广东省揭阳市高三数学第一次模拟考试试题 理(揭阳一模)新人教A版
2023年广东省高考模考试数学试卷(一)
2023年揭阳高考模考试数学试卷（一）本试卷共6页，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x＞2}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0，1}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2} 2．已知某圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的表面积为（）A．2πB．3πC．4πD．5π3．已知函数，若m＜n，f（m）＝f（n），则n﹣m的取值范围是（）A．（1，2]B．[1，2）C．（0，1]D．[0，1）4．某单位职工参加某APP推出的“二十大知识问答竞赛”活动，参与者每人每天可以作答三次，每次作答20题，每题答对得5分，答错得0分，该单位从职工中随机抽取了10位，他们一天中三次作答的得分情况如图：根据图，估计该单位职工答题情况，则下列说法正确的是（）A．该单位职工一天中各次作答的平均分保持一致B．该单位职工一天中各次作答的正确率保持一致C．该单位职工一天中第三次作答得分的极差小于第二次的极差D．该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差5．已知复数z满足|z+2﹣2i|＝1，则|z﹣2﹣2i|的最大值为（）A．3B．4C．5D．66．小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字0，5，0，9，1，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码（）A．16B．24C．166D．1807．已知双曲线，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，AA1＝6，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，P为侧棱CC1的中点，则四棱锥P﹣AA1B1B外接球的表面积为（）A．13πB．52πC．104πD．208π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届广东省揭阳市第一中学数学高三第一学期期末统考模拟试题含解析
2025届广东省揭阳市第一中学数学高三第一学期期末统考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（设点A 位于第一象限），过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点1A ，1B ，抛物线C 的准线交x 轴于点K ，若11||2||A KB K =，则直线l 的斜率为 A ．1B ．2C ．22D ．32．已知集合{|lg }M x y x ==，2{|40}N x N x =∈-≥，则M N ⋂为( ) A ．[1,2]B ．{0,1,2}C ．{1,2}D ．(1,2)3．正方体1111ABCD A B C D -，()1,2,,12i P i =是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11A C B 平行的直线有几条（ ）A ．36B ．21C ．12D ．64．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（ ）A ．3()3x f x x=-B ．e e ()x xf x x --= C ．2()f x x x =-D ．||e ()xf x x=5．复数12ii--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知函数有三个不同的零点（其中），则 的值为( )A ．B ．C ．D ．7．抛物线()220y px p =>的准线与x 轴的交点为点C ，过点C 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，使得A 是BC 的中点，则直线l 的斜率为（ ） A ．13±B ．223±C ．±1D ． 3±8．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．50,6⎛⎤⎥ ⎝⎦ B ．5,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ C ．250,5⎛⎤⎥ ⎝⎦D ．25,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭9．函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．10．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图，则此函数表达式为（ ）A ．()3sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()13sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()3sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()13sin 24πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭11．如图，矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，E 是AD 的中点，将ABE △沿BE 折起至A BE '，记二面角A BE D '--的平面角为α，直线A E '与平面BCDE 所成的角为β，A E '与BC 所成的角为γ，有如下两个命题：①对满足题意的任意的A '的位置，αβπ+≤；②对满足题意的任意的A '的位置，αγπ+≤，则( )A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立C ．命题①成立，命题②不成立D ．命题①不成立，命题②成立12．已知函数()222ln 02x x e f x e x x e ⎧<≤=⎨+->⎩，，，存在实数123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（ ） A ．1eB eC 2eD ．21e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省揭阳一中高三数学上学期第一次阶段考试试题 文
揭阳一中高三文科数学阶段考试一一.选择题1．设集合{1,2}A =，则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．82.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ） A 2y x -= B 1y x -= C 2y x = D 13y x = 3.设5log 4a =，()25log 3b =，4log 5c =，则（ ）．Ａ．a c b << Ｂ．b c a << Ｃ．a b c << Ｄ．b a c <<4.曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为 ( ) A 430x y --=. B 410x y --=. C 30x y --=. D 430x y --=5.函数)(x f 的定 义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为( ) A ．（1-，1） B ．（1-，+∞） C ．（∞-，1-） D ．（∞-，+∞）6.设0a >且1a ≠,则“函数()xf x a =在R 上是减函数 ”是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的 ( ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7.要得到函数cos(21)y x =+的图象,只要将函数cos 2y x =的图象（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位 D ．向右平移12个单位 8．已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x)又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0，则a 的取值范围是（ ）A ．(22，3)B ．(3，10)C ．(22，4)D ．(－2，3)9.若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x a+-≤⎧⎪⎪--≤⎨⎪≥⎪⎩,则实数a 的最大值为（ ）A ．-1B ．1C ．32D ．2 10.设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()(4)f x f x =+，且当[2,0]x ∈-时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围为（ ）A. (1,2)B.(2,)+∞C.D.2)二.填空题 11．设函数)3(2log )(x x f -=，则函数)3(x f 的定义域是___________.12.函数222x x y --=的值域是 .13.设点(m,n)在直线x + y = 1上位于第一象限内的图象上运动，则log 2 m ＋log 2 n 的最大值是___________14.设函数2()1f x x =-，对任意 x ∈3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 .三解答题15.已知函数21()cossin cos 2222x x x f x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和值域;(Ⅱ)若()10f α=,求sin 2α的值.16. 已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数，命题q ：当x ∈[12，2]时，函数f (x )＝x＋1x ＞1c恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求c 的取值范围．17. 已知函数f(x)自变量取值区间A ，若其值域区间也为A ，则称区间A 为f(x)的保值区间(1).求函数f(x)=x 2形如[),n +∞,n R ∈的保值区间（2）g(x)=x-ln(x+m)的保值区间是[)2,+∞，求m 的取值范围。
【数学】广东省揭阳市高三第一次模拟考试试卷(理)
广东省揭阳市高三第一次模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|60}A x x x =+-<，(2,2)B =-，则A C B = （ ） A ．(3,2)--B ．(3,2]--C ．(2,3)D ．[2,3)2．已知向量(1,2),(2,1),(1,)a b c λ==-=，若()a b c +⊥，则λ的值为（ ） A ．3-B ．13-C ．13D ．33．已知z 是复数z 的共轭复数，(1)(1)z z +-是纯虚数，则||z =（ ） A ．2B ．32C ．1D ．124．若3sin(2)25πα-= ，则44sin cos αα-的值为（ ） A ．45 B ．35 C ．45-D ．35-5．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产 方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人， 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务 的工作时间（单位：min ）绘制了如右茎叶图：则下列结论中表述不正确．．．的是（ ） A. 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟 B. 第二种生产方式比第一种生产方式效率更高 C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟.6. 函数()f x 在[0,)+∞单调递减，且为偶函数．若(12)f =-，则满足3()1x f -≥-的x 的 取值范围是（ ） A ．[1,5]B ．[1,3]C ．[3,5]D ．[2,2]-7. 如图，网格纸上虚线小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ）A ．643B ．52C ．1533D ．56 8．某班星期一上午安排5节课，若数学2节，语文、物理、化学各1节，且物理、化学不 相邻，2节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数为（ ） A ．6 B ．12 C ．24 D ．489. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两焦点且与x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为（ ） A1 BC ．32D ．210. 选图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC 为直角三角形，四边形DEFC 为它的内接正方形，记正方形为区域Ⅰ，图中阴影部分为区域Ⅱ，在△ABC 上任取一点，此点取自区域Ⅰ、Ⅱ的概率分别记为1p 、2p ，则（ ）A ．12p p =B ．12p p <C ．12p p ≤D ．12p p ≥11．已知△ABC 中，AB =AC =3，sin 2sin ABC A ∠= ，延长AB 到D 使得BD =AB ，连结 CD ，则CD 的长为（ ） A ．BCD．12．已知函数()cos f x x π=，1()(0)2ax g x e a a =-+≠，若12[0,1]x x ∃∈、，使得 12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是（ ）BA ．1[,0)2-B ．1[,)2+∞C ．1[,0)[,)2-∞+∞D ．11[,0)(0,]22- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．命题“对2[1,1],310x x x ∀∈-+->”的否定是 _______； 14．在曲线()sin cos f x x x =-，(,)22x ππ∈-的所有切线中，斜率为1的切线方程为 .15．已知圆锥的顶点为S ，底面圆周上的两点A 、B 满足SAB ∆为等边三角形，且面积为8，则圆锥的表面积为 .16. 已知点P 在直线210x y +-=上，点Q 在直线230x y ++=上，M 00(,)x y 为PQ 的 中点，且0021y x >+，则y x 的取值范围是 . 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分 17.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23nn S p m =⋅+，（其中p m 、为常数），又123a a ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3log n n b a =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．18.（12分）如图，在四边形ABED中，AB//DE，AB⊥BE，点C在AB上，且AB⊥CD，AC=BC=CD=2，现将△ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置，且PE与平面PBC所成的角为45°.（1）求证：平面PBC⊥平面DEBC；（2）求二面角D-PE-B的余弦值.19.（12分）某地种植常规稻A 和杂交稻B ，常规稻A 的亩产稳定为500公斤，今年单价为3.50元／公斤，估计明年单价不变的可能性为10%，变为3.60元／公斤的可能性为60%，变为3.70元／公斤的可能性为30%．统计杂交稻B 的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如下；统计近10年来杂交稻B 的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为(,)(1,2,10)i i x y i =，并得到散点图如下，参考数据见下．（1）估计明年常规稻A 的单价平均值；（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻B 的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率； （3）判断杂交稻B 的单价y （单位：元/公斤）与种植亩数x （单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出y 关于x 的线性回归方程；调查得知明年此地杂交稻B 的种植亩数预计为2万亩．若在常规稻A 和杂交稻B 中选择，明年种植哪种水稻收入更高？ 统计参考数据： 1.60x =， 2.82y =，101()()0.52iii x x y y =--=-∑，1021()0.65ii x x =-=∑，附：线性回归方程ˆybx a =+，121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑．20.（12分）已知点2P 在椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>上，椭圆C 的焦距为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率为定值k 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且满足22||||OA OB +的值为常数，（其中O 为坐标原点） （i ）求k 的值以及这个常数；（ii ）写出一般性结论（不用证明）：斜率为定值k 的直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于A 、B 两点，且满足22||||OA OB +的值为常数，则k 的值以及这个常数是多少？21.（12分）设函数1()ln f x ax x b x=-++()∈a b R 、， （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点1x 、2x ，求证：121222x x ax x ++>．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. [选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（∈a R ,a 为常数），过点(2,1)P 、倾斜角为30︒的直线l的参数方程满足22x =+，（t 为参数）． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且||||2PA PB ⋅=，求a 和||||||PA PB -的值．23. [选修4-5：不等式选讲] (10分） 已知函数()|1||1|f x x x =+--， （1）求函数()f x 的值域；（2）若[2,1]x ∈-时，()3f x x a ≤+，求实数a 的取值范围．【参考答案】一、选择题递增，由()(22)1f f =-=-，则23215x x -≤-≤⇒≤≤.故选D . 法二：由3()1x f -≥-得()2)3(f x f ≥-或3()(2)x f f ≥--，即303532x x x-≥⎧⇒≤≤⎨-≤⎩或301332x x x -<⎧⇒≤<⎨-≥-⎩，综合得15x ≤≤.7. 由三视图知该几何体为一长方体与一直三棱柱的组合体，其体积为2143414562⨯+⨯⨯⨯=.8. 第一步：将两节数学捆在一起与语文先进行排列有22A 种排法，第二步：将物理、化学在 第一步排后的3个空隙中选两个插进去有23A 种方法，根据乘法原理得不同课程安排种数为222312=A A .9. 将x c =代入双曲线的方程得4222b b y y a a =⇒=±，则222b c ac c a a=⇒=- 11e e⇒-=，解得e =. 10. 法一：设△ABC 两直角边的长分别为,a b ，其内接正方形的边长为x ，由x b xa b -=abx a b=+，则122()ab p a b =+，222122211()()ab a b p p a b a b +=-=-=++22()ab a b ≥+（当且仅当 a b =时取等号）． 法二（特殊法）：设1,2,BC AC ==CD x =，则23x =，故12445,1999p p ==-=，从而 排除A 、D ，当△ABC 为等腰直角三角形时12p p =，排除B ，故选C ． 11. 由sin 2sin ABC A ∠=结合正弦定理得1322BC AC ==，在等腰三角形ABC 中311cos 434ABC ∠=⨯=，从而1cos 4DBC ∠=-，由余弦定理得：2222cos CD BD BC BD BC DBC =+-⋅⋅∠272=，故CD =.12. 