2017年春季学期高二文科数学开学考
江西省宜春市上高二中2017届高三下学期开学数学试卷(文科)
2016-2017学年江西省宜春市上高二中高三（下）开学数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．已知集合A={x|log2x＜1}，B={x|0＜x＜c，其中c＞0}．若A∪B=B，则c的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（0，2]D．[2，+∞）2．复数z满足z（1+i）=|1+i|，则z等于（）A．1﹣i B．1 C．﹣i D．﹣i=a n+ln（1+），则a n=（）3．在数列{a n}中，a1=2，a n+1A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn4．在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则△PBC的面积小于的概率是（）A．B．C．D．5．如图所示的程序框图，如果输出的是30，那么判断框中应填写（）A．i＞3？B．i≤5？C．i＜4？D．i≤4？6．定义：|×|=||•||•sinθ，其中θ为向量与的夹角，若||=2，||=5，•=﹣6，则|×|=（）A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．67．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A． B． C． D．8．若函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是这段图象的最高点和最低点，且•=0，则A•ω=（）A．B．C．D．9．函数y=，x∈（﹣，0）∪（0，）的图象可能是下列图象中的（）A．B． C． D．10．如图1，一个多面体的正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形且直角边长为2，俯视图是边长为2的正方形，则该多面体的表面积是（）A． B．C．D．11．已知A，B，C是单位圆上互不相同的三点，且满足||=||，则的最小值为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣112．在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0；④到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题有（）A．1个 B．2 个C．3 个D．4个二、填空题（共4小题，每小题5分）13．设直线x﹣my﹣1=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且弦AB 的长为，则实数m的值是．14．若不等式组表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的范围是．15．所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥S﹣ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=2，则正三棱锥S﹣ABC的体积为，其外接球的表面积为．16．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2）且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是．三、解答题（共70分）17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，=（cosA+2sinA，﹣3sinA），=（sinA，cosA﹣2sinA），（1）若∥且角A为锐角，求角A的大小；（2）在（1）的条件下，若cosB=，c=7，求a的值．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且1，a n，S n是等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=log2a n，设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和为T n．19．已知函数f（x）=sin（2x﹣）+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=，求△ABC的面积．20．元旦前夕，某校高三某班举行庆祝晚会，人人准备了才艺，由于时间限制不能全部展示，于是找四张红色纸片和四张绿色纸片上分别写1，2，3，4，确定由谁展示才艺的规则如下：①每个人先分别抽取红色纸片和绿色纸片各一次，并将上面的数字相加的和记为X；②当X≤3或X≥6时，即有资格展现才艺；当3＜X＜6时，即被迫放弃展示．（1）请你写出红绿纸片所有可能的组合（例如（红2，绿3），（红3，绿2））；（2）求甲同学能取得展示才艺资格的概率．21．如图，在底面是菱形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠ABC=60°，AA1=AC=2，A1B=A1D=2，点E在A1D上．（1）证明：AA1⊥面ABCD．（2）当为何值时，A1B∥平面EAC，并求出此时直线A1B与平面EAC之间的距离．22．已知函数．（1）当a=0时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），求函数g（x）的极值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：．2016-2017学年江西省宜春市上高二中高三（下）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．已知集合A={x|log2x＜1}，B={x|0＜x＜c，其中c＞0}．若A∪B=B，则c的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（0，2]D．[2，+∞）【考点】对数函数的定义域；并集及其运算．【分析】先化简集合A，再由条件A∪B=B得到A⊆B，即可求出c的取值范围．【解答】解：∵A={x|log2x＜1}，∴A={x|0＜x＜2}，由已知若A∪B=B，得A⊆B，∴c≥2．故选D．2．复数z满足z（1+i）=|1+i|，则z等于（）A．1﹣i B．1 C．﹣i D．﹣i【考点】复数求模．【分析】通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可．【解答】解：复数z满足z（1+i）=|1+i|=2，z===1﹣．故选：A．=a n+ln（1+），则a n=（）3．在数列{a n}中，a1=2，a n+1A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项．【解答】解：∵，，…∴=故选：A．4．在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则△PBC的面积小于的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据△PBC的面积小于时，可得点P所在区域的面积为矩形面积的一半，从而可求相应概率．【解答】解：设P到BC的距离为h∵矩形ABCD的面积为S，∴△PBC的面积小于时，h≤∴点P所在区域的面积为矩形面积的一半，∴△PBC的面积小于的概率是故选D．5．如图所示的程序框图，如果输出的是30，那么判断框中应填写（）A．i＞3？B．i≤5？C．i＜4？D．i≤4？【考点】程序框图．【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：①S=2，i=2，②S=2+22=6，i=3，③S=6+23=14，i=4，④S=14+24=30，i=5＞4，故选D．6．定义：|×|=||•||•sinθ，其中θ为向量与的夹角，若||=2，||=5，•=﹣6，则|×|=（）A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．6【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量数量积运算和新定义即可得出．【解答】解：由数量积可得=10cosθ，解得，∵0≤θ≤π，∴．∴|×|===8．故选A．7．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A． B． C． D．【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求a1，d，进而可求a n，代入可得==，裂项可求和【解答】解：设等差数列的公差为d由题意可得，解方程可得，d=1，a1=1由等差数列的通项公式可得，a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n∴===1﹣=故选A8．若函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是这段图象的最高点和最低点，且•=0，则A•ω=（）A．B．C．D．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】根据图象求出函数的周期，再求出ω的值，根据周期设出M和N的坐标，利用向量的坐标运算求出A的值，即求出A•ω的值．【解答】解：由图得，T=4×=π，则ϖ=2，设M（，A），则N（，﹣A），∵，A＞0，∴×﹣A×A=0，解得A=，∴A•ω=．故选C．9．函数y=，x∈（﹣，0）∪（0，）的图象可能是下列图象中的（）A．B． C． D．【考点】函数的图象．【分析】根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可．【解答】解：因为y=是偶函数，排除A，当x=1时，y=＞1，排除C，当x=时，y=＞1，排除B、C，故选D．10．如图1，一个多面体的正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形且直角边长为2，俯视图是边长为2的正方形，则该多面体的表面积是（）A． B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】画出几何体的直观图，分析出各个面的形状，求出各个面的面积后，相加可得答案．【解答】解：该多面体为一个三棱锥D﹣ABC，如图1所示，其中3个面是直角三角形，1个面是等边三角形，S表面积=S△ABC+S△ABD+S△ACD+S△==，故选A．11．已知A，B，C是单位圆上互不相同的三点，且满足||=||，则的最小值为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得，点A在BC的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点A（0，1），点B（x1，y1），则点C（﹣x1，y1），x12+y12=1，且﹣1≤y1＜1．根据=2y12﹣2y1，再利用二次函数的性质求得它的最小值．再利用二次函数的性质求得它的最小值．【解答】解：由题意可得，点A在BC的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点A（0，1），点B（x1，y1），则点C（﹣x1，y1），﹣1≤y1＜1．∴=（x1，y1﹣1），=（﹣x1，y1﹣1），x12+y12=1．∴•=﹣x12+y12﹣2y1+1=﹣（1﹣y12）+y12﹣2y1+1=2y12﹣2y1，∴当y1=时，取得最小值为﹣，故选：B．12．在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0；④到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题有（）A．1个 B．2 个C．3 个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．【解答】解：到原点的“折线距离”等于1的点的集合{（x，y）||x|+|y|=1}，是一个正方形，故①正确，②错误；到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等点的集合是{（x，y）||x+1|+|y|=|x ﹣1|+|y|}，由|x+1|=|x﹣1|，解得x=0，∴到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0，即③正确；到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合{（x，y）||x+1|+|y|﹣|x﹣1|﹣|y|=±1}={（x，y）||x+1|﹣|x﹣1|=±1}，集合是两条平行线，故④正确；综上知，正确的命题为①③④，共3个．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．设直线x﹣my﹣1=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且弦AB的长为，则实数m的值是．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，再由弦AB的长，利用垂径定理及勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，得到圆心坐标为（1，2），半径r=2，∵圆心到直线x﹣my﹣1=0的距离d=，又|AB|=2，∴r2=d2+（）2，即4=+3，整理后得到3m2=1，解得：m=±．故答案为：±14．若不等式组表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的范围是（0，1）．【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，求出k的临界值，从而结合图象写出实数k的取值范围．【解答】解：由题意作出其平面区域，当直线y=kx+3与AB重合时，k=0，是直角三角形，当直线y=kx+3与AD重合时，k=1，是直角三角形；故若区域为一个锐角三角形及其内部，则0＜k＜1；故答案为：（0，1）．15．所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥S﹣ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=2，则正三棱锥S﹣ABC的体积为，其外接球的表面积为12π．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积．【分析】设棱锥的高为SO，则由正三角形中心的性质可得AC⊥OB，AC⊥SO，于是AC⊥平面SBO，得SB⊥AC，结合SB⊥AM可证SB⊥平面SAC，同理得出SA，SB，SC两两垂直，从而求得侧棱长，计算出体积．外接球的球心N在直线SO上，设SN=BN=r，则ON=|SO﹣r|，利用勾股定理列方程解出r．【解答】解：设O为S在底面ABC的投影，则O为等边三角形ABC的中心，∵SO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥SO，又BO⊥AC，∴AC⊥平面SBO，∵SB⊂平面SBO，∴SB⊥AC，又AM⊥SB，AM⊂平面SAC，AC⊂平面SAC，AM∩AC=A，∴SB⊥平面SAC，同理可证SC⊥平面SAB．∴SA，SB，SC两两垂直．∵△SOA≌△SOB≌△SOC，∴SA=SB=SC，∵AB=2，∴SA=SB=SC=2．∴三棱锥的体积V==．设外接球球心为N，则N在SO上．∵BO==．∴SO==，设外接球半径为r，则NO=SO﹣r=﹣r，NB=r，∵OB2+ON2=NB2，∴+（）2=r2，解得r=．∴外接球的表面积S=4π×3=12π．故答案为：，12π．16．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2）且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（，2）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由已知中可以得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，将方程f （x）﹣log a x+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=﹣log a x+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．【解答】解：∵对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．又∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=log a（x+2）在区间（﹣2，6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f（﹣2）=f（2）=3，则对于函数y=log a（x+2），由题意可得，当x=2时的函数值小于3，当x=6时的函数值大于3，即log a4＜3，且log a8＞3，由此解得：＜a＜2，故答案为：（，2）．三、解答题（共70分）17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，=（cosA+2sinA，﹣3sinA），=（sinA，cosA﹣2sinA），（1）若∥且角A为锐角，求角A的大小；（2）在（1）的条件下，若cosB=，c=7，求a的值．【考点】正弦定理；平行向量与共线向量．【分析】（1）由可得，结合角A 为锐角，即可解得A 的值．（2）在△ABC 中，已知A ，B 的三角函数值，可求得sinC 的值，再由正弦定理可得a 的值． 【解答】解：（1）∵， =（cosA +2sinA ，﹣3sinA ），=（sinA ，cosA ﹣2sinA ），∴（cosA +2sinA ）（cosA ﹣2sinA ）=﹣3sin 2A ，∴解得：．又∵角A 为锐角，∴．（2）在△ABC 中，，则．∴，∴，∴由正弦定理得，解得a=5．18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且1，a n ，S n 是等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =log 2a n ，设c n =a n •b n ，求数列{c n }的前n 项和为T n ． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由2a n =1+S n ，当n=1时，a 1=1，当n ≥2时，2a n ﹣2a n ﹣1=a n ，a n =2a n﹣1，数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，即可求得数列{a n }的通项公式；（2）由，采用“错位相减法”即可求得数列{c n }的前n 项和为T n ．