高一必修五数学数列全章知识点(完整版)
高一数学必修5:数列(知识点梳理)
第二章:数列一、数列的概念1、数列的概念:一般地,按一定次序排列成一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项,数列的一般形式可以写成a a a a n ,,,,,123,简记为数列a n {},其中第一项a 1也成为首项;a n 是数列的第n 项,也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集*N (或它的子集)的函数,当自变量从小到大取值时,该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类:按数列中项的多数分为:(1) 有穷数列:数列中的项为有限个,即项数有限; (2) 无穷数列:数列中的项为无限个,即项数无限.3、通项公式:如果数列a n {}的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成=a f n n (),那么这个式子就叫做这个数列的通项公式,数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征:一般地,一个数列a n {},如果从第二项起,每一项都大于它前面的一项,即>+a a n n 1,那么这个数列叫做递增数列;高一数学必修5:数列(知识点梳理)如果从第二项起,每一项都小于它前面的一项,即1n n a a +<,那么这个数列叫做递减数列; 如果数列的各项都相等,那么这个数列叫做常数列.5、递推公式:某些数列相邻的两项(或几项)有关系,这个关系用一个公式来表示,叫做递推公式.二、等差数列1、等差数列的概念:如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的差是同一个常数,那么这个数列久叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=(常数),这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式:设等差数列的首项为1a ,公差为d ,则通项公式为:()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项:(1)若a A b 、、成等差数列,则A 叫做a 与b 的等差中项,且=2a bA +; (2)若数列为等差数列,则12,,n n n a a a ++成等差数列,即1n a +是与2n a +的等差中项,且21=2n n n a a a +++;反之若数列满足21=2n n n a a a +++,则数列是等差数列.4、等差数列的性质:(1)等差数列中,若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+,若2m n p +=,则2m n p a a a +=;(2)若数列和{}n b 均为等差数列,则数列{}n n a b ±也为等差数列;(3)等差数列{}n a 的公差为d ,则{}0n d a >⇔为递增数列,{}0n d a <⇔为递减数列,{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S :(1)数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈;(2)数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系:11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩(3)设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ,则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前n 和的性质:(1)等差数列{}n a 中,连续m 项的和仍组成等差数列,即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等差数列(即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列);(2)等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时,n S 可看作关于n 的二次函数,且不含常数项;(3)若等差数列{}n a 共有2n+1(奇数)项,则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n (偶数)项,则1==.n nS a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题:设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ,则(1)100a d ><且(即首正递减)时,n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和; (2)100a d <>且(即首负递增)时,n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列1、等比数列的概念:如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的比是同一个不为零的常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 表示(0q ≠).