2020年高考数学一轮复习第八章解析几何课时达标53曲线与方程理
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8_8曲线与方程课件理新人教A版
上，则顶点C的轨迹方程是
．
(2)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N
内切，则圆心P的轨迹方程为
．
[解析] (1)如图，△ABC的内切圆圆P与三边的切点分别为E，F，G.
∵P在x＝3上，∴|AC|>|BC|， ∴|CA|－|CB|＝|GA|－|FB|＝|EA|－|EB|＝(5＋3)－(5－3)＝6， ∴C点轨迹是以A，B为焦点的双曲线(右支)， ∴2a＝6，a＝3，c＝5，b＝4， ∴顶点C的轨迹方程为x92－1y62 ＝1(x>3)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P
的轨迹方程．
解析：(1)由题意知c＝ 5，e＝ac＝ 35， ∴a＝3，b2＝a2－c2＝4， 故椭圆C的标准方程为x92＋y42＝1.
(2)设两切线为l1，l2， ①当l1⊥x轴或l1∥x轴时，l2∥x轴或l2⊥x轴，可知P(±3，±2)． ②当l1与x轴不垂直且不平行时，x0≠±3，设l1的斜率为k，则k≠0，l2的斜率为－ 1k，l1的方程为y－y0＝k(x－x0)，与x92＋y42＝1联立，整理得(9k2＋4)x2＋18(y0－kx0)kx ＋9(y0－kx0)2－36＝0， ∵直线l1与椭圆相切，∴Δ＝0，
名师点拨 1.定义法求轨迹方程的适用条件 动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定 义． 2．应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式， 由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求 解．
跟踪训练 若本例(2)中的条件“动圆P与圆M外切并且与圆N内切”改为“动圆P
2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第8节曲线与方程教学案理含解析新人教A版
第八节曲线与方程[考纲传真] 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程．1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点的轨迹方程的基本步骤[常用结论]1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．( )(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．( )(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( )(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．( )[答案](1)√(2)×(3)×(4)×2．已知M (－1,0)，N (1,0)，|PM |－|PN |＝2，则动点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线左支 C ．一条射线D ．双曲线右支C [∵|PM |－|PN |＝|MN |＝2，∴动点P 的轨迹是一条射线，故选C.]3．(教材改编)P 是椭圆x 29＋y 25＝1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则PM 中点的轨迹方程为( ) A.49x 2＋y25＝1 B.x 29＋45y 2＝1C.x 29＋y 220＝1 D.x 236＋y 25＝1 B [设中点坐标为(x ，y )，则点P 的坐标为(x,2y )，代入椭圆方程得x 29＋45y 2＝1.故选B.]4．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线D ．双曲线C [由题意，知PA →＝(－2－x ，－y )， PB →＝(3－x ，－y )，由PA →·PB →＝x 2，得y 2＝x ＋6，因此选C.]5．已知线段AB 的长为6，直线AM ，BM 相交于M ，且它们的斜率之积是49，则点M 的轨迹方程是________．x 29－y 24＝1(x ≠±3) [以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则A (－3,0)，B (3,0)．设点M 的坐标为(x ，y )，则直线AM 的斜率k AM ＝yx ＋3(x ≠－3)，直线BM 的斜率k BM ＝y x －3(x ≠3)．由已知有y x ＋3·y x －3＝49(x ≠±3)，化简整理得点M 的轨迹方程为x 29－y 24＝1(x ≠±3)．]定义法求轨迹方程【例1】 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求 C 的方程．[解] 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4＞|MN |＝2.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．[母题探究] (1)把本例中圆M 的方程换为：(x ＋3)2＋y 2＝1，圆N 的方程换为：(x －3)2＋y 2＝1，求圆心P 的轨迹方程．(2)在本例中，若动圆P 过圆N 的圆心，并且与直线x ＝－1相切，求圆心P 的轨迹方程． [解] (1) 由已知条件可知圆M 和N 外离，所以|PM |＝1＋R ，|PN |＝R －1，故|PM |－|PN |＝(1＋R )－(R －1)＝2＜|MN |＝6，由双曲线的定义知点P 的轨迹是双曲线的右支，其方程为x 2－y 28＝1(x ＞1)． (2)由于点P 到定点N (1,0)和定直线x ＝－1的距离相等，所以根据抛物线的定义可知，点P 的轨迹是以N (1,0)为焦点，以x 轴为对称轴、开口向右的抛物线，故其方程为y 2＝4x . [规律方法] 定义法求轨迹方程的方法、关键及注意点1求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程. 2关键：理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键.3利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制.(1)若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离比它到直线x ＝－5的距离小1，则点M 的轨迹方程是( ) A ．x ＝－4 B ．x ＝4 C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x(2)在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，则顶点A 的轨迹方程为________．(1)D (2)x 22－y 22＝1(x ＞2) [(1)依题意可知点M 到点F 的距离等于点M 到直线x ＝－4的距离，因此点M 的轨迹是抛物线，且顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，p ＝8，∴点M 的轨迹的方程为y 2＝16x ，故选D.(2)以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的坐标系，E ，F 分别为两个切点．则|BE |＝|BD |，|CD |＝|CF |，|AE |＝|AF |. 所以|AB |－|AC |＝22，所以点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(y ≠0)，且a ＝2，c ＝2，所以b ＝2，所以轨迹方程为x 22－y 22＝1(x ＞2)．]直接法求轨迹方程【例2】 已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C 的形状．[解] (1)由题意可知，直线PM 与PN 的斜率均存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·yx －1＝λ，整理得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．即动点P 的轨迹C 的方程为x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．(2)当λ＞0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)； 当－1＜λ＜0时，轨迹C 为中心在原点， 焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)；当λ＝－1时，轨迹C 为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1,0)，(1,0)． 当λ＜－1时，轨迹C 为中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)． [规律方法] 直接法求曲线方程的关注点1关键点：直接法求曲线方程的关键就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这几个步骤，但最后的证明可以省略.2注意点：求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.提醒：对方程化简时，只要前后方程解集相同，证明可以省略，必要时可说明x ，y 的取值范围.已知两点M (－1,0)，N (1,0)且点P 使MP ·MN ，PM ·PN ，NM ·NP 成公差小于0的等差数列，则点P 的轨迹是什么曲线？ [解] 设P (x ，y )，由M (－1,0)，N (1,0)得 PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )， PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )， MN →＝－NM →＝(2,0)，所以MP →·MN →＝2(1＋x )，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1， NM →·NP →＝2(1－x )．于是MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →是公差小于0的等差数列等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－1＝12[21＋x ＋21－x ]，21－x －21＋x ＜0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，x ＞0.所以点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆(不含端点)．相关点(代入)法求轨迹方程【例3】 (2017·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .[解] (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)． 由NP →＝2NM →得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则 OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ， OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )． 由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1， 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . [规律方法] “相关点法”求轨迹方程的基本步骤 1设点：设被动点坐标为x ，y ，主动点坐标为x 1，y 1.2求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝fx ，y ，y 1＝g x ，y .3代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴、y 轴上滑动，CP →＝2PD →.记点P 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线E 相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，当点M 在曲线E 上时，求四边形AOBM 的面积．[解] (1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )． 由CP →＝2PD →，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，所以⎩⎨⎧x －m ＝－2x ，y ＝2n －y ，解得⎩⎨⎧m ＝2＋1x ，n ＝2＋12y ，由|CD →|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2， 所以(2＋1)2x 2＋2＋122y 2＝(2＋1)2， 整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM →＝OA →＋OB →，知点M 坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 由题意知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得 (k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0， 则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2.由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋y 1＋y 222＝1，即4k 2k 2＋22＋8k 2＋22＝1，解得k 2＝2.这时|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝3[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝322， 原点到直线AB 的距离d ＝11＋k2＝33，所以平行四边形OAMB 的面积S ＝|AB |·d＝62.(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．[解] 由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， 设直线l 1的方程为y ＝a ，直线l 2的方程为y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)， 则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12， S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝0(舍去)，x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)， 满足方程y 2＝x －1.所以所求的轨迹方程为y 2＝x －1.。
2020年高考理科数学一轮复习：第八章《解析几何》
第一节 直线的方程及应用教材细梳理知识点1 直线的倾斜角与斜率(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l 的倾斜角的范围是[0，π)． (3)直线的斜率(4)①直线都有倾斜角，但不一定都有斜率．②不是倾斜角越大，斜率k 就越大，因为k ＝tan α，当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，α越大，斜率k就越大，同样α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时也是如此，但当α∈[0，π)且α≠π2时就不是了．(5)“截距”的实质“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，并不一定是“距离”．知识点2 直线方程的几种形式 直线方程的五种形式(1)交点：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C2＝0的解一一对应． (2)相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解． (3)平行⇔方程组无解． (4)重合⇔方程组有无数组解． 知识点5 三种距离1212提示：既不充分又不必要条件．思考2：直线l 1⊥l 2是其斜率k 1·k 2＝－1的什么条件？ 提示：必要不充分条件．四基精演练1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k ·(x －x 0)表示．( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )(4)l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，当k 1≠k 2时，l 1与l 2相交．( )(5)过l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )．( )(6)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)× (6)×2．(知识点1)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) ⇐源自必修二P 100T 3 A.33B ． 3C ．－ 3D ．－33答案：A3．(知识点5)点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) ⇐源自必修二P 108练习T 2 A.12 B ．32C.22D ．322答案：D4．(知识点2)过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直的直线方程为( ) ⇐源自必修二P 109A 组T 5A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0答案：A5．(知识点3)已知P (－2，m )，Q (m ，4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________．⇐源自必修二P 101A 组T 10答案：1考点一 直线的倾斜角与斜率[基础练通]1．[一题多解]已知直线l ：x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A ．[0，π)B ．⎝⎛⎭⎫π4，π2C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4D ．⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，3π4解析：选C.解法一：当cos θ＝0时，α＝π2，当cos θ≠0时，斜率k ＝－1cos θ，∵cos θ∈[－1，0)∪(0，1]， ∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，34π.综上α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，34π.解法二：选C.当cos θ＝0时，直线方程为x ＋3＝0，此时直线的倾斜角为π2，排除B ，D.因为x 的系数为1，所以斜率k ≠0，故倾斜角α≠0，排除A.故选C.2．直线3x ＋3y ＋m ＝0(m 为实常数)的倾斜角的大小是________．解析：设直线的倾斜角为θ，直线的斜率k ＝－3，即tan θ＝－3，所以倾斜角为120°. 答案：120°3．已知直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0，则直线的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4B ．⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎝⎛⎭⎫π2，π D ．⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎦⎤34π，π 解析：设直线的倾斜角为θ，由题意得tan θ＝－1a 2＋1，∴0＞tan θ≥－1，∴θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：B求直线斜率的几种方法1．求斜率可用k ＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2，其中α为倾斜角，斜率k 是一个实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率．倾斜角为π2的直线斜率不存在．如图，当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，随α增大k 单调递增且k ≥0；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，随α增大k 单调递增且k ＜0.2．求斜率可用直线上两点的坐标，k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)即y 1－y 2x 1－x 2的几何意义表示两点(x 1，y 1)与(x 2，y 2)连线的斜率．3．求斜率可用直线方程Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，y ＝－A B x －C B ，故斜率k ＝－AB .4．摆动直线的斜率范围如图1，设直线l 1，l 2，l 的斜率分别为k 1，k 2，k ，且k 1＜k 2.当直线l 在阴影区域摆动时，k ＜k 1或k ＞k 2；当直线l 在非阴影区域摆动时，k 1＜k ＜k 2，这叫取边夹中法则．总结成口诀：界线斜率先计算，九十度线是关键；包含此线取两边，不含此线夹中间．图15．摆动直线倾斜角的大小关系如图2，若k 2＞k 1＞0＞k 4＞k 3(斜率为k 1，k 2，k 3，k 4的直线分别对应的倾斜角为α1，α2，α3，α4)，则π＞α4＞α3＞π2＞α2＞α1＞0.图2考点二 求直线方程[探究变通][例1] 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半的直线方程为________．解析：由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，所以所求直线的斜率为 3. 又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)， 即3x －y ＋6＝0. 答案：3x －y ＋6＝0(2)经过点A (－5，2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程为________．解析：①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5，2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25，此时直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0；②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时直线方程为x ＋2y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0. 答案：x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0 [母题变式]1．若本例(1)变为：一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________．解析：∵直线y ＝13x 的倾斜角α＝30°， 所以所求直线的倾斜角为60°， 斜率k ＝tan 60°＝ 3. 又该直线过点A (2，－3)，故所求直线方程为y －(－3)＝3(x －2)， 即3x －y －33＝0. 答案：3x －y －33＝02．若本例(2)变为：过点A (－5，2)，且在两坐标轴上的截距和为0的直线方程为________． 解析：直线在两坐标轴上的截距和为0，即斜率k ＝1或过原点， 若k ＝1，则直线方程为y －2＝x ＋5，即x －y ＋7＝0， 若过原点，则k ＝－25，其方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.答案：x －y ＋7＝0或2x ＋5y ＝03．若本例(2)变为：求过点A (－5，2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 解：①当所求直线过原点时，其斜率k ＝－25，方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0，②当直线不过原点时，设为x a ＋ya＝1，有－5a＋2a＝1，∴a＝－3.∴所以所求直线方程为x＋y＋3＝0.综上所述，所求直线的方程为2x＋5y＝0或x＋y＋3＝0.求直线方程的两种方法1．直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．2．待定系数法，具体步骤为：(1)设所求直线方程的某种形式；(2)由条件建立所求参数方程(组)；(3)解这个方程(组)求出参数；(4)把参数的值代入所设直线方程．考点三直线的位置关系及应用[创新贯通][例2](1)已知直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0，则“a＝1”是“l1⊥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：l1⊥l2的充要条件是(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，即a2－1＝0，故有(a－1)(a ＋1)＝0，解得a＝±1.显然“a＝1”是“a＝±1”的充分不必要条件，故“a＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．故选A.答案：A(2)已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a＝()A．－1B．2C ．0或－2D ．－1或2解析：若a ＝0，两直线方程为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0.当a ≠0时，若两直线平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或a ＝2.答案：D [母题变式]若本例(1)中直线l 1与l 2的方程不变，则“l 1⊥l 2”是“a ＝－1”的什么条件？解：由两直线方程知a ＝－1⇒l 1⊥l 2，但l 1⊥l 2⇒/ a ＝－1，故“l 1⊥l 2”是“a ＝－1”的必要不充分条件．两直线平行，垂直的判定或求参数的方法1．已知两直线的斜率存在(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1. 2．已知两直线的一般方程可利用直线方程求出斜率，然后判断平行或垂直，或利用以下方法求解：[例3] (1)过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0，由1＋m ＝0得m ＝－1，所以直线方程为x －2y －1＝0.答案：A(2)[一题多解]经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．解析：解法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0x ＋y －2＝0得x ＝0，y ＝2，即P (0，2)．因为l ⊥l 3，所以直线l 的斜率k ＝－43，所以直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.解法二：因为直线l 过直线l 1和l 2的交点，所以可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.因为l ⊥l 3，所以3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0.答案：4x ＋3y －6＝0(3)已知A (1，2)，B (3，1)两点到直线l 的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线l 共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：当A ，B 两点位于直线l 的同一侧时，一定存在这样的直线l ，且有两条．又|AB |＝（3－1）2＋（1－2）2＝5，而点A 到直线l 与点B 到直线l 的距离之和为2＋5－2＝5，所以当A ，B 两点位于直线l 的两侧时，存在一条满足条件的直线．综上可知满足条件的直线共有3条．答案：C [母题变式]若本例(2)改为过点(1，0)与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程为________． 解析：∵x －2y －2＝0的斜率为12，∴所求直线的斜率为－2，∴直线方程为y ＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0. 答案：2x ＋y －2＝0根据平行或垂直求直线方程的方法1．根据直线平行或垂直关系求出斜率 2．设出直线方程再待定(1)与Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线可设为Ax ＋By ＋C ′＝0(C ′≠C )； (2)与Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线可设为Bx －Ay ＋C ′＝0.1．(2018·河南郑州一模)如果直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，则a ＝________．解析：∵直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行， 即直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y －(a －7)＝0平行， ∴a 3＝2a －1≠3a －（a －7），解得a ＝3. 答案：3★2.(2018·新疆乌鲁木齐模拟)直线a 1x ＋b 1y ＝2和a 2x ＋b 2y ＝2交于点P (3，2)，则过点A (a 1，b 1)、B (a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x ＋3y －2＝0B ．3x ＋2y －2＝0C ．3x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y ＋2＝0解析：选B.∵直线a 1x ＋b 1y ＝2和a 2x ＋b 2y ＝2，交于点P (3，2)，所以3a 1＋2b 1＝2，3a 2＋2b 2＝2，∴过点A (a 1，b 1)、B (a 2，b 2)的直线方程为3x ＋2y ＝2，即3x ＋2y －2＝0，故选B. 3．(2018·淮南模拟)直线l 过点(3，1)且与直线2x －y －2＝0平行，则直线l 的方程为( ) A ．2x －y －5＝0 B ．2x －y ＋1＝0 C ．x ＋2y －7＝0 D ．x ＋2y －5＝0答案：A考点四 距离与对称问题[探究变通][例4] (2018·厦门模拟)若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则实数c 的值是________．解析：依题意知，63＝a －2≠c－1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x－2y ＋c 2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋（－2）2＝21313，解得c ＝2或－6.答案：2或－6[注意] 用两平行线间距离公式时，应使两平行直线方程中x ，y 的系数分别对应相等． [母题变式]若本例变为：设点P 到直线3x －2y －1＝0的距离为21313，则P 点的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )，则|3x －2y －1|32＋22＝21313，∴|3x －2y －1|＝2，即3x －2y －3＝0或3x －2y ＋1＝0. 答案：3x －2y －3＝0或3x －2y ＋1＝[例5] (1)A (－1，－2)关于直线l ：2x －3y ＋1＝0的对称点A ′的坐标为________．解析：设A ′(x ，y )，由已知⎩⎨⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. 答案：⎝⎛⎭⎫－3313，413 (2)[一题多解]求l ：2x －3y ＋1＝0关于A (－1，－2)的对称直线l ′的方程．解：解法一：在l 上取点P (1，1)关于A (－1，－2)的对称点为P ′(－3，－5)， 设l 关于A 的对称直线l ′为2x －3y ＋b ＝0，P ′在l ′上， ∴2×(－3)－3×(－5)＋b ＝0，∴b ＝－9， ∴l ′的方程为2x －3y －9＝0解法二：设P (x ，y )为l ′上任一点，则P (x ，y )关于A 的对称点P ′(－2－x ，－4－y )在l 上 ∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0(3)直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)，∴可设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即 kx －y ＋2k －1＝0.在直线l 上任取一点(1，2)，由题设知点(1，2)到直线l 1，l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)，∴直线l 2的方程为x －2y ＝0. 答案：x －2y ＝0 [母题变式]1．若本例(1)变为点A (－1，－2)关于y ＝x 的对称点A 1为________，关于y ＝x ＋1的对称点A 2为________．解析：点关于直线y ＝x 对称，即x 与y 相互交换，故A 1(－2，－1)．关于y ＝x ＋1对称，即纵坐标y ＝x ＋1＝－1＋1＝0，横坐标为x ＝y －1＝－2－1＝－3.∴A 2(－3，0)．答案：(－2，－1)；(－3，0)2．若本例(2)变为：直线l ：2x －3y ＋1＝0关于(0，0)的对称直线的方程为________． 解析：所求直线上P (x ，y )关于(0，0)的对称点为(－x ，－y )在l 上，∴－2x ＋3y ＋1＝0，即2x －3y －1＝0. 答案：2x －3y －1＝03．若本例(3)变为：求直线l 1：y ＝2x ＋3关于y ＝－x ＋1对称的直线方程为________． 解析：将y ＝－x ＋1，x ＝－y ＋1代入y ＝2x ＋3中得－x ＋1＝－2y ＋2＋3，即x －2y ＋4＝0.答案：x －2y ＋4＝01．中心对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点对称；①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程； ③轨迹法，设对称直线上任一点M (x ，y )，其关于已知点的对称点在已知直线上． 2．轴对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎨⎧A ×x 1＋x 22＋B ×y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1×⎝⎛⎭⎫－AB ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．(2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．4．如果直线l 1：ax ＋(1－b )y ＋5＝0和直线l 2：(1＋a )x －y －b ＝0都平行于直线l 3：x －2y ＋3＝0，则l 1，l 2之间的距离为________．解析：因为l 1∥l 3，所以－2a －(1－b )＝0，同理－2(1＋a )＋1＝0，解得a ＝－12，b ＝0，因此l 1：x －2y －10＝0，l 2：x －2y ＝0，d ＝2 5.答案：2 55．[一题多解]光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．解：解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∴反射点M 的坐标为(－1，2)．又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5，0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)，由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5.而PP ′的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－52，y 02，Q 点在l 上，∴3·x 0－52－2·y 02＋7＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋5＝－23，32（x 0－5）－y 0＋7＝0.得⎩⎨⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0.解法二：设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－yx 0－x ＝－23，又PP ′的中点Q ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上， ∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0，由⎩⎨⎧y 0－y x 0－x＝－23，3×x ＋x 02－（y ＋y 0）＋7＝0.可得P 点的横、纵坐标分别为x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813，代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0， ∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.巧用对称性求直线方程关于点的中心对称问题，可利用中点坐标公式来转化两对称点的横坐标，纵坐标(x 1＋x 2或y 1＋y 2)的关系．关于线的轴对称问题，既有两对称点间的中点关系，也有两对称点连线与对称轴的垂直关系，利用好这些关系，可以简化解题过程．[例6] 过点M (0，1)作直线，使它被两条直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，则此直线方程为________．解析：设所求直线与l 1交于A (x 1，y 1)与l 2交于B (x 2，y 2)且x 1＋x 2＝0，∴x 2＝－x 1. y 1＋y 2＝2，y 2＝2－y 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1－3y 1＋10＝0－2x 1＋2－y 1－8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－4，y 1＝2.即A (－4，2)． 故过M 和A 的方程为x ＋4y －4＝0. 答案：x ＋4y －4＝0巧用对称性求距离最值问题对称性体现了对称，平分的特点，结合平面几何知识利用对称的方法求有关最值．[例7] 已知直线l ：y ＝x ，圆C 1：(x －3)2＋y 2＝2.若圆C 2与圆C 1关于直线l 对称，点A ，B 分别为圆C 1，C 2上任意一点，则|AB |的最小值为________．解析：因为圆C 1的圆心坐标为(3，0)，半径为2，所以C 1到直线l 的距离d ＝|3－0|2＝322，所以圆C 1上的点到直线l 的最短距离为322－2＝22.因为圆C 2与圆C 1关于直线l 对称， 所以|AB |min ＝2×22＝ 2. 答案： 2限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A 级 基础夯实练1．已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝3x ＋12D ．y ＝－3x ＋2解析：选A.因为直线x －2y －4＝0的斜率为12，所以直线l 在y 轴上的截距为2，所以直线l 的方程为y ＝3x ＋2.2．已知过点A (－2，m )和点B (m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8解析：选A.因为l 1∥l 2，所以k AB ＝4－mm ＋2＝－2.解得m ＝－8.又因为l 2⊥l 3，所以－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2，所以m ＋n ＝－10.3．直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )A ．－1＜k ＜15B ．k ＞1或k ＜12C ．k ＞15或k ＜1D ．k ＞12或k ＜－1解析：选D.设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)， 令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1－2k ，则－3＜1－2k ＜3，解得k ＞12或k ＜－1.4．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为( ) A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：选A.直线y ＝2x ＋3与y ＝－x 的交点为A (－1，1)，而直线y ＝2x ＋3上的点(0，3)关于y ＝－x 的对称点为B (－3，0)，而A ，B 两点都在l 2上，所以kl 2＝1－0－1－（－3）＝12.5．已知函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，当x ＜0时，f (x )＞1，方程y ＝ax ＋1a表示的直线是( )解析：选C.因为x ＜0时，a x ＞1，所以0＜a ＜1. 则直线y ＝ax ＋1a 的斜率为0＜a ＜1，在y 轴上的截距1a＞1.故选C.6．(2018·江西南昌二中月考)设点A (－2，3)，B (3，2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－52∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－43，52 C.⎣⎡⎦⎤－52，43 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞ 解析：选B.易知直线ax ＋y ＋2＝0过定点P (0，－2)，k P A ＝－52，k PB ＝43，设直线ax ＋y＋2＝0的斜率为k ，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，根据图象(图略)可知－52＜k ＜43，即－52＜－a ＜43，解得－43＜a ＜52，故选B. 7．设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值．所以b 的取值范围是[－2，2]．答案：[－2，2]8．已知一直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________．解析：若所求直线的斜率存在，则可设其方程为： y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，由题设有|2k －3－k ＋2|1＋k 2＝|0＋5－k ＋2|1＋k 2，即|k －1|＝|k －7|，解得k ＝4. 此时直线方程为4x －y －2＝0.若所求直线的斜率不存在，方程为x ＝1， 满足题设条件．故所求直线的方程为4x －y －2＝0或x ＝1. 答案：4x －y －2＝0或x ＝19．(2018·山西四校联考)若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________．解析：由题可知纸的折痕垂直平分点(0，2)与点(4，0)的连线，可得折痕所在直线为y ＝2x －3，又折痕也垂直平分点(7，3)与点(m ，n )的连线，于是⎩⎨⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315，所以m ＋n ＝345.答案：34510．点P 为直线y ＝34x 上任一点，F 1(－5，0)，F 2(5，0)，则||PF 1|－|PF 2||的取值范围为________．解析：由题意，P 在原点时，||PF 1|－|PF 2||＝0，F 2(5，0)关于直线y ＝34x 对称点的坐标为F (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b a －5×34＝－1，b 2＝34×a ＋52，所以a ＝75，b ＝245，所以||PF 1|－|PF 2||的最大值为⎝⎛⎭⎫75＋52＋⎝⎛⎭⎫2452＝8，所以||PF 1|－|PF 2||的取值范围为[0，8]．。
2020年高考数学一轮复习第八章解析几何第53讲曲线与方程实战演练理
2018年高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第53讲 曲线与方程实战演练 理1．(2017·湖南模拟)曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是②③. 解析：设动点M (x ，y )到两定点F 1 ，F 2的距离的积等于a 2，得曲线C 的方程为x ＋12＋y 2·x －12＋y 2＝a 2. ∵a ＞1，故原点坐标不满足曲线C 的方程，故①错误．以－x ，－y 分别代替曲线C 的方程中的x ，y ，其方程不变，故曲线C 关于原点对称，即②正确．S △F 1PF 2＝12|PF 1|×|PF 2|×sin ∠F 1PF 2＝12a 2·sin∠F 1PF 2≤12a 2，故③正确． 2．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． 解析：由题设知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.(1)由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则 k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ . (2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a ||DF |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)，或x 1＝1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.3．(2017·江西模拟)定长为3的线段AB 两端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上滑动，M 在线段AB 上，且A M →＝2MB →.(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)设过F (0，3)且不垂直于坐标轴的动直线l 交轨迹C 于G ，H 两点，问：线段OF 上是否存在一点D ，使得以DG ，DH 为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．解析：(1)设A (x 1,0)，B (0，y 1)，M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 11＋2，y ＝2y 11＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝3x ，y 1＝32y .|AB |＝3＝3x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32y 2，即y 24＋x 2＝1. (2)存在满足条件的点D .设满足条件的点D (0，m )，则0≤m ≤ 3.设l 的方程为y ＝kx ＋3(k ≠0)，代入轨迹方程，得(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0.设G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－23k k 2＋4， ∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋23＝83k 2＋4. ∵以DG ，DH 为邻边的平行四边形为菱形，∴(D G →＋D H →)⊥G H →.∵D G →＋D H →＝(x 1，y 1－m )＋(x 2，y 2－m ) ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2－2m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23k k 2＋4，83k 2＋4－2m ， 设G H →的方向向量为(1，k )，∵(D G →＋D H →)·G H →＝0，∴－23k k 2＋4＋83k k 2＋4－2mk ＝0，即m ＝33k 2＋4.∵k 2>0，∴m ＝33k 2＋4<334<3， ∴0<m < 3.∴存在满足条件的点D .4．(2016·全国卷Ⅰ)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．解析：(1)因为||AD ＝||AC ，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ．所以||EB ＝||ED ，故||EA ＋||EB ＝||EA ＋||ED ＝||AD .又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而||AD ＝4，所以||EA ＋||EB ＝4. 由题设得A (－1,0)，B (1,0)，||AB ＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3， 所以||MN ＝1＋k 2||x 1－x 2＝12k 2＋14k 2＋3. 过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，点A 到直线m 的距离为2k 2＋1，所以||PQ ＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1， 故四边形MPNQ 的面积S ＝12||MN ||PQ ＝121＋14k 2＋3， 当l 与x 轴不垂直时，故四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)；当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，||MN ＝3，||PQ ＝8，故四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．。
2020高考数学大一轮复习第八章解析几何第五节双曲线课件理新人教A版
[母题变式]
若本例(1)变为双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a＞0，b＞0)的渐近线过点(
2，
2)，则离心率为________． 解析：设xa22－by22＝1的一条渐近线为y＝bax，
∴2＝ba 2.
