2012年北京海淀区一模数学试题答案
2012年北京市各区一模试题分类解析(数学理)(5)三角函数
五、三角函数11.（2012年海淀一模理11）若1tan 2α=，则cos(2)απ2+= . 答案：45-。
5.（2012年西城一模理5）已知函数44()sin cos f x x x ωω=-的最小正周期是π，那么正数ω=（ B ）A ．2B ．1C ．12 D ．147．（2012年丰台一模理7）已知a b <，函数()=sin f x x ，()=cos g x x ．命题p ：()()0f a f b ⋅<，命题q ：函数()g x 在区间(,)a b 内有最值．则命题p 是命题q 成立的（ A ）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要 4．（2012年门头沟一模理4）在ABC ∆中，已知4A π∠=，3B π∠=，1AB =，则BC 为（ A ）11C.311.（2012年东城11校联考理11）在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，若sin A C =， 30=B ，2=b ，则边c = .答案：2。
11.（2012年房山一模11）已知函数()()ϕω+=x x f sin （ω>0, πϕ<<0）的图象如图所示，则ω=_ _，ϕ=_ _. 答案：58,910π。
6．（2012年密云一模理6） 已知函数sin(),(0,||)2y x πωϕωϕ=+><的简图如下图， 则ωϕ的值为（ B ） A. 6π B. 6π C. 3π D. 3π15.（2012年海淀一模理15）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且A ，B ，C 成等差数列.（Ⅰ）若b =，3a =，求c 的值；（Ⅱ）设sin sin t A C =，求t 的最大值.解：（Ⅰ）因为,,A B C 成等差数列， 所以2B A C =+. 因为A B C ++=π， 所以3B π=.因为b =3a =，2222cos b a c ac B =+-，所以2340c c --=.所以4c =或1c =-（舍去）.（Ⅱ）因为23A C +=π， 所以2sin sin()3t A A π=-1sin sin )2A A A =+11cos22()22A A -=+ 11sin(2)426A π=+-. … 因为203A π<<，所以72666A πππ-<-<.所以当262A ππ-=，即3A π=时，t 有最大值34.15.（2012年西城一模理15）在△ABC 中，已知sin()sin sin()A B B A B +=+-．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若||7BC =，20=⋅，求||AB AC +．解：（Ⅰ）原式可化为 B A B A B A B sin cos 2)sin()sin(sin =--+=．因为(0,π)B ∈， 所以 0sin >B ， 所以 21cos =A ． 因为(0,π)A ∈， 所以 π3A =．（Ⅱ）由余弦定理，得 222||||||2||||cos BC AB AC AB AC A =+-⋅．因为 ||7BC =，||||cos 20AB AC AB AC A ⋅=⋅=， 所以 22||||89AB AC +=．因为 222||||||2129AB AC AB AC AB AC +=++⋅=， 所以 ||129AB AC +=15．（2012年东城一模理15）已知函数22()(sin2cos2)2sin 2f x x x x =+-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象向右平移8π个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x ∈[0,4π]时，求()y g x =的最大值和最小值. 解：（Ⅰ）因为22()(sin 2cos2)2sin 2f x x x x =+-sin 4cos 4x x =+)4x π=+ ,所以函数()f x 的最小正周期为2π.（Ⅱ）依题意,()y g x ==[4()8x π-4π+]1+)14x π=-+.因为04x π≤≤，所以34444x πππ-≤-≤.当442x ππ-=，即316x π=时，()g x 1； 当444x ππ-=-，即0x =时， ()g x 取最小值0.15. （2012年丰台一模理15）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin cos cos a B b C c B -=．（Ⅰ）判断△ABC 的形状；（Ⅱ）若121()cos 2cos 232f x x x =-+，求()f A 的取值范围．解：（Ⅰ）（法1）因为 sin cos cos a B b C c B -=，由正弦定理可得 sin sin sin cos sin cos A B B C C B -=． 即sin sin sin cos cos sin A B C B C B =+， ……2分所以 sin()sin sin C B A B +=． …4分 因为在△ABC 中，A B C ++=π，所以 sin sin sin A A B = 又sin 0A ≠， ……5分 所以 sin 1B =，2B π=． 所以 △ABC 为2B π=的直角三角形．……6分 （法2）因为 sin cos cos a B b C c B -=，由余弦定理可得 222222sin 22a b c a c b a B b c ab ac+-+-=⋅+⋅， …4分即sin a B a =．因为0a ≠， 所以sin 1B =． ……5分 所以在△ABC 中，2B π=． 所以 △ABC 为2B π=的直角三角形． ……6分 （Ⅱ）因为121()cos 2cos 232f x x x =-+22cos cos 3x x =- …8分=211(cos )39x --． ………10分所以 211()(cos )39f A A =--．因为△ABC 是2B π=的直角三角形，所以 02A π<<，且0cos 1A <<， …11分所以 当1cos 3A =时，()f A 有最小值是19-． …12分所以()f A 的取值范围是11[,)93-． …13分15.（2012年朝阳一模理15）已知函数π()cos()4f x x =-.（Ⅰ）若()10f α=，求si n 2α的值；（II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.解：（Ⅰ）因为π()cos()410f αα=-=，所以sin )210αα+=， 所以 7cos sin 5αα+=. 平方得，22sin 2sin cos cos αααα++=4925， 所以 24sin 225α=. ……6分 （II ）因为()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+=(cos sin )sin )22x x x x +⋅- =221(cos sin )2x x - =1cos 22x . …10分 当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 所以，当0x =时，()g x 的最大值为12； 当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ……13分15.（2012年东城11校联考理15）已知函数x x x x f ωωωcos sin 3cos )(2⋅-= )0(>ω的最小正周期是π，（1）求函数)(x f 的单调递增区间和对称中心；（2）若A 为锐角ABC ∆的内角，求)(A f 的取值范围.解：（1）x x x f ωω2sin 2322cos 1)(-+=21)32cos(++=πωx πωπ==22T 1=ω 21)32cos()(++=πx x fππππππππk x k Zk k x k +-≤≤+-∈≤+≤+-632,2322函数)(x f 的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-ππππk k 6,32，Z k ∈Z k k k x k x ∈+∴+=+=+),21,212(212,232πππππππ对称中心为令 ………7分（2）所以)(A f 的取值范围为 )1,21⎢⎣⎡- ………13分15.（2012年石景山一模理15）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且C b B c a cos cos )2(=-．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若cos 22A a ==，求AB C ∆的面积.解：（Ⅰ）因为C b B c a cos cos )2(=-，由正弦定理，得C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=-． …2分∴ A C B C B B C B A sin )sin(cos sin cos sin cos sin 2=+=+=．…4分 ∵ 0A π<<, ∴0sin ≠A ，121)32cos(2121)32cos(13432320<++≤-<+≤-<+<<<ππππππA A A A∴ 21cos =B ． 又∵ π<<B 0 ， ∴ 3π=B ． ……6分（Ⅱ）由正弦定理BbA a sin sin =，得b = …8分由 cos A =可得4A π=，由3π=B ，可得sin C =， …11分∴113sin 22242s ab C +==⨯=． ……13分15.（2012年房山一模15）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ,b ，c ，tan tan tan A B A B +,,2=a c （Ⅰ）求tan()A B +的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积.解：（I ）解tan tan tan A B A B +tan tan )A B =-tan tantan()1tan tan A BA B A B+∴+=-=………5分（II ）由（I ）知 60A B +=︒，120C ∴=︒ ……7分C ab b a c cos 2222-+=∴⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯-+=21224192b b ∴3=b ……10分 ∴233221sin 21⨯⨯⨯==∆C ab S ABC 233=…13分15．（2012年密云一模理15） 已知函数()22sin sin()2f x x x x π=+⋅+.(I)求()f x 的最小正周期 ，最大值以及取得最大值时x 的集合.(II) 若A 是锐角三角形ABC ∆的内角，()05,7,f A b a ===，求ABC ∆的面积.解：(I):()22sin .sin(22sin .cos 2f x x x x x x x π=+++)32sin 2=2sin(2x x x π++ ……4分().f x π∴的最小正周期是 ……5分=+2,.322k k Z x πππ∈+令:+,.12x k k Z ππ=∈解得+,}.12()2,x k k Z f x x ππ∴=∈的最大值是取得最大值时的集合是{x| ……7分(II)()sin(2)032f A A πππ=+=∴，0<A<A=3……9分ABC ∆在中，2222.cos a b c bc A =+-,25240c c --=,解得83c c ==-或（舍) ……11分1.sin 2ABC S bc A ∆∴==……13分15．（2012年门头沟一模理15）已知：函数2()sincos222xxxf x ωωω=+(0)ω>的周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间.解：（Ⅰ）1()cos )sin 2f x x x ωω=-+ …………4分()sin()3f x x πω=-……… 6分 因为函数的周期为π所以2ω= ………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ()s i n (2)32f x x π=-+ ………8分当 222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈ 时函数单增……………10分5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ …………12分所以函数()f x 的单增区间为5[,]1212k k ππππ-+，其中k Z ∈ ……13分。
2012北京海淀高考一模数学文(含解析)
海淀区第二学期期中练习 高三数学试卷（文科）2012．04一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|1}A x x ==，{|(2)0}B x x x =-<，那么A B I =（ ）． A ．∅ B ． {1}- C ．{1} D ．{1,1}-2．在等比数列{}n a 中，26a =，318a =-，则1234a a a a +++=（ ）．A ．26B ．40C ．54D ．803．已知向量=(12x +a ,)，()=1,x -b ．若a 与b 垂直，则||b =（ ）．A ．1B C ．2 D ．44．过双曲线221916x y -=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是（ ）．A ．34150x y +-=B ．34150x y --=C ．43200x y -+=D ．43200x y --=5．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（ ）．A ．5B ．6C ．7D ．86．若满足条件020x y x y y a -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的整点(,)x y 恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为（ ）． A ．3- B ． 2- C ．1- D ．07．已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．2a <B ．2a >C ．22a -<<D ．2a >或2a <-8．在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点， 则满足'2PA PC +=的点P 的个数为（ ）． A ．4 B ．6 C ．8 D ．12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上． 9．复数2i1i-在复平面内所对应的点的坐标为 ．10．若tan 2α=，则sin 2=α ．11．以抛物线24y x =上的点0(,4)x 为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是 ． 12．已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此 三棱锥的体积是 ，左视图的面积是 ．13．设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQ EP大于1（其中'EQ Q P EP Q =-，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 ．14．已知函数1,,()0,.x f x x ∈⎧=⎨∈⎩R Q Q ð （Ⅰ）则()()______f f x =；（Ⅱ）下面三个命题中，所有真命题的序号是 ． ①函数()f x 是偶函数；②任取一个不为零的有理数T ，()()f x T f x +=对x ∈R 恒成立；③存在三个点112233(,()),(,()),(,()),A x f x B x f x C x f x 使得ABC △为等边三角形．俯视图D ’C ’B ’A ’DCBA三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()sin sin()3f x x x π=+-．（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ．已知()f A =a =， 试判断ABC △的形状．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．Array（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少x名学生可以申请住宿．时间已知菱形ABCD 中，4AB =，60BAD ∠=o （如图1所示），将菱形ABCD 沿对角线BD 翻折，使点C 翻折到点1C 的位置（如图2所示），点,,E F M 分别是11,,AB DC BC 的中点．（Ⅰ）证明：BD ∥平面EMF ； （Ⅱ）证明：1AC BD ⊥；（Ⅲ）当EF AB ⊥时，求线段1AC 的长．E 图2图1AMF C 1D B ACBD已知函数211()ln (0)22f x a x x a a =-+∈≠R ，．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．已知椭圆2222: 1 (0)x yC a ba b+=>>的右顶点(2,0)A，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P（异于点A）为椭圆C上一个动点，过O作线段AP的垂线l交椭圆C于点,E D，求DEAP的取值范围．对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-． 已知{}246810A =，，，，，{}124816B =，，，，．（Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆； （Ⅱ）用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数．（ⅰ）求证：当()()Card X A Card X B ∆+∆取得最小值时，2X ∈； （ⅱ）求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值．海淀区第二学期期中练习高三数学试卷（文科）参考答案及评分标准一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．(1,1)- 10．4511．22(4)(4)25x y -+-=12 ； 13．(10,20) 14．1；①②③ 三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()sin sin()3f x x x π=+-1sin sin 2x x x =+- ………………………………………2分3sin 2x x =1cos 2x x ⎫-⎪⎪⎭)6x π-． …………………………………4分由22,262k x k k ππππ-<-<π+∈Z ，得：222,33k x k k πππ-<<π+∈Z ．所以()f x 的单调递增区间为2(2,2)33k k πππ-π+，k ∈Z ．……………6分（Ⅱ）解：因为()f A =)6A π-=．所以1sin()62A π-=．…………………………7分因为 0A <<π，所以 5666A ππ-<-<π．所以 3A π=． …………………………………9分因为 sin sin a b A B=，a =， 所以 1sin 2B =． ………………………………………11分因为a b >，3A π=，所以6B π=．所以2C π= ．所以ABC △为直角三角形． ………………………………………13分16．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由直方图可得200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．所以0.0125x =． …………………………………6分（Ⅱ）解：由直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003220=0.12⨯⨯．………………………………………9分因为6000.1272⨯=．所以600名新生中有72名学生可以申请住宿．…………………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为点,F M 分别是11,C D C B 的中点，所以FM BD ∥． ………………………………………2分 又FM ⊂平面EMF ，BD ⊄平面EMF ，所以BD ∥平面EMF ． ………………………………………4分 （Ⅱ）证明：在菱形ABCD 中，设O 为,AC BD 的交点，则AC BD ⊥． ………………………………5分 所以在三棱锥1C ABD -中，1,C O BD AO BD ⊥⊥．又1,C O AO O =I所以BD ⊥平面1AOC ． ………………7分 又1AC ⊂平面1AOC ，所以BD ⊥1AC ． ………………………9分 （Ⅲ）解：连结1,DE C E ．在菱形ABCD 中，,60DA AB BAD =∠=o ，所以ABD △是等边三角形．所以DA DB =． ………………………10分 因为E 为AB 中点，所以 DE AB ⊥． 又EF AB ⊥，EF DE E =I ．所以AB ⊥平面DEF ，即AB ⊥平面1DEC ．…12分O EMFC 1DB AE MF C 1DBA又1C E ⊂平面1DEC ， 所以AB ⊥1C E ．因为,4AE EB AB ==，1BC AB =，所以114AC BC ==． ……………………………………14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为(0,)+∞．2'()a x af x x x x-+=-=． ………………………………………2分当0a <时，在区间(0,)+∞上，'()0f x <．所以()f x 的单调递减区间是(0,)+∞． ………………………………………3分当0a >时，令'()0f x =得x =x =． 函数()f x ，'()f x 随x 的变化如下：所以()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞．…………6分 综上所述，当0a <时， ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当0a <时， ()f x 在[1,)+∞上单调递减．所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤． ……………………………7分当0a >时，1，即01a <≤时，()f x 在[1,)+∞上单调递减．所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤． ………………………………10分1>，即1a >时，()f x 在[1上单调递增，所以(1)f f >． 又(1)0f =，所以0f >，与对于任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤矛盾．………12分 综上所述，存在实数a 满足题意，此时a 的取值范围是(,0)(0,1]-∞U ．……13分19．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为(2,0)A 是椭圆C 的右顶点，所以2a =．又ca =，所以c 所以222431b ac =-=-=．所以椭圆C 的方程为2214x y +=． ………………………3分（Ⅱ）当直线AP 的斜率为0时，||4AP =，DE 为椭圆C 的短轴，则||2DE =．所以||1||2DE AP =． …………………5分 当直线AP 的斜率不为0时，设直线AP 的方程为(2)y k x =-，00(,)P x y ，则直线DE 的方程为1y x k=-． ……………6分由22(2),14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得224[(2)]40x k x +--=． 即2222(14)161640k x k x k +-+-=．所以202162.41k x k +=+ 所以20282.41k x k =+- (8)分所以||AP即||AP =类似可求||DE =所以2||||DE AP = ………………………………11分设t =则224k t =-，2t >．22||4(4)1415(2).||DE t t t AP t t-+-==> 令2415()(2)t g t t t -=>，则22415'()0t g t t+=>． 所以 ()g t 是一个增函数．所以2||41544151||22DE t AP t -⨯-=>=． 综上，||||DE AP 的取值范围是1[,)2+∞． ………………………………13分 （20）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ∆=．………………………3分 （Ⅱ）解：设当()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值时，X W =．（ⅰ）证明：假设2W ∉，令{2}Y W =U ．那么 ()()Card Y A Card Y B ∆+∆()1()1C a r d W A C a r d W B =∆-+∆-()()C a r d W A C a r d W B <∆+∆．这与题设矛盾．所以 2W ∈，即当()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值时，2X ∈．………7分 （ⅱ）同（ⅰ）可得：4W ∈且8W ∈．若存在a X ∈且a A B ∉U ，则令{}X Z a =ð． 那么()()Card Z A Card Z B ∆+∆()1()1C a r d X A C a r d X B =∆-+∆-()()C a r d X A C a r d X B <∆+∆．所以 集合W 中的元素只能来自A B U ．若a A B ∈U 且a A B ∉I ，同上分析可知：集合X 中是否包含元素a ，()()Card X A Card X B ∆+∆的值不变．综上可知，当W 为集合{}161016，，，的子集与集合{}248，，的并集时，()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值4． ………………………14分北京市海淀区高三统一测试 数学（文科）选填解析一、 选择题 1．【答案】C【解析】解：由题可知{}1,1A =-，()0,2B =，故{}1A B =I ，满足题意． 故选C ．2．【答案】B【解析】解：由题意得16a q =，2118a q =-，可得12a =-，3q =-， 故123426185440a a a a +++=-+-+=． 故选B ．3．【答案】B【解析】解：因为a 与b 垂直，则()()1,21,120x x x x ⋅=+⋅-=--+=a b ，即1x =，所以b 故选B ．4．【答案】D【解析】解：可知双曲线的5c =，故右焦点为()5,0， 经过一、三象限的渐近线的方程为43y x =， 故所求直线的斜率为43， 由点斜式可知()4053y x -=-．故选D ．5．【答案】A【解析】解：如下列表故输出为5．故选A ．6．【答案】C【解析】解：如图可知当1a =-时，若满足条件020x y x y y a -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的整点(,)x y 恰有9个．故选C ．7．【答案】A【解析】解：本题可采用数形结合和分类讨论的方式得到结论，但对于小题，特征法排除法更有效， 当0a =时，如图一满足题意，故可排除B ，D ；当3a =-时，如图二满足题意． 故选A ．8．【答案】B【解析】解：讨论可分为四组：第一组AB,AD,AA'，当点P 与点A 重合时'PAPC +P 与点,,B D A '重合时'PA PC+取到最大值1，故在三条棱上各存在一点满足'2PA PC +=；第二组CC ,C D ,C B '''''，与第一组同理可知CC ,C D ,C B '''''各存在一点满足'2PA PC +=；第三组BC ，当点P 与点B 或C 重合时'PAPC +取到最大值1当点P 为点BC 的 中点时'PA PC+2，故在棱BC 上不存在满足条件的点； 第四组A D ''，讨论与第三组一样，在棱A D ''上不存在满足条件的点； 综上，共有六点满足题意． 故选B ．二、 填空题 9．【答案】(1,1)-图一【解析】解：由2i 2i 1i 22i 1i 1i 1i 1i 2+-+=⋅==-+--+， 复数2i1i-在复平面内所对应的点的坐标为(1,1)-． 故答案为(1,1)-．10．【答案】45【解析】解：2222sin cos 2tan 24sin 2sin cos tan 1415ααααααα====+++．故答案为45．11．【答案】22(4)(4)25x y -+-=【解析】解：由题可知0016=44x x ⇒=，焦点坐标为()1,0 所以满足条件的圆的圆心为()4,4，半径为5r ．故答案为22(4)(4)25x y -+-=．12； 【解析】解：由题可知该立体图形的三视图 如图所示，因为,,PA PB PC 两两垂直且2AB BC CA===，所PA PB PC ==所以1132P ABC V -=⨯⨯； 立体图形的左视图如图所示，易知PC PD ⊥，PC =1PD =，所以)112CDP S =⨯=△．； ．13．【答案】(10,20)【解析】解：由题可知'511005EQ Q pP EP Q p-=-=->-， 所以22010010202020p p p p p -->⇒<⇒<<--． 故答案为(10,20)．DPC PD CB A14．【答案】1； ①②③【解析】解：（Ⅰ）1,,()0,,x f x x ∈⎧=⎨∈⎩RQ Q Q ð，()f x ∴∈Q ， 故(())=1f f x ；（Ⅱ）① 正确．当x ∈Q ，则x -∈Q ，易知()()1f x f x =-=； 当x ∈R Q ð，则x -∈R Q ð，易知()()0f x f x =-=， 综上()()()f x f x x =-∈R ．② 正确．因为x ∈Q 或x ∈R Q ð，T ∈Q ，所以x T +∈Q 或x T +∈R Q ð， 故()()f x T f x +=对x ∈R 恒成立．当以90BAC ∠=o 时，则()11(,1)A x x ∈Q ，()22(,0)B x x ∈R Q ð，()33(,0)C x x ∈R Q ð为顶点， 易知121x x -=，与已知矛盾（1x ∈R Q ð，2x ∈Q ，3x ∈Q 同理可证）；当以11190B AC ∠=o时，则()111(,1)A x x ∈R Q ð，()122(,0)B x x ∈R Q ð，()133(,0)C x x ∈Q 为顶 点，易知12x x =，与已知矛盾（1x ∈Q ，2x ∈Q ，3x ∈R Q ð同理可证）； ③ 正确．如图设()22(,1)C x x ∈Q ， ()11(,0)A x x ∈R Q ð，()22(,0)B x x ∈R Q ð，为顶点的等边三角形，由题可知212x x -==，不妨设(1,1)C ，(1A，(1B ，满足题意． （1x ∈Q ，2x ∈Q ，3x ∈R Q ð同理可证）． 故答案为1； ①②③．。
2012-2013北京市海淀区高三数学一模试题和答案