【解答】解：（1）由1，a n ，S n 是等差数列知：2a n =1+S n …①， 当n=1时，2a 1=1+a 1，则a 1=1；… 当n ≥2时，2a n ﹣1=1+S n ﹣1…②，①﹣②得2a n ﹣2a n ﹣1=a n ，即a n =2a n ﹣1；…故数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a n}的通项公式：；…6分（2）由b n=log2a n=n﹣1，，…，…③∴，…④③﹣④得，=，=（2﹣n）•2n﹣2，∴，数列{c n}的前n项和为：．…19．已知函数f（x）=sin（2x﹣）+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=，求△ABC的面积．【考点】正弦函数的单调性；余弦定理．【分析】（Ⅰ）函数f（x）展开后，利用两角和的公式化简为一个角的一个三角函数的形式，结合正弦函数的单调增区间求函数f（x）的单调增区间．（Ⅱ）利用f（A）=，求出A的大小，利用余弦定理求出bc的值，然后求出△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为===所以函数f（x）的单调递增区间是〔〕（k∈Z）（Ⅱ）因为f （A ）=，所以又0＜A ＜π所以从而故A=在△ABC 中，∵a=1，b +c=2，A=∴1=b 2+c 2﹣2bccosA ，即1=4﹣3bc ． 故bc=1 从而S △ABC =20．元旦前夕，某校高三某班举行庆祝晚会，人人准备了才艺，由于时间限制不能全部展示，于是找四张红色纸片和四张绿色纸片上分别写1，2，3，4，确定由谁展示才艺的规则如下：①每个人先分别抽取红色纸片和绿色纸片各一次，并将上面的数字相加的和记为X ；②当X ≤3或X ≥6时，即有资格展现才艺；当3＜X ＜6时，即被迫放弃展示． （1）请你写出红绿纸片所有可能的组合（例如（红2，绿3），（红3，绿2））； （2）求甲同学能取得展示才艺资格的概率． 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）利用列举法能求出取得这些可能的值的红绿卡片可能的组合． （2）红绿卡片所有可能组合对共有16个，满足当X ≤3或≥6的红绿卡片组合对9对．由此能求出甲同学取得展示才艺资格的概率．【解答】解：（1）取得这些可能的值的红绿卡片可能的组合为：（2）从（1）中可知红绿卡片所有可能组合对共有16个． 满足当X ≤3或≥6的红绿卡片组合对有：（红1，绿1），（红1，绿2），（红2，绿1），（红2，绿2）， （红2，绿4），（红4，绿2），（红4，绿3），（红4，绿4）共9对． 所以甲同学取得展示才艺资格的概率为．21．如图，在底面是菱形的四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，∠ABC=60°，AA 1=AC=2，A 1B=A 1D=2，点E 在A 1D 上．（1）证明：AA 1⊥面ABCD ． （2）当为何值时，A 1B ∥平面EAC ，并求出此时直线A 1B 与平面EAC 之间的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（I ）利用勾股定理的逆定理可得：A 1A ⊥AB ；A 1A ⊥AD ．再利用线面垂直的判定定理即可证明结论．（II ）①当=1时，A 1B ∥平面EAC ．下面给出证明：连接BD ，交AC 于点O ．利用三角形中位线定理可得：A 1B ∥OE ，再利用线面平行的判定定理即可证明A 1B ∥平面EAC ．②由OE 是△A 1BD 的中位线，可得求出点D 到平面EAC 的距离即直线A 1B 与平面EAC 之间的距离．利用V E ﹣ACD =V D ﹣ACE ，即=，解出即可得出．【解答】（I ）证明：∵AA 1=2，A 1B=A 1D=2， ∴=8=，可得∠A 1AB=90°， ∴A 1A ⊥AB ；同理可得：A 1A ⊥AD ．又AB ∩AD=A ，∴AA 1⊥面ABCD ．（II ）①当=1时，A 1B ∥平面EAC ．下面给出证明：连接BD ，交AC 于点O ． 连接OE ，则OE 是△A 1BD 的中位线，∴A 1B ∥OE ．又A 1B ⊄平面EAC ，OE ⊂平面EAC ，∴A 1B ∥平面EAC ．②∵OE 是△A 1BD 的中位线，∴求出点D 到平面EAC 的距离即直线A 1B 与平面EAC 之间的距离． 点E 到平面ACD 的距h=AA 1=1．S △ACD ==．EC==2=AC ，AE=．∴S △ACE ==． ∵V E ﹣ACD =V D ﹣ACE ，∴=， ∴d==．22．已知函数．（1）当a=0时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），求函数g（x）的极值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f（x）的解析式，求出切点坐标，从而求出切线方程即可；（2）求导数，然后通过研究不等式的解集确定原函数的单调性；（3）结合已知条件构造函数，然后结合函数单调性得到要证的结论．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=lnx+x，则f（1）=1，所以切点为（1，1），又f′（x）=+1，则切线斜率k=f′（1）=2，故切线方程为：y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0；（2）g（x）=f（x）﹣（ax﹣1）=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，所以g′（x）=﹣ax+（1﹣a）=，当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0．所以g（x）在（0，+∞）上是递增函数，无极值；当a＞0时，g′（x）=，令g′（x）=0，得x=，所以当x∈（0，）时，g′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，因此函数g（x）在x∈（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数，当a＞0时，函数g（x）的递增区间是（0，），递减区间是（，+∞），∴x=时，g（x）有极大值g（）=﹣lna，综上，当a≤0时，函数g（x）无极值；当a＞0时，函数g（x）有极大值﹣lna，无极小值；（3）由x1＞0，x2＞0，即x1+x2＞0．令t=x1x2，则由x1＞0，x2＞0得，φ′（t）=，t＞0，可知，φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以φ（t）≥φ（1）=1，所以（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，解得x1+x2≥或x1+x2≤，又因为x1＞0，x2＞0，因此x1+x2≥成立．2017年4月14日。
人教版2017高二(下)开学数学试卷(文科)附答案
人教版2017高二（下）开学数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求.）1．若m、n都是正整数，那么“m、n中至少有一个等于1”是“m+n＞mn”的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件2．在△ABC中，若b2+c2﹣a2=bc，则A=（）A．90°B．150°C．135° D．60°3．不等式﹣x2+3x+4＜0的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|x＞4或x＜﹣1}C．{x|x＞1或x＜﹣4}D．{x|﹣4＜x＜1}4．若a＞1，则的最小值是（）A．2 B．a C．3 D．5．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a1=4，则公差d等于（）A．1 B．C．﹣2 D．36．曲线f（x）=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则p0的坐标为（）A．（1，0） B．（2，8） C．（1，0）或（﹣1，﹣4） D．（2，8）或（﹣1，﹣4）7．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x 的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）A．3 B．6 C．9 D．128．若ab≠0，则ax﹣y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲线只可能是图中的（）A．B．C．D．9．已知x2+y 2=1，若x+y﹣k≥0对符合条件一切x、y都成立，则实数k的最大值为（）A．B．﹣C．0 D．110．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的全面积是（）A．a2B．a2C．a2D．a211．平面α∥平面β的一个充分条件是（）A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α12．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．③④二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请将答案填在答题纸上）=（n∈N*），则a4=．13．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+114．某物流公司有6辆甲型卡车和4辆乙型卡车，此公司承接了每天至少运送280t货物的业务，已知每辆甲型卡车每天的运输量为30t，运输成本为0.9千元；每辆乙型卡车每天的运输量为40t，运输成本为1千元，则当每天运输成本最低时，所需甲型卡车的数量是；15．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖的块数是．16．若不等式mx2+4mx﹣4＜0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（1）S n为等差数列{a n}的前n项和，S2=S6，a4=1，求a5．（2）在等比数列{a n}中，若a4﹣a2=24，a2+a3=6，求首项a1和公比q．18．过点P（2，1）作直线l，与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，则使|PA|•|PB|取得最小值时的直线l的方程是．19．有三个数成等差数列，前两个数的和的3倍正好是第三个数的2倍，如果把第二个数减去2，那么所得数是第一个数与第三个数的等比中项．求原来的三个数．20．若0≤a≤1，解关于x的不等式（x﹣a）（x+a﹣1）＜0．21．已知函数f（x）=的定义域恰为不等式log2（x+3）+x≤3的解集，且f（x）在定义域内单调递减，求实数a的取值范围．22．设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，已知数列是首项为1，公差为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=，若不等式b1+b2+b3+…+b n≥对任意n∈N*都成立，求实数m的取值范围．参考答案一、CDBCC CBCBA DC二、13．14．415．4n+2．16．﹣1＜m≤0．三、17．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由已知可得，解之可得，故a5=1+（﹣2）=﹣1；（2）由已知可得，解之可得18．【解答】解：设直线l：y﹣1=k（x﹣2），分别令y=0，x=0，得A（2﹣，0），B（0，1﹣2k）．则|PA|•|PB|==，当且仅当k2=1，即k=±1时，|PA|•|PB|取最小值，又∵k＜0，∴k=﹣1，这时l的方程为x+y﹣3=0．故答案为：x+y﹣3=0．19．【解答】解：设成等差数列的三个数分别为a﹣d，a，a+d，由题意，得即，解得，或，所以，原来的三个数分别为1，5，9或．20．【解答】解：由（x﹣a）（x+a﹣1）=0得：x=a，或x=1﹣a，当0≤a＜时，＜1﹣a≤1，解不等式（x﹣a）（x+a﹣1）＜0得：x∈（a，1﹣a），当a=时，1﹣a=，不等式（x﹣a）（x+a﹣1）＜0解集为∅，当＜a≤1，时，0≤1﹣a＜解不等式（x﹣a）（x+a﹣1）＜0得：x∈（1﹣a，a）．综上：当0≤a＜时，不等式的解集：x∈（a，1﹣a），当a=时，不等式解集为∅，当＜a≤1时，不等式的解集：x∈（1﹣a，a）．21．【解答】解：由log2（x+3）+x=≤3=log28，可得，求得x≥，即f（x）的定义域为[，+∞）．∵f（x）在定义域[，+∞）内单调递减，∴当x2＞x1≥时，f（x1）﹣f（x2）＞0恒成立，即有（ax1﹣+2）﹣（ax2﹣+2）＞0⇔a（x1﹣x2）﹣（﹣）＞0⇔（x1﹣x2）（a+）＞0恒成立．∵x1＜x2，∴（x1﹣x2）（a+）＞0⇔a+＜0．∵x1x2＞⇒﹣＞﹣，要使a＜﹣恒成立，则a的取值范围是a≤﹣．22．【解答】解：（Ⅰ）∵数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴．∴．当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．又a1=1适合上式．∴a n=2n﹣1．…（Ⅱ）==，∴b1+b2+…+b n===．∴对任意n∈N*都成立，得对任意n∈N*都成立．令，则．∴c n＞c n．∴．∴．+1∴实数m的取值范围为．…。
2017年上海市春季高考数学试卷(含答案详解)
2017年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（）A．B．C D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．21．（12分）已知函数f （x ）=log 2；（1）解方程f （x ）=1；（2）设x ∈（﹣1，1），a ∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f （）﹣f （x ）=﹣f （）；（3）设数列{x n }中，x 1∈（﹣1，1），x n+1=（﹣1）n+1，n ∈N *，求x 1的取值范围，使得x 3≥x n 对任意n ∈N *成立．2017年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= {1，2，3，4} ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为（﹣2，4）．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= 2﹣3i ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= 6 ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= 10 ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为 2 ．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为160 ．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是 6 ．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为48 ．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为（0，1）．解：函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒，如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）═a+b+1∴z的最小值为z=a+b+1过点（1，﹣2）时，z的最大值为z=a+b+1过点（4，﹣4）时∴f（1）的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（ B ）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（ C ）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ A ）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（ B ）A．B．C．D．解：由题意，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135°，且，，，．再由正弦函数的单调性及值域可得，当P与A8重合时，最小为==．结合选项可得的取值范围为．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：====4．（2）∵DD1∥CC1，∴∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），∵tan∠A1CC1===，∴=．∴异面直线A1C与DD1所成角的大小为；18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．解：（1）由f（x）的定义域为R，且f（x）为奇函数，可得f（0）=0，即有=0，解得a=﹣1．则f（x）=，f（﹣x）===﹣f（x），则a=﹣1满足题意；（2）对任意x∈R成立，即为＜恒成立，等价为＜，即有2（a﹣1）＜a（2x+1），当a=0时，﹣1＜0恒成立；当a＞0时，＜2x+1，由2x+1＞1，可得≤1，解得0＜a≤2；当a＜0时，＞2x+1不恒成立．综上可得，a的取值范围是[0，2]．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）解：（1）M1半径=60tan30°≈34.6，M2半径=60tan15°≈16.1；（2）设∠BAD=2α，则总造价y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°﹣α），设1+tanα=x，则y=12π•（8x+﹣17）≥84π，当且仅当x=，tanα=时，取等号，∴M1半径30，M2半径20，造价42.0千元．20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．解：（1）∵双曲线（b＞0），点（2，0）是Γ的一个焦点，∴c=2，a=1，∴b2=c2﹣a2=4﹣1=3，∴Γ的标准方程为： =1，Γ的渐近线方程为．（2）∵b=1，∴双曲线Γ为：x2﹣y2=1，P（﹣1，0），P′（1，0），∵=，设Q（x2，y2），则有定比分点坐标公式，得：，解得，∵，∴，∴=．（3）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），k PQ =k 0，则，由，得（b 2﹣k 2）x 2﹣4kx ﹣4﹣b 2=0，，，由，得（）x 2﹣2k 0nx ﹣n 2﹣b 2=0，﹣x 1+x 2=，﹣x 1x 2=，∴x 1x 2==，即，即=，====，化简，得2n 2+n （4+b 2）+2b 2=0，∴n=﹣2或n=，当n=﹣2，由=，得2b 2=k 2+k 02，由，得，即Q （，），代入x 2﹣=1，化简，得：，解得b 2=4或b 2=kk 0，当b 2=4时，满足n=，当b 2=kk 0时，由2b 2=k 2+k 02，得k=k 0（舍去），综上，得n=．21．（12分）已知函数f （x ）=log 2；（1）解方程f （x ）=1；（2）设x ∈（﹣1，1），a ∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f （）﹣f （x ）=﹣f （）；（3）设数列{x n }中，x 1∈（﹣1，1），x n+1=（﹣1）n+1，n ∈N *，求x 1的取值范围，使得x 3≥x n 对任意n ∈N *成立．解：（1）∵f （x ）=log 2=1，∴=2，解得；（2）令g （x ）=，ax a a x g --+-=21)(∵a ∈（1，+∞），∴g （x ）在（﹣1，1）上是增函数，又g （﹣1）=，g （1）==1，∴﹣1＜g （x ）＜1，即∈（﹣1，1）．∵f （x ）﹣f （）=log 2﹣log 2=log 2﹣log 2=log 2（）=log 2，f （）=log 2=log 2．∴f （）=f （x ）﹣f （），∴f （）﹣f （x ）=﹣f （）．（3）∵f （x ）的定义域为（﹣1，1），f （﹣x ）=log 2=﹣log 2=﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数．∵x n+1=（﹣1）n+1，∴x n+1=．①当n 为奇数时，f （x n+1）=f （）=f （x n ）﹣f （）=f （x n ）﹣1，∴f （x n+1）=f （x n ）﹣1；②当n 为偶数时，f （x n+1）=f （﹣）=﹣f （）=1﹣f （x n ），∴f （x n+1）=1﹣f （x n ）．∴f （x 2）=f （x 1）﹣1，f （x 3）=1﹣f （x 2）=2﹣f （x 1），f （x 4）=f （x 3）﹣1=1﹣f （x 1），f （x 5）=1﹣f （x 4）=f （x 1），f （x 6）=f （x 5）﹣1=f （x 1）﹣1，…∴f （x n ）=f （x n+4），n ∈N +． 设12111)(---=-+=x x x x h∴h （x ）在（﹣1，1）上是增函数，∴f （x ）=log 2=log 2h （x ）在（﹣1，1）上是增函数．∵x 3≥x n 对任意n ∈N *成立，∴f （x 3）≥f （x n ）恒成立，∴，即，1）≤1，即log2≤1，∴0＜≤2，解得：﹣1＜x1≤．解得：f（x。
