最新高考-高考数学训练题与高考题的对对接 精品
高考数学对接演练——圆锥曲线
《圆锥曲线》高考对接演练《圆锥曲线》高考对接演练【E1】已知椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>的离心率e2，左,右焦点为12,F F，抛物线2y=的焦点恰好是椭圆的一个顶点（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）若斜率为k k0)≠（的直线l与x轴交于点A（2，0），与椭圆C交于两点M，N，证明：212N F F=M F A∠∠（Ⅲ）在（2）的条件下，求2F M N∆的面积的最大值【E 2】在平面直角坐标系中，A B C 的两个顶点的坐标为A (1,0)-，B （1，0），平面内的两点G ，M 同时满足 ① 0GA GB GC ++= , ② ||||||M A M B M C ==,③G M AB（Ⅰ）求A B C 的顶点C 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）过点D （3，0）的直线l 与（1）中的轨迹E 交于P 、Q两点，求D P D Q⋅的取值范围；（Ⅲ）在（2）的条件下，求OPQ 的最大面积。
【E 3】设椭圆：的焦点分别为、，抛物线C : 的准线与轴的交点为A ，且．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点（如图），求四边形DMEN 面积的最大值和最小值．1C )0(12222>>=+b a by ax 1(1,0)F -2(1,0)F 224y ax =-x 122AFAF =1C 1F 2F【E 4】（2010 山东 文）如图，已知椭圆过点.，离心，左、右焦点分别为、.点为直线上且不在轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D ，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线、的斜线分别为、.① 证明：；② 问直线上是否存在点，使得直线OA 、OB 、OC 、OD 的斜率、、、满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由.22221 (0)x y a b ab+=>>(1,221F 2F P :2l x y +=x 1P F 2P F 1PF 2P F 1k 2k 12132k k -=l P O A k O B k O C k O D k 0O A O B O C O D k k k k +++=P【E 5】直线l 与椭圆22221(0)y x a b ab+=>>交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，已知11(,)m ax by = ， 22(,)n ax by = ，若mn ⊥，且椭圆的离心率2e =，又椭圆过点,1)2，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l 过椭圆的焦点(0,)F c （c 为半焦距），求直线l 的斜率k 的值； （Ⅲ）试问：A O B ∆的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.由 22223(4)231014y kx k x kx y x ⎧=+⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩ 显然0∆> 121222231,44k x x x x k k --+==++由已知 0m n ⋅=得：22121212124(3)(3)a x x b y y x x kx kx +=+++21212(4)3()3k x x k x x =++++222123(4)()33044k k k k k -=+-+⋅+=++解得2k =± （Ⅲ）①当直线AB 斜率不存在时，即2121,x x y y ==-，由已知0m n ⋅=，得22221111404x y y x -=⇒=又11(,)A x y 在椭圆上， 所以 221111421||,||242x x x y +=⇒==1121111||||||2||122S x y y x y =-=⋅=,三角形的面积为定值.②当直线AB 斜率存在时：设AB 的方程为y kx t =+22222(4)24014y kx t k x ktx t y x =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩ 必须0∆> 即222244(4)(4)0k t k t -+->得到212122224,44kt t x x x x k k --+==++， ∵m n ⊥，∴12121212404()()0x x y y x x kx t kx t +=⇔+++=代入整理得：2224t k -=2121121||1||||()4221t S AB t x x x x k==+-+ 2222||44164142||t k t tk t -+===+所以三角形的面积为定值。
高考 数学专题对点练15 4-1~4-2组合练(含答案解析)
) D.60
B.24
C.30
∵S8=16,∴8a 1 +
8×7 ×d=16,② 2 3 2 3 2 10×9 ×1=30. 2
联立①②解得 a1=- ,d=1.则 S10=10×(- ) +
5.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S 3 =a2 +10a1,a 5 =9,则 a1 =( A.
1-2
=2
2 017
二、填空题(共 3 小题,满分 15 分) 10.(2017 辽宁鞍山一模,理 15)已知等差数列{a },a 225°,a =13a n =tan 1 5 ,设 S1 为数列 n {(-1) a }的前 n 项和,则 S2 017=
n n
.
答案 -3 025 解析 设{an}的公差为 d,由题意,得 a 1 =tan 225°=tan 45°=1,a =13a5 =13,a5 1a =4d=12,∴d=3,
专题对点练 15 4.1~4.2 组合练 (限时 90 分钟,满分 100 分) 专题对点练第 21 页 一、选择题(共 9 小题,满分 45 分) 1.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1+a3+a 5 =3,则 S5 =( )
A.5 答案 A
B.7
C.9
D.11
解析 由 a1+a3+a 5=3,得 3a 3 =3,解得 a3 =1. 故 S =5( 1+
第 3页共 7页
) B.2
2 018
+1
D.22 017 +1
解析 由 a =1 和 an+1=3×2
1
n-1 -a
,可知数列{a n}唯一确定,且 n 是满足题意的唯一解.
2023年高三数学对接新高考全真模拟试卷(云南,安徽,黑龙江,山西,吉林五省通用)(参考答案)
2023年高三数学对接新高考全真模拟试卷04（云南，安徽，黑龙江，山西，吉林五省通用）参考答案题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 B B C B D A 题 号 7 8 9 10 11 12 答 案CBABDBCACABD1．B 【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .2．B 【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅. 故选：B.3．C 【详解】如图，EB ＋FC ＝EB ＋BC ＋FC ＋CB ＝EC ＋FB ＝12AC ＋12AB ＝()12AC AB +122AD AD =⨯=. 故选：C.4．B 【详解】设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则22l ππ=解得22l =故选：B.5．D 【详解】()()()239111x x x ++++++的展开式中2x 的系数是22222349C C C C ++++因为11m m m nn n C C C -++=且2323C C =，所以2232323334C C C C C +=+=，所以222233234445C C C C C C ++=+=，以此类推，2222323234999101098120321C C C C C C C ⨯⨯++++=+===⨯⨯.故选：D.6．A 【详解】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ．7．C 【详解】设||2(24),AB r r AB =≥的中点为M ，MN y ⊥轴于点N ，过A ，B 作准线=1x -的垂线，垂足分别为11,A B ，如下图：由抛物线的定义知112(||1)||||||2MN AA BB AF BF AB r +=+=+==， 故||1MN r =-，所以228||2(1)5DE r r r =--=，即21650250r r -+=， 解得52r =或58r =（舍去），故M 的横坐标为32，设直线()()1122:(1),,,,l y k x A x y B x y =-， 将(1)y k x =-代入24y x =，得()2222240k x k x k -++=，则2122243k x x k ++==， 解得2k =±，故直线l 的方程为220x y ±-=． 故选：C ．8．B 【详解】[方法一]：2ln1.01a =2ln1.01=()2ln 10.01=+()2ln 120.010.01=+⨯+ln1.02b >=，所以b a <；下面比较c 与,a b 的大小关系.记()()2ln 11f x x =+，则()00f =，()2121x f x x -='=+， 由于()()2214122x x x x x x +-+=-=-所以当0<x <2时，()21410x x +-+>()1x >+，0f x ，所以()f x 在[]0,2上单调递增，所以()()0.0100f f >=，即2ln1.011>，即a c >；令()()ln 121g x x =+，则()00g =，()212212x g x x -==+'， 由于()2214124x x x +-+=-，在x >0时，()214120x x +-+<，所以()0g x '<，即函数()g x 在[0，+∞)上单调递减，所以()()0.0100g g <=，即ln1.021<，即b <c ；综上，b<c<a ， 故选：B. [方法二]：令()21ln 1(1)2x f x x x ⎛⎫+=--> ⎪⎝⎭()()221-01x f x x =+'-<，即函数()f x 在（1，+∞)上单调递减()10,ff b c <=∴<令()232ln 1(13)4x g x x x ⎛⎫+=-+<< ⎪⎝⎭()()()21303x x g x x --+'=>，即函数()g x 在（1，3)上单调递增()10,gg a c =∴综上，b<c<a ， 故选：B.9．ABD 【详解】如图：∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2， ∴1122B D =11AA =， ∴()2212213DB +，则P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一，故A 正确；∵()313PD ，，11DD =，则12PD P 的轨迹是一段圆弧，故B 正确；连接1DA ，1DC ，可得平面11//A DC 平面1ACB ，则当P 为11A C 中点时，DP 有最小值为()22213+C 错误；由C 知，平面BDP 即为平面11BDD B ，平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得2221322122++=，面积为94π，故D 正确． 故选：ABD ．10．BC 【详解】对于A 选项，直线1:0l ax y +=过定点()0,0A ，A 错；对于B 选项，直线2l 的方程可化为()()110x a y +-+=，由1010x y +=⎧⎨+=⎩可得11x y =-⎧⎨=-⎩，故定点()1,1B --，B 对；对于C 选项，()110a a ⨯+⨯-=，所以，12l l ⊥，所以，PA PB ⊥， 线段AB 的中点为11,22E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且2AB 122PE AB ==所以，点P 的轨迹是以点E 2的圆， 所以，点P 的轨迹方程为22111222x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即220x y x y +++=，C 对；对于D 选项，设点(),P x y ，(),PA x y =--，()1,1PB x y =----， 所以，()232,32PA PB x y +=----， 所以，()()22222223232333PA PB x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭记点22,33F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则23PA PB PF +=，因为PF PE EF =+且EF ⎛=- ，所以，22PF PE EF PE EF =+≤+=+=， 所以，2322PA PB PF +=≤E 、P 、F 三点共线且点E 在线段FP 上时，等号成立，故2PA PB +的最大值为D 错. 故选：BC.11．AC 【详解】设直线y x a =+与曲线1e21x y b -=-+相切的切点为00(,)x y ，由1e 21x y b -=-+求导得：1e x y -'=，则有01e 1x -=，解得01x =， 因此，0122y a b =+=-，即21a b +=，而0,0a b >>，对于A ，211212()2228a b ab a b +=⋅⋅≤=，当且仅当122a b ==时取“=”，A 正确；对于B ，21214(2)()448b a a b a b a b a b +=++=++≥+，当且仅当4b a a b =，即122a b ==时取“=”，B 不正确；对于C ，因22332(2)222a a b b a b +=+++=+=，则有232≤，=即4a b =时取“=”，由214a b a b+=⎧⎨=⎩得21,36a b ==，所以当21,36a b ==时，max =C 正确； 对于D ，由21a b +=，0,0a b >>得，102b <<，11(,1)2a b b +=-∈，而函数3x y =在R 上单调递增，33a b +<，D 不正确. 故选：AC12．ABD 【详解】(1)f x +为偶函数，故(1)(1)f x f x +=-+，令52x =得：753()(1)()222f f f =-+=-，(1)f x -为奇函数，故(1)(1)f x f x -=---，令12x =得：311()(1)()222f f f -=--=--，其中1131244f ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭，所以1373()(24)22ff f ⎛⎫-=- -⎪⎝⎭=-=，A 正确； 因为(1)f x -为奇函数，所以()f x 关于()1,0-对称，又(1)f x +为偶函数，则()f x 关于1x =对称，所以()f x 周期为428⨯=，故()()71f x f x =+-，所以()()()(7)(1)1187f x f x f x f x f x -+=--=--=--+=-+，从而(7)f x +为奇函数，B 正确； 2()1f x x =-+在(1,0)x ∈-上单调递增，又()f x 关于()1,0-对称，所以()f x 在()2,0-上单调递增，且()f x 周期为8，故()f x 在(6,8)上单调递增，C 错误； 根据题目条件画出()f x 与lg y x =-的函数图象，如图所示：其中lg y x =-单调递减且lg121-<-，所以两函数有6个交点，故方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解，D 正确. 故选：ABD 13．47【详解】7个车位都排好车辆，共有77A 种方法，满足题意的排法等价于7辆车排列，满足其中三辆中恰有两辆车停放在相邻车位， 则首先排列余下的四辆车，有44A 种方法， 然后从3辆车中挑出2辆车排列好之后进行捆绑，3辆车看作2个元素插入4辆车的5个空位中，共有2235A A 种方法，由乘法原理结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：4224357747A A A p A ==. 14．4【详解】因为23AB =且圆的半径为23r =，所以圆心()0,0到直线330mx y m ++=2232AB r ⎛⎫- ⎪⎝⎭23331m m -=+，解得3m =l 的方程，得33y =+l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，4cos30AB CD ==︒．故答案为4 15．【详解】设()00,P x y ，()'22f x x a =+，()24'a g x x=．由题意知，()()00f x g x =，()()00''f x g x =，即2200024x ax a lnx b +=+，①200422a x a x +=，②解②得0x a =或02(x a =-舍)，代入①得：2234b a a lna =-，()0,a ∞∈+，()'684214b a alna a a lna =--=-，当140,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0b >，当14,a e ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，'0b <．∴实数b的最大值是1144b e elne ⎛⎫== ⎪⎝⎭故答案为 16．3【详解】如图所示，过点E 作OD 的垂线，交OA 的延长线于点P ， 交OD 于N ，过A 作AM 垂直PN ，垂足为M ， 可知2,====AP AE PM ME EN ，P 的轨迹为圆，而13EN PN =由伸缩变换可知，E 的轨迹为椭圆1C ，116,2=+==-=a OA AE b OA AE ；所以1==c 所以椭圆1C的离心率为111===c e a 延长AC 至K ，使4OA AK ==，则∠=∠AOK AKO ， 过OK 作直线l ，过点C 作1l l ⊥，交OA 于P ，交l 于N ﹐过A 作AM 垂直PN ，垂足为M ，所以∥AM l ，可得∠=∠=∠=∠PAM AOK AKO MAK ， 所以AM 即是PAC △中PAC ∠角平分线，又是PC 边上的高 可得,,==AP AC PM MC由43AB =及1BC =，易知5,3==AP AC57===AM AC MC NK CK CN ，75,4173==+CN OP PN . 故P 的轨迹为圆，717CN PN =，由伸缩变换可知， C 的轨迹为椭圆2C ， 22517574,43333=+==+==-=-=a OA AC OP b OA AC 222224153=-=c a b 所以椭圆2C 的离心率为222415415317173===c e a .2241517．(1)26n a n =-；(2)7.【详解】(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则：3335,0a a a =∴=，设等差数列的公差为d ，从而有：()()22433a a a d a d d =-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-+++=-，从而：22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =， 数列的通项公式为：()3326n a a n d n =+-=-.(2)由数列的通项公式可得：1264a =-=-，则：()()214252n n n S n n n -=⨯-+⨯=-，则不等式n n S a >即：2526n n n ->-，整理可得：()()160n n -->，解得：1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7.18．(1)b =【详解】分析：（1）在式子cos cos B C b c +=余弦定理后可得b =（2）由cos 2B B =经三角变换可得3B π=，然后运用余弦定理可得2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，从而得到3ac ≤，故得1sin 2S ac B =≤详解：(1)由题意及正、余弦定理得22222222a c b a b c abc abc +-+-+=整理得222a abc =，∴b =（2）由题意得cos 2sin 26B B B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴sin(+=16B π）， ∵()0,B π∈， ∴62B ππ+=，∴3B π=.由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， ∴2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，3ac ∴≤，当且仅当a c ==∴11sin 322S ac B =≤⨯=．∴ABC ∆． 19．(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)(Ⅲ)见解析.【详解】(Ⅰ)由于P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，则P A ⊥CD ， 由题意可知AD ⊥CD ，且P A ∩AD =A ， 由线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面P AD .(Ⅱ)以点A 为坐标原点，平面ABCD 内与AD 垂直的直线为x 轴，AD ,AP 方向为y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，易知：()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,2,0A P C D ， 由13PF PC =可得点F 的坐标为224,,333F ⎛⎫⎪⎝⎭，由12PE PD =可得()0,1,1E ， 设平面AEF 的法向量为：(),,m x y z =，则 ()()()224224,,,,0333333,,0,1,10m AF x y z x y z m AE x y z y z ⎧⎛⎫⋅=⋅=++=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩， 据此可得平面AEF 的一个法向量为：()1,1,1m =-， 很明显平面AEP 的一个法向量为()1,0,0n =， 13cos ,31m n m n m n⋅<>===⨯⨯， 二面角F -AE -P 的平面角为锐角，故二面角F -AE -P 3(Ⅲ)易知()()0,0,2,2,1,0P B -，由23PG PB =可得422,,333G ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则422,,333AG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，注意到平面AEF 的一个法向量为：()1,1,1m =-，其0m AG ⋅=且点A 在平面AEF 内，故直线AG 在平面AEF 内. 20．(1)126295；(2)90.【详解】（1）解：由题意得()111842260C C 1261C 295P X ===； （2）解：能完成活动的概率为1836010=，不能完成活动的概率为4276010=， 由题得Y 可以取0，100，200，300，则 ()0303373430C 10001001P Y ⎛⎫⎛=⎫⎪=⎪⎝⎭⎝⎭=， ()12133********C 1001000P Y ===⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()2123371189200C 1001000P Y ===⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()33337127300C 1000010P Y ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝=⎭==， 所以Y 的分布列为：则Y 的数学期望为()441189270+100+200+300901000100010001000E Y =⨯⨯⨯⨯=． 21．(1)2213x y -=(2)存在，5,03M ⎛⎫⎪⎝⎭，49-【详解】（1）解：不妨设点A 在第一象限AOF α∠=，则2AOBα∠=. 因为OA AB ⊥，则cos2OA OB α=，sin 2AB OB α=.由已知，cos2sin 2OB OB OB αα+，即cos 212αα+=，即22cos cos ααα=.因为cos 0α≠，则cos αα，即tan α=因为α为渐近线OA 的倾斜角，则b a =3a b .2，则a =1b =.所以双曲线C 的方程是2213x y -=.（2）解：解法一：设点(),0M m ，222MP MQ PQ λ+-=.当l x ⊥轴时，直线l 的方程为2x =，代入2213x y -=，得y =不妨设点2,P ⎛ ⎝，Q ⎛ ⎝，则()222122222833m m m λ⎡⎤=-+-=-+⎢⎥⎣⎦.当l y ⊥轴时，直线l 的方程为0y =，代入2213xy -=，得x =不妨设点()P ，)Q，则(((222226m m m λ=+-=-.令222228263m m m -+=-，解得53m =，此时250426699m λ=-=-=-.当直线l 不与坐标轴垂直时，设直线l 的方程为2x ty =+，代入2213x y -=，得()22233ty y +-=，即()223410t y ty -++=.设点()11,P x y ，()22,Q x y ，则12243ty y t +=--，12213y y t =-. 对于点5,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()22222211221255133x y x y y y t λ⎛⎫⎛⎫=-++-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22222211221211133ty y ty y y y t ⎛⎫⎛⎫=+++++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()22222121212221139t t y y y y y y t =+++++--+ ()()()()()()()22222211122222216182282262221393999333333t t t t t t t y y y y t t t t ++--=++++=-+=+=+----224399=-+=-.所以存在定点5,03M ⎛⎫⎪⎝⎭，使22249MP MQ PQ +-=-为定值.解法二：当直线l 不与x 轴重合时，设了的方程为2x ty =+，代入2213x y -=，得()22233ty y +-=，即()223t y -410ty ++=.设点()11,P x y ，()22,Q x y ，则12243ty y t +=--，12213y y t =-. 在△PMO 中，由余弦定理，得2222cos 2MP MQ PQ MP MQ PMQ MP MQ +-=∠=⋅， 设点(),0M m ，则()()()()1212121222MP MQ x m x m y y ty m ty m y y ⋅=--+=+-+-+()()()()()()22222121222421122233t m t t y y t m y y m m t t -+=++-++-=-+--- ()()22223312113mt m m t ---+=-，令()223121133m m m -+=-，得53m =，此时2239MP MQ m ⋅=-=-， 22249MP MQ PQ +-=-.当直线l 与x 轴重合时，则点P ，Q 为双曲线的两顶点，不妨设点()P ，)Q .对于点5,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2222225550463399MP MQ PQ ⎛⎛+-=+-=-=- ⎝⎝. 所以存在定点5,03M ⎛⎫⎪⎝⎭，使22249MP MQ PQ +-=-为定值.22．(1)单调增区间为(e,)+∞，单调减区间为(0,e) (2)证明见解析，0x 的最小值是e ．【详解】（1）当e a =时，2()eln (e)f x x x x =-+-，则2e 2(12e)e (21)(e)()12(e),(0)x x x x f x x x x x x +--+-+-='=-=>令()0f x '>，得e x >； 令()0f x '<，得e x <；所以，函数()y g x =的单调增区间为(e,)+∞，单调减区间为(0,e)．（2）22(ln 2e)()ln 2(e)a x a x af x a x x x+--=-+'-=令2()2(ln 2e)0t x x a x a =+--=，因为2(ln 2e)80a a ∆=-+>， 所以方程22(ln 2e)0x a x a +--=，有两个不相等的实根()1212,x x x x <， 又因为1202ax x =-<， 所以120x x <<， 令02x x =，列表如下:所以存在0x 使得2002(ln 2e)0x a x a +--=成立，所以存在0x 使得200022e ln x xx a x a -=-，所以存在0x 使得2000ln 22e a x a x xx -=-对任意的0a >有解，因此需要讨论等式左边的关于a 的函数，记0()ln u t t x t =-， 所以0()1x u t t=-'， 当00t x <<时，()0,()u t u t <'单调递减； 当0t x >时，()0,()u t u t >'单调递增．所以当0t x =时，0()ln u t t x t =-的最小值为()0000ln u x x x x =-．所以需要200000022e ln ln x x a x a x x x -=-≥-，即需要200002(2e 1)ln 0x x x x -++≥，即需要002(2e 1)ln 0x x -++≥， 即需要002ln (2e 1)0x x -+≥+因为()2ln (2e 1)v t t t =+-+在(0,)+∞上单调递增，且()0()0v x v e ≥=， 所以需要0e x ≥， 故0x 的最小值是e ．。
2023年数学高考复习真题演练(2021-2022年高考真题)10 对数与对数函数 (含详解)
