「精品」中考数学第一部分考点研究复习第一章数与式第5课时二次根式练习含解析
中考数学总复习《二次根式》练习题附带答案
中考数学总复习《二次根式》练习题附带答案一、单选题1．√123÷√213×√125值为（）A．1B．3C．√33D．√7 2．若√(a−b)2=b﹣a，则（）A．a＞b B．a＜b C．a≥b D．a≤b 3．与√a3b不是同类次根式的是（）A．1√abB．√baC．√ab2D．√ba34．下列运算正确的是（）A．√3+3=3√3B．4√2−√2=4C．√2+√3=√5D．3√3−√3=2√35．若代数式1x−1+√x有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠1B．x≥0C．x≠0D．x≥0且x≠1 6．a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简√(b−a)2的结果是（）A．a-b B．a+b C．b-a D．-a-b7．设实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简√a2+|a+b|的结果是（）A．-2a+b B．2a+b C．-b D．b8．若√3−m为二次根式，则m的取值为（）A．m≤3B．m＜3C．m≥3D．m＞39．下列运算正确的是（）A．(x−y)2=x2−y2B．|√3−2|=2−√3C．√8−√3=√5D．﹣（﹣a+1）=a+110．已知2<a<4，则化简√1−2a+a2+√a2−8a+16的结果是() A．2a﹣5B．5﹣2a C．﹣3D．311．下列运算中正确的是（）A．√2+√3=√5B．(−√5)2=5C．3√2−2√2=1D．√16=±4 12．下列计算正确的是（）A．(m−n)2=m2−n2B．(2ab3)2=2a2b6C．√8a3=2a√a D．2xy+3xy=5xy 二、填空题13．计算：√45﹣√25× √50=．14．若√12x是一个整数，则x可取的最小正整数是3．（判断对错）15．计算：√24−√12√3=．16．如果x2﹣3x+1=0，则√x2+1x2−2的值是．17．化简：√75=.18．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式√a2−|a+c|+√(b−c)2−|−b|三、综合题19．完成下列问题：（1）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，求m+n的值；（2）已知x，y为实数，且y= √2x−5+√5−2x﹣3，求2xy的值．20．阅读材料，解答问题：（1）计算下列各式：①√4×9=，√4×√9=；②√16×25=，√16×√25=．通过计算，我们可以发现√a×b=（a>0，b>0）从上面的结果可以得到：√8=√2×√4=2√2，√12=√3×√4=2√3（2）根据上面的运算，完成下列问题①化简：√24②计算：√27+√48③化简：√a2b（a>0，b>0）21．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知a=12+√3，求2a2−8a+1的值.他是这样解答的：∵a=2+√3=√3(2+√3)(2−√3)=2−√3，∴a−2=−√3∴(a−2)2=3，a2−4a+4=3∴a2−4a=−1∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1.请你根据小明的解析过程，解决如下问题：（1）1√3+√2=；（2）化简 √2+1+√3+√2√4+√3⋯+√256+√255 ； （3）若 a =√10−3，求 a 4−6a 3+a 2−12a +3 的值. 22．已知 x =√3+12 ， y =√3−12与 m =xy 和 n =x 2−y 2 . （1）求m ，n 的值；（2）若 √a −√b =m +72， √ab =n 2 求 √a +√b 的值. 23．计算： （1）√135•2 √3 •（﹣ 12 √10 ）； （2）√3a 2b •（ √b a ÷2 √1b）． 24．计算下列各题 （1）计算：（ 12 ）﹣2﹣6sin30°﹣（ √7−√5）0+ √2 +| √2 ﹣ √3 | （2）化简：（ x+2x 2−2x ﹣ x−1x 2−4x+4 ）÷ x−4x ，然后请自选一个你喜欢的x 值，再求原式的值．参考答案1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】D5．【答案】D6．【答案】A7．【答案】D8．【答案】A9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】B12．【答案】D13．【答案】√514．【答案】对15．【答案】2√2−216．【答案】√517．【答案】5√318．【答案】019．【答案】（1）将x=n 代入方程x 2+mx+2n=0得n 2+mn+2n=0,则n(n+m+2)=0 因为n≠0,所以n+m+2=0即m+n=-2.（2）因为y=√2x −5+√5−2x -3有意义，则{2x −5≥05−2x ⩾0解得{x ⩾52x ≤52则x=52 所以y=0+0-3=-3即2xy=2×52×（-3）=-15. 20．【答案】（1）6；6；20；20；√a ×√b（2）解：①√24=√4×6=√4×√6=2√6；②√27+√48=√3×9+√3×16=√3×√9+√3×√16=3√3+4√3=7√3 ；③√a 2b =√a 2⋅√b =a √b （a >0，b >0）．21．【答案】（1）√3−√2（2）解：原式 =√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√256−√255=−1+√2−√2+√3−√3+√4−⋯−√255+√256=√256−1=16−1=15 ；（3）解： ∵ a =√10−3 =√10+3 ∴a −3=√10∴(a −3)2=10即 a 2−6a +9=10 .∴a 2−6a =1 .∴a 4−6a 3=a 2∴a 4−6a 3+a 2−12a +3=2a 2−12a +3=2(a 2−6a)+3=2+3=5 .22．【答案】（1）解：由题意得， m =xy =√3+12×√3−12=12 n =(x +y)(x −y)=(√3+12+√3−12)(√3+12−√3−12)=√3 （2）解：由（1）得， √a −√b =4 √ab =3 ∴(√a +√b)2=(√a −√b)2+4√ab =42+4×3=28∵√a +√b >0∴√a +√b =2√723．【答案】（1）解： √135 •2 √3 •（﹣ 12 √10 ） =2×（﹣ 12 ） √135×3×10 =﹣ √16×3=﹣4 √3（2）解： √3a 2b •（ √b a ÷2 √1b）= √3a2b × √ba× 12× √b= √3424．【答案】（1）解：原式=4﹣6× 12﹣1+ √2+ √3﹣√2 = √3；（2）解：原式=[x+2x(x−2)﹣x−1(x−2)2]•xx−4= (x+2)(x−2)−x(x−1)x(x−2)2•xx−4=x−4x(x−2)2•xx−4=1 (x−2)2当x=10时，原式= 1 64．。
中考数学一轮复习二次根式知识点及练习题附解析
中考数学一轮复习二次根式知识点及练习题附解析一、选择题 1．已知21025x x -+＝5﹣x ，则x 的取值范围是（ ） A ．为任意实数 B ．0≤x≤5 C ．x≥5 D ．x≤52．下列计算正确的为（ ）．A ．2(5)5-=-B ．257+=C ．64322+=+D ．3622= 3．下列根式中，最简二次根式是（ ）A ．13B ．0.3C ．3D ．84．下列计算正确的是（ ）A ．93=±B ．8220-=C ．532-=D ．2(5)5-=-5．下列各式是二次根式的是（ ）A ．3B ．1-C ．35D ．4π- 6．已知，那么满足上述条件的整数的个数是（ ）. A ．4 B ．5 C ．6 D ．77．已知a 满足2018a -2019a -a ，则a －2 0182＝( )A ．0B ．1C ．2 018D ．2 019 8．下列计算正确的是（ ） A 235=B 623=C 23(3)86-=-D 321= 9．下列计算正确的是（ ）A 1233=B 235=C ．43331=D ．32252+= 10．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A 23aB 13C 2.5D 22a b -11．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）A 6B 18C 27D 1212．已知，5x y +=-，3xy =则y x x y x y的结果是（ ）A ．23B ．23-C ．32D ．32-二、填空题13．已知2216422x x ---=，则22164x x -+-=________．14．若实数x ，y ，m 满足等式()23532322x y m x y m x y x y +--++-=+----，则m+4的算术平方根为 ________．15．将1、2、3、6按右侧方式排列.若规定(m ，n )表示第m 排从左向右第n 个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______.16．计算：652015·652016＝________． 17．已知2，n=1222m n mn +-的值________．18．已知x 51-，y 51+，则x 2＋xy ＋y 2的值为______． 19．2m 1-1343m --mn ＝________． 20．下列各式：2521+n 2b 0.1y 是最简二次根式的是:_____（填序号） 三、解答题21．已知m ，n 满足m 4mn 2m 4n 4n=3+m 2n 2m 2n 2018+-++. 【答案】12015 【解析】【分析】由42m 443m mn n n +=m n 2﹣2m n ）﹣3＝0，将m n 2m n m n ，代入计算即可．【详解】解：∵4m n +＝3，)22﹣2）﹣3＝0，）2﹣23＝0，+13）＝0，＝﹣13， ∴原式＝3-23+2012＝12015． 【点睛】 本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的运用及二次根式性质．22．先化简，再求值：(()69x x x x --+，其中1x =.【答案】化简得6x+6，代入得【分析】根据整式的运算公式进行化简即可求解.【详解】(()69x x x x +--+=22369x x x --++=6x+6把1x =代入原式=61）【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键熟知整式的运算法则.23．计算（1（2）(()21-【答案】（1）2；（2）24+ 【分析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再进行合并即可得到答案；（2）原式运用平方差公式和完全平方公式把括号展开后，再合并同类二次根式即可得到答案．【详解】解：（1=+2=(-+2=2-（2）(()21---=22(181)=452181--+=24+．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键．24．(1)已知a2+b2=6，ab=1，求a﹣b的值；b=，求a2+b2的值．(2)已知【答案】（1）±2；（2）2．【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；（2）先分母有理化，再根据完全平方公式和平方差公式即可求解．【详解】（1）由a2+b2=6，ab=1，得a2+b2-2ab=4，（a-b）2=4，a-b=±2．a===（2）1b===，2222a b a b ab+=+-=-=-=()22312⎝⎭【点睛】本题考查了分母有理化、完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．25．计算（1）)(12112-⨯--⎝⎭（2）已知：11,22x y ==，求22x xy y ++的值． 【答案】（1）28-；（2）17．【分析】（1）先利用完全平方公式和平方差公式计算二次根式的乘法、负指数幂运算，再计算二次根式的加减法即可得；（2）先求出x y +和xy 的值，再利用完全平方公式进行化简求值即可得．【详解】（1）原式()((221312⎡⎤=⨯+--⎢⎥⎣⎦，(()1475452=⨯+---230=+28=-；（2）(1119,22x y==，1122x y ∴+=+=， ()11119112224xy =⨯=⨯-=， 则()222x xy y x y xy ++=+-，22=-，192=-，17=．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式和平方差公式等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．26．已知x²+2xy+y²的值.【答案】16【解析】分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到x²+2xy+y²=（x+y ）²，然后利用整体代入的方法计算．本题解析：∵x² +2xy+y² =(x+y)²，∴当∴x²+2xy+y²=(x+y)²=(2−=16.27．（1）计算)(2201113-⎛⎫--•- ⎪⎝⎭ （2）已知,,a b c为实数且2c =2c ab -的值 【答案】（1）13；（2）12-【分析】（1）利用完全平方公式、负整数指数幂、零指数幂分别计算再合并即可；（2）先依据二次根式有意义的条件，求得a 、b 、c 的值，然后再代入计算即可．【详解】（1）)(2201113-⎛⎫--•- ⎪⎝⎭31=+⨯=4+9=13；（2）根据二次根式有意义的条件可得：∵()2303010a a b ⎧-≥⎪⎪-≥⎨⎪-+≥⎪⎩，∴3a =，1b =-，∴2c =∴(()2223112c ab -=-⨯-=-【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式有意义的条件以及二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．