2017-2018学年高二下学期开学考试数学文试题(解析版)
高二下学期开学考试数学文试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 在复平面内，复数对应的点为，复数，若复数，则复数对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】复数对应的点为，则,,所对应的点为(3,1),在第一象限,故选A.2. 有一段演绎推理是这样的：“指数函数都是增函数；已知是指数函数；则是增函数”的结论显然是错误的，这是因为A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 非以上错误【答案】A【解析】“指数函数都是增函数”是错误的,即大前提错误,故选A.3. 用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )A. 假设a、b、c都不是偶数B. 假设a、b、c都是偶数C. 假设a、b、c至多有一个偶数D. 假设a、b、c至多有两个偶数【答案】A【解析】根据反证法证明的步骤，假设是对原命题结论的否定，因为“至少有一个”的否定是“都不是”，所以假设正确的是：假设都不是偶数，故选A.4. 已知△中，，求证.证明：，画线部分是演绎推理的（）.A. 大前提B. 三段论C. 结论D. 小前提【答案】D5. 已知椭圆(0<b<5)的离心率，则的值等于（）A. 1B. 3C. 6D. 8【答案】B【解析】由题意可知椭圆焦点在轴上，，由椭圆的离心率，即，由，即，的值等于，故选B.6. 若p，q为简单命题，则“p且q为假”是“p或q为假”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：命题“p且q”为假的判断，是这两个命题至少有一个假命题，p或q为假命题等价于两个命题都是假命题，得到前者成立后者不一定成立，但是后者成立前者一定成立，我们可以根据充要条件的定义进行判断，得到结果．∵当命题“p且q”为假的判断，是这两个命题至少有一个假命题，p或q为假命题等价于两个命题都是假命题，∴得到前者成立后者不一定成立，但是后者成立前者一定成立，∴前者是后者的必要不充分条件，故选B．考点：充分条件必要条件7. 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标为（）A. B. C. D.【答案】A化为，∴圆心为，半径r=．∵tanα=，取极角，∴圆的圆心的极坐标为．故选A．8. 某工厂加工某种零件的三道工序流程图如图按此工序流程图所示，该种零件可导致废品的环节有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】由流程图可知，该零件加工过程中，最少要经历：①零件到达②粗加工③检验④精加工⑤最后检验，五道工序，其中出现次品的环节有个：返修检验和最后检验，故选B.9. 下列说法：①残差可用来判断模型拟合的效果;②设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归方程必过；④在一个2×2列联表中，由计算得=13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系（其中）；其中错误的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3.【答案】B【解析】对于①，根据方差是表示一组数据波动大小的量，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，①正确；对于②，有一个回归方程,变量增加一个单位时,平均减少个单位，②错误；对于③，根据线性回归方程的性质可得必过样本中心点，③正确；对于④，在列联表中，计算得，对照临界值表知，有的把握确认这两个变量间有关系，④正确，故选B.10. 函数不存在极值点，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的定义域为,函数不存在极值点，即在没有实数根,,故选D.11. 已知函数在上存在导函数，都有，若，则实数m取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】构造函数,即g(x)在R上单调递减,可配凑为,即,故选B.点睛:本题主要考查了导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属于中档题.解答本题首先考虑利用都有构造新函数,而或者后面增加常数项的函数,导函数均符合题意,再根据不等式配凑,利用函数的单调性解出不等式,求出参数的范围.12. 已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点，双曲线的顶点是，焦点是，设双曲线方程为双曲线的渐近线方程为，双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，双曲线的渐近线方程为，，，故选A.【方法点睛】本题主要考查双曲线的渐近线、离心率以及双曲线是简单性质，椭圆的方程与性质，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出; ②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解; ④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据题椭圆与双曲线的几何性质建立关于焦半径和焦距的等量关系．利用法②求出离心率．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13. 若，，则________．【答案】1【解析】14. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为________.【答案】【解析】当时，；当时，，故数列的通项公式为15. 若不等式的解集为，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】不等式的解集为，∴方程的两个实数根为-1和2，由根与系数的关系得：，故可化为：，解得16. 已知直线，是之间的一定点，并且点到的距离分别为1，2，是直线上一动点，，与直线交于点，则面积的最小值为__________．【答案】2【解析】过A作的垂线,分别交于E,F,则AE=1,AF=2,设,则中, 中, ,可得的面积当且仅当时,sin2=1取到最大值1,此时三角形ABC面积有最小值2,故填2.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)·z为纯虚数．(1)求复数z及；(2)若ω＝，求复数ω的模|ω|.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】试题分析: （）由(1＋3i)·z为纯虚数,代入z化简,令3-3b=0且9+b≠0,解出b的值,进而得出答案;(2)对ω分母实数化,化简求出模长.试题解析：(1)(1＋3i)·(3＋b i)＝(3－3b)＋(9＋b)i∵(1＋3i)·z是纯虚数，∴3－3b＝0，且9＋b≠0，∴b＝1，∴z＝3＋i.(2)ω＝＝＝＝－i∴|ω|＝＝.18. 已知数列满足递推式，其中（1）求；（2）求证：数列为等比数列.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】试题分析: （）根据递推公式和的值求出同理求出;(2) 由知,即是以为首项以2为公比的等比数列.试题解析：（1）由知解得同理得（2）由知是以为首项以2为公比的等比数列.19. 在中，内角的对边分别为，已知c=acosB+bsinA．（1）求；（2）若a=2,b=c，求的面积.【答案】(1);(2) .【解析】试题分析: （）由c=acosB+bsinA及正弦定理化边为角,再根据三角形内角和为,将C换为角A,B,代入化简即可;(2)由，b=c及余弦定理求出b,代入面积公式即可.试题解析：(1)由及正弦定理可得.在中，，所以由以上两式得，即，又，所以.（2）的面积，由，及余弦定理得，因为，所以，即，故的面积．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.20. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点.（1）求圆的方程；（2）当时，求直线的方程.【答案】(1);(2) 或.【解析】试题分析：（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；（2）根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程试题解析：（1）由题意知到直线的距离为圆A半径，所以圆的方程为（2）由勾股定理得圆心到直线的距离设动直线方程为：或，显然合题意．由到距离为1知得或为所求方程．考点：1．直线与圆相交的性质；2．圆的方程21. 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC, ,且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积.【答案】(1)详见解析;(2).【解析】试题分析：（1）由，得，．从而得，进而而平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）设，取中点，连结，则底面，且，由四棱锥的体积为，求出，由此能求出该四棱锥的侧面积.试题解析：（1）由已知，得，．由于，故，从而平面．又平面，所以平面平面．（2）在平面内作，垂足为．由（1）知，面，故，可得平面．设，则由已知可得，．故四棱锥的体积．由题设得，故．从而，，．可得四棱锥的侧面积为．22. 已知不等式x2-5ax+b＞0的解集为{x|x>4或x<1}（1）求实数a，b的值；（2）若0＜x＜1，f（x）=，求f（x）的最小值．【答案】(1) a=1，b=4；(2)9.【解析】试题分析：（1）根据题意，分析可得方程的两个根是1和4，由根与系数的关系分析可得，，解可得、的值；（2）由（1）知的解析式，将其表示为由基本不等式分析可得答案.试题解析：（1）根据题意，不等式的解集为或，则方程的两个根是和，则有，，即，.（2）由（1）知，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9．点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．。
【拔高教育】2017_2018学年高二数学下学期开学考试第一次测试试题文
高二下学期开学测试（文科数学）一、选择题（共12小题，每题5分）1．已知集合A ＝{x|x<1}，B ＝{x|3x<1}，则( )A ．A ∩B ＝{x|x<0}B ．A ∪B ＝RC ．A ∪B ＝{x|x>1}D ．A ∩B ＝∅ 2．设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z|等于( )A ．12B ．22C ． 2D ．23.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A ．14B ．π8C ．12D ．π44.设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（）A.2B.3C.4D.55.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.13π+ B.23π+ C.123π+ D.223π+ 6.“1x >”是“12log (2)0x +<的”（ ） A.充要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件7.执行右侧的程序框图，如果输入的a ＝－1，则输出的S 等于( )A ．-4B ．-3C ．2D ．38.已知F 1、F 2为双曲线的焦点，过F 2垂直于实轴的直线交双曲线于A 、B 两点，BF 1交y 轴于点C ，若AC ⊥BF 1，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．2D ．29.若函数y ＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f(x)具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝lnxC ．y ＝e xD ．y ＝sinx10.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ． π4B ．π2C ．3π4D ．π 11.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px(p>0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM 的斜率的最大值为( )A ．1B ．32C ．33D ．22 12．已知函数f(x)＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a 等于( )A ．－12B ．13C ．12D ．1 二、填空题（共4小题，每题5分）13.设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|b a +|2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 14.已知sin 31cos )6(=--ααπ，则cos （32πα+）= . 15.已知函数f(x)＝x 3－2x ＋e x － 1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f(a －1)＋f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．16.已知椭圆E 的中心为原点O ，焦点在x 轴上，E 上的点与E 的两个焦点构成的三角形面积的最大值为12，直线01254=++y x 交椭圆于E 于N M ,两点.设P 为线段MN 的中点，若直线OP 的斜率等于54，则椭圆方程为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17.(10分)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图：注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)(2)预测2018年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：i＝9.32，iiy＝40.17，＝0.55，≈2.646.参考公式：回归方程＝＋t中斜率和截距最小二乘估计公式分别为＝=∑∑-=--niiniiit nty t nyt1221，＝－.18.(12分)设数列{a n}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)a n＝2n.(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+12nan的前n项和．19.(12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为Aasin32.(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．20.（12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面PAB ；(2)求四面体NBCM 的体积．21.(12分)已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点A （0，﹣b ）和B （a ，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点E （﹣1，0），若直线y=kx+2（k ≠0）与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由．22.(12分))已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a <0时，证明f (x )≤－34a－2.高二下学期开学考试答案（文科）一选择题：1-5 ACBBA 6-10 BDBDC 11,12 DC二填空题：13. -2 14.97 15.