高二数学课件 §6.1 不等式的性质(4)
不等式的概念与性质
小结： 不等式的概念与性质
【知识回顾】
1、不等式的概念: 同向不等式； 异向不等式; 同解不等式．
2、不等式的性质 单向性：① a b, b c a c;
② a b, c d a c b d; ③ a b, c 0 ac bc; ④ a b, c 0 ac bc; ⑤ a b 0, c d 0 ac bd; ⑥ a b 0, n N* an bn; ⑦ a b 0, n N* n a n b .
(2)作商比较法： 作商——变形——与1比较大小． 大多用于比较幂指式的大小．
a、b R :
a b a 1 b
a b a 1 b
a b a 1 b
例1、在三角形ABC中,求A-B的取值范围.
例2、比较两个实数的大小
1
与2 n (n N *)
n1 n
例3、比较x2+y2与xy+x+y-1ห้องสมุดไป่ตู้大小．
例5、已知a>b>0,C<d<0,e<0,
求证： e
e
ac bd
在证明不等式时要依据不等式的性质进行，不能 自己“制造”性质来进行．
例6、已知 1 a 0, A 1 a2, B 1 a2,C 1 , D 1 则
2
1 a 1a
A、A<B<C<D; C、D<B<A<C;
练习：已知：x y z 0. 比较 y 与 z 的大小. xy xz
例4、已知 1 x 2 ，求下列式子的取值范围。
3
不等式及其性质ppt课件
位置吗？
（不可随意互换位置）
(3)什么叫不等式？
（用不等号表示不等关系的式子叫不等式）
练习：
1.判断下列式子哪些是不等式？为什么？
√(1)3＞ 2 √(2)a2+1＞ 0 (3)3x2+2x
√(4)＜ 2x+1
(5)x=2x-5
√(6)x2+4x＜ 3x+1
√(7)a+b≠c
2.用“＞”或“＜”填空： (1)4＞-6 (2)-1＜0 (3)-8＜-3 (4)-4.5＜-4
小结： 1.掌握不等式是否成立的判断方法； 2.依题意列出正确的不等式. （留意：表示不等关系的词语要用
不等号来表示，“不大于〞即“≤”， “不小于〞即“≥” ）
1.什么是等式？ 2.等式的基本性质是什么？ 3.用“＞”或“＜”填空：
7 + 3 ＞4 + 3 7 +（-3） ＞4 +（-3） 7×3 ＞4×3 7×（-3） ＜ 4×（-3）
2.已知数值：-5, 0.5, 3, 0, 2, -2.5, 5.2 (1)判别:上述数值，哪些使不等式x+3＜6
成立？哪些使之不成立？ (2)说出几个使不等式x+3＜6成立的x的值，
及使之不成立的x的值.
总结：判断不等式是否成立的方法-------不等号两边的大小关系是否与不等号一致
反馈练习：
1.当x取下列数值时，哪些是不等式 x+3＞6解？
2.统计全班同学的年龄，年龄最大者为16岁， 可以知道全班每个同学的年龄都小于17岁；
若设物体A的重量为x克；某天的气温为 t℃； 本班某同学的年龄为a岁，上述不等关系能 用式子
思考教材的3个问题
高二数学不等关系与不等式.ppt
x2 1 x 4.已知 a R ,比较 a 1与 2 的大小.
a
两个实数大小比较依据:
⑴a b 0 a b ; ⑵a b 0 a b ; ⑶a b 0 a b .
(作差比较法)
这一结论虽很简单,但却是我们 推导不等式的性质或证明其他不等 式的基础.
对于不等式在初中我们已经接触过,知道不等式的基本性 质与等式的基本性质是有所不同的,为什么会这样呢?
这一章主要从实数的基本性质及不等式的基本概念出发, 一步步系统认识不等式,掌握一些不等式,从而为以后进一步学 习数学和其它学科运用不等式打好基础.
首先从实数大小比较说起……
对于任意两个实数 a、b，在 a＞b，a = b，a＜b 三种关系中有且仅有一种成立．
作差
(a2 2a 15) (a2 2a 8) 变形
7
∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0 定符号
∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) 确定大小
例 2 已知 x≠0，比较 (x2 1)2 与 x4 x2 1的大小．
解: ∵ (x2 1)2 (x4 x2 1)
作差
x4 2x2 1 (x4 x2 1) x2
变形
∴当 x 0 时, (x2 1)2 (x4 x2 1) 0 定符号
∴当 x 0 时, (x2 1)2 (x4 x2 1) 确定大小
例 3 已知 a 、b 、m 都是正数,且 a b ,求证: b m b am a
证明: ∵ b m b (b m)a (a m)b
信卡的收费标准为：
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不等式的基本性质[整理] [其它]
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第34课 不等式的基本性质【考点指津】1．不等式的概念用不等号（>、<或≠）联结而成的式子叫做不等式．2．两个实数大小的比较设a 、b ∈R ，则a>b 0>-⇔b a ，0<-⇔<b a b a ，这是比较两个实数大小和运用比较法的根据．3．不等式的性质性质1 a b b a <⇔> （对称性）性质2 a>b ，c a c b >⇒> （传递性）性质3 a>b ，c b c a +⇒+性质4 a>b ，bc ac c >⇒>0，a>b ，bc ac c <⇒<0以上是不等式的基本性质，以下是不等式的运算性质．性质5 a>b ，d b c a d c +>+⇒> （加法法则）性质6 a>b>0，bd ac d c >⇒>>0 （乘法法则）性质7 a>b>0，n n b a N n >⇒∈* （乘方法则）性质8 a>b>0，n n b a N n >⇒∈* （开方法则）不等式性质在证明不等式和解不等式中有广泛的应用，它也是高考的热点，通常是以客观题形式考查某些性质，有时在证不等式或解不等式过程中间接考查不等式性质． 在复习中，对不等式性质的条件与结论，要彻底弄清，特别是对不等式两边平方、开方或同乘上某个数（或式子）时，要注意所得不等式与原不等式是否同向，否则在解题时往往因忽略了某些条件而造成错误． 从知识的联系上看，不等式的性质与函数的单调性是相互联系的，因此比较一些实数大小的问题，从不等式性质与函数性质结合的角度去认识是必要的．【知识在线】1．下列命题中，正确的命题是（ ）①若a>b ，c>b ，则a>c ； ②a>b ，则0lg >ba ； ③若a>b ，c>d ，则ac>bd ； ④若a>b>0，则b a 11<；⑤若db c a >，则ad>bc ； ⑥若a>b ，c>d ，则a-d>b-c ． A ． ①② B ． ④⑥ C ． ③⑥ D ． ③④⑤2．下列命题中，正确的命题是（ ）A ．a 3>b 3，ab>0ba 11>⇒ B ． m>n>0，a>0a a n m >⇒ C ．b ac b c a >⇒> D ． a 2>b 2，ab>0ba 11<⇒ 3．下列命题中正确的是（ ）A ．若|a|>b ，则a 2>b 2B ． 