∴ba＝ 2，
∴e＝ 1＋ba22＝ 3.
答案： 3
1．求双曲线离心率或其范围的常用方法 (1)求a及b或c的值，由e＝ac22＝a2＋a2 b2＝1＋ba22求e. (2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去 b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
3．已知双曲线
x2 9
－
y2 16
＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲
线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为________． 解析：由题意知a＝3，b＝4，c＝5，所以||PF1|－|PF2||＝6.
不妨设点P在双曲线右支上，
则|PF1|－|PF2|＝6.
又PF1⊥PF2. 所以|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝100. 又(|PF1|－|PF2|)2＝36.
_|_y_|≥__a_，__x_∈__R_
焦点
F1(－_c_，__0_)_，__F_2_(_c_，0)
F1(0_，__－__c_)，__F__2_(0_，c)
几 顶点
何 对称性
性
A1(－__a_，__0_)_，__A_2_(_a，0) A1(0，__－___a_)，__A__2(_0_，a) 关于x轴、y轴对称，关于原点对称
＝
4 3
，又c2＝a2＋b2，所以a＝3，b＝4，所以此双曲线
的方程为x92－1y62 ＝1.
2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.8曲线与方程课后作业理
8．8 曲线与方程[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·上海模拟)图中曲线的方程可以是( ) A ．(x ＋y －1)·(x 2＋y 2－1)＝0 B.x ＋y －1·(x 2＋y 2－1)＝0 C ．(x ＋y －1)·x 2＋y 2－1＝0 D.x ＋y －1·x 2＋y 2－1＝0 答案 C解析 由图象可知曲线的方程可以是x 2＋y 2＝1或x ＋y －1＝0(x 2＋y 2≥1)，故选C.2．(2017·保定二模)若点P (x ，y )坐标满足ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1y＝|x －1|，则点P 的轨迹图象大致是( )答案 B解析 由题意，x ＝1时，y ＝1，故排除C ，D ；令x ＝2，则y ＝±1e ，排除A.故选B.3．(2018·安徽模拟)点集{(x ，y )|(|x |－1)2＋y 2＝4}表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是( )A.16π3＋2 3B.16π3＋4 3 C.24π3＋2 3 D.24π3＋4 3 答案 A解析 点集{(x ，y )|(|x |－1)2＋y 2＝4}表示的图形是一条封闭的曲线，关于x ，y 轴对称，如图所示．由图可得面积S ＝S 菱形＋43S 圆＝12×23×2＋43×π×4＝16π3＋2 3.故选A.4．(2018·沈阳月考)在△ABC 中，B (－5，0)，C (5，0)，AB ，AC 边上的中线长之和为9.则△ABC 重心G 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 29＝1(y ≠0)B.x 29＋y 24＝1(y ≠0)C.x 24－y 2＝1(y ≠0) D．x 2－y 24＝1(y ≠0) 答案 B解析 设AB ，AC 边上的中线分别为CD ，BE ， ∵BG ＝23BE ，CG ＝23CD ，∴BG ＋CG ＝23(BE ＋CD )＝6(定值)．因此，G 的轨迹为以B ，C 为焦点的椭圆，2a ＝6，c ＝5， ∴a ＝3，b ＝2，可得椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.∵当G 点在x 轴上时，A ，B ，C 三点共线，不能构成△ABC .∴G 的纵坐标不能是0，可得△ABC 的重心G 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1(y ≠0)．故选B.5．(2018·大武口期末)已知抛物线y 2＝4x ，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ 的中点，则点M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝x －1 B ．y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12C ．y 2＝2(x －1)D ．y 2＝x －12答案 D解析 设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，易求y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)． ∵M 是FQ 的中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋x 22，y ＝y22⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2x －1，y 2＝2y ，又Q 是OP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x12，y 2＝y12⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x 2＝4x －2，y 1＝2y 2＝4y .∵P 在抛物线y 2＝4x 上，∴(4y )2＝4(4x －2)， 所以M 点的轨迹方程为y 2＝x －12.故选D.6．(2017·河北衡水中学期中)已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为( )A.x 212＋y 211＝1 B.x 236－y 235＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1 答案 D解析 将圆F 改写成标准方程(x －1)2＋y 2＝12，则圆心F 的坐标为(1,0)，半径r ＝23，由题意可知|PA |＝|PB |.又点P 在圆F 的半径BF 上，故|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝|BF |＝23>2＝|AF |，所以动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点，23为长轴长的椭圆，则2a ＝23，2c ＝2，所以b ＝ 2.故动点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1.故选D.7．(2018·宜城期末)已知过定点C (2，0)的直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点，作OE ⊥AB 于E .则点E 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2－2x ＝0(x ≠0) B ．x 2＋y 2－2x ＝0(y ≠0) C ．x 2＋y 2－4x ＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＝0(y ≠0) 答案 A解析 直线l 过定点C (2,0)， ∵O (0,0)，C (2,0)，OE ⊥CE ， ∴△OEC 为直角三角形，∴点E 的轨迹是以线段OC 为直径的圆除去点O ，故点E 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(x ≠0)，即x 2＋y 2－2x ＝0(x ≠0)．故选A.8．(2017·津南模拟)平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线 答案 A解析 设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1，3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝y ＋3x10，λ2＝3y －x10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的轨迹为直线，故选A.9．(2017·湖北期中)已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C ，给出以下四个判断：①当1<t <4时，曲线C 表示椭圆； ②当t >4或t <1时曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的双曲线，则t >4. 其中判断正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 由4－t ＝t －1，可得t ＝52，方程x 24－t ＋y2t －1＝1表示圆，故①不正确；由双曲线的定义可知：当(4－t )(t －1)<0时，即t <1或t >4时，方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示双曲线，故②正确；由椭圆定义可知：当椭圆在x 轴上时，满足4－t >t －1>0，即1<t <52时，方程x 24－t ＋y2t －1＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，故③正确；若曲线C 表示焦点在x 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t >0，t －1<0，∴t <1，故④不正确，故选B.10．(2018·北京模拟)如图所示，在正方形ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为( )答案 C解析 依题意可知P 到点B 的距离等于到直线A 1B 1的距离，根据抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是以B 为焦点，以A 1B 1为准线的过A 的抛物线的一部分．A 的图象为直线的图象，排除A.B 项中B 不是抛物线的焦点，排除B. D 项不过A 点，D 排除．故选C. 二、填空题11．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹方程为________．答案 y 2＝4(x －2)解析 当直线斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －1)，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)．得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.y ＝y 1＋y 2＝4k，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)．当直线斜率不存在时，MN 的方程为x ＝1，P (2,0)在曲线y 2＝4(x －2)上．12．设x ，y ∈R ，i ，j 为直角坐标平面内x ，y 轴正方向上的单位向量，向量a ＝x i ＋(y ＋2)j ，b ＝x i ＋(y －2)j ，且|a |＋|b |＝8，则点M (x ，y )的轨迹方程为________．答案x 212＋y 216＝1 解析 由已知得a ＝(x ，y ＋2)，b ＝(x ，y －2)，而|a |＋|b |＝8，故有x 2＋y ＋22＋x 2＋y －22＝8①，由①式知动点M (x ，y )到两定点F 1(0，－2)，F 2(0,2)的距离之和为一常数，满足椭圆的定义，故M 点轨迹为以F 1，F 2为焦点的椭圆，椭圆的长半轴长a ＝4，所以短半轴长b ＝23，故其轨迹方程为x 212＋y 216＝1.13．(2018·中原名校联考)已知双曲线x 22－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同于A 1，A 2的两个不同的动点，则直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹方程为________．答案x 22＋y 2＝1(x ≠0且x ≠±2)解析 由题设知|x 1|>2，A 1(－2，0)，A 2(2，0)，则有 直线A 1P 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，① 直线A 2Q 的方程为y ＝－y 1x 1－2(x －2)，②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 1，y ＝2y 1x 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x，y 1＝2y x，③∴x ≠0，且|x |<2，因为点P (x 1，y 1)在双曲线x 22－y 2＝1上，所以x 212－y 21＝1.将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠0且x ≠±2)． 14．(2018·山西太原模拟)已知圆O 1：(x －2)2＋y 2＝16和圆O 2：x 2＋y 2＝r 2(0<r <2)，动圆M 与圆O 1和圆O 2都相切，动圆圆心M 的轨迹为两个椭圆，设这两个椭圆的离心率分别为e 1和e 2(e 1>e 2)，则e 1＋2e 2的最小值为________．答案3＋224解析 设动圆M 的半径为R .动圆M 与圆O 1和圆O 2都相切有两种情况，一是与圆O 1内切、与圆O 2外切，二是与圆O 1和圆O 2都内切．相切都可以转化为圆心距问题．第一种情况，d MO 1＝4－R ，d MO 2＝r ＋R ，d MO 1＋d MO 2＝4＋r ，为定值，且O 1O 2＝2.故由椭圆的定义可知，M 的轨迹为一个椭圆，a ＝4＋r2，c ＝1.同理，第二种情况，M 的轨迹为一个椭圆，a ＝4－r2，c ＝1.∵两个椭圆的离心率分别为e 1和e 2(e 1>e 2)，∴e 1＝24－r ，e 2＝24＋r. ∴e 1＋2e 2＝24－r ＋44＋r ＝24＋r ＋44－r 4－r 4＋r ＝24－2r16－r2＝212－r－12－r2＋2412－r －128＝2－12－r －12812－r＋24≥2－2 12－r ·12812－r＋24＝2－162＋24＝22＋34，当且仅当12－r ＝12812－r ，即r ＝12－82时，取“＝”．所以e 1＋2e 2的最小值为3＋224.三、解答题15．(2018·安徽合肥模拟)如图，抛物线E ：y 2＝2px (p >0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．解 (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)，代入y 2＝2px ，解得p ＝1.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212，y 1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0. 设切线l 1：y －y 1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 212，代入y 2＝2x 得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0，由Δ＝0， 解得k ＝1y 1，∴l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理，l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1y 1x ＋y12，y ＝1y 2x ＋y22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 1·y22，y ＝y 1＋y22.①∵直线CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2,2 2 ]，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，得x 0y 2＋2y 0y －16＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8x 0，y ＝－y0x 0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－8x，y 0＝8yx ，代入x 20＋y 20＝8得x 28－y 2＝1.考虑到x 0∈[2,2 2 ]，则x ∈[－4，－2 2 ]， ∴动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－2 2 ]．16．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解 由题知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0， 且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛ －12，⎭⎪⎫a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a＝－b ＝k 2.文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。
(精品人教)2020届高考数学一轮复习 第8单元 解析几何听课学案 理
第八单元解析几何第46讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程课前双击巩固1.直线的倾斜角(1)定义:在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角.当直线l和x轴平行或重合时,直线l的倾斜角为.(2)范围:倾斜角α的取值范围是.2.直线的斜率(1)定义:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的叫作这条直线的斜率,该直线的斜率k= .(2)过两点的直线的斜率公式:过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k= .若x1=x2,则直线的斜率,此时直线的倾斜角为90°.3.直线方程的五种形式常用结论直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系:题组一常识题1.[教材改编]已知直线经过点A(4,-2),B(1,1),则直线AB的斜率为,倾斜角α为.2.[教材改编]一条直线经过点M(-2,3),且它的斜率是直线y=2x的斜率的3倍,则该直线的方程为.3.[教材改编]若直线l在两坐标轴上的截距互为负倒数,且绝对值相等,则直线l的方程为. 题组二常错题◆索引:忽略直线斜率不存在的情况;对倾斜角的取值范围不清楚;忽略截距为0的情况.4.直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的倾斜角的取值范围是.5.已知A(2,2),B(-1,3),若直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线l的倾斜角α的取值范围是.6.过点(-2,4)且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是.课堂考点探究探究点一直线的倾斜角和斜率1 (1)设直线l的倾斜角为α,且≤α≤,则直线l的斜率k的取值范围是.(2)[2017·湖北部分重点中学联考]直线l:x-y sin θ+1=0的倾斜角的取值范围是()A.B.∪C.D.∪[总结反思] (1)求倾斜角的取值范围的一般步骤:①求出斜率k=tan α的取值范围,但需注意斜率不存在的情况;②利用正切函数的单调性,借助图像或单位圆,数形结合确定倾斜角α的取值范围.(2)注意倾斜角的取值范围是[0,π),若直线的斜率不存在,则直线的倾斜角为,直线垂直于x轴.式题 (1)平面上有相异两点A(cos θ,sin2θ),B(0,1),则直线AB的倾斜角α的取值范围是.(2)已知两点M(2,-3),N(-3,-2),斜率为k的直线l过点P(1,1)且与线段MN相交,则k的取值范围是. 探究点二直线的方程2 求适合下列条件的直线l的方程:(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等;(2)经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.[总结反思] (1)求直线方程一般有以下两种方法:①直接法:由题意确定出直线方程的适当形式,然后直接写出其方程.②待定系数法:先由直线满足的条件设出直线方程,方程中含有待定的系数,再由题设条件求出待定系数,即得所求直线方程.(2)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.特别是对于点斜式、截距式方程,使用时要注意分类讨论思想的运用.式题 (1)直线l1:x-y+-1=0绕其上一点(1,)沿逆时针方向旋转15°,则旋转后得到的直线l2的方程为()A.x-y+1=0B.x-y=0C.x+y+1=0D.3x-y-1=0(2)若m,n满足m+2n-1=0,则直线mx+3y+n=0过定点()A.B.C.D.探究点三直线方程的综合应用3 (1)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,O为坐标原点,△AOB的面积为S,则当S取得最小值时直线l的方程为.(2)[2018·江西师大附中月考]已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y-1=0和x+ay+2=0上,且线段AB的中点为P0,,则线段AB的长为.[总结反思] (1)求解与直线方程有关的最值问题,先根据题意建立目标函数,再利用基本不等式(或函数)求解最值;(2)求解直线方程与函数相结合的问题,一般是利用直线方程中x,y的关系,将问题转化为关于x(或y)的函数,借助函数的性质解决问题.式题 (1)已知直线x-2y+2k=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,则实数k的取值范围是.(2)[2017·遵义四中月考]已知直线l:+=1(a>0,b>0)在两坐标轴上的截距之和为4,则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是()A.2B.4C.6D.2第47讲两直线的位置关系、距离公式课前双击巩固1.两条直线的位置关系直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l3:A1x+B1y+C1=0,l4:A2x+B2y+C2=0的位置关系如下表:2.两直线的交点设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则两条直线的就是方程组的解.(1)若方程组有唯一解,则两条直线,此解就是;(2)若方程组无解,则两条直线,此时两条直线,反之,亦成立.3.距离公式常用结论1.若所求直线过点P(x0,y0),且与Ax+By+C=0平行,则方程为:A(x-x0)+B(y-y0)=0.2.若所求直线过点P(x0,y0),且与Ax+By+C=0垂直,则方程为:B(x-x0)-A(y-y0)=0.3.过两直线交点的直线系方程若已知直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0相交,则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ∈R,这条直线可以是l1,但不能是l2)表示过l1和l2的交点的直线系方程.4.点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).5.点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).6.点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).7.点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).8.点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).9.点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).题组一常识题1.[教材改编]已知过A(-1,a),B(a,8)两点的直线与直线2x-y+1=0平行,则a的值为.2.[教材改编]过点(3,1)且与直线x-2y-3=0垂直的直线方程是.3.[教材改编]过两直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为.4.圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=2x+3的距离为.题组二常错题◆索引:判断两条直线的位置关系忽视斜率不存在的情况;求两平行线间的距离忽视两直线的系数的对应关系;两直线平行解题时忽略检验两直线重合的情况.5.若直线(a+2)x+(1-a)y-3=0与直线(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直,则a= .6.两条平行直线3x-4y-3=0和mx-8y+5=0之间的距离是.7.若直线l1:x+y-1=0与直线l2:x+a2y+a=0平行,则实数a= .课堂考点探究探究点一两条直线的位置关系1 (1)[2017·咸阳二模]已知p:m=-1,q:直线x-y=0与直线x+m2y=0互相垂直,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)[2017·广州二模]已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m的取值集合为()A.B.C.D.[总结反思] (1)讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在;(2)“直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0平行”的充要条件是“A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1”,“两直线垂直”的充要条件是“A1A2+B1B2=0”.式题 (1)[2017·湖南长郡中学、衡阳八中等重点中学联考]“a=2”是“直线ax+y-2=0与直线2x+(a-1)y+4=0平行”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件(2)[2017·沈阳二中一模]已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y-3=0垂直,则cos-2α的值为()A. B.-C.2 D.-探究点二距离问题2 (1)[2017·河北武邑中学月考]已知两平行直线l1:3x+4y+5=0,l2:6x+by+c=0间的距离为3,则b+c=()A.-12B.48C.36D.-12或48(2)若(a≠b),则坐标原点O(0,0)到经过两点(a,a2),(b,b2)的直线的距离为.[总结反思] (1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式去求,注意直线方程应为一般式;(2)运用两平行直线间的距离公式d=的前提是两直线方程中的x,y的系数对应相等.式题 (1)平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=x+的距离的最小值是()A.B.C.D.(2)[2017·辽宁锦州中学期中]若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为()A.3B.2C.3D.4探究点三对称问题考向1点关于点的对称3 (1)点M(4,m)关于点N(n,-3)的对称点为P(6,-9),则()A.m=-3,n=10B.m=3,n=10C.m=-3,n=5D.m=3,n=5(2)直线2x-y+3=0关于定点M(-1,2)对称的直线方程是()A.2x-y+1=0B.2x-y+5=0C.2x-y-1=0D.2x-y-5=0[总结反思] 中心对称问题主要有两类:(1)点关于点的对称:点P(x,y)关于O(a,b)对称的点P'(x',y')满足(2)直线关于点的对称:直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决,也可考虑利用两条对称直线是相互平行的,并利用对称中心到两条直线的距离相等求解.考向2点关于线对称4 (1)已知直线l的方程为2x-y-3=0,点A(1,4)与点B关于直线l对称,则点B的坐标为.(2)点M(3,-4)和点N(m,n)关于直线y=x对称,则()A.m=-4,n=-3B.m=4,n=-3C.m=-4,n=3D.m=4,n=3[总结反思] 若点A(a,b)与点B(m,n)关于直线Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)对称,则直线Ax+By+C=0垂直平分线段AB,即有考向3线关于线对称5 (1)直线l1:2x+y-4=0关于直线l:x-y+2=0对称的直线l2的方程为.(2)直线l1:3x-y+1=0与直线l2:3x-y+7=0关于直线l对称,则直线l的方程为.[总结反思] 求直线l1关于直线l对称的直线l2,有两种处理方法:(1)在直线l1上取两点(一般取特殊点),利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点,再用两点式写出直线l2的方程.(2)设点P(x,y)是直线l2上任意一点,其关于直线l的对称点为P1(x1,y1)(P1在直线l1上),若直线l的方程为Ax+By+C=0(A≠0,B≠0),则有从中解出x1,y1,再代入直线l1的方程,即得直线l2的方程.考向4对称问题的应用6 (1)一束光线从原点O(0,0)出发,经过直线l:8x+6y=25反射后通过点P(-4,3),则反射光线所在直线的方程为.(2)将一张坐标纸折叠一次,使得点(3,-2)与点(-1,2)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则mn= .[总结反思] 在对称关系的两类问题中,中心对称的本质是“中点”,体现在中点坐标公式的运用上;轴对称的本质是“垂直、平分”,即“对称点连线与对称轴垂直,对称点构成的线段的中点在对称轴上”.强化演练1.【考向3】与直线x+3y-2=0关于x轴对称的直线方程为()A.x-3y-2=0B.x-3y+2=0C.x+3y+2=0D.3x+y-2=02.【考向2】两点A(a+2,b+2),B(b-a,-b)关于直线4x+3y=11对称,则()A.a=-4,b=2B.a=4,b=-2C.a=4,b=2D.a=2,b=43.【考向3】若直线l1:y-2=(k-1)x和直线l2关于直线y=x+1对称,那么直线l2恒过定点()A.(2,0)B.(1,-1)C.(1,1)D.(-2,0)4.【考向1】直线y=3x+3关于点M(3,2)对称的直线l的方程是.5.【考向4】[2017·西安一中一模]已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为点(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是.6.【考向4】已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程是.第48讲圆的方程课前双击巩固1.圆的定义及方程圆心为,2.点与圆的位置关系点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:(1)若M(x0,y0)在圆外,则.(2)若M(x0,y0)在圆上,则.(3)若M(x0,y0)在圆内,则.常用结论常见圆的方程的设法:题组一常识题1.[教材改编]若原点在圆(x-2m)2+(y-m)2=5的内部,则实数m的取值范围是.2.[教材改编]已知A(-4,-5),B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程是.3.[教材改编]已知圆C经过点A(1,1)和B(4,-2),且圆心C在直线l:x+y+1=0上,则圆C的标准方程为.4.[教材改编]与圆x2+y2-4x+2y+4=0关于直线x-y+3=0对称的圆的一般方程是.题组二常错题◆索引:忽视表示圆的条件D2+E2-4F>0;遗漏方程的另一个解;忽略圆的方程中变量的取值范围.5.若方程x 2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是.6.半径为2,且与两坐标轴都相切的圆的方程为.7.已知实数x,y满足(x-2)2+y2=4,则3x2+4y2的最大值为.课堂考点探究探究点一圆的方程1 (1)[2017·包头一模]圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),则圆E的标准方程为()A.+y2=B.+y2=C.+y2=D.