微积分拾阶(2)
12-13-02《微积分二》复习要点整理(基本层次要求)
2012-2013-2《微积分二》（基本层次要求）复习纲要建议：1、以同步练习册、期中试卷为重要参考，依据以下“微积分（II）复习要点”所述重点及列出的教材练习，集中力量掌握重点、典型问题的求解思路和基本技巧。
在此基础上，第六章至第七章的较完整考点可参考本学期《期中试卷》。
此外，第九章仅限于第二节“可分离变量微分方程、齐次方程、一阶线性方程”三类方程的通解/特解的求解，建议以课堂例子及课后布置的有限数量的作业的难度为准。
2、在难度与期中考试水平相当的情况下，务必熟练掌握以下“三大计算”：积分（定积分、反常积分、二重积分）偏导（一阶偏导、二阶偏导、显函数/隐函数偏导）与全微分级数判敛（限于典型方法的典型应用，不追求过多技巧）微积分（II ）复习要点（共12页）（此提纲主要针对基础较薄弱的同学使用，建议按照提纲罗列顺序进行复习）Ch6+Ch7两章第一部分 计算偏导与全微分（以二元函数为主）()()().yz,x z yz ,xz,y ,x f z .10000y ,x y ,x ∂∂∂∂∂∂∂∂=或偏导函数求解偏导数具体形式已知初等函数问题()()().xz,x x 3,dxdz 2,y ,x f ,y y 1xz0000y ,x 000y ,x ∂∂==∂∂即得所求最后代入）一元函数的导数利用上学期方法求上述）函数则原二元函数变为一元代入）步骤如下：求具体点偏导解法：*().yz,00y ,x ∂∂可求出类似()().yzy ,x y ,x f ,*.x z ,x z 2,y y ,x f 1xz∂∂∂∂∂∂求导即得对视为常数中的将类似所得结果即为的导数对利用上学期方法求）视为常数中的将）步骤如下：求偏导函数 配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！前提——熟记第三章P66导数公式、P64“四则运算”求导法则、P68复合函数求导之链式法则！同步练习册P13 Ex1 (1), Ex2 (1).().dz ,y ,x f z .2求全微分已知问题=.dy yzdx x z dz ,yz,x z 为所求则的具体结果—先分别求出—系利用全微分与偏导的关解法：∂∂+∂∂=∂∂∂∂配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册P14 Ex4, Ex5.().yz,x y z ,y x z,x z ,y ,x f z .3222222∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=求解二阶偏导数具体形式已知初等函数问题().y x z ,x z y ,x f z :y x z .P233,*2的偏导再求此新函数关于）（即然后针对求出的结果求出首先针对比如求偏导—按照符号的定义逐阶—求法相关定义和记号参见二阶偏导的含义务必准确识别以上四个∂∂∂∂=∂∂∂ 配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册P17 Ex2, Ex1.,)717(P227,..4分结果再进一步具体算出各部）公式（如写出链式法则根据题目实际情况熟练“路线图”借助要点：（偏导）复合函数求导问题- 配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册P15 Ex1 1), 2).两例的法一即可！学会套用即可公式二元隐函数偏导一元隐函数导数公式熟记要点：（偏导或全微分）隐函数求导问题P231~P230.),237(P231),227(P230..5-- 配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册P16 Ex4, Ex5 2).第二部分 求二元函数的极值和条件最值()()()./8.7P238,3z ,z ,z ,z 2y ,x ,,y ,x ,,0z 0z ,z ,z 1y ,x f z .1yy yx xy xx k k 11y x y x 极小极大结论判定极值与否、定理逐个利用针对以上各驻点）求出）如解此方程组得所有驻点并令求出）解法步骤：的极值求二元初等函数问题''''''''⎩⎨⎧='='''= .32P238*解答过程、例例学会 配套练习） 强烈建议遵循以下顺序操练！ 同步练习册P19 Ex1.()()()()()()()().y ,x ,,y ,x 30y ,x F 0f F 0f F ,F 2y ,x y ,x f ,y ,x F 1.0y ,x y ,x f z .200000y y yx x x 为所求条件最值点则唯一若以上驻点）即解下列方程组：的驻点求）令）解法步骤：下的条件最值在条件二元初等函数（尤其经济背景）求具有实际背景问题令令令λ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=ϕ='=ϕ'λ+'='=ϕ'λ+'='λϕ+=λ=ϕ=λ该部分课本相应例题解答均有问题，建议参考相关课堂笔记或同步练习册参考解答文档！并依照以上步骤做以下练习： 同步练习册P20 Ex5.第三部分 定积分相关要点基本前提：熟记P122~P123及P143不定积分公式！掌握不定积分的典型求法“拆加减、化乘积后凑微分或分部积分、（第二）换元积分——限于根式代换、三角代换、倒代换”。
微积分二知识点总结
微积分二知识点总结1. 级数1.1 级数的定义级数可以看作是无穷多个数的和，即将无穷多个数按照一定的顺序加起来。
表示为：S = a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ + …1.2 收敛与发散级数的和是否有限可以分为两种情况： - 如果级数的部分和Sₙ当n趋于无穷大时有极限L，即limₙ→∞ Sₙ = L，则称该级数是收敛的； - 如果级数的部分和Sₙ当n趋于无穷大时无极限，即limₙ→∞ Sₙ不存在，则称该级数是发散的。
1.3 级数的判定法判定一个级数是收敛的还是发散的有多种方法，以下是常见的几种判定法： - 比较判定法：将要求解的级数与一个已知级数进行比较，确定其大小关系。
- 比值判定法：通过求级数的项与前一项的比值或相邻两项的比值的极限来判断级数的收敛性。
- 根值判定法：通过求级数的项的绝对值的n次方根的极限来判断级数的收敛性。
- 积分判定法：将级数转化为函数的积分形式，利用定积分的性质来判断级数的收敛性。
2. 泰勒级数2.1 泰勒级数的定义泰勒级数是一种用函数的无穷多个项的和来表示该函数的级数。
泰勒级数在微积分中起到了重要的作用，可以将一个复杂的函数近似地用一系列较简单的函数表示。
2.2 泰勒级数的求法泰勒级数的求法主要有以下几个步骤： 1. 求函数在某一点的各阶导数； 2. 计算函数在该点的各阶导数值并带入泰勒展开公式中； 3. 按照展开公式的形式将函数以多项式的形式展开。
2.3 常见的泰勒级数展开2.3.1 三角函数的泰勒级数展开•正弦函数的泰勒级数展开式：sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + …•余弦函数的泰勒级数展开式：cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + …2.3.2 自然指数函数的泰勒级数展开•自然指数函数的泰勒级数展开式：e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …2.3.3 对数函数的泰勒级数展开•自然对数函数的泰勒级数展开式：ln(1 + x) = x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + …3. 函数的极限3.1 函数的极限的定义函数的极限可以用来描述函数在某一点的取值趋于的结果。
大学微积分l知识点总结(二)
大学微积分I知识点总结（二）【第五部分】不定积分1.书本知识(包含一些补充知识)(1)原函数：F'( x) =f (x), x € I ，则称F ( x )是f (x)的一个“原函数”。
(2)若F (x)是f (x)在区间上的一个原函数，贝U f (x)在区间上的全体函 数为F (x) +c (其中c 为常数) (3)基本积分表（aM 1 , a 为常数）1dxdx x cx dxdxxaInaca>0, a 1, a为常数dxx2dx arctanx 或arc cotx 1_xdx arcsinx 或arccosxIn xdxIn x x c_1_"Cx2dx In x . 1 x2 c_1_a2x21 ~~2 2 a x12 2a xdx arcsY c a dxdx1 + xarctan c a12aInshx dx chx cchx dx shx cd cosxIn cosxcosxsinxdx cosxcosx dx sin x ctan x dx In cosxcotx dx In sinxsecx dx In secx tan x cscx dx In cscx cosx.2sin x dx2cos x dx 1-sin 2x 41 sin 2x 4tan2dx tan xcot2dx cotx2sec dx tanx2csc dx cot x c secx tanxdx secx cscx cotx dx cscx(4)(5)(6)——dx2 aIn./x2 a2零函数的所有原函数都是c C代表所有的常数函数运算法则① a f(x) dx a f (x) dx -数乘运② f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx T加减线性(7)复合函数的积分：f (x) '(x) dx F (x) c1 1般地，f(ax b) dx f (ax b) d (ax b) F (ax b) ca af (x b) dx F (x b) c(9)连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。
微积分2答案完整版
知识点：积分收敛性，中。
4．
答案：C
学霸解析：
可微
可微
可微
知识点：二元函数可微性，中。
5．
答案：C
学霸解析
知识点：求原函数，中。
三、计算题（共8题，每题6分，满分48分）
1．答案：
学霸解析：令
则
知识点：求定积分，中。
2．答案：
学霸解析：
3．
解：
知识点：二重积分，中。
4．
答案：
学霸解析：
二 、
1答案：A
学霸解析： 为偶函数, 为奇函数,且 有意义,则 是偶函数。
知识点：组合函数，易。
2、
答案：B
学霸解析：若函数 在 处不可导，则 在 处一定不可微。
知识点：可导和可微积，易。
3、
答案：D
学霸解析：收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是 .
知识点：二重求导，中。
4、
答案：B
学霸解析：
考查知识点：敛散性
(2)答案：
学霸解析：
考查知识点：级数收敛的函数
六、
答案：480
学霸解析：
考查知识点：求导运用
七、
答案：2/15
学霸解析：
考查知识点：双边求导
八、
1．答案：
右式
=左式
2.答案：
① 在（a,b）上恒成立
由于f（x）-x在（a，b）上连续
可知
故只能有f（x）=0
② 在（a,b）上恒成立
考查知识点：间断点
3.答案：B
学霸解析：可微的定义
考查知识点：可微的定义
4.答案：D
学霸解析：R(Q)导数减去C（Q）导数为0点为题目所求点
微积分II全书整理
第一部分 多变量微分学一、多元函数极限论 多元函数极限的定义：（ ）邻域型定义：设函数)(P f 的定义域为D ，0P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点)(0P U D P δ⋂∈时，都有ε<-A P f )(，那么就称常数A 为函数)(P f 当0P P →时的极限，记作.)(lim 0A P f PP =→ （ ）距离型定义：设函数)(P f 的定义域为D ，0P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点P D ∈，且δρ<<),(00P P 时，都有ε<-A P f )(，那么就称常数A 为函数)(P f 当0P P →时的极限，记作.)(lim 0A P f P P =→注： 这里给出的是数学分析中国际通用的定义，已自然排除了0P 邻域内的无定义点； 极限存在的充要条件：点P 在定义域内以任何方式或途径趋近于0P 时，)(P f 都有极限；除洛必达法则、单调有界原理、穷举法之外，可照搬一元函数求极限的性质和方法，常用的有：等价无穷小替换、无穷小×有界量 无穷小、夹挤准则等；若已知)(lim 0P f PP→存在，则可以取一条特殊路径确定出极限值；相反，如果发现点P 以不同的方式或途径于0P 时，)(P f 区域不同的值，则可断定)(lim 0P f PP →不存在 ⑤二元函数的极限记为A y x f y x y x =→),(lim ),(),0（或A y x f y y x x =→→),(lim 00 多元函数的连续性：设函数)(P f 的定义域为D ，0P 是D 的聚点，如果0P D ∈，且有)()(lim 00P f P f P P =→，则称)(P f 在0P 处连续；如果)(P f 在区域E 的每一点处都连续，则称)(P f 在区域E 上连续注： 如果)()(lim 00P f P f P P ≠→，只称“不连续”，而不讨论间断点类型；②在有界闭区域上的连续函数拥有和一元函数类似的性质，如有界性定理、一致连续性定理、最大值最小值定理、介值定理等 二重极限与累次极限累次极限与二重极限的存在性之间没有任何必然的联系，但若某个累次极限和二重极限都存在，则它们一定相等；反之，若两个累次极限存在而不相等，则二重极限一定不存在，又若两个累次极限存在且相等，称累次极限可以交换求极限的顺序二、偏导数、全微分偏导数、全微分的相关理论问题 （以二元函数为例讨论）（ ）偏导数的存在性：讨论对某个变量的偏导数，则将其他变量当作常数),('),(),(lim 0000000y x f x x y x f y x f x x x ∆→=--；),('),(),(lim 0000000y x f y y y x f y x f y y y ∆→=-- （ ）可微性：记),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆，则仅当0)()()(lim22=∆+∆∆+∆-∆→→y x y B x A z y x 时，),(y x f 在),(00y x 处可微，否则不可微 其中),('00y x f A x =，),('00y x f B y = 注：等价于()22)()(y x o y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆即()220000)()()(),(),(y x o y B x A y x f y y x x f ∆+∆=∆+∆--∆+∆+又即()()202000000000)()())(,('))(,('),(),(y y x x o y y y x f x x y x f y x f y x f y x -+-=-+---记dy yzdx x z y B x A dz ∂∂+∂∂=∆+∆=为全微分),(y x f 在),(y x 处的全微分 中值定理推广为：.1,0,),('),('2121<<∆∆++∆∆+∆+=∆θθθθy y y x f x y y x x f z y x（ ）偏导数的连续性：讨论偏导连续性，先用定义求),('00y x f x 和),('00y x f y ，用公式求),('y x f x 和),('y x f y ，判断),('),('lim 000y x f y x f x x y y x x =→→和),('),('lim 0000y x f y x f y y y y x x =→→是否都成立，如果都成立则偏导数连续 ④逻辑关系：极限存在偏导存在可微连续偏导连续⇒⇓⇑⇒多元函数微分法： （ ）链式求导法则：①从题目中的复合关系画出从起始变量经过中间变量到终变量的复合结构图； ②求偏导就是“走路”的过程，有几条路，等号后就有几项；每条路上有几段，每项中就会有几部分相乘（注意：偏导写偏微分符号“∂ ， 不偏则写微分符号“ ）； ③严格遵守用位置表示偏导数的规则，注意避免符号混乱和歧义；④对于求高阶偏导数的问题，不论对谁求导，也不论求了几阶导，求导后的新函数仍具有与原来函数相同的复合结构（注意若偏导连续则相等，要合并同类项） （ ）全微分形式不变性：仅一阶全微分可以使用，高阶全微分不再成立 （ ）隐函数存在性及求导法则：①一个方程的情形（以三个变量为例）：设),,(z y x F 在点),,(000z y x 某邻域内偏导连续，且0),,(000=z y x F ，0),,('000≠z y x F z ，则方程0),,(=z y x F 在点),,(000z y x 内某邻域内可唯一确定单值函数),(y x z z =，这个函数在),(00y x 的某邻域内具有连续的偏导数，且''z x F F x z-=∂∂，''z y F F y z-=∂∂ 结论不难推广到一般情形 ②方程组的情形：一般地，设方程组),2,1(0),,,;,,,(2121m i u u u x x x F m n i ==可确定m 个n 元函数),,,(21n i i x x x u u = 当雅可比行列式0),,,(),,,(11112212121112121≠∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=m m m m m m m u F u F u F u F u F u F u F u F u F u u u F F F J时，可以确定JJ x u j i *-=∂∂，其中*J 由将),,,(),,,(2121m m u u u F F F J ∂∂=分母中的第i 个元素替换成j x 得到 （雅可比行列式在横向上改变各自变量，纵向上改变各函数名称） 注：①求导前应事先判断，a 个变元，b 个方程可确定b 个)(a b -元函数； ②有些比较简单的问题不必使用此通法，可以考虑利用全微分形式不变性③经验结论：由0),(),,,(),,,(===v u F z y x v z y x u ψϕ确定的隐函数),(y x z z =，求22x z∂∂时，有0'')'(222221222=∂∂+∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂x v F x u F x u F A ；求y x z ∂∂∂2时，有0'')'(222122=∂∂∂+∂∂∂+∂∂∂∂y x vF y x u F yu x u F A ；求22yz∂∂时，有0'')'(222221222=∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y