空解(第2次课)

a {a x , a y , a z },
的坐标表达式
b {bx , by , bz },
{a x bx , a y by , az bz }
a ( a x )i ( a y ) j ( a z )k .
{a x , a y , az }
z
因为
M1
OM1= x1 i + y1 j + z1 k OM2= x2 i + y2 j + z2 k
x
M2
o
y
所以
a =M1M2 =OM2 – OM1 =(x2-x1) i +(y2-y1) j +(z2-z1) k ={ x2-x1 , y2-y1 , z2-z1 } ={ ax ,ay , az }
（1）交换律：a b b a; （2）分配律： a b ) c a c b c ; (
证 (2)
(a +b ) ∙ c = c Prjc (a b ) c ( Prjc a Prjc b ) a c b c.
OM =x i + y j +z k = { x , y, z } -------------向量的坐标表示
我们称 i , j , k 为坐标系的基本单位向量，上式 即为OM按基本单位向量的分解式. 这里 x , y , z分别 为OM在 x 轴、y 轴、z 轴上的投影, x i , y j ,z k为OM 在 x 轴、y 轴、z 轴上的投影向量. x ,y ,z 称为OM的 坐标. (20) 下面讨论一般情况,即起点不在原点的情况. 设向量 a = M1M2 , M1(x1 , y1 , z1) , M2(x2 , y2 , z2)
--------向量的坐标表示
称 x2-x1 , y2-y1 , z2-z1 或者ax , ay , az 为a 的坐标
注:
10 x2 - x1 , y2 - y1 , z2–z1 为M1M2在 x 轴、y 轴、 z 轴上的投影,与在三个坐标轴上的分向量： (x2-x1) i , (y2-y1) j ,(z2-z1) k 完全不同. 20 x2-x1 , y2-y1 , z2-z1 称为向量的坐标,不是终点 的坐标;当向量的起点在原点时,向量的坐标
才与其终点坐标一致.
应用:
设 则
向量的加减法、向量与数的乘法运算
a b a x i a y j a z k ) ( bx i by j bz k ) （ (a x bx )i (a y by ) j (a z bz )k ;
称与方向余弦
cos , cos , cos
成比例的一组数 l , m , n 为 a 方向数.
l ,m , n 为 a 的方向数 {l ,m , n}= a
例 2 求平行于向量 a 6i 7 j 6k 的单位向
量的分解式.
解 所求向量有两个，一个与 a 同向，一个反向 | a | 62 7 2 ( 6)2 11, a 6 7 6 0 a i j k, | a | 11 11 11 a 6 7 6 0 或 a i j k. |a | 11 11 11
例 3 设有向量 P1 P2，已知 P1 P2 2，它与 x 轴
和 y 轴的夹角分别为 和 ，如果 P1 的坐标为 3 4 (1,0,3) ，求 P2 的坐标.
解
设向量 P1 P2的方向角为 、
、
, 3
1 cos , 2
, 4
cos2 cos2 cos2 1,
x
启示 两向量作这样的运算, 结果是一个数量.
定义1
设 a , b为二向量,我们称
a b | a || b | cos | b | Pr jb a | a | Pr ja b .
为a 与 b 数量积, 数量积也称为“点积”或“内积”.
(其中 为 a 与 b 的夹角)
2 cos , 2 1 cos . 2
2 , . 设P2 的坐标为( x , y , z ) , 3 3 x 1 x 1 1 cos x 2, P1 P2 2 2
y0 y0 2 cos y 2, P1 P2 2 2 z3 z3 1 z 4, z 2, cos 2 P1 P2 2
( ) a b 0, | a | 0, | b | 0, a b . cos 0, , 2 ( ) ab , , cos 0, 2 a b | a || b | cos 0.
P2 的坐标为 (2, 2,4), (2, 2,2).
例 4 设 m 3i 5 j 8k ， n 2i 4 j 7k ， p 5i j 4k ，求向量a 4m 3n p 在 x 轴 上的投影及在 y 轴上的分向量.
二.向量的模与方向余弦的坐标表示式
设a a x i a y j a z k o ,
非零向量 a的方向角： ， ，
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
z
M1