即()1n na q q a +=为非零常数,这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式:设等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为q ,则通项公式为:()11,,n n m n m a a qa q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项:(1)若a A b 、、成等比数列,则A 叫做a 与b 的等比中项,且2=A ab ; (2)若数列{}n a 为等比数列,则12,,n n n a a a ++成等比数列,即1n a +是与2n a +的等比中项,且212=n n n a a a ++⋅;反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅,则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质:(1)等比数列{}n a 中,若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅,若2m n p +=,则2m n p a a a ⋅=;(2)若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列,则数列{}n n a b ⋅也为等比数列;(3)等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为q ,则{}1100101na a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列,{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列, {}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和:(1)数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈;(2)数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系:11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ (3)设等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为()0q q ≠,则()11,1.1,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知,已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个,便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质:设等比数列{}n a 中,首项为1a ,公比为()0q q ≠,则 (1)连续m 项的和仍组成等比数列,即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等比数列(即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列);(2)当1q ≠时,()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------, 设11a t q =-,则n n S tq t =-.四、递推数列求通项的方法总结1、递推数列的概念:一般地,把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系,把表达递推关系的式子叫做递推公式,而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.2、两个恒等式:对于任意的数列{}n a 恒有:(1)()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-(2)()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈3、递推数列的类型以及求通项方法总结: 类型一(公式法):已知n S (即12()n a a a f n +++=)求n a ,用作差法:{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥类型二(累加法):已知:数列的首项,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈,求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3,……,n-1,可得到下面n-1个式子:()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-可得:()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三(累乘法):已知:数列的首项,且()()1,n na f n n N a ++=∈,求n a 通项. 给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3,……,n-1,可得到下面n-1个式子: ()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得: ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-类型四(构造法):形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1(q p b k ,,,为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后,再求n a 。
高中数学必修5数列全章知识回顾
必修5数列全章知识回顾一.数列的概念:数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n })的特殊函数,数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
如(1)已知*2()144n na n N n =∈+,则在数列{}n a 的最大项为__ (2)数列}{n a 的通项为1n na n =+,则n a 与1+n a 的大小关系为___二.等差数列的有关概念:1.等差数列的判断方法:定义法1(n n a a d d +-=为常数)或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。
例如设{}n a 是等差数列,n S 是前n 项和,求证:以b n =n Sn(*n N ∈)为通项公式的数列{}n b 为等差数列。
