南京大学数学系课件 1.9 积分的应用

积分学培训课件

积分的形式，进而进行求解。
积分在物理学中的应用
质心和重心计算
通过质点和连续分布物体的密度函数进行定积分，可以求得物体的质心和重心位置。这些量对于物体的平衡和稳定性分析具有重要意义。
力学中的功和能量
在力学中，通过力函数与位移函数的定积分可以计算力所做的功。而能量相关的概念如动能、势能等也与积分密切相关。
详细展示微积分基本定理的证明过程，帮助学生深入理解定理的本质。
应用举例
通过丰富的实例，展示微积分基本定理在求解定积分、解决实际问题等方面的应用。
03
积分的计算与应用
积分的计算方法
01
黎曼积分
通过将被积函数在积分区间内分割成无数个小区间，再对每个小区间进
行近似计算，最后求和得到的结果。适用于连续或分段连续的函数。
积分学在物理学中有着广泛应用，如求解质心、转动惯量等物理量，以及描述电磁场、引力场等自然现象。
02
积分的基本概念与性质
原函数与不定积分
01
02
03
定义
介绍原函数的概念，以及其与不定积分之间的关系。
性质
探讨原函数的性质，如连续性、可导性等，并分析这些性质对不定积分的影响。
求解方法
详细阐述求解原函数与不定积分的方法和步骤，包括直接积分法、换元积分法、分部积分法等。
积分在几何学中的应用
面积计算
通过定积分可以计算平面曲线围成的面积。对于曲线与x轴围成的面积，可以通过对y=f(x)在相
应区间进行定积分求得。
体积计算
利用定积分可以计算三维空间中曲面与平面所围成的体积。通过对面积微元进行积分，可以得到
体积的数值结果。
长度计算

定积分的应用课件

液体静压力计算步骤
详细阐述液体静压力计算的步骤，包括确定计算区域、选择坐标系、列出被积函数等。
其他物理问题中定积分应用
引力计算
通过定积分求解质点系或连续体之间的引力问题。
波动问题
将波动问题转化为定积分问题，进而求解波动过程中的各种物理量。
01
02
电场强度计算
利用定积分求解电荷分布连续体所产生的电场强度。
消费者剩余和生产者剩余计算
消费者剩余计算
消费者剩余是消费者愿意支付的价格与实际支付价格之间的差额。在需求曲线和价格线之间的面积表示消费者剩余，可以通过定积分计算。
生产者剩余计算
生产者剩余是生产者实际得到的价格与愿意接受的最低价格之间的差额。在供给曲线和价格线之间的面积表示生产者剩余，同样可以通过定积分计算。
01
通过定积分求解绕x轴或y轴旋转一周所得旋转体的体积。
平行截面面积为已知的立体体积计算
02
利用定积分将立体划分为无数个平行截面，通过截面面积和高
度求解体积。
参数方程表示立体体积计算
03
将参数方程转化为普通函数形式，再利用定积分求解体积。
曲线弧长求解方法
1 2
直角坐标下曲线弧长计算
通过定积分求解曲线在直角坐标系下的弧长。
参数方程表示曲线弧长计算
将参数方程转化为普通函数形式，再利用定积分求解弧长。
3
极坐标下曲线弧长计算
通过定积分求解曲线在极坐标系下的弧长。
03
定积分在物理学中应用
变力做功问题求解方法
微元法求解变力做功
通过将变力做功的过程划分为无数个微小的元过程，每个元过程中力可视为恒力，从而利用定积分求解变力做功。

高等数学(第三版)课件：定积分的应用

线 y f ( x，) 直线 x a, x b (a b) 与
• x 轴围成的面积是在x 轴上方和下方曲边梯形
面积的差.
• • 同样可由微元法分析
•⒉ 一般地，根据微元法由曲线 y f ( x), y g( x),
• ( f ( x) g( x)) 及直线x a, x b 所围的图形
• 面积.（右图所示）
• 解: 取为积分变量,
•
面积微元为
d
A
1 2
(a )2
d
• 于是
A 2 1 (a )2d a 2 2
02
23
2 4 a 2 3
03
• 例5 计算双纽线 r 2 a2 cos2 (a 0)
•
所围成的平面图形的面积（下图所示）
• 解因 r 2 0,故的变化范围是 [ 3 , 5 ,]
• ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A )
分为部分量(小曲边梯形面积 Ai）之和;
• ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);
Ai f (i )xi
• ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);
n
A f (i )xi
i 1
• ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.
n
A lim 0
• 它表示高为f ( x) 、底为 dx 的一个矩形面积.
• ⑵由定积分几何意义可知,当 f (x) 0 时,由曲
线 y f (x)，直线 x a, x b (a b) 与 x 轴所围成
的曲边梯形的面积A为
A
b
f (x)dx
.
a
• ⑶当 f ( x)在区间 [a, b]上的值有正有负时，则曲
•

