第三章 线性规划在各个领域的应用
线性规划的应用
线性规划的应用1. 引言线性规划是一种优化问题的数学建模工具，广泛应用于经济、工程、运输、资源分配等领域。
本文将探讨线性规划在生产计划、供应链管理和投资组合优化中的应用。
2. 生产计划中的线性规划应用生产计划是企业核心业务之一，通过合理的生产计划可以提高生产效率和降低成本。
线性规划可以帮助企业确定最佳的生产计划，以满足市场需求并最大化利润。
例如，假设一家制造公司有多个产品需要生产，每个产品的生产成本、销售价格和市场需求量都不同。
通过线性规划模型，可以确定每个产品的生产数量，以最大化总利润。
3. 供应链管理中的线性规划应用供应链管理是企业与供应商、生产商和分销商之间协调和优化物流和信息流的过程。
线性规划可以用于优化供应链中的物流和库存管理。
例如，一家零售公司需要决定每个仓库的库存水平和重新补充货物的频率，以最大程度地满足顾客需求并最小化库存成本。
通过线性规划模型，可以确定最佳的库存水平和补货策略。
4. 投资组合优化中的线性规划应用投资组合优化是金融领域中的一个重要问题，即如何选择一组资产以最大化收益并控制风险。
线性规划可以用于确定最佳的投资组合权重。
例如，一个投资者有多个可选的资产，每个资产有不同的预期收益率和风险。
通过线性规划模型，可以确定每个资产的权重，以最大化整体投资组合的预期收益并控制风险。
5. 结论线性规划是一种强大的数学工具，可以应用于各种优化问题中。
本文讨论了线性规划在生产计划、供应链管理和投资组合优化中的应用。
通过合理的模型建立和求解，可以帮助企业和个人做出最佳决策，提高效益和竞争力。
3第三章线性规划应用
资金 X1+X2+X3+X4+X5 ≤100,000 行业 X1+X2 ≤50,000
X3+X4 ≤50,000 债券 X5 ≥0.25(X3+X4) 太平洋石油 X2 ≤ 0.6(X1+X2) 非负性约束X1≥0 X2≥0 X3≥0 X4≥0 X5≥0
精品课件
护士的最少人数 60 70 60 50 20 30
28
6、人员安排
设第j时段开始上班的人数为Xj,j=1,2,…,6,
目标函数：min Z=x1+x2+x3+x4+x5+x6
约束条件： x1+x2 ≥70
x2+x3 ≥60
x3+x4 ≥ 50
x4+x5 ≥20
x5+x6 ≥30
x6+x1 ≥60
护士的最 少人数 60
70
60
50
20
30
30
序号1时段上班的人（3元）：3X1+3 X6 序号2时段上班的人（ 3元）：3X1+3X2 序号3时段上班的人（ 3元）：3X2+3X3 序号4时段上班的人（4元）：4X3+4X4 序号5时段上班的人（4元）：4X4+4X5 序号6时段上班的人（5元）：5X5+5X6
时间
11-12 12-13 13-14 14-15 15-16 16-17 17-18 18-19 19-20 20-21 21-22
需要的 总人数
线性规划的应用
线性规划的应用一、引言线性规划是一种数学优化方法，广泛应用于各个领域，如经济学、管理学、工程学等。
本文将介绍线性规划的基本概念、模型建立以及应用案例。
二、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ，其中c₁、c₂、...、cₙ为系数，x₁、x₂、...、xₙ为决策变量。
2. 约束条件：线性规划的约束条件是一组线性不等式或等式，用于限制决策变量的取值范围。
约束条件通常表示为a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ ≤ b，其中a₁、a₂、...、aₙ为系数，b为常数。
3. 决策变量：线性规划中的决策变量是需要确定的变量，其取值决定了目标函数的取值。
决策变量通常表示为非负数，即x₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0。
三、线性规划模型建立线性规划的模型建立包括确定目标函数、约束条件以及决策变量的取值范围。
下面以一个生产计划问题为例，详细说明线性规划模型的建立过程。
假设某工厂生产两种产品A和B，每天可用的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
产品A每小时需要2人工时，产品B每小时需要3人工时。
工厂每天可用的人工时为20小时。
现在需要确定每天生产的产品数量，以最大化利润。
1. 确定目标函数：由于目标是最大化利润，因此目标函数为z = 100A + 150B，其中A为产品A的数量，B为产品B的数量。
2. 确定约束条件：根据生产时间和人工时的限制，可以得到以下约束条件：- 2A + 3B ≤ 20（人工时限制）- A, B ≥ 0（非负数限制）3. 确定决策变量的取值范围：由于产品数量不能为负数，因此决策变量的取值范围为A, B ≥ 0。
四、线性规划的应用案例线性规划在实际应用中有广泛的应用，下面以物流配送问题为例，介绍线性规划的应用案例。
某物流公司需要将货物从仓库分配到不同的配送中心，以满足客户的需求。
线性规划的应用
线性规划的应用引言概述：线性规划是一种优化问题的数学建模方法，可以用于解决许多实际问题。
本文将探讨线性规划在不同领域的应用，包括生产计划、资源分配、运输问题、金融投资和市场营销等。
一、生产计划1.1 产能规划：线性规划可以匡助企业确定最优产能规划，通过最大化产量和最小化成本，实现生产效益的最大化。
1.2 原材料采购：线性规划可以优化原材料的采购计划，确保原材料的供应充足，同时最小化采购成本。
1.3 生产调度：线性规划可以匡助企业制定最佳的生产调度方案，合理安排生产过程，提高生产效率和产品质量。
二、资源分配2.1 人力资源：线性规划可以匡助企业合理分配人力资源，根据不同部门和岗位的需求，确定最佳的人员配置方案。
2.2 设备调度：线性规划可以优化设备的调度计划，确保设备的利用率最大化，减少闲置时间和能源浪费。
2.3 资金分配：线性规划可以匡助企业合理分配资金，根据不同项目的需求，确定最佳的资金分配方案，实现资金的最大效益。
三、运输问题3.1 物流配送：线性规划可以优化物流配送路线，确定最佳的配送方案，减少运输成本和时间。
3.2 仓储管理：线性规划可以匡助企业优化仓储管理，确定最佳的仓储位置和库存量，减少库存成本和仓储空间的浪费。
3.3 运输调度：线性规划可以匡助企业制定最佳的运输调度计划，合理安排运输车辆和货物的装载，提高运输效率和减少运输成本。
四、金融投资4.1 资产配置：线性规划可以匡助投资者确定最佳的资产配置方案，平衡风险和收益，实现投资组合的最优化。
4.2 资金规划：线性规划可以优化资金的规划和运用，确保资金的最大化利用和最小化风险。
4.3 投资决策：线性规划可以匡助企业制定最佳的投资决策方案，根据不同项目的收益和风险，确定最优的投资方向。
五、市场营销5.1 定价策略：线性规划可以匡助企业确定最佳的定价策略，根据市场需求和成本考虑，确定最优的价格水平。
5.2 促销策略：线性规划可以优化促销策略，确定最佳的促销活动方案，提高产品销售量和市场份额。
第三章 线性规划
定义3.2.3 设 X 1, X 2, , X k是 n 维欧氏空间 En 中的 k 个
点，若存在 1,2, ,k ，且 0 i 1i 1,2, ,k ， i 1 ，使
凸组合 ，则称 是 的 X 1X 1 2 X 2 k X k
i
X X 1, X 2, , X k
．
由此可见，凸集与极点的定义都与两点的凸组合密 切相关．可以证明：有界凸集的任意一点都可以表示为 该集的极点的凸组合．
即可。
例6 将下列线性规划模型化为标准形式
min z x1 2x2 4x3
x1 x2 x3 4
s.t.
