一类多调和方程边值问题的可解性研究
偏微分方程的分类与性质
偏微分方程的分类与性质偏微分方程是数学中一个非常重要的分支，它广泛应用于自然科学、工程技术和经济管理等领域。
偏微分方程的分类与性质是深入研究偏微分方程、解决实际问题的前提和基础。
本文将介绍偏微分方程的分类方法和相关性质。
一、偏微分方程的分类方法根据方程中未知函数的个数和自变量的个数，可以将偏微分方程分为一维偏微分方程和多维偏微分方程。
一维偏微分方程中只有一个自变量，多维偏微分方程中有多个自变量。
1. 一维偏微分方程一维偏微分方程比较简单，可以按照方程中阶数的不同进行分类。
一般来说，可以将一维偏微分方程分为以下三种类型：（1）线性偏微分方程当一维偏微分方程的未知函数u及其偏导数的系数A(x)、B(x)等都是关于自变量x的线性函数时，就称其为线性偏微分方程。
线性偏微分方程多数可以通过常数变易法求解。
例如：$au_x+bu_{xx}+c=0$（2）半线性偏微分方程当一维偏微分方程的未知函数u是关于自变量x的线性函数，而其偏导数项中含有u关于自变量的非线性函数时，就称其为半线性偏微分方程。
这类方程的求解利用抛物型偏微分方程理论，例如：$u_t = \frac{1}{2}u_{xx} + u^2$（3）非线性偏微分方程当一维偏微分方程的未知函数u及其偏导数的系数A(x)、B(x)等都是关于自变量x的非线性函数时，就称其为非线性偏微分方程。
非线性偏微分方程的求解相对较难，很少能用解析法求解。
例如：$u_x+uu_{xx}=0$2. 多维偏微分方程多维偏微分方程具有更广泛的应用，包括流体力学、弹性力学、电磁场理论、热传导等方面。
多维偏微分方程的分类方法比较复杂，可以按照方程的形式、变量的类型、方程的类型等多个方面进行分类。
本文只介绍比较常用的分类方法：（1）仿射型偏微分方程多维偏微分方程中，如果只涉及到变量的一次多项式和常数的线性组合，就称为仿射型偏微分方程。
例如：$a_{11}\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+2a_{12}\frac{\partial^2u}{\partial x \partialy}+a_{22}\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+b_1\frac{\partialu}{\partial x}+b_2\frac{\partial u}{\partial y}+cu=0$（2）椭圆型偏微分方程多维偏微分方程中，如果方程的解在变量取值范围内无界或呈指数增长，则该方程就称为椭圆型偏微分方程。
一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性
第61卷 第5期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .52023年9月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )S e p2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2023011一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性张 敏,周文学,黎文博(兰州交通大学数理学院,兰州730070)摘要:用L e r a y -S c h a u d e r 度理论和B a n a c h 压缩映射原理研究一致分数阶时滞微分方程边值问题D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïï0解的存在性与唯一性.在非线性项满足增长性条件和L i p s c h i t z 条件下,分别得到了该边值问题解的存在性与唯一性结果,并举例说明所得结果的适用性.关键词:一致分数阶导数;时滞;边值问题;L e r a y -S c h a u d e r 度理论;B a n a c h 压缩映射原理中图分类号:O 175.8 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)05-1007-07E x i s t e n c e a n dU n i q u e n e s s o f S o l u t i o n s f o rB o u n d a r y Va l u eP r ob l e m s o fC o n f o r m a b l eF r ac t i o n a lD e l a y D i f f e r e n t i a l E qu a t i o n s Z H A N G M i n ,Z HO U W e n x u e ,L IW e n b o(S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n dP h y s i c s ,L a n z h o u J i a o t o n g U n i v e r s i t y ,L a n z h o u 730070,C h i n a )A b s t r a c t :B y u s i n g L e r a y -S c h a u d e rd e g r e et h e o r y a n d B a n a c h c o n t r a c t i o n m a p p i n g p r i n c i p l e ,w e s t u d i e dt h e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o fs o l u t i o n sf o r b o u n d a r y va l u e p r ob l e m s o fc o n f o r m a b l e f r a c t i o n a lde l a y d if f e r e n t i a l e qu a t i o n s D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=0ìîíïïïï,w h e n t h en o n l i n e a r t e r ms a t i s f i e d t h e g r o w t hc o n d i t i o na n d t h eL i ps c h i t z c o n d i t i o n ,w eo b t a i n e d t h e r e s u l t s o f e x i s t e n c e a n du n i q u e n e s s o f s o l u t i o n f o r t h eb o u n d a r y v a l u e p r o b l e mr e s p e c t i v e l y ,a n d g a v e a ne x a m p l e t o i l l u s t r a t e t h e a p p l i c a b i l i t y of t h e o b t a i n e d r e s u l t s .K e y w o r d s :c o n f o r m a b l e f r a c t i o n a l d e r i v a t i v e ;d e l a y ;b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m ;L e r a y -S c h a u d e r d e g r e e t h e o r y ;B a n a c hc o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i pl e 收稿日期:2023-01-04. 网络首发日期:2023-07-13.第一作者简介:张 敏(1998 ),女,汉族,硕士研究生,从事分数阶微分方程的研究,E -m a i l :m z h a n g 20222022@126.c o m.通信作者简介:周文学(1976 ),男,汉族,博士,教授,从事非线性分析问题的研究,E -m a i l :w x z h o u 2006@126.c o m.基金项目:国家自然科学基金(批准号:11961039;11801243)和兰州交通大学校青年科学基金(批准号:2017012).网络首发地址:h t t ps ://k n s .c n k i .n e t /k c m s 2/d e t a i l /22.1340.o .20230713.1056.001.h t m l .Copyright ©博看网. All Rights Reserved.0 引 言分数阶微分方程的边值问题是分数阶微分系统理论的重要课题.目前,对分数阶微分方程边值问题的研究已取得了丰富成果,其中最主要的是基于R i e m a n n -L i o u v i l l e 和C a p u t o 分数阶导数的定义[1-9].但这两种导数均不满足经典链式法则,并且这两种导数的某些性质使得分数阶导数的应用很困难.因此,K h a l i l 等[10]提出了一种新的分数阶导数和分数阶积分的定义,称为一致分数阶导数和积分.这种新的分数阶导数的定义可满足经典的分数阶导数不能满足的一些性质,如乘积法则㊁商法则㊁链式法则㊁罗尔定理和中值定理等,并且其在生物物理学㊁电容理论㊁控制理论和实验数据拟合等领域应用广泛[11-13].但对带有时滞的分数阶微分方程边值问题的研究目前报道较少[14-16].Y a n g 等[17]利用S c h a e f e r 不动点定理和K r a s n o s e l s k i i s 不动点定理研究了一类非线性分数阶微分方程边值问题cD α0+u (t )=f (t ,u (t ),u ᶄ(t )),u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)={正解的存在性,其中0<t <1,1<αɤ2,f :[0,1]ˑ[0,+ɕ)ˑℝң[0,+ɕ)是连续函数,c D α0+是α阶C a p u t o 分数阶导数.X u [18]利用B a n a c h 压缩映射原理㊁L e r a y -S c h a u d e r 度理论和K r a s n o s e l s k i i s 不动点定理研究了一类分数阶微分方程边值问题cD q x (t )=f (t ,x (t )), t ɪ[0,1],x (1)=μʏ1x (s )d s , x ᶄ(0)+x ᶄ(1)={解的存在唯一性,其中1<q <2,f :[0,1]ˑX ңX 是连续函数,c D q 是q 阶C a p u t o 分数阶导数.基于上述研究,本文利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论和B a n a c h 压缩映射原理考虑如下一类一致分数阶时滞微分方程边值问题:D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïï0(1)解的存在性与唯一性,其中1<βɤ2,τ>0,f :[0,1]ˑℝңℝ是连续函数,D β0+是阶数为β的一致分数阶导数.1 预备知识定义1[10] 假设函数f :[0,ɕ)ңℝ,则f 的βɪ(n ,n +1]阶一致分数阶导数定义为D βf (t )=l i m εң0f (β⌉-1)(t +εt β⌉-β)-f (β⌉-1)(t )ε, t >0,(2)其中β是大于等于β的最小整数.式(2)右端极限存在,此时称函数f 是β阶可微的.特别地,当βɪ(1,2]时,D βf (t )=l i m εң0f ᶄ(t +εt 2-β)-f ᶄ(t )ε, t >0.(3) 注1 如果函数f 在(0,b )(b >0)上是β阶可微的,并且l i m t ң0+D βf (t )存在,则D βf (0)=l i m t ң0+D βf (t).注2 由一致分数阶导数定义可知,当β=1时,一致分数阶导数定义即为传统的一阶导数定义.引理1[10] 当βɪ(n ,n +1]并且f 在t >0处n +1阶可微时,有D βf (t )=t β⌉-βf(β⌉)(t ).(4) 证明:令k =εt β⌉-β,则ε=t β-β⌉k ,因此由定义1可得D βf (t )=l i m εң0f (β⌉-1)(t +εt β⌉-β)-f (β⌉-1)(t )ε=l i m k ң0t β⌉-βf (β⌉-1)(t +k )-f (β⌉-1)(t )k=t β⌉-βf (β⌉)(t ). 定义2[19]假设函数f :[0,ɕ)ңℝ,则f 的βɪ(n ,n +1]阶一致分数阶积分定义为8001 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.I βf (t )=1n!ʏt 0(t -s )n s β-n -1f (s )d s .(5)特别地,当βɪ(1,2]时,I βf (t )=ʏt 0(t -s )s β-2f (s )d s .引理2[19] 假设函数f :[0,ɕ)ңℝ连续,并且βɪ(n ,n +1],则有D βI βf (t )=f (t ).(6) 引理3[19]假设f :[0,ɕ)ңℝ是β阶可微函数,并且βɪ(n ,n +1],则有I βD βf (t )=f (t )+a 0+a 1t + +a nt n ,(7)其中a i ɪℝ,i =0,1,2, ,n .引理4 设函数f :[0,1]ˑℝңℝ是连续的,u (t )是边值问题(1)的解,则u (t )=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],(8)其中格林函数G (t ,s)为G (t ,s )=(1-s )(2-t )sβ-2,0ɤs ɤt ɤ1,(1-t )(2-s )sβ-2,0ɤt ɤs ɤ1{.(9) 证明:由引理3知,有u (t )=I β0+f (t ,u (t -τ))-a 0-a 1t =ʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s -a 0-a 1t ,(10)从而u ᶄ(t )=ʏts β-2f (s ,u (s -τ))d s -a 1.根据u (0)+u ᶄ(0)=0,有a 0+a 1=0;(11)根据u (1)+u ᶄ(1)=0,有a 0+2a 1-ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s =0.(12)结合式(11),(12)可得a 0=-ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s , a 1=ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s .(13)将式(13)代入式(10)可得u (t )=ʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s -t ʏ1(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s =ʏt 0(1-s )(2-t )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ1t(1-t )(2-s )sβ-2f (s ,u (s -τ))d s =ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s . 引理5(A r z e l a -A s c o l i 定理)[20] 集合P ⊂C ([a ,b ])列紧的充分必要条件为:1)集合P 有界,即存在常数ψ,使得对∀u ɪP ,有u (t )ɤψ(∀t ɪ[a ,b ]);2)集合P 等度连续,即对∀ε>0,始终存在σ=σ(ε)>0,使得对于∀t 1,t 2ɪ[a ,b ],只要t 1-t 2<σ,即有u (t 1)-u (t 2)<ε(∀u ɪP ).2 主要结果设A 为C ([-τ,1],ℝ)按范数 u =m a x t ɪ[-τ,1]u (t )构成的B a n a c h 空间,在A 上定义一个算子Q ,Q u (t )=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0]{. 