【新课标】2018年最新沪教版(五四制)九年级数学下册同步练习：垂径定理
沪教版(上海)数学九年级第二学期-27.3 (1) 垂径定理 教案
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯§27.3 （1）垂径定理教学目标：1、经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题；2、在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法；3、让学生积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现。
教学重点：掌握垂径定理，能应用垂径定理进行简单计算或证明。
教学难点：对垂径定理的探索和证明。
教学用具：圆规，三角尺，几何画板课件，圆形纸片教学过程：一、复习引入师：什么是轴对称图形？生：把一个图形沿着某一条直线翻折，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
师：请你判断下列哪些图形是轴对称图形？师：圆是轴对称图形吗？让我们来共同研究一下。
老师拿出事先准备好的圆形纸片，把这个圆形纸片沿着任意一条直径对折，然后观察折叠后的两个半圆有何关系？最后得出什么结论。
生：圆是轴对称图形。
师：你知道它的对称轴是什么吗？生：经过圆心的直线（它的直径）师：哪位同学说的对呢？生：对称轴是直线，而直径是线段，所以我们应该说圆的对称轴是经过圆心的直线，或者是直径所在直线。
结论：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。
观察并回答：操作：我们在圆形纸片上把刚才的折痕描绘出来，标记为CD。
在此纸片上再任意增加一条直径AB。
师：请问两条直径的位置关系是什么？生：两条直径始终是互相平分的。
师：把直径AB 向下平移，变成非直径的弦，直径CD 是否一定平分弦AB ？ 生：不一定二、新课1、猜想：弦AB 在怎样情况下会被直径CD 平分？2、得出猜想：当CD ⊥AB 时，弦AB 会被直径CD 平分。
师：思考：CD 是以点O 为圆心的直径，过直径上任一点E 作弦AB ⊥CD,将圆O 沿CD 对折，比较图中的线段和弧，你能发现有哪些相等的量？（教师用电脑课件演示图中沿直径CD 对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合。
沪科版九年级数学下册同步练习题-垂径分弦
24.2 圆的基本性质第2课时垂径分弦1.如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________.2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为__________.3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.4.圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________.二、课中强化(10分钟训练)1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________.2.如图，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.第2题图第3题图3.如图，弦AB的长为24 cm，弦心距OC=5 cm，则⊙O的半径R=__________ cm.4.如图所示，直径为10 cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长.三、课后巩固(30分钟训练)1.如图,⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B、C,则BC等于( )A.32B.33C.223D.233第1题图第2题图2.如图24-1-2-6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则OD 的长是( )A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm3.⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.4.如图所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？5. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.6.如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.(1)用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保留根号)(3)若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.7.⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，求OP长的取值范围.思路分析：求出OP长的最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP看作是一个变量，在动态中确定OP的最大值和最小值.事实上只需作OM⊥AB，求得OM即可.。
沪教课标版九年级下册数学：27.3 垂径定理
一、垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且
平分弦所对的两条弧．
条件
CD为直径 CD⊥AB
结论
A⌒E=B⌒E A⌒C=B⌒C
AD=BD
ห้องสมุดไป่ตู้
垂径定理的几何语言:
∵∴CADE=为B直E，径A，⌒CC=DB⌒⊥C，AAB⌒D=B⌒D．
C
O·
A
E
B
D
• 定理中的直径可以是直径、半径、弦心距 等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定 理的变式：
∴MC=MA
∵∠A=∠C,AB=CG C∴△MBA≌△MCG(SAS)
截长法
∴MB=MG
在△MBG中，MD⊥BG
∴BD=GD
∴CD=CG+GD=AB+BD
M
O N
B DG A
“垂线法” 证明：延长AB，过M点作MN⊥NB,垂 足为N点.
C
例2 如图，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为
弧AC上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，求△ABC
的周长？
A
A
O
D
B
E
C
O D
B FE C
一条直线具有：
经过圆心 垂直于弦
可推得
平分弦
平分弦所对的劣 （优）弧
垂径定理的推论: 合作探究
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的两条弧．
CD⊥AB吗？
条件
CD为直径
AE=BE
D
CD⊥AB
结论
⌒⌒ AC=BC
⌒⌒
AD=BD
C
Ｏ·
A
·Ｏ
(E)
九年级数学：垂径定理练习(第2课时)(含答案)