2012-2013北京市海淀区高三数学一模试题和答案海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理）参考答案及评分标准 2013．4说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为2()2cos )f x x x =--22= 2(3sin cos cos )x x x x -+-22(12sin 2)x x =-+- (2)分2= 12sin 2x x -+cos22x x = ………………4分π= 2sin(2)6x + ………………6分所以πππ2π()2sin(2)2sin 4463f =⋅+==………………7分 9． 0 10． 14 11.24512．3, 13．491a <≤ 14． 2,(21,2), Z k k k -∈所以 ()f x 的周期为2π2π= π||2T ω== ………………9分 （II ）当ππ[,]63x ∈-时，π2π2[,]33x ∈-，ππ5π(2)[,]666x +∈- 所以当π6x =-时，函数取得最小值π()16f -=- ………………11分 当π6x =时，函数取得最大值π()26f = ………………13分 16.解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人 ………………1分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯= ………………3分(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=………………7分 （Ⅲ）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20 ………………8分2621015(16)45C P C ξ===， 116221012(17)45C C P C ξ===11262222101013(18)45C C C P C C ξ==+=， 11222104(19)45C C P C ξ=== 222101(20)45C P C ξ===所以ξ的分布列为………………11分 所以1512134186161718192045454545455E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以ξ的数学期望为865………………13分17.证明：(I) 因为ABC ∆是正三角形，M 是AC 中点，所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥ ………………1分 又因为PA ABCD ⊥平面，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ⊥ ………………2分 又PAAC A =，所以BD ⊥平面PAC ………………3分又PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥ ………………4分（Ⅱ）在正三角形ABC 中，BM =………………5分 在ACD ∆中，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥，所以AD CD =120CDA ∠=，所以DM =:3:1BM MD = ………………6分 在等腰直角三角形PAB 中，4PA AB ==，PB =所以:3:1BN NP =，::BN NP BM MD =，所以//MN PD ………………8分 又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC，所以//MN 平面PDC ………………9分 （Ⅲ）因为90BAD BAC CAD ∠=∠+∠=，所以AB AD ⊥，分别以,AB AD AP , 为x 轴, y 轴, z 轴建立如图的空间直角坐标系，y所以(4,0,0),(0,0,4)B C D P由（Ⅱ）可知，(4,DB=为平面PAC的法向量………………10分4)PC=-，(4,0,4)PB=-设平面PBC的一个法向量为(,,)n x y z=,则n PCn PB⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即240440x zx z⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，令3,z=则平面PBC 的一个法向量为(3,3,3)n=………………12分设二面角A PC B--的大小为θ，则7cosn DBn DBθ⋅==⋅所以二面角A PC B--………………14分18. 解：（I）因为2()ln,f x x ax bx=++所以1()2f x ax bx'=++………………2分因为函数2()lnf x x ax bx=++在1x=处取得极值(1)120f a b'=++=………………3分当1a=时，3b=-，2231()x xf xx-+'=，'(),()f x f x随x的变化情况如下表：………………5分所以()f x 的单调递增区间为1(0,)2,1+∞（，）单调递减区间为1(,1)2………………6分(II)因为222(1)1(21)(1)()ax a x ax x f x x x-++--'==令()0f x '=,1211,2x x a==………………7分 因为()f x 在 1x =处取得极值，所以21112x x a=≠= 当102a<时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减 所以()f x 在区间(]0,e 上的最大值为(1)f ，令(1)1f =，解得2a =-………………9分 当0a >，2102x a=> 当112a <时，()f x 在1(0,)2a 上单调递增，1(,1)2a上单调递减，(1,e)上单调递增 所以最大值1可能在12x a=或e x =处取得 而2111111()ln ()(21)ln 10222224f a a a a a a a a=+-+=--< 所以2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=，解得1e 2a =- ………………11分当11e 2a ≤<时,()f x 在区间(0,1)上单调递增，1(1,)2a 上单调递减，1(,e)2a上单调递增 所以最大值1可能在1x =或e x =处取得 而(1)ln1(21)0f a a =+-+< 所以2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=， 解得1e 2a =-，与211e 2x a<=<矛盾 ………………12分 当21e 2x a=≥时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减， 所以最大值1可能在1x =处取得，而(1)ln1(21)0f a a =+-+<，矛盾综上所述，12a e =-或 2a =-.………………13分 1９.（本小题满分14分） 解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，因为a =，2c a =，所以1c =， 所以1b =. 所以椭圆C ：2212x y += ………………4分（II ）设A （1x ，1y ），B (2x ，2y )由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则22220y kx x y =⎧⎨+-=⎩ 所以22(12)20k x +-= ，则120x x +=，122212x x k =-+ ………………6分ABGH所以AB==………………7分点M0）到直线l的距离d=则GH=………………9分显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y kx=就是y轴，矛盾，所以要使AG BH=，只要AB GH=所以222228(1)24()121k krk k+=-++22424222424222(1)2(331)2(1)112231231k k k k krk k k k k k+++=+==+++++++………………11分当0k=时，r=………………12分当0k≠时，242112(1)2(1)31322rk k=+<+=++又显然24212(1)2132rk k=+>++,<综上，r≤<………………14分20.解：（Ⅰ）因为x∆+=3(,y x y∆∆∆为非零整数）故1,2x y∆=∆=或2,1x x∆=∆=，所以点P的相关点有8个………………2分又因为22()()5x y ∆+∆=，即221010()()5x x y y -+-= 所以这些可能值对应的点在以0P上 ………………4分（Ⅱ）依题意(,)n n n P x y 与000(,)P x y 重合则 1-12211000()()...()()n n n n n x x x x x x x x x x x --=-+-++-+-+=，1-1221100()()...()()n n n n n y y y y y y y y y y y--=-+-++-+-+= 即1-122110()+()+...+()+()=0n n n n x x x x x x x x ------，1-122110()+()+...+()+()=0n n n n y y y y y y y y ------ 两式相加得 1112-121010[()+()]+[()+()]+...+[()+()]=0n n n n n n n n x x y y x x y y x x y y -----------（*） 因为11,3(1,2,3,...,)Z i i i i i i x y x x y y i n --∈-+-==，故11()+()(=1,2,3,...,)i i i i x x y y i n ----为奇数，于是（*）的左边就是n 个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，所以n 一定为偶数 ………………8分（Ⅲ）令11,,i i i i i i x x x y y y --∆=-∆=-(1,2,3,...,)i n =，依题意11210()()...()100n n n n y y y y y y ----+-++-=，因为0n i i T x===∑012n x x x x ++++112121(1)(1)(1)n x x x x x x =++∆++∆+∆+++∆+∆++∆ 121(1)n n n x n x x =++∆+-∆++∆………………10分因为有3i i x y ∆∆=+，且 i i x y ∆∆，为非零整数，所以当2i x ∆=的个数越多，则 T 的值越大，而且在123,,,..,n x x x x ∆∆∆∆ 这个序列中，数字2的位置越靠前，则相应的T 的值越大 而当i y ∆取值为1或1-的次数最多时，i x ∆取2的次数才能最多，T 的值才能最大. 当 100n =时，令所有的i y ∆都为1，i x ∆都取2，则1012(12100)10201T =++++=. 当100n >时，若*2(50,)n k k k =>∈N ，此时，i y ∆可取50k +个1，50k -个1-，此时i x ∆可都取2，()S n 达到最大 此时T =212((1)1)21n n n n n +++-++=++.若*21(50,)n k k k =+≥∈N ,令2n y ∆=,其余的i y ∆中有49k -个1-，49k +个1.相应的，对于i x ∆，有1n x ∆=,其余的都为2，则212((1)1)12T n n n n n =+++-++-=+当50100n ≤<时，令 1,2100,2,2100,i i y i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤ 则相应的取2,2100,1,2100,i i x i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤则T =1n ++2((1)(101))n n n +-+-((100)(99)1)n n +-+-+2205100982n n +-= 综上，22220510098, 50100,2(1), 100+2, 100n n n T n n n n n ⎧+-≤<⎪⎪⎪=+≥⎨⎪≥⎪⎪⎩且为偶数，且为奇数. ………………13分。
2012海淀区高三一模数学文试题及参考答案
1海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（文科）2012.04一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合2{|1}A x x ==，{|(2)0}B x x x =-<，那么A B = （A ）Æ （B ） {1}- （C ）{1} （D ）{1,1}- （2）在等比数列{}n a 中，26a =，318a =-，则1234a a a a +++=（A ）26（B ）40 （C ）54（D ）80（3）已知向量=(12=(1)x x +-,a b ,),. 若a 与b 垂直，则||b =（A ）1 （B（C ）2 （D ）4（4）过双曲线221916x y -=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 （A ）34150x y +-= （B ）34150x y --= （C ）43200x y -+= （D ）43200x y --=（5）执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（6）若满足条件020x y x y y a -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的整点(,)x y 恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为（A ）3- （B ） 2- （C ）1- （D ）0（7）已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（A ）2a < （B ）2a >（C ）22a -<< （D ）2a >或2a <-（8）在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足'2PA PC +=的点P 的个数为（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）复数2i1i-在复平面内所对应的点的坐标为 . （10）若tan 2α=，则sin 2α= .（11）以抛物线24y x =上的点0(,4)x 为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是 .（12已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是 ，左视图的面积是 .（13）设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP大于1（其中'EQ Q P EP Q=-，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 .（14）已知函数1,,()0,.x f x x ìÎïï=íïÎïîR Q Q ð 则()()______f f x =； 下面三个命题中，所有真命题的序号是 . ① 函数()f x 是偶函数；② 任取一个不为零的有理数T ，()()f x T f x +=对x ∈R 恒成立；③ 存在三个点112233(,()),(,()),(,()),A x f x B x f x C x f x 使得ABC ∆为等边三角形.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.A'B'C'D'ABCD俯视图3（15）（本小题满分13分）已知函数()sin sin()3f x x x π=+-. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c .已知()f A =a =，试判断ABC ∆的形状.（16）（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿.(17)（本小题满分14分）已知菱形ABCD 中，AB =4， 60BAD ∠=（如图1所示），将菱形ABCD 沿对角线BD 翻折，使点C翻折到点1C 的位置（如图2所示），点E ，F ，M 分别是AB ，DC 1，BC 1的中点． （Ⅰ）证明：BD //平面EMF ； （Ⅱ）证明：1AC BD ⊥；（Ⅲ）当EF AB ⊥时，求线段AC 1 的长．(18)（本小题满分13分）已知函数211()ln (0)22f x a x x a a =-+∈≠且R . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；ABCD图1M FEABC 1D图2（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由. （19）（本小题满分13分）已知椭圆:C 2222 1 (0)x y a b a b+=>>的右顶点(2,0)A ，，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P （异于点A ）为椭圆C 上一个动点，过O 作线段AP 的垂线l 交椭圆C 于点,E D ，求DE AP的取值范围.（20）（本小题满分14分）对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知A ={2，4，6，8，10}，B ={1，2，4，8，16}.（Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆； （Ⅱ）用Card (M )表示有限集合M 所含元素的个数.（ⅰ）求证：当()()Card X A Card X B ∆+∆取得最小值时， 2X Î； （ⅱ）求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值.5海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（文科）参考答案及评分标准 2012．04一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）(1,1)- （10）45（11）22(4)(4)25xy -+-=（12）3 2（13）(10,20)（14）1 ①②③ 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()sin sin()3f x x x π=+-1sin sin 22x x x =+- ………………………………………2分3sin 2x x =-1cos 2x x÷÷=-÷÷)6x π=-. ………………………………………4分 由22,262k x k k πππππ-<-<+ Z ， 得：222,33k x k k ππππ-<<+ Z . 所以 ()f x 的单调递增区间为2(2,2)33k k ππππ-+，k ÎZ . ………………………………………6分（Ⅱ）因为 ()f A =， 所以)6A π-=.所以1sin()62A π-=.………………………………………7分因为 0A π<<，所以 5666A πππ-<-<. 所以 3A π=. ………………………………………9分 因为 sin sin a bA B=，a =， 所以 1sin 2B =. ………………………………………11分因为 a b >，3A π=，所以 6B π=.所以 2C π= .所以 ABC ∆为直角三角形. ………………………………………13分(16)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由直方图可得200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.所以0.0125x =. ………………………………………6分（Ⅱ）由直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003220=0.12创. ………………………………………9分因为 6000.1272⨯=.所以 600名新生中有72名学生可以申请住宿.………………………………………13分(17)（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为点,F M 分别是11,C D C B 的中点，所以//FM BD ． ………………………………………2分 又FM ⊂平面EM F ，BD ⊄平面EM F ,所以//BD 平面EM F ． ………………………………………4分（Ⅱ）在菱形ABCD 中，设O 为,AC BD 的交点,则AC BD ⊥． ………………………………………5分 所以 在三棱锥1C ABD -中，1,C O BD AO BD ⊥⊥.又 1,C O AO O =所以 BD ⊥平面1AOC ． ………………………………………7分又 1AC ⊂平面1AOC ，所以 BD ⊥1AC ． ………………………………………9分O M FEABC 1D7（Ⅲ）连结1,DE C E ．在菱形ABCD 中，,60DA AB BAD =∠= ，所以 ABD ∆是等边三角形.所以 DA DB =． ………………………………………10分因为 E 为AB 中点，所以 DE AB ⊥． 又 EF AB ⊥，EF DE E = ．所以 AB ⊥平面DEF ，即AB ⊥平面1DEC ．………………………………………12分又 1C E ⊂平面1DEC ，所以 AB ⊥1C E ．因为 ,4AE EB AB ==，1BC AB =，所以 114AC BC ==． ………………………………………14分 (18)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞.2'()a x af x x x x-+=-=. ………………………………………2分当0a <时，在区间(0,)+∞上，'()0f x <.所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞. ………………………………………3分当0a >时，令'()0f x =得x =x =.函数()f x ,'()f x 随x 的变化如下：所以 ()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞.………………………………………6分综上所述，当0a <时， ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：M FEABC 1D当0a <时, ()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤. ………………………………………7分当0a >时，① 1≤，即01a <≤时，()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤. ………………………………………10分② 1>，即1a >时，()f x 在上单调递增，所以 (1)f f >.又 (1)0f =，所以 0f >，与对于任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤矛盾.………………………………………12分综上所述，存在实数a 满足题意，此时a 的取值范围是(,0)(0,1]-∞ .………………………………………13分（19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 (2,0)A 是椭圆C 的右顶点，所以 2a =.又2c a =，所以 c = 所以 222431b a c =-=-=.所以 椭圆C 的方程为2214x y +=. ………………………………………3分 （Ⅱ）当直线AP 的斜率为0时，||4AP =，DE 为椭圆C 的短轴，则||2DE =. 所以||1||2DE AP =. ………………………………………5分 当直线AP 的斜率不为0时，设直线AP 的方程为(2)y k x =-，00(,)P x y ，9则直线DE 的方程为1y x k=-. ………………………………………6分 由 22(2),14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得224[(2)]40x k x +--=. 即2222(14)161640k x k x k +-+-=.所以 202162.41k x k +=+所以 20282.41k x k =+-………………………………………8分所以||AP ==即 ||AP =. 类似可求||DE =所以2||||DE AP==………………………………………11分 设t =则224k t =-，2t >.22||4(4)1415(2).||DE t t t AP t t-+-==> 令2415()(2)t g t t t -=>，则22415'()0t g t t+=>. 所以 ()g t 是一个增函数.所以 2||41544151||22DE t AP t -⨯-=>=.综上，||||DE AP 的取值范围是1[,)2+ . ………………………………………13分（20）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ∆=.………………………………………3分（Ⅱ）设当()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值时，X W =. （ⅰ）证明：假设2W Ï，令{2}Y W = .那么 ()()Card Y A Card Y B ∆+∆()1()1Card W A Card W B =∆-+∆-()()Card W A Card W B <∆+∆.这与题设矛盾.所以 2W Î，即当()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值时，2X Î. ………………………………………7分 （ⅱ）同（ⅰ）可得：4W Î且8W Î.若存在a X Î且a A B Ï ，则令{}X Z a =ð. 那么()()Card Z A Card Z B ∆+∆()1()1Card X A Card X B =∆-+∆-()()Card X A Card X B <∆+∆.所以 集合W 中的元素只能来自A B .若a A B Î 且a A B Ï ，同上分析可知：集合X 中是否包含元素a ，()()Card X A Card X B ∆+∆的值不变.综上可知，当W 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值4.………………………………………14分。
2012北京海淀中考一模数学(word解析)
2012年海淀区中考一模数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．32的相反数是（）．A ．32-B ．32C ．23-D ．232．2012年第七届原创新春祝福短信微博大赛作品充满了对龙年浓浓的祝福，主办方共收到原创祝福短信作品41 430条，将41 430用科学记数法表示应为（）．A ．41．43 ⨯103B ．4．143 ⨯104C ．0．4143 ⨯105D ．4．143⨯1053．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠C =40︒，则∠AOB 的度数为（）．A ．20︒B ．40︒C ．80︒D ．100︒4．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得朝上一面的点数为偶数的概率为（）． A ．61B ．31C ．41D ．215．如图，在△ABC 中，∠C =90︒，点D 在CB 上，DE ⊥AB 于E ，若DE=2，CA=4，则DBAB的值为（）． A ．41 B ．31C ．12D ．326．将代数式化为的形式，正确的是（）．A ．B ．C ．D ．7．北京市环保检测中心网站公布的2012年3月31日的PM2．5研究性检测部分数据如下表：（）．：则该日这6个时刻的PM2．5的众数和中位数分别是（）．142-+x x q p x ++2)(3)2(2+-x 5)2(2-+x 4)2(2++x 4)2(2-+xE DCAA ．0．032，0．0295B ．0．026，0．0295C ．0．026，0．032D ．0．032，0．0278．下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（）．A B C D二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．函数y =31-+x x 的自变量x 的取值范围是．10．分解因式：34x x -=．11．右图是某超市一层到二层滚梯示意图．其中AB 、CD 分别 表示超市一层、二层滚梯口处地面的水平线，∠ABC =150°， BC 的长约为12米，则乘滚梯从点B 到点C 上升的高度h约为米．12．在平面直角坐标系xOy 中，正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2B 1、A 3B 3C 3B 2，…，按右图所示的方式放置．点A 1、A 2、A 3，…和B 1、B 2、B 3， … 分别在直线y =kx +b 和x 轴上．已知C 1(1，-1)， C 2(23,27-)，则点A 3的坐标是；点A n 的坐标是．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：10)31(45sin 28π)14.3(-+︒-+-．14．解不等式组：()20213 1.x x x ->⎧⎨+≥-⎩，15．如图，AC //FE ，点F 、C 在BD 上，AC=DF ，BC=EF ． 求证：AB=DE ．16．已知⎩⎨⎧==b y a x ,是方程组⎩⎨⎧=-=+12,32y x y x 的解，求5)4()(4+-+-b a b b a a 的值．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数xy 3=的图象与一次函数y =kx 的图象的一个交点为A (m ，-3)．（1）求一次函数y =kx 的解析式；（2）若点P 在直线OA 上，且满足P A=2OA ，直接写出点P 的坐标．ABCDE F①②18．列方程或方程组解应用题：三月植树节期间，某园林公司增加了人力进行园林绿化，现在平均每天比原计划多植树50棵，现在植树600棵所需的时间与原计划植树450棵所需的时间相同，问现在平均每天植树多少棵？四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90︒，∠CAB =30︒，DE ⊥AC 于E ，且AE=CE ，若DE=5，EB=12，求四边形ABCD 的周长．20．如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 直径，E 是CB 延长线上一点，且∠BAE =∠C ．（1）求证：直线AE 是⊙O 的切线； （2）若EB =AB ，54cos =E ，AE =24，求EB 的长及⊙O 的半径．E D CBA21．以下是根据某手机店销售的相关数据绘制的统计图的一部分．图1 图2 请根据图1、图2解答下列问题：（1）来自该店财务部的数据报告表明，该手机店1～4月的手机销售总额一共是290万元，请将图1中的统计图补充完整；（2）该店1月份音乐手机的销售额约为多少万元(结果保留三个有效数字)？（3）小刚观察图2后认为，4月份音乐手机的销售额比3月份减少了，你同意他的看法吗？ 请你说明理由．22．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO 和△CDO 均为等腰直角三角形，∠AOB =∠COD =90︒．若△BOC 的面积为1，试求以AD 、BC 、OC+OD 的长度为三边长的三角形的面积．图1 图2小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO 到E ，使得OE =CO ，连接BE ，可证△OBE ≌△OAD ，从而得到的△BCE 即是以AD 、BC 、OC+OD 的长度为三边长的三角形（如图2）．请你回答：图2中△BCE 的面积等于．请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：如图3，已知△ABC ，分别以AB 、AC 、BC 为边向外作正方形ABDE 、AGFC 、BCHI ，连接EG、ODA某手机店今年1～4月 各月手机销售总额统计图某手机店今年1～4月音乐手机销售额占 该手机店当月手机销售总额的百分比统计图FH 、ID ．（1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）若△ABC 的面积为1，则以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的三角形的面积等于．图3五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知关于x 的方程03)13(2=+++x m mx ．（1）求证：不论m 为任何实数，此方程总有实数根；（2）若抛物线()2313y mx m x =+++与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式；（3）若点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在（2）中抛物线上(点P 、Q 不重合)，且y 1=y 2，求代数式81651242121++++n n n x x 的值．GFABCDE24．在□ABCD 中，∠A=∠DBC ，过点D 作DE =DF ，且∠EDF=∠ABD ，连接EF 、EC ，N 、P 分别为EC 、BC 的中点，连接NP ．