2020-2021学年北师大版数学 七年级下册 期末专题复习4 三角形 导学课件
2020-2021学年七年级数学北师大版下册综合练习——第4章三角形【含答案】
第4章三角形一、选择题1．下列说法正确的是（ ）A．一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形B．一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形C．一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形D．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形2．如图，∠1＝140°，∠2＝100°，则∠3＝（ ）A．100°B．120°C．130°D．140°3．如图，点A，D在线段BC的同一侧，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，已知∠1＝∠2，现添加以下哪个条件仍不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）A．∠A＝∠D B．AC＝DB C．∠ABC＝∠DCB D．AB＝DC4．下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（ ）A．1，2，3B．1，1，2C．1，2，2D．1，5，75．如果三角形的两条边长分别是8厘米、6厘米，那么第三边的长不可能是（ ）A．9厘米B．4厘米C．3厘米D．2厘米6．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（ ）A．都是锐角三角形B．都是直角三角形C．都是钝角三角形D．是一个锐角三角形和一个钝角三角形7．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，有下列结论：①BH＝DH；②BD＝CD；③AD+CF＝BD；④CE＝BF．其中正确的是（ ）A．①②B．①③C．①②③D．①②③④8．如图，△ABC的高CD、BE相交于点O，如果∠A＝60°，那么∠BOC的大小为（ ）A．60°B．100°C．120°D．130°9．如图将一副三角板拼成如图所示的图形（∠D＝30°，∠ABC＝90°，∠DCE＝90°，∠A＝45°），BC交DE于点F，则∠DFC的度数是（ ）A．75°B．105°C．135°D．125°10．如图，△ABC的两条中线AD、CE交于点G，联结BG并延长，交边AC于点F，那么下列结论不正确的是（ ）A．AF＝FC B．GF＝BG C．AG＝2GD D．EG＝CE11．在下列各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是（ ）A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AC＝DF，BC＝EF，∠A＝∠DC．AB＝DE，∠A＝∠D，∠B＝∠E D．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF二、填空题12．如图，李叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是 ．13．如图，矩形的一个顶点落在边长为3的正方形中心（正方形对角线交点），则图中重合部分（阴影部分）的面积为 平方单位．14．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝4：5：9，若按角分类，△ABC是 三角形．15．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝15°，∠ACP＝50°，则∠P＝ °．16．如图，直线a过正方形ABCD的顶点A，点B、D到直线a的距离分别为1、3，则正方形的边长为 ．17．要想使一个六边形活动支架ABCDEF稳固且不变形，至少需要增加 根木条才能固定．18．如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，如果∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A＝ ．19．如图，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∠A＝60°，则∠E＝ ．20．如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线上取两点C、D，使CD＝BC，再在过点D的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线上，可证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长就是A、B两点间的距离，这里判定△EDC≌△ABC的理由是 ．三、解答题21．如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形（要求至少要画出两种方法）．22．已知：如图，在△ABC中，∠DAE＝10°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，∠B＝60°，求∠C的度数．23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．（1）求证：△ABD≌△ECB．（2）若∠BDC＝70°．求∠ADB的度数．24．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，∠A＝∠D，AE＝DF．（1）求证：△ACE≌△DBF．（2）若BF⊥CE于点H，求∠HBC的度数．25．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，E是对角线AC上一点，连接BE，DE．（1）求证：BE＝DE．（2）当BE∥CD，∠BAD＝78°时，求∠BED的度数．26．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点H，AE＝BE．试说明：（1）△AEH≌△BEC．（2）AH＝2BD．27．如图所示，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝4厘米，BC＝3厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以每秒1厘米的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．（1）用含t的式子表示PC的长度是 ；（2）若点P，Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点P，Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？答案一、选择题1．D2．B3．D4．C5．D6．A7．D8．C9．B10．B11．B二、填空题12．三角形的稳定性．13．．14．直角．15．35．16．．17．3．18．80°．19．30°．20．ASA．三、解答题21．解：如图所示：．22．解：∵AD⊥BC，∠B＝60°，∴在△ABD中，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，又∵∠DAE＝10°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝30°+10°＝40°，又∵AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAE＝80°，∴在△ABC中，∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°．答：∠C的度数是40°．23．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBE，在△ABD和△ECB中，，∴△ABD≌△ECB（AAS）；（2）∵△ABD≌△ECB，∴BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝70°，∴∠DBC＝40°，∴∠ADB＝∠CBD＝40°．24．（1）证明：∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC．∴AC＝BD．在△ABC和△EDF中，，∴△ACE≌△DBF（SAS）；（2）解：由（1）知△ACE≌△DBF，∴∠ACE＝∠DBF．∵BF⊥CE，∴∠BHC＝90°，∴∠HBC+∠HCB＝90°，∴∠HBC＝∠HCB＝45°．25．（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，在△BAE和△DAE中，，∴△BAE≌△DAE（SAS），∴BE＝DE；（2）解：由（1）得：△BAE≌△DAE，∴∠BEA＝∠DEA，∴∠BEC＝∠DEC，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝78°，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝×78°＝39°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝×（180°﹣39°）＝70.5°，∵BE∥CD，∴∠BEC＝∠ACD＝70.5°，∴∠BEC＝∠DEC＝70.5°，∴∠BED＝2×70.5°＝141°．26．解：（1）∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C＝90°，∵BE⊥AC，∴∠EBC+∠C＝90°，∴∠DAC＝∠EBC，在△AEH与△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（ASA）；（2）∵△AEH≌△BEC，∴AH＝BC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∴AH＝2BD．27．解：（1）PC＝3﹣t．（2）△CPQ≌△BDP，理由如下：∵P、Q的运动速度相等，∴1秒后，CQ＝BP＝1，CP＝BC﹣BP＝3﹣1＝2，∵D为AB的中点，∴BD＝，∴CP＝BD，在△CPQ和△BDP中，，∴△CPQ≌△BDP（SAS）．（3）解：由（1）知，PC＝3﹣t，BP＝t，CQ＝at，BD＝2，∵∠C＝∠B∵△BPD与△CQP全等，①当△CPQ≌△BDP时，BP＝CQ，t＝at，∵t≠0，∴a＝1与P、Q的运动速度不相等矛盾，故舍去．②当△CPQ≌△BPD时，BP＝CP，CQ＝BD，∴t＝3﹣t，at＝2，t＝a＝．即点P、Q的运动速度不相等时，点Q的运动速度a为时，能够使△BPD与△CQP全等．。
第4章三角形证明 题型解读12 全等典型模型：“手拉手”模型-2020-2021学年北师大版七下数学
《三角形证明》题型解读12 全等典型模型：“手拉手”模型【知识梳理】（一）“手拉手模型”的基本图形题型特征：△ABC 与△BDE 是等边三角形，A 、B 、D 三点在同一直线上。
解题方法：一定有以下六个结论（三组全等、一个60°、一个等边△、一组平行线） ①△ABE ≌△CBD证明过程：∵△ABC 与△BDE 是等边三角形，∴∠1=∠2=∠3=60°，∴∠ABE=∠CBD=120°，∵AB=BC ，BE=BD ， ∴△ABE ≌△CBD （SAS ） ②△ABH ≌△CBF证明过程：∵△ABE ≌△CBD ，∴∠4=∠5，∵AB=BC ，∠1=∠2，∴△ABH ≌△CBF （SAS ） ③△BHE ≌△BFD证明过程：∵△ABE ≌△CBD ，∴∠6=∠7，∵BE=BD ，∠2=∠3，∴△BHE ≌△BFD （SAS ） ④∠AGC=60°证明过程：∵△ABE ≌△CBD ，∴∠6=∠7，在△GFE 和△BFD 中（“8”字模型），∠3=180°-∠BFD-∠7，∠EGF=180°-∠GFE-∠6，∵∠6=∠7，∠GFE=∠BFD ，∴∠3=∠EGF ，∵∠AGC=∠EGF ，∠3=60°，∴∠AGC=∠3=60° ⑤△BHF 是等边三角形证明过程：∵△BHE ≌△BFD （SAS ），∴BH=BF ，∵∠2=60°，∴△BHF 是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形） ⑥HF//AD证明过程：∵△BHF 是等边三角形，∴∠8=60°，∵∠3=60°，∴∠8=∠3，∴HF//AD （二）“手拉手模型”的变化图形题型特征：△ABC 与△BDE 是等边三角形，A 、B 、D 三点不在同一直线上。
图2M N 765431H GFEDCBA765431HG F ED CBA解题方法：一定有以下六个结论（一组全等，一个60°、一个角平分线） ①△ABE ≌△CBD证明过程：∵△ABC 与△BDE 是等边三角形，∴∠1=∠3=60°，∴∠ABE=∠CBD （共角模型），∵AB=BC ，BE=BD ， ∴△ABE ≌△CBD （SAS ） ②∠AGC=60°证明过程：∵△ABE ≌△CBD ，∴∠6=∠7，在△GFE 和△BFD 中（“8”字模型），∠3=180°-∠BFD-∠7，∠EGF=180°-∠GFE-∠6，∵∠6=∠7，∠GFE=∠BFD ，∴∠3=∠EGF ，∵∠AGC=∠EGF ，∠3=60°，∴∠AGC=∠3=60° ③BG 平分∠HBF证明过程：作BM ⊥AE 于点M ，BN ⊥GD 于点N ，如图2，∵△ABE ≌△CBD ，∴∠4=∠5，∵AB=BC ，∠AMB=∠CNB=90°，∴△ABM ≌△CBN （AAS ），∴BM=BN ，∴BG 平分∠HBF （到角两边的距离相等的点，在这个角的角平分线上）（三）常见“手拉手”变化图形【典型例题】例1.如图，C 为线段AE 上一动点（不与A 、E 重合），在AE 同侧分别作等边△ABC 和等 边△CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ，以下五个结论： ①AD ＝BE ；②PQ ∥AE ；③CP ＝CQ ；④BO ＝OE ；⑤∠AOB ＝60°，恒成立的结论有（ ）。
2020-2021学年七年级数学北师大版下册第四章1 认识三角形 第2课时 三边形的高、中线
知识点3： 三角形的角平分线
【例5】如图4-1-19，在△ABC中，∠B=60°，∠C=30°，AD和 AE分别是△ABC的高和角平分线，求∠DAE的度数．
解：在△ABC中， ∠B=60°，∠C=30°， 所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-30°=90°. 因为AE是∠BAC的平分线,所以∠BAE= ∠BAC=45°. 因为AD是△ABC的高，所以∠ADB=90°. 所以在△ADB中，∠BAD=90°-∠B=90°-60°=30°. 所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=45°-30°=15°.
【C组】 10. 如图4-1-31，△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它 们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度 数．
解：因为∠CAB=50°，∠C=60°, 所以∠ABC=180°-50°-60°=70°. 又因为AD是高，所以∠ADC=90°. 所以∠DAC=180°-90°-∠C=30°. 因为AE,BF是角平分线，所以∠CBF=∠ABF=35°， ∠EAF=25°. 所以∠DAE=∠DAC-∠EAF=5°， ∠AFB=180°-∠CAB-∠ABF=180°-50°-35°=95°. 所以∠AOF=180°-∠CAE-∠AFB=180°-25°-95°=60°. 所以∠BOA=180°-∠AOF=120°.故∠DAE=5°，∠BOA=120°.