2x1 x2 3x3 5 x1 3x2 x3 6
3x1 x2 2x3 7
x1 0, x2 0, x3无约束
解：以 x2 代替 x2 ；令 x3 x4 x5 ，x4 0，x5 0 ；z z 上述线性规划模型可化为标准型：
s.t.
n j 1
aij x j
bi i
1,2,
,m
x j 0 j 1,2, , n
（2）向量表示的缩写
max z C T X
n
s.t. j1 Pj x j b X 0
其中
C c1, c2 , , cn T ; X x1, x2 , , xn T ;
Pj a1 j , a2 j , , amj T ;
线性关系：约束条件及目标函数均保持线性关系．
具有以上特点的决策问题，被称之为线性规划问题。
二、线性规划问题的数学模型
一般形式 标准形式 缩写形式
1、LP问题的一般形式
maxminz c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12x2 a1n xn , b1
线性规划的实际应用
线性规划的实际应用指导教师：大连市第八中学数学组崔贺课题组成员：大连市第八中学高二（2）班全体同学课题背景：提高企业的经济效益是现代化管理的根本任务，各个领域中的大量问题都可以归结为线性规划问题。
近几十年来，线性规划在各个行业中都得到了广泛的应用。
根据美国《财富》杂志对全美前500家大公司的调查表明，线性规划的应用程度名列前茅，有85%的公司频繁地使用线性规划，并取得了提高经济效益的显著效果。
所谓线性规划，是求线性函数在线性(不等式或等式)约束下达最(小或大)值的问题。
线性规划广泛应用于工农业、军事、交通运输、决策管理与规划、科学实验等领域。
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用,一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。
常见的问题在：物资调运问题、产品安排问题、下料问题。
研究过程：一、研究性学习开题报告（一）教师提出总体要求（二）分析课题背景，可行性论证（三）制定总体目标与计划（四）明确具体操作过程（五）划分小组，确定活动地点（六）由组长负责小组成员分工（七）确定成果形式：论文（数学模型与解答）、心得体会二、小组活动（注：各小组数学模型见线性规划模型汇编）第一小组活动时间：2003.4.12活动地点：大连市天津街改造办活动目的：调查了解城市规划、布局与设计中的线性规划问题参加人员：组长：陈燕组员：丁琳许玲见琦任鑫王鑫刘姝言王全智孙颖李舒然冯昱黄漪墨活动过程：来到活动地点，我们见到了有关规划设计的负责人，通过他的讲解，我们对天津街规划有了初步的认识。
这个规划，考虑到了整体市容市貌，提升城市功能，加强布局的合理性，以及保护原有城市风貌，发挥天津街中心商业区的作用等各方面因素，为取得经济效益、社会效益和商业效益的最大化而建设的。
天津街改造工程预计投资10个亿，用五年左右的时间，完善各种服务设施，改善交通和购物环境，打造精品步行街和商业主力店，引入各种经营业态，让人们旅游购物更方便。
线性规划的应用
线性规划的应用一、引言线性规划是一种数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
本文将针对线性规划的应用进行详细介绍，包括定义、模型建立、解决方法以及实际案例分析。
二、定义线性规划是一种在给定约束条件下，通过最大化或者最小化线性目标函数来求解最优解的方法。
线性规划的数学模型可以表示为：最大化（或者最小化）目标函数：Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件： a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，a₁₁,a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的常数。
三、模型建立1. 确定决策变量：根据实际问题确定需要优化的变量，例如生产数量、投资金额等。
2. 建立目标函数：根据问题要求，将目标转化为线性函数，确定目标函数的系数。
3. 设定约束条件：根据问题的限制条件，建立约束条件的线性不等式。
4. 确定变量的取值范围：根据实际情况确定变量的取值范围，通常为非负数。
四、解决方法线性规划问题可以通过多种方法求解，其中最常用的方法包括单纯形法和内点法。
1. 单纯形法：单纯形法是一种通过迭代计算来逐步接近最优解的方法。
它从初始基本可行解开始，通过交换基变量和非基变量来改进解的质量，直到找到最优解为止。
2. 内点法：内点法是一种通过寻觅目标函数的内部点来逼近最优解的方法。
它通过迭代计算来逐步接近最优解，相比于单纯形法，内点法在处理大规模问题时更为高效。
五、实际案例分析为了进一步说明线性规划的应用，我们以一个生产计划优化问题为例进行分析。
假设某公司生产两种产品A和B，每天可用的生产时间为8小时。
数学建模实验报告第三章线性规划
实验名称：第三章线性规划一、实验内容与要求用linprog语句求解各种线性规划问题，对生产实际中的问题，进行预测。
二、实验软件三、实验内容：1、某鸡场有1000只鸡，用动物饲料和谷物混合喂养。
每天每只鸡平均食混合饲料，其中动物饲料所占比例不能少于20%。
动物饲料每千克元，谷物饲料每千克元，饲料公司每周仅保证供应谷物饲料6000KG，问饲料怎样混合，才能使成本最低？程序：C=[150 90];A=[1 1];B=[12/7];Aeq=[0 1];beq=[0,8];vlb=[ 0];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)实验结果:2、某工厂用A1、A2两台机床加工B1、B2、B3三种不同零件。
已知在一个生产周期内A1只能工作80机时；A2只能工作100机时。
一个生产周期内计划加工B1为70件、B2为50件、把为20件。
两台机床加工每个零件的时间和加工每个零件的成本，分别如下列各表所示：加工每个零件时间表(单位：机时/个)加工每个零件成本表（单位：元/个）问怎样安排两台机床一个周期的加工任务，才能使加工成本最低？程序：C=[2;3;5;3;3;6];A=[1 2 3 0 0 00 0 0 1 1 3-1 0 0 -1 0 00 -2 0 0 -1 00 0 -2 0 0 -3];B=[80;100;-70;-50;-20];Aeq=[];beq=[];vlb=[0;0;0;0;0;7];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)实验结果:四、实验体会。
线性规划的应用
线性规划的应用一、引言线性规划是一种数学优化方法，广泛应用于生产计划、资源分配、运输问题等领域。
本文将介绍线性规划的基本概念和应用案例，并详细解释如何使用线性规划方法解决实际问题。
二、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数称为目标函数。
例如，最大化利润或最小化成本。
2. 约束条件：线性规划问题必须满足一组线性等式或不等式，称为约束条件。
这些约束条件限制了决策变量的取值范围。
3. 决策变量：线性规划问题中需要做出决策的变量称为决策变量。
例如，生产数量、资源分配等。
4. 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值称为可行解。
线性规划问题的解必须是可行解。
三、线性规划的应用案例1. 生产计划问题假设一家公司有两种产品A和B，每种产品的生产需要一定的资源和时间。
公司希望确定每种产品的生产数量，以最大化利润。
通过线性规划，可以建立目标函数和约束条件，求解出最优的生产计划。
2. 资源分配问题一个工厂有多个生产线，每个生产线可以生产不同的产品。
工厂希望确定每个生产线的产量，以最大化总产量。
通过线性规划，可以将总产量视为目标函数，将每个生产线的产量视为决策变量，建立约束条件，求解出最优的资源分配方案。
3. 运输问题一个物流公司需要将货物从多个供应商运送到多个客户，每个供应商和客户之间的运输成本不同。
公司希望确定每个供应商和客户之间的货物运输量，以最小化总运输成本。
通过线性规划，可以建立目标函数和约束条件，求解出最优的运输方案。
四、线性规划的解法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制等式或不等式的图形来找到最优解。
最优解通常出现在图形的顶点处。
2. 单纯形法：对于高维线性规划问题，可以使用单纯形法求解。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断调整决策变量的取值，逐步接近最优解。
3. 整数规划：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法求解。
整数规划是线性规划的扩展，适用于需要做出离散决策的问题。
线性规划的应用
线性规划的应用1. 简介线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在许多领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将介绍线性规划的基本概念和应用案例。
2. 基本概念2.1 目标函数线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci为系数，xi为决策变量。
2.2 约束条件线性规划的决策变量受一系列线性约束条件限制。