若a>b>c ，则(a-b)c>(b-a)cC ． 若a>b ，c>d ，则a-b>c-dD ． 若a>b>0，c>d>0，即c bd a > 4．下列命题中，正确的命题是（ ）A ． 若ac>bc ，则a>bB ． 若a 2>b 2，则a>bC ． 若ba 11>，则a<b D ． 若b a <，则a<b 5．设命题甲：x 和y 满足⎩⎨⎧<<<+<3042xy y x 命题乙：x 和y 满足⎩⎨⎧<<<<3210y x ，那么（ ）A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【讲练平台】例1（2000年全国卷） 若a>b>1，P=b a lg lg ⋅，)lg (lg 21b a Q +=，)2lg(b a R +=，则（ ）．A ． R<P<QB ． p<Q<RC ． Q<P<RD ． P<Q<R分析一 借助对数函数单调性用基本不等式求解．解法一 ∵ a>b>1，∴ lga>lgb>0． ∴2lg lg lg lg b a b a +<⋅，即P<Q ．又∵2b a ab +<， ∴ 2lg lg b a ab +<． ∴ )2lg()lg (lg 21b a b a +<+，即Q<R ． ∴ P<Q<R ，故选B ．分析二 用特殊值法解解法二 取a=10000，b=100，则lga=4，lgb=2．∴ P=22，Q=3，R=lg5050．显然P<Q ，R=lg5050>lg1000=3=Q ．∴可排除A 、C 、D ． 故选B ．点评 不等式性质的考查常与幂函数、指数函数和对数函数的性质的考查结合起来，一般多以选择题的形式出现． 此类题目要求考生有较好、较全面的基础知识，一般难度不大．例2 若函数f(x)，g(x)的定义域和值域为R ，则f(x)>g(x)（x ∈R ）成立的充要条件是（ ）．A ． 有1个x ∈R ，使得f(x)>g(x)B ． 有无穷多个x ∈R ，使得f(x)>g(x)C ． 对R 中任意的x ，都有f(x)>g(x)+1D ． R 中不存在x ，使得f(x)≤g(x)分析 4个命题的关系在证明问题过程中经常使用． 原命题：若A 成立，则B 成立，逆命题：若B 成立，则A 成立；否命题：若A 成立则B 成立；逆否命题：若B 成立，则A 成立． 其中A ⇒B 与A B ⇒互为充要条件．由于对任意x ∈R ，f(x)>g(x)成立的逆否命题为：在R 中不存在x ，使f(x)≤g(x)成立． 答 选D ．点评 本题也可通过构造特殊函数，采用排除法解决． 值得强调的是：不等式的性质的考查方向将更加注重基础性、全面性． 题型灵活多变．例3 已知1≤a+b ≤5，-1≤a-b ≤3，求3a-2b 的取值范围．分析 本题应视a+b 与a-b 为两个整体．解 设a+b=u ，a-b=v ，则2v u a +=，2v u b -=． ∴v u b a 252123+=-． 由已知1≤u ≤5，-1≤v ≤3，易得-2≤3a-2b ≤10．点评 本题常见的错误解法是：由已知，得0≤a ≤4，-1≤b ≤3．进一步，得0≤3a ≤12，-6≤-2b ≤2．从而，得-6≤3a-2b ≤14．由解题过程知，u 与v 各自独立地在区间[1，5]与[-1，3]内取值，从而知v u 2521+可取[-2，10]内的一切值．在错误解法中，得到的0≤a ≤4，-1≤b ≤3已不表明a 与b 可各自独立地在区间[0，4]与[-1，3]内取值了． 如a=4，b=3，a+b=7已不满足1≤a+b ≤5． 得到的区间[0，4]与[-1，3]应这样理解：对于任意给定的p ∈[1，5]与q ∈[-1，3]，存在a ∈[0，4]，b ∈[-1，3]，使得a+b=p ，a-b=q ．不等式的性质与等式的性质不一样，一般不具有可逆性． 掌握不等式性质时要谨防与等式性质做简单类比而致错．【知能集成】1．对不等式性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一性质的条件和结论、注意条件的放宽和加强，以及条件与结论之间的相互联系；不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面． 单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的基础． 因为解不等式要求的是同解变形．2．高考试题中，对不等式性质的考查主要是：(1) 根据给定的条件，利用不等式的性质、判断不等式或与之有关的结论是否成立．(2) 利用不等式的性质与实数的性质、函数性质的结合，进行数值大小的比较．(3) 判断不等式中条件与结论之间的关系，是充分条件或必要条件或充分必要条件．3．要注意不等式性质成立的条件，例如：在应用“a>b ，ab>0b a 11<⇒”这一性质时． 有些同学要么是弱化了条件得a>b b a b 1<⇒． 要么是强化了条件而得ba b a 110<⇒>>． 【训练反馈】1．（2001年上海春招卷）若a 、b 是实数，则a>b>0是a 2>b 2的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既非充分条件也非必要条件2．若a>b ，c>d ，则下列不等关系中不一定成立的是（ ）A ． a-d>b-cB ． a+d>b+cC ． a-c>b-cD ． a-c<a-d3．已知a 、b 、c ∈R ，则下面推理中正确的是（ ）A ． a>b ⇒am 2>bm 2B ．b ac b c a >⇒> C ． a 3>b 3，ab>0b a 11<⇒ D ． a 2>b 2，ab>0ba 11<⇒ 4．（1999年上海卷）若a<b<0，则下列结论中正确的是（ ）A ．不等式b a 11>和||1||1b a >均不能成立 B ．不等式a b a 11>-和||1||1b a >均不能成立 C ．不等式a b a 11>-和22)1()1(ab b a +>+均不能成立 D ．不等式||1||1b a >和22)1()1(a b b a +>+均不能成立 5．当0<a<b<1时，下列不等式中正确的是（ ）A ． b b a a )1()1(1->-B ． (1+a)a >(1+b)bC ． a b a a )1()1(->-D ． b a b a )1()1(->-6．（2001年北京春招卷）若实数a 、b 满足a+b=2，则3a +3b 的最小值是（ ）A ． 18B ． 6C ． 32D ． 4327．a 、b 为不等的正数，k ∈N*，则(ab k +a k b)-(a k+1+b k+1)的符号为（ ）A ． 恒正B ． 恒负C ． 与a 、b 大小有关D ． 与k 是奇数或偶数有关8．不等式2>+xy y x 成立的充要条件是（ ） A ． x>y B ． x ≠y C ． x ≠y 或xy>0 D ． x ≠y 且xy>09．（2000年北京春招卷）已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图，则（ ）A ． )0,(-∞∈bB ． )1,0(∈bC ． )2,1(∈bD ． ),2(+∞∈b10．已知1≤a+b ≤4，-1≤a-b ≤2，则4a-2b 的取值范围为________．11．已知三个不等式：①ab>0，②bd a c ，③bc>ad ． 以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成________个正确的命题，请用序号写出它们． 即_______． （把所有正确的命题都填上）12．已知f(x)=ax 2-c ，且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，试求f(3)的最大值与最小值．。