假设条件:(H 1)函数f ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),并且φɪC ([-τ,0],ℝ);9001 第5期张 敏,等:一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(H 2)存在常数α,B >0,使得∀(t ,u )ɪ[0,1]ˑℝ,有f (t ,u )ɤαu +B ;(H 3)存在函数η(t )ɪL 1/2([0,1],ℝ+),使得∀t ɪ[0,1],当任取u ,v ɪℝ时,有f (t ,u )-f (t ,v )ɤη(t )u -v ,其中 η =ʏ10η2(s )d ()s 1/2.为方便,引入记号:Λ1=β+2β(β-1),Λ2=1(β-1)(2β-1)(2β-3),Λ3=2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3),32<βɤ2.定理1 如果条件(H 1)和(H 2)成立,并且αɪ(0,Λ-11),则边值问题(1)至少存在一个解.证明:由函数G (t ,s ),f (s ,u (s -τ))的连续性可知算子Q 是连续的,并且易证Q (A )⊂A .设P 是A 中的一个有界集,则存在常数M >0,使得对任意的u ɪP ,有 u ɤM .下面利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论证明边值问题(1)正解的存在性,分以下3个步骤.1)证明算子Q (P )是一致有界的.对任意的u ɪP ,有Q u (t)=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ɤʏ10G (t ,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ɤ(αu +B )ʏ10G (t ,s )d s ɤ(αM +B )ʏ10(2-s )(1-t )s β-2d s +ʏt(t -s )s β-2d []s =(αM +B )β+1β(β-1)(1-t )+1β(β-1)㊃t éëêêùûúúβɤ(αM +B )β+1β(β-1)+1β(β-1éëêêùûúú)=(αM +B )Λ1,因此,算子Q (P )是一致有界的.2)证明算子Q (P )是等度连续的.对任意的u ɪP ,t 1,t 2ɪ[-τ,1]且t 1<t 2:①当0ɤt 1<t 2ɤ1时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)=ʏ10G (t 2,s )f (s ,u (s -τ))d s -ʏ1G (t 1,s )f (s ,u (s -τ))d s ɤʏ10G (t 2,s )-G (t 1,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ɤ(αu +B )ʏ10G (t 2,s )-G (t 1,s )d s ɤ (αM +B )ʏt 10G (t 2,s )-G (t 1,s )d s +ʏt 2t 1G (t 2,s )-G (t 1,s )d s +ʏ1t 2G (t 2,s )-G (t 1,s )d []s = (αM +B )ʏt 10{[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]+[(t 2-s )s β-2-(t 1-s )s β-2]}d s + (αM +B )ʏt 2t 1{[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]+(t 2-s )s β-2}d s + (αM +B )ʏ1t 2[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]d s =(αM +B )ʏt 10(t 1-t 2)(2-s )s β-2d s +ʏt 10(t 2-t 1)s β-2d s +ʏt 2t 1(t 1-t 2)(2-s )s β-2d [s + ʏt 2t 1(t 2-s )s β-2d s +ʏ1t 2(t 1-t 2)(2-s )s β-2d ]s ɤ(αM +B )(t β2-t β1)-(β+1)(t 2-t 1)β(β-1); ②当-τɤt 1<t 2ɤ0时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)ɤφ(t 2)-φ(t 1);③当-τɤt 1<0<t 2ɤ1时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)ɤQ u (t 2)-Q u (0)+Q u (0)-Q u (t 1)ɤʏ10G (t 2,s )-G (0,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s +φ(0)-φ(t 1)ɤ(αM +B )ʏ10G (t 2,s )d s +φ(0)-φ(t 1)ɤ0101 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(αM +B )t β2β(β-1)+φ(0)-φ(t 1)ɤ(αM +B )t β2-t β1β(β-1)+φ(0)-φ(t 1). 在上面3种情形中,当t 1ңt 2时,总有Q u (t 2)-Q u (t 1)ң0,表明Q (P )是等度连续的.故由引理5可知,Q (P )是列紧的,从而算子Q :A ңA 是全连续的.3)利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论证明问题(1)正解的存在性.定义范数 φ [-τ,0]=m a x t ɪ[-τ,0]φ(s ).假设当γɪ[0,1],u ɪA 时,u =γQ u ,则u (t )=γQ u (t )ɤQ u (t)ɤʏ10G (t ,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤʏ10G (t ,s )(αu +B )d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤ(αu +B )ʏ10(2-s )(1-t )s β-2d s +ʏt 0(t -s )s β-2d []s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤ(α u +B )Λ1,t ɪ[0,1], φ [-τ,0],t ɪ[-τ,0{],从而 u ɤB Λ11-αΛ1 φìîíïïïɤT .令ω=T +1,B ω={u ɪA : u <ω},则u ʂγQ u ,对任意的u ɪ∂B ω,γɪ[0,1].定义一个映射:F γ(u )=u -γQ u ,则F γ(u )=u -γQ u ʂ0,对任意的u ɪ∂B ω,γɪ[0,1].因此,由L e r a y -S c h a u d e r 度的同伦不变性,有d e g (F γ,B ω,θ)=d e g (I -γQ ,B ω,θ)=d e g (F 1,B ω,θ)=d e g (F 0,B ω,θ)=d e g (I ,B ω,θ)=1ʂθ.从而根据L e r a y -S c h a u d e r 度的可解性可知,方程F 1(u )=u -Q u =0在B ω上至少存在一个解,进而边值问题(1)至少有一个正解.证毕.定理2 如果条件(H 1)和(H 3)成立,并且 η (Λ2+Λ3)<1,则边值问题(1)存在唯一解.证明:假设s u p t ɪ[0,1]f (t ,0)=ζ<ɕ.定义B δ={u ɪA : u ɤδ}为A 中的有界闭球,并选择δȡζΛ11- η (Λ2+Λ3).下面利用B a n a c h 压缩映射原理证明边值问题(1)解的存在唯一性,分以下两个步骤.1)证明Q (B δ)⊂B δ.对任意的u ɪB δ,有Q u (t)ɤʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s ɤʏt 0(t -s )s β-2[f (s ,u (s -τ))-f (s ,0)+f (s ,0)]d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2[f (s ,u (s -τ))-f (s ,0)+f (s ,0)]d s ɤ u ʏt(t -s )s β-2η(s )d s +ζʏt(t -s )s β-2d s +u (1-t )ʏ10(2-s )s β-2η(s )d s +ζʏ10(1-t )(2-s )s β-2d s ɤ u ʏt(t s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏtη2(s )d ()s 1/2+ζβ(β-1)t β+ u (1-t )ʏ10(2s β-2-s β-1)2d []s 1/2ʏ10η2(s )d ()s 1/2+(β+1)ζβ(β-1)(1-t )ɤ1101 第5期张 敏,等:一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.1(β-1)(2β-1)(2β-3) u η t β-1/2+ζβ(β-1)t β+2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3) u η (1-t )+(β+1)ζβ(β-1)(1-t )ɤδ η (Λ2+Λ3)+ζΛ1,则 Q u ɤδ.表明算子Q 将B δ中的有界子集映为B δ中的有界子集,即Q (B δ)⊂B δ.2)证明算子Q 为压缩映射.对任意的u ,v ɪA :①当t ɪ[0,1]时,有Q u (t )-Qv (t )ɤʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))-f (s ,v (s -τ))d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))-f (s ,v (s -τ))d s ɤ u -v ʏt(t -s )s β-2η(s )d s + u -v (1-t )ʏ10(2-s )s β-2η(s )d s ɤu -v ʏt(t s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏtη2(s )d ()s 1/2+u -v (1-t )ʏ10(2s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏ10η2(s )d ()s 1/2ɤ1(β-1)(2β-1)(2β-3) u -v ㊃ ηt β-1/2+2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3) u -v ㊃ η (1-t )ɤ η (Λ2+Λ3) u -v ; ②当t ɪ[-τ,0]时,有Q u (t )-Q v (t )=φ(t )-φ(t )=0.由①,②可得Q u -Q v [-τ,1]ɤ η (Λ2+Λ3) u -v [-τ,1]. 因为 η (Λ2+Λ3)<1,所以算子Q 为压缩映射.即由B a n a c h 压缩映射原理可知算子Q 存在唯一的不动点,故边值问题(1)存在唯一解.3 应用实例考虑下列一致分数阶时滞微分方程边值问题:D 7/40+u (t )=e -3t s i n 1/2t 5(2+t )2㊃u (t -τ)1+u (t -τ), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0,u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïïïï0(14)解的存在性与唯一性.证明:在边值问题(14)中,β=74,函数f (t ,u (t ))=e -3t s i n 1/2t 5(2+t)2㊃u 1+u 是连续的,满足条件(H 1);对任意的u ,v ɪℝ,t ɪ[0,1],有f (t ,u (t -τ))-f (t ,v (t -τ))ɤe -3t s i n 1/2t 5(2+t )2u -v ɤe -3t s i n 1/2t ㊃u -v .所以存在η(t )=e -3t s i n 1/2t ɪL 1/2([0,1],ℝ+),满足条件(H 3),且 η =0.1667.又因为Λ2=1(β-1)(2β-1)(2β-3)ʈ1.0328, Λ3=2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3)ʈ2.3944.所以 η (Λ2+Λ3)ʈ0.5713<1.因此根据定理2可知,边值问题(14)存在唯一解.2101 吉林大学学报(理学版)第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.参考文献[1] K I Y AM E H RZ ,B A G HA N I H.E x i s t e n c eo fS o l u t i o n so fB V P sf o rF r a c t i o n a lL a n g e v i n E q u a t i o n sI n v o l v i n g C a p u t oF r a c t i o n a lD e r i v a t i v e s [J ].J o u r n a l o fA p p l i e dA n a l ys i s ,2021,27(1):47-55.[2] Z O U Y M ,H EGP .O n t h eU n i q u e n e s s o f S o l u t i o n s f o r aC l a s s o f F r a c t i o n a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s [J ].A p p l i e d M a t h e m a t i c sL e t t e r s ,2017,74:68-73.[3] J O N G K S ,C HO I H C ,R IY H.E x i s t e n c eo fP o s i t i v eS o l u t i o n so faC l a s so f M u l t i -p o i n tB o u n d a r y V a l u e P r o b l e m s f o r p -L a p l a c i a nF r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sw i t hS i n g u l a rS o u r c eT e r m s [J ].C o mm u n i c a t i o n s i n N o n l i n e a r S c i e n c e a n dN u m e r i c a l S i m u l a t i o n ,2019,72:272-281.[4] C U IYJ ,MA WJ ,S U N Q ,e t a l .N e w U n i q u e n e s sR e s u l t s f o r B o u n d a r y V a l u e P r o b l e mo f F r a c t i o n a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n [J ].N o n l i n e a rA n a l y s i s :M o d e l l i n g an dC o n t r o l ,2018,23(1):31-39.