2.等差数列的通项:1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。
如(1)等差数列{}n a 中,1030a =,2050a =,则通项n a =(2)首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是______3.等差数列的前n 和:1()2n n n a a S +=,1(1)2n n n S na d -=+。
如 (1)等差数列 {}n a 中,公差12d =,32n a =,前n 项和152n S =-,则1a =_,n =_(2)已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-①求数列通项n a ; ②求数列{||}n a 的前n 项和n T4.等差中项:若,,a A b 成等差数列,则A 叫做a 与b 的等差中项,且2a bA +=。
提醒:(1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、d 、n 、n a 及n S ,其中1a 、d 称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2a d a d a a d a d --++…(公差为d );偶数个数成等差,可设为…,3,,,3a d a d a d a d --++,…(公差为2d ) 三.等差数列的性质:1.当公差0d ≠时,等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数,且斜率为公差d ;前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.2.若公差0d >,则为递增等差数列,若公差0d <,则为递减等差数列,若公差0d =,则为常数列。
必修5第一章数列知识点总结
数列知识点总结一、等差数列与等比数列等差数列 等比数列定义 1+n a -n a =dnn a a 1+=q(q ≠0) 通项公式 ()111()na a n d dn a d An B =+-=+-=+111n n n n aa a q q k q q -==⋅=⋅(q ≠0)通项公式的变形n a =1-n a +d, n a =m a +(n-m)d d=n m a nm --a (m ≠n), 1a 1--=n a d n (n ≠1)n a =1-n a q n a =m a m n q -,11n n a q a -=,n m n ma q a -=中项 b A a b a A ,,2⇔+=成等差数列 b G a ab G ,,2⇔=成等比数列前n 项和 ()12n nn a a S +=()22111()222n n n d d S na d n a n An Bn -=+=+-=+ ()()()11111111n n n na q S a q a a qq q q =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩ 性质 (1)若{}n a 是等差数列且m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+;特别的,若2n p q =+则2n p q a a a =+ (2)232n n n n n S S S S S --,,……仍为等差数列,公差为d n 2;(3){}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+(a b,为常数,是关于n 的常数项为0的二次函数)(4)n S An B n =+⇒n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.(5)若}{},{n n b a 是等差数列,且前n 项和分别为n n S T ,,则2121m m m m a S b T --= (6)d>0递增数列d<0递减数列d=0常数数列(1){}na 是等比数列,若m n p q +=+,则mn p q a a a a =·· 特别的,若2n p q =+则2n p q a a a =⋅ (2)232n n n n n S S S S S --,,……仍为等比数列,公比为nq(3) 数列{}n a 是等比数列(q ≠1)⇔数列{}n a 前n 项和S n =,(1,0)n A q A q A ⋅-≠≠(4){}n a 是递增数列⇔⎩⎨⎧>>101q a 或⎩⎨⎧<<<1001q a {}n a 是递减数列⇔⎩⎨⎧<<>1001q a 或⎩⎨⎧><101q a二、判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:1、数列是不是等差数列有以下三种方法:①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n ) ; ③b kn a n +=(k n ,为常数).2、数列是不是等比数列有以下四种方法:①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n②112-+⋅=n n na a a (2≥n ,011≠-+n n n a a a );;③n n cq a =(q c ,为非零常数). ④正数列{n a }成等比的充要条件是数列{n x a log }(1 x )成等比数列.三、求数列通项公式的方法1、给出数列的前几项,求数列的一个通项公式——观察法。
最新人教版高中数学必修五《数列》基础知识要点总结
4、数列求和的常用方法
①公式求和法:公式法是数列求和的最常用方法之一,可直接利用等差数列、等比数列的求和公式,也可利用常见的求前 项和的公式,如: ;
据调查,大学生对此类消费的态度是:手工艺制品消费比“负债”消费更得人心。在等比数列 公比为 中,若 , ,则 , , ,…, ,…构成一个公比为 的等比数列。
8、性质4
若数列 与 分别是公差为 和 的等差数列,则数列 ( , 是常数)是公差为 的等差数列。
若 和 分别是公比为 和 的等比数列,则数列 , 仍是等比数列,它们的公比分别为 , 。
②根据数列项的大小变化分——递增数列、递减数列、常数列、摆动数列
5、数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项),且任一项与它的前一项(或前n项)间的关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个数列的递推公式。