九年级数学：垂径定理练习(第2课时)（含答案）1．平分弦(____________)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧．2．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．3．垂径定理解读：(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项,则必具备另外三项．A组基础训练1．下列命题正确的有( )①垂直于弦的直径平分弦②平分弦的直径必垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧③平分弦的直线必过圆心④弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图,⊙O的弦AB＝8,M是AB的中点,且OM＝3,则⊙O的半径等于( )A．8 B．2 C．10 D．5第2题图3．如图,已知⊙O的半径为2cm,弦AB长23cm,则这条弦的中点C到弦所对劣弧的中点D 的距离为( )第3题图A ．1cmB ．2cm C.2cm D.3cm4．如图,一条公路弯道处是一段圆弧AB ︵,点O 是这条弧所在圆的圆心,C 是AB ︵的中点,OC 与AB 相交于点D.已知AB ＝120m ,CD ＝20m ,那么这段弯道的半径为( )第4题图A ．200mB ．2003mC ．100mD ．1003m5．如图,AB 为⊙O 的直径,CD 是弦,AB 与CD 相交于点E.若要得到结论AB⊥CD ,还需添加的条件是________________________________．(不添加其他辅助线)第5题图6.如图,AB ,CD 是⊙O 的直径,D 是AE ︵的中点,AE 与CD 交于点F ,若OF ＝3,则BE 的长为________．第6题图7．如图所示,AB 是半圆的直径,O 是圆心,C 是半圆上一点,E 是AC ︵的中点,OE 交弦AC 于点D.若AC ＝8cm ,DE ＝2cm ,则OD 的长为________．第7题图8.如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标是(10,0),点B 的坐标为(8,0),点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形,则点C 的坐标为________．第8题图9．如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB＝AC＝13,BC＝24,求⊙O的半径．第9题图10．(绍兴中考)如图1,小敏利用课余时间制作了一个脸盆架,图2是它的截面图,垂直放置的脸盆与架子的交点为A,B,AB＝40cm,脸盆的最低点C到AB的距离为10cm,求该脸盆的半径．第10题图B组自主提高11．如图所示,某游乐场的摩天轮⊙P的最高处A到地面l的距离是23m,最低处B到地面l的距离是3m,从B处乘摩天轮绕一周需3分钟,小明从B处乘摩天轮一周的过程中,当他到地面l的距离恰好是18m的时候应为第________分钟．第11题图11．如图,AB ,CD 是半径为5的⊙O 的两条弦,AB ＝8,CD ＝6,MN 是直径,AB ⊥MN 于点E ,CD ⊥MN 于点F ,P 为EF 上的任意一点,则PA ＋PC 的最小值为________．第12题图13．已知：如图,A 、B 、C 为⊙O 上三点,点D 、E 分别为AB ︵、AC ︵的中点,连结DE ,分别交AB 、AC 于点F 、G ,求证：AF ＝AG.第13题图C 组 综合运用14．如图,隧道的截面由圆弧AED 和矩形ABCD 构成,矩形的长BC 为12m ,宽AB 为3m ,隧道的顶端E (圆弧AED 的中点)高出道路(BC )7m.(1)求圆弧AED 所在圆的半径；(2)如果该隧道内设双行道,现有一辆超高货运卡车高6.5m ,宽2.3m ,问这辆货运卡车能否通过该隧道．第14题图3．3 垂径定理(第2课时)【课堂笔记】1．不是直径【课时训练】1－4.BDAC5．CE ＝DE 或AC ︵＝AD ︵或BC ︵＝BD ︵6．67．3cm8．(1,3)9．连结OA 交BC 于点D,连结OC,OB,∵AB ＝AC ＝13,∴AB ︵＝AC ︵,∴∠AOB ＝∠AOC ,∵OB ＝OC,∴AO ⊥BC,CD ＝12BC ＝12.在Rt △ACD 中,AC ＝13,CD ＝12,所以AD ＝132－122＝5,设⊙O 的半径为r,则在Rt △OCD 中,OD ＝r －5,CD ＝12,OC ＝r,所以(r －5)2＋122＝r 2,计算得出r ＝16.9.答：⊙O 的半径为16.9.第10题图10．如图,设圆的圆心为O,连结OA,OC,OC 与AB 交于点D,设⊙O 半径为R,∵OC ⊥AB,∴AD ＝DB ＝12AB ＝20,∠ADO ＝90°,在Rt △AOD 中,∵OA 2＝OD 2＋AD 2,∴R 2＝202＋(R －10)2,∴R ＝25,即该脸盆的半径为25cm.11．1或212．7 2第13题图13．连OD、OE,交AB、AC于M、N,∵OD＝OE＝r,∴∠ODE＝∠OED,而D,E分别为弧AB,弧AC的中点,∴OD、OE分别垂直于AB、AC,则有∠DFB＝∠EGC,∴∠AFG＝∠AGF,∴AF＝AG.14．(1)设圆心为点O,半径为R,连结OE交AD于F点,连结OA,OD,由垂径定理,得OF垂直平分AD,AF＝6,OF＝R－(7－3)＝R－4,由勾股定理,得AF2＋OF2＝OA2,即：62＋(R－4)2＝R2,解得R＝6.5米；(2)能通过,但要小心．车宽GH＝2.3,圆的半径OH＝6.5,由勾股定理,得OG＝ 6.52－2.32≈6.08,G点与BC的距离为7－6.5＋6.08＝6.58＞6.5；能通过．第14题图。
沪教版(五四制)九年级数学下同步练习：27.1垂径定理(无答案)
A．10cmB．8cm C． D．
3．有下列判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴有无数条．其中正确的判断有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
7．如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是_ ___m．
8．如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，求水的最大深度CD．
9．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，以C为圆心，CA为半径作圆交斜边AB于D，则AD的长为．
4．如图2，同心圆中，大圆的弦交AB于C．D若AB=4，CD=2，圆心O到AB的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（）
A．3:2B． :2 C． : D．5:4
5．等腰三角形腰长为4cm,底角为 ,则外接圆直径为（）
A．2cmB．4cm C．6cm D．8cm
6．如图,⊙O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么OP长的取值范围是．
(联结OM,ON)
13.已知，不过圆心的直线 交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥ 于E，BF⊥ 于F．求证：CE=DF．
(运用平行线分线段成比例定理证明H是EF的中点，图二OH是CD垂直平分线证明EH=EF)
14.如图，⊙O的直径AB＝15cm，有一条定长为9cm的动弦CD在弧AmB上滑动（点C与点A，点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F．
10．已知在⊙O中,弦AB的长是半径OAห้องสมุดไป่ตู้ 倍,C为弧AB的中点,AB．OC相交于点M．试判断四边形OACB的形状,并说明理由．
沪教新版九年级(下) 中考题同步试卷：27.3 垂径定理(02)
三、解答题（共 5 小题）
26．
； 27．
； 28．
； 29．
； 30．