[5] L IY H ,Y A N G H J .E x i s t e n c eo fP o s i t i v eS o l u t i o n sf o r N o n l i n e a rF o u r -P o i n tC a p u t oF r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a l E q u a t i o nw i t h p -L a p l a c i a n [J ].B o u n d a r y V a l u eP r o b l e m s ,2017,2017:75-1-75-15.[6] A HMA DB ,N T O U Y A SSK ,Z HO U Y ,e t a l .AS t u d y o fF r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a l E qu a t i o n s a n d I n c l u s i o n sw i t h N o n l o c a l E r d él y i -K o b e rT y p eI n t e g r a lB o u n d a r y C o n d i t i o n s [J ].B u l l e t i no ft h eI r a n i a n M a t h e m a t i c a lS o c i e t y ,2018,44(5):1315-1328.[7] X U ET T ,L I U W B ,Z HA N G W.E x i s t e n c eo fS o l u t i o n sf o rS t u r m -L i o u v i l l eB o u n d a r y V a l u eP r o b l e m so f H i g h e r -O r d e rC o u p l e d F r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sa tR e s o n a n c e [J ].A d v a n c e si n D i f f e r e n c e E q u a t i o n s ,2017,2017:301-1-301-18.[8] L IY H ,Q I A B .E x i s t e n c eo fP o s i t i v eS o l u t i o n sf o r M u l t i -p o i n tB o u n d a r y V a l u eP r o b l e m so fC a p u t o F r a c t i o n a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n [J ].I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o fD y n a m i c a l S y s t e m s a n dD i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s ,2017,7(2):169-183.[9] S E V I N I K A D I G ÜZ E LR ,A K S O Y Ü,K A R A P I N A R E ,e ta l .O nt h eS o l u t i o no faB o u n d a r y Va l u eP r ob l e m A s s oc i a t ed w i t ha F r a c t i o n a lD i f fe r e n t i a lE q u a t i o n [J /O L ].M a t h e m a t i c a l M e t h o d si nt h e A p pl i e d S c i e n c e s ,(2020-06-23)[2022-09-13].h t t p s ://d o i .o r g/10.1002/mm a .6652.[10] K HA L I LR ,A lHO R A N I M ,Y O U S E F A ,e ta l .A N e w D e f i n i t i o no fF r a c t i o n a lD e r i v a t i v e [J ].J o u r n a lo f C o m p u t a t i o n a l a n dA p pl i e d M a t h e m a t i c s ,2014,264:65-70.[11] I Y I O L A OS ,T A S B O Z A N O ,K U R T A ,e t a l .O n t h eA n a l y t i c a l S o l u t i o n s o f t h e S y s t e mo f C o n f o r m a b l eT i m e -F r a c t i o n a lR o b e r t s o nE q u a t i o n sw i t h1-DD i f f u s i o n [J ].C h a o s ,S o l i t o n s&F r a c t a l s ,2017,94:1-7.[12] Z HO U H W ,Y A N GS ,Z HA N GSQ.C o n f o r m a b l eD e r i v a t i v eA p p r o a c ht oA n o m a l o u sD i f f u s i o n [J ].P h y s i c a A :S t a t i s t i c a lM e c h a n i c s a n d I t sA p pl i c a t i o n s ,2018,491:1001-1013.[13] H ESB ,S U N K H ,M E IX Y ,e ta l .N u m e r i c a lA n a l y s i so fa F r a c t i o n a l -O r d e rC h a o t i cS y s t e m B a s e do n C o n f o r m a b l eF r a c t i o n a l -O r d e rD e r i v a t i v e [J ].T h eE u r o p e a nP h y s i c a l J o u r n a l P l u s ,2017,132:36-1-36-11.[14] L IY N ,S U N S R ,Y A N G D W ,e ta l .T h r e e -P o i n t B o u n d a r y V a l u e P r o b l e m s o f F r a c t i o n a lF u n c t i o n a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n sw i t hD e l a y [J /O L ].B o u n d a r y V a l u eP r o b l e m s ,(2013-02-22)[2022-08-25].h t t ps ://d o i .o r g/10.1186/1687-2770-2013-38.[15] HA N Z L ,L I Y N ,S U I M Z .E x i s t e n c e R e s u l t sf o r B o u n d a r y V a l u e P r o b l e m so f F r a c t i o n a lF u n c t i o n a l D i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sw i t hD e l a y [J ].J o u r n a l o fA p p l i e dM a t h e m a t i c s a n dC o m p u t i n g,2016,51(1/2):367-381.[16] L IM M ,WA N GJR.F i n i t eT i m eS t a b i l i t y o fF r a c t i o n a lD e l a y D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s [J ].A p pl i e d M a t h e m a t i c s L e t t e r s ,2017,64:170-176.[17] Y A N G X ,W E IZL ,D O N G W.E x i s t e n c eo fP o s i t i v eS o l u t i o n s f o r t h eB o u n d a r y Va l u eP r ob l e m o fN o n l i n e a r F r ac t i o n a lD i f f e r e n t i a lE qu a t i o n s [J ].C o mm u n i c a t i o n si n N o n l i n e a rS c i e n c ea n d N u m e r i c a lS i m u l a t i o n ,2012,17(1):85-92.[18] X U YF .F r a c t i o n a l B o u n d a r y V a l u eP r o b l e m sw i t h I n t e g r a l a n dA n t i -p e r i o d i cB o u n d a r y C o n d i t i o n s [J ].B u l l e t i n o f t h eM a l a y s i a n M a t h e m a t i c a l S c i e n c e sS o c i e t y,2016,39(2):571-587.[19] A B D E L J AWA D T.O nC o n f o r m a b l e F r a c t i o n a l C a l c u l u s [J ].J o u r n a l o f C o m p u t a t i o n a l a n dA p p l i e dM a t h e m a t i c s ,2015,279:57-66.[20] 许天周.应用泛函分析[M ].北京:科学出版社,2002:67-72.(X U T Z .A p p l i e dF u n c t i o n a lA n a l ys i s [M ].B e i j i n g :S c i e n c eP r e s s ,2002:67-72.)(责任编辑:赵立芹)3101 第5期张 敏,等:一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
复分析中的调和函数性质研究
复分析中的调和函数性质研究复分析是数学中的一个分支领域，研究复平面上的函数及其性质。
其中一个重要的研究方向就是调和函数的性质。
调和函数是复分析中的一类特殊函数，具有多种有趣的性质和应用。
本文将对调和函数的性质进行研究和探讨。
一、调和函数的定义和基本性质调和函数是指满足拉普拉斯方程的函数，即Δu=0。
其中Δ是拉普拉斯算子，对于复平面上的函数u(x,y)，可以表示为Δu=∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=0。
调和函数在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
调和函数具有很多基本性质，如调和函数的实部和虚部也是调和函数、调和函数的导数仍为调和函数等。
这些性质使得调和函数的研究具有很好的可行性和普适性。
二、调和函数的积分表示公式调和函数可以通过积分来表示，即u(x,y)=Re[f(z)]，其中f(z)是复平面上的解析函数。
根据调和函数的积分表示公式，可以进一步研究调和函数的性质。
例如，可以利用 Cauchy-Riemann 方程推导出调和函数的光滑性和调和函数在边界上的取值等。
三、调和函数的奇点调和函数可能存在奇点，即在某些点上函数值无定义或无限大。
奇点的分类包括孤立奇点、极点和本性奇点等。
对于调和函数的奇点，可以通过研究奇点周围的性质和特征，进一步了解调和函数的行为和性质。
奇点的位置和类型对调和函数的性质有重要影响。
四、调和函数的边界性质调和函数在边界上的取值以及边界的性质是调和函数研究的一个重要方面。
根据调和函数的边界性质，可以研究边界上的调和函数的极值性质、最大模原理等。
调和函数在边界上的取值可以通过边界上的基本解得到，例如圆盘上的基本解是调和函数1/2πlog(1/|z|)。
这使得我们可以通过边界上的调和函数值来推断内部的调和函数性质。
五、调和函数的应用调和函数有广泛的实际应用，例如在物理学中的电势场、热传导中的温度分布、流体力学中的速度势场等。
调和函数的性质和应用在科学和工程中起到了重要的作用。
2m阶差分方程边值问题解的存在性
2m阶差分方程边值问题解的存在性周展;徐菲【摘要】讨论一类2m阶非线性差分方程边值问题.通过建立相应的变分框架,将边值问题的解转换为对应的非线性泛函的临界点.利用环绕定理,获得变分泛函临界点的存在性,进而得到所求边值问题解的存在性.最后给出例子说明本文的结论.【期刊名称】《广州大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(015)004【总页数】5页(P13-17)【关键词】2m阶差分方程;环绕定理;边值问题【作者】周展;徐菲【作者单位】广州大学数学与信息科学学院,广东广州510006;广州大学数学与交叉科学广东普通高校重点实验室,广东广州510006【正文语种】中文【中图分类】O175.8差分方程在诸如物理、生态、金融等领域有着广泛的应用.众所周知，差分方程是微分方程离散化, 它与相应的微分方程有很多共同的性质，但很多差分方程与其对应的微分方程有本质不同.因此，在过去几十年里，许多学者把注意力放在差分方程周期解的存在性、振动性、边值问题等方面，获得了丰富的结果，主要方法包括上下解方法、拓扑度理论、不动点理论等经典方法[1-4].2003 年开始，GUO等开始利用临界点理论研究二阶超线性差分方程的周期解和次调和解[3]，后来，这一方法被用来研究差分方程的边值问题.设R, Z分别表示实数集和整数集.对任给的a, b∈Z且a≤b,定义Z(a,b)={a,a+1,…,b}，Z(a)={a,a+1,…}.Δ为向前的差分算子，定义为Δun=un+1-un,Δkun=Δ(Δk-1un), k∈Z(2).设T∈Z(2), 在参考文献[5]中，ATICI 等讨论了如下差分方程的周期边值问题：这里f∈C(Z(1,T)×R,R).方程(1)作为一个二阶微分方程的离散模型，被应用于很多领域，如空气动力学、核物理等.运用上下解方法，ATICI等建立了边值问题(1)存在唯一解的条件.2014年, LIU等在参考文献[6]中利用临界点理论研究了四阶差分边值问题的解的存在性与不存在性条件.其中δ表示正奇数的比，f∈C(Z(1,T)×R, R).在物理学中方程(2)经常被用来模拟弹性梁的弯曲程度.2009年，ZOU等在参考文献[7] 中利用临界点理论讨论了以下2m阶差分方程：Δm(pn-mΔmun-m)+(-1)m+1f(n,un)=0,n∈Z(1,T)在边值条件下的解的存在情况.其中 T和m是任给的正整数,且T>m.然而，可以看到大部分参考文献[5-6,8-12]都是研究二阶或者四阶差分方程的, 对一般高阶差分方程的研究相对来说较少.受文献[4-7,13]的启发，本文讨论更一般的2m阶差分方程Δm(pn-mΔmun-m)+(-1)m+1Δ(g(Δun-1))+(-1)m+1f(n,un)=0, n∈Z(1,T)在边值条件下的解的存在性.