信号的时频分布及性质

信号的时频分布及性质
对信号时频分析的意义：
•真实世界中存在大量的时变频谱现象。

•无论是信号的时域，还时频域表示均不能事物的全貌。

例：
•音乐
•雷达信号
•通讯信号
•视频和图像
•……
时频分布的基本思想：•建立一个函数，使其能够同时用时间和频率来描述信号的能量密度分布。

•这个函数还能提供计算能量密度分布的方法。

(,)(,)(,)P t P t t P t t t t ωωωωωωω=∆∆=∆∆构造，使其：
在时刻和频率信号的能量密度（强度）。

在时刻和频率，时频单元内信号的能量。

能量密度分布的条件：•边缘条件：
2
2(1)(,)|()|ˆ(2)(,)|()|P t d s t P t dt s ωωωω==∫∫ （瞬时能量） （能量频谱）
能量密度分布的条件：•总能量：
22(,)|
()|ˆ|()|E P t dtd s t dt
s d ωωωω==∫∫∫∫＝
时间和频率位移不变性•时域位移不变性
00()()
(,)(,)s t s t t P t P t t ωω→−→−若 则 00()()
(,)(,)s s P t P t ωωωωωω∧∧
→−→−若 则 •频域位移不变性
0000()()
(,)(,)
j t s t e s t t P t P t t ωωωω→−→−−若
则
线形尺度变换：()()
(,)(,/)s t as at P t P at a
ωω=→̃̃线形尺度变换：若 则
瞬时频域与群延迟：
(1)()()(,)/(,)(2)()()(,)/(,)i g t t P t d P t d t tP t dt P t dt ωϕωωωωωωψωωω′==′=−=∫∫∫∫瞬时频率
群延迟
有限支撑：
对信号我们希望信号有有限的时宽和带宽。

我们也希望这类信号的时频分布在信号的支撑区外为零。

ˆ()()(,)0,()ˆ()s t s
P t t s t s
ωωωω=弱有限支撑：
在和的支撑区外，信号的时频分布为零。

若不属于的支撑区
不属于的支撑区ˆ()0()0ˆ(,)0,()0()0s t s
P t s t s
ωωω=强有限支撑：
在＝或＝时外，信号的时频分布为零。

若＝，或＝
•时频均是有限支撑信号不存在。

ˆ()()ˆ()()s t s s s t ωω若具有有限支撑，则不能在某个区间
为零。

类似，若具有有限支撑，则不
能在某个区间为零。

证明：（略，作业）
时频分布的线性和二次叠加原理：•线性时频分布：
1212(,)(,)(,)
s s s s P t P t P t ωωω+=+？
•二次型时频分布：
1222
12**
12,21,()()()(,)||(,)||(,)
(,)(,)
z x y x y y x z t c x t c y t P t c P t c P t c c P t c c P t ωωωωω=+=+++若
则信号项交叉项
典型的时频分布：
•线性：
短时傅立叶变换；分数阶傅立叶变换；小波变换
•二次型分布：
wigner_Ville分布。