vF y u F y u F A ， 其中=A 222112211122")'("''2")'(F F F F F F F +- （0),(=y x F 的曲率：()232221)'()'(F F A+）三、多元微分学的几何学应用（以下的讨论主要为了计算，条件未必严格）曲线的切线和法平面：设曲线()()()⎪⎩⎪⎨⎧===t z z t y y t x x l : 在0P 处()()()000'''t z t y t x ，，都存在且不为 ，则曲线l 在0P 处的： （ ）切线方程为()()()000000'''t z z z t y y y t x x x -=-=-： （ ）法平面方程为()()()0)(')(')('000000=-+-+-z z t z y y t y x x t x注：若曲线以⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 形式给出，切向量为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧，，，''''''''''''y x y x x z x z z y z y G G F F G G F F G G F F曲面的切平面与法线：设曲面∑由方程0),,(=z y x F 确定，),,(z y x F 在点0P ),,(000z y x 处可微，且'''z y x F F F ，，不为 ，则曲面∑在0P 处的：（ ）切平面方程为0)(')(')('000=-+-+-z z F y y F x x F z y x （导数已经代入0P 坐标）；（ ）法线方程为'''000z y x F z z F y y F x x -=-=- 注：二元函数在某点处的全微分等于其在这点处切平面竖坐标的增量 方向导数： （ ）定义式：0)()(limPP P f P f lu P P P -=∂∂→→（ ）若函数),,(z y x f 在点0P 处可微，那么),,(z y x f 在点0P 处沿所有方向的方向导数存在，且γβαcos cos cos 0zfy f x f lf P ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂→，其中γβαcos ,cos ,cos 为→l 的方向余弦 注：沿所有方向的方向导数存在不能推出可微，偏导数存在不能推出各方向导数存在 梯度：（ ）计算：xu∂∂yu ∂∂ xu ∂∂ ；（ ） 是)(P u 在点P 的变化量最大的方向，其模等于这个最大变化率； （ ）梯度的运算法则和一元函数的求导法则相似； （ ）方向导数等于梯度在该方向上的投影 四、极值与最值问题二元函数的非条件极值问题（ ）极值的必要条件：对偏导数存在的函数),(y x f ，在),(00y x M 处有极值的必要条件是0),(),(0000=∂∂=∂∂yy x f x y x f （可推广到三元及以上）（ ）极值的充分条件：设),(00y x M 为函数),(y x f 的驻点，且),(y x f 在),(00y x 处连续，记AC B y x f A C y x f B y x f A yy xy xx -=∆====2000000),,("),,("),,("，则：①0<∆时，),(00y x 是极值点，当0>A 时，),(00y x f 为极小值；当0<A 时，),(00y x f 为极大值；②0>∆时，),(00y x 不是极值点； ③0=∆时，此法失效，另谋它法注：本方法不可推广到三元及以上，三元及以上的充分条件中，要求黑塞矩阵正定或负定 （本知识不做要求，在出题人手下不会出现三元以上的极值判断问题） 条件极值与拉格朗日乘数法（ ）一般情况下的拉格朗日乘数法：求函数),,,(21n x x x f u =在条件),,,(21n i x x x ϕ下的条件极值),,2,1(n m m i <= ，可以从函数),,,(),,,(),,,,,(2112111n i mi i n n n x x x x x x f x x F ϕλλλ∑=+=的驻点中得到可能的条件极值的极值点 步骤：①构造辅助函数；（注意：变量均为独立变量） ②求各变量的一阶导并令其为零，联立得到方程组；③解方程组得到所有驻点 （解无定法，尽量利用观察法） （ ）对“条件极值”的解读：事实上，只利用拉格朗日乘数法求条件极值无异于掩耳盗铃 由于对于多元函数，构造拉格朗日函数后会出现至少三个变量，在数学上欲判断求得的驻点是否是极值点需要利用三阶以上的黑塞矩阵 而出题人为了回避这一知识点，通常以实际问题的形式来考察拉格朗日乘数法 由于在实际问题的背景下必存在最值，可以认为“所得即所求”，但是实际上求出的并不是真正的条件极值，而是在条件下的最值 所以，出题人通常在题目中会以“最值”来代替极值进行考察五、习题已知方程02222=∂∂+∂∂y u x u 有⎪⎭⎫⎝⎛=x y u ϕ形式的解，求出此解已知二元函数),(y x f z =可微，两个偏增量：,3)32(322222x y x xy x y x z x ∆+∆+∆+=∆.2233y x y y x z y ∆+∆=∆且,1)0,0(=f 求).,(y x f设0),(222=++++z y x z y x F 确定),(y x z z =，其中F 有二阶连续偏导数，求.2yx z∂∂∂ 已知函数),(y x f z =可微，且有，0≠∂∂xz满足方程.0)(=∂∂+∂∂-y z y x z z x 现在将x 作为z y ,的函数，求.yx ∂∂ 设),,(t x f y =t 是由方程0),,(=t y x F 确定的x y 的函数，其中F 和f 均有一阶连续的偏导数，求.dxdy 设),,(),,(),,(v u f z v u y v u x ===ψϕz 是x y 的二元函数，求xz∂∂及.y z ∂∂求函数)ln(22z x e w y +=-在点),1,(2e e 处沿曲面uv v u v u e z e y e x ===-+,,的法线向量的方向导数求 21其中 为常向量， 为向径，且 设二元函数f 在),(000y x P 点某邻域内偏导数'x f 和'y f 都有界，证明 f 在此邻域内连续 设),(00'y x f x 存在，),('y x f y 在),(00y x 处连续，证明：),(y x f 在),(00y x 处可微证明：函数⎪⎩⎪⎨⎧≠≠+-=)0,0(),(0)0,0(),(),(2233y x y x y x y x y x f ，，在原点处偏导数存在但不可微设),(y x z z =是由方程⎪⎭⎫⎝⎛=z y zx ϕ确定的二元函数，其中ϕ有连续的二阶导函数，证明：.222222⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂=∂∂⋅∂∂y x z y z x z 证明：曲面)2(2z y f e z x -=-π是柱面，其中f 可微第二部分 多变量积分学一、各类积分的计算公式及意义 （一）二重积分 计算公式直角坐标系下的二重积分：()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰==)()()()(2121,,,y x y x dc ba x y x y Ddx y x f dy dy y x f dx dxdy y x f极坐标系下的二重积分：()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰==)()()()(2121.sin ,cos sin ,cos ,r r bar r Dd r r f rdr rdr r r f d dxdy y x f ϕϕβαθθθθθθθθ二重积分的变量替换：()[]dudv v u y x v u y v u x f dxdy y x f uvxy),(),(),(),,(,∂∂=⎰⎰⎰⎰σσ几何意义：()0,≥y x f 时，表示以0=z 为底，以()y x f z ,=为顶的曲顶柱体的体积 物理意义：各点处面密度为()y x f ,的平面片 的质量 （二）三重积分 计算公式直角坐标系下的三重积分： （ ）柱型域：投影穿线法（先一后二法）：()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=y x z y x z Vdz z y x f dxdy dV z y x f xy,,21,,,,σ（ ）片型域：定限截面法（先二后一法）：()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=zD z z Vdxdy z y x f dz dV z y x f ,,,,21柱面坐标系下的三重积分：()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==βαθθθθθθθθ2121,,,sin ,cos ,sin ,cos ,,r r r z r z VVdz z r r f rdr d dz rdrd z r r f dV z y x f 球面坐标系下的三重积分：()()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==ϕθϕθθϕθϕβαϕθϕθϕϕϕθϕθϕϕθϕθϕ,,222121cos ,sin sin ,cos sin sin sin cos ,sin sin ,cos sin ,,r r VVdrr r r r f d d drd d rr r r f dV z y x f三重积分的变量替换：()[]dudvdw w v u z y x w v u z w v u y w v u x f dV z y x f uvwxyzV V ),,(),,(),,(),,,(),,,(,,∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰⎰物理意义：各点处体密度为()z y x f ,,的几何形体Ω的质量 （三）第一型曲线积分： 计算公式平面曲线的情形：（ ）()()b t a t y y t x x C ≤≤⎩⎨⎧==,,:则()()()()()().,,22⎰⎰'+'=b aC dt t y t x t y t x f ds y x f（ ）()b x a x g y C ≤≤=,:则()()()()⎰⎰+=ba C dx x g x g x f ds y x f .'1,,2（ ）()βθαθ≤≤=,:r r C 则()()()()()()⎰⎰'+=βαθθθθθθθ.sin ,cos ,22d r r r r f ds y x f C 空间曲线的情形：()()()b t a t z z t y y t x x C ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===,,,: ()()()()()()()().',,,,222⎰⎰+'+'=βαdt t z t y t x t z t y t x f ds z y x f C几何意义：以C 为准线，母线平行于z 轴的柱面介于0=z 与()y x f z ,=间的面积 物理意义：各点处线密度为()y x f ,（或()z y x f ,,）的曲线C 的质量 （四）第一型曲面积分： 计算公式：()()().1,,,,,22⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=xydxdy y z x z y x z y x f dS z y x f Sσ 物理意义：各点处面密度为()z y x f ,,的曲面S 的质量 （五）第二型曲线积分： 计算公式： 平面曲线的情形：()()b t a t y y t x x C ≤≤⎩⎨⎧==,,:⎰⎰+=+baCt dy t y t x Q t dx t y t x P dy y x Q dx y x P )())(),(()())(),((),(),(空间曲线的情形：()()()b t a t z z t y y t x x C ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===,,,:)())(),(),(()())(),(),(()())(),(),((),,(),,(),,(t dz t z t y t x z t dy t z t y t x Q t dx t z t y t x P dz z y x R dy z y x Q dx z y x P baC ⎰⎰++=++物理意义：力场 沿有向曲线 所做的功（六）第二型曲面积分： 计算公式：.)),(,,()),(,,()),(,,(),,(),,(),,(⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-±=++xy dxdy y x z y x R y x z y x Q y z y x z y x P x z dxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P Sσ 物理意义：流速场 单位时间通过有向曲面 流向指定一侧的净通量 二、各种积分间的联系第一型曲线积分与第二型曲线积分：[]⎰⎰++=++CCds R Q P Rdz Qdy Pdx .cos cos cos γβα第一型曲面积分与第二型曲面积分：[].cos cos cos ⎰⎰⎰⎰++=++SSdS R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz γβα第二型曲线积分与二重积分（ 公式）：.dxdy y P x Q Qdy Pdx D C ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=+第二型曲面积分与三重积分（ 公式）：.dV z R y Q x P Rdxdy Qdzdx Pdydz S V ⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=++第二型曲线积分与第二型曲面积分（ 公式）：.dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R Rdz Qdy Pdx S C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=++⎰⎰⎰三、各种积分的通用性质 黎曼积分的性质()()[]()().⎰⎰⎰ΩΩΩΩ±Ω=Ω±d P g d P f d P g P f βαβα()()()⎰⎰⎰ΩΩΩΩ+Ω=Ω21d P f d P f d P f ，其中Ω=Ω⋃Ω21，且1Ω与2Ω无公共内点若()()P g P f ≤，Ω∈P ，则()().⎰⎰ΩΩΩ≤Ωd P g d P f若()()()()P g P f P g P f ≠≤,，且()()P g P f ,连续，Ω∈P ，则()().⎰⎰ΩΩΩ<Ωd P g d P f()().⎰⎰ΩΩΩ≤Ωd P f d P f若()P f 在积分区域Ω上的最大值为 ，最小值为 ，则().Ω≤Ω≤Ω⎰ΩM d P f m若()P f 在有界闭区域Ω上连续，则至少有一点Ω∈*P ，使()().Ω=Ω*Ω⎰P f d P f若2R ⊂Ω关于坐标轴对称，当()P f 关于垂直该轴的坐标是奇函数则为 ；若3R ⊂Ω关于坐标平面对称，当()P f 关于垂直该平面坐标轴的坐标是奇函数时为将坐标轴重新命名，如果积分区域不变，则被积函数中的 也同样作变化后，积分值保持不变 第二型积分的性质设-Ω是与Ω方向相反的几何体，则.)()(→Ω→→Ω→Ω-=Ω⎰⎰-d P A d P A()()()().⎰⎰⎰Ω→→Ω→→Ω→→Ω±Ω=Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡±d P B d P A d P B P A βαβα°若21Ω+Ω=Ω，则.)()()(21→Ω→→Ω→→Ω→Ω+Ω=Ω⎰⎰⎰d P A d P A d P A°若 ()P A →⊥ ,Ω∈P 则.0)(=Ω→Ω→⎰d P A°设,Ω∈P {}P P P γβαcos cos cos ，，，()P A →{})(),(),(P R P Q P P ，则[]⎰⎰Ω→Ω→Ω++=Ωd P R P Q P P d P A P P Pγβαcos )(cos )(cos )()(将坐标轴重新命名，如果曲线或曲面的方程不变，则被积函数中的 也同样作变化后，积分值保持不变 四、各种积分的应用形心坐标公式：(),ΩΩ=⎰Ωxd M x μ()().,ΩΩ=ΩΩ=⎰⎰ΩΩzd M z yd M y μμ质心坐标公式：()(),⎰⎰ΩΩΩΩ=d M xd M x μμ()()()().,⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩΩΩ=ΩΩ=d M zd M z d M yd M y μμμμ转动惯量：()().2⎰ΩΩ=d M r M I μ旋度： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂z Q y R ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂x R z P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂y P x Q 散度： .Mz R y Q x P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂五、习题计算,2dxdy y D⎰⎰其中 由横轴和摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 的一拱)0,20(>≤≤a t π围成计算,)(sin 12dxdy y x D⎰⎰+-其中 .0,0ππ≤≤≤≤y x计算,222dxdy y x a D⎰⎰--其中 .0,,22>≥≤+a x y ay y x计算,22dxdy y x D⎰⎰+ 其中 .0,0a y a x ≤≤≤≤计算[],)(1⎰⎰⎰+VdV z xf y 其中 是由不等式组2230,1,11y x z y x x +≤≤≤≤≤≤-所限定的区域，)(z f 为任一连续函数计算,222⎰⎰⎰+VdV z y x 其中 是由不等式组1)1(,1222222≤-++≥++z y x z y x 所确定的空间区域计算,1222⎰⎰⎰-++VdV z y x 其中 是由锥面22y x z +=和平面1=z 围成的立体计算,)32(⎰⎰⎰++VdV z y x 其中 是顶点在)000(，，处，底为平面3=++z y x 上以)111(，， 为圆心，为半径的圆的圆锥体计算,⎰l xds 其中 为双曲线1=xy 上点)2,21(到)1,1(的弧段计算⎰++L ds xy zx yz ,)222(其中 是空间圆周.232222⎪⎩⎪⎨⎧=++=++az y x a z y x计算，ds z y x z D⎰⎰),,(ρ其中 是椭球面122222=++z y x 的上半部分，点π,),,(S z y x P ∈为 在点处的切平面，),,(z y x ρ为原点)000(，，到平面π的距离计算,cos )sin 1(2⎰--+l y y xdx e dy x e x 其中 是由由原点沿2x y =到点)1,1(的曲线计算⎰Γ+++++,)()()(222222dz y x dy x z dx z y 其中(),024:22222>⎪⎩⎪⎨⎧=+=++Γz xy x x z y x从 轴正向看Γ取逆时针方向计算,)()(22⎰+++-l y x dy y x dx y x 其中 为摆线⎩⎨⎧-=--=t y t t x cos 1sin π从0=t 到π2=t 的弧段计算,)6()22(22223ydxdy z dzdx x z y x zy dydz e x x S-+++--⎰⎰-π其中 是由抛物面224y x z --=，坐标面 及平面1,1,21===y x y z 所围成的立体表面的外侧 计算,)()()(232323dxdy x z dzdx z y dydz y x S-+-+-⎰⎰其中 是由锥面22z x y +=与半球面)0(222>--+=R z x R R y 构成的闭曲面的外侧计算,dxdy y x f y z z dzdx y x f dydz y x f y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰∑其中∑是由122++=z x y 和229z x y --=所围立体表面的外侧， )(u f 是有连续导数的函数计算,4)1(2)18(2dxdy yz dzdx y xdydz y S ⎰⎰--++其中 是由()3101≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=-=y x y z 绕 轴旋转一周所得到的曲面，它的法向量与 轴正向夹角恒大于.2π计算,222dzdx z x Sy ⎰⎰+其中 是曲面22z x y +=及1=y ，2=y 所围立体表面外侧求闭曲面z a z y x 32222)=++（所围成的立体体积求锥面222x z y =+含在圆柱面222a y x =+内部分的面积求由曲线 ：)21(ln 2142≤≤-=x x x y 绕直线8943-=x y 旋转形成的旋转曲面的面积求平面曲线段 ：)10(233≤≤+=x x x y 绕直线 ：x y 34=旋转形成的旋转曲面的面积设函数)(x f 在区间]1,0[上连续，并设,)(10⎰=A dx x f 求⎰⎰11.)