高二数学必修5不等关系与不等式ppt课件.ppt
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
下课啦！！
Class is over, Thank you for your cooperation,goodbye
感谢各位领导的指导， 请多提宝贵意见！
定符号 确定大小
∴bm b 0∴bm b
am a
am a
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
回顾反思
(1)解决实际问题的常规步骤
实际问题
抽象、概括 刻画
数学问题
(2)本堂课建立的模型主要是
不等关系
，不等式的 证明方法 （作差法）
这个数学问题怎么解决?
分析:起初糖水的浓度为 b ,加入 m 克糖后的糖 a
水浓度为 b m ,只要证明 b m b 即可,怎么
am
am a
证呢?
这是一个不等式的证明问题
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
请大家欣赏下面的照片，说说你的感受？
横看成岭侧成峰，远近高低各不同
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
一.问题情境
实际生活中
长短
大小
轻重 高矮
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
不等式的性质(教案)
第六章不等式在日常生活和生产实践中，我们经常会遇到这样一些问题：1．小丽的家离学校a km，如果步行速度为b km / h ，为了保证上午八点钟以前到校，小丽最晚什么时候出发？2．为什么用相同材料做成圆柱型的容器比做成棱柱型的容器的容积大？在这两个问题中，前者是解不等式问题，后者是证明不等式问题，但它们的解决都离不开不等式知识和方法的系统掌握。
自然界中的等量关系是相对的，而不等量关系是绝对的，不等量关系比等量关系的存在更具有普遍性，所以不等关系的研究具有重要的意义，在中学数学中是重要的内容。
本章将在前面学过的一元一次不等式、一元二次不等式和含绝对值的不等式的解法的基础上，进一步学习不等式的概念、不等式的性质、不等式的证明和一些简单不等式的解法。
§6.1不等式的性质【学习目标要求】1．运用数形结合的观点，认识实数顺序的规定，掌握判断两个实数大小的充要条件。
2．理解不等式的重要性质，掌握这些性质的证明方法。
3．会用不等式的性质解决一些简单问题。
【基础知识导学】1．不等式的定义用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式。
说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠。
（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）（3）不等式研究的范围是实数集R。
2．判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立。
判断两个实数大小的充要条件是a＞b ⇔ a - b＞0a= b ⇔ a - b = 0a＜b ⇔ a - b＜0由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人，只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了。
不等式的性质是学好本章的基础，也是重点和难点，要掌握好需要注意以下几个问题： （1）充分重视不等式成立的条件，如a ＞ b,c ＞d ⇒ a+c ＞b+d 成立的条件是a 、b 、c 、d 可以是任何实数； a ＞b ＞0, c ＞d ＞0⇒ ac ＞bd 成立需要的是两个同向不等式；a ＞b ，ab ＞0 ⇒ba 11<成立只要a 、b 同号， 因此，在运用不等式的性质时，多观察、多思考，考虑问题一定要全面细致。
人教版高二数学第二册(上册)(旧版)全册课件【完整版】
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第六章 不等式 6．2 算术平均数与几何平均数 6．4 不等式的解法举例 阅读材料 n个正数的算术平均数与几何平均数 复习参考题六 7．1 直线的倾斜角和斜率 7．3 两条直线的位置关系 7．4 简单的线性规划 7．5 曲线和方程 7．6 圆的方程 复习参考题七 8．1 椭圆及其标准方程 8．3 双曲线及其标准方程 8．5 抛物线及其标准方程 阅读材料 圆锥曲线的光学性质及其应用 复习参考题八
Hale Waihona Puke 六章 不等式人教版高二数学第二册(上册)(旧版) 全册课件【完整版】
6．1 不等式的性质
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6．2 算术平均数与几何平均 数
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6．3 不等式的证明
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(4)高中数学不等式典型例题解析、恒成立、均值不等式的运用
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结不等式一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c d>）；：若0a b >>，则n n a b >或nn a b >4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。
如（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若；⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac的取值范围是______（答：12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭）二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。
新课标人教A版数学必修5全部课件：不等式的性质
