福建省连江县尚德中学2016届高三3月模拟检测数学文试题

连江尚德中学2016届高三3月模拟检测（文科）数学试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1) 已知集合()(){}{}120,30A x x x B x x =-+<=-<<，则A B =（A ）(),2-∞-（B ）()2,0-（C ）()0,1（D ）()1,+∞(2) 若纯虚数z 满足i 1i z a =+，则实数a =（A ）0（B ）1-或1（C ）1-（D ）1(3) 在数列{}n a 中，71116,02n n a a a +=-=，则2a = （A ）12（B ）1 （C ）2（D ）4(4) 已知双曲线的渐近线方程为12y x =±，且经过点()4,1，则该双曲线的标准方程为（A ）221312x y -=（B ）221312y x -=（C ）221123x y -=（D ）221123y x -=(5) 已知函数()y f x x =+是偶函数，且()21f =，则()2f -=（A ）1- （B ）1（C ）5-（D ）5(6) 已知ππ22α-<<，且sin cos αα+=，则α的值为 （A ）π12- （B ）π12（C ）5π12-（D ）5π12(7) 设,a b ∈R ，则“a b >”是“a a b b >的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件(8) 执行如图程序框图，如果输入4a =，那么输出的n 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5(9) 函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的对称轴为（A ）1π,4x k k =-+∈Z （B ）12π,4x k k =-+∈Z （C ）1,4x k k =-+∈Z （D ）12,4x k k =-+∈Z(10)设抛物线28y x=的焦点为F，P是抛物线上一点，若直线PF的倾斜角为120︒，则PF=（A）38（B）3 （C）883或（D）3或8(11)某几何体的三视图如图所示，则下列数据中不是该几何体的棱长的是（A）（B（C）（D(12)已知函数()11,1,4ln,1,x xf xx x⎧+⎪=⎨⎪>⎩…则方程()f x ax=恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是（A）10,e⎛⎫⎪⎝⎭（B）11,4e⎡⎫⎪⎢⎣⎭（C）10,4⎛⎫⎪⎝⎭（D）1,e4⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题 第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．(13)已知()()1,3,1,t-a=b=，若()2-⊥a b a，则实数t=．(14)若实数,x y满足约束条件220,30,3,x yx yx+-⎧⎪-+⎨⎪⎩………则2z x y=+的最大值为．(15)，四个顶点在同一球面上，则该球的表面积为．(16)若ABC∆的内角满足sin2sinA B C=，则cos C的最小值是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)（本小题满分12分）已知等差数列{}n a的前n项和为n S，且373,28a S==．（Ⅰ）求{}n a的通项公式；（Ⅱ）若()2111n nnn naba a++=-⋅，，求数列{}n b的前n项和n T．某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[)[)[)[)[]100,110,110,120,120,130,130,140,140,150分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（Ⅱ）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，得到数据如下表：请你根据已知条件完成下列2×2列联表：并判断是否有90%参考数据：（参考公式：2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中n a bc d =+++）(19) （本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，点D 是BC 的中点，1BC BB =．（Ⅰ）求证：1AC ∥平面1AB D ；（Ⅱ）试在棱1CC 上找一点M ，使得1MB AB ⊥，并说明理由。

11已知直线:43100l x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)M 的直线与圆C 交于,A B 两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．(21) （本小题满分12分）已知函数()ln 1f x ax x x =-+（0a …）。

（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）若()()1,,0x f x ∈+∞>恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． (22) （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，在直角ABC ∆中，AB BC ⊥，D 为BC 边上异于,B C 的一点，以AB 为直径作O ，分别交,AC AD 于点,E F ．（Ⅰ）证明：,,,C D E F 四点共圆；（Ⅱ）若D 为BC 中点，且3,1AF FD ==，求AE 的长．(23) （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系x y O 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆锥曲线C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+，定点(0,A ，12,F F 是圆锥曲线C 的左、右焦点．直线l 经过点1F 且平行于直线2AF ．（Ⅰ）求圆锥曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （Ⅱ）若直线l 与圆锥曲线C 交于,M N 两点，求11F M F N ⋅．(24) （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()3f x x a x =++-（a ∈R ）． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()8f x x +…的解集；（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为5，求a 的值．参考答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合()(){}{}120,30A x x x B x x =-+<=-<<，则A B = （A ）(),2-∞- （B ）()2,0- （C ）()0,1 （D ）()1,+∞【答案】B ．【解析】因为()()2,1,3,0A B =-=-，所以A B = ()2,0-．应选B ． （2）若纯虚数z 满足i 1i z a =+，则实数a = （A ）0 （B ）1-或1 （C ）1- （D ）1【答案】A ． 【解析】因为1ii ia z a +==-为纯虚数，所以0a =．应选A ． （3）在数列{}n a 中，71116,02n n a a a +=-=，则2a = （A ）12（B ）1（C ）2（D ）4【答案】A ． 【解析】由已知，12n na a +=，所以{}n a 是公比为2的等比数列，所以725122a a ==．应选A ． （4）已知双曲线的渐近线方程为12y x =±，且经过点()4,1，则该双曲线的标准方程为（A ）221312x y -=（B ）221312y x -=（C ）221123x y -=（D ）221123y x -=【答案】C ．【解析】易知221312x y -=，221123y x -=的渐近线方程为2y x =±，淘汰选项A 、D ；将()4,1代入选项B ，不满足方程，淘汰选项B ．