M2
0 ,
0 ,
o
x
y
0 .
x
由投影定理可知 M2 a x | a | cos 向 M1 量 Q a y | a | cos 的 P y 方 o az | a | cos 向 余 方向余弦通常用来表示向量的方向. 弦
z
AM { x x1 , y y1 , z z1 } MB { x2 x, y2 y, z2 z }
B A
M
o
y
x
由题意知： AM MB
{ x x1 , y y1 , z z1 } { x2 x , y2 y, z2 z }, x1 x2 x x1 ( x2 x ) x , 1 y1 y2 y y1 ( y2 y ) y , 1 z1 z2 z z1 ( z2 z ) z , 1 M 为有向线段AB 的定比分点. M 为中点时， x1 x2 y1 y2 z1 z2 x , y , z . 2 2 2
推论: a b a x bx a y b y a z bz 0
5. 两向量之间的夹角 设 a a x i a y j a z k o , b bx i b y j bz k o ab a b | a || b | cos cos , | a || b | a x bx a y b y a z bz cos a x 2 a y 2 a z 2 bx 2 b y 2 bz 2 ------两向量夹角余弦的坐标表示式 又设a、b 的方向余弦分别为 1、 1、 1; cos cos cos
(10)
设 a 是以原点为起点、 M ( x, y, z ) 为终点的向量，
z
由图可以看出: OM=OM，+M，M 又 OM，=OA+OB, M，M=OC
C
k
a=OM
M(x,y,z) B
现在沿x轴、y轴、z轴的正 i 向分别取单位向量:
O
y
i 、j、k
A
j
M，
x
则
所以
OA=x i
OB=y j
OC=z k
R
z
M1 M 2
M 1 P M 1Q M 1 R
2 2
2
2 2 2 | a | a x a y a z 向量模长的坐标表示式
向量方向余弦的坐标表示式 或 计算公式:
当 a x a y a z 0 时，
2 2 2
cos
cos
ax a x a y az ay
在 y 轴上的分向量为7 j .
三. 两向量的数量积
1.数量积的定义
实例 一物体在常力 F 作用下沿直线从点 M 1 移动 到点 M 2 ，以 S 表示位移，则力 F 所作的功为 (其中 为 F 与S 的夹角) W | F || S | cos
F

o M1 M1M2=S M2
主要内容
一.向量的坐标表示 二.向量的模与方向余弦 三. 两向量的数量积
一.向量的坐标表示
1.向量在轴上的投影向量
单位向量
设 a M1 M 2 为一向量，u 为一条数轴． 点 M1 , M 2 在轴 u 上的投影分别为点P1 , P2．
又设 P1 , P2 在轴 u 上的坐标依次为u1 , u2． Pr ju M1 M 2 au ,
3. 数量积的运算规律：
（3）若λ为数： ( a ) b a ( b ) ( a b ), 若 、为数： ( a ) ( b ) ( a b ).
4. 数量积的坐标表示
设 a a x i a y j az k , b bx i b y j bz k a b (a x i a y j az k ) (bx i by j bz k ) i j k , i j j k k i 0, | i || j || k | 1, i i j j k k 1. a b a x bx a y b y a z bz ------数量积的坐标表达式
解 a 4m 3n p 4( 3i 5 j 8k ) 3( 2i 4 j 7k ) (5i j 4k ) 13i 7 j 15k ,
在 x 轴上的投影为a x 13 ,
2 2 2
,Baidu Nhomakorabea
,
a x a y az
2 2
2
cos
az a x a y az
2 2 2
.
方向余弦的特征
cos 2 cos 2 cos 2 1
特殊地：单位向量的方向余弦为
a 0 a {cos , cos , cos }. |a |
b

a
结论 两向量的数量积等于其中一个矢量的模和另 一个向量在这向量的方向上的投影的乘积. 注: a b 是数量，不是向量！
2. 数量积的性质： 性质1 若a = o 则 a∙ b=0 . 2 性质2 a a | a || a | cos | a | . 性质3 a b 0 a b . 证 若 a ,b 中 有一个为零向量,则结论显然成立.
例1 设A(x1 , y1 , z1)和B(x2 , y2 , z2)为两已知点， 而在AB直线上的点M分有向线段AB为两部分
AM、MB,使它们的值的比等于某数 ( 1) ，
AM , 求分点的坐标------定比分点问题. 即 MB
解 设 M ( x , y , z )为直线上的点，
P1 P2 OP2 OP1 u2 u1 ,
M2 M1
e
u
o
P1
P2
au u2 u1 投影
如果 e 是与 u轴正向一致的单位向量， 则 P1 P2 aue ( u2 u1 )e ------a 在u轴上的投影 向量 2.向量的坐标表示