专题10 对数与对数函数【考点预测】 1.对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log N a ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ； ③自然对数：以e 为底，记为ln N ； (3) 对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)； ③对数换底公式：log log log c a c bb a=； ④log ()log log a a a MN M N =+； ⑤log log log aa a MM N N=-； ⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈； ⑦log a b a b =和log b a a b =； ⑧1log log a b b a=； 2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数 log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数． 对数函数的图象【方法技巧与总结】 1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式 题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域）） 题型四：对数函数中的恒成立问题 题型五：对数函数的综合问题 【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++； （2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值； （3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45． 例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212ab c+=；（2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a bb ---的值．例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（ ） A ．a ＋b ＝100B ．b －a ＝ea 增大a 增大C ．28ln 2ab <D ．ln6b a ->例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ，y 满足0x >，0y >，1x ≠，1y ≠，y x x y =，log 4y xx y+=，则x y +=（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（ ）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数()122log ,1,1,1,x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩则不等式()(1)f x f x <-的解集为______．例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数()f x 满足：（1）1x ∀，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.（写出满足这些条件的一个函数即可）例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠）的图像经过点()3,1.（1）解关于x 的方程()()22(1)10f x m f x m +-+-=；（2）不等式()()10f x a f x +⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，试求实数a 的值.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）A ．0a b +<B ．1ab <- C ．01b a << D ．log 0a b >例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为（ ） A ．3-B ．1C ． 3+D ．2+（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x x f x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（ ）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤例13．（2022·全国·高三专题练习）已知223,20(){1ln ,021x x x f x x x -+-≤<=≤≤+，若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为______.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是（ ）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（ ） Ab a <<B．b a <Ca b <D．a b <<例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝log ax (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．a 例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．C．⎛ ⎝⎭D．)+∞【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1116a ≤< B ．1116a << C ．1016a <≤D ．1016a <<例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________. 例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =-，已知实数0a >，若2()e ln 0x f x a a ++≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围. 例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (0,1)x a f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +． （1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围．例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠.(1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.例25．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =. （1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；（2）对任意12,2n n x +⎡⎤∈⎣⎦，其中常数n N ∈，不等式()2()f x f kg x ⋅>恒成立，求实数k的取值范围.【方法技巧与总结】（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.题型五：对数函数的综合问题例26．（2022·河北·张家口市第一中学高三阶段练习）已知定义域为()0,∞+的单调递增函数()f x 满足：()0,x ∀∈+∞，有()()ln 1f f x x -=，则方程()242f x x x =-+-的解的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0例27．（2022·四川雅安·三模（文））设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意R x ∈，都有()()4f x f x +=，且当[]2,0x ∈-时，()163xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）．A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(D ．)2例28．（2022·广西柳州·高一期中）已知0a b >>，且1a b +=，则（ ）A．sin sin a b > B ．11a b> C ．22a b +>D ．lg lg 0a b +=例29．（2022·河北保定·二模）已知函数2332xxy =-在()0,∞+上先增后减，函数3443xxy =-在()0,∞+上先增后减.若()231log log x =()321log log 0x a =>，()()242422log log log log x x b ==，()()343433log log log log 0x x c ==>，则（ ） A ．a c <B ．b a <C ．c a <D ．a b <例30．（2022·广东·三模）已知,R a b ∈，e 是自然对数的底，若e ln b b a a +=+，则a b的取值可以是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例31．（2022·全国·高三专题练习）已知0x 是函数()22e ln 2x f x x x -=+-的零点，则020e ln xx -+=_______．【过关测试】一、单选题 1．（2022·辽宁辽阳·二模）区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B ，则密码一共有5122种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行5122次运算.现在有一台计算机，每秒能进行142.510⨯次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据lg20.3≈ 1.58≈）（ ） A ．1393.1610s ⨯ B ．1391.5810s ⨯ C ．1401.5810s ⨯D ．1403.1610s ⨯2．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知1log 3m p =，9p n =，其中0m >且1m ≠，0n >且1n ≠，若20m n -=，则p 的值为（ ） A ．3log 2B ．2log 3C ．2D ．33．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知正实数x ，y ，z 满足(34zx y ==，则（ ） A ．111x y z+=B ．111y z x+= C ．112x y z += D ．112x z y+=4．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知函数()()()ln 22ln 33f x x x =++-，则()f x （ ）A ．是奇函数，且在0,1上单调递增B ．是奇函数，且在0,1上单调递减C ．是偶函数，且在0,1上单调递增D ．是偶函数，且在0,1上单调递减5．（2022·全国·高三专题练习）函数()log (1)2a f x x =-+的图象恒过定点 A ．（2，2）B ．（2，1）C ．（3，2）D ．（2，0）6．（2022·安徽六安·一模（文））设函数()2f x =()()2ln 41g x ax x =-+，若对任意的1R x ∈，都存在实数2x ，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],4-∞B ．(]0,4C ．[]0,4D ．(]0,27．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）设0a >且1a ≠，sin cos a x x x >+对(0,)4x π∈恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．(,1)(1,)42ππ⋃D ．[,1)4π8．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（ ）A b a <<B ．b a <C a b <D ．a b <<二、多选题9．（2022·重庆市天星桥中学一模）已知0,0a b >>，且1a b +=，则下列结论正确的是（ ） A ．11a b+的最小值是4 B ．1ab ab+的最小值是2C ．22a b +的最小值是D ．22log log a b +的最小值是2-10．（2022·广东汕头·二模）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，则下列结论正确的是（ ） A ．2ab bc ac +=B ．ab bc ac +=C ．4949b b a c ⋅=⋅D ．121c b a=-11．（2022·河北·高三阶段练习）下列函数中，存在实数a ，使函数()f x 为奇函数的是（ ）A ．()(lg f x x =B ．()2f x x ax =+C ．()21xaf x e =-- D ．()()2ln 2xx f x x e a =+-12．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）当102x <≤时，4log xa x ≤，则a 的值可以为（ ）AB C D三、填空题13．（2022·天津·二模）已知()4log 41log x y +=+2x y +的最小值为__________.14．（2022·全国·高三专题练习）已知23e ln 3x x x -+=，则3e ln x x -+=__________．15．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()241,1log ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若1()2f a <≤，则实数a的取值范围为___________.16．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有()()11f x f x +=--．当()1,2x ∈时，()21log f x x =-．给出以下4个结论： ①函数()y f x =的图象关于点()(),0k k ∈Z 成中心对称；②函数()y f x =是以2为周期的周期函数；③当()0,1x ∈时，()()2log 21f x x =--； ④函数()y f x =在()(),1k k k +∈Z 上单调递减． 其中所有正确结论的序号为______． 四、解答题17．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0),1)a f x x a a =>≠且，设1a >，函数log a y x =的定义域为[m ，n ] (m <n )，值域为[0，1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值．．．为5,6求实数a 的值；18．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．19．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0)1)a f x x a a =>≠且，作出|()|y f x =的大致图像并写出它的单调性；20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()44log 3log 4f x x x =-⋅.当1,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求该函数的值域；21．（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()0.51log 1axf x x -=-在其定义域上是奇函数，a 为常数． (1)求a 的值．(2)证明：()f x 在()1,+∞上是增函数．(3)若对于[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．22．（2022·北京东城·高三期末）曲线ln y x =在点(,ln )A t t 处的切线l 交x 轴于点M . (1)当t e =时，求切线l 的方程；(2)O为坐标原点，记AMO的面积为S，求面积S以t为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间.专题10 对数与对数函数【考点预测】 1.对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log N a ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ； ③自然对数：以e 为底，记为ln N ； (3) 对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)； ③对数换底公式：log log log c a c bb a=； ④log ()log log a a a MN M N =+； ⑤log log log aa a MM N N=-； ⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈； ⑦log a b a b =和log b a a b =； ⑧1log log a b b a=； 2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数 log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数． 对数函数的图象【方法技巧与总结】 1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式 题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域）） 题型四：对数函数中的恒成立问题 题型五：对数函数的综合问题 【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++； （2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值； （3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45． 【答案】（1）7；（2）109；（3）2a bb+-． 【解析】（1）利用对数恒等式和对数的运算法则计算即可； （2）利用指对互化可得实数x 的值；（3）先求出a ，再利用换底公式结合对数的运算法则求得结果．【详解】（1）原式=()23lg 510lg25lg51lg26lg5lg26lg107++⨯+=+++=++=+=；（2）因为()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，所以()3log lg 2x =，所以2lg 39x ==，所以x =109；a 增大a 增大（3）因为185a =，所以18log 5a =，所以()()()181818183618181818log 59log 45log 5log 9log 45log 36log 182log 18log 189⨯+====⨯+÷1818181818log 5log 9log 18log 18log 92a bb++=+--．例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35 【答案】（1）18；（2）21a bb ++. 【解析】 【分析】（1）首先根据题意得到原式()()()2352log 53log 23log 3=-⋅⋅-，再利用换底公式化简即可得到答案.（2）首先根据题意得到3log 7b =，3log 52=a ，再利用换底公式化简即可得到答案. 【详解】（1）原式()()()1233232355log 5log 2log 32log 53log 23log 3--=⋅⋅=-⋅⋅-lg5lg 2lg31818lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅=（2）由37b =得到3log 7b =， 由9log 5=a ，得到31log 52=a ，即3log 52=a . 33321333log 35log 5log 72log 35log 21log 7log 31a bb ++===++.【点睛】本题主要考查对数的换底公式，同时考查指数、对数的互化公式，属于中档题.例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212a b c+=；（2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a bb ---的值． 【答案】（1）详见解析；（2）2. 【解析】【分析】（1）设3461a b c k ===>，应用指对数的互化有346log ,log ,log a k b k c k ===，进而应用换底公式及对数的运算性质分别求21a b +、2c，即可证结论；（2）应用指对数互化有6060log 3,log 5a b ==，应用对数的运算性质求12(1)a bb ---，进而可求12(1)12a b b ---的值.【详解】（1）设346a b c k ===，则1k >. ∴346log ,log ,log a k b k c k ===，∴3421212log 3log 4log 9log 4log 362log 6log log k k k k k k a b k k+=+=+=+==， 而6222log 6log k c k==， ∴212a b c+=. （2）由题设知：6060log 3,log 5a b ==，得606011log 5log 12b -=-=，60606011log 3log 5log 4a b --=--=， ∴60121260log 42log 21log 22(1)2log 122a b b --===-， 则121log 22(1)12122a b b ---==.例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（ ） A ．a ＋b ＝100 B ．b －a ＝e C ．28ln 2ab < D ．ln6b a ->【答案】D 【解析】 【分析】利用指数和对数互化，得到a ，b 后逐项判断. 【详解】对于A ，由e 4a =，e 25b =，得ln 4a =，ln 25b =，所以ln 4ln 25ln100a b +=+=，故A 错误；对于B ，25ln 25ln 4ln4b a -=-=，故B 错误； 对于C ，2ln 4ln 252ln 2ln168ln 2ab =⨯>⨯=，故C 错误；对于D ，25ln 25ln 4lnln 64b a -=-=>，故D 正确． 故选：D ．例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ，y 满足0x >，0y >，1x ≠，1y ≠，y x x y =，log 4y xx y+=，则x y +=（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】C 【解析】 【分析】 根据y x x y =得到lg lg x xy y =，再利用换底公式得到2x y=，利用lg 2lg x y =，即2x y =，求出4x =，2y =，所以6x y +=.【详解】由y x x y =，得lg lg y x x y =，lg lg x xy y=. 由log 4y x x y +=，lg log lg y x x y =，所以lg 4lg x x y y+=， 所以4x xy y +=，解得：2x y=，则lg 2lg x y =，即2x y =， 所以4x =，2y =，所以6x y +=， 故选：C.例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（ ）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数的性质判断()f x 区间单调性，根据解析式知()f x 恒过(4,2)且(0)2f =，进而确定区间值域，再由对数函数性质求2log y x =的对应区间值域，即可得不等式解集. 【详解】由题设，()f x 对称轴为2x =且图象开口向下，则()f x 在(0,2)上递增，(2,)+∞上递减， 由2()42(4)2f x ax ax ax x =-+=-+，即()f x 恒过(4,2)且(0)2f =， 所以(0,4)上()2f x >，(4,)+∞上()2f x ，而2log y x =在(0,)+∞上递增，且(0,4)上2y <，(4,)+∞上2y >，所以2()log f x x >的解集为(0,4). 故选：C例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数()122log ,1,1,1,x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩则不等式()(1)f x f x <-的解集为______．【答案】12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】 分1x ≤、12x <≤和2x >，依次解不等式，再取并集即可.【详解】当1x ≤时，不等式()(1)f x f x <-为2211(1)x x -<--，解得112x <≤； 当12x <≤时，不等式()(1)f x f x <-为212log 1(1)x x <--，易知21122log log 10,1(1)0x x <=--≥，解得12x <≤；当2x >时，不等式()(1)f x f x <-为1122log log (1)x x <-，解得2x >；综上，解集为：12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.故答案为：12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数()f x 满足：（1）1x ∀，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.（写出满足这些条件的一个函数即可） 【答案】12log x，（log a x ，(0<a <1)都对）【解析】 【分析】满足第一个条件，表示函数是单调递减函数，第二个条件正好是符合对数的运算性质； 【详解】对于条件①，不妨设12x x <，则210x x ->，∵()()21210f x f x x x -<-，∴()()210f x f x -<∴12()()f x f x >，∴()f x 为()0,+∞上的单调递增函数，对于条件②，刚好符合对数的运算性质，故这样的函数可以是一个单调递减的对数函数. 故答案为:12log x.（log ax ，(0<a <1)都对）例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠）的图像经过点()3,1.（1）解关于x 的方程()()22(1)10f x m f x m +-+-=；（2）不等式()()10f x a f x +⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，试求实数a 的值. 【答案】（1）9x =或181x =；（2）2a =. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件求出m 值，并代入方程，再解方程即得.(2)由给定解集借助对数函数单调性求出()f x 范围，换元借助一元二次不等式即可得解. 【详解】（1）由已知得()31f =，即log 31m =，则3m =，于是得()3log f x x =， 方程222()(1)()10()2()80f x m f x m f x f x +-+-=⇔+-=， 从而得()2f x =或()4f x =-，即3log 2x =或3log 4x =-，9x =或181x =， 所以原方程的根为9x =或181x =； （2）依题意，函数()3log f x x =中，1,93x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而得()3log 1,2x ∈-.又()()()()3310log 1log 0f x a f x x x a +⋅->⇔+⋅-<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令3log x t =， 即一元二次不等式()()10t t a +⋅-<的解集为()1,2-，因此有-1，2是关于t 的方程()()10t t a +⋅-=的两根，则2a =， 所以实数a 的值为2.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）A ．0a b +<B ．1ab <-C ．01b a <<D ．log 0a b >【答案】C 【解析】 【分析】结合函数()f x 的图象可得1a >和10b -<<，然后逐项分析即可求出结果. 【详解】由图象可知()f x 在定义域内单调递增，所以1a >，令()()log 0a f x x b =-=，即1x b =+，所以函数()f x 的零点为1b +，结合函数图象可知011b <+<，所以10b -<<，因此0a b +>，故A 错误；0-<<a ab ，又因为1a >，所以1a -<-，因此1ab <-不一定成立，故B 错误；因为10b a a a -<<，即11b a a <<，且101a<<，所以01b a <<，故C 正确； 因为01b <<，所以log log 1a a b <，即log 0a b <，故D 错误， 故选：C.例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为（ ） A．3-B ．1C ． 3+D ．2+【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数的性质，可得()2,1A --，可得21m n +=，再根据基本不等式“1”的用法，即可求出结果.【详解】解：因为函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点()2,1A --，所以210m n --+=，即21m n +=， 所以()1111223n m m n m n m n m n⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭， 又0mn >，所以0,0n mm n>>所以2333n m m n ++≥=，当且仅当2n m m n =，即1n =时取等号.故选：C.（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x xf x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（ ）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A 结合对数型函数图像相关知识求解；对于B 运用定义法判断()f x 是否在R 上是奇函数；对于C 运用定义法判断函数单调性；对于D 通过作差法并对式子变形即可判断. 【详解】对于A ，由图像可知，函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）在()2,-+∞上单调递增，所以1a >，因为()g x 经过()1,0-，所以()()1log 10a g k -=-+=，所以01a k =-+，2k =，故A 错误.对于B ，()x x f x a a -=-，定义域R 关于原点对称，()()x xf x a a f x --=-=-，所以()f x 在R 上是奇函数，故B 正确.对于C ，对于()x xf x a a -=-，由题意不妨令1212,,x x x R x R >∈∈，则()()()()()121212121212121212111x x x x x x x x x x x x x x x x a a a a a f x f x a a a a a a a a ++++--⎛⎫⎛⎫-=---=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1212,,x x x R x R >∈∈，1a >，所以12121210,0,0x x x x x x a a a a +++>>->，即()()12f x f x >，所以()f x 在R 上是单调递增函数，故C 正确.对于D ，()()()()()()()()()2222222x x x x x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a a a a x f a f x --------=---=---+--=-()()()()22322221111112x x x x x x xx xxxa a a a a a a a a aa----+-⎛⎫⎛⎫--=⎪-==⎪⎝⎭⎝⎭，因为1a >，0x ≥，所以()3210,010,xxxa a a +≥>->，所以()()23101x x xa a a-+-≤，当且仅当0x =时等号成立，即当0x ≥时，()()22f x f x ≤成立，故D 正确.