28．计算：（1；（2）))213【答案】（1）2）1-.【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则可以算得答案．（2）结合整式的乘法公式和二次根式的运算法则计算．（1）原式==（2）原式=212---=1-.【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的意义、性质和运算法则是解题关键．29．计算：（1 （2）（)()2221-【答案】2）1443【分析】(1)先化成最简二次根式，然后再进行加减运算即可；(2)套用平方差公式和完全平方式进行运算即可．【详解】解：(1)原式＝23223323，(2)原式(34)(12431)1124311443，故答案为：1443．【点睛】本题考查二次根式的四则运算，熟练掌握二次根式的四则运算是解决本题的关键． 30．计算下列各题：（1（2）2-．【答案】（1）2）2--【分析】（1）根据二次根式的运算顺序和运算法则计算即可；（2）利用平方差、完全平方公式进行计算．【详解】解：（1）原式==；（2）原式22(5=--+525=---2=--本题考查二次根式的加减乘除混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据二次根式的性质得出5-x≥0，求出即可．【详解】|5|5x x ==-=-，∴5-x≥0，解得：x≤5，故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0，当a≤0．2．D解析：D【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加法以及混合运算的法则逐项进行判断即可．【详解】A 5=，故A 选项错误；B B 选项错误；C ．++=222，故C 选项错误；D 2=，正确， 故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．3．C解析：C【分析】根据最简二次根式的定义，可得答案．【详解】A、被开方数含分母，故选项A不符合题意；B、被开方数是小数，故选项B不符合题意；C、被开方数不含开的尽的因数，被开方数不含分母，故C符合题意；D、被开方数含开得尽的因数，故D错误不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了最简二次根式，被开方数不含开的尽的因数或因式，被开方数不含分母．4．B解析：B【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【详解】3=，故此选项错误；=，正确；D. 5=，故此选项错误；故选：B【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握二次根式的性质是解题关键．5．A解析：A【分析】根据二次根式定义和有意义的条件：被开方数是非负数，即可判断．【详解】解：A、符合二次根式有意义条件，符合题意；B、-1＜0B选项不符合题意；C、是三次根式，所以C选项不符合题意；D、π-4＜0D选项不符合题意．故选：A．【点睛】a≥0．6．C解析：C【解析】【分析】利用分母有理化进行计算即可.【详解】由原式得：所以，因为，, 所以. 故选：C【点睛】此题考查解一元一次不等式的整数解，解题关键在于分母有理化. 7．D解析：D【解析】【分析】根据二次根式的被开数的非负性，求的a 的范围，然后再化简绝对值，最后，依据二次根式的定义进行变形即可．【详解】 解：等式20182019a a ＋--＝a 成立，则a ≥2019，∴2019a -， 2019a -，∴a-2019=20182，∴a-20182=2019．故选D ．【点睛】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，求得a 的取值范围是解题的关键．8．B解析：B【分析】根据二次根式加减运算和二次根式的性质逐项排除即可．【详解】2与3A 选项错误；6626322===B 选项正确； 23(3)8321-=-=，所以C 选项错误；2与3D 选项错误;故选答案为B ．【点睛】本题考查了二次根式加减运算和二次根式的性质，掌握同类二次根式的定义和二次根式的性质是解答本题的关键．9．A解析：A【分析】A中，首先将12进行化简为23，然后进一步计算便可判断其正误；B中，被开方数不同的两个二次根式之和不等于和的二次根式，据此可对B进行判断；C中，合并同类二次根式后即可作出判断；D中，无法进行合并运算，据此可对D进行判断．【详解】-=-=，正确，故选项A符合题意；解：A.1232333B.2与3不是同类二次根式，不能合并，故选项B不符合题意；C.43333-=，故选项C不符合题意；D.3与22不能合并，故选项D不符合题意．故选：A．【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，能够判断出二次根式是同类二次根式是解答此题的关键．10．A解析：A【解析】试题分析：最简二次根式是指不能继续化简的二次根式，A、原式=；B、是最简二次根式，不能化简；C、原式=；D、原式=.考点：最简二次根式11．A解析：A【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．【详解】A6是最简二次公式，故本选项正确；B1832C2733D12=23故选A．【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．12．B解析：B【分析】由x+y=-5，xy=3可得到x ＜0，y ＜0，再利用二次根式的性质化简得到原式==-，然后把xy=3代入计算即可． 【详解】∵x+y=−5，xy=3，∴x<0，y<0，∴原式===-（x ＜0，y ＜0），当xy=3时,原式=-故选B.【点睛】此题考查二次根式的化简求值，解题关键在于先化简.二、填空题13．3【解析】设，则 可化为：，∴，两边同时平方得：，即：，∴，解得：，∴.故答案为：.点睛：本题的解题要点是：设原式中的，从而使原式结构变得简单，这样应用二次根式的相关运算法则化简变形解析：【解析】设24x a -====两边同时平方得：128a a +=++4=，∴3216a =，解得：12a =，===故答案为：点睛：本题的解题要点是：设原式中的24x a -=，从而使原式结构变得简单，这样应用二次根式的相关运算法则化简变形即可求得a 的值，使问题得到解决.14．3【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x+y 的值，再根据非负数的性质列出关于x ，y ，m 的方程组，求出m 的值，进而可得出结论．【详解】依题意得：，解得：x=1，y=1，m ＝5，∴3解析：3【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x +y 的值，再根据非负数的性质列出关于x ，y ，m 的方程组，求出m 的值，进而可得出结论．【详解】依题意得：35302302x y m x y m x y +--=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩，解得：x =1，y =1，m ＝5，∴==3．故答案为3．【点睛】 本题考查了二次根式有意义得条件及非负数的性质，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．15．【解析】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是：，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1， 第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第解析：【解析】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1， 第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第4， ∴(5，4)与(9，4)故答案为16．【解析】原式=.故答案为.【解析】原式=20152015=17．【解析】根据题意，把被开方数配方为完全平方，然后代入求解，可得====． 故答案是：．【解析】根据题意，把被开方数配方为完全平方，然后代入求解，可得．18．4【详解】根据完全平方公式可得：原式=－xy==5－1=4．解析：4【详解】根据完全平方公式可得：原式=2()x y +－xy=251515151)222=5－1=4． 19．21【分析】根据二次根式及同类二次根式的定义列出方程组即可求出答案.【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式，∴ ，解得，，∴故答案为21.解析：21【分析】根据二次根式及同类二次根式的定义列出方程组即可求出答案.【详解】∴1221343nm m-=⎧⎨-=-⎩，解得，73mn=⎧⎨=⎩，∴7321.mn=⨯=故答案为21.20．②③【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．【详解】②③是最简二次根式，故答案为②③．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，解析：②③【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．【详解】是最简二次根式，故答案为②③．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。
中考数学复习 知识讲解+例题解析+强化训练(二次根式)
中考数学复习知识讲解+例题解析+强化训练（二次根式）二次根式◆知识讲解1．二次根式a≥0）叫做二次根式．2．最简二次根式同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．3．同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．4．二次根式的性质）2=a（a≥0）；│a│=(0)0(0)(0)a aaa a>⎧⎪=⎨⎪-<⎩；（a≥0，b≥0）；=（b≥0，a>0）．5．分母有理化及有理化因式把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，•若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．6．二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．◆例题解析例1填空题：（1其中是二次根式的是_________（填序号）．（2有意义，则x 的取值范围是_______．（3）实数a ，b ，c a －b │．o【解答】（1）1) 3) 4) 5) 7)．（2）由x －3≥0－2≠0，得x ≥3且x ≠7． （3）由图可知，a<0，b>0，c<0，且│b │>│c │－a ，－│a －b │=a －ba －b │．例2 选择题：（1）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）A BC（2）在根式，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)（3）已知a>b>0，的值为（ ）A ．2 B ．2 C D ．12【解答】（1A 错．3，B 正确．||b =│a ， ∴C 错，而显然，D 错，∴选B ． （2）选C ．（3）∵a>b>0）2）2=a+b－=421,22===，故选A．例3（2006，辽宁十一市）先化简，再求值：11()ba b b a a b++++，其中，【解答】原式＝22()()()()ab a a b b a b a bab a b ab a b ab+++++==++当，．◆强化训练一、填空题1．（2007，福州）当x______在实数范围内有意义．2．已知0<x<1=______．3．已知最简二次根式b a=______，b=_______．4．（2008，长沙）已知a，b为两个连续整数，且<b，则a+b=______．5．已知实数x，y满足x2+y2－4x－2y+5=0________．6．（2006，内蒙古）已知a－1，a+1）（b－1）=_______．7===，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：(200620062005++++1）=________．二、选择题8．（2006，四川南充）已知a<02a│可化简为（）A．－a B．a C．－3a D．3aob a 9．已知xy>0，化简二次根式） A..C D 10，甲，乙两位同学的解法如下=====甲乙对于甲，乙两位同学的解法，正确的判断（ ） A ．甲，乙的解法都正确 B ．甲正确，乙不正确 C ．甲，乙都不正确 D ．甲不正确，乙正确11．若的小数部分是a ，3的小数部分为b ，则a+b 等于（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．±112．如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b │ 的结果等于（ ） A ．－2b B ．2b C ．－2a D ．2a13．若a=3a 2－6a －2的值为（ ）A ．0B ．－1C ．1D ．3 14．若ab ≠0=成立的条件是（ ） A ．a>0，b>0 B ．a>0，b<0 C ．a<0，b>0 D ．a<0，b<015．（2007，连云港）已知m ，n 是两个连续自然数（m<n ），且q=mn ，设p （ ） A ．总是奇数 B ．总是偶数C ．有时是奇数，有时是偶数D ．有时是有理数，有时是无理数 三、解答题16．计算：（1）（2008）。
中考数学复习数与式知识点总结
中考数学复习数与式知识点总结第一部分：教材知识梳理-系统复第一单元：数与式第1讲：实数知识点一：实数的概念及分类1.实数是按照定义和正负性来分类的。