+y2=(2)[2017·广西名校一模]过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是()A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4[总结反思] 求圆的方程一般有两种常用方法:(1)几何法,通过研究圆的几何性质,确定圆心坐标与半径长,即得到圆的方程;(2)代数法,用待定系数法求解,其关键是根据条件选择圆的方程,若已知圆上三点,则选用圆的一般方程,若已知条件与圆心及半径有关,则选用圆的标准方程.式题 (1)若圆C过点(0,-1),(0,5),且圆心到直线x-y-2=0的距离为2,则圆C的标准方程为.(2)过点(0,2)且与两坐标轴相切的圆的标准方程为.探究点二与圆有关的最值问题考向1斜率型最值问题2 (1) 若实数x,y满足x2+y2-2x-2y+1=0,则的取值范围为()A.B.C.D.(2)[2017·抚州临川一中二模]点M(x,y)在圆x2+(y-2)2=1上运动,则的取值范围是()A.∪B.∪∪C.∪D.[总结反思] 处理与圆有关的最值问题,应充分探究圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,利用数形结合思想求解.求形如k=的最值问题,可转化为求斜率的最值问题,即过点(a,b)和(x,y)的直线斜率的最值问题.考向2截距型最值问题3 (1)已知实数x,y满足方程x2+y2-2x+4y=0,则x-2y的最大值是,最小值是.(2)已知P(x,y)在圆(x-1)2+(y-1)2=5上运动,当2x+ay(a>0)取得最大值8时,其最小值为.[总结反思] 若(x,y)为圆上任意一点,求形如u=ax+by的最值,可转化为求动直线截距的最值.具体方法是:(1)数形结合法,当直线与圆相切时,直线在y轴上的截距取得最值;(2)把u=ax+by代入圆的方程中,消去y得到关于x的一元二次方程,由Δ≥0求得u的范围,进而求得最值.考向3距离型最值问题4 (1)[2017·嘉兴一中联考]已知圆C:(x-2)2+(y+m-4)2=1,当m变化时,圆C上的点与原点O的最短距离是.(2)若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的最大值为()A.4B.6C.3+1D.1+[总结反思] 若(x,y)为圆上任意一点,求形如t=(x-a)2+(y-b)2的最值,可转化为圆上的点到定点的距离的最值,即把(x-a)2+(y-b)2看作是点(a,b)与圆上的点(x,y)连线的距离的平方,利用数形结合法求解.考向4利用对称性求最值5 [2017·赤峰期末]一束光线从点A(-1,1)出发,经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路径的长是()A.4B.5C.3-1D.2[总结反思] 求解形如|PM|+|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题(其中M,N均为动点)的基本思路:(1)“动化定”,把与圆上的点的距离,转化为与圆心的距离;(2)“曲化直”,即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.强化演练1.【考向1】设实数x,y满足(x+2)2+y2=3,那么的取值范围是()A.B.∪C.D.(-∞,-]∪[,+∞)2.【考向3】若直线l:ax+by+1=0经过圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的圆心,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为()A.B.5C.2D.103.【考向4】已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为 ()A.5 -4B.-1C.6-2D.4.【考向3】[2017·合肥一中三模]若点P在直线l1:x+y+3=0上,过点P的直线l2与圆C:(x-5)2+y2=16只有一个公共点M,则的最小值为.5.【考向2】[2017·广东华南师大附中月考]已知实数x,y满足(x+2)2+(y-3)2=1,则|3x+4y-26|的最小值为.6.【考向3】已知圆C:x2+(y+1)2=3,设EF为直线l:y=2x+4上的一条线段,若对于圆C上的任意一点Q,∠EQF≥,则的最小值是.探究点三与圆有关的轨迹问题6 (1)动点P与定点A(-1,0),B(1,0)的连线的斜率之积为-1,则点P的轨迹方程是()A.x2+y2=1B.x2+y2=1C.x2+y2=1D.y=(2)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1[总结反思] 与圆有关的轨迹问题的四种常用求解方法:(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法:根据圆、直线等的定义列方程.(3)几何法:利用圆与圆的几何性质列方程.(4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式列方程.式题 (1)[2017·广东广雅中学、江西南昌二中联考]自圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,切线的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为()A.8x-6y-21=0B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0(2)已知点A(1,0)和圆C:x2+y2=4上一点P,动点Q满足=2,则点Q的轨迹方程为()A.+y2=1B.x2+=1C.x2+=1D.+y2=1第49讲直线与圆、圆与圆的位置关系课前双击巩固1.直线与圆的位置关系设圆O的半径为r(r>0),圆心到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系可用下表表示:2.两圆的位置关系设两圆的半径分别为R,r(R>r),两圆圆心间的距离为d,则两圆的位置关系可用下表表示:常用结论1.求圆的切线方程,常用两种方法(1)代数法:将直线方程代入圆的方程中,消去一个未知数(x或y),令一元二次方程的判别式等于0,求出相关参数.(2)几何法:将圆的切线方程设为一般式,根据圆心到直线的距离等于半径,求出相关参数.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法:运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形,计算弦长|AB|=2.(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,将直线方程代入圆的方程中,消去y,得关于x的一元二次方程,求出x M+x N和x M·x N,则|MN|=·.题组一常识题1.[教材改编]直线y=kx+1与圆x2+y2-2x-3=0的位置关系是.2.[教材改编]以点(2,-1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是.3.[教材改编]圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为.4.[教材改编]直线x-y-5=0被圆x2+y2-4x+4y+6=0所截得的弦的长为.题组二常错题◆索引:忽视分两圆内切与外切两种情形;忽视切线斜率k不存在的情形;求弦所在直线的方程时遗漏一解.5.若圆x2+y2=1与圆(x+4)2+(y-a)2=25相切,则常数a= .6.已知圆C: x2+y2=9,过点P(3,1)作圆C的切线,则切线方程为.7.若直线过点P-3,-且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则该直线的方程为.课堂考点探究探究点一直线与圆的位置关系1 (1)[2017·海南中学模拟]直线x+ay+1=0与圆x2+(y-1)2=4的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定(2)[2017·渭南二模]直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A.0<m<1B.-4<m<0C.m<1D.-3<m<1[总结反思] 判断直线与圆的位置关系的常用方法:(1)若易求出圆心到直线的距离,则用几何法,利用d与r的关系判断.(2)若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达式较复杂,则用代数法,联立方程后利用Δ判断,能用几何法求解的,尽量不用代数法.式题 (1)圆2x2+2y2=1与直线x sin θ+y-1=0θ∈R,θ≠+kπ,k∈Z的位置关系是(横线内容从“相交、相切、相离、不确定”中选填).(2)[2017·长沙长郡中学三模]过定点P(-2,0)的直线l与曲线C:(x-2)2+y2=4(0≤x≤3)交于不同的两点,则直线l 的斜率的取值范围是.探究点二圆的切线与弦长问题2 (1)[2017·淄博二模]过点(1,1)的直线l与圆(x-2)2+(y-3)2=9相交于A,B两点,当=4时,直线l的方程为.(2)[2017·南充三模]已知圆的方程是x2+y2=1,则经过上一点M,的切线方程是.[总结反思] (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.(2)处理圆的切线问题时,一般通过圆心到直线的距离等于半径建立关系式解决问题.若点M(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过点M的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.式题 (1)已知直线l:x+y-2=0和圆C:x2+y2-12x-12y+m=0相切,则实数m的值为.(2)[2017·重庆巴蜀中学三诊]设直线y=kx+1与圆x2+y2+2x-my=0相交于A,B两点,若点A,B关于直线l:x+y=0对称,则= .(3)已知点M在直线x+y+a=0上,过点M引圆O:x2+y2=2的切线,若切线长的最小值为 2,则实数a的值为()A.±2B.±3C.±4D.±2探究点三圆与圆的位置关系3 (1)[2017·银川二模]已知圆C1:x2+y2=4,圆C2:x2+y2+6x-8y+16=0,则圆C1和圆C2的位置关系是()A.相离B.外切C.相交D.内切(2)已知经过点P1,的两个圆C1,C2都与直线l1:y=x,l2:y=2x相切,则这两圆的圆心距C1C2等于.[总结反思] (1)处理两圆的位置关系时多用圆心距与半径的和或差的关系判断,一般不采用代数法.(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.式题 (1)[2017·绵阳二诊]已知点O(0,0),M(1,0),且圆C:(x-5)2+(y-4)2=r2(r>0)上至少存在一点P,使得|PO|=|PM|,则r的最小值是.(2)设P(x1,y1)是圆O1:x2+y2=9上的点,圆O2的圆心为O2(a,b),半径为1,则(a-x1)2+(b-y1)2=1是圆O1与圆O2相切的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件第50讲椭圆课前双击巩固1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作.这两个定点叫作椭圆的,两焦点间的距离叫作椭圆的.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:(1)若,则集合P为椭圆;(2)若,则集合P为线段;(3)若,则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质+=1(a>b>0) +=1(a>b>0)常用结论椭圆中几个常用的结论:(1)焦半径:椭圆上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径,分别记作r1=,r2=.①+=1(a>b>0),r1=a+ex0,r2=a-ex0;②+=1(a>b>0),r1=a+ey0,r2=a-ey0;③焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点).(2)焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形.r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆+=1(a>b>0)中:①当r1=r2时,即点P的位置为短轴端点时,θ最大;②S=b2tan =c,当=b时,即点P的位置为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.(3)焦点弦(过焦点的弦):焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,弦长l min=.(4)AB为椭圆+=1(a>b>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0),则①弦长l==|y1-y2|;②直线AB的斜率k AB=-.题组一常识题1.[教材改编]椭圆36x2+81y2=324的短轴长为,焦点为,离心率为.2.[教材改编]已知动点P(x,y)的坐标满足+=16,则动点P的轨迹方程为.3.[教材改编]若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为10,一个焦点的坐标是(-,0),则椭圆的标准方程为.4.[教材改编]椭圆+=1上一点P与椭圆两焦点F1,F2的连线的夹角为直角,则Rt△PF1F2的面积为.题组二常错题◆索引:椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件;忽视焦点的位置;易忽视椭圆方程中未知数的取值范围.5.平面内一点M到两定点F1(0,-9),F2(0,9)的距离之和等于18,则点M的轨迹是.6.短轴长等于6,离心率等于的椭圆的标准方程为.7.设点P(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,则5x2+y2-6x的最大值为.课堂考点探究探究点一椭圆的定义1 (1)过椭圆+y2=1的左焦点F1作直线l交椭圆于A,B两点,F2是椭圆右焦点,则△ABF2的周长为()A.8B.4C.4D.2(2)[2017·西宁一模]在平面直角坐标系xOy中,P是椭圆+=1上的一个动点,点A(1,1),B(0,-1),则+的最大值为()A.5B.4C.3D.2[总结反思] 椭圆定义的应用主要有两个方面:一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆;二是当P在椭圆上时,与椭圆的两焦点F1,F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长,利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|,通过整体代入可求其面积等.式题 (1)[2017·汕头三模]若椭圆+=1上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2的连线互相垂直,则△PF1F2的面积为()A.36B.16C.20D.24(2)已知椭圆+=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为5,则b= .探究点二椭圆的标准方程2 (1) 椭圆E的焦点在x轴上,中心在原点,其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆E的标准方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1(2)[2017·马鞍山三模]已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若线段AB 的中点的坐标为(1,-1),则E的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1[总结反思] 根据条件求椭圆方程常用的主要方法有:(1)定义法,定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义;(2)待定系数法,待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),再用待定系数法求出m,n的值即可.式题 (1)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆的两个焦点,过F1的直线l交椭圆于M,N两点,若△MF2N的周长为8,则椭圆方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1(2) 过点A(3,-2)且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1探究点三椭圆的几何性质3 (1)[2017·西宁二模]设F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,与直线y=b相切的☉F2交椭圆于点E,且点E恰好是直线EF1与☉F2的切点,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.(2)椭圆x2+=1(0<b<1)的左焦点为F,上顶点为A,右顶点为B,若△FAB外接圆的圆心P(m,n)在直线y=-x的左下方,则该椭圆离心率的取值范围为()A.B.C.D.[总结反思] 椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种常用方法:(1)求出a,c,代入公式e=.(2)根据条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为关于a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a 或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e的值或取值范围.式题 (1)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e.P是椭圆上一点,位于第一象限,满足PF2⊥F1F2,点Q在线段PF1上,且=2.若·=0,则e2=()A.-1B.2-C.2-D.-2(2)中心为原点O的椭圆的焦点在x轴上,A为该椭圆右顶点,P为椭圆上一点,若∠OPA=90°,则该椭圆的离心率e的取值范围是()A.B.C.D.探究点四直线与椭圆的位置关系4 [2018·合肥一中、马鞍山二中等六校联考]已知点M是圆E:(x+)2+y2=16上的动点,点F(,0),线段MF的垂直平分线交线段EM于点P.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)矩形ABCD的边所在直线与轨迹C均相切,设矩形ABCD的面积为S,求S的取值范围.[总结反思] (1)解决直线与椭圆的位置关系的问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系,解决相关问题.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|==(k为直线斜率).(3)直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法:式题 [2017·咸阳三模]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点A在椭圆C上,|AF1|=2,∠F1AF2=60°,过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P,Q两点,N为线段PQ的中点.(1)求椭圆C的方程;(2)已知点M0,,且MN⊥PQ,求线段MN所在的直线方程.第51讲双曲线课前双击巩固1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作,两焦点间的距离叫作.集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.(1)当时,P点的轨迹是双曲线;(2)当时,P点的轨迹是两条射线;(3)当时,P点不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0);(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).3.双曲线的性质-=1(a>0,b>0-=1(a>0,b>0)),常用结论双曲线的几个常用结论:(1)与双曲线-=1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线系的方程为-=λ(λ≠0).(2)双曲线上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段叫作双曲线的焦半径,分别记作r1=|PF1|,r2=|PF2|,则①-=1(a>0,b>0),若点P在右支上,则r1=ex0+a,r2=ex0-a;若点P在左支上,则r1=-ex0-a,r2=-ex0+a.②-=1(a>0,b>0),若点P在上支上,则r1=ey0+a,r2=ey0-a;若点P在下支上,则r1=-ey0-a,r2=-ey0+a.题组一常识题1.[教材改编]若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=4,则|PF2|= .2.[教材改编]已知双曲线经过点P(3,-2)和点Q(6,-7),则该双曲线的标准方程为.3.[教材改编]双曲线C:12x2-3y2=24的离心率是,渐近线方程是.题组二常错题◆索引:忽视双曲线定义中的条件“2a<|F1F2|”;忽视定义中的条件“差的绝对值”;忽视双曲线焦点的位置;忽视双曲线上的点的位置.5.平面内到点F1(6,0),F2(-6,0)距离之差的绝对值等于12的点的轨迹是.6.平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差等于6的点的轨迹是.7.以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为,则双曲线的离心率为.8.P是双曲线-=1上任意一点,F1,F2分别是它的左、右焦点,且|PF1|=9,则|PF2|= .探究点一双曲线的定义及标准方程1 (1)F1,F2分别是双曲线C:-=1的左、右焦点,P为双曲线C右支上一点,且=8,则△PF1F2的周长为()A.15B.16C.17D.18。
2020版高考数学一轮复习第八章解析几何第一节直线与方程讲义含解析
第一节直线与方程突破点一直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系．直线的倾斜角()定义：当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线之间所成的角叫做向上方向直线的倾斜角．当直线与轴平行或重合.时，规定它的倾斜角为()范围：直线倾斜角的范围是[，π)．．直线的斜率公式α≠()定义式：若直线的倾斜角.α，则斜率＝()两点式：(，)，(，)在直线上，且≠，则的斜率＝.．两条直线平行与垂直的判定一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)()根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( )()坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( )()直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )()当直线和斜率都存在时，一定有＝⇒∥.( )()如果两条直线与垂直，则它们的斜率之积一定等于－.( )答案：()√()×()×()×()×二、填空题．过点(－，)，(＋)的直线的斜率等于，则的值为．答案：．若直线：(－)＋－＝和直线：＋＋＝垂直，则实数的值为．答案：．(·湖南百所中学检测)若直线：＋－＝与：＋(＋)＋＝平行，则的值为．答案：．直线＋(＋)＋＝的倾斜角的取值范围是．答案：考法一直线的倾斜角与斜率．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：．在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数＝α的单调性，如图所示：()当α取值在内，由增大到时，由增大并趋向于正无穷大；()当α取值在内，由增大到π(α≠π)时，由负无穷大增大并趋近于.解决此类问题，常采用数形结合思想．[例] ()(·江西五校联考)已知直线与两条直线＝，－－＝分别交于，两点，线段的中点坐标为(，－)，那么直线的斜率是( )．－．－()(·张家口模拟)直线经过()，(，－)(∈)两点，则直线的倾斜角α的取值范围是( )[解析] ()设()，(，－)，则(\\((＋)＝，,(＋－)＝－，))解得(\\(＝－，＝，))所以(－)，(，－)，所以直线的斜率＝＝－，故选.()直线的斜率＝α＝＝＋≥，所以≤α＜.[答案] () ()[方法技巧]求直线倾斜角范围的注意事项直线倾斜角的范围是[，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率∈[，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率∈(－∞，)．考法二两直线的位置关系两直线位置关系的判断方法()已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等；②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－.()已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．[例] ()(·武邑中学月考)已知过两点(－，)，()的直线与直线＋－＝平行，则的值为( )．．．－．－()(·安徽六安四校联考)设∈，则“＝”是“直线：(＋)＋(－)－＝与直线：(－)＋(＋)＋＝垂直”的( )．必要不充分条件．充分不必要条件．既不充分也不必要条件．充要条件[解析] ()由题可知，＝－，解得＝－，故选. ()由直线与垂直可得(＋)(－)＋(－)·(＋)＝，解得＝或＝.所以“＝”是“直线：(＋)＋(－)－＝与直线：(－)＋(＋)＋＝垂直”的充分不必要条件．故选.[答案]()()[方法技巧]由一般式方程确定两直线位置关系的方法到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意，的系数不能同时为零这一隐含条件．已知直线过()，(，)两点，且倾斜角为°，则＝( )．－．．－．解析：选∵直线过()，(，)两点，∴直线的斜率为＝－.又∵直线的倾斜角为°，∴直线的斜率为，即－＝，∴＝.故选.已知倾斜角为θ的直线与直线＋－＝垂直，则θ的值为( )．－．－解析：选由题意得－· θ＝－，∴θ＝，θ＝＝＝－，故选.若直线：－(＋)＋＝与直线：－－＝垂直，则实数＝( )．．．或－．－解析：选∵直线与直线垂直，∴＋(＋)＝，整理得＋＝，解得＝或＝－.故选.设∈，则“＝”是“直线：＋－＝与直线：＋(＋)＋＝平行”的( )．必要不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件．充分不必要条件解析：选当＝时，直线：＋－＝与直线：＋＋＝的斜率都是－，截距不相等，∴两条直线平行，故前者是后者的充分条件；当两条直线平行时，得＝≠，解得＝－或＝，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选.突破点二直线的方程直线方程的五种形式一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)()经过定点(，)的直线都可以用方程＝＋表示．( ) ()经过任意两个不同的点(，)，(，)的直线都可以用方程(－)(－)＝(－)(－)表示．( )()不经过原点的直线都可以用＋＝表示．( )答案：()×()√()×二、填空题．过点(，－)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为．答案：＋＝或＋＋＝．(·开封模拟)过点(－，－)，斜率是直线＝斜率的－的直线方程为．答案：＋＋＝．已知三角形的三个顶点(－)，(，－)，()，则边上中线所在的直线方程为．解析：由已知，得的中点坐标为，且直线边上的中线过点，则边上中线的斜率＝－，故边上的中线所在直线方程为＋＝－，即＋＋＝.答案：＋＋＝考法一求直线方程[例] (·湖北十堰模拟)已知菱形的顶点，的坐标分别为(－)，(，－)，边所在直线过点(，－)．求：()边所在直线的方程；()对角线所在直线的方程．[解] ()＝＝，∵∥，∴＝.∴边所在直线的方程为－＝(＋)，即－＋＝.()＝＝－.∵菱形的对角线互相垂直，∴⊥，∴＝.∵的中点()，也是的中点，∴对角线所在直线的方程为－＝(－)，即－＋＝.[方法技巧]求直线方程的注意事项()在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．()对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．考法二与直线方程有关的最值问题[例] ()已知直线＋－＝(是正常数)，当此直线在轴，轴上的截距和最小时，正数的值是( )．．．()若直线－＋＝与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于，那么的取值范围是( )．(－∞，－]∪[，＋∞)．[－]．[－)∪(]．(－∞，＋∞)[解析] ()直线＋－＝(是正常数)在轴，轴上的截距分别为和，此直线在轴，轴上的截距和为＋≥，当且仅当＝时，等号成立．故当直线＋－＝在轴，轴上的截距和最小时，正数的值是，故选. ()令＝，得＝，令＝，得＝－，所以所求三角形面积为－＝，且≠，因为≤，所以≤，所以的取值范围是[－)∪(]．[答案] () ()[方法技巧]与直线方程有关的最值问题的解题思路()借助直线方程，用表示或用表示；()将问题转化成关于(或)的函数；()利用函数的单调性或基本不等式求最值．已知直线过点()，且与轴，轴的正半轴所围成的三角形的面积等于，则直线的方程是( )．＋－＝．＋－＝．－＋＝．－＝解析：选设直线的方程为＋＝(＞，＞)．由题意得(\\(()＋()＝，,()＝，))解得＝，＝.故直线的方程为＋＝，即＋－＝.故选.过点(－)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为．解析：当直线过原点时，直线方程为＝－；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝(≠)，即－＝(≠)，把(－)代入，得＝－，所以直线方程为－＋＝.故所求直线方程为＝－或－＋＝.答案：＝－或－＋＝已知直线：－＝－，：＋＝＋，当＜＜时，直线，与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数＝.解析：直线可写成(－)＝(－)，直线可写成(－)＝(－)，所以直线，恒过定点()，直线的纵截距为－，直线的横截距为＋，所以四边形的面积＝××(－)＋××(＋)＝－＋＝＋.当＝时，面积最小．答案：突破点三直线的交点、距离与对称问题．两条直线的交点．三种距离一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)()若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( )()点(，)到直线＝＋的距离为.( ) ()直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) ()若点，关于直线：＝＋(≠)对称，则直线的斜率等于－，且线段的中点在直线上．( )答案：()√()×()√()√二、填空题．已知点()(＞)到直线：－＋＝的距离为，则的值为．答案：－．若直线：＋＋＝与：(－)＋＋＝平行，则与间的距离为．答案：．当＜＜时，直线：－＝－与直线：－＝的交点在第象限．答案：二．(·忻州检测)在平面直角坐标系中，点()与点()关于直线对称，则直线的方程为．答案：－－＝考法一距离问题[例] (·北京西城期中)已知直线经过点(－，)．()若点(－，－)到直线的距离为，求直线的方程；()若直线在两坐标轴上截距相等，求直线的方程．[解] ()当直线的斜率不存在时，即直线的方程为＝－，符合要求；当直线的斜率存在时，设直线的方程为－＝(＋)，整理得－＋＋＝，(－，－)到直线的距离＝＝＝，解得＝－，所以直线的方程为＋＋＝.()由题知，直线的斜率一定存在且≠，故可设直线的方程为－＋＋＝，当＝时，＝＋，当＝时，＝－，∴＋＝－，解得＝－或－，即直线的方程为＋＝或＋＋＝.[方法技巧]．解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．．求两条平行线间的距离要先将直线方程中，的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．考法二对称问题[例] 已知直线：－＋＝，点(－，－)．求：()点关于直线的对称点′的坐标；()直线：－－＝关于直线的对称直线′的方程；()直线关于点(－，－)对称的直线′的方程．[解] ()设′(，)，由题意知×(－)－×(－)＋＝，))解得(\\(＝－()，＝().))所以′.()在直线上取一点()，则()关于直线的对称点′必在直线′上．设′(，)，则)×()＝－.))解得′.设直线与直线的交点为，则由(\\(－＋＝，－－＝，))得()．又因为′经过点()，所以由两点式得直线′的方程为－＋＝.()设(，)为′上任意一点，则(，)关于点(－，－)的对称点为′(－－，－－)，因为′在直线上，所以(－－)－(－－)＋＝，即－－＝.[方法技巧]．中心对称问题的两种类型及求解方法．轴对称问题的两种类型及求解方法“＝”是“点(，)到直线＋＋＝的距离为”的( )．充分不必要条件．充要条件．既不充分也不必要条件．必要不充分条件解析：选若点(，)到直线＋＋＝的距离为，则有＝，解得＝或＝－，故“＝”是“点(，)到直线＋＋＝的距离为”的充分不必要条件，故选.直线－＋＝关于轴对称的直线的方程是( )．＋－＝．＋＋＝．－＋＋＝．－＋－＝解析：选在所求直线上任取一点(，)，则点关于轴的对称点′(，－)在已知的直线－＋＝上，所以－(－)＋＝，即＋＋＝，故选.已知，是分别经过()，(，－)两点的两条平行直线，当，间的距离最大时，则直线的方程是．解析：当直线与，垂直时，，间的距离最大．因为()，(，－)，所以＝＝，所以两平行直线的斜率为＝－，所以直线的方程是－＝－(－)，即＋－＝.答案：＋－＝若直线与直线－－＝关于直线＋－＝对称，则直线的方程为．解析：由(\\(－－＝，＋－＝，))得(\\(＝，＝，))即两直线的交点坐标为()，在直线－－＝上取一点()，设点关于直线＋－＝的对称点的坐标为(，)，则(\\((－)＝，,(＋)＋()－＝，))解得(\\(＝，＝，))即点关于直线＋－＝的对称点的坐标为()，则直线的方程为＝，整理得－＋＝.答案：－＋＝。