故选：BCD例13．（2022·全国·高三专题练习）已知223,20(){1ln ,021x x x f x x x -+-≤<=≤≤+，若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为______. 【答案】ln 31[,)3e【解析】 【分析】由分段函数解析式，结合导数研究|()|f x 的性质，再将问题转化为|()|f x 与(1)y a x =+有3个不同交点，应用数形结合的思想有(1)y a x =+与|()|f x 在02x ≤≤上至少有2个交点，最后由导数求它们相切或(1)y a x =+过(2,ln 3)时参数a 的值，即可知a 的取值范围. 【详解】由题设，20x -≤<上239()2()48f x x =--+，故值域为[14,0]-且单调递增；02x ≤≤上()f x '=101x -<+，故()f x 值域为[ln 3,0]-且单调递减； ∴|()|f x 在20x -≤<上值域为[0,14]且单调递减；在02x ≤≤上值域为[0,ln 3]且单调递增； 要使()g x 与x 轴有3个不同的交点，即|()|f x 与(1)y a x =+有3个不同交点，它们的图象如下：∴由图知：要使函数图象有3个交点，则(1)y a x =+与|()|f x 在02x ≤≤上至少有2个交点， 由02x ≤≤，1()|()|ln1g x f x x ==-+，则1()|()|1g x f x x '==+，此时，若|()|f x 与(1)y a x =+相切时，切点为(,(1))m a m +， ∴111ln (1)1a m a m m ⎧=⎪⎪+⎨⎪-=+⎪+⎩，可得1e a =，当(1)y a x =+过(2,ln 3)时，有3ln3a =，得ln 33a =， ∴ln 313ea ≤<. 故答案为：ln 31[,)3e【点睛】关键点点睛：根据已知研究|()|f x 的性质，并将问题转化为|()|f x 与(1)y a x =+的交点问题，应用导数的几何意义、数形结合的思想求参数范围.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是（ ） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性法则“同增异减”即可求解.【详解】函数()22log 43y x x=+-的定义域为()1,4-.要求函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间，只需求243y x x =+-的增区间，只需32x <. 所以312x -<<. 所以函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：C例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】分函数()f x 在R 上的单调递减和单调递增求解. 【详解】当函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调递减函数，所以01112514a aa ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得1142a ≤≤，因为0a >且1a ≠，所以当1x ≤时，()f x 不可能是增函数，所以函数()f x 在R 上不可能是增函数，综上：实数a 的取值范围为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（ ） Ab a << B．b a < Ca b < D．a b <<【答案】A 【解析】 【分析】对33log log 4log log 3a b a b -=-利用换底公式等价变形，得333311log log log log -<-b a b a，结合1y x x=-的单调性判断b a <，同理利用换底公式得343411log log log log b a b a ->-，即34log log b a >，再根据对数运算性质得4log log log a =>3log y x =单调性，b >解. 【详解】由33log log 4log log 3a b a b -=-可得333343111log log log log log log b a a b a a-=-<-， 因为1y x x=-在(,0),(0,)-∞+∞上单调递增，且3log a ，3log (0,)b ∈+∞，所以33log log b a <，即b a <， 其次，343411log log log log b a b a->-，所以34log log b a >，又因为4log log log a =>3log y x =单调递增，所以由3log log b >b >b a <． 故选：A例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝log ax (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．a【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的单调性可求出结果. 【详解】∵0＜a ＜1，∴f (x )＝log ax 在[a 2，a ]上是减函数， ∴f (x )max ＝f (a 2)＝log aa 2＝2． 故选：C例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎝⎭B ．C ．⎛ ⎝⎭D ．)+∞【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的性质可得()()0,11,a ∈+∞且23410x ax -+->，则0∆>，即可求出a 的大致范围，再令23410x ax -+-=的根为1x 、2x 且12x x <，()2341u x x ax =-+-，log a y u =，对a 分两种情况讨论，结合二次函数、对数函数的单调性判断即可； 【详解】解：依题意()()0,11,a ∈+∞且23410x ax -+->，所以216120a ∆=->，解得a >a <()1,a ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，令23410x ax -+-=的根为1x 、2x 且12x x <，()2341u x x ax =-+-，log a y u =，若()1,a ∈+∞，则log a y u =在定义域上单调递增，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则log a y u =在定义域上单调递减，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以函数在23a x =取得最小值，所以a ⎫∈⎪⎪⎝⎭； 故选：A【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1116a ≤< B ．1116a << C ．1016a <≤D ．1016a <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的图象与性质，分1a >和01a <<两种情况分类讨论，结合函数的单调性，列出不等式，即可求解. 【详解】当1a >时，由1(0,)2x ∈，可得log 0a x <，则log 0a x ->，又由20x >，此时不等式2log 0a x x -<不成立，不合题意；当01a <<时，函数log a y x =在1(0,)2上单调递减，此时函数log a y x =-在1(0,)2上单调递增，又由2yx 在1(0,)2上单调递增，要使得不等式2log 0a x x -<在1(0,)2内恒成立，可得211()log 022a -≤，解得1116a ≤<.故选：A.例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2【答案】A 【解析】根据题意，先求得12a =，把不等式()()1122log 4log 2x x t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，转化为402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立，结合指数幂的运算性质，即可求解. 【详解】由题意，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，可得函数y 的最大值为116，当0a =时，函数2414x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭显然不存在最大值；当0a >时，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，当1x a =时，函数y 有最大值，即12411416a a -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得12a =； 当0a <时，22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时函数y 无最大值，所以()()1122log 4log 2x xt t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立， 即402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立， 由40x t ⋅>在[]1,2x ∈上恒成立，可得0t >；由20x t ->在[]1,2x ∈上恒成立，即2x t <在[]1,2上恒成立，可得2t <； 由42x x t t ⋅>-在[]1,2x ∈上恒成立，即2114122x x x xt >=++在[]1,2上恒成立，令()122xxf x =+，可得函数()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min512f x f ==，即25t >， 综上可得225t <<，即实数t 的取值范围是2,25⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A. 例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】将问题转化为在对应区间上max max ()()f x g x ≥，结合对勾函数、对数函数的性质求()f x 、()g x 的区间最值，即可求a 的范围. 【详解】若()f x 在[3,4]上的最大值max ()f x ，()g x 在[4,8]上的最大值max ()g x ， 由题设，只需max max ()()f x g x ≥即可.在[3,4]上，9()6f x x x =+≥=当且仅当3x =时等号成立， 由对勾函数的性质：()f x 在[3,4]上递增，故max 25()4f x =. 在[4,8]上，()g x 单调递增，则max ()3g x a =+， 所以2534a ≥+，可得134a ≤.故答案为：13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦.例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =-，已知实数0a >，若2()e ln 0x f x a a ++≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】12ea ≥. 【解析】 【分析】把不等式作等价变形，构造函数()ln g x x x =+，借助其单调性可得2e x a x ≥，分离参数构造函数并求出最大值作答. 【详解】函数()ln f x x x =-定义域为(0,)+∞，则(0,)∀∈+∞x ：222()e ln 0e ln l 2n e ln ln x x x f x a a a a x a a x x x x++≥⇔+≥⇔+≥+++22e e )n ln(l x x a a x x ⇔≥++，令()ln g x x x =+，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，则有原不等式等价于()()2e xg a g x ≥22e e x xx a x a ⇔≥⇔≥， 令2()e x x h x =，0x >，求导得：212()exx h x -'=，当102x <<时，()0h x '>，当12x >时，()0h x '<， 因此，函数()h x 在1(0,)2上单调递增，在1(,)2+∞上单调递减，当12x =时，max 11()()22eh x h ==，则12ea ≥， 所以实数a 的取值范围是12ea ≥. 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +． （1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）2；（2）1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）根据指对数函数的单调性得函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上是单调函数，进而得260+-=a a ，解方程得2a =；（2）根据题意，将问题转化为对于任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立，进而求函数的最值即可. 【详解】解：（1）因为函数,log (0,1)xa y a y x a a ==>≠在[1,2]上的单调性相同， 所以函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上是单调函数，所以函数()f x 在[1,2]上的最大值与最小值之和为2log 26log 2a a a a ++=+，所以260+-=a a ，解得2a =和3a =-（舍） 所以实数a 的值为2.（2）由（1）得2()2log x f x x =+，因为对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，所以对于任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立， 当[2,)x ∈+∞时，2()2log x f x x =+为单调递增函数， 所以()()25f x f ≥=，所以11()5f x ≤，即15k ≥ 所以实数k 的取值范围1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查指对数函数的性质，不等式恒成立求参数范围，考查运算求解能力，回归转化思想，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意，将问题转化为任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立求解.例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠. (1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)13a =；(2)()1,11,82⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）由()32f =可求得log 3a 的值，进而可求得实数a 的值；（2）由()6f x >可得出log 3a x <-或log 1>a x ，分01a <<、1a >两种情况讨论，可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围. (1)解：因为()32f =，所以()2log 32log 332a a ++=，所以()2log 310a +=，所以log 31a =-，解得13a =.(2)解：由()6f x >，得()2log 2log 30a a x x +->，即()()log 3log 10a a x x +->，即log 3a x <-或log 1>a x .当01a <<时，log 12log log 8a a a x ≤≤，则log 83a <-或log 121a >，因为log 12log 10a a <=，则log 121a >不成立，由log 83a <-可得318a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，得112a <<；当1a >时，log 8log log 12a a a x ≤≤，则log 123a <-或log 81a >，因为log 12log 10a a >=，则log 123a <-不成立，所以log 81a >，解得18a <<. 综上，a 的取值范围是()1,11,82⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭.例25．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =. （1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；。
新高考数学计算题型精练 指数运算与对数运算(解析版)
新高考数学计算题型精练指数与对数运算1．求值：(1))20.51π316-⎛⎫+- ⎪⎝⎭；(2)2ln 31274e log 9log 8lg 4lg 25-⋅++．【答案】(1)0(2)12【详解】（1）原式123493711041644⎛⎫=+-=+-= ⎪⎝⎭（2）原式ln923e log 3log 2lg10091212=+⋅+=++=．2．计算(1)1223182π4-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(2)2log 321log lg 2lg 528--+【答案】(1)5(2)1-【详解】（1）()1122222333132282π214154233--⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++++-++=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）()2log 321log lg 2lg 523lg 2lg 5318--+=--++=-3．求值：(1)(213103531732248---⎛⎫⎛⎫++-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)2ln3427elog 9log 8lg4lg25-⋅++．【答案】(1)3(2)10【详解】（1）(213103531732248---⎛⎫⎛⎫++-⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()1132533353122224--=+-⨯+⨯123233122222=+-⨯+⨯12331882+=+-+12=+3=；（2）原式ln 923elog 3log 2lg10091210=-⋅+=-+=；综上，（1）原式=3；（2）原式=10.4．计算:(1)341lg2lg 3lg5log 2log 94-+-⨯；(2)21log 3231lglog 3log log 52100+-⨯++.【答案】(1)2(2)4【详解】（1）341lg2lg 3lg5log 2log 94-+-⨯2232log 9lg2lg23lg5log 2log 4-=-+-⨯32lg22lg23lg5log 2log 3=++-⨯3(lg2lg5)1=+-3lg101=-31=-2=.（2）21log 3231lglog 3log log 52100+-⨯+2log 322222log log 512log 322log 5log 32=--⨯++⨯112622=--++4=.5．求下列各式的值：(1)()10.52332770.02721259-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋－；(2)55557log 352log log 7log 1.83-+-.【答案】(1)9100(2)2【详解】（1）原式210.5332333351053-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦95510033=+-9100=（2）原式5555499log 35log log 7log 95=-+-5499log 35795⎛⎫=÷⨯÷ ⎪⎝⎭5log 252==6．计算：(2)()()2266661log 2log 33log 2log log 23⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭【答案】(1)4-(2)1【详解】（11128125lg 25lg10lg10-⨯⨯=⨯()2lg10112=⨯-4=-；（2）()()2266661log 2log 33log 2log log 23⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭()()226666log 2log 33log 2log =++⨯()()22666log 2log 33log 2log =++⨯()()226666log 2log 32log 2log 3=++⨯()266log 2log 3=+1=．7．计算或化简下列各式：(1)()1223164⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(2)228393(log 3log 9)(log 4log 8log 2)(lg 2)lg 20lg5+++++⨯【答案】(1)3(2)172【详解】（1）原式221111111113332362362222255122ln e 333233422++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-++⨯⨯=-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）原式=()22233322log 3log 32log 2log 2log 2lg 2lg 20lg 533⎛⎫⎛⎫+++++⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()22235915log 3log 2lg 2lg 20lg5lg 2lg 21lg5322=⨯++⨯=+++⨯()()()215151517lg 2lg 2lg5lg5lg 2lg 2lg5lg5lg 2lg52222=+++=+++=++=8．计算下列各式的值：(1)2237828-⎛⎫--+⎪⎝⎭；(2)2log 331log 27lg2100++．【答案】(1)1π4+(2)92【详解】（1）02237828-⎛⎫--+⎪⎝⎭()23321213π2=-+-+141π34=-+-+1π4=+；（2）21log 33223311l 2og 27lg 2log 3lg10ln e 332310092-++=+++=-=++．9．计算下列各式的值：(1)213112726-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)3332log 2log 32log 8-+.【答案】(1)5.5(2)0【详解】（1）原式230.52120.54 5.5=-+-=-+=；（2）原式3333348log 4log 32log 8log log 1032⨯=-+===.10．计算下列两个小题：(1)ln 31e2lg15lg 3++；(2)0.25608π+．【答案】(1)4(2)75【详解】（1）ln 3111e2lg15lg 3lg 2lg15lg 3lg 2154333⎛⎫++=+++=+⨯⨯= ⎪⎝⎭.（2）660.750.2650.25085221289π17=⨯+⨯+=+⨯=++.11．求下列式子的值：(1)()()12623129.684-⎛⎫+--- ⎪⎝⎭.(2)ln334lg252lg2log 16log 3e +-⋅+.【答案】(1)0(2)3【详解】（1）()()()()126203122332129.68931912412 1.05444--⎛⎫+--- ⎪⎝⎭⎛⎫⎡⎤+--- ⎪⎣⎦⎝⎭==+--=（2）ln33434lg252lg2log 16log 3e lg25lg42log log 33lg1002324233+-⋅++-⋅+=-+=-+==12．计算与化简：(1)453log 27log 8log 25⨯⨯(2)12271112333662228a a b a b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(3)10220.51392(0.01)54-⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4)222lg5lg8lg5lg20(lg2)3++⋅+.【答案】(1)9(2)b -(3)5140(4)3【详解】（1）原式3lg 33lg 22lg 592lg 2lg 5lg 3=⨯⨯=；（2）原式12711122363262328a b b-+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪==- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）原式131511421040=+⨯-=（4）原式()()22lg 52lg 2lg 5lg 52lg 2lg 2=++++()()22lg 5lg 2lg 2lg 5=+++2213=+=13．（1）21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48---+；（2）log 535﹣2log 573+log 57﹣log 595.【答案】（1）12；（2）2【详解】解：（1）21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48---+1﹣2327()8+2.25＝32﹣1﹣2333(2⎡⎤⎢⎥⎣⎦+2.25＝32﹣1﹣94+94＝12；（2）log 535﹣2log 573+log 57﹣log 595＝log 5[35÷（499）×7÷95]＝log 5（35×949×7×59）＝log 525＝2．14．化简求值：(1)2133325-⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(2)7log 2log lg 25lg 47++.【答案】(1)12-(2)112【详解】（1）原式1213331182212122-=-⨯+=-+=-.（2）原式331311log 3lg100222222=++=++=.15．化简或求值：(1)0.5207120.1π93-⎛⎫+-+⎪⎝⎭；(2)7lg142lg lg 7lg183-+-；【答案】(1)101；(2)0；(3)1.【详解】（1）0.5207120.1π93-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭1225151100110011019333⎛⎫=+-+=+-+= ⎪⎝⎭；（2）7lg142lg lg 7lg183-+-27lg14lg lg 7lg183⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭9lg 1471849⎛⎫=⨯⨯÷ ⎪⎝⎭lg1=0=；（3211-=.16．计算：(1))()1211610.259-⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2)25lg 42lg 5log 5log 8lg10++⨯+．【答案】(1)23-(2)6【详解】（1）原式4214333=--+=-（2）原式2lg 5lg8lg 4lg 51lg 2lg 5=++⨯+3222log 813log 26=++=+=17．计算下列各式的值：(1)()6221103321642e 453π-⎛⎫⎛⎫+--+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)ln 2352log 27lg2lg5log 16log e ---⋅．【答案】(1)2023(2)2【详解】（1）()6221103321642e π453-⎛⎫⎛⎫+--+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭611223243245⎛⎫=+-+⨯ ⎪⎝⎭232345=+⨯2023=．（2）()ln 235log 27lg2lg5log 16log e-+-⋅ln25=31log 16log e --⋅()ln 2521=24log 2log 5e =2222-⋅+-+=2．18．计算下列各题：(1)()20.5312816410.751627---⎛⎫⎛⎫+-÷+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)()70log 23log lg 25lg 479.8+++-.【答案】(1)94(2)132【详解】（1）原式20.523814279999116364416164⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-÷+=-+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）原式323100313log 3lg lg 4212lg 4lg 43422=++++=+-++=.19．化简求值(1)1131227(0.002)2)8--⎛⎫+- ⎪⎝⎭；(2)()266661log 3log 2log 18log 4⎡⎤-+⨯÷⎣⎦．【答案】(1)372-(2)1【详解】（1）原式)113131232271350010285002-⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3372022=+-=-.（2）原式()()266666612log 3log 3log log 63log 43⎡⎤=-++⋅⨯÷⎢⎥⎣⎦()()()26666612log 3log 31log 31log 3log 4⎡⎤=-++-+÷⎣⎦()()22666612log 3log 31log 3log 4⎡⎤=-++-÷⎣⎦()666666621log 3log 6log 3log 212log 2log 2log 2--====.20．（1）计算：1222301322(2.5)3483-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）已知7log 23log 27lg252lg27x a =++-，求33x xx xa a a a--++的值．【答案】（1）12；（2）739．【详解】（1）原式123232223333391991122222444212⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+=-+=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎡⎤⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎭⎦⎝⎭．（2）()33log 32lg52lg2232lg5lg223223x a =++-=++-=+-=，所以()()()()3322331xx xx x xx xx x x xx xa a aa a a a a a a a a a a -------++⋅-++==+++()()()22222222117311131.39xxxxxx aaaa aa --⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21．