；
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日期：2019/3/30 18:20:57； 用户：qgjyus er10 012；邮箱：q gjyus er10012.219 57750；学号 ：21985018
．
19．如图，点 A，B，C 在圆 O 上，OC⊥AB，垂足为 D，若⊙O 的半径是 10cm，AB＝12cm，
则 CD＝
cm．
20．如图，AB 为⊙O 的直径，CD⊥AB，若 AB＝10，CD＝8，则圆心 O 到弦 CD 的距离
为
．
21．如图，在⊙O 中，弦 CD 垂直于直径 AB 于点 E，若∠BAD＝30°，且 BE＝2，则 CD
沪教新版九年级（下）中考题同步试卷：27.3 垂径定理（02）
一、选择题（共 9 小题） 1．如图，⊙O 的半径为 1，△ABC 是⊙O 的内接等边三角形，点 D、E 在圆上，四边形 BCDE
为矩形，这个矩形的面积是（ ）
A．2
B．
C．
D．
2．如图，△ABC 内接于半径为 5 的⊙O，圆心 O 到弦 BC 的距离等于 3，则∠A 的正切值等 于（ ）
cm2．
三、解答题（共 5 小题） 26．如图，在⊙O 中，半径 OC 与弦 AB 垂直，垂足为 E，以 OC 为直径的圆与弦 AB 的一个
交点为 F，D 是 CF 延长线与⊙O 的交点．若 OE＝4，OF＝6，求⊙O 的半径和 CD 的长．
第6页个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于点 C，D（如图）． （1）求证：AC＝BD； （2）若大圆的半径 R＝10，小圆的半径 r＝8，且圆 O 到直线 AB 的距离为 6，求 AC 的 长．
【新课标】2018—2019年最新沪教版(五四制)九年级数学下册中考模拟试题6及答案解析
2017-2018学年（新课标）沪教版五四制九年级下册数学中考预测试卷（测试时间：100 分钟，满分：150 分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题，答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1． - 2 的绝对值等于（ ）A ．2；B ．2-；C ． 2±；D ．4±．2．计算 a 2 ⋅ 2a 3的结果是（ ） A ．62a ； B ．52a ； C ．68a ； D ．58a ．3．已知一次函数y x b =+的图像经过第一、三、四象限，则b 的值可以是（ ）A ．1-；B ．0；C ．1；D ．2．4．某单位在两个月内将开支从 24000元降到 18000元.如果设每月降低开支的百分率均为x (x >0)，则由题意列出的方程应是（ ）A ．()224000118000x +=；B ．()2180********x +=；C ．()224000118000x -=；D ．()218000124000x -=；5．如图，在△A B C 中，点D 、E 分别在A B 、A C 上，3A D =，2D B =，D E ∥B C ，则:D E B C 的值是（ ）A ．32； B ．23； C ．94； D ．35．6．在直角坐标平面内，点A 的坐标为()1,0，点B 的坐标为(),0a ，圆A 的半径为 2．下列说法中不正确的是（ ）A ．当1a =-时，点B 在圆A 上； B ．当1a <时，点B 在圆A 内；C ．当1a <-时，点B 在圆A 外；D ．当13a -<<时，点B 在圆A 内．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．4的平方根 ．8．分解因式39x x -= ．9．不等式237x +>的解集是 ．10．方程231x -=的根是 ．11．关于x的方程230-+=有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．x x m12．已知反比例函数的图像经过点(),3-则m的值为．3,2m和()13．将二次函数()212=---的图像沿y轴向上平移3个单位，那么平移后的二次函数解析式y x为．14．小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等．设小明打字速度为x个／分钟，那么由题意可列方程是．15．如图，已知点D、E分别是△A B C的边A B、A C的中点，若A B a=，B C b=，则向量A E=．16．如图，B E为正五边形A B C D E的一条对角线，则∠A B E=．17．在矩形A B C D中，点F是C D上的一点，沿A F折叠，点D恰好落在B C边上的E点，若3∠的值A B=，5B C=．则tan E F C为．18．如图，在直角坐标系中，P的圆心是()(),20P a a>半径为2；直线y x=被P截得的弦长为23，则a的值是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：()101184c o s 45 3.142π----+．20．（本题满分10分）解方程：221111x x +=-+．21．(本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）已知：如图，点点D 、E 分别在线段A C 、A B 上，A D A C A E A B ⋅=⋅．（1）求证：△A E C ∽△A D B ；（2）4A B =，5D B =，1s in 3C =，求A B D S △．22．(本题满分10分）从 2011 年 5 月 1 日起，我市公安部门加大了对“酒后驾车”的处罚力度，出台了不准酒后驾车的禁令.某记者在某区随机选取了几个停车场对开车的司机进行了相关的调查，本次调查结果有四种情况：A ．有酒后开车；B ．喝酒后不开车或请专业司机代驾；C ．开 车当天不喝酒；D ．从不喝酒.将这次调查情况整理并绘制了如下尚不完整的统计图一和图二，请根据相关信息，解答下列问题．（1）该记者本次一共调查了 名司机；（2）图一中的情况D 所在扇形的圆心角为______°；（3）补全图二；（4）在本次调查中，记者随机采访其中的一名司机，则他属于情况C的概率是；（5）若该区有3万名司机，则其中不违反“酒驾”禁令的人数约为人．23．(本题满分12分，每小题6分）如图，在梯形A B C D中，A D∥B C，B D平分A B C∠，B A D∠平分线交B C于E，联结E D．（1）求证：四边形A B E D是菱形；（2）当A B C∠=60°，E C B E=时，证明：梯形A B C D是等腰梯形．24．(本题满分12分，每小题4分）在平面直角坐标系中，已知抛物线22y x x c =-++过点()1,0A -；直线l ：334y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，与抛物线的对称轴交于点M ；抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）过点A 作A P l ⊥于点P ，P 为垂足，求点P 的坐标．（3）若N 为直线 l 上一动点，过点N 作x 轴的垂线与抛物线交于点E ．问：是否存在这样的点N ，使得点D 、M 、N 、E 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N 的横坐标；若不存在，请说明理由．25 ．(本题满分14分，其中第(1)、(2)小题各3分，第(3)（4）小题各4分)已知：正方形A B C D 的边长为1，射线A E 与射线B C 交于点E ，射线AF 与射线C D 交于点F ，45E A F ∠=． （1）如图1，当点E 在线段B C 上时，试猜想线段E F 、B E 、D F 有怎样的数量关系？