其中g∈C(R, R), f(n,·)∈C(R,R)对任意n∈Z(1,T).设m, T∈Z(1)且T>m, 定义向量空间Ω={u={un}|un∈R,n∈Z(1-m,T+m)}，对任意的u,v∈Ω,a,b∈R有au+bv={aun+bvn}.E={u={un}∈Ω|u1-i=u1,uT+i=uT,i∈Z(1,m)}是Ω的一个线性子空间.易知E与RT是同构的，因此，在空间E上可以定义内积如下：由E上的内积可以诱导空间E上的范数：对任意的r≥1, 可以定义空间E上的另一种范数：因为E是有限维空间，所以存在2个常数c2(r)≥c1(r)>0使得c1(r)‖u‖2≤‖u‖r≤c2(r)‖u‖2,∀u∈E这里u.显然J ∈C1(E,R)，其中C1(E, R)表示Hilbert空间E上Fréchet可微且其Fréchet导数是连续的泛函集合.根据E的定义, 有f(n,un),∀n∈Z(1,T).因此，u是泛函J的一个临界点当且仅当u满足边值问题(5)～(6).记u={un}∈E，由于E与RT同构，所以u可写成u=(u1,u2,…,uT)*∈RT.那么存在T×T阶矩阵A 使得显然, A是一个半正定矩阵.令σ+(A)为A的所有正特征值构成的集合.定义}.设W, Y分别为A的0特征值和所有正特征值对应的特征向量空间,则W={(u1,u2,…,uT)*∈RT|ui=w,w∈R,i∈Z(1,T)},且下面介绍一些临界点理论的基本概念和基本结果.定义1 设S是一个实Banach空间, J∈C1(S,R)满足Palais-Smale条件 (简称P.S.条件)，如果对任给的{un}⊂S,{J(un)}有界，当n→∞时J′(un)→0蕴含{un}有收敛的子列.记Bρ={y∈S: ‖y‖<ρ}是以0为中心，半径为ρ的开球，‖y‖=ρ}为Bρ的边界.引理1(环绕定理[14]) 设S=S1⨁S2是一个Hilbert空间, 其中，S1是S的一个有限维的子空间. 若J∈C1(S,R)满足P.S.条件且满足：(1)存在常数σ>0和ρ>0使得J|∂Bρ∩S2≥σ;(2)存在e∈∂B1∩S2和常数R1>ρ使得J|∂Q≤0, 其中⨁{re|0<r<R1}.那么J存在临界值c≥σ, 这里表示∂Q上的恒等算子.定理1 如果以下假设都满足:(A1)f(n,v),g(v)是关于v连续, 且g(0)=0, G(v)≥0对v∈R成立，其中n∈Z(1,T); (A2)对任给的n∈Z(1-m,T),pn>0;(A3)当n∈Z(1,T),v∈R时F(n,v)≥0且(A4)存在正常数R2和β>2使得0<βF(n,v)≤vf(n,v), n∈Z(1,T),|v|≥R2；(A5)存在正常数R3和α<β使得0<sg(s)≤αG(s),n∈Z(1,T),|s|≥R3.那么边值问题(5)～(6)至少存在2个非平凡解.注1 由(A4)知，存在正常数使得,∀(n,v)∈Z(1,T)×R.注2 由(A5)、(A1)知，存在正常数得,∀s∈R.记p*=max{pn, n∈Z(1-m,T)},p*=min{pn, n∈Z(1-m, T)}.则p*≥p*>0.为了方便定理1的证明, 需要验证下面的引理.引理2 假设(A1)～(A5)都满足, 那么泛函J满足P.S.条件.证明设{u(l)}l∈Z(1)⊂E是一个P.S.序列，则存在常数C使得|J(u(l))|≤C,∀l∈Z(1).根据式(11)，注1和注2有‖a1c1β(β)‖‖‖u(l)‖α-‖注意到J(u(l))≥-C, 则由式(13)得‖‖u(l)‖2-‖C.因为β>max{2,α}, 所以存在常数N0>0使得‖u(l)‖≤N0,∀l∈N. 因此, {u(l)}是E 上的有界序列.因为E是有限维的, 所以 {u(l)}存在收敛的子列.即J满足P.S.条件. 定理1的证明由(A3)知f(n,0)=0, n∈Z(1,T), 结合(A1)中g(0)=0知0是 J的一个临界点, 且J(0)=0.式 (13)蕴含lim‖u‖→+∞J(u)=-∞, 因此，J在E上有上界，-J是强制的.记cmax为{J(u)}的上确界,对任给的c0>|cmax|, 存在一个常数t>0,使得|J(u)|>c0>|cmax|,‖u‖>t.根据J在E上的连续性, 存在使得即是J的一个临界点. 可断定cmax>0. 事实上, 由(A3)知存在和η>0使得F(n,u)≤ε|u|2,|u|≤η.对任给的u=(u1,u2,…,uT)*∈Y，‖u‖≤η有|un|≤η,n∈Z(1,T). 因此,‖u‖2-ε‖u‖2=‖u‖2令,∀u∈Y∩∂Bη有J(u)≥σ>0,所以cmax=supu∈EJ(u)≥σ>0, 故cmax对应的临界点是边值问题(5)～(6)的一个非平凡解. 要得到另一个非平凡解可以利用引理1.由引理2 知J满足P.S.条件.其次，令S2=Y,S1=W，则E=S1+S2.由式(14)知J|Y∩∂Bη≥σ，因此J满足引理1的第一个条件.为了验证J满足引理1 的第二个条件，设e∈∂B1∩Y，对任给的w∈W,r∈R,令u=re+w,有‖‖w‖β.定义,‖w‖β.可以得到,因此k1(r)，k2(w)有上界.注意到，则存在一个正常数R4>η使得J(u)≤0,∀u∈∂Q成立, 其中⨁{re|0<r<R4}.由引理1知J存在一个临界值c≥σ>0,其中}.令使得c. 如果,那么定理1的结论成立.不然,有,也即).令h=id,有.与上述方法类似，可以将e换成-e∈∂B1∩Y，同样存在一个常数R5>η使得∀u∈∂Q1,J(u)≤0成立，其中⨁{-re|0<r<R5}，再次利用引理1可以得到J存在一个临界值c′≥σ>0,其中}.同理，存在u′∈E使得J(u′)=c′，如果定理1的结论成立，否则有,即,也即).令h=id,有因为J|∂Q≤0与J|∂Q1≤0,所以u′一定是Q和Q1的内点，然而Q∩Q1⊂W且对任给的u∈W都有J(u)≤0成立，即c′≤0与c′>0矛盾，因此结论成立，定理1 得证.例1 设T为一正整数, 考虑四阶差分方程边值问题Δu-1=Δu0=0,ΔuT=ΔuT+1=0对照式(5), 有因此易知边值问题(15)～(16)满足条件(A1)～(A5), 其中α=4,β=6, 由定理1 知至少存在2个非平凡解.【相关文献】[1] AGARWAL R P, O′REGAN D. Singular discrete (n,p) boundary value problems[J]. Appl Math Lett, 1999, 12(8): 113-119.[2] AGARWAL R P, WONG F H. Upper and lower solutions method for higher-orderdiscrete boundary values problems[J]. Math Ineq Appl, 1998, 1(4): 551-557.[3] GUO Z M, YU J S. Existence of periodic and subharmonic solutions for second-order superlinear difference equations[J]. Sci China Ser A, 2003, 46(4): 506-515.[4] ZHOU Z, YU J S, CHEN Y M. Periodic solutions of a 2nth-order nonliner difference equation[J]. Sci China Math, 2010, 53(1): 41-50.[5] ATICI F M, CABADA A. Existence and uniqueness results for discrete second-order periodic boundary value problems[J]. Comput Math Appl, 2003, 45(6/9): 1417-1427. [6] LIU X, ZHANG Y B, SHI H P. Nonexistence and existence results for a class of fourth-order difference Neumann boundary value problems[J]. Indag Math, 2015, 26(1): 293-305.[7] ZOU Q R, WENG P X. Solutions of 2nth-order boundary value problem for difference equation via variational method[J]. Adv Differ Equ, 2009, Art. ID 730484,10pp.[8] 李龙图, 翁佩萱. 二阶泛函差分方程边值问题[J]. 华南师范大学学报:自然科学版,2003(3): 20-24.LI L T, WENG P X. Boundary value problems of second order functional difference equation[J]. J South China Normal Univ: Nat Sci Edi, 2003(3): 20-24.[9] 梁海华, 翁佩萱. 一类四阶差分边值问题解的存在性与临界点方法[J]. 高校应用数学学报, 2008, 23(1): 67-72.LIANG H H, WENG P X. Existence of solutions for a fourth-order difference boundary value problem and critical point method[J]. Appl Math J Chin Univ Ser A, 2008, 23(1): 67-72.[10]ZHENG B, ZHANG Q Q. Existence and multiplicity of solutions of second-order difference boundary value problems[J]. Act Appl Math, 2010, 110(1): 131-152.[11]LIU X, ZHANG Y B, SHI H P. Periodic solutions for fourth-order nonlinear functional difference equations[J]. Math Meth Appl Sci, 2015, 38(1): 1-10.[12]LIU X, ZHANG Y B, SHI H P. Nonexistence and existence results for a class of fourth-order difference Dirichlet boundary value problems[J]. Math Meth Appl Sci, 2015, 38(4): 691-700.[13]BONANNO G, CANDITO P, D′AUGI G. Variational methods on finite dimentional banach spaces and discrete problems[J]. Adv Nonlin Stud, 2014, 14(4): 915-939.[14]RABINOWITZ P H. Minimax methods in critical point theory with applications to differential equations[M]. USA: CBMS, American Mathematical Society, 1986.。
一类调和方程边值问题的级数解
1
2
2
（[1]）
1 1 ln( x 2 y 2 ) f ( x , y ) ln( x 2 y 2 ) f ( x , y ) 4 4
( x, y) f ( x, y) f ( x, y)
于是
u( x , y ) f ( x , y ) ，证毕。
1 u f ( x, y ) , ( x, y ) D 2 2 有解： u( x, y ) v ( x, y ) ln( x y ) f ( x , y ) ，这 u ( x , y ) g ( x , y ) 4 D
里 表示卷积[2]。 证明： u( x, y )
2
广义函数的级数表示
定理 1 设 {n ( x ) | n N , x [a, b]} 是完备规格正交系，则有
( x ) n ( x )n ( ) ，这里 [a , b] 是参数。
n 1
证明：设 ( x )
c
n 1
n n
( x ) ，这里 cn 是待定常数，
两边同乘以 n ( x ) 后在 [a , b] 上积分得：
b
a
( x )n ( x )dx n ( x ) cmm ( x ) dx
a
b
m 1
左边= n ( ) ，右边= cn ，故 cn = n ( )
于是 ( x )
（3）
u 0 , 0 x l , 0 y a 定理 5 边值问题 u( x, 0) ( x ), u( x , a ) 0 u(0, y ) 0, u(l , y ) 0
调和方程——精选推荐
调和⽅程调和⽅程狄利克雷内外问题的唯⼀性及稳定性。
（1）原理 3.1 （极值原理）对于不恒等于常数的调和函数),,(z y x u ，其在区域Ω的任何内点上的值不可能达到它在Ω上的上界或下界。
推论1 在有限区域Ω内调和、在Γ?Ω上连续连续的函数必在边界Γ上取得最⼤值和最⼩值；推论2 设v u 及都是区域Ω内的调和函数，且在Γ?Ω上连续。
如果在Ω的边界Γ上成⽴着不等式v u ≤，那么在Ω内上述不等式也成⽴；并且只有在v u =时，在Ω内才会有等式成⽴的可能。
（2）调和⽅程狄利克雷内问题==++=Γ)2.3...(....................)1.3......(0222222g u z uy u x u u 现在证明解如果存在必是唯⼀的，⽽且连续的依赖于所给定的边界条件.f证：假设有两个调和函数),,(),,(21z y x u z y x u 和，它们在有界区域Ω的边界Γ上完全相同，则它们的差21u u u -=在Ω中也满⾜⽅程（3.1），⽽在Γ上等于零。
于是按照极值原理的推论1，函数u 在区域Ω上最⼤值及最⼩值均为零，即.0≡u 因此21u u ≡，即狄利克雷内问题的解是唯⼀的。
其次，设在区域Ω的边界Γ上给定了函数*f f 和，⽽且在Γ上处处成⽴ε≤-*f f ，这⾥ε是⼀个给定的正数。
设*u u ,分别是⽅程（3.1）在区域Γ上以*f f 和为边界条件的狄利克雷内问题的解，那么调和函数*-u u 在Γ上取值*-f f 。
由极值原理的推论1得到，在Ω上各点有.)(min )(min ,)(max )(max εε-≥-=-≤-=-*Γ*ΓΩ*Γ*ΓΩf f u u f f u u因此在Ω上各点有，ε≤-≤-*Γ设函数21,u u 是狄利克雷外问题的解，令21u u v -=，则调和函数v 满⾜.0),,(l i m 00==→Γz y x v v r 及如果v 不恒等于零，则⼀定存在⼀点M ，使,0)(≠M v 不妨设0)(>M v 。
一类p—laplace方程边值问题解的存在性
一类p—laplace方程边值问题解的存在性理解一类p-Laplace方程边值问题解的存在性：1. p—Laplace方程简介p—Laplace方程是一种常见的椭圆型偏微分方程，它在空间变换、热传导中也有广泛的应用。
它的解由p—Laplace方程决定：∂u/∂x+∂v/∂y=u^(p-2)f，其中p是大于等于1的任意常数，u，v是满足边界条件的函数，x，y是定义域内的坐标，f是常函数。
2. 一类p—Laplace方程边值问题的存在性一类p—Laplace方程的边值问题的存在性取决于其常数p的大小。
如果p大于1，那么该方程有唯一解；如果p小于1，那么该方程可能有无穷多解；如果p=1，则该方程常有唯一解，又有可能出现无穷多解。
3. p—Laplace方程边值问题解的存在性判定判定一类p—Laplace方程边值问题解的存在性，要仔细检查边界条件是否符合两个条件：（1）任意的边界函数都必须满足给定边界条件；（2）边界条件必须对所有满足方程组调和函数，如成反馈函数、空间变换函数等来施加有效制约。
缺一不可，边值问题解才能有存在性。