求值：(1))1213250.02719-⎛⎫+-⎪⎝⎭；(2)2350.2log 27log 82log 10log 4⨯--．【答案】(1)4(2)7【详解】（1）)()12131121233255351020.02710.31149310333---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-=+-=+-=+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）()13322350.25555ln 3ln 23ln 33ln 2log 27log 82log 10log 42log 25log 22log 212log 292ln 2ln 3ln 2ln 3-⨯--=⨯-⨯-=⨯-++=-=.22．求值：()1220348π49-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭;(2)3323log 54log 2log 3log 4-+⋅.【答案】(1)172；(2)5.【详解】（11215321022532233317(2)(2)1[(]22122248(π4)()9-=++++-+=++=+.（2）322332332322log 454log 54log 2log 3log 4log log 3log 3log 23252log 3-+⋅=+⋅=+=+=.23．计算下列式子(1)()7l 0o 2g lg25+lg4l 79og .8+++-2334lo g log ⨯【答案】(1)132(2)8-【详解】（1）()7l 0o 2g lg25+lg4l 79og .8+++-3233133lg1002122122log =+++=+++=.（22334lo g log ⨯()222log lo 4lg100036281312g log =-⨯=--=-⨯-.24．计算：()031438162-⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭；(2)223lg 2lg 5log log 64++-．【答案】(1)118(2)-2【详解】（1）原式()13314334311111122124488⨯⎛⎫⨯- ⎪⨯⎝⎭⎛⎫=---+=-++= ⎪⎝⎭（2）原式()22lg 25log 32log 312=⨯+---=-25．计算：223327-⋅+；(2)()()()221004lg 2log 2lg 5lg 23++-．【答案】(1)27-(2)1【详解】（1）依题意，223327⋅+()22233433=--⋅+(2224332=--⋅+(224272=--+231227=-+=-（2）()()()221004lg 2log 2lg 5lg 23++-()()4lg 2lg 2lg 5lg 2lg 5lg 23lg100⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭4lg 2lg 2lg 5lg 232⎛⎫=++- ⎪⎝⎭43lg 25lg 322=⋅+52lg 2lg2=+25lg 2lg 2=+5lg 412⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭26．求值：(1)01310.0277-⎛⎫+- ⎪⎝⎭；(2)ln 21lg20lg4lg e 5-++.【答案】(1)73；(2)2.【详解】（1）()()111341334170.0270.3120.31273---⎛⎫+-+-=+-=⎪⎝⎭；（2）ln 21201lg20lg4lg e lg 2lg122545⎛⎫-++=⨯+=+= ⎪⎝⎭.27．求值：(1)))2202220223272264-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭；(2)()9log 1620427log 9log 643lg 2lg 5lg 12022lg 5⨯++⨯+++．【答案】(1)3(2)7【详解】（1）原式()20222162113999++-=++=.（2）原式()3log 4223log 3log 43lg 2lg 5lg 2lg 524lg 2lg 5lg 2lg 5=⨯++⨯++=++++6lg 2lg5617=++=+=.28．计算(1))2log 3lg12lg1001-+-(2))0.523124-⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】(1)2；(2)1π3-.【详解】（1）)2log 3lg12lg1001-+-)32lg101=-+-321=-+2=；（2）)0.523124-⎛⎫+ ⎪⎝⎭20.5233233π22-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦13π322-⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭1π3=-.29．计算下列各式的值：(1)11421481⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(2)33252log 2log 12l 8og 5log -+⨯.【答案】(1)143(2)2【详解】（1）114211423314813⎛⎫ ⎪⎝⎭=+-=．（2）33252log 2log 12l 8og 5log -+⨯321log log 32381==-+=+．30．求下列各式的值：(1)134440.06425--⎛⎫---⋅⎪⎝⎭(2)2log 3232lg25lg8log 27log 223+-⨯+．【答案】(1)1516(2)2【详解】（1）原式1159151910.41621616=--⨯=--=．（2）原式()232lg52lg23log 3log 232lg5lg2332=+-⨯+=+-+=．31．求解下列问题：(1)2433641)27--⎛⎫++ ⎪⎝⎭；(2)2log 3491lg2log 27log 8100--⋅．【答案】(1)2916(2)74-【详解】（1）2433641)27--⎛⎫++ ⎪⎝⎭24333324123--⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦224123--⎛⎫=++ ⎪⎝⎭9129116416=++=.（2）2log 3491lg2log 27log 8100--⋅221233223lg10ln e 3log 3log 2-=-+-⋅2313323log 3log 2222=--+-⋅192324=--+-74=-.32．计算下列各式的值：(1)2log 23log lg 5lg 22++．(2)cos 20sin 50cos50cos70︒︒-︒︒．【答案】(1)72(2)12【详解】（1）2log 2317log lg 5lg 22lg10222++=++=；（2）cos 20sin 50cos50cos70cos 20sin 50cos50sin 20︒︒-︒︒=︒︒-︒︒()1sin 50202=︒-︒=.33．计算下列各式，写出演算过程(1)1222318324272-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(2)5525lg 42lg 52log 10log 20log 5log 8++---⋅.【答案】(1)72(2)12-【详解】（1）解：原式23324344722392992⎡⎤⎛⎫=-+=+-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）解：原式()225101ln 53ln 211lg 45log 213202ln 2ln 522=⨯+--⋅=+--=-.34．化简求值：(1)213240330.250.53π)0.0648---⎛⎫⨯--+ ⎪⎝⎭(2)2log 314319lg 25lg 2log 9log 822-++-⨯++．【答案】(1)7318；(2)4.【详解】（1）213240330.250.53π)0.0648---⎛⎫⨯---++ ⎪⎝⎭212433331132124225---⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯--++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦45731129218=--++=；（2）2log 314319lg 25lg 2log 9log 822-++-⨯++2221221log 322233312log 3lg 5lg 2log 3log 2ln e 22=++-⨯++323314log 3lg 5lg 2log 33log 222=++-⨯++()32314lg 52log 33log 222=+⨯-⨯++41324=+-+=.35．求值：(1)()11202929.3log 443-⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)5log 2lg2lg5lg15+++【答案】(1)1(2)3【详解】（1）()111222029233339.3log 412121432222-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+=--+=--+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）5log 2lg 2lg 5lg15lg1002123+++=++=+=.36．化简求值：1020.5+(2)0.21log 53212lg5log 25lg 4-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.【答案】(1)3(2)2【详解】（1）原式3322=++=（2）原式155log 522lg5log 22lg 25=-++()15log 52112lg 5lg 2log 255-⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭151log 511552⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=11255=-+2=37．计算下列各式的值：(1)1013352943-⎛⎫⎛⎫⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)1433log lg 253log 3lg 43+-+【答案】(1)3(2)1【详解】（1）解：113352943-⎛⎫⎛⎫⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112133334413355⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11213333443355+⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）1433log lg 253log 3lg 4+-+343331log 3log 32lg53log 32lg 24=-+-⨯+3312(lg5lg 2)44=-++-12lg101=-+=.38．化简求值：(1)312log 14lg 2lg529-⎛⎫++- ⎪⎝⎭；(2)71113sin cos tan 634πππ++.【答案】(1)32(2)1【详解】（1）原式()1220233lg 25211322-⎡⎤⎛⎫=+⨯-=+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）原式πππsin πcos 4πtan2ππ634⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππsincos tan π634⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭11πtan 1224=-++=39．化简或求值(1)11034781(0.064)()()|0.1|816---++-(2)7lg142lg lg 7lg183-+-【答案】(1)3110(2)0(3)5π-【详解】（1）11034781(0.064)()()|0.1|816---++-1310.10.42=-++53112210=-++1310=+31.10=（2）27lg142lg lg 7lg1837lg14lg lg 7lg1839lg 1471849lg10.-+-⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⎛⎫=⨯⨯÷ ⎪⎝⎭==（3）325.πππ+=-+-=--=-40．计算求值(1)2ln 38916log 27log 6log 6e ⨯÷+；(2)419log 8log 34--【答案】(1)11(2)2-【详解】（1）2ln 38916log 27log 6log 6e⨯÷+ln92361log 3log 64log 2e 2=⨯⨯+62236log 22log 392log 3log 2911log 3=⨯+=⨯+=；（2）419log 8log 34--2331log 2log 322=---314222=+-=-.41．计算：(1)()110520.01321π---+；(2)3log 22log 8lg 2lg53++-．【答案】(1)5(2)2【详解】（1）()110520.01321102125π---+=---=；（2）()3log 22log 8lg 2lg 53lg 25223=+++-⨯-=．42．计算：(1)1123182427-⎛⎫-+ ⎛⎫ ⎪⎝⎪⎭⎝⎭(2)2lg 2lg 2lg5(lg5)+⋅+.【答案】(1)94(2)1【详解】（1）解：1123182427-⎛⎫-+ ⎛⎫ ⎪⎝⎪⎭⎝⎭1132233223-⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ =⎪⎝⎭⎢⎥⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦1123223323232⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎛⎫= ⎪⎝⎝⎭⎭⎝⎭33992244-+==.（2）解：2lg 2lg 2lg5(lg5)+⋅+()lg 2lg5lg 2lg5=++()lg 2lg 5lg 25=+⋅⨯()lg 2lg 5lg 251=+=⨯=.43．化简求值：)2138227--⎛⎫++⎪⎝⎭；(2)3log 211lg 9lg 240292361lg 27lg 35+-+-+.【答案】π(2)3【详解】（1）原式2335259π32π3π4344⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫=-+-=-+++-= ⎪⎝⎭．（2）原式32log 21lglg10lg 3lg 24083414336lg8lg10lg 9lg 5+-=+=+=-+=-+.44．求值：(1)230323(8)π)-+-；(2)()22824log 27(lg 5)(lg 2)lg 5lg log 16log 9+-+⨯．【答案】(1)2(2)0【详解】（1）2331032223(π)3313212-=-+⨯=-+=（2）()22824log 27(lg 5)(lg 2)lg 5lg log 16log 9+-+⨯32322222log 3(lg 5)(lg 2)2lg 5lg 2log 3=+-+⨯2(lg 5lg 2)1110=+-=-=45．计算：(1)ln 2lg252lg2e ++(2)()20.5133890.1252749--⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)4(2)19【详解】（1）原式lg25lg42lg1002224=++=+=+=.（2）原式2132(0.5)3()332313724712939⨯⨯-⨯-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.46．（1）求值：3204161)++；（2）求值：5log 2lg25lg45log +++．【答案】（1）12；（2）112．【详解】（1）原式()343432132112=++=++=（2）原式()323lg 2542log 3=⨯++3lg10022=++112=47．求值：(1)()1430513π38-⎛⎫-- ⎪⎝⎭；(2)()2273log 8log 7log log 81+⨯．【答案】(1)4(2)5【详解】（1）()143015545143π32312381-+⎛⎫-- =+=⎝+⎭-⎪-=；（2）()2273274log 8log 7log log 813log 7log +⨯=+⨯273log 72l 5og 22==++=⨯.48．（1）)1334ln 22811e 162022⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()314163log 4log 2log log 3⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】（1）5；（2）12．【详解】（1）原式31442433333214152222⨯⎛⎫⎛⎫=++-=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）原式()(3344341log 4log 2log log log 2log 32=-=⨯=．49．计算：(1)212232327(1)(()[(3)]28--+⋅+-；(2)232lg5lg 4log 3log 4log +-⋅+【答案】(1)5(2)32【详解】（1）22122233323272349(1)()()[(3)]1()[()]3135283294--+⋅+-=+⋅+=+⨯+=（2）232lg5lg 4log 3log 4log +-⋅+lg 32lg 23332lg 52lg 22(lg 5lg 2)2lg 2lg 3222=+-⨯+=+-+=50．计算下列各式的值：(1)2ln 21elglg 202--；(2)232lg 25lg8log 27log 23+-⨯.【答案】(1)3.(2)1-.【详解】（1）22ln 2ln 2111e lg lg 20e (lg lg 20)4lg(20)4lg10413222--=-+=-⨯=-=-=.（2）2232323232lg 25lg8log 27log 2lg(258)log 27log 2lg103log 3log 22313+-⨯=⨯-⨯=-⨯=-=-.51．化简下列各式：(1)75sincos cos(5)tan 224ππππ++-+；(2)24log 32log 0.252lg 42lg 5⋅++++⋅【答案】(1)-1(2)1592【详解】（1）原式3sincos cos 11011122πππ=+++=-+-+=-.（2）原式421log 322242221log ln e 2lg 4lg55123)log (lg 24lg 4-=++++=++++1159281lg100222=-+++-=.52．计算下列各式的值：(1)()2223327389.682--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)07log 2(9.8)log lg25lg47+-++.【答案】(1)3；(2)132【详解】（1）原式2323334122⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3=（2）原式()323log 3lg 25421=+⨯++3232=++132=53．计算求值：(1))()140231101108200-⎛⎫-++- ⎪⎝⎭；(2)(42log 923lg 2lg 250082log 9log 4⨯+⨯++⋅．【答案】(1)36(2)9【详解】（1）原式()()43431010220236⎡⎤=++-=+-=⎣⎦；（2）原式()2log 3212lg 32lg 2lg 22lg 528lg 524lg 2lg 3⎛⎫=++⨯++⋅ ⎪⎝⎭()22lg 2lg 52lg 22lg 5342lg 5lg 2lg 52lg 27=++++=+++()2lg 5lg 27279=++=+=.54．计算下列各式的值：(1)(332212234-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)5log 3333322log 4log log 2527-++【答案】(1)1(2)6【详解】（1）(33332221392213424-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭33233233331112222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）5log 3333322log 4log log 2527-++23332log 423log 27333627⎛⎫=÷⨯+=+=+= ⎪⎝⎭55．求下列各式的值：(1)1220.2531222854--⎛⎫⎛⎫+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)158311lglog 9log 125log 10032+--.【答案】(1)56-(2)163-【详解】（1）()112112220.25344311315222812212544266---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯-=+⨯-⨯=+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）3235158352311516lglog 9log 125log lg10log 9log 5log 22231003233--+--=---=---+=-.56．化简求值：())13320,0a b a b ->>；(2)7log 52225lg5lg 2lg 2lg5log 5log 47+++⨯+.【答案】(1)1(2)7【详解】（1）因为0,0a b >>()31332221b a ab --⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，()31333222a a b b --=，所以原式332233221a b a b--==；（2）7log 52225lg5lg 2lg 2lg5log 5log 47+++⨯+()25lg 5lg 2lg 2lg 5log 5log 25=+++⨯+()25lg 5lg 2lg 2lg 5log 5log 25=+++⨯+lg 5lg 2157=+++=.57．计算：(1)21304816π27-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)3ln 22552lg 4lg log 5log 4e 8++⋅+.【答案】(1)154-(2)11【详解】（1）解：原式()231344291521524344-⎡⎤⎛⎫=-+-=--=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）解：原式()32ln 25ln 52ln 2lg 4e 128118ln 2ln 5⎛⎫=⨯+⋅+=++= ⎪⎝⎭.58．计算：(1)5log 3311845log 11log 27log 2log 8-⋅++；(2)若33m m --=99m m -+的值.【答案】(1)116(2)9914m m -+=.【详解】（1）原式31122133log 113log 3log 2log 232=-⨯++131133326=-++=.（2）将等式33m m --=99212m m -+-=，则9914m m -+=.。
2023年高考数学真题分训练 极坐标系与参数方程(含答案含解析)
专题34 极坐标系与参数方程2⎩2 2考点 116 平面直角坐标系中的伸缩变换 考点 117 极坐标和直角坐标的互化⎧x = t + 1,⎪x = 4cos 2θ, 1．(2023 全国Ⅱ文理 21)已知曲线C 1 , C 2 的参数方程分别为C 1 : ⎨ (θ为参数)，C : ⎪ t ( t 为 ⎩ y = 4sin 2θ⎪ y = t - 1参数)．(1) 将C 1 , C 2 的参数方程化为一般方程；⎪ t(2) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C 1 , C 2 的交点为 P ，求圆心在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程．（解析）(1)由cos 2 θ+ sin 2 θ= 1得C 1 的一般方程为： x + y = 4 ，⎧x = t + 1 ⎧x 2= t 2 + 1 + 2 ⎪ t ⎪ t 2 C 2 2由⎨ 1 得： ⎨1 ，两式作差可得2 的一般方程为： x - y = 4 ． ⎪ y = t - ⎪ y 2 = t 2 + - 2 ⎪ t ⎪ t 2⎧x = 5 ⎧x + y = 4 ⎪ (2)由 得： 2 ，即 P ⎛ 5 , 3 ⎫． ⎨x 2 - y 2= 4 ⎨ ⎪ y = 3 ⎩ 2 ⎪ ⎝ ⎭⎛ 5 ⎫2⎛3 ⎫217设所求圆圆心的直角坐标为(a , 0)，其中 a > 0 ，则 a - ⎪ + 0 - ⎪ = a 2 ，解得：a = ，⎝2 ⎭⎝2 ⎭10∴ 17 ∴⎛ 17 ⎫2⎛ 17 ⎫222 2 17 所求圆的半径 r = ， 10 所求圆的直角坐标方程为： x - 10 ⎪ + y = 10 ⎪ ，即 x + y = x ，5 ∴所求圆的极坐标方程为ρ= 17cos θ．5⎝ ⎭ ⎝ ⎭103⎩⎪x = 2 - t - t 2, 2．(2023 全国Ⅲ文理 22)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪ y = 2 - 3t + t 2( t 为参数且t ≠ 1)，C与坐标轴交于 A , B 两点．(1) 求 AB ；(2) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程．（解析）(1)令 x = 0 ，则t 2 + t - 2 = 0 ，解得t = -2 或t =1(舍)，则 y = 2 + 6 + 4 = 12 ，即 A (0,12) ． 令 y = 0 ，则t 2 - 3t + 2 = 0 ，解得t = 2 或t =1(舍)，则 x = 2 - 2 - 4 = -4 ，即 B (-4, 0) ．∴ AB == 4 ．(2)由(1)可知 k AB =12 - 00 - (-4)= 3 ，则直线 AB 的方程为 y = 3(x + 4) ，即3x - y +12 = 0 ．由 x = ρcos θ, y = ρsin θ可得，直线 AB 的极坐标方程为3ρcos θ- ρsin θ+12 = 0 ．3．(2023 江苏 22)在极坐标系中，已知点 A (ρ, π) 在直线l : ρcos θ= 2 上，点 B (ρ , π) 在圆C : ρ= 4 sin θ上1 32 6(其中ρ≥ 0 ， 0 ≤θ< 2π)．(1)求ρ1 ， ρ2 的值(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．（解析）(1) Q ρ cos π = 2∴ρ = 4; Q ρ = 4 s inπ2 ．131 26 ∴ρ2 = (2) Q ρcos θ= 2, ρ= 4 sin θ∴ 4 sin θcos θ= 2,∴sin 2θ= 1 Q θ∈0, 2π)∴θ= π, 5π，4 4当θ= π时ρ= 2 4；当θ= 5π 时ρ= -2 4 < 0 (舍)；即所求交点坐标为当π (2 2, ) ． 4 4．(2023 全国 II 文理 22)在极坐标系中，O 为极点，点 M (ρ0 ,θ0 )(ρ0 > 0)在曲线C : ρ= 4 s in θ上，直线 l 过点 A (4, 0) 且与OM 垂直，垂足为 P ． (1)当θ = π时，求ρ 及 l 的极坐标方程；3(2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程．（解析）(1)因为 M (ρ,θ ) 在C 上，当θ = π 时，ρ = 4 s in π= 2 ．0 0 0 3 03由已知得| OP |=| OA | cos π= 2 ．322333⎢⎥⎢⎥设Q (ρ,θ) 为l 上除P 的任意一点．在Rt △OPQ 中ρcos⎛θ-π ⎫=| OP |= 2 ， 3 ⎪ ⎝ ⎭π ⎛ π ⎫经检验，点P (2, ) 在曲线ρcos θ- ⎪ = 2 上． ⎝ ⎭所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎛θ- π ⎫= 2 ．3 ⎪ ⎝ ⎭(2)设 P (ρ,θ) ，在Rt △OAP 中， | OP |=| OA | cos θ= 4 cos θ,即 ρ= 4 cos θ．．因为P 在线段OM 上，且 AP ⊥ OM ，故θ的取值范围是⎡π , π⎤． ⎣ 4 2 ⎦所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ= 4 cos θ,θ∈ ⎡π , π⎤ ．⎣4 2 ⎦5．(2023 全国 III 文理 22)如图，在极坐标系 Ox 中， A (2, 0) ， B ( 2, π) ，C ( 2, 3π) ， D (2, π) ，弧 AB ，4 4 A ， A 所在圆的圆心分别是(1, 0) ，π， (1, π) ，曲线 M 是弧 A ，曲线 M 是弧 A ，曲线 M 是BC CD(1, ) 21 AB2 BC3 弧C D ．(1) 分别写出 M 1 ， M 2 ， M 3 的极坐标方程；(2) 曲线 M 由 M 1 ， M 2 ， M 3 构成，假设点 P 在 M 上，且| OP |= ，求P 的极坐标．（解析）(1)由题设可得，弧 AB , B C ,C D 所在圆的极坐标方程分别为ρ= 2 cos θ，ρ= 2 s in θ，ρ= -2 cos θ，所以 M 的极坐标方程为ρ= 2 cos θ⎛0 θ π ⎫ ， M 的极坐标方程为 1 4⎪ 2⎝⎭ρ= 2 sin θ⎛ π θ3π ⎫ ， M 的极坐标方程为ρ= -2 cos θ⎛ 3πθ π ⎫ ． 4 4 ⎪ 34 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭(2)设 P (ρ,θ) ，由题设及(1)知3332⎩⎩⎩⎩⎩θ假设0 θπ，则 2 cos θ=，解得θ=π；4 6假设 π θ 3π ，则 2 sin θ= ，解得θ= π 或θ= 2π ； 4 4 3 3 假设 3π θ π ，则-2 cos θ= ，解得θ= 5π ．4 ⎛ 综上，P 的极坐标为3, π ⎫ 或⎛3, π ⎫ 或⎛63,2π ⎫ 或⎛3, 5π ⎫ ．6⎪ 3⎪ 3 ⎪ 6 ⎪ ⎝⎭ ⎝⎭ ⎝⎭ ⎝ ⎭考点 118 参数方程与一般方程的互化6．(2023 上海 14)已知直线方程3x + 4 y +1 = 0 的一个参数方程可以是()⎧x = 1+ 3t A ． ⎨ y = -1+ 4t ⎧x = 1- 4tB ． ⎨y = -1- 3t⎧x = 1- 3tC ． ⎨y = -1+ 4t ⎧x = 1+ 4t D ． ⎨y = -1- 3t（答案）D（解析）A ．参数方程可化简为 4x - 3y - 7 = 0 ，故 A 不正确；B ．参数方程可化简为3x - 4 y - 7 = 0 ，故B 不正确；C ．参数方程可化简为 4x + 3y -1 = 0 ，故 C 不正确；D ．参数方程可化简为3x + 4 y +1 = 0 ， 故 D 正确．应选 D ．7．(2023 全国Ⅲ)选修 4—4：坐标系与参数方程](10 分)在平面直角坐标系 xOy 中， A O 的参数方程为⎧x = cos θ(θ为参数)，过点(0, -2) 且倾斜角为α的直线l 与A O 交于 A ， B 两点．(1) 求α的取值范围；(2) 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．⎨ y = sin ，（解析）(1) A O 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 = 1． 