约束条件通常表示为a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≤ b，其中ai为系数，b为常数。
2.3 非负约束线性规划的决策变量通常有非负约束条件，即xi ≥ 0。
3. 应用案例：生产计划优化假设某公司有两种产品A和B，每一个产品的生产需要消耗不同的资源，且有一定的利润。
公司希翼通过线性规划来优化生产计划，以最大化利润。
3.1 决策变量设x1为产品A的生产数量，x2为产品B的生产数量。
3.2 目标函数公司的目标是最大化利润，因此目标函数可以表示为Z = 10x1 + 15x2，其中10和15分别为产品A和B的利润。
3.3 约束条件公司的资源有限，因此有以下约束条件：- 2x1 + 3x2 ≤ 1000：消耗的资源1的限制- 4x1 + 2x2 ≤ 800：消耗的资源2的限制- x1, x2 ≥ 0：非负约束条件4. 解决方法通过线性规划求解器，可以求解上述生产计划优化问题。
求解器将根据目标函数和约束条件，找到使目标函数最大化的决策变量取值。
5. 结果与分析经过线性规划求解器计算，得到最优解为x1 = 200，x2 = 100。
此时，公司可以生产200个产品A和100个产品B，获得的最大利润为10*200 + 15*100 = 3500。
6. 应用案例：运输问题线性规划还可以应用于运输问题，如货物的最佳配送方案。
6.1 决策变量假设有三个发货点A、B、C和两个收货点X、Y。
线性规划的应用
线性规划的应用一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决实际问题中的最优化问题。
它在经济、管理、工程等领域有着广泛的应用。
本文将介绍线性规划的基本概念和应用领域，并以某公司生产计划为例，详细说明线性规划在生产调度中的应用。
二、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
在生产调度中，目标函数可以是利润最大化、成本最小化等。
2. 约束条件：线性规划的解必须满足一系列的约束条件，这些约束条件可以是线性等式或线性不等式。
在生产调度中，约束条件可以是资源限制、产能限制等。
3. 决策变量：线性规划中，需要确定一组决策变量，这些变量的取值决定了目标函数和约束条件的满足程度。
在生产调度中，决策变量可以是产品的生产数量、生产时间等。
三、线性规划的应用领域线性规划在各个领域都有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1. 生产计划与调度：线性规划可以帮助企业优化生产计划，合理安排生产资源，提高生产效率和利润。
2. 供应链管理：线性规划可以优化供应链中的物流和库存管理，降低成本，提高供应链的响应能力。
3. 资源分配：线性规划可以帮助政府或组织合理分配有限的资源，如教育资源、医疗资源等。
4. 金融投资：线性规划可以帮助投资者优化投资组合，降低风险，提高收益。
四、线性规划在生产调度中的应用以某公司为例，该公司生产两种产品A和B，产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
公司有两个生产车间，分别能生产产品A和产品B的数量为500和800。
此外，公司还有两个市场，市场1的需求量为600，市场2的需求量为700。
公司的目标是在满足市场需求的情况下，最大化利润。
解决该问题的线性规划模型如下：目标函数：Maximize 100A + 150B约束条件：1. A <= 5002. B <= 8003. A + B >= 6004. A + B >= 700其中，A表示产品A的生产数量，B表示产品B的生产数量。
线性规划在运筹学中的应用
线性规划在运筹学中的应用线性规划，在运筹学中是一个非常重要的数学方法，它可以解决许多实际问题。
线性规划是一种最优化的方法，它可以帮助我们在资源有限的情况下，合理地分配资源，达到最大化效益的目的。
1.线性规划的定义线性规划是一种用于求解优化问题的数学方法，它能够求解包含线性目标函数和线性约束条件的最优化问题。
与其他优化方法相比，线性规划具有计算简单、适用范围广等优点。
线性规划的基本形式可以表示为：目标函数：$max(c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n)$约束条件：$ax_1+b_1x_2+...+d_nx_n≤r$$x_1,x_2,...,x_n≥0$其中，$c_i$是每个决策变量的价值，$a,b,...,d$是线性约束条件中每个变量的系数，$r$是约束条件的界限。
2.线性规划的应用领域线性规划在实际应用中，有着非常广泛的应用领域。
2.1生产调度在生产过程中，生产的目标通常是在资源和时间有限的条件下最大化利润。
线性规划可以帮助企业制定最优生产计划，达到最大化效益的目标。
2.2运输问题在运输问题中，通常需要确定如何分配运输物资以最小化运输成本。
线性规划可以帮助解决这类问题，以确定最佳运输成本。
2.3设施选址在设施选址问题中，需要确定在哪里建造设施以最大程度地利用资源。
线性规划可以帮助制定最优的设施选址计划。
2.4资源分配在资源分配问题中，需要确定如何最好地利用资源以达到最大效益。
线性规划可以帮助解决这个问题，以确定最佳资源分配。
3.线性规划的优缺点3.1 优点线性规划具有计算简单、适用范围广、柔性、可扩展性等优点。
计算简单：线性规划的求解方法非常简单，常用的线性规划求解软件有MATLAB、LINGO、GAMS、EXCEL等，大多数软件都提供了直观的界面和演示讲解，即使没有专业知识也可以轻松使用。
适用范围广：线性规划被广泛应用于各种领域，包括生产调度、运输问题、设施选址、资源分配等。
柔性：线性规划具有良好的性能，可以根据问题的不同情况进行适当调整，以获得最佳结果。
线性规划和最优解
线性规划和最优解线性规划是一种在数学和运筹学领域常见的问题求解方法，可以应用于各种现实生活中的决策问题。
它是通过一系列线性等式和不等式来建模，并在满足特定约束条件下求解使目标函数取得最优值的变量值。
线性规划的最优解能够帮助我们做出高效的决策，下面将详细介绍线性规划的原理和求解方法。
一、线性规划的基本概念线性规划中，我们首先需要明确问题的目标，并将其表示为一个线性函数，也被称为目标函数。
目标函数可以是最大化或最小化的，具体取决于问题的需求。
其次，我们需要确定一组变量，这些变量的取值将会对目标函数产生影响。
接下来，我们还需要列举出一系列约束条件，这些约束条件通常来自于问题的实际情况，例如资源限制、技术要求等。
最后，我们需要确定这些变量的取值范围，这也是约束条件的一部分。
二、线性规划的数学建模在线性规划中，我们可以通过以下步骤进行数学建模：1. 确定目标函数：根据问题的要求，我们可以定义一个线性函数作为目标函数。
例如，如果我们要最大化某个产品的利润，那么利润就可以是目标函数。
2. 列举约束条件：根据问题的实际情况，我们需要列举出一系列约束条件。
这些约束条件可以是线性等式或不等式，并且通常包含了变量的取值范围。
3. 确定变量的取值范围：根据问题的实际情况，我们需要确定变量的取值范围。
例如，如果某个变量代表一个产品的产量，那么它的取值范围可能是非负数。
4. 构建数学模型：根据目标函数、约束条件和变量的取值范围，我们可以构建一个数学模型，将问题转化为线性规划模型。
三、线性规划的最优解求解方法线性规划的最优解可以通过以下方法求解：1. 图形法：对于只有两个变量的简单线性规划问题，我们可以通过绘制变量的可行域图形，并计算目标函数在图形上的最优解点来求解问题。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的算法。
它通过逐步迭代改进解向量，从而逼近最优解。
这个方法通常适用于复杂的线性规划问题，可以在较短的时间内得到比较好的结果。
高考数学必修五 第三章 3.3.2 第1课时线性规划的有关概念及图解法
3.3.2 简单的线性规划问题第1课时 线性规划的有关概念及图解法学习目标 1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.引例 已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0.①该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，求2x ＋3y ②的最大值.以此为例，尝试通过下列问题理解有关概念. 知识点一 线性约束条件及目标函数1.在上述问题中，不等式组①是一组对变量x ，y 的约束条件，这组约束条件都是关于x ，y 的一次不等式，故又称线性约束条件.2.在上述问题中，②是要研究的目标，称为目标函数.因为它是关于变量x ，y 的一次解析式，这样的目标函数称为线性目标函数. 知识点二 线性规划问题一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题. 知识点三 可行解、可行域和最优解满足线性约束条件的解(x ，y )叫做可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解.在上述问题的图中，阴影部分叫可行域，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个可行解，其中能使②式取最大值的可行解称为最优解.1.可行域内每一个点都满足约束条件.(√)2.可行解有无限多个，最优解只有一个.(×)3.不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方.