定积分的应用通用课件

计算需求弹性
总结词
定积分在计算需求弹性方面具有重要应用，帮助企业了解市场需求并制定相应的营销策略。
详细描述
需求弹性是衡量市场需求对价格变动敏感度的指标，对于企业的定价和营销策略具有指导意义。通过定积分，可以将需求函数转化为弹性函数，从而帮助企业了解市场需求并
制定相应的营销策略。
预测市场趋势和销售量
详细描述
分部积分法的关键是选择合适的函数对，使得其中一个函数的导数容易计算，而另一个函数的原函数容易找到。通过分部积分法，可以将复杂的定积分转化为简单的定积分，从而简化计算过程。
03
定积分在几何学中的应用
计算平面图形的面积
01 矩形面积
对于任意长度a和宽度b的矩形，其面积A=a×b。
02 圆形面积
06
定积分在其他领域的应用
在信号处理中的应用
信号的强度变化
定积分可以用来计算信号的强度变化，例如声音信号的振幅变化
。
信号的平滑处理
通过定积分，可以对信号进行平滑处理，消除噪声和干扰，提高信号质量。
信号的滤波
定积分可以用于信号的滤波，例如低通滤波器和高通滤波器的设计。
在控制系统中的应用
控制系统的稳定性分析
定积分的应用通用课件
目录
• 定积分的概念与性质 • 定积分的基本计算方法 • 定积分在几何学中的应用 • 定积分在物理学中的应用 • 定积分在经济学中的应用 • 定积分在其他领域的应用
01
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的极限。定积分常用于计算平面图形的面积、体积、平面曲线的长度等。
控制系统的误差分析
定积分可以用来分析控制系统的稳定性，例如判断系统的收敛性和稳定性。

大学高等数学ppt课件第四章1积分的应用

计算阻抗和导纳
计算阻抗
阻抗是电路中阻碍电流流动的因素，由电阻、电感、电容等组成。通过积分，我们可以计算出阻抗的大小，从而分析电路的性能。
计算导纳
导纳是电路中与阻抗相对应的另一个重要参数，表示电路对电流的响应能力。通过积分，我们可以计算出导纳的大小，进一步分析
电路的响应特性。
计算功率和能量
计算曲线的弧长
对于一般的平面曲线，其弧长可以通过格林公式计算，即∫Pdx+Qdy，其中P、Q为曲线上的参数函数。
03
积分在物理学中的应用
计算质量
总结词
积分在物理学中常用于计算质量，通过计算体积对质量的密度分布进行积分，可以得到物体的总质量。
详细描述
在物理学中，质量是物体所含物质的量，通常用 m 表示。物体的质量可以通过对质量的密度分布进行积分来计算。假设物体的体积为 V，质量的密度分布为 ρ(x, y, z)，则物体的总质量 M 可以表示为 M = ∫ρ(x, y, z)dV。
计算长度
不定积分可以用来计算平面曲线的长度，例如圆弧、椭圆弧等。
积分在经济学中的应用
计算总收益
在经济学中，总收益是指企业在一定时期内通过销售产品或提供服务所获得的总收入，可以通过积分来计算。
计算总成本
总成本是指企业在生产过程中所花费的所有成本，包括固定成本和变动成本，也可以通过积分来计算。
计算速度和加速度
总结词
通过积分计算速度和加速度是物理学中常见的应用，速度是位移对时间的积分，加速度是速度对时间的积分。
详细描述
在物理学中，速度是描述物体位置变化快慢的物理量，通常用 v 表示。速度可以通过对位移函数 s(t) 进行时间 t 的积分得到，即 v = ∫ds/dt。加速度是描述物体速度变化快慢的物理量，通常用 a 表示。加速度可以通过对速度函数 v(t) 进行时间 t 的积分得到，即 a = ∫dv/dt。