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,1 16.1162522=+y x17. 解：（1）（2）将2018年对应的t ＝11代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×11＝2.02.所以预测2018年我国生活垃圾无害化处理量将约为2.02亿吨．18.解 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，两式相减，得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1(n ≥2)． 又由题设可得a 1＝2，满足上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)记⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n . 由(1)知a n 2n ＋1＝2n ＋n －＝12n －1－12n ＋1， 则S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n 2n ＋1.19.解 (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A. 由正弦定理，得12sin C sin B ＝sin A 3sin A， 故sin B sin C ＝23. (2)由题设及(1)，得cos B cos C －sin B sin C ＝－12， 即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3. 由题意得12bc sin A ＝a 23sin A，a ＝3，所以bc ＝8. 由余弦定理，得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.20.(1)证明 由已知得AM ＝23AD ＝2. 如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN //AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT .因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB .(2)解 因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12PA . 取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5. 所以四面体N-BCM 的体积V N-BCM ＝13×S △BCM ×PA 2＝453.21.解：（1）∵直线过点A （0，﹣b ）和B （a ，0），∴直线L ：与坐标原点的距离为，∴=．①∵椭圆的离心率 e =，∴．② 由①得4a 2b 2=3a 2+3b 2，即4a 2（a 2﹣c 2）=3a 2+3（a 2﹣c 2）③由②③得a 2=3，c 2=2∴b 2=a 2﹣c 2=1 ∴所求椭圆的方程是+y 2=1（2）直线y =kx +2代入椭圆方程，消去y 可得：（1+3k 2）x 2+12kx +9=0∴△=36k 2﹣36＞0，∴k ＞1或k ＜﹣1设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），则有x 1+x 2=，x 1x 2= ∵=（x 1+1，y 1），=（x 2+1，y 2），且以CD 为圆心的圆过点E ，∴EC ⊥ED∴（x 1+1）（x 2+1）+y 1y 2=0∴（1+k 2）x 1x 2+（2k +1）（x 1+x 2）+5=0∴（1+k 2）×+（2k +1）×+5=0，解得k =＞1，∴当k =时以CD 为直径的圆过定点E22..解 (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝x ＋ax ＋x .若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－12a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上单调递减． (2)证明 由(1)知，当a <0时，f (x )在x ＝－12a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a－1－14a， 所以f (x )≤－34a －2等价于ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －1－14a ≤－34a －2， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12a＋1≤0. 设g (x )＝ln x －x ＋1，则g ′(x )＝1x－1. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 故当x ＝1时，g (x )取得最大值，最大值为g (1)＝0. 所以当x >0时，g (x )≤0.从而当a <0时，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12a＋1≤0， 即f (x )≤－34a－2.。
2017年山东省春季高考数学试卷(解析版)
2017年山东省春季高考数学试卷一、选择题1．已知全集U={1，2}，集合M={1｝,则∁U M等于（）A．∅B．{1｝C．｛2}D．｛1，2｝2．函数的定义域是(）A．［﹣2，2]B．（﹣∞，﹣2]∪［2，+∞）C．(﹣2，2）D．(﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）3．下列函数中，在区间（﹣∞，0)上为增函数的是（）A．y=x B．y=1 C．D．y=｜x|4．二次函数f（x)的图象经过两点（0，3）,（2，3)且最大值是5，则该函数的解析式是（）A．f(x）=2x2﹣8x+11 B．f(x）=﹣2x2+8x﹣1 C．f（x）=2x2﹣4x+3 D．f （x)=﹣2x2+4x+35．等差数列｛a n}中，a1=﹣5，a3是4与49的等比中项，且a3＜0,则a5等于(）A．﹣18 B．﹣23 C．﹣24 D．﹣326．已知A(3，0),B（2,1），则向量的单位向量的坐标是（）A．（1，﹣1）B．(﹣1，1）C．D．7．“p∨q为真"是“p为真”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．函数y=cos2x﹣4cosx+1的最小值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．5 D．69．下列说法正确的是(）A．经过三点有且只有一个平面B．经过两条直线有且只有一个平面C．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直D．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直10．过直线x+y+1=0与2x﹣y﹣4=0的交点，且一个方向向量的直线方程是（）A．3x+y﹣1=0 B．x+3y﹣5=0 C．3x+y﹣3=0 D．x+3y+5=011．文艺演出中要求语言类节目不能相邻,现有4个歌舞类节目和2个语言类节目,若从中任意选出4个排成节目单,则能排出不同节目单的数量最多是（）A．72 B．120 C．144 D．28812．若a，b,c均为实数，且a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A．a+c＜b+c B．ac＜bc C．a2＜b2D．13．函数f（x)=2kx,g（x）=log3x，若f（﹣1）=g（9）,则实数k的值是() A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣214．如果，，那么等于(）A．﹣18 B．﹣6 C．0 D．1815．已知角α的终边落在直线y=﹣3x上，则cos（π+2α)的值是（) A．B．C．D．16．二元一次不等式2x﹣y＞0表示的区域（阴影部分）是(）A．B．C．D．17．已知圆C1和C2关于直线y=﹣x对称，若圆C1的方程是（x+5）2+y2=4，则圆C2的方程是（）A．(x+5）2+y2=2 B．x2+（y+5）2=4 C．（x﹣5）2+y2=2 D．x2+（y﹣5)2=4 18．若二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是（）A．20 B．﹣20 C．15 D．﹣1519．从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手,参加山东省职业院校技能大赛,在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如表所示,根据表中数据判断，最佳人选为（）成绩分析表甲乙丙丁平均成绩96968585标准差s4242A．甲B．乙C．丙D．丁20．已知A1,A2为双曲线（a＞0，b＞0）的两个顶点，以A1A2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，若△A1MN的面积为，则该双曲线的离心率是（)A．B．C．D．二、填空题：21．若圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥的侧面积等于．22．在△ABC中，a=2，b=3，∠B=2∠A,则cosA=．23．已知F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于P、Q两点，则△PQF2的周长等于．24．某博物馆需要志愿者协助工作，若从6名志愿者中任选3名，则其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是．25．对于实数m，n，定义一种运算:，已知函数f（x）=a＊a x，其中0＜a＜1，若f(t﹣1)＞f(4t)，则实数t的取值范围是．三、解答题：26．已知函数f（x)=log2（3+x）﹣log2（3﹣x)，（1）求函数f(x）的定义域，并判断函数f（x)的奇偶性；（2）已知f(sinα)=1,求α的值．27．某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案:①一次性缴纳50万元,可享受9折优惠；②按照航行天数交纳:第一天缴纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的2倍，共需交纳20天．请通过计算，帮助王亮同学判断那种方案交纳的保费较低．28．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D,E分别是AB，A1C1的中点,如图所示．（1）求证：DE∥平面BCC1B1；（2）求DE与平面ABC所成角的正切值．29．已知函数．(1）求该函数的最小正周期；（2）求该函数的单调递减区间；(3)用“五点法"作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图．30．已知椭圆的右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合，且椭圆的离心率是，如图所示．(1）求椭圆的标准方程；（2）抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点A，过点A作抛物线的切线l，l 与椭圆的另一个交点为B，求线段AB的长．2017年山东省春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．已知全集U={1,2｝，集合M={1}，则∁U M等于（）A．∅B．{1}C．｛2}D．｛1,2｝【考点】1F：补集及其运算．【分析】根据补集的定义求出M补集即可．【解答】解：全集U={1，2},集合M=｛1}，则∁U M=｛2｝．故选：C．2．函数的定义域是()A．[﹣2，2］B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．（﹣2，2）D．(﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据函数y的解析式，列出不等式求出x的取值范围即可．【解答】解：函数，∴|x｜﹣2＞0，即｜x|＞2，解得x＜﹣2或x＞2,∴函数y的定义域是(﹣∞，﹣2)∪（2，+∞）．故选：D．3．下列函数中，在区间（﹣∞，0）上为增函数的是（）A．y=x B．y=1 C．D．y=｜x|【考点】3E：函数单调性的判断与证明．【分析】根据基本初等函数的单调性,判断选项中的函数是否满足条件即可．【解答】解:对于A,函数y=x，在区间（﹣∞，0)上是增函数，满足题意;对于B，函数y=1,在区间（﹣∞，0）上不是单调函数，不满足题意；对于C，函数y=,在区间(﹣∞，0）上是减函数,不满足题意;对于C，函数y=|x|，在区间（﹣∞,0）上是减函数，不满足题意．故选：A．4．二次函数f（x）的图象经过两点（0，3），（2,3）且最大值是5,则该函数的解析式是（）A．f(x）=2x2﹣8x+11 B．f（x）=﹣2x2+8x﹣1 C．f（x）=2x2﹣4x+3 D．f(x）=﹣2x2+4x+3【考点】3W：二次函数的性质．【分析】由题意可得对称轴x=1，最大值是5，故可设f（x）=a（x﹣1）2+5,代入其中一个点的坐标即可求出a的值，问题得以解决【解答】解：二次函数f（x）的图象经过两点（0，3）,(2，3），则对称轴x=1，最大值是5，可设f（x）=a（x﹣1）2+5，于是3=a+5，解得a=﹣2，故f（x）=﹣2（x﹣1）2+5=﹣2x2+4x+3，故选：D．5．等差数列{a n}中，a1=﹣5，a3是4与49的等比中项，且a3＜0，则a5等于(）A．﹣18 B．﹣23 C．﹣24 D．﹣32【考点】8F：等差数列的性质；84:等差数列的通项公式．【分析】根据题意，由等比数列的性质可得（a3）2=4×49，结合解a3＜0可得a3的值,进而由等差数列的性质a5=2a3﹣a1，计算即可得答案．【解答】解：根据题意，a3是4与49的等比中项，则（a3）2=4×49，解可得a3=±14,又由a3＜0，则a3=﹣14，又由a1=﹣5，则a5=2a3﹣a1=﹣23，故选：B．6．已知A（3，0），B（2，1)，则向量的单位向量的坐标是()A．（1，﹣1) B．(﹣1，1）C．D．【考点】95：单位向量．【分析】先求出=（﹣1，1)，由此能求出向量的单位向量的坐标．【解答】解：∵A(3，0），B(2,1)，∴=（﹣1,1），∴||=，∴向量的单位向量的坐标为（，),即（﹣,）．故选：C．7．“p∨q为真”是“p为真”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由真值表可知:“p∨q为真命题”则p或q为真命题,故由充要条件定义知p∨q为真”是“p为真”必要不充分条件【解答】解:“p∨q为真命题"则p或q为真命题，所以“p∨q为真"推不出“p为真"，但“p为真”一定能推出“p∨q为真”,故“p∨q为真”是“p为真”的必要不充分条件，故选:B．8．函数y=cos2x﹣4cosx+1的最小值是(）A．﹣3 B．﹣2 C．5 D．6【考点】HW:三角函数的最值．【分析】利用查余弦函数的值域，二次函数的性质，求得y的最小值．【解答】解：∵函数y=cos2x﹣4cosx+1=（cox﹣2)2﹣3,且cosx∈［﹣1，1］，故当cosx=1时，函数y取得最小值为﹣2，故选：B．9．下列说法正确的是（)A．经过三点有且只有一个平面B．经过两条直线有且只有一个平面C．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直D．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直【考点】LJ：平面的基本性质及推论．【分析】在A中，经过共线的三点有无数个平面;在B中,两条异面直线不能确定一个平面；在C中，经过平面外一点无数个平面与已知平面垂直；在D中，由线面垂直的性质得经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．【解答】在A中，经过不共线的三点且只有一个平面，经过共线的三点有无数个平面,故A错误;在B中，两条相交线能确定一个平面，两条平行线能确定一个平面，两条异面直线不能确定一个平面,故B错误；在C中，经过平面外一点无数个平面与已知平面垂直，故C错误；在D中，由线面垂直的性质得经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故D正确．故选:D．10．过直线x+y+1=0与2x﹣y﹣4=0的交点，且一个方向向量的直线方程是（）A．3x+y﹣1=0 B．x+3y﹣5=0 C．3x+y﹣3=0 D．x+3y+5=0【考点】IB：直线的点斜式方程．【分析】求出交点坐标，代入点斜式方程整理即可．【解答】解:由，解得：,由方向向量得：直线的斜率k=﹣3,故直线方程是:y+2=﹣3（x﹣1），整理得：3x+y﹣1=0，故选：A．11．文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（）A．72 B．120 C．144 D．288【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、取出的4个节目都是歌舞类节目，②、取出的4个节目有3个歌舞类节目，1个语言类节目，③、取出的4个节目有2个歌舞类节目，2个语言类节目,分别求出每种情况下可以排出节目单的数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解:根据题意,分3种情况讨论:①、取出的4个节目都是歌舞类节目，有1种取法,将4个节目全排列，有A44=24种可能，即可以排出24个不同节目单,②、取出的4个节目有3个歌舞类节目，1个语言类节目,有C21C43=8种取法，将4个节目全排列,有A44=24种可能，则以排出8×24=192个不同节目单，③、取出的4个节目有2个歌舞类节目,2个语言类节目,有C22C42=6种取法，将2个歌舞类节目全排列，有A22=2种情况，排好后有3个空位，在3个空位中任选2个,安排2个语言类节目,有A32=6种情况，此时有6×2×6=72种可能,就可以排出72个不同节目单，则一共可以排出24+192+72=288个不同节目单，故选:D．12．若a，b，c均为实数，且a＜b＜0，则下列不等式成立的是(）A．a+c＜b+c B．ac＜bc C．a2＜b2D．【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】A，由a＜b＜0,可得a+c＜b+c；B，c的符号不定,则ac，bc大小关系不定;C，由a＜b＜0，可得a2＞b2；D，由a＜b＜0，可得﹣a＞﹣b⇒；【解答】解:对于A,由a＜b＜0，可得a+c＜b+c,故正确；对于B,c的符号不定，则ac，bc大小关系不定,故错;对于C，由a＜b＜0，可得a2＞b2，故错；对于D，由a＜b＜0，可得﹣a＞﹣b⇒，故错；故选：A13．函数f(x)=2kx，g（x）=log3x,若f（﹣1）=g（9），则实数k的值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【考点】4H：对数的运算性质．