()(xdy y f x f dx求线密度为x 的物质曲线()0222222≥⎪⎩⎪⎨⎧=+=++z Rxy x Rz y x 对三个坐标轴转动惯量之和设（ ）求)(r f ，使 )(r f ；（ ）求)(r f ，使 )(r f 设函数)(x f 在区间]1,0[上连续、正值且单调下降，证明：.)()()()(11021102⎰⎰⎰⎰≤dx x f dxx f dxx xf dx x xf设函数)(t f 连续，证明：⎰⎰⎰--=-DAA dt t A t f dxdy y x f .|)|)(()(证明：()),0()323(31085335>+≤+++≤⎰⎰∑a a a dS a z y x a ππ其中∑是球面：.022222222=+---++a az ay ax z y x设Γ是弧长为 的光滑曲线段，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在Γ上连续，且.max 222R Q P M ++=Γ证明：.Ms Rdz Qdy Pdx ≤++⎰Γ设在上半平面{}0|),(>=y y x D 内函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t ，都有).,(),(2y x f t ty tx f -=证明：0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L，其中L 是D 内任意分段光滑的有向简单闭曲线第三部分 无穷级数一、数项级数（一）数项级数的基本性质收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数 和 ，总有ε<-n m S S （即部分和数列收敛）收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变 在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性 （二）数项级数的性质及敛散性判断 正项级数的敛散性判断方法（ ）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛 （ ）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，那么 （ ）当级数∑∞=1n n v 收敛时，级数∑∞=1n n u 亦收敛；（ ）当级数∑∞=1n n u 发散时，级数∑∞=1n n v 亦发散推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤，那么 （ ）当级数∑∞=1n n v 收敛时，级数∑∞=1n n u 亦收敛；（ ）当级数∑∞=1n n u 发散时，级数∑∞=1n n v 亦发散（ ）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，若0lim>=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同 （注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容） 另外，若0=l ，则当级数∑∞=1n n v 收敛时，级数∑∞=1n n u 亦收敛；若∞=l ，则当级数∑∞=1n n u 发散时，级数∑∞=1n n v 亦发散常用度量：①等比级数：∑∞=0n n q ，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；② 级数：∑∞=11n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散 1=p 时称调和级数 ； ③广义 级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散④交错 级数：∑∞=--111)1(n pn n ，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛 （ ）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u n n n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断 （ ）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，设n nn u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断（ ）柯西积分判别法：设∑∞=1n n u 为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞0)(dx x f 同敛散任意项级数的理论与性质 （ ）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然；②对于级数∑∞=1n n u ，将它的所有正项保留而将负项换为 ，组成一个正项级数∑∞=1n n v ，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为 ，也组成一个正项级数∑∞=1n n w ，其中2nn n u u w -=，那么若级数∑∞=1n n u 绝对收敛，则级数∑∞=1n n v 和∑∞=1n n w 都收敛；若级数∑∞=1n n u 条件收敛，则级数∑∞=1n n v 和∑∞=1n n w 都发散③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同④若级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV 特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV 注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=--（ ）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法） 若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值 二、函数项级数 （一）幂级数幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域（ ）柯西 阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n n x x a 在R x x <-0内绝对收敛，在R x x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径（ ）阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n n x x a 在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n n x x a 在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散推论 ：若幂级数∑∞=0n n n x a 在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散推论 ：若幂级数∑∞=-00)(n n n x x a 在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域（ ）收敛域的求法：令1)()(lim 1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集幂级数的运算性质（ ）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集 （ ）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n n n x x a 在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n n x x a 在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续（ ）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变 函数的幂级数展开以及幂级数的求和 （ ）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，②=11x - ∑∞=0n n x ， 从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ，④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ， ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ， ⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ， ⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ， （ ）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为n cx )(；③对∑∞=0n nn x a 求导可消去n a 分母因式里的n 对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解 （二）傅里叶级数狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立）若)(x f 以l 2为周期，且在 上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在 上处处收敛 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ （ ）在 上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l xn x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10； （ ）正弦级数与余弦级数：①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l xn x f l a dx x f l a π； 一些在展开时常用的积分： （ ）;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n（ ）2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；（ ）2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin nnxdx x n nxdx x n nxdx x nn n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；； （ ）C nx n nx a e na nxdx e ax ax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e axax +++=⎰)cos sin (1cos 22； （ ）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为 ；②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的五、习题判断下列数项级数的敛散性，若收敛，不是正项级数的指出是绝对收敛还是条件收敛 （ ）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1212n nn n ；（ ）n n n βα∑∞=1，其中β非负；（ ）∑⎰∞=14tan n n n xdx λπ，其中0>λ；（ ）np n n n1111)1(+∞=-∑-；（ ）n n nnn !)(1∑∞=-α，其中0>α； （ ）!)!12(!)!32()1(2---∑∞=n n n n求幂级数nn n n x n ∑∞=+132的收敛域 求幂级数nn n n x n b n a ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的收敛域，其中b a ,为正数将下列函数展开成x 的幂级数 （ ）xx 21-；（ ）x arcsin ； （ ）x x x x -+-+arctan 2111ln41 求下列幂级数的收敛域及和函数 （ ）n n n x n ∑∞=+-121)1(；（ ）)12()1(211--∑∞=-n n x nn n ；（ ）()∑∞=03!3n nn x ；求数项级数∑∞=-⋅-1212)!2(2)1(n nn n n 的和 设(),arctan )(2x x f =分别求出)0()12(-n f 和)0()2(n f 求极限∑⎰∞=+→+112sin 0202)sin(lim n nn x x n x dtt求极限.)!14(!11!7!31)!34(!9!51lim44844484-++++-++++--→n n n n x ππππππ将函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=l x l x l l x x x f 2,20,)(展开成正弦级数将函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤=l x l l x l x x f 2,020,cos )(π展开成余弦级数将函数)arcsin(sin )(x x f =展开成傅里叶级数证明：幂级数n n nk x n k ∑∑∞==112)!2()!(在)3,3(-内绝对收敛求函数⎰-+=πππdt t x f t f x F )()(1)(的傅里叶系数nnBA ,，其中)(x f 是以π2为周期的连续函数，n n b a ,是其傅里叶系数 并证明：).(2)(1212202n n n b a a dt t f ++=∑⎰∞=-πππ。
微积分II课后答案详解
2 4 4 4 = + + = )1,1,1( | z u + y u + x u ∴ 3 3 2 1
3
z + y + x +1 = zu z3
2 2
3
z + y + x +1 = yu y2
2
3
z + y + x +1 = x u �解 1
2
z
u + y u + x u求处� � 1 � 11 �点在 ,) 3 z + 2 y + x + 1(nl = u 设�3
z2
) yx (nl y 2 yx 2 y∂ = x. . 2 ]) yx (nl[ = 1 1 1− 1 z∂ ) yx (nl x 2 yx 2 x∂ = y . . 2 ]) yx (nl[ = �解 1 1 1− 1 z∂ y∂ x∂ , 求 , ) yx (nl = z ② z∂ z∂
2
yx 3 − 3 x =
�y + x � )y + x ( 2 )y + x ( y + x � x∂ y∂ y∂x∂ 2 � y∂ + + = = + = y x = ) ( n l ) ( y x−0 z∂ ∂ z2 ∂ 1 � x � ∂
)y + x ( 2 )y + x ( y + x x∂ y +x x∂ x∂ x∂ 2 = + =) + ) y + x (nl( = ) ( = 2 y2 + x x−y +x x ∂ z∂ ∂ z2 ∂ 1 y +x x∂ .x + ) y + x (nl = �解 z∂ 1 y∂x∂ 2 x∂ 求 ,) y + x (nl x = z ③ , ∂ z2 ∂
微积分进阶(习题解答)
习题 2.2.
