2014届高考数学一轮复习 第48讲《空间中的垂直关系》热点针对课件 理
高考数学第1轮总复习 第48讲 空间中的垂直关系课件 理 (广东专版)
2.如图，在三棱锥 D－ABC 中，若 AB＝CB，AD＝CD， E 是 AC 的中点，则下列命题中正确的是( )
A. 平面 ABC⊥平面 ABD B. 平面 ABD⊥平面 BDC C. 平面 ABC⊥平面 BDE，且平面 ADC⊥平面 BDE D. 平面 ABC⊥平面 ADC，且平面 ADC⊥平面 BDE
【解析】 (1)证明：在△ABD 中， 因为 AD＝4，BD＝8，AB＝4 5， 所以 AD2＋BD2＝AB2， 故 AD⊥BD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， BD⊂平面 ABCD，所以 BD⊥平面 PAD. 又 BD⊂平面 MBD， 故平面 MBD⊥平面 PAD.
a ，a l a .
2．证明线线垂直的方法
1平面几何中证明线线垂直的方法； 2线面垂直的性质：a ，b a b； 3线面垂直的性质：a ，b// a b.
3．证明面面垂直的方法
判定定理：a ，a .
(2)因为 PD⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，不妨 设 MA＝1，
则 PD＝AD＝2， 所以 VP－ABCD＝31S 正方形 ABCD·PD＝83. 因为 MA⊥平面 ABCD，又 DA⊥AB，所以 DA⊥平面 MAB， 又 PD∥MA，所以 DA 即为点 P 到平面 MAB 的距离， 三棱锥 VP－MAB＝13×21×1×2×2＝32， 所以 VP－MAB∶VP－ABCD＝1∶4.
【解析】 由线面垂直判定定理和性质定理知 B、C 正确，由面面垂直判定定理知 D 正确，故选 A.
4.将正方形 ABCD 沿 AC 折成直二面角后，∠DAB＝60° .
【解析】设正方形的边长为 2a，在折叠后的图形中， 取 AC 的中点 E，连接 BE、DE、BD，则 BE⊥DE，且 BE ＝DE＝ 2a，所以 BD＝2a，从而∠DAB＝60°.
高考数学一轮复习 直线、平面垂直的性质定理课件
故C错误.
02
研考点 题型突破
题型一 直线与平面垂直的性质
典例1 如图,PA ⊥ 平面ABD,PC ⊥ 平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,
且EF ⊥
CF
AC.求证:
DC
=
CE
.
BC
证明 ∵ PA ⊥平面ABD,PC ⊥ 平面BCD,
②线（三垂线定理）:过二面角的一个面内的一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的
垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.
③面（垂面法）:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,
这两条交线所成的角即是二面角的平面角.
（2）求（求二面角的平面角的余弦值或正弦值）.
①在三角形中,利用余弦定理求值；
PD ⊥ 平面PBC.
证明 由题设,知BC ⊥ CD,又平面PDC ⊥ 平面ABCD,平面PDC ∩ 平
面ABCD = CD,BC ⊂ 平面ABCD,
所以BC ⊥ 平面PDC,
而PD ⊂ 平面PDC,则BC ⊥ PD.
由∠DPC = 90∘ ,得PC ⊥ PD.
又BC ∩ PC = C,BC,PC ⊂ 平面PBC,则PD ⊥ 平面PBC.
又BC ⊂ 平面PBC,所以AD ⊥ BC.
因为PA ⊥ 平面ABC,BC ⊂ 平面ABC,
所以PA ⊥ BC.
因为AD ∩ PA = A,AD,PA ⊂ 平面PAC,
所以BC ⊥ 平面PAC.
又AC ⊂ 平面PAC,所以BC ⊥ AC.
规律方法
（1）在应用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,则一般需作辅助线,基
高考数学一轮巩固 第48讲 空间中的垂直关系配套课件 文
一、直线与平面垂直的判定与性质 例1如图所示，已知圆 O 的直径 AB 长度为 4，点 D 为线段 AB 上一点，且 AD＝13DB，点 C 为圆 O 上 一点，且 BC＝ 3AC.点 P 在圆 O 所在平面上的正投 影为点 D，PD＝BD. (1)求证：CD⊥平面 PAB； (2)求 PD 与平面 PBC 所成的角的正弦值．
(2)方法一：过 D 作 DH⊥平面 PBC 交平面 PBC 于点 H，连接 PH，则∠DPH 即为所求的线面角．
由(1)可知 CD＝ 3，PD＝BD＝3， ∴VP－BDC＝13S△BDC·PD＝13·12DB·DC·PD＝13×12×3
a⊂α，α∥β，所以 a∥β，又因为 b⊥β，所以 a⊥b. 反之，若 a⊥b，则不一定有 a⊂α，b⊥β，α∥β，所
以 C 正确；选项 D 中，当 a⊥β 时，a∥b，所以 D 也 不对．
4．若 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个
不同的平面，给出下列命题：
①若 m⊥α，n∥α，则 m⊥n；②若 α⊥γ，β⊥γ，
【解析】(1)连接 CO，由 3AD＝DB 知，点 D 为 AO 的中点，
又∵AB 为圆 O 的直径， ∴AC⊥CB， 由 3AC＝BC 知，∠CAB＝60°， ∴△ACO 为等边三角形，从而 CD⊥AO. ∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D， ∴ PD ⊥ 平 面 ABC ， 又 CD ⊂ 平 面 ABC ， ∴PD⊥CD， 由 PD∩AO＝D 得，CD⊥平面 PAB.
2．已知 m，n，l 为三条不同的直线，α，β 为两 个不同的平面，下列命题中正确的是( D )
A．α ∥β ，m⊂α ，n⊂β ⇒m∥n B．l∥β ，α⊥β⇒l∥α C．m⊥α ，m⊥n⇒n∥α D．α ∥β ，l⊥α⇒l⊥β
高考数学一轮复习人教A版空间中的垂直关系名师公开课省级获奖课件
7
高中新课标总复习
理 数
3.(2014· 广东)若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4， 满足 l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( D ) A．l1⊥l4 B．l1∥l4 C．l1 与 l4 既不垂直也不平行 D．l1 与 l4 的位置关系不确定
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高中新课标总复习
理 数
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高中新课标总复习
(3)因为 AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC， 所以 AB＝ AC2－BC2＝ 3. 所以三棱锥 EABC 的体积 1 1 1 3 V＝3S△ABC· AA1＝3×2× 3×1×2＝ 3 .
理 数
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高中新课标总复习
理 数
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高中新课标总复习
高考中的垂直问题
理 数
1 1 则 MN⊥平面 BCD，且 MN＝2AB＝2.
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高中新课标总复习
1 又 CD⊥BD，BD＝CD＝1，所以 S△BCD＝2. 所以三棱锥 AMBC 的体积 VAMBC＝VABCD－VMBCD 1 1 ＝3AB· S△BCD－3MN· S△BCD 1 ＝12.
理 数
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高中新课标总复习
理 数
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高中新课标总复习
理 数
三
垂直的综合应用
【例 3】 如图，六面体 ABCDE 中，面 DBC⊥面 ABC，AE
⊥面 ABC. (1)求证：AE∥面 DBC； (2)若 AB⊥BC，BD⊥CD， 求证：AD⊥DC.
31
高中新课标总复习
证明：(1)过点 D 作 DO⊥BC，O 为垂足． 因为面 DBC⊥面 ABC， 又面 DBC∩面 ABC＝BC，DO⊂面 DBC， 所以 DO⊥面 ABC. 又 AE⊥面 ABC，则 AE∥DO. 又 AE⊄面 DBC，DO⊂面 DBC，故 AE∥面 DBC.
(新课标)高考数学一轮复习 8.4垂直关系及空间角名师课件
1.给出下列三个命题: ①“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是“直线a、b不相交”; ②“直线a垂直于直线b”的充分非必要条件是“直线a垂直于直线b在平 面β内的射影”; ③“直线a垂直于平面β”的必要非充分条件是“直线a垂直于平面β内的 无数条直线”. 其中正确的命题个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3
设二面角C1-OB1-D的大小为θ,易知θ是锐角,
于是cos
θ=|cos<n1,n2>|=
|
n1=
n1 |
n2 | n2
=
|
2 .3
19
故二面角C1-OB1-D的余弦值为
2
5. 7
19
2 57 19
证明线面垂直的方法:一是利用线面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的 性质定理;三是利用平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面,则另 一条也垂直于这个平面).解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化; 另外,在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形的底 边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一,矩形的内角、直径所对的圆 周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形、直角梯形等等.
AE BC
(2)AE⊂平面PAB,由(1)知 AE ⇒PABE⊥平 面PBC.
PBBC B
PC AE
(3)PC⊂平面PBC,由(2)知 PC ⇒APFC⊥平 面AEF.
AEAF A
面面垂直的判定与性质 典例2 (2014福建,17,13分)在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥ BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图. (1)求证:AB⊥CD; (2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.
高三数学(文)一轮复习课件：空间中的垂直关系
【答案】①②④
2/18/2020
直线与平面垂直的判定与性质
1.判定定理可以简单地记为“线线垂直 线面垂直”，定理中的关键词语 是“平面内两条相交直线”和“都垂直”. 2.证明线面垂直的方法： （1）线面垂直的定义，在用定义时注意“平面内任意一条直线”与“平 面内无数条直线”是两个不同的概念，直线与平面内无数条直线垂直时， 直线与平面不一定垂直. （2）线面垂直的判定定理. （3）两条互相平行的直线的性质 . 3.直线和平面垂直的性质定理可以作为直线与直线平行、平面与平面平行 的判定，实现平行与垂直的相互转化.
2/18/2020
Rt△ABC 所在平面外一点 S 满足 SA＝SB＝ SC，D 为斜边 AC 的中点. (1)求证：SD⊥平面 ABC； (2)若 AB＝BC，求证：BD⊥平面 SAC.
【解析】证明：(1)设 E 是 AB 的中点. ∵D 是 AC 的中点.∴DE∥BC， 又∵BC⊥AB，∴DE⊥AB. ∵SA＝SB，∴SE⊥AB，又 ∵SE∩DE＝E，∴AB⊥平面 SDE， 而 SD平面 SDE，∴AB⊥SD， 又∵SA＝SC，D 为 AC 的中点，∴SD⊥AC. 而 AB∩AC＝A，∴SD⊥平面 ABC. (2)若 AB＝BC，则 BD⊥AC.又由(1)知，SD⊥平面 ABC， 2/18/2020 ∴SD⊥BD，而 SD∩AC＝D，∴BD⊥平面 SAC.
PQM，SC∩DC＝C，
所以平面 PQM∥平面 SCD，
又 PQ平面 PQM，所以 PQ∥平面 SCD.
2/18/2020
(3)存在点 N，使得平面 DMN⊥平面 ABCD.连接 PC，DM 交 于点 O，连接 SP. 因为 SA＝SD，P 为 AD 的中点，所以 SP⊥AD. 因为平面 SAD⊥平面 ABCD，所以 SP⊥平面 ABCD，SP⊥ PC. 在△SPC 中，过 O 点作 NO⊥PC 交 SC 于点 N，此时 N 为 SC 的中点 则 SP∥NO，则 NO⊥平面 ABCD， 因为 NO平面 DMN，所以平面 DMN⊥平面 ABCD， 所以存在满足条件的点 N.
2014届高三数学一轮复习精讲精练：7.4空间中的垂直关系-教育文档
第4课 空间中的垂直关系【考点导读】1．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能用它们证明和解决有关问题。
2．线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽，要理清楚它们之间的关系，学会互相转化，善于利用转化思想。
【基础练习】1．“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l α⊥”的 必要 条件。
2．如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是 平行或相交 。
3．在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是 6 。
4．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是平行、相交或在另一个平面内 。
5．在正方体1111ABCD A B C D -中，写出过顶点A 的一个平面__AB 1D 1_____，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。
【范例导析】例1．如图,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD =DC ,E 是PC 的中点,作EF ⊥PB 交PB 于点F .（1）证明PA //平面EDB ； （2）证明PB ⊥平面EFD .解析：本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.证明：（1）连结AC ,AC 交BD 于O ,连结EO .∵底面ABCD 是正方形,∴点O 是AC 的中点 在PAC ∆中,EO 是中位线,∴PA // EO而⊂EO 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ,所以,PA // 平面EDB（2）∵PD ⊥底面ABCD 且⊂DC 底面ABCD ,∴DC PD ⊥∵PD =DC ,可知PDC ∆是等腰直角三角形,而DE 是斜边PC 的中线,同样由PD ⊥底面ABCD ,得PD ⊥BC .∵底面ABCD 是正方形,有DC ⊥BC ,∴BC ⊥平面PDC .而⊂DE 平面PDC ,∴DE BC ⊥. ②由①和②推得⊥DE 平面PBC . 而⊂PB 平面PBC ,∴PB DE ⊥又PB EF ⊥且E EF DE = ,所以PB ⊥平面EFD . 例2．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中点，求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA 。
【高考四元聚焦】高三数学一轮复习 第48讲 空间中的垂直关系课件 理
一
直线和平面垂直的判定和性质
【例 1】如图，已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD 为菱
形，PA⊥平面 ABCD，∠ABC＝60° ，E 是 BC 的中点，证 明：AE⊥PD.
证明： 由四边形 ABCD 为菱形， ∠ABC＝60° ， 可得△ABC 为正三角形． 因为 E 为 BC 的中点，所以 AE⊥BC. 又 BC∥AD，因此 AE⊥AD. 因为 PA⊥平面 ABCD，AE⊂平面 ABCD， 所以 PA⊥AE， 而 PA⊂平面 PAD，AD⊂平面 PAD，且 PA∩AD＝A， 所以 AE⊥平面 PAD，又 PD⊂平面 PAD， 所以 AE⊥PD.
4． 如图所示，在四棱锥 PABCD 中， PA⊥底面 ABCD， 且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满 足 时，平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为
是正确的条件即可)
解析：连接 AC，则 AC⊥BD. 又 PA⊥BD，所以 BD⊥平面 PAC，所以 BD⊥PC. 所以当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时， 即有 PC⊥平面 MBD， 而 PC⊂平面 PCD，所以平面 MBD⊥平面 PCD.
第48讲 空间中的垂直关系
1．直线 l 与平面 α 内两条直线 a，b 都垂直，则 l 与 α 的关系是( D ) A．平行 C．l⊂α B．垂直 D．不能确定
解析：注意直线与平面垂直判定的条件，缺少 a，b 相 交，则 l 与 α 的位置关系不确定，故选 D.
2．(2012· 浙江省名校新高考研究联盟第二次联考)下列 错误的是( D ) A．如果平面 α⊥平面 γ，如果平面 β⊥平面 γ，α∩β＝ l，那么 l⊥γ B．如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内一定存在直线 垂直于平面 β C．如果平面 α 不垂直于平面 β，那么平面 α 内一定不 存在直线垂直于平面 β D．如果平面 α⊥平面 β，过 α 内任意一点作交线的 垂线，那么此垂线必垂直 β
届高考数学一轮复习空间中的垂直关系-精品.ppt
解 析 ： 如 图 ， 取 PD的 中 点 E， 连 接- AE、 NE .
因为E、N 分别为
PD、 PC的 中 点 ，
所 以 EN =/ / CD.
又 因 为 M 为 AB的 中 点 ，
所 以 AM =/ / CD， 所 以 EN=/ / AM .
所以四边形AMNE为平行四边形，所以MN //AE.
所 以 四 边 形 AM NE为 平 行 四 边 形 ， -
所 以 MN //AE. 因 为 P A 平 面 A B C D， P D A 45， 所以AD为等腰直角三角形，所以AE PD. 又 因 为 C D A D， C D P A， A D A A， 所 以 CD 平 面 PAD， 而 AE 平 面 PAD， 所 以 C D A E .又 C D P D D， 所 以 AE 平 面 PCD， 所 以 M N 平 面 PCD.
评析：证明线面垂直，常用证法有两种： 一是利用面面垂直的性质，二是利用线 面垂直的判定定理，即证明直线a与平
面内的两条相交直线都垂直．
素 材 1 ： 已 知 P A 垂 直 于 矩 形 A B C D 所 在 的 平 面 ， 当 矩 形 A B C D 满 足 什 么 条 件 时 ， 有 P C B D ?
② 若 m ， n 且 ， 则 m n；
③ 若 m ， n 且 //， 则 m n；
④若m //，n// 且 ，则m //n.
D 其 中 真 命 题 的 序 号 是
A .① ②
B.③④
C .① ④
D .② ③
4.已知， 是两个不同的平面，m，n是平面 及 之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m n；② ；③n ；④m .
2014届高三数学(理)一轮复习对点训练第48讲空间中的垂直关系Word版含解析
第九单元立体几何初步与空间向量第48讲空间中的垂直关系1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( A )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2.若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.其中正确的命题有( C )A．0个B．1个C．2个D．3个解析：对于①，α与β可能平行、相交或垂直，故①错；②③正确，故选C.3.(2013·辽宁鞍山五模)已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是( C )A．l∥m，l⊥αB．l⊥m，l⊥αC．l⊥m，l∥αD．l∥m，l∥α解析：对于A，由l∥m，l⊥α，则m⊥α，与已知矛盾；对于B，由l⊥m，l⊥α，可知m ∥α或m⊂α，与已知矛盾；对于D，由l∥m，l∥α可知m∥α或m⊂α，与已知矛盾．由此排除A，B，D，故选C.4.(2012·浙江省高考5月份押题)已知直线l，m与平面α，β，γ满足β∩γ＝l，l∥α，m ⊂α，m⊥γ，则有( B )A．α⊥γ且m∥βB．α⊥γ且l⊥mC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ解析：m⊂α，m⊥γ⇒α⊥γ，又l⊂γ⇒m⊥l，故选B.5.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则BC与AC的位置关系是垂直.解析：因为PB⊥α，所以PB⊥AC.又因为PC⊥AC，且PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC.6.已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：①③④⇒②或②③④⇒①.7.(2012·皖南八校第二次联考)已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有2个．解析：若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题．8.如图，四边形ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，M、N分别为AB、PC的中点．(1)证明：AB⊥MN；(2)若平面PDC与平面ABCD成45°角，连接AC，取AC的中点O，证明平面MNO⊥平面PDC.证明：(1)因为N为PC的中点，所以ON∥P A.而P A⊥平面ABCD，所以ON⊥平面ABCD.所以ON⊥AB.又四边形ABCD为矩形，M为AB的中点，所以OM⊥AB，所以AB⊥平面OMN，所以AB⊥MN.(2)P A⊥平面ABCD，AD⊥DC，则PD⊥DC.故∠PDA为平面PDC与平面ABCD所成锐二面角的平面角，即∠PDA＝45°，所以P A＝AD＝BC.连接MC，由Rt△BCM≌Rt APM知，MC＝MP，所以MN⊥PC.因为AB⊥MN，所以MN⊥CD，又PC∩CD＝C，所以MN⊥平面PCD，所以平面MNO⊥平面PCD.9.(2012·黑龙江省绥棱县上期期末)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．(1)求证：AE⊥DA1；(2)求在线段AA1上找一点G，使AE⊥平面DFG.解析：(1)连接AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1＝A，所以DA1⊥平面ABC1D1，又AE⊂平面ABC1D1，所以AE⊥DA1.(2)所求G点即为A1点，证明如下：由(1)知AE⊥DA1，取CD的中点H，连接AH，EH，由平面几何知识易得DF⊥AH，又DF⊥EH，AH∩EH＝H，所以DF⊥平面AHE，所以DF⊥AE，又因为DF∩A1D＝D，所以AE⊥平面DF A1，即AE⊥平面DFG.。
【山东专用】2014届高考数学(理)一轮复习专题集训《空间中的垂直关系》Word版含解析
空间中的垂直关系一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012·北京模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中不正确的是 ( )(A)若m∥α，α∩β＝n，则m∥n(B)若m∥n，m⊥α，则n⊥α(C)若m⊥α，m⊥β，则α∥β(D)若m⊥α，m⊂β，则α⊥β2. (2012·青岛模拟)已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m⊂β，则α∥β是l⊥m的( )(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件3.如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是( )(A)BC∥平面PDF(B)DF⊥平面PAE(C)平面PDF⊥平面PAE(D)平面PDE⊥平面ABC4.(易错题)a，b，c是三条直线，α，β是两个平面，b⊂α，c α则下列命题不成立的是( )(A)若α∥β，c⊥α，则c⊥β(B)“若b⊥β，则α⊥β”的逆命题(C)若a是c在α内的射影，a⊥b，则b⊥c(D)“若b∥c，则c∥α”的逆否命题5.设α、β、γ为平面，l、m、n为直线，则m⊥β的一个充分条件为( )(A)α⊥β，α∩β＝l，m⊥l(B)n⊥α，n⊥β，m⊥α(C)α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ(D)α⊥γ，β⊥γ，m⊥α6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )(A)线段B1C(B)线段BC1(C)BB1中点与CC1中点连成的线段(D)BC中点与B1C1中点连成的线段二、填空题(每小题6分，共18分)7. (2012·桂林模拟)设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，给出下列命题①若l⊥α，则l与α相交②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n其中正确命题的序号为.8. (2012·威海模拟)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：①点H是△A1BD的中心；②AH垂直于平面CB1D1；③AC1与B1C所成的角是90°.其中正确命题的序号是.9.已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则①棱AB与PD所在的直线垂直；②平面PBC与平面ABCD垂直；③△PCD的面积大于△PAB的面积；④直线AE与直线BF是异面直线.以上结论正确的是.(写出所有正确结论的编号)三、解答题(每小题15分，共30分)10.(预测题)如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，P 分别是BC ，A 1D 1的中点，M ，N 分别是AE ，CD 1的中点，AD ＝AA 1＝a ，AB ＝2a.(1)求证：MN∥平面ADD 1A 1；(2)求三棱锥P —DEN 的体积.11.(2012·济宁模拟)如图，已知直角梯形ABCD 的上底BC ＝2，BC∥AD，BC ＝12AD ，CD⊥AD，平面PDC⊥平面ABCD ，△PCD 是边长为2的等边三角形.(1)证明： AB⊥PB；(2)求三棱锥A －PBD 的体积.【探究创新】(16分)已知四棱锥P －ABCD 的三视图如图所示，E 是侧棱PC 上的动点.(1)求四棱锥P－ABCD的体积；(2)是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论.答案解析1.【解析】选A.因为A中的直线m、n也可能异面.2.【解析】选B.充分性：若α∥β，∵l⊥α，∴l⊥β，又m⊂β，∴l⊥m，为平面β，直线l过点B，B1，直线m过点A，D，则符合条件，但不能推出α∥β，不是必要条件.3.【解析】选D.因BC∥DF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论B、C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立.4.【解析】选B.一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则垂直于另一个，故A正确；若c∥α，∵a是c在α内的射影，∴c∥a，∵b⊥a，∴b⊥c；若c与α相交，则c与a相交，由线面垂直的性质与判定定理知，若b⊥a，则b⊥c，故C正确；∵b⊂α，c α，b∥c，∴c ∥α，因此原命题“若b∥c，则c∥α”为真，从而其逆否命题也为真，故D正确.当α⊥β时，平面α内的直线不一定垂直于平面β，故B不成立.【误区警示】平面几何中的一些结论引用到立体几何中造成错误.对空间中位置关系的考虑不周，也是造成判断错误的因素.5.【解析】选B.如图①知A错；如图②知C错；如图③在正方体中，两侧面α与β相交于l，都与底面γ垂直，γ内的直线m⊥α，但m与β不垂直，故D错.由n⊥α，n⊥β知α∥β，又m⊥α，故m⊥β，因此B正确.6.【解题指南】联想正方体体对角线与面对角线的关系.【解析】选A.连接AC、CB1、AB1.易证BD1⊥平面AB1C.所以点P的轨迹是线段B1C.7.【解析】由于垂直是直线与平面相交的特殊情况，故①正确；由于m、n不一定相交，故②不正确；根据平行线的传递性，故l∥n，又l⊥α，故n⊥α，从而③正确；由m⊥α，n⊥α知m∥n，故l∥n，故④正确.答案：①③④8.【解析】由于ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以A－A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD 上的射影H是三角形A1BD的中心，故①正确；又因为平面CB1D1与平面A1BD平行，所以AH⊥平面CB1D1，故②正确；因为B1C⊥BC1，AB⊥B1C，且AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABC1，即AC1与B1C垂直，所成的角等于90°.答案：①②③9.【解析】由条件可得AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，故①正确；∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAB、平面PAD 都与平面ABCD 垂直，故平面PBC 不可能与平面ABCD 垂直，②错；S △PCD ＝12CD ·PD ，S △PAB ＝12AB ·PA ，由AB ＝CD ，PD>PA 知③正确；由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点可得EF ∥CD ，又AB ∥CD ，所以EF ∥AB ，故AE 与BF 共面，故④错.答案：①③10.【解析】(1)取CD 的中点K ，连接MK ，NK ，∵M ，N ，K 分别为AE ，CD 1，CD 的中点，∴MK ∥AD ，NK ∥DD 1，∴MK ∥平面ADD 1A 1，NK ∥平面ADD 1A 1，MK ∩NK ＝K ，∴平面MNK ∥平面ADD 1A 1，∴MN ∥平面ADD 1A 1.(2)S △NEP ＝121ECD P S 矩形＝14BC ·CD 1＝14·a ·a 2＋4a 2＝54a 2， 作DQ ⊥CD 1，交CD 1于Q ，由A 1D 1⊥平面CDD 1C 1得A 1D 1⊥DQ.∴DQ ⊥平面BCD 1A 1，∴在Rt △CDD 1中，DQ ＝CD ·DD 1CD 1＝2a ·a 5a ＝25a. ∴V P —DEN ＝V D —ENP ＝13S △NEP ·DQ ＝13·54a 2·25a ＝16a 3. 11.【解析】 (1)在直角梯形ABCD 中，因为AD ＝22，BC ＝2，CD ＝2，所以AB ＝(AD －BC)2＋CD 2＝ 6.因为BC ⊥CD ，平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，所以BC ⊥平面PDC ，因此在Rt △BCP 中，PB ＝BC 2＋PC 2＝ 6.因为BC ∥AD 所以AD ⊥平面PDC ，所以在Rt △PAD 中，PA ＝AD 2＋PD 2＝(22)2＋22＝2 3.所以在△PAB 中，PA 2＝AB 2＋PB 2，所以AB ⊥PB.(2)过P 作PE ⊥DC ，△PCD 为等边三角形，∴E 为DC 中点，易得PE ⊥平面ABCD ，且PE ＝3，所以V A －PBD ＝V P －ABD ＝13S △ABD ·PE ＝13×(12·AD ·DC)· 3 ＝16×22×2×3＝263. 【探究创新】【解题指南】(1)利用三视图与直观图之间的转化确定相应线段长度.(2)作辅助线，利用线面垂直证明线线垂直.【解析】(1)由三视图可知，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形， 侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC ＝2.∴V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PC ＝13×12×2＝23， 即四棱锥P －ABCD 的体积为23. (2)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE.证明如下：连接AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC.∵PC ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PC.又∵AC ∩PC ＝C ，∴BD ⊥平面PAC.∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC.∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE.。
2014高三数学(理)一轮训练计划书第48讲《空间中的垂直关系》
第48讲空间中的垂直关系1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( A ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2.若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.其中正确的命题有(C )A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：对于①，α与β可能平行、相交或垂直，故①错；②③正确，故选C.3.已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是( C )A．l∥m，l⊥α B．l⊥m，l⊥αC．l⊥m，l∥α D．l∥m，l∥α解析：对于A，由l∥m，l⊥α，则m⊥α，与已知矛盾；对于B，由l⊥m，l⊥α，可知m∥α或m⊂α，与已知矛盾；对于D，由l∥m，l∥α可知m∥α或m⊂α，与已知矛盾．由此排除A，B，D，故选C.4.已知直线l，m与平面α，β，γ满足β∩γ＝l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，则有( B )A．α⊥γ且m∥β B．α⊥γ且l⊥mC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ解析：m⊂α，m⊥γ⇒α⊥γ，又l⊂γ⇒m⊥l，故选B.5.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B 的动点，且PC⊥AC，则BC与AC的位置关系是垂直.解析：因为PB⊥α，所以PB⊥AC.又因为PC⊥AC，且PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC.6.已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：①③④⇒②或②③④⇒①.7.已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有 2 个．解析：若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题．8.如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别为AB、PC的中点．(1)证明：AB⊥MN；(2)若平面PDC与平面ABCD成45°角，连接AC，取AC的中点O，证明平面MNO⊥平面PDC.证明：(1)因为N为PC的中点，所以ON∥PA.而PA⊥平面ABCD，所以ON⊥平面ABCD.所以ON⊥AB.又四边形ABCD为矩形，M为AB的中点，所以OM⊥AB，所以AB⊥平面OMN，所以AB⊥MN.(2)PA⊥平面ABCD，AD⊥DC，则PD⊥DC.故∠PDA为平面PDC与平面ABCD所成锐二面角的平面角，即∠PDA＝45°，所以PA＝AD ＝BC.连接MC，由Rt△BCM≌Rt APM知，MC＝MP，所以MN⊥PC.因为AB⊥MN，所以MN⊥CD，又PC∩CD＝C，所以MN⊥平面PCD，所以平面MNO⊥平面PCD.9.棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．(1)求证：AE⊥DA1；(2)求在线段AA1上找一点G，使AE⊥平面DFG.解析：(1)连接AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1＝A，所以DA1⊥平面ABC1D1，又AE⊂平面ABC1D1，所以AE⊥DA1.(2)所求G点即为A1点，证明如下：由(1)知AE⊥DA1，取CD的中点H，连接AH，EH，由平面几何知识易得DF⊥AH，又DF⊥EH，AH∩EH＝H，所以DF⊥平面AHE，所以DF⊥AE，又因为DF∩A1D＝D，所以AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.。
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【拓展演练 2】 (2013· 湖北省武昌区高三年级元月调研改编)如图， 已知四 棱台 ABCD–A1B1C1D1 的侧棱 AA1 垂直于底面 ABCD，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，四边形 A1B1C1D1 是边长为 1 的 正方形，DD1＝2.求证：平面 A1ACC1⊥平面 B1BDD1.
因为 PA⊥平面 ABCD，∠PDA＝45° ， 所以△PAD 为等腰直角三角形，所以 AE⊥PD. 又因为 CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A， 所以 CD⊥平面 PAD，而 AE⊂平面 PAD， 所以 CD⊥AE. 又 CD∩PD＝D，所以 AE⊥平面 PCD， 所以 MN⊥平面 PCD.
(2)连接 A1D，B1C. 因为 CD⊥平面 ADD1A1，所以 CD⊥AE. 因为 B1D⊥平面 ACE，所以 B1D⊥AE， CD∩B1D＝D，所以 AE⊥平面 B1DC， 所以 AE⊥B1C，所以 A1D⊥AE， DE AD 1 从而 ＝ ，得 DE＝ ， AD AA1 2 1 1 1 1 所以 VA- ＝VE- ＝ × ×1×1× ＝ . CDE ADC 3 2 2 12
【例 3】(2012· 吉林省实验中学第六次模拟)如图，在四棱
锥 PABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC ＝60° ，PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点．求证： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE.
证明：(1)在四棱锥 PABCD 中， 因为 PA⊥底面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， 故 PA⊥CD. 又因为 AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以 CD⊥平面 PAC. 而 AE⊂平面 PABCD 中， PA⊥底面 ABCD， 且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满 足 时，平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为
是正确的条件即可)
解析：连接 AC，则 AC⊥BD. 又 PA⊥BD，所以 BD⊥平面 PAC，所以 BD⊥PC. 所以当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时， 即有 PC⊥平面 MBD， 而 PC⊂平面 PCD，所以平面 MBD⊥平面 PCD.
(2)由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60° ，得△ABC 是等边三 角形，故 AC＝PA. 因为 E 是 PC 的中点，所以 AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，且 PC∩CD＝C， 所以 AE⊥平面 PCD. 而 PD⊂平面 PCD，所以 AE⊥PD. 又因为 PA⊥底面 ABCD，所以 PA⊥AB. 由已知得 AB⊥AD，且 PA∩AD＝A， 所以 AB⊥平面 PAD. 又 PD⊂平面 PAD，所以 AB⊥PD. 因为 AB∩AE＝A，所以 PD⊥平面 ABE.
二
平面与平面垂直的判定和性质
【例 2】(2012· 河南省郑州市第一次质量预测改编)如图，
在四棱锥 SABCD 中，AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，平 面 SAD⊥平面 ABCD，E 是线段 AD 上一点，AE＝ED＝ 3， SE⊥AD. 证明：平面 SBE⊥平面 SEC.
证明： 因为平面 SAD⊥平面 ABCD， 平面 SAD∩平面 ABCD ＝AD，SE⊂平面 SAD，SE⊥AD， 所以 SE⊥平面 ABCD. 因为 BE⊂平面 ABCD，所以 SE⊥BE. 因为 AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，AE＝ED＝ 3， 所以∠AEB＝30° ，∠CED＝60° ， 所以∠BEC＝90° ，即 BE⊥CE. 结合 SE∩CE＝E 得 BE⊥平面 SEC. 因为 BE⊂平面 SBE，所以平面 SBE⊥平面 SEC.
1.(2012· 浙江卷)已知矩形 ABCD，AB＝1，BC＝ 2，将△ ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折， 在翻折过程中 ( B ) A．存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B．存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C．存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D．对 于任 意位 置，三 对直 线“AC 与 BD”“AB 与 CD”“AD 与 BC”均不垂直
解析：若 AB⊥CD，又因为 AB⊥AD，AD∩CD＝D， 所以 AB⊥平面 ADC，所以 AB⊥AC，由 AB＝1，BC＝ 2， 得 AC＝1， 可知存在这样的等腰直角三角形， 使得 AB⊥CD， 故选 B.
2.(2012· 安徽卷)设平面 α 与平面 β 相交于直线 m， 直线 a 在平面 α 内， 直线 b 在平面 β 内， b⊥m， 且 则“α⊥β”是“a ⊥b”的( A ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4.(2012· 湖南卷)如图，在四棱锥 PABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90° ，E 是 CD 的中点． (1)证明：CD⊥平面 PAE； (2)略．
解析：(1)连接 AC， 由 AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90° ，得 AC＝5， 又 AD＝5，E 是 CD 的中点，所以 CD⊥AE， 因为 PA⊥平面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， 所以 PA⊥CD， 而 PA，AE 是平面 PAE 内的两条相交直线， 所以 CD⊥平面 PAE. (2)略．
解析：D 中当过交线上任意一点作交线的垂线不在平面 α 内时，此垂线不垂直 β，故选 D.