【分析】由g（9)=log39=2=f（﹣1）=2﹣k，解得即可．【解答】解：g（9）=log39=2=f（﹣1）=2﹣k，解得k=﹣1，故选：C14．如果，，那么等于（）A．﹣18 B．﹣6 C．0 D．18【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由已知求出及与的夹角，代入数量积公式得答案．【解答】解：∵，，∴，且＜＞=π．则==3×6×（﹣1)=﹣18．故选：A．15．已知角α的终边落在直线y=﹣3x上，则cos（π+2α）的值是(）A．B．C．D．【考点】GO：运用诱导公式化简求值；G9：任意角的三角函数的定义．【分析】由直线方程，设出直线上点的坐标,可求cosα，利用诱导公式,二倍角的余弦函数公式可求cos（π+2α)的值．【解答】解：若角α的终边落在直线y=﹣3x上，（1）当角α的终边在第二象限时，不妨取x=﹣1，则y=3,r==，所以c osα=，可得cos(π+2α）=﹣cos2α=1﹣2cos2α=；（2）当角α的终边在第四象限时,不妨取x=1,则y=﹣3，r==，所以sinα=,cosα=，可得cos（π+2α）=﹣cos2α=1﹣2cos2α=，故选：B．16．二元一次不等式2x﹣y＞0表示的区域(阴影部分）是(）A．B．C．D．【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】利用二元一次不等式（组）与平面区域的关系,通过特殊点判断即可．【解答】解：因为(1，0）点满足2x﹣y＞0,所以二元一次不等式2x﹣y＞0表示的区域（阴影部分）是：C．故选:C．17．已知圆C1和C2关于直线y=﹣x对称，若圆C1的方程是（x+5）2+y2=4，则圆C2的方程是（）A．(x+5）2+y2=2 B．x2+（y+5）2=4 C．（x﹣5）2+y2=2 D．x2+（y﹣5）2=4【考点】J1：圆的标准方程．【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标和半径，求出圆C1的圆心关于y=﹣x的对称点，再由圆的标准方程得答案．【解答】解：由圆C1的方程是（x+5)2+y2=4，得圆心坐标为(﹣5，0），半径为2,设点(﹣5，0）关于y=﹣x的对称点为（x0，y0)，则，解得．∴圆C2的圆心坐标为(0，5），则圆C2的方程是x2+（y﹣5)2=4．故选：D．18．若二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是（）A．20 B．﹣20 C．15 D．﹣15【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】先求出n的值,可得二项式展开式的通项公式,再令x的幂指数等于0,求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解:∵二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，∴n=6,=C6r•（﹣1）r•x．则展开式中的通项公式为T r+1令6﹣3r=0，求得r=2，故展开式中的常数项为C62•（﹣1）2=15，故选:C．19．从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手,参加山东省职业院校技能大赛，在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如表所示，根据表中数据判断，最佳人选为（）成绩分析表甲乙丙丁平均成绩96968585标准差s4242A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】根据平均成绩高且标准差小，两项指标选择即可．【解答】解：根据表中数据知，平均成绩较高的是甲和乙，标准差较小的是乙和丙,由此知乙同学成绩较高,且发挥稳定，应选乙参加．故选：B．20．已知A1,A2为双曲线(a＞0，b＞0）的两个顶点，以A1A2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，若△A1MN的面积为，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求得A1（﹣a，0）到直线渐近线的距离d，根据三角形的面积公式，即可求得△A1MN的面积，即可求得a和b的关系，利用双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：由双曲线的渐近线方程y=±x，设以A1A2为直径的圆与双曲线的渐近线y=x交于M，N两点，则A1（﹣a，0）到直线y=x的距离d==,△A1MN的面积S=×2a×==，整理得：b=c，则a2=b2﹣c2=c2，即a=c,双曲线的离心率e==,故选B．二、填空题：21．若圆锥的底面半径为1，母线长为3,则该圆锥的侧面积等于3π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】圆锥侧面展开图是一个扇形,半径为l，弧长为2π，则圆锥侧面积S=πrl，由此能求出结果．【解答】解:圆锥侧面展开图是一个扇形,半径为l，弧长为2πr∴圆锥侧面积:S==πrl=π×1×3=3π．故答案为:3π．22．在△ABC中，a=2，b=3，∠B=2∠A，则cosA=．【考点】HR：余弦定理．【分析】由二倍角的正弦函数公式，正弦定理即可计算得解．【解答】解：∵∠B=2∠A，∴sin∠B=2sin∠Acos∠A，又∵a=2，b=3，∴由正弦定理可得：，∵sin∠A≠0，∴cos∠A=．故答案为：．23．已知F1，F2是椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于P、Q两点，则△PQF2的周长等于24．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的定义|PF1|+｜PF2｜=2a=12,|QF1｜+|QF2｜=2a=12即可求得△PQF2的周长．【解答】解：椭圆+=1的焦点在y轴上，则a=6,b=4，设△PQF2的周长为l,则l=|PF2|+｜QF2|+｜PQ|，=（|PF1｜+|PF2｜）+（｜QF1|+|QF2｜）=2a+2a，=4a=24．∴△PQF2的周长24，故答案为：24．24．某博物馆需要志愿者协助工作，若从6名志愿者中任选3名，则其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=,其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中包含的基本事件个数:m==4,由此能求出甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率．【解答】解：某博物馆需要志愿者协助工作，从6名志愿者中任选3名，基本事件总数n=,其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中包含的基本事件个数:m==4,∴其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是：p===．故答案为：．25．对于实数m,n,定义一种运算：，已知函数f（x）=a＊a x，其中0＜a＜1，若f（t﹣1)＞f(4t），则实数t的取值范围是（﹣,2] ．【考点】5B:分段函数的应用．【分析】求出f（x）的解析式,得出f（x）的单调性，根据单调性得出t﹣1和4t 的大小关系，从而可得t的范围．【解答】解：∵0＜a＜1，∴当x≤1时,a x≥a，当x＞1时,a＞a x,∴f（x）=．∴f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，在（1,+∞)上为常数函数，∵f（t﹣1）＞f（4t），∴t﹣1＜4t≤1或t﹣1≤1＜4t，解得﹣＜t≤或．∴﹣．故答案为：（﹣，2]．三、解答题：26．已知函数f（x）=log2（3+x)﹣log2（3﹣x)，（1）求函数f（x）的定义域,并判断函数f(x）的奇偶性；(2)已知f（sinα）=1，求α的值．【考点】4N:对数函数的图象与性质．【分析】(1）要使函数f(x）=log2(3+x）﹣log2（3﹣x)有意义，则⇒﹣3＜x＜3即可,由f（﹣x）=log2（3﹣x）﹣log2(3+x)=﹣f(x）,可判断函数f（x)为奇函数．（2）令f（x）=1，即，解得x=1．即sinα=1，可求得α．【解答】解：（1)要使函数f（x)=log2（3+x）﹣log2（3﹣x）有意义,则⇒﹣3＜x＜3，∴函数f（x）的定义域为（﹣3，3）；∵f(﹣x）=log2(3﹣x）﹣log2（3+x）=﹣f(x）,∴函数f（x）为奇函数．（2）令f（x）=1,即，解得x=1．∴sinα=1,∴α=2k，（k∈Z）．27．某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物,王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案：①一次性缴纳50万元，可享受9折优惠；②按照航行天数交纳：第一天缴纳0.5元,从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的2倍，共需交纳20天．请通过计算,帮助王亮同学判断那种方案交纳的保费较低．【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】分别计算两种方案的缴纳额，即可得出结论．【解答】解：若按方案①缴费，需缴费50×0.9=45万元；若按方案②缴费,则每天的缴费额组成等比数列，其中a1=，q=2，n=20，∴共需缴费S20===219﹣=524288﹣≈52。
2017-2018学年高二上学期开学考试数学试题Word版含答案
2017-2018学年高二上学期开学考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.cos(570)-︒=( )A ．12B ．12-C ．D 2.将40件产品依次编号为1~40，现用系统抽样（按等距离的规则）的方法从中抽取5件进行质检，若抽到的产品编号之和为90，则样本中的最小编号为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53.关于平面向量a ，b ，c，有下列三个命题： ①若//a b ，0a ≠ ，则存在R λ∈，使得b a λ= ； ②在ABC ∆中，若0AB BC ⋅<，则ABC ∆是锐角三角形；③若||||a b a b +=-，则0a b ⋅= .其中正确的命题个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．04.某校高一年级研究性学习小组，调查了学校超市甲、乙两种签字笔连续5天的日销售量（单位：件），得到如图所示的茎叶图，则甲、乙两种签字笔中日销售量较为稳定的是（ ）A ．甲B ．乙C ．一样稳定D ．无法比较5.已知1sin25α=-，cos 2α=α是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角6.某中学心理咨询室有3位男老师和2位女老师，从中任选2位老师去为高三学生进行考前心理辅导，事件“至少1位女老师”与事件“全是男老师”（ ） A ．是互斥事件，不是对立事件 B ．是对立事件，不是互斥事件 C ．既是互斥事件，也是对立事件 D ．既不是互斥事件也不是对立事件7.已知sin cos 1sin cos 2αααα-=+，则cos 2α的值为（ ）A ．45-B ．35C ．35-D ．458.执行如图所示的程序框图，那么输出的S 为（ ）A ．2-B ．12C ．1-D ．29.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的图象如图所示，则A ωϕ++=（ ）A ．26π+B ．23π+C ．46π+D ．43π+10.在ABC ∆中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且2BD DC = ，3CE EA = ，若AB a = ，AC b =，则DE =（ ） A ．15312a b --B ．113312a b -C ．15312a b +D ．113312a b -+11.在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机地取一个数x cos x x +≥ ） A ．23 B ．12C ．13D ．2912.已知()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，02πϕ<≤）是定义域为R 的奇函数，且当3x =时，()f x 取得最小值3-，当ω取最小正数时，(1)(2)(3)(2017)f f f f ++++…的值为（ ） A ．32B ．32-C ．1D ．1-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.由变量x 与y 的一组数据：得到的线性回归方程为 245y x =+,则y = ．14.已知向量a ,b 满足||||4a b == ,且a 与b 的夹角为60︒,则(2)(2)a b a b +⋅-= ．15.若cos()sin 6παα-+=02πα-<<),则cos()6πα+= ．16.给出下列三个命题: ①函数()2tan()3f x x π=+有无数个零点；②已知平面内一点P 及ABC ∆,若PA PB PC AB ++=,则点P 在线段AC 上；③设连续掷两次骰子得到的点数分别为x ，y ，令平面向量(,)m x y = ，(2,1)n =，则事件“//m n ”发生的概率为112. 其中正确命题的序号是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.每年的4月23日是“世界读书日”,某校研究性学习小组为了解本校学生的阅读情况,随机调查了本校200名学生在这一天的阅读时间t (单位:分钟),将样本数据整理后绘制成如图的样本频率分布直方图.（1）求a 的值；（2）试估计该学校所有学生在这一天的平均阅读时间；（3）若用分层抽样的方法从这200名学生中，抽出25人参加交流会，则阅读时间为[30,40)，[]60,70的两组中各抽取多少人？18.在ABC ∆中，设BC a = ，CA b = ，若16a b ⋅= ，||4a = ，||5b =，且3cos 214sin 70B B +-=.（1）求cos C ； （2）求sin A 的值.19.某商场举行节日促销活动，消费满一定数额即可获得一次抽奖机会，抽奖这可以从以下两种方式中任选一种进行抽奖.抽奖方式①：让抽奖者随意转动如图所示的圆盘，圆盘停止后指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15︒，边界忽略不计）即中奖.抽奖方式②：让抽奖者从装有3个白球和3个红球的盒子中一次性摸出2个球（球除颜色外不加区分），如果摸到的是2个红球，即中奖.假如你是抽奖者，为了让中奖的可能性大，你应该选择哪一种抽奖方式？并说明理由.20.已知向量(cos )a x x = ，(sin ,cos )b x x =- ，其中57(,)44x ππ∈，且||5a b += .（1）求sin()4x π-的值；（2）求2sin 22sin 1tan x xx+-的值.21.已知函数()sin cos (0)f x x x λωωω=->，其图象的相邻对称轴之间的距离为2π，且直线6x π=是它的一条对称轴. （1）求实数λ的值；（2）设函数2()()cos(2)3g x f x x π=+-，求()g x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.22.已知函数2()cos 2cos 1(0)f x x x x ωωωω=-+>，且()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻公共点之间的距离为π．（1）求函数()f x 的解析式，并求出()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图象上所有点向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，设A ，B ，C 为ABC ∆的三个内角，若()20g B -=，且向量(cos ,cos )m A B = ，(1,sin cos tan )n A A B =-，求m n ⋅ 的取值范围．2017-2018学年高二上学期开学考试数学试卷答案一、选择题1-5:CABBA 6-10:CADCA 11、12：DB 二、填空题13.63 14.24- 15.3516.①②③ 三、解答题17.解：（1）由已知，得0.00810100.0121020.036101a ⨯+⨯+⨯⨯++⨯=， 解得0.032a =．（2）由样本的频率分布直方图，估计该学校所有学生在这一天的平均阅读时间为：100.008100.03235100.03645100.01255100.0126543.8t =⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（分钟）． （3）阅读时间在30~40分钟的人数为2000.0321064⨯⨯=， 阅读时间在60~70分钟的人数为2000.0121024⨯⨯=，用分层抽样选人的抽样比为2512008=， ∴阅读时间在30~40分钟的应选16488⨯=人，阅读时间在60~70分钟的应选12438⨯=人．18.解：（1）∵BC a = ，CA b = ，∴a 与b的夹角为C π-，∴4cos()5||||a b C a b π⋅-==⋅，∴4cos 5C =-． （2）由3cos 214sin 70B B +-=，得23(12sin )14sin 70B B -+-=，即23sin 7sin 20B B -+=，解得1sin 3B =或sin 2B =（舍去）， 由（1）得C 为钝角，∴B为锐角，∴cos 3B =， ∵4cos 5C =-，∴3sin 5C =， ∴sin sin()A B C =+4sin cos sin cos 15B C C B =+=．19.解：对于抽样方式①，实验的全部结果构成的区域为周角360︒， 阴影部分的圆心角度数之和为15460︒⨯=︒， 则选择抽奖方式①中奖的概率为16013606P ︒==︒． 对于抽奖方式②，记3个白球为1a ，2a ，3a ，3个红球为1b ，2b ，3b ，记(,)x y 为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：12(,)a a ，13(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，23(,)a a ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，31(,)a b ，32(,)a b ，33(,)a b ，12(,)b b ，13(,)b b ，23(,)b b 共15种，摸到的是2个红球有12(,)b b ，13(,)b b ，23(,)b b ，共3种， 则选择抽奖方式②中奖的概率为：231155P ==． 因为12P P <，所以应该选择抽奖方式②．20.