要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法
延伸·拓展
误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，通 过本节复习，要求理解不等式的性质，会讨论有关不等式 命题的充分性和必要性，正确判断命题的真假. 不等式有如下8条性质： 1.a＞b b＜a.(反身性) 2.a＞b，b＞c =>a＞c.(传递性) 3.a＞b a+c＞b+c.(平移性) 4.a＞b，c＞0 => ac＞bc； a＞b，c＜0 => ac＜bc.(伸缩性) 5.a＞b≥0 => n a n b ，n∈N，且n≥2.(乘方性) 6.a＞b≥0 => a＞nb，n∈N，且n≥2.(开方性) 7.a＞b，c＞d => a+c＞b+d.(叠加性) 8.a＞b≥0，c＞d≥0 => ac＞bd.(叠乘性)
2.掌握用比较法证明不等式的方法，熟悉它的变形过程.用 比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——定号.其中 的“变形”可以变成平方和，也可以变成因式的积或常数； 有关指数式的比较法通常用作商法，步骤是作商——变形 ——与1比较大小.
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课前热身
1.设a＜0，-1＜b＜0，则a，ab，ab2三者的大小关系为 a＜ab2＜ab ____________. 2.设A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R且x≠1，则A，B的大小关系 为A____B. ＞
b2
【解题回顾】(1)用比较法证明不等式，步骤是：作差(商)— —变形——判断符号(与“1”比较)；常见的变形手段是通分、 因式分解或配方等；常见的变形结果是常数、若干个因式的 积或完全平方式等.应注意的是，商比法只适用于两个正数比 较大小. (2)证法2的最后一步中，也可用基本不等式来完成：
高二数学人选修课件证明不等式的基本方法复习
05
学生自主练习与提高
练习题选讲与答案提示
练习题一
证明不等式 $sqrt{a+b} leq sqrt{a} + sqrt{b}$ 对任意非负实数 $a, b$ 成立。
提示
运用平方差公式和均值不等式进行证明。
练习题二
证明不等式 $frac{a}{b} + frac{b}{a} geq 2$ 对 任意正实数 $a, b$ 成立。
分析法证明不等式
寻找中间量
通过分析寻找一个合适的中间量，使 得原不等式可以通过这个中间量进行 转化，进而证明。
逐步推导
从要证明的不等式出发，逐步分析并 推导出使不等式成立的条件，直到找 到显然成立的条件为止。
04
典型例题分析与解答
一元二次不等式解法举例
题目
解不等式 $2x^2 - 5x + 2 > 0$
高二数学人选修课件证明不 等式的基本方法复习
汇报人：XX
汇报时间：20XX-01-17
目录
• 引言 • 不等式基本概念及性质回顾 • 证明不等式的基本方法 • 典型例题分析与解答 • 学生自主练习与提高 • 总结回顾与展望未来
01
引言
复习目的与要求
03
掌握证明不等式的基本方法
提高解题能力
培养数学思维
柯西不等式应用举例
题目
分析
已知 $a_i, b_i > 0 (i = 1, 2, ldots, n)$，证明 $left( sum_{i=1}^{n} a_i b_i right)^2 leq left( sum_{i=1}^{n} a_i^2 right) left( sum_{i=1}^{n} b_i^2 right)$
等式的性质课件-(公开课)
要点三
矩阵法
将二元一次方程组表示为矩阵形式 AX = B，其中 A 为系数矩阵，X 为未知数 矩阵，B 为常数矩阵。通过矩阵运算求 解 X。例如，对于方程组 { x + 2y = 5, 3x - y = 2 }，可以表示为矩阵形式 [1 2; 3 -1] * [x; y] = [5; 2]，通过矩阵运 算得到 X = [1; 2]。
使一元一次方程左右两边相等的未知 数的值叫做方程的解。
方程解法举例
01
02
03
04
移项法
将方程中的未知数项移到等式 的一边，常数项移到等式的另 一边，从而解出未知数的值。
合并同类项法
将方程中的同类项合并，使方 程简化，从而更容易解出未知
数的值。
代入法
将已知的数值代入方程中，通 过计算验证该数值是否为方程
物理学中的应用
运用函数描述物体的运动规律，如速 度、加速度等。
工程学中的应用
利用函数解决最优化问题，如最小成 本、最大效益等。
计算机科学中的应用
采用函数实现算法，简化程序设计过 程。
06 综合应用：复杂问题建模 与求解
复杂问题建模思路和方法
深入分析问题背景，明确问题目标
在建模前需要对问题的实际背景有深入的了解，明确所要解决问题的目标。
含绝对值不等式解法
根据绝对值定义将含绝对值的不等式转化为 分段函数或不等式组求解。
05 函数与等式关系
函数基本概念及性质
函数定义
函数是一种特殊的关系， 它使得每个自变量对应唯 一的因变量。
函数性质
包括单调性、奇偶性、周 期性、有界性等。
常见函数类型
一次函数、二次函数、指 数函数、对数函数等。
不等式的基本性质-【新】苏教版高中数学必修第一册PPT全文课件(69ppt)
17
课
情
堂
景 导
(2)[解] 不等式ax＋1>0(a∈R)两边同时加上－1得
小 结
学
探
ax>－1 (不等式性质3)，
新
提 素
知
当a＝0时，不等式为0>－1恒成立，所以x∈R，
养
合
当a>0时，不等式两边同时除以a得
课 时
作
分
探 究 释
x>－a1 (不等式性质4)，
层 作 业
疑
难
不等式的基本性质-【新】苏教版高中 数学必 修第一 册PPT 全文课 件(69pp t)【完 美课件 】
1
课
情
堂
景
小
导 学 探
第3章 不等式
结 提
新
素
知
养
3.1 不等式的基本性质
课
合
时
作
分
探
层
究
作
释
业
疑
难
返 首 页
2
情
学习目标
核心素养
课 堂
景 导
1．结合已有的知识，理解不等式
小 结
学
探 的6个基本性质．(重点)
新
提 素
知 2．会用不等式的性质证明(解)不 通过不等式性质的应用，培养逻 养
合 等式．(重点)
9
课
情
堂
景
小
导
提醒：不等式的基本性质是不等式变形的依据，也是解不等式 结
学
提
探 新
的根据，同时还是证明不等式的理论基础．
素
知
养
(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强
2.1等式性质与不等式性质课件(人教版)
万物皆数--毕达哥拉斯
2
人教A版（2019）
基本事实
由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上的点的位置关系来规定
实数的大小关系；如图，设，是两个实数，他们在数轴上所对应的点分别是A，
B，当点A在点B的左边时， < ；当点A在点B的右边时， > ；当点A和点B重
合时， = .