(×)类型一 最优解问题命题角度1 问题存在唯一最优解例1 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0，该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，求2x ＋3y 的最大值.考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值解 设区域内任一点P (x ，y )，z ＝2x ＋3y ， 则y ＝－23x ＋z3，这是斜率为－23，在y 轴上的截距为z3的直线，如图.由图可以看出，当直线y ＝－23x ＋z 3经过直线x ＝4与直线x ＋2y －8＝0的交点M (4,2)时，截距z3的值最大，此时2x ＋3y ＝14.反思与感悟 图解法是解决线性规划问题的有效方法，基本步骤(1)确定线性约束条件，线性目标函数； (2)作图——画出可行域；(3)平移——平移目标函数对应的直线z ＝ax ＋by ，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域或最后离开可行域，确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值. 跟踪训练1 已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围. 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值解 作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3所表示的平面区域(如图阴影部分所示)即为可行域.设z ＝2x －3y ，变形得y ＝23x －13z ，则得到斜率为23，且随z 变化的一组平行直线.－13z 是直线在y 轴上的截距， 当直线截距最大时，z 的值最小， 由图可知，当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点A 时，截距最大， 即z 最小.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝5，得A 点坐标为(2,3)，∴z min ＝2x －3y ＝2×2－3×3＝－5.当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点B 时，截距最小， 即z 最大.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，x ＋y ＝1，得B 点坐标为(2，－1).∴z max ＝2x －3y ＝2×2－3×(－1)＝7.∴－5≤2x －3y ≤7，即2x －3y 的取值范围是[－5,7]. 命题角度2 问题的最优解有多个例2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋y 的最大值有无数个最优解，求实数a 的值.考点 线性规划中的参数问题 题点 无数个最优解问题解 约束条件所表示的平面区域如图(阴影部分)，由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .当a ＝0时，最优解只有一个，过A (1,1)时取得最大值；当a ＞0，y ＝－ax ＋z 与x ＋y ＝2重合时，最优解有无数个，此时a ＝1； 当a <0，y ＝－ax ＋z 与x －y ＝0重合时，最优解有无数个，此时a ＝－1. 综上，a ＝1或a ＝－1.反思与感悟 当目标函数取最优解时，如果目标函数与平面区域的一段边界(实线)重合，则此边界上所有点均为最优解.跟踪训练2 给出平面可行域(如图阴影部分所示)，若使目标函数z ＝ax ＋y 取最大值的最优解有无穷多个，则a 等于( )A.14B.35C.4D.53考点 线性规划中的参数问题 题点 无数个最优解问题 答案 B解析 由题意知，当直线y ＝－ax ＋z 与直线AC 重合时，最优解有无穷多个，则－a ＝5－21－6＝－35，即a ＝35，故选B.类型二 生活中的线性规划问题例3 营养专家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪.1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1 kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 各多少kg? 将已知数据列成下表：考点 实际生活中的线性规划问题 题点 线性规划在实际问题中的应用解 设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总成本为z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0.105x ＋0.105y ≥0.075，0.07x ＋0.14y ≥0.06，0.14x ＋0.07y ≥0.06，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ≥5，7x ＋14y ≥6，14x ＋7y ≥6，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝28x ＋21y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示，把目标函数z ＝28x ＋21y 变形为y ＝－43x ＋z21，它表示斜率为－43，且随z 变化的一族平行直线，z21是直线在y 轴上的截距，当截距最小时，z 的值最小.由图可知，当直线z ＝28x ＋21y 经过可行域上的点M 时，截距最小，即z 最小.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ＝5，14x ＋7y ＝6，得M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫17，47. 所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 17 kg ，食物B 47 kg.反思与感悟 (1)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)在y 轴上的截距zb 是关于z 的正比例函数，其单调性取决于b 的正负.当b >0时，截距z b 越大，z 就越大；当b <0时，截距zb 越小，z 就越大.(2)求解的最优解，和目标函数与边界函数的斜率大小有关.跟踪训练3 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为________.考点 生活实际中的线性规划问题题点 线性规划在实际问题中的应用 答案 4,1解析 设甲、乙两种货物应各托运的箱数为x ，y ，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≤13，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .目标函数z ＝20x ＋10y ，画出可行域如图阴影部分所示.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝13，5x ＋4y ＝24，得A (4,1). 易知当直线z ＝20x ＋10y 平移经过点A 时，z 取得最大值，即甲、乙两种货物应各托运的箱数分别为4和1时，可获得最大利润.1.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A.－52B.0C.53D.52考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值答案 C解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)所示.设z ＝x ＋2y ，即y ＝－12x ＋12z ，平行移动直线y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋z 2过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，z 取最大值53，所以(x ＋2y )max ＝53. 2.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A.6B.7C.8D.23 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 B解析 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.3.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A.－3B.3C.－1D.1 考点 线性规划中的参数问题 题点 无数个最优解问题答案 A解析 －1a ＝2－14－1＝13，∴a ＝－3.4.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，6 B.⎣⎡⎦⎤－32，－1 C.[－1,6]D.⎣⎡⎦⎤－6，32 考点 线性目标最优解 题点 求目标函数的取值范围 答案 A解析 作出不等式表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，由z ＝3x －y ，可得y ＝3x －z ，则－z 为直线y ＝3x －z 在y 轴上的截距，截距越大，z 越小，结合图形可知，当直线y ＝3x －z 平移到B 时，z 最小，平移到C 时，z 最大，可得B ⎝⎛⎭⎫12，3，z min ＝－32，C (2,0)，z max ＝6，∴－32≤z ≤6. 