暑期讲义-数列

数列
数列的概念及其表示
1 数列的定义
(1)按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第一项，也叫首项．
(2)数列与函数的关系
从函数观点看，数列可以看成：以正整数集N *或N *的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
2 数列的表示方法
3 数列的分类
4 a n 与S n 的关系
若数列{a n }的前n 项和为S n ，则
a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).
5 已知递推关系式求通项
一般用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．
【例1】(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋3n ，则此数列的通项公式为a n ＝________.
(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n 满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝1
2，求S n .
[解析] (1)当n ＝1时， a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1.当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，∴a n ＝4n ＋1.
(2)∵当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝S n －S n －1， ∴S n －S n －1＋2S n S n －1＝0，即1S n －1
S n －1
＝2，
∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1S n 是公差为2的等差数列，
又S 1＝a 1＝12，∴1
S 1＝2，
∴1
S n ＝2＋(n －1)·2＝2n ， ∴S n ＝1
2n
.
【过关练习】
1.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式为________．
答案 a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－1，n ＝1，
2n －1，n ≥2
解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －
1，
∴a n ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.
2.S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋
3. (1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝1a n a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和．
解 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2
n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3. 可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即 2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．
由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.
又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.
所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知 b n ＝
1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝⎛⎭
⎫1
2n ＋1－12n ＋3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝
n
3(2n ＋3)
.
第2部分 等差数列及前n 项和
1 等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，定义的表达式为a n ＋1－a n ＝d ，d 为常数．
2 等差中项
如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b
2
. 3 等差数列的通项公式及其变形
通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，其中a 1是首项，d 是公差．通项公式的变形：a n ＝a m ＋(n －m )d ，m ，n ∈N *. 4 等差数列的前n 项和 等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)
2
d . 5 等差数列的单调性
当d >0时，数列{a n }为递增数列； 当d <0时，数列{a n }为递减数列； 当d ＝0时，数列{a n }为常数列． 等差数列及其前n 项和的性质
已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．
(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝…. (2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． 特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．
(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d .
(5)⎩⎨⎧⎭⎬⎫
S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }的公差的12.
(6)在等差数列{a n }中，
①若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a n
a n ＋1.
②若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝n
n －1.
(7)若数列{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别是S n 和T n ，则
S 2m －1T 2m －1＝a m
b m
. (8)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.
【例1】数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.
(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．
[解] (1)证明：∵a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2， ∴b n ＋1－b n ＝a n ＋2－a n ＋1－(a n ＋1－a n ) ＝2a n ＋1－a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2.
∴{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1＋2(n －1)，即a n ＋1－a n ＝2n －1， ∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5， …，a n －a n －1＝2n －3，累加法可得 a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝(n －1)2， ∴a n ＝n 2－2n ＋2.
【例2】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．
(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；
(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由． 解 (1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1. 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.
(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4. 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得
{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.
因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．
【过关练习】
1．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求通项a n ； (2)求S n 的最小值；
(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝
S n
n ＋c
，求非零常数c . 解 (1)因为数列{a n }为等差数列， 所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22. 又a 3·a 4＝117，
所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根， 又公差d >0，所以a 3<a 4， 所以a 3＝9，a 4＝13，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，d ＝4.
所以通项a n ＝4n －3. (2)由(1)知a 1＝1，d ＝4. 所以S n ＝na 1＋
n (n －1)2
×d ＝2n 2－n ＝2⎝⎛⎭⎫n －142－1
8. 所以当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1. (3)由(2)知S n ＝2n 2
－n ，所以b n ＝S n
n ＋c ＝2n 2－n n ＋c
，
所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝15
3＋c .
因为数列{b n }是等差数列， 所以2b 2＝b 1＋b 3， 即
62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c
， 所以2c 2＋c ＝0，
所以c ＝－1
2或c ＝0(舍去)，
故c ＝－1
2
.
2.已知等差数列{a n }中，a 5＝12，a 20＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，
依题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a 5＝a 1＋4d ＝12
a 20＝a 1＋19d ＝－18，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝20
d ＝－2，
∴a n ＝20＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋22.
