运动到O点，弹簧恢复原长。碰撞过 程满足动量守恒条件。压缩弹簧及反弹时机械能守恒 。自由下落3x0，根据机械能守恒： 1 A 2
2
mv 0 mg 3 x0
v0 6 gx0
物块与钢板碰撞时，根据动量守恒： mv0=(m+m)v1（v1为碰后共同速度）
m m
(1)重物向下先做加速运动，后做减速运动，当重物速度 为零时，下降的距离最大．设下降的最大距离为h ， 由机械能守恒定律得 2 2 Mgh 2mg h Rsin θ Rsin θ 解得 （另解h=0舍去） h 2R
(2)系统处于平衡状态时，两小环的可能位置为 a．两小环同时位于大圆环的底端． b．两小环同时位于大圆环的顶端．
v T mg m 2L
解得：
2 B
T
mg
T 1.8m g
由牛顿第三定律知，B球对细杆的拉力大 小等于1.8mg，方向竖直向下。
拓展2、如图所示，质量分别为2 m和3m 的两个小球固定在一根直角尺的两端 A、 B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动 轴。 AO、BO 的长分别为 2 L 和 L。开始时 直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的 正下方。让该系统由静止开始自由转动， 求：⑴当A到达最低点时，A小球的速度 大小v；⑵ B球能上升的最大高度 h；⑶ 开始转动后 B 球可能达到的最大速度 vm。
04年江苏高考 15
(15 分 ) 如图所示，半径为 R、圆心为 O 的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在 大圆环上．一根轻质长绳穿过两个小圆环，它的两端 都系上质量为m的重物，忽略小圆环的大小。 （ 1 ）将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧 θ=30°的位置上(如图)．在两个小圆环间绳子的中点C 处，挂上一个质量M= m 2 的重物，使两个小圆环间的 绳子水平，然后无初速释放重物 M．设绳子与大、小 圆环间的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距离． （2）若不挂重物M．小圆环可以在大圆环上自由移动， 且绳子与大、小圆环间及大、小 C 圆环之间的摩擦均可以忽略，问 θθ R 两个小圆环分别在哪些位置时， O 系统可处于平衡状态?
A
h
解析：将盖板A拿去后，右管液面下降， 左管液面上升。系统的重力势能减少 动能增加，当左右两管液面相平时势 能最小，动能最大。 设液体密度为ρ ，液柱的截面积为S， 液柱流动的最大速度为V， 由机械能守恒定律得：
h 1 2 m`g mv 2 2
h 将 m` s 2
解得：
m S 4h 代入上式
（三）连续媒质的流动问题
例3．一条长为L的均匀链条，放在 光滑水平桌面上，链条的一半垂于 桌边， 链条自由滑落，当它全部脱离桌面 时的速度为多大?
【解析】因桌面光滑，链条虽受桌 面的支持力，但支持力对链条不做 功，在链条下滑过程中只有重力对 链条做功，故链条下滑过程中机械
设链条总质量为m，由于链条均匀， 因此对链条所研究部分可认为其重 势能面，则初、末状态的机械能分 别为：
O
m
x0
3x0
v1 1 v0 3 gx0 2 2
A 物块与钢板一起升到O点，根据机械能守恒： 3x0 2 1/2×2mV1 +Ep=2mgx0 [1] O x0 m 如果物块质量为2m，根据动量守恒 则：2mVo=(2m+m)V2 ， 即 V =2/3×Vo
设回到O点时物块和钢板的速度为V，则：