3．(2012· 金丽衢十二校第二次联考)已知平面 α，β 和 直线 m，给出条件： ①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β. 当满足条件 时，m⊥β.(填符合条件的序号)
解析：当 m⊥α 且 α∥β 时，m⊥β，即应当填②⑤.
3.(2013· 湖南卷)如图，在直棱柱 ABCD- 1B1C1D1 中，AD A ∥BC，∠BAD＝90° ，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3. (1)证明：AC⊥B1D；(2)略．
证明：(1)在直棱柱 ABCD- 1B1C1D1 中， A 因为 BB1⊥平面 ABCD，AC⊂平面 ABCD， 所以 BB1⊥AC， 又 AC⊥BD，BB1∩BD＝B，BB1，BD⊂平面 B1BD， 所以 AC⊥平面 B1BD，B1D⊂平面 B1BD， 所以 AC⊥B1D. (2)略．
解析：由 α⊥β，α∩β＝m，b⊂β，b⊥m⇒b⊥α，又 a ⊂α，所以 a⊥b，利用的定理是“面面垂直，在一个面内 垂直于交线的直线垂直于另外一个面”； 反之， 如果 a∥m， 则 a⊥b 与 b⊥m 是等价的，即由 a⊥b 不能保证 α⊥β.综上 所述，“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选 A.
一
直线和平面垂直的判定和性质
【例 1】如图，已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD 为菱
形，PA⊥平面 ABCD，∠ABC＝60° ，E 是 BC 的中点，证 明：AE⊥PD.
证明： 由四边形 ABCD 为菱形， ∠ABC＝60° 可得△ABC ， 为正三角形． 因为 E 为 BC 的中点，所以 AE⊥BC. 又 BC∥AD，因此 AE⊥AD. 因为 PA⊥平面 ABCD，AE⊂平面 ABCD， 所以 PA⊥AE， 而 PA⊂平面 PAD，AD⊂平面 PAD，且 PA∩AD＝A， 所以 AE⊥平面 PAD，又 PD⊂平面 PAD， 所以 AE⊥PD.
第48讲 空间中的垂直关系
1．直线 l 与平面 α 内两条直线 a，b 都垂直，则 l 与 α 的关系是( D ) A．平行 C．l⊂α B．垂直 D．不能确定
解析：注意直线与平面垂直判定的条件，缺少 a，b 相 交，则 l 与 α 的位置关系不确定，故选 D.
2．(2012· 浙江省名校新高考研究联盟第二次联考)下列 错误的是( D ) A．如果平面 α⊥平面 γ，如果平面 β⊥平面 γ，α∩β＝ l，那么 l⊥γ B．如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内一定存在直线 垂直于平面 β C．如果平面 α 不垂直于平面 β，那么平面 α 内一定不 存在直线垂直于平面 β D．如果平面 α⊥平面 β，过 α 内任意一点作交线的 垂线，那么此垂线必垂直 β
证明：因为 AA1⊥平面 ABCD，所以 AA1⊥BD. 因为底面 ABCD 是正方形，所以 AC⊥BD. 因为 AA1 与 AC 是平面 A1ACC1 内的两条相交直线， 所以 BD⊥平面 A1ACC1. 因为 BD⊂平面 B1BDD1， 所以平面 A1ACC1⊥平面 B1BDD1.
三
垂直的综合应用
【拓展演练 3】 (2012· 广东省江门市调研)如图，长方体 ABCD- 1B1C1D1 A 中， 底面 ABCD 是正方形， 1＝2AB＝2， 是 DD1 上的一点． AA E (1)求证：AC⊥B1D； (2)若 B1D⊥平面 ACE，求三棱锥 ACDE 的体积．
解析：(1)连接 AC，则 AC⊥BD， 因为 BB1⊥平面 ABCD， 所以 BB1⊥AC， 因为 BB1∩BD＝B， 所以 AC⊥平面 BB1D， 所以 AC⊥B1D.
5.(2012· 江苏卷)如图，在直三棱柱 ABC- 1B1C1 中，A1B1 A ＝A1C1，D，E 分别是棱 BC，CC1 上的点(点 D 不同于点 C)， 且 AD⊥DE，F 为 B1C1 的中点．求证： (1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1； (2)略．
证明：(1)因为 ABC- 1B1C1 是直三棱柱， A 所以 CC1⊥平面 ABC. 又因为 AD⊂平面 ABC，所以 CC1⊥AD. 又因为 AD⊥DE，CC1，DE⊂平面 BCC1B1，CC1∩DE＝ E，所以 AD⊥平面 BCC1B1. 又因为 AD⊂平面 ADE，所以平面 ADE⊥平面 BCC1B1. (2)略．
【拓展演练 1】 如图，已知 PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，M、N 分 别是 AB、PC 的中点，若∠PDA＝45° ，求证：MN⊥平面 PCD.
证明：如图，取 PD 的中点 E，连接 AE、NE.
1 因为 E、N 分别为 PD、PC 的中点，所以 EN 綊 CD. 2 又因为 M 为 AB 的中点， 1 所以 AM 綊 CD，所以 EN 綊 AM. 2 所以四边形 AMNE 为平行四边形，所以 MN∥AE.