（1）如图1，若点E 在DP 上，EF 与DC 交于点M ，试探究线段NP 与线段NM 的数量关系及∠ABD与∠MNP 满足的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图2，若点M 在线段EF 上，当点M 在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M 的位置，并证明（1）中的结论．图1 图2MBDCFEANPPNA EFCD25．已知抛物线2y x bx c =++的顶点为P ，与y 轴交于点A ，与直线OP 交于点B ． （1）如图1，若点P 的横坐标为1，点B 的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若点M 是直线AB 下方抛物线上的一点，且3ABM S ∆=，求点M 的坐标； （3）如图2，若点P 在第一象限，且P A =PO ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ．将抛物线2y x bx c =++平移，平移后的抛物线经过点A 、D ，该抛物线与x 轴的另一个交点为C ，请探究四边形OABC 的形状，并说明理由．2012年海淀区中考一模数学试卷答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．A 2．B 3．C 4．D 5．C 6．B 7．A 8．C二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．3x ≠ 10．)2)(2(-+x x x 11． 6 12．()1129933(,);5()4,()4422n n --⨯-（每空2分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：10)31(45sin 28π)14.3(-+︒-+-=1232+⨯+=414．解：由不等式①解得2x >， 由不等式②解得3x ≤．因此不等式组的解集为23x <≤．15．证明：∵AC //EF ， ∴ACB DFE ∠=∠． 在△ABC 和△DEF 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,EF BC DFE ACB DF AC ∴△ABC ≌△DEF ． ∴AB=DE ．16．解：法一：∵⎩⎨⎧==b y a x ,是方程组⎩⎨⎧=-=+12,32y x y x 的解，∴⎩⎨⎧=-=+.12,32b a b aABCDEF解得1,1.a b =⎧⎨=⎩∴()4()(4)541(11)141158a a b b a b -+-+=⨯⨯-+⨯⨯-+=． 法二：∵⎩⎨⎧==b y a x ,是方程组⎩⎨⎧=-=+12,32y x y x 的解，∴⎩⎨⎧=-=+.12,32b a b a2222444545(2)(2)5a ab ab b a b a b a b =-+-+=-+=+-+原式．123,2=-=+b a b a 将代入上式，得.85135)2)(2(=+⨯=+-+=b a b a 原式17．解：（1）∵点A （,3m -）在反比例函数xy 3=的图象上， ∴m33=-． ∴1m =-．∴点A 的坐标为A （-1，-3）． ∵点A 在一次函数y kx =的图象上， ∴3k =．∴一次函数的解析式为y =3x ．（2）点P 的坐标为P (1，3)或P (-3，-9)．18．解：设现在平均每天植树x 棵． 依题意，得60045050x x =-．解得：200x =．经检验，200x =是原方程的解，且符合题意． 答：现在平均每天植树200棵．四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：∵∠ABC =90︒，AE=CE ，EB =12，∴EB=AE=CE =12． ∴AC =AE+CE =24．∵在Rt △ABC 中，∠CAB =30︒， ∴BC =12，cos30AB AC =⋅︒= ∵DE AC ⊥，AE=CE ， ∴AD=DC ．在Rt △ADE 中，由勾股定理得 AD13=． ∴DC =13．∴四边形ABCD 的周长=AB +BC +CD +DA=38+20．（1）证明：连结BD ． ∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠ABD =90°． ∴∠1+∠D =90°．∵∠C =∠D ，∠C =∠BAE ， ∴∠D =∠BAE ． ∴∠1+∠BAE =90°． 即∠DAE =90°． ∵AD 是⊙O 的直径， ∴直线AE 是⊙O 的切线．（2）解：过点B 作BF ⊥AE 于点F ，则∠BFE =90︒． ∵EB =AB ，∴∠E =∠BAE ，EF =12AE =12×24=12． ∵∠BFE =90︒，4cos 5E =，∴512cos 4EF EB E ==⨯=15．∴AB =15．由（1）∠D =∠BAE ，又∠E =∠BAE ， ∴∠D=∠E ． ∵∠ABD =90︒， ∴54cos ==AD BD D ．ED CB A设BD =4k ，则AD ＝5k ．在Rt △ABD 中，由勾股定理得ABk ，可求得k =5． ∴.25=AD∴⊙O 的半径为252．21．解：（1）290-(85+80+65)=60 (万元)．补图(略) （2）85⨯23%=19．55≈19．6(万元)．所以该店1月份音乐手机的销售额约为19．6万元． （3）不同意，理由如下：3月份音乐手机的销售额是6018%10.8⨯=（万元）， 4月份音乐手机的销售额是6517%11.05⨯=（万元）． 而10．8<11．05，因此4月份音乐手机的销售额比3月份的销售额增多了．22．解：△BCE 的面积等于2． （1）如图（答案不唯一）：以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的一个三角形是△EGM ．（2）以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的三角形的面积等于3．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）当m =0时，原方程化为,03=+x 此时方程有实数根x =-3． 当m ≠0时，原方程为一元二次方程．∵()()222311296131m m m m m ∆=+-=-+=-≥0． ∴此时方程有两个实数根．综上，不论m 为任何实数时，方程03)13(2=+++x m mx 总有实数根． （2）∵令y =0，则mx 2+(3m +1)x +3=0． 解得13x =-，21x m=-． ∵抛物线()2313y mx m x =+++与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数， ∴1m =．∴抛物线的解析式为243y x x =++．（3）法一：∵点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在抛物线上， ∴2211121143,()4()3y x x y x n x n =++=++++．∵,21y y =EDC BAG∴22111143()4()3x x x n x n ++=++++． 可得04221=++n n n x ． 即0)42(1=++n x n ． ∵点P ，Q 不重合， ∴n ≠0． ∴124x n =--．∴222211114125168(2)265168x x n n n x x n n n ++++=+⋅+++22(4)6(4)516824.n n n n n =++--+++=法二：∵243y x x =++=(x +2)2-1， ∴抛物线的对称轴为直线x =-2．∵点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在抛物线上，点P ，Q 不重合，且,21y y = ∴点P ，Q 关于直线x =-2对称． ∴11 2.2x x n++=- ∴124x n =--． 下同法一．24．解：（1）NP =MN ，∠ABD +∠MNP =180︒． （2）点M 是线段EF 的中点(或其它等价写法)． 证明：如图，分别连接BE 、CF ． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥DC ，∠A =∠DCB ， ∴∠ABD =∠BDC ． ∵∠A =∠DBC ， ∴∠DBC =∠DCB ． ∴DB =DC ．① ∠EDF =∠ABD ， ∴∠EDF =∠BDC ．∴∠BDC-∠EDC =∠EDF-∠EDC ． 即∠BDE =∠CDF ．②M1 32 4P N AEFC DB又DE =DF ，③由①②③得△BDE ≌△CDF ． ∴EB =FC ，∠1=∠2．∵N 、P 分别为EC 、BC 的中点， ∴NP ∥EB ，NP =EB 21． 同理可得MN ∥FC ，MN =FC 21．∴NP =NM ． ∵NP ∥EB ， ∴∠NPC =∠4．∴∠ENP =∠NCP +∠NPC =∠NCP +∠4． ∵MN ∥FC ，∴∠MNE =∠FCE =∠3+∠2=∠3+∠1．∴∠MNP =∠MNE +∠ENP =∠3+∠1+∠NCP +∠4 =∠DBC +∠DCB =180︒-∠BDC =180︒-∠ABD ． ∴∠ABD +∠MNP =180︒．25．解：（1）依题意，112=⨯-b，解得b =-2． 将b =-2及点B (3， 6)的坐标代入抛物线解析式2y x bx c =++得 26323c =-⨯+．解得c =3．（2）∵抛物线322+-=x x y 与y 轴交于点A ， ∴A (0，3)． ∵B (3，6)，可得直线AB 的解析式为3y x =+．设直线AB 下方抛物线上的点M 坐标为（x ，322+-x x ），过M 点作y 轴的平行线交直线AB 于点N ，则N (x ，x +3)．(如图1) ∴132ABM AMN BMN B A S S S MN x x ∆∆∆=+=⋅-=． ∴()21323332x x x ⎡⎤+--+⨯=⎣⎦． 解得121,2x x ==．∴点M 的坐标为(1，2)或(2，3)．（3）如图2，由P A =PO ，OA =c ，可得2c PD =． ∵抛物线c bx x y ++=2的顶点坐标为)44,2(2b c bP --， ∴2442cb c =-． ∴22b c =．∴抛物线2221b bx x y ++=， A （0，212b ），P （12b -，214b ），D （1b -，0）．可得直线OP 的解析式为12y bx =-．∵点B 是抛物线2212y x bx b =++与直线12y bx =-的图象的交点，令221122bx x bx b -=++．解得12,2bx b x =-=-．图2可得点B 的坐标为（-b ，212b ）．由平移后的抛物线经过点A ，可设平移后的抛物线解析式为2212y x mx b =++．将点D (12b -，0)的坐标代入2212y x mx b =++，得32m b =． ∴平移后的抛物线解析式为223122y x bx b =++．令y =0，即2231022x bx b ++=．解得121,2x b x b =-=-．依题意，点C 的坐标为（-b ，0）． ∴BC =212b ． ∴BC = OA ． 又BC ∥OA ，∴四边形OABC 是平行四边形． ∵∠AOC =90︒，∴四边形OABC 是矩形．2012年海淀区中考一模数学试卷部分答案一、选择题1. 【答案】A 【解析】32的相反数是32-，故选A ．2. 【答案】B【解析】41430用科学记数法表示为44.14310⨯，故选B ．3. 【答案】C【解析】由圆周角定理可知1402C AOB ∠=∠=︒，80AOB ∠=︒，共故选C ．4. 【答案】D【解析】掷一枚质地均匀的正方体骰子，一共有6种可能，掷得朝上一面的点数为偶数可能为2，4，6，符合题意有三种情况，所以概率为31=62，故选D5. 【答案】C【解析】90C BED ∠=∠=︒，BED BCA ∽△△，2142DE BD AC AB ===，故选C6. 【答案】B【解析】222414441(2)5x x x x x +-=++--=+-，故选B ．7. 【答案】A【解析】这组数据众数为0.032，中位数为从小到大排列位于第三个数和第四个数的平均数为0.0295，故选A ．8. 【答案】C【解析】折叠能围成三棱柱的只有C ，故选C ．二、填空题 9. 【答案】3x ≠【解析】13x y x +=-有意义，分母不为0，即30x -≠，3x ≠． 故答案为：3x ≠．10. 【答案】)2)(2(-+x x x【解析】分解因式324=(4)(2)(2)x x x x x x x --=+-． 故答案为：)2)(2(-+x x x ．11. 【答案】6【解析】．∵150ABC ∠=︒，其邻补角为30︒，利用30︒所对的直角边等于斜边的一半，162h BC ==．故答案为：6．12. 【答案】()1129933(,);5()4,()4422n n --⨯-【解析】由题可知1(1,1)A ，273(,)22A ，直线12A A 的解析式为1455y x =+，∵122223A B A A B A ∽△△，∴32212211A B A B A B A B =，从而可以得到n A 的纵坐标是以1为首项，以32为公比的等比数列．故n A 的纵坐标为13()2n -，∴3A 的纵坐标为94，横坐标代入直线的解析式149554x +=，4529444x =-=． 同理1143()552n x -+=，135()42n x -=⨯-．故答案为：()1129933(,);5()4,()4422n n --⨯-．。
北京市各区2012年高考数学一模试题分类解析(10) 平面向量 理
十、平面向量4.（2012年海淀一模理4）已知向量=(1)=(1)x x ，a b ，，-，若2-a b 与b 垂直，则=a （ C ）A C ．2 D ．47．（2012年东城一模理7））在直角梯形A B C D 中，已知B C ∥A D ，AB AD ⊥，4A B =，2B C =，4AD =，若P 为C D 的中点，则PA PB ⋅的值为（ D ）A ．5-B ．4-C ．4D ．54．（2012年丰台一模理4）已知向量(sin ,cos )a θθ= ，(3,4)b =，若a b ⊥ ，则tan 2θ等于（ A ）A.247B.67C.2425-D.247-7．（2012年密云一模理7）在A B C ∆中，点P 是BC 上的点. 2BP PC = ,A B +A C A P λμ=,则（ C ）A. 2,1λμ==B. 1,2λμ==C. 12,33λμ==D. 21,33λμ==6．（2012年门头沟一模理6）在A B C ∆所在平面内有一点O ，满足20OA AB AC ++= ，1O A O B AB ===，则→→∙CB CA 等于（ C ）2C.3D.322.（2012年朝阳一模理2）已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1==a b ，则向量a 与b 的夹角为（ C ）A. 6πB. 3πC. 32πD.65π9.（2012年石景山一模理9）设向量)cos 3,1(),1,(cos θθ==b a，且b a //，则θ2cos = ．答案：31-。
2．（2012年房山一模理2）如果(1,)a k = ，(,4),b k =那么“a ∥b ”是“2k =-”的（ B ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8．（2012年房山一模理8）如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则OCOB⋅的最大值是（ A ）A.2B.1+C.πD.4。
2012北京市海淀区初三(一模)数 学