设F 、G 分别为函数()f x 与()g x 定义在区间上[0,1]上的值域，则[1,1]F =-,当a >0时1a e >，1()()2a x g x e a =-+单调递增，当a <0时，()g x 单调递减， 31[,],(0);2213[,],(0).22a a a e a a G e a a a ⎧-+-+>⎪⎪=⎨⎪-+-+<⎪⎩12[0,1]x x ∃∈、使得12()()f x g x =FG φ⇔≠()()003111122131122a a a a a e a e a a ⎧⎧⎪⎪><⎪⎪⎪⎪⇔-+≤-+≤⎨⎨⎪⎪⎪⎪-+≥--+≥-⎪⎪⎩⎩或2，因为1()2a h a e a =-+在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递减，所以3()(0)2h a h >=， 所以解得()1式12a ⇔≥，()2式⇔∅. 二、填空题【解析】14.设切点为00(,)x y ，则由000'()cos sin 1f x x x =+=且0(,)22x ππ∈-，得00x =， 01y =-，故所求的切线方程为10x y --=（或1y x =-）.15. 设圆锥母线长为l ,由SAB ∆为等边三角形，且面积为24l =⇒=，又 设圆锥底面半径为r ，高为h ，则由轴截面的面积为8得8rh =，又2216r h +=，解得r =（或设轴截面顶角为S ，则由21sin 82l S =得90S =︒，可得圆锥底面直径2r =，）故2=1)S rl r πππ+=表.16. 因直线210x y +-=与230x y ++=平行，故点M 的轨迹为与两直线距离相等且平行 于两直线的直线，其方程为210x y ++=，即点M 00(,)x y 满足00210x y ++=，而满足 不等式0021y x >+的点在直线21y x =+的上方，易得直线210x y ++=与21y x =+的交点为31(,)55--，故问题转化为求射线（不含端点）00210x y ++=（035x <-）上的点 M 00(,)x y 与坐标原点(0,0)连线斜率、即00y x 的取值范围, 故0011(,)23OM y k x =∈-.三、解答题17.解：（1）由123a a ==得36p m +=，122()912a a p m +=+=，解得1,3p m ==，-------------------------------------------------------------------------------2分即233nn S =+，-------------①当2n ≥时，11233n n S --=+-------------②①-②得1233n n n a -=-，即13(2)n n a n -=≥，--------------------------------------------4分∵ 13a =不满足上式， ∴13,1;3, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩----------------------------------------------------------------------------------6分（2）依题意得31,1;log 1, 2.n n n b a n n =⎧==⎨-≥⎩-------------------------------------------------------7分当1n =时，1113T a b ==， 当2n ≥时，112233n n n T a b a b a b a b =++++213131323(1)n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-223133131323(2)3(1)n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-两式相减得：231233333(1)n n n T n --=-++++-⨯----------------------------------9分13(31)63(1)31n n n -⨯-=-+-⨯--3(32)152n n --=3(23)154n n n T -+=.-------------------------------------------------------------------------------11分 显然当1n =时，13T =符合上式 ∴3(23)154n n n T -+=-------------------------------------------------------------------------------12分 18.（1）证明：∵AB ⊥CD ，AB ⊥BE ，∴CD //EB ，--------------------------1分∵AC ⊥CD ，∴PC ⊥CD ，∴EB ⊥PC ，--------------------------------------------------------3分 且PC ∩BC =C ，∴EB ⊥平面PBC ，----------------------------------------------------------------------------------4分 又∵EB ⊂平面DEBC ，∴平面PBC ⊥平面DEBC ； ---------------------------------------5分（2）解：由（1）知EB ⊥平面PBC ，∴EB ⊥PB ，由PE 与平面PBC 所成的角为45°得∠EPB =45°，--------------------------------6分∴△PBE 为等腰直角三角形，∴PB =EB ，∵AB //DE ，结合CD //EB 得BE =CD =2，∴PB =2，故△PBC 为等边三角形，--------------------7分取BC 的中点O ，连结PO ，∵ PO ⊥BC ，∴PO ⊥平面EBCD ，--------------------8分以O 为坐标原点，过点O 与BE 平行的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图，则(010),(2,1,0),(2,1,0)B E D -，，，P ，从而(0,2,0)DE =,(2,0,0)BE =, (2,1,PE = ，设平面PDE 的一个法向量为(,,)m x y z =，平面PEB 的一个法向量为(,,)n a b c =，则由00m DE m PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020y x y =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令2z =-得(3,0,2)m =--，----------------9分由00n BE n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，令1c =得(0,3,1)n =，------------------------10分 设二面角D -PE -B 的大小为θ，则cos ||||7m n m n θ⋅===⋅⨯， 即二面角D -PE -B 的余弦值为-.----------------------------------------------------------------12分 （其它解法请参照给分！） 19.解：（1）设明年常规稻A 的单价为ξ，则ξ的分布列为3.62，估计明年常规稻A 的单价平均值为3.62（元／公斤）；----------------------------------------3分（2）杂交稻B 的亩产平均值为：[(730790800)0.005(740780)0.01(750770)0.027600.025]10++⨯++⨯++⨯+⨯⨯ 116152304190762=+++=．--------------------------------------------------------------------5分 依题意知杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率为：0.2+0.1+0.52=0.4p =⨯，则将来三年中至少有二年，杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率为： 22330.4(10.4)0.40.352C ⨯⨯-+=．--------------------------------------------------------------7分（3）因为散点图中各点大致分布在一条直线附近，所以可以判断杂交稻B 的单价y 与种植亩数x 线性相关， ----------------------------------------------------8分由题中提供的数据得：0.520.80.65b -==-，由y bx a =+ 2.820.8 1.60 4.10a y bx =-=+⨯=，所以线性回归方程为ˆ0.8 4.10yx =-+，------------------------------------10分 估计明年杂交稻B 的单价ˆ0.82 4.10 2.50y=-⨯+=元／公斤； 估计明年杂交稻B 的每亩平均收入为762 2.501905⨯=元／亩，估计明年常规稻A 的每亩平均收入为500()500 3.621810E ξ⨯=⨯=元／亩，因1905>1875，所以明年选择种植杂交稻B 收入更高． -----------------------------12分20.解：（1）由点P 在椭圆上得223112a b +=，2c =2， -------------------------------1分 2222322b a a b ∴+=，c =1，又222a b c =+，222232(1)2(1)b b b b ∴++=+，422320b b ∴--=，解得22b =，得23a =，∴椭圆C 的方程为22132x y +=；----------------------------------------4分 （2）（i ）设直线l 的方程为y kx t =+，联立22132x y +=，得222(32)6360k x ktx t +++-=， ∴2121222636(1)(2)3232kt t x x x x k k -+=-=++------------------------------------------5分 又22112(1)3x y =-，22222(1)3x y =-， 2222221122||||()()OA OB x y x y +=+++ 22121()43x x =++212121[()2]43x x x x =+-+ 22221636[()2]433232kt t k k -=-⨯+++ 222221(1812)362443(32)k t k k -++=⨯++----------------------------------------------------------------8分 要使22||||OA OB +为常数，只需218120k -=，得223k =，------------------------------9分 ∴22||||OA OB+212424453(22)+=⨯+=+， ∴k ==，这个常数为5； ----------------------------------------------------------10分 （ii ）b k a =±，这个常数为22a b +．------------------------------------------------------------12分 21.解：（1）222111'()(0)ax x f x a x x x x--=--=>，--------------------------------1分 设2()1(0)g x ax x x =-->，①当0a ≤时，()0g x <，'()0f x <；------------------------------------------------------------2分 ②当0a >时，由()0gx =得x =0x =<， 记x =0x =则201()1()(),(0)2g x ax x a x x x x a =--=-->，∵102x a-> ∴当0(0,)x x ∈时，()0g x <，'()0f x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，'()0f x >，--------------------------------------4分∴当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x在(0,上单调递减，在)+∞上单调递增．---5分 （2）不妨设12x x <，由已知得1()0f x =，2()0f x =， 即1111ln ax x b x =--，2221ln ax x b x =--，---------------------------------------------------6分 两式相减得21212111()ln ln ()a x x x x x x -=---， ∴212121ln ln 1x x a x x x x -=+-，---------------------------------------------------------------------------7分 要证121222x x ax x ++>， 即要证2112122121ln ln 122()x x x x x x x x x x -++>+-， 只需证21121221ln ln 2x x x x x x x x -+>⋅⋅-， 只需证222121212ln x x x x x x ->，即要证2121212ln x x x x x x ->，---------------------------------------9分 设21x t x =，则1t >，只需证12ln t t t->，------------------------------------------------------10分 设1()2ln (1)h t t t t t=-->，只需证()0h t >， 222221221(1)'()10t t t h t t t t t -+-=+-==>， ()h t ∴在(1,)+∞上单调递增，()(1)0h t h ∴>=，得证．---------------------------------------------------------------------------12分22.解：（1）由22cos 2a ρθ=得2222(cos sin )a ρθθ-=， -------------------------1分 又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=，-------------------------------------------------------------------2分 ∵过点(2,1)P 、倾斜角为30︒的直线l的普通方程为2)13y x =-+，--------------3分由22x t =+得112y t =+ ∴直线l的参数方程为212x ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数）；-------------------------------------------5分（2）将212x ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入222x y a -=，得221)2(3)0t t a ++-=，----------------------------------------------------------------6分依题意知221)]8(3)0a ∆=-->则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、B 对应的参数，∵2122(3)t t a ⋅=-，由参数t 的几何意义知1212||||||||||PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得12||2t t ⋅=，∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即22(3)2a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±，-------------8分 ∵1212||||||||||||||PA PB t t t t -=-=+，又121)t t +=-，∴||||||2PA PB -=．-------------------------------------------------------------------------10分 23.解：（1）法一：|()|||1||1|||(1)(1)|2f x x x x x =+--≤+--=，∴ 2()2f x -≤≤， ()f x 的值域为[-2, 2]；----------------------------------------------------4分 法二：2,1()2,112,1x f x x x x -<-⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩，得2()2f x -≤≤，∴()f x 的值域为[-2, 2]；----------------------------------------------------------------------------4分 （2）由()3f x x a ≤+得|1||1|3a x x x ≥+---，由[2,1]x ∈-得10x -≤，∴ |1|13|1|21a x x x x x ≥++--=+--，----------------------------------------------------5分 设()|1|21g x x x =+-- (21)x -≤≤，①当21x -≤≤-时，10x +≤，()(1)2132g x x x x =-+--=--，∴ max ()(2)4g x g =-=；--------------------------------------------------------------------------7分 ②当11x -<≤时，10x +>，()121g x x x x =+--=-，∴ ()(1)1g x g <-=；-------------------------------------------------------------------------------9分 综上知，max ()4g x =，由()a g x ≥恒成立，得4a ≥，即a 的取值范围是[4,)+∞．---------------------------------10分。
广东省揭阳市第一次模拟考数学试题(理科)
绝密★启用前2008年揭阳市高中毕业班第一次高考模拟考试题数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时l20分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合2{cos0,sin 270},{|0}A B x x x ==+=则AB 为A ． {0,1}-B ．{1,1}-C ．{1}-D ．{0}2．设i 为虚数单位，则()61i +展开式中的第三项为A 30 iB 15i -C 30D 15-3．,,a b c 为互不相等的正数，且222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是A.a b c >>B.b c a >>C.b a c >>D.a c b >> 4．计算机的价格大约每３年下降23，那么今年花8100元买的一台计算机，９年后的价格大约是A. 2400元B. 900元C. 300元D. 100元5．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了右边一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是A.22y x =-B.21(1)2y x =- C.2log y x = D. 1()2x y = 6．两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是,b a >则双曲线12222=-b y a x 的离心率为A ．53BC ．54D7．对a ∀、b R ∈，运算“⊕”、“⊗”定义为：a b ⊕=,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩，a b ⊗=,().()a a b b a b ≥⎧⎨<⎩，则下列各式其中恒成立的是⑴a b a b a b =+⊗+⊕ ⑵a b a b a b =-⊗-⊕ ⑶[][]a b a b a b =⋅⊗⋅⊕ ⑷[][]a b a b a b =÷⊗÷⊕A. ⑴、⑵、⑶、⑷B. ⑴、⑵、⑶C. ⑴、⑶D.⑵、⑷8．已知：0{(,)|y x y y ≥⎧⎪Ω=⎨≤⎪⎩，直线2y mx m =+和曲线y =有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ，若2()[,1]2P M ππ-∈，则实数m 的取值范围为[] A ．1[,1]2B． C． D ． [0,1]二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分．9．由抛物线2y x =和直线2x =所围成图形的面积为________________．10．已知点P(2,1)在圆C ：2220x y ax y b ++-+=上，点P 关于直线10x y +-=的对称点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为 、半径为 ． 11. 设010211()cos ,()'(),()'(),,()'()n n f x x f x f x f x f x f x f x +====,,n N *∈则2008()f x ．12．某中学号召学生在暑假期间至少参加一次社会公益活动（以下简 称活动）．该校文学社共有100名学生，他们参加活动的次数统计如俯视图侧视图正视图E D CB A P 右图所示．则该文学社学生参加活动的人均次数为 ；从文学 社中任意选两名学生，他们参加活动次数不同的概率是 ． 13. （几何证明选讲选做题） 如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD AB ⊥于点D ，且4AD DB =，设COD θ∠=，则cos 2θ＝ ．14. (不等式选讲选做题) 函数y=的最大值为 ． 15．(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，已知直线过点（1，0），且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为3π，则直线的极坐标方程为______________. 三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知：向量(3,1)a =- ，(sin 2,b x =cos2)x ，函数()f x a b =⋅ （1）若()0f x =且0x π<<，求x 的值；（2）求函数()f x 的单调增区间以及函数取得最大值时，向量a 与b 的夹角． 17．（本小题满分13分） 已知函数3211()(1)32f x x a x ax =-++ ()a R ∈，函数()'()g x f x = (1)判断方程()0g x =的零点个数；(2)解关于x 的不等式()0g x >，并用程序框图表示你的求解过程．18．（本小题满分14分）已知一四棱锥P －ABCD 的三视图如下，E 是侧棱PC 上的动点。