应选C ．（5）已知函数()y f x x =+是偶函数，且()21f =，则()2f -= （A ）1- （B ）1 （C ）5- （D ）5【答案】D ．【解析】因为函数()y f x x =+是偶函数，所以()()f x x f x x --=+，令2x =得，()()2222f f --=+，所以()()2245f f -=+=．应选D ． （6）已知ππ22α-<<，且sin cos αα+=，则α的值为（A ）π12-（B ）π12（C ）5π12-（D ）5π12【答案】A ．【解析】因为sin cos αα+=，π4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π1sin 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．又因为ππ3π444α-<+<，所以ππ46α+=，故α=π12-．应选A ．（7）设,a b ∈R ，则“a b >”是“a a b b >的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】C ．【解析】因为函数()22,0,,0x x f x x x x x ⎧==⎨-<⎩…在(),-∞+∞上为增函数，所以()()a b f a f b >⇔>a a b b ⇔>，即a b >为a a b b >的充要条件．应选C ． （8）执行如图程序框图，如果输入4a =，那么输出的n 的值为 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】B ．【解析】已知输入a 的值为4，故可列表如下：（9）函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的对称轴为 （A ）1π,4x k k =-+∈Z （B ）12π,4x k k =-+∈Z （C ）1,4x k k =-+∈Z（D ）12,4x k k =-+∈Z【答案】C ． 【解析】由图可知，511244T =-=，故1142x =-，即14x =-是()f x 的一条对称轴．又因为()f x 每两相邻的对称轴距离均为2T ，所以()f x 的对称轴为1,4x k k =-+∈Z ．应选C ． （10）设抛物线28y x =的焦点为F ，P 是抛物线上一点，若直线PF 的倾斜角为120︒，则PF = （A ）38（B ）3（C ）883或（D ）3或8【答案】C ．【解析】法一、设准线为l ，l x 轴B =，PA l ⊥，A 为垂足，设()00,P x y ．由抛物线定义得，PF PA =，所以PAF PFA ∠=∠．因为PA x ∥轴，所以AFB PAF ∠=∠，（1）当点P 在第一象限时，()1180120302AFB PFA ∠=∠=⨯︒-︒=︒．在Rt ABF ∆中，4BF =，所以0AB y ==01683x =，解得023x =．所以28233PF =+=．（2）当点P 在第四象限时，1120602AFB PFA ∠=∠=⨯︒=︒．在R t A B F ∆中，4BF =，所以0AB y ==，则208x =，解得06x =．所以628PF =+=．应选C ．法二、设准线为l ，l x 轴B =，PA l ⊥，A 为垂足，设()00,P x y ．过点P 作PM x ⊥轴于点M ，则60PFM ∠=︒，所以1||2FM PF =，由抛物线定义得，PF PA = （1）当点P 在第一象限时，13||||||||||22BF BM MF PA PF PF =+=+=，所以384||,||.23PF PF ∴=∴=（2）当点P 在第四象限时，11||||||||||22BF BM MF PA PF PF =-=-=，所以14||,||8.2PF PF ∴=∴=应选C ．（11）某几何体的三视图如图所示，则下列数据中不是该几何体的棱长的是 （A）（B（C）（D【答案】C ．【解析】由三视图可知，该几何体是高为4，底面是斜边为4的等腰直角三角形的三棱锥（如图粗线部分所示），通过计算可得C ．（12）已知函数()11,1,4ln ,1,x x f x x x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩…则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是（A ）10,e ⎛⎫⎪⎝⎭（B ）11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭（C ）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）1,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B ．【解析】作出()f x 的图像如右所示，易知函数exy =与ln y x =相切，结合图像可知，当a ∈11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，函数()f x 与直线y ax =有两个交点，即方程()f x ax =恰有两个不同的实根．应选B ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题 第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）已知()()1,3,1,t -a =b =，若()2-⊥a b a ，则实数t = ． 【答案】2．【解析】由已知，()23,32t -=--a b ．因为()2-⊥a b a ，所以()2-⋅a b a ()33320t =+-=，解得2t =．应填2．（14）若实数,x y 满足约束条件220,30,3,x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪⎩………则2z x y =+的最大值为 ．【答案】12．【解析】作出可行域如图所示，由图可知，当2z x y =+经过点()3,6A 时，直线纵截距最大，此时2z x y =+取得最大值23612⨯+=．应填12．（15，四个顶点在同一球面上，则该球的表面积为 ．【答案】3π．与正方体的外接球相同．易得正方体的棱长为1，其体对角线长即为外接球的直径，则2R=24π3πR =．应填3π．（16）若ABC ∆的内角满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是 ．【解析】由正弦定理可得2a c =，所以()22222214cos 22a b a a b c C ab ab+-+-====，当且仅当=时取等号，所以()min cos C =三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且373,28a S ==． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若()2111nn n n n a b a a ++=-⋅，，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则317123,76728,2a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩ ························································ 3分 解得11,1a d ==， ······················································································· 4分 所以()111n a n =+-⋅，即n a n =． ·································································· 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()2111nn n n n a b a a ++=-⋅， ()()2111nn n n +=-⋅+ ························································································ 7分()1111n n n ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭， ··················································································· 9分 当n 为奇数时，111111211223111n n T n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++--+=--=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ···························· 10分 当n 为偶数时，11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ． ···························· 11分 综上，2,,1,.1n n n n T n n n +⎧-⎪⎪+=⎨⎪-⎪+⎩为奇数为偶数（或()111n n T n -=-++） ······································· 12分（18）（本小题满分12分）某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[)[)[)[)[]100,110,110,120,120,130,130,140,140,150分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（Ⅱ）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，得到数据如下表：请你根据已知条件完成下列2×2列联表：并判断是否有90%参考数据：（参考公式：2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++）【解析】由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名；分数小于等于110分的学生中，男生人有60×0.05=3(人)，记为A 1，A 2，A 3；女生有40×0.05=2 (人)，记为B 1，B 2． ········· 2分 从中随机抽取2名学生，所有的可能结果为{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}12131112232122313212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B共有10种， ······························································································ 4分 其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果有{}{}{}{}{}{}111221223132,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B ，共有6种， ······························································································· 5分 故所求的概率63105P ==． ··········································································· 6分 （Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中，数学尖子生男生60×0.25=15(人)，女生40×0.375=15(人) ···· 7分 据此可得2×2列联表如下：································ 9分 假设数学尖子生与性别无关，则2K 的观测值2100(15251545)25 1.796040307014k ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯ ····································· 11分 因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”． ········· 12分（19）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，点D 是BC 的中点，1BC BB =． （Ⅰ）求证：1A C ∥平面1AB D ；（Ⅱ）试在棱1CC 上找一点M ，使得1MB AB ⊥，并说明理由．11【解析】（Ⅰ）连结1A B ，交1AB 于点O ，连结OD ． ········································· 1分 在11ABB A Y 中，O 为1A B 中点．又因为D 为BC 中点，所以1AC OD ∥．··························································· 2分 因为1AC ⊄平面1AB D ，OD ⊂平面1AB D ， 所以1A C ∥平面1AB D ． ··············································································· 4分 （Ⅱ）当M 为棱1CC 中点时，1MB AB ⊥，理由如下： ······································· 5分 因为在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，所以四边形11BCC B 为正方形．因为M 为棱1CC 中点，D 是BC 的中点，易证1B BD BCM ∆≅∆， ························· 6分 所以1BB D CBM ∠=∠， 又因为11π2BB D BDB ∠+∠=， 所以1π2CBM BDB ∠+∠=，故1BM B D ⊥． ····················································· 7分 因为ABC ∆是正三角形，D 是BC 的中点， 所以AD BC ⊥．因为平面ABC ⊥平面11,BB C C 平面ABC 平面11,BB C C BC AD =⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面11,BB C C ··············································································· 9分 因为BM ⊂平面11,BB C C 所以AD BM ⊥． 因为1AD B D D = ，1,AD B D ⊂平面1AB D ，所以BM ⊥平面1AB D ， ············································································· 11分 因为1AB ⊂平面1AB D ，所以1MB AB ⊥． ······················································ 12分（20）（本小题满分12分）已知直线:43100l x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)M 的直线与圆C 交于,A B 两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（Ⅰ）设圆心5(,0)()2C a a >-，则4102055a a a +=⇒==-或（舍去）． ························································· 2分所以圆C 的标准方程为224x y +=． ······························································· 4分 （Ⅱ）当直线AB x ⊥轴，在x 轴正半轴上任一点，都可使x 轴平分ANB ∠； ·········· 5分 当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为(1)y k x =-，1122(,0),(,),(,),N t A x y B x y ···································· 6分 联立圆C 的方程和直线AB 的方程得，2222224,(1)240(1)x y k x k x k y k x ⎧+=⇒+-+-=⎨=-⎩， ··················································· 7分 故2212122224,11k k x x x x k k -+==++， ···································································· 8分若x 轴平分ANB ∠，则12121212(1)(1)00AN BN y y k x k x k k x t x t x t x t--=-⇒+=⇒+=---- 221212222(4)2(1)2(1)()2020411k k t x x t x x t t t k k -+⇒-+++=⇒-+=⇒=++. 