∠BAC=40°．因为AD是△ABC的高，所以∠ADC=90°. 所以在△ADC中，∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°60°=30°. 所以∠DAE=∠EAC-∠DAC=40°-30°=10°．所以∠AEC=90°10°=80°.所以∠AEB=100°.因为BF是∠ABC的平分线， 所以∠FBC= ∠ABC=20°.所以∠BOE=180°-20°-100°=60°．
2020-2021学年北师大版数学七年级下册 第四章 三角形 单元检测卷及答案
第四章三角形单元综合测试一．选择题1．已知三条线段长分别为2cm、4cm、acm，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，那么a的取值可以是（）A．1cm B．2cm C．4cm D．7cm2．全等形是指两个图形（）A．大小相等B．完全重合C．形状相同D．以上都不对3．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（）A．B．C．D．4．如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC ＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA5．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（）A．45°B．60°C．90°D．100°6．如图，已知△ABC≌△CDE，其中AB＝CD，那么下列结论中，不正确的是（）A．AC＝CE B．∠BAC＝∠ECD C．∠ACB＝∠ECD D．∠B＝∠D7．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC＝DC，∠A＝∠D B．BC＝EC，AC＝DCC．∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACD D．BC＝EC，∠B＝∠E8．下列判断正确的个数是（）（1）能够完全重合的两个图形全等；（2）两边和一角对应相等的两个三角形全等；（3）两角和一边对应相等的两个三角形全等；（4）全等三角形对应边相等．A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙、丁四个三角形中一定和△ABC全等的图形是（）A．甲、丁B．甲、丙C．乙、丙D．乙10．如图，AB＝AC，角平分线BF、CE交于点O，AO与BC交于点D，则图中共有（）对全等三角形．A．8B．7C．6D．5二．填空题11．已知三角形的三边长为3、7、a，则a的取值范围是．12．如图，测量三角形中线段AB的长度为cm；判断大小关系：AB+AC BC（填“＞”，“＝”或“＜”）．13．如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起做成卡钳，可测量工件内槽的宽，已知AC的长度是6cm，则工件内槽的宽BD是cm．14．如图，已知点B、E、F、C在同一直线上，BE＝CF，AF＝DE，则添加条件，可以判断△ABF≌△DCE．15．如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是．16．下列说法正确的是（填写语句的序号）：①形状相同的图形是全等图形；②边长相等的等边三角形是全等图形；③面积相等的三角形是全等三角形；④平移前后的两个图形一定是全等形；⑤全等图形的对应边和对应角都相等．17．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝100，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为2：3，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为．18．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝．19．如图，已知线段AB与CD相交于点E，AC＝AD，CE＝ED，则图中全等三角形有对．20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD，BE交于点F，若BF ＝AC，CD＝3，BD＝8，则线段AF的长度为．三．解答题21．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝7，若第三边BC的长为偶数，求△ABC的周长．22．下面图形中有哪些是全等图形？23．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B 分别与木墙的顶端重合．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）求两堵木墙之间的距离．24．如图，在五边形ABCDE和五边形A′B′C′D′E′中，如果AB＝A′B′，BC＝B′C′，CD＝C′D′，DE＝D′E′，EA＝E′A′．请添加尽可能少的条件，使它们全等（写出添加的条件，不需要说明理由）25．阅读下题及其证明过程：已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，EB＝EC，∠ABE＝∠ACE，求证：∠BAE＝∠CAE．证明：在△AEB和△AEC中，．∴△AEB≌△AEC（第一步）．∴∠BAE＝∠CAE（第二步）．问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程．26．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，E是对角线AC上一点，连接BE，DE．（1）求证：BE＝DE．（2）当BE∥CD，∠BAD＝78°时，求∠BED的度数．27．已知：在△ABC和△DBE中，AB＝DB，BC＝BE，其中∠ABD＝∠CBE．（1）如图1，求证：AC＝DE；（2）如图2，AB＝BC，AC分别交DE，BD于点F，G，BC交DE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四对全等三角形．参考答案一．选择题1．解：依题意有4﹣2＜a＜4+2，解得：2＜a＜6．只有选项C在范围内．故选：C．2．解：能够完全重合的两个图形叫做全等形，故选：B．3．解：A、两个图形属于全等形，故此选项符合题意；B、两个图形不属于全等形，故此选项不符合题意；C、两个图形不属于全等形，故此选项不符合题意；D、两个图形不属于全等形，故此选项不符合题意；故选：A．4．解：在△ABC和△MBC中，∴△MBC≌△ABC（ASA），故选：D．5．解：∵在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED（SAS），∴∠1＝∠AED，∵∠AED+∠2＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故选：C．6．解：∵△ABC≌△CDE，AB＝CD∴∠ACB＝∠CED，AC＝CE，∠BAC＝∠ECD，∠B＝∠D∴第三个选项∠ACB＝∠ECD是错的．故选：C．7．解：A．AB＝DE，BC＝DC，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEC，故本选项符合题意；B．AC＝DC，AB＝DE，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；C．∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，即∠ACB＝∠DCE，∵∠B＝∠E，AB＝DE，∴△ABC≌△DEC（AAS），故本选项不符合题意；D．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；故选：A．8．解：（1）能够完全重合的两个图形全等，正确；（2）两边和一角对应相等的两个三角形全等，必须是SAS才可以得出全等，错误；（3）根据“ASA”或“AAS”定理，有两角和一边对应相等的两个三角形，比如一边是两角的夹边和一角对边相等，则这两个三角形就不全等，故原说法错误；（4）全等三角形对应边相等，正确．所以有2个判断正确．故选：B．9．解：A、△ABC和甲两个三角形根据SAS可以判定全等，△ABC与丁三角形根据ASA可以判定全等，故本选项正确；B、△ABC与丙两个三角形的对应角不一定相等，无法判定它们全等，故本选项错误；C、△ABC与乙、丙都无法判定全等，故本选项错误；D、△ABC与乙无法判定全等，故本选项错误；故选：A．10．解：∵AB＝AC，角平分线BF、CE交于点O，∴AO平分∠BAC，点D为BC的中点，在△BAD和△CAD中，，∴△BAD≌△CAD（SSS）；同理可证：△OBD≌△OCD，△OBE≌△OCE，△OEA≌△OF A，△OBA≌△OCA，△BEC ≌△CFB，△ABF≌△ACF，由上可得，图中共有7对全等的三角形，故选：B．二．填空题11．解：根据三角形的三边关系，得7﹣3＜a＜7+3，即：4＜a＜10．故答案为：4＜a＜10．12．解：测量可知，三角形中线段AB的长度为2cm；判断大小关系：AB+AC＞BC．故答案为：2，＞．13．解：∵把两根钢条AB，CD的中点连在一起做成卡钳，∴AO＝BO，CO＝DO，在△BOD和△AOC中，∴△BOD≌△AOC（SAS），∴BD＝AC＝6cm，故答案为：6．14．解：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∴若添加∠AFB＝∠DEC，可以利用“SAS”证明△ABF≌△DCE，若添加AB＝DC，可以利用“SSS”证明△ABF≌△DCE，所以，添加的条件为∠AFB＝∠DEC或AB＝DC．故答案为：∠AFB＝∠DEC或AB＝DC．15．解：∵四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，∴∠D＝∠D′＝130°，∴∠A＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠D＝360°﹣75°﹣60°﹣130°＝95°，故答案为：95°．16．解：①形状相同，大小相等的图形是全等图形，故本小题错误；②边长相等的等边三角形是全等图形，正确；③面积相等的三角形是全等三角形，错误；④平移前后的两个图形一定是全等形，正确；⑤全等图形的对应边和对应角都相等，正确．所以，正确的说法有②④⑤．故答案为：②④⑤．17．解：设BE＝2t，则BF＝3t，因为∠A＝∠B＝90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，∵BF＝AE，AB＝60，∴3t＝100﹣2t，解得：t＝20，∴AG＝BE＝2t＝2×20＝40；情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，∵BE＝AE，AB＝60，∴2t＝100﹣2t，解得：t＝25，∴AG＝BF＝3t＝3×25＝75，综上所述，AG＝40或AG＝75．故答案为：40或75．18．解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠2＝∠ABD＝30°，∵∠1＝28°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝28°+30°＝58°，故答案为：58°．19．解：在△ACE和△ADE中，，∴△ACE≌△ADE（SSS），∴∠CAE＝∠DAE，在△CAB和△DAB中，∴△CAB≌△DAB（SAS），∴BC＝BD，在△BCE和△BDE中，∴△BCE≌△BDE（SSS）．∴图中全等三角形有3对．故答案为：3．20．解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，∴∠ADC＝∠BDF＝∠AEB＝90°，∴∠DAC+∠C＝90°，∠C+∠DBF＝90°，∴∠DAC＝∠DBF，在△ADC和△BDF中，，∴△ADC≌△BDF（AAS），∴CD＝FD＝3，AD＝BD＝8，∵CD＝3，BD＝8，∴AD＝8，DF＝3，∴AF＝AD﹣FD＝8﹣3＝5，故答案为：5．三．解答题21．解：∵在△ABC中，AB＝3，AC＝7，∴第三边BC的取值范围是：4＜BC＜10，∴符合条件的偶数是6或8，∴当BC＝6时，△ABC的周长为：3+6+7＝16；当BC＝8时，△ABC的周长为：3+7+8＝18．∴△ABC的周长为16或18．22．解：如图所示：（1）和（8）是全等图形．23．（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由题意得：AD＝2×3＝6cm，BE＝7×2＝14cm，∵△ADC≌△CEB，∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20（cm），答：两堵木墙之间的距离为20cm．24．解：如图：，连接AC，AD，A′C′，A′D′，AC＝A′C′，AD＝A′D′，五边形ABCDE≌五边形AB′C′D′E′．25．解：上面证明过程不正确；错在第一步．正确过程如下：∵BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，又∵∠ABE＝∠ACE，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，在△AEB和△AEC中，，∴△AEB≌△AEC（SSS），∴∠BAE＝∠CAE．26．（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，在△BAE和△DAE中，，∴△BAE≌△DAE（SAS），∴BE＝DE；（2）解：由（1）得：△BAE≌△DAE，∴∠BEA＝∠DEA，∴∠BEC＝∠DEC，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝78°，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝×78°＝39°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝×（180°﹣39°）＝70.5°，∵BE∥CD，∴∠BEC＝∠ACD＝70.5°，∴∠BEC＝∠DEC＝70.5°，∴∠BED＝2×70.5°＝141°．27．证明：（1）∵∠ABD＝∠CBE，∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC，即∠ABC＝∠DBE，在△ABC与△DBE中，，∴△ABC≌△DBE（SAS），∴AC＝DE；（2）由（1）得△ABC≌△DBE，∴∠A＝∠D，∠C＝∠E，AB＝DB，BC＝BE，∴AB＝BE，∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∴∠A＝∠E，在△ABG与△EBH中，，∴△ABG≌△EBH（ASA），∴BG＝BH，在△DBH与△CBG中，，∴△DBH≌△CBG（SAS），∴∠D＝∠C，∵DB＝CB，BG＝BH，∴DG＝CF，在△DFG与△CFH中，，∴△DFG≌△CFH（AAS）．1、三人行，必有我师。
2020--2021学年北师大版数学七年级下册 第四章 三角形 中考真题演练