其中，既不属于正数也不属于负数的数是零。
无理数有几种常见形式：含π的式子是正有理数；无限不循环小数是无理数；开方开不尽的数是无理数；三角函数型的数是实数。
有理数包括正有理数、负有理数和零。
负无理数和正无理数的定义很明确。
2.在判断一个数是否为无理数时，需要注意开得尽方的含根号的数属于无理数，而开得尽的数属于有理数。
3.数轴有三个要素：原点、正方向和单位长度。
实数与数轴上的点一一对应，数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
4.相反数是具有相反符号的两个数，它们的和为0.数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等。
5.绝对值是一个数到原点的距离。
它有非负性，即绝对值大于等于0.若|a|+b2=0，则a=b=0.绝对值等于该数本身的数是非负数。
知识点二：实数的相关概念2.数轴是一个直线，用来表示实数。
数轴上的每个点都对应着一个实数，反之亦然。
3.相反数是具有相反符号的两个数，它们的和为0.4.绝对值是一个数到原点的距离。
它有非负性，即绝对值大于等于0.5.倒数是乘积为1的两个数互为倒数。
a的倒数是1/a(a≠0)。
6.科学记数法是一种表示实数的方法，其中1≤|a|＜10，n为整数。
确定n的方法是：对于数位较多的大数，n等于原数的整数位减去1；对于小数，写成a×10n，1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）。
7.近似数是一个与实际数值很接近的数。
它的精确度由四舍五入到哪一位来决定。
例：用科学记数法表示为2.1×104.19万用科学记数法表示为1.9×10^5，0.0007用科学记数法表示为7×10^-4.知识点三：科学记数法、近似数科学记数法是一种表示极大或极小数的方法，它的基本形式是a×10^n，其中1≤a<10，n为整数。
中考数学 第一篇 数与式 专题05 二次根式(含解析)
第一篇数与式专题05 二次根式☞解读考点识☞2年中考【2017年题组】一、选择题1．（2017内蒙古包头市）下列说法中正确的是（ ） A ．8的立方根是±2B C ．函数11y x =-的自变量x 的取值范围是x ＞1 D ．在平面直角坐标系中，点P （2，3）与点Q （﹣2，3）关于y 轴对称 【答案】D ． 【解析】点睛：本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．考点：1．最简二次根式；2．立方根；3．函数自变量的取值范围；4．关于x 轴、y 轴对称的点的坐标． 2．（2017四川省泸州市）已知三角形的三边长分别为a 、b 、c ，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron ，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S p =2a b c++；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202﹣1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S ，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（ ）A B C D【答案】B ． 【解析】点睛：本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积． 考点：二次根式的应用．3．（2017a 的取值范围是（ ） A ．a ≥﹣1 B ．a ≠2 C ．a ≥﹣1且a ≠2 D ．a ＞2 【答案】C ． 【解析】a +1≥0，且a ﹣2≠0，解得：a ≥﹣1且a ≠2．故选C ． 考点：二次根式有意义的条件．4．（20171在实数范围内有意义，则x 满足的条件是（ ） A ．x ≥12 B ．x ≤12 C ．x =12 D ．x ≠12【答案】C ． 【解析】试题分析：由题意可知：210120x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得：x =12.故选C ．点睛：本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．考点：二次根式有意义的条件．5．（2017滨州）下列计算：（1）22=，（22，（3）2(12-=，（41=-，其中结果正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D ．【解析】考点：二次根式的混合运算．6．（2017江苏省淮安市）下列式子为最简二次根式的是（ ）A B C D 【答案】A ． 【解析】试题分析：A ．被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A 符合题意； B ．被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B 不符合题意； C ．被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C 不符合题意； D ．被开方数含分母，故D 不符合题意； 故选A ．考点：最简二次根式．7．（2017湖北省十堰市）下列运算正确的是（ ）A =．=C 2=D ．3= 【答案】C ． 【解析】试题分析：A A 选项错误； B ．原式=6×2=12，所以B 选项错误；C ．原式，所以C 选项准确；D ．原式=D 选项错误． 故选C ．考点：二次根式的混合运算． 二、填空题8．（2017有意义，则x 的取值范围是 ． 【答案】12x <． 【解析】考点：1．二次根式有意义的条件；2．分式有意义的条件．9．（2017天津）计算(4的结果等于 ． 【答案】9． 【解析】试题分析：(4=16﹣7=9．故答案为：9． 考点：二次根式的混合运算．10．（2017= ．【解析】试题分析：原式化简后，合并即可得到结果．试题解析：原式= 考点：二次根式的加减法．11．（2017013)2cos 60-+--- = ．【答案】． 【解析】试题分析：根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值进行计算．试题解析：原式11122--= 考点：1．二次根式的混合运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值． 12．（2017湖北省鄂州市）若62121--+-=x x y ，则xy = ． 【答案】﹣3．【解析】点睛：本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．考点：二次根式有意义的条件． 三、解答题13．（2017121211)9()2--+．2． 【解析】试题分析：根据负整数指数幂和分数指数幂的意义计算．试题解析：原式=2132--+2．考点：1．二次根式的混合运算；2．分数指数幂；3．负整数指数幂．14．（2017四川省内江市）计算：201702011160()(2017)2π----++-． 【答案】8． 【解析】试题分析：直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简求出答案．试题解析：原式=112413---+⨯+=﹣1﹣0+8+1=8． 点睛：此题主要考查了二次根式的混合运算以及绝对值的性质、负指数幂的性质、零指数幂的性质等知识，正确化简各数是解题关键．考点：1．二次根式的混合运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．【2016年题组】一、选择题1．（2016云南省）下列计算，正确的是（ ）A ．2(2)4--=B 2=-C ．664(2)64÷-=D =【答案】C ． 【解析】考点：1．二次根式的加减法；2．有理数的乘方；3．负整数指数幂；4．二次根式的性质与化简． 2．（2016内蒙古包头市）下列计算结果正确的是（ ）A ．2=B 2=C ．236(2)6a a -=-D ．22(1)1a a +=+ 【答案】B ． 【解析】试题分析：A ．2A 错误；B 2=，所以B 正确；C ．236(2)8a a -=-，所以C 错误； D ．22(1)21a a a +=++，所以D 错误． 故选B ．考点：1．二次根式的乘除法；2．幂的乘方与积的乘方；3．完全平方公式． 3．（2016四川省南充市）下列计算正确的是（ ）A B = C - D x 【答案】A ． 【解析】考点：二次根式的性质与化简．4．（2016四川省自贡市）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）A B C D 【答案】B ． 【解析】B ． 考点：最简二次根式．5．（2016四川省雅安市）0(1)k -有意义，则一次函数y =（1﹣k ）x +k ﹣1的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C ． 【解析】考点：1．一次函数的图象；2．零指数幂；3．二次根式有意义的条件．6．（2016山东省潍坊市）实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简a + ）A ．﹣2a +bB ．2a ﹣bC ．﹣bD ．b 【答案】A ．【解析】试题分析：如图所示：a ＜0，a ﹣b ＜0，则a ﹣a ﹣（a ﹣b ）=﹣2a +b ．故选A ． 考点：1．二次根式的性质与化简；2．实数与数轴． 7．（2016广西来宾市）下列计算正确的是（ ）A =B ．=C ．216=D 1= 【答案】B ． 【解析】试题分析：AB ．=C ．2428=⨯=，所以此选项错误；D= 本题选择正确的，故选B ． 考点：二次根式的混合运算．8．（2016广西桂林市）计算 ）A B ． C ． D ．6 【答案】A ． 【解析】试题分析：原式=(3-A ． 考点：二次根式的加减法．9．（2016湖北省咸宁市）下列运算正确的是（ ）A =B 3=-C ．22a a a ⋅=D ．326(2)4a a =【答案】D ． 【解析】考点：1．二次根式的加减法；2．同底数幂的乘法；3．幂的乘方与积的乘方；4．二次根式的性质与化简．10．（2016贵州省黔南州）下列说法中正确的是（）B．9的平方根为3AC D．﹣27没有立方根【答案】A．【解析】，故正确．试题分析：AB．9的平方根为±3，故错误．CD．﹣27的立方根为﹣3，故错误．故选A．考点：1．最简二次根式；2．平方根；3．立方根；4．分母有理化．11．（2016甘肃省白银市）下列根式中是最简二次根式的是（）A B C D【答案】B．【解析】考点：最简二次根式．12．（2016福建省龙岩市）与）A B C D【答案】C．【解析】试题分析：A A错误；B B错误；C C正确；D与D错误；故选C．考点：同类二次根式．13．（20163有意义，则m的取值范围是（）A．m≥3 B．m≤3 C．m≥0 D．m≤0【答案】C．【解析】3有意义，∴m≥0．故选C．考点：二次根式有意义的条件．14．（2016在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1【答案】C ． 【解析】考点：二次根式有意义的条件．15．（2016x 的取值范围是（ ） A ．x ＞1 B ．x ＞﹣1 C ．x ≥1 D ．x ≥﹣1 【答案】C ． 【解析】试题分析：要使式子2有意义，故x ﹣1≥0，解得：x ≥1．则x 的取值范围是：x ≥1．故选C ． 考点：二次根式有意义的条件． 二、填空题16．（2016云南省曲靖市）如果整数x ＞﹣3，那么使函数y =x 的值是 （只填一个）【答案】答案不唯一，x 为-2，-1，0，1都可以，如：0． 【解析】试题分析：∵y =π﹣2x ≥0，即x ≤2π，∵整数x ＞﹣3，∴32x π-<≤且x 为整数，∴x 为-2，-1，0，1．故答案为：答案不唯一，x 为-2，-1，0，1都可以，如：0． 考点：二次根式有意义的条件．17．（2016x 的取值范围是 ． 【答案】x ≥1． 【解析】试题分析：由题意得，x ﹣1≥0且x ≠0，解得x ≥1且x ≠0，所以，x ≥1．故答案为：x ≥1． 考点：1．二次根式有意义的条件；2．分式有意义的条件．18．（2016广西贺州市）要使代数式x有意义，则x 的取值范围是 ． 【答案】x ≥﹣1且x ≠0． 【解析】试题分析：根据题意，得：10xx+≥⎧⎨≠⎩，解得x≥﹣1且x≠0．故答案为：x≥﹣1且x≠0．考点：1．二次根式有意义的条件；2．分式有意义的条件．19．（2016江苏省南京市）若式子x x的取值范围是．【答案】x≥1．【解析】考点：二次根式有意义的条件．20．（2016贵州省安顺市）在函数y=x的取值范围是．【答案】x≤1且x≠﹣2．【解析】试题分析：根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣x≥0且x+2≠0，解得：x≤1且x≠﹣2．故答案为：x≤1且x≠﹣2．考点：1．函数自变量的取值范围；2．分式有意义的条件；3．二次根式有意义的条件．21．（2016贵州省铜仁市）函数y=x取值范围是．【答案】x≥1且x≠3．【解析】试题分析：根据题意得：1030xx-≥⎧⎨-≠⎩，解得x≥1，且x≠3，即：自变量x取值范围是x≥1且x≠3．故答案为：x≥1且x≠3．考点：1．函数自变量的取值范围；2．分式有意义的条件；3．二次根式有意义的条件．22．（2016甘肃省天水市）函数y=x的取值范围是．【答案】x＞﹣1．【解析】试题分析：根据题意得：x+1＞0，解得x＞﹣1．考点：1．函数自变量的取值范围；2．分式有意义的条件；3．二次根式有意义的条件．1)= ．23．（2016内蒙古包头市）计算：2【答案】﹣4．【解析】考点：二次根式的混合运算．24．（2016天津市）计算的结果等于．【答案】2．【解析】-=5﹣3=2，故答案为：2．试题分析：原式=22考点：二次根式的混合运算．a-的结果为．25．（2016四川省乐山市）在数轴上表示实数a2【答案】3．【解析】a-=5﹣a+a﹣2=3．故答案为：3．