广东省揭阳市高考一模数学理科试卷
广东省梅州揭阳两市高三第一次联考数学理科一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目的要求的.)1． 设复数z 满足12ii z+=，则z =（ ） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i - D ．2i +2．设0<x<1，则a=2x ，b=1+x ， c=x-11中最大的一个是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．不能确定3．已知方程0,,0(022>≠≠=++=+c b a ab c by ax ab by ax 其中和，它们所表示的曲线可能是（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．4．已知直线n m ,和平面α，则//m n 的一个必要非充分条件是( ) A ．//m α且α//n B ．m α⊥且α⊥n C ．//m α且α⊂n D ．,m n 与α所成角相等5．设变量y x ,满足约束条件0021x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则1y x +的最大值是( )A ．1B ．14 C ．12D ．26．等差数列{}n a 的前n 项和为等于则若982,12,S a a S n =+（ ）A ．54B ．45C ．36D ．277．圆)(022044222R x t y tx y x y x ∈=---=-+-+与直线的位置关系（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能8．在棱长为1的正四面体ABCD 中，E 是BC 的中点，则AE CD ⋅=（ ）A ．0B ．12 C ．12- D ．14-二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,满分30分.9．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1)(0)N σσ>，．若ξ在(01)，内取值的概率为0.4，则ξ在(02)，内取值的概率为 ．10．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的分配方案有 种(用数字表示) 11． 在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,且ca bC B +-=2cos cos , 则角B 的大小为12．已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2 的圆,则此几何体的外接球的表面积为13．函数xe y 2=图像上的点到直线042=--y x 距离的最小值是 _14．类比是一个伟大的引路人。
广东省揭阳市高三数学第一次模拟考试试题 文(揭阳一模)新人教A版
揭阳市2014年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科) 2014.3.22本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足：34iz i =+，则z =A ．34i --B ．43i +C ．43i -D ．43i -+ 2．设函数()1f x x=-M ，则R C M = A. (,1)-∞ B.(1,)+∞ C. (,1]-∞ D. [1,)+∞3．设平面α、β，直线a 、b ，,a b αα⊂⊂，则“//,//a b ββ” 是“//αβ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4．下列函数是偶函数，且在[0,1]上单调递增的是 A.sin()2y x π=+B. 212cos 2y x =-C.2y x =- D. |sin()|y x π=+5．如图(1)所示的程序框图，能使输入的x 值与输出的y 值 相等的所有x 值分别为A.1、2、3B.0、1C.0、1、3D.0、1、2、3、4. 图（1）6．一简单组合体的三视图如图（2）所示，则该组合体的 体积为A.16π-B.124π-C.122π-D.12π- 7．已知向量a 、b 满足||1,||3a b ==，且(32)a b a -⊥，则a 与b 的夹角为 图（2） A.6π B.4π C.3π D.2π图（3）0.0150频率/组距0.0100（km/h ）0.00508．若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的取值范围是A.[0，4]B.[4，6]C.[2，4]D. [2，6]9．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为120，则双曲线C 的离心率为 A.32623310．从[0,10]中任取一个数x ，从[0,6]中任取一个数y ，则使|5||3|4x y -+-≤的概率为 A ．12B ．59C ．23 D ．512二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）11．若点(,27)a 在函数3xy =的图象上，则tanaπ的值 为 ．12．根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机 动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如图(3)所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速 度为60 km/h~120 km/h ，则该时段内过往的这100辆机 动车中属非正常行驶的有 辆，图中的x 值为 ．13．对于每一个正整数n ，设曲线1n y x +=在点（1,1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =，则1299a a a +++= ．（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线l :132x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数且t R ∈）与曲线C :22x cos y cos αα=⎧⎨=+⎩(α是参数且[)02,απ∈)，则直线l 与曲线C 的交点坐标为 .15.（几何证明选讲选做）如图(4)，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，CD =2，DE ⊥AB ，垂足为E ， 且E 是OB 的中点，则BC 的长为 ．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数sin 2()2sin .sin xf x x x=+ （1）求函数()f x 的定义域和最小正周期； （2）若()2,[0,],f ααπ=∈求()12f πα+的值．17. （本小题满分12分）图(5)是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．（1）求此人到达当日空气质量优良的概率;（2）求此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率． 18．（本小题满分14分）如图(6)，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，侧棱SA⊥底面ABCD ， 过A 作AE 垂直SB 交SB 于E 点，作AH 垂直SD 交SD 于H 点，平面 AEH 交SC 于K 点，P 是SA 上的动点，且AB=1，SA=2． （1）试证明不论点P 在何位置，都有DB PC ⊥； （2）求PB PH +的最小值；（3）设平面AEKH 与平面ABCD 的交线为l ，求证：//BD l ． 19．（本小题满分14分）.已知曲线C 的方程为：222240(0,ax ay a x y a a +--=≠为常数）．（1）判断曲线C 的形状；（2）设曲线C 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B （A 、B 不同于原点O ），试判断△AOB 的面积S 是否为定值？并证明你的判断；（3）设直线:24l y x =-+与曲线C 交于不同的两点M 、N ，且||||OM ON =，求曲线C 的方程． 20．（本小题满分14分）已知正项数列{}n a 满足:222(1)()0()n n a n n a n n n N +-+--+=∈，数列{}n b 的前n项和为n S ，且满足11b =，21n n S b =+()n N +∈．(1) 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设(21)nn nn b c a +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：21n T <． 21．（本小题满分14分）已知函数2()ln 1,()1bf x a xg x x x=+=+-，(,a b R ∈)． （1）若曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴，求b 的值； （2）当0a >时，若对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，求实数a 的取值范围； （3）设()()()p x f x g x =+，在（1）的条件下，证明当0a ≤时，对任意两个不相等的正数12,x x ，有()()121222p x p x x x p ++⎛⎫> ⎪⎝⎭．揭阳市2014年高中毕业班高考第一次模拟考 数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：CDBDC DADBA 解析：6.由三视图知，此组合体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体、中心去除一个半径为1的圆柱，故其体积为23411112ππ⨯⨯-⨯⨯=-7.由(32)a b a -⊥得2(32)3||20a b a a a b -⋅=-⋅=233||||||cos ,22a b a a b a b ⇒⋅===⋅<>，3cos ,,2623a b a b π<>==⇒<>=． 8. 如右图知，满足条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩的点为图中阴影部分，当2z x y =+过点（2,0）时，z 取得最小值2，当2z x y =+过点（2,2）时，z 取得最 大值6，故选D.9.不妨设双曲线的焦点在x 轴，因c b >，故30OFB ∠=,3tan 30b c == 22222211()3b c a a c c c -⇒==-=236()22c e a ⇒=⇒=,选B.10.如右图，使|5||3|4x y -+-≤是图中阴影部分，故所求的概率141+412==60602S P ⨯⨯⨯=阴影（）3.二、填空题：1112．15、0.0175； 13．-2； 14．（1，3）; 15. . 解析：12.由直方图可知，这100辆机动车中属非正常行驶的有0.0025+0.00520100=15⨯⨯（）（辆），x 的值=[1(0.00250.00500.01000.0150)20]200.0175-+++⨯÷=. 13．由1n y x +=得'(1)ny n x =+，则曲线在点（1,1）处的切线方程为1(1)(1)y n x -=+-，令y =得1n n x n =+，lg lg1n n n a x n ==+，12991299lg()23100a a a +++=⨯⨯⨯1lg 2100==- 14．把直线l 的参数方程化为普通方程得25x y +=，把曲线C 的参数方程化为普通方程得212(11)y x x =+-≤≤，由方程组212(11)25y x x x y ⎧=+-≤≤⎨+=⎩解得交点坐标为（1，3）15．DE 为OB 的中垂线且OD=OB ，∴OBD ∆为等边三角形，060COD ∠=，,3333OD BC OC OB ==-=-= 16．解：（1）由0sin x ,≠解得x k (k Z )π≠∈，所以函数f (x )的定义域为{x|x k (k Z )}π≠∈------------------------2分sin 2()2sin 2cos 2sin cos cos sin )sin().sin 444x f x x x x x x x x πππ=+=+=+=+---4分f (x )∴的最小正周期221T ππ==-----------------------------------6分 （2）解法1：由()2cos sin 12cos sin 0,f ααααα=⇒+=⇒=---------------------8分[0,]απ∈且sin 0α≠，.2πα∴=------------------------------------10分∴5()sin()124126f ππππαα+=++==------------------------------------12分【解法2：由()2,[0,],f ααπ=∈得sin cos 1αα+=cos 1sin αα⇒=-，代入22sin cos 1αα+=得22sin (1sin )1αα+-=2sin (sin 1)0αα⇒-=，-----8分P DABSHsin 0α≠ ∴sin 1α=，又[0,]απ∈，.2πα∴=---------------------------------10分∴5()sin()124126f ππππαα+=++==------------------------------------12分】 17.解：（1）在2月1日至2月12日这12天中，只有5日、8日共2天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率21126P ==.-----------------------5分 （2）根据题意，事件“此人在该市停留期间至多有1天空气重度污染”，即“此人到达该市停留期间0天空气重度污染或仅有1天空气重度污染”.--------------------6分 “此人在该市停留期间0天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或8日或9日”.其概率为31124=，----------------------------------------------8分 “此人在该市停留期间仅有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是3日或5日或6日或7日或10日”.其概率为512，-----------------------------------10分 所以此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率为.P=1524123+=.-----------12分18．（1）证明：∵底面ABCD 是正方形∴DB AC ⊥,------------------------------1分 ∵SA⊥底面ABCD,BD ⊂面ABCD ，∴DB SA ⊥,---------------------2分 又SAAC A =∴BD ⊥平面SAC ,∵不论点P 在何位置都有PC ⊂平面SAC ,∴DB PC ⊥．----------------------------------------------3分 （2）解：将侧面SAB 绕侧棱SA 旋转到与侧面SAD 在同一平面内，如右图示， 则当B 、P 、H 三点共线时，PB PH +取最小值，这时，PB PH +的最小值即线段BH 的长，--------------------------------------------4分 设HAD α∠=,则BAH πα∠=-， 在Rt AHD ∆中，∵SA AD AH SD ⋅==,∴cos AH AD α==分在三角形BAH 中，有余弦定理得：2222cos()BH AB AH AB AH πα=+-⋅-41712(55=+-=∴min 85()5PB PH BH +==．------------------------------------------------------------8分(3) 连结EH ，∵AB AD =,SA SA =,∴Rt SAB Rt SAD ∆≅∆，∴SB SD =，---------------------------------------------------------------9分 又∵,AE SB AH SD ⊥⊥,∴AE AH =，∴Rt SEA Rt SHA ∆≅∆，∴SE SH =，-----------------------------------------------------------10分 ∴SE SHSB SD=, ∴//EH BD ,---------------------------------------12分 又∵EH ⊂面AEKH ，BD ⊄面AEKH , ∴//BD 面AEKH. ----------------------------13分 ∵平面AEKH⋂平面ABCD=l ， ∴//BD l -----------------------------------------------------14分19.解：（1）将曲线C的方程化为22420x y ax y a +--=⇒222224()()x a y a a a-+-=+--2分 可知曲线C是以点2(,)a a为圆心，以224a a +为半径的圆．-----------------------------4分 （2）△AOB 的面积S 为定值．-------------------------------------------------------------------5分 证明如下：在曲线C 的方程中令y=0得(2)0ax x a -=，得点(2,0)A a ，---------------------------6分在曲线C 的方程中令x=0得(4)0y ay -=，得点4(0,)B a，--------------------------7分 ∴114|||||2|||422S OA OB a a=⋅=⋅=（为定值）．----------------------------------------9分 （3）∵圆C 过坐标原点，且||||OM ON = ∴圆心2(,)a a 在MN 的垂直平分线上，∴2212a =，2a =±，--------------------11分 当2a =-时，圆心坐标为(2,1)--5圆心到直线:24l y x =-+的距离d ==> 直线l与圆C 相离，不合题意舍去，------------------------------------------------------------13分 ∴2a =，这时曲线C 的方程为22420x y x y +--=．-----------------------------------14分20．解：（1）由222(1)()0n n a n n a n n -+--+=,得2()(1)0n n a n n a ⎡⎤-++=⎣⎦.---------2分由于{}n a 是正项数列,所以2n a n n =+.