第四章三角形中考中考真题训练一、选择题1.[2020·绍兴]长度分别为2,3,3,4的四根细木棒首尾相连,围成一个三角形(木棒允许连接,但不允许折断),得到的三角形的最长边长为()A.4B.5C.6D.72.[2020·大连]如图 ,在△ABC中,∠A=60°,∠B=40°,DE∥BC,则∠AED的度数是()A.50°B.60°C.70°D.80°3.[2020·永州]如图,已知AB=DC,∠ABC=∠DCB,能直接判定△ABC≌△DCB的方法是()A.SASB.AASC.SSSD.ASA4.[2019·青岛]如图4-Y-3,BD是△ABC的角平分线,AE⊥BD,垂足为F.若∠ABC=35°,∠C=50°,则∠CDE的度数为()A.35°B.40°C.45°D.50°二、填空题5.[2020·齐齐哈尔]如图,已知在△ABD和△ABC中,∠DAB=∠CAB,点A,B,E在同一条直线上,若使△ABD≌△ABC,则还需添加的一个条件是.(只填一个即可)6.[2020·怀化]如图,在△ABC和△ADC中,AB=AD,BC=DC,∠B=130°,则∠D= °.7.[2020·青海]已知a,b,c为△ABC的三边长,b,c满足(b-2)2+|c-3|=0,且a为方程|x-4|=2的解,则△ABC的形状为三角形.8.[2020·江西]如图,CA平分∠DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若∠EAC=49°,则∠BAE的度数为.三、解答题9.[2020·铜仁]如图,点B,F,C,E在同一直线上,∠B=∠E,BF=EC,AC∥DF.试说明:△ABC≌△DEF.10.[2020·温州改编]如图,在△ABC和△DCE中,AC=DE,∠B=∠DCE=90°,点A,C,D在同一直线上,且AB∥DE.试说明:△ABC≌△DCE.11.[2020·南充]如图4-Y-9,点C在线段BD上,且AB⊥BD,DE⊥BD,AC⊥CE,垂足分别为B,D,C,BC=DE.试说明:AB=CD.12.[2020·无锡]如图,已知点B,F,E,C在同一直线上,AB∥CD,AB=CD,BE=CF.试说明:(1)△ABF≌△DCE;(2)AF∥DE.13.[2020·黄石]如图,点C在AE上,AB=AE,AB∥DE,∠DAB=70°,∠E=40°.(1)求∠DAE的度数;(2)若∠B=30°,试说明:AD=BC.14.[2020·宜宾]如图,在△ABC中,D是边BC的中点,连接AD并延长到点E,使DE=AD,连接CE.(1)试说明:△ABD≌△ECD;(2)若△ABD的面积为5,求△ACE的面积.1.B2.[解析] D因为∠C=180°-∠A-∠B,∠A=60°,∠B=40°, 所以∠C=80°.因为DE∥BC,所以∠AED=∠C=80°.故选D.3.[解析] A在△ABC和△DCB中,因为AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,所以△ABC≌△DCB(SAS).故选A.4.[解析] C因为BD是△ABC的角平分线,AE⊥BD,所以∠ABD=∠EBD,∠AFB=∠EFB=90°.在△ABF和△EBF中,因为∠ABF=∠EBF,BF=BF,∠AFB=∠EFB, 所以△ABF≌△EBF(ASA),所以AB=EB.因为∠ABC=35°,∠C=50°,所以∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°.在△ABD与△EBD中,因为AB=EB,∠ABD=∠EBD,BD=BD,所以△ABD≌△EBD(SAS),所以∠BED=∠BAD=95°,所以∠DEC=180°-∠BED=85°,所以∠CDE=180°-∠DEC-∠C=180°-85°-50°=45°.5.答案不唯一,如AD=AC6.1307.[答案] 等腰[解析] 由非负数的性质可知b-2=0,c-3=0,所以b=2,c=3.由方程|x-4|=2,得x-4=±2,解得x=6或x=2.①当a=6时,2+3<6,此时不能构成三角形,舍去;②当a=2时,2,2,3能构成等腰三角形.故答案为等腰.8.[答案] 82°[解析] 因为CA平分∠DCB,所以∠BCA=∠DCA.在△ABC和△ADC中,因为CB=CD,∠BCA=∠DCA,AC=AC,所以△ABC≌△ADC(SAS),所以∠BAC=∠DAC.因为∠EAC=49°,所以∠BAC=∠DAC=180°-∠EAC=131°,所以∠BAE=∠BAC-∠EAC=82°.故答案为82°.9.解:因为AC∥DF,所以∠ACB=∠DFE.因为BF=EC,所以BC=EF.在△ABC和△DEF中,因为∠B=∠E,BC=EF,∠ACB=∠DFE,所以△ABC≌△DEF(ASA).10.解:因为AB∥DE,所以∠A=∠D.在△ABC和△DCE中,因为∠B=∠DCE,∠A=∠D,AC=DE,所以△ABC≌△DCE(AAS).11.解:因为AB⊥BD,DE⊥BD,AC⊥CE,所以∠ACE=∠ABC=∠CDE=90°,所以∠ACB+∠ECD=90°,∠ECD+∠CED=90°,所以∠ACB=∠CED.在△ABC和△CDE中,因为∠ACB=∠CED,BC=DE,∠ABC=∠CDE,所以△ABC≌△CDE(ASA),所以AB=CD.12.解:(1)因为AB∥CD,所以∠B=∠C.因为BE=CF,所以BE-EF=CF-EF,即BF=CE.在△ABF和△DCE中,因为AB=DC,∠B=∠C,BF=CE,所以△ABF≌△DCE(SAS).(2)因为△ABF≌△DCE,所以∠AFB=∠DEC,所以∠AFE=∠DEF, 所以AF∥DE.13.解:(1)因为AB∥DE,∠E=40°,所以∠EAB=∠E=40°.因为∠DAB=70°,所以∠DAE=∠DAB-∠EAB=30°.(2)因为∠B=30°,∠DAE=30°,所以∠DAE=∠B.在△ADE与△BCA中,因为∠DAE=∠B,AE=BA,∠E=∠BAC,所以△ADE≌△BCA(ASA),所以AD=BC.14.解:(1)因为D是BC的中点,所以BD=CD.在△ABD与△ECD中,因为BD=CD,∠ADB=∠EDC,AD=ED,所以△ABD≌△ECD(SAS).(2)因为在△ABC中,D是边BC的中点,所以S△ABD=S△ADC.因为△ABD≌△ECD,所以S△ABD=S△ECD,所以S△ADC=S△ABD=S△ECD.因为S△ABD=5,所以S△ADC=S△ECD=5,所以S△ACE=S△ADC+S△ECD=5+5=10.故△ACE的面积为10.。
2020-2021学年北师大版七年级数学下册第四章4.1认识三角形 同步测试
北师大版七年级数学下册第四章4.1认识三角形同步测试（原卷版）一．选择题1．下列关于三角形分类不正确的是（整个大方框表示全体三角形）（）A．B．C．D．2．已知三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长不可能是（）A．3B．5C．7D．113．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（）A．都是锐角三角形B．都是直角三角形C．都是钝角三角形D．是一个锐角三角形和一个钝角三角形4．有两条高在三角形外部的三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定5．若AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（）A．AD△BC B．BD＝CD C．△BAD＝△CAD D．AD＝BC 6．现有两根笔直的木棍，它们的长度是20cm和30cm，若不改变木棍的长度，要做一个三角形的木框，则第三根木棍的长度可能为（）A．10cm B．20cm C．50cm D．60cm7．如图，已知AD是△ABC的边BC上的中线，CE是△ADC的边AD上的中线，若△ABD的面积为16cm2，则△CDE的面积为（）A．32 cm2B．16cm2C．8cm2D．4cm28．如图，在△ABC中，D为BC上一点，△1＝△2，△3＝△4，△BAC＝105°，则△DAC的度数为（）A．80°B．82°C．84°D．86°9．如图，△ABC中，△A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时△C′DB＝74°，则原三角形的△C的度数为（）A．27°B．59°C．69°D．79°10．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，△A＝90°，EG△BC，且CG△EG于G，下列结论：△△CEG＝2△DCB；△△ADC＝△GCD；△CA平分△BCG；△△DFB＝△CGE．其中正确的结论是（）A．△△B．△△△C．△△△D．△△△△二．填空题11．如图，AB△CD，CE与AB交于点A，BE△CE，垂足为E．若△C=37°，则△B= .12．如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形个．13．在三角形的三条高中，位于三角形外的可能条数是条．14．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，OF△BC，且BC＝4cm，OF＝2cm，则四边形ADOE的面积是．15．一个三角形的周长为偶数，其中两条边长分别为6和2019，则满足上述条件的三角形有个．16．如图，在△ABC中，△A＝m°，△ABC和△ACD的平分线交于点A1，得△A1，△A1BC和△A1CD的平分线交于点A2，得△A2，…，△A2017BC和△A2017CD的平分线交于点A2018，则△A2018＝度．三．解答题17．如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上，三角形BDE与四边形ACDE的周长相等．（1）求线段AE的长．（2）若图中所有线段长度的和是53cm，求BC+DE的值．18．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，△CAB ＝50°，△C＝60°，求△DAE和△BOA的度数．19．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝7，若第三边BC的长为偶数，求△ABC的周长．20．若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|21．如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE ＝40°，求∠ADB的度数．22．（1）如图1，则△A、△B、△C、△D之间的数量关系为△A+△B＝△C+△D．（2）如图2，AP、CP分别平分△BAD、△BCD．若△B＝36°，△D＝14°，求△P 的度数；（3）如图3，CP、AG分别平分△BCE、△F AD，AG反向延长线交CP于点P，请猜想△P、△B、△D之间的数量关系．并说明理由．北师大版七年级数学下册第四章4.1认识三角形同步测试（解析版）一．选择题1．下列关于三角形分类不正确的是（整个大方框表示全体三角形）（）A．B．C．D．【分析】给出知识树，分析其中的错误，这就要求平时学习扎实认真，概念掌握的准确．【解答】解：根据选项，可知根据角和边来对三角形分别进行分类．故选：C．【点评】此题考查三角形问题，很基础的一道考查数学概念的题目，在考查知识的同时．也考查了学生对待学习的态度，是一道好题．2．已知三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长不可能是（）A．3B．5C．7D．11【分析】设第三边的长为x，再由三角形的三边关系即可得出结论．【解答】解：设第三边的长为x，△三角形两边的长分别是3和5，△5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8．故选：D．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．3．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（）A．都是锐角三角形B．都是直角三角形C．都是钝角三角形D．是一个锐角三角形和一个钝角三角形【分析】分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形．【解答】解：如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形．如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．如图，锐角三角形沿虚线剪开即可得到一个锐角三角形和一个钝角三角形．因为剪开的边上的两个角是邻补角，不可能都是锐角，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．综上所述，将一个三角形剪成两三角形，这两个三角形不可能都是锐角三角形．故选：A．【点评】本题主要考查了三角形的分类，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．4．有两条高在三角形外部的三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【分析】根据三角形的高的概念，通过具体作高．发现：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条在内部．【解答】解：有两条高在三角形外部的是钝角三角形．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，注意不同形状的三角形的高的位置．5．若AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（）A．AD△BC B．BD＝CD C．△BAD＝△CAD D．AD＝BC【分析】根据三角形的中线的定义即可判断．【解答】解：△AD是△ABC的中线，△BD＝DC，故选：B．【点评】本题考查三角形的中线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．6．现有两根笔直的木棍，它们的长度是20cm和30cm，若不改变木棍的长度，要做一个三角形的木框，则第三根木棍的长度可能为（）A．10cm B．20cm C．50cm D．60cm【分析】先设第三根木棒的长为lcm，再根据三角形的三边关系求出l的取值范围，找出符合条件的l的值即可．【解答】解：设第三根木棒的长为lcm，△两根笔直的木棍，它们的长度分别是20cm和30cm，△30cm﹣20cm＜l＜30cm+20cm，即10cm＜l＜50cm．△四个选项中只有B符合题意．故选：B．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．7．如图，已知AD是△ABC的边BC上的中线，CE是△ADC的边AD上的中线，若△ABD的面积为16cm2，则△CDE的面积为（）A．32 cm2B．16cm2C．8cm2D．4cm2【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，进而解答即可．【解答】解：△AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD的面积为16cm2，△△ADC的面积为16cm2，△CE是△ADC的边AD上的中线，△△CDE的面积为8cm2，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形面积的求法和三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．8．如图，在△ABC中，D为BC上一点，△1＝△2，△3＝△4，△BAC＝105°，则△DAC的度数为（）A．80°B．82°C．84°D．86°【分析】根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决．【解答】解：△△BAC＝105°，△△2+△3＝75°△，△△1＝△2，△3＝△4，△△4＝△3＝△1+△2＝2△2△，把△代入△得：3△2＝75°，△△2＝25°，△△DAC＝105°﹣25°＝80°．故选：A．【点评】此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，熟记三角形的内角和定理是解题的关键．9．如图，△ABC中，△A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时△C′DB＝74°，则原三角形的△C的度数为（）A．27°B．59°C．69°D．79°【分析】先根据折叠的性质得△1＝△2，△2＝△3，△CDB＝△C′DB＝74°，则△1＝△2＝△3，即△ABC＝3△3，根据三角形内角和定理得△3+△C＝106°，在△ABC 中，利用三角形内角和定理得△A+△ABC+△C＝180°，则20°+2△3+106°＝180°，可计算出△3＝27°，即可得出结果．【解答】解如图，△△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C 落在BE上的C′处，△△1＝△2，△2＝△3，△CDB＝△C′DB＝74°，△△1＝△2＝△3，△△ABC＝3△3，在△BCD中，△3+△C+△CDB＝180°，△△3+△C＝180°﹣74°＝106°，在△ABC中，△△A+△ABC+△C＝180°，△20°+2△3+（△3+△C）＝180°，即20°+2△3+106°＝180°，△△3＝27°，△△ABC＝3△3＝81°，△C＝106°﹣27°＝79°，故选：D．【点评】此题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；熟练掌握折叠的性质，得出△ABC和△CBD的倍数关系是解决问题的关键．10．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，△A＝90°，EG△BC，且CG△EG于G，下列结论：△△CEG＝2△DCB；△△ADC＝△GCD；△CA平分△BCG；△△DFB＝△CGE．其中正确的结论是（）A．△△B．△△△C．△△△D．△△△△【分析】△正确．利用平行线的性质证明即可．△正确．首先证明△ECG＝△ABC，再利用三角形的外角的性质解决问题即可．△错误．假设结论成立，推出不符合题意即可．△正确．证明△DFB＝45°即可解决问题．【解答】解：△EG△BC，△△CEG＝△BCA，△CD平分△ACB，△△BCA＝2△DCB，△△CEG＝2△DCB，故△正确，△CG△EG，△△G＝90°，△△GCE+△CEG＝90°，△△A＝90°，△△BCA+△ABC＝90°，△△CEG＝△ACB，△△ECG＝△ABC，△△ADC＝△ABC+△DCB，△GCD＝△ECG+△ACD，△ACD＝△DCB，△△ADC＝△GCD，故△正确，假设AC平分△BCG，则△ECG＝△ECB＝△CEG，△△ECG＝△CEG＝45°，显然不符合题意，故△错误，△△DFB＝△FCB+△FBC＝（△ACB+△ABC）＝45°，△CGE＝45°，△△DFB＝△CGE，故△正确，故选：B．