26.1.3.3二次函数y=a(x-h)2+k图像和性质
二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质
22.1二次函数y=a(x－h)2＋k的图像和性质学情分析：从学生的知识技能基础来看，在之前学习过变量、函数等概念，对一次函数、反比例函数也有所理解。
在这些基础上，对于学习二次函数都是很好的铺垫性知识。
从学生活动经验基础来看，在相关的知识学习的过程中，学生已经具有解决一些实际问题的能力，感受到了函数反映的是变化的过程，对函数的表达方式特点也有所了解。
获得了探究新的函数知识的基础；同时，在以前的学习中学生经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作交流能力。
教材分析：学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。
本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。
教学目标：1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图像与函数y=ax2的图像之间的关系。
2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3．让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。
重点难点：重点：确定函数y=a(x－h)2＋k的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)2＋k的图像与函数y=ax2的图像之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质是教学的重点。
难点：正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图像与函数y=ax2的图像之间的关系以及函数y=a(x －h)2＋k的性质是教学的难点。
教学过程：一、提出问题1．函数y=2x2＋1的图像与函数y=2x2的图像有什么关系?(函数y=2x2＋1的图像可以看成是将函数y=2x2的图像向上平移一个单位得到的)2．函数y=2(x－1)2的图像与函数y=2x2的．图像有什么关系?3．函数y=2(x－1)2＋1图像与函数y=2(x－1)2图像有什么关系?函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?二、试一试你能填写下表吗?y=2x2向右平移1个单位的图像y=2(x－1)2向上平移1个单位y=2(x－1)2＋1的图象开口方向向上对称轴y轴顶点(0，0)问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x－1)2＋1与函数y=2(x－1)2、y=2x2图像的关系吗?问题3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?对于问题2和问题3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；函数y＝2(x－1)2＋1的图像可以看成是将函数y=2(x－1)2的图像向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图像向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。
26.1.3二次函数的图像(2)
1 2 y ( x 1 ) 画出二次函数 2
1 y、 ( x 1) 2 2
解: 先列表
点(－1,0)且与x轴垂直的直 线,我们把它记为x=－1, 顶点是(－1,0); 1 1 2 y ( x 1 ) y ( x 1) 抛物线 呢 ? 2 2
2
x=－1
-5 -6 -7 -8 -9 -10
x
向上或向下平移|k|得到. (k>0,向上平移;k<0向下平移.)
求抛物线y=-2x2+1与x轴、y 轴的交点坐标
的 图像,并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.:
… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 1 y ( x 1) 2 … -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 … 2 1 y ( x 1) 2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 … 2 y 1 2 1 然后描点画图,得 y ( x 1) 2 1 2 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x 和 y 2 ( x 1) 的图象. -1 -2 1 2 可以看出,抛物线 y 1 ( x 1) 2 y ( x 1 ) -3 2 2 -4 的开口向下, 对称轴是经过 x
右 平移____ 1 物线y=3(x-1)2是由抛物线y=3x2向____
单位而得到。
5、指出抛物线抛物线y= 2x2-4x+2的开口方向, 对称轴,顶点坐标;函数有最大值还是最小值? 是多少?
6.函数 y 4 x 4 x 1 的图象与坐标 2 轴有几个交点?可以由抛物线 y 4 x 平移得到吗？应怎样平移？
顶点是(－1, －1). 平移方法1:
x
平移方法2:
26.1二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质
y
观察图象,回答问题
8 6 4
1 2 y x 1 2
-10 -5
2
O
-2
1 2 y x 2
5
x
10
-4
1 2 y x 1 1 2
?