6、数列前n项和的定义
一般地,我们称 为数列 的前 项和,用 表示,即
二、等差数列与等比数列
当 时, 或
11、前n项和的性质1
①当 时, ,是关于 的一个缺少常数项的一次函数,数列 图象是直线 上一群孤立的点;
②当 时, ,是关于 的一个缺少常数项的二次函数,数列 图象是抛物线 上一群孤立的点。
①当 时, ,数列 的图象是函数 上的一群孤立的点;
②当 时, ,设 ,则 ,此时,数列 的图象是函数 的图象上一群孤立的点。
9、等差(比)数列的单调性
①若 ,则 为递增数列;
②若 ,则 为递减数列;
③若 ,则 为常数列。
①当 时, 为常数列;
②当 时, 为摆动数列;
③当 , 时, 为递增数列;
④当 , 时, 为递减数列;
高中数学必修5 数列知识点
必修5.2.1 数列及其相关概念二.重要题型1.“知三求二”原则例1.(1)在等差数列{}n a 中, 已知153,,562n n a a S ==-=-,求,n d ; (2)在等差数列{}n a 中,已知2,5,35n d n S ===,求1,n a a ; (3)在等比数列{}n a 中,已知11,32,63,n n a a S ===,求,n q ;2、列二元方程组求1,a d 或者1,a q ;例2.(1)在等比数列{}n a 中,若1346510,,4a a a a +=+=求45,a S (2)(2013北京)在等比数列{}n a 中,若243520,40,a a a a +=+=求,n q S(3)在等差数列{}n a 中,451,10,a S ==求n S 的最大值及对应n 的值。
练习1. 在等差数列{}n a 中,3913,45,a S =-=-问n S 是否存在最大值或最小值。
若存在,求出其最值及对应n 的值。
2.在等比数列当{}n a 中,212a a -=且22a 是13a 和3a 的等差中项,求该数列的前n 项和。
总结:1.必须已知条件是可以列两个关于1,a d 或1,a q 的方程.2.公式选择:求1,a d 时11(1)(1)2n n a a n dn n S na d =+--=+⎧⎪⎨⎪⎩,求1,a q 时11(1)1n n n n a aq a q S q -=-=-⎧⎪⎨⎪⎩3.等差数列{}n a 中,求最值时使用2n S An Bn =+的二次函数的最值决定。
必修5.2.2 求数列通项公式的常见方法一.公式法:已知n a 是等差或等比数列例1.(1)已知数列1,1,3,5,7,----⋅⋅⋅依次下去,求数列的通项公式,请问-89是该数列的项吗?(2)已知等比数列{}n a 中,已知312n n S -=,求n a .二.已知n S 求n a例2.已知数列{}n a 中,已知5n n S =求1,n a a ;练习21.已知数列{}n a 中,0n a >,且2(1)4n n a S +=,求n a2.已知数列{}n a 中,且n n a S n +=,(1)设1n n c a =-,求证:{}n c 是等比数列; (2)求n a三.或常数d )例3、已知数列n 中,且112,21n n a a n +==+-,求n a练习3.1.已知数列{}n a 中,且111,21n n n a a a +==++,求n a2.已知数列{}n a 中,121,2a a ==且2122n n n a a a ++=-+, (1)设1n n n b a a +=-,求证{}n b 是等差数列. (2)求n a四.或常数q ) 例4.已知数列{}n a 中,且12131,,(2)2n n a a na n a +===+,求n a ; 练习4.已知等比数列{}n a 中,首相为1a ,公比为q ,求证:11n n a a q -=;五.递推公式法:1n n a Aa B +=+(,A B 为常数)此种形式的递推公式,一定可以化成:公比q A =的等比数列{}n a λ+(λ为常数),所以这种题目我们可以先设数列为:1n n a A a λλ++=+(或1()1n n B a A a A λλλ++=+⇒=- 例5.(2014全国)已知数列{}n a 中,且111,31n n a a a +==+,求n a练习5.已知数列{}n a 的前n 项和2142n n n S a -=--,(1)设1n a +与n a 的关系;(2)求n a必修5.2.3 求数列前n 项和的常见方法一.1.等差数列:12n n S =或1(1)2n n n S na d -=+;2.等比数列:1(1)1n n a q S q-=-或1(1)1n n a a qS q q -=≠-;1(1)n S na q == 3.2222(1)(21)1236n n n n +++++⋅⋅⋅+=4.223333(1)1234n n n ++++⋅⋅⋅+=例1.(2014重庆)已知{}n a 是首相是1,公差为2的等差数列,n S 是{}n a 的前n 项和,(1)求,n n a S ;(2)设{}n b 是首项是2,公比q 满足244(1)0q a q S -++=,求{}n b 的通项公式和前n 项和。
人教版高中数学必修五《数列》基础知识要点总结
5、数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项),且任一项与它的前一项(或前n项)间的关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个数列的递推公式。
6、数列前n项和的定义
一般地,我们称 为数列 的前 项和,用 表示,即
二、等差数列与等比数列
第二章《数列》基础知识小结
一、数列的概念与表示方法
1、数列的概念
按照一定顺序排列的一列数叫做数列。
2、数列的通项公式
如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
3、通项公式的作用
①求数列中任意一项;
②检验某数是否是该数列中的一项.
4、数列的分类
①根据数列项数的多少分——有穷数列、无穷数列
2、等差(比)中项
由三个数 , , 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。这时, 叫做 与 的等差中项.
若 与 的等差中项,则 。
如果在 , 两个数中间插入一个数 ,使 , , 成等比数列。这时, 叫做 与 的等比中项.