2012北京市海淀区初三（一模）数学一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（4分）的相反数是（）A．B．C．D．2．（4分）2012年第七届原创新春祝福短信微博大赛作品充满了对龙年浓浓的祝福，主办方共收到原创祝福短信作品41 430条，将41 430用科学记数表示应为（）A．41.43×103B．4.143×104C．0.4143×105D．4.143×1053．（4分）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠C=40°，则∠AOB的度数为（）A．20°B．40°C．80°D．100°4．（4分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得朝上一面的点数为偶数的概率为（）A．B．C．D．5．（4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在CB上，DE⊥AB，若DE=2，CA=4，则=（）A．B．C．D．6．（4分）将代数式x2+4x﹣1化为（x+p）2+q的形式，正确的是（）A．（x﹣2）2+3 B．（x+2）2﹣5 C．（x+2）2+4 D．（x+2）2﹣47．（4分）北京市环保检测中心网站公布的2012年3月31日的PM2.5研究性检测部分数据如下表：时间0：00 4：00 8：00 12：00 16：00 20：00PM2.5（mg/m3）0.027 0.035 0.032 0.014 0.016 0.032则该日这6个时刻的PM2.5的众数和中位数分别是（）A．0.032，0.0295 B．0.026，0.0295 C．0.026，0.032 D．0.032，0.0278．（4分）下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）函数中自变量x的取值范围是．10．（4分）分解因式：x3﹣4x=．11．（4分）如图是某超市一层到二层滚梯示意图．其中AB、CD分别表示超市一层、二层滚梯口处地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长约为12米，则乘滚梯从点B到点C上升的高度h约为米．12．（4分）在平面直角坐标系xOy中，正方形A1B1C1O、A2B2C2B1、A3B3C3B2，…，按如图所示的方式放置、点A1、A2、A3，…和点B1、B2、B3，…分别在直线y=kx+b和x轴上、已知C1（1，﹣1），C2（，），则点A3的坐标是；点A n的坐标是．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）计算：．14．（5分）解不等式组：．15．（5分）如图，AC∥FE，点F、C在BD上，AC=DF，BC=EF．求证：AB=DE．16．（5分）已知是方程组的解，求4a（a﹣b）+b（4a﹣b）+5的值．17．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与一次函数y=kx的图象的一个交点为A（m，﹣3）．（1）求一次函数y=kx的解析式；（2）若点P在直线OA上，且满足PA=2OA，直接写出点P的坐标．18．（5分）列方程或方程组解应用题：三月植树节期间，某园林公司增加了人力进行园林绿化，现在平均每天比原计划多植树50棵，现在植树600棵所需的时间与原计划植树450棵所需的时间相同，问现在平均每天植树多少棵？四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=30°，DE⊥AC于E，且AE=CE，若DE=5，EB=12，求四边形ABCD的周长．20．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，E是CB延长线上一点，且∠BAE=∠C．（1）求证：直线AE是⊙O的切线；（2）若EB=AB，cosE=，AE=24，求EB的长及⊙O的半径．21．（5分）以下是根据某手机店销售的相关数据绘制的统计图的一部分．请根据图1、图2解答下列问题：（1）来自该店财务部的数据报告表明，该手机店1～4月的手机销售总额一共是290万元，请将图1中的统计图补充完整；（2）该店1月份音乐手机的销售额约为多少万元（结果保留三个有效数字）？（3）小刚观察图2后认为，4月份音乐手机的销售额比3月份减少了，你同意他的看法吗？请你说明理由．22．（5分）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．若△BOC的面积为1，试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积．小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO到E，使得OE=CO，连接BE，可证△OBE≌△OAD，从而得到的△BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形（如图2）．请你回答：图2中△BCE的面积等于．请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：如图3，已知△ABC，分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI，连接EG、FH、ID．（1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）若△ABC的面积为1，则以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0．（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）若抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式；（3）若点P（x1，y1）与Q（x1+n，y2）在（2）中抛物线上（点P、Q不重合），且y1=y2，求代数式4x12+12x1n+5n2+16n+8的值．24．（7分）在▱ABCD中，∠A=∠DBC，过点D作DE=DF，且∠EDF=∠ABD，连接EF、EC，N、P分别为EC、BC的中点，连接NP．（1）如图1，若点E在DP上，EF与DC交于点M，试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图2，若点M在线段EF上，当点M在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1）中的结论．25．（8分）已知抛物线y=x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．（1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且S△ABM=3，求点M的坐标；（3）如图2，若点P在第一象限，且PA=PO，过点P作PD⊥x轴于点D．将抛物线y=x2+bx+c平移，平移后的抛物线经过点A、D，该抛物线与x轴的另一个交点为C，请探究四边形OABC的形状，并说明理由．数学试题答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．【解答】∵与﹣只有符号相反，∴的相反数是﹣．故选A．2．【解答】41 430=4.143×104．故选B．3．【解答】∵弧AB所对的圆周角是∠C，所对的圆心角是∠AOB，且∠C=40°，∴∠AOB=2∠C=80°，故选C．4．【解答】根据题意可得：掷一次骰子，向上一面的点数有6种情况，其中有3种为向上一面的点数偶数；故其概率是=．故选：D．5．【解答】由题意得，∠B=∠B，∠DEB=∠ACB=90°，故可得△BAC∽△BDE，从而有：==．故选C．6．【解答】x2+4x﹣1=x2+4x+4﹣4﹣1=x2+4x+4﹣5=（x+2）2﹣5．故选B．7．【解答】∵该日6个时刻的PM2.5中0.032出现了两次，次数最多，∴众数是0.032，把这六个数从小到大排列为：0.014，0.016，0.027，0.032，0.032，0.035，所以中位数是（0.027+0.032）÷2=0.0295，故选A．8．【解答】A、另一底面的三角形是直角三角形，两底面的三角形不全等，故本选项错误；B、折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误；C、折叠后能围成三棱柱，故本选项正确；D、折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误．故选C．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．【解答】根据题意得：x﹣3≠0，解得：x≠3．10．【解答】x3﹣4x=x（x2﹣4）=x（x+2）（x﹣2）．故答案为：x（x+2）（x﹣2）．11．【解答】过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于E，如右图，∵∠ABC=150°，∴∠CBE=30°，在Rt△BCE中，∵BC=12，∠CBE=30°，∴CE=BC=6．故答案是6．12．【解答】连接A1C1，A2C2，A3C3，分别交x轴于点E、F、G，∵正方形A1B1C1O、A2B2C2B1、A3B3C3B2，∴A1与C1关于x轴对称，A2与C2关于x轴对称，A3与C3关于x轴对称，∵C1（1，﹣1），C2（，），∴A1（1，1），即（5×（）1﹣1﹣4，（）1﹣1），A2（，），即（5×（）2﹣1﹣4，（）2﹣1），∴OB1=2OE=2，OB2=OB1+2B1F=2+2×（﹣2）=5，将A1与A2的坐标代入y=kx+b中得：，解得：，∴直线解析式为y=x+，设B2G=A3G=b，则有A3坐标为（5+b，b），代入直线解析式得：b=（5+b）+，解得：b=，∴A3坐标为（，），即（5×（）3﹣1﹣4，（）3﹣1），依此类推A n（5×（）n﹣1﹣4，（）n﹣1）．故答案为：（，）；（5×（）n﹣1﹣4，（）n﹣1）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．【解答】原式=1+2﹣2×+3，=4+．14．【解答】由x﹣2＞0，得x＞2；由2（x+1）≥3x﹣1，得2x+2≥3x﹣1；2x﹣3x≥﹣1﹣2x≤3∴不等式组的解集是2＜x≤315．【解答】证明：∵AC∥EF，∴∠ACB=∠DFE．在△ABC和△DEF中，∵，∴△ABC≌△DEF，∴AB=DE．16．【解答】把x=a，y=b代入方程，得，解得，∴4a（a﹣b）+b（4a﹣b）+5=0+4﹣1+5=8．17．【解答】（1）∵点A（m，﹣3）在反比例函数的图象上，∴．∴m=﹣1．∴点A的坐标为A（﹣1，﹣3）．∵点A在一次函数y=kx的图象上，∴k=3．∴一次函数的解析式为y=3x．（2）∵﹣1+1×2=1，﹣3+3×2=3，﹣1﹣1×2=﹣3，﹣3﹣3×2=﹣9，∴点P的坐标为P （1，3）或P （﹣3，﹣9）．18．【解答】设现在平均每天植树x棵．依题意，得=．解得：x=200．经检验，x=200是原方程的解，且符合题意．答：现在平均每天植树200棵．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．【解答】∵∠ABC=90°，AE=CE，EB=12，∴EB=AE=CE=12，∴AC=AE+CE=24，∵在Rt△ABC中，∠CAB=30°，∴BC=12，，∵DE⊥AC，AE=CE，∴AD=DC，在Rt△ADE中，由勾股定理得AD=，∴DC=13，∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=38+．20．【解答】（1）证明：连接BD．∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°．∴∠1+∠D=90°．∵∠C=∠D，∠C=∠BAE，∴∠D=∠BAE．∴∠1+∠BAE=90°．即∠DAE=90°．∵AD是⊙O的直径，∴直线AE是⊙O的切线．（2）解：过点B作BF⊥AE于点F，则∠BFE=90°．∵EB=AB，∴∠E=∠BAE，EF=AE=×24=12．∵∠BFE=90°，，∴=15．∴AB=15．由（1）∠D=∠BAE，又∠E=∠BAE，∴∠D=∠E．∵∠ABD=90°，∴．设BD=4k，则AD=5k．在Rt△ABD中，∠ABD=90°，由勾股定理得：AB==3k，可求得k=5．∴AD=25．∴⊙O的半径为．21．【解答】（1）290﹣（85+80+65）=60 （万元）．补图如图所示；（2）85×23%=19.55≈19.6 （万元）．所以该店1月份音乐手机的销售额约为19.6万元．（3）不同意，理由如下：3月份音乐手机的销售额是60×18%=10.8（万元），4月份音乐手机的销售额是65×17%=11.05（万元）．而10.8＜11.05，因此4月份音乐手机的销售额比3月份的销售额增多了．22．【解答】∵△ABO和△CDO均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，∴OD=OC，OA=OB．又∵∠BOE+∠AOE=90°，∠AOD+∠AOE=90°，∴∠AOD=∠BOE，∴△OBE≌△OAD，∴△BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形．∵△OEB与△BOC是等底同高的两个三角形，∴S△OEB=S△BOC=1，∴S△BCE=S△OEB+S△BOC=2．①（答案不唯一）：如图1，以EG、FH、ID的长度为三边长的一个三角形是△EGM．②如图2，∵四边形AEDB和四边形ACFG都是正方形，∴△ABE和△ACG都是等腰直角三角形，∴S△AEG=S△AEM=S△AMG=S△ABC=1，∴S△EGM=S△AEG+S△AEM+S△AMG=3，即以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于3．故答案是：2，3．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．【解答】（1）当m=0时，原方程化为x+3=0，此时方程有实数根x=﹣3．当m≠0时，原方程为一元二次方程．∵△=（3m+1）2﹣12m=9m2﹣6m+1=（3m﹣1）2≥0．∴此时方程有两个实数根．综上，不论m为任何实数时，方程mx2+（3m+1）x+3=0总有实数根．（2）∵令y=0，则mx2+（3m+1）x+3=0．解得x1=﹣3，．∵抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，∴m=1．∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3．（3）∵点P（x1，y1）与Q（x1+n，y2）在抛物线上，∴．∵y1=y2，∴．可得．即n（2x1+n+4）=0．∵点P，Q不重合，∴n≠0．∴2x1=﹣n﹣4．∴=（n+4）2+6n（﹣n﹣4）+5n2+16n+8=24．24．【解答】（1）答：NP=MN，∠ABD+∠MNP=180°；证明：连接CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠BCD，AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC，∵∠A=∠DBC，∴∠DBC=∠BCD，∠EDF=∠ABD，∴DB=DC，∠BDC=∠EDF，∵P是BC的中点，∴DP⊥BC，∠PDC=∠BDC，∴∠PDC=∠EDF，∵DE=DF，∴DM⊥EF，EM=FM，∴FC=EC，∵EN=CN，∴MN∥FC，MN=FC，在Rt△ECP中，N是EC的中点，∴NP=EC，∴NP=MN；∵NP=NC=CE，∴∠NPC=∠NCP，∴∠ENP=2∠NCP，∵EC=FC，EM=FM，∴∠ECF=2∠ECM，∵MN∥FC，∴∠ENM=∠ECF=2∠ECM，∵∠EDF=2∠EDC，∴∠ABD+∠MNP=∠EDF+∠ENP+∠ENM=2∠EDC+2∠ECP+2∠ECM=2（∠EDC+∠ECP+∠ECM）=2（∠EDC+∠PCD）=2×90°=180°．（2）答：点M是线段EF的中点．证明：如图，分别连接BE、CF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∠A=∠DCB，∴∠ABD=∠BDC．∵∠A=∠DBC，∴∠DBC=∠DCB．∴DB=DC．①∵∠EDF=∠ABD，∴∠EDF=∠BDC．∴∠BDC﹣∠EDC=∠EDF﹣∠EDC．即∠BDE=∠CDF．②又DE=DF，③由①②③得△BDE≌△CDF．∴EB=FC，∠1=∠2．∵N、P分别为EC、BC的中点，∴NP∥EB，NP=．同理可得MN∥FC，MN=．∴NP=NM．∵NP∥EB，∴∠NPC=∠4．∴∠ENP=∠NCP+∠NPC=∠NCP+∠4．∵MN∥FC，∴∠MNE=∠FCE=∠3+∠2=∠3+∠1．∴∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠3+∠1+∠NCP+∠4=∠DBC+∠DCB=180°﹣∠BDC=180°﹣∠ABD．∴∠ABD+∠MNP=180°．25．【解答】（1）依题意，，解得b=﹣2．将b=﹣2及点B（3，6）的坐标代入抛物线解析式y=x2+bx+c得6=32﹣2×3+c．解得c=3．所以抛物线的解析式为y=x2﹣2x+3．（2）∵抛物线y=x2﹣2x+3与y轴交于点A，∴A（0，3）．∵B（3，6），可得直线AB的解析式为y=x+3．设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，x2﹣2x+3），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N，则N（x，x+3）．（如图1）∴．∴．解得x1=1，x2=2．故点M的坐标为（1，2）或（2，3）．（3）如图2，由PA=PO，OA=c，可得．∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为，∴．∴b2=2c．∴抛物线，A（0，），P（，），D（，0）．可得直线OP的解析式为．∵点B是抛物线与直线的图象的交点，令．解得．可得点B的坐标为（﹣b，）．由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为．将点D（，0）的坐标代入，得．则平移后的抛物线解析式为．令y=0，即．解得．依题意，点C的坐标为（﹣b，0）．则BC=．则BC=OA．又∵BC∥OA，∴四边形OABC是平行四边形．∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形．。