我思，我进步
1 1 在同一坐标系中作出二次函数y= x² ,y= (x+1)2 2 2 1 和y= (x+1)2-1的图象. 2 1 1 1 2 二次函数y= x² ,y= (x+1) 和y= (x+1)2-1 2 2 2
复
习
回味无穷
二次函数y=a(x-h)² +k与y=ax² 的关系
2.不同点: 只是位置不同:(1)顶点不同:分别是(h,k)和(0,0). (2)对称轴不同:分别是直线x= h和y轴. (2)最值不同:分别是k和0. 3.联系: y=a(x+h)² +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax² 的图象 先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向左 平移;当h<0时,向右平移),再沿对称轴整体上(下) 平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向 下平移)得到的.
y
8
顶点是 (-1,1).
y 1 x 12 1 2
X=-1
6
1 2 y x 1 1 2
4
对称轴仍是平行于y 轴的直线(x=-1);增减 性与y= 1x2类似. 1 2 2 y x
2
开口向上, 的图象可以看作是抛物线 O 1 2 当x=-1时y有 1 y= x 先沿着x轴向左平移1个 在同一坐标系中作二次函数 y= 最小值 (x-1)2 +1, 2 : 且 2 单位,再沿直线y=1向左 会是什么样? 最小值= 1 平移1个单位后 得到的.
二次函数y=a(x-h)2+k图像和性质
y =3x2
y = 3( x − 1)
2
(2)x取哪些值时,函数y=3(x- 的值随x (2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x 取哪些值时 y=3(x 值的增大而增大?x取哪些值时, ?x取哪些值时 值的增大而增大?x取哪些值时,函数 y=3(x- 的值随x的增大而减少？ y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
y = −3( x −1) − 2
X=1
与y=-3x²有 关哟
开口向下, 开口向下, x=1时 当x=1时y有 最大值: 最大值:且 对称轴仍是平行于y 对称轴仍是平行于y轴的直线 最大值= 最大值= 2 (x=1);增减性与 增减性与y= 类似. (x=1);增减性与y= -3x2类似. 或最大值= (或最大值=-2).
?
二次函数y=-0.5(x+1)2-1的 二次函数y=y= 图象和抛物线y=-0.5x²,y=和抛物线y= 图象和抛物线y=-0.5x ,y=有什么关系? 0.5(x+1)2有什么关系?它的 开口方向, 开口方向,对称轴和顶点坐 y=-½(x+1)² 标分别是什么? 标分别是什么?
二次函数y=二次函数y=-0.5(x+1)2-1的 y= 图象可以看作是抛物线 y=先沿着x y=-0.5x2先沿着x轴向左平移 个单位,再沿直线x= x=1个单位,再沿直线x=-1向 上平移1个单位后得到的. 上平移1个单位后得到的.
a>0 a<0
二次函数y=a(x- +k的图象和性质 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 y=a(x
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表： 根据图形填表： 抛y=a(x-h)2+k(a>0)
二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质(第1课时) 课件
合作探究
归纳总结：二次函数y=ax2+k（a≠0）与y=ax2 的图象的关系：
二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到： 当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到. 上下平移规律：上加下减. 思考3：抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？ a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.
思考1：抛物线 y 2x2 1，y 2x2 1 的开口方向、对称轴、 顶点、最值和增减性各是什么？
二次函数 y 2x2 1 y 2x2 1
开口方向 向上
向上
顶点坐标 对称轴 最值
增减性
（0，1） y轴 （0，-1） y轴
最小值为1 当x＜0时，y随x
的增大而减小；
x＞0时，y随x的
最小值为-1 增大而增大
综合演练
6.已知抛物线y=kx2+b. （1）若抛物线y=kx2+b的形状与y=3x2相同，开口方向相反，且顶点 坐标为(0,−2)，则该抛物线的函数表达式是___y_=_−_3_x_2_−_2__; （2）若抛物线y=kx2+b向下平移2个单位后得到的抛物线的函数表 达式为y=−0.6x2−1，则k=_−_0_._6__,b=__1____. （3）若抛物线y=kx2+b的最小值为5，且经过点(1,6),则该抛物线的 函数表达式是___y_=_x_2_+_5____;将抛物线y=kx2+b向上平移3个单位， 得到的新的抛物线的函数表达式是__y_=_x_2_+_8__.