1. 写出其他类型极限的夹逼准则. 解. 例如：函数极限的夹逼准则: 设 ∃ δ > 0，使得 ∀ x ∈ (a − δ, a) (a, a + δ), 有
g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)
且
lim g(x) = lim h(x) = A,
x→a
x→a
A有限或 ± ∞,
则
lim f (x) = A.
可得
L2 = A + L,
以及
2 =A+ .
由于1 ≤
≤ L ≤ M , 可解得 L=
√
= 1+
1 2
+
4A
.
这就证明了
√
lim
n→+∞
tn
=
1
+
1 2
+
4A
.
4
第2章 极限与连续
5. 试对
r a1 + r a2 + r a3 + · · · + √r an
进行类似例题2.8 的讨论. 解. 设r > 1. 可证对正数列an
x→a
2. 推广例题2.1.
解. 一般地, 设
lim
x→0
f (x) x
=
B,
特别, f (0) = 1. 若ank满足
n
(i) |ank| 有界.
k=1
(ii)
lim
n→∞
max
1≤k≤n
|ak |
=
0.
n
(iii) lim
n→∞
ank = A.
k=1
则
n
lim
n→∞
微积分二知识点总结
微积分二知识点总结微积分二是大学数学的一门重要的基础课程，它是微积分的延伸和拓展。
在微积分一中，我们学习了函数的极限、连续性、导数和积分等基本概念和定理，而微积分二则进一步研究函数的微分方程、级数、多元函数及其常微分方程的计算方法等内容。
本文将对微积分二的一些重要知识点进行总结。
1. 级数级数是微积分二中的重要概念，它由一列数相加而成。
我们学习了级数的定义、收敛性判定准则（比较判别法、求和公式、积分判别法等）、级数运算（加法、乘法等）以及收敛级数的性质等。
2. 函数的多元极限在微积分一中，我们已经学习了函数的一元极限。
而在微积分二中，我们将进一步研究多元函数的极限。
多元极限研究的是当函数的自变量趋于某个值时，函数的取值趋于的情况。
我们学习了多元极限的定义、极限存在性的判定方法（夹逼准则、两变量函数的极限、多元函数的极限等）以及多元极限的性质等。
3. 偏导数偏导数是微积分二中的重要概念。
它用于描述多元函数在给定点上的变化率。
我们学习了偏导数的定义、求导法则（如多元复合函数的求导法则、高阶偏导数等）以及偏导数应用于切线、法线及极值等问题的求解。
4. 多元函数的微分微分是微积分二的重要内容之一。
我们学习了多元函数的微分定义、微分的性质（如线性性质、乘积规则、链式法则等）以及微分在函数近似计算中的应用等。
5. 多元积分多元积分在微积分二中有着重要的地位。
我们学习了二重积分和三重积分的定义以及性质，如积分的可加性、线性性质、换序性质等。
我们还学习了极坐标和球坐标系下的坐标变换和应用于积分计算的方法。
6. 常微分方程常微分方程是微积分二的重要内容。
我们学习了一阶线性微分方程和高阶线性微分方程的求解方法，如分离变量法、常系数线性齐次微分方程的求解法、特殊非齐次微分方程的求解法等。
我们也学习了常微分方程在生活中的应用，如人口增长问题和生物钟模型等。
通过对微积分二的这些重要知识点的总结，我们可以更好地理解微积分的基本原理和方法，并且能够应用于实际问题的求解。
《微积分二》复习要点整理(基本层次要求)
实用标准文档微积分（II ）复习要点（共11页）（此提纲主要针对基础较薄弱的同学使用 建议按照提纲罗列顺序进行复习）Ch6+Ch7两章第一部分计算偏导与全微分（以二元函数为主）或偏导函数 解法：求具体点偏导 —x 0y 0步骤如下：X1代入y y °,则原二元函数变为一元 函数f x,y ° , 2利用上学期方法求上述 一元函数的导数 dz,dx求偏导函数—步骤如下：x 1）将f x,y 中的y 视为常数，2利用上学期方法求z 对x 的导数,所得结果即为—x *类似，将f x,y 中的x 视为常数，对y 求导即得二.y配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！前提一一熟记第三章P63导数公式、P60“四则运算”求导法则、P64 复合函数求导之链式法则！P251 Ex8 2） 1） 4）, Ex9 3） 2）问题2.已知z f x,y ,求全微分dz.问题1.已知初等函数z f x,y 具体形式，求解偏导数zx o ,y oXx o ,y oy3最后代入x x o ,即得所求x o ，y° -*类似，可求出-yx o ,y o -解法：利用全微分与偏导的关系一一先分别求出二，二的具体结果x y则dz — dx — dy为所求.x y配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练！P253 Ex13 2) 7) 3)问题3•已知初等函数z f x,y具体形式，求解二阶偏导数2 2z z， 2 .y x y*务必准确识别以上四个二阶偏导的含义，参见P225相关定义和记号求法按照符号的定义逐阶求偏导2比如——:首先针对z f x,y求出-^,然后针对求出的结果(即—x y x x再求此新函数关于y的偏导.配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练!P253 Ex12 1) 2)问题4.复合函数求导(偏导).要点：借助“路线图”，根据题目实际情况熟练写出链式法则(如P219 公式(7 10),再进一步具体算出各部分结果.配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练!P254 Ex16 1) 4)问题5.隐函数求导(偏导或全微分).要点：熟记P223一元隐函数导数公式 (7 15), P224二元隐函数偏导公式(7 16),套用即可.学会P223〜P224两例的法一即可！配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练！P254 Ex18 1) 3), Ex19 2) 1)第二部分求二元函数的极值和条件最值问题1.求二元初等函数z f x,y的极值解法步骤：Z x 01）求出Z x,Z y,并令，解此方程组得所有驻点，如x i ,y i , , X k ,y kzy2 求出 Z xx , Z xy , Z yx , Z yy3）针对以上各驻点，逐个利用P229定理7.8结论判定极值与否、极大/极小.*学会P230例2、例3解答过程.配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P254 Ex20 1） 4）问题2.求具有实际背景（尤其经济背景）二元初等函数Z f x,y 在条件 x,y 0下的条件最值.解法步骤：1）令F x,y, f x,y x,y2）求F的驻点，即解下列方程组：令F x f x x 0令F y f y y 0令F x,y 03）若以上驻点x°,y°, 0唯一，则x°,y°为所求条件最值点.该部分课本相应例题解答均有问题，建议参考相关课堂笔记！并依照以上步骤做以下练习：例）某公司通过电台、报纸两种方式做销售某商品的广告.据统计资料，销售收入R 万元与电台广告费用x万元及报纸广告费用y万元之间的关系如下经验公式：2 2R 15 14x 32y 8xy 2x 10y若提供的广告费用为1.5万元且用尽，求相应的最优广告策略.Key : x 0, y 1.5第三部分定积分相关要点基本前提：熟记P119~P120及P131~P132不定积分公式！b问题1.已知f x 具体形式，求解定积分 f x dx.a主要方法)牛顿一莱布尼兹公式：1)利用求不定积分的方法，求出f x 的一个原函数F x , bb2 从而 fxdx F x b F b Fa.a*重点：若f X 是a,b 上的分段函数，比如以C 为分段点，则需利用—I-定积分的“拆区间”性质f f f,使得右端每个被积函数 a a c 1均取明确形式，再进行计算.配套练习)强烈建议严格遵循以下顺序操练！P187 Ex11 1) 2) 3) 4) 8) 10)a特殊方法)当积分区间关于原点对 称时,定积分f 有公式如下: -a0, f 为奇函数a20f, f 为偶函数1 ; -------------------------------例.求解 x 2sinx x£1 x 2x dx.1解：（务必注意积分区间的特点！） x 2sinx, x . 1 X 2均有奇函数，x 2sin xdxxl1 x 2dx 0. 1 111 1x 为偶函数，xdx 2 xdx 2 xdx1.'10 I从而原式 0 0 11.问题2.变限积分的求导及应用要点)x1)熟记函数 x f t dt 的求导公式：x f x .au xf t dt f u x u x进一步有公式：au xa -af t dt f u x u x f v x v xv x2利用以上求导公式，结合L' Hospital法则,可求解某些极限配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练!P186 Ex5 1）, Ex4 1） 2）问题3.定积分的几何应用与经济应用要点）1）几何应用一 --- 求平面图形面积）典型例P162例1 P163例4:注意针对不同的区域形状选择适当的积分变量.配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P189 Ex22 1） 3） 4）2）几何应用二-- 求旋转体体积）熟记P166公式（6 22及其适用的图6 19,熟记公式（6 24及其适用的图6 21.运用以上两公式求解旋转体体积.*注意：以上两公式只能直接用于求解具有“实心”特征的旋转体体积若考察空心旋转体体积，则只能间接利用公式将所求体积转化为若干实心体积.例如P166式（6 23即运用了此原理.配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P189 Ex29 3） 5）3）经济应用 -- 已知边际求总量）原理：若已知F x ,则由牛顿一莱布尼兹公式可得xF x F a F t dt,其中a为选定的常数.熟记 P168 〜169公式（6 26）~（6 28 .典型例：P169例8, P170例9.配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P190 Ex33, Ex34第四部分二重积分相关要点问题1.已知区域D具体形式，将二重积分 f x,y dxdy表达为两种D累次积分次序.解法步骤）1）在平面直角坐标系中画出D的草图2判断D的形状：若D为P239图7 27（a）之“x型”区域，则运用公式（7 21）写出“外x内y”形式的累次积分；若D为P239图7 27（b）之“y 型”区域，则运用公式（7 22写出“外y内x”形式的累次积分3）若D并非标准的“x型”或“y 型”,则需利用分块积分法则（P238性质7.7）,将D划分为若干标准的“x型”或“y型”区域，再分别写出累次积分结果.典型例：P241例2配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P255 Ex30 3） 1）问题2.将给定的累次积分交换积分次序.要点）1）根据题目形式写出积分区域D的形状，2）对于f x,y dxdy ,按要求写出另一种累次积分,方法同“问题1D典型例：P241例3配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P255 Ex31 1） 3） 4） 2）问题3.已知f x,y和积分区域D的具体形式，计算f x,y dxdy.D要点)1)画出积分区域D的草图，2根据D的形状及f x,y的形式选择适当的累次积分次序表达，3)由内层至外层逐层计算上述累次积分，最终求出原二重积分.*若区域形状为圆、环、扇形等,且f x,y为关于x2y2或y的形式，x则上述过程宜采用极坐标系计算,即令x rcos ,y rsin ,将原积分化为frcos ,rsin rdrd ,再将此新二重积分化为外层关于、内层关于r的累次积分，具体结果见P244 ~ P245公式(7 24) ~ (7 26),重点熟记(7 25)即可.典型例(建议按以下顺序复习)：P242例4,例6,例5,P246例8配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练！P255 Ex32 3) 4), Ex33 2) 1)问题4.求以非负曲面z f x,y为顶，xy平面上某区域D为底的曲顶柱体体积.要点：由题意准确识别出作为“顶”的函数z f x,y及作为“底”的平面区域D.则V f x,y dxdy .再利用问题3中方法求此二重积分.D配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练！P256 Ex35 1) 2)第五部分其它要点摘录1. 理清z f x,y 偏导函数连续、可微、偏导存在、连续的关系，理清 f x,y 的极值点、驻点的关系.2. 熟用 P147性质 6.3并练习 P186Ex21）2）4）.3. 熟记概率积分 e"dx 「. 02+a4.按定义判定无穷限积分 f x dx, f x dx, f x dx 的敛散性；a-能识别瑕积分，并按定义判定瑕积分bf x dx （三类：分别a 、b c a,b 为瑕点）的敛散性。
微积分第二版课件第二节微积分基本公式
y
y=f (x)
(x) ax f (t)dt ,
称为变上限的积分.
oa
x
bx
定理（微积分基本定理）
若函数f (x)在区间[a,b]上连续，则变上限函数
Φ(x)
x
f (t)dt
(a
x b)在[a,b]上具有导数，且
a
Φ '(x)
d dx
ax
f
(t
)dt
f (x)
(a x b).
即上限函数Φ(x)是f (x)在[a,b]上的一个原函数.
