2013-2014学年高中数学 基础知识篇 2.3等差数列的前n项和同步练测 新人教A版必修5
等差数列的前n项和公式同步练习(含解析)
《第二节等差数列》同步练习（等差数列的前n项和公式）一、选择题1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S2=10,S5=55,则过点P(n,S nn ),Q(n+2,S n+2n+2)(n∈N*)的直线的斜率为( )A.4B.3C.2D.12.[2022辽宁名校高三上联考]已知数列{a n}是等差数列,前n项和为S n,若a1+a2+a3+a4=3,a17+a18+a19+a20=5,则S20=( )A.10B.15C.20D.403.[2022四川成都七中高一下期中]已知等差数列{a n}的公差d<0,a5a7=35,a4+a8=12,前n 项和为S n,则S n的最大值为( )A.66B.72C.132D.1984.(多选)[2022湖南高三上联考]两个等差数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n与T n,且S2n T n =8n3n+5,则( )A.a3+a8=2b3B.当S n=2n2时,b n=6n+2C.a4+a11b4<2D.∀n∈N*,使得T n>05.(多选)[2022安徽临泉一中高二期末]已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S2 021>0,S2 022<0,则( )A.数列{a n}是递增数列B.|a1 012|>|a1 011|C.当S n取得最大值时,n=1 011D.S1 012<S1 0096.[2022山东潍坊高二调研]在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安四百二十里,良马初日行九十七里,日增一十五里;驽马初日行九十二里,日减一里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.问:几日相逢?( )A.4日B.3日C.5日D.6日7.如果有穷数列a1,a2,…,a n(n∈N*)满足a i=a n-i+1(i=1,2,3,…,n),那么称该数列为“对称数列”.设{a n}是项数为2k-1(k∈N,k≥2)的“对称数列”,其中a k,a k+1,…,a2k-1是首项为50,公差为-4的等差数列,记{a n }的各项之和为S 2k -1,则S 2k -1的最大值为( ) A.622B.624C.626D.6288.(多选)[2022江苏南京高三月考]如图的形状出现在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,第四层有10个球,…….设第n 层有a n 个球,从上往下n 层球的总数为S n ,则( )A.S 5=35B.a n +1-a n =nC.S n -S n -1=n(n+1)2,n ≥2 D.1a 1+1a 2+1a 3+…+1a 100=200101二、非选择题9.如图所示,八个边长为1的小正方形拼成一个长为4,宽为2的矩形,A ,B ,D ,E 均为小正方形的顶点,在线段DE 上有 2 020个不同的点P 1,P 2,…,P 2 020,且它们等分DE.记M i =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (i =1,2,…,2 020).则M 1+M 2+…+M 2 020的值为 .10.已知数列{a n }满足2a n +1=a n +a n +2(n ∈N *),它的前n 项和为S n ,且a 3=10,S 6=72,则{a n }的通项公式a n = ;若数列{b n }满足b n =12a n -30,其前n 项和为T n ,则T n 的最小值为 .11.[2022辽宁阜新高二上期末]在等差数列{a n }中,S n 是数列{a n }的前n 项和,已知a 2=4,S 4=20.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =(-1)n·a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .12.[2022河北唐山一中高二上月考]记S n是等差数列{a n}的前n项和,若S5=-35,S7=-21.(1)求数列{a n}的通项公式,并求S n的最小值;(2)设b n=|a n|,求数列{b n}的前n项和T n.参考答案一、选择题1.C设d为数列{a n}的公差,则{S nn }是公差为d2的等差数列.2.C由题易知S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等差数列,又S4=3,S20-S16=5,则S20=(S20-S16)+(S16-S12)+(S12-S8)+(S8-S4)+S4=(5+3)×52=20.3.A因为d<0,a5a7=35,a4+a8=a5+a7=12,所以a5=7,a7=5,则d=-1,所以a n=a7+(n-7)d=-n+12,所以a12=0,所以当n=11或12时,S n取得最大值,最大值为S11=S12=12(a1+a12)2= 12×(11+0)2=66.4.AB由S2nT n =8n3n+5,知S10T5=10(a1+a10)25(b1+b5)2=a1+a10b3=a3+a8b3=4020=2,即a3+a8=2b3,故A正确;同理可得a4+a11b4=S14T7=2813>2,故C错误;当S n=2n2时,有S2n=8n2,则T n=n(3n+5),易得b n=6n+2,故B正确;当S n=-2n2时,有S2n=-8n2,则T n=-n(3n+5)<0,则不存在n∈N*,使得T n>0,故D错误.5.BC因为S2 021=2021(a1+a2021)2=2 021a1 011>0,S2 022=2022(a1+a2022)2=1 011(a1 011+a1 012)<0,所以a1 011>0,a1 011+a1 012<0,所以a1 012<0,且|a1 012|>|a1 011|,所以数列{a n}是递减数列,且当n=1 011时,S n取得最大值,故B,C正确,A错误.又S1 012-S1 009=a1 010+a1 011+a1 012=3a1 011>0,所以S1 012>S1 009,故D错误.故选BC.6.A记良马第n日行程为a n,驽马第n日行程为b n,则由题意知数列{a n}是首项为97,公差为15的等差数列,数列{b n}是首项为92,公差为-1的等差数列,则a n=97+15(n-1)=15n+82,b n=92-(n-1)=93-n.因为数列{a n}的前n项和为n(97+15n+82)2=n(179+15n)2,数列{b n}的前n项和为n(92+93−n)2=n(185−n)2,所以n(179+15n)2+n(185−n)2=420×2,整理得n2+26n-120=0,解得n=4或n=-30(舍去),即4日相逢.7.C易知a k+a k+1+…+a2k-1=50k+k(k−1)×(−4)2=-2k2+52k,S2k-1=a1+…+a k+a k+1+…+a2k-1=2(a k+a k+1+…+a2k-1)-a k=-4k2+104k-50=-4(k-13)2+626,当k=13时,S2k-1取到最大值,且最大值为626.故选C.8.ACD因为a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,……,a n-a n-1=n,以上n个式子相加可得a n=1+2+3+…+n=n(n+1)2,所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=1+3+6+10+15=35,故A正确;由递推关系可知a n+1-a n=n+1,故B 不正确;当n ≥2时,S n -S n -1=a n =n(n+1)2,故C 正确;因为1a n =2n(n+1)=2(1n−1n+1),所以1a 1+1a 2+…+1a 100=2[(1-12)+(12−13)+…+(1100−1101)]=2(1-1101)=200101,故D 正确.故选ACD.二、非选择题9.14 140 解析如图,设C 为DE 的中点,则AC =72.因为P 1,P 2,…,P 2 020等分DE ,所以AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 021−i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又M 1+M 2+…+M 2 020=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),令S =M 1+M 2+…+M 2 020,则2S =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·[(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+…+(AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )]=(2×2 020)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4 040×√5×72×√5=28 280,所以S =14 140.10.4n -2 -225 解析因为2a n +1=a n +a n +2,所以a n +1-a n =a n +2-a n +1,故数列{a n }为等差数列.设数列{a n }的公差为d.由a 3=10,S 6=72,得{a 1+2d =10,6a 1+15d =72,解得{a 1=2,d =4,所以a n =4n -2,所以b n =12a n -30=2n -31.令{b n ≤0,b n+1≥0,即{2n −31≤0,2(n +1)−31≥0,解得292≤n ≤312.因为n ∈N *,所以数列{b n }的前15项均为负值且第16项为正值,所以T 15最小.因为数列{b n }的首项为-29,公差为2,所以T 15=15(−29+2×15−31)2=-225,所以数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为-225.11.(1)设首项为a 1,公差为d ,由题意知 {a 1+d =4,4a 1+4×32d =20,解得{a 1=2,d =2,故a n =2n. (2)由(1)得b n =(-1)n·a n =(-1)n·2n.当n 为偶数时,T n =(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n -1)+2n ]=n2·2=n ;当n 为奇数时,T n =(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n -2)+2(n -1)]-2n =(n -1)-2n =-n -1, 所以T n ={n,n 为偶数,−n −1,n 为奇数.12.(1)设{a n }的公差为d ,则{5a 1+5×42d =−35,7a 1+7×62d =−21,解得{a 1=−15,d =4, 所以a n =-15+4(n -1)=4n -19.由a n=4n-19≥0,得n≥194,所以当n=1,2,3,4时,a n<0,当n≥5时,a n>0,所以S n的最小值为S4=4a1+4×32d=-36.(2)由(1)知,当n≤4时,b n=|a n|=-a n;当n≥5时,b n=|a n|=a n.又S n=na1+n(n−1)2d=2n2-17n,所以当n≤4时,T n=-S n=17n-2n2,当n≥5时,T n=S n-2S4=2n2-17n-2×(-36)=2n2-17n+72,即T n={17n−2n2,n≤4, 2n2−17n+72,n≥5.。
高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 第2课时 等差数列的前n项和(习题课)达标检测(
等差数列的前n 项和A 级 基础巩固一、选择题1．一个等差数列共有2n ＋1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项为()A ．30B ．31C ．32D ．33解析：中间项为a n ＋1.S 奇＝（a 1＋a 2n ＋1）2·(n ＋1)＝(n ＋1)a n ＋1＝512. S 偶＝a 2＋a 2n 2·n ＝n ·a n ＋1＝480. 所以a n ＋1＝S 奇－S 偶＝512－480＝32.答案：C2．(多选)设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，且S 7<S 8，S 8＝S 9>S 10，则下列结论正确的是()A ．d <0B ．a 9＝0C ．S 11>S 7D ．S 8、S 9均为S n 的最大值解析：由S 7<S 8得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7<a 1＋a 2＋…＋a 7＋a 8，即a 8>0，又因为S 8＝S 9，所以a 1＋a 2＋…＋a 8＝a 1＋a 2＋…＋a 8＋a 9，所以a 9＝0，故B 项正确．同理由S 9>S 10，得a 10<0，因为d ＝a 10－a 9<0，故A 项正确．对C ，S 11>S 7，即a 8＋a 9＋a 10＋a 11>0，可得2(a 9＋a 10)>0，由结论a 9＝0，a 10<0，显然C 项是错误的．因为S 7<S 8，S 8＝S 9>S 10，所以S 8与S 9均为S n 的最大值，故D 项正确．答案：ABD3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12为()A.310B.13C.18D.19解析：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9，构成一个新的等差数列，令S 3＝1，S 6－S 3＝3－1＝2，所以S 9－S 6＝3，S 12－S 9＝4.所以S 12＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋(S 12－S 9)＝1＋2＋3＋4＝10.所以S 6S 12＝310. 答案：A4．若数列{a n }的前n 项和是S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于()A ．15B ．35C ．66D ．100解析：易得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －5，n ≥2. |a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1，令a n >0则2n －5>0，所以n ≥3.所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝－(a 1＋a 2)＋a 3＋…＋a 10＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.答案：C5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，则当S n 取最小值时，n ＝()A ．9B ．8C ．7D ．6解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－11，2a 1＋12d ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－13，d ＝2.所以a n ＝－15＋2n .由a n ＝－15＋2n ≤0，解得n ≤152. 又n 为正整数，所以当S n 取最小值时，n ＝7.答案：C二、填空题6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝________．解析：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)．