2020年高考数学(文科)一轮复习 第八单元 听课手册答案
第八单元解析几何1.编写意图解析几何在高考中一般有2道客观题,1道解答题.选择题、填空题主要考查直线与圆的方程、圆锥曲线的方程及其简单的几何性质,考查点较单一;解答题主要考查圆锥曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系以及解决解析几何问题的基本方法,具有一定的难度.根据考试说明和一轮复习的特点,在编写该部分时注意到了如下几点:(1)注重基础.在本单元的大部分讲次中设置的都是基础性试题,目的是使学生掌握好解析几何的基本知识和基本方法,提高解题的基本技能.(2)强化能力.选用了一些具有一定难度的推理论证试题和计算性试题,试图通过这些题目的练习,提高学生解决解析几何试题的能力.(3)关注热点.定点、定值、最值、范围、探索、证明等问题是高考中的热点问题,本书对这些问题给予了高度关注,通过对这些问题的讲解,使学生掌握解决这些热点问题的基本思想方法.2.教学建议(1)充分重视运算环节.运算复杂是解析几何题目的特点,在学生运算能力较弱的情况下,解题较困难,并容易出现畏惧情绪.教学中,对本单元的例题和习题要给予学生足够的时间完成其中的运算环节,在学生有困难的运算中教师要与学生一起逐步完成其运算,一定要把运算这个环节落到实处.(2)充分重视学生的主体作用.本单元的绝大多数内容学生都可以独立地完成,因此教师不要包办代替,应让学生在解题过程中认识解析几何试题的特点,掌握解析几何试题的解题方法.(3)充分重视重点和难点的教学.以椭圆和抛物线为载体,与直线、圆等知识结合的解答题是解析几何的难点,在这个问题上应根据学生的实际情况因材施教、区别对待,提高整个班级的复习质量.3.课时安排本单元包括8讲(其中第51讲安排3个课时)、2个小题必刷卷、1个解答必刷卷、1个单元测评卷(八),大约共需15课时.第44讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程考试说明1.在平面直角坐标系中,结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)0°(2)0°≤α<180°2.(1)正切值tan α不存在(2)--不存在3.y-y0=k(x-x0)y=kx+b --=--+=1Ax+By+C=0(A2+B2≠0)对点演练1.45°1[解析] 由题意得,k=tan α=1,所以α=45°,又---=1,解得m=1.2.x-y+1=0[解析] ∵斜率k=tan 60°=,直线l过点(0,1),∴直线l的方程为y-1=(x-0),即x-y+1=0.3.三[解析] 由已知得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距->0,在y轴上的截距->0,故直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限.4.k 2>k 3>k 1 [解析] 设l 1,l 2,l 3的倾斜角分别为α1,α2,α3.由题图易知0<α3<α2<90°<α1<180°,∴tanα2>tan α3>0>tan α1,即k 2>k 3>k 1.5. ,∪, [解析] 设直线l 的倾斜角为α,则有tan α= - -=1-m 2≤1.又因为0≤α<π,所以0≤α≤或 <α<π. 6. ,[解析] ∵点A (2,2),B (-1,3),直线l 过点P (1,1)且与线段AB 相交,∴边界直线PA 的斜率k PA = - - =1,边界直线PB 的斜率k PB =-- -=-1,∴直线PA 的倾斜角为 ,直线PB 的倾斜角为.∵直线l 与线段AB 相交,∴直线l 的倾斜角的取值范围为 ,. 7.x+y-2=0或x-y=0 [解析] 若直线过原点,则直线方程为y=x ;若直线不过原点,设直线方程为 +=1,代入点M (1,1),解得m=2,则直线方程为x+y-2=0. 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)利用过两点的直线的斜率公式,求出直线AB 的斜率,再根据倾斜角求出斜率,构造方程,求出m ;(2)直线l :x+my+m=0经过定点A (0,-1),利用斜率公式可得k AP ,k AQ ,再利用斜率的意义即可得出m 的取值范围.(1)A (2) - ,[解析] (1)∵直线过A (2,4),B (1,m )两点,∴直线的斜率为 - -=4-m ,又∵直线的倾斜角为45°,∴直线的斜率为1,即4-m=1,∴m=3,故选A .(2)易知直线l :x+my+m=0过定点A (0,-1).当m ≠0时,k QA = ,k PA =-2,k l =- ,∴- ≤-2或- ≥,解得0<m ≤ 或- ≤m<0;当m=0时,直线l 的方程为x=0,与线段PQ 有交点.∴实数m 的取值范围为- ≤m ≤. 变式题 (1)B (2)B [解析] (1)直线2x cos α-y-3=0的斜率k=2cos α,因为α∈,,所以≤cos α≤,因此k=2cos α∈[1, ].设直线的倾斜角为θ,则有tan θ∈[1, ].又θ∈[0,π),所以θ∈,,即倾斜角的取值范围是,.故选B .(2)设点P (a ,1),Q (7,b ),则有, - ,解得 - ,- ,从而可知直线l 的斜率为- - =- .故选B . 例2 [思路点拨] (1)由题意求解题中所给的直线方程,对比选项,利用排除法即可求得最终结果;(2)当直线不过原点时,设所求直线方程为 +=1,将(-5,2)代入所设方程,求出a 即得直线方程;当直线过原点时,设直线方程为y=kx ,将(-5,2)代入所设方程,求出k 即得直线方程.(1)C (2)2x+5y=0或x+2y+1=0 [解析] (1)如图所示,可知A ( ,0),B (1,1),C (0, ),D (-1,1),所以直线AB ,BC ,CD 的方程分别为y=-(x- ),y=(1- )x+ ,y=( -1)x+ ,即x+( -1)y- =0,(1- )x-y+ =0,( -1)x-y+ =0,分别对应题中的A,B,D 选项.故选C .(2)当直线不过原点时,设所求直线方程为+=1,将(-5,2)代入所设方程,解得a=-,所以直线方程为x+2y+1=0;当直线过原点时,设直线方程为y=kx,则-5k=2,解得k=-,所以直线方程为y=-x,即2x+5y=0.故所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0.变式题(1)x+2y-4=0(2)2x-3y+6=0(3)2x-y+2=0[解析] (1)因为直线BC经过B(2,1)和C(-2,3)两点,由两点式得直线BC的方程为--=---,即x+2y-4=0.(2)设BC边的中点D的坐标为(x,y),则x=-=0,y==2.直线AD过A(-3,0),D(0,2)两点,由截距式得AD所在直线的方程为-+=1,即2x-3y+6=0.(3)由已知可知,直线BC的斜率k1=-,则BC的垂直平分线DE的斜率k2=2.由(2)知,点D的坐标为(0,2).由点斜式得直线DE的方程为y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.例3[思路点拨] (1)先求出两条动直线经过的定点,即A和B,注意到两条动直线相互垂直,则有PA⊥PB,再利用基本不等式即可得出|PA|·|PB|的最大值.(2)①设出点A,B的坐标,写出直线AB的方程,利用基本不等式求出|OA|+|OB|的最小值,写出对应的直线方程;②设直线方程为y-1=k(x-1)(k<0),利用基本不等式求出|MA|2+|MB|2的最小值,写出对应的直线方程.解:(1)易求得定点A(0,0),B(1,3).当P与A和B均不重合时,因为P为直线x+my=0与mx-y-m+3=0的交点,且易知两直线垂直,即PA⊥PB,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,所以|PA|·|PB|≤=5(当且仅当|PA|=|PB|=时,等号成立);当P与A或B重合时,|PA|·|PB|=0.故|PA|·|PB|的最大值是5.(2)①设A(a,0),a>0,B(0,b),b>0,则直线l的方程为+=1,则+=1,所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)·=2++≥2+2·=4,当且仅当a=b=2时取等号.故当|OA|+|OB|取得最小值时,直线l的方程为x+y-2=0.②设直线l的斜率为k,则k<0,直线l的方程为y-1=k(x-1),则A-,,B(0,1-k),所以|MA|2+|MB|2=1-1+2+12+12+(1-1+k)2=2+k2+≥2+2·=4,当且仅当k2=,即k=-1时,|MA|2+|MB|2取得最小值4,此时直线l的方程为x+y-2=0.变式题(1)(2)[解析] (1)已知点A(2,0),B(0,1),则线段AB的方程为y=-x+1,x∈[0,2],即x+2y-2=0,x∈[0,2],由x+2y=2≥2当且仅当x=1,y=时取等号,得xy≤.故xy的最大值为.(2)由题意知直线l 1,l 2过定点(2,2),直线l 1在y 轴上的截距为2-a ,直线l 2在x 轴上的截距为a 2+2,所以四边形的面积S=×2×(2-a )+×2×(a 2+2)=a 2-a+4=a-2+ ,当a=时,四边形的面积最小.【备选理由】 例1考查对斜率公式的灵活运用,充分发掘斜率公式的几何意义,帮助学生解决形如- -结构的取值范围问题;例2为求直线的方程问题,注意截距的概念,需要分情况讨论;例3是将直线方程与基本不等式结合的问题.例1 [配例1使用]已知实数x ,y 满足2x+y=8,当2≤x ≤3时,-的取值范围是 .[答案], [解析] 由- 的几何意义知,它表示点A (1,-1)与线段CD 上任一点P (x ,y )连线的斜率,如图.因为线段CD 的端点为C (2,4),D (3,2),所以k AC = -=5,k AD =- =,所以k AD ≤k AP ≤k AC ,即 ≤-≤5.例2 [配例2使用]设直线l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a ∈R).(1)若l 在两坐标轴上的截距相等,求直线l 的方程;(2)若l 在两坐标轴上的截距互为相反数,求a 的值.解:(1)当直线l 过原点时,直线l 在x 轴和y 轴上的截距均为0,∴a=2,直线l 的方程为3x+y=0. 当直线l 不经过原点时,l 在x 轴和y 轴上的截距存在且均不为0,直线l 的方程可写为-+-=1,∴ -=a-2,即a+1=1,∴a=0,直线l 的方程为x+y+2=0.综上,直线l 的方程为3x+y=0或x+y+2=0. (2)由-=-(a-2),得a-2=0或a+1=-1,∴a=2或a=-2.例3 [配例3使用] [2019·河北滦县一中月考] 已知直线l 过点M (2,1),且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点A ,B ,O 为坐标原点,求当| |·| |取得最小值时直线l 的方程. 解:设A (a ,0),B (0,b ),则a>0,b>0,直线l 的方程为 +=1,所以 +=1.||·| |=- · =-(a-2,-1)·(-2,b-1)=2(a-2)+b-1=2a+b-5=(2a+b ) +-5= +≥4,当且仅当a=b=3时取等号,故当| |·| |取得最小值时,直线l 的方程为x+y-3=0.第45讲 两直线的位置关系 考试说明 1. 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 2. 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3. 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.【课前双基巩固】知识聚焦1.k1=k2且b1≠b2k1·k2=-1k1≠k22.交点坐标相交无公共点平行3.(-)(-)对点演练1.1[解析] 由题意得=,即|a+1|=2,解得a=-1+2=1或a=-1-2=-3,∵a>0,∴a=1.2.1[解析] 由题意知---=1,所以t-4=-2-t,解得t=1.3.[解析] 解方程组--,,可得-,-,所以直线2x-y=-10与y=x+1的交点坐标为(-9,-8),代入y=ax-2,得-8=a·(-9)-2,所以a=.4.0或1[解析] 由两条直线垂直,得(3a+2)(5a-2)+(1-4a)(a+4)=0,即a2-a=0,解得a=0或a=1.5.0或-[解析] 由l1∥l2,得-3a-2a(3a-1)=0,即6a2+a=0,所以a=0或a=-,经检验都成立.6.0或1[解析] 直线l1的斜率k1=----=a.当a≠0时,l2的斜率k2=---=-,因为l1⊥l2,所以k1k2=-1,即a·-=-1,解得a=1;当a=0时,E(0,1),F(0,0),这时直线l2为y轴,M(2,0),N(-1,0),直线l1为x轴,显然l1⊥l2.综上可知,实数a的值为0或1.7.[解析] 由直线3x-4y-3=0和mx-8y+5=0平行,得m=6,则6x-8y+5=0可化为3x-4y+=0,则两条平行直线之间的距离d=--(-)=.8.[解析] 点A(1,1)关于x轴的对称点为A'(1,-1),则|PA|+|PB|的最小值是线段A'B的长,即为.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)由直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直得1×1+1×(-a)=0,求出a再判断;(2)三条直线中若有两条直线平行或三线共点,则不能构成三角形.(1)C(2)D[解析] (1)直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直的充要条件是1×1+1×(-a)=0,即a=1,故选C.(2)∵三条直线不能构成三角形,∴①l1∥l3,此时m=,l2∥l3,此时m=-;②三线共点,l1:2x-3y+1=0与l2:4x+3y+5=0的交点是-,-,代入mx-y-1=0,解得m=-.故实数m的取值集合为-,-,.故选D.变式题(1)A(2)x-2y+3=0[解析] (1)当m=2时,代入两直线方程,易知两直线平行,即充分性成立.当l1∥l2时,显然m≠0,从而有=m-1,解得m=2或m=-1,经检验,当m=2或m=-1时,l1∥l2,故必要性不成立.故选A.(2)设垂直于直线2x+y-3=0的直线l的方程为x-2y+c=0,∵直线l经过点P(1,2),∴1-4+c=0,解得c=3,∴直线l的方程是x-2y+3=0.例2 [思路点拨] (1)(方法一)当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y-2=k (x+1),可得=,解方程即可得出k ,当直线l 为x=-1时,也满足题意;(方法二)分两种情况讨论求解,一种是直线l 过P 且与AB 平行的情况,另一种是直线l 过P 与AB 中点的情况. (2)因为 =≠-,所以两直线平行,|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,利用两平行线间的距离公式求解即可.(1)x+3y-5=0或x=-1 (2)[解析] (1)(方法一)当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y-2=k (x+1),即kx-y+k+2=0.由题意知=,即|3k-1|=|-3k-3|,∴k=-,∴直线l 的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x=-1,也符合题意.故直线l 的方程为x+3y-5=0或x=-1.(方法二)当直线AB ∥l 时,有k l =k AB =-,直线l 的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.线段AB 的中点为(-1,4),当直线l 过线段AB 的中点时,直线l 的方程为x=-1.故直线l 的方程为x+3y-5=0或x=-1. (2)因为 =≠-,所以两直线平行.由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即 = ,所以|PQ|的最小值为. 变式题 (1)C (2)-1或4 [解析] (1)设点P (x ,y ),由题意知 ( - )=|x+1|,且=,所以, - ,即 , - ①或 , - - ②,解①得 - , - 或 ,,解②得 , ,因此,这样的点P 共有3个.(2)设直线l 1的方程为x-2y+m=0,则有(- )= ,解得m=-2或8,故直线l 1的方程为x-2y-2=0或x-2y+8=0,所以直线l 1在y 轴上的截距是-1或4.例3 [思路点拨] (1)根据关于原点对称的点的坐标特点可得m-1=-2,n-1=-1,即可得到m ,n 的值,进而得到答案;(2)设l 1与l 的交点为A (a ,8-2a ),可得l 2与l 的交点B (-a ,2a-6),代入l 2的方程可得a=4,从而得到点A 的坐标,然后得出直线l 的方程.(1)B (2)x+4y-4=0 [解析] (1)∵点A (m-1,1)和点B (2,n-1)关于原点对称,∴m -1=-2,n-1=-1,∴m=-1,n=0,∴m+n=-1.(2)设直线l 1与l 的交点为A (a ,8-2a ),则由题意知点A 关于点P 的对称点B (-a ,2a-6)在l 2上,代入l 2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A (4,0)在直线l 上,所以直线l 的方程为x+4y-4=0.例4 [思路点拨] (1)设点P (2,5)关于直线x+y+1=0的对称点为Q (a ,b ),则由直线PQ 与直线x+y+1=0垂直及线段PQ 的中点在直线x+y+1=0上列方程组,求得a ,b 的值,即得对称点的坐标;(2)设出点P 关于直线l 的对称点P'的坐标,根据线段PP'的中点在直线l 上,且直线PP'与直线l 垂直,列出方程组,求出点P'的坐标.(1)C (2)(-2,7)[解析] (1)设点P (2,5)关于直线x+y+1=0的对称点为Q (a ,b ),则 --(- ) - ,,解得- , - ,即点P (2,5)关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为(-6,-3),故选C .(2)设点P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P'(x',y').∵直线PP'与l垂直,∴k PP'·k l=-1,即--×3=-1①.又线段PP'的中点在直线3x-y+3=0上,∴3×-+3=0②.由①②得-- ,.把x=4,y=5代入得x'=-2,y'=7,∴点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标为(-2,7).例5[思路点拨] (方法一)在直线l上任取两点(一般取l与坐标轴的交点),找这两点关于点(1,2)的对称点,利用两点式写出所求直线的方程;(方法二)在直线l:3x-y+3=0上取点M(0,3),点M关于点(1,2)的对称点为M'(2,1),由于l关于点(1,2)的对称直线平行于l,利用点斜式写出所求直线的方程即可;(方法三)设所求对称直线上任意一点为(x,y),它关于点(1,2)的对称点(2-x,4-y)在直线l上,将(2-x,4-y)代入l的方程即得对称直线的方程.解:(方法一)在直线l:3x-y+3=0上取点M(0,3),N(-1,0),设点M,N关于点(1,2)的对称点分别为M'(x1,y1),N'(x2,y2).由,,得,,∴M (2,1).由-,,得,,∴N (3,4),∴对称直线的方程为--=--,即3x-y-5=0.(方法二)在直线l:3x-y+3=0上取点M(0,3),设点M关于点(1,2)的对称点为M'(x1,y1),由, ,得,,∴M (2,1).∵l关于点(1,2)的对称直线平行于l,∴对称直线的斜率k=3,∴对称直线的方程为y-1=3×(x-2),即3x-y-5=0.(方法三)设所求对称直线上任意一点为(x,y),它关于点(1,2)的对称点(2-x,4-y)在直线l上,将(2-x,4-y)代入l的方程得3(2-x)-(4-y)+3=0,即3x-y-5=0.例6[思路点拨] (1)设直线l上任意一点P(x,y),则点P关于直线x+y-4=0的对称点P'(m,n)在直线2x-y-2=0上,由对称性可得--(-)-,-,解得-,-,将其代入2x-y-2=0,化简得到直线l的方程;(2)设P(x,y)是直线l上任意一点,则由点P到直线l1:3x-y+1=0和直线l2:3x-y+7=0的距离相等,即可求解.(1)x-2y+2=0(2)3x-y+4=0[解析] (1)设P(x,y)为直线l上任意一点,则点P关于直线x+y-4=0的对称点P'(m,n)在直线2x-y-2=0上,由对称性可得--(-)-,-,解得-,-,将其代入2x-y-2=0可得2(4-y)-(4-x)-2=0,化简可得直线l的方程为x-2y+2=0.(2)依题意知l1∥l2,所以l上的点P(x,y)到两直线的距离相等,即=,化简得3x-y+4=0,即为所求直线l的方程.例7[思路点拨] 根据光线反射的对称性,先找到点A关于x轴的对称点A',再找到点D关于y轴的对称点D',连接A'D',则A'D'所在直线的方程即为直线BC的方程,光线所经过的路程为|A'D'|.解:(1)如图所示,∵A(-2,1),∴点A关于x轴的对称点为A'(-2,-1).∵D(-2,7),∴点D关于y轴的对称点为D'(2,7).由对称性可得,线段A'D'所在直线的方程即为BC所在直线的方程, 由两点式得直线BC的方程为---=---,整理得2x-y+3=0.(2)由图可得,光线从A点到达D点所经过的路程即为|A'D'|=(--)(--)=4.应用演练1.B[解析] 直线l1:y=k(x-4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,故直线l2经过定点(0,2).2.A[解析] 点A(0,2)关于点(1,2)对称的点为B(2,2),所以m+n=,mn≤=当且仅当m=n=时,取等号,故选A.3.-4[解析] 由已知得直线AB⊥l,所以k AB=-,即-=-①,又线段AB的中点,在直线l上,所以a+b-b+1=0②.由①②得a=-1,b=3,所以a-b=-4.4.[解析] 由题意可知坐标纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线y=2x-3,它也是点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线,于是-,---,解得,,故m+n=.5.x-2y-1=0[解析] 由,,得-,-,即所求直线过点(-1,-1).又直线y=2x+1上一点(0,1)关于直线y=x对称的点(1,0)在所求直线上,∴所求直线方程为---=---,即x-2y-1=0.【备选理由】例1是两条直线的相交问题;例2是点到直线的距离问题;例3是新概念下的“距离”问题;例4是点关于线对称的问题;例5考查对称问题的应用.例1[配例1使用](1)当k>1时,直线l1:kx-y=k-1与直线l2:ky-x=2k的交点在第象限. (2)若直线2x-y=-4,y=x+1,y=ax-2交于一点,则a的值为.[答案] (1)一(2)0[解析] (1)由--,-,得-,--,又∵k>1,∴x=->0,y=-->0,故直线l1:kx-y=k-1与直线l2:ky-x=2k的交点在第一象限.(2)由- - , ,得 - - ,∴交点坐标为(-3,-2),代入y=ax-2,得-2=a×(-3)-2,故a=0.例2 [配例2使用](1)过直线x- y+1=0与 x+y- =0的交点,且与原点的距离等于1的直线有条.(2)直线l 经过点P (2,-5)且与点A (3,-2)和点B (-1,6)的距离之比为1∶2,则直线l 的方程为 . [答案] (1)1 (2)x+y+3=0或17x+y-29=0[解析] (1)由 - ,- ,得,.由于 +=1,故所求直线只有1条. (2)当直线l 与x 轴垂直时,直线l 的方程为x=2,点A 到直线l 的距离d 1=1,点B 到直线l 的距离d 2=3,不符合题意,故直线l 的斜率存在.∵直线l 过点P (2,-5),∴设直线l 的方程为y+5=k (x-2),即kx-y-2k-5=0,∴点A (3,-2)到直线l 的距离d 1==,B (-1,6)到直线l 的距离d 2==.∵d 1∶d 2=1∶2,∴ -=,∴k 2+18k+17=0,∴k 1=-1,k 2=-17.∴直线l 的方程为x+y+3=0或17x+y-29=0.例3 [配例2使用]在平面直角坐标系中,定义两点P (x 1,y 1)与Q (x 2,y 2)之间的“直角距离”为d (P ,Q )=|x 1-x 2|+|y 1-y 2|.给出下列说法: ①若P ,Q 是x 轴上的两点,则d (P ,Q )= - ;②若点P (1,2),Q (sin α,cos α)(α∈R),则d (P ,Q )的最大值为3- ; 若P ,Q 是圆x 2+y 2=1上的任意两点,则d (P ,Q )的最大值为2 ; 若点P (1,3),点Q 为直线y=2x 上的动点,则d (P ,Q )的最小值为. 其中正确的说法是 .(填序号)[答案] ①[解析] 对于①,若P ,Q 是x 轴上的两点,则两点的纵坐标均为0,所以d (P ,Q )=|x 1-x 2|+|y 1-y 2|=|x 1-x 2|,所以①正确.对于②,d (P ,Q )=|1-sin α + 2-cos α =3- sin α+,因为α∈R,所以d (P ,Q )的最大值为3+ ,故②不正确.对于 ,要使d (P ,Q )最大,则P ,Q 两点是圆上关于原点对称的两点,由圆的对称性,不妨设P (cos θ,sin θ),Q (-cos θ,-sin θ) ∈ ,,则d (P ,Q )=|cos θ-(-cos θ)|+|sin θ-(-sinθ)|=2(cos θ+sin θ)=2 sin,所以d (P ,Q )的最大值为2 ,故 正确.对于 ,设Q (x 0,2x 0),则d (P ,Q )= - + - ,可知当x 0=时,d (P ,Q )取得最小值,故 正确.例4 [配例4使用]点P (2,5)关于直线x+y=0对称的点的坐标是 ( )A .(5,2)B .(2,-5)C .(-5,-2)D .(-2,-5)[解析] C 设点P (2,5)关于直线x+y=0的对称点为P 1,则线段PP 1的中点在直线x+y=0上,可排除选项A,B;而点(-2,-5)与点P (2,5)显然关于原点对称,而不关于直线x+y=0对称.故选C .例5 [配例7使用]已知点A (-2,1),B (1,2),点C 为直线y=x 上的动点,则|AC|+|BC|的最小值为( )A .2B .2C .2D .2[解析] C设点B关于直线y=x的对称点为B'(x0,y0),则---,,解得,-,故B'(2,-1).由平面几何知识得|AC|+|BC|的最小值是|B'A|=()(--)=2.故选C.第46讲圆的方程考试说明1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.【课前双基巩固】知识聚焦1.定点定长(a,b)r -,--2.> = <对点演练1.(x-1)2+(y-1)2=2[解析] 因为圆心为(1,1)且过原点,所以该圆的半径r==,则该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.2.,-|a| [解析] 根据圆的一般方程,可得圆的圆心坐标为,-a,半径为|a|.3.-1<a<1[解析] 因为点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,所以点(1,1)到圆心(a,-a)的距离小于2,即(-)[-(-) <2,两边平方得(1-a)2+(a+1)2<4,化简得a2<1,解得-1<a<1.4.x2+y2-2x+2y-6=0[解析] 依题意得=,设P(x,y),则(-)=,整理得x2+y2-2x+2y-6=0.5.(2,4)(x-1)2+(y+3)2=1[解析] 原方程可化为(x-1)2+(y+t)2=-t2+6t-8,则r2=-t2+6t-8=-(t-2)(t-4)>0,解得2<t<4.r2=-(t-3)2+1,当t=3时,r取得最大值1,此时圆的方程为(x-1)2+(y+3)2=1.6.(x±2)2+(y±2)2=4[解析] 由题意知,圆心有四种情况,即圆心坐标分别为(2,2),(-2,2),(-2,-2),(2,-2),所以圆的方程为(x±2)2+(y±2)2=4.7.27[解析] 由x2+y2-2x-3=0得y2=3+2x-x2≥0,解得-1≤x≤3,所以3x2+4y2=3x2+4(3+2x-x2)=-x2+8x+12=-(x-4)2+28(-1≤x≤3),所以当x=3时,3x2+4y2取得最大值27. 8.(x-2)2+(y-1)2=1或+(y-1)2=1或(x+2)2+(y+1)2=1或x-2+(y+1)2=1[解析] 由圆与x轴相切,半径为1,可设圆心坐标为(a,1),又圆与直线4x-3y=0相切,∴-=1,解得a=2或a=-.同理,设圆心坐标为(b,-1),解得b=-2或b=,∴圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1或+(y-1)2=1或(x+2)2+(y+1)2=1或x-2+(y+1)2=1.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)由圆的方程得到C点坐标,利用中点坐标公式与两点间距离公式求出圆心坐标与半径,可得圆的方程,或利用圆的直径式方程直接写出圆的方程;(2)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由O,A,B三点在圆上,将三点坐标代入所设方程,解方程组可得D,E,F的值,从而可得三角形OAB的外接圆方程.(1)C(2)x2+y2-6x-2y=0[解析] (1)由题意可知O(0,0),C(6,-8),则圆心坐标为(3,-4),圆的直径为(-)=10,据此可得圆的方程为(x-3)2+(y+4)2=,即(x-3)2+(y+4)2=25.故选C.(2)设三角形OAB的外接圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,由点O(0,0),A(2,4),B(6,2)在圆上,可得,,,解得,-,-,故三角形OAB的外接圆的方程为x2+y2-6x-2y=0.变式题(1)B(2)C(3)B[解析] (1)由圆的性质可知,该圆经过坐标原点,所以圆的半径r=(-)(--)=,故所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=13.(2)由抛物线定义知,以A1B1为直径的圆一定经过焦点F(1,0),因此可设圆心C的坐标为(-1,y),则(-)(-)=(--)(-),解得y=1,于是|CF|=,所以圆C的方程为(x+1)2+(y-1)2=5.故选C.(3)设圆C2的圆心坐标为(a,b),因为圆C1的圆心坐标为(-1,1),半径为2,所以--,---,解得,-,则圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=4,故选B.例2[思路点拨] 因为表示圆上的点(x,y)和点(0,0)连线的斜率,所以利用直线与圆相切时得到最大值和最小值.0[解析] 可视为点(x,y)与坐标原点连线的斜率,∴的最大值和最小值就是与该圆有公共点且过原点的直线斜率的最大值和最小值,即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为y=kx,由题知该直线斜率存在,由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径,即=3,解得k=0或k=,∴的最大值为,最小值为0.例3[思路点拨] (1)设x-2y=b,则问题转化为求直线x-2y=b在y轴上的截距的最值,易知当直线与圆相切时,b取得最大值或最小值;(2)直线z=2x+ay与圆相切时,z取得最大值8,从而得出a的值,进而求出2x+ay的最小值.(1)100(2)-2[解析] (1)原方程可化为(x-1)2+(y+2)2=5,表示以(1,-2)为圆心,为半径的圆.设x-2y=b,即x-2y-b=0,当直线x-2y-b=0与圆相切时,纵截距-b取得最大值或最小值,此时圆心到直线的距离d==,解得b=10或b=0,所以x-2y的最大值为10,最小值为0.(2)依题意知,直线2x+ay=8与圆(x-1)2+(y-1)2=5相切,所以圆心到直线的距离d==,解得a=1或a=-4(舍去),所以2x+ay=2x+y.