试题分析：由数轴可得：a﹣5＜0，a﹣2＞02考点：二次根式的性质与化简．26．（2016= ．【答案】12．【解析】试题分析：原式=12．故答案为：12．考点：二次根式的混合运算．27．（2016= ．【答案】12．【解析】考点：二次根式的乘除法．28．（2016= ．【答案】2．【解析】试题分析：原式．故答案为：2．考点：二次根式的混合运算．29．（2016福建省厦门市）公元3世纪，2raa+得到的近似值．他的算法是：131212≈+=⨯；13174321222-≈+=⨯值577408时，近似公式中的a是，r是．【答案】1712，1144-．【解析】13174321222-≈+=⨯；1175771441712408212-≈+=⨯，因此可以知道a=1712，r=1144-．故答案为：1712，1144-．考点：二次根式的应用．三、解答题30．（2016内蒙古呼伦贝尔市）计算：0213tan30(2016)()2π-+++-．【答案】5． 【解析】考点：1．分母有理化；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值． 31．（2016江苏省泰州市）计算或化简：（1； （2）22()242m m mm m m -÷--+．【答案】（1）（2）2mm -．【解析】试题分析：（1）先化成最简二次根式，再去括号、合并同类二次根式即可；（2）先将括号内的分式通分，进行减法运算，再将除法转化为乘法，然后化简即可．试题解析：（1）原式（2）原式=222224m m m m m m +-+⋅-=22(2)(2)m m m m m+⋅+-=2m m -． 考点：1．二次根式的加减法；2．分式的混合运算．32．（2016广西桂林市）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式﹣﹣海伦公式S a ，b ，c 是三角形的三边长，p =2a b c++，S 为三角形的面积），并给出了证明例如：在△ABC 中，a =3，b =4，c =5，那么它的面积可以这样计算：∵a =3，b =4，c =5，∴p =2a b c++=6，∴S ． 事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．如图，在△ABC 中，BC =5，AC =6，AB =9 （1）用海伦公式求△ABC 的面积；（2）求△ABC 的内切圆半径r ．【答案】（1）；（2 【解析】（2）∵S =12r （AC +BC +AB ），∴=12r （5+6+9），解得：r ABC 的内切圆半径r 考点：1．三角形的内切圆与内心；2．二次根式的应用；3．阅读型．☞考点归纳归纳 1：二次根式的意义及性质 基础知识归纳：二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0． 注意问题归纳：1．首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．2、利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．【例1】（2017四川省广安市）要使二次根式42 x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x=2【答案】B．a≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．考点：二次根式有意义的条件．【例2】（2017枣庄）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简||a的结果是（）A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b【答案】A．【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．考点：1．二次根式的性质与化简；2．实数与数轴．归纳 2：最简二次根式与同类二次根式基础知识归纳：1．最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．2．同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．注意问题归纳：最简二次根式的判断方法：1．最简二次根式必须同时满足如下条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；（2）被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1．2．判断同类二次根式：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关．【例3 ）A B C D 【答案】B ．【分析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．【点评】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键． 考点：同类二次根式．归纳 3：二次根式的运算 基础知识归纳：（1）．二次根式的加减法：实质就是合并同类二次根式．合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式． （2）．二次根式的乘除法 二次根式的乘法：ab b a =⋅（a ≥0，b ≥0）． 二次根式的除法：b aba =（a ≥0，b ＞0）．注意问题归纳：正确把握运算法则是解题的关键 【例3】下列计算正确的是（ ）A =B ．224()a a -=-C ．22(2)4a a -=-D =（a ≥0，b ＞0） 【答案】D ．【分析】分别利用二次根式混合运算法则以及积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则、完全平方公式计算得出答案．【点评】此题主要考查了二次根式混合运算以及积的乘方运算以及幂的乘方运算、完全平方公式等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．考点：1．二次根式的混合运算；2．幂的乘方与积的乘方；3．完全平方公式． 归纳 4：二次根式混合运算基础知识归纳：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）． 注意问题归纳：注意运算顺序．【例4】（2017山东省青岛市）计算：= ． 【答案】13．【分析】先把各二次根式化简为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的乘法运算即可．【解析】原式=．故答案为：13． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．考点：二次根式的混合运算．【例5】（2017湖南省邵阳市）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，则该三角形的面积为S ABC 的三边长分别为1，2ABC 的面积为 ．【答案】1．【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC 的三边长分别为1，2【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答． 考点：二次根式的应用．归纳5：二次根式运算中的技巧基础知识归纳：1．二次根式的被开方数是非负数；2．非负数的性质．注意问题归纳：【例6】观察下列等式：第 1个等式：1a ==1，第2个等式：2a ==，第3个等式：3a ==24个等式：4a =2，按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第n 个等式：n a = ；（2）123...n a a a a ++++= ．【答案】（1）n a =（21．【分析】（1）根据题意可知，1a ==1，2a =，3a ==2，4a =2，…由此得出第n 个等式：n a = （2）将每一个等式化简即可求得答案．【点评】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．考点：1．规律型：数字的变化类；2．分母有理化．☞1年模拟一、选择题1．下列运算结果正确的是（ ）A =B ．2(0.1)0.01--= C ．222()2a b a b a b÷= D ．326()m m m -=- 【答案】A ．【解析】试题分析：A ==B ．21(0.1)0.01--==100，故此选项错误； C ．232232428()2a b a a a b a b b b÷=⨯=，故此选项错误； D ．325()m m m -=-，故此选项错误；故选A ．考点：1．二次根式的加减法；2．同底数幂的乘法；3．幂的乘方与积的乘方；4．分式的乘除法；5．负整数指数幂．2．使代数式x x 3431-++有意义的整数x 有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】B ．【解析】考点：二次根式有意义的条件．3．若代数式12--x x 有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ≥1 B ．x ≥2 C ．x ＞1 D ．x ＞2【答案】B ．【解析】试题分析：由题意可知：2010x x -≥⎧⎨->⎩，∴解得：x ≥2．故选B ．考点：二次根式有意义的条件．4．计算(÷的结果为（ ） A ．5 B ．﹣5 C ．7 D ．﹣7【答案】A ．【解析】试题分析：原式=(÷=(-=5．故选A ．考点：二次根式的混合运算．5．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A ．BCD 【答案】A ．【解析】考点：最简二次根式．二、填空题6．计算：= ．【答案】．【解析】试题分析：原式=考点：二次根式的加减法．7x 的取值范围是 ． 【答案】x ≥12且x ≠1． 【解析】 试题分析：由题意可得：2x ﹣1≥0，x ﹣1≠0，解得：x ≥12且x ≠1．故答案为：x ≥12且x ≠1． 考点：二次根式有意义的条件．8．计算：|﹣3|= ； = ．【答案】3，3．【解析】试题分析：|﹣3|=3，故答案为：3，3．考点：1．二次根式的性质与化简；2．绝对值．9= ．【答案】【解析】试题分析：原式=考点：二次根式的混合运算．三、解答题10．计算：(21⨯+．【答案】2．【解析】考点：二次根式的混合运算．11．计算：2013451)--+- ．【答案】1．【解析】试题分析：直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和完全平方公式分别化简求出答案．试题解析：原式=13)1--+- =131-=1． 考点：1．二次根式的混合运算；2．特殊角的三角函数值．。
2024年中考数学一轮复习考点04 二次根式(精讲)(解析版)25
考点04.二次根式（精讲）【命题趋势】二次根式在各地中考中，每年考查2道题左右，分值为8分左右，对二次根式的考查主要集中在对其取值范围、化简、计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察。
此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题。
【知识清单】1：二次根式的相关概念（☆☆）（1）二次根式的概念：形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式。
其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数。
注意：被开方数a 只能是非负数。
即要使二次根式a 有意义，则a ≥0。
（2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。
（3）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式。
2：二次根式的性质与化简（☆☆☆）（1）二次根式的性质：1）双重非负性：a ≥0（a ≥0）；2）)0()(2≥=a a a ；32(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（2）二次根式的化简方法：1）利用二次根式的基本性质进行化简；2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。
（3）化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。
3：二次根式的的运算（☆☆☆）（1）加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并。
口诀：一化、二找、三合并。
（2）乘法法则:两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.（3）除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.（4）分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程。
中考数学一轮复习《二次根式》知识梳理及典型例题讲解课件
1
10，则a－ 的值为
±
.
6. （2022·
南通海门模拟）如图，四边形ABCD和CEFG是两个相邻的正
方形，其中B，C，E三点在同一条直线上，点D在CG上，它们的面积分
7
别为27平方米和48平方米，则BE的长为
1
2
3
4
5
6
7
米.
8
7. 计算：
（1） 48÷ 3＋
1
×
2
解：原式＝ ÷ ＋
典例7 （2023·
南通二模）如图，从一个大正方形中恰好可以裁去面积为
2cm2和8cm2的两个小正方形，余下两个全等的矩形（图中涂色部分），
则大正方形的边长为
3
cm.
典例8 （2023·
海安模拟）先化简，再求值：
4+4
＋
+2
÷ 2 ，其中m
＝ 2－2.
++ + （+）
C ）
1
的结果是（
3
4. （2022·
青岛）计算（ 27－ 12）×
A.