因为S 3＝9，S 6－S 3＝27，所以S 9－S 6＝45，所以a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.答案：457．(2019·全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________． 答案：48．若等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若a 2∶a 3＝5∶2，则S 3∶S 5＝________． 解析：S 3S 5＝3（a 1＋a 3）5（a 1＋a 5）＝3a 25a 3＝35×52＝32. 答案：3∶2三、解答题9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0.(1)求公差d 的X 围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解：(1)因为a 3＝12，所以a 1＝12－2d ，因为S 12＞0，S 13＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d ＞0，13a 1＋78d ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0， 所以－247＜d ＜－3. (2)因为S 12＞0，S 13＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7＞0，a 7＜0， 所以a 6＞0.又由(1)知d ＜0.所以数列前6项为正，从第7项起为负．所以数列前6项和最大．10．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和． 解：法一 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，①100a 1＋100×992d ＝10，② ①×10－②，整理得d ＝－1150， 代入①，得a 1＝1 099100. 所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝110×1 099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150 ＝110×1 099－109×11100＝－110. 故此数列的前110项之和为－110. 法二 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100为等差数列，设公差为d ′，则10S 10＋10×92×d ′＝S 100＝10， 因为S 10＝100，代入上式得d ′＝－22， 所以S 110－S 100＝S 10＋(11－1)×d ′＝100＋10×(－22)＝－120， 所以S 110＝－120＋S 100＝－110.法三 设等差数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn . 因为S 10＝100，S 100＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－11100，b ＝11110， 所以S n ＝－11100n 2＋11110n ， 所以S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110. B 级 能力提升1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 4＝0，a 5＝5，则()A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n 答案：A2．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003· a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是________．解析：由条件可知数列单调递减，故知 a 2 003＞0，a 2 004＜0，故S 4 006＝4 006（a 1＋a 4 006）2＝2 003·(a 2 003＋a 2 004)＞0， S 4 007＝4 007（a 1＋a 4 007）2＝4 007×a 2 004＜0， 故使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是4 006. 答案：4 0063．等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数． 因为S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0.解得－103≤d ≤－52. 因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n .(2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ， 于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋⎦⎥⎤…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13(110－3n －110)＝n 10（10－3n ）.。
高中数学《2.3 等差数列的前n项和(1)》练习 新人教A版必修5
高中数学必修五《2.3 等差数列的前n 项和（1）》练习1.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若241,5a a ==，则4S = （ ）A ．12 B.10 C.8 D.62.数列1、-2、3、-4、5、-6、…的第100项是 （ ）A ．-100 B.100 C.101 D.-1013.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31710,a a +=则19S = （ ）A ．190 B.170 C.95 D.854.等差数列{}n a 中，1815296a a a ++=，则8a =（ ）A ．24 B.22 C.20 D.-85.{n a }是首项为6，公差为3的等差数列，如果 n a =2013，则序号n 等于（ ）（A ）667 (B)668 (C)669 (D)6706.已知数列{n a }为等差数列，n S 为其前n 项和，且 2436a a =-则9S 等于（ ）（A ）25 (B)27 (C)50 (D)54二．填空题1.在等差数列{}n a 中，已知4512,a a +=则8S =2.在等差数列{}n a 中，247,15a a ==,则10S =3.等差数列10,6,2,1,---，前 项的和是54.4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6312a S ==，则{}n a 的通项公式n a =_________5.在等差数列{}n a 中，10120S =，则38a a +=________6.设{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，且13578a a a a +++=，则7S =_______三.解答题：1.设等差数列{}n a 满足3a =5，10a =-9，求{}n a 的通项公式。
2.设数列 {n a } 是等差数列，且494,6a a =-=， 则数列的前 n 项和n S 等于3. 在等差数列{}n a 中，24354,10a a a a +=+=，则它的前10项和是4. 已知等差数列{}n a 中，（1）11,512,1022,n n a a S ==-=-求d ；（2）524,S =求24a a +5.已知在等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，求数列{}n b 的前5项和.。
等差数列与前n项和练习试题（可编辑修改word版）
等差数列与前n项和练习试题（可编辑修改word版）第1 讲等差数列及其前n 项和⼀、填空题1．在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝.2.设等差数列{a }的前n 项和为S ，若S4 －S3＝1，则公差为．n n12 93.在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最⼤值时，n＝.4．在等差数列{a n}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则S9＝. 5．设等差数列{a n}的公差为正数，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝.6.已知数列{a n}的前n 项和为S n＝2n2＋pn，a7＝11.若a k＋a k＋1＞12，则正整数k 的最⼩值为．7.已知数列{a n}满⾜递推关系式a n＝2a n＋2n－1(n∈N*)，且a n＋λ为等差数{ 2n }＋1列，则λ的值是．8.已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n 项和，a7－a5＝4，a11＝21，S k＝9，则k＝.10.已知f(x)是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)成⽴．数列{a n}满⾜a n＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2.则数列的通项公式a n＝.⼆、解答题1.已知等差数列{a n}的前三项为a－1,4,2a，记前n 项和为S n.(1)设S k＝2 550，求a 和k 的值；(2)设b n＝S n，求b ＋b ＋b ＋…＋b 的值．3 7 114n－1n12.已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n，若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3 项和第5 项，试求数列{b n}的通项公式及前n 项和S n.13.在等差数列{a n}中，公差d＞0，前n 项和为S n，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝S n(n∈N*)，是否存在⼀个⾮零常数c，使数列{b n}也为等差数列？n＋c若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．第2 讲等⽐数列及其前n 项和⼀、填空题1.设数列{a n2}前n项和为S n，a1＝t，a2＝t2，S n＋2－(t＋1)S n＋1＋tS n＝0，则{a n}是数列，通项a n＝.解析由S n＋2－(t＋1)S n＋1＋tS n＝0，得S n＋2－S n＋1＝t(S n＋1－S n)，所以a n＋2＝ta，所以a n＋2＝t，⼜a2＝t，n＋1a n＋1 a1所以{a n}成等⽐数列，且a n＝t·t n－1＝t n.答案等⽐t n2.等⽐数列{a }的前n 项和为S 8a ＋a ＝0，则S6＝.n n, 2 5S34 2 2 2 8 8 解∵8a 2＋a 5＝8a 1q ＋a 1q 4＝a 1q (8＋q 3)＝0 ∴q ＝－2∴S 6＝1－q 6＝1＋q 3＝－7.S 3 1－q 3 答案－73. 数列{a n }为正项等⽐数列，若 a 2＝2，且 a n ＋a n ＋1＝6a n －1(n ∈N ，n ≥2)，则此数列的前 4 项和 S 4＝ .解析由 a 1q ＝2，a 1q n －1＋a 1q n ＝6a 1q n －2，得 q n －1＋q n ＝6q n －2，所以 q 2＋q ＝6.⼜ q ＞0，所以 q ＝2，a 1＝1.所以 S ＝a 11－q 4＝1－24＝15.1－q 1－2答案 154. 已知等⽐数列{a n }的前 n 项和 S n ＝t ·5n －2－1，则实数 t 的值为．5解析∵a 1＝S 1＝1t －1，a 2＝S 2－S 1＝4t ，a 3＝S 3－S 2＝4t ，∴由{a n }是等⽐数 5 5 5 列知 4t 2＝ 1t 1 ×4t ，显然 t≠0，所以 t ＝5.(5 ) (5－ )5答案 55. 已知各项都为正数的等⽐数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满⾜ a n ·a n ＋1·a n ＋2≥1的最⼤正整数 n 的值为．8解析由等⽐数列的性质，得 4＝a 2·a 4＝a 32(a 3＞0)，所以 a 3＝2，所以 a 1＋a 2＝14－a 3＝12，于是由Error!解得Error!所以 a n ＝8·(1)n －1＝(1)n －4. 于是由 a n ·a n ＋1·a n ＋2＝a n ＋3 1＝(1)3(n －3)＝(1)n －3≥1，得 n －3≤1，即 n ≤4.33答案 46．在等⽐数列{a n }中，a n >0，若 a 1·a 2·…·a 7·a 8＝16，则 a 4＋a 5 的最⼩值为．解析由已知 a 1a 2·…·a 7a 8＝(a 4a 5)4＝16，所以 a 4a 5＝2，⼜ a 4＋a 5≥2 a 4a 5＝2 2(当且仅当 a 4＝a 5＝答案 2 2时取等号)．所以 a 4＋a 5 的最⼩值为 2 2.7. 已知递增的等⽐数列{a }中，a ＋a ＝3，a ·a ＝2，则a 13＝.n 2 8 3 7a 10解析∵{a n }是递增的等⽐数列，∴a 3a 7＝a 2a 8＝2，⼜∵a 2＋a 8＝3，∴a 2，a 8 是⽅程 x 2－3x ＋2＝0 的两根，则 a 2＝1，a 8＝2，∴q 6＝ a 8＝2，∴q 3＝a 22，∴a 13＝q 3＝ 2.a 10答案8. 设 1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中 a 1，a 3，a 5，a 7 成公⽐为 q 的等⽐数列，a 2，a 4，a 6成公差为 1 的等差数列，则 q 的最⼩值为．解析由题意知 a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3 且 q ≥1，a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2 且a 2≥1，那么有 q 2≥2 且 q 3≥3.故 q ≥3 3，即 q 的最⼩值为3 3. 答案⼆、解答题11．在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设数列{a n ＋b n }是⾸项为 1，公⽐为 c 的等⽐数列，求{b n }的前 n 项和 S n .解 (1)设等差数列{a n }的公差是 d .依题意 a 3＋a 8－(a 2＋a 7)＝2d ＝－6，从⽽ d ＝－3.22nn由 a 2＋a 7＝2a 1＋7d ＝－23，解得 a 1＝－1. 所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝－3n ＋2.(2)由数列{a n ＋b n }是⾸项为 1，公⽐为 c 的等⽐数列，得 a n ＋b n ＝c n －1，即－3n ＋2＋b n ＝c n －1，所以 b n ＝3n －2＋c n －1.所以 S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1) ＝n3n －1＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1)． 2从⽽当 c ＝1 时，S ＝n 3n －1＋n ＝3n 2＋n . 2 2当 c ≠1 时，S n ＝n3n －1＋1－c n . 2 1－c12. 设各项均为正数的等⽐数列{a n }的前 n 项和为 S n ，S 4＝1，S 8＝17.(1)求数列{a n }的通项公式；( 2)是否存在最⼩的正整数 m ，使得 n ≥m 时，a n >2 011恒成⽴？