解：（1）∵(cos sin cos )a b x x x x +=-+ ，∴||a b +==又||a b += 3sin()45x π-=-．（2）∵3sin()45x π-=-，∴3sin()45x π-=，∴3cos()45x π+=． ∵57(,)44x ππ∈，∴3(,2)42x πππ+∈，∴4sin()45x π+=-，4tan()43x π+=-， 即1tan 41tan 3x x +=--，∴tan 7x =， 2222sin 22sin 2sin cos 2sin 11tan sin cos 1tan x x x x x x x x ++=⋅-+-222tan 2tan 128tan 11tan 75x x x x +=⋅=-+-． 21.解：（1）由题意知函数()f x 的周期T π=，∴2ω=， ∴()sin 2cos 2f x x x λ=-，又直线6x π=是()f x 的图象的一条对称轴，∴(0)()3f f π=，即221sin cos 33ππλ-=-，解得λ=（2）由（1）知()2cos2f x x x =-，∴2()2cos 2cos(2)3g x x x x π=-+-222cos 2cos 2cos sin 2sin 33x x x x ππ=-++3sin 2cos 222x x =--)3x π=+．∵36x ππ-≤≤，∴22333x πππ-≤+≤，∴sin(2)123x π-≤+≤，∴3)32x π+≤，即()g x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．22.解：（1）()21cos21f x x x ωω=--+2cos2x x ωω=-2sin(2)6x πω=-，∵()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻公共点之间的距离为π，∴T π=，∴1ω=， ∴函数()f x 的解析式为()2sin(2)6f x x π=-．由222262k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈，解得63k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，∴函数()f x 的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）． （2）由题意得()2sin 2()2sin(2)666g x x x πππ⎡⎤=+-=+⎢⎥⎣⎦， ∴()2sin(2)26g B B π=+=，又0B π<<，∴262B ππ+=，∴6B π=，∴(cos ,cos )(cos m A B A == ，(1,sin cos tan )(1,sin )n A A B A A =-= ，∴1cos cos sin()226m n A A A A π⋅=+-=+ ， ∵506A π<<，∴66A πππ<+<，∴0sin()16A π<+≤， ∴m n ⋅的取值范围为(0,1]．。
2017年全国高考文科数学试题及答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试文科数学文科数学注意事项：注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={1,2,3,4}A={1,2,3,4}，，B={2,4,6,8}B={2,4,6,8}，则，则AB 中元素的个数为中元素的个数为 A ．1 B ．2C ．3D ．42．复平面内表示复数(2)z i i =-+的点位于的点位于 A ．第一象限．第一象限B ．第二象限．第二象限C ．第三象限．第三象限D ．第四象限．第四象限3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图. .根据该折线图，下列结论错误的是根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客逐月增加．月接待游客逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳月，波动性更小，变化比较平稳 4．已知4sin cos 3a a -=，则sin 2a =A ．79-B B．．29-C ．29 D ．795．设,x y 满足约束条件326000x y x y +-£ìï³íï³î，则z x y =-的取值范围是的取值范围是A ．[-3[-3，，0]B ．[-3[-3，，2]C ．[0[0，，2]D ．[0[0，，3]6．函数1()sin()cos()536f x x x p p=++-的最大值为的最大值为A ．65B ．1C ．35D ．157．函数2sin 1xy x x=++的部分图像大致为的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．8．执行右面的程序框图，为使输出S 的值小于9191，则输入的正，则输入的正整数N 的最小值为的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．29．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．pB ．34p C ．2pD ．4p1010．在正方体．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则的中点，则A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥1111．．已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的左、的左、右顶点分别为右顶点分别为12,A A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为的离心率为A ．63B ．33C ．23D ．131212．已知函数．已知函数211()2()x x f x x x a ee--+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017届第二学期高三开学考试(文科)数学试卷
侧（左）视图42 1俯视图2正（主）视图（第5题图）山东省济南市济钢高中2017届第二学期高三开学考试（文科）数学试卷第一卷（选择题 共50分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,1,3,5,3,4,5U A B ===，则()U A B U ð=（ ） A ．{}2,6B ．{}3,6C ．{}1,3,4,5D ．{}1,2,4,62．若复数2,1iz =-其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．1+iB ．1i -C ．1+i -D ．1i --3．若变量 ,x y 满足2239,0x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则22x y +的最大值是（ ）A ．4B ．9C ．10D ．124．已知甲、乙两组数据如图茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的,m n 的比值mn=（ ）A ．38B ．13C ．29D ．15．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）A ．20π3B ．6πC ．10π3 D ．16π36．已知直线,a b 分别在两个不同的平面,αβ内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知圆()22:200M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是则圆M 与圆()()22:11N x y -+-=1的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离8．ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 已知()22,21sin b c a b A ==-则A =（ ） A ．3π4B ．π3C ．π4D ．π69．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，()31f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()6f =（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．210．若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）A ．sin y x =B ．ln y x =C ．e x y =D ．y x =第二卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．过点()3,1作圆()()22224x y -+-=的弦，其中最短的弦长为__________．12．观察下列等式：22π2π4sin sin 12333--⎛⎫⎛⎫+=⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 2222π2π3π4π4sin sin sin sin 2355553----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；2222π2π3π6π4sin sin sin sin 3477773----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；2222π2π3π8π4sin sin sin sin 4599993----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ……照此规律，2222π2π3π2πsin sin sin sin 21212121n n n n n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭_________．13．已知向量()(),1,16,4a b =-=-.若(),a ta b ⊥+则实数t 的值为________．14．已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，,AB CD 的中点为E 的两个焦点，且23,AB BC =则E 的离心率是_______．15．已知函数()2,,24,x x mf x x mx m x m⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩其中0m >．若存在实数,b 使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是_______． 16．（本小题满分12分）已知函数()22cos f x x x =+．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在ABC △中，若C 为锐角，()0,3,f A B AC BC +===求AB 的长 17．（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和n S 满足12,n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱PD ⊥底面,ABCD PD DC =，E 是PC 的中点，过E 点作EF PB ⊥交PB 于点F ．求证：（1）PA ∥平面EDB ；（2）PB ⊥平面EFD ．（3）求三棱锥E BCD -的体积．19．（本小题满分12分）海关对同时从,,A B C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．（Ｉ）求这6件样品中来自,,A B C 各地区商品的数量；（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率． 20．（本小题满分13分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两焦点为())12,F F 且过点)Q．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点()0,2P 的直线l 交椭圆于,M N 两点，以线段MN 为直径的圆恰好过原点，求出直线l 的方程． 21．（本小题满分14分） 已知函数()ln f x x =．（Ⅰ）求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得对任意的1,,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭都有函数()m y f x x =+的图象在()e xg x x=的图象的下方？若存在，请求出最大整数m 的值；若不存在，请说理由．（参考数据：ln 20.6931,ln3 1.3956===）．。
高二数学上学期入学考试试题 文-人教版高二全册数学试题
某某中学2017届高二年级开学考试（文科数学）试卷一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分）1．已知全集U R =,{}{}3|021,|l o g 0xA xB x x =<<=>,则()U A CB ⋂=（ ） A ．{}|1x x >B ．{}|0x x >C ．{}|01x x <<D ．{}|0x x <2．已知5.10.90.90.9,5.1,l o g 5.1m n p ===，则这三个数的大小关系是（ ） A ．<<p m n B.<<m p n C.<<m n p D.<<p n m 3．函数y ＝212log (45)x x --的单调递增区间为 ( )A.(－∞，－1)B.(－∞，－1]C.(－∞，2)D.(5，+∞)4．将圆222410x y x y +--+=平分的直线是（ ）A.10x y +-=B.30x y ++=C.10x y -+=D.30x y -+=5.下列说法正确的是( )A. 若b a >，则ba 11< B. 函数2)(-=xe xf 的零点落在区间(0,1)内 C. 函数1()f x x x=+的最小值为2 D. 若4=m ，则直线012=++my x 与直线028=++y mx 互相平行 6.定义在R 上的偶函数f(x),对任意x 1,x 2∈(0,+∞)(x 1≠x 2),有1212()()f x f x x x --<0,则( )A.f(3)<f(-2)<f(1)B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(-2)<f(1)<f(3)D.f(3)<f(1)<f(-2)7.已知函数2l o g (),0(2)1(),02x x x f x x -<⎧⎪+=⎨≥⎪⎩，则2(2)(l o g 12)f f -+= ( ） A .13B. 73 C.2512 D. 13128.一个空间几何体的三视图如图,则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．25C ．433D ．5339．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．16π B．20π C．24π D．32π10.设偶函数()f x 对任意x ∈R ，都有(3)()fx fx +=-，且当]1,0[∈x 时，5)(xx f =,则(107)f =( )A.10B.10-C.15 D.15- 11.函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+<≤-+=)380(),sin(2)02(,1πϕωx x x kx y )20(πϕ<<的图象如下图，则（ ） A 、6,21,21πϕω===k B 、3,21,21πϕω===kC 、6,2,21πϕω==-=k D 、3,2,2πϕω==-=k12.曲线[]214(2,2)y xx =+-∈-与直线(2)4y k x =-+有两个公共点时，k 的取值X 围是（ ）A 、5(0,)12B 、11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C 、5(,)12+∞ D 、53,124⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题（每题5分，满分20分）13. 集合M 、N 分别是54)(2--=x x x f 和)82(log )(23++-=x x x g 的定义域.则N M C R ）（=14.直线l 的方向向量为(1,2)v =-且过点(1,2)-，则直线l 的一般式方程为15.设,x y R ∈，向量(,1)a x=，(1,)b y →=，(2,4)c →=-，且a c →→⊥，//b c →→，则||a b →→+=_____________.16.在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(10分）已知向量()()3c o s ,0,0,s i n a x b x ==，记函数()()23s i n 2f x ab x =++. 求：（I ）函数()f x 的最小值及取得小值时x 的集合； （II ）函数()f x 的单调递增区间.18.（12分）对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值；（Ⅱ）若该校高二学生有240人，试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.19.（12分）已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，(1)若直线l 1过定点A (1,0)，且与圆C 相切，求l 1的方程；(2)若圆D 的半径为3，圆心在直线l 2：x ＋y －2＝0上，且与圆C 外切，求圆D 的方程．20. (12分)若二次函数2()(,)f xa xb x c a b R =++∈满足(1)()2fx fx x +-=，且(0)1f =.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，某某数m 的取值X 围.21.(12分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，∠PD A=45°，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．（1）求证：AF ∥平面PCE ； （2）求证：平面PCE ⊥平面PCD ； （3）求三棱锥C －BEP 的体积．22. (12分)若定义在R 上的函数()f x 满足：①对任意,x y ∈R ，都有()()()1f x y f x f y +=++；②当0x <时，()1f x >-.（1）试判断函数()1f x +的奇偶性；（2）试判断函数()f x 的单调性；（3）若不等式23(5)02f a a +-+>的解集为{}32a a -<<，求(4)f 的值.