【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二．填空题11．如图，AB∥CD，CE与AB交于点A，BE⊥CE，垂足为E．若∠C=37°，则∠B= .11．答案：53°解析：【解答】△AB△CD，△△C=△BAE=37°，△BE△CE，△△BAE=90°，△△B=90°-△BAE=90°-37°=53°．【点评】先根据平行线的性质得出∠BAE的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．12．如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形21个．【分析】根据前边的具体数据，再结合图形，不难发现：后边的总比前边多4，即第n个图形中，三角形的个数是1+4（n﹣1）＝4n﹣3．所以当n＝6时，原式＝21．注意规律：后面的图形比前面的多4个．【解答】解：第n个图形中，三角形的个数是1+4（n﹣1）＝4n﹣3．所以当n ＝6时，原式＝21，故答案为：21．【点评】注意正确发现规律，根据规律进行计算．13．在三角形的三条高中，位于三角形外的可能条数是0或2条．【分析】当三角形为钝角三角形时，三角形的高有两条在三角形外，一条在三角形内；当三角形为直角三角形和锐角三角形时没有高在三角形外．由此即可确定三角形的三条高中，在三角形外部的最多有多少条．【解答】解：△当三角形为直角三角形和锐角三角形时，没有高在三角形外；而当三角形为钝角三角形时，三角形的高有两条在三角形外，一条在三角形内．△三角形的三条高中，在三角形外部的最多有2条．故答案为：0或2．【点评】此题主要考查了三角形的高，关键是掌握三角形高的定义和画法．14．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，OF△BC，且BC＝4cm，OF＝2cm，则四边形ADOE的面积是4cm2．【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，求出△BOC的面积是多少；然后根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得△BCD、△ACE的面积均是△ABC的面积的一半，据此判断出四边形ADOE的面积等于△BOC的面积，据此解答即可．【解答】解：△BD、CE均是△ABC的中线，△S△BCD＝S△ACE＝S△ABC，△S四边形ADOE+S△COD＝S△BOC+S△COD，△S四边形ADOE＝S△BOC＝4×2÷2＝4cm2．故答案为：4cm2．【点评】此题主要考查了三角形的面积的求法，以及三角形的中线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键要明确：（1）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；（2）三角形的面积＝底×高÷2．15．一个三角形的周长为偶数，其中两条边长分别为6和2019，则满足上述条件的三角形有5个．【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再根据三角形的周长是偶数，且已知的两边和是奇数，则三角形的第三边应该是奇数，从而求解．【解答】解：根据三角形的三边关系，得三角形的第三边大于2013而小于2025．根据题意，得三角形的第三边应该是奇数，则三角形的第三边可以为：2015，2017，2019，2021，2023共5个．故答案为：5．【点评】此题考查了三角形的三边关系，同时能够根据周长和已知的边判断第三边应满足的条件．16．如图，在△ABC中，△A＝m°，△ABC和△ACD的平分线交于点A1，得△A1，△A1BC和△A1CD的平分线交于点A2，得△A2，…，△A2017BC和△A2017CD的平分线交于点A2018，则△A2018＝度．【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证△A1＝△A，进而可求△A1，由于△A1＝△A，△A2＝△A1＝△A，…，以此类推可知△A2018即可求得．【解答】解：△A1B平分△ABC，A1C平分△ACD，△△A1BC＝△ABC，△A1CA＝△ACD，△△A1CD＝△A1+△A1BC，即△ACD＝△A1+△ABC，△△A1＝（△ACD﹣△ABC），△△A+△ABC＝△ACD，△△A＝△ACD﹣△ABC，△△A1＝△A，△A2＝△A1＝△A，…，以此类推可知△A2018＝△A＝（）°，故答案为：．【点评】本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出△A1＝△A，并能找出规律．三．解答题17．如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上，三角形BDE与四边形ACDE的周长相等．（1）求线段AE的长．（2）若图中所有线段长度的和是53cm，求BC+DE的值．【分析】（1）设AE＝xcm，根据三角形BDE与四边形ACDE的周长相等列方程，解方程即可；（2）找出图中所有的线段，再根据所有线段长度的和是53cm，求出2BC+DE，得到答案．【解答】解：（1）△三角形BDE与四边形ACDE的周长相等，△BD+DE+BE＝AC+AE+CD+DE，△BD＝DC，△BE＝AE+AC，设AE＝x cm，则BE＝（10﹣x）cm，由题意得，10﹣x＝x+6．解得，x＝2，△AE＝2cm；（2）图中共有8条线段，它们的和为：AE+EB+AB+AC+DE+BD+CD+BC＝2AB+AC+2BC+DE，由题意得，2AB+AC+2BC+DE＝53，△2BC+DE＝53﹣（2AB+AC）＝53﹣（2×10+6）＝27，△BC+DE＝（cm）．【点评】本题考查的是三角形的周长、四边形的周长，正确作出图中所有线段是解题的关键．18．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，△CAB ＝50°，△C＝60°，求△DAE和△BOA的度数．【分析】先利用三角形内角和定理可求△ABC，在直角三角形ACD中，易求△DAC；再根据角平分线定义可求△CBF、△EAF，可得△DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求△AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出△BOA．【解答】解：△△CAB＝50°，△C＝60°△△ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，又△AD是高，△△ADC＝90°，△△DAC＝180°﹣90°﹣△C＝30°，△AE、BF是角平分线，△△CBF＝△ABF＝35°，△EAF＝25°，△△DAE＝△DAC﹣△EAF＝5°，△AFB＝△C+△CBF＝60°+35°＝95°，△△BOA＝△EAF+△AFB＝25°+95°＝120°，△△DAC＝30°，△BOA＝120°．故△DAE＝5°，△BOA＝120°．【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出△EAF、△CBF，再运用三角形外角性质求出△AFB．19．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝7，若第三边BC的长为偶数，求△ABC的周长．【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而解答即可．【解答】解：△在△ABC中，AB＝3，AC＝7，△第三边BC的取值范围是：4＜BC＜10，△符合条件的偶数是6或8，△当BC＝6时，△ABC的周长为：3+6+7＝16；当BC＝8时，△ABC的周长为：3+7+8＝18．△△ABC的周长为16或18．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．20．若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|20．答案：见解答过程．解析：【解答】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.△|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b ＋c＋a－b＝3c＋a－b．【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算．21．如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE ＝40°，求∠ADB的度数．21．答案：100°．【解答】△AD是△ABC的角平分线，△BAC＝60°，△△DAC＝△BAD＝30°.△CE 解析：是△ABC的高，△BCE＝40°，△△B＝50°，△△ADB＝180°－△B－△BAD＝180°－30°－50°＝100°．【分析】根据AD是△ABC的角平分线，△BAC＝60°，得出△BAD＝30°.再利用CE是△ABC 的高，△BCE＝40°，得出△B的度数，进而得出△ADB的度数．22．（1）如图1，则△A、△B、△C、△D之间的数量关系为△A+△B＝△C+△D．（2）如图2，AP、CP分别平分△BAD、△BCD．若△B＝36°，△D＝14°，求△P 的度数；（3）如图3，CP、AG分别平分△BCE、△F AD，AG反向延长线交CP于点P，请猜想△P、△B、△D之间的数量关系．并说明理由．【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；（2）根据角平分线的定义可得△BAP＝△DAP，△BCP＝△DCP，结合（1）的结论可得2△P＝△B+△D，再代入计算可求解；（3）根据角平分线的定义可得△ECP＝△PCB，△F AG＝△GAD，结合三角形的内角和定理可得△P+△GAD＝△B+△PCB，△P+（180°﹣△GAD）＝△D+（180°﹣△ECP），进而可求解．【解答】解：（1）△△AOB+△A+△B＝△COD+△C+△D＝180°，△AOB＝△COD，△△A+△B＝△C+△D，故答案为△A+△B＝△C+△D；（2）△AP、CP分别平分△BAD、△BCD，△△BAP＝△DAP，△BCP＝△DCP，由（1）可得：△BAP+△B＝△BCP+△P，△DAP+△P＝△DCP+△D，△△B﹣△P＝△P﹣△D，即2△P＝△B+△D，△△B＝36°，△D＝14°，△△P＝25°；（3）2△P＝△B+△D．理由：△CP、AG分别平分△BCE、△F AD，△△ECP＝△PCB，△F AG＝△GAD，△△P AB＝△F AG，△△GAD＝△P AB，△△P+△P AB＝△B+△PCB，△△P+△GAD＝△B+△PCB，△△P+△P AD＝△D+△PCD，△△P+（180°﹣△GAD）＝△D+（180°﹣△ECP），△2△P＝△B+△D．【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，及角的计算，灵活运用等式的性质进行角的计算是解题的关键．。
第4章三角形证明题型解读1 三角形内角和定理及外角定理题型-2020-2021学年北师大版七数学
《三角形证明》题型解读1：三角形内角和定理及外角定理题型【知识梳理】1.三角形内角和定理①三角形的三个内角的和等于1800。
②证明过程---解题思路：把三角形三个内角，通过平行线性质，转化成一个平角。
如图，过△ABC 的顶点A 作DE//BC ，∵DE//BC ，∴∠B=∠DAB ，∠C=∠EAC ，∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°， ∴∠B+∠BAC+∠C=180°，即三角形的三个内角和是180°.③拓展：n 边形内角和公式（n-2）×18002.三角形的外角①三角形外角的特征：顶点在三角形的一个顶点上；一条边是三角形的一边；另一条边是三角形另一边的延长线；如图2，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6均是△ABC 的外角；由于这6个角中存在三组对顶角，所以一般说一个三角形的外角，是指它的三个外角。
②三角形的外角和定理：三角形的三个外角和等于360º如图2，∠1+∠3+∠5=∠2+∠4+∠6=360°； ③三角形的外角性质：三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，注意：“不相邻”； 如图2，∠1=∠2=∠ACB+∠ABC 、∠3=∠4=∠BAC+∠ACB 、∠5=∠6=∠BAC+∠ABC.④三角形的外角大于和它不相邻的任意一个内角，注意：“不相邻”；⑤拓展：四边形的外角性质:如图，当∠A+∠C=180°时∠EDC=∠B【典型例题】 例1. 已知AB//CD ，求证：∠B=∠E+∠DE D C B AE D C B A E DC B A ∠∠°∠∠∠°∠∠∠∴∠=∠D+∠E （等量代换）21图2654321CB A【解析】：这是平行线中三大典型模型的“牛角模型”，未知外角性质定理时，我们的证明过程如下：当我们学习了外角性质定理时，证明过程就要简洁一些了。
证明：∵AB//CD （已知）， ∴∠B=∠1（两直线平行，同位角相等），∵∠1=∠D+∠E （三角形外角性质），∴∠B=∠D+∠E （等量代换）.例2.当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，则这个“特征三角形”的最小内角的度数为____.【解析】：定义新运算题型，考查数学阅读理解能力，运用三角形的内角和定理即可解答。
北师大版数学七年级下全等三角形、等腰三角形专题复习
初中数学试卷全等三角形、等腰三角形专题复习一、知识回顾1.全等三角形的性质：全等三角形对应边 ；全等三角形对应角 .2.全等三角形的判断方法有 ： ， ， ， ， （简记形式）3.等腰三角形：（1）定义 ；（2）性质：①等腰三角形的两底角 ；简记为②“三线合一”是指 . ③对称性，等腰三角形有 条对称轴，是 .（3）等腰三角形的判定：①两边相等的三角形是 （定义）② ；简记 .4.等边三角形：（1）定义：腰和底边相等的等腰三角形是 ；（2）性质：①等边三角形的三边 ，②等边三角形三内角 ，都为 . ③等边三角形对称性，等边三角形有 条对称轴，是 .④在直角三角形中，300角所对的 的一半.（3）等边三角形的判定方法：①三边相等的三角形是 ；②三内角相等的三角形是 ，③有两个角为600的三角形是 ；④有一个角为600的 是等边三角形.二、典例讲解1.利用相等线段的和差找对应边相等证明三角形全等.例1.如图，在△ABC 与△FED 中，AD=CF ，BC=DE ，BC ∥DE ；求证:AB ∥FE.D A B C F EF E D C B A E D B C A F EDC B A2.利用相等角的和差找对应角相等证明三角形全等.例2.如图， 若AB=AE, ∠1=∠2=∠EFB ，那么AF=AC 吗？说明理由.3.利用三角形全等找出对应相等的边或角，再次证明三角形全等解题（两次全等）例3. 如图，在四边形ABCD 中，AE ⊥BD,CF ⊥BD, AB=CD, AE=CF ，试判断AD 与BC 有何关系？并说明理由.4.通过添加辅助线，完成解题.例4．如图，在△ACB 中，∠C=900，AD 平分∠CAB ，DB=DE ，（1）若AC=8,AB=10 , S △ABC =24 ,求CD 的长.（2）探究线段AB 、AC 、CE 之间的数量关系，并证明你的结论.5.等腰三角形问题.例5.如图，点E 在△ABC 的AC 边的延长线上，D 点在AB 边上，DE 交BC 于点F ，DF=EF ，BD=CE. 求证：△ABC 是等腰三角形.6.等边三角形问题.例6.如图，已知△ABC 、△ADE 是等边三角形.(1)找出图中一对全等三角形,并证明. A B F C E 1 2ED C B A B A FE D C EF D BCA (2)猜想线段AC 、CE 、CD 三者有何数量关系，说明理由.知识应用：1．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）A.SSSB.SASC.AASD.ASA1题图 2题图 4题图 2.如图，∠1=∠2，要使△ABD ≌△ACD ，需添加一个条件, 那么补充下列一个条件后, 仍无法判定△ABD ≌△ACD 的是( )A.∠B=∠CB.∠BAD=∠CADC. BD=CDD. AB=AC3．如图，是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ， AB=8m ，∠A=30°，则DE 等于（ ）A.1mB.2m C,3m D.4m4.如图，∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于（ ）A.90°B. 75°C.70°D.60°5．如图所示，∠BAC =108° ,AB =AC=BE=CD ,则图中共有等腰三角形（ ）A.6个B.5个C.4个D.3个5题图 6题图 8题图6．已知，如图：AB ∥DE ，AB=DE ，要使ΔABC ≌ΔDEF.(1) 若以“SAS ”为依据，还要添加的条件为_ _；(2) 若以“ASA ”为依据，还要添加的条件为__ ___；(3) 若以“AAS ”为依据，还要添加的条件为_ ；7.若等腰三角形的一个内角是800, 则它的另两个角是 ；若等腰三角形的两边长a, b ；满足0136422=+-+-b b a a ，则周长为 .8.如图，∠BAC=30º，点D 为∠BA C 角平分线上一点，DE⊥A B 于E ，DF//AB ，交AC 于点F ，DE=5 ，则△AFD 的面积为 . 9.如图，AB=BC=10, AD ⊥BC, AF ⊥CD, BD=4 ,求CE 的长.3题图 E D C B A D CB A F EA21D B C A P N M E D CB A10.如图，在△ABC 中，BD=DC ，∠1=∠2，求证：AD 平分∠BAC.11.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CE ⊥AB 于点E ，AD=AC ，AF 平分∠CAB•交CE 于点F ，DF 的延长线交AC 于点G ，求证：（1）DF ∥BC ； （2）FG=FE.12.如图，长方形ABCD 中，E 是AD 上一点，∠EBC=30º，∠ECD=15º，求证：BC=2CD.13.如图，在△ABC 中，AB >AC ，AD 为∠A 的平分线， 求证：AB -AC >BD -CD.14.如图，△ABC 和△DCE 都是等边三角形，B 、C 、E 共线，BD 与AC 、AE 相交于M 、P ，AE 与CD 相交于N.求证：（1）△BCD≌△ACE； (2)∠APB= 度； (3) PC 平分∠BPE 吗？说明理由.15.如图，点P 是等腰Rt △ACB 内任意一点（AC=BC ），连接AP 、BP 、CP ，以CP 为腰作等腰Rt △PCE ，连接BE ，(1)图中的全等三角形是 .（说明：结论中不得含有未标识的字母）；(2)当∠APB=1150 时，求∠PBE 的度数；(3)在(2)的条件下，设∠APC= x 0 ，试探究：△PBE 可以是等腰三角形吗？若能，求满足条E D C BA件的x的值；若不能，说明理由.。