---------------------------------3分由21n n S b =+可得当2n ≥时，1121n n S b --=+，两式相减得1n n b b -=-，------------5分 ∴数列{}n b 是首项为1，公比1-的等比数列，1(1).n n b -∴=-----------------------------------7分（2）方法一：∵1(21)21(1)(1)n n n n n b n c a n n -++==-⋅+---------------------------------8分∴2124141(41)(21)(41)(21)2(21)2(21)2(21)(21)n n n n n n n n c c n n n n n n n --+-+-+-+=-=-+-+211(21)(21)2121n n n n ==--+-+--------------------------------------------------------------11分21234212111111()()()13352121n n n T c c c c c c n n -∴=++++++=-+-++--+11 1.21n =-<+---------------------------------------------------------------------------------------14分 【方法二：∵11(21)2111(1)(1)()(1)1n n n n n n b n c a n n n n --++==-⋅=-⋅+++-----------------------11分 2123421211111111()()()()12233445n n n T c c c c c c -∴=++++++=+-+++-++11111()()1 1.21222121n n n n n ++-+=-<-++----------------------------------------------14分】21. 解：（1）∵2'()2bg x x x=-，由曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得'(1)20g b =-=，∴2b =------------------------------------------------2分 （2）解法一：令()ln 1h x a x x =+-，则'()1a a x h x x x-=-=，-------------------------3分当a e >时，'()0h x >，函数()h x 在(1,)e 上是增函数，有()(1)0h x h >=，-----------4分当1a e <≤时，∵函数()h x 在(1,)a 上递增，在(,)a e 上递减， 对(1,)x e ∀∈，()f x x>恒成立，只需()0h e ≥，即1a e ≥-．----------------------------5分当1a ≤时，函数()h x 在(1,)e 上递减，对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，只需()0h e ≥， 而()10h e a e =+-<，不合题意，----------------------------------------------------------------6分 综上得对(1,)x e ∀∈，()f x x>恒成立，1a e ≥-．------------------------------------------7分【解法二：由()f x x >且(1,)x e ∈可得1ln ,1xa x <----------------3分由于ln 1x x -表示两点(,ln ),(1,0)A x x B 的连线斜率，由图象可知ln 1xy x =-在(1,)e 单调递减，-----------------5分故当(1,)x e ∈时，ln ln 1,111x e x e e >=-----------------------------------6分1101a e ∴<≤-即1a e ≥--------------------------------------------------7分】 （3）证法一：由()22ln p x x a x x=++得()()()()1222121212111ln ln 222p x p x ax x x x x x +⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭()221212121212x x x x a x x x x +=+++分 2121212124ln 222x x x x x x p a x x +++⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭----------------------------------------------9分由2212122x x x x +>得22212122+x x x x +>（）（）2221212+122x x x x ⇒+>（）（）-------①---10分又()()2221212121224x x x x x x x x +=++>∴1212124x x x x x x +>+ ---------------------------------------------------②---------------11分122x x +<∴12ln 2x x +< ∵0a ≤∴12ln ln 2x x a a +≥ ------------------------------③---------------12分由①、②、③得()22212121212121422x x x x x x a a x x x x ++⎛⎫+++>++ ⎪+⎝⎭即()()121222p x p x x x p ++⎛⎫> ⎪⎝⎭．--------------------------------------------------------------14分【证法二：由()22ln p x x a x x=++ ()()121222p x p x x x p ++⎛⎫- ⎪⎝⎭()()2221212121212121114ln ln ln 2222x x x x a x x x x a x x x x ⎛⎫++⎛⎫=+++++--- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭-----9分221212121212()()ln )4()2x x x x x x a x x x x --+=+++---------------------------------------10分∵12,x x 是两个不相等的正数，∴122x x +<∴12ln 2x x +<-------------------------------------------------11分∴12ln )02x x a +≥，又 2212121212()()0,04()x x x x x x x x -->>+∴()()121222p x p x x x p ++⎛⎫- ⎪⎝⎭0>，即()()121222p x p x x x p ++⎛⎫> ⎪⎝⎭．----------------14分】。
广东省揭阳一中高三数学上学期第一次阶段考试试题 理
2013-2014学年度高三理科数学测试题（一）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题: 本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案写在答题卷的表格中。
1.设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,32．若m ＞0且m ≠1，n ＞0，则“log m n ＜0”是“(m －1)(n －1)＜0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是( )A ．y x = B.21y x =- C.32y x =- D.23y x =-+4．函数x x x xe e y e e--+=-的图像大致为( ).5．若函数f (x )＝(a 2－2a －3)x 2＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－1或3B ．a ＝－1C ．a ＞3或a ＜－1D ．－1＜a ＜36 .若不等式 log a x>sin2x 对于区间⎥⎦⎤ ⎝⎛4,0π内的任意x 都成立，则实数a 的取值范围是( ) A. (0,1) B.(0,4π) C. (4π,1) D. (4π,2π) 7. 如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln '()g x x f x =+的零点所在的区间是( )A ．11(,)42 B. 1(,1)2 C. (1,2) D. (2,3) 8.定义在R 上的函数f (x )满足f (x )= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2013）的值为( )A.-1B. 2C.1D. 0第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡的相应位置。
广东省揭阳高三上学期第一次阶段考试数学(理)试题 Word版含答案
2016-2017学年度（95届）揭阳一中阶段一考试 理科数学试卷命题人：杨朝霞 孙伟东一、选择题（本大题共12小题, 每小题5分，共60分） 1、已知复数ibiz -+=14（R b ∈）的实部为1-，则复数z b -在复平面上对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2、已知条件p ：|4|6x -≤ ；条件q ：22(1)0(0)x m m --≤> ，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（ ）A.),19[+∞B.),19(+∞C.),9[+∞D.),9(+∞3、 要得到函数)32cos()(π+=x x f 的图象，只需将函数)32sin()(π+=x x g 的图象（ ） A.向左平移2π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D.向右平移4π个单位长度 4、等差数列{}n a 中的4a ，2016a 是函数146)(23-+-=x x x x f 的极值点，则=101041log a （ ）A.21 B.2 C.2- D.21- 5、函数2ln xy x=的图象大致为（ ）6、已知双曲线22221x y a b-=（0>a ，0>b ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，以21F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为)4,3(，则此双曲线的方程为（ ）A.221169x y -= B. 22134x y -= C. 221916x y -= D. 22143x y -= 7、若⎰=2121dx x S ，⎰=2121dx xS ，⎰=213dx e S x ，则1S ，2S ，3S 的大小关系为（ ）A ．321S S S <<B ．312S S S <<C ．231S S S <<D ．213S S S <<8、圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体， 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积 为π2016+，则=r （ ）A.1B.2C.4D.89、若n xx )319(-（*N n ∈）的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为（ ）A ．252B ．252-C ．84D ．84-10、已知()y f x =是可导函数，如图，直线2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令()()g x xf x =，'()g x 是()g x 的导函数，则'(3)=g （ ）A.－1B. 0C.2D.411、设)('x f 为定义在R 上的可导函数)(x f 的导函数，满足)()('x f x f <，且)2(+x f 为偶函数，1)4(=f ，则不等式xe xf <)(的解集为（ ）A.),2(+∞-B.),0(+∞C.),1(+∞D.),4(+∞ 12、已知函数)6(sin 2)(2πω+=x x f （0>ω）在区间]32,6[ππ内单调递增，则ω的最大值为（ ）A.21 B.53 C.43 D.41二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、若tan 2tan 18πα=，则4cos()9sin()18παπα--的值为 ．14、如果实数x 、y 满足关系⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≤-+044004y x y x y x ，则22(2)x y -+的最小值是 ．15、已知向量，AC 的夹角为︒120，5=，2=，AC AB AP λ+=，若BC AP ⊥，则=λ ．16、若函数ax e x x f x--=4)(2在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出适当的文字说明、证明过程和演算步骤）17、（本小题满分10分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11a b =，22=b ，d q =，且1d >，10010=S ．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18、（本小题满分10分）已知函数1)(-+-=x a x x f ，R a ∈.（1）当3=a 时，解不等式4)(≤x f ；（2）当)1,2(-∈x 时，12)(-->a x x f ，求a 的取值范围.19、（本小题满分12分）已知()f x a b =⋅，其中(2cos ,2)a x x =，(cos ,1)b x =，x R ∈. （1）求()x f 的单调递减区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()1f A =-，a =，且向量(3,sin )m B =与(2,sin )n C =共线，求边长b 和c 的值.20、（本小题满分12分）设函数)ln 2()(2x xk x e x f x +-=（k 为常数，e 为自然对数的底数）.（1）当0=k 时，求函数)(x f 的单调区间；（2）若函数)(x f 在)2,0(內存在两个极值点，求k 的取值范围.21、（本小题满分12分）已知直线1y x =-+与椭圆12222=+by a x ()0a b >>相交于A 、B 两点．（1）若椭圆的离心率为33，焦距为2，求椭圆的方程；（2）若向量OA 与向量OB 互相垂直（其中O 为坐标原点），当椭圆的离心率]22,21[∈e 时，求椭圆长轴长的最大值．2016-2017学年度（95届）揭阳一中阶段一考试 理科数学试卷参考答案一、选择题 B C C D D C B B C B B A二、填空题 13、 3 14、2 15、31016、)2ln 22,(---∞三、解答题17、（1）由题意有，111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩ 即112920,2,a d a d +=⎧⎨=⎩，解得2=d 或92=d （舍去），得11a =，故121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩（*N n ∈） ………5分 （2）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=， ………6分 于是2341357921122222n n n T --=++++++， ① 2345113579212222222n nn T -=++++++. ② ①-②可得221111212323222222n n n nn n T --+=++++-=-， 故nT 12362n n -+=-.（*N n ∈） ………10分 18、解：（1）当3a =时，42,1()2,1x 324,3x x f x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，当1x <时，由()4f x ≤得424x -≤，解得01;x ≤< 当13x ≤≤时，()4f x ≤恒成立；当3x >时，由()4f x ≤得244x -≤，解得34x <≤．所以不等式()4f x ≤的解集为{}04x x ≤≤． ………5分（2）因为(x)1121f x a x x a x x a =-+-≥-+-=--， ………6分当()()10x x a --≥时，()21f x x a =--；当()()10x x a --<时，()21f x x a >--.…8分记不等式()()10x x a --<的解集为,A 则()2,1A -⊆，故2a ≤-， 所以a的取值范围是(],2-∞-． ………10分19、（1）由题意知()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-+=-=32cos 212sin 32cos 12sin 3cos 22πx x x x x x f . ………2分x y cos = 在[]()Z k k k ∈+πππ2,2上单调递减，∴令ππππ+≤+≤k x k 2322，得36ππππ+≤≤-k x k()x f ∴的单调递减区间()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-3,6ππππ ………5分（2）()132cos 21-=⎪⎭⎫⎝⎛++=πA A f ，132cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴πA ，又37323πππ<+<A ， ,32ππ=+∴A 即3π=A ………7分 7a =，由余弦定理得()73c o s 22222=-+=-+=bc c b A bc c b a .① ………8分因为向量(3,sin )m B =与(2,sin )n C =共线，所以2sin 3sin B C =，由正弦定理得23b c =. ②………10分 由 ①②解得3,2b c ==. ………12分20、解：函数)(x f y =的定义域为),0(+∞，3232422))(2()2(2)12(2)('x kx e x x x k x e xe x x k x xe e x x f x x x x --=---=+---=………2分（1）由0=k 可得3)2()('xe x xf x-=， 所以当)2,0(∈x 时，0)('<x f ，函数)(x f y =单调递减；),2(+∞∈x 时，0)('>x f ，函数)(x f y =单调递增．所以)(x f y =的单调递减区间为)2,0(，单调递增区间为),2(+∞． ………6分（2）解法一：)(x f 在)2,0(内存在两个极值点，0))(2()('3=--=∴xkx e x x f x 有两个实数根，故0=-kx e x即x e k x =在)2,0(有两个实数根.设xe x h x=)(，)2,0(∈x ，则2)1()('x e x x h x-=，令0)('=x h ，解得1=x ；令0)('>x h ，解得21<<x ；令0)('<x h ，解得10<<x .∴函数)(x h 在)1,0(上单调递减，在)2,1(上单调递增.∴当1=x 时，函数)(x h 取得极小值即最小值，e h =)1(. ………10分而2)2(2e h =，当+→0x 时+∞→)(x h ，22e k e <<∴. ………12分解法二： 当0≤k 时，函数)(x f 在)2,0(内单调递减，故)(x f 在)2,0(内不存在极值点；当0>k 时，设函数kx e x g x -=)(，),0(+∞∈x ．此时kx x ee k e x g ln )('-=-=.当10≤<k 时，当)2,0(∈x 时，0)('>-=k e x g x，)(x g y =单调递增，故)(x f 在)2,0( 内不存在两个极值点．当1>k 时，得)ln ,0(k x ∈时，0)('<x g ，函数)(x g y =单调递减；),(ln +∞∈k x 时，0)('>x g ，函数)(x g y =单调递增.所以函数)(x g y =的最小值为)ln 1()(ln k k k g -=． 函数)(x f 在)2,0(内存在两个极值点，当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<><>2ln 00)2(0)(ln 0)0(k g k g g ，解得22e k e <<. ………12分21、解：（1）33=e ，即33=a c ，又22=c ，∴3=a ，则222=-=c a b ，∴椭圆的方程为12322=+y x ………4分（2）设),(),,(2211y x B y x A ，0=⋅∴⊥ ，即02121=+y y x xy 得：0)1(2)(222222=-+-+b a x a x b a由0)1)((4)2(222222>-+--=∆b b a a a ，整理得：122>+b a （*） 又222212b a a x x +=+，222221)1(ba b a x x +-= 1)()1)(1(21212121++-=+-+-=∴x x x x x x y y 由02121=+y y x x ，得：01)(22121=++-x x x x012)1(22222222=++-+-∴b a a b a b a ，整理得：022222=-+b a b a ………9分 222222b a c a a e =-=-代入上式得：221112e a -+=，)111(2122e a -+=∴ 43121,2141,222122≤-≤∴≤≤∴≤≤e e e2367,311137,21134222≤≤∴≤-+≤∴≤-≤∴a ee ，条件适合122>+b a 由此得：62342,26642≤≤∴≤≤a a ，故长轴长的最大值为6． ………12分。