（2）已知1 < < 4，2 < < 8，求 的取值范围
（3）已知−6 < < 8，2 < <
3，求 的取值范围
解：（3）因为 < < ，所以 <
<
①当− < < 时，−< <
②当 ≤ < 时， ≤
由①②得，−< <
<
如果 > > ， > > ，那么 >
如果 > > 那么 > （ ∈ , 且 ≥ ）
万物皆数--毕达哥拉斯
8
人教A版（2019）
例题讲讲
例2 已知 > > ， < ，求证 >
方法一：作差法
证明：
− =
−
=
−
于是 ∙
由 <
>
，得
∙ ，即
>
不等式的基本性质课件(浙教版)
得 3x －2x < 2x－3－2x， 即 x < －3.
（2）根据不等式的基本性质3，两边都除以－1，
5
得x>－ .
6
(3)
根据不等式的基本性质3，两边都乘以2，
得x≤6.
例2 已知a<0 ，试比较2a与a的大小.
解法一：（不等式的基本性质3）
∵2＞1，a＜0，
∴2a＜a.
解法二：（借助数轴）
如图,在数轴上分别表示2a和a的点(a＜0).
b<c
a-b<0
①
b-c<0 ②
Байду номын сангаас
根据：负数小于零，负数+负数=负数
①+② 得：
（a-b)+(b-c)<0
a-c<0
a<c
不等式的基本性质1：若a＜b，b＜c，则a＜c。 (不等式的传递性)
不等式的基本性质2：
不等式的两边都加上(或减去)同一个数,所
得到的不等式仍成立.
（不等号方向不变）
（2）比较大小
解：∵x＜y
∴-3x＞-3y （不等式性质3）
∴2-3x＞2-3y
（不等式性质2）
5.小明和小华在探究数学问题.
小明说： “ 3y＞4y ”.
小华认为小明说错了，应该是3y＜4y，
聪明的你觉得呢?
当y＞0时, 3y ＜ 4y;
当y= 0时, 3y = 4y;
当y ＜ 0时, 3y ＞4y.
6.若 x< ，且（a-3)x> ( − )，求的取值范围。
2
2
1
1
＞
（ - ）.
3÷（ - ）______5÷
不等式的证明(4)全面版
ab2 ab
2 a b ab 2 ( ) 2 2
ab 2 ab ( ) 2
( )
a b c3 abc ( a 、 b 、 c R ) 3
放缩法
代换法
例 题
关于解不等式
1. 对选择题多用分析淘汰法
2. 以性质作保证，实施等价变换
解下列不等式 ①2x-a<bx+3； 分b>2；b<2； b=2三种情况
分析：用放缩法
广东碧桂园学校
陟乃赋
例1.证明下列不等式 (1)若abc=1，则(2+a)(2+b)(2+c)27;
1 (2)若a+b+c=1，则 a b c ; 3 2=1 (a+b+c) 分析一 分析二
2 2 2
分析三
2 2
设a
1 t1 （均值代换） 3
2 2
2a 1 2 a 3 3
天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 书 山 路 勤习，老 为纪、自 径，学 崖 苦作舟 成功 少 小 =有 艰苦的劳动 不 学 +正确的方法 来海 徒无 伤 + 少谈空话 悲 勤 奋、守 强、自 律！
制 版 权 作 所 ： 有 陟 ， 违 乃 者 不 赋 究
22.05.2019
广东碧桂园学校 陟乃赋
1 1 1 22 ab 2 , 的最小值为 42 . ab a b
1 1 1 解法三： 2 ，当且仅当 ab 时 " " 成立 , a b ab 1 1 1 1 又 a2 b 1 , ab , 2 6 . 1 3 a b 9
正确解法一 正确解法二 “1”代换法 三角代换法
高二数学课件 §6.1 不等式的性质(3)
2、不等式的性质：
定理5：若a > b > 0，则 (n N且n > 1)．
na nb
点拨：遇到困难时，可从问题的反面入手，即所谓的“正难则反”．
说明：反证法证题思路是：反设结论→找出矛盾→肯定结论．
例1 已知a > b > 0，且0 < c < d，求证： ．(相除法则)
ab cd
例2 已知a > b > 0，c < 0，求证：
．(教材P7例4 )
cc
ab
例3 已知a，b，x，y是正数，且 ，
x > y．求证：
．
x y xa yb
11 ab
课堂练习：
1. 如果a > b > 0，c > d > 0，则下列不等式中不正确的是 ( )
A．a d > b c B ．
3．不等式性质定理中的各字母均可表示任M = ，N =
1 1 ，试比较M和N的大小．
2. 教材P8习题6.1中第5、6题．
4 3. 海淀《素质训练与检测》第六章练习1中的解答题．
xy
x y
能否加强条件得出ac > bd呢?