若存在，求15出 m ；若不存在，请说明理由．解 (1)设{a }的公⽐为 q ，由 S ＝1，S ＝17 知 q ≠1，所以得a1q 4－1＝1， n48a 1q 8－1＝17. q－1q －1相除得q 8－1＝17，解得 q 4＝16.所以 q ＝2 或 q ＝－2(舍去)． q 4－1由 q ＝2 可得 a ＝ 1 ，所以 a ＝2n －1.1n15 15 (2)由 a ＝2n －1>2 011，得 2n －1>2 011，⽽ 210<2 011<211，所以 n －1≥11， 1515即 n ≥12.2 011恒成⽴．因此，存在最⼩的正整数m＝12，使得n≥m 时，a n>1513.已知公差⼤于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满⾜a2·a4＝65，a1＋a5＝18.(1)求数列{a n}的通项公式a n.(2)若1＜i＜21，a1，a i，a21是某等⽐数列的连续三项，求i 的值；(3)是否存在常数k，使得数列{S n＋kn}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．解(1)因为a1＋a5＝a2＋a4＝18，⼜a2·a4＝65，所以a2，a4是⽅程x2－18x＋65＝0 的两个根．⼜公差d＞0，所以a2＜a4.所以a2＝5，a4＝13. 所以Error!解得a1＝1，d＝4.所以a n＝4n－3.(2)由1＜i＜21，a1，a i，a21是某等⽐数列的连续三项，所以a1·a21＝a2i，即1·81＝(4i－3)2，解得i＝3.(3)由(1)知，S n＝n·1＋n n－1·4＝2n2－n.2假设存在常数k，使数列{ S n＋kn}为等差数列，由等差数列通项公式，可设S n＋kn＝an＋b，得2n2＋(k－1)n＝an2＋2abn＋b 恒成⽴，可得a＝2，b＝0，k＝1.所以存在k＝1 使得{ S n＋kn}为等差数列．第3 讲等差数列、等⽐数列与数列求和⼀、填空题1.设{a n}是公差不为0 的等差数列，a1＝2 且a1，a3，a6成等⽐数列，则{a n}的前 n 项和 S n ＝ .解析由题意设等差数列公差为 d ，则 a 1＝2，a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .⼜∵a 1，a 3，a 6 成等⽐数列，∴a 32＝a 1a 6，即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得 2d 2－d ＝0.∵ d ≠0，∴d ＝1，∴S ＝na ＋n n －1d ＝n 2＋7n .n 12 2 4 4答案 n 24 42. 数列{a n }的通项公式a n＝1，若前 n 项的和为 10，则项数为．n ＋ n ＋1解析∵a n ＝答案 1201＝ n ＋ n ＋1n ＋1－ n ，∴S n ＝ n ＋1－1＝10，∴n ＝120.3. 已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{ 1}的前 100a n a n ＋1项和为．解析∵a ＝5，S ＝15，∴5a 1＋a 5＝15，即 a ＝1.5512 ∴d ＝a 5－a 1＝1，∴a ＝n .∴ 1 ＝1 ＝1－ 1 .设数列 1 的前5－1n 项和为 T n .na n a n ＋1 n n ＋1 nn ＋1{a n a n ＋1}∴T 100＝(1－1)＋(1＋…＋(1 )＝1－ 1 ＝100.2 3 答案 100101100 101 101 1014．已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝5，b 1＝7，且 a 20＋b 20＝60.则{a n ＋b n } 的前 20 项的和为．解析由题意知{a n ＋b n }也为等差数列，所以{a n ＋b n }的前 20 项和为：S 20＝ 20a 1＋b 1＋a 20＋b 20＝20 × 5＋7＋60＝720.2 22 －－ 1c d n22 1 an a n＋1答案7205．已知等⽐数列{a n}的前n项和S n＝2n－1，则a12＋a2＋…＋a n2＝.解析当n＝1 时，a1＝S1＝1，当n≥2 时，a n＝S n－S n－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，⼜∵a1＝1 适合上式．∴a n＝2n－1，∴a n2＝4n－1.∴数列{a n2}是以a21＝1 为⾸项，以4 为公⽐的等⽐数列．∴a12＋a2＋…＋a n2＝1·1－4n＝1(4n－1)．答案1(4n－1)31－4 36．定义运算：|a b|＝ad－bc，若数列{a}满⾜|a1 1|＝1 且| 3 3 |＝12(n∈N*)，则a3＝，数列{a n}的通项公式为a n＝.解析由题意得a1－1＝1,3a n＋1－3a n＝12 即a1＝2，a n＋1－a n＝4.∴{a n}是以2 为⾸项，4 为公差的等差数列，∴a n＝2＋4(n－1)＝4n－2，a3＝4×3－2＝10.答案10 4n－27．在等⽐数列{a n}中，a1＝1，a4＝－4，则公⽐q＝；|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝2.解析∵a 4＝q3＝－8，∴q＝－2.∴a ＝1·(－2)n－1，na1 21n1－2∴|a n|＝2n－2，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝2 ＝2n－1－1.1－2 2 答案－2 2n－1－128.已知S n是等差数列{a n}的前n 项和，且S11＝35＋S6，则S17的值为．解析因S11＝35＋S6，得11a1＋11 × 10d＝35＋6a1＋6 × 5d，即a1＋8d＝2 27，所以S17＝17a1＋17 × 16d＝17(a1＋8d)＝17×7＝119.2答案1199.等差数列{a n}的公差不为零，a4＝7，a1，a2，a5成等⽐数列，数列{T n}满⾜条件T n＝a2＋a4＋a8＋…＋a2n，则T n＝.解析设{a n}的公差为d≠0，由a1，a2，a5成等⽐数列，得a2＝a1a5，即(7－2d)2＝(7－3d)(7＋d)所以d＝2 或d＝0(舍去)．所以a n＝7＋(n－4)×2＝2n－1.⼜a2n＝2·2n－1＝2n＋1－1，故T n＝(22－1)＋(23－1)＋(24－1)＋…＋(2n＋1－1)＝(22＋23＋…＋2n＋1)－n＝2n＋2－n－4.答案2n＋2－n－410.数列{a n}的通项公式a n＝2n－1，如果b n＝2n，那么{b n}的前n 项和a n＋a n＋1为．解析b n＝2n n＝2n＋1－1－2n－1，a n＋a n＋1所以b1＋b2＋…＋b n＝22－1－2－1＋23－1－22－1＋…＋－2n－1＝2n＋1－1－1.答案⼆、解答题2n＋1－1－111.已知{a n}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.2n＋1－1n (1) 求{a n }的通项公式；(2) 若等⽐数列{b n }满⾜ b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前 n 项和公式．解 (1)设等差数列{a n }的公差为 d . 因为 a 3＝－6，a 6＝0，所以Error!解得 a 1＝－10，d ＝2. 所以 a n ＝－10＋(n －1)·2＝2n －12. (2)设等⽐数列{b n }的公⽐为 q .因为 b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，所以－8q ＝－24，即 q ＝3. 所以{b }的前 n 项和公式为 S ＝b 1 1－q n ＝4(1－3n )．n n 1－q13.记公差 d ≠0 的等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，已知 a 1＝2＋ 2，S 3＝12＋3(1) 求数列{a n }的通项公式 a n 及前 n 项和 S n .(2) 已知等⽐数列{b nk }，b n ＋ 2＝a n ，n 1＝1，n 2＝3，求 n k .(3) 问数列{a n }中是否存在互不相同的三项构成等⽐数列，说明理由．解 (1)因为 a 1＝2＋所以 d ＝2.2，S 3＝3a 1＋3d ＝12＋3 2，所以 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋ 2，S ＝n a 1＋a n ＝n 2＋( 22＋1)n . (2) 因为 b n ＝a n －所以 bn k ＝2n k .2＝2n ，2.⼜因为数列{bn }的⾸项bn ＝b ＝2，公⽐q＝b 3＝3，k 1 1b1 所以bn k＝2·3k－1.所以2n k＝2·3k－1，则n k＝3k－1.(3)假设存在三项a r，a s，a t成等⽐数列，则a2s＝a r·a t，即有(2s＋2)2＝(2r＋2)(2t＋2)，整理得(rt－s2) 2＝2s－r－t.若rt－s2≠0，则2＝2s－r－t，rt－s2因为r，s，t∈N*，所以2s－r－t是有理数，这与rt－s22为⽆理数⽭盾；若rt－s2＝0，则2s－r－t＝0，从⽽可得r＝s＝t，这与r综上可知，不存在满⾜题意的三项a r，a s，a t.。
人教A版高中数学必修五同步练测：2.3等差数列的前n项和(含答案解析)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2.3 等差数列的前n 项和(人教A 版必修5)建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（每小题3分，共27分）1.已知数列{}n a 为等差数列，公差2d ＝－，n S 为其前n 项和．若1011S S ＝，则1a ＝( )A.18B.20C.22D.242.若11a =，2d ＝，224k k S S ＋－＝，则k ＝( ) A.8 B.7 C.6 D.53.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1a =12，4S ＝20，则6S =( ) A.16 B.24 C.36 D.484.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11m m a a －＋＋－2ma ＝0，21m S －＝38，则m ＝( )A.38B.20C.10D.95.数列{}n a 是等差数列，12324a a a ＋＋＝－，1819a a ＋＋2078a ＝，则此数列的前20项和等于( )A.160B.180C.200D.2206.等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，2811a a a ＋＋是一个定值，则下列各数中也为定值的是( )A.7SB.8SC.13SD.15S7.已知等差数列{}n a 满足244a a ＋＝，3510a a ＋＝，则它的前10项的和10S ＝( )A.138B.135C.95D.238.已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为( ) A.24 B.26 C.27 D.289.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1OB a OA=200a OC +且,,A B C 三点共线(该直线不过点O )，则200S ＝( )A.100B.101C.200D.201二、填空题（每小题4分，共16分）10.在等差数列{}n a 中，10a ＞，d ＝12，n a ＝3，n S ＝152，则1a ＝ ，n ＝ . 11. 设等差数列的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= ．12.已知等差数列{}n a 的前n 项和为18，若3S ＝1，n a 123n n a a －－＋＋＝，则n ＝ .13.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 ． 三、解答题（共57分）14.(8分)在等差数列{}n a 中：(1)已知51058a a ＋＝，4950a a ＋＝，求10S ； (2)已知742S ＝，510n S ＝，345n a －＝，求n .15.（8分) 已知}{n a 为等差数列，122,3a a ==，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的项构成一个新的等差数列，求：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？16.（8分）已知等差数列{}n a ， (1)若271221a a a ＋＋＝，求13S ； (2)若1575S ＝，求8a .17.（9分）已知在正整数数列{}n a 中，前n 项和n S 满足：n S ＝18(n a ＋2)2.(1)求证：{}n a 是等差数列；(2)若n b ＝12n a －30，求数列{}n b 前n 项和的最小值．18.（12分）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,且4S =－62, 6S =－75,求：（1）}{n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）|1a |+|2a |+|3a |+…+|14a |.19.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和278n S n n ＝－－. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和n T .2.3 等差数列的前n和(人教A版必修5)答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9答案二、填空题10． 11． 12. 13.三、解答题14.15.16.17.18.19.2.3 等差数列的前n项和(人教A版必修5)答案1.B 解析：由1011S S ＝，得1111100a S S ＝－＝，111(111)0(10)(2)20a a d ⨯＝＋－＝＋－－＝.2.D 解析：∵ 212111(1)2(21)21(21)24424k k k k S S a a a kd a k d a k d k k ⨯⨯＋＋＋－＝＋＝＋＋＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝，∴ 5k ＝.3.D 解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，∵ 1a ＝12，4S ＝4×12＋4×32d ＝2＋6d ＝20，∴ d ＝3，故6S ＝6×12＋6×52×3＝48，故选D.4.C 解析：由等差数列的性质，得112m m m a a a －＋＋＝，∴ 22m m a a ＝.由题意得0m a ≠，∴ 2m a ＝.又21m S －＝121(21)()2(21)22m m m a a a m --+-=＝2(21)m －＝38，∴ m ＝10.5.B 解析：∵ {}n a 是等差数列，∴ 120219318a a a a a a ＋＝＋＝＋.又12324a a a ＋＋＝－，18192078a a a ＋＋＝，∴ 12021931854a a a a a a ＋＋＋＋＋＝. ∴ 1203()54a a ＋＝.∴ 12018a a ＋＝.∴ 20S ＝12020()2a a +＝180. 6.C 解析：由已知28111173183(6)3a a a a d a d a ＋＋＝＋＝＋＝为定值，则13S ＝11313()2a a +＝137a 也为定值，故选C. 7.C 解析：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则24354,10.a a a a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②②－①，得2d ＝6，∴ d ＝3.