令2x+y=k,由圆心(1,1)到直线2x+y-k=0的距离d=≤,化简得|k-3|≤5,解得-2≤k≤8,所以k的最小值为-2,即2x+y的最小值为-2.例4[思路点拨] (1)圆上一点到定直线距离的最小值等于圆心到直线的距离减去半径;(2)(x-5)2+(y+4)2表示点P(x,y)到点(5,-4)的距离的平方,又点(5,-4)到圆心(2,0)的距离d=(-)(-)=5,即得点P(x,y)到点(5,-4)的距离最大值为6,进而求得(x-5)2+(y+4)2的最大值.(1)D (2)D[解析] (1)将x2+y2-4x-2y+4=0化为(x-2)2+(y-1)2=1,则圆心C(2,1),半径为1,所以圆心到直线x-2y-5=0的距离为(-)=,所以圆上一点P到直线x-2y-5=0的距离的最小值是-1.故选D.(2)(x-5)2+(y+4)2表示点P(x,y)到点(5,-4)的距离的平方,又点(5,-4)到圆心(2,0)的距离d=(-)(-)=5,则点P(x,y)到点(5,-4)的距离最大值为6,所以(x-5)2+(y+4)2的最大值为36.故选D.例5[思路点拨] 根据条件将所求问题转化为在x轴上找一点使得到点C1与C2的距离和最短,此最短距离减去两圆半径即为所求,求此最短距离利用对称性来解决.A[解析] 圆心C1(2,2),C2(5,2),半径r1=1,r2=2,作C1关于x轴的对称点C'1(2,-2),连接C'1C2与x轴交于点A,此时|AM|+|AN|取得最小值,最小值为|C'1C2|-1-2=5-3=2,故选A.应用演练1.B[解析] 原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1,--表示圆上的点和点(2,4)连线的斜率.设--=k,即kx-y-2k+4=0,则有≤1,解得k≥,故选B.2.B[解析] 设直线l:y=kx-1,由题意得,直线l过定点A(0,-1).圆C:(x+3)2+(y-3)2=1的圆心为C(-3,3),半径r=1.由几何知识可得当直线l与直线CA垂直时,圆心C到直线l的距离最大,此时k CA=-(-)-=-,故k=,所以直线l的方程为y=x-1,即3x-4y-4=0,所以圆心C到直线l的距离d==5,故点P到直线y=kx-1的距离的最大值为d+r=5+1=6.故选B.3.A[解析] 依题意可得,点A关于x轴的对称点为A1(-1,-1),圆心为C(2,3),则|A1C|=()()=5,所以最短路径为5-1=4.故选A.4.B[解析] 由题知,直线AB的方程为-+=1,即2x-y+2=0,圆心(1,0)到直线AB的距离d==,则点P到直线AB的距离的最大值为+1,最小值为-1.又|AB|=,所以(S△PAB)max=×=(4+),(S△PAB)min=×-=(4-),故选B.5.6+26-2[解析] 设x+y=b,则b表示动直线y=-x+b在y轴上的截距,显然当动直线y=-x+b 与圆(x-3)2+(y-3)2=4相切时,b取得最大值或最小值,由圆心C(3,3)到切线x+y=b的距离等于圆的半径2,可得=2,即|b-6|=2,解得b=6±2,所以x+y的最大值为6+2,最小值为6-2.6.1[解析] 由题意知,圆心为C(-2,-t+4),半径r=1,所以|OC|=(-)(-).当t=4时,|OC|取得最小值2,故当t变化时,圆C上的点与原点O的最短距离是|OC|min-r=2-1=1.例6[思路点拨] 设P(x,y),N(x0,y0),根据中点坐标公式求得线段OP,MN的中点坐标关于x,y和x0,y0的式子,再根据平行四边形对角线互相平分建立关系式,解出用x,y表示x0,y0的式子,最后将点N的坐标代入已知圆的方程,化简即得所求点P的轨迹方程,最后去除不满足题意的点,可得到答案.解:如图所示,连接OP,MN,设P(x,y),N(x0,y0),且M,O,N三点不共线,则线段OP的中点坐标为,,线段MN的中点坐标为-,.由平行四边形的对角线互相平分,得=-,=,所以, -,又N(x+3,y-4)在圆上,所以(x+3)2+(y-4)2=4,因此点P的轨迹为圆(x+3)2+(y-4)2=4.当M,O,N三点共线时,直线OM与圆(x+3)2+(y-4)2=4交于两点-,,-,,不满足题意,所以除去两点-,和-,.所以点P的轨迹是以(-3,4)为圆心,半径为2的圆去掉两个点-,和-,.变式题解:(1)设M(x,y),B(x',y'),则由题意可得,,解得-,,∵点B在圆C1:x2+(y-4)2=16上,∴(2x-4)2+(2y-4)2=16,即(x-2)2+(y-2)2=4.∴M点的轨迹C2的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.(2)由方程组(-)(-),(-),得直线CD的方程为x-y-1=0,∴圆C1的圆心(0,4)到直线CD的距离d==,又圆C1的半径为4,∴线段CD的长为2-=.【备选理由】例1考查圆的方程的基本知识;例2是针对与圆有关的斜率型最值问题;例3是与圆有关的距离型最值问题;例4综合考查圆的一般方程、直线与圆相切的关系、轨迹问题及最值问题,需要综合分析,在求最值时,还要结合基本不等式求解.例1[配例1使用](1)若点(2,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=9的内部,则实数a的取值范围是.(2)已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则圆C的方程为.[答案] (1)(-1,2)(2)(x-2)2+y2=10[解析] (1)因为点(2,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=9的内部,所以(2-a)2+(1+a)2<9,即a2-a-2<0,解得-1<a<2.(2)依题意,设圆心C的坐标为(a,0),则|CA|=|CB|,即(-)(-)=(-)(-),解得a=2,故圆心为C(2,0),半径为,所以圆C的方程为(x-2)2+y2=10.例2[配例2使用]已知点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上运动,则--的最大值与最小值分别为. [答案] ,-[解析] 由题意,--表示点P(x,y)与点A(2,1)连线的斜率,当直线PA与圆相切时,--取得最大值与最小值.设--=k,则过(2,1)的直线的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0,由=1,解得k=±,所以--的最大值为,最小值为-.例3[配例4使用]设P是函数y=--(-)的图像上的任意一点,点Q的坐标为(2a,a-3)(a∈R),则|PQ|的最小值为.[答案] -2[解析] 函数y=--(-)的图像表示圆(x-1)2+y2=4在x轴及下方的部分,令点Q的坐标为(x,y),则,-,化简得y=-3,即x-2y-6=0,如图所示.由于圆心(1,0)到直线x-2y-6=0的距离d=(-)=>2,所以直线x-2y-6=0与圆(x-1)2+y2=4相离,因此|PQ|的最小值是-2.例4[配例6使用]已知与曲线C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l分别交x轴、y轴于A,B两点,O为坐标原点,|OA|=a,|OB|=b,且a>2,b>2.(1)求证:曲线C与直线l相切的条件是(a-2)(b-2)=2;(2)求线段AB中点的轨迹方程;(3)求△AOB的面积的最小值.解:(1)证明:将曲线C的方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,由题知直线l的方程为+=1,即bx+ay-ab=0.因为曲线C与直线l相切,所以圆心(1,1)到直线l的距离等于1,即=1,整理得(a-2)(b-2)=2.(2)由题知A(a,0),B(0,b),设线段AB的中点为M(x,y),则由中点坐标公式得,,即,.由(1)知(a-2)(b-2)=2,故(2x-2)(2y-2)=2,即(x-1)(y-1)=,故所求的轨迹方程为(x-1)(y-1)=. (3)由(1)可知ab=2a+2b-2,所以△=ab=[-2+2(a+b)]=-1+a+b=(a-2)+(b-2)+3≥3+2(-)(-)=3+2,当且仅当a=b=2+时,等号成立,所以△的最小值为3+2.第47讲直线与圆、圆与圆的位置关系考试说明1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.【课前双基巩固】知识聚焦1.0d>r 1两组相同实数解d<r 两组不同实数解2.d>R+r d=R+r R-r<d<R+r d=R-r d<R-r对点演练1.[-3,1][解析] 由题意可得,圆(x-a)2+y2=2的圆心坐标为(a,0),半径为,∴(-)≤,即|a+1|≤2,解得-3≤a≤1.2.x-y+2=02[解析] 由-,--,得两圆的公共弦所在直线的方程为x-y+2=0.又圆x2+y2=4的圆心(0,0)到直线x-y+2=0的距离为=,由勾股定理得弦长的一半为-=,所以所求弦长为2.3.相交[解析] 由题意知点M在圆外,则a2+b2>1,所以圆心(0,0)到直线ax+by=1的距离d=<1,故直线与圆相交.4.x-y+2=0[解析] 将圆的方程化为(x-2)2+y2=4,则圆心坐标为(2,0),半径为2,点P在圆上.设点P处的切线方程为y-=k(x-1),即kx-y-k+=0,则=2,解得k=,∴所求切线的方程为y-=(x-1),即x-y+2=0.5.2[解析] 将圆的方程化为(x-3)2+(y-4)2=5,设切点为A,圆心为B,则|OB|=5,由题意知|OB|2=|BA|2+|OA|2,即25=5+|OA|2,∴ OA =2,即切点到O的距离为2.6.9或1[解析] 由题意,圆C1的圆心坐标为(a,-2),半径r1=2,圆C2的圆心坐标为(-b,-2),半径r2=1,则圆心距为|a+b|.当两圆外切时,|a+b|=2+1=3,当两圆内切时,|a+b|=2-1=1,所以(a+b)2=9或1.7.5x-12y+45=0或x-3=0[解析] 将x2+y2-2x-4y+1=0化为标准方程,得(x-1)2+(y-2)2=4,其圆心坐标为(1,2),∵ CA =(-)(-)=>2,∴点A(3,5)在圆外.显然,当切线斜率不存在时,直线与圆相切,即切线的方程为x-3=0,当切线斜率存在时,可设所求切线的方程为y-5=k(x-3),即kx-y+5-3k=0.又圆心坐标为(1,2),半径r=2,∴圆心到切线的距离d==2,即|3-2k|=2,解得k=.故所求切线的方程为5x-12y+45=0或x-3=0.8.3x+4y-12=0或x=0[解析] 当直线l的斜率不存在,即直线l的方程为x=0时,弦长为2,符合题意;当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=kx+3,由弦长为2,半径为2可知,圆心到该直线的距离为1,即=1,解得k=-.综上可得,直线l的方程为x=0或3x+4y-12=0.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)利用圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径构成的直角三角形求解;(2)首先利用正弦定理把边角关系转化为边的关系,再比较圆心到直线的距离和半径的大小关系,最后得出结论.。
2020年人教版高考数学(理)一轮复习第八单元解析几何测评答案
小题必刷卷(十一)题组一刷真题角度11. B ［解析］方法一:易得△ ABC面积为1,利用极限位置和特值法.当a=0时易得b=1-—；当a=时，易得b=-当a=1时，易得b= 一- 1A.故选B.方法二:(直接法)？ y=——,y=ax+b与x轴交于--，结合图形与a>0- x——x2 一(a+b) =a(a+1)>0? a=—T a>0,・••一>0? b~,当a=0 时,极限位置易得b=1-一，故答案为B.2. —［解析］由两平行线间的距离公式得d〜=J.角度2. . 2 2 2 2 . . . .3. A ［解析］圆x +y -2x- 8y+13=0化为标准方程为(x- 1) +(y- 4) =4，故圆心为(1,4),圆心到直线的距离d= — =1,解得a=__.4. A ［解析］由题意知A(-2,0),B(0,-2),|AB|= 2 _.圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离为一「=2 ：设点2 2 ————P到直线AB的距离为d,圆(x- 2) +y =2的半径为r则d € [2 -r ,2 +r],即d€ [ ,3 ],又A ABP的面积S^B P=-|AB|• d= _d,所以A ABP面积的取值范围是[2,6].5. C ［解析］方法一：由点到直线的距离公式得d==m.方法二:该题考查圆周上一点到动直线的距离的最值问题，由题知动直线过定点(2,0),观察下图可知，所求距离的最大值为点(2,0)到单位圆上点的距离的最大值，故为3.角度32 26. C ［解析］方法一:设圆的方程为x+y+Dx+Ey+F：0,将点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的坐标代入得方程组解得所以圆的方程为x +y - 2x+4y- 20=0,即(x- 1) +(y+2) =25,所以=2 - =4 _方法二：因为k AE=--,k BC=3，所以k AB k BC=-1所以AB丄BC所以△ ABC为直角三角形所以△ ABC的外接圆圆心为AC的中点(1,-2),半径r=- =5,所以=2 -=4：方法三：由•=0得AB丄BC下同方法二.7. (x-2)2+y2=9 ［解析］设圆心的坐标为(a,0)(a>0),根据题意得_J,解得a=2(a=-2舍去)，所以圆的半__ . . 2 2径r= - - =3,所以圆的方程为(x-2) +y =9.2 2 28. (-2,-4) 5 ［解析］由题意知a=a+2,则a=2或a=-1.当a=2 时方程为4x +4y +4x+8y+10=0,即2 2 方法二:设点P(3,1),圆心为C,以PC为直径的圆的方程为- -+y - =0,整理得x-4X+y-y+3=0,2 2 I J 2 2 . . 2 2 2 2x +y +x+2y+-=0? x+- +(y+1)=--,不能表示圆；当a=-1 时方程为x +y +4x+8y- 5=0,即(x+2) +(y+4) =25, 所以圆心坐标是(-2,- 4),半径是5.角度49. A ［解析］设所求直线方程为2x+y+m=0,则圆心到该直线的距离为 ^一= 一,「.|m|=5,即m=± 5.10. D ［解析］设反射光线所在直线的斜率为k,反射光线过点(-2,-3)关于y轴的对称点(2,-3),二反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2).又T 其与圆(x+3)2+(y- 2)2=1 相切，—==一=1,解得k=--或k=--.11. A ［解析］方法一:设点P(3,1),圆心为C,设过点P的圆C的切线方程为y-1=k -，由题意得-==1,解之得k=0或-,即切线方程为y=1或4x- 3y- 9=0.联立得一切点为，又Tk PC=——, .k AB=-一=- 2，即弦AB所在直线方程为y-仁-2 -，整理得2x+y- 3=0.联立两式相减得2x+y- 3=0.12. 4 n ［解析］x +y -2ay-2=0,即x +(y-a ) =a +2，则圆心为C(0,a).又|AB|= 2 _,C到直线y=x+2a 的距离为一所以(二)2+( ) 2=a2+2，得a2=2，所以圆C 的面积为n (a2+2)=4 n .13. 4 ［解析］直线丨：n(x+3)+y- _=0 过定点(-3, 一)又|AB|= 2 一,二(『^)2+( _)2=12,解得m=二.直线方程中，当x=0时,y=2 ".又(-3, _),(0,2 一)两点都在圆上，•••直线丨与圆的两交点为A(-3, _),B(0,2 ").设过点A(-3, 一)且与直线丨垂直的直线为_x+y+c i=0，将(-3, 一)代入直线方程_x+y+c i=0，得c i=2 _.令y=0,得x c=-2，同理得过点B且与I垂直的直线与x轴交点的横坐标为X D=2,• |CD|=4.题组二刷模拟214. A ［解析］若11 II l 2,则a x (- 1)=a(a+2),即a +3a=0,「.a=0 或a=- 3,经检验都符合题意，故选A15. C ［解析］•「△ ABC是等腰直角三角形，•圆心C(1,-a)到直线ax+y-1=0的距离d^= =—,.•. a= ±, 故选C16. A ［解析］由M为PQ的中点，=- ，得PA X QA即I 1丄l 2,. 1 x m+-2)x 1=0,解得m=2.故选A17. B ［解析］点B在直线y=2 一上，过点A(0,-2 一)作圆的切线，设切线的斜率为k,由点斜式求得切线方程为kx-y- 2 _=0.由圆心到直线的距离等于半径，得^== 一,解得k=± 一,•切线方程为y=± _x-2 一,与直线y=2 一的交点坐标为(士4,2 _), •要使视线不被圆C挡住，实数a的取值范围是(-%，- 4) U (4,+ 叼,故选B.18. D ［解析］如图，点A关于直线BC的对称点为D(-6,2),则直线DB的方程为x+2y+2=0直线DC的方程为y=2.由---- =——=——,| 2a-2|=——,得a=-1,-,1 士——，结合图像可知-1W 1 —，故选D.2 219. D ［解析］圆的标准方程为(x+2)+y=4,作CD丄AB于点D.由圆的性质可知/ ACB=20° ,△ ABC为等腰三角形,其中|CA|=|CB|，则|CD|=|CA| si M 30 ° =2X-=1,即圆心(-2,0)到直线4x- 3y+a=0的距离为1, 据此可得一-=1,即|a- & = 5,解得a=3或a=13,故选D20. A ［解析］设A(X1,y1),B(X2,y2)，联立-可化为5y2-4ay+a2- 2=0，则△ =16a2- 20(a2-2)>0,即a2<10,且y’+y2=—,y’y2 ----------------- .若=0,则X1X2+y1y2=0，即卩(2yy )(2y2-a )+y1y2=0, 5y’y2-2a(y1+y2)+a =0,二5X -2a x—+a =0,解得a=±，故"a= ”是“•=0”的充分不必要条件，故选A.21. C ［解析］由题可知直线I ：y=-(x+2)，即x- _y+2=0.设圆心C(a,0)(a>0),则_ :=a,解得a=2,所以圆C的方程为(x-2) +y =4.将y=—(x+2)代入圆C的方程，可得x - 2x+1=0，所以x<=1,故P(1,0).设M(x,y),2 2则----= ------------ =--------------- ,将x +y =4x代入，得-- =——=4,所以——=2,故选C22. 士2 ［解析］由题得/PMO M PN0h M0N90° ,|M0|=|0N|=1,.四边形PMO是正方形,••• |PO|= 一. •••满足以上条件的点P有且只有一个，••• O»l ,. 一=^,.・.b= ±.23. —懈析］若直线丨1与直线丨2垂直，则-2X- =-1?- =,则使得直线丨1丄l 2的{(a,b)}={(1,2),(2,4),(3,6)},故直线丨1丄I 2的概率P —=—.24. 2 —［解析］由得-即直线恒过定点q-1,-2).以C为圆心,5为半径的圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=25,圆心C(- 1，- 2)到直线3x+4y+1 =0 的距离d=- --- •=—=2，则|AB|= 2 - =2 - =2 (R为圆的半径).25. ①②③［解析］连接BC作CE_LAB于点E,易知|CE|=1,|BE|= 1,则|BC|= 一，则C(1, 一),所以圆C的方程为(x-1) +(y- 一)=2,A(0, _-1),B(0, _+1).因为MN在圆Qx+y=1 上，所以可设M(cos a ,sin a ),N(cos B ,sin B )，所以|NA|= - ,|NB|= - - _ ==2.角度24. A ［解析］—=-—=_-1=e-1=2所以-=± 一,所以渐近线方程为y=± "x.5.C ［解析］由题易知|PF 2|=b,|0P|=a.过P 向x 轴作垂线，垂足为E,可知|PE|=—,戶£|=—,所以 2 — _ 2 2 — |PF i |=— + -一 =( |0P|)=6a,从而可得e=. 6. D ［解析］由题意知A(-a,O),过A 且斜率为一的直线方程为y=—(x+a),设P(x °,y °),则有y o —(x o +a)①.又厶PFF 2为等腰三角形，且/F i F 2P=120 °所以①②③,消去x o ,y o ,得一 =_，即C 的离心率为_. 7. B ［解析］由双曲线方程知a= 一卩=1,则F(2,0).不妨设过点F 的直线垂直渐近线x- _y=0于M 交渐 近线 x+ _y=0 于 N.在 Rt △ OM 中，/MOF30 °」OF|= 2，所以 |OM|= 一.在 Rt △ OMF 中，/MON60 °」OM|=- 所以 |MN|=3.角度38. A ［解析］•••以线段AA 为直径的圆与直线bx-ay+ 2ab=0相切，•••圆心到此直线的距离 d 等于圆的半径，即 d= =a.2 2又a>b>0,则上式可化简为a =3b .Tb =a-c ,「.a =3(a -c )，即一=-，…e=-=—.9. A ［解析］设双曲线的一条渐近线方程为 bx+ay=0,则圆心到该直线的距离.根据已知得= ---- =tan 30 =—②, =一=tan 60° = 一③.联立2 2 21 + — =4,即—=3,所以b =-c ,所以e=-=—:=2.10. D ［解析］由题意及双曲线的对称性画岀示意图如图所示，渐近线OBy=_x.设Bx o,_x。
2020年人教版高考数学(理)一轮复习第八单元解析几何作业答案
课时作业(四十八)1. C ［解析］直线y=x的斜率k=1,故tan a =1,所以a =45°，故选C2. B ［解析］由斜率公式可得,直线丨的斜率k=—=_,故选B3. D［解析］因为直线在x轴、y轴上的截距分别为-<0,-->0,所以直线Ax-By-C=0不经过的象限是第四象限，故选D.4. 3x-y- 5=0 ［解析］由点斜式方程，得y+2=3(x- 1),即3x-y- 5=0.5.1或-1 ［解析］令x=0，得y=k;令y=0,得x=- 2k. •••所围成的三角形的面积S=_ - =k2=1，二k=1 或-1.6. A ［解析］由题意得直线ax+by+c=0的斜率存在，且为k=--,又直线的倾斜角为45 ° ,• k二-=tan 45° =1, • a=-b ,• a+b=0,故选 A.7. B ［解析］•••点P的横坐标为2,且点P在直线x-y+ 1 =0上,•点P的纵坐标为3, •P(2,3).又T = , •-直线PA,PB的斜率互为相反数，•-直线PB的斜率为-1,则直线PB的方程是y- 3=- (x- 2),即x+y- 5=0，故选B8. B ［解析］由题意得易得点Q- 的坐标满足-+b=1,即点Q在直线I上.由方程组得两式相加，得c+-=1,即点P在直线l上.故选B9. B ［解析］联立两直线方程得" 解得一所以两直线的交点坐标为---- ---- .因为两直线的交点在第一象限，所以一解得k>-，则tan 0 >—,所以0 € --故选B10. A ［解析］T丙车最先到达终点，丁车最后到达终点，二丙车速度最大，丁车速度最小，二由s-t图像的几何意义可知丙车s-t图像(直线)的倾斜角最大，丁车s-t图像(直线)的倾斜角最小，故选A11. B ［解析］由题意可得A(1,0),B(2,3),且两直线斜率之积等于-1,二直线x+my-1=0和直线mx-y-2m£=0垂直，则|PA| +|PB| =|AB| =10》-------- ，即|PA|+|PB| < 2 一当且仅当|PA|=|PB|= 一时等号成立,二|PA|+|PB|的最大值为2 一故选B.12. x+ 2y- 3=0 ［解析］设A(a,0),B(0,b),由=-2 ，可得a-1= -2x (0- 1),0- 1=-2(b- 1),W a=3,b二,由截距式可得直线丨的方程为-+―=1，即x+2y- 3=0.13. —或一［解析］设直线丨1,直线12的倾斜角分别为a ,3，因为k>0，所以a , B均为锐角.直线丨1,1 2 与x 轴围成一个等腰三角形，有以下两种情况：当a =2 3时,tan a =tan 2 3，即-= 又因为k>0所以k=—；当3 =2 a 时,tan 3 =tan 2 a，即2k= 又因为k>0，所以k=.14. 4 ［解析］•••直线丨过点(a,0)和(0,b),a€ N*,b€ N*,「.可设直线丨的方程为-+-=1. 丁直线丨过点(1,6),.••-+-=1，即卩6a=(a-1)b, 工1,当a>2 时,b=一=6+一.当a=2 时,b=12;当a=3 时,b=9;当a=4 时,b=8; 当a=7时,b=7;当a>7时满足条件的正整数b不存在.综上，满足条件的直线有4条.15. C ［解析］如图所示，可知A_,0),B(1,1),C(0, _),D(- 1,1),所以直线ABBCCD的方程分别为y=「(x- _),y=(1- _)x+ _,y=( _- 1)x+整理为一般式即为x+( _- 1 )y- 一=0,(1- _)x-y+ _=0,( _-1)x-y+ _=0,分别对应题中的ABD选项.故选C16. A ［解析］设C(mn),由重心坐标公式得,△ ABC的重心为，代入欧拉线方程得+2=0,整理得m-n+4=0①.AB的中点为(1,2),k A B=——=-2,则AB的中垂线方程为y-2=-(x- 1),即x-2y+3=0.由一得_•••△ ABC的外心为(-1,1).2 2 2 2 2 2则(m+1) +(n-1) =3 +(-1) =10,整理得m+n +2m-2n=8②,由①②得m=4n=0或m=0,n=4.当m=0,n=4时,BC重合,舍去，•顶点C的坐标是(-4,0).故选A.课时作业(四十九)1. C ［解析］由两条平行线之间的距离公式得所求距离d= - -=2，故选C2. C ［解析］由题意及点到直线的距离公式得一一= ，解得a二-或--,故选C解得交点坐标为- ，由题意得解得4. 0<k<_ ［解析］由方程组3. A ［解析］由两直线丨1：2x-y+3=0,1 2：mx+2y+1=0平行可得-=2且3斗-,解得m=4,故选A.0<k<-.5. - 2 ［解析］如图所示,A点关于x轴的对称点为A',则点A'在直线MB上.由对称性可知A' (3,-2),则光线MB所在直线的斜率k=：-=-2.16. A ［解析］设C(mn),由重心坐标公式得,△ ABC的重心为，代入欧拉线方程得+2=0, 6. A ［解析］由直线丨1：ax-(a+1)y+1=0与直线12：2x-ay- 1=0垂直，可得2a+a(a+1)=0,解得a=0或-3,所以“a=-3”是“直线Max-(a+1)y+1=0与直线|2：2x-ay- 1=0垂直”的充分不必要条件，故选A到y 轴的距离就是这条光线经过的最短路程 ，所以最短路程是3.7. B ［解析］由题意得-- • tan 0 =-1，二 tan 0 =2, - cos 2 0 = 8. B ［解析］因为直线I 与直线3x-4y+5=0关于x 轴对称所以直线I 的斜率与直线3x-4y+5=0的斜率 相反,所以可设直线I 的方程为3x+4y+b=0,又因为两直线在x 轴上的截距相等，所以b=5,所以直线I 的 方程为3x+4y+5=0,故选B9. C ［解析］如图所示，点A(3,-1)关于直线I ：x+y=0的对称点为qi,-3),直线BC 的方程为一=一，即 x- 4y-13=0,与x+y=0联立可得直线BC 与直线I 的交点坐标为一 -一 .|PA|+|PB|=|PC|+|PB|，由图可知,当点P 的坐标为一-—时,|PB|+|PC|取得最小值，即|PA|+|PB|取得最小值，故选C 10. C ［解析］由题意知点(0,2)与点(4,0)关于折痕对称，两点连线的中点坐标为 --------- ,即(2,1).点 (0,2)与点(4,0)确定的直线的斜率为—=--，则折痕所在直线的斜率为2,所以折痕所在直线的方程为y-1=2(x-2),即y=2x-3.由题意知点(7,3)与点(min)也关于直线y=2x- 3对称,则有 _ 解得所以m+nh.故选C.11. (3,0)［解析］T 直线I i ：y=kx+2-k 与直线12关于直线y=x-1对称，二直线I 2的方程为x- l=k(y+l)+2-k , 即x-ky- 3=0，显然直线I 2经过定点(3,0).12. 3 ［解析］由直线I 2经过点C(1 ,n),D(-1,m+|),可得丨2的斜率为 一^二-.因为直线I 1平行于12,所以直 线I 1的斜率也是--,即——=—,解得m=3.13. 3 ［解析］设点A 关于直线I 的对称点为B(mn),则 - 解得 即B(3,1).因为点B 二一,故选B.P(1,-2).由于直线(2k-1)x+ky+1=0经过定点P(1,-2),又|0P|=-= 一,所以原点到直线I 的距离 的最大值为 15. ②③［解析］根据题意，可通过求各直线上的点到点 M 的最小距离，即点M 到直线的距离d 来分析. 对于①,d= =3 —>4,故直线上不存在点到点 M 的距离等于4,所以该直线不是“切割型直线”；对 于②,d=2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M 的距离等于4,所以该直线是“切割型直 线”;对于③,d= - =4，所以直线上存在一点，使之到点M 的距离等于4,所以该直线是“切割型直线”； 对于④,d= ^—>4,故直线上不存在点到点 M 的距离等于4,所以该直线不是“切割型直线”.16. - -［解析］设直线0P 的斜率为k,点0关于BC 的对称点为N 则点N 的坐标为(4,0),则直线NP 的斜 率为-k,故直线NP 的方程为y=-k(x-4)，故点E 的坐标为-- .易知直线EQ 的斜率为k,则直线EQ 的方程为y-2=k_x- (--+4)_ ,故点Q 的坐标为(-1,4- 5k).若OP 的斜率为-，即k=-，则点Q 的纵坐标为-. 若点Q 恰为线段AD 的中点，则4- 5k=1，即 k=-,即OP 的斜率为-•课时作业(五十) . . 2 2 . .1. D ［解析］圆x +y +ax=0的圆心坐标为--，二--=1,解得a=-2.故选D.2. B ［解析］•••线段ABx-y- 2=0(0<x < 2)的两个端点为(0,-2),(2,0),二圆心为(1,-1),半径为2 2---------- =，二圆的方程为(x-1) +(y+1) =2,故选B2 2 23. C ［解析］配方得［x-(2m+l)］ +(y-m) = m(m^ 0),所以圆心坐标为(2m+,n),令 消去m 得 x- 2y-1=0(x 工 1),故选 C . . 2 2 . . . .4. - 1 ［解析］圆的方程配方得(x-1)+y =1,则圆心为(1,0),半径为1,则由题意知圆心(1,0)在直线x+y+a=0 上，所以1+a=0，所以a=-1.14. ［解析］(2k- l )x+ky+i=o 可化为(1-x )+k (2x+y )=o,由 解得x=1,y=-2，即直线丨过定点5.2 ［解析］点P到直线l的距离的最小值是 --------- -1=2.6. D ［解析］由题意得，所以(x- 3)2+(y+4)2- 4=x2+y2,即6x- 8y- 21 =0,故选D7. D ［解析］一 =一+1,其中—表示半圆上的动点P(x,y)与点Q(0,1)所在直线的斜率.过点Q0,1)作QB与半圆相切,B为切点则在Rt△ CBC中, =- 所以/ CQB30 °则k oB=tan / CQB=,所以一-的最大值为一+1.8. D ［解析］直线AB：—+_=1，即卩4x-3y+12=0.若厶ABC的面积最小，则点C到直线AB的距离d最短，易知d min= ---------- 1.又|AB|= 5,^ABC的面积的最小值为-,•••-X 5X --------------- - =-,即| 4m+2|= 10,二m—或--,故选D2 2 2 2 . . . .9. A ［解析］将x +y -2x- 6y+9=0化成标准形式为(x- 1) +(y- 3) =1，则圆心为(1,3),半径r= 1.设所求圆的方程为(x-a) +(y-b) =1,则圆心为(a,b). J所求圆与圆x +y -2 x-6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称,•所求圆的圆心(a,b)与圆心(1,3)关于直线2x+y+5=0对称,•-•-a=-7,b=-1,二与圆2 2 2 2x +y - 2x- 6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称的圆的方程是(x+7) +(y+1) =1，故选A.2 o11. 1 ［解析］圆C(x-2)+(y+m-4) =1 的圆心为C(2,-m+4),半径r=1,可得= - ，•当时，最小，且最小值为2又|OC|min-r=2-仁1,故当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是 1.12. 2 —［解析］因为M(mn)为圆Cx +y =4上任意一点，所以可设则m+2n =2cose +4sin 0 =2 "sin ( 0 +$ )<2 一，其中tan $「所以m+2n的最大值为2 一数形结合可得,——表示圆Cx2+y2=4上的点Mmn)与点P(-2,-3)连线的斜率，显然当直线PM与圆相切时，斜率最小.设此时切线的斜率为k,则切线方程为y+3=k(x+2),即kx-y+ 2k-3=0.由圆心到切线的距离等于半径，得^==2,解得k=—,所以-- 的最小值为一.2 210. (x-1) +(y-1)=2 ［解析］因为|CA|=|CB|=R ,△ ABC为直角三角形所以/C=90°，又C在第一象限所_ , . 2 2以C(1,1)且R= 一，故圆C的标准方程为(x- 1) +(y- 1) =2.13. 解:⑴当弦AB 为圆的直径时，圆的周长最小.弦AB 的中点为(0,1),|AB|= ___ . . 2 2 r= —则圆的方程为x+(y-1)=10. (2)k AB =-=-3,弦AB 的中点为(0,1),所以AB 的中垂线方程为y- 1d(x-0),即x- 3y+3=0.由- 解得 所以圆心为(3,2),. . _ . . 2 2 所以圆的半径r= - =2 一,所以圆的方程为(x- 3) +(y- 2) =20.14. 解:⑴设动点 P 的坐标为(x,y),则 =(x,y-1), =(x,y+1),=(1-x ，-y). 2 2 2 2 2=k| | ,.・.x +y-仁k[(x-1) +y ], 即(1-k)x 3 4+(1-k)y 2+2kx-k- 1=0 ①.若k=1则①为x=1,表示过点(1,0)且平行于y 轴的直线；2 . .若k 工1,则①为 一 +y =—，表示以-— 为圆心,—为半径的圆.16. A ［解析］依题意得，函数f(x)的图像与两坐标轴的交点分别是 A(2018,0),B(-2019,0),C(0,- 2018X 2019).设经过点 A,B,C 的圆与 y 轴的另一个交点是 D(O,y 。