并证明你的猜想．（2）设B E x=，当点E在线段B C上运动时（不包括点B、C），如图1，求y关于x的函=，D F y数解析式，并指出x的取值范围．（3）当点E在射线B C上运动时（不含端点B），点F在射线C D上运动.试判断以E为圆心以B E为半径的E和以F为圆心以F D为半径的F之间的位置关系.（4）当点E在B C延长线上时，设A E与C D交于点G，如图 2．问△E G F与△E F A能否相似，若能相似，求出B E的值，若不可能相似，请说明理由．参考答案及评分说明一、选择题：1．A；2．B；3．A；4．C ；5．D ；6．B ．二、填空题：7．2±；8．()()33x x x +-； 9．2x >；10．2x =；11．94m <；12．2-；13．()211y x =--+； 14．4；15．1122a b +；16．36；17．34；18．22-或22+．三、解答题19．解：()101184c o s 45 3.142π-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭2324122=-⨯-+ （8分）32221=-+（1分）21=+（1分）20．解：方程两边同乘21x-整理得220x x--=（4分）解得11x=-，22x=．（4分）经检验：11x=-是增根，22x=是原方程的根．（1分）所以原方程的根是2x=．（1分）21．证明：（1）∵A D A C A E A B⋅=⋅∴A D A EA B A C=（2分）又∵D A B E A C∠=∠，∴△A E C∽△A D B（2分）解：（2）∵△A E C∽△A D B，∴B C ∠=∠． （2分）过点A 作B D 的垂线，垂足为F ， 则14sin 433A F AB B =⋅=⋅=∴1141052233A B D S D B A F =⋅⋅=⨯⨯=△ （2分）22．解：（1）200 （2分）（2）162 （2分）（3）情况B ：16人，情况C ：92人 （2分）（4）()2350P C = （2分）（5）29700人 （2分） 23．证明：（1）∵A D ∥B C ，∴A D B D B C ∠=∠，又∵A B D D B C ∠=∠，∴A B D A D B ∠=∠．∴A B A D =． （2分）同理有A B B E =． （1分）∴A D B E =． 又∵A D ∥B E ．∴四边形A B C D 为平行四边形． （2分）又∵A B B E =．∴A B E D 为菱形． （1分）证明：（2）∵A B B E =，60A B C ∠=，∴△A B E 为等边三角形． （2分）∴A B A E =．又∵A D B E E C ==，A D ∥E C ．∴四边形A E C D 为平行四边形． （2分）∴A E D C =． ∴A B D C =．∴梯形A B C D 是等腰梯形． （2分） 24．解：（1）将点()1,0-代入22y x x c =-++，得012c =--+，∴3c = （1分） ∴抛物线解析式为：223y x x =-++ （1分）化为顶点式为()214y x =--+ （1分）∴顶点的坐标为()1,4 （1分）解：（2）设点P 的坐标为(),x y ．∵4,3O B O C ==，∴5B C = 又∵△A B P ∽△O B C ， ∴P B O B A BO C = （1分）故4545O B P B A B B C=⨯=⨯=有sin y P B C B O =⋅∠， ∴312455y =⨯=代入334y x =-+，得123354x =-+，解得45x = （1分）∴点P 坐标为412,55⎛⎫⎪⎝⎭（1分） 解：（3）将1x =代入334y x =-+，得94y =，故点M 的坐标为91,4⎛⎫⎪⎝⎭（1分） 得97444D M =-=，故只要74N E =即可 （1分）由()23723344x x x ⎛⎫-++--+= ⎪⎝⎭，得 241170x x -+=，解之得74x =，或1x =（不合题意，舍去）； （1分）有()23732344x x x ⎛⎫-+--++= ⎪⎝⎭，得241170x x --=， 解之得112338x ±= （1分）综上所述，满足题意的点N 的横坐标为174x =，2112338x +=，3112338x -=．25．（1）猜想：E F B E D F =+． (1分)证明：将△A D F 绕着点A 按顺时针方向旋转90，得△'A B F ，易知点'F 、B 、E 在一直线上．图1． (1分) ∵'A F A F =，'123904545F A E E A F ∠=∠+∠+∠=-==∠，又A E A E =，∴△'A F E ≌△A F E∴'E F F E B E D F ==+． (1分) 解：（2）由（1）得E F x y =+又1C F y =-，1E C x =-，∴ ()()()22211y x x y -+-=+ (1分)化简可得 ()1011x y x x-=<<+． (1+1分)解：（3）①当点E 在点B 、C 之间时，由（1）知 E F B E D F =+，故此时E 与F 外切；(1分)②当点E 在点C 时，0D F =，F 不存在．③当点E 在B C 延长线上时，将△A D F 绕着点A 按顺时针方向旋转90，得△'A B F ，图2．有'A F A F =,12∠=∠,'B F F D =,∴'90F A F ∠=．∴'45F A E E A F ∠=∠=．又A E A E =，∴△'A F E ≌△A F E ． (1分) ∴''E F E F B E B F B E F D ==-=-． (1分) ∴此时E 与F 内切． (1分)综上所述，当点E 在线段B C 上时，E 与F 外切；当点E 在B C 延长线上时，E 与F 内切．解：（4）△E G F 与△E F A 能够相似，只要当45E F G E A F ∠=∠=即可．这时有C F C E =． (1分) 设B E x =，D F y =，由（3）有E F x y =- 由222C E C FE F +=，得()()()22211x y x y -++=-．化简可得 ()111x y xx -=>+． (1分)又由E C F C =，得11x y -=+，即1111x x x --=++，化简得2210x x --=， (1分)解之得，112x =+，212x =-（不符题意，舍去） (1分)∴所求B E 的长为12+．。
沪教版(上海)数学九年级第二学期-26.3垂径定理 教案
26.3垂径定理一、教学目标：（1）理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理的结论进行证明，并能通过构造直角三角形解决一些简单的计算问题；（2）进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；（3）通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．教学重点：垂径定理及运用教学难点：运用垂径定理解决实际问题的能力二、知识点整理：请同学们观察几幅图片，看些图形，看他们有什么共同特点？【学生答】：这些图形都是轴对称图形。
（那么，你还记得我们学过图形中轴对称图形有哪些吗？每人说出一种即可。
）【学生答】：等腰三角形，等边三角形，矩形，菱形，正方形，等腰三角形，圆。
（圆是不是轴对称图形我们还没有研究过，它不算学过的轴对称图形。
刚才**同学提出了圆也是轴对称图形，他的说法对吗？让我们来共同研究一下。
下面同学们拿出你的圆形纸片，按老师的要求来做。
首先把这个圆形纸片沿着任意一条直径对折，然后观察折叠后的两个半圆有何关系？最后得出什么结论？）【学生答】：圆是轴对称图形。
师：那么你知道它的对称轴是什么样的吗？【学生答】：它的直径经过圆心的直线（有同学说是直径，有同学说是经过圆心的直线，谁说的对呢？同学们讨论一下。