∴ 2411113242434a a a d a d a d a ⨯＋＝＋＋＋＝＋＝＋＝.∴ 14a ＝－.∴ 10S ＝10×(－4)＋10×92×3＝－40＋135＝95.故选C.8.B 解析：设该等差数列为{}n a ，由题意得123421a a a a ＋＋＋＝，12367n n n n a a a a －－－＋＋＋＝. 又∵ 1213243n n n n a a a a a a a a －－－＋＝＋＝＋＝＋，∴ 14()216788n a a ＋＝＋＝，∴ 122n a a ＋＝， ∴ n S ＝1()2n n a a +11286n ＝＝，∴ 26n ＝. 9.A 解析：∵ 1200OB a OA a OC =+，且,,A B C 三点共线， ∴ 12002001a a S ＋＝，＝1200200()2a a +100＝.二、填空题10.23 解析：由题意，得1113(1)21511=(1),222a n na n n ⎧=+-⨯⎪⎪⎨⎪+⨯-⨯⎪⎩，解得12,3.a n =⎧⎨=⎩ 11.24 解析：∵ }{n a 是等差数列,972S =,599,S a ∴=58a =.∴2492945645()()324a a a a a a a a a a ++=++=++==. 12.27 解析：由题意得1()182n n n a a S +==. 由121233,1,n n n a a a a a a --++=⎧⎨++=⎩得13()4n a a ＋＝，即1n a a ＋＝43，故n ＝136362743na a ==+. 13.3 解析：1357915S a a a a a 奇＝＋＋＋＋＝，24681030S a a a a a 偶＝＋＋＋＋＝，∴ 515S S d 偶奇－＝＝，∴ 3d ＝.14.(1)解法一：由已知条件得510149121358,21150,a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩解得13,4.a d =⎧⎨=⎩∴ 10110S a ＝＋10(101)2d ⨯-⨯103⨯＝＋1092⨯4210⨯＝. 解法二：由已知条件得51011049110458,250,a a a a d a a a a d +=++=⎧⎨+=++=⎩∴ 11042a a ＋＝，∴ 10S ＝11010()2a a ⨯+542210⨯＝＝.解法三：由51049()()25850a a a a d ＋－＋＝＝－，得4d ＝； 由4950a a ＋＝，得121150a d ＋＝，∴ 13a ＝. 故10103S ⨯＝＋10942102⨯⨯=. (2)解：7S ＝177()2a a +4742a ＝＝，∴ 46a ＝. ∴ n S ＝()()()14345510222-+++===6n n n a a n a a n .∴ 20n ＝.15.解：设新数列为{},4,)1(,3,2,1512511d b b d n b b a b a b b n n +=-+=====有根据则即3=2+4d ，∴ 14d =，∴ 172(1)44n n b n +=+-⨯=. 1(43)7(1)114n n a a n n -+=+-⨯=+=又，∴ 43n n a b -=.即原数列的第n 项为新数列的第（4n －3）项．（1）当n =12时，4n －3=4×12－3=45，故原数列的第12项为新数列的第45项； （2）由4n －3=29,得n =8，故新数列的第29项是原数列的第8项. 16.解：(1)∵ 21211372a a a a a ＋＝＋＝，271221a a a ＋＋＝， ∴ 7321a ＝，即7a ＝7. ∴ 13S ＝11313()2a a +＝71322a ⨯＝91. (2)∵ 15S ＝11515()2a a +＝81522a ⨯＝75，∴ 8a ＝5. 17.（1）证明：由21(2)8n n S a ＝＋，得2111(2)8n n S a －－＝＋(n ≥2)．当n ≥2时，n a ＝n S －1n S －＝182(2)n a ＋－1821(2)n a －＋，整理，得11()(4)0n n n n a a a a －－＋－－＝.∵ 数列{}n a 为正整数数列，∴ 10,n n a a +≠－ ∴ 14n n a a －－＝，即{}n a 为等差数列．(2)解：∵ 1S ＝1821(2)a ＋，∴ 1a ＝1821(2)a ＋，解得1a ＝2.∴ n a ＝2＋4(n －1)＝4n －2.∴ n b ＝12n a －30＝12(4n －2)－30＝2n －31.令n b <0，得n <312. ∴ 15S 为前n 项和的最小值，即151215S b b b ＝＋＋＋＝2(1＋2＋…＋15)－15×31＝－225. 18.解：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，依题意得⎩⎨⎧-=+-=+，，75156626411d a d a解得120,3.=⎧⎨=⎩－a d(1)2)23320(2)(,233)1(11-+-=+=-=-+=n n n a a S n d n a a n n n 234322n n =-.(2){}120,3,n a d a n =-=∴的项随着的增大而增大.1Z 202300,32303(1)230,(),7,337+≤≥-≤+-≥∴≤≤∈=k k a a k k k k k 设且得且数.即第项及之前均为负∴ 123141278914||||||||()()a a a a a a a a a a ++++=-+++++++1472147S S =-=.19.解：(1)当n ＝1时，11a S ＝＝－14； 当n ≥2时，1n n n a S S －＝－＝2n －8， 故n a ＝14(1),28(2).n n n -=⎧⎨-≥⎩(2)由n a ＝2n －8可知：当n ≤4时，n a ≤0；当n ≥5时，0n a >. ∴ 当1≤n ≤4时，278n n T S n n ＝－＝－＋＋；当n ≥5时，22444()2782(20)732n n n T S S S S S n n n n ⨯＝－＋－＝－＝－－－－＝－＋.∴ n T ＝2278(14),732(5).n n n n n n ⎧-++≤≤⎪⎨-+≥⎪⎩。
2.3_等差数列的前n项和知识点与练习
2.3 等差数列前n 项和知识梳理数列的前n 项和我们称a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .1． 公式的推导：倒序相加法. ① S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n . ② S n ＝a n ＋a n-1＋a n-2＋…＋a 1.①+②得2)(),(211n n n n a a n s a a n s +=+=则 又因为，2)1(s ,)1(11dn n na d n a a n n -+=-+=则2． 公式：11()(1),22n n n n a a n n dS S na +-==+3. 公式的应用（1）在求等差数列前n 项和时，若已知1,n a a 和项数n ，就可以采用公式1()2n n n a a S +=；若已知首项1a ，公差d 以及项数n ，即可利用公式1(1)2n n n dS na -=+. （2）等差数列的前n 项和公式涉及1,,,,n n a d a n S 这5个量，已知其中3个量，可求其余的两个量，通常称为“知三求二”. (体现方程的思想)知识点二 等差数列前n 项和公式与二次函数 2*11(1)()()n n n d d dS a n a n n N -=+=+-∈提示：不一定正确．当d ≠0时，S n ＝An 2＋Bn (A ≠0)是关于n 的二次函数；当d ＝0时，S n ＝na 1＝a 1n 是关于n 的一次函数结论：3．等差数列前n 项和S n 与函数有哪些关系？提示：对于形如S n ＝An 2＋Bn 的数列一定为等差数列，且公差为2A ，记住这个结论，如果已知数列的前n 项和可以直接写出公差．(1)当A ＝0，B ＝0时，S n ＝0是关于n 的常数函数(此时a 1＝0，d ＝0)；(2)当A ＝0，B ≠0时，S n ＝Bn 是关于n 的正比例函数(此时，a 1≠0，d ＝0)； (3)当A ≠0，B ≠0时，S n ＝An 2＋Bn 是关于n 的二次函数(此时d ≠0)； (4)若{a n }是等差数列且d ≠0，则S n 是关于n 的不含常数项的二次函数．拓展点一 n S 与n a 的关系已知数列{}n a 的通项公式n a ，前n 项和n S ，则n S 与n a 有如下关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 推导如下：12n n S a a a =++⋅⋅⋅+， 当2n ≥时，1121n n S a a a --=++⋅⋅⋅+ ∴当2n ≥时，1n n n S S a --=又当1n =时，11a S =∴11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 拓展点二 等差数列前n 项和的性质及其证明1． 如果数列{n a }是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ，那么数列*232,,,()k k k k k S S S S S k N --⋅⋅⋅∈成公差为2k d 的等差数列.证明：设等差数列的首项为1,a 公差为d ，则11211,2.k k a a kd a a kd ++=+=+ 1(1)2k k k dS ka -=+又2k k S S -即为数列第1k +项到第2k 项这k 项的和 2211(1)(1)()22k k k k d k k dS S k a kd ka k d --∴-=++=++ 同理，23211(1)(1)(2)222k k k k d k k dS S k a kd ka k d ---=++=++⋅⋅⋅*232,,,()k k k k k S S S S S k N ∴--⋅⋅⋅∈成公差为2k d 的等差数列也可表示为：若数列{ a n }为等差数列，则S n ，S n 2－S n ，S n 3－S n 2，…仍然成等差数列，公差为d n 25等差数列{a n }中，n S n 是n 的一次函数，且点（n ，nSn ）均在直 线 y =2d x + (a 1－2d )上．数列}{n S n 是等差数列，首项为1a ，公差为2d.2． （I ）如果等差数列{n a }的项数为*2()n n N ∈，则（i ）21()n n n S n a a +=+证明：设等差数列的首项为1,a 公差为d ，则122211,n n n n a a a a a a -++=+=⋅⋅⋅=+121212()()()2n k n n n n a a S n a a n a a ++∴==+=+ （ii ）=-奇偶S S ,nd 1+=n n a aS S 偶奇 （偶奇，S S 分别是数列{}n a 的所有奇数项之和、偶数项之和）证明：设等差数列的首项为1,a 公差为d ，则偶数项的首项为21a a d =+,构成公差为2d 的等差数列; 奇数项的首项为1a ,构成公差为2d 的等差数列,且项数都是nnd d n n na d n n d a n S +-+=⋅-++=∴)1(22)1()(11偶 d n n na d n n na S )1(22)1(11-+=⋅-+=奇 ∴=-奇偶S S ,nd11111)1()1()1(+=+-+=+-+-+=∴n n a a nd a d n a nd d n n na d n n na S S 偶奇 （II ）如果等差数列{n a }的项数为*21()n n N -∈，则 （i ） 21(21),n n n S n a a -=-是数列的中间项（ii ）=-奇偶S S ,n a1-=n nS S 偶奇 （偶奇，S S 分别是数列{}n a 的所有奇数项之和、偶数项之和）【仿照（I ）自行证明之】 3.若{a n }，{b n }都为等差数列，S n ，S n ′为它们的前n 项和，则a m b m ＝S 2m －1S 2m －1′.证明. 若等差数列}{},{n n b a 的前n 项和分别为n n B A ,，则2121m m m m a A b B --= 证明：1211212112112121(21)()22(21)()22m m m m m m m m m m m a a a a a a A m b b b b b b B -------++====-++ =S 2m －1S 2m －1′也可表示为：若两个等差数列{ a n }、{ b n }的前n 项和分别是S n 、T n (n 为奇数)，则n nT S =2121++n n b a ． 4、在等差数列{ a n }中，S n = a ，S m = b (n ＞m)，则S n m +=mn mn -+(a －b)． 4. 等差数列{}n a 中，若10,0,a d ><则n S 有最大值（当⎩⎨⎧<≥+001n n a a 时取得）；若10,0,a d <>则n S 有最小值（当⎩⎨⎧>≤+001n n a a 时取得）；一、等差数列前n 项和的计算：在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n . [自主解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.将“d ＝2”改为“a 1＝3”，其它条件不变，求n 和公差d .解：法一：由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎪⎨⎪⎧11＝3＋(n －1)d ，35＝3n ＋n (n －1)2d ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝5，d ＝2. 法二：∵a 1＝3，a n ＝11，S n ＝35，∴35＝n (3＋11)2＝7n ，即n ＝5.又∵11＝3＋(5－1)d ，∴d ＝2. ——————————————————a 1、n 、d 称为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用三个基本量来表示，五个量a 1、d 、n 、a n 、S n 可知三求二．在具体求解过程中注意与等差数列的性质相联系，利用整体代换思想解题，可简化运算．1．(1)数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求公差d ；解：(1)因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，又a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋(n －1)d ＝－512， ①n ＋12n (n －1)d ＝－1 022. ②把(n －1)d ＝－513代入②，得n ＋12n ·(－513)＝－1 022，解得n ＝4，所以d ＝－171.答案：(1)－1714．在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *，总有2a n ＋1－2a n ＝1，则{a n }的前15项的和S 15等于______．解析：∵2(a n ＋1－a n )＝1，∴a n ＋1－a n ＝12＝d ，∴S 15＝15×(－2)＋15×142×12＝－30＋1052＝452答案：452变式：5．在数列{a n }中，a n ＝4n －52，a 1＋a 2＋…＋a n ＝an 2＋bn ，n ∈N *，其中a ，b 为常数，则ab ＝________.解析：∵a n ＝4n －52，∴a 1＝32.从而S n ＝n ⎝⎛⎭⎫32＋4n －522＝2n 2－n2.∴a ＝2，b ＝－12，则ab ＝－1.答案：－1例9 已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3·a 7=－12，a 4＋a 6=－4，求它的前20项的和S 20的值．