《数学定积分的应用》课件

线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的积分，可以分别对每个函数进行积分后再求和或求差。
区间可加性
定积分具有区间可加性，即对于任意两个不重叠的区间[a, b]和[b, c]，有 ∫(a,c)f(x)dx=∫(a,b)f(x)dx+∫(b,c)f(x)dx。
积分中值定理
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么至少存在一个点ξ∈[a, b]，使得∫(a,b)f(x)dx=f(ξ)(b-a)。
电路中的电流和电压
要点一
总结词
定积分在电路分析中用于计算电流和电压，通过求解电路中的微分方程，可以得到电流和电压的分布。
要点二
详细描述
在电路分析中，电流和电压的变化规律通常由微分方程描述。通过应用定积分，可以将电路中的电压和电流表示为时间的函数。然后通过求解这个微分方程，可以得到电流和电压在整个电路中的分布情况。
详细描述
对于曲线形构件，其质量可以通过定积分计算。首先，确定构件的材料密度分布，然后对密度函数在构件的体积上进行积分，得到构件的总质量。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度
详细描述
在引力场中，物体受到的引力大小与物体质量成正比，与物体之间的距离的平方成反比。通过定积分计算在某一空间区域内的引力场强度，即在该区域内所有物体产生的引力对该点的合力。具体地，将引力函数在空间区域上进行积分，得到该区域内的引力场强度。
dx进行计算。
功和压力
总结词
定积分可以用于计算变力做功和压力。
详细描述
对于一个质点在力F(x)=f(x)*dx的作用下沿直线运动，力F所做的功可以通过计算定积分得出，公式为 ∫(b a) f(x) dx。

高等数学-定积分及其应用ppt课件.ppt

一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则性质4 定积分的区间可加性若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?

《定积分及其应用》课件

在经济学中，供需关系决定了市场的价格。供需曲线的面积表示市场上供应和需求的关系。通过计算这个面积，我们可以了解市场的均衡点，也就是市场上的价格。同时，通过观察供需曲线面积的变化，我们可以了解市场的价格变动趋势。
感谢您的观看
THANKS
在曲线上的积分。
曲线的转动惯量
总结词
通过定积分计算曲线的转动惯量
详细描述
转动惯量是描述物体转动难易程度的物理量。对于一个均匀细长的物体，其转动惯量可以通过定积分来计算。转动惯量等于质量分布相对于某一轴的转动惯量，等于质量密度函数在物体质量分布上的积分。
05
定积分的经济应用
收益流的现值
总结词
收益流的现值是定积分在经济中的一个重要应用，它可以帮助我们计算未来的现金流在当前的价值。
详细描述
在金融和经济学中，我们经常需要考虑未来的收益流，也就是未来的现金流。由于货币的时间价值，我们需要将未来的现金流折现到现在的价值。定积分可以用来计算这种折现的值。
投资决策问题
总结词
投资决策问题涉及到如何分配有限的资源以获得最大的回报。定积分可以用来解决这类问题。
定积分的几何意义
总结词
定积分的值等于函数图像与x轴所夹的面积。
详细描述
定积分的值可以通过几何意义来解释，即定积分的值等于函数图像与x轴所夹的面积。这个面积可以是正的、负的或零，取决于函数图像在给定区间上的上下位置。
定积分的性质
总结词
定积分具有线性性质、可加性、可减性和区间可加性等性质。
详细描述
体积的计算
总结词
定积分在计算三维空间中物体体积的问题中起到关键作用，特别是对于旋转体和薄片绕旋转轴旋转形成的体积。
VS