3
3
C. 5
B. 1
B ）
D. 3
5. 已知2，5，m是某三角形三边的长，则 （ − 3）2 ＋ （ − 7）2 的
值为（
D ）
A. 2m－10
B. 10－2m
C. 10
D. 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. （2022·
呼伦贝尔）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简
2024年中考数学一轮复习考点梳理+单元突破练习 二次根式 (含答案)
专题 二次根式知识点1：二次根式的定义与性质 1.二次根式的定义一般地，我们把形如)0(0≥≥a a 的式子叫做二次根式。
二次根式的实质是一个非负数数a 的算数平方根。
注意：二次根式从形式上看，应含有二次根号；被开方数的取值范围有限制即被开方数a 必须是非负数。
二次根式无意义的条件是因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。
2.二次根式的性质：（1）二次根式的非负性，)0(0≥≥a a 的最小值是0；也就是说a （）是一个非负数，即)0(0≥≥a a 。
注：因为二次根式)0(0≥≥a a 表示a 的算术平方根，这个性质在解答题目时应用较多，如若0a b +=，则a=0,b=0；若0a b +=，则a=0,b=0；若20a b +=，则a=0,b=0。
（2）2()a a =（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式2()a a =（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则2()a a =，如： 22(2)=（3）知识点2：二次根式的乘除 1.二次根式的乘法法则：)0,0(≥≥=⋅b a ab b a将上面的公式逆向运用可得：)0,0(≥≥•=b a b a ab 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
2.二次根式的除法法则：baba =).0,0(>≥b a 要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如a b c d ac bd =-⨯-≠-⨯-. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(4)(9)493.分母有理化：（1）定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
（2）关键：把分子、分母都乘以一个适当的式子，化去分母中的根号。
4.最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开放数中不含开得尽方的因数或因式。
知识点3：二次根式的加减1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式。
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—二次根式(含解析)
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—二次根式（含解析）1.了解二次根式的概念及其有意义的条件．2．了解最简二次根式的概念，并会把二次根式化成最简二次根式．3．掌握二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除、乘方运算法则，会用它们进行有管的简单四则运算．【题型1：二次根式有意义的条件】【典例1】（2023•济宁）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x≥0C．x≥2D．x≥0且x≠2【答案】D【解答】解：由题意得x≥0且x﹣2≠0，解得x≥0且x≠2，故选：D．1．（2023•金华）要使有意义，则x的值可以是（）A．0B．﹣1C．﹣2D．2【答案】D【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2，则x的值可以是2，故选：D．2．（2023•通辽）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，则1﹣x≥0，解得：x≤1，则实数x的取值范围在数轴上表示为：．故选：C．3．（2023•湘西州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥5．【答案】x≥5．【解答】解：由二次根式在实数范围内有意义可得：2x﹣10≥0，解得：x≥5；故答案为：x≥5．【题型2：二次根式的性质】【典例2】（2023•泰州）计算等于（）A．±2B．2C．4D．【答案】B【解答】解：＝2．故选：B．1．（2021•苏州）计算（）2的结果是（）A．B．3C．2D．9【答案】B【解答】解：（）2＝3．故选：B．2.（2023•青岛）下列计算正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：与无法合并，则A不符合题意；2﹣＝，则B不符合题意；×＝＝，则C符合题意；÷3＝＝，则D不符合题意；故选：C．3．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（）A．2m﹣10B．10﹣2m C．10D．4【答案】D【解答】解：∵2、5、m是某三角形三边的长，∴5﹣2＜m＜5+2，故3＜m＜7，∴+＝m﹣3+7﹣m＝4．故选：D．4．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣+＝2．【答案】2．【解答】解：由数轴可得，﹣1＜a＜0，1＜b＜2，∴a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴|a+1|﹣+＝a+1﹣（b﹣1）+（b﹣a）＝a+1﹣b+1+b﹣a＝2，故答案为：2．【题型3：二次根式的运算】【典例3】（2023•金昌）计算：÷×2﹣6．【答案】6．【解答】解：原式＝3××2﹣6＝12﹣6＝6．1．（2023•聊城）计算：（﹣3）÷＝3．【答案】3．【解答】解：原式＝（4﹣3×）÷＝（4﹣）÷＝3÷＝3．故答案为：3．2．（2023•山西）计算：的结果为﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：原式＝（）2﹣（）2＝2﹣3＝﹣1．故答案为：﹣1．3．（2023•兰州）计算：．【答案】．【解答】解：原式＝3﹣2＝．4．（2023•陕西）计算：．【答案】2﹣2．【解答】解：原式＝﹣3++1＝2﹣3+1＝2﹣2．1．（2023秋•福鼎市期中）下列各数不能与合并的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A、∵＝＝，∴能与合并，故A不符合题意；B、∵＝2，∴不能与合并，故B符合题意；C、∵＝3，∴能与合并，故C不符合题意；D、∵＝4，∴能与合并，故D不符合题意；故选：B．2．（2023秋•云岩区校级期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；B、＝＝4，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；D、是最简二次根式，符合题意；故选：D．3．（2022秋•泉州期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x＜3B．x≠3C．x≤3D．x≥3【答案】C【解答】解：∵二次根式有意义，∴3﹣x≥0，解得：x≤3．故选：C．4．（2023秋•龙泉驿区期中）下列运算中，正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、±＝±3，故A不符合题意；B、与﹣不能合并，故B不符合题意；C、2﹣＝，故C不符合题意；D、÷＝，故D符合题意；故选：D．5．（2023秋•锦江区校级期中）若a＞b＞0，则的结果是（）A．a B．2b﹣a C．a﹣2b D．﹣a 【答案】A【解答】解：∵a＞b＞0，∴+＝|b|+|b﹣a|＝b+a﹣b＝a，故选：A．6．（2023春•河东区期中）把x根号外的因数移到根号内，结果是（）A．B．C．﹣D．﹣【答案】C【解答】解：由x可知x＜0，所以x＝﹣＝﹣，故选：C．7．（2023春•铁岭县期末）计算：的结果是（）A．2B．0C．﹣2D．﹣【答案】B【解答】解：＝﹣＝2﹣2＝0，故选：B．8．（2023春•抚顺月考）二次根式的计算结果是（）A．B．C．±D．【答案】B【解答】解：＝＝×＝3，故选：B．9．（2023春•西丰县期中）已知a＝+2，b＝﹣2，则a﹣b的值是（）A．2B．4C．2+4D．2﹣4【答案】B【解答】解：∵a＝+2，b＝﹣2，∴a﹣b＝+2﹣（﹣2）＝+2﹣+2＝4，故选：B．10．（2023春•工业园区期末）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A．与B．与C．与D．与【答案】D【解答】解：A、∵＝2，∴与不是同类二次根式，故A不符合题意；B、∵＝2，∴与不是同类二次根式，故B不符合题意；C、与不是同类二次根式，故C不符合题意；D、∵＝2，∴与是同类二次根式，故D符合题意；故选：D．11．（2023春•武昌区校级期中）若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为6．【答案】见试题解答内容【解答】解：＝2，∵是整数，∴满足条件的最小正整数n＝6．故答案为：6．12．（2023春•固镇县月考）计算＝﹣．【答案】﹣．【解答】解：＝2﹣3＝﹣，故答案为：﹣．13．（2023春•高安市期中）化简计算：＝2．【答案】2．【解答】解：＝（）2﹣12＝3﹣1＝2，故答案为：2．14．（2023秋•高新区校级期中）计算：（1）×；（2）．【答案】（1）﹣11；（2）5﹣4．【解答】解：（1）×＝﹣4×3＝﹣12＝﹣11；（2）＝4﹣5+4﹣4+2＝5﹣4．15．（2023秋•秦都区校级期中）计算：﹣×．【答案】4﹣+2．【解答】解：﹣×＝3﹣+2＝﹣+2＝4﹣+2．1．（2022秋•鼓楼区校级期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（）A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定【答案】A【解答】解：∵由图可知：4＜a＜10，∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，∴原式＝+＝a﹣4+11﹣a＝7．故选：A．2．（2023春•新郑市校级期末）若＝在实数范围内成立，则x的取值范围是（）A．x≥1B．x≥4C．1≤x≤4D．x＞4【答案】D【解答】解：∵＝在实数范围内成立，∴x﹣1≥0，x﹣4＞0，∴x＞4．故选：D．3．（2023秋•西安校级月考）若x，y都是实数，且，则xy的值是（）A．0B．4C．2D．不能确定【答案】B【解答】解：根据题意得，x﹣1≥0且1﹣x≥0，解得x≥1且x≤1，∴x＝1，∴y＝4，∴xy＝1×4＝4．故选：B．4．（2023•商水县一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若p＝5，c＝2，则此三角形面积的最大值为（）A ．B ．C ．D ．5【答案】C【解答】解：∵p ＝，p ＝5，c ＝2，∴5＝，∴a +b ＝8，∴a ＝8﹣b ，∴S ＝＝＝＝＝＝＝当b ＝4时，S 有最大值为．故选：C ．5．（2023秋•闵行区期中）计算：＝．【答案】．【解答】解：，＝＝＝＝＝，故答案为：．6．（2023春•科左中旗校级期末）观察下列等式：第1个等式：a1＝＝﹣1，第2个等式：a2＝＝，第3个等式：a3＝＝2﹣，第4个等式：a4＝＝﹣2，…按上述规律，计算a1+a2+a3+…+a n＝﹣1．【答案】见试题解答内容【解答】解：第1个等式：a1＝＝﹣1，第2个等式：a2＝＝，第3个等式：a3＝＝2﹣，第4个等式：a4＝＝﹣2，…a1+a2+a3+…+a n＝﹣1+﹣+…+﹣＝﹣1故答案为：﹣1．7．（2023春•中江县月考）已知的值是7．【答案】7．【解答】解：∵m＝+1，n＝＝﹣1，∴m+n＝2，mn＝1，∴m2+mn+n2＝（m+n）2﹣mn＝（2）2﹣1＝7．故答案为：7．8．（2023春•禹州市期中）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，宽为，则这个大长方形的周长为22．【答案】22．【解答】解：∵大长方形的宽＝3+2＝5，大长方形的长＝3×2＝6，∴大长方形的周长＝（5+6）×2＝22，故答案为：22．9．（2023春•宿豫区期末）计算的结果为3．【答案】3．【解答】解：原式＝+＝+＝2+＝3．故答案为：3．10．（2023秋•双流区校级期中）已知a＝3+，b＝3﹣，分别求下列代数式的值：（1）a2﹣b2；（2）a2﹣3ab+b2．【答案】（1）12；（2）1．【解答】解：（1）∵a＝3+，b＝3﹣，∴a+b＝3++3﹣＝6，a﹣b＝3+﹣3+＝2，ab＝（3）（3）＝7，则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×＝12；（2）由（1）知a﹣b＝2，ab＝（3）（3）＝7，∴a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）2﹣ab，＝＝8﹣7＝1．11．（2023春•双柏县期中）阅读下面问题：＝＝﹣1；＝＝﹣；＝＝﹣2．（1）求的值；（2）计算：+++…++．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式＝＝﹣；（2）原式＝﹣1+﹣+…+﹣+﹣＝10﹣1＝9．12．（2023秋•二七区校级月考）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．问题提出：该如何化简？