广东省揭阳一中高三上学期摸底考试数学(理)试题(扫描版).pdf
9.1 杠杆 （一）教学要求 1．知道什么是杠杆。
能从常见的工具中辨认出杠杆。
2．知道有关杠杆的一些名词术语。
理解力臂的概念。
会画杠杆的力臂。
3．理解杠杆的平衡条件，并能用来解决简单的问题。
（二）教具：抽水机模型、切纸用小铡刀、剪刀。
学生分组实验器材：杠杆和支架、钩码、尺、线。
（三）教学过程 一、新课引入 由学生阅读课本第章前言部分，引出本章学习内容。
教师指出，常用的简单机械有杠杆、滑轮、轮轴、斜面等。
由学生阅读本节开头的大问号后的一段。
并参阅图说明杠杆在我国古代就有了许多巧妙的应用。
引出杠杆一节。
“板书：第章 简单机械 一、杠杆” 二、进行新课 1．什么是杠杆？提问：如何用一根硬棒撬起一块很重的石块？ 学生讨论，教师总结并结合课本图13�2甲或出示事先画好图的小黑板讲解。
给出杠杆的定义。
教师指出：杠杆在力的作用下能绕固定点转动，这是杠杆的特点。
杠杆有直的也有弯的。
观察和演示：抽水机的手柄、切纸的铡刀、剪刀都是杠杆。
观察装置中哪个硬棒在力的作用下绕哪个固定点转动。
板书：“1．什么是杠杆？一根硬棒，在力的作用下如果能绕着固定点转动，这根硬棒就叫杠杆。
” 2．描述杠杆的几个有关名词术语 (1)教师以讲什么是杠杆时所画的撬杠撬石头的板图为基础，边讲下列名词边在图中规范标画出三点、两力、两臂。
并板书写出各名词及其定义。
板书：“2．名词术语：”支点：杠杆（撬杠）绕着转动的点，用字母O标出。
动力：使杠杆转动的力画出力的示意图，用字母F1或F动标出。
阻力：阻碍杠杆转动的力画出力的示意图，用字母F2或用F阻标出。
注意：动力和阻力使杠杆转动方向相反，但它们的方向不一定相反。
动力臂：从支点到动力作用线的距离。
用字母L1或L动标出。
（简介力的作用线概念。
） 教师说明力臂的画法：首先确定杠杆的支点，再确定力的作用线。
然后使用直角三角板画出从支点到力的作用线的垂线，垂足要落在力的作用线上，符号指明哪个线段是力臂，并写出字母L1或L动。
高中毕业班高考第一次模拟考(理科)
x侧视图正视图D C B A 揭阳市高中毕业班高考第一次模拟考数学 (理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．参考公式：如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()(．锥体的体积公式：13V Sh =,其中S 表示底面积，h 表示高． 一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．1.函数2()lg(1)f x x --的定义域是 A. (0, 2) B. (1,2) C. (2,)+∞ D. (,1)-∞2.已知复数z =则“3πθ=”是“z 是纯虚数”的A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 3.已知(2,1,3)a =-，(1,2,1)b =-，若()a a b λ⊥-，则实数λ的值为 A. －2 B.143-C.145D. 2 4.已知函数(),0(),0.f x x y g x x >⎧=⎨<⎩是偶函数，()log a f x x =的图象过点(2,1)，则()y g x =对应的图象大致是5. 一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图（又称主视图）、 侧视图（又称左视图）如右图所示，则其俯视图为6.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=->的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，则为得到函数()y f x =的图象可以把函数sin y x ω=的图象上所有的点A. 向右平移6π，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍; B. 向右平移3π，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍;C. 向左平移12π，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的12倍;D. 向左平移12π，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍.7. 某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B 、C 、D 中选择，其他四个号码可以从09这十个数字中选择（数字可以重复），某车主第一个号码（从左到右）只想在数字3、5、6、8、9中选择，其他号码只想在1、3、6、9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有． A ．180种 B ．360种 C ．720种 D ．960种 8. 已知直线:60l x y +-=和M ：222220x y x y +---=，点A 在直线l 上，若直线AC 与M 至少有一个公共点Ｃ，且30MAC ∠=，则点A 的横坐标的取值范围是.A.(0,5)B.[1,5]C.[1,3]D.(0,3]二.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9. 已知1{1,,1,2}2α∈-，则使函数y x α=在[0,)+∞上单调递增的所有α值为 .10.已知双曲线（a ＞0, b ＞0）的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 . 11.已知α为锐角，且4cos(),45πα+=则cos α= . 12.记函数2()2f x x x =-+的图象与x 轴围成的区域为M ,满足0,,2.y y x y x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤-⎩的区域为N ，若向区域M 上随机投一点P ，则点P 落入区域N 的概率为 . 22221x y a b-=13. 某市新年第一个月前10天监测到空气污染指数如下表（主要污染物为可吸入颗粒物）：（第天监测得到的数据记为）在对上述数据的分析中，一部分计算见右图所示的算法流程图(其中是这10个数据的平均数)，则输出的值是，表示的样本的数字特征是．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14.（几何证明选做题）如图所示，圆的内接三角形ABC的角平分线BD与AC交于点D，与圆交于点E,连结AE，已知ED=3,BD=6 ,则线段AE的长＝ .15.(坐标系与参数方程选做题) 已知直线112,:()2.x tl ty kt=-⎧⎨=+⎩为参数，2,:12.x sly s=⎧⎨=-⎩（s为参数），若1l//2l，则k=；若12l l⊥，则k= .三.解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）已知数列是首项为２，公比为12的等比数列，为的前项和.（1）求数列的通项及；（2）设数列{}n nb a+是首项为－２，第三项为２的等差数列，求数列的通项公式及其前项和.iiaa SS{}nanS{}n a n{}nananS{}nbnnT第14题图/克)产品重量（克）频数（490,495]（495,500]（500,505]（505,510]（510,515]481486某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在(495,510]的产品为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本频数分布表，图１是乙流水线样本的频率分布直方图．表１：（甲流水线样本频数分布表） 图1：（乙流水线样本频率分布直方图） （1）根据上表数据在答题卡上作出甲流水线样本的频率分布直方图；（2）若以频率作为概率，试估计从乙流水线上任取5件产品，恰有３件产品为合格品的概率； （3）由以上统计数据完成下面22⨯列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与附：下面的临界值表供参考：(参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d=+++)HGDE FAC已知如图：平行四边形ABCD 中，2BC =， BD ⊥CD ，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．（1）求证：GH ∥平面CDE ； （2）记CD x =，()V x 表示四棱锥F-ABCD 体积，求()V x 的表达式；（3）当()V x 取得最大值时，求平面ECF 与平面ABCD所成的二面角的正弦值．如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时６千米的速度步行了１分钟以后，在点D处∠=α,α的望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB最大值为60．（1）求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；（2）求塔的高AB.在直角坐标系xoy 上取两个定点12(2,0),(2,0)A A -,再取两个动点1(0,),N m 2(0,)N n ,且3mn =.（1）求直线11A N 与22A N 交点的轨迹M 的方程；（2）已知点(1,)A t (0t >)是轨迹M 上的定点，E,F 是轨迹M 上的两个动点，如果直线AE 的斜率AE k 与直线AF 的斜率AF k 满足0AE AF k k +=，试探究直线EF 的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.已知函数()||,()f x x x a a R =-∈（1）若2a =，解关于x 的不等式()f x x <；（2）若对(0,1]x ∀∈都有()(,f x m m R m <∈是常数）,求a 的取值范围．y=6-x揭阳市高中毕业班高考第一次模拟考答案数学 (理科)一．选择题：B C D B C A D B 解析： 2.∵(tan 1(tan i z i i θθ--==-+，当3πθ=时，z i =是纯虚数，反之当z 是纯虚数时，θ未必为3π，故选C. 3. (2,12,3)a b λλλλ-=---，由()a a b λ⊥- 得2(2)12930λλλ--+-+-=2λ⇒=，选D.4. 依题意易得2()log f x x =（0x >）因函数的图象关于y 轴对 称，可得2()log ()g x x =-（0x <）,选B.5. 依题意可知该几何体的直观图如右，其俯视图应选C. 资料来源：数学驿站 6. 依题意知2ω=，故()2sin(2)3f x x π=-2sin 2()6x π=-，故选A. 7. 共有1111153444960A A A A A ⋅⋅⋅⋅=种，选D.8. 如右图，设点A 的坐标为00(,6)x x -，圆心M 到直线AC 的距离为ｄ，则||sin 30d AM =，因直线AC 与M 有交点，所以||sin 302d AM =≤ 2200(1)(5)16x x ⇒-+-≤015x ⇒≤≤，故选B.二．填空题： 9.1,1,22；10.（－4,0），（4,0）、y =；11. 10； 12.34； 13. 3.4、样本的方差；14. 15. 4、－１. 解析：10. 依题意得双曲线的焦点坐标为（－４，０），（４，０），由22ce a a==⇒=∴b ==，∵双曲线的焦点在x轴，∴双曲线的渐近线方程为y =.11. cos cos 44ππαα⎡⎤⎛⎫=+-==⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1027(1,1)2y=2-xy=x oyxD EACB12. 如图由定积分的几何意可得区域M 的面积，22(2)M S x x dx =-+=⎰1(3-32204)|3x x +=，区域N 的面积12112N S =⨯⨯=,由几何概型的概 率计算公式可得所求的概率34N M S P S ==. 14. ∵,E E EAD EBA ∠=∠∠=∠∴EDA ∆∽EAB ∆AE EDBE AE⇒=2AE ED BE ⇒=⋅39=⨯33AE ⇒=.15. 将1l 、2l 的方程化为直角坐标方程得：1:240l kx y k +--=，2:210l x y +-=，由1l //2l 得24211k k+=≠⇒4k =,由12l l ⊥得220k +=1k ⇒=- 三、解答题：16. 解：（1）∵数列是首项12a =，公比12q =的等比数列 ∴1212()22n n n a --=⋅=，--------------------------------3分12(1)124(1)1212n n n S -==--.------------------------------6分 （2）依题意得数列{}n n b a +的公差2(2)22d --==----------------- -7分∴22(1)24n n b a n n +=-+-=-∴2242nn b n -=----------------------------------------------9分设数列{}n n b a +的前ｎ项和为n P则(224)(3)2n n n P n n -+-==---------------------------------10分∴221(3)4(1)3422n n n n n T P S n n n n -=-=---=--+.--------- -12分（其他解法请参照给分） 17. 解：（１）甲流水线样本的频率分布直方图如下：-----------------------------------------------4分（２）由图１知，乙样本中合格品数为(0.060.090.03)54036++⨯⨯=，{}n aHGDEFABC故合格品的频率为360.940=，据此可估计从乙流水线上任取一件产品该产品为合 格品的概率0.9P =,----------------------------------------------------6分设ξ为从乙流水线上任取5件产品中的合格品数，则(5,0.9)ξ∴3325(3)(0.9)(0.1)0.0729P C ξ===．即从乙流水线上任取5件产品，恰有３件产品为合格品的概率为0.0729．------8分 （3）22⨯列联表如下：-------10分 ∵22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++＝280(120360) 3.11766144040⨯-≈⨯⨯⨯ 2.706> ∴有90％的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．----------12分 18、（1）证法１：∵//EF AD ,//AD BC ∴//EF BC 且EF AD BC == ∴四边形EFBC 是平行四边形 ∴H 为FC 的中点-------------2分 又∵G 是FD 的中点 ∴//HG CD ---------------------------------------3分 ∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE∴GH ∥平面CDE ---------------------------------4分证法２：连结EA ，∵ADEF 是正方形 ∴G 是AE 的中点 -------1分∴在⊿EAB 中，//GH AB -------------------------------------------2分 又∵AB ∥CD ，∴GH ∥CD ，----------------------------------------3分 ∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE∴GH ∥平面CDE ---------------------------------------------------4分 （2）∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD且FA ⊥AD ， ∴FA ⊥平面ABCD .-------------------------------6分∵BD ⊥CD, 2BC =，CD x = ∴FA=2,BD =02x <<） ∴ ABCDSCD BD =⋅＝∴12()33ABCD V x S FA =⋅=（02x <<）---------------------8分 （3）要使()V x取得最大值，只须02x <<）取得最大值，∵222224(4)()42x x x x +--≤=，当且仅当224,x x =-即x = ()V x 取得最大值--------------------------------------------------10分甲流水线乙流水线合计 合格品 a =30 b =36 66 不合格品 c =10d =414合 计 4040n =80HGDEFABCMz yHGDEFABC解法１：在平面DBC 内过点D 作DM BC ⊥于M ，连结EM ∵BC ED ⊥ ∴BC ⊥平面EMD ∴BC EM ⊥∴EMD ∠是平面ECF 与平面ABCD 所成的二面角的平面角-------12分 ∵当()V x 取得最大值时，2CD =,2DB =∴112DM BC ==,225EM ED DM =+=∴25sin 5ED EMD EM ∠== 即平面ECF 与平面ABCD 所成的二面角的正弦值为255.-------------------------14分 解法２：以点D 为坐标原定，DC 所在的直线为ｘ轴建立空间直角 坐标系如图示，则(0,0,0)D ,(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)C B E∴(0,0,2)DE =,(2,0,2)EC =-,(0,2,2)EB =--------12分 设平面ECF 与平面ABCD 所成的二面角为θ， 平面ECF 的法向量(,,)n a b c =由,,n EC n EB ⊥⊥得220,220a c b c -=-=令1c =得(2,2,1)n = 又∵平面ABCD 的法向量为DE∴25cos ||||25DE n DE n θ⋅===⋅⋅ ∴25sin θ=.------------------14分 19、解：（１）依题意知在△DBC 中30BCD ∠=,18045135DBC ∠=-=CD=6000×160＝100(ｍ),1801353015D ∠=--=，------3分由正弦定理得sin sin CD BCDBC D=∠∠ ∴sin 100sin15sin sin135CD D BC DBC ⋅∠⨯==∠＝6210050(62)450(31)22-⨯-==-（ｍ）-----6分在Rt △ABE 中，tan ABBEα= 资料来源：数学驿站 ∵AB 为定长 ∴当BE 的长最小时，α取最大值60°，这时BE CD ⊥------------------8分 当BE CD ⊥时，在Rt △BEC 中cos EC BC BCE =⋅∠1)25(32=⋅=(ｍ),--------------------9分 设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t 分钟，则25(3606060006000EC t =⨯=⨯34=（分钟）--------------------------------10分（２）由（１）知当α取得最大值60°时， BE CD ⊥，在Rt △BEC 中,sin BE BC BCD =⋅∠--------------------- -----------12分 ∴tan 60sin tan 60AB BE BC BCD =⋅=⋅∠⋅＝11)25(32⋅=（m ）即所求塔高为25(3m.----------------------------------------- -----14分 20、解：（１）依题意知直线11A N 的方程为：(2)2my x =+------------------------①-----1分 直线22A N 的方程为：(2)2ny x =-----------------------------------②----------2分 设(,)Q x y 是直线11A N 与22A N 交点，①×②得22(4)4mn y x =--由3mn = 整理得22143x y +=----------------------------------------5分 ∵12,N N 不与原点重合 ∴点12(2,0),(2,0)A A -不在轨迹M 上-----------------6分∴轨迹M 的方程为22143x y +=（2x ≠±）-----------------------------------7分 （2）∵点(1,)A t (0t >)在轨迹M 上 ∴21143t +=解得32t =，即点A 的坐标为3(1,)2-----8分设AEk k =，则直线AE 方程为：3(1)2y k x =-+，代入22143x y +=并整理得2223(34)4(32)4()1202k x k k x k ++-+--=-------------------------10分设(x ,y )E E E ,(x ,y )F F F , ∵点3(1,)2A 在轨迹M 上，∴2234()122x 34E k k--=+ ------③, 32E E y kx k =+------④---------------------11分 又0AE AF k k +=得AF k k =-，将③、④式中的k 代换成k -，可得2234()122x 34F k k +-=+，32F Fy kx k =-++------------12分∴直线EF 的斜率()2F E F E EFF E F E y y k x x kK x x x x --++==--∵2228624,4343E F F Ek k x x x x k k -+=-=++ ∴22222862(86)2(43)1432424243EF k k kk k k k k K k k k --⋅+--+++===+即直线EF 的斜率为定值，其值为12-----------------------------------14分21、解：（1）当2a =时，不等式()f x x <即|2|x x x -<显然0x ≠，当0x >时，原不等式可化为：|2|1121x x -<⇒-<-<13x ⇒<<-------2分当0x <时，原不等式可化为：|2|121x x ->⇒->或21x -<-3x ⇒>或1x <∴0x <-----4分综上得：当2a =时，原不等式的解集为{|130}x x x <<<或-----------------5分 （2）∵对(0,1]x ∀∈都有()f x m <，显然0m >即()m x x a m -<-<⇒对(0,1]x ∀∈，m mx a x x-<-<恒成立 ⇒对(0,1]x ∀∈，m mx a x x x-<<+-------------------------------------6分 设(),(0,1]m g x x x x =-∈，()mp x x x =+，(0,1]x ∈则对(0,1]x ∀∈，m mx a x x x-<<+恒成立⇔max min ()()g x a p x <<，(0,1]x ∈----8分∵2'()1,mg x x=+当(0,1]x ∈时'()0g x >∴函数()g x 在(0,1]上单调递增，∴max ()1g x m =------9分又∵2'()1m p x x =-1≥即1m ≥时，对于(0,1]x ∈，'()0p x <∴函数()p x 在(0,1]上为减函数∴min ()(1)1p x p m ==+----------------11分1<，即01m <<时，当x ∈，'()0p x ≤当x ∈，'()0p x > ∴在(0,1]上，min ()p x p ==分 （或当01m <<时，在(0,1]上，()mp x x x=+≥=x =又∵当01m <<时，要max min ()()g x a p x <<即1m a -<<还需满足1m >-解得31m -<<∴当31m -<<时，1m a -<<； ---------13分当1m ≥时，11m a m -<<+．------------------------------------14分。