ห้องสมุดไป่ตู้
小组探究：通过上述例子，函数y=ax2+k(a＞0)的性质是什么？ （就以上5方面进行阐述）
二次函数_y=a(x-h)2+k_的图象和性质
顶点 最值 (0,0) 当x=0时,y
有最小值0
(0,0) 当x=0时,y 有最大值0
(0,c) 当x=0时,y 有最小值c
(0,c) 当x=0时,y 有最大值c
(h,0) 当x=h时,y 有最小值0
(h,0) 当x=h时,y 有最大值0
.
增减情况
x<0时, y随x的增大而减 小; x>0时,y随x的增大而 增大
y
8
7 66
5 y 3x2
44
3 22 1
--55 -4 -3
-2 -1 0 -1
-2-2
1
2
3
4 55
x
22.1.3 二次函数 -4
y=a(x--h6 )2+k
的图. 像和性质
1
复习二次函数y=ax2的性质
y＝ax2
a＞0
a＜0
图象
O
O
开口 对称性
顶点
增减性
开口向上
开口向下
|a|越大，开口越小 关于y轴对称 顶点坐标是原点（0，0）
归纳小结
一般地，抛物线ya(xh)2k与yax2形状相___同__， 位置不__同__。把抛物线yax2向上（下）向左（右）
平移，可以得到抛物线ya(xh)2k。
平移的方向、距离要根据_h_、__k_的值来决定。
(如何平移，主要看平移前后两条抛物线的顶点 就可确定。）
.
16
：一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与 y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向 上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线 y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、 k的值来决定.(如何平移，主要看平移前后
二次函数y=a(x-h)2 k的图像和性质__教案新部编本
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校二次函数y=a(x-h)2+k 的图像和性质执教者：付义成教学目标：1、 会用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k 的图像，并通过图像认识函数的性质。
2、 能运用二次函数的知识解决简单的实际问题。
重点难点：1、 二次函数y=a(x-h)2+k 的性质2、 把实际问题转化为数学问题情境引入：1、 由前面的知识我们知道，函数y=12 x 2的图像，向下平移1个单位，可以得到函数y=12 x 2-1的图象；函数y=12 x 2的图像，向左平移1个单位，可以得到函数y= 12（x+1）2的图象，那么函数y=12 x 2的图象，如何平移，才能得到函数y= 12（x+1）2-1的图象呢？2、 引出课题：二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质及实际应用。
自主探究： 1、探究在同一坐标系中画出y=—12 x 2，y=—12 x 2-1，y=— 12（x+1）2-1的图象，指出它们的开口方向、对称轴、及顶点。
通过观察图象探究下列问题：1、 抛物线y=—12 x 2经过怎样的变换可以得到抛物线y=— 12（x+1）2-1？ 2、 对于抛物线y=— 12（x+1）2-1，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数值取得最 值，最 值y= 。
2. 观察归纳观察：（1）抛物线y=—12 x 2，y=—12 x 2-1，y=— 12（x+1）2-1的开口方向、对称轴以及顶点坐标，猜想抛物线y=a(x-h)2+k 的开口方向、对称轴以及顶点坐标。
（2）由y=— 12 （x+1）2-1与y=—12x 2的关系，推广到抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系。
归纳：（1）抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的形状相同，位置不同。
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》课件
知识回顾 y＝ax2
图象
位置、开 口方向 对称性
顶点、 最值
增减性a>0yOx开口向上，在x轴上方.
a<0
y Ox
开口向下，在x轴下方.
a的绝对值越大，开口越小.
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0.
顶点坐标是（0，0）.
当x=0时，y最小值=0.
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
24
-2
-4
-6
y=−
12(x+1)
向左平移
2
1个单位长度
y=-12x2
向右平移 1个单位长度
y=-12(x-1) 2
二次函数 y=a(x±h)2(h>0) 的图象与 y=ax2 的图象的关系
y=ax2
向右平移 h 个单位长度时 向左平移 h 个单位长度时
y=a(x-h)2 y=a(x+h)2
左右平移规律：左加右减
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 ···
··· -4.5 -2
-1
2
0
-12 -2 -4.5 ···
x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ···
-4.5 -2 ···
-12
0
-12
-2 -4.5 ···
在同一坐标系中画出函数 y=-12(x+1)2，y=-12(x-1) 2 的 图象,并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.