4. p＞1时一类p—Laplace方程边值问题解的存在性当p大于1时，p—Laplace方程边值问题解有唯一解。
这是因为二阶偏微分方程组只能有一个解， p大于1时，椭圆型经ene变换可以转化为二阶偏微分方程组，根据拓扑的余定理，二阶偏微分方程组必有唯一解，故这时候方程解有存在性。
5. p＜1时一类p-Laplace方程边值问题解的存在性当p小于1时，p—Laplace方程边值问题解可能有无穷多解。
这是因为当p＜1时，椭圆型经ene变换不能转化为二阶偏微分方程组，根据拓扑的余定理，任一条件的任何解，如满足给定的边界条件，都是经en变换回解法所得，因此这种情况下该方程解有无穷多解的存在性。
6. p=1时一类p—Laplace方程边值问题解的存在性当p等于1时，p—Laplace方程边值问题解存在性有两种情形：（1）如果边界条件符合两个条件（前面讲到），有唯一解；（2）另一种情形是，如果边界条件不完全符合两个条件，则可能出现无穷多解。
第三章 调和方程
f f * 设u和u*，分别是调和方程在区域Ω上的以f和f*为边界条件的
数学物理方程
§1-2 定解条件和定解问题
第三章 调和方程
因此，对于狄利克雷或诺依曼外问题而言，还需要在无穷远 处对解添加一定的限制条件。在三维情况下，一般要求解在 无穷远处的极限为零（或者说极限为某个特定的值），即
lim u(x, y, z) 0 r x2 y2 z2
r
泊松方程的求解可以运用叠加原理转化为调和方程的求解： 首先寻找一个泊松方程的特解u1，作代换u=v+u1把原方程转 化为关于v的调和方程。
§2.1 格林（Green）公式 §2.2 平均值定理 §2.3 极值原理 §2.4 第一边值问题解的
唯一性和稳定性
数学物理方程
§2-1 格林（Green）公式
第三章 调和方程
高等数学中的高斯公式如下
(
P x
Q y
R )d
z
(P cos(n,
x)
Q cos(n,
y)
R cos(n,
z))ds
调和方程，又称拉普拉斯(Laplace)方程，其三维形式为
u 2u 2u 2u 0 3.1 x2 y2 z 2
这个方程相应的非齐次方程，称为泊松(Poisson)方程，即
u
2u x 2
2u y 2
2u z 2
f (x, y, z)
3.2
这类方程在力学、物理学问题中经常遇到。前面两章推导的波动方程和热 传导方程如果去掉了时间导数项，那么方程就可以转化为泊松方程或调和 方程。流体力学中的速度势和流函数都满足调和方程；静电场中的电位势 满足泊松方程。
国家自然科学基金学科分类目录
国家自然科学基金学科分类目录Ａ数理科学部A01 数学A02 力学A03 天文学A04 物理学ⅠA05 物理学ⅡＢ化学科学部B01 无机化学B02 有机化学B03 物理化学B04 高分子化学B05 分析化学B06 化学工程及工业化学B07 环境化学Ｃ生命科学部C01 基础生物学C0101 微生物学C0102 植物学C0103 动物学C0104 生物化学和分子生物学C0105 生物物理学与生物医学工程学C0106 神经生物学C0107 生理学C0108 心理学C0109 细胞生物学及发育生物学C0110 遗传学C0111 生态学C02 农业科学C0201 农业基础科学C0202 农学C0203 畜牧、兽医学C0204 蚕桑、养蜂学C0205 水产学C0206 林学C03 医学与药学C0301 预防医学与卫生学C0302 基础医学C0303 临床医学C0304 药物学C0305 中医中药学Ｄ地球科学部D01 地理学、土壤学和遥感D02 地质学D03 地球化学D04 地球物理学和空间物理学D05 大气科学D06 海洋科学Ｅ工程与材料科学部E01 金属材料学科E02 无机非金属材料科学E03 有机高分子材料学科E04 冶金与矿业学科E05 机械工程学科E06 工程热物理与能源利用学科E07 电工学科E08 建筑环境与结构工程学科E09 水利学科E10 农业工程*E11 林业工程*E12 食品工程*E13 纺织科学技术*Ｆ信息科学部F01 电子学与信息系统F02 计算机科学F03 自动化科学F04 半导体科学F05 光学和光电子学Ｇ管理科学部G01 管理科学G02 工商管理G03 宏观管理与政策第 1 页共39 页学科分类与代码目录Ａ数理科学部A01 数学A0101 基础数学A010101 数论A01010101 解析数论A01010102 代数数论A01010103 丢番图分析A01010104 超越数论A01010105 模型式与模函数论A01010106 数论的应用A010102 代数学A01010201 群论A01010202 群表示论A01010203 李群A01010204 李代数A01010205 代数群A01010206 典型群A01010207 同调代数A01010208 代数K理论A01010209 KacMoody代数A01010210 环论A01010211 代数(可除代数)A01010212 体A01010213 编码理论与方法A01010214 序结构研究A010103 几何学A01010301 整体微分几何A01010302 代数几何A01010303 流形上的分析A01010304 黎曼流形与洛仑兹流形A01010305 齐性空间与对称空间A01010306 调和映照及其在理论物理中的应用A01010307 子流形理论A01010308 杨--米尔斯场与纤维丛理论A01010309 辛流形A010104 拓扑学A01010401 微分拓扑A01010402 代数拓扑A01010403 低维流形A01010404 同伦论A01010405 奇点与突变理论A01010406 点集拓扑A010105 函数论A01010501 多复变函数论A01010502 复流形A01010503 复动力系统A01010504 单复变函数论A01010505 Rn中的调和分析的实方法A01010506 非紧半单李群的调和分析A01010507 函数逼近论A010106 泛函分析A01010601 非线性泛函分析A01010602 算子理论A01010603 算子代数A01010604 泛函方程A01010605 空间理论A01010606 广义函数第 2 页共39 页A01010701 泛函微分方程A01010702 特征与谱理论及其反问题A01010703 定性理论A01010704 稳定性理论、分支理论A01010705 混沌理论A01010706 奇摄动理论A01010707 复域中的微分方程A01010708 动力系统A010108 偏微分方程A01010801 连续介质物理与力学、及反应扩散等应用领域中的偏微分方程A01010802 几何与数学物理中的偏微分方程A01010803 微局部分析与一般偏微分算子理论A01010804 非线性椭圆(和抛物)方程研究中的新方法和新概念及调和分析复分A01010805 混合型及其它带奇性的方程A01010806 非线性波、非线性发展方程和无穷维动力系统A010109 数学物理A01010901 规范场论A01010902 引力场论的经典理论与量子理论A01010903 孤立子理论A01010904 统计力学A01010905 连续介质力学等方面的数学问题A010110 概率论A01011001 马氏过程A01011002 随机过程A01011003 随机分析A01011004 随机场A01011005 鞅论A01011006 极限理论A01011007 概率论在调和分析、几何及微分方程等方面的应用A01011008 在物理、生物、化学管理中的概率论问题A01011009 平稳过程A010111 数理逻辑与数学基础A01011101 递归论A01011102 模型论A01011103 证明论A01011104 公理集合证A01011105 数理逻辑在人工智能及计算机科学中的应用A0102 应用数学A010201 数理统计A01020101 抽样调查与抽样方法A01020102 试验设计A01020103 时间序列分析及其算法研究A01020104 多元分析及其算法研究A01020105 数据分析及其图形处理A01020106 非参数统计方法A01020107 应用统计中的基础性工作A01020108 统计线性模型第 3 页共39 页A01020109 参数估计方法A01020110 随机过程的统计理论及方法A01020111 蒙特卡洛方法(统计模拟方法)A010202运筹学A01020201 线性与非线性规划A01020202 整数规划A01020203 动态规划A01020204 组合最优化A01020205 随机服务系统A01020206 对策论A01020207 不动点算法A01020208 随机最优化A01020209 多目标规划A01020210 不可微最优化A01020211 可靠性理论A010203 控制论A01020301 有限维非线性系统A01020302 分布参数系统的控制理论A01020303 随机系统的控制理论A01020304 最优控制理论与算法A01020305 参数辨识与适应控制A01020306 线性系统理论的代数与几何方法A01020307 控制的计算方法A01020308 微分对策理论A01020309 稳健控制A010204 若干交叉学科A01020401 信息论及应用A01020402 经济数学A01020403 生物数学A01020404 不确定性的数学理论A01020405 分形论及应用A010205 计算机的数学基础A01020501 可解性与可计算性A01020502 机器证明A01020503 计算复杂性A01020504 VLSI的数学基础A01020505 计算机网络与并行计算A010206 组合数学A01020601 组合计数A01020602 组合设计A01020603 图论A01020604 线性计算几何A01020605 组合概率方法A0103 计算数学与科学工程计算A010301 偏微分方程数值计算A01030101 初边值问题数值解法及应用A01030102 非线性微分方程及其数值解法A01030103 边值问题数值解法及其应用A01030104 有限元、边界元数值方法A01030105 变分不等式的数值方法A01030106 辛几何差分方法A01030107 数理方程反问题的数值解法第 4 页共39 页A010302 常微分方程数值解法及其应用A01030201 二点边值问题A01030202 STIFF问题研究A01030203 奇异性问题A01030204 代数微分方程A010303 数值代数A01030301 大型稀疏矩阵求解A01030302 代数特征值问题及其反问题A01030303 非线性代数方程A01030304 一般线性代数方程组求解A01030305 快速算法A010304 函数逼近A01030401 多元样条A01030402 多元逼近A01030403 曲面拟合A01030404 有理逼近A01030405 散乱数据插值A010305 计算几何A01030501 曲面造型A01030502 曲面光滑拼接A01030503 曲面设计A01030504 体素拼接A01030505 几何问题的计算机实现A010306 新型算法A01030601 并行算法A01030602 多重网格技术A01030603 自适应方法A01030604 区间分析法及其应用A02 力学A0201 一般力学A020101 分析力学A020102 动力系统的分岔、混沌A020103 运动稳定性与控制A020104 非线性振动与控制A020105 多体动力学A020106 转子动力学A020107 弹道力学和飞行力学A020108 理性力学A020109 力学中的反问题A020110 力学发展史学A0202 固体力学A020201 弹性力学与塑性力学A020202 疲劳与断裂力学A020203 损伤、破坏机理和微结构演化A020204 本构关系A020205 复合材料力学A020206 新型材料的力学问题A020207 极端条件下的材料和结构A020208 微机电系统中的固体力学问题A020209 岩体力学和土力学A020210 冲击动力学A020211 结构力学A020212 结构振动与噪声A020213 结构优化和可靠性分析A020214 制造工艺力学A020215 实验固体力学A020216 计算固体力学A020217 流固耦合作用A0203 流体力学第 5 页共39 页A020301 流动的稳定性A020302 湍流A020303 水动力学A020304 空气动力学A020305 分层流A020306 非平衡流A020307 渗流A020308 多相流A020309 非牛顿流A020310 内流A020311 化工流体力学A020312 工业空气动力学A020313 微重力流体力学A020314 微机电系统中的流体力学问题A020315 流动噪声与控制A020316 稀薄气体力学A020317 实验流体力学A020318 计算流体力学A0204 交叉与边缘领域的力学A020401 物理力学A020402 爆炸力学A020403 环境流体力学A020404 生物力学A020405 电磁流体力学和等离子体动力学A03 天文学A0301 宇宙学A0302 星系和类星体A0303 恒星物理与星际物质A0304 太阳和太阳系A0305 射电天文A0306 空间天文A0307 理论天体物理A0308 天体测量和天文地球动力学A0309 天体力学和人造卫星动力学A0310 时间、频率A0311 天文仪器A0312 天文学史A0313 其它A04 物理学ⅠA0401 凝聚态物性Ｉ：结构、力学和热学性质A040101 液体和固体结构；晶体、非晶、准晶的物质结构A040102 凝聚态物质的力学和声学性质A040103 晶格动力学和晶体统计学A040104 状态方程、相平衡和相变A040105 凝聚态物质的热学性质A040106 凝聚态物质的输运性质A040107 量子流体和固体;液态氦和固态氦A040108 表面和界面;薄膜和晶须；人工微结构（结构和非电子性质）A0402 凝聚态物性Ⅱ：电子结构、电学、磁学和光学性质A040201 电子态A040202 凝聚态物质中的电子输运A040203 表面、界面、薄膜和低维系统的电子结构及电学性A040204 超导电性第 6 页共39 页A040205 磁学性质A040206 凝聚态物质的磁共振和弛豫;穆斯堡尔效应A040207 介电性质A040208 光学性质、凝聚态物质的波谱学、物质与粒子的相互作用和辐射A040209 液体和固体的电子发射和离子发射;碰撞现象A040210 与凝聚态物理有关的交叉学科A0403 原子和分子物理A040301 原子和分子理论A040302 原子光谱及原子与光子相互作用A040303 分子光谱及分子与光子相互作用A040304 原子和分子碰撞过程及相互作用A040305 研究原子和分子性质的实验设备和技术A040306 特殊原子和分子的研究A040307 与原子、分子有关的其它物理问题和交叉学科A0404 光学A040401 光在均匀介质中的传播A040402 光在非均匀介质中的传播A040403 像的形成和分析A040404 全息照相A040405 量子光学A040406 微波激射A040407 激光发射过程A040408 激光系统和激光与物质相互作用A040409 非线性光学A040410 光学材料中物理问题及固体发光A040411 光源和光学标准A040412 光学透镜和反射镜系统A040413 光学器件的原理A040414 与光学有关的其它物理问题和交叉学科A0405 声学A040501 普通线性声学A040502 非线性声学和强声学A040503 航空声学和大气声学A040504 水声A040505 超声、量子声学和声的物理效应A040506 次声A040507 噪声、噪声效应及其控制A040508 建筑声学A040509 声的信号处理A040510 声全息照相A040511 语言声学A040512 乐声A040513 声的测量及专用仪器A040514 声的转换原理A040515 与声学有关的其它物理问题和交叉学科A05 物理学Ⅱ第7 页共39 页A0501 基础物理学A050101 物理教育学及物理学史A050102 物理学中的数学问题A050103 经典物理学和量子理论A050104 相对论与引力A050105 热力学与统计物理学(含混沌) A050106 测量科学、一般实验技术和测试系统A0502 粒子物理学和场论A050201 粒子基本特性及粒子物理一般问题A050202 场论中的基本问题和新方法A050203 对称性及对称破缺A050204 量子色动力学、强相互作用和强子物理A050205 电－弱相互作用及其唯象学A050206 非标准模型及其唯象学A050207 新粒子A050208 粒子的延展体理论A050209 宇宙射线和超高能现象A050210 粒子物理与宇宙学A0503 核物理A050301 原子核特性A050302 原子核结构模型的理论研究A050303 原子核统计理论研究A050304 原子核高激发态、高自旋态和超形变A050305 带奇异数系统、奇异核和超核A050306 核内非核子自由度A050307 核力与少体系统A050308 强子、轻子与核相互作用A050309 核物质理论及核多体方法A050310 核衰变、核裂变、核聚变A050311 低能核反应与散射A050312 重离子核物理A050313 中高能核物理A050314 核天体物理A050315 核数据分析和计算机模拟A0504 核技术及其应用A050401 离子束与物质相作用和辐照损伤A050402 核分析技术(RBS、PIXE、NRA)A050403 穆斯堡尔谱学及其应用A050404 正电子湮灭技术及其应用A050405 中子衍射及其应用A050406 扰动角关联及其应用A050407 核磁共振及其应用A050408 中子活化和同位素示踪技术A050409 离子束材料改性A050410 核技术在地学中的应用A050411 核技术在医学中的应用A050412 核技术在农业中的应用A050413 核技术在工业中的应用A050414 核科学和其它学科的交叉A0505 粒子物理与核物理实验设备第8 页共39 页A050501 加速器原理和关键技术A050502 离子源和电子枪A050503 预加速装置和加速器部件A050504 束流输运和性能测量A050505 真空和超高真空技术A050506 反应堆A050507 辐射探测方法A050508 探测技术和谱仪A050509 辐射剂量及其防护A050510 核电子学A0506 等离子体物理A050601 等离子体中的基本过程与特性A050602 等离子体的加热、约束和辐射A050603 等离子体动力学与电磁流体力学A050604 等离子体中的混沌、孤立波、湍流等非线性现象A050605 等离子体的模拟、数值方法和软件A050607 等离子体诊断技术A050608 等离子体与固体相互作用A050609 激光束、粒子束、微波与等离子体A050610 低气压低温等离子体的应用A050611 热平衡低温等离子体的应用A050612 非中性等离子体A050613 强耦合等离子体A050614 空间等离子体Ｂ化学科学部B01 无机化学B0101 无机合成和制备化学B010101 合成技术B010102 合成化学B010103 特殊聚集态制备B0102 丰产元素化学B010201 稀土化学B010202 钨化学B010203 钼化学B010204 锡化学B010205 锑化学B010206 钛化学B010207 钒化学B010208 稀有碱金属化学B010209 稀散元素化学B0103 配位化学B010301 固体配位化学B010302 溶液配位化学B010303 金属有机化学B010304 原子簇化学B010305 功能配合物化学B0104 生物无机化学B010401 金属酶化学及其化学模拟B010402金属蛋白化学及其化学模拟B010403 生物体内微量元素的状态及功能、受体底物相互作用B010404 金属离子与生物膜的作用及其机理B010405 金属离子与核酸化学B0105 固体无机化学第9 页共39 页B010501 缺陷化学B010502 固体反应B010503 固体表面化学B010504 无机固体材料化学B0106 分离化学B010601 萃取化学B010602 无机色层B010603 无机膜分离B0107 物理无机化学B010701 无机化合物结构与性质B010702 理论无机化学B010703无机反应机制及反应动力学B010704 熔盐化学及相平衡B0108 同位素化学B010801 同位素分离B010802 同位素分析B010803 同位素应用B0109 放射化学B010901 核燃料化学B010902 超铀元素化学B010903 裂片元素化学B010904 放射性核素及其标记化合物的制备和应用B010905 放射分析化学B010906 放射性废物处理和综合利用B0110 核化学B011001 低能核化学B011002 高能核化学B011003 裂变化学B011004 重离子核化学B011005 核天体化学B02 有机化学B0201 有机合成B020101 有机合成反应B020102 新化合物和复杂化合物的设计与合成B020103 高选择性有机合成试剂B020104 不对称合成B0202 金属有机及元素有机化学B020201 有机磷化学B020202 有机硅化学B020203 有机硼化学B020204 有机氟化学B020205 金属有机化合物的合成及其应用B0203 天然有机化学B020301 甾体及萜类化学B020302 糖类黄酮类化学B020303 中草药有效成份B020304 具有重要应用价值的天然产物的研究B0204 物理有机化学B020401 活泼中间体化学B020402 化学动态学B020403 有机光化学B020404 立体化学B020405 有机分子结构与活性关系B020406 具有光、电、磁特性的化合物研究B020407 计算有机化学B0205 药物化学B020501 新药物分子设计和合成B020502 药物构效关系B0206 生物有机化学第10 页共39 页B020601 多肽化学B020602 核酸化学B020603 仿生及模拟酶B020604 天然酶的化学修饰及应用B020605 生物合成及生物转化B0207 有机分析B020701 新化合物和复杂化合物的结构研究B020702 有机分析、分离新方法新技术研究B020703 有机化合物结构波谱学B0208 应用有机化学B020801 除草剂B020802 植物生长促进剂B020803 害虫引诱剂、昆虫信息素B020804 高效、低毒、低抗性农药B020805 食品化学B020806 香料化学B020807 染料化学B03 物理化学B0301 结构化学B030101 体相静态结构B030102 表面结构B030103 溶液结构B030104 动态结构B030105 谱学B030106 结构化学方法和理论B0302 量子化学B030201 基础量子化学B030202 应用量子化学B0303 催化B030301 多相催化B030302 均相催化B030303 人工酶催化B030304 光催化B0304 化学动力学B030401 宏观反应动力学B030402 分子动态学B030403 反应途径和过渡态B030404 快速反应动力学B030405 结晶过程动力学B0305 胶体与界面化学B030501 表面活性剂B030502 分散体系B030503 流变性能B030504 界面吸附现象B030505 超细粉和颗粒B0306 电化学B030601 电极过程及其动力学B030602 腐蚀电化学B030603 熔盐电化学B030604 光电化学B030605 半导体电化学B030606 生物电化学B030607 表面电化学B030608 电化学技术B030609 电催化B0307 光化学B030701 激光闪光光解B030702 激发态化学B030703 电子转移光化学、光敏化B030704 光合作用B030705 大气光化学B0308 热化学B030801 热力学参数第11 页共39 页B030802 相平衡B030803 电解质溶液化学B030804 非电解质溶液化学B030805 生物热化学B030806 量热学B0309 高能化学B030901 辐射化学B030902 等离子体化学B030903 激光化学B0310 计算化学B031001 化学信息的运筹B031002 计算模拟B031003 计算控制B031004 计算方法的最优化B04 高分子化学B0401 高分子合成B040101 催化剂、聚合反应及聚合方法B040102 高分子设计和合成B040103新单体及单体的新合成方法B040104 聚合反应动力学B040105 高分子光化学、辐射化学、等离子体化学B040106 微生物参与的聚合反应、酶催化聚合反应B0402 高分子反应B040201 高分子老化、降解、交联B040202 高分子接枝、嵌段改性B040203 高分子功能化改性B040204 粒子注入、辐射、激光等方法对高分子的改性B0403 功能高分子B040301 吸附、分离、离子交换、螯合功能的高分子B040302 用于有机合成、医疗、分析等领域的高分子试剂B040303 医用高分子、高分子药物B040304 液晶态高分子B040305 有机固体电子材料、磁性高分子B040306 储能、换能、敏感材料及高分子催化剂B040307 高分子功能膜B040308 微电子材料、分子组装材料及器件B0404 天然高分子B0405 高分子物理及高分子物理化学B040501 高分子溶液性质和溶液热力学B040502 高分子链结构B040503 高分子流变学B040504 高聚物聚集态结构B040505 高分子结构与性能关系B040506 高聚物测试及表征方法B040507 高分子材料的传质理论、强度理论、破坏机理B040508 高分子多相体系B0406 高分子理论化学B040601 高分子聚合、交联、聚集态统计理论第12 页共39 页B040602 数学、计算机方法在高分子凝聚态、分子动态学方面的应用B0407 聚合物工程及材料B040701 聚合工程反应动力学及聚合反应控制B040702 聚合物成型理论及成型方法B040703 塑料、纤维、橡胶及成型研究B040704 涂料、粘合剂及高分子助剂B040705 可生物降解薄膜B040706 高分子润滑材料B040707 其它领域中应用的高分子材料B040708 高分子资源的再生和综合利用B05 分析化学B0501 色谱分析B050101 气相色谱B050102 液相色谱B050103 薄层色谱B050104 离子色谱B050105 超临界液体色谱B050106 毛细管电泳B0502 电化学分析B050201 伏安法B050202 极谱法B050203 化学修饰电极B050204 库伦分析B050205 光谱电化学分析B050206 电化学传感器B0503 光谱分析B050301 原子发射光谱（包括ICP）B050302 原子吸收光谱B050303 原子荧光光谱B050304 X射线荧光光谱B050305 分子发射光谱（包括荧光光谱、磷光光谱和化学发光）B050306 紫外和可见光谱B050307 光声光谱B050308 红外光谱B050309 拉曼光谱B0504 波谱分析B050401 顺磁B050402 核磁B0505 质谱分析B050501 有机质谱B050502 无机质谱B0506 化学分析B050601 萃取剂、显色剂、特殊功能试剂B050602 色谱柱固定相、分离膜B0507 热分析B0508 放射分析B050801 活化分析B050802 质子荧光B0509 生化分析及生物传感B0510 联用技术B0511 采样、分离和富集方法B0512 化学计量学B051201 分析方法与计算机技术B051202 分析讯号与数据解析B0513 表面、微区、形态分析B051301 表面分析B051302 微区分析B051303 形态分析B06 化学工程及工业化学B0601 化工热力学和基础数据B060101 状态方程与溶液理论第13 页共39 页B060102 相平衡B060103 热化学B060104 化学平衡B060105 热力学理论模型和分子系统的计算机模拟B060106 热力学数据和数据库B0602 传递过程B060201 化工流体力学和传递性质B060202 传热过程及设备B060203 传质过程B060204 流变学B060205 颗粒学及浆料化学B0603 分离过程及设备B060301 蒸馏B060302 蒸发与结晶B060303 干燥B060304 吸收B060305 萃取B060306 吸附与离子交换B060307 机械分离过程B060308 膜分离B060309 其它分离技术B0604 化学反应工程B060401 化学(催化)反应动力学B060402 反应器原理及传递特性B060403 反应器的模型化和优化B060404 流态化技术和多相流反应工程B060405 固定床反应工程B060406 聚合反应工程B060407 电化学反应工程B060408 生化反应工程B060409 催化剂工程B0605 化工系统工程B060501 化学过程的控制与模拟B060502 化工系统的优化B060503 化工过程动态学B0606 无机化工B060601 常规无机化工B060602 工业电化学(电解、电镀、化学腐蚀与防腐)B060603 精细无机(无机颜料、吸附剂及表面活性剂等)B060604 核化工与放射化工B0607 有机化工B060701 工业有机化工B060702 精细有机化工（染料、涂料、感光剂、粘合剂与日用化工等）B0608 生物化工与食品化工B060801 生化反应动力学及反应器B060802 发酵物的提取和纯化B060803 生化过程的化工模拟及人工器官B060804 酶化工B060805 天然产物和农副产品的化学改性及深度加工B060806 生物医药工程B0609 能源化工B060901 煤化工B060902 石油化工B060903 燃料电池B060904 其它能源化工B0610 化工冶金第14 页共39 页B061001 矿产资源的利用研究B061002 化学选矿与浸出B061003 湿法冶金物理化学B061004 等离子体冶金B061005 化学涂层B0611 环境化工B061101 环境治理中的物理化学原理B061102 三废治理技术中的化工基础B061103 环境友好的化工过程B061104 可持续发展环境化工的新概念B0612 制药工程B061201 医药工程B061202 农药工程B061203 兽药工程B07 环境化学B0701 环境分析化学B070101 环境中微量生命元素及其化合物的分离、分析技术B070102 环境中微量有机污染物的分离、分析技术B0702 环境污染化学B070201 大气污染化学B070202 水污染化学B070203 土壤污染化学B070204 固体废弃物及放射性核素污染化学B0703 污染控制化学B070301 化学控制、防治新工艺、新技术及其基础性研究B070302 无害化工艺(原料、能源和资源的综合利用)B0704 污染生态化学B0705 理论环境化学B0706 全球性环境化学问题Ｃ生命科学部C01 基础生物学C0101 微生物学C010101 微生物分类学C01010101 细菌分类C01010102 放线菌分类C01010103 真菌分类C010102 微生物生理及生物化学C010103 微生物遗传育种C010104 微生物方法学C010105 微生物资源与生态C010106 应用微生物学基础C01010601 工业微生物C01010602 农业、土壤微生物C010107 病毒学C01010701 动物病毒C01010702 植物病毒C01010703 微生物病毒C010108 医学与兽医微生物学C01010801 病毒C01010802 立克次氏体(含衣原体)C01010803 病原细菌(含支原体与螺旋体)C01010804 病原真菌C0102 植物学C010201 植物结构学C01020101 植物形态解剖学C01020102 植物形态发生C01020103 植物胚胎学C010202 植物系统学与分类学C01020201 植物系统发育与演化第15 页共39 页C01020202 种子植物分类C01020203 孢子植物分类C01020204 植物区系与地理学C010203 植物生理学C01020301 光合作用及固氮C01020302 呼吸作用、采后生理及次生物质代谢C01020303 