当α= π时， l 与A O 交于两点．2当α≠ π时，记 tan α= k ，则l 的方程为 y = kx -．l 与A O 交于两点当且仅当< 1 ，解得 k < -1 或2α∈π ππ 3πk > 1，即( , ) 或α∈ ( , ) ．4 2 2 4α π 3π 综上，的取值范围是( , ) ． 4 4222222⎨(2) l 的参数方程为⎪x = t cos α, (t 为参数， π < α< 3π) ． ⎨⎩ y = - + t sin α 4 4 设 A ， B ， P 对应的参数分别为 t ， t ， t ，则t =t A + t B，且t ， t 满足t 2 - 2 2t sin α+ 1 = 0 ．ABPP2A B于是t A + t B= 2 2 sin α， t P =2 sin α．又点 P 的坐标(x , y ) 满足 ⎪x = t P cos α,y = - + t sin α.⎧ ⎪x =2sin 2α, 2 ⎩P π 3π 所以点 P 的轨迹的参数方程是⎨ ⎪ y = - 2 - 2 cos 2α (α为参数， < α< ) ． 4 4 ⎪ 2 2考点 119 极坐标方程与参数方程的综合应用8．(2023 北京文理)在极坐标系中，直线ρcos θ+ ρsin θ= a (a > 0) 与圆ρ=2 cos θ相切，则 a =．（答案）1+ （解析）利用 x = ρcos θ， y = ρsin θ，可得直线的方程为 x + y - a = 0 ，圆的方程为(x -1)2 + y 2 = 1 ，所以圆心(1, 0) ，半径 r = 1，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|1- a |= 1 ，∴ a = 1+ 或1- ，又 a > 0 ，∴ a = 1+ ．9．(2023 北京文理)在极坐标系中，点 A 在圆ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 上，点 P 的坐标为(1, 0) )，则| AP | 的最小值为．（答案）1（解析）圆的一般方程为 x 2 + y 2 - 2x - 4y + 4 = 0 ，即(x -1)2 + ( y - 2)2 = 1 ．设圆心为C (1, 2) ，所以| AP |min =| PC | -r = 2 -1 = 1 ．10．(2023 天津文理)在极坐标系中，直线4ρcos(θ- π) +1 = 0 与圆ρ= 2 s in θ的公共点的个数为．6（答案）2（解析）直线的一般方程为 2 3x + 2 y +1 = 0 ，圆的一般方程为 x 2 + ( y -1)2= 1 ，因为圆心到直 3线的距离 d = < 1 4，所以有两个交点．11．(2023 北京文理)在极坐标系中，直线ρcos θ- | AB |= ．3ρsin θ-1 = 0 与圆ρ= 2 cos θ交于 A , B 两点，则（答案）2（解析）将ρcos θ-3ρsin θ-1 = 0 化为直角坐标方程为 x - 3y -1 = 0 ，将ρ=2cos θ化为直角坐标方程为(x -1)2+ y 2= 1 ，圆心坐标为(1，0)，半径 r=1，又(1，0)在直线 x - 3y -1 = 0 上，所以|AB|=2r=2．222234y x ⎩⎩⎩)⎩12．(2023 广东文理)已知直线l 的极坐标方程为 2ρsin(θ- π= 47πA (2 2,) ，则点 Α 到直线l 的距离为 ．42 ，点 Α 的极坐标为（答案）（解析）由 2ρsin(θ- 2π ) = 得2ρ´ 4 2 7π(sin θ- cos θ) = ，所以 y - x = 1， 故直线l 的直角坐标方程为 x - y +1 = 0 ，而点 A (2 2, ) 对应的直角坐标为4 A (2,-2) ，所以点 A (2,-2) 到直线l ： x - y +1 = 0 的距离为| 2 + 2 +1| = 5 2． 213．(2023 安徽文理)在极坐标系中，圆ρ= 8sin θ上的点到直线θ=是．π(ρ∈ R ) 距离的最大值 3（答案）6（解析）圆ρ= 8sin θ即ρ2= 8ρsin θ，化为直角坐标方程为 x 2+ ( y - 4)2= 16 ，π直线θ=，则tan θ=，化为直角坐标方程为 3x - y = 0 ，圆心(0, 4) 到直线3的距离为| -4 |= 2 ，所以圆上的点到直线距离的最大值为 6．14．(2023 全国Ⅰ文理 21)⎧x = cos k t ,在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为⎨ y = sin k t(t 为参数) ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程为 4ρcos θ-16ρsin θ+ 3 = 0 ．(1) 当 k = 1时， C 1 是什么曲线？(2) 当 k = 4 时，求C 1 与C 2 的公共点的直角坐标．（解析）(1)当 k = 1时，曲线C 的参数方程为⎧x = cos t ,( t 为参数)，两式平方相加得 x 2 + y 2 = 1 ，1⎨y = sin t∴曲线C 1 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆．⎧x = cos 4 t ,(2)当 k = 4 时，曲线C 1 的参数方程为⎨ y = sin 4t ( t 为参数)，∴ x ≥ 0, y ≥ 0 ，曲线C 1 的参数方程化为⎧ x = cos 2 t ⎨ y = sin 2t(t 为参数)，两式相加得曲线C 1 方程为 + = 1，得 = 1 - ，平方得 5 22x yx 77⎩2y = x - 2 + 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 ，曲线C 2 的极坐标方程为4ρcos θ-16ρsin θ+ 3 = 0 ，曲线C 2 直角坐标方程为4x -16 y + 3 = 0 ，联立C , C 方程⎪ y = x - 2 +1 , ，整理得12 x - 32 + 13 = 0 ，解得 x = 1 或 = 13(舍去)，1 2⎨ ⎩4x -16 y + 3 = 02 6 ∴ x = 1 , y = 1 ，∴C ,C 1 1 公共点的直角坐标为( , ) ．4 4 1 24 4⎧ 1- t 2 ⎪x =1+ t 215．(2023 全国 1 文理 22)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为⎨ ⎪ y = ⎩ 4t 1+ t 2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2ρcos θ+ 3ρsin θ+11 = 0 ．(1) 求 C 和 l 的直角坐标方程；(2) 求 C 上的点到 l 距离的最小值．1- t 2⎛ y ⎫2⎛ 1- t 2 ⎫24t 2 （解析）(1)因为-1 < ≤ 1 ，且 x 2 + ⎪ = ⎪ + = 1，所以C 的直角坐标方程为2y 2 1+ t 2⎝ 2 ⎭ ⎝1 + t 2 ⎭ (1+ t 2 )2x += 1(x ≠ -1) ．4l 的直角坐标方程为 2x + 3y +11 = 0 ．⎧x = cos α, (2)由(1)可设C 的参数方程为 (α为参数， -π <α< π )．⎨y = 2sin α4 cos ⎛α- π ⎫ +113 ⎪ C 上的点到l 的距离为 = ⎝ ⎭．当α= - 2π 时， 4 c os ⎛α- π ⎫+11 取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为 ． 3 3 ⎪ ⎝ ⎭16．(2023 全国Ⅰ文理) 在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的方程为 y = k |x | + 2 ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2+ 2ρcos θ- 3 = 0 ． (1) 求C 2 的直角坐标方程；x x x | 2 c os α+ 2 3 sin α+11|7⎨y = 4 s in θ,⎩(2) 假设C 1 与C 2 有且仅有三个公共点，求C 1 的方程．（解析）(1)由 x = ρcos θ， y = ρsin θ得C 2 的直角坐标方程为(x +1)2 + y 2 = 4 ．(2)由(1)知C 2 是圆心为 A (-1, 0) ，半径为 2 的圆．由题设知，C 1 是过点 B (0, 2) 且关于 y 轴对称的两条射线．记 y 轴右边的射线为l 1 ，y 轴左边的射线为l 2 ．由于 B 在圆C 2 的外面，故C 1 与C 2 有且仅有三个公共点等价于l 1 与C 2 只有一个公共点且l 2 与C 2 有两个公共点，或l 2 与C 2 只有一个公共点且l 1 与C 2 有两个公共点．当l 与C 只有一个公共点时， A 到l 所在直线的距离为 2 ，所以| -k + 2 |= 2 ，故 k = - 4 或 k = 0 ．1213经检验，当k = 0 时， l 与C 没有公共点；当 k = - 4时， l 与C 只有一个公共点， l 与C 有两个公共点．1231 2 2 2| k + 2 | 当l 与C 只有一个公共点时， A 到l 所在直线的距离为2 ，所以= 2 ，故 k = 0 或 k = 4 ．2 2 23经检验，当k = 0 时， l 与C 没有公共点；当 k = 4时， l 与C 没有公共点．1 2 32 2综上，所求C 的方程为 y = - 4| x | +2 ．1317．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎧x = 2 cos θ,( θ 为参数)，直线l 的参数⎩⎧x = 1+ t cos α 方程为⎨ y = 2 + t sin α ( t 为参数)．(1) 求C 和l 的直角坐标方程；(2) 假设曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1, 2) ，求l 的斜率．x 2 + y 2 =（解析）(1)曲线C 的直角坐标方程为 1． 4 16当cos α≠ 0 时， l 的直角坐标方程为 y = tan α⋅ x + 2 - tan α； 当cos α= 0 时， l 的直角坐标方程为 x = 1 ．(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1+ 3cos 2 α)t 2 + 4(2 cos α+ sin α)t - 8 = 0 ．①3317⎩⎨ y = 1- ty 因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1, 2) 在C 内，所以①有两个解，设为t 1 ， t 2 ，则t 1 + t 2 = 0 ．4(2 cos α+ sin α)又由①得t 1 + t 2 = -1+ 3cos 2α，故 2 cos α+ sin α= 0 ，于是直线l 的斜率 k = tan α= -2 ．18．(2023 江苏)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin( π-θ) = 2 ，曲线C 的方程为ρ= 4 cos θ，求直线l 被曲6 线C 截得的弦长．（解析）因为曲线C 的极坐标方程为ρ=4 cos θ，所以曲线C 的圆心为(2, 0) ，直径为 4 的圆．因为直线l 的极坐标方程为ρsin( π -θ) = 2 ，则直线l 过 A (4, 0) ，倾斜角为 π，所以 A 为直线l 与圆C 的一6 6 个交点．设另一个交点为 B ，则∠OAB= π ，连结 OB ，因为 OA 为直径，从而∠OBA= π ，所以 AB = 4 c os π= 2 ．6 因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为 2 ．2 6⎧x = 3cos θ19．(2023 全国Ⅰ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎨ y = sin θ ，(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎧x = a + 4t( t 为参数)．⎩ (1) 假设 a = -1，求C 与l 的交点坐标；(2) 假设C 上的点到l 距离的最大值为 ，求 a ．（解析）(1)曲线C 的一般方程为 x 2 + 29= 1．当a = -1时，直线l 的一般方程为 x + 4 y - 3 = 0 ．⎧x + 4 y - 3 = 0⎧x = - 21 ⎪ ⎧x = 3 ⎪25 21 24由⎨ x 2 2解得⎨ y = 0 或⎨ ，从而C 与l 的交点坐标为(3, 0) ， (- 24 , ) ． ⎩ 9+ y = 1 ⎩⎪ y = ⎩ 25 25 25171717171733342⎩(2)直线l 的一般方程为 x + 4 y - a - 4 = 0 ，故C 上的点(3cos θ, sin θ) 到l 的距离为| 3cos θ+ 4 sin θ- a - 4 |d =．当a ≥-4 时， d 的最大值为a + 9．由题设得a + 9= ，所以a = 8 ；当a < -4 时， d 的最大值为 -a + 1 ．由题设得 -a + 1= ，所以 a = -16 ． 综上， a = 8 或 a = -16 ．20．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1 的极坐标方程为ρcos θ= 4 ．(1) M 为曲线C 1 上的动点，点 P 在线段OM 上，且满足| OM | ⋅ | OP |= 16 ，求点 P 的轨迹C 2 的直角坐标方程；π(2) 设点 A 的极坐标为(2, 3) ，点 B 在曲线C 2 上，求∆OAB 面积的最大值． （解析）(1)设 P 的极坐标为(ρ,θ) (ρ> 0) ， M 的极坐标为(ρ1 ,θ) (ρ1 > 0) ．由椭圆知| OP |= ρ， | OM |= ρ1 =cos θ．由| OM | ⋅ | OP |= 16 得C 2 的极坐标方程ρ= 4 cos θ(ρ> 0) ， 因此C 的直角坐标方程为(x - 2)2 + y 2= 4(x ≠ 0) ．(2)设点 B 的极坐标为(ρB ,α) (ρB > 0) ．由题设知| OA |= 2 ， ρB = 4cos α，于是∆OAB 面积1 π π 3S = 2 | OA | ⋅ρB ⋅sin ∠AOB = 4cos α| sin(α- 3 ) | = 2 | sin(2α- 3 ) - | ≤ 2 + ． 2 当α= - π时， S 取得最大值 2 + ，所以∆OAB 面积的最大值为 2 + ．1221．(2023 全国Ⅲ文理)在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为⎧x = 2 + t( t 为参数)，直线l 的参数方⎧x = -2 + m⎪1 ⎨ y = kt 2程为⎨ ⎩ y = m k( m 为参数)．设l 1 与l 2 的交点为 P ，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线C ．(1) 写出C 的一般方程；17175224 5⎨t⎩(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3 ：ρ(cosθ+ sinθ) -交点，求M 的极径．= 0 ，M 为l3与C 的（解析）(1)消去参数t 得l 的一般方程l : y =k (x -2)，消去参数m 得l 的一般方程l : y =1 (x+2)．11⎧y =k (x-2)22k⎪设P(x, y) ，由题设得⎨⎩y=1 (x+2)k，消去k 得x2-y2=4 (y ≠0)，所以C 的一般方程为x2-y2=4 (y ≠0)．⎪ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0＜θ＜2π,θ≠π)，联立⎨得⎩ρ(cosθ+sinθ)-2=0cosθ- sinθ=2 (cosθ+sinθ)，故tanθ=-1，从而cos2θ=9，sin2θ=1，代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得3ρ2=5，所以交点M的极径为．10 10⎧x =-8 +t22．(2023 江苏)在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为⎪y = ( t 为参数)，曲线C 的参数方⎧x=2s2⎪2程为⎨⎩y=22s( s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．（解析）直线l 的一般方程为x - 2 y + 8 = 0 ．因为点P 在曲线C 上，设P(2s2 , 2 2s) ，从而点P 到直线l 的的距离4 5d == ，当s =时，dmin=5．因此当点P 的坐标为(4, 4) 时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值．5⎧x =a cos t23．(2023 全国I 文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为⎨y = 1+a sin t(t 为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 ：ρ= 4 cosθ．(I)说明C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；(II)直线C3 的极坐标方程为θ=a0 ，其中a0 满足tan a0 =2 ，假设曲线C1 与C2 的公共点都在C3上，求a．22(s -2)2 +4510 10 ⎫2152⎩1123⎩⎨⎩=⎧x = a cos t （解析）(1) ⎨ y = 1 + a sin t( t 均为参数)，∴x 2 + ( y - 1)2= a 2 ①∴ C 为以(0 ，1) 为圆心， a 为半径的圆．方程为 x 2 + y 2 - 2 y +1 - a 2 = 0 ．∵ x 2 + y 2 = ρ2 ，y = ρsin θ，∴ ρ2- 2ρsin θ+ 1 - a 2 = 0 ，即为C 的极坐标方程．(2) C ：ρ= 4cos θ，两边同乘ρ得ρ2 = 4ρcos θ ρ2= x 2 + y 2 ，ρcos θ= x ，∴ x 2 + y 2 = 4x ，即( x - 2)2+ y 2 = 4 ②C 3 ：化为一般方程为 y = 2x ，由题意： C 1 和C 2 的公共方程所在直线即为C 3 ，①—②得： 4x - 2 y + 1 - a 2 = 0 ，即为C ，∴1 - a 2 = 0 ，∴ a = 1 ．24．(2023 全国 II 文理)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为( x + 6)2+ y 2 = 25 ．(I) 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；⎧x = t cos α(II)直线 l 的参数方程是⎨ y = t sin α(t 为参数)，l 与 C 交于 A 、B 两点， AB = ，求 l 的斜率．⎧ρ2 = x 2 + y 2 （解析）(Ⅰ)整理圆的方程得 x 2 + y 2 + 12 + 11 = 0 ，由⎪ρcos θ= x ⎪ρsin θ= y 可知圆C 的极坐标方程为ρ2 + 12ρcos θ+ 11 = 0 ．(Ⅱ)记直线的斜率为 k ，则直线的方程为 kx - y = 0 ，由垂径定理及点到直线距离公式知：= 36k 2 290 ，整理得 k 2 = 5 ，则 k = ± ． 1 + k 4 3 3⎪x =3 cos α25．(2023 全国 III 文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为⎨ ⎩ y = sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin(θ+ π) = 2．24(Ⅰ)写出C 1 的一般方程和C 2 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点 P 在C 1 上，点 Q 在C 2 上，求| PQ |的最小值及此时 P 的直角坐标．x 2 2（解析）(Ⅰ) C 1 的一般方程为 3+ y = 1， C 2 的直角坐标方程为 x + y - 4 = 0 ．(Ⅱ)由题意，可设点 P 的直角坐标为( 3 cos α, sin α) ，因为C 2 是直线，所以| PQ | 的最小值，即为 P 到C 2| 3 cos α+sin α- 4 |2222⎨⎩⎪=1⎩的距离d (α) 的最小值， d (α) ==π2 | sin(α+ π ) - 2 | ．3 3 1当且仅当α= 2k π+(k ∈ Z ) 时， d (α) 取得最小值，最小值为 6，此时 P 的直角坐标为( , ) ． 2 2 ⎧x = 1 + 1t , 26．(2023 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎪ ⎪ y = ⎩ 2 3 t , 2(t 为参数) ，椭圆C 的参数⎧x = cos θ,方程为⎨ y = 2sin θ, (θ为参数) ，设直线l 与椭圆C 相交于 A , B 两点，求线段 AB 的长．⎧x = 1+ 1t（解析）椭圆C 的一般方程为 x 2 + y 4 = 1，将直线l 的参数方程⎨ ⎪ y = ⎩2 3 t2 ，代入 x 2 + y 4 = 1，得(1+ 1 t )2 + 3 t )22 = 1，即7t 2 +16t = 0 ，解得t = 0 ， t = - 16 ，所以 AB =| t - t | 16 ．2 4 1 2 71 2727．(2023 全国Ⅰ文理)在直角坐标系 xOy 中，直线C ： x = -2 ，圆C ：(x -1)2 + ( y - 2)2= 1 ，以坐标原12点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求C 1 ， C 2 的极坐标方程；(Ⅱ)假设直线C 3 的极坐标方程为θ=(ρ∈ R ) ，设C 2 与C 3 的交点为 M ， N ，求∆C 2MN 的面积．4（解析）(Ⅰ)因为 x = ρcos θ, y = ρsin θ，∴ C 的极坐标方程为ρcos θ= -2 ， C 的极坐标方程为ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 ．12(Ⅱ)将θ= π代入ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 ，得ρ2- 3 2ρ+ 4 = 0 ，解得ρ = 2， ρ = ， 4|MN|= ρ － ρ = ，因为C 的半径为 1，则A C MN 的面积 ⨯ 122 ⨯1⨯sin 45o = 1 ． 1 2 22 2 2 ⎧x = t cos α,28．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 ： ⎨ y = t sin α, ( t 为参数，t ≠0)其中0 ≤α<π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2 ： ρ= 2 sin θ， C 3 ： ρ= 2 3 cos θ． (Ⅰ)求C 2 与C 3 交点的直角坐标；(Ⅱ)假设C 1 与C 2 相交于点 A ， C 1 与C 3 相交于点 B ，求| AB | 的最大值．222(π3623)( x -1+ y +1= )()⎨（解析）(Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 2 y = 0 ，曲线C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2- 2 3x = 0 ．联⎪x 2+ y 2- 2 y = 0,⎧x = 0, ⎧ 3 ⎪x = 2 , 立⎨x 2 + y 2 - 2 3x = 0,解得⎨ y = 0, 或⎨ 3 ⎪ ⎩ ⎪ y = ,⎩ 23所以C 2 与C 1 交点的直角坐标为(0, 0) 和( , ) ．2 2(Ⅱ)曲线C 1 的极坐标方程为θ= α(ρ∈ R , ρ≠ 0) ，其中0 ≤α<π． 因此 A 得到极坐标为(2 sin α,α) ， B 的极坐标为(2 3 cos α,α) ． π5π所以 AB = 2 sin α- 2 3 cos α = 4 s in(α-) ，当α= 时， AB 取得最大值，最大值为 4 ． 3 629．(2023 江苏) 已知圆 C 的极坐标方程为ρ2+ 2 2ρsin(θ- π- 4 = 0 ，求圆 C 的半径．4（解析） 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xoy ．圆C 的极坐标方程为ρ2 + 2⎛ 2 sin θ- 2cos ⎫4 = 0 ，化简，得ρ2 + 2ρsin θ- 2ρcos θ- 4 = 0 ． ρ 22 θ⎪⎪ - ⎝ ⎭则圆C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 2x + 2 y - 4 = 0 ，即2 2，所以圆C 的半径为 ． ⎧x = 3 + 1 t 30．(2023 陕西文理)在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为⎪2⎪ y = 3 t ⎩ 2 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙ C 的极坐标方程为ρ= 2 3 sin θ． (Ⅰ)写出⊙ C 的直角坐标方程；( t 为参数)．以原点为极点， x(Ⅱ) P 为直线l 上一动点，当 P 到圆心C 的距离最小时，求 P 的直角坐标．（解析）(Ⅰ) 由ρ= 2 3 sin θ, 得ρ2= 2 3ρsin θ，从而有 x 2+y 2= 2 3y , 所以x 2+ (y -3 )2= 3 ．(Ⅱ)设P (3 += ，故当t =0 时，| PC |取最小值，此时 P 点的直角坐标为(3, 0) ．21t,3t), 又C(0, 3) ，则| PC |=3222 3 ⎪55⎨y = 2 - 2t⎩⎩31．(2023 全国Ⅰ文理)已知曲线C ： x 4 + y 29 = 1，直线l ： ⎧x = 2 + t ( t 为参数)． ⎩(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的一般方程；(Ⅱ)过曲线C 上任一点 P 作与l 夹角为30o的直线，交l 于点 A ，求| PA |的最大值与最小值．⎧x = 2 cos θ.（解析）〔I 〕曲线C 的参数方程为⎨ y = 3sin θ. (θ为参数).直线l 的一般方程为2x + y - 6 = 0. ……5 分(Ⅱ)曲线C 上任意一点P(2cos θ.3sin θ)到l 的距离为d =4 cos θ+ 3sin θ- 6 .则 PA =d = sin 30︒ 5sin(θ+α) - 6 , 其中α为锐角，且tan α= 4 . 3当sin (θ+α)=-1时，PA 取得最大值，最大值为22 5 .5当sin(θ+α) = 1时，PA 取得最小值，最小值为2 5 .532．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为ρ= 2 cos θ，θ∈ ⎡0,π⎤ ．(Ⅰ)求 C 的参数方程；⎣⎢ 2 ⎥⎦(Ⅱ)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线l : y = 3x + 2 垂直，依据(Ⅰ)中你得到的参数方程，确定 D 的坐标．（解析）(I)C 的一般方程为(x -1)0 ≤ t ≤ x )．2 + y 2⎧x = 1+ cos t , = 1(0 ≤ y ≤ 1) ，可得 C 的参数方程为⎨ y = sin t ,(t 为参数，(Ⅱ)设 D (1+ cos t , sin t ) ．由(I)知 C 是以 G(1，0)为圆心，1 为半径的上半圆． π因为 C 在点D 处的切线与 t 垂直，所以直线 GD 与 t 的斜率相同， tan t = 3, t =．32 5523⎩⎩⎩1⎩⎩ππ 3故D 的直角坐标为(1+ cos , s in ) ，即( , ) ．3 3 2 233．(2023 全国Ⅰ文理)已知曲线C 的参数方程为⎧x = 4 + 5 cos t( t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正1 ⎨y = 5 + 5sin t半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为ρ= 2 s inθ．(Ⅰ)把C1 的参数方程化为极坐标方程；(Ⅱ)求C1 与C2 交点的极坐标( ρ≥0 ，0 ≤θ≤2π)．⎧x = 4 + 5 c os t2 2（解析）将⎨y = 5 + 5sin t消去参数t ，化为一般方程(x - 4) + ( y -5) = 25 ，即C1 ：x 2 +y2⎧x =ρcosθ-8x -10 y+16 = 0 ，将⎨y =ρsinθ代入x 2 +y2- 8x -10 y + 16 = 0 得，ρ2 - 8ρcosθ-10ρsinθ+16 = 0 ，∴C 的极坐标方程为ρ2 - 8ρcosθ-10ρsinθ+16 = 0 ．⎪x2+y2-8x-10y+16=0(Ⅱ) C 的一般方程为x2 +y2 - 2 y = 0 ，由⎨⎧x =1解得⎨⎧x = 0或⎨，2∴C1 与C2 的交点的极坐标分别为(⎩x2+y2-2y=0π)，(2, ) ．4 2⎩y =1 ⎩y = 2 34．(2023 全国Ⅱ文理)已知动点P ，Q 都在曲线C与β= 2α( 0 <α< 2π) M 为PQ 的中点．⎧x = 2 c os β：⎨y = 2 s in β(β为参数)上，对应参数分别为β=α(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并推断M 的轨迹是否过坐标原点．（解析）(Ⅰ)由题意有P(2c osα,2sinα),Q(2c os2α,2sin2α),因此M(cosα+cos2α,sinα+sin2α)，⎧x = cosα+ cos 2α,M 的轨迹的参数方程为⎨y = sinα+ sin 2α, (0 <α< 2π)．(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离d ==0 <α< 2π)，当α=π时，d = 0 ，故M 的轨迹过坐标原点．2,π3⎩100⎩135．(2023 全国文理)已知曲线C 的参数方程是⎧x = 2 cos ϕϕ为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴1⎨y = 3sin ϕ(为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程是ρ= 2 ．正方形 ABCD 的顶点都在C 2 上，且 A 、 B 、C 、πD 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为(2, ) ． 3(Ⅰ)求点 A 、 B 、C 、 D 的直角坐标；(Ⅱ)设 P 为C 上任意一点，求| PA |2 + | PB |2 + | PC |2 + | PD |2 的取值范围．π5π 4π 11π（解析）(1)点 A , B , C , D 的极坐标为(2, ), (2, ), (2, ), (2, ) ，3 6 3 6点 A , B , C , D 的直角坐标为(1, 3),(-⎧x 0 = 2cos ϕ3,1), (-1, - 3),( 3, -1) ．(2)设 P (x 0 , y 0 ) ；则⎨ y = 3sin (ϕ为参数) ， ⎩ 0ϕt = PA 2+ PB 2+ PC 2+ PD 2= 4x 2 + 4 y 2 +16 = 32 + 20 sin 2ϕ∈32, 52．⎧x = 2 c os α 36．(2011 全国文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为⎨ y = 2 + 2 s in(α为参数)，M 是C 上 α的动点， P 点满足OP = 2OM ， P 点的轨迹为曲线C 2(Ⅰ)求C 2 的方程(Ⅱ)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ= π与C 的异于极点的交点为 A ，与C 的异于极点的交点为 B ，求 AB ．31 2（解析）(I)设 P (x , y ) ，则由条件知 M( x , y)．由于 M 点在C 上，⎧ x = 2 cos α ⎪ 2 2 2⎧ x = 4 cos α 1⎧ x = 4 cos α 所以⎨ y ，即⎨y = 4 + 4 s in ，从而C 2 的参数方程为⎨y = 4 + 4 s in (α为参数)， ⎪ = 2 + 2 s in α ⎩ α ⎩ α⎩ 2(Ⅱ)曲线C 1 的极坐标方程为ρ= 4sin θ，曲线C 2 的极坐标方程为ρ= 8sin θ．射线θ= π与C 的交点 A 的极径为ρ = 4sin π，射线θ= π与C 的交点 B 的极径为ρ = 8sin π．3 1 1 3 32 23所以| AB |=| ρ2 - ρ1 |= 2 ．。
