2008学年度第一学期上海市徐汇、松江、金山区高三数学期末质量抽查试卷

上海徐汇等区2008学年高三数学第一学期期末质量抽查试卷2009.1(徐汇区 松江区 金山区)一、填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1. 已知{}n a 为等差数列，2312a a +=，则5a =___________.2.函数()1f x x =+的最大值为___________. 3. 已知,{|0}.{|1},U R A x x B x x ==>=≤-则()()U UA B B A =痧__________.4. 在(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----的展开式中，含4x 的项的系数是__________. 5. 在△ABC 中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若)c o sc o s ,c A a C-=则cos A =____________.6. 22221232lim()1111n nn n n n →∞++++=++++ ____________. 7. 规定矩阵3A A A A = ，若矩阵31 1 10 10 1x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则x 的值是8. 如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A B C 、、为其上的三个点，则在正方体盒子中，ABC ∠=____________.9. 用1,2,3,4,5,6六个数字组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，这样的六位数的个数是__________(用数字作答).10. 已知向量a = ，向量(sin ,cos ),,b m R ααα=-∈且//a b ，则m 的最小值为_______.11. 若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数tan()6xy f x π=-的图像过点3)，则函数1()(arcsin arccos )y f x x x -=-+的图像一定过点 ___________.12. 函数, (), x x Pf x x x M ∈⎧=⎨-∈⎩，其中P M 、为实数集R 的现，两个非空子集，又规定{|(),},{|(),}A y y f x x P B y y f x x M ==∈==∈，给出下列三个判断：①若P M =Φ ，则A B =Φ ；②若P M R = ，则A B R = ；③若P M R ≠ ，则A B R ≠ .其中错误的判断是___________(只需填写序号). 二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．13. 设x 是实数，则“0x >”是“||0x >”的 （ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 14. 把函数sin ()y x x R =∈的图像上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图像所表示的函数是 （ ） A. sin(2),3y x x R π=-∈ B. sin(),26x y x R π=+∈ C. sin(2),3y x x R π=+∈ D. 2sin(2),3y x x R π=+∈ 15. 用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)()n n n n n n n N +++=-∈ ，从“k 到1k +”左端需增的代数式为 （ ）A. 21k +B. 2(21)k +C. 211k k ++ D. 231k k ++16. 对于任意实数a ，要使函数*215cos()()36k y x k N ππ+=-∈在区间[,3]a a +上的值54出现的次数不小于4次，又不多于8次，则k 可以取 （ ） A. 12和 B. 23和 C. 34和 D. 2三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17.（本题满分12分）第1小题8分，第2小题4分.已知向量{2,1},{1,}AB k AC k =--=.(1)若△ABC 为直角三角形，求k 值； (2).若△ABC 为等腰直角三角形，求k 值18.（本题满分14分）第1小题8分，第2小题6分.如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，且已知163P ABCD V -=. (1)求球O 的表面积；(2)设M 为BC 中点，求异面直线AM 与PC 所成角的大小.19.（本题满分14分）已知函数426cos 5cos 1()cos 2x x f x x-+=，求()f x 的定义域，判断它的奇偶性性，并求其值域.PABCD20.（本题满分16分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 观察数列：①1,1,1,1,-- ；②正整数依次被4除所得余数构成的数列1,2,3,0,1,2,3,0, ； ③tan,1,2,3,.3n n a n π== (1)对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数列的定义：对于数列{}n a ，如果________________________，对于一切正整数n 都满足___________________________成立，则称数列{}n a 是以T 为周期的周期数列； (2)若数列{}n a 满足*21,,n n n n a a a n N S ++=-∈为{}n a 的前n 项和，且232008,2010S S ==，证明{}n a 为周期数列，并求2008S ；(3)若数列{}n a 的首项11,[0,)2a p p =∈，且*12(1),n n n a a a n N +=-∈，判断数列{}n a 是否为周期数列，并证明你的结论.21.（本题满分18分）第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分，第4小题6分. 在统计学中，我们学习过方差的概念，其计算公式为2222121[()()()]n x x x Nσμμμ=-+-++- ， 并且知道，其中121()n x x x Nμ=+++ 为12n x x x 、、、的平均值. 