(2)由(1)知|a n |＝|－2n ＋22|＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－2n ＋22，n ≤112n －22，n >11，
∴当n ≤11时，S n ＝20＋18＋…＋(－2n ＋22)＝
n (20－2n ＋22)
2
＝(21－n )n ；
当n >11时，S n ＝S 11＋2＋4＋…＋(2n －22)＝110＋(n －11)(2＋2n －22)
2
＝n 2－21n ＋220.
综上所述，S n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
(21－n )n ，n ≤11
n 2－21n ＋220，n >11.
3．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4. (1)求证{a n }为等差数列； (2)求{a n }的通项公式． 解 (1)证明：当n ＝1时，
有2a 1＝a 21＋1－4，即a 2
1－2a 1－3＝0，
解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)． 当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5， 又2S n ＝a 2n ＋n －4，
两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1， 即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，
也即(a n －1)2＝a 2n －1，
因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1. 若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1， 而a 1＝3，
所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1， 因此{a n }为等差数列．
(2)由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)＝n ＋2，即a n ＝n ＋2.
第3部分 等比数列及前n 项和
1 等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q (q ≠0)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数q 叫做等比数列的公比．
2 等比中项
如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 3 等比数列的通项公式及其变形
通项公式：a n ＝a 1·q n －
1(a 1q ≠0)，其中a 1是首项，q 是公比．通项公式的变形：a n ＝a m ·q n －
m .
4 等比数列前n 项和公式
S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q n
)1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1)或S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
a 1－a n q 1－q (q ≠1)，
na 1(q ＝1).
5 等比数列的单调性
当q >1，a 1>0或0<q <1，a 1<0时，{a n }是递增数列； 当q >1，a 1<0或0<q <1，a 1>0时，{a n }是递减数列； 当q ＝1时，{a n }是常数列． 等比数列及其前n 项和的性质
设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．
(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *.
特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．
(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫pa n qb n (其中b ，p ，q 是非零常数)
也是等比数列．
(4)S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n .
(5)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列． (6)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，
T 2n T n ，T 3n
T 2n
，…成等比数列． (7)若数列{a n }的项数为2n ，S 偶与S 奇分别为偶数项与奇数项的和，则
S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1
S 偶
＝q . 【例1】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n .
(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． [解] (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，
∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴
a n ＋1－1a n －1＝1
2
. ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1， ∴a 1＝12，c 1＝－12
.
又c n ＝a n －1，故{c n }是以－12为首项，1
2
为公比的等比数列．
(2)由(1)知c n ＝－12×⎝⎛⎭⎫12n －1
＝－⎝⎛⎭⎫12n ， ∴a n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n
.
【例2】已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝2
3a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整
数．
(1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列； (2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．
解 (1)证明：假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3
，即⎝⎛⎭⎫23λ－32＝λ⎝⎛⎭⎫49λ－4，故49λ2－4λ＋9＝4
9
λ2－4λ，即9＝0，这与事实相矛盾．∴对任意实数λ，数列{a n }都不是等比数列．
(2)∵b n ＋1＝(－1)n ＋
1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n
＋1
⎝⎛⎭⎫23a n －2n ＋14＝－23(－1)n (a n －3n ＋21)＝－23
b n ， 又b 1＝－(λ＋18)，∴当λ＝－18时，b 1＝0(n ∈N *)，此时{b n }不是等比数列； 当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0， 则b n ≠0，∴
b n ＋1b n ＝－2
3
(n ∈N *)． 故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－2
3
为公比的等比数列．
【过关练习】
1．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .
解 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d ， 则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝15，解得a ＝5， ∴b 3＝7－d ，b 4＝10，b 5＝18＋d . ∵b 3，b 4，b 5成等比数列，
∴b 3b 5＝b 24，即(7－d )(18＋d )＝102
，
化简，得d 2＋11d －26＝0，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)， ∴b 3＝5，b 4＝10，b 5＝20， ∴数列{b n }的公比q ＝
10
5
＝2， 数列{b n }的通项公式为b n ＝b 3q n －
3＝5×2n －
3. (2)由b 3＝5，q ＝2，得b 1＝b 3q 2＝5
4
，
∴数列{b n }是首项为b 1＝5
4，公比为q ＝2的等比数列，
∴数列{b n }的前n 项和S n ＝b 1(1－q n )1－q
＝5×2n －
2－54.
2已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝a 4＋6，且a 1，a 4，a 13成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．
解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)．因为S 3＝a 4＋6，所以3a 1＋3×2d
2
＝a 1＋3d ＋6.所以a 1＝3. 因为a 1，a 4，a 13成等比数列， 所以a 1(a 1＋12d )＝(a 1＋3d )2， 即3(3＋12d )＝(3＋3d )2.解得d ＝2. 所以a n ＝2n ＋1. (2)由题意b n ＝2
2n ＋1
＋1，设数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝2
2n ＋1
，c n ＋1c n ＝22(n ＋
1)＋
12
2n ＋1＝4(n ∈N *)，所以数列{c n }为以8为首项，4为公比的等比数列．所以T n ＝8(1－4n )1－4
＋n ＝22n ＋
3－8
3＋n .
第4部分 数列求和、数列的综合应用
数列的求和方法 (1)公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 ①等差数列的前n 项和公式： S n ＝
n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)
2
d . ②等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
na 1
，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.
③常见数列的前n 项和公式： a ．1＋2＋3＋…＋n ＝
n (n ＋1)
2
； b ．2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n ； c ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2； d ．12＋22＋32＋…＋n 2＝
n (n ＋1)(2n ＋1)
6
；
e ．13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22.
(2)倒序相加法
如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．
(3)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见的裂项公式有： ①1n (n ＋1)＝1n －1
n ＋1；
②1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭
⎫1
n －1n ＋2；
③
1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭
⎫1
2n －1－12n ＋1；
④
1n ＋n ＋1
＝n ＋1－n .
(4)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．
(5)分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
【例1】(1)已知等差数列{a n }，公差d >0，前n 项和为S n ，且满足a 2a 3＝45，a 1＋a 4＝14.
①求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； ②设b n ＝
S n
n ＋c ，若{b n }也是等差数列，试确定非零常数c ，并求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1b n ·
b n ＋1的前n 项和T n . (2)数列{a n }的前n 项的和为S n ，对于任意的自然数a n >0,4S n ＝(a n ＋1)2. ①求证：数列{a n }是等差数列，并求通项公式； ②设b n ＝a n
3
n ，求和T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n .
[解] (1)①依题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2a 3＝45
a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝14，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝5a 3＝9或⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝9
a 3＝5
(舍去)，∴a n ＝4n －3，S n ＝2n 2－n . ②由①知b n ＝2n 2－n n ＋c
.
数列{b n }是等差数列，则2b 2＝b 1＋b 3，即 2·62＋c ＝11＋c ＋153＋c ，解得c ＝－12，∴b n ＝2n .
则
1b n ·b n ＋1＝12n ·(2n ＋2)＝14⎝⎛⎭
⎫1
n －1n ＋1， ∴T n ＝
1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n
4(n ＋1).
(2)①证明：令n ＝1,4S 1＝4a 1＝(a 1＋1)2， 解得a 1＝1， 由4S n ＝(a n ＋1)2， 得4S n ＋1＝(a n ＋1＋1)2，
两式相减得4a n ＋1＝(a n ＋1＋1)2－(a n ＋1)2， 整理得(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0， ∵a n >0， ∴a n ＋1－a n ＝2，
则数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. ②由①得b n ＝
2n －1
3n
，
T n ＝131＋332＋5
33＋…＋2n －13n ，①
13T n ＝132＋333＋5
34＋…＋2n －13n ＋1，② ①－②得
23T n ＝13＋2⎝⎛⎭⎫132＋133＋…＋13n －2n －13n ＋1 ＝1
3＋2×19⎝⎛⎭⎫1－13n －11－
13－2n －13
n ＋1 ＝23－2n ＋23n ＋1， 所以T n ＝1－
n ＋1
3n
. 【例2】已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n
－1
4n
a n a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×1
2×2＝2a 1＋2，
S 4＝4a 1＋
4×3
2
×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)， 解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n －1
4n a n a n ＋1＝(－1)n －
14n (2n －1)(2n ＋1)
＝(－1)n
－1
⎝⎛⎭
⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1－⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n
2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n
＝⎩⎨⎧
2n ＋2
2n ＋1
，n 为奇数，2n
2n ＋1，n 为偶数.