解法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，由已知可得(a 2d)(a bd)12a 3d a 5d = 41111＋＋＝－①＋＋＋－②⎧⎨⎩由②，有a 1＝－2－4d ，代入①，有d 2=4 再由d ＞0，得d ＝2 ∴a 1=－10最后由等差数列的前n 项和公式，可求得S 20＝180解法二 由等差数列的性质可得：a 4＋a 6＝a 3＋a 7 即a 3＋a 7＝－4 又a 3·a 7=－12，由韦达定理可知： a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的二根 解方程可得x 1=－6，x 2＝2 ∵ d ＞0 ∴{a n }是递增数列 ∴a 3＝－6，a 7=2d =a =2a 10S 1807120--a 373，＝－，＝5．设等差数列的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则a n ＝________.解析：∵S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＝3a 1＋3d ＝12，∴a 1＋d ＝4.而a 6＝a 1＋5d ＝12. ∴4d ＝8，d ＝2，a 1＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝2n .答案：2n 1．在等差数列{a n }中，S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 为 ( ) A ．7 B ．6 C ．3 D ．2解析：∵S 2＝4，S 4＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 3＋a 4＝20－4＝16.∴(a 3＋a 4)－(a 1＋a 2)＝12＝4d ，即d ＝3.答案：C 9．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3.解得d ＝－2.从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由(1)可知a n ＝3－2n .所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.进而由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35， 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7为所求结果．例8 在等差数列{a n }中，已知a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34，求前20项之和． 解法一 由a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34得4a 1＋38d ＝34又＝＋×S 20a d 20120192＝20a 1＋190d＝5(4a 1＋38d)=5×34=170解法二 S =(a +a )202=10(a a )20120120×＋由等差数列的性质可得：a 6＋a 15=a 9＋a 12＝a 1＋a 20 ∴a 1＋a 20=17 S 20＝170(2)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝ ( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176(2)因为{a n }是等差数列，所以a 4＋a 8＝2a 6＝16⇒a 6＝8，则该数列的前11项和为S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6＝88.答案：B3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8等于 ( ) A ．72 B ．54 C ．36 D ．18 解析：∵a 4＝18－a 5，a 4＋a 5＝18，∴S 8＝8(a 1＋a 8)2＝4(a 1＋a 8)＝4(a 4＋a 5)＝4×18＝72.答案：A4．在等差数列{a n }中，已知a 3∶a 5＝34，则S 9∶S 5的值是A.2720B.94C.34D.125解析：S 9S 5＝9(a 1＋a 9)25(a 1＋a 5)2＝95×a 5a 3＝95×43＝125.答案：D6．对于两个等差数列{a n }和{b n }，有a 1＋b 100＝100，b 1＋a 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项之和S 100为________．解析：显然{a n ＋b n }仍是等差数列．且(a 1＋b 1)＋(a 100＋b 100)＝200，则S 100＝100×[(a 1＋b 1)＋(a 100＋b 100)]2＝10 000.答案：100002．(安徽高考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝ ( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2解析：根据等差数列的定义和性质可得，S 8＝4(a 3＋a 6)，又S 8＝4a 3，所以a 6＝0，又a 7＝－2，所以a 8＝－4，a 9＝－6.答案：A8．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.解析：法一：S 9＝S 4，即9(a 1＋a 9)2＝4(a 1＋a 4)2，∴9a 5＝2(a 1＋a 4)，即9(1＋4d )＝2(2＋3d )，∴d ＝－16，由1－16(k －1)＋1＋3·⎝⎛⎭⎫－16＝0，得k ＝10. 法二：S 9＝S 4，∴a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0，∴a 7＝0，从而a 4＋a 10＝2a 7＝0，∴k ＝10.答案：10 2．(安徽高考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝ ( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2解析：根据等差数列的定义和性质可得，S 8＝4(a 3＋a 6)，又S 8＝4a 3，所以a 6＝0， 又a 7＝－2，所以a 8＝－4，a 9＝－6.答案：A7．已知命题：“在等差数列{a n }中，若4a 2＋a 10＋a ( )＝24，则S 11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为________．解析：设括号内的数为n ，则4a 2＋a 10＋a (n )＝24， ∴6a 1＋(n ＋12)d ＝24.又S 11＝11a 1＋55d ＝11(a 1＋5d )为定值， 所以a 1＋5d 为定值．所以n ＋126＝5，n ＝18.答案：184．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78.则此数列前20项和等于________．解析：∵a 1＋a 2＋a 3＋a 18＋a 19＋a 20＝a 1＋a 20＋a 2＋a 19＋a 3＋a 18＝3(a 1＋a 20)＝78－24＝54，∴a 1＋a 20＝18.∴S 20＝(a 1＋a 20)×202＝18×10＝180.答案：1803．若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项 解析：∵a 1＋a 2＋a 3＝34，a n －2＋a n －1＋a n ＝146， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝180. ∴3(a 1＋a n )＝180，a 1＋a n ＝60.S n ＝(a 1＋a n )·n 2＝390∴n ＝13答案：A2．若{a n }是等差数列，满足a 1＋a 2＋…＋a 101＝0，则有 （ ） A ．a 1＋a 101＞0 B ．a 2＋a 100＜0 C ．a 3＋a 99＝0 D ．a 51＝51 解析：∵a 1＋a 2＋…＋a 101＝0，∴S 101＝(a 1＋a 101)2×101＝0.∴a 1＋a 101＝0.∴a 3＋a 99＝0.答案：C1．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d等于 （ ）A.12 B ．2 C.14D ．4 解析：由题意知，10a 1＋10×92d ＝4(5a 1＋5×42d )，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d .∴5d ＝10a 1.即a 1d ＝12.答案：A2．等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n 等于 ( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 解析：∵a 3＋a 5＝2a 4＝14，∴a 4＝7. d ＝a 4－a 13＝2，S n ＝na 1＋n (n －1)2·d ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2＝100，∴n ＝10.答案：B5．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．解析：设{a n }的首项，公差分别是a 1，d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝16，20a 1＋20×(20－1)2×d ＝20，解得a 1＝20，d ＝－2， ∴S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.答案：1101．若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7等于 ( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 5a 1＋10d ＝25，a 1＋d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.于是，a 7＝a 1＋6d ＝1＋12＝13.答案：B6．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d .∵S 7＝7，S 15＝75， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75.即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1. ∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)． ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12.∴T n ＝14n 2－94n .二、利用等差数列前n 项和求通项公式。
高中数学第二章数列2.3等差数列前n项和同步检测(含解析)新人教A版必修5
2.3等差数列前n 项和一、选择题1. 设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ,0=m S ,31=+m S ，则=m （ ） A.3 B.4 C.5D. 6答案：C解析：解答：由已知得，当m≥2时，21=-=-m m m S S a ,311=-=++m m m S S a ，因为数列}{n a 为等差数列，所以11=-=+m m a a d ，又因为02)(1=+=m m a a m S ，所以0)2(1=+a m ，因为0≠m ，所以21-=a ，又2)1(1=-+=d m a a m ，解得5=m .故选C.分析：利用当n ≥2时1--=n n n S S a ，求出m a 及1+m a 的值，从而确定等差数列}{n a 的公差，再利用前n 项和公式求出m 的值.2．已知{a n }是等差数列，a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，则该数列前10项和S 10等于（ ） A 、64 B 、100 C 、110D 、120答案：B解析：解答：设公差为d ，由a 1+a 2=4，a 7+a 8=28得112421328a d a d +=⎧⎨+=⎩1101091,2,101+2=1002a d S ⨯===⨯⨯解得，故选B ． 分析：利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a 1，d 的方程组，求出a 1和d ，代入等差数列的前n 项和公式求解即可． 3．等差数列{a n }的前n 项为S n ，若a 2＋a 6＋a 7＝18，则S 9的值是( )A ．64B ．72C ．54D ．以上都不对答案：C 解析：解答：设公差为d ，由a 2＋a 6＋a 7＝3a 1＋12d ＝3a 5＝18，得a 5＝6.所以S 9＝()1992a a +＝9a 5＝54，故选C分析：根据等差数列的性质m +n =p +q ，a m +a n =a p +a q ，代入等差数列的前n 项和公式求解即可．4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2=3，a 6=11，则S 7等于（ ） A 、13 B 、35 C 、49D 、63答案：C解析：解答：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 2=3，a 6=11，得114511a d a d +=⎧⎨+=⎩110979767,,7+=4944424a d S ⨯===⨯⨯解得，故选C ．分析：利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a 1，d 的方程组，求出a 1和d ，代入等差数列的前n 项和公式求解即可．5．已知数列{a n }的通项公式为a n =2n ﹣49，则当S n 取最小值时，项数n （ ） A 、1B 、23C 、24D 、25答案：C解析：解答：由a n =2n ﹣49,当n=1时，a 1=-47数列，则{a n }为等差数列()247249482nn S n n n -+-=⨯=-=（n ﹣24）2﹣242结合二次函数的性质可得当n =24时和有最小值 故选：C分析：由a n =2n ﹣49可得数列{a n }为等差数列，则可得()247249482n n S n n n -+-=⨯=-，()n N *∈结合二次函数的性质可求.6.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7＞0，a 8＜0，则下列结论正确的是( )A ．S 7＜S 8B ．S 15＜S 16C ．S 13＞0D ．S 15＞0答案：C解析：解答：根据数列的增减性，由已知可知该等差数列{a n }是递减的，且S 7最大即S n ≤S 7对一切n ∈N *恒成立．可见选项A 错误；易知a 16＜a 15＜0，S 16＝S 15＋a 16＜S 15，选项B 错误；S 15＝152 (a 1＋a 15)＝15a 8＜0，选项D 错误； S 13＝132(a 1＋a 13)＝13a 7＞0.分析：因为公差非零的等差数列具有单调性(递增数列或递减数列)，根据数列的增减性，即可.7．在等差数列{a n}中，a9＝12a12＋6，则数列{a n}的前11项和S11＝( )A．24 B.48 C．66 D.132 答案：D解析：解答：由a9＝12a12＋6，得2a9－a12＝12.由等差数列的性质得，a6＋a12－a12＝12，a6＝12，S11＝()11161111222a a a+⨯=＝＝132，故选D.分析：根据等差数列的性质m+n=p+q，a m+a n=a p+a q，代入等差数列的前n项和公式求解即可．8、数列{a n}中，a1=﹣60，且a n+1=a n+3，则这个数列的前30项的绝对值之和为（）A、495B、765C、3105D、120答案：B解析：解答：∵a n+1﹣a n=3，∴a n=3n﹣63，知数列的前20项为负值，∴数列的前30项的绝对值之和为：﹣a1﹣a2﹣…﹣a20+a21+…+a30=﹣s20+（s30﹣s20）=765 故选B.