2、不等式的性质： 推论1 如果a > b > 0，且c > d > 0，那么ac > bd．(相乘法则)
说明：(1) 上述证明是两次运用定理4，再用定理2证出的； (2) 所有的字母都表示正数，如果仅有a > b，c > d，就推不出ac > bd的结论；
2、不等式的性质：
复习 1、(1) 同向不等式： 两个或多个不等号方向相同的不等式 . (2) 异向不等式：
高二数学不等式的性质4
4 a c 1 1 4a c 5
(1) (2)
课堂练习： 1. log m2 > log n2的充要条件是( C ) A．n > m > 1或1 > m > n > 0 B．1 > m > n > 0 C．n > m > 1或1 > n > m > 0 D． m > n > 1
例2 适当增加条件，使下列各命题 成立： (1) 若a > b ，则ac2 > bc2；c 0 (2) 若a > b，则ac bc； c 0 (3) 若a > b，c > d，则ac > bd； b > 0，d > 0 1 1 (4) 若a > b，则 ． b > 0 a b 思考：对命题 分析：本例为条件型开放题，需要 (3), 能否增加条件b > 0, 依据不等式的性质，寻找使结论成立时 c > 0，或a > 0，d > 0，使其成立？请阐 所缺少的一个条件． 述你的理由．
例4 已知函数f(x) = ax2 c， 4 f(1) 1， 1 f(2) 5，求f(3)的取值 范围．
解：依题意，得：
4 a c 1 1 4a c 5 (1) (2)
利用不等式的性质进行加减消元，得
0 a 3， 1 c 7 (3)
壹般撒向宇文成都而去,宇文成都无奈只能回防,执起鎏金镗与赵雨混战在咯壹起.壹旁の林冲反应过来,朝身边禁军敕令道:"通知东西南北四大门给我封锁城门,其余人等与我壹起去捉拿钱塘王/"话音刚落,林冲便壹马冲出,带着数百禁卫军朝东 舌追杀而去,东舌手执流光冥火枪否断挑翻一些前来追赶の小卒,罗士信背着秦琼,照着人群撞开壹条道路来.赵雨与宇文成都两人战成壹团,银光与金光否断在半空交错,宇文成都镗快力猛,二十几回合过后,便打得赵雨有些措手否及,只能利用巧 劲来化解壹招招攻势."给我倒!"宇文成都见赵雨只能以巧来敌对自己,当即大喝壹声,手中改变方向,从上空瞬间移到平面,金镗加快咯几分速度,加上咯几分力度,猛地朝赵雨横扫而去."检测到赵雨双重绝境龙胆发动,武力第壹次+1,第二次+1,当 前武力上升至104/"宇文成都壹镗来得出乎赵雨の意料,但却没什么造成丝毫の慌乱,那长冷峻の面容微微抽搐壹下,手中亮银枪朝地面壹抵,借着反弹之力,赵雨闪出咯宇文成都の攻击范围.宇文成都壹镗用力过猛而落空,要使出下壹镗,必须拉回 镗锋,而那又要消耗时间.赵雨见东舌已经逃远,亮银枪朝宇文成都飞快刺出几招,宇文成都只能否断左闪右避.逼退宇文成都之后,赵雨立即疾步朝东舌逃跑の方向追去.到嘴の鸭子又跑咯,宇文成都如何能咽の下那口气,手中流金镗往地下猛地壹 震,朝两旁将士喝令道:"传我将令,召集两千禁卫军,今日否抓到东舌我誓否罢休/"壹百零五部分逃出生天Ps:（求壹下收藏,,求打赏）赵雨手执亮银枪,连踏数人肩臂而过,壹身白袍闪过半空,真是犹如蜻蜓点水壹般轻盈,飞速赶去东舌の身边.罗 士信背着昏死过去毫无知觉の秦琼,在前边乱挥铁枪,好似排波退浪,撞开壹条比较开阔の道路.东舌在后手中流光冥火枪枪出如龙,左刺右挑,让人看否清楚套路,想要还手之时已经中咯好几枪.东舌72の武力,凭着神兵连斩十几人,渐渐已经感觉到 有壹丝吃力,双臂发麻起来.左臂也开始隐隐作痛,东舌那才想起当日大夫吩咐他切否可动武,否则左臂可能就要废掉.面对如潮水般否断涌来の洛阳禁军,东舌眉头紧皱,陷入咯进退两难の境地."殿下休惊,子龙来也/"月光耀射之下,赵雨壹身被照 得雪亮,手中银枪更是抹上咯壹层雪白の银辉,划过空际,从半空中连刺数枪,挑翻一些企图偷袭の小卒.赵雨及时杀到让东舌松咯壹口气,生怕赵雨否是宇文成都对手,被困在那里无法脱身."哥,我们快到西门咯,怎么办啊哥,那门关着の."罗士信见 路已经快要走到咯尽头,却发现那根本就是壹个死胡同,城门是如铁闸壹般の往下关.宇文成都与林冲已经从后面赶咯上来,几千禁军将东舌四人紧紧围在咯那西门城门前,局势是前所未有の严峻."该死,哥,要否要我去把那城门给砸开."罗士信脸 上也感觉到咯局势の危急,抡起铁枪就要往门上砸.东舌却壹把拉住咯罗士信,万般冷淡地说:"士信,那城门岂可比济南の城门,您是劈否开の.""哥那怎么办啊,他们人那么多,士信打否过他们,但是士信否想看到哥哥出事啊/"罗士信气の又坐到咯 地上,打又否行,闯又否行."东舌,您们已经穷途末路咯,还是跪下投降吧,说否定我可以饶您否死/"宇文成都手执金镗,赶咯上来,驱驾上前企图说服东舌投降."哼,投降？"东舌苦笑着冷哼壹声,脸上浮现出无所畏惧の神情,"我钱塘王东舌,就算成 就否咯千秋霸业,但也绝非屈服威武の小人/大否咯就是壹死/"东舌壹番话语,说の是那样壹般の慷概凛然,荡气回肠,好似将生死早就置之度外,让宇文成都壹时竟然有些钦佩东舌の勇气起来.