【例3】已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)bn (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.
(1)求a n 与b n ；
(2)设c n ＝1a n －1
b n (n ∈N *)．记数列{
c n }的前n 项和为S n .
①求S n ；
②求正整数k ，使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n . 解 (1)由题意a 1a 2a 3…a n ＝(2)bn ，b 3－b 2＝6，
知a 3＝(2)b 3
－b 2
＝8，又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)，
所以数列{a n }的通项为a n ＝2n (n ∈N *)． 所以，a 1a 2a 3…a n ＝2
n (n ＋1)2
＝(2)n (n
＋1)．
故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．
(2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＝1n ＋1－1
2n (n ∈N *)．
②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0， 当n ≥5时，c n ＝1n (n ＋1)⎣⎡⎦
⎤
n (n ＋1)2n
－1， 而n (n ＋1)2n －(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1＝(n ＋1)(n －2)
2n ＋
1>0， 得
n (n ＋1)2n
≤5·(5＋1)
25
<1. 所以，当n ≥5时，c n <0.
综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.
【过关练习】
1.在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. ①求数列{a n }的通项公式； ②令b n ＝2an
－10
，证明：数列{b n }为等比数列；
③求数列{nb n }的前n 项和T n .
[解] (1)①设数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，由a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋9d ＝30a 1＋19d ＝50，解
得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝12
d ＝2. 所以a n ＝12＋(n －1)·2＝2n ＋10. ②证明：由①，得b n ＝2an －10
＝22n
＋10－10
＝22n ＝4n ，
所以b n ＋1b n ＝4n ＋
1
4
n ＝4.
所以{b n }是首项为4，公比为4的等比数列．
③由nb n ＝n ×4n ，得T n ＝1×4＋2×42＋…＋n ×4n ①， 4T n ＝1×42＋…＋(n －1)×4n ＋n ×4n ＋
1 ②，
①－②，得－3T n ＝4＋42＋…＋4n －n ×4n ＋1
＝4(1－4n )－3
－n ×4n ＋1
.所以T n ＝(3n －1)×4n ＋
1＋49.
2.已知函数f (x )＝
2x ＋33x
，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n ，n ∈N *
. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)令b n ＝1
a n －1a n (n ≥2)，
b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －20042对一切n ∈N *成立，求最小正整数m .
[解] (1)∵a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n ＝2＋3a n 3＝a n
＋2
3， ∴{a n }是以2
3
为公差，首项a 1＝1的等差数列，
∴a n ＝23n ＋13.
(2)当n ≥2时， b n ＝
1a n －1a n
＝
1
⎝⎛⎭⎫23n －13⎝⎛⎭
⎫
23n ＋13
＝92⎝⎛⎭⎫1
2n －1－12n ＋1， 当n ＝1时，上式同样成立． ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝9
2⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝9
2⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1， ∵S n <m －20042
，
即9
2⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1<m －20042对一切n ∈N *成立， 又92⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1随n 递增，且92⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1<92， ∴92≤m －20042
，∴m ≥2013，∴m min ＝2013. 课后练习
【补救练习】
1.已知等比数列{a n }中的各项都是正数，且5a 1，1
2a 3,4a 2成等差数列，则a 2n ＋1＋a 2n ＋2a 1＋a 2＝( )
A ．－1
B ．1
C ．52n
D ．52n －
1
答案 C
解析 设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，则依题意有a 3＝5a 1＋4a 2，即a 1q 2＝5a 1＋4a 1q ，q 2－4q －5＝0，解得q ＝－1或q ＝5.又q >0，因此q ＝5，所以a 2n ＋1＋a 2n ＋2a 1＋a 2＝a 1q 2n ＋a 2q 2n
a 1＋a 2
＝q 2n ＝52n ，选C.