2020版高考数学一轮复习(讲义·理) 第8章 平面解析几何 第8讲 曲线与方程
第8讲 曲线与方程求曲线方程的基本步骤1．概念辨析(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．( ) (2)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( )(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2.( ) (4)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×2．小题热身(1)已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2－6，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线答案 D解析 ∵PA →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )，则PA →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋(－y )2＝x 2－6，化简得y 2＝x ，轨迹为抛物线．(2)方程x ＝1－4y 2所表示的曲线是( ) A ．双曲线的一部分 B ．椭圆的一部分 C ．圆的一部分 D ．直线的一部分答案 B解析 x ＝ 1－4y 2两边平方，可变为x 2＋4y 2＝1(x ≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分． (3)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0 答案 D解析 设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0. (4)已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是________．答案 x 2＋y 2＝4(y ≠0)解析 由题意得点P 的轨迹是以线段MN 为直径的圆(除去M ，N 两点)，其圆心坐标为(0,0)，半径r ＝12|MN |＝2，所以点P 的轨迹方程是x 2＋y 2＝4(y ≠0)．题型 一 定义法求轨迹方程1．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．x 2＝12y B ．y 2＝－12x C ．y 2＝12x D ．x 2＝－12y 答案 A解析 由题意得动圆圆心到点F (0,3)和直线y ＝－3的距离相等，所以动圆圆心的轨迹是以F (0,3)为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线，其方程为x 2＝12y .2．如图所示，已知点C 为圆(x ＋2)2＋y 2＝4的圆心，点A (2，0)．P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 所在的直线上，且MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →.当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程．解 由(x ＋2)2＋y 2＝4知圆心C (－2，0)，半径r ＝2.∵MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →，∴MQ ⊥AP ，点M 为AP 的中点，因此QM 垂直平分线段AP .如图，连接AQ ，则|AQ |＝|QP |， ∴||QC |－|QA ||＝||QC |－|QP ||＝|CP |＝2.又|AC |＝22>2，根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以C (－2，0)，A (2，0)为焦点，实轴长为2的双曲线．由c ＝2，a ＝1，得b 2＝1，由此点Q 的轨迹方程为x 2－y 2＝1.条件探究 若将举例说明2中的条件“圆C 的方程(x ＋2)2＋y 2＝4”改为“圆C 的方程(x ＋2)2＋y 2＝16”，其他条件不变，求点Q 的轨迹方程．解 由(x ＋2)2＋y 2＝16知圆心C (－2，0)，半径r ＝4. ∵MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →，∴QM 垂直平分AP ，连接AQ ， 则|AQ |＝|QP |，∴|QC |＋|QA |＝|QC |＋|QP |＝r ＝4.根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以C (－2，0)，A (2，0)为焦点，长轴长为4的椭圆． 由c ＝2，a ＝2，得b ＝ 2. 因此点Q 的轨迹方程为x 24＋y 22＝1.定义法求轨迹方程的适用条件及关键点(1)求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程，见举例说明1,2.(2)理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键．(3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．见巩固迁移．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆的圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．答案x 29－y 216＝1(x >3) 解析 如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)． 题型 二 直接法求轨迹方程1．(2018·豫北名校联考)已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为________．答案 (x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)解析 设A (x ，y )，由题意可知D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2. 又∵|CD |＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y22＝9，即(x －10)2＋y 2＝36， 由于A ，B ，C 三点不共线， ∴点A 不能落在x 轴上，即y ≠0，∴点A 的轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且过点P 所引的椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解 (1)由题意，得c ＝5，e ＝c a ＝53， 因此a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4， 故椭圆C 的标准方程是x 29＋y 24＝1.(2)若两切线的斜率均存在，设过点P (x 0，y 0)的切线方程是y ＝k (x －x 0)＋y 0， 则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －x 0＋y 0，x 29＋y24＝1，得x 29＋[k x －x 0＋y 0]24＝1，即(9k 2＋4)x 2＋18k (y 0－kx 0)x ＋9[(y 0－kx 0)2－4]＝0， Δ＝[18k (y 0－kx 0)]2－36(9k 2＋4)[(y 0－kx 0)2－4]＝0， 整理得(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0. 又所引的两条切线相互垂直， 设两切线的斜率分别为k 1，k 2，于是有k 1k 2＝－1，即y 20－4x 20－9＝－1，即x 20＋y 20＝13(x 0≠±3)． 若两切线中有一条斜率不存在， 则易得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝－2，经检验知均满足x 20＋y 20＝13.因此，动点P (x 0，y 0)的轨迹方程是x 2＋y 2＝13.(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验．求动点的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点．如举例说明1.(2)若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；若是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形．1．(2018·银川模拟)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2x D ．(x －1)2＋y 2＝2答案 D解析 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)，连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1. 又∵|PA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2， 即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.故选D.2．已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.求动圆圆心的轨迹C 的方程．解 如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，知|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，∴|O 1M |＝x 2＋42.又|O 1A |＝x －2＋y 2，∴x －2＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x . 题型 三 相关点法(代入法)求轨迹方程1．动点P 在抛物线y ＝2x 2＋1上移动，若P 与点Q (0，－1)连线的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y ＝4x 2C ．y ＝6x 2D ．y ＝8x 2答案 B解析 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，因为P 与点Q (0，－1)连线的中点为M ，所以x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，又因为点P 在抛物线y ＝2x 2＋1上移动，所以2y ＋1＝2(2x )2＋1，即y ＝4x 2.故选B.2．如图，已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上一点，PM ⊥x 轴于M .若PN →＝λNM →.(1)求N 点的轨迹方程；(2)当N 点的轨迹为圆时，求λ的值． 解 (1)设点P ，点N 的坐标分别为P (x 1，y 1)，N (x ，y )，则M 的坐标为(x 1,0)，且x ＝x 1，∴PN →＝(x －x 1，y －y 1)＝(0，y －y 1)， NM →＝(x 1－x ，－y )＝(0，－y )，由PN →＝λNM →得(0，y －y 1)＝λ(0，－y )． ∴y －y 1＝－λy ，即y 1＝(1＋λ)y . ∵P (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 2＝1上，则x 214＋y 21＝1，∴x 24＋(1＋λ)2y 2＝1， 故x 24＋(1＋λ)2y 2＝1即为所求的N 点的轨迹方程． (2)要使点N 的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝14，解得λ＝－12或λ＝－32.所以当λ＝－12或λ＝－32时，N 点的轨迹是圆．代入法求轨迹方程的四步骤设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程．解 设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )，∵PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →＝(1，－y 0)，∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，∴x 0＋y 20＝0.由MN →＝2MP →，得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝－2x 0，y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ，y 0＝12y ，∴－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x .故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x .。
统编版2020届高考数学一轮复习 第8单元 解析几何作业 理
第八单元解析几何课时作业(四十六)第46讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程基础热身1.已知直线l过点(0,0)和(3,1),则直线l的斜率为()A.3B.C.-D.-32.如果A·B<0,B·C>0,那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.[2017·绵阳二诊]直线x-y-3=0的倾斜角α是.4.[2017·郑州一中调研]点(,4)在直线l:ax-y+1=0上,则直线l的倾斜角为.5.已知等边三角形ABC的两个顶点为A(0,0),B(4,0),且第三个顶点在第四象限,则BC边所在的直线方程是.能力提升6.[2017·通化二模]已知角α是第二象限角,直线2x+y tan α+1=0的斜率为,则cos α等于()A. B.-C. D.-7.过点(-10,10)且在x轴上的截距是在y轴上的截距的4倍的直线的方程为()A.x-y=0B.x+4y-30=0C.x+y=0 或x+4y-30=0D.x+y=0或x-4y-30=08.若<α<2π,则直线+=1必不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.直线l:mx-m2y-1=0经过点P(2,1),则倾斜角与直线l的倾斜角互为补角的一条直线的方程是()A.x-y-1=0B.2x-y-3=0C.x+y-3=0D.x+2y-4=010.已知点A(1,-2)和B,0在直线l:ax-y-1=0(a≠0)的两侧,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.B.C.D.∪11.[2017·黄冈质检]已知在△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,P是线段AB上的点,则P到AC,BC的距离的乘积的最大值为()A.3B.2C.2D.912.不论k为何实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0恒过一个定点,则这个定点的坐标是.13.一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为.14.[2017·绵阳南山中学一诊]在平面直角坐标系xOy中,点A(0,1),B(0,4),若直线2x-y+m=0上存在点P,使得|PA|=|PB|,则实数m的取值范围是.难点突破15.(5分)已知直线l:x-my+m=0上存在点M满足与A(-1,0),B(1,0)两点连线的斜率k MA与k MB之积为3,则实数m的取值范围是 ()A.[-,]B.∪C.∪D.16.(5分)[2017·河南安阳调研]直线y=m(m>0)与y=|log a x|(a>0且a≠1)的图像交于A,B两点,分别过点A,B作垂直于x轴的直线交y=(k>0)的图像于C,D两点,则直线CD的斜率()A.与m有关B.与a有关C.与k有关D.等于-1课时作业(四十七)第47讲两直线的位置关系、距离公式基础热身1.[2017·永州一模]已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1与l2之间的距离为()A.1B.C.D.22.[2017·南昌一模]两直线3x+2y-2a=0与2x-3y+3b=0的位置关系是()A.垂直B.平行C.重合D.以上都不对3.[2017·河北武邑中学月考]过点P(1,2),且到原点的距离最大的直线的方程是()A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.3x+y-5=04.[2017·大庆实验中学一模]与直线x+y+2=0垂直的直线的倾斜角为.5.[2017·重庆一中期中]点(-1,-2)关于直线x+y=1对称的点的坐标是.能力提升6.已知直线l1:(m-4)x-(2m+4)y+2m-4=0与l2:(m-1)x+(m+2)y+1=0,则“m=-2”是“l1∥l2”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件7.[2018·南昌二中月考]已知直线l1:mx-y+3=0与l2关于直线y=x对称, l2与l3:y=-x+垂直,则m=()A.-B.C.-2D.28.已知b>0,直线(b2+1)x+ay+2=0与直线x-b2y-1=0互相垂直,则ab的最小值为()A.1B.2C.2D.29.点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为,则点P的坐标为()A.(1,2)B.C.或D.或10.[2017·台州中学月考]设△ABC的一个顶点是A(3,-1),∠B,∠C的平分线的方程分别是x=0,y=x,则直线BC的方程是()A.y=3x+5B.y=2x+3C.y=2x+5D.y=-+11.[2017·莱芜期末]已知直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0),两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0,且|Ax1+By1+C|>|Ax2+By2+C|,则()A.直线l与直线P1P2不相交B.直线l与线段P2P1的延长线相交C.直线l与线段P1P2的延长线相交D.直线l与线段P1P2相交12.已知直线3x+4y-3=0,6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是.13.[2017·蚌埠质检]在平面直角坐标系中,已知点P(-2,2),对于任意不全为零的实数a,b,直线l:a(x-1)+b(y+2)=0,若点P到直线l的距离为d,则d的取值范围是.14.[2017·六安一中月考]已知曲线y=在点P(1,4)处的切线与直线l平行且两直线之间的距离为,则直线l的方程为.难点突破15.(5分)[2017·南昌一模]已知点P在直线x+3y-2=0上,点Q在直线x+3y+6=0上,线段PQ 的中点为M(x0,y0),且y0<x0+2,则的取值范围是()A.B.C.D.∪16.(5分)已知x,y为实数,则代数式++的最小值是.课时作业(四十八)第48讲圆的方程基础热身1.方程x2+y2-2x+m=0表示一个圆,则m的取值范围是()A.m<1B.m<2C.m≤D.m≤12.已知点P是圆(x-3)2+y2=1上的动点,则点P到直线y=x+1的距离的最小值是()A.3B.2C.2-1D.2+13.[2017·天津南开区模拟]圆心在y轴上,且过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是()A.x2+y2+10y=0B.x2+y2-10y=0C.x2+y2+10x=0D.x2+y2-10x=04.[2017·武汉三模]若直线2x+y+m=0过圆x2+y2-2x+4y=0的圆心,则m的值为.5.[2017·郑州、平顶山、濮阳二模]以点M(2,0),N(0,4)为直径的圆的标准方程为.能力提升6.[2017·湖南长郡中学、衡阳八中等十三校联考]圆(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是()A.+=4B.+=4C.x2+=4D.+=47.已知两点A(a,0), B(-a,0)(a>0),若曲线x2+y2-2x-2y+3=0上存在点P,使得∠APB=90°,则正实数a的取值范围为()A.(0,3]B.[1,3]C.[2,3]D.[1,2]8.[2017·九江三模]已知直线l经过圆C:x2+y2-2x-4y=0的圆心,且坐标原点O到直线l的距离为,则直线l的方程为()A.x+2y+5=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y+3=09.[2017·海南中学、文昌中学联考]抛物线y=x2-2x-3与坐标轴的交点在同一个圆上,则该圆的方程为()A.x2+=4B.+=4C.+y2=4D.+=510.[2017·广州一模]已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0的圆心在直线ax-by+1=0上,则ab的取值范围是()A.B.C.D.11.已知直线l1:x+2y-5=0与直线l2:mx-ny+5=0(n∈Z)相互垂直,点(2,5)到圆C:(x-m)2+(y-n)2=1的最短距离为3,则mn= .12.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=25,圆C上的点到直线l:3x+4y+m=0(m<0)的最短距离为1,若点N(a,b)在直线l位于第一象限的部分,则+的最小值为.13.(15分)已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆.(1)求实数m的取值范围;(2)求该圆半径r的取值范围;(3)求该圆圆心的纵坐标的最小值.14.(15分)已知曲线C1:x2+y2=1,点N是曲线C1上的动点,O为坐标原点.(1)已知定点M(-3,4),动点P满足=+,求动点P的轨迹方程;(2)设点A为曲线C1与x轴正半轴的交点,将A沿逆时针旋转得到点B,若=m+n,求m+n的最大值.难点突破15.(5分)[2018·赣州红色七校联考]已知圆C:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-1=0(a<0)的圆心在直线x-y+=0上,且圆C上的点到直线x+y=0的距离的最大值为1+,则a2+b2的值为()A.1B.2C.3D.416.(5分)[2017·北京朝阳区二模]已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=相交于A,B 两点,O为坐标原点,当△AOB的面积最大时,直线l的倾斜角为()A.150°B.135°C.120°D.30°课时作业(四十九)第49讲直线与圆、圆与圆的位置关系基础热身1.直线y=2x+1与圆x2+y2-2x+4y=0的位置关系为()A.相交且经过圆心B.相交但不经过圆心C.相切D.相离2.[2017·惠州调研]圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.相离3.[2017·大连一模]直线4x-3y=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦的长为()A.6B.3C.6D.34.圆心为(4,0)且与直线x-y=0相切的圆的方程为.5.[2017·昆明一中模拟]若点A,B在圆O:x2+y2=4上,弦AB的中点为D(1,1),则直线AB的方程是.能力提升6.[2017·洛阳二模]已知圆C的方程为x2+y2=1,直线l的方程为x+y=2,过圆C上任意一点P作与l的夹角为45°的直线交l于A,则的最小值为()A.B.1C.-1D.2-7.[2017·天津红桥区八校联考]若直线2ax-by+2=0 (a>0,b>0)经过圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心,则+的最小值是()A. B.4C. D.28.[2017·湖北六校联考]过点P(1,2)的直线与圆x2+y2=1相切,且与直线l:ax+y-1=0垂直,则实数a的值为()A.0B.-C.0或D.9.[2017·广州模拟]已知k∈R,点P(a,b)是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2-2k+3的公共点,则ab 的最大值为()A.15B.9C.1D.-10.[2017·安阳二模]已知圆C1:x2+y2+4x-4y-3=0,动点P在圆C2:x2+y2-4x-12=0上,则△PC1C2面积的最大值为()A.2B.4C.8D.2011.[2017·宜春二模]已知圆x2+y2=1和圆外一点P(1,2),过点P作圆的切线,则切线方程为.12.[2017·长沙雅礼中学模拟]在平面直角坐标系xOy中,以点(0,1)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m>0)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.13.(15分)[2017·汕头三模]已知圆C经过点(2,4),(1,3),圆心C在直线x-y+1=0上,过点A(0,1),且斜率为k的直线l与圆相交于M,N两点.(1)求圆C的方程.(2)①请问·是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.②若O为坐标原点,且·=12,求直线l的方程.14.(15分)已知圆O:x2+y2=9及点C(2,1).(1)若线段OC的垂直平分线交圆O于A,B两点,试判断四边形OACB的形状,并给出证明;(2)过点C的直线l与圆O交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求直线l的方程.难点突破15.(5分)[2017·汉中质检]已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线,A,B是切点,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是 ()A.2B.2C.3D.316.(5分)[2017·重庆巴蜀中学三模]已知P为函数y=的图像上任一点,过点P作直线PA,PB 分别与圆x2+y2=1相切于A,B两点,直线AB交x轴于M点,交y轴于N点,则△OMN的面积为.课时作业(五十)第50讲椭圆基础热身1.[2017·陕西黄陵中学二模]已知椭圆的标准方程为x2+=1,则椭圆的焦点坐标为()A.(,0),(-,0)B.(0,),(0,-)C.(0,3),(0,-3)D.(3,0),(-3,0)2.[2017·河南息县一中模拟]已知圆O:x2+y2=4经过椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴端点和两个焦点,则椭圆C的标准方程为 ()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=13.[2017·淮北模拟]椭圆+=1的右焦点到直线y=x的距离是()A.B.C.1D.4.[2017·河南师范大学附属中学模拟]椭圆C: +=1(a>b>0)的左焦点为F,若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点,则椭圆C的离心率为.5.[2017·南宁期末]定义:椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,焦点三角形的周长为4+12,则椭圆C的方程是.能力提升6.[2017·株洲一模]已知椭圆+=1(a>b>0),F1为左焦点,A为右顶点, B1,B2分别为上、下顶点,若F1,A,B1,B2四点在同一个圆上,则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.7.[2017·韶关二模]在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为,点P为椭圆上一点,且△PF1F2的周长为12,那么C的方程为()A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=18.[2017·郑州三模]椭圆+=1的左焦点为F,直线x=a与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是()A.B.C.D.9.[2017·泉州模拟]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,若点F关于直线y=-x的对称点P在椭圆C上,则椭圆C的离心率为 ()A. B.C.D.10.[2017·沈阳东北育才学校九模]椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,弦AB过F1,若△ABF2的内切圆的周长为π,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|y1-y2|的值为()A. B.C.D.11.[2017·泉州质检]已知椭圆C:+=1的左顶点、上顶点、右焦点分别为A,B,F,则·= .12.[2017·运城二模]已知F是椭圆+=1(a>b>0)的左焦点,A为右顶点,P是椭圆上的一点,PF⊥x轴,若|PF|=|AF|,则该椭圆的离心率是.13.(15分)[2018·海南八校联考]如图K50-1,点M(,)在椭圆+=1(a>b>0)上,且点M 到两焦点的距离之和为6.(1)求椭圆的方程;(2)设与MO (O为坐标原点)垂直的直线交椭圆于A,B (A,B不重合),求·的取值范围.图K50-114.(15分)[2017·南宁质检]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若圆O:x2+y2=1的切线l与椭圆C相交于A,B两点,线段AB的中点为M,求的最大值.难点突破15.(5分)[2017·长沙模拟]已知F是椭圆+=1的左焦点,设动点P在椭圆上,若直线FP 的斜率大于,则直线OP(O为坐标原点)的斜率的取值范围是()A.B.∪C.∪D.16.(5分)[2017·郑州模拟]某同学的作业不小心被墨水玷污,经仔细辨认,整理出以下两条有效信息:①题目:“在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆x2+2y2=1的左顶点为A,过点A作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B,C……”②解:“设直线AB的斜率为k……点B,,D-,0……”据此,请你写出直线CD 的斜率为.(用k表示)课时作业(五十一)第51讲双曲线基础热身1.[2017·浙江名校联考]双曲线-=1的渐近线方程是()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x2.若双曲线C:x2-=1(b>0)的离心率为2,则b=()A.1B.C.D.23.[2017·泉州一模]在平面直角坐标系xOy中,双曲线C的一个焦点为F(2,0),一条渐近线的倾斜角为60°,则C的标准方程为()A.-y2=1B.-x2=1C.x2-=1D.y2-=14.已知双曲线经过点(2,1),其一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的标准方程为.5.[2017·柳州模拟]设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为.能力提升6.[2017·洛阳模拟]已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则C的两条渐近线的方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±2xD.y=±x7.[2017·汉中二模]如图K51-1,F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与C的左、右两个分支分别交于点B,A.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为()图K51-1A.4B.C.D.8.[2017·泸州三诊]已知在Rt△ABC中,|AB|=3,|AC|=1,A=,以B,C为焦点的双曲线-=1(a>0,b>0)经过点A,且与AB边交于点D,则的值为()A. B.3C. D.49.已知O为坐标原点,F是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点,P 为C上一点,且PF⊥x轴,过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E,直线BM与y 轴交于点N,若=2,则C的离心率为()A.3B.2C. D.10.