类似地，现定义“绝对差”的概念如下：设有n 个实数12n x x x 、、、，称函数12()||||||n g x x x x x x x =-+-++- 为此n 个实数的绝对差.(1)设有函数()|1||1||2|g x x x x =++-+-，试问当x 为何值时，函数()g x 取到最小值，并求最小值；(2)设有函数12212()||||||,(,)n g x x x x x x x x R x x x R =-+-++-∈<<<∈ ， 试问：当x 为何值时，函数()g x 取到最小值，并求最小值； (3)若对各项绝对值前的系数进行变化，试求函数()3|3|2|1|4|5|()f x x x x x R =++---∈的最值；(4)受(3)的启发，试对(2)作一个推广，给出“加权绝对差”的定义，并讨论该函数的最值(写出结果即可).徐汇等区2008学年高三数学试卷 参考答案一、1.6 2.12 3.{|1,0}x x x ≤->或 4.－15 6.2 7.13 8.3π 9.72 10. -2 11. (3,2)2π-12.①、②二、13.A 14. C 15. B 16. B三、17.解：(1)(2,1),(1,)(1,1)AB k AC k BC AC AB k k =--=⇒=-=-+若O90,1A AB AC k ∠=⊥⇒= 则若O290,230B AB BC k k ∠=⊥⇒-+= 则无解若O290,2101C AC BC k k k ∠=⊥⇒+-=⇒=- 则综上所述，当1k =时，△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形；当1k =-±ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形.(2)当1k =时，(1,1),(1,1)||||AB AC AB AC =-=⇒==当1k =-+22(1,1(2||4|8AC BC AC BC =-=-⇒=-=- ||||AC BC ≠当1k =--22(1,1(2||4|8AC BC AC BC =-=-⇒=+=+ ||||AC BC ≠综上所述，当1k =时，△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形.18.解：(1)16S π=；(2)19.解：()f x 的定义域为{|,,}24k x x k Z x R ππ≠+∈∈ ()f x 是偶函数222(2cos 1)(3cos 1)()3cos 1cos 2x x f x x x--==-， 所以()f x 的值域为11{|12}22y y y -≤<<≤或(注：没有去掉12扣2分). 20.解：(1) 存在正整数,n T n T a a +=使；(2)证明：由2132111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++++=-⇒=-=--=- 63n n n a a a ++⇒=-=所以数列{}n a 是以6T =为周期的周期数列由231212332008,2010,2008,20102S S a a a a a a ==+=++=⇒=知于是1212122008100321005a a a a a a ⎧⎧+==⎪⎪⇔⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩又*150,k k k a a a k N +++++=∈ ，所以，20081234231007S a a a a a a =+++=+=(3)当p =0时，{}n a 是周期数列，因为此时*0()n a n N =∈为常数列，所以对任意给定的正整数T 及任意正整数n ，都有n T n a a +=，符合周期数列的定义.当1(0,)2p ∈时，{}n a 是递增数列，不是周期数列. 下面用数学归纳法进行证明：①当1n =时，因为11,(0,),2a p p =∈所以2211112(1)2(1)2()22p p a a a p p +-=-=-<=， 且21111112(1)(12)(12)0a a a a a a a p p -=--=-=-> 所以1221,(0,)2a a a <∈且②假设当n=k 时，结论成立，即121,(0,)2k k a a a a <<<∈ 且， 则12(1)(12)0,k k k k k k k a a a a a a a +-=--=->即1k k a a +< 所以当n=k+1时，结论也成立.根据①、②可知，{}n a 是递增数列，不是周期数列.21.解:(1)23,14,11()2,1232,2x x x x g x x x x x -<-⎧⎪--≤<⎪=⎨+≤<⎪⎪-≥⎩,由单调性可知(或由图像可知)当x=1时，函数()g x 取得最小值，min ()(1)3;g x g ==(2)若n 为奇数，则当12n x x +=时，有112min 111212()()n nn i i n i i g x g x x x +-++==+==-∑∑，若n 为偶数，则当122[,]n n x x x +∈时，有12min 1212()()n nn i i ni i g x g x x x +==+==-∑∑(3)由27,3511,31()913,1527,5x x x x y f x x x x x --<-⎧⎪--≤<⎪==⎨-≤<⎪⎪+≥⎩⇒min max ()(3)26,().f x f f x =-=-不存在(4)设12,,,n a a a 为实数，定义函数112212()||||||(,)n n n f x a x x a x x a x x x R x x x R =-+-++-∈<<<∈ 为n 个实数12,,n x x x 的加权绝对值； 以下求该函数的最值：1122()||||||n n f x a x x a x x a x x =-+-++-121122112112212121122()() [()]() < ()() n n n n n n n n n n a a a x a x a x a x x x a a a x a x a x a x x x x a a a x a x a x a x x x⎧-++++++≤⎪-+++-+++≤⎪=⎨⎪⎪++-+++>⎩当120n a a a +++< 时，max 12min ()max{(),(),,()},()n f x f x f x f x f x = 不存在； 当12>0n a a a +++ 时，min 12max ()min{(),(),,()},()n f x f x f x f x f x = 不存在； 当120n a a a +++= 时，max 12min 12()max{(),(),,()},()min{(),(),,()}.n n f x f x f x f x f x f x f x f x ==。