）【学生答】：对称轴是直线而直径是线段，所以我们应该说圆的对称轴是经过圆心的直线。
（现在我们知道了圆是轴对称图形，直径所在的直线就是它的对称轴。
那么看图，AB是⊙O的直径，而CD是垂直AB的弦，在图中，你猜想一下会有那些等量关系。
CE=DE，弧AC=弧AD，弧BC=弧BD（学生答）这些等量关系如果用语言来叙述的话，我们可以说成什么？）【学生答】：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
这就是我们这一节课所要讲的一个重要定理——垂径定理。
首先我们分析一下这个定理的题设和结论。
题设：垂直于弦的直径。
结论：平分弦和弦所对的弧。
（学生完成） 根据题设和结论，结合图形，我们找出已知、求证，并进行证明。
沪教版(上海)数学九年级第二学期-27.3 (1)垂径定理 教案
2、思考：如图，是⊙O的直径，是⊙O的弦，且，垂足为，则图中有哪些相等的量？为什么？答：线段，，. 证明：分别联结.∵，,∴,，得.又∵CD是⊙O的直径,∴,即，∴给这条特殊的直径命名——垂直于弦的直径3．归纳定理我们得到了圆的一个性质定理：垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧（平分弦所对的优弧和劣弧）.简述为：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的弧.符号语言：∵过圆心0，，∴，（垂径定理）.注意：结论中“平分弦所对的弧”包括弦所对的劣弧和优弧.将弧平分的点是这条弧的中点.4．辨析：看下列图形，是否能使用垂径定理？检验学生知识点掌握程度加强文字的理解，学会根据题意画出图形。
训练学生的灵活运用数学知识解决归纳小结：垂径定理中的条件“圆的直径垂直于弦”，实质是指“一条过圆心的直线（或直线部分）与圆的一条弦具有垂直关系”.(二)例题示范：例题1：如图，已知，以点为圆心的两个圆中，大圆的弦交小圆于两点.求证：.证明：过点作于点.由垂径定理，得，同理：，∴，即.例2（赵州桥桥拱问题）1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）分析：如图，假设弧AB表示赵州桥的桥拱，桥拱的跨度为37.4米，拱高为7.2米，求桥拱所在圆的半径.（精确到0.1米）1、结合图形解释桥拱的跨度、拱高及弓形的含义.2、如何确定圆心的位置？3、图中哪些表示圆O的半径？4、如何建立等量关系？解：设圆O的半径为R，则OA=OB=OC=R根据题意，AB=37.4，CD=7.2，则OD=∵ OC⊥AB，且OC过圆心问题的能力检验学生掌握情况HB DAO C∴AD=AB=18.7在Rt△AOD中，∠ADO=90°∵AD+OD=OA∴18.7+=答：桥拱所在圆的半径约为27.9米.(三)、巩固练习1、已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长.2、已知⊙O的半径长为50cm，弦AB长50cm，求：（1）点O到AB的距离；（2）∠AOB的大小.(四)、课堂小结知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用．方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合可以计算弦长、半径、弦心距等问题，关键是构造直角三角形——作弦心距；(2)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．五、作业：练习册：习题27.3（1）培养学生的归纳概括能力课内诊断练习与教学调整1、在下列命题中，不正确的是（）A.一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，这个点在圆外B.一条直线垂直于圆的半径，这条直线一定是圆的切线C.两个圆的圆心距等于它们的半径之和，这两个圆外切D.圆心到一条直线的距离小于这个圆的半径，这条直线与圆有两个交点2、在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心、2为半径的圆必定（）A.与x轴相离，与y轴相切B.与x轴、y轴都相离C.与x轴相切，与y轴相离D.与x轴、y轴都相切3、的半径为5，圆心O到直线的距离为3，则直线与的位置关系是课后作业练习册：习题27.3（1）学生学习结果评价课后反思垂径定理及其推论揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；在垂径定理得出的过程中，体验了从感性到理性、从具体到抽象思维过程，有助于培养思维的严谨性.。
九年级数学下册27.1.3垂径定理教案沪教版五四制.doc
垂径定理及其推论（运用平行线分线段成比例定理证明H 是EF 的中点，图二0H 是CD 垂直平分线证明EH 二EF ）例3如图，00的直径AB=15cm,有一条定长为9cm 的动弦CD 在弧AmB 上滑动（点C 与点A,点D 与B 不重合）, 且CE 丄CD 交AB 于E, DF 丄CD 交AB 于F.（1） 求证：AE=BF （过点0作CD 的垂线）（2） 在动弦CD 滑动的过程屮，四边形CDEF 的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由.（定值S 二54） ” ----- 、—例4如图，在O0内，弦CD 与直径AB 交成45°角,若弦CD 交直径AB 于点P,且半+ PD 22•如图1, OO 的半径为6cm, AB. CD 为两弦，且AB 丄CD,垂足为点E,若CE=3cm, DE 二7cm,则AB 的长为（）A. 10cmB. 8cmC. 4迈cmD. 8近cm3•有下列判断：①肓径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③肖•径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴冇无A. 1cmB. 2cmC. y[2cmD. y/Scm数条.其中正确的判断冇（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4.如图2,同心圆中，大圆的弦交AB于C. D若AB二4, CD二2,圆心0到AB的距离等于1,那么两个同心圆的半径之比为（）6. 如图，00的直径为10,弦AB 二& P 是弦AB 上的一个动点，那么0P 长的取值范|韦I 是 _____ .7. 如图，已知有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB 二16cm,拱高CD 二4cm,那么拱形的半径是 _____ m.8. 如图,直径为1000mm 的圆柱形水管有积水（阴影部分）,水面的宽度昇〃为800mm,求水的最大深度⑦A. 3:2B. V5 :2C. 75 : V2D. 5:45.等腰 外接圆三角形腰长为4cm,底角为3（）。
2025年沪科版九年级下册数学第24章专题3 垂径定理的应用
专题
(1)求AD的长； 【解】∵半径 OC⊥AB，AB＝80 mm， ∴AD＝12AB＝40 mm.
专题
(2)求半径OA的长． 【解】∵OC⊥AB，∴∠ADO＝90°. 设半径 OA 的长为 x mm，则 OC＝OA＝x mm， 又∵CD＝14 mm，∴OD＝OC－CD＝(x－14) mm. ∵在 Rt△OAD 中，AD2＋OD2＝OA2， ∴402＋(x－14)2＝x2，解得 x＝6417.∴半径 OA 的长为 6417 mm.
专题
∴ OM＝12OA＝5.∴ OE＝OM－ME＝5－4＝1.连接 MC， 则 MC＝OM＝5.∴在 Rt△CMF 中，MF＝3.∴ 易得点 C 的坐标为(1，3).
