第三章 线性规划在各个领域的应用

A2
2
A3
8
销量
8
运输问题
B2
B3
12
4
产量 B4
11 16
10
3
9 10
5
11
6 22
14
12
14
48
42
x1 x1

2x2 5x2

4x3 200 x3 360
2x1 3x2 5x3 300
x1 0，x2 0，x3 0
百度文库
产品配料问题
【例2】某饲料公司用甲、乙两种原料配制饲料，甲乙两种 原料的营养成份及配合饲料中所含各营养成份最低量由表2 给出。已知单位甲、乙原料的价格分别为10元和20元，求 满足营养需要的饲料最小成本配方。
【解】 设x1、x2为每天加工甲、乙两种零件的件数，
则产品的产量是
y

min(
1 2
x1
,
1 3
x2
)
设备A、B每天加工工时的约束为
5x1 4x2 2 8 60 9x1 10x2 3 8 60
要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备 1小时的约束为
（5x1 4x2 ) (9x1 10x2 ) 60
xi 0 (i 1, 2,3, 4,5)
﹡销售库存问题
【例5】时代服装公司生产一款新的时装，据预测今后6个月的
需求量如下表所示。每件时装用工2h和10元原材料费，售价40
元 。 该 公 司 1 月 初 有 4 名 工 人 ， 每 人 每 月 可 工 作 200h ， 月 薪
2000元。该公司可于任一个月初新雇工人，但每雇1人需一次
Max z 6.5%x1+9.2%x2 +4.5%x3 +5.5%x4 +4.2%x5
（3）约束条件 ① 总投资额为20万现金 ② 汽车业的投资不得超过12万 ③ 电器业的投资不得超过8万 ④ 对长江汽车业的投资不得超过对汽车业投
资的65% ⑤ 对纸业的投资不得低于对汽车业投资的
20% ⑥ 非负
线性规划模型为
max Z y

1 y 2 x1

y

1 3
x2

5x1 4 x2
960
9－ x14x11－ 0 x62x2
1440 60

4 x1 6 x2 60 y、x1、x2 0
投资组合优化问题
【例4】投资组合优化问题。某公司董事会决定将20万现金进 行债券投资。经咨询，现有五种债券是较好的投资对象，它们 是：黄河汽车，长江汽车，华南电器，西南电器，缜山纸业。 它们的投资回报率如表3—12所示。为减少风险，董事会要求， 对汽车业的投资不得超过12万，对电器业的投资不得超过8万， 其中对长江汽车业的投资不得超过对汽车业投资的65%，对纸 业的投资不得低于对汽车业投资的20%。该公司应如何投资， 才能在满足董事会要求的前提下使得总回报额最大？
数学模型（线性规划模型）
Max z 6.5%x1+9.2%x2 +4.5%x3 +5.5%x4 +4.2%x5
x1 x2 x3 x4 x5 20

x1

x2
12
s.t.

x3 x2
x4 8 65%(x1+x2 )

x5

20%(x1+x2 )
x1 x2 10

3x1 x2 x1 6x2
15 15
x1 0，x2 0
均衡配套生产问题
【例3】均衡配套生产问题。某产品由2件甲零件和3件乙零 件组装而成。两种零件必须经过设备A、B上加工，每件甲 零件在A、B上的加工时间分别为5分钟和9分钟，每件乙零 件在A、B上的加工时间分别为4分钟和10分钟。现有2台设 备A和3台设备B，每天可供加工时间为8小时。为了保持两 种设备均衡负荷生产，要求一种设备每天的加工总时间不超 过另一种设备总时间1小时。怎样安排设备的加工时间使每 天产品的产量最大。
生产计划问题
【例1】某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种产品。这 些产品分别需要在设备A、B上加工，需要消耗材料C、D，按 工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工及所需要的资源 如表1所示。已知在计划期内设备的加工能力各为200台时， 可供材料分别为360、300公斤；每生产一件甲、乙、丙三种 产品，企业可获得利润分别为40、30、50元，假定市场需求 无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期 内总的利润收入最大？
资源
产品
表1 产品资源消耗
甲
乙
丙
设备A 设备B 材料C 材料D 利润(元/件)
3
1
2
2
2
4
4
5
1
2
3
5
40
30 50
现有资源
200 200 360 300
【解】 设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品的产 量, 则 数学模型为：
max Z 40x1 30x2 50x3
3x1 x2 2x3 200
运筹学
第三章 线性规划在各个领 域的应用
薛威 2014年8月
课前思维锻炼
英国军队在一次激烈的抗战过后，医护 人员统计受伤人数。在这个连队中有100名 受伤士兵，据资料统计：其中有85名伤员 失去了一只脚，有80名失去了一只手，75 名失去了一只耳朵，70名失去了一只眼睛。 医护人员想得出至少有多少伤员同时失去 了一只脚、一只手、一只耳朵和一只眼睛， 但是又不想浪费时间挨个去统计。你能帮 助这位医护人员想出一种更好的解决方法 吗？
性额外支出1500元，也可辞退工人，但每辞退1人需补偿1000
元。如当月生产数超过需求，可留到后面月份销售，但需付库
存费每件每月5元，当供不应求时，短缺数不需补上。试帮助该
公司决策，如何使6个月的总利润最大。
月份 1
2
3
4
5
6
需求 500 600 300 400 500 800
销地
产地
B1
4
A1
债券名称 黄河汽车 长江汽车 华南电器 西南电器 缜山纸业
回报率 6.5% 9.2% 4.5% 5.5% 4.2%
【解】 （1）决策变量 本问题的决策变量是对五种投资对象的投资额。
设：该公司对五种债券的投资额分别为x1 ，x2 ， x3 ，x4 ，x5（万元）。
（2）目标函数 本问题的目标是使得公司总回报额最大，即
表2 甲、乙两原料营养成份含量及最低需要量
甲原料 x 1 营养成分 （营养成分单位/原
料单位）
乙原料 x 2 （营养成分单位/原
料单位）
配合饲料的最 低含量
钙
1
1
10
蛋白质
3
1
15
热量
1
6
15
【解】 设x1、x2分别为甲、乙两种原料的用料数量, 则数 学模型为：
min Z 10x1 20x2