《精编》广东省揭阳第一中学高三数学第一次阶段考试题 文 新人教A版.doc
揭阳一中—学年度高三平时测试一数 学〔文科〕第I 卷 〔选择题〕〔50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，总分值50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．}2,1{=A ，}21|{<≤∈=x R x B ，那么B A 为( ) A.}2,1{ B.}1{ C.}21|{≤≤x x D.}1|{≥x x2．不等式0322>--x x 的解集是〔 〕 A.1|{<x x 或}3->x B.1|{-<x x 或}3>x C.}11|{<<-x xD.}13|{<<-x x3．以下命题中的真命题是 ( )A.x ∃∈R ,使得 sin cos 1.5x x +=B.(0,),1xx e x ∀∈+∞>+ C.(,0),23x x x ∃∈-∞< D.(0,),sin cos x x x π∀∈>4．函数)10(||<<=a x xa y x的图象的大致形状是( )5．某种商品的零售价年比 年上涨25％，由于采取措施控制物价结果使年的物 价仅比 年上涨10％，那么年比年的物价下降〔 〕 A.15％ B.12％ C.10％ D.5％ 6．函数f 〔x 〕=2-+x e x的零点所在的一个区间是〔 〕A.〔-2,-1〕B.〔-1,0〕C.〔0,1〕D.〔1,2〕 7．记函数()f x 的反函数为1()fx -,假设x x f a log )(=且2)9(=f ，那么)2log (91--f 的值是〔 〕A.2B.2C.22D.2log 3 8．设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 那么不等式)1()(f x f >的解集是〔 〕A.),3()1,3(+∞⋃-B.),2()1,3(+∞⋃-C.),3()1,1(+∞⋃-D.)3,1()3,(⋃--∞9．不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，那么实数a 的取值范围为〔 〕A.),4[]1,(+∞--∞ B.),4()1,(+∞--∞ C.(,4][1,)-∞-+∞D.),4[)1,(+∞--∞10．假设实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，那么称a 与b 互补．记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的( ) A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件D.既不充分也不必要的条件第II 卷〔非选择题〕〔100分〕二、填空题：本大题共4小题，每题5分，总分值20分． 11．幂函数3222)1(--•--=m m xm m y ，当),0(+∞∈x 时为减函数，那么实数m 的值为12．假设2,4==b a ，那么4216132332)b (a b b a ab ⋅⋅=13．函数||sin 1()()||1x x f x x R x -+=∈+的最大值为M ，最小值为m ，那么M m +=______14．以下几个命题：①方程2(3)0x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，那么0a <；②函数y =③函数()f x 的值域是[2,2]-，那么函数(1)f x +的值域为[3,1]-；④设函数()y f x =定义域为R ，那么函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于y 轴对称； ⑤一条曲线2|3|y x =-和直线 ()y a a R =∈的公共点个数是m ，那么m 的值不可能是1．其中正确的有_________________三．解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．〔此题总分值12分〕p ：∣1－2x ∣≤ 5，q ：x 2－4x +4－9m 2≤ 0 (m ＞0)，假设⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．16．〔此题总分值12分〕函数)10,0(132)(22≤≤>-+-=x a a ax x x f ，求)(x f 的最大 值和最小值．17．〔此题总分值14分〕商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠方法：〔1〕买一个茶壶赠送一个茶杯；〔2〕按总价的92%付款．某顾客需购茶壶4个，茶杯假设干个〔不少于4个〕，假设以购置茶杯数为x 个，付款数为y 〔元〕，试分别建立两种优惠方法中y 与x 之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种方法哪一种更省钱．18．〔此题总分值14分〕函数()log (1)log (1)a a f x x x =+-- (a ＞0且a ≠1). (1) 求()f x 的定义域；(2) 判断()f x 的奇偶性并予以证明；(3) 当1a >时，求使()0f x >成立的x 的取值范围．19．〔此题总分值14分〕函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x+2)=－f(x)〔1〕求证：f(x)是周期函数；〔2〕假设f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=21x, 求f(x)在［－1，3］的解析式; 〔3〕在(2)的条件下．求使f(x)=－21在［0，2 011］上的所有x 的个数．20．〔此题总分值14分〕设函数22()f x a x =〔0a >〕，()ln g x b x =．(1) 将函数()y f x =图象向右平移一个单位即可得到函数()y x ϕ=的图象，试写出()y x ϕ=的解析式及值域；(2) 关于x 的不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围； (3) 对于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，假设存在常数,k m ，使得()f x kx m ≥+和()g x kx m ≤+都成立，那么称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线〞．设22a =，b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在“分界线〞？假设存在，求出“分界线〞的方程；假设不存在，请说明理由．文科数学答案一. 选择题 BBBDB CCAAC二. 填空题 11. 2 12. 2 13. 2 14. ①⑤三、解答题: 本大题共6小题，共80分．解容许写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤． 15、解：解不等式可求得：p ：－2≤x ≤3，…………………2分 q ：2－3m ≤x ≤2+3m (m ＞0)．…………………4分那么 ⌝p ：A ={x ∣x ＜－2或x ＞3}，⌝q ：B ={x ∣x ＜2－3m 或x ＞2+3m ，m ＞0}．……6分由 ⌝p ⇒⌝q ，得A B ． …………………8分 从而 310.0,332,232≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-≥-m m m m ．…………………11分(上述不等式组中等号不能同时取)．经验证．．310≤<m 为所求实数m 的取值范围．………12分16．(1)解：12)(132)(2222-+-=-+-=a a x a ax x x f ……………2分 由0>a 知，当1≥a 时，由于)(x f 在[0，1]上是减函数，故)(x f 的最大值为,13)0(2-=a f 最小值为;23)1(2a a f -= ……………6分当210<<a 时， )(x f 的最大值为a a f 23)1(2-=，最小值为;12)(2-=a a f …………9分 当112a <<时， )(x f 的最大值为,13)0(2-=a f ，最小值为.12)(2-=a a f …………12分17．解：由优惠方法〔1〕可得函数关系式为：y 1=20×4+5(x －4)= 5x +60(x ≥4); …………3分由优惠方法〔2〕得：y 2=(5x +20×4)×92%=4．6x +73．6(x ≥4), …………………6分 对以上两种优惠方法比拟得：y 1－y 2=0．4x －13．6(x ≥4),令y 1－y 2=0,得x =34． ……………9分可知当购置34只茶杯时，两法付款相同；…………………10分当4≤x ≤34时，y 1<y 2,优惠方法〔1〕省钱；…………………12分 当x ≥34时，y 1>y 2,优惠方法〔2〕省钱． …………………14分 18、解：〔1〕因为()log (1)log (1)a a f x x x =+-- (a ＞0且a ≠1)∴⎩⎨⎧>->+0101x x ，解得11<<-x ………… 3分故所求函数)(x f 的定义域为}11|{<<-x x ………… 4分〔2〕由〔1〕知)(x f 的定义域为}11|{<<-x x ，关于原点对称………… 5分 又()log (1)log (1)[log (1)log (1)]()a a a a f x x x x x f x -=-+-+=-+--=-………… 7分 故)(x f 为奇函数. ………… 8分〔3〕因为当1a >时，()f x 在定义域}11|{<<-x x 内是增函数，………… 10分 所以1()011x f x x+>⇔>-，解得10<<x ………… 13分 所以，使得()0f x >成立的x 的取值范围是}10|{<<x x . ………… 14分19解：〔1〕证明:∵f〔x+2〕=－f 〔x 〕，∴f〔x+4〕=－f 〔x+2〕=－［－f 〔x 〕］=f 〔x 〕，…… 2分∴f〔x 〕是周期函数，且4为一个周期． …………… 4分〔2〕解 当0≤x≤1时，f(x)=21x,设-1≤x≤0,那么0≤-x≤1,∴f〔-x 〕=21〔-x 〕=-21x ． ∵f(x)是奇函数，∴f〔-x 〕=-f 〔x 〕,∴-f 〔x 〕=-21x ，即f(x)=21x ． ……………6分故f(x)= 21x(-1≤x≤1) …………… 8分又设1＜x ＜3,那么-1＜x-2＜1,∴f(x -2)= 21(x-2), 又∵f〔x-2〕=-f 〔2-x 〕=-f 〔〔-x 〕+2〕=-［-f 〔-x 〕］=-f 〔x 〕，∴-f 〔x 〕=21〔x-2〕，∴f〔x 〕=-21〔x-2〕〔1＜x ＜3〕．∴f〔x 〕=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--≤≤-)31()2(21)11(21x x x x …………… 10分由f(x)=- 21,解得x=-1．∵f〔x 〕是以4为周期的周期函数． ∴f(x)=- 21的所有解为x=4n-1 (n∈Z )． ……………12分令0≤4n -1≤2 011,那么41≤n≤503,又∵n∈Z ，∴1≤n≤503 〔n∈Z 〕,∴在［0，2 011］上共有503个x 使f(x)=- 21． ……………14分20.解：〔1〕22()(1)x a x ϕ=-，值域为[0,)+∞ …………2分 〔2〕不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，等价于22(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故210a -<， …………4分 令22()(1)21h x a x x =--+，由(0)10h =>且2(1)0(0)h a a =-<>， 所以函数22()(1)21h x a x x =--+的一个零点在区间(0,1)，那么另一个零点一定在区间[3,2)--， …………6分故(2)0,(3)0,h h ->⎧⎨-≤⎩解之得4332a ≤<． …………8分解法二：22(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故210a -<，即1a >，…………4分[][]22(1)21(1)1(1)10a x x a x a x --+=--+->，所以1111x a a <<-+，又因为1011a<<+， …………6分 所以1321a -≤<--，解之得4332a ≤<． ……8分 〔3〕设21()()()ln 2F x f x g x x e x =-=-，那么2'(()e x e x x F x x x x x-=-==．所以当0x <<'()0F x >；当x >'()0F x <．因此x =()F x 取得最小值0，那么()f x 与()g x 的图象在x =)2e． ………10分设()f x 与()g x 存在 “分界线〞，方程为(2ey k x -=，即2ey kx =+-由()2e f x kx ≥+-x ∈R 恒成立，那么2220x kx e --+≥在x ∈R 恒成立 ．所以22244(2)4844(0k e k e k ∆=-=-=≤成立，因此k = ………12分下面证明()(0)2eg x x ≤->恒成立．设()ln 2e G x e x =-，那么()e G x x '==．所以当0x <<'()0G x >；当x >'()0G x <．因此x =()G x 取得最大值0，那么()(0)2ef x x ≤->成立．故所求“分界线〞方程为：2ey =-． …………14分。
揭阳一模高三数学试卷
揭阳一模高三数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c，且f(1) = 3，f(-1) = 1，则f(-2)的值为：A. 5B. 3C. 1D. -12. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, -4)，则向量a与向量b的点积为：A. -10B. 10C. 5D. -53. 已知等差数列{an}的首项a1 = 1，公差d = 2，则该数列的第5项a5为：A. 9B. 11C. 13D. 154. 已知函数y = x^3 - 3x^2 + 4x - 2，求函数的导数y'：A. 3x^2 - 6x + 4B. x^2 - 6x + 4C. 3x^2 - 6x + 2D. x^2 - 6x + 25. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心坐标：A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (0, 0)D. (3, 2)6. 若复数z满足|z| = 1，则z的共轭复数的模为：A. 1B. 0C. -1D. 27. 已知函数f(x) = ln(x + √(x^2 + 1))，求f(1)的值：A. 0B. 1C. ln2D. ln√28. 已知矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，矩阵B = [[2, 0], [1, 3]]，则矩阵A与矩阵B的乘积AB为：A. [[5, 6], [10, 15]]B. [[2, 6], [5, 15]]C. [[4, 6], [9, 12]]D. [[4, 6], [10, 15]]9. 已知三角形ABC中，角A = 60°，边a = 1，边b = √3，求边c 的长度：A. 2B. √3C. 1D. √210. 已知函数y = sin(x) + cos(x)，求函数的周期T：A. πB. 2πC. 4πD. 1二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。
广东省揭阳市高三数学下学期第一次模拟考试试题 理