矿质营养及有机物质运输C01020304 水分生理及抗性生理C01020305 植物激素、生长发育及生殖生理C010204 植物资源学C01020401 植物资源评价C01020402 植物引种驯化C01020403 植物种质保存C01020404 资源植物化学C0103 动物学C010301 动物形态学C010302 动物胚胎学C010303 动物分类学C010304 动物生理学C010305 动物行为学C010306 动物进化和动物遗传学C010307 动物地理学C010309 动物资源与保护生物学C010310 实验动物学C0104 生物化学和分子生物学C010401 生物分子的结构与功能、合成机理及调节过程C01040101 蛋白质与肽C01040102 核酸C01040103 酶C01040104 多糖及糖复合物C01040105 激素C01040106 天然产物化学C010402 生物膜的结构与功能C010403 无机生物化学C0105 生物物理学与生物医学工程学C010501 理论生物物理C01050101 量子生物学C01050102 生物信息论和生物控制论C01050103 生物功能的计算机模拟、生物数学C01050104 生命现象的生物物理理论阐述C010502 环境生物物理C01050201 电离辐射生物物理C01050202 光生物物理C01050203 电磁辐射生物物理C01050204 声生物物理C01050205 其它环境因素对生物的作用C01050206 自由基生物学C010503 生物组织的物理特性C01050301 生物光学C01050302 生物电磁学C01050303 生物声学C01050304 生物力学和生物流变学C01050305 生物组织的其它物理特性C010504 分子生物物理第16 页共39 页C01050401 生物分子结构的运动性C01050402 生物分子的相互作用C01050403 生物分子中的能量传递与电子传递C010505 膜与细胞生物物理C010506 感官与神经生物物理C010507 生物物理技术C010508 生物物理学研究中的新概念和新方法C010509 人工器官C010510 生物医学信号处理C010511 生物医学测量技术C010512 生物系统的建模与应用C010513 生物医学超声C010514 生物医学传感技术C010515 生物材料C010516 生物医学图象C010517 其它生物医学工程学研究C0106 神经生物学C010601 分子神经生物学C010602 细胞神经生物学C010603 系统神经生物学C010604 高级神经生物学C010605 比较神经生物学C010606 发育神经生物学C010607 感觉系统神经生物学C0107 生理学C010701 循环生理学C010702 血液生理学C010703 呼吸生理学C010704 消化生理学C010705 泌尿生理学C010706 内分泌生理学C010707 特殊环境生理学C010708 生殖生理学C010709 年龄生理学C0108 心理学C010801 心理学的基本过程研究C010802 认知心理学C010803 生物心理学C010804 医学心理学(含精神卫生学)C010805 工程心理学C010806 发展与教育心理学C010807 运动心理学C0109 细胞生物学及发育生物学C010901 细胞结构与功能C010902 细胞增长、分裂与分化C010903 模型动植物及实验体系的建立C010904 细胞工程(生物技术和细胞培养)C010905 细胞代谢C010907 细胞信息C010908 胚的成因、形态及其形成C010909 细胞间的作用、演变和再生C0110 遗传学C011001 植物遗传学C011002 动物遗传学C011003 微生物遗传学C011004 人类遗传学C011005 医学遗传学及遗传病第17 页共39 页C011006 细胞遗传学C011007 分子遗传学C011008 基因工程C0111 生态学C011101 生态学一般理论和方法C011102 个体生态学及生理生态学C011103 种群生态学C011104 群落与系统生态学C011105 行为生态学与进化生态学C011106 景观生态学与地理生态学C011107 毒理生态学C011108 保育生态学及恢复生态学C011109 生态管理与农业生态学C011110 其它生态学及环境问题C02 农业科学C0201 农业基础科学C020101 农业数学C020102 农业物理学C020103 农业气象学C020104 农业化学C020105 肥料学C020106 农业系统管理工程C0202 农学C020201 作物栽培学C020202 作物营养学C020203 作物生理学C020204 作物品种资源学C020205 作物遗传育种学C02020501 稻类遗传育种学C02020502 麦类遗传育种学C02020503 其它禾谷类作物遗传育种学C02020504 油料作物遗传育种学C02020505 薯类作物遗传育种学C02020506 棉麻作物遗传育种学C02020507 饲料作物遗传育种学C02020508 糖料作物遗传育种学C02020509 热带、亚热带作物遗传育种学C02020510 其它经济作物遗传育种学C02020511 作物遗传育种新方法C02020512 作物种子学C020206 植物保护学C02020601 病虫测报学C02020602 作物真菌病害C02020603 作物细菌病害C02020604 作物病毒病害C02020605 作物其它病害C02020606 作物虫害C02020607 杂草、鼠害防治C02020608 化学保护(抗药性)C02020609 作物病虫害检疫学C020207 植病生防C020208 害虫生防C020209 抗病、抗虫作物选育C020210 园艺学C02021001 蔬菜学C02021002 瓜果学C02021003 果树学C02021004 食用真菌学第18 页共39 页。
第三章-调和方程
第三章 调和方程
第三章 调和方程
§1 建立方程、定解条件 §2 格林公式及其应用
数学物理方程
第三章 调和方程
§1 建立方程、定解条件
§1.1 方程的导出 §1.2 定解条件和定解问题 §1.3 变分原理
数学物理方程
第三章 调和方程
➢ 物理背景：用于描述稳定或平衡的物理现象。
§1 方程的建立及其定解条件
1
1 1 u ( M )
u ( M 0 ) 4 ( u ( M ) n (r M 0 M ) r M 0 M n) d M S 3 .11
0
(u(M ) n(rM 1 0M)rM 1 0Mu (n M ))dM S 4 2 u u((M M 0 0))
M0在Ω外 M0在Г上 M0在Ω内
对于泊松方程Δu=F ，也有类似公式
就可以运用公式(3.7)了。
( u 1 1 u ) d ( u (1 ) 1 u ) ds 3 .9
\K rr
nr r n
在区域Ω\ K ε内Δu=0，Δ(1/r)=0，在球面Гε上由于
( 1 ) ( 1 ) 1 /r 2 1 / 2 u ( 1 ) d 1 Su d 4 u * S
球，u在球心处的值等于u在该球的边界球面上的积分平均值。用公式表示 可以写为
1
u(M0)4a2 a udS
证：把公式(3.11)运用到球心在M0点，半径为a的球面Гa上，得到
u(M 0)4 1 a(u n(1 r)1 r u n)dS
这里，在球面上
1 ra1 a; n(1 r)aa 1 2
和方程的一个著名实例来自牛顿万有引力。根据万有引力定律，位于(x0， y0，z0)处质量为M的质点对位于(x，y，z)处具有单位质量的质点的引力,其 大小等于M/r2，而作用方向沿着这两点的连线，指向(x0，y0，z0)点，其中r
第十一章 常微分方程边值问题的数值解法
第十一章 常微分方程边值问题的数值解法工程技术与科学实验中提出的大量问题是常微分方程边值问题．本章将研究常微分方程边值问题的数值求解方法.主要介绍三种边界条件下的定解问题和两大类求解边值问题的数值方法,打靶法算法和有限差分方法.11.1 引言在很多实际问题中都会遇到求解常微分方程边值问题. 考虑如下形式的二阶常微分方程),,(y y x f y '='', b x a <<, (11.1.1)在如下三种边界条件下的定解问题: 第一种边界条件:α=)(a y , β=)(b y (11.1.2)第二种边界条件:α=')(a y , β=')(b y (11.1.2)第三种边界条件:⎩⎨⎧=-'=-'1010)()()()(b b y b y a a y a y βα, (11.1.13) 其中0 0, ,00000>+≥≥b a b a .常微分方程边值问题有很多不同解法, 本书仅介绍打靶方法和有限差分方法.11.2 打靶法对于二阶非线性边值问题()()().,,βα==≤≤'=''b y a y b x a y y x f y ，，， (11.2.1)打靶法近似于使用初值求解的情况． 我们需要利用一个如下形式问题初值解的序列：()()v a w a w b x a w w x f w ='=≤≤'='')(,,，，，α， （11.2.2）引进参数v 以近似原边界值问题的解．选择参数k v v =，以使：()()β==∞→b y v b w k k ,lim ， （11.2.3）其中),(k v x w 定义为初值问题（11.2.2）在k v v =时的解，同时()x y 定义为边值问题（11.2.1）的解．首先定义参数0v ，沿着如下初值问题解的曲线，可以求出点),(αa 对应的初始正视图()()v a w a w b x a w w x f w ='=≤≤'='')(,,，，，α． （11.2.4）如果),(0v b w 不严格收敛于β，那么我们选择1v 等值以修正近似值，直到),(0v b w 严格逼近β．为了取得合适的参数k v ，现在假定边值问题（11.2.1）有唯一解，如果),(v x w 定义为初始问题（11.2.2）的解，那么v 可由下式确定：0),(=-βv b w ． （11.2.5）由于这是一个非线性方程，我们可以利用Newton 法求解．首先选择初始值0v ，然后由下式生成序列),)(()),((111-----=k k k k v b dvdw v b w v v β，此处),(),)((11--=k k v b dv dwv b dv dw ， （11.2.6）同时要求求得),)((1-k v b dvdw，因为),(v b w 的表达式未知，所以求解这个有一点难度；我们只能得到这么一系列的值。
一类双调和方程组边值问题正解的研究
、，
一
： ＝ ）
△
０ ０ ０
０ ０
一
０ ０ ０
一
÷Ａ 。 ， 则问题 （ ３ ） 存在一个有界正解。
证 明 记 Ｋ为 Ｘ ＝ ［ ｃ （ ｏ） ］ 中所有 非负 且 在ａ 上为 零 的 向量 函数 构成 的正 锥 ， 则 Ｋ为 中 的 闭 凸集 。 作算 子 ： — ， 使 对 ＶＵ ∈Ｋ， Ｔ Ｕ＝
ＤＭ１ ＝ Ｄ ｕ ２ Ｄｖ Ｉ＝ ２＝ ０
一
ｌ ｌ Ｉ
结合 １ １ ， ｌ＝ “ ２＝ ｌ＝口 ２＝０ ， ∈ａ ， 知Ｕ Ｅ ０ 。
证 明 因为
，
定理 ２ 若（ Ｈ。 ） ， （ Ｈ ２ ）成 立 ， 且 Ｉ ａ （ ｘ ）Ｉ ＜ 双 调 和方 程 组 边 值 问题 正解 的研究
田安 东 ， 钟 金 标
（ 安庆师范学 院 数学与计算科学学 院， 安徽 安庆 ２ ４ ６ １ ３ ３ ）
摘
要 ：以不 动点定理为主要工具证明了一类双调 和方程组边值问题正解的存在性和唯一性 。
文献标 识码 ：Ａ 文章编号：１ ０ ０ ７— ４ ２ ６ ０（ ２ ０ １ ３ ） ０ ４— ０ ０ ０ ８— ０ ３
Ａｖ １ ＝？ ３ ２
ｌ 存在性
设Ａ 为 Ｄ ｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｉ ｅ ｔ 条件 下 一 算子 在 里第
一
—
一
△ ＝ａ Ａｘ ） ｕ ｌ ＋ｂ ２ （ ） ｌ ＋ ｇ （ ｘ ， ｕ ｌ ， １ ）
０ ∈ａ ｒ
。
（ ２ ）
“ ｌ＝ ｕ ２
特征 值 ， 引进范 数 ：
Ｌ Ａ （ ） ＋ － １ Ｆ （ ， ） 。
考察 问题 ：
一类多调和方程的可解性研究
△ １一 １ ２ ｚ Ｅ Ｕ △ ２＝ １ ３ ｚ Ｅ Ｕ
文献［～５ 进行了这方面的研究。本文将多调和 １ ］
方 程 问题 转化 为 椭 圆方 程 组 问题 ， 过研 究 方 程 通 组 问题解 的存 在 性 与惟 一性 ， 而得 到多 调 和 方 进 程 问题解 的 存 在性 与惟 一 性 。同 时 ， 讨 论 了解 也
Ｊ１ ０ ８ ｕ．２ ０
一
类 多 调 和 方 程 的可 解 性 研 究
陈定 元 ， 钟 金 标
（ 安庆师范学 院 数学与计算科学学院 ， 安徽 安庆 ２６ １） ４０ １
摘
要： 多调和方程 问题 的研究是椭 圆形偏微分方程边值 问题研究 的热点之一 ， 章通过将多 调和方程边 值 文
问题 转换 成椭圆形方程组 问题 ， 用不动点原理 以及上调 和函数 的极值原理 ， 明了多调和方 程边值 问题正 利 证 解 的存 在性 ； 同时， 证明了一定条件下正解 的惟一性 ， 最后讨论 了正解 的不存 在性 。
维普资讯
第３ １卷 第 ７期
２０ ０ ８年 ７月
合肥 Ｚ 业 大 学 学报 （ － － 自然科 学版 ）
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ Ｅ ＯＦ Ｈ ＦＥＩＵＮＩ ＶＥＲＳＴＹ ＴＥＣＨＮＯＬ Ｉ ＯＦ ＯＧＹ
Ｖｏ． １ Ｎｏ ７ｉｏ Ｄｉ ｇ ｙ ａ Ｊｎ ｂａ
（ ｈ Ｉ ａｈｅ ｔｃ ｎ ｍ ｐ ｔｎ ｃｅ ｃ ，Ａｎ ｉｇ Ｔｅ ｃ ｅ ｓＣ ｌ ｇｅ Ｃ Ｓ ￣ Ｍ ｔ ｍａ ｉｓａ ｄ Ｃｏ ｕ ｉｇ Ｓ ｉｎ ｅ ｏｆ ｑｎ ａ ｈ ｒ ｌ ，Ａｎｑｎｇ２ ０１ ，Ｃｈｎ ） ｏ ｅ ｉ ４６ １ ｉａ
ｅ ｉｔ ｎ ｅｏ ｈ ｏ ｉｉｅ ｓ ｌ ｔ ｎ ｔ ｈ ｏ ｎ ａ ｙ ｖ ｌ ｅ ｏ ｈ ｏ ｙ ａ ｍｏ ｉ ｑ ａｉｎ ｉ ｒ ｖ ｄ ｂ ｘ ｓｅ ｃ ｆｔ ｅ ｐ ｓｔｖ ｏｕ ｉ ｏ ｔ ｅ ｂ ｕ ｄ ｒ ａｕ ｆｔ ｅ ｐ ｌｈ ｒ ｎｃ ｅ ｕ ｔ ｓ ｐ ｏ ｅ ｙ ｏ ｏ ｍ ｅ ｎ ｆｔ ｅｆｘ ｄ ｐ ｉｔｔ ｅ ｒ ｍ ｎ ｈ ｘ ｒ ｍｅｖ ｌ ｅｐ ｉｃｐ ｅｏ ｕ ｅｈ ｒ ｎ ｃｆ ｎ ｔ ｎ ．Ｔｈ — ａ ｓｏ ｈ ｉｅ ｏｎ ｈ ｏ ｅ ａ ｄ ｔ ｅｅ ｔｅ ａ ｕ ｒｎ ｉｌ ｆｓ ｐ ｒ ａ ｍｏ ｉ ｕ ｃｉ ｓ ｏ ｅＵ
一类调和方程边值问题的级数解
定 理 ５ 边值问 ｛ （，） ｄｘ ，（，） ０ 题 ｕｘ０ ＝ （ 一 ） ｘ
ｉ ｎ
ｎ＝ｌ
（） ３
１
＿ｉ ｓ
ｎ
ｌ
ｌ ‘
孚
证
明 ： 由定 理 ２有
＝ ｌｓｎ ｉ
ｎ＝ｌ
ｓｎ ｉ
孚
（） ４
ｓ ｉ ｎ 罕 ∈ 是备格交，定 得 ［ ｝ 规正系由理 ． ０ 完
３ 一 类 调和 方 程 边 值 问题 的级 数 解
Ｊ ｕ＝０ ， ｏ Ａ 一ｏ ＜Ｘ＜＋ ｏ ｏ， ０＜Ｙ＜ 口
栅３值 Ｉ０ｉ ，口 边 ）ｎ ） 腿１，ｓ （＝ ｕ ＝罕， （＝二ｕ ０ ｘ ｘ ，
维普资讯
２０ ０ ８年第 １期 （ 总第 ５ ） ９期
漳州师 范学院学报（ 自然科学版）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＺｈ ｎ ｚ ｕＮｏ ｍａ ｉｅ ｓｔ （ ｔＳｃ． ｏ ｒ ａ ａ ｇ ｈｏ ｒ ｌ ｏ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｙ Ｎａ． ｉ）
Ｎｏ １ ２ ０ ． ． ０ ８年
文章最后还对 Ｐ ｉｏ 方程进行 了 ｏ ｓｎ ｓ 讨论 ．
关键词 ：广义 函数 ；调和方程 ；级数 中图分类号： Ｏ１ ５２ ７． ６ 文献标识码： Ａ
１ 预备知识
自从 １２ ９５年物 理 学家 Ｄｒｃ在 量 子力 学 的研 究 中 引入 了广义 的 函数之 后 ，物 理学 家就 开始 广泛使 ｉａ 用此 函数并 获得 了相 当 的成功 ．我们 知道 ，方 程及其 定 解 问题 来 自物 理和 一些 技 术领 域 ，因此在 方程 中 出 现 函数 就不 奇怪 了．为 了讨 论方 便 ，我们 先 给 出两 个 定义 ：