【数学理】2012年北京市各区一模试题分类解析(15)：算法初步
【数学理】2012年北京市各区一模试题分类解析(15)：算法初步十五、算法初步5.（2012年海淀一模理5）执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（ B ） A ．4 B ．5 C ．6D ．72.（2012年西城一模理2）执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为（ D ） A ．2 B ．5 C ．11 D ．232nn =31n n =+开始n =5，n 为n =1 输出结束k =k +1 是否是否D．25i13．（2012年丰台一模理13）执行如下图所示的程序框图，则输出的i值为______．答案：6.11.（2012年朝阳一模理11） 执行如图所示的程序框图，若输入k 的值是4，则输出S 的值是 . 答案：34开结18a =，0i =S =，0S '= S S a =+4a a =-，1i i =+ S S'=S S '>输是 否 开输S =01+(1)S S i i =-i =?i k < 输是否5.（2012年东城11校联考理5）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内m的取值范围是（ B）A.（30，42］B.（42，56］C.（56，72］D.（30，72）5.（2012年石景山一模理5）执行右面的框图，若输入的N是6，则输出p的值是（ B ）A.120B.720C.1440D.50405．（2012年房山一模理5）执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为（ C ）A.5B.6C.7D.8否是4．（2012年密云一模理4）阅读右图所示的程序框图．若输入a＝6，b＝1，则输出的结果是（ B ）A．1 B．2 C． 3 D．4。
2012年北京市海淀区高考数学一模试卷(文科)(附答案解析)
2012年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ={x|x 2=1}，B ={x|x(x −2)<0}，那么A ∩B =( ) A.⌀ B.{−1} C.{1} D.{−1, 1}2. 在等比数列{a n }中，a 2=6，a 3=−18，则a 1+a 2+a 3+a 4=( ) A.26 B.40 C.54 D.803. 已知向量a →=(x +1, 2)，b →=(−1, x)．若a →与b →垂直，则|b →|=( ) A.1 B.√2 C.2 D.44. 过双曲线x 29−y 216=1的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是（ ）A.3x +4y −15=0B.3x −4y −15=0C.4x −3y +20=0D.4x −3y −20=05. 执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（ ）A.4B.5C.6D.76. 若满足条件{x −y ≥0x +y −2≤0y ≥a 的整点(x, y)恰有9个，（其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则整数a 的值为（ ） A.−3 B.−2C.−1D.07. 已知函数f(x)={−x 2+ax ，x ≤1，ax −1,x >1， 若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f(x 1)=f(x 2)成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.a <2 B.a >2C.−2<a <2D.a >2或a <−28. 在棱长为1的正方体ABCD −A′B′C′D′中，若点P 是棱上一点，则满足|PA|+|PC′|=2的点P 的个数为（）A.4B.6C.8D.12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.复数2i1−i在复平面内所对应的点的坐标为________．若tanα＝2，则sin2α＝________．以抛物线y2=4x上的点(x0, 4)为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是________．已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是________，左视图的面积是________．设某商品的需求函数为Q＝100−5P，其中Q，P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP大于1（其中EQ EP =−Q′QP，Q′是Q的导数），则商品价格P的取值范围是________．已知函数f(x)={1,x∈Q0,x∈C R Q，则f（f(x)）=________下面三个命题中，所有真命题的序号是________．①函数f(x)是偶函数；②任取一个不为零的有理数T，f(x+T)=f(x)对x∈R恒成立；③存在三个点A（x1, f(x1)），B（x2, f(x2)），C（x3, f(x3)），使得△ABC为等边三角形．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 已知函数f(x)=sin x+sin(x−π3)．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知f(A)=√32，a=√3b，试判断△ABC的形状．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0, 100]，样本数据分组为[0, 20),[20, 40),[40, 60),[60, 80),[80, 100]．（1）求直方图中x的值；（2）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿．已知菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60∘（如图1所示），将菱形ABCD沿对角线BD翻折，使点C翻折到点C1的位置（如图2所示），点E，F，M分别是AB，DC1，BC1的中点．（1）证明：BD // 平面EMF；（2）证明：AC1⊥BD；（3）当EF⊥AB时，求线段AC1的长．已知函数f(x)=a ln x −12x 2+12(a ∈R 且a ≠0)．（1）求f(x)的单调区间；（2）是否存在实数a ，使得对任意的x ∈[1, +∞)，都有f(x)≤0？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点A(2, 0)，离心率为√32，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P （异于点A ）为椭圆C 上一个动点，过O 作线段AP 的垂线l 交椭圆C 于点E ，D ，求|DE||AP|的取值范围．对于集合M ，定义函数f M (x)={−1,x ∈M1,x ∉M ，对于两个集合M ，N ，定义集合M △N ={x|f M (x)⋅f N (x)=−1}．已知A ={2, 4, 6, 8, 10}，B ={1, 2, 4, 8, 16}． （1）写出f A (1)和f B (1)的值，并用列举法写出集合A △B ；（2）用Card(M)表示有限集合M 所含元素的个数．(I)求证：当Card(X △A)+Card(X △B)取得最小值时，2∈X ； (II)求Card(X △A)+Card(X △B)的最小值．参考答案与试题解析2012年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】 C【考点】 交集及其运算 【解析】求出集合A 中方程的解，确定出集合A ，求出集合B 中不等式的解集，确定出集合B ，找出两集合的公共元素，即可求出两集合的交集． 【解答】解：由集合A 中的方程x 2=1，解得：x =1或x =−1， ∴ 集合A ={−1, 1}，由集合B 中的不等式x(x −2)<0，解得：0<x <2， ∴ 集合B ={x|0<x <2}， ∴ A ∩B ={1}． 故选C 2.【答案】 B【考点】等比数列的前n 项和 【解析】根据等比数列{a n }中，a 2=6，a 3=−18，求得数列的首项与公比，即可求和． 【解答】解：∵ 等比数列{a n }中，a 2=6，a 3=−18， ∴ q =a3a 2=−3，a 1=a 2q=−2∴ a 1+a 2+a 3+a 4=−2+6−18+54=40 故选B ． 3. 【答案】 B 【考点】 向量的模 【解析】根据a →与b →垂直建立等式关系，求出x ，从而得到向量b →的坐标，根据向量模的公式可求出所求． 【解答】解：∵ 向量a →=(x +1, 2)，b →=(−1, x)，a →与b →垂直∴ a →⋅b →=x −1=0解得x =1 则b →=(−1, 1) ∴ |b →|=√2 故选B ． 4.【答案】 D【考点】 双曲线的特性 【解析】 由双曲线x 29−y 216=1的右焦点为F(5, 0)，经过一、三象限的渐近线为y =43x ，得到所求直线方程为y =43(x −5)，由此能够求出结果． 【解答】解：∵ 双曲线x 29−y 216=1的右焦点为F(5, 0)， 经过一、三象限的渐近线为y =43x ，∴ 所求直线方程为y =43(x −5)， 整理，得4x −3y −20=0． 故选D ． 5.【答案】 B【考点】循环结构的应用 【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出k 的值． 【解答】解：第一次循环：n =3×5+1=16，k =0+1=1，继续循环； 第二次循环：n =162=8，k =1+1=2，继续循环；第三次循环：n =82=4，k =2+1=3，继续循环； 第四次循环：n =42=2，k =3+1=4，继续循环； 第五次循环：n =22=1，k =4+1=5，结束循环． 输出k =5．故选B．6.【答案】C【考点】求线性目标函数的最值【解析】作出满足条件{x−y≥0x+y−2≤0y≥a的平面区域，利用整点(x, y)恰有9个，可求整数a的值．【解答】解：作出满足条件{x−y≥0x+y−2≤0y≥a的平面区域，如图要使整点(x, y)恰有9个，即为(0, 0)、(1, 0)、(2, 0)，(1, 1)、(−1, −1)、(0, −1)、(1, −1)，(2, −1)、(3, −1)故整数a的值为−1故选C．7.【答案】A【考点】全称命题与特称命题分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)成立，则说明f(x)在R上不单调，分a=0及a≠0两种情况分布求解即可.【解答】解：若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)成立，则说明f(x)在R上不单调.①当a=0时，f(x)={−x2，x≤1,−1,x>1,，其图象如图所示，满足题意;②当a<0时，函数y=−x2+ax的对称轴x=a2<0，其图象如图所示，满足题意;③当a>0时，函数y=−x2+ax的对称轴x=a2>0，其图象如图所示，要使得f(x)在R上不单调,则只要二次函数的对称轴x=a2<1,∴a<2.综上可得，a<2.故选A.8.【答案】B【考点】椭圆的定义【解析】由题意可得点P是以2c=√3为焦距，以a=1为长半轴，以12为短半轴的椭球与正方体与棱的交点，可求【解答】解：∵正方体的棱长为1∴AC′=√3∵|PA|+|PC′|=2∴点P是以2c=√3为焦距，以a=1为长半轴，以12为短半轴的椭球上，∵P在正方体的棱上∴P应是椭圆与正方体的棱的交点结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱B′C′，C′D′，CC′，AA′，AB，AD上各有一点满足条件故选B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.【答案】(−1, 1)【考点】复数代数形式的乘除运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】复数的分母实数化，利用复数与点的对应关系，求出结果即可．【解答】解：复数2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i，所以复数2i1−i在复平面内所对应的点的坐标为(−1, 1)．故答案为：(−1, 1)．【答案】4【考点】同角三角函数间的基本关系二倍角的三角函数【解析】利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦公式，把要求的式子化为2tanα1+tan2α，把已知条件代入运算求得结果．【解答】∵tanα＝2，∴sin2α＝2sinαcosα=2sinαcosαcos2α+sin2α=2tanα1+tan2α=45，【答案】(x−4)2+(y−4)2=25【考点】抛物线的求解圆的标准方程【解析】先根据抛物线的方程求得其焦点的坐标，把y=4代入抛物线方程求得圆心的坐标，进而求得圆的直径，进而求得圆的方程．【解答】解：∵y2=4x，∴p=2，焦点F(1, 0)，把y=4代入抛物线方程求得x0=4，得圆心P(4, 4)∴圆的半径r=√32+42=5∴所求圆的方程为(x−4)2+(y−4)2=25．故答案为：(x−4)2+(y−4)2=25．【答案】√23,√22【考点】由三视图求体积【解析】由题意可知，三条侧棱两两垂直的正三棱锥是正四面体，要求该三棱锥的体积和左视图的面积，必须求出正四面体的高及底面三角形的高，从而解决问题．【解答】正三棱锥A−BCD的三条侧棱两两垂直，∴正三棱锥A−BCD是正四面体，底面是边长为2正三角形，底面上的高是√3，所以底面面积S =√34×22=√3， A 到底面的距离：ℎ=√AD 2−DF 2=(√3)=√63；∴ 该三棱锥的体积V =13×√3×√63=√23， 该三棱锥的左视图的面积：S △ADE =12×DE ×AF =12×√3×√63=√22【答案】 (10, 20) 【考点】函数最值的应用 【解析】利用Q ＝100−5P ，弹性EQEP 大于1，建立不等式，解不等式即可得到结论． 【解答】∵ Q ＝100−5P ，弹性EQEP 大于1 ∴ EQEP =−Q ′Q P =5P100−5P >1 ∴ (P −10)(P −20)<0∴ 10<P <20 【答案】 1,①②③ 【考点】命题的真假判断与应用 函数的求值【解析】根据函数的对应法则，可得不管x 是有理数还是无理数，均有f （f(x)）=1．根据函数奇偶性的定义，可得f(x)是偶函数，①正确；根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质，得②正确；取x 1=−√33，x 2=0，x 3=√33，可得A(√33, 0)、B(0, 1)、C(−√33, 0)三点恰好构成等边三角形，得③正确． 