专题
(2)在(1)的条件下，试在平面直角坐标系内确定点N，使 △NOA与△AOC相似，直接写出所有符合条件的点N的 坐标．
【解】N1(1，－3)，N2(9，3)，N3(9，－3)，N4(10，30)， N5(10，－30)，N6(0，30)，N7(0，－30)，N810，130， N910，－130，N100，130，N110，－130.
专题
∵CD＝18 m，AE＝10 m，AB＝24 m，HD＝17 m， ∴易得 CG＝8 m，AG＝12 m，CH＝1 m. 设圆拱的半径为 r m，在 Rt△AOG 中，OA2＝OG2＋AG2， ∴易得 r2＝(r－8)2＋122，解得 r＝13. ∴OM＝OC＝13 m．∴OH＝13－1＝12(m). 在 Rt△MOH 中，OM2＝OH2＋MH2，∴132＝122＋MH2. 解得 MH＝5 m．∴MN＝2MH＝10 m.
－EB＝13－8＝5.∴在 Rt△OCE 中，由勾
股定理，得 CE＝12，∴ CD＝2CE＝24.
【新课标】最新沪教版(五四制)九年级数学下册中考模拟试题6及答案解析
2017-2018学年（新课标）沪教版五四制九年级下册数学中考预测试卷（测试时间：100 分钟，满分：150 分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题，答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．- 2 的绝对值等于（）A．2；B．2-；C．2±；D．4±．2．计算a2 ⋅ 2a 3 的结果是（）A．62a；B．52a；C．68a；D．58a．3．已知一次函数y x b=+的图像经过第一、三、四象限，则b的值可以是（）A．1-；B．0；C．1；D ．2．4．某单位在两个月内将开支从 24000元降到 18000元.如果设每月降低开支的百分率均为x(x>0)，则由题意列出的方程应是（ ）A ．()224000118000x +=；B ．()218000124000x +=；C ．()224000118000x -=；D ．()2180********x -=；5．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，3AD =，2DB =，DE ∥BC ，则:DE BC 的值是（ ）A ．32；B ．23； C ．94；D ．35．6．在直角坐标平面内，点A 的坐标为()1,0，点B 的坐标为(),0a ，圆A 的半径为 2．下列说法中不正确的是（ ）A ．当1a =-时，点B 在圆A 上； B ．当1a <时，点B 在圆A 内；C ．当1a <-时，点B 在圆A 外；D ．当13a -<<时，点B 在圆A 内．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．4的平方根 ．8．分解因式39-=．x x9．不等式237x+>的解集是．10．方程231x-=的根是．11．关于x的方程230-+=有两个不相等的实数根，则m的取值范围x x m是．12．已知反比例函数的图像经过点(),3-则m的值为．m和()3,213．将二次函数()212=---的图像沿y轴向上平移3个单位，那么平移后y x的二次函数解析式为．14．小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等．设小明打字速度为x个／分钟，那么由题意可列方程是．15．如图，已知点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若AB a=，BC b=，则向量AE=．16．如图，BE为正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ABE=．17．在矩形ABCD中，点F是CD上的一点，沿AF折叠，点D恰好落在BC边上的E点，若3BC=．则AB=，5∠的值为．tan EFC18．如图，在直角坐标系中，P的圆心是()(),20P a a>半径为 2；直线y x=被P截得的弦长为23，则a的值是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分） 计算：()101184cos 45 3.142π----+ ．20．（本题满分10分）解方程：221111x x +=-+．21．(本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）已知：如图，点点D 、E 分别在线段AC 、AB 上，AD AC AE AB ⋅=⋅．（1）求证：△AEC ∽△ADB ；（2）4AB =，5DB =，1sin 3C =，求ABD S △．22．(本题满分10分）从 2011 年 5 月 1 日起，我市公安部门加大了对“酒后驾车”的处罚力度，出台了不准酒后驾车的禁令.某记者在某区随机选取了几个停车场对开车的司机进行了相关的调查，本次调查结果有四种情况：A．有酒后开车；B．喝酒后不开车或请专业司机代驾；C．开车当天不喝酒；D．从不喝酒.将这次调查情况整理并绘制了如下尚不完整的统计图一和图二，请根据相关信息，解答下列问题．（1）该记者本次一共调查了名司机；（2）图一中的情况D所在扇形的圆心角为______°；（3）补全图二；（4）在本次调查中，记者随机采访其中的一名司机，则他属于情况C的概率是；（5）若该区有3万名司机，则其中不违反“酒驾”禁令的人数约为人．23．(本题满分12分，每小题6分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分ABC∠，BAD∠平分线交BC于E，联结ED．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）当ABC=时，证明：梯形ABCD∠=60°，EC BE是等腰梯形．24．(本题满分12分，每小题4分）在平面直角坐标系中，已知抛物线22y x x c =-++过点()1,0A -；直线l ：334y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，与抛物线的对称轴交于点M ；抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）过点A 作AP l ⊥于点P ，P 为垂足，求点P 的坐标．（3）若N 为直线 l 上一动点，过点N 作x 轴的垂线与抛物线交于点E ．问：是否存在这样的点N ，使得点D 、M 、N 、E 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N 的横坐标；若不存在，请说明理由．25 ．