某某中学2017届高二年级开学考试（文科数学）试卷参考答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分）二、填空题（每题5分，满分20分）13、（－2，5）14. 20x y +=112π-三、解答题 17.(10分）解：（Ⅰ）x x f 2sin 3)()(2++=b a 12i n 2c i n 22x x ==+=2)6π2sin(2++x ， ………………………… 5分当且仅当23ππ26π2+=+k x ,即32ππ+=k x )(Z ∈k 时，()0f x=m i n ， 此时x 的集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x π,32π|. ……………………………7分 （Ⅱ）由)(2ππ26π22ππ2Z ∈+≤+≤k k x k －，所以)(6ππ3ππZ ∈+≤≤k k x k －, 所以函数()f x 的单调递增区间为)](6ππ,3ππ[Z ∈+k k k -. …………… 10分 18.解（I ）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=，所以40M =.因为频数之和为40，所以1024240m +++=，4m =.40.1040m p M ===. 因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以240.12405a ==⨯.……………4分 （Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人. ………7分（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人，设在区间[20,25)内的人为{}1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b . 则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b 2234(,),(,)ab aa ，3132414212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b b b 15种情况， 而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种， 所以所求概率为11411515P =-=.（约为0.93） ………………12分 19.解: (1)①若直线l 1的斜率不存在，即直线是x ＝1，符合题意．②若直线l 1的斜率存在，设直线l 1为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l 1的距离等于半径2，即2|3k 4k |/k 12－－＋＝，解之得k ＝3/4.所求直线l 1的方程为x ＝1或3x －4y －3＝0.(2)依题意设D (a,2－a )，又已知圆C 的圆心(3,4)，r ＝2，由两圆外切，可知|CD |＝5，∴可知22a 3)2a 45－＋－－＝(()，解得a ＝3，或a ＝－2，∴D (3，－1)或D (－2,4)．∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝9或(x ＋2)2＋(y －4)2＝9. 20.21.证明：（1）取PC 的中点G ，连结FG 、EG ， ∴FG 为△CDP 的中位线， ∴FG 21//CD ， ∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， ∴AE 21//CD ， ∴FG /AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形， ∴AF∥EG， 又EG ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ，∴AF∥平面PCE ；……………………………… 4分 （2）∵ PA⊥底面ABCD ，∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PA AD=A ， ∴CD⊥平面ADP ， 又AF ⊂平面ADP ， ∴CD⊥AF，直角三角形PAD 中，∠PDA=45°，∴△PAD 为等腰直角三角形，∴PA＝AD=2， ∵F 是PD 的中点， ∴AF⊥PD，又CD PD=D ，∴AF⊥平面PCD ， ∵AF∥EG， ∴EG⊥平面PCD ，又EG ⊂平面PCE ，∴平面PCE⊥平面PCD ；…………………………………………………………8分 （3）三棱锥C －BEP 即为三棱锥P －BCE ，PA 是三棱锥P －BCE 的高， Rt△BCE 中，BE=1，BC=2，∴三棱锥C －BEP 的体积V 三棱锥C －BEP =V 三棱锥P －BCE =111112122332323B C ES P A B E B C P A ∆⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=… 12分 22.解：（1）令,(0)()()1,()1[()1]y x f f x f x f x f x =-=+-+-+=-+即令0(0)1x y f ===-得 ()1f x ∴+是奇函数…………………………4分（2）任取1212212111,(,),()()[()]()x x x x f x f x f x x x f x ∈-∞+∞<-=-+-且则 21112112()()1()()1[()1]f x x f x f x f x xf x x =-++-=-+--+= 12120,()1,x x f x x -<->-则12()10,fx x ∴-+> 21()()0fx fx ∴-<21()(),fx fx <即： ()(,)f x ∴-∞+∞在上单调递减 …………………………8分（3）23(5)()2f a a f m +->-= 由（2）知：25a a m +-<的解集为(3,2)-31,(1)2m f ∴==-即(2)2,(4)3f f ∴=-=-…………………………12分。
黑龙江省友谊县2016_2017学年高二数学下学期开学考试试题文
2016－2017学年度第二学期开学考试高二数学文科试卷注：卷面分值120分； 时间：90分钟。
第 I 卷(选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1.椭圆36622=+y x 的长轴端点坐标为（ ）A ．)0,1(),0,1(-B ．)6,0(),6,0(-C ．)0,6(),0,6(-D ．)0,6(),0,6(- 2.复数1i1i-+的虚部是 ( ) A ．i B ．i - C ．1D ．1-3.如图所示是一样本的频率分布直方图,则由图形中的数据,可以估计众数与中位数分别是( )A.12.5 11B.12.5 12C.12.5 13D.12.5 144.口袋中有四个小球，其中一个黑球三个白球，从中随机取出两个球，则取到的两个球同色的概率( ) A ．16 B ．14 C ．12 D ．345．如图，给出的是求111246+++……120+的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是( ) A ．10i ≥ B ．10i ≤ C ．9≥i D ．9≤i6.在平面直角坐标系中，双曲线C 过点(1,1)P ，且其两条渐近线的方程分别为20+=x y 和20x y -=，则双曲线C 的标准方程为( )A ．224133x y -=B ．224133x y -=C ．224133x y -= 或224133x y -=D ．224133-=y x7.某单位36名员工分为老年、中年、青年三组，人数之比为3:2:1，现用分层抽样的方法从中抽取否是1S S n=+输出S 2n n =+ 1i i =+结束开始0,2,1S n i ===?一个容量为12的样本，则青年组中甲、乙至多有一人被抽到的概率为（ ） A ．25 B ．35 C ．158 D ．1514 8.下表为某公司员工工作年限x （年）与平均月薪y （千元）对照表。
高二数学上学期开学考试试题文2
2016—2017 高二开学质量检测（数学文科）考试时间： 120 分钟总分： 150 分一．选择题（每个题 5 分，共60 分）1.已知全集 U R, A y y2x 1 , B x y ln x ，则(C U A) B =（）A．B．x 1D．x 0 x 1 x 1 C． x x 122．已知角的极点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y2x 上，则cos2=（）A．3B．4C．3D．4 55553.方程 3 x x 3的解所在的区间为（）A．（ 0,1 ）B．（ 1,2 ）C．（2,3 ）D．（ 3,4 ）4．若a,b R ,则以下恒成立的不等式是()a b222ab B.b a2 C.a b a b D． (a b)( 11 ) 4 (a＋b)A.2a b22a b 5. 要得到y sin(2x2)图像,需要将函数 y sin2x 的图像（）3A. 向左平移2个单位B. 向右平移2个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位33336. 已知直线l1：ax y2a0， l 2： (2a1)x ay a0 相互垂直，则 a 的值是（）A．0B．1C．0或1D．0 或﹣ 17. 已知tan()2tan()1则 tan() = ,,54441B.22C.3D.13A.132218 68．在△ ABC中，若sin B sinC cos2A，则下边等式必定成立的是() 2A．A＝ B B ．A＝C C ．B＝C D． A＝ B＝Cx y20 9．已知变量x, y满足拘束条件x1则y的取值范围是x y70xA. 9,6 B. (,9] [6,) C.，36， D. [3，6] 5510．如图，在四周体ABCD中， E， F 分别是 AC与 BD的中点，若 CD＝ 2AB＝4， EF⊥ BA，则 EF与 CD所成的角为 () A．90° B ．45° C ．60° D ．30°11．定义n为 n 个正数p , p ,, p的“均倒数”，若已知数列a n的前 n 项的“ 均p1p2p n12n倒数”为1，又 b nan ，则111（）b1b2b2b35n5b10b11A．8B．9C． 10D． 11 1719212312. 分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积挨次为V1、V2、 V3，则（）A.V1 V2V3 B. V12V22V3 C.111 D.1112二．填空题（每个题 5 分，共20 分）13. 已知一个三棱锥的正视图和俯视图以以以下图，此中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，则该三棱锥的侧视图面积为．14. 某同学在借助计算器求“方程lg x2x 的近似解（精确到0.1 ）”时，设f ( x) lg x x 2 ，算得 f (1)0, f (2)0 ；在以下过程中，他用“二分法”又取了 4 个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x 1.8 ．那么他所取的x的4个值中最后一个值是．15．若a (2,1),b ( ,1)，若 a 与 b 的夹角为钝角，则的取值范围是16．α、β 是两个不一样样的平面，m、n 是平面α及β以外的两条不一样样直线，给出四个结论：① m⊥ n；② α⊥ β；③ n⊥ β；④ m⊥ α，以此中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你以为正确的一个命题是 __________．三．解答题（共 6 道题， 70 分）17.（10分）已知直线l : kx y 1 2k 0(k R)(1)证明：直线 l 过定点；(2)若直线 l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线 l 交x轴负半轴于点 A ，交 y 轴正半轴于点 B ， O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求 S 的最小值及此时直线l 的方程．18. (12分)以以以下图，在四边形ABCD 中， D =2 B ，且 AD 1， CD3 ，cos B3 ．3（Ⅰ）求△ACD 的面积；（Ⅱ）若 BC 2 3 ，求AB的长．19．(12 分 ) 如图，正方形 ABCD和四边形 ACEF所在的平面相互垂直，EF∥ AC，AB＝2，CE＝ EF＝ 1.(1)求证： AF∥平面 BDE；(2)求证： CF⊥平面 BDE.20．(12 分) 在△ ABC中， a，b，c 分别是角 A，B，C的对边，设f ( x) a2x2(a2b2 ) x 4c2(1)若 f (1) 0 ，且B C，求角 C 的大小；3(2) 若f (2)0 ，求角C的取值范围．- 3 -21. (12分 ) 函数f ( x)(a 1)4x 2 x3当 a 1f (x) 在[-1,3]的最值时，求函数2当 x( 1,3) ， f ( x)0 恒成立，务实数 a 的取值范围。
长郡中学2016-2017学年度高二第二学期理科文科数学入学考试
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黑龙江省大庆市2017学年高二数学下学期开学考试试题文
黑龙江省大庆市2016-2017学年高二数学下学期开学考试试题 文说明：１.本卷满分150分，考试时间为2小时。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．将二进制数()211100转化为四进制数，正确的是（ ） A.()4120 B.()4130 C.()4200 D.()42022．如图给出了计算601614121++++Λ的值的程序框图，其中 ①②分别是( )A ．2,30+=<n n iB ．2,30+=>n n iC ．1,30+=<n n iD ．1,30+=>n n i 3．为了解某地参加2015 年夏令营的400名学生的身体健康情况，将学生编号为001,002,...,400，采用系统抽样的方法抽取一个容量为40的样本，且抽到的最小号码为005，已知这400名学生分住在三个营区，从001到155在第一营区，从156到255在第二营区，从256到400在第三营区，则第一、第二、第三营区被抽中的人数分别为（ ）A ．15,10,15B ．16,10,14C ．15,11,14D ．16,9,154．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为( ) A ．27 B ．11 C ．109 D ．36 5．已知x 与y 之间的一组数据：x 12 3 4y m 3.2 4.8 7.5若y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.1 1.25y x =-，则m 的值为（ ）．A ．1B ．0.85C ．0.7D ．0.56．圆221:20O x y x +-=和圆222:40O x y y +-=的公共弦长为（ ）A.455 B.255C.3D.557．从集合{}2,1,2A =--中随机选取一个数记为a ，从集合{}1,1,3B =-中随机选取一个数记为b ，则直线0ax y b -+=不经过第四象限的概率为（ ） A ．29 B ．13 C ．49 D ．148.设21,F F 是椭圆C :14822=+y x 的焦点，在曲线C 上满足021=⋅PF PF 的点P 的个数为 （ ） A.0 B ．2 C ．3 D ．49．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）A. 312-B. 32C. 434-D.310．如果直线()70 0ax by a b +=>>，和函数()()1log 0 1m f x x m m =+>≠，的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆()()221125x b y a +-++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是（ ） A ．34 43⎡⎤⎢⎥⎣， B ．340 43⎛⎤⎡⎫+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ，， C.4 3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， D ．30 4⎛⎤ ⎥⎝⎦，11．若“]2,21[∈∃x ，使得0122<+-x x λ成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（ ）A ．]22,(-∞B ．]3,22[C ．]3,22[-D ．3=λ12．已知O 为坐标原点，F 是双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的左焦点，,A B 分别为Γ的左、右顶点，P 为Γ上一点，且PF x ⊥轴， 过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，直线 BM 与y 轴交于点N ，若2OE ON =，则 Γ的离心率为 （ ）A.3B.2C.32 D.43二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
精选湖北省襄阳市2016_2017学年高二数学下学期开学考试试题文