5.给出平面区域如图阴影部分所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为________.考点 线性规划中的参数问题 题点 无数个最优解问题 答案 35解析 将z ＝ax ＋y 变形，得y ＝－ax ＋z .当它与直线AC 重合时，z 取最大值的点有无穷多个. ∵k AC ＝－35，∴－a ＝－35，即a ＝35.1.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l ；(3)平移——将直线l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.2.作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解.3.在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题.一、选择题1.若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域内，则2x －y 的最小值为( ) A.－6 B.－2 C.0 D.2 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 A解析 如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分(含边界)所示，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点A (－2,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6. 2.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A.9B.157C.1D.715考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 A解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z .当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0，得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9.3.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A.－7B.－4C.1D.2 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 A解析 可行域如图阴影部分(含边界)所示，令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知， 当直线l 0过D 点时，z 取得最小值.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0，得D (5,3). ∴z min ＝3－2×5＝－7，故选A.4.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A.3，－11B.－3，－11C.11，－3D.11,3考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 A解析 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时，z 有最小值，经过点B 时，z 有最大值.易求得A (3,5)，B (5,3).∴z max ＝3×5－4×3＝3，z min ＝3×3－4×5＝－11. 5.已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( )A.14B.12C.1D.2 考点 线性规划中的参数问题 题点 线性规划中的参数问题 答案 B解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示.易知直线z ＝2x ＋y 过交点B 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12，故选B.6.已知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，若z ＝ax ＋y 的最小值是2，则a 的值为( )A.1B.2C.3D.4考点 线性规划中的参数问题 题点 线性规划中的参数问题 答案 B解析 作出可行域，如图中阴影部分所示，又z ＝ax ＋y 的最小值为2，若a >－2，则(1,0)为最优解，解得a ＝2；若a ≤－2，则(3,4)为最优解，解得a ＝－23，舍去，故a ＝2.7.已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y确定.若M (x ，y )为D 上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( ) A.3 B.4 C.3 2 D.4 2 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 B解析 由线性约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，当目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.8.已知A (2,5)，B (4,1).若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( ) A.－1 B.3 C.7 D.8 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 C解析 作出线段AB ，如图所示，作直线2x －y ＝0并将其向下平移至直线过点B (4,1)时，2x －y 取最大值，为2×4－1＝7. 二、填空题9.已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________.(答案用区间表示) 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 [3,8]解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示. 在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值， z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值， z max ＝2×1＋3×2＝8. 所以z ∈[3,8].10.在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下，z ＝2x －y 的最小值是________.考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 －7解析 如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下的可行域，包含边界.三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)， x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一族与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z .即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7.11.某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，则所需租赁费最少为________元. 考点 生活实际中的线性规划问题 题点 线性规划在实际问题中的应用 答案 2 300解析 设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N ，y ∈N .目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域(图略)，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2 300. 三、解答题12.设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，求z ＝x ＋y 的取值范围.考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值解 作出约束条件表示的可行域，如图所示，z ＝x ＋y 表示直线y ＝－x ＋z 过可行域时，在y 轴上的截距，当目标函数平移至过可行域内的A 点时，z 有最小值.联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x －2y ＝2，解得A (2,0).z min ＝2，z 无最大值.∴x ＋y ∈[2，＋∞).13.