南大复变函数与积分变换课件(PPT版)1.1 复数

z2
5
5
14
§1.1 复数第一章复数与复变函数
P4 例1.1
证明 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2 2 Re ( z1 z2 ) .
15
§1.1 复数第一章复数与复变函数
轻松一下吧 ……
16
第附：历史知识 —— 虚数史话一章 1545 年，卡尔丹第一个认真地讨论了虚数，他在《大术》复数与复变函数中求解这样的问题：两数的和是 10 , 积是 40 , 求这两数．卡尔丹发现只要把 10 分成 5 15 和 5 15 即可。
卡尔丹称它们为“虚构的量”或“诡辩的量”。他还把它们与负数统称为“虚伪数”；把正数称为“证实数”。卡尔丹的这种处理，遭到了当时的代数学权威韦达和他的学生哈里奥特的责难。
发展。为复变函数理论的创建做了早期工作的是欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯等。为这门学科的发展作了大量奠基工作的
则是柯西、黎曼和维尔斯特拉斯等。复变函数理论中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展。
(虚数史话)
5
第一章复数与复变函数
第一章复数与复变函数
§1.1 复数 §1.2 复数的几种表示 §1.3 平面点集的一般概念 §1.4 无穷大与复球面 §1.5 复变函数
13
§1.1 复数第一章复解 (1) ( 3 4 i ) ( 3 4 i ) z2 3 4i 数与 7 1 35 5 i 复 i. 变 5 5 25 函数 z1 z1 7 1 i . (2)
z2 z1 5 5i ( 5 5 i ) ( 3 4 i )

数学分析(一)：一元微积分南京大学 6 第六章积分的推广和应用 (6.9.1) 曲面的面积

一元微积分与数学分析—曲面的面积梅加强南京大学数学系设f∈C0[a,b],如果f>0,则由y=f(x),x=a,x=b(a<b)与y=0围成的曲边梯形的面积就是f在[a,b]中的积分.当f变号时,积分称为代数面积(面积的代数和),而|f|的积分才是几何面积.设f∈C0[a,b],如果f>0,则由y=f(x),x=a,x=b(a<b)与y=0围成的曲边梯形的面积就是f在[a,b]中的积分.当f变号时,积分称为代数面积(面积的代数和),而|f|的积分才是几何面积.一般地,由y=f2(x),y=f1(x)以及x=a,x=b围成的图形的面积为bS=|f2(x)−f1(x)|d x.(1)a设f ∈C 0[a ,b ],如果f >0,则由y =f (x ),x =a ,x =b (a <b )与y =0围成的曲边梯形的面积就是f 在[a ,b ]中的积分.当f 变号时,积分称为代数面积(面积的代数和),而|f |的积分才是几何面积. 一般地,由y =f 2(x ),y =f 1(x )以及x =a ,x =b 围成的图形的面积为S = b a|f 2(x )−f 1(x )|d x .(1)aby =|f (x )|O xyab y =f 1(x )y =f 2(x )Oxy例1求平面上以a,b为轴长的椭圆的面积.例1求平面上以a,b为轴长的椭圆的面积.解.以a,b为轴长的椭圆满足方程(x−x0)2/a2+(y−y0)2/b2=1.根据对称性,椭圆所围区域的面积S满足S=4a0b1−(x−x0)2a2d x.作变量替换x=x0+a cosθ,θ∈[0,π/2]可得S=4b π21−sin2θa cosθdθ=4abπ2cos2θdθ=πab.当a=b时就回到了圆的面积公式.设σ为平面曲线,由极坐标方程r=r(θ),θ∈[α,β]给出,其中r(θ)关于θ连续,β−α≤2π.设σ为平面曲线,由极坐标方程r=r(θ),θ∈[α,β]给出,其中r(θ)关于θ连续,β−α≤2π.由σ,θ=α,θ=β所围成的图形面积为S=12βαr2(θ)dθ.(2)设σ为平面曲线,由极坐标方程r=r(θ),θ∈[α,β]给出,其中r(θ)关于θ连续,β−α≤2π.由σ,θ=α,θ=β所围成的图形面积为S=12βαr2(θ)dθ.(2)这个公式可以用微元法推导如下:图形在[θ,θ+dθ]中的部分可以近似地看成扇形,其面积dS为dS=12r2(θ)dθ,积分即得面积公式.例子例2求平面上双纽线(x2+y2)2=a2(x2−y2)所围成的面积.yr2=a2cos2θaO x例子例2求平面上双纽线(x2+y2)2=a2(x2−y2)所围成的面积.解.用极坐标x=r cosθ,y=r sinθ代入方程,得r2=a2cos2θ,其中θ∈[−π/4,π/4]∪[−3π/4,3π/4].由图形的对称性,有S=4·12π4r2(θ)dθ=2a2π4cos2θdθ=a2.r2=a2cos2θaO xy设σ=(x(t),y(t))为平面曲线,其中y(t)≥0,t∈[α,β].σ绕x轴旋转所得曲面的面积为S=βα2πy(t)(x (t))2+(y (t))212d t.σ(t)xy O设σ=(x (t ),y (t ))为平面曲线,其中y (t )≥0,t ∈[α,β].σ绕x 轴旋转所得曲面的面积为S = βα2πy (t ) (x (t ))2+(y (t ))2 12d t .它可用微元法推导如下:σ在[t ,t +dt ]中的部分绕x 轴旋转所得曲面可以近似地看成圆台,其面积dS =2πy (t )ds ,代入线元ds 的表达式即得面积公式.σ(t )xyO例3求将(x−b)2+y2=a2(0<a<b)绕y轴旋转所得曲面的面积.例3求将(x−b)2+y2=a2(0<a<b)绕y轴旋转所得曲面的面积.解.曲线的参数方程为x(t)=b+a cos t,y(t)=a sin t,t∈[0,2π].故旋转曲面(轮胎面)面积为2πS=2π(b+a cos t)[a2sin2t+a2cos2t]12dt2π(b+a cos t)d t=4π2ab.=2πa。