揭阳市2016年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号. 用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡整洁. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{|A x y ==，2{|20}B x x x =-<，则（A ）A ∩B =∅（B ）A ∪B =R（C ）B ⊆A（D ）A ⊆B（2）设复数z 满足(1)2i z i +=，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数z =（A ）1i -+（B ）1i --（C ）1i +（D ）1i -（3）设)(x f 是定义在R 上的函数,则“)(x f 不是奇函数”的充要条件是（A ）,()()x R f x f x ∀∈-≠- （B ）,()()x R f x f x ∀∈-≠ （C ）000,()()x R f x f x ∃∈-≠-（D ）000,()()x R f x f x ∃∈-≠（4）8(42)xx --展开式中含2x项的系数是（A ）56- （B ）28- （C ）28（D ）56 （5）一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，收集数据如右表示： 根据右表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 为9.4，据此可估计加工零件数为6时加工时间大约为 （A ）63.6 min （B ）65.5 min （C ）67.7 min（D ）72.0 min（6）已知tan()24x π+=，则sin 2x =（A ）35- （B）5（C ）35（D ）1（7）执行如图1的程序框图，则输出S 的值为(A) 2 (B) 3- (C) 12-(D)13（8）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线6x y +=下方的概率是 (A)718(B)13 (C) 16 (D)518（9）若x 、y 满足||||1x y +≤，则2z x y =-的取值范围是(A)(,2]-∞-(B)[2,2]-(C)[1,1]-(D)[1,)+∞（10）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为045 的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（A（B（C）1+（D）1+（11）已知函数()sin f x x π=和函数()cos g x x π=在区间[1,2]-上的图像交于A 、B 、C三点，则△ABC 的面积是(A)2(B)4(D)4（12）已知直线0(0)x y k k +-=>与圆224x y +=交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，且有3||||3OA OB AB +≥,则k 的取值范围是(A))+∞(B)(C)+∞）(D)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）已知(1,2),(0,2)=-+=a a b ，则||=b ____________． （14）已知函数()f x 是周期为2的奇函数，当[)0,1x ∈时，()()lg 1f x x =+，则24图2242016()lg185f += ． （15）某组合体的三视图如图2示，则该几何体的体积为 . （16）已知△ABC 中，角A 、32B 、C 成等差数列， 且△ABC的面积为1AC 边的最小 值 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S n -=.(n N *∈)（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22,(21)2,(2)(1)(1)n a n n n n k b n k aa +⎧=-⎪=⎨=⎪--⎩（k N *∈），求数列{}n b 的前n 2项和n T 2. （18）（本小题满分12分）某公司做了用户对其产品满意度的问卷调查，随机抽取了20名用户的评分，得到图3所示茎叶图，对不低于75的评分，认为用户对产品满意，否则，认为不满意．(Ⅰ)根据以上资料完成下面的2×2列联表，若据此数据算得2 3.7781K ≈，则在犯错的概率不超过5%的前提下，你是否认为“满意与否”与“性别”有关？附：(3人中恰有2人满意的概率；(Ⅲ)从以上男性用户中抽取2人，女性用户中抽取1人，其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望.（19）（本小题满分12分）3 34 6 85 1 36 4 6 2 4 5 5 17 3 3 5 6 98 3 2 1 图3图5FB CDAoy x图6OCDEFPB A如图4，已知四棱锥P —ABCD 中，PA⊥平面ABCD ，底面ABCD 中，∠A=90°，AB∥CD，AB=1，AD=CD=2.（Ⅰ）若二面角P —CD —B 为45°，求证：平面BPC ⊥平面DPC ； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求点A 到平面PBC 的距离.（20）（本小题满分12分）已知,0p m >，抛物线2:2E x py =上一点(),2M m 到抛物线焦点F 的距离为52． （Ⅰ）求p 和m 的值；（Ⅱ）如图5所示，过F 作抛物线E 的两条弦AC 和BD（点A 、B 在第一象限），若40AB CD k k +=，求证：直线AB 经过一个定点．（21）（本小题满分12分）设函数2()()ln f x x a x =-，a R ∈.(Ⅰ)若x e =是()y f x =的极值点，求实数a 的值；(Ⅱ)若函数2()4y f x e =-只有一个零点，求实数a 的取值范围．请考生在第(22)(23)(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图6，圆O 的直径10AB =，P 是AB 延长线上一点，BP =2 ,割线PCD 交 圆O 于点C ，D ，过点P 作AP 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F . (Ⅰ) 当=60PEC ∠时，求PDF ∠的度数； (Ⅱ) 求PE PF ⋅的值.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知参数方程为0cos sin x x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）的直线l 经过椭圆2213x y +=的左焦点1F ，且交y 轴正半轴于点C ，与椭圆交于两点A 、B （点A 位于点C 上方）. （Ⅰ）求点C 对应的参数C t （用θ表示）；（Ⅱ）若1FB AC =，求直线l 的倾斜角θ的值．（24）(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设a R ∈，()()1f x x a a x =-+-. （I ）解关于a 的不等式()20f <；（II ）如果()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．揭阳市2016年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：C D C A B C A D B C C B解析：11.由sin cos tan 1x x x πππ=⇒=，又[1,2]x ∈-得34x =-或14x =或54x =，即点315(,),(,),(,424242A B C --,故153[()](244ABC S ∆=⨯--⨯-=12. 2<， 【或由22220,22404.x y k x kx k x y +-=⎧⇒-+-=⎨+=⎩，因直线与圆有两个不同的交点，所以2248(4)0k k ∆=-->，】由0k >得0k <<① 如图，又由3||||3OA OB AB +≥得||||3OM BM ≥6MBO π⇒∠≥ 因||2OB =,所以||1OM ≥,1k≥⇒≥②k ≤<二、填空题：；14.1；15. 32+8π；16.2.解析：14. 由函数()f x 是周期为2的奇函数得2016644()()()5555ff f f ==-=-（）9lg 5=-5lg 9=，故20165()lg18lg lg18lg10159f +=+== 15. 依题意知，该几何体是上面长方体下接半圆柱的组合体，故其体积 为：21442+24=32+82ππ⨯⨯⨯⨯⨯. 16. ∵A 、32B 、C 成等差数列，∴3A C B +=，又A B C π++=，∴4B π=， 由1sin 12ABC Sac B ∆==+2(2ac =，∵2222cos ba c ac B =+-22a c =+，及222a c ac +≥，∴2(24b ac ≥=，2b ≥，∴b 的最小值为2.三、解答题：17.解：（Ⅰ）当2n ≥时，221222[(1)(1)]22n n n a S S n n n n n -=-=-----=---------2分1n a n=-（2n ≥），-------------------------------------------------------------3分当1n =时，由21211S =-得10a =，-----------------------------------------------4分 显然当1n =时上式也适合， ∴1n a n =-.--------------------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）∵22211,(1)(1)(2)2n n a a n n n n +==---++------------------------------------6分∴21321242()()n n n T b b b b b b -=+++++++-------------------------------------7P分0222111111(222)[()()()24462n n n --=++++-+-++-+]-----------------------9分11()11412214nn -=+--+----------------------------------------------------------11分11411().6342n n =-⋅-+----------------------------------------------------------12分18．解：（Ⅰ）-------------------------------2分 ∵23.7781K ≈<3.84 1，∴在犯错的概率不超过5%的前提下，不能认为“满意与否”与“性别”有关。
《精编》广东省揭阳一中高三数学上学期开学摸底联考试题 理 新人教A版.doc
广东省揭阳一中届高三上学期开学摸底联考数学〔理〕试题一、选择题〔40分〕1、集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋2＝0}，假设B⊆A，那么实数a的所有可能取值的集合为〔〕A、{－2}B、{2}C、{－2,2} A、{－2,0,2}2、设z是复数，a〔z〕表示满足z n=1的最小正整数n，那么对虚数单位 i，a( i )＝〔〕A、8B、6C、4D、23、如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，那么该几何体的俯视图可以是4、“m＞0，n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆〞的〔〕A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、既不充分也不必要条件D、充要条件5、幂函数y＝f〔x〕的图象过点13,33⎛⎫⎪⎪⎝⎭，那么9log(3)f的值为〔〕A、14B、－14C、2D、－26、执行如以以下图的程序框图，输出的S值为〔〕A、2B、4C、8D、167、函数y ＝sinx －cosx ，那么以下结论正确的选项是〔 〕 A 、此函数的图象关于直线4x π=对称B 、此函数在区间(,)44ππ-上是增函数 C 、此函数的最大值为1D 、此函数的最小正周期为π 8、假设不等式2229t t a t t +≤≤+在(0,2]t ∈上恒成立，那么a 的取值范围是〔 〕二、填空题〔30分〕〔一〕必做题 9、函数211lg(4)y x x =-+-的定义域是＿＿＿＿10、x ，y 满足约束条件5000x y x y y ++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，那么z ＝2x ＋4y 的最小值是＿＿＿11、假设展开式中所有二项式系数之和为16，那么展开式常数项为＿＿＿12、双曲线的渐近线与圆〔x －2〕2＋y 2＝3相切，那么此双曲线的离心率为＿＿13、正项等比数列{n a }满足7652a a a =+，假设存在两项,m n a a 使得，那么的最小值为＿＿＿＿〔二〕选做题〔选做一题〕 14、〔几何证明选讲〕AB 是圆O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC ⊥OP ，PC 交点O 于点C ，假设AP ＝6，PB ＝3，那么PC 的长为＿＿＿15、〔坐标系与参数方程〕在极坐标系中，两点A 、B 的极坐标分别为那么△ABO 〔其中O 为极点〕的面积为＿＿＿＿三、解答题〔80分〕16、〔本小题总分值12分〕向量(sin ,cos ),(cos ,sin )3366x x x xa A Ab ==，函数()f x a b =〔A ＞0，x ∈R 〕，且(2)f π＝2。
广东省揭阳市数学高三理数第一次模拟考试试卷
广东省揭阳市数学高三理数第一次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高一上·霍邱期末) 若集合M={﹣1，0，1，2}，N={x|x（x﹣1）=0}，则M∩N=（）A . {﹣1，0，1，2}B . {0，1，2}C . {﹣1，0，1}D . {0，1}2. （2分）设复数满足,则（）A .B .C .D .3. （2分）已知x与y之间的一组数据(如表所示)：则关于y与x的线性回归方程y＝bx＋a必过定点（）x0123y1357A . (2,2)B . (1.5,0)C . (1,2)D . (1.5,4)4. （2分）已知是非零向量且满足则的形状是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等腰直角三角形D . 等边三角形5. （2分）(2018·河北模拟) 《中华好诗词》是由河北电视台创办的令广大观众喜闻乐见的节目，旨在弘扬中国古代诗词文化，观众可以选择从和河北卫视这四家视听媒体的播放平台中观看，若甲乙两人各自随机选择一家播放平台观看此节目，则甲乙二人中恰有一人选择在河北卫视观看的概率是（）A .B .C .D .6. （2分）(2013·辽宁理) 在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA= b，且a＞b，则∠B=（）A .B .C .D .7. （2分）如图，已知k为如图所示的程序框图输出的结果，二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（）A . 4B . 5C . 6D . 78. （2分） (2019高三上·瓦房店月考) 现有四个函数：① ；② ；③ ；④ 的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A . ①④②③B . ①④③②C . ④①②③D . ③④②①9. （2分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（）A . 外接球的半径为B . 体积为C . 表面积为D . 外接球的表面积为10. （2分） (2015高二上·蚌埠期末) 已知P（3cosα，3sinα，1）和Q（2cosβ，2sinβ，1），则| |的取值范围是（）A . （1，25）B . [1，25]C . [1，5]D . （1，5）11. （2分）(2017·潮州模拟) 已知椭圆C1和双曲线C2焦点相同，且离心率互为倒数，F1 ， F2是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若∠F1PF2=60°，则椭圆C1的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高一上·河南期中) 定义函数为不大于的最大整数，对于函数，有以下四个结论：① ；②在每一个区间 , 上, 都是增函数；③ ；④ 的定义域是 ,值域是 .其中正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·太仆寺旗期末) 的展开式中，的系数是________.（用数字填写答案）14. （1分）正五边形的边与对角线所在的直线能围成________个三角形．15. （1分） (2018高三上·重庆期末) 已知为双曲线与圆的一个公共点，分别为双曲线的左右焦点，设，若，则双曲线的离心率的取值范围是________。
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图（1）俯视图揭阳市2014年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(理科) 2014.3.22本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足：34iz i =+，则=zA ．1B ．2C ．5D ．5 2．设函数()f x =M ，函数()lg(1)g x x =+的定义域为N ，则 A.(1,1]MN =- B.M N R = C.[1,)R C M =+∞ D.(,1)R C N =-∞-3．设平面α、β，直线a 、b ，,a b αα⊂⊂，则“//,//a b ββ” 是“//αβ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4．下列函数是偶函数，且在[0,1]上单调递增的是 A.sin()2y x π=+B. 212cos 2y x =-C.2y x =- D. |sin()|y x π=+5．一简单组合体的三视图如图（1）所示，则该组合体的 体积为A.16π-B.124π-C.122π-D.12π- 6．如图(2)所示的程序框图，能使输入的x 值与输出的y 值 相等的x 值个数为A.1B.2C.3D.4 7．设点P是函数y =图象上的任意一点， 点(2,3)Q a a - (a R ∈)，则||PQ 的最小值为2-22图（3）0.0150频率/组距0.0100（km/h ）0.00508．定义一个集合A 的所有子集组成的集合叫做集合A 的幂集，记为()P A ，用()n A 表示有限集A 的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合A ，都有()A P A ∈；②存在集合A ，使得[()]3n P A =；③用∅表示空集，若,A B ⋂=∅则()()P A P B ⋂=∅；④若,A B ⊆则()()P A P B ⊆；⑤若()()1,n A n B -=则[()]2[()].n P A n P B =⨯其中正确的命题个数为A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题）9．若点(,27)a 在函数3xy =的图象上，则tan aπ的值为 ．10．根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机 动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如图(3)所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速 度为60 km/h~120 km/h ，则该时段内过往的这100辆机 动车中属非正常行驶的有 辆，图中的x 值为 ． 11．已知向量a 、b 满足||1,||3a b ==，且(32)a b a -⊥，则a 与b 的夹角为 ．12．已知首项为正数的等差数列{}n a 中，122a a =-．则当3a 取最大值时，数列{}n a 的公差d = ．13．从[0,10]中任取一个数x ，从[0,6]中任取一个数y ，则使|5||3|4x y -+-≤的概率为 ．（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题） 14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线l :132x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数且t R ∈）与曲线C :22x cos y cos αα=⎧⎨=+⎩(α是参数且[)02,απ∈)，则直线l 与曲线C 的交点坐标为 .15.（几何证明选讲选做）如图(4)，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，CD =2，DE ⊥AB ，垂足为E ， 且E 是OB 的中点，则BC 的长为 ．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数sin 2()2sin .sin xf x x x=+ （1）求函数()f x 的定义域和最小正周期； （2）若()2,[0,],f ααπ=∈求()12f πα+的值．17. （本小题满分12分）图(5)是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率; （2）设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列与数学期望． 18．（本小题满分14分）如图(6)，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，侧棱SA⊥底面ABCD ， 过A 作AE 垂直SB 交SB 于E 点，作AH 垂直SD 交SD 于H 点，平面 AEH 交SC 于K 点，且AB=1，SA=2．（1）设点P 是SA 上任一点，试求PB PH +的最小值； （2）求证：E 、H 在以AK 为直径的圆上；（3）求平面AEKH 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值． 19．（本小题满分14分）已知正项数列{}n a 满足:222(1)()0()n n a n n a n n n N +-+--+=∈，数列{}n b 的前n项和为n S ，且满足11b =，21n n S b =+()n N +∈．(1) 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设(21)nn nn b c a +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．20．（本小题满分14分）如图(7)所示，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆E 上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O ， 且0=⋅BC AC ，|BC |＝2|AC |． (1)求椭圆E 的方程；(2) 在椭圆E 上是否存点Q ，使得222|QB ||QA|-=？ 若存在，有几个（不必求出Q 点的坐标），若不存在，请说明理由． （3）过椭圆E 上异于其顶点的任一点P ，作2243O :x y +=的两条 切线，切点分别为M 、N ，若直线MN 在x 轴、y 轴上的截距分别为m 、n ，证明：22113m n +为定值．21．（本小题满分14分）已知函数()ln 1(0).f x a x a =+> （1）当1a =且1x >时，证明：4()31f x x >-+； （2）若对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当12a =时，证明：12()2(11)n i f i n n +=>++∑．揭阳市2014年高中毕业班高考第一次模拟考 数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：DCBD DCCB解析：5.由三视图知，此组合体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体、中心去除一个半径为1的圆柱，故其体积为23411112ππ⨯⨯-⨯⨯=-6．由框图知，x 与y 的函数关系为2,(2)23,(25)1.(5)x x y x x x x⎧⎪≤⎪=-<≤⎨⎪⎪>⎩，由y x =得若2x ≤，则20x x x =⇒=或1x =，若25x <≤，则233x x x -=⇒=，若5x >，显然1x x≠，故满足题意的x 值有0,1,3，故选C. 7．如图示，点P 在半圆C 上，点Q 在直线260x y --=上，过圆心C 作直线的垂线，垂足为A ，则min ||||22PQ CA =-=,故选C.8．由()P A 的定义可知①、④正确，又若,A B ⋂=∅则()(){}P A P B ⋂=∅，设(),n A n =则(())2,nn P A =所以②错误，⑤正确，故选B 。