【解答】解：∵ 当x 为有理数时，f(x)=1；当x 为无理数时，f(x)=0∴ 当x 为有理数时，f （f(x)）=f(1)=1；当x 为无理数时，f （f(x)）=f(0)=1 即不管x 是有理数还是无理数，均有f （f(x)）=1 接下来判断三个命题的真假对于①，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数， 所以对任意x ∈R ，都有f(−x)=f(x)，故①正确；对于②，若x 是有理数，则x +T 也是有理数； 若x 是无理数，则x +T 也是无理数∴ 根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，f(x +T)=f(x)对x ∈R 恒成立，故②正确； 对于③，取x 1=−√33，x 2=0，x 3=√33，可得f(x 1)=0，f(x 2)=1，f(x 3)=0∴ A(√33, 0)，B(0, 1)，C(−√33, 0)，恰好△ABC 为等边三角形，故③正确．故答案为：1 ①②③三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【答案】解：(1)f(x)=sin x +sin (x −π3) =sin x +12sin x −√32cos x=32sin x −√32cos x =√3(√32sin x −12cos x) =√3sin (x −π6)，由2kπ−π2≤x −π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，解得：2kπ−π3≤x ≤2kπ+2π3，k ∈Z ，则f(x)的单调递增区间为[2kπ−π3, 2kπ+2π3]，k ∈Z .(2)∵ f(A)=√3sin (A −π6)=√32， ∴ sin (A −π6)=12，∵ 0<A <π，∴ −π6<A −π6<5π6，∴ A =π3，又a =√3b ，∴ 由正弦定理asin A =bsin B 得：sin B =12， 又a >b ，A =π3，∴ B =π6， ∴ C =π2，则△ABC 为直角三角形． 【考点】两角和与差的正弦公式 正弦定理 三角形的形状判断【解析】（1）将f(x)解析式第二项利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调递增区间列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到f(x)的单调递增区间；（2）由第一问确定的函数解析式及f(A)=√32，求出sin(A−π6)的值，由A的范围求出A−π6的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，再由a=√3b，利用正弦定理求出sin B的值，由a大于b，利用三角形的边角关系得出A大于B，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，进而确定出C的度数，判定出三角形ABC的形状．【解答】解：(1)f(x)=sin x+sin(x−π3)=sin x+12sin x−√32cos x=32sin x−√32cos x=√3(√32sin x−12cos x)=√3sin(x−π6)，由2kπ−π2≤x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得：2kπ−π3≤x≤2kπ+2π3，k∈Z，则f(x)的单调递增区间为[2kπ−π3, 2kπ+2π3]，k∈Z.(2)∵f(A)=√3sin(A−π6)=√32，∴sin(A−π6)=12，∵0<A<π，∴−π6<A−π6<5π6，∴A=π3，又a=√3b，∴由正弦定理asin A =bsin B得：sin B=12，又a>b，A=π3，∴B=π6，∴C=π2，则△ABC为直角三角形．【答案】解：（1）由直方图可得(x+0.025+0.0065+0.003×2)×20=1．所以x=0.0125．…（2）由直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003×2×20=0.12．…因为600×0.12=72．所以600名新生中有72名学生可以申请住宿．…【考点】用样本的频率分布估计总体分布频率分布直方图【解析】（1）由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出x值．（2）再求出小矩形的面积即上学所需时间不少于1小时组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数即可．【解答】解：（1）由直方图可得(x+0.025+0.0065+0.003×2)×20=1．所以x=0.0125．…（2）由直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003×2×20=0.12．…因为600×0.12=72．所以600名新生中有72名学生可以申请住宿．…【答案】解：（1）∵点F，M分别是C1D，C1B的中点，∴△BC1D中，FM是中位线，可得FM // BD．…又∵FM⊂平面EMF，BD⊄平面EMF，∴BD // 平面EMF．…（2）在菱形ABCD中，设O为AC，BD的交点，则AC⊥BD．…连接AO，C1O∴在三棱锥C1−ABD中，C1O⊥BD，AO⊥BD．又C1O∩AO=O，∴BD⊥平面AOC1．…又∵AC1⊂平面AOC1，∴BD⊥AC1．…（3）连接DE，C1E．在菱形ABCD中，DA=AB，∠BAD=60∘，所以△ABD是等边三角形，得DA=DB．…∵E为AB中点，∴DE⊥AB．又∵EF⊥AB，EF∩DE=E．∴AB⊥平面DEF，即AB⊥平面DEC1．…又∵C1E⊂平面DEC1，∴AB⊥C1E．∵AE=EB，BC1=AB=4，∴AC1=BC1=4．…【考点】直线与平面垂直的性质直线与平面平行的判定【解析】（1）△ABC1中根据中位线定理，得到FM // BD，结合线面垂直的判定定理，可得BD // 平面EMF．（2）根据菱形的对角线相互垂直，得到C1O⊥BD且AO⊥BD，所以BD⊥平面AOC1，从而得到平面AC1O内的直线AC1BD．（3）等边三角形△ABD中，E为AB中点，得到DE⊥AB，再结合EF⊥AB，得到平面DEF⊥AB，所以C1E⊥AB，结合E为AB中点，可得AC1=BC1=4．【解答】解：（1）∵点F，M分别是C1D，C1B的中点，∴△BC1D中，FM是中位线，可得FM // BD．…又∵FM⊂平面EMF，BD⊄平面EMF，∴BD // 平面EMF．…（2）在菱形ABCD中，设O为AC，BD的交点，则AC⊥BD．…连接AO，C1O∴在三棱锥C1−ABD中，C1O⊥BD，AO⊥BD．又C1O∩AO=O，∴BD⊥平面AOC1．…又∵AC1⊂平面AOC1，∴BD⊥AC1．…（3）连接DE，C1E．在菱形ABCD中，DA=AB，∠BAD=60∘，所以△ABD是等边三角形，得DA=DB．…∵E为AB中点，∴DE⊥AB．又∵EF⊥AB，EF∩DE=E．∴AB⊥平面DEF，即AB⊥平面DEC1．…又∵C1E⊂平面DEC1，∴AB⊥C1E．∵AE=EB，BC1=AB=4，∴AC1=BC1=4．…【答案】解：（1）f(x)的定义域为(0, +∞)．求导函数可得f′(x)=ax−x=−x2+ax．…当a<0时，在区间(0, +∞)上，f′(x)<0．所以f(x)的单调递减区间是(0, +∞)．…当a>0时，令f′(x)=0得x=√a或x=−√a（舍）．函数f(x)，f′(x)随x的变化如下：所以f(x)的单调递增区间是(0,√a)，单调递减区间是(√a，+∞)．…综上所述，当a<0时，f(x)的单调递减区间是(0, +∞)；当a>0时，f(x)的单调递增区间是(0,√a)，单调递减区间是(√a，+∞)．（2）由（1）可知：当a<0时，f(x)在[1, +∞)上单调递减，所以f(x)在[1, +∞)上的最大值为f(1)=0，即对任意的x∈[1, +∞)，都有f(x)≤0．…当a>0时，①当√a≤1，即0<a≤1时，f(x)在[1, +∞)上单调递减，所以f(x)在[1, +∞)上的最大值为f(1)=0，即对任意的x∈[1, +∞)，都有f(x)≤0．…②当√a>1，即a>1时，f(x)在[1,√a)上单调递增，所以f(√a)>f(1)．又f(1)=0，所以f(√a)>0，与对于任意的x∈[1, +∞)，都有f(x)≤0矛盾．…综上所述，存在实数a满足题意，此时a的取值范围是(−∞, 0)∪(0, 1]．…【考点】导数求函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）确定函数f(x)的定义域，求导函数，对a分类讨论，利用导数的正负，即可求得f(x)的单调区间；（2）对任意的x∈[1, +∞)，都有f(x)≤0，即使得对任意的x∈[1, +∞)，都有f(x)max≤0，因此求出函数的最大值，即可确定a的取值范围．【解答】解：（1）f(x)的定义域为(0, +∞)．求导函数可得f′(x)=ax−x=−x2+ax．…当a<0时，在区间(0, +∞)上，f′(x)<0．所以f(x)的单调递减区间是(0, +∞)．…当a>0时，令f′(x)=0得x=√a或x=−√a（舍）．函数f(x)，f′(x)随x的变化如下：所以f(x)的单调递增区间是(0,√a)，单调递减区间是(√a，+∞)．…综上所述，当a <0时，f(x)的单调递减区间是(0, +∞)；当a >0时，f(x)的单调递增区间是(0,√a)，单调递减区间是(√a ，+∞)．（2）由（1）可知：当a <0时，f(x)在[1, +∞)上单调递减，所以f(x)在[1, +∞)上的最大值为f(1)=0，即对任意的x ∈[1, +∞)，都有f(x)≤0．… 当a >0时，①当√a ≤1，即0<a ≤1时，f(x)在[1, +∞)上单调递减，所以f(x)在[1, +∞)上的最大值为f(1)=0，即对任意的x ∈[1, +∞)，都有f(x)≤0．…②当√a >1，即a >1时，f(x)在[1,√a)上单调递增，所以 f(√a)>f(1)．又 f(1)=0，所以 f(√a)>0，与对于任意的x ∈[1, +∞)，都有f(x)≤0矛盾．… 综上所述，存在实数a 满足题意，此时a 的取值范围是(−∞, 0)∪(0, 1]．… 【答案】 解：（1）因为 A(2, 0)是椭圆C 的右顶点，所以a =2． 又ca =√32，所以 c =√3． 所以 b 2=a 2−c 2=4−3=1． 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．…（2）当直线AP 的斜率为0时，|AP|=4，DE 为椭圆C 的短轴，则|DE|=2，所以|DE||AP|=12．…当直线AP 的斜率不为0时，设直线AP 的方程为y =k(x −2)，P(x 0, y 0)， 则直线DE 的方程为y =−1k x ．…由{y =k(x −2)x 24+y 2=1得x 2+4[k(x −2)]2−4=0，即(1+4k 2)x 2−16k 2x +16k 2−4=0． 所以2+x 0=16k 24k 2+1，所以 x 0=8k 2−24k 2+1．…所以 |AP|=√(x 0−2)2+(y 0−0)2=√(1+k 2)(x 0−2)2，即 |AP|=4√1+k 24k 2+1． 类似可求|DE|=4√1+k 2k +4．所以|DE||AP|=4√1+k2k 2+44√1+k 24k 2+1=2√k 2+4．… 设t =√k 2+4，则k 2=t 2−4，t >2． ∴|DE||AP|=4(t 2−4)+1t =4t 2−15t(t >2)．令g(t)=4t 2−15t(t >2)，则g′(t)=4t 2+15t >0．所以 g(t)是一个增函数．所以 |DE||AP|=4t 2−15t>4×4−152=12．综上，|DE||AP|的取值范围是[12，+∞)．… 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 【解析】（1）根据A(2, 0)是椭圆C 的右顶点，可得a =2，利用ca =√32，可得c =√3，从而b 2=a 2−c 2=4−3=1，故可得椭圆C 的方程；（2）当直线AP 的斜率为0时，可得|DE||AP|=12；当直线AP 的斜率不为0时，设出直线AP 、DE 的方程，分别与椭圆方程联立，求出|AP|，|DE|，进而利用导数，即可确定|DE||AP|的取值范围．【解答】 解：（1）因为 A(2, 0)是椭圆C 的右顶点，所以a =2． 又ca =√32，所以 c =√3．所以 b 2=a 2−c 2=4−3=1． 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．…（2）当直线AP 的斜率为0时，|AP|=4，DE 为椭圆C 的短轴，则|DE|=2，所以|DE||AP|=12．…当直线AP 的斜率不为0时，设直线AP 的方程为y =k(x −2)，P(x 0, y 0)， 则直线DE 的方程为y =−1k x ．…由{y =k(x −2)x 24+y 2=1得x 2+4[k(x −2)]2−4=0，即(1+4k 2)x 2−16k 2x +16k 2−4=0． 所以2+x 0=16k 24k 2+1，所以 x 0=8k 2−24k 2+1．…所以 |AP|=√(x 0−2)2+(y 0−0)2=√(1+k 2)(x 0−2)2，即 |AP|=4√1+k 24k 2+1．类似可求|DE|=4√1+k 2k +4．所以|DE||AP|=4√1+k2k 2+44√1+k 24k 2+1=2√k 2+4．…设t =√k 2+4，则k 2=t 2−4，t >2． ∴|DE||AP|=4(t 2−4)+1t =4t 2−15t(t >2)．令g(t)=4t 2−15t(t >2)，则g′(t)=4t 2+15t >0．所以 g(t)是一个增函数．所以 |DE||AP|=4t 2−15t>4×4−152=12．综上，|DE||AP|的取值范围是[12，+∞)．…【答案】（1）解：f A(1)=1，f B(1)=−1，对于两个集合M，N，定义集合M△N={x|f M(x)⋅f N(x)=−1}．A={2, 4, 6, 8, 10}，B={1, 2, 4, 8, 16}．∴A△B={1, 6, 10, 16}．…（2）设当Card(X△A)+Card(X△B)取到最小值时，X=W．(I)证明：假设2∉W，令Y=W∪{2}．那么Card(Y△A)+Card(Y△B)=Card(W△A)−1+Card(W△B)−1<Card(W△A)+Card(W△B)．这与题设矛盾．所以2∈X，即当Card(X△A)+Card(X△B)取得最小值时，2∈X．…(II)同(I)可得：4∈X且8∈X．若存在a∈X且a∉A∪B，则令Z=C U{a}．那么Card(Z△A)+Card(Z△B)=Card(X△A)−1+Card(X△B)−1<Card(X△A)+Card(X△B)．所以集合W中的元素只能来自A∪B．若a∈A∪B且a∉A∩B，同上分析可知：集合X中是否包含元素a，Card(X△A)+Card(X△B)的值不变．综上可知，当W为集合{1, 6, 10, 16}的子集与集合{2, 4, 8}的并集时，Card(X△A)+Card(X△B)取到最小值4．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】（1）直接利用新定义写出f A(1)和f B(1)的值，并用列举法写出集合A△B；（2）设Card(X△A)+Card(X△B)取得最小值时，X=W，(I)利用反证法证明2∈X成立；(II)同(I)可得：4∈X且8∈X．通过a∈X且a∉A∪B，以及a∈A∪B且a∉A∩B，Card(X△A)+Card(X△B)取到最小值4．【解答】（1）解：f A(1)=1，f B(1)=−1，对于两个集合M，N，定义集合M△N={x|f M(x)⋅f N(x)=−1}．A={2, 4, 6, 8, 10}，B={1, 2, 4, 8, 16}．∴A△B={1, 6, 10, 16}．…（2）设当Card(X△A)+Card(X△B)取到最小值时，X=W．(I)证明：假设2∉W，令Y=W∪{2}．那么Card(Y△A)+Card(Y△B)=Card(W△A)−1+Card(W△B)−1<Card(W△A)+Card(W△B)．这与题设矛盾．所以2∈X，即当Card(X△A)+Card(X△B)取得最小值时，2∈X．…(II)同(I)可得：4∈X且8∈X．若存在a∈X且a∉A∪B，则令Z=C U{a}．那么Card(Z△A)+Card(Z△B)=Card(X△A)−1+Card(X△B)−1<Card(X△A)+Card(X△B)．所以集合W中的元素只能来自A∪B．若a∈A∪B且a∉A∩B，同上分析可知：集合X中是否包含元素a，Card(X△A)+Card(X△B)的值不变．综上可知，当W为集合{1, 6, 10, 16}的子集与集合{2, 4, 8}的并集时，Card(X△A)+Card(X△B)取到最小值4．第21页共22页◎第22页共22页。