2023年高考数学真题分训练 排列组合、二项式定理(理)(含答案含解析)
专题 30 排列组合、二项式定理（理）年 份题号 考 点考 查 内 容2011 理 8 二项式定理 二项式定理的应用，常数项的计算 2023 理 2排列与组合 简单组合问题卷 1 理 9 二项式定理 二项式定理的应用以及组合数的计算 2023卷 2理 5 二项式定理 二项式定理的应用 卷 1 理 13 二项式定理 二项式展开式系数的计算2023卷 2 理 13 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 1 理 10 二项式定理 三项式展开式系数的计算2023卷 2 理 15 二项式定理 二项式定理的应用卷 1 理 14 二项式定理 二项式展开式指定项系数的计算 卷 2 理 5 排列与组合 计数原理、组合数的计算2023卷 3理 12 排列与组合 计数原理的应用 卷 1 理 6 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 2 理 6 排列与组合 排列组合问题的解法2023卷 3理 4 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 1 理 15 排列与组合 排列组合问题的解法2023 卷 3 理 5 二项式定理 二项式展开式指定项系数的计算2023卷 3 理 4 二项式定理 利用展开式通项公式求展开式指定项的系数 卷 1 理 8 二项式定理 利用展开式通项公式求展开式指定项的系数2023 卷 3理 14二项式定理利用展开式通项公式求展开式常数项考点出现频率2023 年预测考点 102 两个计数原理的应用 23 次考 2 次 考点 103 排列问题的求解 23 次考 0 次 考点 104 组合问题的求解23 次考 4 次 考点 105 排列与组合的综合应用 23 次考 2 次 考点 106 二项式定理23 次考 11 次命题角度：(1)分类加法计数原理；(2)分步乘法计数原 理；(3)两个计数原理的综合应用．核心素养：数学建模、数学运算考点102 两个计数原理的应用1．(2023 全国II 理)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A．24 B．18 C．12 D．9（答案）B（解析）由题意可知E →F 有6 种走法，F →G 有3 种走法，由乘法计数原理知，共有6 ⨯ 3 = 18 种走法，应选B．2．(2023 新课标理1 理)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A.18B.3824 - 2 7C.58D.78（答案）D（解析）P ==．24 83．(2023 湖北理)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249 等．显然2位回文数有9 个：11，22，33，…，99．3 位回文数有90 个：101，111，121，…，191，202，…，999．则(Ⅰ)4 位回文数有个；(Ⅱ) 2n +1 (n ∈N+) 位回文数有个．（解析）(Ⅰ)4 位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第—位不能为0，有9(1~9)种情况，第二位有10(0~9)种情况，所以4 位回文数有9 ⨯10 = 90 种．答案：90(Ⅱ)解法一：由上面多组数据研究发觉，2n +1 位回文数和2n + 2 位回文数的个数相同，所以可以算出2n + 2位回文数的个数．2n + 2 位回文数只用看前n +1位的排列情况，第—位不能为0 有9 种情况，后面n 项每项有10 种情况，所以个数为9 ⨯10n ．解法二：可以看出2 位数有9 个回文数，3 位数90 个回文数。
数学高考近三年真题-冲刺2024年高考数学考前必刷题10之08(新结构通用)原卷版
10天刷完高考真题（新高考Ⅰ和Ⅱ卷2021-2023）-冲刺2024年高考数学考前必刷题（新高考通用）新高考真题限时训练打卡第八天目录一览Ⅰ真题知识点分析Ⅱ真题限时训练Ⅲ精选模拟题预测Ⅳ真题答案速览Ⅴ自查自纠表Ⅰ真题知识点分析1 0.65 正弦定理边角互化的应用；基本不等式求和的最小值；20.65频率分布直方图的实际应用；由频率分布直方图估计平均数；利用对立事件的概率公式求概率；计算条件概率；3 0.40利用导数证明不等式；利用导数研究不等式恒成立问题；含参分类讨论求函数的单调区间；Ⅱ 真题限时训练新高考真题限时训练打卡第八天难度：一般建议用时:60分钟一、单选题1．（2021·全国·高考真题）设集合，则（ ） A ．B ．C ．D ．2．（2021·全国·高考真题）已知，则（ ） A ．B ．C ．D ．3．（2021·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）A ．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大B ．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等4．（2021·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立5．（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．6．（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===()U A B = ð{3}{1,6}{5,6}{1,3}2i z =-()i z z +=62i -42i -62i +42i +()210,N σσ(9.9,10.1)(9.9,10.2)(10,10.3)5log 2a =8log 3b =12c =c b a <<b a c <<a c b <<a b c <<(),a b e x y =A ．B ．C ．D ．二、多选题7．（2021·全国·高考真题）有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（ ） A ．两组样本数据的样本平均数相同 B ．两组样本数据的样本中位数相同 C ．两组样本数据的样本标准差相同 D ．两组样本数据的样本极差相同8．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）A ．B ．C ．D ．三、填空题9．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程．10．（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是 ．四、解答题11．（2022·全国·高考真题）记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．(1)若，求B ； (2)求的最小值．e b a <e a b <0e b a <<0e a b <<1x 2x n x 1y 2y n y i i y x c =+1,2,,),i n c =⋅⋅⋅()f x ()f x 'R ()()g x f x '=322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)g x +(0)0f =102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(1)(4)f f -=(1)(2)g g -=221x y +=22(3)(4)16x y -+-=()e x y x a =+ABC cos sin 21sin 1cos2A BA B=++23C π=222a b c+12．（2022·全国·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.13．（2022·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a 的取值范围； (3)设．Ⅲ精选模拟题预测一、单选题1．已知集合，，则的真子集个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．已知复数的共轭复数是，若，则（ ）[20,70)0.1%[40,50)16%[40,50)()e e ax x f x x =-1a =()f x 0x >()1f x <-n *∈N ln(1)n ++>+ {}2,0,1,3A =-{}1,0,1,2B =-A B ⋂z z i 1i z ⋅=-z =A ．B ．C ．D ．3．某校有200人参加联合考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（不低于120分）的人数占总人数的，则此次数学成绩在90分到120分之间的人数约为（ ） A ．75 B ．105C ．125D ．1504．若，则（ ） A ．事件与互斥 B ．事件与相互独立C ．D ．5．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数，只有一个极值点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题79时到16时每隔一个小时测得同一个金属材料的长度依次为3.62，3.61，3.65，3.62，3.63，3.63，3.62，3.64（单位：cm ），则（ ） A ．该金属材料的长度的极差为0.04cm B ．该金属材料的长度的众数为3.63cm C ．该金属材料的长度的中位数为3.625cm D ．该金属材料的长度的第80百分位数为3.63cm8．已知非零函数及其导函数的定义域均为，与均为偶函数，则（ ） A ． B ． C ． D ．三、填空题9．古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成1i -+1i --1i -1i +()2105,N σ18()()()131,,1054P AB P A P B ===A B A B ()1320P A B +=1()5P AB =1225log 5,log 2,e a b c ===c a b <<a c b <<a b c <<b c a <<2()e 2xx f x m =-(,0]-∞(,0)-∞1(,0]e ∞⎧⎫-⋃⎨⎬⎩⎭10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x ()g x R ()21f x +()21g x -(1)0f -=(8)()f x f x +=(3)0g =91()0k g k ==∑果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为 .10．曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标定义：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．已知，则曲线在点处的曲率为．四、解答题11．记的内角的对边分别为，已知． (1)求角；(2)若，点为的重心，且的面积．12．某校为了让学生有一个良好的学习环境，特制定学生满意度调查表，调查表分值满分为100分．工作人员从中随机抽取了100(1)估计此次满意度调查所得的平均分值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)在选取的100位学生中，男女生人数相同，规定分值在（1）中的以上为满意，低于为不满意，据统计有32位男生满意．据此判断是否有的把握认为“学生满意度与性别有关”？(3)在（2）的条件下，学校从满意度分值低于分的学生中抽取部分进行座谈，先用分层抽样的方式选出8位学生，再从中随机抽取2人，求恰好抽到男女生各一人的概率．()1λλ≠()0,0O ()3,0A (),P x y 12PO PA=P ()22:11C x y -+=()f x '()f x ()''f x ()f x '()y f x =()(),x f x ()()()3221f x K f x =⎡⎤+⎢'⎥⎣⎦''()()2cos 1f x x =-()y f x =()()1,1f ABC ,,A B C ,,a b c sin sin sin sin a b C Bc A B+-=-A 6a =M ABC AM =ABC x x x 95%x附：，其中．13．已知函数.（其中为常数） (1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，判断函数是否存在零点？如果存在，求出零点的个数；(3)当且时，试讨论函数的单调区间和极值.22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++20()P K k ≥0.100.050.0100.0050.0010K 2.706 3.841 6.6357.87910.828()()211ln 2f x x a x a x =-++a 2a =-()y f x =()()22f ,59a =-()y f x =1a <0a ≠()y f x =。
课本习题与高考试题的对接
课本习题与高考试题的对接1 课本习题与高考试题的对接1.1 圆的直径端点式方程 (人教版数学必修2，P.124习题4.1第5题)已知:圆上一条直径的端点分别是),(),,(2211y x B y x A .求证：此圆的方程()()()()02121=--+--y y y y x x x x . 证明 设圆上任意一点为(),M x y ，由0MA MB ⋅=，立即可得()()()()02121=--+--y y y y x x x x .1.2 拓广 当点 M 位置变化时，记以AB 为直径的圆为圆N ，我们知道显然有如下性质: （1）当点M 在圆N 外时⇔()()()()02121>--+--y y y y x x x x ； （2）当点M 在圆N 外时⇔()()()()02121<--+--y y y y x x x x .1.3.应用 例1 (2010年浙江卷理科第21题) 已知1m >，直线2:02m l x my --=，椭圆22:1x C y m+=，12,F F 分别为椭圆C 的左右焦点.(I)当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；(II) 设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，1212,AF F BF F ∆∆的重心分别为G ，H.若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围. 解 (I) 略.(II) 如图1，设1122(),()A x y B x y ，.图1 图2由22221m x my x y m⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去x 得：22214m y my ++=， 则由2228(1)804m m m ∆=--=-+>知，28m <且212121,282m m y y y y +=-=- ，O 在以GH 为直径的圆内，0OH OG ∴⋅<，,0,AOB GOH OA OB ∠=∠∴⋅<22222121212121()()(1)()0,42282m m m x x y y my my y y m m ∴+=+++=+-<<，又1m >，0∆>，(1,2)m ∴∈.小结 本题命题组提供的解答很繁琐，根本原因是没有进行定性分析，其实条件可减弱为“点G ，H 分别在射线OA ，OB 或射线OA ，OB 的反向延长线上运动(不到达O 点)”，一定能保证结论“原点O 在以线段GH 为直径的圆内”成立.因此通过利用课本习题的拓广，使问题获得了巧妙的解决方案.例2 (2010年浙江卷文科第22题)已知m 是非零实数，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F在直线2:02m l x my --=上(I) 若m=2，求抛物线C 的方程；(II) 设直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的准线段垂线，垂足为11,A B ，11,AA F BB F ∆∆的垂心分别为G ，H ，求证：对任意非零实数m ，抛物线C 的准线与x 轴交点在以线段GH 为直径的圆外.解 (I)(,0)2pF 在直线l 上，24p m ==28y x ∴=. (II) 设1122(),()A x y B x y ，如图2，由22222m x my y m x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得：23420y m y m --=，由于m ≠0，故4644m m +=∆>0，且有,,2421321m y y m y y -==+由重心性质知：112(,)33x y G ，222(,)33x y H ， 设抛物线的准线与x 轴的交点2(,0)2m N -，所以 222211*********(,)(,)()()32332332329x y x y x x m m m m NG NH y y ⋅=+⋅+=+++2212121214()9649m m x x x x y y =++++. 22344426612121212()()()222444m m m m m m x x my my m y y y y m m =++=+++=-++=，2421212()2x x m y y m m m +=++=+，4646424036693m m m m NG NH m +∴⋅=+-=>，根据拓广的结论，立得：当0≠m 时，N在以线段GH 为直径的圆外.2 课本概念与高考试题的对接2.1直线的两点式方程（人教版数学必修2，P.96）()()()111122212122121,,,=.y y x x x y P x y x x y y y y x x --≠≠--1经过两点P 其中，的直线方程为()()()()()()()()()()()()121121211211211122211.2,//,,//,,=,,,,==.P x y PP x x y y x x y y y y x x x x y y x y P x y x x y y ----∴----**112 拓广 设为所求直线上任意一点，则P P 即值得一提的是方程表示经过两点P 的所有直线包括和2.3 应用 例3 (2011年浙江卷理科21题)已知：如图3，抛物线21:C x y =，圆222:(4)1C x y +-=的圆心为点M.(I)求点M 到抛物线1C 的准线的距离；(II)已知点P 是抛物线1C 上的一点(异于原点)，过点P 作圆2C 的两条切线交抛物线1C 于,A B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程.图3 图4例4 (2011年浙江卷文科22题)已知：如图4，设P是抛物线21:C x y=上的动点，过点P作圆222:(+3)1C x y+=的两条切线，交直线:3l y=-于A,B两点.(I)求圆2C M的圆心到抛物线1C的准线的距离；(II)是否存在点P，使线段AB被抛物线1C在点P处的切线平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.例3 解(I) 略.(II) 如图3，设200(,)P x x，22(,),(,)A m mB n n，由题意得000,1,x x m n≠≠±≠,则直线PA的方程由()*式可设为00()0m x x y mx+--=，直线PA与圆M相切，∴1=，即222000(1)6150x m x m x-++-=；同理222000(1)6150x n x n x-++-=.,m n∴是方程222000(1)6150x x x x x-++-=的两个不等根，∴0261xm nx-+=-，∴20020064,,1AB PMx xk m n kx x--=+==-由MP AB⊥，得2002006411AB PMx xk kx x--⋅=⋅=--，∴2235x=，∴23()5P，直线l的方程为4115y x=±+.例4 解仿例3的解答得：(I) 略.(II) 如图4，设200(,)P x x，(,3),(,3),A mB n--则直线()()()220000330,PA x x x m y x mx*+----=的方程由式，可设为直线PA 与圆M 相切，1,=()4220000682890;xx m x m x +++--=同理 ()4220000682890.x x n x n x+++--= ∴,m n 是方程()4220000682890x x x x x x +++--=的两个不等根，20004242000022,,3.,6868x x m n AB x x x x x x ⎛⎫--∴+=-- ⎪++++⎝⎭0设的中点为D,则D 又切线PD的方程为y=2x ()()(224000004200023,380,68x x x x x x x x P ⎛⎫-∴-=-+-= ⎪++⎝⎭∴=即即存在点满足题意.小结 两道考题，命题组提供的解答较繁琐，通过对课本概念的一个小小改造，不仅使解法简捷，而且避免了例4的讨论，更重要的是统一了两题的解法.高三总复习，时间紧，任务重.如何提高复习的针对性和有效性呢？常回“家”（课本）看看，找找考题与课本的对接口，也不失是一个好办法.。
高考数学专项练习试题
高考数学专项练习试题高考考查的不仅仅是一些基础知识，要想学好数学，一定要掌握一定的数学思想和数学思维，学会用数学思维解决问题，下面是小编为大家整理的关于高考数学专项练习试题，希望对您有所帮助。
欢迎大家阅读参考学习!高考数学专项练习试题一、选择题1.若点P是两条异面直线l，m外的任意一点，则( )A.过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B.过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C.过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D.过点P有且仅有一条直线与l，m都异面答案：B 命题立意：本题考查异面直线的几何性质，难度较小.解题思路：因为点P是两条异面直线l，m外的任意一点，则过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直，故选B.2.如图，P是正方形ABCD外一点，且PA平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( )A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B.它们两两垂直C.平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直答案：A 解题思路：DA⊥AB，DAPA，AB∩PA=A，DA⊥平面PAB，又DA平面PAD，平面PAD平面PAB.同理可证平面PAB平面PBC.把四棱锥P-ABCD放在长方体中，并把平面PBC 补全为平面PBCD1，把平面PAD补全为平面PADD1，易知CD1D即为两个平面所成二面角的平面角，CD1D=APB，CD1D<90°，故平面PAD与平面PBC不垂直.3.设α，β分别为两个不同的平面，直线lα，则“lβ”是“αβ”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A 命题立意：本题主要考查空间线面、面面位置关系的判定与充分必要条件的判断，意在考查考生的逻辑推理能力.解题思路：依题意，由lβ，lα可以推出αβ;反过来，由αβ，lα不能推出lβ.因此“lβ”是“αβ”成立的充分不必要条件，故选A.4.若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列结论正确的是( )A.若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线B.若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线C.已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若mα，则nβD.m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直答案：B 解题思路：本题考查了空间中线面的平行及垂直关系.在A中：因为平行于同一平面的两直线可以平行，相交，异面，故A 为假命题;在B中：因为垂直于同一平面的两直线平行，故B为真命题;在C中：n可以平行于β，也可以在β内，也可以与β相交，故C为假命题;在D中：m，n也可以不互相垂直，故D为假命题.故选B.5.如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN的中点的轨迹的面积为( )A.4πB.2πC.πD.-π答案：D 解题思路：本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系.如图可知，端点N在正方形ABCD内运动，连接ND，由ND，DM，MN构成一个直角三角形，设P为NM的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得，不论MDN如何变化，点P 到点D的距离始终等于1.故点P的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的球面，其面积为.技巧点拨：探求以空间图形为背景的轨迹问题，要善于把立体几何问题转化到平面上，再联合运用平面几何、立体几何、空间向量、解析几何等知识去求解，实现立体几何到解析几何的过渡.6.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：直线BE与直线CF是异面直线;直线BE与直线AF是异面直线;直线EF平面PBC;平面BCE平面PAD.其中正确结论的序号是( )A.1B.1C. 3D.4答案：B 解题思路：本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系.画出几何体的图形，如图，由题意可知，直线BE与直线CF是异面直线，不正确，因为E，F分别是PA与PD的中点，可知EFAD，所以EFBC，直线BE与直线CF是共面直线;直线BE与直线AF是异面直线，满足异面直线的定义，正确;直线EF平面PBC，由E，F是PA与PD的中点，可知EFAD，所以EFBC，因为EF平面PBC，BC平面PBC，所以判断是正确的;由题中条件不能判定平面BCE平面PAD，故不正确.故选B.技巧点拨：翻折问题常见的是把三角形、四边形等平面图形翻折起来，然后考查立体几何的常见问题：垂直、角度、距离、应用等问题.此类问题考查学生从二维到三维的升维能力，考查学生空间想象能力.解决该问题时，不仅要知道空间立体几何的有关概念，还要注意到在翻折的过程中哪些量是不变的，哪些量是变化的.二、填空题7.如图，四边形ABCD为菱形，四边形CEFB为正方形，平面ABCD平面CEFB，CE=1，AED=30°，则异面直线BC与AE所成角的大小为________.答案：45°解题思路：因为BCAD，所以EAD就是异面直线BC 与AE所成的角.因为平面ABCD平面CEFB，且ECCB，所以EC平面ABCD.在RtECD中，EC=1，CD=1，故ED==.在AED中，AED=30°，AD=1，由正弦定理可得=，即sin EAD===.又因为EAD∈(0°，90°)，所以EAD=45°.故异面直线BC与AE所成的角为45°.8.给出命题：异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线;两异面直线a，b，如果a平行于平面α，那么b不平行于平面α;两异面直线a，b，如果a平面α，那么b不垂直于平面α;两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线.上述命题中，真命题的序号是________.答案：解题思路：本题考查了空间几何体中的点、线、面之间的关系.根据异面直线的定义知：异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线，故命题为真命题;两条异面直线可以平行于同一个平面，故命题为假命题;若bα，则ab，即a，b共面，这与a，b为异面直线矛盾，故命题为真命题;两条异面直线在同一个平面内的射影可以是：两条平行直线、两条相交直线、一点一直线，故命题为假命题.9.如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥.已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为________.答案：16 命题立意：本题以球的内接组合体问题引出，综合考查了棱锥体积公式、利用导数工具处理函数最值的方法，同时也有效地考查了考生的运算求解能力和数学建模能力.解题思路：设球心到底面的距离为x，则底面边长为，高为x+3，正六棱锥的体积V=_(9-x2)_6(x+3)=(-x3-3x2+9x+27)，其中0≤x<3，则V′=(-3x2-6x+9)=0，令x2+2x-3=0，解得x=1或x=-3(舍)，故Vmax=V(1)=(-1-3+9+27)=16.10.已知三棱锥P-ABC的各顶点均在一个半径为R的球面上，球心O在AB上，PO平面ABC，=，则三棱锥与球的体积之比为________.答案：命题立意：本题主要考查线面垂直、三棱锥与球的体积计算方法，意在考查考生的空间想象能力与基本运算能力.解题思路：依题意，AB=2R，又=，ACB=90°，因此AC=R，BC=R，三棱锥P-ABC的体积VP-ABC=PO·SABC=_R__R_R=R3.而球的体积V球=R3，因此VP-ABCV球=R3R3=.三、解答题11.如图，四边形ABCD与A′ABB′都是正方形，点E是A′A的中点，A′A平面ABCD.(1)求证：A′C平面BDE;(2)求证：平面A′AC平面BDE.解题探究：第一问通过三角形的中位线证明出线线平行，从而证明出线面平行;第二问由A′A与平面ABCD垂直得到线线垂直，再由线线垂直证明出BD与平面A′AC垂直，从而得到平面与平面垂直.解析：(1)设AC交BD于M，连接ME.四边形ABCD是正方形，M为AC的中点.又 E为A′A的中点，ME为A′AC的中位线，ME∥A′C.又 ME?平面BDE，A′C?平面BDE，A′C∥平面BDE.(2)∵ 四边形ABCD为正方形，BD⊥AC.∵ A′A⊥平面ABCD，BD平面ABCD，A′A⊥BD.又AC∩A′A=A，BD⊥平面A′AC.BD?平面BDE，平面A′AC平面BDE.12.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，ADDC，ABDC.(1)求证：D1CAC1;(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E平面A1BD，并说明理由.命题立意：本题主要考查空间几何体中的平行与垂直的判定，考查考生的空间想象能力和推理论证能力.通过已知条件中的线线垂直关系和线面垂直的判定证明线面垂直，从而证明线线的垂直关系.并通过线段的长度关系，借助题目中线段的中点和三角形的中位线寻找出线线平行，证明出线面的平行关系.解决本题的关键是学会作图、转化、构造.解析：(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，连接C1D，DC=DD1，四边形DCC1D1是正方形，DC1⊥D1C.又ADDC，ADDD1，DC∩DD1=D，AD⊥平面DCC1D1，又D1C平面DCC1D1，AD⊥D1C.∵ AD?平面ADC1，DC1平面ADC1，且AD∩DC1=D，D1C⊥平面ADC1，又AC1平面ADC1，D1C⊥AC1.(1)题图(2)题图(2)连接AD1，AE，D1E，设AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，连接MN.平面AD1E∩平面A1BD=MN，要使D1E平面A1BD，可使MND1E，又M是AD1的中点，则N是AE的中点.又易知ABN≌△EDN，AB=DE.即E是DC的中点.综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E平面A1BD.13.已知直三棱柱ABC-A′B′C′满足BAC=90°，AB=AC=AA′=2，点M，N分别为A′B和B′C′的中点.(1)证明：MN平面A′ACC′;(2)求三棱锥C-MNB的体积.命题立意：本题主要考查空间线面位置关系、三棱锥的体积等基础知识.意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.解析：(1)证明：如图，连接AB′，AC′，四边形ABB′A′为矩形，M为A′B的中点，AB′与A′B交于点M，且M为AB′的中点，又点N为B′C′的中点.MN∥AC′.又MN平面A′ACC′且AC′平面A′ACC′，MN∥平面A′ACC′.(2)由图可知VC-MNB=VM-BCN，BAC=90°， BC==2，又三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱，且AA′=4，S△BCN=_2_4=4.A′B′=A′C′=2，BAC=90°，点N为B′C′的中点，A′N⊥B′C′，A′N=.又BB′⊥平面A′B′C′，A′N⊥BB′，A′N⊥平面BCN.又M为A′B的中点，M到平面BCN的距离为，VC-MNB=VM-BCN=_4_=.14.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，BD=2AD=8，AB=2DC=4.(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.命题立意：本题主要考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理与性质定理以及棱锥的体积的计算等，意在考查考生的逻辑推理能力与计算能力，考查化归与转化思想.解析：(1)证明：在ABD中，因为AD=4，BD=8，AB=4，所以AD2+BD2=AB2.故ADBD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD平面ABCD，所以BD平面PAD，又BD平面MBD，所以平面MBD平面PAD.(2)过点P作OPAD交AD于点O，因为平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD.因此PO为四棱锥P-ABCD的高.又PAD是边长为4的等边三角形，所以PO=_4=2.在四边形ABCD中，ABDC，AB=2DC，所以四边形ABCD是梯形.在Rt△ADB中，斜边AB上的高为=，此即为梯形ABCD的高.所以四边形ABCD的面积S=_=24.故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=_24_2=16.。