分析：在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式，对于绝对值的应用，若记不住它的前几项的绝对值和的表示，可以自己推导出来，但以后要记住．9、已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n 达到最大值的n是（）A、21B、20C、19D、18答案：B解析：解答：设{a n}的公差为d，由题意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②由①②联立得a1=39，d=﹣2，∴s n=39n+()12n n-×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，故当n=20时，S n达到最大值400．故选B．分析：求等差数列前n 项和的最值问题可以转化为利用二次函数的性质求最值问题，但注意n 取正整数这一条件．10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k ＝－12，则正整数k 的值为（ ）.A ．12 B.13 C.14 D.15 答案：B解析：解答： 根据数列前n 项和性质，可得S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝212-， 又S k ＋1＝()()111+2k k a a -+＝()31322k ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭＝212-，解得k ＝13.分析：本题考查等差数列的前n 项和公式的合理运用，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的合理运用即可．11．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ） A 、5B 、4C 、3D 、2答案：C解析：解答：因为等差数列共有10项，奇数项之和为a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=15①， 偶数项之和为a 2+a 4+a 6+a 8+a 10=30②，则②-①得5d=15，故d=3，故选C ．分析：等差数列的奇数项和和偶数项和的问题也可以这样解，让每一个偶数项减去前一奇数项，有几对得到几个公差，让偶数项和减去奇数项和的差除以公差的系数． 12．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么S 7＝( )A ．14B ．21C ．28D ．35 答案：C解析：解答：由等差数列的性质知，a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12⇒a 4＝4，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28. 分析：根据等差数列的性质m +n =p +q ，a m +a n =a p +a q ，代入等差数列的前n 项和公式求解即可．答案：C解析：解答：()()111212nn n na S d a n nn -+==+-，分析：本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，认真审题即可。
高中数学：2.3《等差数列前n项和》同步练习1
B. Sn An 2 Bn
D. Sn An2 Bn a 0
10、 2 4 6 8 100
。
11、等差数 列 an 中， a11 10 ，则 S21
。
12、 等差数列 an 中， S4 1, S8 4 ，则 a17 a18 a19 a20
。
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13、在等差数列 an 中，已知 S8 48 S12 168 求 a1 和 d 。 14、设等差数列 an 的第 10 项为 23，第 25 项为 22 ，求： （1）数 列 an 的通项公式； （2）数列 an 前 50 项的绝对值之和。
2. 3《等差数列前 n 项和》1
1、等差数列 2,1,4, 的前 n 项和为
（）
A. 1 n3n 4 B. 1 n3n 7 C. 1 n3n 4 D. 1 n3n 7
2
2
2
2
2、已知等差数列 an 满足 a1 a2 a3 a99 0 ，则 （
）
A. a1 a99 0 B. a1 a99 0 C. a1 a99 0 D. a50 50
a1 a10 9d 50
an 3n 53 。所以此数列的前 17 项均为正数，从第 1 8 项开始均为负数。
前 50 项的绝对值之和
S a1 a2 a3 an1 an a1 a2 a3 a17 a18 a19 a50 S17 S50 S17 2S17 S50 2 442 1175 2059
3、在等差数列 an 中，已知 a4 a5 12 ，那么它的前 8 项之和 S8 等于 （
）
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
4、设 an 是公差为 2 的等差数列，若 a1 a4 a7 a97 50 ，
河南省师范大学附属中学高中数学 2.3 等差数列的前n项和同步练习 理(普通班)新人教A版必修5
河南省师范大学附属中学2014高中数学 2.3 等差数列的前n 项和同步练习 理（普通班）新人教A 版必修5一、选择题1．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．52．记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝12，S 4＝20，则S 6＝( )A ．16B ．24C ．36D ．483．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项的和为( ) A ．130 B ．170 C ．210D ．2604．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( ) A ．21 B ．20 C ．19 D ．185． 13×5＋15×7＋17×9＋…＋113×15＝( )A.415B.215C.1415D.7156．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.101100二、填空题7．等差数列{a n }中，a 1＝3，前n 项和为S n ，且S 3＝S 12，则a 8＝________.8．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________． 三、解答题9．已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n .*10.已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22，(1)求通项a n；(2)若数列{b n}满足b n＝S nn＋c，是否存在非零实数c，使得{b n}为等差数列？若存在，求出c的值，若不存在，说明理由．2-3 同步检测1 B2 D3 C4 B5 B6 A7 08 1109 [解析] 设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d a 1＋6d ＝－16a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21＋8da 1＋12d 2＝－16a 1＝－4d，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8d ＝－2.因此S n ＝－8n ＋n n －12×2＝n 2－9n ，或S n ＝8n ＋n n －12×(－2)＝－n 2＋9n .10[解析] (1)由等差数列的性质得，a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22， 又a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的解， 又公差大于零，故解得a 3＝9，a 4＝13， 所以公差d ＝a 4－a 3＝13－9＝4，首项a 1＝1.所以通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋4(n －1)＝4n －3. (2)由(1)知：S n ＝n 1＋4n －32＝2n 2－n ，所以b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c . 故b 1＝1c ＋1，b 2＝6c ＋2，b 3＝15c ＋3.令2b 2＝b 1＋b 3，即12c ＋2＝1c ＋1＋15c ＋3， 所以2c 2＋c ＝0. 因为c ≠0，故c ＝－12，此时b n ＝2n 2－nn －12＝2n .当n ≥2时，b n －b n －1＝2n －2(n －1)＝2. 所以当c ＝－12时，{b n }为等差数列。
高中数学 2.3.1 数列前n项和与等差数列的前n项和同步
2．3 等差数列的前n 项和2．3.1 数列前n 项和与等差数列的前n 项和►基础达标1．已知a 1，a 2，a 3，a 4成等差数列，若S 4＝32，a 2∶a 3＝1∶3，则公差d 为( )A ．8B ．16C ．4D ．0解析：S 4＝32⇒2(a 2＋a 3)＝32，∴a 2＋a 3＝16，又a 2a 3＝13，a 3＝3a 2， ∴a 2＝4，a 3＝12，∴d ＝a 3－a 2＝8.故选A.答案：A2．设a 1，a 2，…和b 1，b 2，…都是等差数列，其中a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }前100项之和为( )A ．0B ．100C ．10 000D ．50 500解析：S 100＝100＋1002×100＝10 000.故选C. 答案：C3．已知等差数列{a n }中，前15项之和为S 15＝90，则a 8等于( )A ．6 B.454 C ．12 D.452解析：∵S 15＝a 1＋a 152×15＝2·a 82×15＝15a 8＝90， ∴a 8＝6，故选A.答案：A4．已知等差数列共有2n ＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则a n ＋1的值为( )A ．30B ．29C ．28D ．27解析：奇数项共有n ＋1项，其和为a 1＋a 2n ＋12×(n ＋1)＝2×a n ＋12·(n ＋1)＝290， ∴(n ＋1)a n ＋1＝290，偶数项共有n 项，其和为a 2＋a 2n 2×n ＝2×a n ＋12·n ＝na n ＋1＝261， ∴a n ＋1＝290－261＝29.故选B.答案：B5．(2013·上海卷)若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和S n ＝________.答案：56n 2－76n►巩固提高6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且S n T n ＝7n ＋14n ＋27，则a 11b 11的值为( )A.74B.32C.43D.7871解析：S 2n －1＝(2n －1)·a 1＋a 2n －12＝(2n －1)·2·a n 2＝(2n －1)a n . 同理T 2n －1＝(2n －1)b n .∴S 2n －1T 2n －1＝2n －1a n 2n －1b n ＝a n b n. 令n ＝11得a 11b 11＝S 21T 21＝7×21＋14×21＋27＝43.故选C. 答案：C7．已知lg x ＋lg x 3＋lg x 5＋…＋lg x 21＝11，则x ＝___________.解析：由条件得lg(x ·x 3·x 5·…·x 21)＝11⇒lg x 1＋3＋5＋…＋21＝11⇒121lg x ＝11，lg x ＝111，x ＝10111. 答案：11108．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝4n 2＋2(n ∈N *)，则a n ＝______________________.解析：n ＝1时，a 1＝S 1＝6；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n 2－4(n －1)2＝8n －4.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6 n ＝1，8n －4 n ≥2，n ∈N *.答案：⎩⎪⎨⎪⎧ 6 n ＝1，8n －4 n ≥2，n ∈N *9．已知一个等差数列{a n }的前四项和为21，末四项和为67，前n 项和为77，求项数n 的值．解析：由已知得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝21.a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝67，∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3，∴a 1＋a n ＝21＋674＝22， ∴S n ＝(+)1n n 2a a ＝11n ＝77，∴n ＝7.10．已知等差数列{a n }中，a 1＝－3,11a 5＝5a 8－13.(1)求公差d 的值；(2)求数列{a n }的前n 项和S n 的最小值．解析：(1)由11a 5＝5a 8－13，得11(a 1＋4d )＝5(a 1＋7d )－13.∵a 1＝－3，∴d ＝59. (2)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋(n －1)×59， 令a n ≤0，得n ≤325. ∴a 1＜a 2＜…＜a 6＜0＜a 7＜….∴S n 的最小值为S 6＝6a 1＋6×5d 2＝ 6×(－3)＋15×59＝－293.1．记清等差数列的前n 项和公式的两种形式并能正确地选用，具备三个条件n ，a 1，a n选用S n ＝n a 1＋a n 2，具备三个条件n ，a 1，d 选用S n ＝na 1＋n n －1d 2. 2．基本量原则：注意在五个基本量n ，a 1，d ，a n ，S n 中知三个量利用等差数列的通项公式与前n 项和公式可以求其他两个量．3．注意把实际问题化为等差数列的问题研究．。
人教A版高中数学必修五2.3等差数列的前n项和练习