话音久久の回荡在广场之中,东舌慢慢扶起咯罗士信, 坚毅の凝视着赵雨,叁人眼神凝聚在咯壹起,东舌壹字壹顿说道:"今日既然否能走出去,那我们主臣叁人,便是要在那血战到底/""好您个东舌,想否到您如此有气节,行,我今日就让您死の痛快,我否用壹兵壹卒,就您与我单挑如何？"宇文成都语气 狂傲万分,却也多咯几分对东舌の敬重.宇文成都那摆明就是要东舌死,听咯此言赵雨拿起银枪就要往前冲,气愤の吼道:"宇文成都/要单挑您找我,休要动我殿下の主意.""手下败将,只会躲躲闪闪,有何资格与我壹战/"宇文成都朝赵雨狂喝壹声,让 赵雨顿时语塞否知作何答语.东舌却是陷入咯沉思之中,若是自己自己和宇文成都单挑,那分明就是找死,否过若是自己击败咯宇文成都,则赵雨等人便有机会逃出去.左右衡量之下,东舌还是决定向操作界面发送咯信息,"操作界面,在吗？""请问宿 主有何事情？""准备在我身上吸取体力,哪怕是整条命也罢,助我打败宇文成都/""回复宿主,准备完毕."东舌深吸壹口气,已经感觉到咯手中の流光冥火枪已经蠢蠢欲动,好似蕴含着毁天灭地の潜能.感觉壹股体力正在体内否断の流失,手掌否断贴 紧咯手中の枪身,整把枪瞬间变得血红万分.否仅是枪,就连东舌,满眼开始变成血红色,手臂上の青筋也慢慢变成咯血红."甄宓,别咯."生死壹刻,东舌脑江中突然浮现起甄宓の样子,也否知是否是回光返照,眼角否自觉壹滴晶莹流下.耀蓝の月光, 俯射着少年最后の疯狂.滑落の泪痕,拉の很长,很长.噌,噌.就在那万般严峻の情景之下,城门突然发出壹声巨响,两边灰尘否断往门缝汇聚,好似回潮壹般涌去.渐渐の,门居然往上开咯起来.东舌眼中の血红褪去,体力瞬间全部回复到咯体内,眼中 顿时冒出许多疑问."士信,门开咯快走/"东舌急忙转过头,朝罗士信大喝壹声,罗士信也没什么多说半句,带着秦琼壹个翻身滚出咯城门."殿下,快走/"见罗士信已经翻滚出咯城门,赵雨也否顾东舌の想法,拉起东舌就往城门下壹滚,翻身出门.宇文 成都见叁人在自己の眼皮子底下逃咯出去,猛地回过神来,满眼の否可置信,否停咆哮道:"快给我追/"禁军在林冲の带领下如潮水般朝城门冲上前去,城门却突然关闭回来,险些压死一些想要窜出の小卒,好似是专门为东舌打开,将宇文成都等人反 锁在城内."是谁,没什么我の命令竟敢私开城门,来人啊,快去给我把城门打开,休走咯钱塘王/"宇文成都歇斯竭底の咆哮,怎么也想否到,居然会出现如此戏剧般の壹幕,让东舌等人逃咯出去."林统领,快去给我上城楼打开城门,我倒是要看看,是何 人敢如此大胆,没什么我の允许,居然敢私开城门/"宇文成都此时已经是壹肚子气全撒在咯林冲头上,气の暴跳如雷の朝林冲叱喝.林冲只能唯唯诺诺点头退让,心中有否服也只能乖乖咽下,带着一些人上咯城楼.良久之后,林冲便匆匆赶下城楼,跑 到宇文成都面前报道:"宇文将军,开城门の机关被破坏咯/就连几十个守军也全部被人杀咯,脖子上刀伤所致,下手凌厉壹刀毙命.""究竟是谁敢如此暗中协助东舌,莫否是天否助我宇文成都啊/"听咯林冲の汇报,宇文成都整长脸瞬间变得铁青,差点 站否稳身子.而逃出城外の东舌等人松咯壹口气,也是壹脑糊涂,想否清楚那洛阳城中会是谁救咯自己.在城楼上の角落中,七八个黑影窜过,荡下城楼而否知所踪."快走吧殿下,否然万壹让宇文成都追上来就麻烦咯."赵雨见东舌满脸腹疑の矗立在 原地,壹动否动,便开口劝说到."罢咯,我等还是快走,往南边走,朝涧河走去."东舌收咯多余の心思,握紧手中の长枪在前方带路,众人穿过吊桥往树丛小道走去.小道尽头,壹条浩荡の大河尽现眼前,河边停驻着几条小舟,舟上壹人正是川蒙前来接 应,早在进入洛阳之前,东舌便以防万壹,在涧河上安插好咯人员.（未完待续）壹百零六部分人财双收大闹洛阳告壹段落,东舌等人连夜过江,终于回到咯襄阳.午时,襄阳,钱塘王府.东舌眉目紧锁,焦急地在客房外徘徊,闻讯而来の伍雨召,长辽等 人也是跟着东舌壹起在门外等候.秦琼在客房中接受急救,东舌叫上咯全襄阳最好の大夫来为秦琼急治,若是秦琼出咯什么事,那否仅自己那么长时间の努力全部白费,就连
不等式的性质
不等式的性质本周目标：1. 类比等式的性质得到不等式的性质，理解不等式的性质及其证明；2. 掌握比较两个代数式大小的方法，理解其思维过程。
3. 培养学生灵活应变的解题能力和思考问题严谨周密的习惯。
本周重点：1. 类比的思想：2. 不等式的性质及其推论；本周难点：不等式的性质及其推论的证明本周内容：一、不等式的性质及其推论定理1：对称性(反身性)：a>b b<a；定理2：传递性：a>b,b>c a>c；c<b,b<a c<a；定理3：可加性：a>b a+c>b+c；推论：定理4：可乘性：a>b，c>0ac>bc；a>b，c<0ac<bc；推论1：推论2：可乘方：a>b>0a n>b n(n∈N，n>1)定理5：可开方：思考1：不等式性质中，容易错的有哪些？答：有条件限制的，如定理4及其推论、定理5，当缺少条件或条件不全时，即可产生假命题。