专题01 集合及其运算-2023年高考数学真题题源解密(新高考)(解析版)
专题01 集合及其运算目录一览2023真题展现考向一交集的运算考向二集合间的关系真题考查解读近年真题对比考向一交集的运算考向二交、并、补集的混合运算命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一交集的运算1．（2023•新高考Ⅰ）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，则M∩N＝（ ）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{0，1，2}C．{﹣2}D．{2}【答案】C．解：∵x2﹣x﹣6≥0，∴（x﹣3）（x+2）≥0，∴x≥3或x≤﹣2，N＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），则M∩N＝{﹣2}．考向二集合间的关系2．（2023•新高考Ⅱ）设集合A＝{0，﹣a}，B＝{1，a﹣2，2a﹣2}，若A⊆B，则a＝（ ）A．2B．1C．D．﹣1【答案】B．解：依题意，a﹣2＝0或2a﹣2＝0，当a﹣2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，﹣2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；当2a﹣2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，﹣1}，B＝{1，﹣1，0}，符合题意．【命题意图】理解元素与集合的属于关系；会求两个集合的并集、交集与补集。
【考查要点】这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，集合的基本运算、充要条件是历年高考的热点．集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．【得分要点】解集合运算问题应注意如下三点：（1）看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值等；（2）对集合进行化简，通过化简可以使问题变得简单明了；（3）注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．考向一交集的运算1．（2022•新高考Ⅰ）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝（ ）A．{x|0≤x＜2}B．{x|≤x＜2}C．{x|3≤x＜16}D．{x|≤x＜16}【答案】D．解：由＜4，得0≤x＜16，∴M＝{x|＜4}＝{x|0≤x＜16}，由3x≥1，得x，∴N＝{x|3x≥1}＝{x|x}，∴M∩N＝{x|0≤x＜16}∩{x|x}＝{x|≤x＜16}．2．（2022•新高考Ⅱ）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x||x﹣1|≤1}，则A∩B＝（ ）A．{﹣1，2}B．{1，2}C．{1，4}D．{﹣1，4}【答案】B．解：|x﹣1|≤1，解得：0≤x≤2，∴集合B＝{x|0≤x≤2}∴A∩B＝{1，2}．3．（2021•新高考Ⅰ）设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（ ）A．{2，3，4}B．{3，4}C．{2，3}D．{2}【答案】C．解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，∴A∩B＝{2，3}．考向二交、并、补集的混合运算4．（2021•新高考Ⅱ）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩∁U B＝（ ）A．{3}B．{1，6}C．{5，6}D．{1，3}【答案】B．解：因为全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，所以∁U B＝{1，5，6}，故A∩∁U B＝{1，6}．分析近三年的新高考试题，可以发现数学试题的前1~2题都是考查集合的基本运算，只是每年考查的切入点不同，但实质都是集合的最基本知识，属于送分题，偶尔会变换形式进行考查，预计2024年还是主要体现在集合的基本运算上。
高考数学题与高中教材例习题的血缘关系-新课标[整理]
![高考数学题与高中教材例习题的血缘关系-新课标[整理]](https://img.taocdn.com/s3/m/0276b93b4a35eefdc8d376eeaeaad1f346931194.png)
高考数学题与高中教材例习题的血缘关系-新课标[整理]高考数学题与高中教材例习题的血缘关系江苏省赣榆县王怀学222124顾绍习222125从多年的高考试题看，教材是产生高考题的主要来源，相当数量的高考题源于教材.即使是综合题，也是基本题组合、加工、发展，教材是知识、方法、思想的重要载体.本文仅对似曾相识的高考题的研究，让事实说话，阐述高考试题与教材例、习题的血缘关系。
一、对例、习题的进行简单改装对教材例、习题的数量关系进行简单变式是高考基础知识、基本技能考查的一种最简单形式，注重的是基础知识的考查，突出的是对中学数学知识主干内容的考查。
例1、（2004四川卷）曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为（B ）A ．43-=x yB ．23+-=x yC ．34+-=x yD ．54-=x y 本题考查导数几何意义、点斜式方程。
人教版高三课本（以下简称教材）38P 有一道题：求曲线3231y x x =-+在点P(2,-3)处的切线方程？高考题只是把点的坐标换了,曲线方程没变. 例2、（2004四川卷）已知点A （1，2）、B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程（ B ）A ．524=+y xB ．524=-y xC ．52=+y xD ．52=-y x 本题考查了轨迹方程的求法技能。
高二教材上69P 有一道例题2：设A 、B 两点坐标是（-1，-1）、（3，7），求线段AB 方程。
高考题只是改了点的坐标。
二、例、习题思想方法、结论直接或间接应用高考题对基本技能考查，除了对教材直接反映的基本方法、基本技能熟练程度的考查，还考查教材知识所蕴涵的丰富的思想方法资源。
例3、（2000天津卷）从含有500个个体的总体中，一次性的抽取25个个体，假定其中每个个体抽取的概率相等，那么总体中每个个体被抽取的概率为0.5高三教材23P 有一题：从含有N 个个体的总体中，一次性的抽取n 个个体，假定其中每个个体抽取的概率相等，求证总体中每个个体被抽取的概率为n N. 例4、（2002天津卷）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1）B （-1，3），若点C 满足,OC OA OB αβ=+其中,1R αβαβ∈+=、且，则点C 的轨迹方程为（D ）32110A x y +-=、 B 、22(1)(2)5x y -+-= C 、2x-y=0 250x y +-=D 、本题考查向量、共线向量的基础知识，轨迹方程的基本概念。
22023年高三数学对接新高考全真模拟试卷6(云南,安徽,黑龙江,山西,吉林五省通用)(解析版)
2023年高三数学对接新高考全真模拟试卷（06）（云南，安徽，黑龙江，山西，吉林五省通用）数学（新高考卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知集合{}2230A x x x =+-<，{}310B x x =+>，则A B =（ ）A ．133x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭B ．113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．{}31x x -<<D ．133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【详解】A ，则为（）A ．20,10x x x ∃<-+≤B ．20,10x x x ∃<-+>C ．20,10x x x ∃>-+≤D ．20,10x x x ∃>-+>【答案】C【分析】由全称命题的否定判定.【详解】由题意得p ⌝为20,10x x x ∃>-+≤. 故选：C3．意大利数学家斐波那契()17701250，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用.已知斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，若2357959k a a a a a a a ++++++=，则k =（ ）A ．2020B ．2021C ．59D ．60【答案】D【解析】利用21n n n a a a ++=+化简得出235795960a a a a a a a ++++++=，即可得出结果.【详解】由于21n n n a a a ++=+，则2357959795945a a a a a a a a a a a +++++=++++++67959585960a a a a a a a ++++==+==，因此，60k =. 故选：D.4．下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的函数是（ ）A ．sin 2y x =B ．cos y x =C ．cos 2xy =D ．tan y x =ππ⎛⎫A ．8B ．C ．9D ．6．定义在上的函数满足：对12,0,x x ∀∈+∞，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x ->-成立，且()24f =，则不等式()2f x x>的解集为（ ）A ．()4,+∞B ．()0,4C ．()0,2D ．()2,+∞7．已知1F 、2F 分别为双曲线()2210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，且122b F F a=，点P为双曲线右支一点，I 为12PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S △△△成立，给出下列结论：∴点I 的横坐标为定值a ； ∴离心率e = ∴λ=； ∴当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒．上述结论正确的是（ ） A ．∴∴ B ．∴∴C ．∴∴∴D ．∴∴∴121212111,,2222IPF IPF IF F S PF r S PF r S c r =⋅=⋅=⋅⋅，1212IPF IF F S S △△，121112222PF r PF r c r λ⋅=⋅+⋅⋅⋅， 12151PF PF a --====，所以∴正确，8．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α、β，且小正方形与大正方形面积之比为4:9，则()cos αβ-的值为（ ）A ．59B ．49C ．23D ．0符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知向量()1,2a =-，()1,b m =，则（ ） A ．若a 与b 垂直，则12m =B ．若//a b ，则m 的值为2-C ．若a b =，则2m =D ．若3m =，则a 与b 的夹角为45°夹角的坐标表示计算判断C 、D ；【详解】解：因为()1,2a =-，()1,b m =，对于：若a 与b 垂直，则12a b ⋅=-+正确；：若//a b ，则12m -⨯=⨯，解得m B 正确； a b =，则()22121-+=+2m =±，故C 错误；：若3m =，则()1,3b =，设a 与b 的夹角为()222112322121a b a b⋅-⨯+⨯==-+⨯+，因为θABD10．如图，在正方体1111ABCD A B D -中，M ，N 分别是11的中点，则（）A ．四点A ，M ，N ，C 共面B ．MN ∥CDC ．1AD ∥平面1BCDD ．若1MN =，则正方体1111ABCD A B C D -外接球的表面积为12π11．函数()3sin(2)f x x ϕ=+的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．2π3⎛⎫⎪⎝⎭f 是()f x 的最小值C ．()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．把函数()y f x =的图象上所有点向右平移π12个单位长度，可得到函数3sin 2y x =的图象，π0,2x ⎡∈⎢⎣3sin(2=，函数y =A ．不等式121x x >-的解集为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．已知x y z >>，且0x y z ++=，则xy xz >C ．正数a ，b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是(],6-∞D ．若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为(]3,0-()2min 418a b x x m +≥-++-，因为()1999+=++=++102+10=16a ba ba b a b a b bab a≥⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭当且仅当=4a ，12b =时取等号，所以241186x x m ≥-++-，()242x x m --≥-()2二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．若1tan 3α=-，则3sin 2cos 2sin cos αααα+=-_______. 【答案】35【分析】利用同角三角函数的基本关系，分子、分母同除以【详解】将原式分子、分母同除以2cos 3tan cos 2αα=故答案为：35【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、齐次式，属于基础题14．如图，四边形ABCD 为平行四边形，11,22AE AB DF FC ==，若AF AC DE λμ=+，则λμ-的值为_________．【分析】选取,AB AD 为基底将向量AF 进行分解，然后与条件对照后得到【详解】选取,AB AD 为基底，则13AF AD DF AB AD=+=+， 又()()122AF AC DE AB AD AB AD AB AD μλμλμλλμ⎛⎫⎛⎫=+=++-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将以上两式比较系数可得1λμ-=． 故答案为：1.．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D 上，点Р到直线1CC 的距离的最小值为_______.则(0,4,0),(0,0,4),(2,4,0),(0,4,4)C D E C ，11(2,0,0),(0,0,4),(2,4,4)CE CC ED ===--， ，1(2,4,4)EP ED λλλλ==--， (2CP CE EP =+=-，向量CP 在向量1CC 上投影长为11||4||CP CC d CC λ⋅==而2||(22)CP λ=-，则点Р到直线1CC 的距离2221445||25()555h CP d λ=-=-+≥，当且仅当15=时取“=”，所以点Р到直线CC 45. 故答案为：45．新能源汽车是战略性新兴行业之一，发展新能源汽车是中国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，某汽车企业为了适应市场需求引进了新能源汽车生产设备，2019年该企业新能源汽车的销售量逐月平稳增长，1，2，3月份的销售量分别为1.2千台，1.4千台，1.8千台，为估计以后每个月的销售量，以这三个月的销售量为依据，用一个函数模拟汽车的月销售量y （单位：千台）和月份x 之间的函数关系，有以下两个函数模型可供选择： ∴2()(0)f x ax bx c a =++≠；∴()(0,1)x g x pq r q q ≠，如果4月份的销售量为2.3千台，选择一个效果较好的函数进行模拟，则估计5月份的销售量为________千台.17．在等差数列{}n a 中，已知 12318a a a ++=且45654a a a =++． (1)求{}n a 的通项公式；(2)设14n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．解：4n n b a =⋅11122n ⎡⎛⎛=-++ ⎢-⎝⎝⎣18．如图，在四边形ABCD 中，112CA CD AB ===，sin 5BCD ∠=．且______；在∴、∴、∴中选一个作为条件，解答下列问题；∴222AB AC BC AB AC +-=⋅；∴2sin ACB=；∴1AB AC ⋅=．(1)求四边形ABCD 的面积； (2)求sin D 的值．ACDSABCS，相加后求出四边形面积；∴：求出得到ACB ∠ACDS与ABCS，相加后求出四边形面积；SACDS，相加后求出四边形面积；ABC）先求出【详解】（S=ACDS=ABC故四边形AC在ABC中，B=︒所以30由余弦定理得：BC>结合0因为2+BC ACACDS =ABCS=故四边形∴：1AB AC ⋅=，cos AB AC BAC ⋅∠因为()0,πBAC ∠∈，所以因为12CA CD AB ==由余弦定理得：ACDS =ABCS=故四边形由图可知ACD 为锐角三角形，由余弦定理得：cos 0>，解得：学年推行“52+”课后服务.为缓解教师压力，在2021年9月10日教师节大会上该校就是否实行“弹性上下班”进行了调查.另外，为鼓舞广大教职工的工作热情，该校评出了十位先进教师进行表彰﹑并从他们中间选出三名教师作为教师代表在教师节大会上发言.(1)调查结果显示：有23的男教师和35的女教师支持实行“弹性上下班”制，请完成下列22⨯列联表﹒并判断是否有90%的把握认为支持实行“弹性上下班”制与教师的性别相关？(2)已知十位先进教师足按“分层抽样”的模式评选的，用X 表示三位发言教师的女教师人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：将数据代入公式()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，计算得2125 2.315 2.70654K =≈<， 据此可知没有90%的把握认为支持实行“弹性上下班”制与教师的性别相关. (2)依题意，在此十名优秀教师中男教师6人､女教师4人.若用X 表示三位发言教师的女教师人数，则X 的可能取值为：0,1,2,3，其概率分别为：()034631010;6C C P X C ⋅=== ()124631011;2C C P X C ⋅=== ()214631032;10C C P X C ⋅=== ()304631013;30C C P X C ⋅=== 随机变量X 的分布列如下： 随机变量X 的数学期望为：1316123210305EX =⨯+⨯+⨯=20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱P A ∴底面ABCD ，点E 为棱PD 的中点，1AB =，2AD AP ==．(1)求证：PB ∴平面ACE ；(2)求平面ACE 与平面P AB 夹角的余弦值；(3)若F 为棱PC 的中点，则棱P A 上是否存在一点G ，使得PC ∴平面EFG ．若存在，求线段AG 的长；若不存在，请说明理由． ,,AB AD AP 所在直线分别为标系，求出平面ACE 的一个法向量为n ，利用向量法证明即可；）易得(0,2,0AD =的一个法向量，利用向量求出求解即可；与PC 不垂直，则不可能垂直平面1）因为底面是矩形， AD ， 平面ABCD 平面ABCD1⎛⎫所以()()(1,2,0,0,1,1,1,0,AC AE PB ===-设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z =，200n AC x y n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，即2x y y z =-⎧⎨=-⎩，令1y =，则()2,1,1n =--，又2020n PB ⋅=-++=PB ⊄平面ACE 所以//PB 平面ACE ；2）由（1）可知AB PA AB A =，所以AD ⊥平面PAB ，所以()0,2,0AD =是平面的一个法向量， 设平面PAB 与平面2cos ,6AD n AD n AD n⋅===⋅， 所以平面PAB 与平面ACE 的夹角的余弦值为）因为1,0,02EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1,2,PC =所以11002EF PC ⋅=+≠， EF 与PC 不垂直，EF ⊂平面EFG ，PC 不可能垂直平面EFG ，所以棱PA 上不存在点21.已知椭圆：)0(1:2222>>=+b a by a x E 的一个顶点为)1,0(A ，焦距为32．∴1∴求椭圆E 的方程；∴2∴过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当||2MN =时，求k 的值．【答案】（1）2214x y +=（2）4k =- 【解析】【分析】（1）依题意可得22212b c c a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，即可求出a ，从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程，设()11,B x y 、()22,C x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线AB 、AC 的方程，表示出M x 、N x ，根据N M MN x x =-得到方程，解得即可； 【小问1详解】解：依题意可得1b =，2c =222c a b =-，所以2a =，所以椭圆方程为2214x y +=；【小问2详解】解：依题意过点()2,1P -的直线为()12y k x -=+，设()11,B x y 、()22,C x y ，不妨令1222x x -≤<≤，由()221214y k x x y ⎧-=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()()22221416816160k x k k x k k +++++=， 所以()()()222216841416160k kk k k ∆=+-++>，解得0k <，所以212216814k k x x k ++=-+，2122161614k kx x k+⋅=+， 直线AB 的方程为1111y y x x --=，令0y =，解得111M xx y =-，直线AC 的方程为2211y y x x --=，令0y =，解得221N xx y =-，所以212111N M x x MN x x y y =-=--- ()()2121121121x x k x k x =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()212122x x k x k x =+-++ ()()()()2121212222x x x x k x x +-+=++()()12212222x x k x x -==++， 所以()()122122x x k x x -=++， ()212124k x x x x ⎡⎤=+++⎣⎦ 22221616168241414k k k k k kk ⎡⎤⎛⎫++=+-+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦即()()22221616216841414k k k k k k k ⎡⎤=+-+++⎣⎦+ 整理得4k =，解得4k =-22．已知函数2()e .=--x f x ax b(1)记()()g x f x '=，讨论()g x 的单调性；(2)若对R x ∀∈，都有(1)()0x f x -≥，求实数a 的取值范围．。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(函数与方程、函数的实际应用)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（函数与方程、函数的实际应用）练习一、 基础小题练透篇1．[2023ꞏ北京市清华附中高三模拟]函数f (x )＝ln x ＋x －6的零点一定位于区间( ) A ．(2，3) B ．(3，4) C ．(4，5) D ．(5，6)2．[2023ꞏ辽宁省名校联考]函数f (x )＝x 3＋x 2＋x ＋c 的零点个数为( ) A ．1 B ．1或2C ．2或3D ．1或2或33．[2023ꞏ陕西省汉中高三模拟]关于函数f (x )＝(ln x )2－2ln x ，下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )有2个零点 B ．函数f (x )有4个零点 C ．e 是函数f (x )的一个零点 D ．2e 是函数f (x )的一个零点4．[2023ꞏ河南省新乡市三模]已知函数f (x )＝|x 2＋3x ＋1|.若关于x 的方程f (x )－a |x |＝0恰有两个不同的实根，则a 的取值范围是( )A ．(1，5)B ．[1，5]C ．(1，5)∪{0}D ．[1，5]∪{0}5．[2023ꞏ内蒙古自治区赤峰市试题]核酸检测分析是用荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA 的数量X 与扩增次数n 满足lg X n ＝n lg (1＋p )＋lg X 0，其中X 0为DNA 的初始数量，p 为扩增效率．已知某被测标本DNA 扩增12次后，数量变为原来的1 000倍，则扩增效率p 约为( )(参考数据：100.25≈1.778，10－0.25≈0.562)A ．22.2%B ．43.8%C ．56.2%D ．77.8%6．[2023ꞏ湖北省黄冈中学考试]若函数f (x )＝x 2＋ax －a2 在区间(－1，1)上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－2，23B ．⎝⎛⎭⎫0，23C ．(2，＋∞)D ．(0，2)7．[2023ꞏ河南豫南九校联考]食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康造成了一定的危害．为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每年共投入200万元，每个大棚至少投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P (单位：万元)、种黄瓜的年收益Q (单位：万元)与投入金额a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14 a ＋120.设甲大棚的投入金额为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)，合理安排甲、乙两个大棚的投入金额，则两个大棚的总收益f (x )的最大值为________万元．8.[2023ꞏ陕西咸阳二模]为了抗击新冠肺炎，某医药公司研制出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y (mg/m 3)与时间t (h)的函数关系为y ＝⎩⎨⎧kt ，0<t <12，1kt ，t ≥12，其图象如图所示，实验表明，当药物释放量y <0.75 mg/m 3时对人体无害．(1)k ＝________；(2)为了不使人受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过________分钟人方可进入房间．二、 能力小题提升篇1.[2023ꞏ广东深圳第二次质检]函数f (x )＝x －4－(x ＋2)ꞏ⎝⎛⎭⎫23 x 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．32．[2023ꞏ陕西省西安市模拟]已知函数f (x )，g (x )的定义域为R ，f (x ＋1)是奇函数，g (x ＋1)是偶函数，若y ＝f (x )ꞏg (x )的图象与x 轴有5个交点，则y ＝f (x )ꞏg (x )的零点之和为( )A ．－5B ．5C ．－10D ．103．