五ｆ
（竽 竽） （ ］ ＋
调和函数的性质与应用文献综述
---------------------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------ 调和函数的性质与应用+文献综述摘要：本论文首先讨论了调和函数的最值原理及次调和函数导出的Perron族；然后通过Perron函数将Dirichlet问题的判定转化为了闸函数的存在问题，从而给出了有解性的充分条件；接着通过Green函数法给出了Dirichlet问题的一般解，并讨论了一些其他的边值问题；另外，本文还对调和测度做了一些讨论，并讨论了Phragmén-Lindelöf定理。
论文的主要结构如下：第一章（绪论）介绍了调和函数的一些背景知识。
第二章讨论了调和函数自身的一些性质，主要根据次调和函数的性质引出了Perron族，以此来解决Dirichlet问题。
第三章主要运用Green函数法来讨论Dirichlet问题，1 / 18并讨论了其他边值问题。
第四章主要讨论调和测度和讨论了Phragmén-Lindelöf定理。
关键词调和函数边值问题Green函数极值原理5600毕业设计（论文）外文摘要TitleProperties and Application of Harmonic FunctionsAbstractIn this paper,we firstly discussed the maximum principle of harmonic functions and the Perron family deduced by subharmonic functions.Then we transformed the judgment of the Dirichlet problem to the existence of barrier function by using Perron family,thus we got the sufficient condition of the solution of the Dirichlet problem.Then we utilized the Green's function method to obtain the general solution of the Dirichlet problem,and we also discussed some other boundary value problems.In the---------------------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------end,we discussed the Harmonic Measure and discussed the Phragmén-Lindelöf theorem.The paper mainly consists of the following parts:Chapter one introduced some background knowledge of the harmonic function;Chapter two discusses some properties of harmonic functions,and deduced Perron family by the nature of subharmonic functions,which we could use to solve the Dirichlet problem.偏微分方程包括弦振动方程，热传导方程，拉普拉斯方程，特里谷米方程等。
关于调和方程解的存在性问题的研究
关于调和方程解的存在性问题的研究关于调和函数有一个均值定理,就是说调和函数在某点的任意有
定义的球领域上的面积分和球领域内的体积分的平均值均为该点的值。
而且如果个函数拥有这样的均值性质,那么可以证明它是调和函数,也就是说上面这个定理左右两边是等价的。
从均值性质可以推出非常数调和函数在区域内取不到最值,如果
非常数调和函数在区域的边界上也有定义的话,那么该调和函数必然
只能在区域的边界上取最值。
而且,从定义上来说调和函数仅仅是C2的,但可以由C2推到Coo。
调和函数的各阶导数还可以由不等式控制,这直接推出了它的另一个性质:定义上的有界的调和函数必然是常数。
由不等式还可以推出调和函数必然解析,所以以后可以直接默认它是
解析的。
数学物理方程第四章(调和)
u(M0 )
G(M , M 0 ) f (M )dS n
对泊松问题
2u(M ) F（M）, 内
u | f (M )
u(M 0 )
G(M , M0)F(M
)d V
G(M , M 0 ) n
f
(M )d
S
因此求解狄氏问题就转化为求此区域的格林函数，即
V
(u2v
v2u)dV
S
(u
v n
v
u n
)dS
若u，v均为调和函数
S
(u
v n
v
u n
)dS
0
两式相加
u(M0)
S
u
(
v n
1
4
1 (
n rMM0
)
(
1
4
1 rMM0
v)
u n
5、 极值原理
调和函数的最大、最小值只能在边界上达到
6、 拉普拉斯方程解的唯一性问题
狄氏问题的解唯一确定，牛曼问题的解除了相差一常数 外也是唯一确定的。
数学物理方程
第4章 调和方程
§ 3 格林函数
1
1
1 u
u(M0) 4
(u ( )
)dS
S n rM0M rM0M n
由格林公式
d ( x x0 )d ( y y0 )
三维：( x0 , y0 , z0 ) 处有一个单位点电荷，密度分布函数为
d ( x x0 )d ( y y0 )d (z z0 )
4.2调和函数的基本性质
第四章 调和方程一、小结本章讨论了调和方程、泊松方程的边值问题和调和函数的基本性质。
以三维情形为主。
1．边值问题调和方程和泊松方程通常描述平衡和稳定的自然现象，所以一般只讨论它的边值问题。
按边界条件的不同类型分别称为第一、第二、第三边值问题，又依区域的不同分为内问题和外问题。
这里只涉及到第一、第二边值问题的解法，给出了用分离变量法求解的例子，对有些简单情形可依据具体情况求解。
对调和方程的第一边值问题0()(I)()u u f∆=Ω⎧⎨=∂Ω⎩在内在上的求解着重介绍了格林函数法。
这个方法的基本思想是把问题（I ）的求解转化为格林函数001(,)(,)4ppG p p g p p r π=-其中g 满足00()1(II)()4p pu p u p r π∆=∈Ω⎧⎪⎨=∈∂Ω⎪⎩这时（I ）的解为00(,)()()p G p p u p f p d S n∂Ω∂=-∂⎰⎰而问题( II)是一个具特定边界值的调和方程的第一边值问题,所以格林函数G 只与区域Ω有关,对某些规则的特殊区域,如上半空间、球（或上半平面、圆）可用镜像法求得，从而得到这类区域的问题（I ）的解的积分表达式（泊松公式）。
2．调和函数的性质利用格林公式和基本积分公式得出了调和函数的球面平均值性质和沿任何闭曲面的法向导数积分为零。
这两条性质也是连续函数成为调和函数的充分条件。
由球面平均值性质证明了刘维尔定理和调和函数的极值性质，利用法向导数的积分为零得到了第二边值问题可解得必要条件。
重点: 调和方程第一、第二边值问题的求解 ；基本积分公式；格林公式；格林函数；调和函数的性质。
难点：调和方程第一、第二边值问题的求解；如何找格林函数 二、习题及解答4.1 定解问题和基本解1. 试验证: 1211,(u u r r===在单位球面上都等于1,在球外都满足调和方程.证:2. 举例说明:二维调和方程的第一边值外问题,若在无穷远处不加有界的限制,则解可能不唯一.解：考虑单位圆外的调和函数，它在圆的边界上等于常量1.即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=>+=∂∂+∂∂=+1)1(0122222222y x u yxyu x u显之然1=u 是问题的解，又221ln1yxu ++=也是问题的解。
边值问题的数值解法在具体求解常微分方程时-2022年学习资料
中南大学数学科学与计算技术学院-第八章常微分方程数值解法-=323-z2=-x32+4y2?-y20=0, 20=0。-取h=0.02,用经典R-K法分别求这两个方程组解yx和y2x的计算值y1:和-y2i,然后按 8.6.6得精确解-6=,t2=0.x-y21-的打靶法计算值》：，部分点上的计算值、精确值和误差列于表8 12。-版核防行：小人学影学烧
中南大学数学科学与计算技术学院-第八章常微分方程数值解法-值得指出的是，对于线性边值问题86.2，一个简单 实用的方法是用解-析的思想，将它转化为两个初值问题：-y"+pxyi+qxy =fx-ya=a,ya=0: 「片+px5+gxy2=0,-ly2a=a,y2a=l。-求得这两个初值问题的解yx和y2x,若y2b≠0 容易验证-a高-8.6.6-为线性两点边值问题8.6.2的解。-例8.7用打靶法求解线性边值问题-版核防行 小人学影学烧
中南大学数学科学与计算技术学院-第八章常微分方程数值解法-y”+y-4y=12x2-3x,0<x<1,-1 0=0,y1=2,-其解的解析表达式为yX=x4+x。-解先将该线性边值问题转化为两个初值问题-y0=0, 1=0,-y2+y%-4y2=0,-y20=0,y1=1。-令乙1=2=y?，将上述两个边值问题分别降为一 方程组初值问题-31=-x31+4y1+12x2-3x,-y,0=0,z10=0,-版权防行：小人学影学烧
中南大学数学科学与计算技术学院-第八章常微分方程数值解法-表8-12-Xi-yu-y2i-yx-y-yl-0.2--0.002407991-0.204007989-0.2016000053-,0.2016000 00-0.53×10-8-0.4--0.006655031-0.432255024-0.425600008 -0.4256000000-0.80x108-0.6-0.019672413-0.709927571-0. 2960000830.7296000000-0.83×108-0.145529585-1.06407038 -1.2096000058-1.2096000000-0.58x108-0.475570149-1.524 28455-2.00000000002.0000000000-例8.8用打靶法求解线性边值问题-4y"+y =2x3+16,-y2=8,y3=35/3。-要求误差不超过0.5×106，其解析解是yx=x2+8/x。 解对应于8.6.4的初值问题为-版凤防行：小人学数：学烧
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第１ 期
古 杨 ， 金 标 ： 类 多 调 和 方 程 边 值 问 题 的可 解 性 研 究 钟 一
・ ・ ５
（） 成 ６转变
ｆ △ ＝ ） Ｆ ） 一 ＝ Ａｘ ＋ （，
Ｌ Ｕ ＝ ０
∈
∈
（） ７
其 中 一△ 算 子 的逆 算 子 Ｌ ＝ （ ～ 一△） 一为线 性 紧正算 子 ］ 。 假设 问题 （ ）中的函数 满足 或部 分 满足下 列 条件 （ １ 在不 同定 理 中使用 ） ：
，
Ｆ（ ）： ，
０
，
，
Ｌ＝一△， 方程组 边值 问题 则
… １
ｍ（ ０ ）
收稿 日期 ：２ １ ０ ０ ０～ ６—１ １
０
…
Ｏ
“ ）
基金项 目：安徽省高校省级 自然科学重点项 目（ Ｊ０ ０ ２４） Ｋ２ １Ａ ２ 资助。 作者简介 ：占杨 ， 安徽铜陵人 ， 女， 安庆师范学 院数学与计算科学学院研究生， 专业方向为偏微分力‘ 程
０ 引言
本 文研究 下列 多调和 方程边 值问题 的可解 性 ：
ｍ Ａ ＋ ２ ｌ
△
“
Ｉ ＋
∈
＝ ∈ ０ ａ
∈ａ
∈
∈
（） １
其 中 是 中 Ｃ 区域 。 对 多 （ ）调 和方程 的研究 一直 比较 活跃 ［ 文 献 ［ 双 】 ， 。 ４—６ ］分别讨１ （ ＋２ｄ Ｄ２１ Ｉ Ｉ ／－２ｘ ｆ“一 ｕ） ￣“ ｍ ２１ ｘ
ｌ２ ＝ ： ｍ ｒ ）“ ≤ Ｄ ｆ（“。 ｕｌ ｏ
将 不 式 加 利 （ ） Ｊ 。ｕ２ Ｊ 各 等 相 并 用Ｈ ， Ｄ ４得 ｋ ≤ Ｉ
性 ， 时 ， 明 了一 定 条件 下 正 解 的 唯一 性 ， 论 了 正解 的不 存 在 性 。 同 证 讨 关键 词 ：多 调 和 方程 ；椭 圆方 程 组 ； ｅａ —Ｓｈ ｕｅ 不 动 点 定 理 Ｌ ｒｙ ｃａｄ ｒ 中 图分 类 号 ：Ｏ ７ １５ 文 献 标 识码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１０ ０ ７—４ ６ （ ０ １ Ｏ — Ｏ ４—０ ２０ ２ １ ） １ ０ ０ ４
本 文讨 论 的问题 （ ）比问题 （ ）一（ ）更 为一般 。 问题 （ ）中通 过引入新 变量 ： １ ２ ４ 在 １
“ 一 “０
ｆ ＝ ０ ｕ
一
Ａ ｕ ０
“ 。
ｌ 。 一△“ ＝ｕ
一
Ａ ｌ ＝
｛ △ 一 ｕ ＝ｕ
（） ５； １式 为： 可将（） 转化
一
一
… 一 最 后一 式乘 上 “ ， 后 ， 自在 上积分 ， 利用 Ｇ ｅ ｎ 一 各 并 ｒｅ 第
公 和Ｈ ， ｆ Ｄ Ｉ ＝ ≤ Ｊ‰ 式 （） ｏ 得 。 ｆ 。 寺ｎ２ ） ｌ Ｊ － 二 ＋ ｎ ｒ ， （
ＪＩ“ ＝Ｊ （ ＋； 。Ｄ ｕｚ Ｍ ≤ Ｍ ｕ ２ ）
！
Ａ ｕ２ １ ｍ
： ２ ｍ
∈ｎ
（） ６
ｌ△
一
：
—
Ａ ２ ：／（ ／ ，０ ｍ ７ ） ０＋ ． “ ） ／ ， （
０＝ １＝ … ＝ ２ ＝ ０ ｍ ∈ ａ 力
０ ０
叫 ㈤０ ＝
０ １ ０ Ｏ
１ ０
…
０
… ０
Ｌ ＝０ Ｕ
（ ）
∈
∈ ０２ １
（ ８ ）
只有零解 ， 中 ｔ∈ ［ １ 。 其 ０，］
一
Ａｕ ＝ ｔ１ ０ ｕ
一
Ａ 】 ＝ ｔ２ ｕ
∈
证 明 问题 （ ）中方程 等价 于 ８
一
（） ９
Ａ “ ２
一
１
＝
ｕ２
一
Ａｕ ＝ｔ ） ２ ｍ（ ０
将 （ ）中第 一式乘 ｏ第 二式 乘 ９ ，
２１ 年 ２月 ０１ 第１ ７卷第 １ 期
安庆 师范学 院学报 （自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｌ ｆ ｑｎ ｅ ｃ ｅｓＣ ｌ ｇ （ ｔｒｌ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｍａ ｏ ｉｇＴ ａ ｈ ｒ ｏｌ ｅ Ｎａｕａ Ｓ ｉｎ ｅＥ ｉ ） Ａｎ ｅ ｉ ｏ
Ｆｅ ２ １ ｂ． ０１ Ｖ ． ７ ＮＯ． ｏ１１ １
（ ， ∈ ｃ （ ） （ ｉ Ｈ ） ） ； Ｈ ） ｍ ＝０ （ ）Ｉ ）ｌ ｓ ｌ ）ｌ＜ １ ； Ｈ， ｌ ｍ（ Ｉ： ｕ ｍ（ ；
（ Ａ ＞ １这里 Ａ Ｈ ） ， 是 一△ 算 子在 区域 中 ０一Ｄｒ ｈｅ 边值 问题 的第 一特 征值 ； ｉｃｌｔ ｉ
一
类多调和方程边值问题的可解性研究
古 杨 ， 金 标 钟
（ 安庆师范学院 数学与计算科学学院， 安徽 安 庆 ２ ６ ３ ） ４ １３
摘 要 ：多调和方程边值问题的研究是椭 圆型偏微 分方程 边值问题研究 的热点之一 ， 文通过引入新变 量将 多调 本 和方程边值 问题转换为椭 圆型方程组问题 ， 再利用 Ｌｒｙ—Ｓｈｕ ｅ 不 动点定 理 ， ｅａ ｃａｄｒ 证明 了多调 和方程边值 问题解 的存 在
…
（ ＋） ≥ （＋ ） ｕｕ ２ ＜ 。 ： ｕ “ ２
ｆ ＝ ，（ ＋ｇ ， ） Ａ ｎ ） （ ｕ
１ Ｍ：Ａｕ：０
【 ＝ Ａ ＝ ０
（） ２
ｆ “＝，（ △ ｎ ）一ｎ ） （ △ ＋ ， ，一ａ“ Ｄｕ ／ “ ， ）
『 ｕ＝ｇ ， ） Ａ （ ｕ ∈
（） ３ （） ４
Ｉ ： ａ ：０
∈ａ
（ 为 Ｌｐ ｃ ｉ 连续 函数 ， Ｌｐ ｃ ｉ 系数 Ｌ ＜酬＿ Ｈ５ ｉｓｈｔ ｚ 且 ｉｓｈｔ ｚ １； ＿
（ 『 （）Ｉ＜÷；Ｈ）ｎｆ （） ＞ｌ Ｈ ）Ｉ ｘ 『 ｍ （ ｉ ｘ ｆ 。 ｍ
１ 解 的存在 性与 唯 一性
引 假 Ｈ）（ 成 则 题 理ｌ 设（， Ｈ） 立， 问 ｆ △ 、 一