湖北省襄阳市2016-2017学年高二年级下学期开学考试文科数学试题★祝考试顺利★时间：120分钟分值150分_第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481A.08B.07C.02D.012．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩（百分制）的茎叶图如图所示．①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差．上面说法正确的是（）．A ．③④B ．①②④C ．②④D ．①③④3．当输入x=﹣4时，如图的程序运行的结果是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．154．下列说法错误的是( ).A ．若命题“p q ∧”为真命题，则“p q ∨”为真命题B ．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为真命题C ．命题“若22bc ac b a >>，则”的否命题为真命题D ．若命题“q p ∨⌝”为假命题，则“q p ⌝∧”为真命题5.一名小学生的年龄和身高（单位：cm ）的数据如下表：由散点图可知，身高y 与年龄x 之间的线性回归方程为^^8.8y x a =+，预测该学生10岁时的身高为（ ）A ．154B ．153C ．152D ．1516．“5≠a 且5-≠b ”是“0≠+b a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分条件也非必要条件7．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：如果从全校学生中随机抽取一名学生，抽到二年级女生的概率为0.19.现用分层抽样的方法在全校学生中分年级抽取64名学生参加某项活动,则应在三年级中抽取的学生人数为（ ）A 、24B 、18C 、16D 、12 8. 过原点且倾斜角为o 60的直线被圆0422=-+y y x 所截得的弦长为 A ．3B ．2C ．6D ．329..设i 为虚数单位,a,b∈R,下列命题中：①(a+1)i 是纯虚数；②若a>b,则a+i>b+i;③若(a 2-1)+(a 2+3a+2)i 是纯虚数，则实数a=±1；④2i 2>3i 2.其中，真命题的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个10. 已知：a ，b,c 为集合{}1,2,3,4,5A =中三个不同的数，通过如下框图给出的一个算法输出一个整数a ，则输出的数4a =的概率是（ ）A ．38B ．320C ．310D ．21 11．．定义A*B 、B*C 、C*D 、D*B 分别对应下列图形，那么下面的图形中，可以表示A*D ，A*C 的分别是()A ．(1)、(2)B ．(2)、(3)C ．(2)、(4)D ．(1)、(4)12．如右图，小黑圆表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为()A ．26B ． 24C ．20D ．19二、填空题13．三进制数)3(121化为十进制数为．14．若命题“x R ∃∈，使2(1)10x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为． 15．在区间[]4,2﹣上随机地取出一个数x ，若x 满足m x ≤的概率为65，则m =________. 16．正偶数列有一个有趣的现象：2+4=6；8+10+12=14+16；18+20+22+24=26+28+30，…按照这样的规律，则2016在第等式中.三、解答题17． (Ⅰ)计算（本小题满分6分）：))(()(i 1i 45i 54i 222--++）（； (Ⅱ)（本小题满分6分）在复平面上，平行四边形ABCD 的三个顶点A,B,C 对应的复数分别为i,1,4+2i.求第四个顶点D 的坐标及此平行四边形对角线的长.18．（12分）已知直线062:1=++y ax l 和01)1(:22=-+-+a y a x l .（1）若21l l ⊥, 求实数a 的值;（2）若21//l l , 求实数a 的值.19．(本小题满分10分)《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～ A80mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车；在80mg/100ml （含80）以上时，属于醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了300辆机动车，查处酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员共20人，检测结果如下表：（1）绘制出检测数据的频率分布直方图（在图中用实线画出矩形框即可）；（2）求检测数据中醉酒驾驶的频率，并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数．20．(本小题满分12分):p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >，:q 实数x 满足2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩ （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．21．(本小题满分12分)某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点A B C 、、刚好是边长分别为的三角形的三个顶点.（Ⅰ） 该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间[7.5,8.5)内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间[9.5,10.5)内.现从这6次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为a 和b ）进行技术分析.求事件“||1a b ->”的概率.(Ⅱ) 第四次射击时，该运动员瞄准ABC ∆区域射击（不会打到ABC ∆外），则此次射击的着弹点距A B C 、、的距离都超过1 cm 的概率为多少？（弹孔大小忽略不计）22．(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．（文科）答案一、选择题 DADBB DCDAC CD二、 13．16 14．13a -≤≤. 15．3 16．3117．(Ⅰ)计算))(()(i 1i 45i 54i 222--++）（i 91i 54i 4-+=)(=82i 91454)(i --+）（i 2282i 41414--=+-=)((Ⅱ)设D(x,y),依题意得：A(01),B(1,0),C(4,2).由→→=DC AB 得(1,-1)=(4-x,2-y)∴ 4-x=1 即 x=32-y=-1 y=3∴D(3,3)对角线AC=171422=+ ,BD=133222=+19.（1）检测数据的频率分布直方图如图：...........................................5分（2）检测数据中醉酒驾驶的频率是210.1520+=...............................6分 估计检测数据中酒精含量的众数是35与55．...............................8分估计检测数据中酒精含量的平均数是0.01510250.02010350.00510450.0201055⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.01010650.01510750.01010850.005109555+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.....................10分20．（1）由22430x ax a -+<，得(3)()0x a x a --<，又0a >，所以3a x a <<．...............................2分当1a =时，13x <<，即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<．...............................3分由2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩得2324x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或得23x <≤，即q 为真时实数x 的取值范围是23x <≤．...............................4分若p q ∧为真，则p 真且q 真，.. .............................5分所以实数x 的取值范围是23x <<．...............................6分（2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即p q ⌝⇒⌝，且q ⌝推不出p ⌝．即q 是p 的充分不必要条件，2,3]⊂即（（a,3a)...............................8分 则332a a >⎧⎨≤⎩，解得12a <≤，所以实数a 的取值范围是12a <≤．.............................12分21．（Ⅰ）前三次射击成绩依次记为123x x x 、、，后三次成绩依次记为123y y y 、、，从这6次射击成绩中随机抽取两个，基本事件是：121323{,},{,},{,},x x x x x x 121323{,},{,},{,},y y y y y y 111213{,},{,},{,},x y x y x y212223{,},{,},{,},x y x y x y 313233{,},{,},{,}x y x y x y ，共15个，...............................3分其中可使||1a b ->发生的是后9个基本事件.故93(||1)155P a b ->==.……………6分 （Ⅱ）因为着弹点若与A B C 、、的距离都超过1cm ，则着弹点就不能落在分别以A B C 、、为中心,半径为1cm 的三个扇形区域内，只能落在扇形外的部分................................7分 因为43cos sin 55C C =∴=则1=56sin 9,2ABC S C ∆⨯⨯⨯=...............................9分 满足题意部分的面积为211922ABC S S ππ∆'=-⨯⨯=-，...............................11分 故所求概率为118ABC S p S π∆'==- 22. (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4．设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2．由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2．(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM ．因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为x ＋3y －8＝0． 又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105， 所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165， 故△POM 的面积为165．。
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2017年春季学期高二文科数学开学考一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B = （ A ）{|13}x A x -<<． {|11}x x -<<B ． {|12}x x <<C ． {|23}x x <<D ．2．在ABC ∆中，若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==AC =( )A． B．3．“5m >”是“方程22135x y m m+=--表示双曲线”的A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且 31116a a =，则5a =（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 5．已知a 函数3()12f x x x =-的极小值点，则a =A ．-4B ．-2C ．4D ．26．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为A ．13 B ．12 C ．23 D ．347．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且13212,,2a a a 成等差数列，则678567a a a a a a ++=++ A ．12B ．—2C ．4D ．28．在ABC △中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则cos A = ABC． D．9．设P 是曲线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到x ＝－1直线的距离之和的最小值为( )．A. 2B. 3C. 5D. 610．若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ） A ．1- B ．1 C ．23D ．2 11．若0,0a b >>，且函数()32422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，则ab 的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．912．椭圆222222(0)b x a y a b a b +=>>和圆2222b x y c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆e 的范围为( )．35e << B．05e <<C. 5e <<e << 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在题中横线上。
13．若ΔABC 的面积为3，2BC =，60C =︒，则边AB 的长度等于___2________． 14．函数()yf x =的图像在点P （4，(4)f ）处的切线方程式1y x =-，则()(4)4f f '+= 415．已知1F 、2F 分别为双曲线C : 221927x y -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为(2，0)，AM 为12F AF ∠的平分线．则2||AF = 6 .16．已知两曲线参数方程分别为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0)θπ<≤和254x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩ (t ∈)R ，它们的交点坐标为___________． 三.解答题 共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20n n n n a a a a ++---=. （I ）求23,a a ；（II ）求{}n a 的通项公式.18．（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ；（II ）若c ABC △=ABC △的周长． 【解析】(1)()2cos cos cos C a B b A c +=由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=()2cos sin sin C A B C ⋅+=∵πA B C ++=，()0πA B C ∈、、， ∴()sin sin 0A B C +=> ∴2cos 1C =，1cos 2C = ∵()0πC ∈，∴π3C =⑵ 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-⋅221722a b ab =+-⋅()237a b ab +-=1sin 2S ab C =⋅== ∴6ab = ∴()2187a b +-= 5a b +=∴ABC △周长为5a b c ++=+19．（12分）已知两个命题P ：sin cos x x m +>；命题q ：210x mx ++>，如果对于x R ∀∈，“p与q ”有且仅有一个是真命题，求实数m 的取值范围。
解：sin cos 4x x x π⎛⎫+=+≥ ⎪⎝⎭ ∴当P 时真命题时，m <又 对x R ∀∈，q 为真命题，即210x mx ++>恒成立， 有240,22m m ∆=-<∴-<<，222m P q m m m ⎧<⎪∴≤-⎨≤-≥⎪⎩当为真，为假时即或222m P q m m ⎧≥⎪∴≤<⎨-<<⎪⎩当为假，为真时即综上所述，2m ≤≤<m 的取值范围是m -2或20．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+= .（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.21. （12分）如图，已知直线l ：2y kx =-与抛物线C ：22(0)x py p =->交于A ，B 两点，O为坐标原点，(4,12)OA OB +=--。
（Ⅰ）求直线l 和抛物线C 的方程；（Ⅱ）抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积最大值．解：（Ⅰ）由22,2y kx x py=-⎧⎨=-⎩得,2240,x pkx p +-=设()()1,122,,,A x y B x y则()21212122,424,x x pk y y k x x pk +=-+=+-=--因为()()212,2O A +==()4,12,--所以224,2412.pk pk -=-⎧⎨--=-⎩解得 1,2.p k =⎧⎨=⎩所以直线l 的方程为22,y x =-抛物线C 的方程为22.x y =-（Ⅱ）方法1：设00(,),P x y 依题意，抛物线过P 的切线与l 平行时，△APB 面积最大，'y x =-，所以0022,x x -=⇒=- 20012,2y x =-=-所以(2,2).P --此时P 到直线l 的距离d ===由222,2,y x x y =-⎧⎨=-⎩得，2440,x x +-=||AB ==∴△ABP的面积最大值为52=（Ⅱ）方法2：由222,2,y x x y =-⎧⎨=-⎩得，2440,x x +-=||AB ==9分设21(,)2P t t -，(22t --<<-+因为AB 为定值，当P 到直线l 的距离d 最大时，△ABP 的面积最大，d ==因为22t --<-+2t =-时，dmax(2,2).P -- ∴△ABP的面积最大值为52=22. （12分）已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.（I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 解析：（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞.当4=a 时，1()(1)ln 4(1),()ln 3'=+--=+-f x x x x f x x x，(1)2,(1)0.'=-=f f 所以曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-= （II ）当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)ln 0.1-->+a x x x令(1)()ln 1-=-+a x g x x x ， 则222122(1)1(),(1)0(1)(1)+-+'=-==++a x a x g x g x x x x ， （i ）当2≤a ，(1,)∈+∞x 时，222(1)1210+-+≥-+>x a x x x ， 故()0,()'>g x g x 在(1,)∈+∞x 上单调递增，因此()0>g x ；（ii ）当2>a 时，令()0'=g x 得1211=-=-x a x a由21>x 和121=x x 得11<x ，故当2(1,)∈x x 时，()0'<g x ，()g x 在2(1,)∈x x 单调递减，因此()0<g x . 综上，a 的取值范围是(],2.-∞。