①、 与 是两个同号的非零实数
②、若 是 与 的等比中项,则
3、判断等差(比)数列的方法
若 和 分别是公比为 和 的等比数列,则数列 , 仍是等比数列,它们的公比分别为 , 。
9、等差(比)数列的单调性
①若 ,则 为递增数列;
②若 ,则 为递减数列;
③若 ,则 为常数列。
①当 时, 为常数列;
②当 时, 为摆动数列;
③当 , 时, 为递增数列;
④当 , 时, 为递减数列;
⑤当 , 时, 为递减数列;
13、前n项和的性质3
数学必修五知识点
高中数学必修5知识点第一章、数列一、基本概念1、数列:按照一定次序排列的一列数.2、数列的项:数列中的每一个数.3、数列分类:有穷数列:项数有限的数列.无穷数列:项数无限的数列.递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列.10n n a a +-> 递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列.10n n a a +-< 常数列:各项相等的数列.摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.4、数列的通项公式:表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式.5、数列的递推公式:表示任一项n a 与它的前一项1n a -(或前几项)间的关系的公式.二、等差数列1、定义:(1)文字表示:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这个常数称为等差数列的公差. (2)符号表示:11(2)(1)n n n n a a d n a a d n -+-=≥-=≥或2、通项公式:若等差数列{}n a 的首项是1a ,公差是d ,则()11n a a n d =+-.通项公式的变形:①()n m a a n m d =+-;②n ma a d n m-=-.通项公式特点:1()na dn a d =+-),为常数,(m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。
3、等差中项若三个数a ,A ,b 组成等差数列,则A 称为a 与b 的等差中项.若2a cb +=,则称b 为a 与c 的等差中项.即a 、b 、c 成等差数列<=>2a cb +=4、等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中 (1)q p n m a a a a q p n m +=++=+,则若。
(2)d m n a a m n )(-=- (3)m n m n n a a a +-+=2 5、等差数列的前n 项和的公式公式:①()12n n n a a S +=;②()112n n n S na d -=+. 公式特征:21()22nd dS n a n =+-是一个关于n 且没有常数项的二次函数形式等差数列的前n 项和的性质:①若项数为()*2n n ∈N ,则()21n n n S n a a +=+,且S S nd -=偶奇,1n n S aS a +=奇偶.②若项数为()*21n n -∈N ,则()2121n n S n a -=-,且n S S a -=奇偶,1S nS n =-奇偶 (其中n S na =奇,()1n S n a =-偶).③n S ,2n n S S -,32n n S S -成等差数列. 6、判断或证明一个数列是等差数列的方法:①定义法:)常数)(*+∈=-N n d a a n n (1⇒{}n a 是等差数列②中项法:)221*++∈+=N n a a a n n n (⇒{}n a 是等差数列③通项公式法:),(为常数b k bkn a n +=⇒{}n a 是等差数列④前n 项和公式法:),(2为常数B A BnAn S n +=⇒{}n a 是等差数列三、等比数列1、定义:(1)文字表示:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这个常数称为等比数列的公比. (2)符号表示:1n na q a +=(常数) 2、通项公式 (1)、若等比数列{}n a 的首项是1a ,公比是q ,则11n n a a q -=.(2)、通项公式的变形:①n mn m a a q-=;②n mnma qa -=. 3、等比中项:在a 与b 中插入一个数G ,使a ,G ,b 成等比数列,则G 称为a 与b 的等比中项.若2G ab =,则称G 为a 与b 的等比中项.注意:a 与b 的等比中项可能是G ±。
高中数学必修5数列全章知识回顾
必修5数列全章知识回顾一.数列的概念:数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n })的特殊函数,数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
如(1)已知*2()144n na n N n =∈+,则在数列{}n a 的最大项为__ (2)数列}{n a 的通项为1n na n =+,则n a 与1+n a 的大小关系为___二.等差数列的有关概念:1.等差数列的判断方法:定义法1(n n a a d d +-=为常数)或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。
例如设{}n a 是等差数列,n S 是前n 项和,求证:以b n =n Sn(*n N ∈)为通项公式的数列{}n b 为等差数列。
2.等差数列的通项:1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。
如(1)等差数列{}n a 中,1030a =,2050a =,则通项n a =(2)首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是______3.等差数列的前n 和:1()2n n n a a S +=,1(1)2n n n S na d -=+。
如 (1)等差数列 {}n a 中,公差12d =,32n a =,前n 项和152n S =-,则1a =_,n =_(2)已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-①求数列通项n a ; ②求数列{||}n a 的前n 项和n T4.等差中项:若,,a A b 成等差数列,则A 叫做a 与b 的等差中项,且2a bA +=。
提醒:(1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、d 、n 、n a 及n S ,其中1a 、d 称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2a d a d a a d a d --++…(公差为d );偶数个数成等差,可设为…,3,,,3a d a d a d a d --++,…(公差为2d ) 三.等差数列的性质:1.当公差0d ≠时,等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数,且斜率为公差d ;前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.2.若公差0d >,则为递增等差数列,若公差0d <,则为递减等差数列,若公差0d =,则为常数列。
数学数学必修5数列总结
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第二章 数列
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(3)各项的分母分别是 22,23,24,25,…,分子比分母小 1. ∴数列的通项公式为 an=2n2+n1+-1 1. (4)各项可看作 21=2×10+1,203=2×100+3,2 005= 2×1 000+5,20 007=2×10 000×7. ∴数列的通项公式为 an=2×10n+(2n-1).