对应变上限积分函数还有变下限积分函数
(x) xb f (t)dt 对于变上（下）限积分函数也可以进行函数的复合， 由变上限积分函数导数与复合函数求导法则有结论：
若函数 (x), (x) 可微，函数 f (x) 连续，则
(1) d dx
a x
f
(t)dt
d dx
x a
f
(t
)dt
f (x)
0
cos
t
2
d
t
x2
lim
x0
2x cos 2x
x4
lim cos
x0
x4
1
1
lim
x0
0xarctan x2
tdt
.
lim
x0
arctan 2x
x
1 2
lim
x0
1
x2
1
1. 2
二、微积分基本公式
变速直线运动的路程问题
设物体作变速直线运动其路程函数为s=s(t) , 速度
函数为v=v(t) .则在时间间隔 [T1,T2 ] 内有
根据导数的定义及函 数的连续性，有
微积分中国商业出版社_课后习题答案详解二
解：1） lim (x + h)3 − h3 = lim x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 − x3 = lim (3x2 + 3xh + h2) = 3x2
h→0
h
h→0
h
h→0
2) lim xn −1 = n
x→1 x −1
3）
⎛ xl→im+∞⎜⎜⎜ arctan
x
+
1
2x
⎞ ⎟ ⎟⎟
（7） lim
2x +1 − 3 ;
x→4 x − 2 − 2
（2） lim xn −1 ;
x→1 x −1
（4）
⎛ xli→m1⎜⎜⎝
x
x −1
−
1 x2 −
x
⎞ ⎟⎟ ; ⎠
（6） lim
1− x −3 ;
x→∞ 2 + 3 x
（8） lim ( x2 + x + 1 − x2 − x − 3) .
n→∞ 5 + 9( 3)n
=
1 5
5
9．下列数列{xn} ，当 n → ∞ 时是否是无穷小量？
（1）
xn
=
1050 3n
;
[ ] （2） xn = 1+ (−1)n 1 ; n
（3） xn = n n .
解：1)是无穷小量 因为 lim xn = 0
n→∞
2)是,因为 lim xn = 0 ( n 为奇数或者偶数)
x → −1+
（4） lim 10x = 0 .
x → −∞
解：1)对于任意给定的 ξ ,要使 δψξ 成立,只要使 4 n > 1 即
《代微积拾级》的主要内容研究
级》
中图分 类 号 ： Ｏ １ １
Ａｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ｏ ｎ ｔ ｈｉ Ｗｅ ｉ １ Ｓ ｈ ｉ ｔ
ＺＨＡＮＧ Ｂｉ ｓ ｈ ｅ ｎ ｇ
（ Ｄ ｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍ ｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｍｅ ｄ ｉ ｃ ａ ｌ Ｉ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ， Ｚ ｕ ｎ ｙ ｉ Ｍｅ ｄ ｉ ｃ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｚ ｕ ｎ ｙ ｉ ５ ６ ３ ０ ０ ０ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
Ｍａ ｔ ｈｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ １ ９ ｃ ｅ ｎ ｔ ｕ ｒ ｙ ．Ｔ ｈｅ ｂ ｏ ｏ ｋ ｍａ ｉ ｎｌ ｙ ｃ ｏ ｎｔ ａ ｉ ｎ ｓ ａ ｎａ ｌ ｙ ｔ ｉ ｃ ｇ ｅ ｏ ｍｅ ｔ ｙ ，ｄ ｒ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ａ ｎ ｄ ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ ｃ ａ ｌ ｃ ｕ — ｌ ｕ ｓ ．Ｔｈ ｒ ｏ ｕ ｇ ｈ ｉ ｔ ｓ ｈｉ ｓ ｔ ｏ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ，ｉ ｔ ｉｎ ｆ ｄ ｓ ｔ ｈａ ｔ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｔ ｉ ｃ ｇ ｅ ｏ ｍｅ ｔ ｙ ，ｄ ｒ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ａ ｎ ｄ ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ ｃ ａ ｌ ｃ ｕ ｌ ｕ ｓ ｓ ｐ ｒ ｅ ａ ｄ ｉ ｎ Ｃｈ ｉ ｎ ａ ａ ｎ ｄ ｈ ａ ｖ ｅ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｔ ｉ ｃ ｇ ｅ ｏ ｍｅ ｔ ｙ ，ｄｉ ｒ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ａ ｎｄ ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ ｃ ｌｃ ａ ｕ ｌ ｕ ｓ ｃ ｏ ｍｐａ ｒ ｅ ｄ ａ ｎｄ ａ ｎ ｌｙ ａ ｚ ｅ ｄ ｆ ｒ ｏ ｍ ｔ ｈ ｅ ｐ ｅ ｒ ｓ ｐ ｅ ｃ —
微积分中的二阶及高阶导数的概念及计算
ex 1 x x2 xn O(xn )
2!
n!
在上式中，令x＝1，可得求e的近似公式
e 11 1 1
2!
n!
例4.20 求函数f(x)＝sinx在x＝0点的泰勒展开式 解：∵f'(x)＝cosx，f"(x)＝-sinx，f"'(x)＝-cosx
f(4)(x)＝sinx，… ∴f(0)＝0，f'(0)＝1，f"(0)＝0，f"'(x)＝－1
f(4)(x)＝cosx，… ∴f(0)＝1，f'(0)＝0，f"(0)＝－1，f"'(x)＝0
f(4)(0)＝1，… f(2n－1)(0)＝0，f(2n)(0)＝(－1)n 于是，cosx在x＝0点的泰勒展开式为：
cos x 1 x2 x4 (1)n x2n O(x2n1)
例4.13 判定曲线y＝1 的凹凸性
x
解：∵y＝ 1 ∴f'(x)＝－ 1 ，f"(x)＝ 1 ，
x
x2
x3
无拐点但有间断点x＝0
当x＜0时，f”(x)＜0，曲线在(－∞,0)内为凸的，
当x＞0时，f"(x)＞0，曲线在(0,＋∞)内是凹的。
例4.14 判定曲线y＝cosx在(0,2π)的凹凸性
例4.16 讨论曲线y＝x4－1的凹凸性和拐点 解：∵f"(x)＝12x2
∴当x≠0时，f"(x)＞0，而f"(0)＝0 因此曲线y＝x4－1在(－∞,＋∞)内都是凹的， 点(0,－1)不是拐点。
4.7 函数图象的描绘 利用函数的一、二阶导数的性质，我们可以较准
确地用描点法描绘函数的图象。 一般步骤为：
微积分II全书整理教学内容
第一部分多变量微分学一、多元函数极限论1. 多元函数极限的定义：（1）邻域型定义：设函数f (P) 的定义域为 D ， P 0 是 D 的聚点，如果存在常数 A ，对于任意给定的正数 ，总存在正数，使得当点 PDU (P 0 ) 时，都有 f ( P) A，那么就称常数 A 为函数 f ( P) 当 PP 0 时的极限，记作 lim f (P) A.P P 0（2）距离型定义：设函数 f (P) 的定义域为 D ， P 0 是 D 的聚点，如果存在常数 A ，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点 PD ，且0( P,P 0)时，都有f (P) A，那么就称常数 A 为函数 f (P) 当 PP 0 时的极限，记作lim f (P)A.P P 0注：①这里给出的是数学分析中国际通用的定义，已自然排除了 P 0 邻域内的无定义点； ②极限存在的充要条件：点 P 在定义域内以任何方式或途径趋近于P 0 时， f ( P) 都有极限；③除洛必达法则、单调有界原理、穷举法之外，可照搬一元函数求极限的性质和方法， 常用的有：等价无穷小替换、无穷小×有界量 =无穷小、夹挤准则等；④若已知 limf (P) 存在，则可以取一条特殊路径确定出极限值；相反，如果发现点P 以不P P 0同的方式或途径于 P 0 时， f ( P) 区域不同的值，则可断定lim f (P) 不存在 .P P 0⑤二元函数的极限记为limf( , )A或 lim f ( x, y) A .x y（x, y) ( x 0 , y 0 )x x 0y y 02. 多元函数的连续性：设函数f (P) 的定义域为 D ， P 0 是 D 的聚点，如果 P 0 D ，且有lim f (P)f (P 0 ) ，则称 f (P) 在 P 0 处连续；如果 f ( P) 在区域 E 的每一点处都连续，则P P 0称 f (P) 在区域 E 上连续 .注：①如果 lim f ( P)f (P 0 ) ，只称“不连续” ，而不讨论间断点类型；PP 0②在有界闭区域上的连续函数拥有和一元函数类似的性质， 如有界性定理、 一致连续性定理、最大值最小值定理、介值定理等 .3.二重极限与累次极限累次极限与二重极限的存在性之间没有任何必然的联系， 但若某个累次极限和二重极限都存在，则它们一定相等；反之，若两个累次极限存在而不相等，则二重极限一定不存在，又若两个累次极限存在且相等，称累次极限可以交换求极限的顺序 .二、偏导数、全微分1.偏导数、全微分的相关理论问题（以二元函数为例讨论）（1）偏导数的存在性：讨论对某个变量的偏导数，则将其他变量当作常数.limf (x, y 0 ) f ( x 0 , y 0 )f ( x 0 , y) f ( x 0 , y 0 )f y ' ( x 0 , y 0 ) .x x 0f x '( x 0 , y 0 ) ； limy y 0x x 0yy 0（2）可微性：记zf (x 0x, y 0 y)f ( x 0 , y 0 ) ，则仅当 limz ( A xB y) 022x( x)( y)y时， f (x, y) 在 ( x 0 , y 0 ) 处可微，否则不可微 .其中 Af x ' ( x 0 , y 0 ) ， B f y ' (x 0 , y 0 ) .注：等价于 zA xB yo ( x)2( y)2即f (x 0x, y 0y)f ( x 0 , y 0 ) ( A x B y) o ( x) 2( y) 2又即f ( x, y) f ( x 0 , y 0 )f x ' ( x 0 , y 0 )( x x 0 ) f y ' (x 0 , y 0 )( y y 0 )o ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2记dzA xB yzdxzdy 为全微分 f ( x, y) 在 (x, y) 处的全微分 .xy中值定理推广为：zf x ' ( x1x, y y) x f y ' (x, y2y) y,01 ,21.（3）偏导数的连续性：讨论偏导连续性，先用定义求f x ' ( x 0 , y 0 ) 和 f y ' ( x 0 , y 0 ) ，用公式求 f x ' ( x, y) 和 f y ' ( x, y) ，判断limf x '( , )f x '( x 0 , y 0 ) 和 lim f y '( , ) f y '( x 0 , y 0 )x x 0 x yx x 0 x yy y 0yy 0是否都成立，如果都成立则偏导数连续.④逻辑关系：连续 极限存在偏导连续可微偏导存在2.多元函数微分法：（ 1）链式求导法则：①从题目中的复合关系画出从起始变量经过中间变量到终变量的复合结构图；②求偏导就是“走路”的过程，有几条路，等号后就有几项；每条路上有几段，每项中就会有几部分相乘（注意：偏导写偏微分符号“ ”， 不偏则写微分符号“ ③严格遵守用位置表示偏导数的规则，注意避免符号混乱和歧义；④对于求高阶偏导数的问题， 不论对谁求导， 也不论求了几阶导， 求导后的新函数仍具有与 原来函数相同的复合结构（注意若偏导连续则相等，要合并同类项）.d ”）；资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除（2）全微分形式不变性：仅一阶全微分可以使用，高阶全微分不再成立.（3）隐函数存在性及求导法则：①一个方程的情形（以三个变量为例）：设 F (x, y, z) 在点 ( x0 , y0 , z0 ) 某邻域内偏导连续，且F (x0 , y0 , z0 ) 0 ， F z ' ( x0 , y0 , z0 )0 ，则方程 F ( x, y, z)0在点 (x0 , y0 , z0 ) 内某邻域内可唯一确定单值函数z z(x, y) ，这个函数在 (x0 , y0 ) 的某邻域内具有连续的偏导数，且zF x ' ，z F y '.结论不难推广到一般情形 . x F z 'y F z '②方程组的情形：一般地，设方程组F i ( x1 , x2 ,, x n ;u1 , u2 ,,u m ) 0(i1,2, m) 可确定 m 个 n 元函数 u i u i ( x1 , x2 , , x n ) .当雅可比行列式F1F1F1u1u2u m( F1 , F2 , , F m )F2F2F1u1u2u m0J, u m )(u1 , u2 ,F m F m F1u1u1u mu i J，其中 J由将 J (F1, F2 , , F m )分母中的第 i个元素替换成 x j时，可以确定J(u1 , u2 , ,u m )x j得到 .（雅可比行列式在横向上改变各自变量，纵向上改变各函数名称）注：①求导前应事先判断， a 个变元，b个方程可确定b个 (b a) 元函数；②有些比较简单的问题不必使用此通法，可以考虑利用全微分形式不变性.③经验结论：由 u( x, y, z), v( x, y, z), F (u, v)0 确定的隐函数 z z( x, y) ，2 z A u 22 u2v求时，有F1 'F2 '0；x 2(F2 ')2x x 2x 22 z A u u'2u F22 v0；求时，有(F2') 2F1x y'x y x y x y2 z A u 22 u2v求时，有F1 'F2 '0 ，y 2(F2 ') 2y y 2y 2其中 A(F2') 2F"112F1' F2' F"12( F1 ' )2 F " 22.（ F ( x, y)0 的曲率：A3）(F1')2(F2')2 2三、多元微分学的几何学应用（以下的讨论主要为了计算，条件未必严格）x x t1.曲线的切线和法平面：设曲线l : y y t在 P0处 x' t 0， y' t0， z't0都存在且不为0，z z t则曲线 l 在P0处的：（1）切线方程为x xy y0z z0：x' t0y' t0z' t 0（2）法平面方程为x' t0( x x0 )y' t0 ( y y0 )z' t0( z z0 )0.F ( x, y, z) 0F y 'F z 'F z 'F x 'F x ' F y '注：若曲线以形式给出，切向量为，，， .G( x, y, z) 0G y ' G z 'G z ' G x 'G x ' G y '2.