某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t 支援物资的任务.该公司有8辆载重为6 t 的A 型卡车与4辆载重为10 t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元.请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？ 考点 生活实际中的线性规划问题 题点 线性规划在实际问题中的应用解 设需A 型、B 型卡车分别为x 辆和y 辆.列表分析数据.由表可知x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，24x ＋30y ≥180，0≤x ≤8，0≤y ≤4，x ，y ∈N ，且目标函数z ＝320x ＋504y .作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示.可知当直线z ＝320x ＋504y 过A (7.5,0)时，z 最小，但A (7.5,0)不是整点，继续向上平移直线z ＝320x ＋504y ，可知点(8,0)是最优解.这时z min ＝320×8＋504×0＝2 560(元)，即用8辆A 型车，成本费最低.所以公司每天调出A 型卡车8辆时，花费成本最低. 四、探究与拓展14.若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.355B. 2C.322 D. 5考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 B解析 画出不等式组所表示的平面区域如图(阴影部分)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，x ＋y －3＝0，得A (1,2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0，得B (2,1).由题意可知当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，阴影部分夹在这两条直线之间，且与这两条直线有公共点，所以这两条直线为满足条件的距离最小的一对直线，即|AB |＝(1－2)2＋(2－1)2＝ 2.故选B.15.已知变量x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，求a 的取值范围.考点 线性规划中的参数问题 题点 线性规划中的参数问题 解 依据约束条件，画出可行域.∵直线x ＋2y －3＝0的斜率k 1＝－12，目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)对应直线的斜率k 2＝－a ， 若符合题意，则需k 1＞k 2.即－12＞－a ，得a ＞12.。
线性规划在数学建模中的应用
线性规划在数学建模中的应用摘要：线性规划是运筹学中发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法，英文缩写LP。
它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。
为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。
本文在阅读了大量材料的基础上，集中体现了线性规划是如何应用到数学建模中去的。
并且在利用数学建模的思想以线性规划为工具可以解决哪些实际问题，为我们的生活提供哪些便利。
本文大体上可分为三章，第一章主要对线性规划和数学建模这两个理论做简要描述。
并且叙述这两个理论的发展历程，以及研究的背景及意义。
第二章主要介绍线性规划在数学建模中的应用，其中包括现在性规划在物流运输中的应用，线性规划在经济生活中的应用，以及线性规划在现代管理中的应用，并且配备了相应的例子。
第三章主要讨论线性规划在实际应用方面应注意哪些细节，并对第二章的数学模型进行优化，以及对最优解方面的讨论。
关键词：线性规划数学模型物流运输经济生活现代管理Abstract:Linear programming is developed rapidly and widely applied in operational research, the method is an important branch of mature, it is one of the scientific management of auxiliary people mathematical method. Study of linear objective function under the linear constraint condition extremum problems of mathematics theory and method of LP abbreviations. It is an important branch of operational research, widely used in military, economic analysis, management and engineering technology, etc. For reasonable use of the limited manpower and material resources, financial resources and other resources to make the optimal decision, provide the scientific basis.In this paper, on the basis of reading a lot of material, how concentrated the linear programming is applied to the mathematical modeling. And in using the ideas of mathematical modeling by means of linear programming can solve practical problems, which provide which is convenient for our life. The article in general can be divided into three chapters, the first chapter mainly on linear programming and mathematical modeling the two theories are described briefly. And the development of the two theories, as well as the research background and significance. The second chapter mainly introduces the application of linear programming in mathematical modeling, including the planning in the application of logistics transportation, now the application of linear programming in economic life, as well as the application of linear programming in the modern management, and equipped with corresponding examples. The third chapter mainly discuss details which should be paid attention to in practical application of linear programming, and optimize the mathematical model of the second chapter, and the optimal solution for the discussion.Keywords: Linear programming Mathematical model Logistics transportation The economic life Modern management第一章绪论1.1研究背景以及意义1.1.1研究背景1.1.2研究意义研究线性规划在数学建模中的应用其理论意义主要在于利用数学建模的手段，为线性规划更好的应用于显示生活中提供理论依据。
最优化理论和方法-第三章 线性规划拓展及应用
数学规划基础
2 1
e1
b
-4 1
c
3
e1
LHY-SMSS-BUAA
树解计算方式的线性代数解释
给定生成树 a点流平衡： d点流平衡： c点流平衡：
(共有 m-1 条弧)
-2 a 5d
2 1
-4
c
3
b
1
e1
b点流平衡：
第 3 章 线性规划：应用及扩展
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
树解计算方式的代数理解 (续)
第 3 章 线性规划：应用及扩展
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
原始网络单纯形法－既约费用系数的更新
新的树解去掉入弧，得两棵子树！
0a
T1
10 d
2 4
?