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2.分组化归法 将数列的每一项拆成多项,然后重新分组,将一般数列求 和问题转化为特殊数列求和问题,我们将这种方法称为分组化 归法,运用这种方法的关键是将通项变形.
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求数列 1 12,3 14,5 18,…,2n-1+21n的前 n 项和. 解析: Sn=1 12+3 14+5 18+…+2n-1+21n =(1+3+5+…+2n-1)+12+14+18+…+21n =1+2n2-1·n+1211--1212n =n2+1-21n.
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所以数列{Sn2}是以 S12=a12=1 为首项,公差 d=1 的等 差数列,
即 Sn2=1+(n-1)·1=n. ∵an>0,∴Sn>0,∴Sn= n, ∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= n- n-1. 而 n=1 时,a1=1 也适合上式, ∴{an}的通项公式 an= n- n-1.
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(6)各项可看作 1=1+0,32=12+1,13=13+0, 54=14+1,15=15+0,76=16+1,…, ∴数列的通项公式为 an=1n+1+2-1n.
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2.公式法 等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列,所谓公式 法就是分析后项与前项的差或比是否符合等差数列或等比数列 的定义,然后用等差、等比数列的通项公式表示它.
人教版高中数学必修五《数列》基础知识要点总结
9、等差(比)数列的单调性
①若 ,则 为递增数列;
②若 ,则 为递减数列;
③若 ,则 为常数列。
①当 时, 为常数列;
②当 时, 为摆动数列;
③当 , 时, 为递增数列;
④当 , 时, 为递减数列;
⑤当 , 时, 为递减数列;
3、求数列通项的常用方法
①观察法:根据数列的前几项归纳出数列的通项公式;
②公式法:利用 求通项公式
③根据递推公式求通项公式:
(1)迭代法:对于形如 型的递推公式,采取逐次降低“下标”数值的反复迭代方式,最终使 与初始值 (或 )建立联系的方法就是迭代法.