曲面的切平面与法线：设曲面由方程 F ( x, y, z)0 确定， F ( x, y, z) 在点 P0(x0 , y0 , z0 )处可微，且 F x '， F y '， F z ' 不为0，则曲面在 0处的：P（1）切平面方程为F x' (x x0 )F y '( y y0 )F z ' ( z z0 )0（导数已经代入P0坐标）；（2）法线方程为x xy yzz0.F x 'F y 'F z '注：二元函数在某点处的全微分等于其在这点处切平面竖坐标的增量.3.方向导数：（1）定义式：u lim f (P) f (P0 )lP P0PP0 P0（2）若函数f ( x, y, z)在点P0处可微，那么 f (x, y, z) 在点 P0处沿所有方向的方向导数存在，且f f cos fcosfcos，其中 cos , cos , cos 为 l 的方向余弦.l P0x y z注：沿所有方向的方向导数存在不能推出可微，偏导数存在不能推出各方向导数存在.4.梯度：（1）计算：grad u=ui+uj+uk；x y x（2）grad u是u( P)在点P的变化量最大的方向，其模等于这个最大变化率；（3）梯度的运算法则和一元函数的求导法则相似；（4）方向导数等于梯度在该方向上的投影.四、极值与最值问题1.二元函数的非条件极值问题（1）极值的必要条件：对偏导数存在的函数 f ( x, y) ，在 M (x0 , y0 ) 处有极值的必要条件是f ( x, y)f ( x0 , y0 )0 .（可推广到三元及以上）x y（2）极值的充分条件：设M (x0 , y0 ) 为函数 f ( x, y) 的驻点，且 f ( x, y) 在 (x0 , y0 ) 处连续，记 A f "xx ( x0 , y0 ), B f " xy (x0 , y0 ), C A f " yy ( x0 , y0 ),B 2AC ，则：①0 时，( x0, y0)是极值点，当 A 0时，f ( x0 , y0 ) 为极小值；当A0 时，f ( x0, y0)为极大值；②0 时，( x0, y0)不是极值点；③0 时，此法失效，另谋它法.注：本方法不可推广到三元及以上，三元及以上的充分条件中，要求黑塞矩阵正定或负定.（本知识不做要求，在出题人手下不会出现三元以上的极值判断问题）2.条件极值与拉格朗日乘数法（1）一般情况下的拉格朗日乘数法：求函数u f ( x1 , x2 , , x n ) 在条件i ( x1, x2,, x n ) 下的条件极值 (i 1,2, m, m n) ，可以从函数mF ( x1, , x n , 1, ,n ) f ( x1, x2 , , x n )i i (x1 , x2 ,, x n )i 1的驻点中得到可能的条件极值的极值点.步骤：①构造辅助函数；（注意：变量均为独立变量）②求各变量的一阶导并令其为零，联立得到方程组；③解方程组得到所有驻点.（解无定法，尽量利用观察法）（2）对“条件极值”的解读：事实上，只利用拉格朗日乘数法求条件极值无异于掩耳盗铃.由于对于多元函数，构造拉格朗日函数后会出现至少三个变量，在数学上欲判断求得的驻点是否是极值点需要利用三阶以上的黑塞矩阵.而出题人为了回避这一知识点，通常以实际问题的形式来考察拉格朗日乘数法 .由于在实际问题的背景下必存在最值，可以认为“所得即所求”，但是实际上求出的并不是真正的条件极值，而是在条件下的最值.所以，出题人通常在题目中会以“最值”来代替极值进行考察.五、习题1.已知方程2u2u0 有 uy 形式的解，求出此解 .x 2y2x2.已知二元函数 z f ( x, y) 可微，两个偏增量： x z (23x 2 y 2 ) x3xy 2 x 2y 2 x 3 ,y z2x 3 y y x 3 y 2 .且 f (0,0) 1, 求 f ( x, y).3.设 F ( xyz, x2y2z 2)0 确定 z z( x, y) ，其中 F 有二阶连续偏导数， 求2z .x y4.已知函数 zf ( x, y) 可微，且有z 满足方程 ( x)zz0. 现在将 x 作为x0，zyxyy, z 的函数，求 x . y5.设 yf (x,t ), t 是由方程 F ( x, y, t ) 0 确定的 x , y 的函数，其中 F 和 f 均有一阶连续的偏导数，求dy.dx6.设 x(u,v), y(u,v), zf (u, v), z 是 x , y 的二元函数，求z 及 z .xy7.求函数 w e2 yln( x z 2 ) 在点 (e 2 ,1, e ) 处沿曲面 x e u v , y e u v , z e uv 的法线向量的方向导数 .8.求 grad [c ·r+ 1ln(c ·r)], 其中 c 为常向量， r 为向径，且 c ·r >0.29.设二元函数 f 在 P 0 ( x 0 , y 0 ) 点某邻域内偏导数 f x ' 和 f y '都有界，证明 : f 在此邻域内连续 .设'存在，'( , ) 在 (x, y )处连续，证明：在 ( x , y ) 处可微10. f xf y y 0 f ( x, y) .( x , y )x 0x 3 y 3 ，11.证明：函数f (x, y)x 2 y 2 ( x, y) (0,0) 在原点处偏导数存在但不可微 .0 ， (0,0)( x, y)12.设 zz( x, y) 是由方程xy 确定的二元函数， 其中有连续的二阶导函数，证明：zz2z2z2 z2.x 2y 2x y13.证明：曲面e 2 x zf ( y2z) 是柱面，其中 f 可微 .第二部分多变量积分学一、各类积分的计算公式及意义（一）二重积分 1.计算公式f x, y dxdyby 2 ( x)f x, y dyd x 2 ( y) f x, y dx①直角坐标系下的二重积分：dxcdyDay 1 ( x)x 1 ( y)②极坐标系下的二重积分：f x, y dxdydr 2 ( ) r cos ,r sinb rdr2 ( r ) r cos ,r sind .r 1 ( f rdrf D)a1 ( r )③二重积分的变量替换：f x, y dxdyf x(u, v), y(u, v) ( x, y) dudvxyuv(u,v)2.几何意义： f x, y0 时，表示以 z 0 为底，以 zf x, y 为顶的曲顶柱体的体积 .3.物理意义：各点处面密度为 f x, y 的平面片 D 的质量 .（二）三重积分1.计算公式①直角坐标系下的三重积分：（1）柱型域：f x, y, z dVz 2 x,y投影穿线法（先一后二法）：dxdy f x, y, z dzVz 1 x, yxy（2）片型域：f x, y, z dVz 2 f x, y, z dxdy定限截面法（先二后一法）：dzVz 1D z②柱面坐标系下的三重积分：f x, y, z dVf r cos , r sin , z rdrd dzdr 2 z 2 r ,f r cos , r sin , z dzrdrz 1VVr 1r ,③球面坐标系下的三重积分：f x, y, z dVf r sin cos , r sin sin ,r cos r 2 sin d d drVVd2 r 2 ,f r sincos , r sin sin , r cos r 2dr sin d,1r 1资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除④三重积分的变量替换：f x, y, z dVf x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)( x, y, z) dudvdw V xyzV uvw(u,v, w)2.物理意义：各点处体密度为 f x, y, z 的几何形体的质量 .（三）第一型曲线积分：1.计算公式 ①平面曲线的情形：（1）C :xx t , a tb 则f x, y dsb x t , y tx2ty 2t dt.fyy t ,Ca（2） C : yg x , axb则f x, y dsb x, g x1 g'2x dx.fCa（3） C : rr,则f x, y dsf rcos , rsin r 2r 2d .C②空间曲线的情形：x x t ,C : y y t ,a t b :f x, y, z dsf x t , y t , z tx 2 ty 2 tz'2 t dt .z z t ,C2. C为准线，母线平行于z轴的柱面介于 z 0与 z f x, y 间的面积 .几何意义：以物理意义：各点处线密度为 f x, y （或 f x, y, z ）的曲线C 的质量.3.（四）第一型曲面积分： 1.计算公式：22f x, y, z dSzzf x, y, z x, y 1dxdy.Sxyx y2.物理意义：各点处面密度为 f x, y, z 的曲面 S 的质量 .（五）第二型曲线积分：1.计算公式：①平面曲线的情形：xx t , bC :a t yy t ,P(x, y)dx Q(x, y) dyb P( x(t), y(t))dx(t) Q(x(t ), y(t)) dy(t)Cax x t ,②空间曲线的情形：C : yy t ,a t bz z t ,P(x, y, z) dx Q(x, y, z) dy R( x, y, z)dzCbP(x(t ), y(t ), z(t )) dx(t ) Q( x(t ), y(t ), z(t)) dy(t )z( x(t), y(t), z(t))dz(t) a2.物理意义：力场F=P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 沿有向曲线 C 所做的功.（六）第二型曲面积分：1.计算公式：P(x, y, z) dydz Q ( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdySxy zP(x, y, z( x, y))xzQ ( x, y, z(x, y)) R( x, y, z(x, y)) dxdy.2. 物理意义：流速场v=P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 单位时间通过有向曲面S 流向指定一侧的净通量 .二、各种积分间的联系1.第一型曲线积分与第二型曲线积分：Pdx Qdy Rdz P cos Q cos R cos ds.C C2.第一型曲面积分与第二型曲面积分：Pdydz Qdzdx Rdxdy P cos Q cos R cos dS.S S3. 第二型曲线积分与二重积分（Green 公式）：Pdx Qdy Q Pdxdy.Cx yD4.第二型曲面积分与三重积分（ Gauss 公式）：Pdydz QdzdxP Q R RdxdyydV .S Vxz5.第二型曲线积分与第二型曲面积分（Stokes 公式）：Pdx Qdy Rdz R Q P R Q Pdydz dzdx dxdy.Cy z z x x yS三、各种积分的通用性质1.黎曼积分的性质1° f P g P d f P d g P d .2° f P d f P d f P d ，其中12，且1 与2无公共内点 .123°若f P g P ，P，则 f P d g P d .若 f P g P , f P g P ，且 f P , g P 连续，P，则 f P d g P d. 4° f P d f P d .5°若f P 在积分区域上的最大值为 M，最小值为m，则m f P d M .6°若f P 在有界闭区域上连续，则至少有一点 P，使 f P df P .7°若R2关于坐标轴对称，当f P关于垂直该轴的坐标是奇函数则为0；若R3关于坐标平面对称，当 f P 关于垂直该平面坐标轴的坐标是奇函数时为0.8°将坐标轴重新命名，如果积分区域不变，则被积函数中的x,y,z也同样作变化后，积分值保持不变 .2.第二型积分的性质1°设是与方向相反的几何体，则A( P)d A(P)d .2° A P B P d A P d B P d .3°若12 ，则A( P)d A( P)d A( P)d .124°若e A P , P, 则 A(P) d0.p5°设P, e p= cos P ，cos P，cos P，A P=P( P), Q ( P), R( P)，则A( P)d P( P) cos P Q (P) cos P R( P) cos P d6°将坐标轴重新命名，如果曲线或曲面的方程不变，则被积函数中的x,y,z也同样作变化后，积分值保持不变 .四、各种积分的应用M xd M yd M zd1.形心坐标公式：x, y, z.M xd M yd M zd质心坐标公式：x, y, z.M d M d M d2.转动惯量：I M r 2 M d.3.旋度：rot F (M)=R Q i+P Rj+Q P k.y z z x x y4.散度： div F(M)=P Q R. x y z M五、习题1.计算y 2 dxdy, 其中 D 由横轴和摆线x a(t sin t )的一拱 ( 0 t 2, a0)围成.Dy a(1cost)2.计算 1 sin 2 (x y)dxdy , 其中D: 0x,0y.D3.计算 a 2x2y 2 dxdy, 其中D:x2y 2ay, y x , a0.D4.计算x 2y2 dxdy,其中 D:0x a,0y a.D5.计算y 1xf (z) dV , 其中 V 是由不等式组1x1, x 3y1,0z x 2y 2所限V定的区域， f ( z) 为任一连续函数.6.计算x2y2dV ,其中 V 是由不等式组x2y 2z21, x2y 2(z1) 21所确Vz2定的空间区域 .7.计算x2y 2z21dV , 其中V是由锥面 z x2y 2和平面 z 1 围成的立体.V8.计算( x 2 y3z)dV , 其中 V 是顶点在(0，0，0)处，底为平面x y z 3上以 (1，1，1)V为圆心， 1 为半径的圆的圆锥体 .8.计算1,2) 到(1,1) 的弧段.xds, 其中 l 为双曲线xy 1上点(l2(2yz2zx2xy)ds, 其中 L 是空间圆周x2y2z2a29.计算x y z 3 a .L210.计算z其中S是椭球面x 2y2z21的上半部分，点 P( x, y,z)S,(x, y, z)ds，22D为 S在点P 处的切平面，( x, y, z) 为原点 (0，0，0) 到平面的距离 .11.计算( x 21 e y sin x)dy e y cos xdx,其中 l 是由由原点沿 yx 2 到点 (1,1) 的曲线 .l12.计算( y 2 z 2 )dx ( z 2 x 2 ) dy (x 2 y 2 )dz, 其中 : x 2y 2 z 2 4x z 0 ,x 2y 22 x从 z 轴正向看取逆时针方向 .( xy) dx ( x y)dyx t sin t 从 t0 到 t 213.计算l2 2, 其中 l 为摆线 的弧段 .xyy 1 cost14.计算( 2x 2x3e)dydz (zy26x 2 y z 2x)dzdxz 2ydxdy, 其中 S 是由抛物面Sz 4x2y 2，坐标面 xoz,yoz 及平面 z1y, x 1, y1所围成的立体表面的外侧 .215.计算( x 3y 2 )dydz ( y 3z 2 )dzdx (z 3 x 2 )dxdy, 其中 S 是由锥面 yx 2z 2S与半球面 y RR 2 x 2 z 2 (R 0) 构成的闭曲面的外侧 .16. 计算x f x dydz fx dzdxzz f x dxdy, 其中 是由 yx 2z 2 1y y yy y和 y 9x 2 z 2 所围立体表面的外侧，f (u) 是有连续导数的函数 .17.计算(8 y 1)xdydz 2(1 y) 2 dzdx 4yzdxdy, 其中 S 是由 zy 1 1 y3 绕Sxy 轴旋转一周所得到的曲面，它的法向量与y 轴正向夹角恒大于.218.计算2 ydzdx, 其中 S 是曲面 yx 2z 2 及 y 1 ， y2 所围立体表面外侧 .Sx 2z 219.求闭曲面（ x 2y 2z 2 ) 2 a 3 z 所围成的立体体积 .20.求锥面 y 2 z 2 x 2 含在圆柱面 x 2y 2a 2 内部分的面积 .21.求由曲线 L ： yx 21ln x(1x 2) 绕直线 y3x9 旋转形成的旋转曲面的面积 .424822.求平面曲线段l ：yx 3 x1)4x 旋转形成的旋转曲面的面积 .2x(0绕直线 L ：y3323.设函数 f ( x) 在区间 [0,1] 上连续，并设1A, 求1dx 10 f ( x)dx0 f ( x) f ( y)dy.x24.求线密度为x2y 2z2R 2x 的物质曲线2y 2Rxz 0对三个坐标轴转动惯量之和 .x25.设r=xi+y j+zk, r= |r|.（1）求f (r )，使 div[f (r ) r=0； f (r )，使 div[ gradf ( r )]=0.]（ 2）求12 (x)dxxf26.设函数f ( x)在区间[0,1]上连续、正值且单调下降，证明：01xf ( x) dxA1f 2 ( x)dx 01.f ( x)dx27.设函数f (t)连续，证明： f ( x y)dxdy f (t )( A| t |) dt.DA28.证明：108 a5x y z32 3a)3 a 5 (a 0), 其中3a dS (3是球面：x2y 2z22ax 2ay 2az 2a 20.29.设是弧长为s 的光滑曲线段，函数P( x, y, z), Q (x, y, z), R( x, y, z) 在上连续，且M max P2Q 2R2 .证明：Pdx Qdy Rdz Ms.30.设在上半平面 D (x, y) | y0 内函数 f ( x, y) 具有连续偏导数，且对任意的t 0 ，都有 f (tx , ty )t 2 f ( x, y). 证明：yf (x, y)dx xf (x, y)dy 0 ，其中 L 是 D 内任意分段L光滑的有向简单闭曲线.第三部分无穷级数一、数项级数（一）数项级数的基本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数，总存在N使得对于任何两个N 大于的正整数m 和 n，总有 S m S n.（即部分和数列收敛）3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性.（二）数项级数的性质及敛散性判断1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛.（2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数u n和v n之间自某项以后成立着关系：n 1n 1存在常数 c 0，使 u n cv n (n1,2, ) ，那么（i ）当级数v n收敛时，级数u n亦收敛；n 1n 1（ii ）当级数u n发散时，级数v n亦发散.n1n 1推论：设两个正项级数u n和v n，且自某项以后有un 1vn 1u n，那么n 1n 1v n（i ）当级数v n收敛时，级数u n亦收敛；n 1n 1（ii ）当级数u n发散时，级数v n亦发散.（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数u n 和v n ， 若n 1n 1lim u nl 0 ，那么这两个级数敛散性相同.（注： 可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小nv n的内容）另外，若 l0 ，则当级数v n 收敛时，级数u n 亦收敛；若 l，则当级数u n 发n 1n 1n 1散时，级数v n 亦发散 .n 1常用度量：①等比级数：q n ，当 q1 时收敛，当 q 1 时发散；n② -级数：1 ，当p 1 时收敛，当 p 1 时发散 ( p1 时称调和级数 ) ；pn 1 n p③广义-级数：1，当p1 时收敛，当 p 1 时发散 .p2 n ln npn④交错-级数：( 1) n 1 1 ，当 p 1时绝对收敛，当 0 p1时条件收敛 .pn pn 1（ 4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数u n ，当 limu n 1r1 时u nn 1n级数u n 收敛；当 limu n1r1 时级数u n 发散；当 r1 或 r1 时需进一步判断 .n 1nu nn 1（5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数u n ，设 rlim n u n ，那么 r1n 1n时此级数必为收敛，r 1 时发散，而当 r1 时需进一步判断 .（6）柯西积分判别法：设u n 为正项级数，非负的连续函数f (x) 在区间 [ a,) 上单调n 1下降，且自某项以后成立着关系：f (u n ) u n ，则级数u n 与积分f (x)dx 同敛散 .n 12.任意项级数的理论与性质 （1）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然；②对于级数u n，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数v n，其中n 1n 1v n u nun；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数w n，其中2n 1w n u n u nu n绝对收敛，则级数v n和w n都收敛；若级数u n 2，那么若级数n 1n 1n 1n 1条件收敛，则级数v n和w n都发散.n 1n 1③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同.④若级数u n和v n都绝对收敛，它们的和分别为U 和 V ，则它们各项之积按照任何方n 1n 1式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积u n v n也绝对收敛，且和也为UV .n 1n 1注：c n u n v n，这里c n u1 v n u2 v n 1u n 1v2u n v1.n 1n 1n 1（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法） : 若交错级数( 1)n 1 u n满足 lim u n0 ，nn 1且 u n单调减少（即 u n u n 1），则( 1)n 1 u n收敛，其和不超过第一项，且余和的符号n 1与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数（一）幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域（1）柯西 -阿达马定理：幂级数a n ( x x0 )n在 x x0 R 内绝对收敛，在x x0Rn 0内发散，其中 R 为幂级数的收敛半径.（2）阿贝尔第一定理：若幂级数a n ( x x0 )n在 x处收敛，则它必在 x x0x0n 0内绝对收敛；又若a n ( x x0 ) n在 x处发散，则它必在x x0x0也发散.n 0推论1：若幂级数a n x n在 x(0) 处收敛，则它必在x内绝对收敛；又若幂n 0级数a n x n在 x(0) 处发散，则它必在x时发散 .n 0推论 2：若幂级数a n ( x x0 )n在 x处条件收敛，则其收敛半径 R x0，若又有n 0a n 0 ，则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令lim a n 1 ( x)1解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集 .n a n ( x)2.幂级数的运算性质（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：a n x nb n x n nx naibn i，收敛域仍取交集 .n 0n 0n 0i 0（2）幂级数的和函数S( x) 在收敛域内处处连续，且若幂级数n 0a n (x x0 ) n在 x x0R处收敛，则 S(x) 在 x0 R, x0 R 内连续；又若幂级数n 0a n ( x x0 ) n在 x x0R 处收敛，则 S(x) 在 x0R, x0R内连续.（3）幂级数的和函数S( x) 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变.3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和（1）常用的幂级数展开：① e x 1 x 1 x2 1 x n x n， x (,+ ).2!n!n0n!②1= 1+x+x2+···+x n+···=x n，x( 1, 1).1x n0从而，1(x) n，1(1)n x 2n.1 x n 01x2n0③ sin x x 1 x3 1 x5(1) n x2 n1(1) n x 2n1，x(, +).④ cos x1 1 x2 1 x4(1)n x 2n(1) n x 2n，x (, +).2!4!(2n)!n0( 2n)!⑤ ln(1x)x 1 x2 1 x3(1) n 1 x n 1(1) n 1x n， x (1, 1].23n1n1n⑥ (1 x)1x(1) x2(1) (n 1) x n， x ( 1, 1).2!n!⑦ arcsinx x 1 x3(2n1)!!x2 n 1( 2n)!x2 n 1， x[ 1, 1].23(2n)!!2n1n0 4n(n! )2(2n1)⑧ arctan x x 1 x3(1)n1x 2n 1(1)n11x2 n1， x [1, 1].32n1n 02n（2）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分 x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与 x 的幂合并，如将 c n和 x n合并为 (cx) n；③对a n x n求导可消去a n分母因式里的n ,对a n x n积分可消去a n分子因式里的n 0n 0n 1 ；④系数分母含n! 可考虑e x的展开，含(2n)!或(2n1)! 等可考虑正余弦函数的展开；⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解.（二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立）若 f (x) 以 2l 为周期，且在 [ l, l] 上满足：①连续或只有有限个第一类间断点；②只有有限个极值点；则 f (x) 诱导出的傅里叶级数在[ l, l] 上处处收敛.2. 傅里叶级数S( x) 与f (x)的关系：f (x)， x 为连续点；f ( x 0) f (x 0) ，为间断点；S( x)2xf ( l0) f (l0) ，为边界点.2x3.以 2l 为周期的函数的傅里叶展开展开：a 0 n x n x f ( x) ~ S( x)a n cosb n sin2 n 1ll1a 0l （1）在 [l, l]上展开：1a nl1b nlll ll l lf ( x)dxn xf (x) cos dx ；lf ( x) sinnxdxl（2）正弦级数与余弦级数：a 0 0①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：a n 0 ；b n2 ln xlf ( x) sindx0 l2 a 0l 2 ②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：a nlb n 0l 0 l 0f (x)dxf (x) cosn xdx ；l4.一些在展开时常用的积分：（1）sin nxdx ( 1) n 11 ; cos nxdx0;n 0（2）2sin nxdx1; 2cosnxdx1sinn；n 0n2（3）xsin nxdx( 1) n 1; x cosnxdx( 1) n 1 ； x 2cosnxdx2 ( 1) n；nn 2 n 2资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除（4） e ax sin nxdx1 n2 e ax ( a sin nx n cosnx) C ；a 21e axcos nxdx2n 2e ax(n sin nxa cos nx) C；a（5）sin ax sin nxdx11 sin( a n) x C ；2(asin( a n)xn) 2(a n)cosax cosnxdx11 sin(an)x C .sin(a n) x2(a n)2(a n)注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0；②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性；③对于 l 的情形，事先令 t x 对求积分通常是有帮助的 .l五、习题1.判断下列数项级数的敛散性，若收敛，不是正项级数的指出是绝对收敛还是条件收敛.（1）n 2n；n 112n（2）nn，其中非负；n 14tan n xdx（3），其中0 ；nn 1（4）( 1) n 1 1 1 ；n 1n p n（5）()nn!，其中0 ；n nn 1（6）( 1)n (2n 3)!! .n 2(2n 1)!!2.求幂级数2n3n x n 的收敛域 . n 1n求幂级数a nb n xn 的收敛域，其中 a, b 为正数 .3.nnn 14.将下列函数展开成x 的幂级数 .x （1）；1 2x（ 2） arcsin x ； （3） 1 ln1x1arctan x x .4 1 x25.求下列幂级数的收敛域及和函数.（1）( 1)n 1 n 2 x n ；n 1（2）(1)n 1x 2n ；n 1n( 2n 1)x 3n（3）；n 0 3n !6.求数项级数( 1)n 12n 2的和 .( 2n)! 2nn 17.设 f ( x) arctan x 2, 分别求出 f( 2n 1)(0) 和 f(2n )(0) .sin x2 )dt8.求极限 limsin(t x 2 n 1.x 0n 1 n n2word 可编辑4 8 4n 415! 9!(4n34)! .9.求极限 lim4 84n x 013! 7! 11! ( 4n 1)!x,0 x l2展开成正弦级数 .10.将函数 f ( x)x, llx l2cosx ,0 xl11.将函数 f ( x)l, l2展开成余弦级数 .x l212.将函数 f ( x) arcsin(sin x) 展开成傅里叶级数 .n( k! ) 213.证明：幂级数k 1n在 (3,3) 内绝对收敛 .xn 1(2n)!1f (t ) f ( x t) dt 的傅里叶系数 A n , B n ，其中 f (x) 是以 2为周期的14.求函数 F ( x)12 a 02 2 2连续函数， a n ,b n 是其傅里叶系数 .并证明：f(t )dt(a n b n ).2n 1word 可编辑。