2020-2021学年七年级数学北师大版下册4.1.2 认识三角形
【4.1.2 认识三角形】教学目标 :1.认识等腰三角形，会将三角形按边进行分类。
2.掌握三角形三条边之间的关系。
3.能够熟练应用三角形的三边关系解决问题。
教学重难点重点：三角形三边之间的数量关系以及按边将三角形分类。
难点：灵活运用三角形三边关系解决一些实际问题。
教学过程：一、【温故知新】（1）由不在同一直线上的 条线段 相接所组成的 图形叫做 .（2）三角形有 条边, 个内角, 个顶点.（3）“三角形” 用“ ”表示,如图三角形ABC记作“ ”. （4） 顶点 A 所对的边是 ，用边“ ”表示，或用“ ” 表示；顶点 B 所对的边是 ，用边“ ”表示，或用 “ ”表示；顶点 C 所对的边是 ，用边“ ”表示，或用“ ”表示。
（5）按三角形内角的大小把三角形分为三类：（6）有两边相等的三角形叫（7）有三边相等的三角形叫二、【创设情境】用小棒摆三角形引入三角形三边关系老师给同学们准备了一些小棒，同学们猜想一下，我们用任意三根一定能搭成三角形吗? （展台展示）三、【合作探究】（结合课本85页）探索1：三角形的任意两边之和与第三边有何关系？ 完成课本【议一议】 猜想： 三角形的任意两边之和_____________第三边.B探究2：三角形的任意两边之差与第三边有何关系？完成课本【做一做】猜想：三角形的任意两边之差____________第三边.【结论】三角形任意两边之和___________第三边。
三角形任意两边之差___________第三边。
四、【课堂检测】1.任意三条线段都能组成三角形。
( )2.如果a+b>c ,那么a ,b ,c三条线段可以构成三角形。
（）3.若五条线段的长分别1cm, 2cm, 3cm, 4cm, 5cm, 则以其中三条线段为边可构成______个三角形。
4. 若等腰三角形的两边长分别是3和4,则它的周长为。
若等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长为_______;5.已知两根木条长度分别为3cm和5cm，要想拼成一个三角形，问第三根木条的长度a应取的范围______________。
专题4.3 认识三角形-三角形的内角和(知识讲解)-2020-2021学年七年级数学下册基础知识专
1专题4.3 认识三角形-三角形的内角和（知识讲解）【知识回顾】1、平角的定义：一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，方向相反时，所构成的角叫平角。
1平角=180度 平角不是一条直线，而是在一条直线上的两条射线。
2、平行线的性质 1.两直线平行，同位角相等。
2.两直线平行，内错角相等。
3.两直线平行，同旁内角互补。
【学习目标】1．通过平行线性质和平角定义理解三角形内角和；2．掌握三角形内角和及三角形的外角与内角的关系；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关角的计算及相关证明问题.【知识点梳理】要点一、三角形的内角和定理1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．0++=180.A BC A B C ∆∠∠∠几何语言：如上图，在中，特别说明：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.200=90+=90.A BC C A B ∆∠⇔∠∠几何语言：如上图，在中，特别说明：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.要点二、三角形的外角和1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD 是△ABC 的一个外角.特别说明：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．=+.A BC ACD A BC ACD AB ACD A ACD B∆∠∆⇒∠∠∠∠>∠∠>∠几何语言：如上图，在中，为一个外角，3特别说明：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.0++=360.DAB EBC FCA DAB EBC FCA ∠∠∠∆∠∠∠如上图：、、为ABC 三个外角，则特别说明：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．可以理解为一周为360°，所以外角和为360°【典型例题】类型一、三角形的内角和1．（2021·山西八年级期末）阅读感悟：如下是小明在学习完“证明三角形内角和定理”后对所学知识的整理和总结，请仔细阅读，并完成相应的任务．三角形内角和定理的证明今天，在老师的带领下学习了三角形内角和定理证明的多种方法，我对这些方法进行了梳理，主要分为两大类：一、动手实践操作类①量角器测量法：通过引导同学们画出任意三角形，每人都用量角器测量并将所测得的角度相加，得到结论；①折叠法：如图1，将①所画的三角形剪下并折叠，使每个角都落到三角形一边的同一点处，发现三个角正好可拼为一个平角，进而得到相关结论；①剪拼法：如图2，将方法①用过的三角形展开之后，随意的将某两个角撕下之后，拼到第三个角处，发现三个角正好可拼为一个平角，故而得到相应的结论．4二、证明类（思路：由实际操作的后两种方法得到的启发，我们可以通过构造辅助线，将所证明的三个角通过某些特殊的方法转化到一条直线上，利用所学相关数学知识来证明三角形内角和）：①如图3，过三角形的某个顶点作对边的平行线，利用平行线性质来证明；①如图4，延长三角形的某一条边，并过相应的点做一条平行线，进而利用平行线性质来证明；……任务：（1）“折叠法”和“剪拼法”中得到相应结论的根据是：_________．（2）“证明类”的方法中主要体现了_______的数学思想；A ．方程B ．类比C ．转化D ．分类（3）结合以上数学思想，请在图5中画出一种不同于以上思路的证明方法，并证明三角形内角和定理．【答案】（1）平角为180︒；（2）C ；（3）见解析【分析】（1）分析题意，即可得到“折叠法”和“剪拼法”都是根据平角为180︒进行证明；（2）由题意，证明类主要是通过角度的转化，从而进行证明；5（3）过点D 作//DE AC 交AB 于,//E DF AB 交AC 于F ，由角度的关系，得到A EDF ∠=∠，然后根据平角的定义，即可得到结论成立．解：（1）根据题意，“折叠法”和“剪拼法”都是根据平角为180︒进行证明；故答案为：平角为180︒；（2）根据题意，“证明类”的方法中主要体现了角度的转化，从而进行证明结论成立；故选：C ；（3）证明：如图，过点D 作//DE AC 交AB 于,//E DF AB 交AC 于F ，,,180,180FDC B EDB C A AED EDF AED ∴∠=∠∠=∠∠+∠=︒∠+∠=︒．A EDF ∴∠=∠，180A B C EDF FDC EDB CDB ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠=︒．∴三角形的内角和为180︒．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理的证明，解题的关键是掌握证明三角形内角和等于180°的方法．举一反三：【变式】（2020·河北石家庄市·九年级其他模拟）在学习“三角形的内角和外角”时，老师在学案上设计了以下内容：6下列选项正确的是（ ）A ．①处填ECD ∠B ．①处填ECD ∠C ．①处填A ∠D ．①处填B【答案】B【分析】延长BC 到点D ，过点C 作CE∴AB ．依据平行线的性质以及平角的定义，即可得到∴A ＋∴B ＋∴ACB ＝180°．【详解】延长BC 到点D ，过点C 作CE∴AB， ∴CE∴AB ．∴∴A ＝∴ACE （两直线平行，内错角相等）．∴B ＝∴ECD （两直线平行，同位角相等）．∴∴ACB ＋∴ACE ＋∴ECD ＝180°（平角定义）．∴∴A ＋∴B ＋∴ACB ＝180°（等量代换）．故选：B ．【点拨】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．2.（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知：如图，在①ABC 中，①A①①ABC①①ACB=3①4①5，BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的高，BD，CE 相交于H ，求7①BHC 的度数．【答案】135°【分析】先设∴A=3x ，∴ABC=4x ，∴ACB=5x ，再结合三角形内角和等于180°，可得关于x 的一元一次方程，求出x ，从而可分别求出∴A ，∴ABC ，∴ACB ，在∴ABD 中，利用三角形内角和定理，可求∴ABD ，再利用三角形外角性质，可求出∴BHC ．解：∴在∴ABC 中，∴A ：∴ABC ：∴ACB=3：4：5，故设∴A=3x ，∴ABC=4x ，∴ACB=5x ．∴在∴ABC 中，∴A+∴ABC+∴ACB=180°，∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°，∴∴A=3x=45°．∴BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的高，∴∴ADB=90°，∴BEC=90°，∴在∴ABD 中，∴ABD=180°-∴ADB -∴A=180°-90°-45°=45°，∴∴BHC=∴ABD+∴BEC=45°+90°=135°．【点拨】本题利用了三角形内角和定理、三角形外角的性质．解题关键是熟练掌握:三角形三个内角的和等于180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．举一反三：【变式】 如图，在△ABC 中，∠A=50°，E 是△ABC 内一点，∠BEC=150°，∠ABE 的平分线与∠ACE 的平分线相交于点D ，则∠BDC 的度数为多少？8【答案】100°.解：∵△ABC 中∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∵△BCE 中∠E=150°，∴∠EBC+∠ECB=180°﹣150°=30°，∴∠ABE+∠ACE=130°﹣30°=100°，∵∠ABE 的平分线与∠ACE 的平分线相交于点D ，∴∠DBE+∠DCE=（∠ABE+∠ACE）=×100°=50°，∴∠DBE+∠DCE=（∠DBE+∠DCE）+（∠EBC+∠ECB）=50°+30°=80°，∴∠BDC=180°﹣80°=100°．类型二、三角形的外角3.（2020·安徽省桐城市白马初级中学八年级期中）如图，已知①A ＝60°，①B ＝20°，①C ＝30°，求①BDC 的度数．【答案】110°【分析】延长BD 交AC 于H ，根据三角形的外角的性质计算即可．解：延长BD 交AC于H ，9∴BDC=∴DHC+∴C ，∴DHC=∴A+∴B∴∴BDC=∴A+∴B+∴C=60°+20°+30°=110°．【点拨】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．举一反三：【变式1】（2020·河南南阳市·七年级月考）如图，123∠=∠=∠，且60BFE ︒∠=，70BAC ︒∠=，求ABC ∠的度数．【答案】50°【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和用∴2和∴BCF 表示出∴BFE ，再根据∴2=∴3整理可得∴ACB=∴BFE ，然后利用三角形的内角和等于180°求解即可．解：在∴BCF 中，∴BFE=∴2+∴BCF ，∴∴2=∴3，∴∴BFE=∴3+∴BCF ，即∴BFE=∴ACB ，∴∴BAC=70°，∴BFE=60°，∴在∴ABC 中，∴ABC=180°-∴BAC -∴ACB=180°-70°-60°=50°．【点拨】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记10 性质，并准确识图，找出图中各角度之间的关系是解题的关键．【变式2】 （2019·内蒙古八年级期末）如图，在ABC ∆中，45B C ==∠∠，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且ADE AED ∠=∠，连接DE ，当60BAD ∠=时，求CDE ∠的度数．【答案】30°【分析】根据三角形的外角的性质求出∴ADC ，由三角形内角和定理求出∴BAC=90°，得出∴DAE 的度数，求出∴ADE=∴AED=75°，即可得出答案．解：∴ADC ∠是ABD ∆的外角，∴6045105ADC BAD B ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴45B C ∠=∠=︒，∴90BAC ∠=︒，∴30DAE BAC BAD ∠=∠-∠=︒，∴75ADE AED ∠=∠=︒，∴1057530CDE ∠=︒-︒=︒．【点拨】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．类型三、三角形的内角外角综合训练4.．如图（1）所示，①ABC 中，①ABC ，①ACB 的平分线交于点O ，求证：①BOC=90+12①A ． 变式1：如图（2）所示，①ABC ，①ACD 的平分线交于点O ，求证：①BOC=12①A ． 变式2：如图（3）所示，①CBD ，①BCE 的平分线交于点O ，求证：①BOC=90-12①A ．11【答案】见解析【分析】（1）先根据三角形内角和定理得到∴BOC=180°-∴OBC -∴OCB ，则2∴BOC=360°-2∴OBC -2∴OCB ，再根据角平分线的定义得∴ABC=2∴OBC ，∴ACB=2∴OCB ，则2∴BOC=360°-∴ABC -∴ACB ，易得∴BOC=90°+12∴A ； 变式1：根据BD 为∴ABC 的角平分线，CD 为∴ABC 外角∴ACE 的平分线，由三角形外角性质可得；∴2=∴1+∴O ，∴ACO=∴2=12∴ACD=12(∴A+∴ABC)=12(∴A+2∴1) =12∴A+∴1，两式联立可得 ∴1+∴O = 12∴A+∴1，即∴BOC=12∴A ． 变式2：根据三角形外角平分线的性质可得∴BCO= 12（∴A+∴ABC ）、∴OBC= 12（∴A+∴ACB ）；根据三角形内角和定理可得∴BOC=90-12∴A.. 解：（1）证明：在∴BOC 中，∴∴BOC=180°-∴OBC -∴OCB ，∴2∴BOC=360°-2∴OBC -2∴OCB ，∴BO 平分∴ABC ，CO 平分∴ACB ，∴∴ABC=2∴OBC ，∴ACB=2∴OCB ，∴2∴BOC=360°-（∴ABC+∴ACB ），∴∴ABC+∴ACB=180°-∴A ，∴2∴BOC=180°+∴A ，∴∴BOC=90°+12∴A ； 变式1：∴BD 为∴ABC 的角平分线，CD 为∴ABC 外角∴ACE 的平分线，12∴ ∴1= 12∴ABC ∴ACO=∴2=12∴ACD ∴∴2、∴ACO 分别是∴BCO 、∴ABC 的外角 ∴∴2=∴1+∴O ，∴ACO=∴2=12∴ACD=12(∴A+∴ABC)=12(∴A+2∴1) =12∴A+∴1，∴ ∴1+∴O =12∴A+∴1， ∴∴BOC=12∴A ． 