(2)累加法:形如 的递推公式可用 求出通项;
①
②
③
①
②
③
4、等差(比)数列的通项公式
①
②
③ ,其中 、 是常数
①
②
③
5、性质1
在等差数列 中,若已知 与 ,其中 ,则该数列的公差 。
若等比数列 中,公比是 ,则 。
6、性质2
在等差数列 中,若 且 、 、 、 ,则 。
特别地、在等差数列 中,若 且 、 、 ,则 。
在等比数列 中,若 ( , , , ),则 。
等差数列
等比数列
1、定义
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母 表示。
人教版高一年级数学必修五数列知识点
【一】1.數列的函數理解:①數列是一種特殊的函數。
其特殊性主要表現在其定義域和值域上。
數列可以看作一個定義域為正整數集N*或其有限子集{1,2,3,…,n}的函數,其中的{1,2,3,…,n}不能省略。
②用函數的觀點認識數列是重要的思想方法,一般情況下函數有三種表示方法,數列也不例外,通常也有三種表示方法:a.列表法;b。
圖像法;c.解析法。
其中解析法包括以通項公式給出數列和以遞推公式給出數列。
③函數不一定有解析式,同樣數列也並非都有通項公式。
2.通項公式:數列的第N項an與項的序數n之間的關係可以用一個公式an=f(n)來表示,這個公式就叫做這個數列的通項公式(注:通項公式不)。
數列通項公式的特點:(1)有些數列的通項公式可以有不同形式,即不。
(2)有些數列沒有通項公式(如:素數由小到大排成一列2,3,5,7,11,...)。
3.遞推公式:如果數列{an}的第n項與它前一項或幾項的關係可以用一個式子來表示,那麼這個公式叫做這個數列的遞推公式。
數列遞推公式特點:(1)有些數列的遞推公式可以有不同形式,即不。
(2)有些數列沒有遞推公式。
有遞推公式不一定有通項公式。
注:數列中的項必須是數,它可以是實數,也可以是複數。
【二】1.等差數列通項公式an=a1+(n-1)dn=1時a1=S1n≥2時an=Sn-Sn-1an=kn+b(k,b為常數)推導過程:an=dn+a1-d令d=k,a1-d=b則得到an=kn+b2.等差中項由三個數a,A,b組成的等差數列可以堪稱最簡單的等差數列。
這時,A叫做a與b的等差中項(arithmeticmean)。
有關系:A=(a+b)÷23.前n項和倒序相加法推導前n項和公式:Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n個)=n(a1+an) ∴Sn=n(a1+an)÷2等差數列的前n項和等於首末兩項的和與項數乘積的一半:Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)亦可得a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷nan=2sn÷n-a1有趣的是S2n-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+14.等差數列性質一、任意兩項am,an的關係為:an=am+(n-m)d它可以看作等差數列廣義的通項公式。
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(2)
(3)
巩固练习:1.在数列的前n项和为 ,则
2.数列的通项公式是 ,若前n项和为10,则项数为
3.求数列 前n项和
三.错位相减法:可以求形如 的数列的和,其中 为等差数列, 为等比数列.
例1:求和: .
例2:数列1,3x,5x2,…,(2n-1)xn-1前n项的和.
小结:错位相减法类型题均为: 连续相加。
2、已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2= ,n∈N*.
(1)令bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列;
(2)求{an}的通项公式.
3、已知数列{xn}的首项x1=3,通项xn=2np+nq(n∈N*,p,q为常数),且x1,x4,x5成等差数列.求:
(1)p,q的值;
(2)数列{xn}前n项和Sn的公式.
(1)利用观察法求数列的通项.
(2)利用公式法求数列的通项:① ;② 等差、等比数列 公式.
(3)应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项:
① ;②
(4)造等差、等比数列求通项:
1 ;② ;③ ;④ .
第一节通项公式常用方法
题型1利用公式法求通项
例1:1.已知{an}满足an+1=an+2,而且a1=1。求an。
2.已知 为数列 的前 项和,求下列数列 的通项公式:
⑴ ;⑵ .
总结:任何一个数列,它的前 项和 与通项 都存在关系: 若 适合 ,则把它们统一起来,否则就用分段函数表示.
题型2应用迭加(迭乘、迭代)法求通项
例2:⑴已知数列 中, ,求数列 的通项公式;
⑵已知 为数列 的前 项和, , ,求数列 的通项公式.
8知 是等比数列, ,则 =( )
(A)16( ) (B)16( ) (C) ( ) (D) ( )
9常数数列 是等差数列,且 的第5、10、20项成等比数列,则此等比数列的公比为 ( ) A. B.5 C.2 D.