2.描点
3.连线
思考：y=2x2 +1， y=2x2 -1的图象与 y=2x2 的图象有什 么关系？
10 8 6 4 2
-4 -2 -2
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
教学设计课题名称：26.2.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质姓名：郭建林工作单位：沁县漳源中学学科年级：九年级数学教材版本：华东师大版一、教学内容分析1、课程内容：九年级下册第二十六章《二次函数》第二节《二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质》第3课时2、本节内容的地位和作用本章的主要内容是由实际问题建立二次函数模型、研究二次函数的三种表示方法和二次函数的性质以及二次函数的简单应用.本课时之前，学生已经建立二次函数的概念、研究了二次函数的三种表示方法并且经历了最简单的二次函数y=ax2（a≠0）的图像和性质.本课时，引导学生画一般的二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的图像，让学生借助图像发现二次函数的性质以及特征.二、教学目标知识和技能：知识与技能：1、能够正确说出y=a（x-h）2+k（a≠0）图像的开口方向、对称轴和顶点坐标2、通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解.过程与方法：1.经历探索二次函数的图像的作法和性质的过程，培养学生的探索能力.2. 选择“情景教学法”、“引导探索法”和“研究性教学法”，通过创设问题情景，引导学生进行实际操作、观察探索、合作交流，亲身感受具体的二次函数，加深对二次函数的图像和性质的认识.情感态度与价值观：1.经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.2.让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.三、学习者特征分析学生在八年级已经初步积累了函数知识和利用函数解决问题的经验.初三学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义、图像及性质等基本知识.学生具有也一定的数学分析、理解能力.学生学习数学的热情很高，思维敏捷，具有一定的自主探究和合作学习的能力.因此，在本课中，应多让学生动手实践、自主探究、合作交流，从而更好的体会到二次函数的特征.四、教学策略选择与设计1.基于本节课内容的特点和九年级学生的心理特点，在本节课的教学中选择“情景教学法”、“引导探索法”和“研究性教学法”，通过创设问题情景，引导学生进行实际操作、观察探索、合作交流，亲身感受具体的二次函数，加深对二次函数的图像和性质的认识.2.学生是学习的主体，应在学习中充分发挥自己的主体能动作用，所以本节课学生采用亲手实践、自主探究、合作交流、总结升华为主要形式的“探究性学习法”，目的是让学生经历探索二次函数y=a （x-h）2+k（a≠0）的图像的作法和性质的过程，从而更好的理解.五、教学重点及难点教学重点：1.经历探索二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的图像的作法和性质的过程.2.能够作出y=a（x-h）2+k（a≠0）的图像难点：能够作出y=a（x-h）2+k（a≠0）的图像；能够正确说出y=a（x-h）2+k（a≠0）图像的开口方向、对称轴和顶点坐标六、教学过程教师活动预设学生活动设计意图复习（出示复习题目）1．让学生联系生活中的抛物线，从而体会数学来源与生活，数学和生活密切相关.由姚明打篮球图像抽象出篮球的轨迹—抛物线，并“数学化”，提问：（1）这条抛物线的表达式是怎么样的？（2）抛物线y＝ax2+k (a≠0)具有什么性质?填表：数学和生活息息相关，引发学习兴趣；温故知新，复习前面知识.y＝ax2+k a>0 a<0 图象开口对称性顶点增减性师生互动，探索新知活动一1．画出二次函数y = -21(x+1)2的图像．学生对x取值可能仍是关于y轴对称地选取，以致不能完整地画出函数图像.展示一个完整的图像，从而引导学生带着疑问学习.2．观察二次函数y = -21(x+1)2的图像,回答下面问题．（1）它是轴对称图形吗？若是，请说出它的对称轴．（2）怎样列表才能保证描出的点具有对称性？对这个函数你应该怎么取点？（3）这个图像有最高点（或最低点）吗？若有，它的坐标是多少？（4）这个图像有怎样的开口方向？