?
-13 4
c
?
23
3
b -11 与入弧同向桥接T1和T0
rab rab rde 1 2 1
T0 rdc rdc rde 0 2 2
(i, j) 使得
，称之为入弧.
Step 4. 确定出弧：入弧和出弧必形成一个圈. 如果圈中的所 有弧和入弧同向，则最优费用是 -∞，终止算法. 否 则，在与入弧反向的树弧中选一个流值最小的作为出弧.
Step 5. 转轴： 在当前树解中用入弧代替出弧，更新树解，得 新的树解. 转 Step2.
第 3 章 线性规划：应用及扩展
这里选取节点1作为根节点
5
7 个节点 8 条弧！
2
7-1=6 个基变量(树弧)，
6
8-6=2 个非基变量(非树弧) 3
7
第 3 章 线性规划：应用及扩展
4
数学规划基础
线性规划的实际应用
线性规划的实际应用第七届新世纪杯参评论文研究性学习——线性规划的实际应用天津一中高二数学备课组：吉学静、牛美娜、庞湃、何强、魏春晓、李俊山、顾若政、董楠、付善林申报人姓名：天津一中高二数学备课申报学科：数学学科联系方式：133********（天津一中高二数学备课组）研究性学习——线性规划的实际应用高二备课组：吉学静、牛美娜、庞湃、何强、魏春晓、李俊山、顾若政、董楠、付善林摘要本文是在学生掌握简单的线性规划知识的基础上，结合教材课程安排布置数学研究性学习作业，目的是对某些数学问题的探讨或者从数学角度对某些日常生活中和其它学科中出现的问题进行研究，充分体现教育新理念——以学生发展为本，调动学生自主学习的积极性和团结协作的意识，使学生注意体验数学活动的过程，以培养学生的创新精神和应用能力。
序言：《研究性学习与实习作业：线性规划的实际应用》是在学习了“简单的线性规划”之后，安排的一节研究性的活动和实习课。
这是高二（上）的一节研究性活动课，体现出它的独特地位。
线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支,是一门研究如何使用最少的人力，物力去最优地完成任务，它是解决科学研究、工程设计、经济管理、生产实践等许多方面的实际问题的专门科学。
由于它可以为我们提供最合乎经济原则的科学工作方法，因此在当前知识经济的潮流中，能发挥出越来越重要的作用。
虽然中学数学讲的线性规划是一些简单初步的知识，但在实际工作中的很多地方都能找到它的应用。
按照教材的课程安排，我们结合学生的实际情况让高二年级同学充分利用“十一”长假的机会进行社会实践，又通过学生自主学习，通过报刊、书籍及其它媒体获取有关资料确定研究主题，用线性规划的知识，在实际问题中提炼数学模型进行分析，独立或合作写出的研究报告。
目的在于启发学生体会和领悟其中的数学思想和方法,提高学生的综合素质、能力和培养学生树立知识的纵横联系、交叉、融合、渗透的学习意识,提高学生用数学知识解决实际问题的能力。
线性规划的应用
线性规划的应用引言：线性规划是一种优化问题的数学建模方法，广泛应用于各个领域，包括经济学、管理学、工程学等。
本文将介绍线性规划的基本概念、模型构建方法以及几个典型的应用案例。
一、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数被称为目标函数。
目标函数通常表示为一个或多个决策变量的线性组合。
2. 约束条件：线性规划问题还包括一组约束条件，这些条件限制了决策变量的取值范围。
约束条件通常表示为一组线性不等式或等式。
3. 决策变量：决策变量是问题中需要确定的变量，它们的取值将影响目标函数的值。
决策变量通常表示为一个向量。
二、线性规划模型的构建方法1. 确定决策变量：根据问题的特点，确定需要决策的变量，并给出变量的取值范围。
2. 建立目标函数：根据问题的目标，构建一个线性函数，该函数描述了需要最大化或最小化的目标。
3. 建立约束条件：根据问题中的限制条件，建立一组线性不等式或等式，限制决策变量的取值范围。
4. 求解线性规划模型：使用线性规划求解方法，如单纯形法或内点法，求解得到最优解。
三、线性规划的应用案例1. 生产计划优化：假设一个工厂有多个产品需要生产，每个产品的生产需要一定的资源和时间。
通过线性规划，可以确定每个产品的生产数量，以最大化总利润或最小化总成本。
2. 运输问题：假设有多个供应商和多个需求点，每个供应商的供应量和每个需求点的需求量已知。
通过线性规划，可以确定每个供应商向每个需求点运输的数量，以最小化总运输成本。
3. 投资组合优化：假设有多个投资标的可供选择，每个标的的收益率和风险已知。
通过线性规划，可以确定投资组合中每个标的的投资比例，以最大化预期收益或最小化预期风险。
4. 人力资源分配：假设一个公司有多个项目需要人力资源支持，每个项目需要的人力资源和每个人的能力已知。
通过线性规划，可以确定每个项目分配的人力资源，以最大化项目的总产出或最小化总成本。
结论：线性规划作为一种重要的数学工具，在各个领域的应用非常广泛。
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【解】 设x1、x2为每天加工甲、乙两种零件的件数，
则产品的产量是
y
min(
1 2
x1
,
1 3
x2
)
设备A、B每天加工工时的约束为
5x1 4x2 2 8 60 9x1 10x2 3 8 60
要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备 1小时的约束为
（5x1 4x2 ) (9x1 10x2 ) 60
x1 x2 10
3x1 x2 x1 6x2
15 15
x1 0，x2 0
均衡配套生产问题