10等差数列 的前 项和为 ,若 , ,则 ( )
A.63 B.45 C.36 D.27
3、数列 中, ,则数列 的通项 。
4、数列 中, ,且 ,则 。
5、设 是首项为1的正项数列,且 ,
则数列 的通项 .
6、数列 中, ,则 的通项 .
7、设数列 的前 项和为 ,已知 ,设 ,求数列 的通项公式.
第二节数列求和的常用方法
一公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
C.420是这个数列的第22项D.420不是这个数列中的项
3.在数列{an}中,已知a1=1,a2=5,an+2=an+1-an,则a2000=( )
A.4B.5C.-4D.-5
4.设数列{an}的首项为1,对所有的n≥2,此数列的前n项之积为n2,则这个数列的第3项与第5项的和是 ( )
A. B. C. 数列是不是等比数列有以下两种方法:
( , )
三、在等差数列{ }中,有关Sn的最值问题:(1)当 >0,d<0时,满足 的项数m使得 取最大值. (2)当 <0,d>0时,满足 的项数m使得 取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
四.数列通项的常用方法:
四.常用结论
1): 1+2+3+...+n =
2)1+3+5+...+(2n-1) =
3)
4)
5)
单元练习
一、选择题:
1.数列1,3,6,10,……的一个通项公式是( )
A.n2-n+1B. C.n(n-1)D.
2.已知数列的通项公式为an=n(n-1),则下述结论正确的是( )
A.420是这个数列的第20项B.420是这个数列的第21项
4、设 是等差数列,若 ,则数列 前8项的和为( )
A.128 B.80 C.64 D.56
5记等差数列的前 项和为 ,若 ,则该数列的公差 ()
A、2 B、3C、6 D、7
6设等比数列 的公比 ,前n项和为 ,则 ()
A. B. C. D.
7若等差数列 的前5项和 ,且 ,则 ()
(A)12(B)13(C)14(D)15
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、等差数列求和公式:
2、等比数列求和公式:
3、 4、
巩固练习:设Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求 的最大值.
二.裂项相消法:适用于 其中{ }是各项不为0的等差数列,c为常数;部分无理数列、含阶乘的数列等。
例2求数列 的前n项和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解(裂项)如:
总结:递推关系形如“ ”通过适当变形可转化为:
“ ”或“ 求解.
例5已知数列 中, ,求数列 的通项公式.
总结:递推关系形如“ ”,通过适当变形转化为可求和的数列.
强化巩固练习
1、已知 为数列 的前 项和, ,求数列 的通项公式.
2、已知数列 中, ,求数列 的通项公式.
小结:数列通项的常用方法:⑴利用观察法求数列的通项;⑵利用公式法求数列的通项;⑶应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项:① ;② (4)构造等差、等比数列求通项:① ;② ;③ ;④ .
总结:⑴迭加法适用于求递推关系形如“ ”; 迭乘法适用于求递推关系形如“ “;⑵迭加法、迭乘法公式:
①
② .
题型3构造等比数列求通项
例3已知数列 中, ,求数列 的通项公式.
总结:递推关系形如“ ” 适用于待定系数法或特征根法:
①令 ;
② 在 中令 , ;
③由 得 , .
例4已知数列 中, ,求数列 的通项公式.
二、填空题
11.已知 为等差数列, , ,则 ____________
12.设数列 中, ,则通项 ___________。
13.设 是等差数列 的前 项和, , ,则
三、解答题
1、设等差数列{an}满足a3=5,a10=-9.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值
高一数学数列知识总结
知识网络
二、知识梳理
等差数列
等比数列
定义
递推
公式
;
;
通项
公式
( )
前
项和
中项
公式
A=
推广:2 =
推广:
性质
1
若m+n=p+q则
若m+n=p+q,则 。
2
若 成等差数列(其中 )则 也为A.P。
若 成等比数列(其中 ),则 成等比数列。
3
. 成等差数列。
成等比数列。
4
,
一、看数列是不是等差数列有以下三种方法: