必修一集合的概念

必修一集合的概念 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

集合与集合的表示方法

集合的概念

[学习目标] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的关系.

2.掌握集合中元素的两个特性.

3.记住常用数集的表示符号并会应用.

[知识链接]

1.在初中，我们学习数的分类时，学过自然数的集合，正数的集合，负数的集合，有理数的集合.

2.在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合.几何图形都可以看成点的集合.

3.解不等式2x－1＞3得x＞2，即所有大于2的实数合在一起称为这个不等式的解集.

4.一元二次方程x2－3x＋2＝0的解是x＝1，x＝2.

[预习导引]

1.元素与集合的概念

(1)集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集).

(2)元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素.

(3)集合元素的特性：确定性、互异性.

2.元素与集合的关系

关系概念记法读法

属于如果a是集合A的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A

如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合

不属于

aA a不属于集合A

A

3.

(1)空集：不含任何元素的集合，记作.

(2)非空集合：

①有限集：含有有限个元素的集合.

②无限集：含有无限个元素的集合.

4.常用数集的表示符号

例1下列每组对象能否构成一个集合：

(1)我们班的所有高个子同学；

(2)不超过20的非负数；

(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；

(4)的近似值的全体.

解(1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合.(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“的近似值”不能构成集合.

规律方法判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.

跟踪演练1下列所给的对象能构成集合的是________.

(1)所有正三角形；(2)必修1课本上的所有难题；

(3)比较接近1的正整数全体；(4)某校高一年级的16岁以下的学生.

答案(1)(4)解析

例2所给下列关系正确的个数是()

①－∈R；②Q；③0∈N*；④|－3|N*.

答案B解析－是实数，是无理数，∴①②正确.N*表示正整数集，∴③和④不正确.

规律方法 1.由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a与集合A，在“a∈A”与“aA”这两种情况中必有一种且只有一种成立.

2.符号“∈”和“”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系.

3.“∈”和“”具有方向性，左边是元素，右边是集合.

跟踪演练2设不等式3－2x＜0的解集为M，下列关系中正确的是()

∈M,2∈M M,2∈M

∈M,2M M,2M

答案B解析本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x＜0的解即可，当x＝0时，3－2x＝3＞0，所以0M；当x＝2时，3－2x＝－1＜0，所以2∈M.

要点三集合中元素的特性及应用

例3已知集合B含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈B，试求实数a的值.

解∵－3∈B，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.

若－3＝a－3，则a＝0.此时集合B含有两个元素－3，－1，符合题意；

若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合B含有两个元素－4，－3，符合题意.

综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.

规律方法 1.由于集合B含有两个元素，－3∈B，本题以－3是否等于a－3为标准，进行分类，再根据集合中元素的互异性对元素进行检验.

2.解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准. 跟踪演练3已知集合A＝{a＋1，a2－1}，若0∈A，则实数a的值为________.

答案1解析∵0∈A，∴0＝a＋1或0＝a2－1.

当0＝a＋1时，a＝－1，此时a2－1＝0，A中元素重复，不符合题意.

当a2－1＝0时，a＝±＝－1(舍)，∴a＝1.此时，A＝{2,0}，符合题意.

1.下列能构成集合的是()

A.中央电视台着名节目主持人

B.我市跑得快的汽车

C.上海市所有的中学生

D.香港的高楼

答案C解析A、B、D中研究的对象不确定，因此不能构成集合.

2.集合A中只含有元素a，则下列各式一定正确的是()

∈∈A＝A

答案C解析由题意知A中只有一个元素a，∴a∈A，元素a与集合A的关系不能用“＝”，a是否等于0不确定，因为0是否属于A不确定，故选C.

3.设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳_______A；广州________A(填∈或). 答案∈解析深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会.

4.已知①∈R；②∈Q；③0∈N；④π∈Q；⑤－3Z.正确的个数为________.

答案3解析①②③是正确的；④⑤是错误的.

5.已知1∈{a2，a}，则a＝________.

答案－1解析当a2＝1时，a＝±1，但a＝1时，a2＝a，由元素的互异性知a＝－1.

1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看研究对象是否确定.若研究对象不确定，则不能构成集合.

2.集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足a∈A，要么满足aA，两者必居其一.这也是判断一组对象能否构成集合的依据.

3.集合中元素的两种特性：确定性、互异性.求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.