对于（2），让学生充分思考，讨论，从而体会在x=-1两侧对称取点的必要性.其他问题，学生都能从图像上，容易的解决.二次函数y = -21(x+1)2—1与y = -21x2有什么关系，能不能平移得到？一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,位置活动一动学生，探求知识的愿望，让学生经历画函数图像———疑问———探究———解决的学习过程，初步感受二次函数的特征.活动二对于函数的增减性，学生有前面函数做铺垫，比较容易得到结果；通过观察课件，自主总结性质.不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x －h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.活动二1．观察y=a (x-h)2+k (a≠0)的动画，回答下面问题：当a>0时，（1）在对称轴的左侧（即x<h），当x增大时，y的变化情况？（2）在对称轴的右侧（即x>h），当x增大时，y的变化情况？当a<0时，（1）在对称轴的左侧（即x<h），当x增大时，y的变化情况？（2）在对称轴的右侧（即x>h），当x增大时，y的变化情况？2．总结用看图，填表的形式，让学生自己总结设置练习，巩固知识课堂练习1．指出抛物线y＝－2（x＋1）2－3的开口方向、对称轴和顶点坐标，并把你的结果与同学交流．2. 画出二次函数y＝（x－2）2＋1的图像，并说明当x取哪些值时，y随x的增大而增大；当x取哪些值时，y随x的增大而减小．理论联系实际，应用得到的性质做些巩固练习.让学生畅谈收获3、对于抛物线y=a（x－h）2＋k（a≠0谈谈你的收获…1、画y=a（x－h）2+k（a≠0）的图像，列表时：在对称轴x=h两侧对称取点.2、y=a（x－h）2＋k（a≠0）具有以下性质：抛物线对称轴顶点坐标开口方向师生合作小结，培养学生归纳和概括的能力，帮助学生梳理知识脉络，回顾自y= a (x－h)2+k(a>0)x=h (h，k) 向上y= a ( x－h)2+k(a<0)x=h (h，k) 向下0），从图像上可以看出：当a>0时，在对称轴的左侧（即x<h时），y随x的增大而减小，在对称轴的右侧（即x>h时），y随x的增大而增大;当a<0时，在对称轴的左侧（即x<h时），y随x的增大而增大，在对称轴的右侧（即x>h时），y随x的增大而减小. 己在本节课学习中的收获、困难和需要改进的地方.教师布置作业作业：1、必做题：P13练习题第1、2题2、选做题：P16、17基础反思与能力提升部分作业分层，适合不同程度的学生的要求，体现基础教育的全面性和因材施教的原则.七、板书设计二次函数的图像和性质（3）一、复习二、一起探究（1）活动1（2）活动2总结：y=a（x－h）2＋k（a≠0）的性质三、观察思考四、增减性一、例题。
26.1.3二次函数y=a(x-h)^2+k的图象与性质
上下平移规律
当c>0时,向上平移c个单位 当c<0时,向下平移 c 个单位
y=ax2
y ax c
2
左右平移规律
y=ax2
当h>0时,向右平移h个单位 当h<0时,向左平移 h 个单位
y=a(x-h)2
1 y ( x 1) 2 1 的图像.指出它的 例3.画出函数 2
开口方向、顶点与对称轴.
解:如图建立直角坐标系, 点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数是 y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) ∵这段抛物线经过点(3,0) ∴ 0=a(3－1)2＋3 解得: a=－ 3
4
y
3 A 2
1
B(1，3)
因此抛物线的解析式为:
3 y= －(x－1)2＋3 (0≤x≤3) 4
(3)顶点是(h,k).
1.完成下列表格: 二次函数 y=2(x+3)2+5 开口方向 向上 对称轴 顶点坐标
直线x=－3 (－3, 5 ) 直线x=1 ( 1 , －2 )
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
向下
向上 向下
直线x=3
直线x=2
( 3 , 7)
( 2 , －6 )
y=－5(2－x)2－6
1 y
再描点、连线 (1)抛物线
1 y ( x 1) 2 1 2
的开口方向、对称轴、顶点? 1 y ( x 1) 2 1 抛物线 2 的开口向下,
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1, －1).
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 y 1 ( x 1) 2 1
二次函数y=a(x-h)2+k图像与性质
5）.完成下列表格:
向上 直线x=－3 (－3, 5 )
y=－3(x－1)2－2 向下 直线x=1 ( 1 , －2 )
y = 4(x－3)2＋7 向上 直线x=3 ( 3 , 7)
y=－5(2－x)2－6 向下 直线x=2 ( 2 , －6 )
6）.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线 y=4x2怎样平移得到?
7）.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2
平移得到吗?
实用文档
课堂练习
1.抛物线y=0.5(x+2)2–3可以由抛物线y=0.5x2
先向左 平移2个单位，再向下平3移 个单位
得到。
–1
大
2.已知–s3= –(x+1)2–3，当x为 时，s取最
值为 。
3.顶点坐标为D(1,1)，且经过原点的抛物线的函数 解析式是( )
轴，顶点坐标，最值。
（-3,5） 直线x=-3 （3,7） 直线x=3
1) y=2(x+3)2+5 2) y=4(x-3)2+7
3) y=-3(x-1)2-2 5(（x+1，2)-22-）6直线x=1
4) y=-
（-2，-6）直线x=-2
练习2:对称轴是直线x=-2的抛物线是C ()
A y=-2x2-2
y=ax2向上(下)平 移|k|个单位
y=ax2+k向左(右)平 移|h|个单位
y=a(x－h)2+k
实用文档
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与 y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线 y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛 物线y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距离 要根据h、k的值来决定.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 经典课件(最新)
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复习引入
初中数学课件
1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值
和增减变化情况:
y
y
(1)y=ax2 (2)y=ax2+c
Ox
y
y
O
x
y
O xO x
Ox
y
Ox
(3)y=a(x-h)2
y
y
Ox O x
yy
Ox O
x
初中数学课件
2.请说出二次函数y=-2x2的开口方向、顶点坐标、 对称轴及最值？
初中数学课件
练一练
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?
由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.
2.如果一条抛物线的形状与 y 1 x2 2形状相同，且 3
顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.
y 1 (x 4)2 2 3
初中数学课件
解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. y
因此可设这段抛物线对应的函数是 3
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).
A 2
∵这段抛物线经过点(3,0)， 1
∴ 0=a(3－1)2＋3.
B(1，3)
解得:
a=－
3 4
O 12
因此抛物线的解析式为:
y=
－3 4
(x－1)2＋3
方法二： ∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点(1，－4)， 且平行于y轴的直线， ∴m＋n－1＝1－m，化简，得2m＋n＝2.
方法总结：已知函数图象上的点，则这点的坐标 必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式．
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y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
X=1
对称轴仍是平行于y轴的直 线(x=1);增减性与y=3x2类似.
顶点是(1,2).
二次函数y=3(x-1)2+2的
y 3x 2
图象和抛物线 y=3x²,y=3(x-1)2有什么关 系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.
y 3x 1 2
开口向下, 当x=-1时y有 最大值:且 最大值= 2 (或最大值= - 2).
对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.
y 3x 1 2
2
顶点分别是 (-1,2)和(-1,-2)..
对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.
y 3x 1 2
2
顶点分别是 (-1,2)和(-1,-2)..
y 3x 1
2
2
y 3x
x=1
2
二次函数y=-3(x+1)2+2 与y=-3(x+1)2-2的图象 可以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
22.1.3.3二次函数 2 y=a(x-h) +k的图象和性质
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。
k>0 上移
y=ax2
k<0 下移
y=ax2+k
h>0 右移
y=ax2
h<0 左移
y=a(x-h)2
1.如何同y=-x2的图象得到y=-x2-3的图象。并 说明后者图象的顶点，对称轴，增减性。 2.如何y=2x2的图象得到y=2(x-3)2的图象。并说 明后者图象的顶点，对称轴，增减性。
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
二次函数y=3(x-1)2+2的
y 3x 2
图象和抛物线 y=3x²,y=3(x-1)2有什么关 系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
X=1
对称轴仍是平行于y轴的直 线(x=1);增减性与y=3x2类似.