变式2：∴BO 、CO 为∴ABC 中∴ABC 、∴ACB 的外角平分线. ∴∴BCO=12（∴A+∴ABC ）、∴OBC= 12（∴A+∴ACB ）， 由三角形内角和定理得，∴BOC=180°-∴BCO -∴OBC ，=180°-12[∴A+（∴A+∴ABC+∴ACB ）]， =180°- 12（∴A+180°）， =90°- 12∴A ； 【点拨】本题考查三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学阶段的常规题．举一反三：【变式】 ．如图，①CBF ，①ACG 是①ABC 的外角，①ACG 的平分线所在的直线分别与①ABC ，①CBF 的平分线BD ，BE 交于点D ，E ．（1）若①A=70°，求①D 的度数；（2）若①A=a ，求①E ；（3）连接AD ，若①ACB= ，则①ADB=．13【答案】（1）35°；（2）90°-12α；（3）12β 【分析】 （1）由角平分线的定义得到∴DCG=12∴ACG ，∴DBC=12∴ABC ，然后根据三角形外角的性质即可得到结论； （2））根据角平分线的定义得到∴DBC=12∴ABC ，∴CBE=12∴CBF ，于是得到∴DBE=90°，由（1）知∴D=12∴A ，根据三角形的内角和得到∴E=90°-12α； （3）根据角平分线的定义可得，∴ABD=12∴ABC ，∴DAM=12∴MAC ，再利用三角形外角的性质可求解．解：（1）∴CD 平分∴ACG ，BD 平分∴ABC ，∴∴DCG=12∴ACG ，∴DBC=12∴ABC ， ∴∴ACG=∴A+∴ABC ，∴2∴DCG=∴ACG=∴A+∴ABC=∴A+2∴DBC ，∴∴DCG=∴D+∴DBC ，∴2∴DCG=2∴D+2∴DBC ， ∴∴A+2∴DBC=2∴D+2∴DBC ，∴∴D=12∴A=35°； （2）∴BD 平分∴ABC ，BE 平分∴CBF ，∴∴DBC=12∴ABC ，∴CBE=12∴CBF ， ∴∴DBC+∴CBE=12（∴ABC+∴CBF ）=90°， ∴∴DBE=90°，∴∴D=12∴A ，∴A=α， ∴∴D=12α， ∴∴DBE=90°，∴∴E=90°-12α； （3）如图，14∴BD 平分∴ABC ，CD 平分∴ACG ，∴AD 平分∴MAC ，∴ABD=12∴ABC， ∴∴DAM=12∴MAC ， ∴∴DAM=∴ABD+∴ADB ，∴MAC=∴ABC+∴ACB ，∴ACB=β，∴∴ADB=12∴ACB=12β． 故答案为：12β． 【点拨】本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．。
2020—2021学年北师大版数学七年级下册 4.1认识三角形 导学案
A BCD12ABCDEO4.1认识三角形【一．学习目标】1．了解三角形的角平分线的概念。
2．会画出三类三角形的角平分线及三角形角平分线的简单运用。
【二．教学重难点】画三角形的角平分线及三角形角平分线的运用。
【三．复习回顾】1、角平分线是一条（ ） A.线段 B.射线C.直线 D.线2、角平分线的符号语言: ① ∵OC 是角平分线 ∴∠AOC=∠ 。
② ∵OC 是角平分线 ∴∠AOC=21∠ 。
③ ∵OC 是角平分线 ∴∠AOB=2∠ =2∠ 。
2、简单应用：已知，∠ABC=50°，BD 是∠ABC 的平分线，求∠1的度数。
【四．课堂学习内容】 一．基本概念（1）定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的 叫做三角形的角平分线。
（2）三角形的角平分线是一条 。
（3）符号语言： ∵AD 是△ABC 的角平分线 ∴ 二、练习：如图，△ABC 中，CD 、BE 分别是三角形ABC 的角平分线。
（1）那么，由CD 是△ABC 的角平分线可知 ，由BE 是△ABC 的角平分线可知（2）若∠A=50°，∠ABC=60°，那么∠ACB= °，∠ABE= °，∠BCD= ° ，∠BOC= °。
ABCD三、例：AD是△ABC的角平分线，若∠BAC=80°，∠B=60°，求∠BAD、∠ADC的度数。
四、练习A课本88页随堂练习2、知识技能1B同步77页2五、折一折1、你能分别折出三角形中三个内角的角平分线吗？试一试。
2、试一试画出下列三角形中∠A和∠B的角平分线。
ABC小结：三角形有条角平分线，这些角平分线交于。
练习：直角三角形三套角平分线交点在（）A. 三角形外B.三角形内C.直角顶点处D.斜边上【六．感悟收获】1.知识收获：角平分线符号语言：三角形有条角平分线，这些角平分线交于。
2020-2021学年北师大版七年级数学下册第四章 4.4用尺规作三角形 同步练习题
2020-2021学年北师大版七年级数学下册第四章 4.4用尺规作三角形 同步练习题A 组(基础题)一、填空题1．已知∠A 和线段AB ，要作一个唯一的△ABC ，还需给出的一个条件是___________． 2．已知线段AB 和BC ，要作一个唯一的△ABC ，还需给出的一个条件是_______．3．(1)用尺规作一个直角三角形，使其两直角边分别等于已知线段，则作图的依据是_______． (2)已知一条线段作等边三角形，使其边长等于已知线段，则作图的依据是_______． 4．如图，已知线段a ，c 和∠α，求作：△ABC ，使BC ＝a ，AB ＝c ，∠ABC ＝∠α，根据作图在下面空格填上适当的文字或字母．(1)如图①，作∠MBN ＝_______；(2)如图②，在射线BM 上截取BC ＝_______，在射线BN 上截取BA ＝_______； (3)连接AC ，如图③，△ABC 就是_______． 二、选择题 5．不能用尺规作出唯一三角形的是( ) A ．已知两角和夹边 B ．已知两边和夹角C ．已知两角和其中一角的对边D ．已知两边和其中一边的对角6．已知线段a ，b 和m ，求作△ABC ，使BC ＝a ，AC ＝b ，BC 边上的中线AD ＝m ，作法：①延长CD 到B ，使BD ＝CD ；②连接AB ；③作△ADC ，使DC ＝12a ，AC ＝b ，AD ＝m.合理的顺序依次为( ) A ．③①②B ．①②③C ．②③①D ．③②①三、解答题7．(1)已知线段a ，b ，c ，如图，求作△ABC ，使AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b.(不写作法，保留作图痕迹)(2)如图，已知∠1，∠2 和线段m，求作△ABC，使得∠A＝∠1，∠B＝∠2，AB＝2m.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)8．已知三角形的两个角分别是∠α和∠β，这两角所夹的边等于a，如图所示，求作△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝a.(不写作法，保留作图痕迹)9．(1)如图，△ABC是任意一个三角形．作△A′B′C′，使A′B′＝AB，∠A′＝∠A，∠B′＝∠B.(2)如图所示，已知线段a，n，h，求作△ABC，使BC＝a，BC边上的中线AD＝n，高AE＝h.B组(中档题)一、填空题10．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为_______．11．根据下列要求，判断是否一定能作出图形：①过已知三点作一条直线；②作直线OP的垂直平分线MN；③过点A作线段MN的垂线AB；④过点A作线段MN的垂直平分线；⑤过已知线段外一点作其平行线；⑥作△ABC的边BC的高AD且平分BC；⑦以点O为圆心作弧；⑧以点O为圆心，任意长为半径作弧．能作出图形的是_______，不能作出图形的是_______．12．已知∠a和线段m，n，求作△ABC，使BC＝m，AB＝n，∠ABC＝∠α，作法的合理顺序为_______．(填序号即可)①在射线BD上截取线段BA＝n；②作一条线段BC＝m；③以B为顶点，以BC为一边，作∠DBC＝∠α；④连接AC，△ABC就是所求作的三角形．二、解答题13．如图，在△ABC中，F是BC上一点，FG⊥AB，垂足为G.(1)过点C作CD⊥AB，垂足为D；(2)过点D作DE∥BC，交AC于点E；(3)说明∠EDC＝∠GFB的理由．C组(综合题)14．如图，在△ABC中，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且DE⊥DF，求证： BE ＋CF＞EF.参考答案2020-2021学年北师大版七年级数学下册第四章 4.4用尺规作三角形 同步练习题A 组(基础题)一、填空题1．已知∠A 和线段AB ，要作一个唯一的△ABC ，还需给出的一个条件是已知AC(或∠B)． 2．已知线段AB 和BC ，要作一个唯一的△ABC ，还需给出的一个条件是已知AC(或∠B)． 3．(1)用尺规作一个直角三角形，使其两直角边分别等于已知线段，则作图的依据是SAS ． (2)已知一条线段作等边三角形，使其边长等于已知线段，则作图的依据是SSS ． 4．如图，已知线段a ，c 和∠α，求作：△ABC ，使BC ＝a ，AB ＝c ，∠ABC ＝∠α，根据作图在下面空格填上适当的文字或字母．(1)如图①，作∠MBN ＝∠α；(2)如图②，在射线BM 上截取BC ＝a ，在射线BN 上截取BA ＝c ； (3)连接AC ，如图③，△ABC 就是所求作的三角形． 二、选择题 5．不能用尺规作出唯一三角形的是(D) A ．已知两角和夹边 B ．已知两边和夹角C ．已知两角和其中一角的对边D ．已知两边和其中一边的对角6．已知线段a ，b 和m ，求作△ABC ，使BC ＝a ，AC ＝b ，BC 边上的中线AD ＝m ，作法：①延长CD 到B ，使BD ＝CD ；②连接AB ；③作△ADC ，使DC ＝12a ，AC ＝b ，AD ＝m.合理的顺序依次为(A) A ．③①②B ．①②③C ．②③①D ．③②①三、解答题7．(1)已知线段a，b，c，如图，求作△ABC，使AB＝c，BC＝a，AC＝b.(不写作法，保留作图痕迹)解：如图所示：∴△ABC即为所求．(2)如图，已知∠1，∠2 和线段m，求作△ABC，使得∠A＝∠1，∠B＝∠2，AB＝2m.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)解：如图，△ABC即为所求．8．已知三角形的两个角分别是∠α和∠β，这两角所夹的边等于a，如图所示，求作△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝a.(不写作法，保留作图痕迹)解：如图所示，△ABC即为所求．9．(1)如图，△ABC是任意一个三角形．作△A′B′C′，使A′B′＝AB，∠A′＝∠A，∠B′＝∠B.(2)如图所示，已知线段a ，n ，h ，求作△ABC ，使BC ＝a ，BC 边上的中线AD ＝n ，高AE ＝h.解：(1)作法：①作线段A ′B ′＝AB ；②在A ′B ′的同旁，分别以点A ′，B ′为顶点作∠DA ′B ′＝∠A ，∠EB ′A ′＝∠B ，A ′D ，B ′E 交于点C ；③连接B ′C ′，得△A ′B ′C ′.(图略)(2)作法：①作角∠MEN ＝90°；②在射线EN 上截取线段EA ＝h ；③以点A 为圆心，线段n 为半径画弧交射线EM 于点D ，连接AD ；④延长DE ，以点D 为圆心，线段a2为半径画弧，交直线DE 于点B ，C ；⑤连接AB ，AC ，则△ABC 就是所求作的三角形．(图略)B 组(中档题)一、填空题10．如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC ＝120°，以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则△AMN 的周长为6．11．根据下列要求，判断是否一定能作出图形： ①过已知三点作一条直线； ②作直线OP 的垂直平分线MN ； ③过点A 作线段MN 的垂线AB ； ④过点A 作线段MN 的垂直平分线； ⑤过已知线段外一点作其平行线； ⑥作△ABC 的边BC 的高AD 且平分BC ；⑦以点O为圆心作弧；⑧以点O为圆心，任意长为半径作弧．能作出图形的是③⑤⑧，不能作出图形的是①②④⑥⑦．12．已知∠a和线段m，n，求作△ABC，使BC＝m，AB＝n，∠ABC＝∠α，作法的合理顺序为②③①④．(填序号即可)①在射线BD上截取线段BA＝n；②作一条线段BC＝m；③以B为顶点，以BC为一边，作∠DBC＝∠α；④连接AC，△ABC就是所求作的三角形．二、解答题13．如图，在△ABC中，F是BC上一点，FG⊥AB，垂足为G.(1)过点C作CD⊥AB，垂足为D；(2)过点D作DE∥BC，交AC于点E；(3)说明∠EDC＝∠GFB的理由．解：(1)(2)图略．(3)∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD.∵FG⊥AB，CD⊥AB，∴CD∥FG.∴∠BCD＝∠GFB.∴∠EDC＝∠GFB.C组(综合题)14．如图，在△ABC中，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且DE⊥DF，求证： BE ＋CF＞EF.证明：延长ED至点M，使DM＝ED，连接MC，MF，则点F在线段EM的垂直平分线上，∴EF＝FM.又∵BD＝CD，DE＝DM，∠BDE＝∠CDM，∴△BDE≌△CDM(SAS)．∴BE＝CM.在△CFM中，CF＋CM＞MF，∴BE＋CF＞EF.。
2020-2021学年北师大版数学七年级下册第四章4.1.2认识三角形教案
今天的学习，我们了解了三角形的基本概念、重要性质和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对三角形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在上完《认识三角形》这节课后，我进行了深入的思考。首先，我发现学生在理解三角形的基本性质，如内角和和两边之和大于第三边这两个重点上，普遍存在一定的困难。在接下来的教学中，我需要寻找更直观、生动的方法来解释这些性质，让学生能够更容易地理解和接受。
例如，在讲解三角形的内角和为180°时，我可以尝试利用实物模型或动画演示，让学生更直观地看到内角和的变化过程，从而加深他们的理解。同时，通过让学生亲自动手操作，如剪拼法验证内角和，也能使他们更好地掌握这一性质。
此外，在小组讨论环节，我发现学生们对三角形在实际生活中的应用有着浓厚的兴趣。他们提出了很多有趣的观点和想法，这让我意识到，将数学知识与现实生活相结合，能够激发学生的学习兴趣，提高他们的积极性。在以后的教学中，我会更多地引导学生发现生活中的数学，让他们体会到数学的实用价值。
-理解三角形内角和为180°的证明：对于部分学生来说，理解三角形内角和为180°的证明可能存在困难。
-判断三角形的类型：在给定条件下，判断三角形的类型（如等腰、等边、锐角等）可能会让学生感到困惑。
-解决实际问题中的应用：将三角形知识应用于解决实际问题时，学生可能难以确定如何建立数学模型。
举例：
-难点1：为了帮助学生理解三角形内角和为180°，可以采用剪拼法或利用平行线性质进行证明，并通过动画或实物演示加深学生印象。
4.学会利用三角形的性质解决实际问题，如计算三角形的角度、边长等。
二、核心素养目标
2020-2021学年北师大版数学七年级下册单元期末复习课件 第四章 三角形
章末复习
例2 下列条件中, 不能判定△ABC为直角三角形的是( A ). A．∠A=2∠B=3∠C B．2∠A=2∠B=∠C C．∠A∶∠B∶∠C=3∶2∶1 D．∠A= ∠B= ∠C
章末复习
分析
章末复习
相关题2-1 如图4-Z-1, △ABC的角平分线CD, BE相交于点F, ∠A=90°, EG∥BC, 且CG⊥EG于点G, 下列结论：①∠CEG =2∠DCB；②∠DFB= ∠CGE；③∠ADC=∠GCD；④CA 平分∠BCG. 其中正确结论的个数是( C ).
按边分类：等腰三角形、 不等边三角形
章末复习
三角形三个内角的和等于180°
性质
三角形任意两边之和大于第三 边, 任意两边之差小于第三边
三角形具有稳定性
章末复习
全等 三角形
性质
对应边相等 对应角相等
对应中线相等 对应高线相等 对应角平分线相等
周长、面积相等
章末复习
SSS 判定 ASA或AAS
SAS
图4-Z-6
章末复习
相关题4 在△ABC中, ∠ACB＞∠ABC, AD平分∠BAC． (3) 如图③, 过点A作AE⊥BC于点E, 则∠DAE与∠ACB, ∠ABC 之间又有怎样的数量关系？写出你的结论(不需说明理由). 解：(3)∠DAE＝12(∠ACB－∠ABC)．
图4-Z-6
章末复习
专题四 全等三角形的判定与性质的运用
章末复习
应用
三角形稳定性的应用 用三角形全等测距离
章末复习
归纳整合
专题一 三角形三边关系的应用
【要点指导】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边；任 意两边之差小于第三边.利用三角形三边关系可以解决以下问题： (1)判断三条线段能否构成三角形； (2)求三角形第三边长的取值范围； (3)确定三角形第三边的长, 并进一步求该三角形的周长等.
2020-2021学年北师大版七年级下册第四单元三角形总复习