建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•＝．那么便有：（a＞b），问题解决：化简：，解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，．∴，模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：（1）；（2）．模型应用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简）．【答案】（1）1+；（2）2﹣；（3）2﹣2．【解答】解：（1）m＝6，n＝5．∵1+5＝6，1×5＝5，∴（）2+（）2＝6，×＝，∴＝＝1+．（2）∵＝．∴m＝13，n＝40，∵5+8＝13，5×8＝40，∴（）2+（）2＝13，×＝，∴＝＝＝2．（3）BC＝＝．∵＝，∴m＝16，n＝48，∵4+12＝16，4×12＝48，∴（）2+（）2＝16，×＝，∴BC＝＝＝＝2﹣2．1．（2022•桂林）化简的结果是（）A．2B．3C．2D．2【答案】A【解答】解：＝2，故选：A．2．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则+1+|a﹣1|的化简结果是（）A．1B．2C．2a D．1﹣2a【答案】B【解答】解：根据数轴得：0＜a＜1，∴a＞0，a﹣1＜0，∴原式＝|a|+1+1﹣a＝a+1+1﹣a＝2．故选：B．3．（2022•河北）下列正确的是（）A．＝2+3B．＝2×3C．＝32D．＝0.7【答案】B【解答】解：A、原式＝，故该选项不符合题意；B、原式＝×＝2×3，故该选项符合题意；C、原式＝＝92，故该选项不符合题意；D、0.72＝0.49，故该选项不符合题意；故选：B．4．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C不符合题意；D、，故D符合题意；故选：D．5．（2022•青岛）计算（﹣）×的结果是（）A．B．1C．D．3【答案】B【解答】解：（﹣）×＝﹣＝﹣＝3﹣2＝1，故选：B．6．（2022•安顺）估计（+）×的值应在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间【答案】B【解答】解：原式＝2+，∵3＜＜4，∴5＜2+＜6，故选：B．7．（2023•绵阳）若式子在实数范围内有意义，则x的最小值为．【答案】．【解答】解：由题意可得2x﹣1≥0，解得：x≥，则x的最小值为，故答案为：．8．（2023•丹东）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥﹣2，且x≠1．【答案】x≥﹣2，且x≠1．【解答】解：由题可知，x+2≥0，即x≥﹣2，又知分母不能等于0，即x﹣1≠0，则x≠1．故答案为：x≥﹣2，且x≠1．9.（2022•武汉）计算的结果是2．【答案】2．【解答】解：法一、＝|﹣2|＝2；法二、＝＝2．故答案为：2．10．（2023•内蒙古）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＝2﹣m．【答案】2﹣m．【解答】解：由数轴可知：1＜m＜2，∴m﹣2＜0，∴＝|m﹣2|＝2﹣m．故答案为：2﹣m．11．（2022•荆州）若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+a）•b的值是2．【答案】2．【解答】解：∵1＜＜2，∴1＜3﹣＜2，∵若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，∴a＝1，b＝3﹣﹣1＝2﹣，∴（2+a）•b＝（2+）（2﹣）＝2，故答案为：2．12．（2022•泰安）计算：•﹣3＝2．【答案】2．【解答】解：原式＝﹣3×＝4﹣2＝2，故答案为：2．13．（2022•济宁）已知a＝2+，b＝2﹣，求代数式a2b+ab2的值．【答案】﹣4．【解答】解：∵a＝2+，b＝2﹣，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝（2+）（2﹣）（2++2﹣）＝（4﹣5）×4＝﹣1×4＝﹣4．。
初中数学 数与式模块1-6 二次根式讲义(含答案解析)
二次根式题型练题型一二次根式的定义学习要求：例1.1.下列各式中是二次根式的是（）A.B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的定义即可求出答案．【详解】A、是三次根式；故本选项不符合题意；B、-1＜0C、符合二次根式的定义；故本选项符合题意；D、2不是二次根式，故本选项不符合题意．故选：C．a≥0）叫二次根式，解题的关键是正确理解二次根式的定义．变式2.当x是二次根式．【答案】x>1 3【解析】【分析】主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【详解】解：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0可知：-（1-3x）＞0即x＞13，所以自变量x的取值范围是x＞13．【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式有分母时，还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．题型二二次根式有意义的条件例2.x的取值范围是．【解析】解：∵x－4≥0∴x≥4变式3.x 应满足的条件是__________【答案】4x >．【解析】【分析】直接利用二次根式有意义条件和分数有意义求出x 的取值范围．可得：40x ->，解得4x >，故答案为4x >．【点睛】本题考查了二次根式有意义与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义与分式有意义的条件是解题的关键．题型三二次根式的性质例3.的结果是＝．【解析】解：原式＝－|－2|＝－2变式4.实数a ，b ＝_____【答案】a b+【解析】【分析】依据可得到10,10a b +>-<，即可化简．【详解】解：由题意可知：-<<<<，a b10,01∴+>-<，10,10a b∴原式11=++-=+，a b a b+．故答案是：a b【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是：掌握二次根式的性质及绝对值的性质．题型四二次根式的化简<的正确结果是（）例4：已知a bA.-B.-C.D.有意义，∴－a3b≥0，∴a3b≤0，又∵a＜b，∴a＜0，b≥0，=-，故选：A．变式5.当01a <<1a -=（）A.aB.a -C.2a a -D.2a a -【答案】B【解析】【分析】先确定1a a-是正是负，再根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：211a a a a--=，当01a <<时，210a -<，而0a >，所以10a a-<．原式＝1111a a a a a a a --=--=-，故答案选择B ．【点睛】本题考查了二次根式的性质和分式的运算，解题关键是判断1a a-的正负，再根据二次根式和绝对值的性质熟练进行化简．题型五最简二次根式最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．例5：化为最简二次根式为．【解析】==变式6.，12中，是最简二次根式的是_____．【解析】【分析】利用最简二次根式定义判断即可．，【点睛】本题考查的知识点是最简二次根式，解题的关键是熟练的掌握最简二次根式.题型六二次根式的乘除法例6：3===．变式7.计算：【答案】24.【解析】【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算即可得出答案．【详解】原式=8×3=24．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题的关键．题型七分母有理化例7：＝．3==．变式8.实数2﹣的倒数是_____．【答案】2+【解析】【分析】先根据倒数的定义写出2﹣【详解】解：22243+===+-故答案为：2+．【点睛】本题考查实数的倒数，分母有理化．掌握利用平方差公式分母有理化的方法是解题关键．题型八同类二次根式同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．【知识拓展】（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．例8：是同类二次根式的是．===2变式9.与最简二次根式是同类二次根式，则a=_____．【答案】2【解析】化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．与最简二次根式∴a+1=3，解得：a=2．故答案为2．点睛：本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．题型九二次根式的加减法（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．（2）步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．例9：计算：．=+-=解：2变式10.-++【答案】【解析】【分析】先将各二次根式进行化简，然后再合并即可．-++=+=【点睛】此题主要考查了二次根式的加减法，将各二次根式进行化简是解答酷暑珠关键．题型十二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．例10：+=+4=+．4变式11.计算：)22-．【答案】7-【解析】【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【详解】解：)22-+=-+34=-．7【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是：熟练运用二次根式的运算法则．题型十一二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．例11：已知x2+，求代数式x2－y2的值．-，y2-，y2，解：∵x2∴x＋y＝x＋y＝－4原式＝（x＋y）（x－y）＝－4×＝－变式12.已知1m =．（1）求代数式244m m ++的值；（2）求代数式3232020m m m +-+的值．【答案】（1）3+；（2）2019【解析】【分析】（1）利用完全平方公式进行计算；（2）将已知条件进行变形得到1m +=【详解】解：⑴∵1m =-，∴2121m +=-+=+，∴())22244213m m m ++=+=+=+．⑵∵10m =≠，∴1m +=，∴两边同时平方得2212m m ++=，∴2210m m +-=，∴212m m =-．∴两边同时乘以m 得：()32221252m m m m m m =-=--=-．∴原式5212320202019m m m =-+--+=．【点睛】本题考查完全平方公式、代数式的求值，灵活运用完全平方变形是关键．实战练13.当x ＝_______【答案】3【解析】【分析】根据二次根式成立的条件即可求出答案．∴260x -≥∴当26=0x -，即3x =的值最小，最小值为0．故答案为：3．【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件．14.若y 1，则xy ＝_____．【答案】12．【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件得到关于x 的不等式组，求出x ，代入求出y ，即可求解．【详解】解：由题意得：210120x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得x ＝12，∴y =＝1，∴1y 2112x =⨯=．故答案为12．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟练掌握二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式有意义的条件求出x 、y 的值是解题关键．15.当1<a <21a +-的值为_________．【答案】1【解析】【分析】利用二次根式和绝对值的性质进行化简．【详解】解：原式21a a =-+-，∵12a <<，∴原式211a a =-+-=．故答案是：1．【点睛】本题考查二次根式和绝对值的性质，解题的关键是根据a 的取值范围去绝对值进行化简．16.是最简二次根式，则最小的正整数a为______.【答案】2【解析】【分析】根据最简二次根式的定义求解即可.【详解】解：∵a 是正整数，且是最简二次根式，∴当a=1=当a=2=，是最简二次根式，则最小的正整数a 为2，故答案为：2．【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．17.计算：1)+-=____．【答案】4【解析】【分析】【详解】试题分析：原式=2﹣12=5﹣1=4．考点：二次根式的乘除法．18.的整数部分a=_____，小数部分b=__________．【答案】①.2②.12-【解析】的大小即可得到已知式子的整数部分与小数部分．32==，∵4＜7＜9，∴2＜3，即2+3＜3+＜3+3，∴53322<<的整数部分是2a =，则小数部分为31222b +=-=．故答案为：2，1 2-．【点睛】本题考查了分母有理化，以及估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．19.已知最简二次根式与可以合并，则a 的值是________．【答案】2．【解析】【分析】根据最简二次根式可合并，可得同类二次根式，根据同类二次根式，可得关于a 的方程7﹣2a =3，再解方程可得答案．【详解】解：由题意得：723,a -=24,a ∴=2,a ∴=故答案为2．20.已知x+1，则代数式x 2﹣2x +1的值为____．【答案】2．【解析】【分析】利用完全平方公式将所求的代数式进行变形，然后代入求值即可．【详解】解：原式为：2x -2x+12=(x-1),将1+代入上式，原式22=(x-1)=2故答案为：2．【点睛】此题考察了完全平方公式的计算，二次根式的性质．利用完全平方公式将所求代数式进行变形是解答此题的关键．21.若a 为正数，则有（）A.aB.aC.aD.a 的关系不确定【答案】D【解析】【分析】根据a 的取值范围，对a【详解】解：当0,1a =时，a =；当01a <<时，a <当1a >时，a >所以，a 的关系不确定，故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质，解题的关键是：掌握二次根式的意义和性质．22.已知：a，b ，则a 与b 的关系是（）A.a －b ＝0B.a ＋b ＝0C.ab ＝1D.a 2＝b 2【答案】C【解析】【分析】先分母有理化求出a 、b ，再分别代入求出ab 、a +b 、a -b 、a 2、b 2各个式子的值，即可得出选项．【详解】解：分母有理化，可得a ，b ，∴a-b=（）-（）A选项错误，不符合题意；a+b=（）+（=4，故B选项错误，不符合题意；ab=（）×（）=4-3=1，故C选项正确，符合题意；∵a2=（2，b2=（）2∴a2≠b2，故D选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．23.是同类二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将各个二次根式化简，再看被开方数即可得出答案．====，2是同类二次根式，故选：B．【点睛】本题考查了同类二次根式、二次根式的化简，熟记同类二次根式的定义是解题关键．24.下列计算正确的是（）A.=B.==±C.【答案】B【解析】【分析】直接利用二次根式的基本性质进行化简和二次根式的加减运算进行判段．【详解】解：A=，故选项错误，不符合题意；B=-=，故选项正确，符合题意；C2-=-，故选项错误，不符合题意；D 3=，故选项错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式化简和二次根式的加减运算，解题的关键是：熟练掌握运算法则．25.有理数a 和b||a b -等于（）A.aB.a -C.2b a +D.2b a-【答案】B【解析】【分析】根据实数与数轴的关系确定a 和b 的符号，再化简即可．【详解】解：观察数轴可知：b ＜0＜a ，b b ==-，()a b b a b b a b a --=---=--+=-，故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴，解决本题的关键是掌握二次根式的性质与化简、实数与数轴．26.《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“三角形的面积＝底×高÷2”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求取三角形面积，用现代式子可表示为：S a 、b 、c 为三角形的三条边长，S 为三角形的面积）．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ，AD ，对角线BD ABCD 的面积为（）A. B. C.2 D.72【答案】B【解析】【分析】根据已知条件的公式计算即可；【详解】根据题意可知：a ，b ，c∴S ，，=，2=，∴△2ABD S =，∴平行四边形△=2ABCD ABD S S =故答案选B ．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，准确分析计算是解题的关键．27.计算：（15（2）4（3）-（4）)11（5）(21)-÷--（6）(0|20213|-+-【答案】（1）1；（2）12；（3；（4）（5）22-；（6）2-【解析】【分析】（1）直接利用二次根式的乘法法则计算出答案；（2）直接利用二次根式的乘除运算法则计算出答案；（3）直接利用二次根式的加减运算法则计算出答案；（4）利用二次根式的加减乘除混合运算法则计算出答案；（5）利用零指数幂、去绝对值符号、二次根式的除法计算出答案．【详解】解：（1551==（2）1442=÷=（3）2-=-=（4）)1131=-+=（5）(21)231222-÷-=--+=-（6）(020213||132=+-+--=--【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除混合运算、零指数幂、去绝对值符号、解题的关键是：掌握相关的运算法则．28.已知a＝2b＝2a2b＋ab2的值．【答案】4【解析】【分析】先计算出a+b，ab，把a2b＋ab2变形为ab（a+b），然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵a＝2，b＝2，∴ab=(2+-=1，a+b=(2+4，∴a2b+ab2=ab（a+b），=1×4=4．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，注意：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了整体代入的方法．29.设a＝－1b＝－1a2－b2，a2－2ab＋b2的值．【答案】；12．【解析】【分析】根据a、b的值计算出a+b、a-b的值，再将所求代数式因式分解，代入即可得出答案．【详解】解：∵a＝－1b＝－1，∴a+b=-2，a-b=（-（），则a2-b2=（a+b）（a-b）；a2-2ab+b2=（a-b）2=（）2=12．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及平方差公式和完全平方公式．30.如果最简根式b a ，b 的值．【答案】0,2a b ==【解析】【分析】根据同类二次根式的定义，根指数相同，被开方数相同列方程组求解即可．【详解】解： 最简根式b 2322b a b b a -=⎧∴⎨=-+⎩，解得：0,2a b ==，故答案是：0,2a b ==．【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，解题的关键是：理解同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开放数相同的二次根式叫做同类二次根式．31.已知二次根式（1）求使得该二次根式有意义的x 的取值范围；（2）已知为同类二次根式，求x 的值，并求出这两个二次根式的积．【答案】（1）x ≥2；（2）x =12，–5．【解析】【详解】试题分析：（1）根据二次根式有意义的条件求解即可；（2化为最简二次根式，再根据同类二次根式的概念求解即可.试题解析（1）要使有意义，必须x –2≥0，即x ≥2，所以使得该二次根式有意义的x 的取值范围是x ≥2；（2=12，所以x –2=10，解得：x =12，这两个二次根式的积为=–5．32.一个直角三角形的两边m 、n 恰好满足等式8m =，求第三条边上的高的长度．【答案】4.8或6【解析】【分析】根据二次根式的意义求出,n m 的值，然后利用等面积法求第三边上高的长度，需要进行分类讨论．【详解】解：8m = ，2120n ∴-=，解得：6,8n m ==，1︒当,m n 10=，由等面积法，11681022h ⨯⨯=⨯，4.8h ∴=，∴第三条边上的高的长度为4.8．2︒当m 为斜边，n 为直角边时，所以第三条边上的高的长度为：6．【点睛】本题考查了勾股定理、二次根式有意义的条件、解题的关键是：熟悉二次根式有意义的条件．33.已知线段a ，b ，c ，且线段a ，b 满足|a |＋（b2＝0（1）求a ，b 的值；（2）若a ，b ，c 是某直角三角形的三条边的长度，求c 的值．【答案】（1）a b （2）c 的值为4．【解析】【分析】（1）根据绝对值与完全平方式非负性求出a b -，即可；（2）分类讨论a 斜边与直角边两种情，利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）∵(20a b +=，(200a b ≥≥，，∴a b ，，∴a b（2）当a b由勾股定理c ==，当a 为某直角三角形的斜边时，b ,c 为直角边，由勾股定理4c ===，∴c 的值为4．【点睛】本题考查非负数的性质，以及勾股定理，二次根式化简，掌握非负数的性质，以及勾股定理，二次根式化为最简二次根式的方法，利用绝对值与完全平方式非负性求出a b ，的值是解题关键．34.已知a ，b －（b －1＝0，求a2014＋b 2015的值．【答案】【解析】【分析】(10b -=，利用二次根式有意义的条件得到1-b ≥0，1+a ≥0再根据几个非负数和的性质得到1+a =0，1-b =0，解得a =-1，b =1，然后根据乘方的意义计算a 2014+b 2015的值．(10b --=，(10b -=(010b ≥-≥，∴1+a =0，1-b =0，解得a =-1，b =1，∴a 2014+b 2015=（-1）2014+12015=1+1=2．【点睛】本题考查了代数式求值，二次根式非负数的性质：二次根式具有非负性．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．35.求代数式的值，其中a＝﹣2020．如图是小亮和小芳的解答过程．（1）的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；（3）求代数式a＝﹣2019．【答案】（1）小芳；（2）被开方的数具有非负性；（3）2025．【解析】【分析】（1）根据题目中的解答过程，可以得到哪位同学做错了；（2）根据题目中的解答过程，可知错误的原因是没有正确运用被开方的数具有非负性；（3）根据题目中的式子和a的值，可以求得所求式子的值．【详解】解：（1）∵a＝﹣2020，∴1﹣a＝1﹣（﹣2020）＝2021，故小芳开方时，出现错误，故答案为：小芳；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：被开方的数具有非负性，故答案为：被开方的数具有非负性；（3）＝，∵a＝﹣2019，∴a﹣3＜0，∴原式＝a+2（3﹣a）＝a+6﹣2a＝6﹣a＝6﹣（﹣2019）＝6+2019＝2025，即代数式2025．【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．36.一样的式子，=，3==)()22212111⨯⨯-===--，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：221111+===-=（1（2+⋅⋅⋅+．【答案】（1；（2）12-【解析】【分析】（1）分母有理化的两种方法：①分子因式分解达到约分的目的；②同乘分母的有理化因式达到约分的目的；（2）先分母有理化，分母都是2，分子可以出现抵消的情况．【详解】（1==22===-（2）原式12222--=+++⋅⋅⋅+12-++⋅⋅⋅+-=12-=．【点睛】本题考查了二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．培优练37.阅读理解题：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如23(1+=，我们来进行以下的探索：设2(a m +=+（其中a ，b ，m ，n 都是正整数），则有2222a m n +=++，∴222a m n =+，2b mn =，这样就得出了把类似a +的式子化为平方式的方法．请仿照上述方法探索并解决下列问题：（1）当a ，b ，m ，n 都是正整数时，若2(a m -=-，用含m ，n 的式子分别表示a ，b ，得a=，b=；（2）利用上述方法，找一组正整数a ，b ，m ，n ，填空：﹣（—）2（3）2(a m -=-且a ，m ，n 都为正整数，求a 的值．【答案】(1)a=m²+5n²,b=2mn;(2)见解析;(3)9或21.【解析】【分析】（1）利用完全平方公式把（2展开即可得到用含m ，n 的式子分别表示出a ，b ；（2）利用（1）中的表达式，令m=2，n=1，则可计算出对应的a 和b 的值；（3）利用（1）的结果得到2mn=4，则mn=2，再利用m ，n 都为正整数得到m=2，n=1或m=1，n=2，然后计算对应的a 的值即可．【详解】(1)∵2(a m -=-=225m n -+，∴225a m n =+，2b mn =；（2）答案不唯一;取m =2，n =1，则a =4+5=9，b =4；(3)∵2mn =4，∴mn =2，而m ，n 都为正整数，∴m =2，n =1或m =1，n =2，当m =2，n =1时，a =9；当m =1，n =2时，a =21.即a 的值为9或21.故答案为(1)a=m²+5n²,b=2mn;(2)见解析;(3)9或21.【点睛】本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．。
江苏省中考数学第一部分考点研究复习第一章数与式第5课时二次根式练习(含解析)
第一章数与式第5课时二次根式（建议答题时间：30分钟)命题点1 二次根式有意义及值为零的条件1。
（2015滨州）如果式子错误!有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来,正确的是( )2. 若错误!在实数范围内有意义,则x的取值范围是( ）A. x≥3B. x≤3且x≠1C。
1＜x≤3 D. x≥1且x≠33。
当x＝________时，二次根式错误!的值为0.第4题图4。
(2015曲靖）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则错误!－｜b|＝________．命题点2 最简二次根式5. （2016自贡)下列根式中，不是最简二次根式的是( )A. 错误! B。
错误! C. 错误! D. 错误!6. （2017原创）若二次根式错误!是最简二次根式,则最小的正整数a＝________．命题点3 二次根式的运算7。