当点N 的坐标为(4,0)时，能使得ANM BNM ∠=∠成立． ································· 12分（21）（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x ax x x =-+（0a …）． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）若()()1,,0x f x ∈+∞>恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， ························································ 1分 当1a =时，()ln 1f x x x x =-+,()ln f x x '=， ··················································· 2分 令'()0f x >，则1x >；令'()0f x <，则1x <，所以()f x 在(0,1)单调递减，(1,)+∞单调递增． ················································· 4分 所以min ()(1)0f x f ==． ··············································································· 5分 （Ⅱ）()ln 1f x a x a '=+-（1x >）， ······························································ 6分 ①0a =时，()10f x '=-<，()f x 在(1,)+∞单调递减，()(1)0f x f <=恒成立与已知相矛盾． 7分②当0a >时，由()0f x '>得1e a ax ->，所以()f x 的单调减区间是1(0,e)a a-，单调增区间是1(e ,)a a-+∞. ······························· 9分当1e 1aa-，即1a …时，()f x 在(1,)+∞单调递增，()(1)0f x f >=恒成立； 当1e1aa->，即01a <<时，()f x 在1(1,e)a a-单调递减，在1(e,)a a-+∞单调递增，存在1(e)(1)0a af f -<=，与已知相矛盾． ····························································································· 11分 综上，实数a 的取值范围是[1,)+∞． ···························································· 12分请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． （22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，在直角ABC ∆中，AB BC ⊥，D 为BC 边上异于,B C 的一点，以AB 为直径作O ，分别交,AC AD于点,E F ．（Ⅰ）证明：,,,C D E F 四点共圆；（Ⅱ）若D 为BC 中点，且3,1AF FD ==，求AE 的长．【解析】（Ⅰ）连结,BF EF ，则CEF ABF ∠=∠， ············ 1分 因为AB 为直径，所以90AFB ∠=︒， ····························· 2分因为AB BC ⊥，所以ABF ADB ∠=∠， ·························· 3分 所以ADB CEF ∠=∠， ················································ 4分 所以,,,C D E F 四点共圆． ··········································· 5分（Ⅱ）由已知BD 为O 的切线，所以()21134BD DF DA =⋅=⨯+=，故2BD =，所以AB == ······················································· 7分 因为D 为BC 中点，所以4,BC AC =································ 8分 因为,,,C D E F 四点共圆，所以AE AC AF AD ⋅=⋅， ··········································· 9分所以AF AD AE AC ⋅===······························································· 10分（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系x y O 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆锥曲线C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+，定点(0,A ，12,F F 是圆锥曲线C 的左、右焦点．直线l 经过点1F 且平行于直线2AF ． （Ⅰ）求圆锥曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （Ⅱ）若直线l 与圆锥曲线C 交于,M N 两点，求11F M F N ⋅．【解析】（Ⅰ）圆锥曲线C 的普通方程为22:143x y C +=， ··································· 2分 其焦点为1(1,0)F -,2(1,0)F ，所以l的斜率2AF k k === ························ 3分 所以直线l的参数方程为11,2x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． ··········································· 5分（Ⅱ）将直线l的参数方程11,2x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入椭圆方程得：254120t t --=， ······················································································· 7分所以，12125t t =-， ····················································································· 8分 所以，111212125F M F N t t t t ⋅=⋅==． ························································· 10分（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()3f x x a x =++-（a ∈R ）． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()8f x x +…的解集；。