[2017·重庆一中期中]已知A(-2,0),B(2,0),若在斜率为k的直线l上存在不同的两点M,N,满足|MA|-|MB|=2,|NA|-|NB|=2,且线段MN的中点为(6,1),则k的值为()A.-2B.-C. D.211.[2017·衡阳联考]双曲线的两条渐近线的方程为x±2y=0,则它的离心率为.12.[2017·石家庄二模]双曲线-=1(a>0,b>0)上一点M(-3,4)关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F2,则该双曲线的标准方程为.13.(15分)[2017·海南一模]双曲线C的一条渐近线方程是x-2y=0,且双曲线C过点(2,1).(1)求双曲线C的方程;(2)设双曲线C的左、右顶点分别是A1,A2,P为C上任意一点,直线PA1,PA2分别与直线l:x=1交于M,N,求|MN|的最小值.14.(15分)[2017·菏泽模拟]双曲线C的中心在原点,右焦点为F,0,渐近线方程为y=±x.(1)求双曲线C的方程.(2)设直线l:y=kx+1与双曲线C交于A,B两点,当k为何值时,以线段AB为直径的圆过原点?难点突破15.(5分)[2017·重庆一中月考]已知F2是双曲线E:x2-=1的右焦点,过点F2的直线交E的右支于不同的两点A,B,过点F2且垂直于直线AB的直线交y轴于点P,则的取值范围是()A.B.C.D.16.(5分)[2017·日照三模]在等腰梯形ABCD中,AB∥CD且|AB|=2,|AD|=1,|CD|=2x,其中x ∈(0,1),以A,B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以C,D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,若对任意x∈(0,1),不等式m<e1+e2恒成立,则m的最大值为()A.B.C.2D.课时作业(五十二)第52讲抛物线基础热身1.[2017·渭南质检]抛物线y=x2的焦点到准线的距离为()A.2B.C. D.42.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点在圆C:(x+2)2+y2=16上,则p的值为()A.1B.2C.4D.83.[2017·合肥六校联考]抛物线y=x2的焦点到双曲线y2-=1的渐近线的距离为 ()A. B.C.1D.4.焦点坐标为(-2,0)的抛物线的标准方程为.5.已知抛物线y2=6x上的一点到焦点的距离是到y轴距离的2倍,则该点的横坐标为.能力提升6.已知点A的坐标为(5,2),F为抛物线y2=x的焦点,若点P在抛物线上移动,当|PA|+|PF|取得最小值时,点P的坐标是 ()A.(1,)B.(,2)C.(,-2)D.(4,2)7.若抛物线y2=2px的焦点到双曲线-=1的渐近线的距离为p,则抛物线的标准方程为()A.y2=16xB.y2=8xC.y2=16x或y2=-16xD.y2=8x或y2=-8x8.[2017·豫南九校联考]设抛物线x2=4y的焦点为F,过点F作斜率为k(k>0)的直线l与抛物线相交于A,B两点,点P恰为AB的中点,过点P作x轴的垂线与抛物线交于点M,若=4,则直线l的方程为()A.y=2x+1B.y=x+1C.y=x+1D.y=2x+29.[2017·蚌埠三模]设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.若直线AF的斜率为-,则|PF|=()A.4B.6C.8D.1610.[2018·长沙模拟]已知F为抛物线C: y2=4x的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M,垂足为E,若=6,则= ()A.2B.C.2D.11.[2017·漳州八校联考]已知M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线C的焦点,若|MF|=p,K是抛物线C的准线与x轴的交点,则∠MKF= .12.[2017·天津河西区二模]已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,+=3,则线段AB的中点到y轴的距离为.13.(15分)[2017·孝感模拟]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=,过F2作垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,△F1AB的面积为3,抛物线E:y2=2px(p>0)以椭圆C的右焦点F2为焦点.(1)求抛物线E的方程;(2)若点P-,t(t≠0)为抛物线E的准线上一点,过点P作y轴的垂线交抛物线于点M,连接PO并延长交抛物线于点N,求证: 直线MN过定点.14.(15分)[2017·广东海珠区调研]已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且到原点的距离为2.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.难点突破15.(5分)[2017·长沙三模]已知抛物线y2=4x,焦点为F,过点F作直线l交抛物线于A,B 两点,则|AF|-的最小值为()A.2-2B.C.3-D.2-216.(5分)[2017·抚州二模]已知直线y=2x-2与抛物线y2=8x交于A,B两点,抛物线的焦点为F,则·的值为.课时作业(五十三)第53讲曲线与方程基础热身1.在平面直角坐标系中,已知定点A(0,-),B(0,),直线PA与直线PB的斜率之积为-2,则动点P的轨迹方程为()A.+x2=1B.+x2=1(x≠0)C.-x2=1D.+y2=1(x≠0)2.过点F(0,3)且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A.x2=12yB.y2=-12xC.y2=12xD.x2=-12y3.设P为双曲线-y2=1上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,则点M的轨迹方程是()A.x2-4y2=1B.4y2-x2=1C.x2-=1D.-y2=14.[2017·沈阳模拟]平面直角坐标系中,已知O为坐标原点,点A,B的坐标分别为(1,1),(-3,3).若动点P满足=λ+μ,其中λ,μ∈R,且λ+μ=1,则点P的轨迹方程为()A.x-y=0B.x+y=0C.x+2y-3=0D.+=55.[2017·北京海淀区期中]已知F1(-2,0),F2(2,0),满足||PF1|-|PF2||=2的动点P的轨迹方程为.能力提升6.[2017·上海普陀区二模]动点P在抛物线y=2x2+1上移动,若P与点Q(0,-1)连线的中点为M,则动点M的轨迹方程为()A.y=2x2B.y=4x2C.y=6x2D.y=8x27.到直线3x-4y-1=0的距离为2的点的轨迹方程是()A.3x-4y-11=0B.3x-4y+9=0C.3x-4y+11=0或3x-4y-9=0D.3x-4y-11=0或3x-4y+9=08.[2017·马鞍山质检]已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()A.y2-=1B.x2-=1C.y2-=1D.x2-=19.[2017·襄阳五中月考]已知||=3,A,B分别在x轴和y轴上运动,O为坐标原点,=+,则动点P的轨迹方程是()A.x2+=1B.+y2=1C.x2+=1D.+y2=110.[2017·黄山二模]在△ABC中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出△ABC满足的条件,就能得到动点A的轨迹方程.下表给出了一些条件及方程:条件方程①△ABC的周长为C1:y2=2510②△ABC的面积为C2:x2+y2=4(y≠0)10③△ABC中,∠A=90°C+=1(y≠0)3:则分别满足条件①②③的轨迹方程依次为()A.C3,C1,C2B.C1,C2,C3C.C3,C2,C1D.C1,C3,C211.[2017·浙江名校一联]已知两定点A(-2,0),B(2,0)及定直线l:x=,点P是l上一个动点,过B作BP的垂线与AP交于点Q,则点Q的轨迹方程为.12.[2017·哈尔滨三模]已知圆C:x2+y2=25,过点M(-2,3)作直线l交圆C于A,B两点,分别过A,B两点作圆的切线,当两条切线相交于点Q时,点Q的轨迹方程为.13.(15分)[2017·石家庄模拟]已知P,Q为圆x2+y2=4上的动点,A(2,0),B(1,1)为定点.(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程.14.(15分)[2017·合肥二模]如图K53-1,抛物线E:y2=2px(p>0)与圆O:x2+y2=8相交于A,B 两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M.(1)求p的值;(2)求动点M的轨迹方程.图K53-1难点突破15.(5分)[2017·湖南师大附中月考]已知圆O的方程为x2+y2=9,若抛物线C过点A(-1,0),B(1,0),且以圆O的切线为准线,则抛物线C的焦点F的轨迹方程为()A.-=1B.+=1C.-=1D.+=116.(5分)[2017·太原三模]已知过点A(-2,0)的直线与直线x=2相交于点C,过点B(2,0)的直线与x=-2相交于点D,若直线CD与圆x2+y2=4相切,则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为.课时作业(五十四)第54讲第1课时直线与圆锥曲线的位置关系基础热身1.[2017·大庆一模]斜率为的直线与双曲线-=1恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是()A.B.C.D.2.若直线l:mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点有()A.0个B.至多1个C.1个D.2个3.已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A,B两点(点A在第一象限),若=3,则直线l的斜率为()A.2B.C.D.4.[2017·锦州质检]设抛物线x2=2y的焦点为F,经过点P(1,3)的直线l与抛物线相交于A,B 两点,且点P恰为AB的中点,则||+||= .5.已知抛物线C:y2=4x,直线l与抛物线C交于A,B两点,若线段AB的中点坐标为(2,2),则直线l的方程为.能力提升6.若直线y=2x+与抛物线x2=2py(p>0)相交于A,B两点,则等于()A.5pB.10pC.11pD.12p7.[2017·太原二模]已知双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)的焦距为2c,直线l: y=kx-kc.若k=,则l与Γ的左、右两支各有一个交点;若k=,则l与Γ的右支有两个不同的交点.Γ的离心率的取值范围为()A.B.C.D.8.已知椭圆E:+=1的一个顶点为C(0,-2),直线l与椭圆E交于A,B两点,若E的左焦点为△ABC的重心,则直线l的方程为()A.6x-5y-14=0B.6x-5y+14=0C.6x+5y+14=0D.6x+5y-14=09.[2017·石家庄模拟]已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),过点P(3,6)的直线l与C相交于A,B两点,且AB的中点为N(12,15),则双曲线C的离心率为 ()A.2B.C.D.10.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,过A,B分别向y轴引垂线交y轴于D,C,若梯形ABCD的面积为3,则p=()A.1B.2C.3D.411.[2017·洛阳一模]已知椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A,B,F为椭圆C的右焦点.圆x2+y2=4上有一动点P,P不同A,B两点,直线PA与椭圆C交于点Q(异于点A),若直线QF的斜率存在,则的取值范围是.12.[2017·三湘名校联考]已知双曲线-=1(a>0,b>0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差的绝对值为4,若抛物线y=ax2上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-,则m的值为.13.(15分)[2017·东北三省二联]已知在平面直角坐标系中,O是坐标原点,动圆P经过点F(0,1),且与直线l:y=-1相切.(1)求动圆圆心P的轨迹C的方程;(2)过F(0,1)的直线m交曲线C于A,B两点,过A,B分别作曲线C的切线l1,l2,直线l1,l2交于点M,求△MAB面积的最小值.14.(15分)已知直线l:y=kx+m与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,P两点,与x轴、y轴分别相交于点N和点M,且|PM|=|MN|,点Q是点P关于x轴的对称点,QM的延长线交椭圆于点B,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为A1,B1.(1) 若椭圆C的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点D1,在椭圆C 上,求椭圆C的方程;(2)当k=时,若点N平分线段A1B1,求椭圆C的离心率.难点突破15.(5分)[2017·武汉三模]已知椭圆E:+=1(a>b>0)内有一点M(2,1),过M的两条直线l1,l2分别与椭圆E交于A,C和B,D两点,且满足=λ,=λ(其中λ>0且λ≠1),若λ变化时直线AB的斜率总为-,则椭圆E的离心率为()A. B.C.D.16.(5分)已知抛物线C1:y2=8x的焦点为F,椭圆C2:+=1(m>n>0)的一个焦点与抛物线C1的焦点重合,若椭圆C2上存在关于直线l:y=x+对称的两个不同的点,则椭圆C2的离心率e 的取值范围为.课时作业(五十四)第54讲第2课时最值﹑范围﹑证明问题基础热身1.(12分)[2017·重庆调研]如图K54-1,已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左顶点为A,右焦点为F(1,0),过点A且斜率为1的直线交椭圆E于另一点B,交y轴于点C,=6.(1)求椭圆E的方程;(2)过点F作直线l与椭圆E交于M,N两点,连接MO(O为坐标原点)并延长交椭圆E于点Q,求△MNQ面积的最大值及取最大值时直线l的方程.图K54-12.(12分)[2017·临汾模拟]已知动圆C与圆C1:(x-2)2+y2=1相外切,又与直线l:x=-1相切.(1)求动圆圆心轨迹E的方程;(2)若动点M为直线l上任一点,过点P(1,0)的直线与曲线E相交于A,B两点,求证:k MA+k MB=2k MP.能力提升3.(12分)[2017·广州模拟]已知定点F(0,1),定直线l:y=-1,动圆M过点F,且与直线l相切.(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程;(2)过点F的直线与曲线C相交于A,B两点,分别过点A,B作曲线C的切线l1,l2,两条切线相交于点P,求△PAB外接圆面积的最小值.4.(12分)[2017·永州一模]已知曲线C上的任一点到点F(0,1)的距离减去它到x轴的距离的差都是1.(1)求曲线C的方程;(2)设直线y=kx+m(m>0)与曲线C交于A,B两点,若对任意k∈R,都有·<0,求m的取值范围.5.(12分)[2017·蚌埠二模]已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A(- ,0),B(,0),离心率为.设点P(a,t)(t≠0),连接PA交椭圆于点C,坐标原点是O.(1)证明:OP⊥BC;(2)若三角形ABC的面积不大于四边形OBPC的面积,求|t|的最小值.难点突破6.(12分)[2017·石嘴山三模]经过原点的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)交于A,B两点,点P 为椭圆上不同于A,B的一点,直线PA,PB的斜率均存在,且直线PA,PB的斜率之积为-.(1)求椭圆C的离心率;(2)设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,斜率为k的直线l经过椭圆的右焦点,且与椭圆交于M,N两点,若点F1在以线段MN为直径的圆内部,求k的取值范围.课时作业(五十四)第54讲第3课时定点﹑定值﹑探索性问题基础热身1.(12分)[2017·岳阳一中月考]过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A,B两点,当点A的纵坐标为1时,=2.(1)求抛物线C的方程.(2)若直线l的斜率为2,则抛物线C上是否存在一点M,使得MA⊥MB?并说明理由.2.(12分)[2017·重庆二诊]如图K54-2,已知A,B分别为椭圆C:+=1的左、右顶点,P为椭圆C上异于A,B的任意一点,直线PA,PB的斜率分别记为k1,k2.(1)求k1·k2.(2)过坐标原点O作与直线PA,PB分别平行的两条射线,分别交椭圆C于点M,N,△MON的面积是否为定值?请说明理由.图K54-2能力提升3.(12分)[2017·遂宁三诊]已知点F是拋物线C:y2=2px(p>0)的焦点,若点M(x0,1)在C上,且=.(1)求p的值;(2)若直线l经过点Q(3,-1)且与C交于A,B(异于M)两点, 证明: 直线AM与直线BM的斜率之积为常数.4.(12分)[2017·长沙质检]已知P是抛物线E:y2=2px(p>0)上一点,P到直线x-y+4=0的距离为d1,P到E的准线的距离为d2,且d1+d2的最小值为3.(1)求抛物线E的方程;(2)直线l1:y=k1(x-1)交E于A,B两点,直线l2:y=k2(x-1)交E于C,D两点,线段AB,CD的中点分别为M,N,若k1k2=-2,直线MN的斜率为k,求证:直线l:kx-y-kk1-kk2=0恒过定点.5.(12分)[2017·哈尔滨二模]椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且离心率为,点M为椭圆上一动点,△F1MF2内切圆面积的最大值为.(1)求椭圆的方程.(2)设椭圆的左顶点为A1,过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,B两点,连接A1A,A1B并延长分别交直线x=4于P,Q两点,以线段PQ为直径的圆是否恒过定点?若是,请求出定点坐标;若不是,请说明理由.难点突破6.(12分)[2017·孝义模拟]设椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为(-2,0),且椭圆C与直线y=x+3相切,(1)求椭圆C的标准方程.(2)过点P(0,1)的动直线与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在常数λ,使得·+λ·=-7?请说明理由.课时作业(四十六)1.B[解析] 由斜率公式可得,直线l的斜率k==,故选B.2.A[解析] ∵直线在x轴、y轴上的截距分别为<0,-<0,∴直线Ax-By-C=0不经过的象限是第一象限,故选A.3.60°[解析] 由题意得,直线的斜率k=,即tan α=,所以α=60°.4.60°[解析] ∵点(,4)在直线l:ax-y+1=0上,∴a-4+1=0,∴a=,即直线l的斜率为,∴直线l的倾斜角为60°.5.y=(x-4)[解析] 易知直线BC的倾斜角为,故斜率为,由点斜式得直线方程为y=(x-4).6.D[解析] 由题意,得k=-=,故tan α=-,故cos α=-,故选D.7.C[解析] 由题意,当直线经过原点时,直线的方程为x+y=0;当直线不经过原点时,设直线的方程为+=1,则+=1,解得a=,此时直线的方程为+=1,即x+4y-30=0.故选C. 8.B[解析] 令x=0,得y=sin α<0,令y=0,得x=cos α>0,所以直线过点(0,sin α),(cos α,0)两点,因而直线不过第二象限,故选B.9.C[解析] 将(2,1)代入得2m-m2-1=0,所以m=1,所以直线l的方程为x-y-1=0,所以直线l 的斜率为1,倾斜角为,则所求直线的斜率为-1,故选C.10.D[解析] 设直线l的倾斜角为θ,则θ∈[0,π).易知直线l:ax-y-1=0(a≠0)经过定点P(0,-1),则k PA==-1,k PB==.∵点A(1,-2),B,0在直线l:ax-y-1=0(a≠0)的两侧,∴k PA<a<k PB,∴-1<tan θ<,tan θ≠0,得0<θ<或<θ<π,故选D.11.A[解析] 以C为坐标原点,CB所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示),则A(0,4),B(3,0),直线AB的方程为+=1.设P(x,y)(0≤x≤3),所以P到AC,BC的距离的乘积为xy,因为+≥2,当且仅当==时取等号,所以xy≤3,所以xy的最大值为3.故选A.12.(2,3)[解析] 直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0,即k(2x-y-1)+(-x-3y+11)=0,根据k的任意性可得解得∴不论k取什么实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0都经过定点(2,3).13.x+2y-2=0或2x+y+2=0[解析] 设直线方程为+=1,得+=1.由题意知|ab|=1,即|ab|=2,所以或所以直线方程为x+2y-2=0或2x+y+2=0.14.[-2,2][解析] 设P,y,∵|PA|=|PB|,∴4|PA|2=|PB|2,又∵|PA|2=+(y-1)2,|PB|2=+(y-4)2,∴(y-m)2=16-4y2,其中4-y2≥0,故m=y±2,y∈[-2,2].令y=2sin θ,θ∈-,,则m=2sin θ±4cosθ=2sin(θ±φ),其中tan φ=2,故实数m的取值范围是[-2,2].15.C[解析] 设M(x,y),由k MA·k MB=3,得·=3,即y2=3x2-3.联立得-3x2+x+6=0(m≠0),则Δ=-24-3≥0,即m2≥,解得m≤-或m≥.∴实数m的取值范围是-∞,-∪,+∞.16.C[解析] 由|log a x|=m,得x A=a m,x B=a-m,所以y C=ka-m,y D=ka m,则直线CD的斜率为==-k,所以直线CD的斜率与m无关,与k有关,故选C.课时作业(四十七)1.B[解析] 由平行线间的距离公式可知,l1与l2之间的距离d==.2.A[解析] 直线3x+2y-2a=0的斜率为-,直线2x-3y+3b=0的斜率为,∵两直线斜率的乘积为-1,∴两直线垂直,故选A.3.A[解析] 设坐标原点为O,满足条件的直线为与OP垂直的直线,所以该直线的斜率为-,所以直线方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0,故选A.4.[解析] 直线x+y+2=0的斜率为-,所求直线与直线x+y+2=0垂直,故所求直线的斜率为,故倾斜角为.。
高考数学一轮复习第八章解析几何第八讲曲线与方程学案理含解析新人教版
第八讲曲线与方程(理)知识梳理·双基自测知识梳理知识点一曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做__曲线__的方程；这条曲线叫做__方程__的曲线．知识点二求动点的轨迹方程的基本步骤归纳拓展1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．求轨迹问题常用的数学思想(1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x，y 的方程及函数关系．(2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合．(3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转化．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × )(2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2．( × ) (3)y ＝kx 与x ＝1ky 表示同一直线．( × )(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( × ) 题组二 走进教材2．(必修2P 37T3)已知点F ⎝⎛⎭⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( D )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线[解析] 由已知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．3．(选修2－1P 37T1改编)已知A (－2,0)，B (1,0)两点，动点P 不在x 轴上，且满足∠APO ＝∠BPO ，其中O 为原点，则点P 的轨迹方程是__x 2＋y 2－4x ＝0(y ≠0)__．[解析] 设P (x ，y )，∵∠APO ＝∠BPO ， ∴|P A ||PB |＝|OA ||OB |＝2， 即|P A |＝2|PB |，∴(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，(y ≠0)化简整理得P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(y ≠0)． 题组三 走向高考4．(2020·山东改编)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1．则下列结论错误的是( B ) A ．若m ＞n ＞0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m ＝n ＞0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn ＜0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－mnx D ．若m ＝0，n ＞0，则C 是两条直线[解析] A ．若m ＞n ＞0，则1m ＜1n ，则根据椭圆定义，知x 21m ＋y 21n ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；B ．若m ＝n ＞0，则方程为x 2＋y 2＝1n ，表示半径为1n 的圆，故B 错误；C ．若m ＜0，n ＞0，则方程为x 21m ＋y 21n＝1，表示焦点在y 轴的双曲线，故此时渐近线方程为y ＝±－m nx ，若m ＞0，n ＜0，则方程为x 21m ＋y 21n ＝1，表示焦点在x 轴的双曲线，故此时渐近线方程为y ＝±－m n x ，故C 正确；D ．当m ＝0，n ＞0时，则方程为y ＝±1n表示两条直线，故D 正确；故选B ．5．(2019·北京卷)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2＋y 2＝1＋|x |y 就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是( C ) A ．① B ．② C ．①②D ．①②③[解析] 将x 换成－x 方程不变，所以图形关于y 轴对称， 当x ＝0时，代入得y 2＝1，∴y ＝±1，即曲线经过(0,1)，(0，－1)； 当x ＞0时，方程变为y 2－xy ＋x 2－1＝0， 所以Δ＝x 2－4(x 2－1)≥0，解得x ∈⎝⎛⎦⎤0，233，所以x 只能取整数1，当x ＝1时，y 2－y ＝0， 解得y ＝0或y ＝1，即曲线经过(1,0)，(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(－1,0)，(－1,1)， 故曲线一共经过6个整点，故①正确． 当x ＞0时，由x 2＋y 2＝1＋xy 得x 2＋y 2－1＝xy ≤x 2＋y 22，(当x ＝y 时取等)，∴x 2＋y 2≤2，∴x 2＋y 2≤2，即曲线C 上y 轴右边的点到原点的距离不超过2，根据对称性可得：曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2；故②正确．在x 轴上图形面积大于矩形面积＝1×2＝2，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积＝12×2×1＝1，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于2＋1＝3，故③错误．故选C ．考点突破·互动探究考点一 曲线与方程——自主练透例1 关于x ，y 的方程x 2m 2＋2＋y 23m 2－2＝1，⎝⎛⎭⎫其中m 2≠23对应的曲线可能是 ①焦点在x 轴上的椭圆 ②焦点在y 轴上的椭圆 ③焦点在x 轴上的双曲线 ④圆 其中正确结论个数为( D ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 由题，若m 2＋2＞3m 2－2，解得－2＜m ＜2，3m 2－2＞0，解得m ＜－63或m ＞63，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－2，－63∪⎝⎛⎭⎫63，2时，曲线是焦点在x 轴上的椭圆，①正确；若3m 2－2＞m 2＋2，解得m ＜－2或m ＞2，此时曲线是焦点在y 轴上的椭圆，②正确；若3m 2－2＜0，解得－63＜m ＜63，此时曲线是焦点在x 轴上的双曲线，③正确；当m 2＝2时，方程为x 2＋y 2＝4，所以④正确．故选D ．〔变式训练1〕(2021·山东青岛一中期末改编)已知点F (1,0)为曲线C 的焦点，则曲线C 的方程可能为 ①y 2＝4x ②x 2＝4y ③x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝1⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2 ④x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2 其中正确结论个数为( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)；x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)；当θ＝π4时，sin 2θ＝cos 2θ＝12，x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝1表示圆；双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2的焦点在x 轴上，且c ＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，其焦点坐标为(1,0)，(－1,0)，故选B ． 考点二 定义法求轨迹方程——自主练透例2 (1)(2021·长春模拟)如图所示，A 是圆O 内一定点，B 是圆周上一个动点，AB的中垂线CD 与OB 交于点E ，则点E 的轨迹是( B )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)(2021·福州模拟)已知圆M ：(x ＋5)2＋y 2＝36，定点N (5，0)，点P 为圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在线段MP 上，且满足NP →＝2NQ →，GQ →·NP →＝0，则点G 的轨迹方程是( A )A ．x 29＋y 24＝1B ．x 236＋y 231＝1C ．x 29－y 24＝1D ．x 236－y 231＝1(3)(2021·江苏南京二十九中调研)已知两圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( D )A ．x 2－y 28＝1 B ．x 28－y 2＝1C ．x 2－y 28＝1(x ≥1) D ．x 2－y 28＝1(x ≤－1)[解析] (1)由题意知，|EA |＋|EO |＝|EB |＋|EO |＝r (r 为圆的半径)且r ＞|OA |，故E 的轨迹为以O ，A 为焦点的椭圆，故选B ．(2)由NP →＝2NQ →，GQ →·NP →＝0知GQ 所在直线是线段NP 的垂直平分线，连接GN ，∴|GN |＝|GP |，∴|GM |＋|GN |＝|MP |＝6＞25，∴点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其中2a ＝6,2c ＝25，∴b 2＝4，∴点G 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1，故选A ．(3)设动圆M 的半径为r ，则|C 1M |＝r ＋1，|C 2M |＝3＋r ，∴|C 2M |－|C 1M |＝2＜6＝|C 1C 2|．∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线左支，且c ＝3，a ＝1，∴b 2＝c 2－a 2＝8，∴其轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．