定积分及其应用(高数) PPT课件

定理2 设 u( x),v( x)在区间[a,b]上有连续的导数,
则
aabbuuddvvu[uvvba]ba
bb
vvdduu
aa
定积分的分部积分公式
由不定积分的分部积分法及N--L公式.
类似于不定积分的分部积分法：“反、对、幂、指、三”
（3）重要公式
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质三角函数的定积分公式周期函数的定积分公式
方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积取负号.
A1 A2
A3 A4
b
a f ( x)dx
A1 A2
A3
A4
2.定积分的性质
性质1
b
a [
f
(
x)
g(
x)]dx
b
a
f
(
x)dx
b
a g(
x)dx
性质2
b
a kf
(
x)dx
k
b
a
f
(
x)dx
( k 为常数)
性质3 （区间可加性）
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
区间上的定积分都相等.
例1 设
f
(
x)
2 5
x
0
x
1
,
求
1 x2
2
0
f
( x)dx.
解
2
0
f
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
1
2xdx
2
5dx
6.
0
1
例2 求

数学分析(一)：一元微积分南京大学 6 第六章积分的推广和应用 (6.5.1) 积分的推广

1 dx √
1
= arcsin x = π.
1−x 2
−1 1 − x 2
−1
例4
设 p ∈ R, 讨论积分
1 0
dx xp
的敛散性.
解. 当 0 < a < 1 时,
1 dx a xp =
是收敛的.
− ln a,
1 1−p
(1
−
a1−p
),
p = 1, 因此只有 p < 1 时积分才 p = 1.
α→+∞
(Cauchy 准则) f 在 [a, ∞) 中的无穷积分收敛 ⇐⇒ 任给 ε > 0, 存在 M = M(ε),
β
使得当 β > α > M 时, f (x) dx < ε.
α
判别无穷积分收敛的基本方法
如果连续函数 f 在 [a, ∞) 中存在原函数 F , 则由微积分基本公式,
α
lim f (x) dx = lim F (α) − F (a),
−1 1 − x 2
解. √ 1
的原函数为 arcsin x, 因此
1 dx √
1
= arcsin x = π.
1−x 2
−1 1 − x 2
−1
例4
设 p ∈ R, 讨论积分
1 0
dx xp
的敛散性.
瑕积分的简单例子
例3 计算积分 1 √ dx .
−1 1 − x 2
解. √ 1
的原函数为 arcsin x, 因此
α→+∞ a
α→+∞
即积分是否收敛与极限 lim F (α) 是否存在是一致的.
α→+∞

第十七章积分的应用

17-8 )
利用微元法,取极角为积分变量,变化区间为, ,在任
意子区, +d 上,曲边扇形面积的部分量可用处的极径r
( )为半径,以d为圆心角的扇形来近似代替,即面积的微元
为dA

1 2
r(
)2
d
,
在
,

上积分,
得曲边扇形面积为
A

1 2
r(
)2
代替,那么(2)中的近似形式f (i )xi可表示为f (x)dx,它和(4)中
b
的定积分 f (x)dx被积表达式相同,从而可以把上述四步简化 a
为两步.
y
(1)选取积分变量x a,b,在
y f (x)
a,b上任取一代表性区间x, x dx
如图17 1所示,区间x, x dx上的小
a
ax
h
x
b 图17-12 例6示意图
图17-13 例7示意图
例7 求底圆半径为r,高为h的圆锥体的体积.
解以圆锥全的轴线为x轴,顶点为原点(见图17 13).过点O及点
P(h, r)的直线方程为
y

r h
x
此圆锥体可看作由直线y

r h
x,
x

0,
x

h及x轴所围成的直角
三角形绕x轴旋转围成的.由旋转体体积的计算公式,得所求圆锥
1 2
cos
2

d

1 a2 2

3 2

2sin

1 4
sin
2

0

3 a2
4
故所求的面积A

微积分课件(导数的应用-南京大学)1368437页PPT

f (x) 0的地方 f (， x)凹； f (x)0的地方 f (， x)凸。
曲线上凹凸的分界点叫做曲线的拐点。
精品课程
序言第1章函数第2章导数第3章定积分第4章求导方法第5章导数应用第6章求积分方法第7章定积分应用第8章微分方程
注意: 极值是局部概念---局部最大或最小；一个函数在一个区间内只可能有一个最大值、一个最小值，但可能有多个极大值和极小值。
5-2 一阶导数的应用
精品课程
序言
第1章函数第2章导数
如何求函数的极值？
第3章定积分
第4章求导方法
如下图所示：第5章导数应用
第6章求积分方法
5-1 理论基础:中值定理
例2 试证当 x[a,b] 有 y 0 则y＝f(x)在[a，b]是增函数。
证任 [x1,x2][a,b] ，由于 y 在[a，b]存在；
说明可用中值定理有 f( x 2 ) f( x 1 ) f( x 0 )x 2 ( x 1 )
其中 x1 x0 x2 由已知 f (x0)0 ， x2 x1 0
5-2 一阶导数的应用
函数单调性的判定设函数y=f(x)在[a,b]连续，（a,b）可导，那么
y 0，f (x)在(a,b)内单调递增； y 0，f (x)在(a,b)内单调递减。
例3 判别函数 y ex 的单调性
解因为y ex 0,x(,)
所以y ex在（，）内单调递减。
进而确定极值点。
④将极值点代入f(x)算出极值。
精品课程
序言第1章函数第2章导数第3章定积分第4章求导方法第5章导数应用第6章求积分方法第7章定积分应用第8章微分方程

数学系微积分讲义稿(南京大学梅加强)

第十六章
含参变量的积分
本章仍然讨论积分, 其中被积函数含有额外的参数, 我们要研究积分是如何依赖于参数的. 这种积分的基本性质和无穷级数的性质十分类似, 它们也提供了构造新函数的重要工具, 我们还将利用它们进一步研究 Fourier 积分.
§16.1
含参变量的积分
设 f px, y q 是定义在矩形 ra, bs ˆ rc, ds 上的函数, 且对于每个固定的 y P rc, ds, 关于 x 的函数 f px, y q 在 ra, bs 上 Riemann 可积, 则定义
apy q apy0 q
ż apy0 q “
apy q
ż bpyq f px, y qdx `
bpy0 q
ż bpy0 q f px, y qdx `
apy0 q
rf px, y q ´ f px, y0 qsdx.
因为 f 连续, 故存在 M ą 0, 使得 |f px, y q| ď M . 由上式和已知条件得
I pbq “
0 1
ż1
xb dx “
1 , b`1
这说明
I pbq “ lnp1 ` bq ` C.
又因为 I paq “ 0, 故 C “ ´ lnp1 ` aq, 从而
I “ ln 1`b . 1`a
这个积分也可以通过重积分化累次积分来计算.
§16.1 含参变量的积分
177
例 16.1.3. 设 |λ| ă 1, 计算积分 żπ I“ lnp1 ` λ cos xqdx.
A A
则称含参变量的广义积分
ż8
a
f px, y qdx 关于 y P rc, ds 一致收敛.
定义中的区间 rc, ds 也可以换成其它类型的区间. 对于带有瑕点的无界函数, 也有类似的一致收敛的概念. 例如, 设对于每一个 y P rc, ds, 以 b 为瑕点的瑕积分 żb f px, y qdx 存在, 如果任给 ε ą 0, 存在 δ0 “ δ0 pεq ą 0, 当 0 ă η, η 1 ă δ0 时, 对