三角形总复习【知识点】一、线段垂直平分线与角平分线1.线段是________图形，它有________条对称轴，线段的垂直平分线是它的一条_________，线段的垂直平分线上的点到_________的距离相等.2.角是________图形，对称轴是_________，角平分线上的点到_________的距离相等.二、等腰三角形的性质1、定义：有两条边的三角形叫做等腰三角形。
2、性质：①等腰三角形是图形；有条对称轴。
②等腰三角形底边上，底边上的，顶角的在同一直线上；（三线合一）③等腰三角形的相等。
（简称：等边对等角）三、等边三角形的性质等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质：①等边三角形的三条边，三个角都等于；②等边三角形有条对称轴。
题型一：线段平分线性质的应用例题1、如下图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB分别交BC、AB于点D、E,且CD=DE,求∠B的度数变式1、如图2，已知Rt△ABC中，∠C=90°．沿DE折叠，使点A与点B重合，折痕为DE．若DE=CE，求∠A的度数．图2变式2、如下图，在△ABC中，∠C=90º，CB=6，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E， CD=5．（1）求线段AC的长；（2）求线段AE的长．例题2、如下图，已知△ABC，其中AB=AC．（1）作AC的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连结CE（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图中，若BC=7，AC=9，求△BCE的周长．变式1、△ABC的周长为30 cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE＝4 cm，求△ABD的周长题型二、等腰三角形性质的应用例题1、下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（）A．等腰三角形两底角相等B．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C．等腰三角形是中心对称图形D．等腰三角形是轴对称图形变式1、下列说法中正确的是（）A．等腰三角形的两个底角的角平分线所夹的角是这个等腰三角形顶角的两倍B．在等腰三角形中“三线合一”是指等腰三角形的中线、高线、角平分线重合C．等边对等角D．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形例题2、一个等腰三角形两边的长分别为2 cm、5 cm，则它的周长为____cm．变式2、已知等腰三角形的一个内角为 40°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．40° B．100° C．40°或 70° D．40°或 100°例题4、如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点，点E是AC上一点，且DE⊥AD.若∠BAD=55°，∠B=50°，求∠DEC的度数．变式1、如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD，求△ABC 各角的度数．变式2、如图，在△ABC 中，AC=BC，△ABC 的外角∠ACE=100°，则∠A= 度．题型三、等边三角形性质的应用1、下面关于“等边三角形”的说法不正确的是（）A．等边三角形的三条边都相等B．等边三角形的三个内角都相等且都等于60°C．等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴D．等边三角形与等腰三角形具有相同的性质例题2、如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°，BD＝3，CE ＝2，则△ABC的边长为（）A．7 B．8 C．9 D．10例题3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求BC的长．变式1、如图，等边△DEF的顶点分别在等边△ABC各边上，且DE⊥BC于E，若AB=1，则DB= ．变式2、如图，在△ABC中，∠ABC和∠A CB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，求线段MN的长【课后作业】1、己知等腰三角形的一个外角为140°，那么这个等腰三角形的顶角等于 )A．100°B．40°C．40°或70°D．40°或100°2、如果一个三角形的顶点恰好在它所对边的垂直平分线上，那么这个三角形是( )A．直角三角形B．等腰三角形C．钝角三角形D．锐角三角形3、在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（）4、如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线. 若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个 B．3个C．4个 D．5个14、,分别代表铁路和公路，点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场．现要建中转站O点，使O点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等．请用尺规画出O点位置，。
2020-2021学年北师大版七年级数学下册第四章 三角形 同步单元练习题
2020-2021学年北师大版七年级数学下册第四章三角形同步单元练习题A组(基础题)一、填空题1．如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是_____________．2．(1)如图，AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形有_______个．(2)在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，若∠O＝120°，则∠A＝_______．3．如图，已知AD＝CB，若利用“SSS”来判定△ABC≌△CDA，则添加直接条件是_______．4．如图，BA⊥AC，CD∥AB，BC＝DE，且BC⊥DE.若AB＝5，CD＝8，则AE＝_______．二、选择题5．下列说法正确的是( )A．若x＞y，则x2＞y2B．对顶角相等C．两直线平行，同旁内角相等D．两边及一角相等的两三角形全等6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，CD∥AB交BD于点D，已知∠ACB＝34°，则∠D的度数为( )A．30° B．28° C．26° D．34°7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是( )A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．AB＝DC8．如图，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，AC＝DF，则△ABC≌△DEF的理由是( )A．SAS B．ASA C．AAS D．HL三、解答题9．(1)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC的平分线，若∠DAC＝30°，∠BAC＝80°，求∠AOB的度数．(2)如图，已知AE＝DE，AB⊥BC，DC⊥BC，且AB＝EC.求证：BC＝AB＋DC.10．(1)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝DC.延长AD到点E，使DE＝AB.求证：①∠B＝∠EDC；②△ABC≌△EDC.(2)如图，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE＝AF，CE，BF交于点P.①求证：CE＝BF；②求∠BPC的度数．B组(中档题)一、填空题11．已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6.延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC－CD－DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_______时，△ABP和△DCE全等．12．已知△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝40°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E 为射线BM上一点．若直线CE垂直于△ABC的一边，则∠BEC的度数为_______．13．如图，在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB，AC为一边，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG ＝CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM＝∠ABC.其中正确结论的个数是_______．二、解答题14．如图，已知正方形ABCD和等腰直角三角形AEF，∠E＝90°，AE和BC交于点G，AF和CD交于点H，正方形ABCD的面积为1 cm2，求△CGH的周长．C组(综合题)15．如图1所示，已知A，B为直线l上两点，过C为直线l上方一动点，连接AC，BC，分别以AC，BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E 作EE1⊥点E1.(1)如图2，当点E恰好在直线l上时(此时E1与E重合)，试说明DD1＝AB；(2)在图1中，当D，E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1，EE1，AB之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1，EE1，AB之间的数量关系．(不需要证明)参考答案2020-2021学年北师大版七年级数学下册第四章三角形同步单元练习题A组(基础题)一、填空题1．如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是三角形具有稳定性．2．(1)如图，AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形有6个．(2)在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，若∠O＝120°，则∠A＝60°．3．如图，已知AD＝CB，若利用“SSS”来判定△ABC≌△CDA，则添加直接条件是AB＝CD．4．如图，BA⊥AC，CD∥AB，BC＝DE，且BC⊥DE.若AB＝5，CD＝8，则AE＝3．二、选择题5．下列说法正确的是(B)A．若x＞y，则x2＞y2B．对顶角相等C．两直线平行，同旁内角相等D．两边及一角相等的两三角形全等6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，CD∥AB交BD于点D，已知∠ACB＝34°，则∠D的度数为(B)A．30° B．28° C．26° D．34°7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是(C)A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．AB＝DC8．如图，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，AC＝DF，则△ABC≌△DEF的理由是(D)A．SAS B．ASA C．AAS D．HL三、解答题9．(1)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC的平分线，若∠DAC＝30°，∠BAC＝80°，求∠AOB的度数．解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∠C ＝90°－∠DAC ＝60°. 在△ABC 中，∠BAC ＝80°，∠C ＝60°， ∴∠ABC ＝180°－∠BAC －∠C ＝40°. ∵BE 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABE ＝∠EBC ＝20°.在△AOB 中，∠ABO ＝20°，∠BAO ＝∠BAC －∠CAD ＝50°， ∴∠AOB ＝180°－∠ABO －∠BAO ＝110°.(2)如图，已知AE ＝DE ，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，且AB ＝EC.求证：BC ＝AB ＋DC.证明：∵AB ⊥BC ，DC ⊥BC, ∴∠B ＝∠C ＝90°. 在Rt △ABE 和Rt △ECD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝ED ，AB ＝EC ， ∴Rt △ABE ≌Rt △ECD(HL)． ∴BE ＝CD. ∵BC ＝BE ＋EC ， ∴BC ＝AB ＋DC.10．(1)如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠BCD ＝90°，BC ＝DC.延长AD 到点E ，使DE ＝AB.求证： ①∠B ＝∠EDC ； ②△ABC ≌△EDC.证明：①在四边形ABCD 中， ∵∠BAD ＝∠BCD ＝90°，∴90°＋∠B ＋90°＋∠ADC ＝360°. ∴∠B ＋∠ADC ＝180°. 又∵∠CDE ＋∠ADC ＝180°， ∴∠B ＝∠CDE.②连接AC ，由(1)证得∠B ＝∠CDE. 在△ABC 和△EDC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，∠ABC ＝∠CDE ，BC ＝CD ，∴△ABC ≌△EDC(SAS)．(2)如图，E ，F 分别是等边三角形ABC 的边AB ，AC 上的点，且BE ＝AF ，CE ，BF 交于点P. ①求证：CE ＝BF ； ②求∠BPC 的度数．解：①证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴BC ＝AB ，∠A ＝∠EBC ＝60°. 在△BCE 和△ABF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AB ，∠A ＝∠EBC ，BE ＝AF ，∴△BCE ≌△ABF(SAS)． ∴CE ＝BF.②由(1)知△BCE≌△ABF，∴∠BCE＝∠ABF.∴∠PBC＋∠PCB＝∠PBC＋∠ABF＝∠ABC＝60°，即∠PBC＋∠PCB＝60°.∴∠BPC＝180°－60°＝120°.B组(中档题)一、填空题11．已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6.延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC－CD－DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为1或7时，△ABP和△DCE全等．12．已知△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝40°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E 为射线BM上一点．若直线CE垂直于△ABC的一边，则∠BEC的度数为10°或50°或130°．13．如图，在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB，AC为一边，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG ＝CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM＝∠ABC.其中正确结论的个数是4．二、解答题14．如图，已知正方形ABCD和等腰直角三角形AEF，∠E＝90°，AE和BC交于点G，AF和CD交于点H，正方形ABCD的面积为1 cm2，求△CGH的周长．解：延长CB 至点M ，使BM ＝DH ，连接AM.∵四边形ABCD 是正方形，正方形ABCD 的面积为1 cm 2，∴AB ＝BC ＝CD ＝1 cm ，∠BAD ＝∠ABC ＝∠D ＝90°，∴∠ABM ＝90°.在△ABM 和△ADH 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABM ＝∠D ＝90°，BM ＝DH ，∴△ABM ≌△ADH(SAS)．∴AM ＝AH ，∠BAM ＝∠DAH.∵△AEF 是等腰直角三角形，∴∠HAG ＝45°.∴∠BAG ＋∠DAH ＝45°.∴∠MAG ＝45°.在△AMG 和△AHG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝AH ，∠MAG ＝∠HAG ，AG ＝AG ，∴△AMG ≌△AHG(SAS)．∴GM ＝GH.∴△CGH 的周长＝GH ＋CG ＋CH ＝GM ＋CG ＋CH ＝BM ＋BG ＋CG ＋CH ＝DH ＋BG ＋CG ＋CH ＝BC ＋CD ＝2 cm.C 组(综合题)15．如图1所示，已知A ，B 为直线l 上两点，过C 为直线l 上方一动点，连接AC ，BC ，分别以AC ，BC 为边向△ABC 外作正方形CADF 和正方形CBEG ，过点D 作DD 1⊥l 于点D 1，过点E 作EE 1⊥点E 1.(1)如图2，当点E 恰好在直线l 上时(此时E 1与E 重合)，试说明DD 1＝AB ；(2)在图1中，当D ，E 两点都在直线l 的上方时，试探求三条线段DD 1，EE 1，AB 之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点E 在直线l 的下方时，请直接写出三条线段DD 1，EE 1，AB 之间的数量关系．(不需要证明)解：(1)证明：∵四边形CADF 、CBEG 是正方形，∴AD ＝CA ，∠DAC ＝∠ABC ＝90°.∴∠DAD 1＋∠CAB ＝90°.∵DD 1⊥AB ，∴∠DD 1A ＝∠ABC ＝90°.∴∠DAD 1＋∠ADD 1＝90°.∴∠ADD 1＝∠CAB.在△ADD 1和△CAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DD 1A ＝∠ABC ，∠ADD 1＝∠CAB ，AD ＝CA ，∴△ADD 1≌△CAB(AAS)．∴DD 1＝AB.(2)AB ＝DD 1＋EE 1.证明：过点C 作CH ⊥AB 于点H ，∵DD 1⊥AB ，∴∠DD 1A ＝∠CHA ＝90°.∴∠DAD 1＋∠ADD 1＝90°.∵四边形CADF 是正方形，∴AD ＝CA ，∠DAC ＝90°.∴∠DAD 1＋∠CAH ＝90°.∴∠ADD 1＝∠CAH.在△ADD 1和△CAH 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠DD 1A ＝∠CHA ，∠ADD 1＝∠CAH ，AD ＝CA ， ∴△ADD 1≌△CAH(AAS)． ∴DD 1＝AH. 同理：EE 1＝BH ， ∴AB ＝AH ＋BH ＝DD 1＋EE 1.(3)AB ＝DD 1－EE 1.。