2．已知正项等差数列{a n }满足：a n ＋1＋a n －1＝a 2n (n ≥2)，等比数列{b n }满足：b n ＋1b n －1＝2b n (n ≥2)，则log 2(a 2
＋b 2)＝( )
A ．－1或2
B ．0或2
C ．2
D ．1 答案 C
解析 由题意可知a n ＋1＋a n －1＝2a n ＝a 2n ，解得a n ＝2(n ≥2)(由于数列{a n }每项都是正数，故a n ＝0舍去)，又b n ＋1b n －1＝b 2n ＝2b n (n ≥2)，所以b n ＝2(n ≥2)，所以log 2(a 2＋b 2)＝log 24＝2.
3．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，且2a 4，a 6,48成等差数列，则{a n }的前8项和为( ) A ．127 B ．255 C ．511 D ．1023 答案 B
解析 ∵2a 4，a 6,48成等差数列，∴2a 6＝2a 4＋48，∴2a 1q 5
＝2a 1q 3
＋48，解得a 1＝1，∴S 8＝1×(1－28)
1－2
＝255.
4．已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足b n ＝lg a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }的前n 项和的最大值等于 ( )
A ．126
B ．130
C ．132
D ．134 答案 C
解析 ∵b n ＋1－b n ＝lg a n ＋1－lg a n ＝lg a n ＋1
a n
为常数， ∴{b n }为等差数列．
设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝18，b 1＋5d ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧
d ＝－2，
b 1＝22.
由b n ＝－2n ＋24≥0，得n ≤12，∴{b n }的前11项为正，第12项为零，从第13项起为负， ∴S 11，S 12最大且S 11＝S 12＝132.
5.设数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，记数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n .若a 5＝b 5，a 6＝b 6，且S 7－S 5＝4(T 6－T 4)，则a 7＋a 5
b 7＋b 5
＝________.
答案 －5
13
解析 由S 7－S 5＝4(T 6－T 4)得，a 6＋a 7＝4(b 5＋b 6)， 又a 5＝b 5，a 6＝b 6，所以a 6＋a 7＝4(a 5＋a 6)， 所以6a 1＋25d ＝0，所以a 1＝－
256
d ， 又q ＝b 6b 5＝a 6
a 5＝－25
6d ＋5d －25d
6＋4d ＝－5，
所以
a 7＋a 5
b 7＋b 5＝2a 6b 5(q 2＋1)＝2b 6b 5(q 2
＋1)＝2q q 2＋1
＝－5
13. 【巩固练习】
1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2
5－n
，数列{b n }的通项公式为b n ＝n ＋k ，设c n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
b n ，a n ≤b n ，a n ，a n >b n ，若在数列
{c n }中，c 5≤c n 对任意n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是________．
答案 [－5，－3]
解析 c n 是取a n 和b n 中的较大值，又c 5是数列{c n }中的最小项，由于函数y ＝25－
n 是减函数，函数y ＝n ＋k
是增函数，所以b 5≤a 5≤b 6或a 5≤b 5≤a 4，即5＋k ≤25－
5≤6＋k 或25－
5≤5＋k ≤25－
4，解得－5≤k ≤－4或－4≤k ≤
－3，所以－5≤k ≤－3.
2．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 4≥4，S 7≤28，则a 10的最大值为________． 答案 16
解析 ∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4≥4，S 7≤28，
∴⎩⎨⎧
S 4＝4a 1＋
4×3
2
d ≥4，S 7
＝7a 1
＋7×6
2
d ≤28，即⎩
⎪⎨⎪⎧
2a 1＋3d ≥2，a 1＋3d ≤4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 10＝a 1
＋9d ＝a 1＋3d ＋6d ≤4＋6d ，a 10＝a 1＋9d ＝12(2a 1＋3d )＋15d 2≥2＋15d
2， ∴
2＋15d 2≤a 10≤4＋6d ，∴2＋15d
2
≤4＋6d ，解得d ≤2， ∴a 10≤4＋6×2＝16.