故选D ． [引申1]本例(3)中，若动圆M 与圆C 1内切，与圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为__x 24－y 25＝1(x ≤－2)__． [引申2]本例(3)中，若动圆M 与圆C 1外切，与圆C 2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为__x 24－y 25＝1(x ≥2)__． [引申3]本例(3)中，若动圆M 与圆C 1、圆C 2都内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为__x 2－y 28＝1(x ≥1)__． [引申4]本例3中，若动圆M 与圆C 1、圆C 2中一个内切一个外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为__x 24－y 25＝1__．名师点拨定义法求轨迹方程及其注意点(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．〔变式训练2〕 (1)动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( B )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x(2)(2021·湖南娄底质检)在水平地面上的不同两点处竖有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P 的轨迹可能是__①②__．①直线 ②圆 ③椭圆 ④抛物线 [解析] (1)双曲线x 2－y 23＝1的左焦点为F (－2,0)，由题意可知点M 的轨迹是以F 为焦点、原点为顶点、对称轴为x 轴的抛物线，故其方程为y 2＝－8x ．故选B ．(2)如图两根电杆AB ，CD ，①当|AB |＝|CD |时，∵∠BP A ＝∠DPC ，∴|P A |＝|PC |， ∴P 的轨迹是AC 的中垂线， ②当|AB |＝λ|CD |(λ≠1，λ＞0)时， 由∠BP A ＝∠DPC 知Rt △ABP ∽Rt △CDP ， ∴|AP ||CP |＝|AB ||CD |＝λ， 以AC 所在直线为x 轴，线段AC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系， 记A (－1,0)，C (1,0)，P (x ，y )，则(x ＋1)2＋y 2(x －1)2＋y2＝λ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －λ2＋1λ2－12＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2λλ2－12，轨迹为圆，故答案为①②．考点三,直接法求轨迹方程——师生共研例3 (1)(2021·四川、云南、贵州、西藏四省四校联考)已知圆C 过点A (0,2)且与直线y ＝－2相切，则圆心C 的轨迹方程为( B )A ．x 2＝4yB ．x 2＝8yC ．x 2＝－4yD ．x 2＝－8y(2)(2021·山东菏泽模拟)已知动圆过定点A(4,0)，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8． ①求动圆圆心的轨迹C 的方程；②已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．[解析] (1)设圆心C (x ，y )， 由题意知x 2＋(y －2)2＝|y ＋2|，化简得x 2＝8y ，故选B ．(2)①设动圆圆心P (x ，y )，线段MN 的中点为E ， 则|P A |2＝|PE |2＋42，即(x －4)2＋y 2＝x 2＋16，化简得y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x ． ②设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx ＋b ，得k 2x 2＋2kbx ＋b 2＝8x ，k 2x 2－(8－2kb )x ＋b 2＝0(其中Δ＞0)， 设P (x 1，kx 1＋b )，Q (x 2，kx 2＋b )， 则x 1＋x 2＝8－2kb k 2，x 1x 2＝b 2k 2，若x 轴是∠PBQ 的角平分线， 则k PB ＋k QB ＝kx 1＋b x 1＋1＋kx 2＋bx 2＋1＝(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝2kx 1x 2＋(k ＋b )(x 1＋x 2)＋2b (x 1＋1)(x 2＋1)＝8(k ＋b )k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝0，即k ＝－b ．故直线l 的方程为y ＝k (x －1)，直线l 过定点(1,0)．名师点拨直接法求曲线方程的一般步骤(1)建立合适的直角坐标系．(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程．(3)化简整理这个方程，检验并说明所求方程就是曲线的方程．直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性．(4)运用直接法应注意的问题①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的．②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略． 〔变式训练3〕(1)已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则动点P 的轨迹是( B ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆D ．双曲线(2)(2021·湖南湘潭模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点Q (1,0)，直线l ：x ＝2．若动点P 在直线l 上的射影为R ，且|PR →|＝2|PQ →|，设点P 的轨迹为C ．①求C 的轨迹方程；②设直线y ＝x ＋n 与曲线C 相交于A 、B 两点，试探究曲线C 上是否存在点M ，使得四边形MAOB 为平行四边形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设P (x ，y )， 则(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，化简得x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4， 其表示以(2,0)为圆心，4为半径的圆，故选B ．(2)①设P (x ，y )，由|PR →|＝2|PQ →|， 得|2－x |＝2·(x －1)2＋y 2，平方化简得C 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n x 22＋y 2＝1，得x 2＋2(x ＋n )2－2＝0，即3x 2＋4nx ＋2n 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4n 3，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2n ＝2n 3．假设存在点M 使得四边形MAOB 为平行四边形， 则OM →＝OA →＋OB →，所以(x 3，y 3)＝(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)， 所以x 3＝x 1＋x 2＝－4n 3，y 3＝y 1＋y 2＝2n3．由点M 在曲线C 上得x 232＋y 23＝1， 代入得8n 29＋4n 29＝1，解得n 2＝34，n ＝±32．所以当n ＝±32时，曲线C 上存在点M 使得四边形MAOB 为平行四边形，此时点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－233，33或者M ⎝⎛⎭⎫233，－33， 当n ≠±32，曲线C 上不存在点M 使得四边形MAOB 为平行四边形．考点四,代入法(相关点法)求轨迹方程——师生共研例4 (2021·河南新乡模拟)在直角坐标系xOy 中，点M (－2,0)，N 是曲线x ＝14y 2＋2上的任意一点，动点C 满足MC →＋NC →＝0．(1)求点C 的轨迹方程；(2)经过点P (1,0)的动直线l 与点C 的轨迹交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在定点D (异于点P )，使得∠ADP ＝∠BDP ？若存在，求出D 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设C (x ，y )，N (x 0，y 0)， 则MC →＝(x ＋2，y )，NC →＝(x －x 0，y －y 0)， MC →＋NC →＝(2x －x 0＋2,2y －y 0)．又MC →＋NC →＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 0＋2＝0，2y －y 0＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ＋2，y 0＝2y .因为点N 为曲线x ＝14y 2＋2上的任意一点，所以x 0＝14y 20＋2，所以2x ＋2＝14(2y )2＋2，整理得y 2＝2x ，故点C 的轨迹方程为y 2＝2x ． (2)设存在点D (t,0)，使得∠ADP ＝∠BDP ， 所以k DA ＋k DB ＝0．由题易知，直线l 的倾斜角不可能为0°， 故设直线l 的方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1代入y 2＝2x ，得y 2－2my －2＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2． 因为k DA ＋k DB ＝y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝y 1my 1＋1－t ＋y 2my 2＋1－t ＝0，所以2my 1y 2＋(1－t )(y 1＋y 2)＝0， 即－4m ＋2m ·(1－t )＝0，所以t ＝－1． 故存在点D (－1,0)，使得∠ADP ＝∠BDP ．名师点拨代入法(相关点法)求轨迹方程(1)当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用相关点法求其轨迹方程： ①某个动点P 在已知方程的曲线上移动； ②另一个动点M 随P 的变化而变化； ③在变化过程中P 和M 满足一定的规律． (2)代入法(相关点法)的基本步骤①设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)； ②求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )；③代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程； ④检验：注意检验所求方程是否符合题意． 〔变式训练4〕(2021·河北石家庄模拟)已知点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，点P 满足OQ →＝12(OF 1→＋OP →)(其中O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点)，则点P 的轨迹为( D )A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆[解析] 设P (x ，y )，Q (x 0，y 0)，椭圆C 的左焦点F 1(－2,0)， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －22，y 0＝y 2又x 2016＋y 2010＝1，∴(x －2)264＋y 240＝1，故选D ． 考点五,参数法求轨迹方程——师生共研例5 (2021·河北衡水中学调研)已知圆C 1：x 2＋y 2＝2，圆C 2：x 2＋y 2＝4，如图，C 1，C 2分别交x 轴正半轴于点E ，A ．射线OD 分别交C 1，C 2于点B ，D ，动点P 满足直线BP 与y 轴垂直，直线DP 与x 轴垂直．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点E 作直线l 交曲线C 与点M ，N ，射线OH ⊥l 于点H ，且交曲线C 于点Q ．问：1|MN |＋1|OQ |2的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由． [分析] 显然点P (x ，y )的变动由∠AOD 的大小α(或k OD )决定，故可通过α(或k OD )建立x ，y 间的关系，即点P 的轨迹方程．[解析] (1)解法一：如图设∠BOE ＝α， 则B (2cos α，2sin α)，D (2cos α，2sin α)， 所以x P ＝2cos α，y P ＝2sin α．所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1．解法二：当射线OD 的斜率存在时，设斜率为k ，OD 方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x 2＋y 2＝2得y 2P ＝2k 21＋k 2，同理得x 2P ＝41＋k 2， 所以x 2P ＋2y 2P ＝4即有动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1．当射线OD 的斜率不存在时，点(0，±2)也满足． (2)由(1)可知E 为C 的焦点，设直线l 的方程为x ＝my ＋2(斜率不为0时)且设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2x 2＋2y 2＝4，得(m 2＋2)y 2＋22my －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－22mm 2＋2y 1y 2＝－2m 2＋2，所以1|MN |＝11＋m 2|y1－y 2|＝m 2＋24(m 2＋1)，又射线OQ 方程为y ＝－mx ， 代入椭圆C 的方程得x 2＋2(mx )2＝4，即x 2Q ＝41＋2m 2，y 2Q ＝4m 21＋2m 2，1|OQ |2＝1＋2m 24(m 2＋1)， 所以1|MN |＋1|OQ |2＝m 2＋24(m 2＋1)＋1＋2m 24(m 2＋1)＝34，又当直线l 的斜率为0时，也符合条件． 综上，1|MN |＋1|OQ |2为定值，且为34．名师点拨](1)在选择参数时，参数可以具有某种物理或几何意义，如时间、速度、距离、角度、直线的斜率、点的横(纵)坐标等，也可以没有具体的意义，但要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响．(2)参数法求轨迹方程的适用条件动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式，也没有明显的相关点，但却较易发现(或经过分析可发现)这个动点的运动与某一个量或某两个变量(角、斜率、比值、截距等)有关．〔变式训练5〕若过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1，l 2分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程为__x ＋y －1＝0__．[解析] 当直线l 1的斜率存在时，l 2的斜率也存在，设直线l 1的方程是y －1＝k (x －1)，则直线l 2的方程是y －1＝－1k(x －1)，所以直线l 1与x 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎫1－1k ，0，l 2与y 轴的交点为B ⎝⎛⎭⎫0，1＋1k ，设AB 的中点M 的坐标为(x ，y )，则有⎩⎨⎧x ＝12⎝⎛⎭⎫1－1k ，y ＝12⎝⎛⎭⎫1＋1k ，两式相加消去k ，得x ＋y ＝1⎝⎛⎭⎫x ≠12，即x ＋y －1＝0(x ≠12)，所以AB 中点M 的轨迹方程为x ＋y －1＝0⎝⎛⎭⎫x ≠12． 当直线l 1(或l 2)的斜率不存在时，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，此点在直线x ＋y －1＝0上． 综上，AB 中点M 的轨迹方程为x ＋y －1＝0．另解：由题意易知|MP |＝|MO |， ∴M 的轨迹为线段OP 的中垂线， 其方程为y －12＝－⎝⎛⎭⎫x －12， 即x ＋y －1＝0．名师讲坛·素养提升高考中的轨迹问题例6 (2019·课标Ⅱ)已知点A (－2,0)，B (2,0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为－12．记M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点G ．①证明：△PQG 是直角三角形； ②求△PQG 面积的最大值． [解题思路] (1)由题直译得关系→化简，观察方程形式得结论(2)①设直线PQ ：y ＝kx →与C 的方程联立得P ，Q 两点坐标→得直线QG 的方程→与C 的方程联立得G 的坐标→求PG 的斜率→得结论②利用公式求面积→得关于k 的函数→判断单调性求最值→得结论[解析] (1)由题设得y x ＋2·y x －2＝－12，化简得x 24＋y 22＝1(|x |≠2)，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点． (2)①证明：设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx (k ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 22＝1得x ＝±21＋2k 2．记u ＝21＋2k 2，则P (u ，uk )，Q (－u ，－uk )，E (u,0)．于是直线QG 的斜率为k 2，方程为y ＝k2(x －u )．由⎩⎨⎧y ＝k2(x －u )x 24＋y 22＝1，得(2＋k 2)x 2－2uk 2x ＋k 2u 2－8＝0．① 设G (x G ，y G )，则－u 和x G 是方程①的解， 故x G ＝u (3k 2＋2)2＋k 2，由此得y G ＝uk 32＋k 2．从而直线PG 的斜率为uk 32＋k 2－uku (3k 2＋2)2＋k 2－u＝－1k ．所以PQ ⊥PG ，即△PQG 是直角三角形．②由①得|PQ |＝2u 1＋k 2，|PG |＝2ukk 2＋12＋k 2，所以△PQG 的面积S ＝12|PQ ||PG |＝8k (1＋k 2)(1＋2k 2)(2＋k 2)＝8⎝⎛⎭⎫1k ＋k 1＋2⎝⎛⎭⎫1k ＋k 2．设t ＝k ＋1k ，则由k ＞0得t ≥2，当且仅当k ＝1时取等号，因为S ＝8t1＋2t 2在[2，＋∞)单调递减，所以当t ＝2，即k ＝1时，S 取得最大值，最大值为169．因此，△PQG 面积的最大值为169．[解题关键] ①利用方程思想得出点P 、Q 的坐标，进而利用换元法及整体代换法简化运算过程是顺利解决本题的关键；②正确利用基本不等式及函数单调性是求解△PQG 面积最值的关键．〔变式训练6〕(2020·新课标Ⅲ)在平面内，A ，B 是两个定点C 是动点，若OC →·BC →＝1，则点C 的轨迹为( A )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线[解析] 不妨以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为原点，建立平面直角坐标系， 设C (x ，y )，A (－c,0)，B (c,0)，c ＞0， 则AC →＝(x ＋c ，y )，BC →＝(x －c ，y )， 由AC →·BC →＝1，得(x ＋c )(x －c )＋y ·y ＝1， 即x 2＋y 2＝c 2＋1＞0， ∴点C 的轨迹为圆．故选A ．。
2020版高考数学一轮复习 8.3曲线与方程精品学案 新人教版
2020版高考数学一轮复习精品学案：第八章解析几何8.3曲线与方程【高考新动向】1．考纲点击(1)了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系;(2)了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法;(3)能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.2．热点提示（1）求点的轨迹、轨迹方程是高考的重点;一般用直接法、定义法或相关点法求解,所求轨迹一般为圆锥曲线；（2）经常在解答题的第一问中出现，属中低档题目；有时也在选择、填空题中出现.【考纲全景透析】1．一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解。
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
注：如果中满足第（2）个条件，会出现什么情况？（若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”），则这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程，如分段函数的解析式。
2．求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系.(2)设点——设轨迹上的任一点P(x,y).(3)列式——列出动点P所满足的关系式.(4)代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为x,y的方程式，并化简。
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.即：注:求轨迹和轨迹方程有什么不同?(求轨迹和轨迹方程的不同:后者只指方程(包括范围)),而前者包含方程及所求轨迹的形状、位置、大小等。
【热点难点全析】（一）用直接法求轨迹方程※相关链接※y的等式，1．如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x、得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。
用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤，但最后的证明可以省略。
⒉运用直接法应注意的问题(1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的.（2）若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略. ※例题解析※〖例〗如图所示，设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于A 、B 两点，P 是l 上满足1PA PB =u u u r u u u r g 的点，求点P 的轨迹方程。
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2018年高考数学一轮复习 第八章 解析几何 课时达标53 曲线与方程 理[解密考纲]求曲线的轨迹方程，经常通过定义法或直接法，在解答题的第(1)问中出现． 一、选择题1．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则动点P 的轨迹是( B )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：设P (x ，y )，则x ＋22＋y 2＝2x －12＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＝0，又D 2＋E 2－4F ＝16>0，所以动点P 的轨迹是圆．2．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( D )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0解析：设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得Q 点的轨迹方程为2x －y ＋5＝0.3．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( D )A ．4x 221－4y225＝1B ．4x 221＋4y225＝1C ．4x 225－4y221＝1D ．4x 225＋4y221＝1解析：∵M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |， ∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5， 故M 的轨迹是以定点C ，A 为焦点的椭圆， ∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y221＝1.4．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( A )A ．32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) B ．32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0)C ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)解析：设A (a,0)，B (0，b )，a >0，b >0.由BP →＝2PA →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x >0，b ＝3y >0，点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ，b 代入ax ＋by ＝1得所求的轨迹方程为32x2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．5．已知圆锥曲线mx 2＋4y 2＝4m 的离心率e 为方程2x 2－5x ＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( B )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：∵e 是方程2x 2－5x ＋2＝0的根，∴e ＝2或e ＝12，mx 2＋4y 2＝4m 可化为x 24＋y2m ＝1，当它表示焦点在x 轴上的椭圆时，有4－m 2＝12，∴m ＝3；当它表示焦点在y 轴上的椭圆时，有m －4m＝12，∴m ＝163；当它表示焦点在x 轴上的双曲线时，可化为x 24－y 2－m ＝1，有4－m2＝2，∴m ＝－12，∴满足条件的圆锥曲线有3个，故选B.6．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系上的点uO ′v 上的点P ′(2xy ，x 2－y 2)，则当点P 沿着折线A —B —C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是( D )解析：当P 沿AB 运动时，x ＝1，设P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2y ，y ′＝1－y 2(0≤y ≤1)，∴y ′＝1－x ′24(0≤x ′≤2,0≤y ′≤1)．当P 沿BC 运动时，y ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝x 2－1(0≤x ≤1)，∴y ′＝x ′24－1(0≤x ′≤2，－1≤y ′≤0)，由此可知P ′的轨迹如D 所示，故选D. 二、填空题7．已知△ABC 的顶点 A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是x 29－y 216＝1(x >3)．解析：如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)．8．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足O C →＝O A →＋t (O B →－O A →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是2x －y －2＝0.解析：设 C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.9．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，有一动点Q 满足O Q →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是x 24a 2＋y 24b2＝1.解析：作P 关于O 的对称点M ，连结F 1M ，F 2M ， 则四边形F 1PF 2M 为平行四边形， 所以PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →. 又OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 所以OP →＝－12OQ →，设Q (x ，y )，则OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x2，－y 2，即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y2， 又P 在椭圆上，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.三、解答题10．已知圆C 1的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线l 1：x －y －22＝0相切． (1)求圆的标准方程；(2)设点A 为圆上一动点，AN ⊥x 轴于点N ，若动点Q 满足OQ →＝mOA →＋(1－m )ON →(其中m 为非零常数)，试求动点Q 的轨迹方程C 2.解析：(1)设圆的半径为r ，圆心到直线l 1的距离为d ，则d ＝|－22|12＋12＝2＝r ，则圆C 1的方程为x 2＋y 2＝4.(2)设动点Q (x ，y )，A (x 0，y 0)，∵AN ⊥x 轴交于点N ， ∴N (x 0,0)，由题意，得(x ，y )＝m (x 0，y 0)＋(1－m )·(x 0,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝my 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝1m y ，将A ⎝⎛⎭⎪⎫x ，1m y代入x 2＋y 2＝4，得x 24＋y 24m 2＝1.即动点Q 的轨迹方程为x 24＋y 24m2＝1.11．在平面直角坐标系中，已知A 1(－2，0)，A 2(2，0)，P (x ，y )，M (x,1)，N (x ，－2)，若实数λ使得λ2OM →·ON →＝A 1P →·A 2P →(O 为坐标原点)，求P 点的轨迹方程，并讨论P 点的轨迹类型．解析：OM →＝(x,1)，ON →＝(x ，－2)，A 1P →＝(x ＋2，y )，A 2P →＝(x －2，y )． ∵λ2OM →·ON →＝A 1P →·A 2P →，∴(x 2－2)λ2＝x 2－2＋y 2， 整理得(1－λ2)x 2＋y 2＝2(1－λ2)．①当λ＝±1时，方程为y ＝0，轨迹为一条直线； ②当λ＝0时，方程为x 2＋y 2＝2，轨迹为圆； ③当λ∈(－1,0)∪(0,1)时，方程为x 22＋y 221－λ2＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆；④当λ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)时，方程为x 22－y 22λ2－1＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线．12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解析：(1)依题意得，c ＝5，e ＝c a ＝53， 因此a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4， 故椭圆C 的标准方程是x 29＋y 24＝1.(2)若两切线的斜率均存在，设过点P (x 0，y 0)的切线方程是y ＝k (x －x 0)＋y 0，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －x 0＋y 0，x 29＋y24＝1，得x 29＋[k x －x 0＋y 0]24＝1，即(9k 2＋4)x 2＋18k (y 0－kx 0)x ＋9[(y 0－kx 0)2－4]＝0，Δ＝[18k (y 0－kx 0)]2－36(9k 2＋4)[(y 0－kx 0)2－4]＝0，整理得(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0.又所引的两条切线相互垂直，设两切线的斜率分别为k 1，k 2，于是有k 1k 2＝－1，即y 20－4x 20－9＝－1，即x 20＋y 20＝13(x 0≠±3)． 若两切线中有一条斜率不存在， 则易得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝－2，经检验知均满足x 20＋y 20＝13.因此动点P (x 0，y 0)的轨迹方程是x 2＋y 2＝13.。