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A．85° C．65°
B．75° D．60°
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6．(2020年淄博)如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC， 若∠B＝50°，则∠ACD＝__4_0_°____.
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专题三 全等三角形的性质与判定 1．根据下列条件，能判定△ABC≌△DEF的是 A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D B．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝DF C．∠B＝∠E，∠A＝∠D，AC＝EF D．AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠D
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3．(2020年宝应期末)(1)如图1，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝ 30°，∠C＝70°.
①∠BAC＝__8_0___°，∠DAE＝__2_0___°； ② 如 图 2 ， 若 把 “AE ⊥ BC” 变 成 “ 点 F 在 AD 的 延 长 线 上 ， FE⊥BC”，其他条件不变，求∠DFE的度数； (2)如图3，AD平分∠BAC，AE平分∠BEC，∠C－∠B＝40°，求 ∠DAE的度数．
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解：(1)①∵∠B＝30°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°－(30°＋70°)＝80°. ∵AD 平分∠BAC，∴∠CAD＝12∠BAC＝40°. ∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°. ∴∠CAE＝90°－70°＝20°. ∴∠DAE＝∠CAD－∠CAE＝20°. 故答案为 80,20．
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4．(2019年北京西城区期末)如图，点A，B，C，D在一条直线上， 且AB＝CD，若∠1＝∠2，EC＝FB.求证：∠E＝∠F.
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证明：∵∠1＋∠DBF＝180°，∠2＋∠ACE＝180°，且∠1＝∠2， ∴∠DBF＝∠ACE. ∵AB＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC，即 AC＝DB.
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9．(2020年鞍山)如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点 E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF.求证：CB＝CD.
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证明：如图，连接 AC. AC＝AC，
在△AEC 与△AFC 中，CE＝CF， AE＝AF，
∴△AEC≌△AFC(SSS)．
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真题体验
4．(2020年锦州)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD
平分∠ACB，则∠ADC的度数是
(C )
A．80° C．100°
B．90° D．110°
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5．(2020年吉林)将一副三角板按如图所示的方式摆放，则∠α的大
小为
(B )ห้องสมุดไป่ตู้
期末专题复习
第四章 三角形
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专题一 三角形的概念 1．下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形定义的是
(C )
A
B
C
D
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2．(2020年成都郫都区期末)若要植一块三角形草坪，两边长分别是
20米和50米，则这块草坪第三边长不能为
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2．如图，小明站在乙楼BE前方的点C处，恰好看到甲、乙两楼楼 顶上的点A和点E重合为一点，若B，C相距30米，C，D相距60米，乙楼 高BE为20米，小明身高忽略不计，则甲楼的高AD是多少米？
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解：过点E作EF⊥AD. ∵AD⊥DC， ∴EF∥CD. ∴∠AEF＝∠C. ∵B，C相距30米，C，D相距60米， ∴EF＝DB＝BC＝30米．
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专题二 三角形的内角和定理
1．(2020年扬州期中)在△ABC中，若一个内角等于另两个内角的
差，则这个三角形必定是
(B )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上三个都是
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2．(2020 年东明期末)如图，在△ABC 中，∠A＝50°，点 D 在△ABC 的内部，并且∠ABD＝15∠ABC，∠ACD＝15∠ACB，则∠D 的度数是 ____7_6_°______.
∴∠CAE＝∠CAF.
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∠CAE＝∠CAF， 在△ABC 和△ADC 中，∠B＝∠D，
AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC(AAS)．
∴CB＝CD.
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专题四 全等三角形的应用 1．如图，A，B，C，D 是四个村庄，B，D，C 在 一条东西走向公路的沿线上，BD＝CD＝1 千米，村庄 A 与 C，A 与 D 间有公路相连且公路 AD 是南北走向，AC ＝3 千米．只有 A 与 B 之间由于间隔了一个小湖，所以 无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座斜拉桥 EF， 测得 AE＝1.2 千米，BF＝0.7 千米．则建造的斜拉桥的长度为___1_.1_千__米____.
CE＝BF，
在△ACE 和△DBF 中，∠ACE＝∠DBF，
CA＝BD，
∴△ACE≌△DBF(SAS)．
∴∠E＝∠F.
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5．已知∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别 为D，E.
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(1)如图1，①说明CD＝BE的理由； ②求证：AD＝BE＋DE. (2)如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，求线段AD，BE， DE之间的数量关系．
＋DE，∴AD＝BE＋DE.
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(2)②中的结论不成立．结论：DE＝AD＋BE. 理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM， ∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°. ∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠BCE＋∠CBE＝90°， ∴∠ACD＝∠B.
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∠ADC＝∠BEC， 在△ACD 和△CBE 中，∠ACD＝∠B，
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②∵∠ADC＝180°－∠CAD－∠C＝180°－40°－70°＝70°， ∴∠FDE＝∠ADC＝70°. ∵FE⊥BC，∴∠FED＝90°. ∴∠DFE＝90°－∠FDE＝20°.
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(2)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD. ∵AE平分∠BEC，∴∠AEB＝∠AEC. ∵∠C ＋ ∠CAE ＋ ∠AEC ＝ 180° ， ∠B ＋ ∠BAE ＋ ∠AEB ＝ 180°， ∴∠C＋∠CAE＝∠B＋∠BAE. ∵∠CAE＝∠CAD－∠DAE，∠BAE＝∠BAD＋∠DAE， ∴∠C＋∠CAD－∠DAE＝∠B＋∠BAD＋∠DAE. ∴2∠DAE＝∠C－∠B＝40°，解得∠DAE＝20°.
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真题体验
5．(2020 年宿迁)在△ABC 中，AB＝1，BC＝ 5，下列选项中，可
以作为 AC 长度的是 A．2
B．4
(A)
C．5
D．6
6．(2020 年济宁)已知三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个三角形 的第三边长可以是___4_(_答__案__不__唯__一__)__.(写出一个即可)
D．ASA
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7．(2020年江西)如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交 BC于点E，若∠D＋∠ACD＝49°，则∠BAE的度数为__8_2_°____.
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8．(2020年镇江)如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B， 点E，F分别在AB，BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF.
∴AB＝DE.
(1)根据题意补全图形； (2)说明DE的长就是AB的长的理由．
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解：(1)补全图形如图所示．
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(2)理由：∵AB⊥BF，DE⊥BF， ∴∠B＝∠EDC＝90°.
∠B＝∠EDC，
在△ABC 和△EDC 中，BC＝DC，
∠ACB＝∠ECD， ∴△ABC≌△EDC(ASA)．
(1)求证：∠D＝∠2； (2)若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．
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BE＝CD，
证明：在△BEF 和△CDA 中，∠B＝∠1，
FB＝AC，
∴△BEF≌△CDA(SAS)．
∴∠D＝∠2． (2)解：∵∠D＝∠2，∠D＝78°， ∴∠D＝∠2＝78°. ∵EF∥AC， ∴∠BAC＝∠2＝78°.
CA＝BC，
∴△ACD≌△CBE(AAS). ∴AD＝CE，CD＝BE.
∵DE＝CD＋CE＝BE＋AD， ∴DE＝AD＋BE.
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真题体验
6．(2020年永州)如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判
断△ABC≌△DCB的方法是 A．SAS
(A )
B．AAS
C．SSS
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解：(1)①∵AD⊥CM，BE⊥CM， ∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°， ∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠BCE＋∠CBE＝90°.∴∠ACD＝∠B.
∠ADC＝∠BEC，
在△ACD 和△CBE 中，∠ACD＝∠B，
CA＝BC，
∴△ACD≌△CBE(AAS)．∴CD＝BE. ②∵△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE.∵CE＝CD＋DE＝BE
(B )
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2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC，BD相交
于点O，则图中能够全等的三角形共有
(A )
A．4对
B．3对
C．2对
D．1对
数学·北师大版·七年级下册
3．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE； ②BC＝DE；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E，其中能使△ABC≌△AED的 条件是__①__③__④____.(填序号)