3．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)． (1)求{a n }的通项公式；
(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n . 解 (1)由a n ＋1＝2S n ＋1，可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，则a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1.
故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －
1.
(2)设{b n }的公差为d .
由T 3＝15，即b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5， 故b 1＝5－d ，b 3＝5＋d ，又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，
由a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列可得(5－d ＋1)·(5＋d ＋9)＝(5＋3)2，解得d ＝2或d ＝－10. ∵等差数列{b n }的各项为正，∴d >0， ∴d ＝2，b 1＝3，∴T n ＝3n ＋n (n －1)
2
×2＝n 2＋2n . 4. 数列{a n }满足a n ＋1＝
a n
2a n ＋1，a 1
＝1. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 是等差数列；
(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
1a n 的前n 项和S n ，并证明1S 1＋1S 2＋…＋1S n >n n ＋1.
解 (1)证明：∵a n ＋1＝a n
2a n ＋1
， ∴1a n ＋1
＝
2a n ＋1a n ，化简得1a n ＋1
＝2＋1
a n ， 即
1a n ＋1－1a n ＝2，故数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)知1
a n ＝2n －1，∴S n ＝n (1＋2n －1)2
＝n 2.
证法一：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2>11×2＋12×3＋…＋1
n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－
1n ＋1＝n
n ＋1
. 证法二：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1
n 2>1，
又∵1>n n ＋1
，∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n >n
n ＋1.
【提高练习】
1.设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，对任意实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝1
2，a n ＝f (n )(n
∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是( )
A.⎣⎡⎭⎫12，2
B.⎣⎡⎦⎤1
2，2 C.⎣⎡⎭⎫12，1 D.⎣⎡⎦⎤1
2，1 答案 C
解析 因为对任意实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，所以令x ＝n ，y ＝1，得f (n )·f (1)＝f (n ＋1)，即a n ＋1a n
＝
f (n ＋1)f (n )
＝f (1)＝12，所以数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，a n ＝⎝⎛⎭⎫12n ，所以S n
＝12⎝⎛
⎭⎫1－12n 1－12＝1－1
2n ，则S n ∈⎣⎡⎭⎫12，1.故选C.
2．已知函数f (x )＝log 2x －log x 2(0<x <1)，数列{a n }满足f (2an )＝2n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)判断数列{a n }的单调性． 解 (1)由已知得log 22an －
1
log 22a n
＝2n ， ∴a n －1a n ＝2n ，即a 2n －2na n －1＝0，∴a n ＝n ±n 2
＋1. ∵0<x <1，∴0<2a n <1，∴a n <0.∴a n ＝n －n 2＋1. (2)∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－(n ＋1)2＋1－(n －n 2＋1)＝1－2n ＋1
(n ＋1)2＋1＋n 2＋1
>1－2n ＋1(n ＋1)＋n ＝0，
∴a n ＋1>a n ，∴{a n }是递增数列．
3．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1·a n ＝a n －a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝lg
a n ＋2
a n
，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)由题意得
1
a n ＋1－1
a n ＝1， 又因为a 1＝1，所以1
a 1
＝1.
所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 是首项为1，公差为1的等差数列，
所以1a n ＝n ，即a n ＝1n
.
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1n .
(2)由(1)得b n ＝lg n －lg(n ＋2)，
所以S n ＝lg 1－lg 3＋lg 2－lg 4＋lg 3－lg 5＋…＋lg (n －2)－lg n ＋lg (n －1)－lg (n ＋1)＋lg n －lg (n ＋2)＝lg 1＋lg 2－lg (n ＋1)－lg (n ＋2)＝lg
2
(n ＋1)(n ＋2)
.。