二、填空题：910．15、0.0175；11．6π；12．-3；13．12；14．（1，3）; .解析：10.由直方图可知，这100辆机动车中属非正常行驶的有0.0025+0.00520100=15⨯⨯（）（辆），x 的值=[1(0.00250.00500.01000.0150)20]200.0175-+++⨯÷=.11.由(32)a b a -⊥得2(32)3||20a b a a a b -⋅=-⋅=233||||||cos ,22a b a a b a b ⇒⋅===⋅<>，3cos ,,623a b a b π<>==⇒<>=． 12.设数列{}n a 的公差为d ，由122a a =-得11112()2a a d d a a +=-⇒=--，则311142()a a d a a =+=-+，因10,a >故11114424a a a a +≥⋅=，当且仅当114a a =，即12a =“=”成立，这时3a 取得最大值，由12a =得21a =-，所以3d =-。
13.如右图，使|5||3|4x y -+-≤是图中阴影部分，故所求的概率141+412==60602S P ⨯⨯⨯=阴影（）3 14．把直线l 的参数方程化为普通方程得25x y +=，把曲线C 的参数方程化为普通方程得212(11)y x x =+-≤≤，由方程组212(11)25y x x x y ⎧=+-≤≤⎨+=⎩解得交点坐标为（1，3）【或将曲线C 的参数方程化为普通方程得212(11)y x x =+-≤≤后将132x ty t=+⎧⎨=-⎩代入解得0t =，进而得点坐标为（1，3）】 15．DE 为OB 的中垂线且OD=OB ，∴OBD ∆为等边三角形，060COD ∠=，23432323OD BC OC OB ==-== 三.解答题：16．解：（1）由0sin x ,≠解得x k (k Z )π≠∈，所以函数f (x )的定义域为{x|x k (k Z )}π≠∈------------------------2分sin 2()2sin 2cos 2sin 22(sin cos cos sin )22sin().sin 444x f x x x x x x x x πππ=+=+=+=+---4分f (x )∴的最小正周期221T ππ==-----------------------------------6分 （2）解法1：由()2cos sin 12cos sin 0,f ααααα=⇒+=⇒=---------------------8分[0,]απ∈且sin 0α≠，.2πα∴=------------------------------------10分∴5()sin()124126f ππππαα+=++==------------------------------------12分解法2：由()2,[0,],f ααπ=∈得sin cos 1αα+=cos 1sin αα⇒=-，代入22sin cos 1αα+=得22sin (1sin )1αα+-=2sin (sin 1)0αα⇒-=，-----8分sin 0α≠ ∴sin 1α=，又[0,]απ∈，.2πα∴=---------------------------------10分∴5()sin()124126f ππππαα+=++==------------------------------------12分17.解：设i A 表示事件“此人于2月i 日到达该市”（ i =1,2，…，12）. 依题意知,1()12i P A =,且()i j A A i j =∅≠.---------------------------------------2分（1）设B 为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，则123712B A A A A A =,所以123712()()P B P A A A A A =1237125()()()()()12P A P A P A P A P A =++++=. 即此人到达当日空气质量重度污染的概率为512.--------------------------------------5分 (2)由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2，3且------------------------------------6分P(ξ=0)=P(A 4∪A 8∪A 9)= P(A 4)+P(A 8)+P(A 9)=31124=,-------------------7分 P(ξ=2)=P(A 2∪A 11)= P(A 2)+P(A 11) =21126=,-------------------------------8分 P(ξ=3)=P(A 1∪A 12)= P(A 1)+P(A 12) =21126=,-------------------------------9分 P(ξ=1)=1－P(ξ=0)－P(ξ=2)－P(ξ=3)=1115146612---=,--------------10分(或P(ξ=1)=P(A 3∪A 5∪A 6∪A 7∪A 10)= P(A 3)+P(A 5)+ P(A 6)+P(A 7)+P(A 10)=512)所以ξ的分布列为：P D ABSH-----------------------------------------------------------------11分故ξ的期望151150123412664E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．-------------------------------12分18．（1）将侧面SAB 绕侧棱SA 旋转到与侧面SAD 在同一平面内，如右图示， 则当B 、P 、H 三点共线时，PB PH +取最小值，这时，PB PH +的最小值即线段BH 的长，--------------------------------------------1分 设HAD α∠=,则BAH πα∠=-， 在Rt AHD ∆中，∵SA AD AH SD ⋅==,∴cos AH AD α==分在三角形BAH 中，有余弦定理得：2222cos()BH AB AH AB AH πα=+-⋅-41712(55=+-=∴min ()PB PH BH +==.------------------------------------------------------------4分（2）证明：∵SA⊥底面ABCD ，∴SA⊥BC，又AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB ，又EA ⊂平面SAB ，∴EA⊥BC，-------------------------------6分 又∵AE⊥S B，∴AE ⊥平面SBC，-------------------------------------------------------7分 又EK ⊂平面SBC ，∴EA⊥EK ，-------------------------------------------------------8分同理 AH ⊥K H ，∴E、H 在以AK 为直径的圆上---------------------------------------9分（3）方法一：如图，以A 为原点,分别以AB 、AD 、AS 所在的直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系如右图示，----------------------------------------------------------------------------10分则S （0，0，2），C （1，1，0），由（1）可得AE⊥SC ，AH ⊥SC ，∴S C⊥平面AEKH ，112SC (,,)=-为平面AEKH 的一个法向量，-------------------11分 002AS (,,)=为平面ABCDF 的一个法向量，-------------------12分设平面AEKH 与平面ABCD 所成的锐二面角的平面角为θ，则626|AS SC |cos |cos AS SC ||AS ||SC |θ⋅=<⋅>===⋅----------------13分∴平面AEKH 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值63分 【方法二： 由SAB SAD ∆≅∆可知SE SHSB SD=,故//EH BD , 又∵EH ⊂面AEKH ，BD ⊄面AEKH , ∴//BD 面AEKH. ------------------------10分设平面AEKH ⋂平面ABCD=l ，∵//BD 面AEKH ，∴//l BD -------------------------------------------------------------11分 ∵BD ⊥AC ，∴l ⊥AC ，又BD ⊥S A ，∴B D ⊥平面SAC ，又AK ⊂平面SAC ， ∴BD ⊥AK ， ∴l ⊥AK ，∴CAK ∠为平面AEKH 与平面ABCD 所成的锐二面角的一个平面角，--------------13分cos CAK cos CSA ∠=∠=636= ∴平面AEKH 与平面ABCD 6------------------------14分】19．解：（1）由222(1)()0n n a n n a n n -+--+=,得2()(1)0n n a n n a ⎡⎤-++=⎣⎦.---------2分由于{}n a 是正项数列,所以2n a n n =+.---------------------------------3分由21n n S b =+可得当2n ≥时，1121n n S b --=+，两式相减得1n n b b -=-，------------5分 ∴数列{}n b 是首项为1，公比1-的等比数列，1(1).n n b -∴=-----------------------------------7分（2）∵1(21)21(1)(1)n n n n n b n c a n n -++==-⋅+---------------------------------8分 方法一：∴2124141(41)(21)(41)(21)2(21)2(21)2(21)(21)n n n n n n n n c c n n n n n n n --+-+-+-+=-=-+-+211(21)(21)2121n n n n ==--+-+--------------------------------------------------------------11分21234212111111()()()13352121n n n T c c c c c c n n -∴=++++++=-+-++--+11 1.21n =-<+---------------------------------------------------------------------------------------14分 【方法二：∵11(21)2111(1)(1)()(1)1n n n n n n b n c a n n n n --++==-⋅=-⋅+++-----------------11分 2123421211111111()()()()12233445n n n T c c c c c c -∴=++++++=+-+++-++11111()()1 1.21222121n n n n n ++-+=-<-++----------------------------------------------14分】20.解：(1)依题意知：椭圆的长半轴长2a =，则A (2，0)，设椭圆E 的方程为14222=+by x -----------------------2分由椭圆的对称性知|OC |＝|OB | 又∵0=⋅BC AC ，|BC |＝2|AC | ∴AC ⊥BC ，|OC |＝|AC | ∴△AOC 为等腰直角三角形，∴点C 的坐标为(1，1)，点B 的坐标为(－1，－1) ，---------------------4分 将C 的坐标(1，1)代入椭圆方程得342=b ∴所求的椭圆E 的方程为143422=+y x ----------------------------------------------5分 （2）解法一：设在椭圆E 上存在点Q ，使得222|QB ||QA|-=，设00Q(x ,y )，则()()()2222220000001126222|QB||QA|x y x y x y .-=+++---=+-=即点Q在直线320x y +-=上，-----------------------------------------------------------7分∴点Q 即直线320x y +-=与椭圆E 的交点，∵直线320x y +-=过点203(,)，而点椭圆203(,)在椭圆E 的内部， ∴满足条件的点Q 存在，且有两个．------------------------------------------------------9分【解法二：设在椭圆E 上存在点Q ，使得222|QB ||QA|-=，设00Q(x ,y )，则()()()2222220000001126222|QB||QA|x y x y x y .-=+++---=+-=即00320x y +-=，--------①-------------------------------------------------7分又∵点Q 在椭圆E 上，∴2200340x y +-=，-----------------②由①式得0023y x =-代入②式并整理得：2007920x x -+=，-----③ ∵方程③的根判别式8156250∆=-=>，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q 存在，且有两个．---------------9分】（3）解法一：设点11P(x ,y )，由M 、N 是O 的切点知，OM MP,ON NP ⊥⊥, ∴O 、M 、P 、N 四点在同一圆上，------------------------------------------10分 且圆的直径为OP,则圆心为1122x y (,)， 其方程为22221111224x y x y (x )(y )+-+-=，------------------------------11分 即22110x y x x y y +--=-----④即点M 、N 满足方程④，又点M 、N 都在O 上， ∴M、N 坐标也满足方程2243O :x y +=---------------⑤ ⑤-④得直线MN 的方程为1143x x y y +=，------------------------------12分 令0y ,=得143m x =，令0x =得143n y =，----------------------------------13分 ∴114433x ,y m n ==，又点P 在椭圆E 上， ∴22443433()()m n +=，即2211334m n +==定值.-----------------------------------14分【解法二：设点112233P(x ,y ),M(x ,y ),N(x ,y ),则221PM OM x k ,k y =-=-----------10分 直线PM 的方程为2222x y y (x x ),y -=--化简得2243x x y y ,+=--------------④ 同理可得直线PN 的方程为3343x x y y ,+=---------------⑤-------------------11分 把P 点的坐标代入④、⑤得121213134343x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∴直线MN 的方程为1143x x y y +=，------------------------------------------------------12分令0y ,=得143m x =，令0x =得143n y =，--------------------------------------------13分 ∴114433x ,y m n ==，又点P 在椭圆E 上， ∴22443433()()m n +=，即2211334m n +==定值．---------------------------------------------14分】 21.（1）证明：要证4()31f x x >-+，即证4ln 201x x +->+，--------------------1分 令4()ln 2,1m x x x =+-+则22214(1)()0.(1)(1)x m x x x x x -'=-=>++------------3分 ∴()m x 在(1,)+∞单调递增，()(1)0m x m ∴>=，4ln 201x x ∴+->+，即4()31f x x >-+成立．----------------------4分 （2）解法一：由()f x x >且(1,)x e ∈可得1,ln x a x->---------------------------------------5分 令21ln 11(),(),ln (ln )x x x h x h x x x -+-'==---------------------------------------------------------6分由（1）知2114(1)ln 110,1(1)x x x x x x x --+>+-=>++-----------------------------------8分 ()0,h x '∴>函数()h x 在(1,)e 单调递增，当(1,)x e ∈时，()()1,h x h e e <=-1a e ∴≥-．----------------------------------------------------------9分【解法二：令()ln 1h x a x x =+-，则'()1a a x h x x x-=-=，-------------------5分 当a e >时，'()0h x >，函数()h x 在(1,)e 上是增函数，有()(1)0h x h >=，------6分 当1a e <≤时，∵函数()h x 在(1,)a 上递增，在(,)a e 上递减，对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，只需()0h e ≥，即1a e ≥-．---------------7分当1a ≤时，函数()h x 在(1,)e 上递减，对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，只需()0h e ≥， 而()10h e a e =+-<，不合题意，-----------------------------------------------------------8分综上得对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，1a e ≥-．------------------------9分】【解法三：由()f x x >且(1,)x e ∈可得1ln ,1x a x <----------------5分 由于ln 1x x -表示两点(,ln ),(1,0)A x x B 的连线斜率，-----------------6分 由图象可知ln 1x y x =-在(1,)e 单调递减， 故当(1,)x e ∈时，ln ln 1,111x e x e e >=-----------------------------------8分 1101a e ∴<≤-即1a e ≥--------------------------------------------------9分】 （3）当12a =时，1()ln 1.2f x x =+则121()ln(1)!2n i f i n n +==++∑， 要证12()2(11)n i f i n n +=>++∑，即证12ln 2441n i i n n +=>+-+∑分 由（1）可知4ln(1)2,2n n +>-+又42(1)12n n n +=++>>∴<+-------------11分∴ln(1)22n +>=- ∴ln 2ln 3ln(1)24[(21)(32)(1)]n n n n ++++>--+-+++-=24n +--------------------------------------------13分故12()2(1n i f i n +=>+∑得证．------------------------------------------14分。