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）一、本节学习目标掌握等差数列前n 项和公式及其推导思路，并会用公式解决有关问题．二、重难点指引1．重点：掌握等差数列前n 项和公式，并能够灵活运用．2．难点：等差数列前n 项公式推导方法．三、学法指导1．从函数和方程两个不同角度去理解等差数列前n 项和公式．2．等差数列前n 项和公式推导方法是“倒序求和法”，这是一种重要的数列求和的方法．四、教材多维研读▲ 一读教材1．等差数列前n 项和公式：或 ． 2．等差数列前n 项和性质：等差数列{}n a 中，⋅⋅⋅--,,,232n n n n n S S S S S 也成等差数列，公差为 ． ▲ 二读教材1．等差数列 ,4,1,2-的前n 项和为（ ）A ．()4321-n nB ．()7321-n nC ．()4321+n nD ．()7321+n n 2．已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a ，则（ ）A ．0991>+a aB ．0991<+a aC ．0991=+a aD ．5050=a3．在等差数列{}n a 中，已知1254=+a a ，那么它的前8项之和8S 等于 （ ）A ．12B ．24C ．36D ．484．等差数列{}n a 中，162,16,1041===n S a a ，则n 等于（ ）A ．11B ．9C ．9或18D ．18 ▲ 三读教材1．设{}n a 是公差为2的等差数列，若5097741=++++a a a a ，则99963a a a a ++++ 的值为（ ）A ．78B ．82C ．148D ．1822．数列{}n a 是等差数列，它的前n 项和可以表示为（ ）A ．C Bn An S n ++=2B ．Bn An S n +=2C ．C Bn An S n ++=2()0≠AD ．Bn An S n +=2()0≠A3．等差数列{}n a 中，1011=a ，则=21S ．4．等差数列{}n a 中，4,184==S S ，则=+++20191817a a a a ．五、典型例析例1 (Ⅰ)在等差数列{}n a 中，71,83d a =-=，求n a 和n S ；(Ⅱ)等差数列{}n a 中，4a =14，前10项和18510=S ．求n a ．例2 设数列{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知7S =7，15S =75, n T 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和，求n T ．例3 在等差数列}{n a 中，若a 1=25且S 9=S 17,求数列前多少项和最大？六、课后自测◆ 基础知识自测1.等差数列}{n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前20项和等于（ ）A ．160B ．180C ．200D ．2202．数列{}n a 是等差数列，且6,682=-=a a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）A ．54S S <B ．54S S =C ．56S S <D ．56S S =3．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．64 4．等差数列}{n a 中，若45076543=++++a a a a a ,则前9项和9S = ( )A ．1620B ．810C ．900D ．6755．=+++++1008642 ．◆ 能力提升自测1．一个首项为正数的等差数列}{n a ，如果它的前三项之和与前11项之和相等，那么该数列的前多少项和最大？2．若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数 列有 项．3．在等差数列{}n a 中，37104118,14.a a a a a +-=-=-记123n n S a a a a =++++，则13S =_____．◆ 智能拓展训练1．数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足2120n n n a a a ++-+=．(1)求数列的通项公式；(2)设12||||||n n S a a a =+++，求n S ．2．（1）如果数列{}n a 满足13a =，1115n na a +-=（n N *∈），求n a . （2）已知数列{}n a 的前n 项和为22n S n n =--，求n a ．3．等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 和'n S ，且'723n n S n S n +=+，求77a b 的值．2．3等差数列前n 项和答案▲ 一读教材1． 2)(1n n a a n S +=，2)1(1d n n na S n -+= 2．d n 2 ▲ 二读教材1．B ； 2． C ； 3． D ； 4． B ． ▲ 三读教材1． D ； 2．B ； 3． 210； 4． 9 ． 课后自测◆ 基础知识自测1．B 2．B 3．A 4．B 5．2550 ◆ 能力提升自测1．由311S S =,得1213d a =-,知}{n a 是递减的等差数列． ∵311S S = ∴011654=+⋅⋅⋅+++a a a a 又∵8796105114a a a a a a a a +=+=+=+∴0)(487=+a a ，即087=+a a ．由此必有087=+a a 0,087<>a a ．故前7项和最大．2．13； 3．286．◆ 智能拓展训练1．(1)2120n n n a a a ++-+=∴211n n n n a a a a +++-=- ∴1{}n n a a +-为常数列，∴}{n a 是以1a 为首项的等差数列， 设1(1)n a a n d =+-，413a a d =+,∴2823d -==-，∴102n a n =-． (2)∵102n a n =-，令0n a =，得5n =． 当5n >时，0n a <；当5n =时，0n a =；当5n <时，0n a >． ∴当5n >时，12||||||n n S a a a =+++12567()n a a a a a a =+++-+++ 555()2n n T T T T T =--=-，12n n T a a a =+++． 当5n ≤时，12||||||n n S a a a =+++12n a a a =+++n T =．∴229,(5)940,(5).n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩2．解：（1）由题意：1{}n a 是公差为5的等差数列，其首项为13，1115145(1)33n n n a -=+-=， ∴31514n a n =-． （2）当1n =时，113a S ==-，当2n ≥时，221(2)[(1)2(1)]21n n n a S S n n n n n -=-=-------=--， 所以，21n a n =--（n N *∈）．3．解：∵11313713()132a a S a +==，'11313713()132b b S b +==， 所以，713'13771329313316a Sb S ⨯+===+．。
高中数学等差数列的前n项和训练题(有答案)
高中数学等差数列的前 n 项和训练题（有答案）1．若一个等差数列首项为0，公差为2，则这个等差数列的前 20 项之和为 ()A ．360 B．370C．380 D ．390答案： C2．已知 a1＝ 1， a8＝6，则 S8 等于 ()A ．25 B．26C．27 D ．28答案： D3．设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，若 a6＝ S3＝ 12，则{an}的通项 an＝________.分析：由已知a1＋ 5d＝ 123a1＋ 3d＝ 12a1＝ 2，d＝ 2.故 an＝2n.答案： 2n4．在等差数列 {an} 中，已知 a5＝ 14，a7＝ 20，求 S5.解： d＝a7－ a57－ 5＝ 20－ 142＝ 3，a1＝ a5－ 4d＝ 14－ 12＝ 2，因此 S5＝ 5a1＋ a52＝52＋ 142＝ 40.一、选择题1． (2019 年杭州质检 )等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，若 a2＝1，a3＝ 3， S4＝()A ．12 B．10C．8 D．6分析： C.d＝ a3－a2＝ 2，a1＝－ 1，S4＝ 4a1＋ 4322＝8.2．在等差数列 {an} 中， a2＋ a5＝19， S5＝40， a10＝()A ．24 B．27C．29 D ．48分析： C.由已知 2a1＋5d＝ 19， 5a1＋ 10d＝ 40.解得 a1＝ 2， d＝ 3.a10＝2＋ 93＝ 29. X k b 1 . c o m3．在等差数列 {an} 中， S10＝ 120， a2＋ a9＝()A ．12 B．24C．36 D ．48分析： B.S10＝ 10a1＋ a102＝ 5(a2＋ a9)＝ 120.a2＋a9＝ 24. 4．已知等差数列 {an} 的公差 1，且 a1＋a2＋⋯＋ a98＋ a99＝99， a3＋ a6＋ a9＋⋯＋a96＋ a99＝ ()A ．99 B．66C．33 D ．0分析： B.由 a1＋ a2＋⋯＋ a98＋ a99＝99，得 99a1＋ 99982＝ 99.a1＝－ 48， a3＝a1＋ 2d＝－ 46.又∵ {a3n} 是以 a3 首，以 3 公差的等差数列．a3＋ a6＋ a9＋⋯＋a99＝ 33a3＋333223＝33(48－ 46)＝ 66.5．若一个等差数列的前 3 的和 34，最后 3 的和 146，且全部的和 390，个数列有 ()A ．13B． 12C．11D． 10分析： A. ∵ a1＋ a2＋ a3＝34，①an＋ an－ 1＋ an－ 2＝ 146，②又∵ a1＋ an＝ a2＋an－1＝ a3＋an－ 2，①＋②得3(a1＋ an)＝ 180， a1＋an＝ 60.③Sn＝ a1＋ann2＝390.④将③代入④中得n＝ 13.6．在数 2n＋ 1 的等差数列中，全部奇数的和165，全部偶数的和150， n 等于 ()A．9 B．10C．11 D．12分析： B.由等差数列前n 和的性知S 偶 S 奇＝ nn＋ 1，即 150165＝ nn＋ 1， n＝ 10.二、填空7．数列 {an} 的首 a1＝－ 7，且足 an＋ 1＝an＋ 2(nN*) ，a1＋ a2＋⋯＋ a17＝ ________.分析：由意得an＋1－ an＝2，{an} 是一个首a1＝－ 7，公差 d＝ 2 的等差数列．a1＋ a2＋⋯＋ a17＝ S17＝17(－7)＋ 171622＝ 153.答案： 1538．已知 {an} 是等差数列， a4＋ a6＝6，其前 5 和 S5＝10，其公差 d＝ __________.分析： a4＋ a6＝a1＋ 3d＋a1＋ 5d＝ 6.①S5＝ 5a1＋ 125(5－1)d＝10.② w由①②得a1＝ 1， d＝12.答案： 129． Sn 是等差数列 {an} 的前 n 和， a12＝－ 8， S9＝－ 9，S16＝ ________.分析：由等差数列的性知S9＝9a5＝－ 9，a5＝－ 1.又∵ a5＋ a12＝a1＋ a16＝－ 9，S16＝ 16a1＋ a162＝ 8(a1＋ a16)＝－ 72.答案：－ 72三、解答10．已知数列 {an} 的前 n 和公式Sn＝ n2－23n－ 2(nN*) ．(1)写出数列的第 3 ；(2)判断 74 能否在数列中．解： (1)a3＝ S3－ S2＝－ 18.(2)n＝ 1 ， a1＝ S1＝－ 24，n2 ， an＝Sn－ Sn－ 1＝ 2n－ 24，即 an＝－ 24， n＝ 1，2n－ 24，n2，由题设得 2n－24＝ 74(n2)，解得 n＝ 49.74在该数列中．11．(2019 年高考课标全国卷)设等差数列 {an} 知足 a3＝5，a10＝－ 9.(1)求 {an} 的通项公式；(2)求 {an} 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号n 的值．解： (1)由 an＝a1＋ (n－ 1)d 及 a3＝ 5， a10＝－ 9 得a1＋ 2d＝ 5， a1＋ 9d＝－ 9，可解得a1＝9，d＝－ 2，因此数列 {an} 的通项公式为an＝ 11－2n.(2)由 (1)知， Sn＝ na1＋ nn－ 12d＝10n－ n2.由于 Sn＝－ (n－ 5)2＋ 25，因此当 n＝ 5 时， Sn 获得最大值．12．已知数列 {an} 是等差数列．(1)前四项和为21，末四项和为67，且各项和为286，求项数；(2)Sn＝ 20，S2n＝ 38，求 S3n.解： (1)由题意知 a1＋ a2＋ a3＋a4＝ 21，an－ 3＋ an－ 2＋an－1＋ an＝67，因此 a1＋ a2＋ a3＋a4＋ an－ 3＋ an－2＋ an－ 1＋ an＝88.因此 a1＋ an＝ 884＝22.由于 Sn＝ na1＋ an2＝286，因此 n＝26.(2)由于 Sn， S2n－Sn，S3n－S2n 成等差数列，其实 ,任何一门学科都离不开照本宣科,重点是记忆有技巧, “死记”以后会“活用”。
等差数列前n项和练习题
2.3等差数列前n 项和（一）1、等差数列 ,4,1,2-的前n 项和为 （ ） A. ()4321-n n B. ()7321-n n C. ()4321+n n D. ()7321+n n2、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a ，则 （ ）A. 0991>+a aB. 0991<+a aC. 0991=+a aD. 5050=a3、在等差数列{}n a 中，已知1254=+a a ，那么它的前8项之和8S 等于 （ ）A. 12B. 24C. 36D. 484、设{}n a 是公差为2的等差数列，若5097741=++++a a a a ，则99963a a a a ++++ 的值为（ ）A. 78B. 82C. 148D. 1825、在等差数列{}n a 中，35,2,11===n n S d a ，则1a 等于 （ ）A. 5或7B. 3或5C. 7或1-D. 3或1-6、设数列{}n a 是递增的等差数列，前三项之和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A. 1B. 2C. 4D. 87、一个三角形的三个内角C B A ,,的度数成等差数列，则B 的度数为 （ ）A. 30B. 45C. 60D. 908、等差数列{}n a 中，162,16,1041===n S a a ，则n 等于 （ ）A. 11B. 9C. 9或18D. 189、数列{}n a 是等差数列，它的前n 项和可以表示为 （ ）A. C Bn An S n ++=2B. Bn An S n +=2C. C Bn An S n ++=2()0≠aD. Bn An S n +=2()0≠a10、=+++++1008642 。
11、等差数列{}n a 中，1011=a ，则=21S 。
12、等差数列{}n a 中，4,184==S S ，则=+++20191817a a a a 。
高中数学 2.2.2 第1课时 等差数列的前n项和课后知能检测 新人教B版必修5