思考2：不等式性质中哪些条件对结论的成立是充要的？哪些条件对结论的成立是充分非必要的？答：充要的：定理1、定理3加一些条件作为大前提后是充要的：定理4：若c>0，则a>b ac>bc；若c<0，则a>b ac<bc；定理4的推论2：若a>0，b>0，则a>b a n>b n(n∈N，n>1)定理5：若a>0，b>0，则充分非必要的：定理2、定理3推论、定理4推论1。
思考3：不等式中可以推广的性质：推广：在元素个数上。
(1)可加性(推论)：a1>b1,a2>b2,…，a n>b n,n∈N+，a1+a2+…+a n>b1+b2+…+b n；(2)可乘性(推论)：a1>b1>0，a2<b2<0，…,a n>b n>0a1a2…a n>b1b2…b n。
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作业
1. 如果a > b > 0，c < d < 0，求证：
log log 2. 已知1 a + b 4，si1na b 2，求4asin2b的取值范围．
a c b d . 3. 海淀《素质训练与检测》第六章练习1中的能力培养题．
例4 已知函数f(x) = ax2 c， 4 f(1) 1， 1 f(2) 5，求 f(3)的取值范围．
1 f(3) 20. 分析：利用f(1)与f(2)设法表示a、c，然后再代入f(3)的表达式中，从而用f(1) 与f(2)来表示f(3)，最后运用已知条件确定f(3)的取值范围．
D．m > n > 1
2. 若 1 < x < y < 0，则
1 1 ， ，x2，y2的大小关系为___________________． xy
x2 y2 1 1 xy
课堂练习： 3. 设角、满足
，则 的取值范围为______________．
2
2
< <0
4. 若实数a > b，则a2 ab___ba b2．
(1) (2)
返回
依题意，得：
4 a c 1
(1)
1 4a c 5
(2)
得0 a 3， 1 c 7 (3)
由f(3) = 9a c可得， 7 f(3) 26．
以上解法其错因在于，由(1)(2)得到不等式(3)是利用了不等式性质中的加法 法则，而此性质是单向的，不具有可逆性，从而使得a、c的范围扩大，这样f(3) 的范围也就随之扩大了．
(4) 若a > b，则 ．
c0 c0
b > 0，d > 0
11
b> 0
ab
思分考析：：对本命例题为(3)条, 能件否型增开加放条题件，b需>要0,依c >据0不，等或式a >的0性，质d >，0寻，找使使其结成论立成？立请时阐所述 缺你少的的理由一．个条件．
例3 设函数f(x)的图象为一条开口向上的抛物线，已知x y，p>0，q>0且p+q=1， 求证：f(px+qy)<pf(x)+qf(y)．
解
评
例4 已知函数f(x) = ax2 c， 4 f(1) 1， 1 f(2) 5，求f(3)的取值范 围．
解：依题意，得：
4 a c 1 1 4a c 5
利用不等式的性质进行加减消元，得 0 a 3， 1 c 7 (3)
由f(3) = 9a c可得， 7 f(3) 26．
注意：本题相当于已知4 a c 1, 1 4a c 5, 求9a c的取值范围．由 上知，应如何求解？
换元或待定系数法
返回
课堂练习：
1. log m2 > log n2的充要条件是( )
C
A．n > m > 1或1 > m > n > 0
B．1 > m > n > 0
C．n > m > 1或1 > n > m > 0
知识结构图：
例1 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1) a > b a c > b c； (2) a > b，c > d a + c > b + d；
(3) a > b ac2 > bc2；
(4)
a > b；
正确
(5) a > b > 0 ；
(6) a > b，c > d ；
>
(填上不等号)
5. 已知a > b > c，且a + b + c = 0，则b2 – 4ac的值的符号为________． 正数
小结 1．注意求范围与证明不等式的区别，如例4若改为证明 7 f(3) 26，则后
一方法完全正确．
2．同向不等式可以相加、相乘，所得不等式与原不等式同向，但不能相减 或相除；异向不等式可以相减、相除，所得不等式与被减或被除不等式同向，但 不能相加或相乘．相乘、相除时，要求不等式两边均为正数．
(7) a2 > b2 | a | > | b |；
不正确
(8)
(a > 0, b > 0) a2 > b2．
ab c2 c2
正确
11 a ba b
dc
不正确 不正确Βιβλιοθήκη 正确不正确正确
a b
例2 适当增加条件，使下列各命题成立： (1) 若a > b ，则ac2 > bc2； (2) 若a > b，则ac bc； (3) 若a > b，c > d，则ac > bd；