(本题满分14分，其中第(1)、(2)小题各3分，第(3)（4）小题各4分)已知：正方形ABCD 的边长为1，射线AE 与射线BC 交于点E ，射线AF 与射线CD 交于点F ，45EAF ∠=．（1）如图1，当点E 在线段BC 上时，试猜想线段EF 、BE 、DF 有怎样的数量关系？并证明你的猜想．（2）设BE x =，DF y =，当点E 在线段BC 上运动时（不包括点B 、C ），如图 1，求y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围．（3）当点E 在射线BC 上运动时（不含端点B ），点F 在射线CD 上运动.试判断以E 为圆心以BE 为半径的E 和以F 为圆心以FD 为半径的F 之间的位置关系.（4）当点E在BC延长线上时，设AE与CD交于点G，如图 2．问△EGF与△EFA能否相似，若能相似，求出BE的值，若不可能相似，请说明理由．参考答案及评分说明一、选择题：1．A；2．B；3．A；4．C；5．D；6．B．二、填空题： 7．2±； 8．()()33x x x +-； 9．2x >； 10．2x =； 11．94m <； 12．2-； 13．()211y x =--+；14．4； 15．1122a b +； 16．36； 17．34； 18．22-或22+．三、解答题 19． 解：()11184cos45 3.142π-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭2324122=-⨯-+（8分）32221=-+（1分）21=+（1分）20．解：方程两边同乘21x-整理得220x x--=（4分）解得11x=-，22x=．（4分）经检验：11x=-是增根，22x=是原方程的根．（1分）所以原方程的根是2x=．（1分）21．证明：（1）∵AD AC AE AB⋅=⋅∴AD AEAB AC=（2分）又∵DAB EAC∠=∠，∴△AEC∽△A （2分）解：（2）∵△AEC∽△ADB，∴B C∠=∠．（2分）过点A 作BD 的垂线，垂足为F ， 则14sin 433AF AB B =⋅=⋅= ∴1141052233ABD S DB AF =⋅⋅=⨯⨯=△（2分） 22． 解：（1）200（2分）（2）162（2分）（3）情况B：16人，情况C：92人（2分）（4）()2350P C =（2分）（5）29700人（2分） 23．证明：（1）∵AD ∥BC ，∴ADB DBC ∠=∠，又∵ABD DBC ∠=∠，∴ABD ADB ∠=∠． ∴AB AD=．（2分）同理有A=．（1分）∴AD BE=．又∵AD∥BE．∴四边形A B为平行四边形．（2分）又∵AB BE=．∴ABED为菱形．（1分）证明：（2）∵AB BE=，60∠=，ABC∴△ABE为等边三角形．（2分）∴AB AE=．又∵AD BE EC==，AD∥EC．∴四边形AECD为平行四边形．（2分）∴AE DC=．∴AB DC=．∴梯形ABCD是等腰梯形． （2分） 24．解：（1）将点()1,0-代入22y x x c =-++，得012c =--+，∴3c =（1分）∴抛物线解析式为：223y x x =-++（1分）化为顶点式为()214y x =--+（1分）∴顶点的坐标为()1,（1分）解：（2）设点P 的坐标为(),x y ．∵4,3OB OC ==，∴5BC = 又∵△ABP ∽△OBC ， ∴PB OBAB OC=（1分）故4545OB PB AB BC =⨯=⨯= 有sin y PB CBO =⋅∠，∴312455y =⨯= 代入334y x =-+，得123354x =-+，解得45x =（1分）∴点P坐标为412,55⎛⎫ ⎪⎝⎭（1分） 解：（3）将1x =代入334y x =-+，得94y =，故点M的坐标为91,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（1分）得97444DM =-=，故只要74NE =即可（1分）由()23723344x x x ⎛⎫-++--+= ⎪⎝⎭，得241170x x -+=，解之得74x =，或1x =（不合题意，舍去）；（1分）有()23732344x x x ⎛⎫-+--++= ⎪⎝⎭，得241170x x --=， 解之得118x ±=（1分）综上所述，满足题意的点N 的横坐标为174x =，2112338x +=，3112338x -=．25． （1）猜想：E F=+．(1分)证明：将△ADF 绕着点A 按顺时针方向旋转90，得△'ABF ，易知点'F 、B 、E 在一直线上．图1． (1分) ∵'AF AF =，'123904545F AE EAF ∠=∠+∠+∠=-==∠，又AE AE =，∴△'AF E ≌△AFE∴'EF F E BE DF ==+． (1分)解：（2）由（1）得EF x y =+又1CF y =-，1EC x =-， ∴ ()()()22211y x x y -+-=+ (1分)化简可得 ()1011xy x x-=<<+．(1+1分)解：（3）①当点E 在点B 、C 之间时，由（1）知 E F B ED F =+，故此时E与F 外切；(1分)②当点E 在点C 时，0DF =，F 不存在．③当点E 在BC 延长线上时， 将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90，得△'ABF ，图2．有'AF AF =,12∠=∠,'BF FD =,∴'90F AF ∠=．∴'45F AE EAF ∠=∠=．又AE AE =，∴△'A FE≌△AFE ．(1分)∴''EF EF BE BF BE FD==-=-．(1分)∴此时E与F内切． (1分)综上所述，当点E 在线段BC 上时，E 与F 外切；当点E 在BC 延长线上时，E 与F 内切．解：（4）△EGF 与△EFA 能够相似，只要当45EFG EAF ∠=∠=即可．这时有C =．(1分)设BE x =，DF y =，由（3）有EF x y =- 由222CE CF EF +=，得()()()22211x y x y -++=-． 化简可得 ()111x y x x -=>+．(1分)又由EC FC =，得11x y-=+，即1111x x x --=++，化简得2210x x --=，(1分)解之得，112x =+，212x =-（不符题意，舍去）(1分)∴所求BE 的长为12+．。
《垂径定理》课后习题-九年级下册数学沪科版
垂径定理课后习题
1.如图,在半径为5 cm的☉O中,弦AB=6 cm,OC⊥AB于点C,则OC等于()
(A)3 cm (B)4 cm
(C)5 cm (D)6 cm
2、(2017长沙)如图,AB为圆O的直径,弦CD⊥AB于点E,已知CD=6,EB=1,则圆O 的半径为?