【例3】均衡配套生产问题。某产品由2件甲零件和3件乙零 件组装而成。两种零件必须经过设备A、B上加工，每件甲 零件在A、B上的加工时间分别为5分钟和9分钟，每件乙零 件在A、B上的加工时间分别为4分钟和10分钟。现有2台设 备A和3台设备B，每天可供加工时间为8小时。为了保持两 种设备均衡负荷生产，要求一种设备每天的加工总时间不超 过另一种设备总时间1小时。怎样安排设备的加工时间使每 天产品的产量最大。
xi 0 (i 1, 2,3, 4,5)
﹡销售库存问题
【例5】时代服装公司生产一款新的时装，据预测今后6个月的
需求量如下表所示。每件时装用工2h和10元原材料费，售价40
元 。 该 公 司 1 月 初 有 4 名 工 人 ， 每 人 每 月 可 工 作 200h ， 月 薪
2000元。该公司可于任一个月初新雇工人，但每雇1人需一次
生产计划问题
【例1】某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种产品。这 些产品分别需要在设备A、B上加工，需要消耗材料C、D，按 工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工及所需要的资源 如表1所示。已知在计划期内设备的加工能力各为200台时， 可供材料分别为360、300公斤；每生产一件甲、乙、丙三种 产品，企业可获得利润分别为40、30、50元，假定市场需求 无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期 内总的利润收入最大？
Max z 6.5%x1+9.2%x2 +4.5%x3 +5.5%x4 +4.2%x5
（3）约束条件 ① 总投资额为20万现金 ② 汽车业的投资不得超过12万 ③ 电器业的投资不得超过8万 ④ 对长江汽车业的投资不得超过对汽车业投
资的65% ⑤ 对纸业的投资不得低于对汽车业投资的
20% ⑥ 非负
债券名称 黄河汽车 长江汽车 华南电器 西南电器 缜山纸业
回报率 6.5% 9.2% 4.5% 5.5% 4.2%
【解】 （1）决策变量 本问题的决策变量是对五种投资对象的投资额。
设：该公司对五种债券的投资额分别为x1 ，x2 ， x3 ，x4 ，x5（万元）。
（2）目标函数 本问题的目标是使得公司总回报额最大，即
42
x1 x1
2x2 5x2
4x3 200 x3 360
2x1 3x2 5x3 300
x1 0，x2 0，x3 0
产品配料问题
【例2】某饲料公司用甲、乙两种原料配制饲料，甲乙两种 原料的营养成份及配合饲料中所含各营养成份最低量由表2 给出。已知单位甲、乙原料的价格分别为10元和20元，求 满足营养需要的饲料最小成本配方。
数学模型（线性规划模型）
Max z 6.5%x1+9.2%x2 +4.5%x3 +5.5%x4 +4.2%x5
x1 x2 x3 x4 x5 20
x1
x2
12
s.t.
x3 x2
x4 8 65%(x1+x2 )
x5
20%(x1+x2 )
性额外支出1500元，也可辞退工人，但每辞退1人需补偿1000
元。如当月生产数超过需求，可留到后面月份销售，但需付库
存费每件每月5元，当供不应求时，短缺数不需补上。试帮助该
公司决策，如何使6个月的总利润最大。
月份 1
2
3
4
5
6
需求 500 600 300 400 500 800
销地
产地
B1
4
A1
资源
产品
表1 产品资源消耗
甲
乙
丙
设备A 设备B 材料C 材料D 利润(元/件)
3
1
2
2
2
4
4
5
1
2
3
5
40
30 50
现有资源
200 200 360 300
【解】 设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品的产 量, 则 数学模型为：
max Z 40x1 30x2 50x3
3x1 x2 2x3 200
表2 甲、乙两原料营养成份含量及最低需要量
甲原料 x 1 营养成分 （营养成分单位/原
料单位）
乙原料 x 2 （营养成分单位/原
料单位）
配合饲料的最 低含量
钙
1
1
10
蛋白质
3
1
15
热量
1
6
15
【解】 设x1、x2分别为甲、乙两种原料的用料数量, 则数 学模型为：
min Z 10x1 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx2
A2
2
A3
8
销量
8
运输问题
B2
B3
12
4
产量 B4
11 16
10
3
9 10
5
11
6 22
14
12
14
48
运筹学
第三章 线性规划在各个领 域的应用
薛威 2014年8月
课前思维锻炼
英国军队在一次激烈的抗战过后，医护 人员统计受伤人数。在这个连队中有100名 受伤士兵，据资料统计：其中有85名伤员 失去了一只脚，有80名失去了一只手，75 名失去了一只耳朵，70名失去了一只眼睛。 医护人员想得出至少有多少伤员同时失去 了一只脚、一只手、一只耳朵和一只眼睛， 但是又不想浪费时间挨个去统计。你能帮 助这位医护人员想出一种更好的解决方法 吗？
线性规划模型为
max Z y
1 y 2 x1
y
1 3
x2
5x1 4 x2
960
9－ x14x11－ 0 x62x2
1440 60
4 x1 6 x2 60 y、x1、x2 0
投资组合优化问题
【例4】投资组合优化问题。某公司董事会决定将20万现金进 行债券投资。经咨询，现有五种债券是较好的投资对象，它们 是：黄河汽车，长江汽车，华南电器，西南电器，缜山纸业。 它们的投资回报率如表3—12所示。为减少风险，董事会要求， 对汽车业的投资不得超过12万，对电器业的投资不得超过8万， 其中对长江汽车业的投资不得超过对汽车业投资的65%，对纸 业的投资不得低于对汽车业投资的20%。该公司应如何投资， 才能在满足董事会要求的前提下使得总回报额最大？