二次函数y=3(x-1)2+2的
y 3x 2
图象和抛物线 y=3x²,y=3(x-1)2有什么关 系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.
二次函数y=3(x-1)2-2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 下平移2个单位后得到的.
y 3x 2
y 3x 1
2
y 3x 1 2
2
顶点是(1,-2).
X=1 对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y=3x2类似. 开口向上, 当x=1时y有 最小值:且 最小值= -2.
对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.
y=3x2 y=3x2
向右
向右
y=3(x-1)2 y=3(x-1)2
向上
向下
y=3(x-1)2+2 y=3(x-1)2-2
向右 2 y=-3x
向右 2 y=-3x 向左 2 y=-3x 向左 2 y=-3x
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
2
y 3x
x=1
2
二次函数y=-3(x+1)2+2 与y=-3(x+1)2-2的图象 可以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
y 3x 1 2
2
探讨2、二次函数y=3(x1)2-2的图象与抛物线 y=3x2和y=3(x-1)2有何关 系?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3(x-1)2-2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 下平移2个单位后得到的.
y 3x 2
y 3x 1
y 3x 1
2
2
y 3x
x=1
2
二次函数y=-3(x+1)2+2 与y=-3(x+1)2-2的图象 可以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
y 3x 1 2
开口向下, 当x=-1时y有 最大值:且 最大值= 2 (或最大值= - 2).
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
X=1
对称轴仍是平行于y轴的直 线(x=1);增减性与y=3x2类似.
开口向上,当 X=1时有最小 值:且最小值=2.
顶点是(1,2).
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
y=3x2
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
y 3( x 1) 2
数y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x²和 y=-3(x-1)2的图象
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和 y=-3x²,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们是 轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐 标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的 增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增 大而减小?
?
(2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值 随x值的增大而增大?x取哪些值时,函 数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
我思考，我进步
y=3(x-1)2 +2
把二次函数y=3(x-1)2 加上+2所得 函数y=3(x-1)2+2的图象是怎样的呢？
?
我思考，我进步
探讨1、 二次函数y=3x²,y=3(x1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系? 它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分 别是什么?作图看一看．
y 3x 1 2
对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.
y 3x 1 2
2
顶点分别是 (-1,2)和(-1,-2)..
y 3x 1
2
2
y 3x
x=1
2
二次函数y=-3(x+1)2+2 与y=-3(x+1)2-2的图象 可以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
y=3(x-1)2
向上
y=3(x-1)2+2
二次函数y=3(x-1)2+2的
y 3x 2
图象和抛物线 y=3x²,y=3(x-1)2有什么关 系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.
二次函数y=-3(x-1)2+2与 y=-3(x-1)2-2的图象和抛物 线y=-3x²,y=-3(x-1)2有什 么关系? 它的开口方向,对 称轴和顶点坐标分别是什 么? 2
二次函数y=-3(x-1) +2与 y=-3(x-1)2-2的图象可 以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向右平移1个 单位,再沿直线x=1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
向右 2 y=-3x
向右 2 y=-3x
y=-3(x-1)2
y=-3(x-1)2
向上
向下
y=-3(x-1)2+2
y=-3(x-1)2-2
我思考，我进步
探讨4、二次函数y=-3(x+1)2+2 与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=3x²,y=-3(x+1)2有什么关系? 它的开 口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?
y
y 3x 1 2
2
y 3x 2
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
X=1 对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y= -3x2类似.
二次函数y=-3(x-1)2+2与 y=-3(x-1)2-2的图象和抛物 线y=-3x²,y=-3(x-1)2有什 么关系? 它的开口方向,对 称轴和顶点坐标分别是什 么? 2
二次函数y=-3(x-1) +2与 y=-3(x-1)2+2的图象可 以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向右平移1个 单位,再沿直线x=1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.