3、如图是某座天桥的设计图,设计数据如图所示,桥拱是圆弧形,则桥拱的半径为()
(A)13 m (B)15 m (C)20 m (D)26 m
5.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道圆形截面的半径,如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
(1)请你用直尺和圆规作图,确定圆心的位置.(保留作图痕迹,不写作法)
6、某公园中央地上有一个大理石球,小明想测量球的半径,于是找了两块厚20 cm 的砖塞在球的两侧(如图所示),他量了下两砖之间的距离刚好是80 cm,聪明的你,请你算出大理石球的半径是()
(A)40 cm (B)30 cm (C)20 cm (D)50 cm。
九年级数学下册27.1圆认识《垂径定理》典型例题素材(新版)华东师大版
?垂径定理?典型例题例1. 选择题：〔1〕以下说法中，正确的选项是〔〕A. 长度相等的弧是等弧B. 两个半圆是等弧C. 半径相等的弧是等弧D. 直径是圆中最长的弦答案：D〔2〕以下说法错误的选项是〔〕A. 圆上的点到圆心的距离相等B. 过圆心的线段是直径C. 直径是圆中最长的弦D. 半径相等的圆是等圆答案：B例2. 如图，AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB。
剖析：要证弧相等，可证弧所对的弦相等，也可证弧所对的圆心角相等。
证明：连接OC、OD∵M、N分别是OA、OB的中点∵OA＝OB，∴OM＝ON又CM⊥AB，DN⊥AB，OC＝ODRt△OMC≌Rt△OND∴∠AOC＝∠BOD例3.在⊙O中，弦AB＝12cm，点O到AB的距离等于AB的一半，求∠AOB的度数和圆的半径。
剖析：依据O到AB的距离，可利用垂径定理解决。
解：过O点作OE⊥AB于E∵AB＝12由垂径定理知：∴△ABO为直角三角形，△AOE为等腰直角三角形例4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。
求AB、AD的长。
剖析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。
解：过点C作CF⊥AB于F∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4∵∠A＝∠A，∠AFC＝∠ACB∴△AFC∽△ACB例5.如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。
剖析：⊙O中弦长求半径，往常作弦心距结构直角三角形，利用勾股定理求解。
解：连OA，过点O作OM⊥AB于点M∵点P在AB上，PA＝4cm2即⊙O的半径为7cm例6.如图“五段彩虹展翅飞〞是某省利用国债资本修筑的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。
剖析：略解：如图，设圆拱所在圆的圆心为那么OC⊥AB于D O，半径为r，CD为拱高答：这个圆拱所在圆的直径为米。
九年级数学： 垂径定理典型例题及练习
典型例题分析：例题1、 基本概念1．下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm.3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.O A E F例题3、度数问题1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径.2、已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。
例题4、相交问题如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.例题5、平行问题在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离.例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为b a ,.求证：22b a BD AD -=⋅.例题7、平行与相似已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，于CD AE ⊥E ，CD BF ⊥于F .求证：FD EC =.A B DCE O作 业：一、概念题1．下列命题中错误的有（）（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦（3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）（A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤（C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<3．如图，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的是（ ）A ．DE CE =B ．C ．BAD BAC ∠=∠D ．AD AC >4．如图，AB 是⊙O 直径，CD 是⊙O 的弦，CD AB ⊥于E ，则图中不大于半圆的相等弧有（ ）对。
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2017-2018学年（新课标）沪教版五四制九年级下册
27.3 垂径定理
一、课本巩固练习
1、如图 ，已知⊙O 的弦AB 长为10，半径长R 为7,OC 表示AB 的弦心距，求OC 的长。
2、已知：⊙O 的半径长为50厘米，弦AB 长为50厘米。
求（1）点O 到AB 的距离。
（2）AOB 的大小。
3、如图，已知⊙O 的半径OC 垂直于弦AB ，垂足为D ，AD 长为2厘米，弧AB 长5厘米，求：（1）AB 的长。
（2）弧AC 的长。
D
第3题
O A
B
C
第1题
O
A
B
C
4、如图，已知P 是⊙O 内一点，画一条弦AB ，使AB 经过点P ，并且AP=PB.
5、如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，45CEA ∠=︒，
OF CD ⊥,垂足为点F ，DE=7，OF=2，求CD 的长。
二、基础过关
1．已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长cm 32，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（ ）． A ．1cm B ．2cm C ．cm 2 D ．cm 3
2．如图1，⊙O 的半径为6cm ，AB ．CD 为两弦，且AB ⊥CD ，垂足为点E ，若CE=3cm ，DE=7cm ，则AB 的长为（ ）
A ．10cm
B ．8cm
C ．cm 24
D ．cm 28
3．有下列判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴有无数条．其中正确的判断有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
4．如图2，同心圆中，大圆的弦交AB 于C ．D 若AB=4，CD=2，圆心O 到AB 的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ）
第4题
O
P E
第2题
O
A B
C
D
F
A
B
D
C O 800
A ．3:2
B ．5:2
C ．5:2
D ．5:4
5．等腰三角形腰长为4cm,底角为 30,则外接圆直径为（ ） A ．2cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm
6．如图,⊙O 的直径为10,弦AB=8,P 是弦AB 上的一个动点,那么OP 长的取值范围是 ． 7．如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是_ _ __m ．
8．如图，直径为1000mm 的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB 为800mm ，求水的最大深度CD ．
9．如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，以C 为圆心，CA 为半径作圆交斜边AB 于D ，则AD 的长为 ．
A
B
C
D
B
P
A
O D C
B
A
A
D
E
C B
·
图1
A
·
C
D
B
图2
10．已知在⊙O 中,弦AB 的长是半径OA 的3倍,C 为弧AB 的中点,AB ．OC 相交于点M ．试判断四边形OACB 的形状,并说明理由．
11．如图，在⊙O 中，弦AB ⊥AC ，弦BD ⊥BA ，AC ．BD 交直径MN 于E 、F ．求证：ME=NF ．（作AB 的
垂线）
12. 如图AB ．CD 是⊙O 的弦，M ．N 分别是AB ．CD 的中点，且CNM AMN ∠=∠．求证：AB=CD ． (联结OM,ON)
13.已知，不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F ．求证：CE=DF ．
M
C
B
A
O O
A B D C E
F
M
N
A B D
C O
· N
M
l
∙
问题一图1 O
H
F
E D C
B
A l
∙
问题一图2
O H F E D
C B
A
l
∙
问题一图3
O
H F
E D C B
A
(运用平行线分线段成比例定理证明H 是EF 的中点，图二OH 是CD 垂直平分线证明EH=EF)
14. 如图，⊙O 的直径AB ＝15cm ，有一条定长为9cm 的动弦CD 在弧AmB 上滑动（点C 与点A ，点D 与B 不重合），且CE ⊥CD 交AB 于E ，DF ⊥CD 交AB 于F ． （1）求证：AE ＝BF （过点O 作CD 的垂线）
（2）在动弦CD 滑动的过程中，四边形CDEF 的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由．（定值S=54）
15. 如图，在⊙O 内，弦CD 与直径AB 交成045角，若弦CD 交直径AB 于点P ，且⊙O 半径为1，试问：
2
2PD PC + 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． （联结OC ，过点O 作CD 的垂线，定值等于2）
O
A
B
C D E
F
m
A
B C
D
P
O
．。