微积分(二)知识点总结精选
第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的链式求导法则为：口诀：分段用乘，分叉用加。
多元函数与多元函数复合的情景（将下面的链式法则补充完整）xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 口诀：分段用乘，分叉用加。
y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xz z f x f x u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂口诀：分段用乘，分叉用加。
yz z f y f y u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂x v v f x u u f x w ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 口诀：分段用乘，分叉用加。
y v v f y u u f y w ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂zvv f z u u f z w ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xv v f x u u f x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 口诀：分段用乘，分叉用加。
y v v f y u u f y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂根据下列图示，写出复合函数的所有链式求导法则： （做题时，一次可能只会用到一个---用到那个就写那个，不必全部写出了。
）xv v f x u u f x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 口诀：分段用乘，分叉用加。
y v v f y u u f y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xv v f x u u f x f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂'''111 口诀：分段用乘，分叉用加。
y vv f y u u f y f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂'''111x vv f x u u f x f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂'''222 yvv f y u u f y f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂'''222xv v f x f x f ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂口诀：分段用乘，分叉用加。
y v v f y f ∂∂⋅∂∂=∂∂（简单！） （因为图中：红色线段有3条；蓝色线段只有2条。
_代微积拾级_底本年代考辩
1期
高红成： 《代微积拾级》底本年代考辩
27
扩充后分成 Elements of Analytical Geometry（ 《解析几何初步》） 和 Elements of the Differential and Integral Calculus（ 《微积分初步》） 两书出版。罗密士本人在《微积分初步》前言称， 《初步》的初版为 1851 年［4］，因此此书并不存在 1850 年版。
结合这个计划，回过头再看看伟烈亚力当时所说的“若在”与“梓”两字，可以认为他写序时（ 1853 年） 至 少已经有了相关教材的英文底本，并且连 differential 对应的中文译名“微分”都已经确定 了。需要注意的是，当时微积分是以“微分”概念为中心，积分被看成是它的逆运算，此处 的“微分”可以解释为现今的“微积分”，指向计划中的第三部教材《拾级》。
从表 1 的对比看出，《拾级》对应的翻译与《初步》1851 年版明显不符，倒是与 1852 年 版一致。因此至少可以肯定，1851 年版不是《拾级》的确切底本。
《拾级》能得以翻译并能出版，伟烈亚力起了重要的主导作用。他曾感叹：
① 《拾级》椭圆部分就只有 17 款。 ② 文献［6］中罗密士错误的卒年（ 1899 年） 也被引用。 ③ 比如若从 1859（ 10th ） 版往前推，有可能认为初版为 1850 年。
共 90 题
共 94 题，有 5 个 练 习 题 （ 没有翻译） 答案有修订
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
微积分拾阶(2)第二章.极限概念函数的连续性如果说对于函数的概念，我们总是能够从日常直观出发，就能很好地加以理解，因为毕竟因果关系的观念在我们的意识当中是非常深根蒂固的。
那么要真正严格地理解极限的观念，就不是那么自然的了。
对于极限的观念，最为关键的问题是，极限的模糊形象是谁都有的，但是如何定量地加以描述，从而是可以应用来作为一般的判别标准的呢？这个问题实际上困扰了人们几百年，一直到19世纪才加以解决的。
数列的极限。
数数是人类最原始的数学活动，应该说，对于数数我们没有更多的数学方面的分析可言的了，或者说至少从数学的角度而言，数数是一个足够清楚而明确的行为。
因此我们引入极限这么一个抽象概念就从数数开始。
最为主要的一种事物运动变化的方式，是一种给人以连续性的感觉的变化。
对于这样的变化方式，我们可以有两种研究方式，一是属于物理学范畴的研究方式，就是说去探讨事物变化发展中表现出来的连续性，究竟是一个什么样的过程。
另一种研究方式是并不考虑所谓连续性究竟是什么回事，而是首先人为地定义一种明确的可以定量处理的连续性，使得我们对于一般事物变化发展的描述都具有这种连续性的特点，并且总是在这种应用当中，随时对实际过程与理论推理进行验证与对比，从而得到使用这种人为连续性的观念的合理性，一直到实验表明再也不能使用这个人为前提为止。
确实，我们应该学会承认，当我们对客观事物进行描述与分析时，肯定是要基于一些前提条件或者说假设的，问题的关键，不是在于我们是不是应该首先证明了这些前提的正确性，才能再来进行随后的工作，而是承认任何的理论工作都只是相对的，是否有用必须经过实验的证明才能决定。
现在我们的主要工作就是建立一个关于日常生活的连续性的严格表述。
而这个概念是可以从我们进行最为简单的数数开始的。
设存在一个数列，也就是一个数值的集合，这个集合的元素可以一个一个的数出来，同时，每一个元素都可以加上唯一的标志，而自然数是最为适宜作这件工作的。
比如说，把一个数列写成这样的样子：，或者简单地记成{。
显然，可以想象，随着我们的数数，这个数列的取值，就会发生某种变化，（当然，对于总是取同一个数值的数列，我们没有什么兴趣。
）这种变化的过程应该说是相当明确而没有任何含糊与抽象的地方。
然后，我们来规定一种具有特定规律的数列变化过程：对于数列，假设存在一个确定的常数a，现在我们考虑变量（显然这是一个反映数列数值变化的，随着n而发生变化的变量。
），如果我们任意找到一个数，无论它的数值有多么大或者多么小，我们总是能够在这个数列当中找到一个元素，使得在这个元素后面的所有的数列元素，都使得相应的变量的数值小于，换一句话来说，就是，对于任意的，总是存在一个N，使得当n>N时，总是有成立，这时我们就把a称为数列的极限。
并且称数列收敛于极限a。
我们使用记号来表示这点。
否则我们就说数列{是发散的。
这就是一个数列收敛于一个极限或者说存在一个极限的定义。
在这个定义里面，最为关键的地方，也是初学者最为困难的地方有两个：1。
数值是任意的。
实际上也就是说，只要存在一个的数值不满足定义的条件，就不能说数列收敛于极限a。
这里初学者感到非常困难的地方是，我们是不是一定要对所有可能的都进行检验，才能得到最后的判断呢？在实际问题当中，由于我们的目的是希望知道变量是否越来越小，因此一般总是只要取大于0，并且足够小（以后我们在有关极限的定义当中，总是先假设了这点，记住这点并非是必要的，而是方便的），当然只是这样还不能减少我们对的任意取值进行验证的任务，关键在于，我们一般所处理的数列，总是按照某种特定的规律来变化或者说是按照某种特定的规律来定义的，这样一般从这个数列的变化规律本身，就可以足够使得我们进行判断，并且还有可能找到一个特定的由决定的N的值，使得条件得到满足，或者是可以找到反例。
实际上本章的最困难的地方就是如何判断一个数列是否存在极限，如果存在的话，又如何得到这个极限。
这里最重要的方法是应用不等式。
不过，我们的课程在这个方面的要求并不是过高的，因此我们只是需要考虑一些比较简单的例子，而我们的精力应该集中在对于极限思想的理解。
1．满足条件的n必须取遍所有大于N的自然数。
初学者往往会觉得这是不可能的，实际上，我们并不需要对所有大于N的n值进行检验，同样由于数列的变化是具有规律的，从生成数列本身的规律，我们一般总是能够通过有限的步骤，来得到所需要的判断。
那么究竟所谓生成数列的规律是什么呢？一般说来，一个数列的元素总是一个由变量n决定的函数，这里变量n取遍自然数，就生成了数列的全部项。
这个函数的表达式称为通项的通项公式。
不过通项公式有时候并非完全只是n的函数，而是同时由变量n和第n项之前的项所决定，这时，通项公式表现为一个递推公式，这种情况的处理比较复杂，我们不过多的涉及。
实际上对于上面的第二点，如果我们把希望得到的结论放弱一点，就还可以有第二种更为方便的说法，这就是相当重要的柯西收敛原理：我们说数列{收敛，它的充要条件是：对于任意的>0，总是存在正整数N，使得对于任意的自然数p和n>0，有成立。
可以看到，在这里对数列所进行的检验与极限的定义当中对数列所进行的检验是存在一点差异的，就是在这里对数列进行检验，我们并不需要知道这个数列的极限究竟是多少，而通过检验，我们也只是知道这个极限是否存在极限。
而在极限的定义当中，要对一个数列进行检验，实际上是预先假设知道了这个极限是多少，所谓的检验只不过是证明这个数列的极限是否这个给出的极限值。
因此，在实际问题当中，应用柯西原理是更为方便的检验方法。
在说明了一个数列的极限的含义以后，我们就可以得到一系列的这种极限过程的性质如下：（1）数列{以a为极限的另一个说法，或者说一个充要条件是：对于数列{的任意一个子数列{都以a为极限。
这种说法一般并不是应用于正面的结论，因为这就意味着我们要取一个数列的任意子数列来进行验证，这反而把事情搞复杂了，但一般说来更难以说明正面结论的判据，往往更易于说明反面结论，这也就是说，我们常常可以很方便地应用这个判据来说明某个数列是发散的，因为，我们只要能够在一个数列里，构造出一个发散的子数列，或者是构造出两个具有不同收敛极限的子数列，就可以说明这个数列是发散的。
（2）如果两个不同数列具有相同的极限：，而另外一个数列{满足条件：存在一个确定的自然数N，当n>N时，总是有成立，那么数列{收敛，并且极限为c。
这个性质被称为夹逼定理，常常用来求某个合适的数列的极限，前提是已知另外两个数列的极限，并且这三个数列具有定理所要求的关系。
（3）如果我们把数列看成是以自然数为自变量的函数，那么就可以相应地定义这个函数的有界性和单调性，这两个概念是相当直观的，并且显然可以知道一个收敛数列必然是有界的，因为按照收敛的定义，满足的项总是有限的，因此总能够得到一个确定的函数的界。
反过来，则还必须加上一个条件：单调而且有界的数列必定存在极限。
这是一个相当重要的极限存在定理，因为往往判定一个数列的单调性和有界性是比较容易的。
从这个定理可以得到一个条件比性质（1）更弱，但结论一样的极限存在定理：（4）如果数列{的子数列{和{都收敛于同一个极限，那么数列{也收敛于这个极限。
显然这个定理比性质（1）所需要的条件更弱，但结论是一样的，这是因为我们选取了特定的子数列。
（5）如果一个数列是由两个收敛数列通过四则运算得到的，那么这个数列的收敛性质就完全由这两个数列决定，这就是数列极限的四则运算性质：a．其中k为实数；b．；c．；d．，其中。
函数的极限。
上面对于数列的讨论，完全可以看成是对于一种最为简单的函数的极限的讨论，这里唯一的差别，就是一般的函数的取值往往是连续的，而数列的取值是可以用自然数计数的。
这里数值的连续性，或者说实数的连续性，仍然是我们不清楚的概念，尽管这是一个微积分最为基本的概念，是我们下面讨论的一个基础，但是由于本课程的限制，我们不学习艰涩的实数连续统理论，因此从逻辑的角度来讲，我们只能是预先承认一种直观上的连续性观念，而实际上，这种直观观念对于我们下面的学习，也是足够了的。
尽管数列的项是可以用自然数计数，但在数列的极限定义当中，我们并没有依赖于在实际的检验当中，进行逐项的比较，也就是说，在极限的定义当中，数列的这种离散取值形式是无关紧要的。
我们仍然可以仿照数列的极限的定义，说明一个函数的极限的定义。
不过我们还必须首先考虑一个函数与数列的形式方面的差别。
我们知道，一个数列所表示的变化，是具有明确的自变量变化形式的，即随着自然数的增大而变化，而一个一般函数所表达的，则只是一般的自变量与因变量的数值对应，而并没有更具体地要求指明自变量与因变量的变化过程是如何进行的，函数的这种属性，实际上也正是函数的抽象能力之所在。
那么我们如何考虑在一个函数所表达的变化过程当中可能存在的极限现象呢？类似于数列的极限过程里面，自变量可以取得任意大一样，在函数的极限过程里面，可以考虑自变量与某一个特定值的距离任意小。
我们知道一个数列如果收敛，那么它的极限肯定是唯一的，这也可以说是极限概念之所以有意义的地方。
而对于一个函数来说，同样必须考虑自变量在一定的变化方向上的函数变化性质，即如何定义函数的具有唯一性质的极限。
这里所谓自变量的变化方向，就是指自变量与某个特定值的距离任意小的意思。
为了说明自变量与某个特定值的距离任意小这种函数变化的特定形式，我们定义一个特定的概念，就是邻域的概念：对于确定的一个实数x，我们定义它的一个邻域，是指一个开区间这个开区间的特别之处在于可以看成是一个变量，并且一般是可以取任意小的数值的变量，因此这个开区间的特别之处在于，这个开区间的大小是可以任意地小。
邻域这个概念在下面函数的极限定义当中具有关键的作用，希望同学们认真加以体会。
首先假设函数f（x）在点的邻域内有定义，而在点上不一定需要有定义。
如果存在一个确定的点A，而我们如果取点A的任意一个邻域，都可以找到相应的点的邻域使得对于函数y=f（x）来说，只要自变量x属于邻域里，就有因变量y属于邻域，这样我们就可以说当函数自变量x趋向于点时，函数以A为极限，记成。
我们也可以不使用邻域是概念，直接使用实数之间距离的概念，以类似于数列极限的形式来说明函数的极限：对于函数y=f（x），假设存在两个确定的常数和A，现在我们分别考虑变量（这个变量反映了函数自变量和一个确定的点之间的距离）和（显然这是一个反映函数数值变化的，随着x而发生变化的距离变量。
），如果我们任意找到一个数，无论它的数值有多么大或者多么小，我们总是能够找到一个相应的数，使得变量满足时，都使得相应的变量的数值小于，换一句话来说，就是，对于任意的，总是存在一个，使得当时，总是有成立，这时我们就把A称为函数f（x）在x趋向于x0时的极限。