(2015贵港）计算错误!×错误!的结果是( ）A. 错误!B. 错误!C. 3错误!D. 5错误!8. （2016南充）下列计算正确的是（)A。
12＝2错误! B。
错误!＝错误!C。
错误!＝x错误! D。
错误!＝x9. （2015钦州)对于任意的正数m、n，定义运算※为:m※n＝错误!.计算(3※2）×（8※12）的结果为（)A。
2－4错误! B. 2 C. 2错误! D。
2010。
(2016威海）计算:错误!－错误!＝________．11. (2016青岛）计算：错误!＝________．12。
（2017原创)计算错误!－错误!×错误!＝________．13. 计算错误!×错误!＋错误!的结果为________．14。
(2015淄博)计算：(错误!＋错误!）×错误!。
15。
（2015大连）计算：（错误!＋1）（错误!－1)＋错误!－（错误!）0。
命题点4 二次根式的估值16。
(2016天津）估计19的值在( )A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间17. 与1＋错误!最接近的整数是（）A。
江苏省中考数学第一部分考点研究复习第一章数与式第5课时二次根式真题精选(含解析)
第一章数与式第5课时二次根式江苏近4年中考真题精选（2013～2016)命题点1 二次根式有意义的条件(2016年2次，2015年3次，2014年7次，2013年5次) 1。
（2014南通4题2分)若在实数范围内有意义,则x的取值范围是( ）21xA。
x≥错误! B。
x≥－错误! C. x>错误! D。
x＝错误!2。
(2016南京8题2分)若式子x＋错误!在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．命题点2 最简二次根式(2015年2次）3。
（2015淮安4题3分)下列式子为最简二次根式的是（）A. 错误!B. 错误!C. 错误! D。
错误!命题点3 二次根式的运算(2016年3次,2015年3次,2014年2次，2013年5次）4. （2014连云港2题3分）计算错误!的结果是( )A。
－3 B。
3 C. －9 D. 95. （2014徐州4题3分）下列运算中错误．．的是（）A。
错误!＋错误!＝错误! B。
错误!×错误!＝错误!C. 错误!÷错误!＝2D. （－错误!）2＝36。
(2015南京9题2分)计算：错误!的结果是________．7。
（2015泰州9题3分)计算：错误!－2错误!等于________．8. （2013宿迁13题3分)计算：错误!（错误!－错误!）＋错误!的值是________．9。
（2014镇江12题2分)读取表格中的信息，解决问题.n＝1a＝2＋2错误!b1＝错误!＋2c1＝1＋2错误!1n＝2a＝b1＋2c1b2＝c1＋2a1c2＝a1＋2b11n＝3a＝b2＋2c2b3＝c2＋2a2c3＝a2＋2b23…………满足错误!≥2014×(错误!－错误!＋1)的n可以取得的最小正整数是________．10. (2016盐城19(2）题4分）计算：(3－7)（3＋错误!)＋错误!(2－错误!）．命题点4 二次根式的估值(2016年淮安6题,2015年2次，2014年2次，2013年2次）11. (2014南京4题2分)下列无理数中,在－2与1之间的是（)A。
中考数学考点复习集训第5讲：二次根式含解析
第5讲二次根式年份考查频次考查方向二次根式有意义的条件选择1个近三年考查得很少，只有少部分地市对此进行了考查，考查的形式有选择题、填空题，单独考查且考查得较为基础，预计年对此考查的频次仍比较低.2014 选择1个2013选择1个填空2个二次根式的运算2015选择3个填空1个解答2个常考点考查得不多，考查的形式有选择题、填空题和解答题，考查时单独考查或者结合实数的运算、特殊角的三角函数值考查．预计2016年对此考查的频次仍不会很高.2014选择3个解答5个2013选择4个解答3个二次根式的有关概念二次根式一般地，形如a(①____)的式子叫做二次根式.最简二次根式必须同时满足：(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号).二次根式的性质两个重要的性质(a)2＝a(a②____)a2＝|a|＝{③（a≥0）④（a＜0）积的算术平方根ab＝a·b(a≥0，b≥0)商的算术平方根ab＝ab(a≥0，b>0)二次根式的运算二次根式的加减先将各根式化为⑤____________，然后合并被开方数⑥____的二次根式.二次根式的乘法a·b＝⑦____(a≥0，b≥0)二次根式的除法 a b＝⑧______(a ≥0，b ＞0)二次根式的 混合运算与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算⑨____，最后算加减，有括号的先算括号里面的(或先去括号).绝对值：|a|，偶次幂：a 2n，非负数的算术平方根：a(a ≥0)是常见的三种非负数形式．非负数具有以下两条重要性质：(1)非负数形式有最小值为零；(2)几个非负数的和等于零，那么每个非负数都等于零．(2015·贵港)若x ＋2在实数范围内有意义，则x 的取值范围是________．要使二次根式有意义，只需根号内的式子大于或等于零，即可求得结果．1．要使二次根式x －3在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是( )A ．x>3B ．x ≥3C ．x>－3D ．x ≥－3 2．(2013·贵港)下列四个式子中，x 的取值范围为x≥2的是( )A.x －2x －2 B.1x －2C.x －2D.2－x3．使式子x ＋1＋2－x 有意义的x 的取值范围是( ) A ．x ≥－1 B ．－1≤x≤2 C ．x ≤2 D ．－1＜x ＜2计算：(1212－13＋48)÷23＝________.把二次根式被开方数中能开得尽方的因数或因式开方出来，或把被开方数的分母开方出来，化成最简二次根式后再按照运算顺序进行运算，运算结果一定要化为最简二次根式．1．(2015·贵港)计算3×5的结果是( )A.8B.15 C ．3 5 D ．5 32．(2014·柳州模拟)下列运算中，结果正确的是( )A ．43－33＝1 B.2＋3＝ 6 C ．212＝ 2 D.（－4）×（－9）＝－4×－9 3．(2015·河池)计算：13×27＝________. 4．计算：(92－52)÷22＝________. 5．计算：2(2－3)＋ 6.1．下列二次根式是最简二次根式的是( )A.12B. 4C. 3D.82．(2014·达州)二次根式－2x＋4有意义，则实数x的取值范围是( )A．x≥－2 B．x＞－2C．x＜2 D．x≤23．(2013·崇左)下列根式中，与32是同类二次根式的是( )A.12B.8C. 6D. 34．(2014·连云港)计算（－3）2的结果是( )A．－3 B．3 C．－9 D．95．(2014·滨州)估计5在( )A．0～1之间B．1～2之间C．2～3之间D．3～4之间6．(2015·重庆A卷)化简12的结果是( )A．4 3 B．2 3C．3 2 D．2 67．(2014·泸州)已知实数x、y满足x－1＋|y＋3|＝0，则x＋y的值为( )A．－2 B．2 C．4 D．－48．(2014·梧州)下列计算正确的是( )A.2＋3＝ 5B.8＝4 2C．32－2＝3 D.2·3＝ 69．(原创)小马虎做了下列四道题：①3＋2＝5；②2＋3＝23；③52－32＝52－32＝5－3＝2；④3－12＝－ 3.他拿给好朋友聪聪看，聪聪告诉他只做对了( )A．4道B．3道C．2道D．1道10．若x－1在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．11．(2015·衡阳)计算：8－2＝________.12．(2014·威海)计算：45－25×50＝________.13．(2015·自贡)化简：||3－2＝________.14．(2015·龙岩)已知m、n为两个连续的整数，且m<11<n，则m＋n＝________. 15．(2015·来宾)计算：－(－2)＋(1＋π)0－|－2|＋8.16．(2015·钦州)对于任意的正数m 、n ，定义运算律为：m※n＝⎩⎨⎧m －n （m>n ），m ＋n （m<n ），计算(3※2)×(8※12)的结果为( )A ．2－4 6B ．2C ．2 5D ．20参考答案考点解读①a ≥0 ②≥0 ③a ④－a ⑤最简二次根式 ⑥相同 ⑦ab ⑧ab⑨乘除 各个击破 例1 x≥－2题组训练 1.B 2.C 3.B 例2 73题组训练 1.B 2.C 3.3 4.2 5.原式＝2×2－2×3＋ 6 ＝2－6＋ 6 ＝2. 整合集训1．C 2.D 3.B 4.B 5.C 6.B 7.A 8.D 9.D 10.x≥1 11. 2 12. 5 13.2－ 3 14.7 15.原式＝2＋1－2＋2 2 ＝3＋ 2. 16.B。
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第一章 数与式
第5课时 二次根式
（建议答题时间：30分钟）
命题点1 二次根式有意义及值为零的条件
1. (2015滨州)如果式子2x ＋6 有意义，那么x 的取值范围在数轴上表示出来，正确的是( )
2. 若x －3x －1
在实数范围内有意义，则x 的取值范围 是( )
A. x ≥3
B. x ≤3且x ≠1
C. 1＜x ≤3
D. x ≥1且x ≠3
3. 当x ＝________时，二次根式1－12
x 的值为0.
第4题图
4. (2015曲靖)实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则（a －b ）2－|b |＝________．
命题点2 最简二次根式
5. (2016自贡)下列根式中，不是最简二次根式的是( ) A. 10 B. 8 C. 6 D. 2
6. (2017原创)若二次根式3a ＋5是最简二次根式，则最小的正整数a ＝________．
命题点3 二次根式的运算
7. (2015贵港)计算3×5的结果是( ) A. 8 B. 15 C. 3 5 D. 5 3
8. (2016南充)下列计算正确的是( ) A. 12＝2 3 B.
32＝32 C. －x 3＝x －x D. x 2＝x
9. (2015钦州)对于任意的正数m 、n ，定义运算※为：m ※n ＝⎩⎨⎧m －n （m≥n）
m ＋n （m ＜n ）.计算(3※2)×(8※12)
的结果为( )
A. 2－4 6
B. 2
C. 2 5
D. 20
10. (2016威海)计算：18－8＝________．
11. (2016青岛)计算：32－8
2＝________．
12. (2017原创)计算45－25×5＝________． 13. 计算2×8＋3－27的结果为________． 14. (2015淄博)计算：(13
＋27)× 3.
15. (2015大连)计算：(3＋1)(3－1)＋24－(12
)0.
命题点4 二次根式的估值
16. (2016天津)估计19的值在( )
A. 2和3之间
B. 3和4之间
C. 4和5之间
D. 5和6之间
17. 与1＋6最接近的整数是( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1 18. (2015杭州)若k ＜90＜k ＋1(k 是整数)，则k ＝( )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9 命题点5 非负性
19. (2016自贡)若a －1＋b 2－4b ＋4＝0，则ab 的值等于( )
A. －2
B. 0
C. 1
D. 2 20. (2017原创)若x 是实数，且y ＝x －2＋2－x －1，则(x ＋y )y ＝__
______．
答案
1. C 【解析】由题意得，2x ＋6≥0，解得x ≥－3.在数轴上表示如选项C.
2. A 【解析】由题意得：,0103⎩
⎨⎧≠-≥-x x 解得：x ≥3. 3. 2 【解析】由二次根式值为0的条件得，1－12
x ＝0，解得x ＝2. 4. －a 【解析】由题图知a ＜0，b ＞0，∴a －b ＜0，∴（a －b ）2
－|b |＝－(a －b )－b ＝－a. 5. B 【解析】A. 10符合最简二次根式的特征，是最简二次根式；B. 8＝22，不是最简二次根式；C. 6符合最简二次根式的特征，是最简二次根式；D. 2符合最简二次根式的特征，是最简二次根式；故选B.
6. 2 【解析】二次根式3a ＋5是最简二次根式，即3a ＋5＝11，则最小的正整数a ＝2.
7. B 【解析】3×5＝3×5＝15.
8. A 【解析】A.12＝23，正确；B.32＝62
，故此选项错误；C.∵－x 3≥0，∴x ≤0，∴－x 3＝－x －x ，故此选项错误；D.x 2
＝|x |，故此选项错误． 9. B 【解析】∵3＞2，∴3※2＝3－2，∵8＜12，∴8※12＝8＋12＝2(2＋3)，∴(3※2)×(8※12)＝(3－2)×2(2＋3)＝2.
10. 2 【解析】18－8＝32×2－22
×2＝32－22＝ 2. 11. 2 【解析】32－82＝42－222＝222
＝2.
【一题多解】32－8
2
＝
（32－8）·2
2·2
＝
64－16
2
＝
8－4
2
＝2.
12. 35－ 2 【解析】原式＝9×5－2
5
×5＝35－ 2.
13. 1 【解析】原式＝2×8＋3
－27＝4－3＝1.
14. 解：原式＝1
3
×3＋27×3＝1＋9＝10.
15. 解：原式＝3－1＋26－1＝1＋2 6.
16. C 【解析】∵16＜19＜25，∴4＜19＜5，即19的值在4和5之间．
17. B 【解析】∵4＜6＜9，∴2＜6＜3.又6和4比较接近，∴6最接近的整数是2，∴与1＋6最接近的整数是3.
18. D 【解析】∵81＜90＜100，即9＜90＜10，∴k＝9.
19. D 【解析】∵a－1＋b2－4b＋4＝0，∴a－1＋(b－2)2＝0，∴a－1＝0且b－2＝0，∴a＝1，b＝2，∴ab＝2.
20. 1 【解析】由y＝x－2＋2－x－1，得x－2≥0且2－x≥0，解得x＝2，当x＝2时，y＝－1，∴(x＋y)y＝[2＋(－1)]－1＝1.。