[2023ꞏ北京理工大学模拟]每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越千山万水来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v ＝12 log 3x100 －lg x 0(单位：km/min)，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x 0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．若雄鸟的飞行速度为1.3 km/min ，雌鸟的飞行速度为0.8 km/min ，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的( )A ．2倍B ．3倍C ．4倍D ．5倍4．[2023ꞏ四川省南充市试题]设函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x －2)＋f (x )＝0.当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 3，则下列结论中正确的是( )A ．函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称B ．函数y ＝f (x )在区间[7，9]单调递减C ．当x ∈[－1，2 023]时，f (x )有1 012个零点D ．函数y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称5．[2023ꞏ广西柳州二模]若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a ，x <1，（x －2a ）（x －a 2），x ≥1 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．6．[2023ꞏ清华大学附属中学期中]函数y ＝f (x )的定义域为[－2.1，2]，其图象如图所示，且f (－2.1)＝－0.96.(1)若函数y ＝f (x )－k 恰有2个不同的零点，则k ＝________；(2)已知函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，x 3＋2x －16，x >0， 则y ＝g (f (x ))有________个不同的零点．三、高考小题重现篇1.[2019ꞏ全国卷Ⅲ]函数f (x )＝2sin x －sin 2x 在[0，2π]上的零点个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K1＋e－0.23（t －53） ，其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( )A ．60B ．63C ．66D ．693．[2020ꞏ山东卷]基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I (t )＝e rt描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天 4．[2019ꞏ全国卷Ⅱ]2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1（R ＋r ）2 ＋M 2r 2 ＝(R ＋r )M 1R3 .设α＝rR .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5（1＋α）2 ≈3α3，则r 的近似值为( ) A ．M 2M 1 R B ．M 22M 1RC ．33M 2M 1 RD ．3M 23M 1 R5．[2020ꞏ天津卷]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≥0，－x ，x <0. 若函数g (x )＝f (x )－|kx 2－2x |(k ∈R )恰有4个零点，则k 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12 ∪(22 ，＋∞) B ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12 ∪(0，22 ) C ．(－∞，0)∪(0，22 ) D ．(－∞，0)∪(22 ，＋∞)四、经典大题强化篇1.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0). (1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b 且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b 的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．2．[2023ꞏ福建省龙岩市试题]为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场．根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y (单位：元)与上市时间x (单位：天)的数据如下表上市时间x /天 2 6 32 市场价y /元 148 60 73(1)根据上表数据，从①y ＝ax ＋b ()a ≠0 ，②y ＝ax ＋b ()a ≠0 ，③y ＝a log b x (a ≠0，b >0，b ≠1)，④y ＝ax ＋bx (a >0，b >0)中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系(无需说明理由)，并利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；(2)记你所选取的函数y ＝f (x )，若对任意x ∈[k ，＋∞）（k >0） ，不等式kf (x )－32k －210≥0恒成立，求实数k 的取值范围．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：C答案解析：由题意得f （x ）＝ln x ＋x －6为连续函数，且在（0，＋∞）单调递增， f （2）＝ln 2－4<0，f （3）＝ln 3－3<0，f （4）＝ln 4－2<ln e 2－2＝0，f （5）＝ln 5－1>ln e －1＝0，根据零点存在性定理，f （4）·f （5）<0，所以零点一定位于区间（4，5）. 2．答案：A答案解析：因为函数f （x ）＝x 3＋x 2＋x ＋c ，所以f ′（x ）＝3x 2＋2x ＋1，因为Δ＝4－12＝－8<0，所以f ′（x ）>0，从而f （x ）＝x 3＋x 2＋x ＋c 在R 上单调递增，又当x →－∞时，f （x ）→－∞，当x →＋∞时，f （x ）→＋∞，由零点存在定理得：函数f （x ）＝x 3＋x 2＋x ＋c 有且只有一个零点．3．答案：A答案解析：令（ln x ）2－2ln x ＝ln x ·（ln x －2）＝0，解得：x ＝1或x ＝e 2，所以函数f （x ）有2个零点．4．答案：C 答案解析：当x ＝0时，f （0）＝1≠0，故x ＝0不是方程f （x ）－a |x |＝0的根，当x ≠0时，由f （x ）－a |x |＝0得，a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x＋3 ，方程f （x ）－a |x |＝0恰有两个不同的实根等价于直线y ＝a 与函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x＋3 的图象有两个不同的交点，作出函数y ＝f （x ）的大致图象如图所示，由图可知，a ＝0或1<a <5. 5．答案：D答案解析：由题意知，lg （1 000X 0）＝12lg （1＋p ）＋lg X 0，即lg 103＋lg X 0＝12lg （1＋p ）＋lg X 0， 即3＋lg X 0＝12lg （1＋p ）＋lg X 0，所以1＋p ＝100.25≈1.778，解得p ≈0.778＝77.8%. 故选D. 6．答案：B答案解析：因为f （x ）为开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝－a2，在区间（－1，1）上有两个不同的零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0f （1）>0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2<0－1<－a 2<1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－a －a2>01＋a －a 2>0⎝ ⎛⎭－a 22－a 22－a 2<0－2<a <2， 解得0<a <23 ，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 . 7．答案：282答案解析：f （x ）＝80＋42x ＋14 ×（200－x ）＋120＝－14x ＋42x ＋250，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20，200－x ≥20， 得20≤x ≤180，故f （x ）＝－14 x ＋42x ＋250（20≤x ≤180）.令t ＝x ，t ∈[25 ，65 ]，则g （t ）＝－14 t 2＋42 t ＋250＝－14 （t －82 ）2＋282，当t ＝82 时，即x ＝128时，f （x ）max ＝282，∴甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．8．答案：（1）2 （2）40答案解析：（1）由图象可知，当t ＝12时，y ＝1，则2k ＝1，所以k ＝2.（2）由（1）可知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0<t <12，12t，t ≥12，当0<t <12 时，y ＝2t 单调递增；当t ≥12 时，y ＝12t 单调递减．令12t <0.75，解得t >23.所以在消毒后至少经过23小时，即40分钟后人方可进入房间．二 能力小题提升篇1．答案：C答案解析：令f （x ）＝0，得x －4＝（x ＋2）·⎝ ⎛⎭⎪⎫23 x，显然x ＝－2不是该方程的根，故等价变形得到x －4x ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23 x ，在同一直角坐标系中分别作出y ＝x －4x ＋2 ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23 x 的图象如图所示，观察可知，它们有2个交点，故函数f （x ）＝x －4－（x ＋2）·⎝ ⎛⎭⎪⎫23 x 有2个零点．2．答案：B答案解析：由题意，f （－x ＋1）＝－f （x ＋1）⇔f （2－x ）＝－f （x ），又g （2－x）＝g （x ），所以f （2－x ）·g （2－x ）＝－f （x ）g （x ），所以函数y ＝f （x ）·g （x ）的图象关于点（1，0）对称．设y ＝f （x ）·g （x ）的零点为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，易知x 3＝1，设x 1<x 2<1<x 4<x 5，则x 1＋x 5＝x 2＋x 4＝2，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝5.故选B. 3．答案：B答案解析：设雄鸟每分钟的耗氧量为x 1，雌鸟每分钟的耗氧量为x 2，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1.3＝12log 3x 1100－lg x 00.8＝12log 3x 2100－lg x 0，两式相减可得12 ＝12 log 3x 1x 2 ，所以log 3x 1x 2 ＝1，即x 1x 2 ＝3，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．故选B. 4．答案：C答案解析：对于f （x －2）＋f （x ）＝0，有f （x ）＋f （x ＋2）＝0⇒f （x ＋2）＝－f （x ）⇒f ()x ＋4 ＝－f （x ＋2）＝f （x ），即f （x ）周期为4.又对于f （x －2）＋f （x ）＝0， 有f （x ＋1）＋f （x －1）＝0⇒f （x ＋1）＝－f （x －1），因f （x ）是定义在R 上的奇函数．则f ()1＋x ＝f ()1－x ，故f （x ）关于x ＝1对称．又当x ∈[]－1，1 时，f （x ）＝x 3，据此可做出f （x ）部分图象如下．对于A 选项，结合图象可知：f （x ）图象关于x ＝1＋2k ，k ∈Z 对称，故A 错误． 对于B 选项，因f （x ）周期为4，故f （x ）在[]7，9 上单调性与f （x ）在[]－1，1 上保持一致．又当x ∈[]－1，1 时，f （x ）＝x 3，f （x ）在[]－1，1 上单调递增，故B 错误． 对于C 选项，结合图象可知：f （x ）零点为2k ，k ∈Z ，则令－1≤2k ≤2 023，解得：0≤k ≤1011，故当x ∈[]－1，2 023 时，f （x ）有1 012个零点，故C 正确． 对于D 选项，结合图象可知：f （x ）图象关于()2k ，0 对称，其中k ∈Z ，故D 错误． 故选C.5．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 ∪{2}∪[e，＋∞） 答案解析：易知当a ≤0时，不满足题意；当0<a <2时，e －a >0，要使函数f （x ）恰有2个零点，则a 2<1≤2a ，得12≤a <1；当a ＝2时，由e x－2＝0，得x ＝ln 2，满足x <1，由（x －2a ）（x －a 2）＝0，得x ＝4，此时f （x ）共有2个零点，满足题意；当a >2时，a 2>2a >4，要使函数f （x ）恰有2个零点，则e －a ≤0，即a ≥e.综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 ∪{2}∪[)e ，＋∞ .6．答案：（1）4或0 （2）4 答案解析：（1）∵y ＝f （x ）－k 恰有2个不同的零点，∴y ＝f （x ）和y ＝k 的图象有2个不同的交点．由图可得当y ＝f （x ）和y ＝k 的图象有2个不同的交点时，k ＝4或k ＝0.（2）∵g （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，x 3＋2x －16，x >0， ∴当x ≤0时，由2x ＋1＝0，得x ＝－12 .当f （x ）＝－12时，由图可知g （f （x ））＝0有一个解．当x >0时，易知g （x ）＝x 3＋2x －16单调递增，∵g （2）＝－4，g （3）＝17，∴g （x ）在（2，3）上有一个零点x 0，当f （x ）＝x 0，x 0∈（2，3）时，由f （x ）的图象可知g （f （x ））＝0有3个解，∴y ＝g （f （x ））共有4个零点．三 高考小题重现篇1．答案：B答案解析：由f （x ）＝2sin x －sin 2x ＝2sin x －2sin x cos x ＝2sin x ·（1－cos x ）＝0得sin x ＝0或cos x ＝1，∴x ＝k π，k ∈Z ，又∵x ∈[0，2π]，∴x ＝0，π，2π，即零点有3个． 2．答案：C 答案解析：I （t *）＝K1＋e －0.23（t *－53） ＝0.95K ，整理可得e0.23（t *－53）＝19，两边取自然对数得0.23（t *－53）＝ln 19≈3，解得t *≈66.3．答案：B答案解析：∵R 0＝1＋rT ，∴3.28＝1＋6r ，∴r ＝0.38. 若⎩⎪⎨⎪⎧I （t 1）＝e0.38t 1，I （t 2）＝e0.38t 2，I （t 2）＝2I （t 1），则e0.38（t 2－t 1）＝2，0.38（t 2－t 1）＝ln 2≈0.69，t 2－t 1≈1.8.4．答案：D答案解析：由M 1（R ＋r ）2 ＋M 2r 2 ＝（R ＋r ）M 1R 3 ，得M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋r R 2 ＋M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫r R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋r R M 1.因为α＝r R，所以M 1（1＋α）2 ＋M 2α2 ＝（1＋α）M 1，得3α3＋3α4＋α5（1＋α）2 ＝M 2M 1 .由3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，得3α3≈M 2M 1，即3⎝ ⎛⎭⎪⎫r R 3 ≈M 2M 1 ，所以r ≈ 3M 23M 1 ·R .5．答案：D答案解析：由题意知函数g （x ）＝f （x ）－|kx 2－2x |恰有4个零点等价于方程f （x ）－|kx 2－2x |＝0，即f （x ）＝|kx 2－2x |有4个不同的根，即函数y ＝f （x ）与y ＝|kx 2－2x |的图象有4个不同的公共点．当k ＝0时，在同一平面直角坐标系中，分别作出y ＝f （x ）与y ＝|2x |的图象如图1所示，由图1知两图象只有2个不同的公共点，不满足题意．图1当k <0时，y ＝|kx 2－2x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k 2－1k ，其图象的对称轴为直线x ＝1k <0，直线x ＝1k 与y ＝|kx 2－2x |的图象的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，－1k ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1k，－1k 在直线y ＝－x 上，在同一平面直角坐标系中，分别作出y ＝f （x ）与y ＝|kx 2－2x |的图象如图2所示，由图2易知函数y ＝f （x ）与y ＝|kx 2－2x |的图象有4个不同的公共点，满足题意．图2当k >0时，函数y ＝|kx 2－2x |的图象与x 轴的2个交点分别为原点（0，0）与⎝ ⎛⎭⎪⎫2k，0 ，则当x >2k时，由kx 2－2x ＝x 3，得x 2－kx ＋2＝0，令Δ＝k 2－8＝0，得k ＝22 ，此时在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y ＝f （x ）与y ＝|kx 2－2x |的图象如图3所示，由图3知两图象有3个不同的公共点，不满足题意．令Δ＝k 2－8>0，得k >22 ，此时在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y ＝f （x ）与y ＝|kx 2－2x |的图象如图4所示，由图4知两图象有4个不同的公共点，满足题意．令Δ＝k 2－8<0，得0<k <22 ，易知此时不满足题意．图3 图4综上可知，实数k 的取值范围是（－∞，0）∪（22 ，＋∞）．四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）如图所示．（2）∵f （x ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），故f （x ）在（0，1]上是减函数，而在（1，＋∞）上是增函数． 由0<a <b 且f （a ）＝f （b ），得0<a <1<b 且1a －1＝1－1b，∴1a ＋1b＝2.（3）由函数f （x ）的图象可知，当0<m <1时，方程f （x ）＝m 有两个不相等的正根． 2．答案解析：（1）由题表知，随着时间x 的增大，y 的值随x 的增大，先减小后增大，而所给的函数y ＝ax ＋b （a ≠0），y ＝a log b x ()a ≠0，b >0，b ≠1 和y ＝ax＋b （a ≠0）在（0，＋∞）上显然都是单调函数，不满足题意，故选择y ＝ax ＋b x()a >0，b >0 .把()2，148 ，()6，60 ，分别代入y ＝ax ＋bx()a >0，b >0 ，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b2＝1486a ＋b 6＝60，解得a ＝2，b ＝288，∴y ＝2x ＋288x，x ∈（0，＋∞）.又y ＝2x ＋288x≥22x ·288x＝48，∴当且仅当2x ＝288x时，即当x ＝12时，y 有最小值，且y min ＝48.故当该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元．（2）原不等式可以整理为：f （x ）≥32＋210k，x ∈[)k ，＋∞ ，因为对∀x ∈[)k ，＋∞ ()k >0 ，都有不等式kf （x ）－32k －210≥0恒成立，则f （x ）min ≥32＋210k.（ⅰ）当0<k ≤12时，f （x ）＝2x ＋288x≥22x ·288x＝48，当且仅当2x ＝288x时，即当x ＝12时， f （x ）min ＝48.∴48≥32＋210k，解得k ≥13.125，不符合假设条件，舍去．（ⅱ）当k >12时，f （x ）在[k ，＋∞）（k >0）单调递增，故f （x ）min ≥32＋210k，只需2k ＋288k≥210k＋32.整理得：k 2－16k ＋39≥0， ∴k ≥13（k ≤3舍去），综上，实数k 的取值范围是[13，＋∞）.。
高考数学试题及答案(精选10篇)
高考数学试题及答案（精选10篇）篇1：高考数学试题全国卷及答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U和集合A，B所示，则 = ( )A.{5，6}B.{3，5，6}C.{3}D.{0，4，5，6，7，8}2.复数的共轭复数是( )A.-1-iB.-1+iC.D.3. 等差数列满足: ,则 =( )A. B.0 C.1 D.24.已知函数是定义在R上的奇函数，当，则的值是( )A. B. C. D.-85.下面是电影《达芬奇密码》中的一个片段:女主角欲输入一个由十个数字组成的密码,但当她果断地依次输入了前八个数字, 欲输入最后两个数字时她犹豫了,也许是她真的忘记了最后的两个数字、也许.请你依据上述相关信息推测最后的两个数字最有可能的是 ( )A.21B.20C.13D.316.已知实数a、b，则是的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件7.已知函数，则下列区间必存在零点的是 ( )A. B. C. D.8.设函数在处取得极值，则的值为( )A. B. C. D.49.设，则有 ( )A. B. C. D. 的大小不定10.已知函数① ② ;③ ④ 其中对于定义域内的任意一个自变量，都存在唯一一个自变量，使成立的函数是( )A.①②④B.②③C.③D.④二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分。
把答案填在题中的横线上)11.已知，则 = 。
12.由直线 , , 与曲线所围成的'封闭图形的面积为 .13.规定符号表示一种两个正实数之间的运算，即a b= ,a,b是正实数，已知1 =3,则函数的值域是 .14.已知且与垂直，则实数的值为。
15.给出下列四个命题：①已知都是正数，且，则 ;②若函数的定义域是，则 ;③已知x(0，)，则y=sinx+ 的最小值为 ;④已知a、b、c成等比数列，a、x、b成等差数列，b、y、c也成等差数列，则的值等于2.其中正确命题的序号是_____。
新教材2025年高考数学复习 同步小题训练 同角三角函数基本关系式及诱导公式 学生
新教材2025年高考数学复习 同步小题训练(同角三角函数基本关系式及诱导公式)姓名 总分 .一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知α是第三象限角，sin α＝－35，则tan α＝( ) A.－34 B.34 C.－43 D.432.已知：tan 2θ=，则3πsin sin 2θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．35 B ．12 C ．12- D ．25- 3. (2024·北京通州区质检)已知：cos α＝35，α是第一象限角，且角α，β的终边关于y 轴对称，则tan β＝( ) A.34 B.－34 C.43D.－43 4.“sin cos 1αα+=”是“sin 20α=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. (2024·赣州质检)若α为锐角，tan α＝1cos 2α＋1，则tan α＝( )A.12B.1C.2－3D.36. (2024·沈阳调研)已知：角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 4π5，cos 4π5，则α的最小正值为( ) A.π5 B.3π10 C.4π5D.17π107.（2023·福州三中校考）已知：函数321()(1)23f x x x f =++'，且其图象在点3x =处的切线的倾斜角为α，则π3πsin cos 22αα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ） A ．310B ．310-C ．910D ．34- 8.已知：π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin cos 1sin cos αααα++的最大值是（ ）A ．1B ．3314-C ．334D ．324二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知：α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝15，则( ) A. π2＜α＜π B. sin αcos α＝－1225 C. cos θ＝－45D. cos α－sin α＝－7510．(2024·福州调研)已知：sin α＋cos αsin α－cos α＝3，－π2＜α＜π2，则( ) A.tan α＝2 B.sin α－cos α＝－55 C.sin 4α－cos 4α＝35 D.1－2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝1311．已知：sin θ＋cos θ＝t ，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，t ∈(－1，2]，函数f (θ)＝sin θ＋cos θ－sin θcos θ，则下列选项正确的是( )A ．当t ＝12时，sin θcos θ的值为38B ．当t ＝12时，sin 3θ－cos 3θ的值为－5716C ．函数f (θ)的值域为(－1，2]D ．函数f (θ)的值域为(－1,1]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分．12． (2023·全国乙卷)若θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan θ＝12，则sin θ－cos θ＝ .13．已知：sin(3π＋θ)＝13，则cos （π＋θ）cos θ[cos （π－θ）－1]＋cos （θ－2π）sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos （θ－π）－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＝________.14．已知：－π＜x ＜0，sin(π＋x )－cos x ＝－15，则sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝________.。
做高考数学试卷推荐
随着高考临近，许多考生都在紧张地复习各科。
数学作为高考的重要科目之一，往往让很多考生头疼。
如何高效地复习数学，提高分数，是每个考生都关心的问题。
下面，我将为大家推荐一些优秀的数学试卷，帮助大家轻松备战高考。
一、历年高考真题历年高考真题是备考的最佳资料。
通过研究历年真题，可以了解高考的命题规律和题型特点，从而有针对性地进行复习。
以下是一些推荐的历年高考真题：1. 2000-2020年高考试题汇编2. 2015-2020年高考真题及答案解析3. 2020年高考真题解析与模拟试题二、名校模拟试卷名校模拟试卷通常由具有丰富教学经验的教师编写，题型与高考真题相似，难度适中。
以下是一些推荐的名校模拟试卷：1. 人教版高考数学模拟试题2. 苏教版高考数学模拟试题3. 北大版高考数学模拟试题三、专题训练试卷专题训练试卷可以帮助考生针对自己的薄弱环节进行有针对性的复习。
以下是一些推荐的专题训练试卷：1. 高考数学压轴题训练2. 高考数学函数专题训练3. 高考数学数列专题训练四、名师讲义及配套试卷名师讲义及配套试卷通常由具有丰富教学经验的教师编写，内容丰富，讲解详细。
以下是一些推荐的名师讲义及配套试卷：1. 李永乐高考数学讲义及配套试卷2. 张益唐高考数学讲义及配套试卷3. 韩明高考数学讲义及配套试卷五、在线资源随着互联网的发展，越来越多的在线资源可以帮助考生备战高考。
以下是一些推荐的在线资源：1. 豆瓣网高考数学小组2. 知乎高考数学话题3. B站高考数学名师讲解视频总结：备考高考数学，选择合适的试卷至关重要。
以上推荐的试卷涵盖了历年真题、名校模拟试卷、专题训练试卷、名师讲义及配套试卷和在线资源等多个方面，可以帮助考生全面复习，提高数学成绩。
希望广大考生能够充分利用这些资源，轻松备战高考。
祝大家金榜题名！。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考数学训练题与高考题的对“对接”
数学解题就是一系列的连续变形，这种变形应当明确方向，望着目标前进，有目的的变形。
要善于整体观察、活用变形公式，要注意数与形的结合，数助形以精确，而形帮数以直观。
分情况、分类型地处理问题，有时可以为一些问题的解答提供有效的增设，从特殊的、极端的、个性的情境入手，也许可能对一般状态的解决提供有益的信息，思维的变数在于它的可逆性，遇到正面难以处理的问题时，我们不妨考虑它的反面，从反面处理，也许就会柳暗花明。
这当中，应注意反证法的运用。
函数是高中数学的主线内容，没有函数，可以设法构造函数，有了函数，就要充分应用函数的性质、图像来解答相应的问题。
构造，需要解答问题时的机智，没有函数，可以构造函数；没有方程，可以构造方程；没有不等式，可以构造不等式；没有图形，可以构造图形。
构造始于解答问题的需要，构造依赖于自己知识的积累和思维的联想，例如：存在性的说明，就可以构造一个具体的例子；否定一个结论，就要构造一个反例。
数学解题没有具体的思维模式，但有一般的思考趋势，这种思维的趋势也就是解答数学问题的通性通法。
例如：代数的本质就是换元，就是（初中就学习的）用字母来表示数和式。
没有字母，引入字母，列出关系式、不等式、方程、函数，再做相应的处理。
这就是“设、列、解”的数学解题模式。
几何的本质就是画出图形，让图形来说话，它可使问题直观、具体，解答问题时一些转化方式，是提高分析问题和解决问题的利器。
诸如：化复杂为简单，化多为少，化抽象为具体，化一般为特殊，化异为同，化分式为整式，化无理为有理等等。
我们在高三学习中曾经遇到过这样的问题：在“”中的“__”处分别填上一个正整数，并使它们的和最小。
为了求这两个分母的值，可以先将它们设出来，引入字母x，y，将问题转化为：已知x，y 为正整数，，试求x+y的最小值。
这样，就将一个看似小学的“奥数”智力题转化为一道高二不等式试题了。
引入的字母，是解题的突破口！
新颖的问题，通过变形，成为了一道常见的不等式最值问题，解答数学问题的方法就是变形，怎么变形，为什么要这么变形，不这样变形行吗？思绪的延伸是为了训练提高有效性，而不是漫无目的地思考。
我们将两个问题放在一块，其目的是为了说明一个问题，那就是如何实现：训练题与高考题的“对接”，这种对接，这种思考就是为了通过解答有限道数学问题来获得解答无限道数学问题的能力。
我喜欢“对接”这个词语，怎么对接，需要观察、需要联想、需要移植、需要知识和方法的迁移。