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2.2 第1课时 等差数列的前n 项和课后知能检测 新人教B 版必修5一、选择题1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则数列{a n }的公差d 等于() A ．2 B ．3C ．6D ．7【解析】 由题意⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝4，4a 1＋6d ＝20，∴d ＝3.【答案】 B2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．64【解析】 a 8＝S 8－S 7＝64－49＝15.【答案】 A3．在等差数列{a n }中，d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，则a 1为( )A ．5或7B ．3或5C ．7或－1D ．3或－1【解析】 由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝a 1＋n －1×2＝11，S n ＝na 1＋n n －12×2＝35，解得a 1＝3或－1.【答案】 D4．(2013·日照高二检测)等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和S 9等于( )A ．66B ．99C ．144D ．297【解析】 ∵a 1＋a 7＝2a 4，a 3＋a 9＝2a 6，∴3a 4＝39,3a 6＝27，∴a 4＝13，a 6＝9，∴S 9＝9a 1＋a 92＝9a 4＋a 62＝99.【答案】 B5．若一个等差数列{a n }的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项 【解析】 a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180，所以3(a 1＋a n )＝180，即a 1＋a n ＝60.由S n ＝390，知n a 1＋a n 2＝390， 所以n ×602＝390，解得n ＝13.【答案】 A二、填空题6．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n ＝________.【解析】 设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝2＋6d ＝14，∴d ＝2.则S n ＝n ＋n n －12×2＝n 2. 令S n ＝100，即n 2＝100.解得n ＝10或n ＝－10(舍)．【答案】 107．(2013·鞍山高二检测)设等差数列{a n }与{b n }的前n 项之和分别为S n 与S n ′，若S n S n ′＝7n ＋2n ＋3，则a 7b 7＝________. 【解析】 S 13S 13′＝13a 1＋a 13213b 1＋b 132＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝2a 72b 7＝a 7b 7＝7×13＋213＋3＝9316.【答案】 9316 8．流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，那么到11月7日该市新感染者共有________人．【解析】 设从11月1日起，第n 天的新感染者有a n 人，则a n ＋1－a n ＝50，则每天的新感染者构成以a 1＝20，d ＝50的等差数列{a n }，所以到11月7日该市新感染者共有S 7＝7a 1＋7×62d ＝7×20＋7×62×50＝1 190人． 【答案】 1 190三、解答题9．已知等差数列{a n }，解答下列问题：(1)已知a 1＝5，a 10＝95，求S 10；(2)已知a 1＝100，d ＝－2，求S 50；(3)已知a 1＝20，a n ＝54，S n ＝999，求n ，d ；(4)已知d ＝2，S 100＝10 000，求a 1与a n .【解】 (1)S 10＝10a 1＋a 102＝10×5＋952＝500. (2)S 50＝50×100＋50×492×(－2)＝2 550. (3)S n ＝n a 1＋a n2＝n 20＋542＝999，∴n ＝27，d ＝a n －a 1n －1＝54－2027－1＝1713. (4)∵S 100＝100a 1＋100×992×2＝10 000，∴a 1＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝2n －1.10．沙尘暴是由于土地沙漠化引起的，根据调查，某县2012年已有一定面积的沙漠，以后每年被沙漠化的土地面积相同；该县从2013年起在沙漠上植树，改造沙漠为林地，以后每年都比上一年多植相同面积的树木，据统计，沙漠面积及每年植树面积如下表：年份沙漠面积 每年植树面积 2013年底25 200 1 000 2014年底 24 000 1 400【解】 设2012年有沙漠m 亩，以后每年被沙漠化的土地面积有y 亩，从2013年起在沙漠上每年植树面积构成等差数列{a n }，a 1＝1 000，a 2＝1 400，公差d ＝400，则第n 年底植树面积为：T n ＝1 000n ＋n n －12×400 ＝200n 2＋800n .则第n 年底沙漠总面积为：S n ＝m ＋ny －T n ＝m ＋ny －200n 2－800n . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 25 200＝m ＋y －200－800，24 000＝m ＋2y －800－1 600， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝26 000，y ＝200.∴S n ＝－200n 2－600n ＋26 000≤0， 即n 2＋3n －130≥0，解得n ≥10或n ≤－13(舍去)．故到2022年年底可以将所有沙漠改造完．11．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2S 2n2S n －1(n ≥2)，求a n .【解】 ∵a n ＝S n －S n －1，∴S n －S n －1＝2S 2n2S n－1，即(S n －S n －1)(2S n －1)＝2S 2n ，即S n －1－S n ＝2S n S n －1，即1S n －1S n －1＝2，∴{1S n}成等差数列，且S 1＝a 1＝1.∴1S n ＝1＋2(n －1)，即S n ＝12n －1.∴a n ＝S n －S n －1＝12n －1－12n －3＝－22n －12n －3(n ≥2)．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－22n －12n －3，n ≥2.。
高二数学必修同步练习题等差数列的前n项和
高二数学必修同步练习题等差数列的前n项和大家把实际知识温习好的同时，也应该要多做题，从题中找到自己的缺乏，及时学懂，下面是查字典数学网小编为大家整理的2021高二数学必修同步练习题，希望对大家有协助。
1.假定一个等差数列首项为0，公差为2，那么这个等差数列的前20项之和为()A.360B.370C.380D.390答案：C2.a1=1，a8=6，那么S8等于()A.25B.26C.27D.28答案：D3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，假定a6=S3=12，那么{an}的通项an=________.解析：由a1+5d=123a1+3d=12a1=2，d=2.故an=2n.答案：2n4.在等差数列{an}中，a5=14，a7=20，求S5.解：d=a7-a57-5=20-142=3，a1=a5-4d=14-12=2，所以S5=5a1+a52=52+142=40.一、选择题1.(2021年杭州质检)等差数列{an}的前n项和为Sn，假定a2=1，a3=3，那么S4=()A.12B.10C.8D.6解析：选C.d=a3-a2=2，a1=-1，S4=4a1+4322=8.2.在等差数列{an}中，a2+a5=19，S5=40，那么a10=()A.24B.27C.29D.48解析：选C.由2a1+5d=19，5a1+10d=40.解得a1=2，d=3.a10=2+93=29. X k b 1 . c o m3.在等差数列{an}中，S10=120，那么a2+a9=()A.12B.24C.36D.48解析：选B.S10=10a1+a102=5(a2+a9)=120.a2+a9=24.4.等差数列{an}的公差为1，且a1+a2++a98+a99=99，那么a3+a6+a9++a96+a99=()A.99B.66C.33D.0解析：选B.由a1+a2++a98+a99=99，得99a1+99982=99.a1=-48，a3=a1+2d=-46.又∵{a3n}是以a3为首项，以3为公差的等差数列.a3+a6+a9++a99=33a3+333223=33(48-46)=66.5.假定一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且一切项的和为390，那么这个数列有()A.13项B.12项C.11项D.10项解析：选A.∵a1+a2+a3=34，①an+an-1+an-2=146，②又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2，①+②得3(a1+an)=180，a1+an=60.③Sn=a1+ann2=390.④将③代入④中得n=13.6.在项数为2n+1的等差数列中，一切奇数项的和为165，一切偶数项的和为150，那么n等于()A.9B.10C.11D.12解析：选B.由等差数列前n项和的性质知S偶S奇=nn+1，即150165=nn+1，n=10.二、填空题7.设数列{an}的首项a1=-7，且满足an+1=an+2(nN*)，那么a1+a2++a17=________.解析：由题意得an+1-an=2，{an}是一个首项a1=-7，公差d=2的等差数列.a1+a2++a17=S17=17(-7)+171622=153.答案：1538.{an}是等差数列，a4+a6=6，其前5项和S5=10，那么其公差为d=__________.解析：a4+a6=a1+3d+a1+5d=6.①S5=5a1+125(5-1)d=10.②w由①②得a1=1，d=12.答案：129.设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12=-8，S9=-9，那么S16=________.解析：由等差数列的性质知S9=9a5=-9，a5=-1.又∵a5+a12=a1+a16=-9，S16=16a1+a162=8(a1+a16)=-72.答案：-72要多练习，知道自己的缺乏，对大家的学习有所协助，以下是查字典数学网为大家总结的2021高二数学必修同步练习题，希望大家喜欢。
高中数学 必修五 同步练习 专题2.3 等差数列的前n项和(原卷版)
第二章 数 列2.3 等差数列的前n 项和一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36S =，14a =，则公差d = A ．3 B ．1 C ．2-D ．22．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S = A ．16 B ．24 C ．36D ．483．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若21218a a +=，则13S = A ．91B ．126C ．234D ．1174．等差数列{}n a 中，35a =-，61a =，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则S 8＝ A ．16- B ．16 C ．32-D ．325．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +=-，则k = A ．8 B ．7 C ．6D ．56．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，466a a +=-，则当n S 取得最小值时n = A ．6 B ．7 C ．8D ．97．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中15512a a S +=，且1120a =，则13S = A ．130 B ．60 C ．160D ．268．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知130S >，140S <，若10k k a a +⋅<，则k = A ．6 B ．7 C ．13D ．149．已知公差为(0)d d ≠的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且18a d =，则5775S S = A ．57 B ．79 C ．1011D ．112310．在等差数列{}n a 中，已知67S S <，78S S >，则下列说法中正确的是①前七项递增，后面的项递减； ②96S S <； ③1a 是最大项； ④7S 是n S 的最大值． A ．②④ B ．①②④ C ．②③④D ．①②③④11．已知函数2()cos()f n n n =π，且()(1)n a f n f n =++，则12100a a a +++=A ．100-B ．0C ．100D ．1020012．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，113m S -=，0m S =，115m S +=-，其中m ∈*N 且2m ≥，则数列11{}n n a a +的前n 项和n T 的最大值为 A ．24143 B ．1143 C ．2413D ．613二、填空题：请将答案填在题中横线上．13．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，47a =，则n S =______________． 14．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知35a =，59a =，则7S =______________．15．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若35727a a a ++=，则9S =______________．16．已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，若75230a a --=，则17S 的值是______________． 17．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，352a a +=-，则使得n S 取得最大值时的正整数n =______________．18．《九章算术》是中国古代的数学专著，有题为：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢及各行几何？用享誉古今的“盈不足术”，可以精确的计算用了多少日多少时相逢，那么你认为在第______________日相遇．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．已知等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =．（1）求{}n a 的通项公式； （2）若242n S =，求n 的值．20．在等差数列{}n a 中，1018a =，515S =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值．21．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21211{}n n a a -+的前n 项和．。
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2.3 等差数列的前n 项和(人教A 版必修5)建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（每小题3分，共27分） 1.已知数列{}n a 为等差数列，公差2d ＝－，n S 为其前n 项和．若1011S S ＝，则1a ＝( ) A.18 B.20 C.22 D.242.若11a =，2d ＝，224k k S S ＋－＝，则k ＝( ) A.8 B.7 C.6 D.53.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1a =12，4S ＝20，则6S =( )A.16B.24C.36D.484.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11m m a a －＋＋－2ma ＝0，21m S －＝38，则m ＝( ) A.38 B.20 C.10 D.95.数列{}n a 是等差数列，12324a a a ＋＋＝－，1819a a ＋＋2078a ＝，则此数列的前20项和等于( )A.160B.180C.200D.2206.等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，2811a a a ＋＋是一个定值，则下列各数中也为定值的是( )A.7SB.8SC.13SD.15S7.已知等差数列{}n a 满足244a a ＋＝，3510a a ＋＝，则它的前10项的和10S ＝( )A.138B.135C.95D.238.已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为( ) A.24 B.26 C.27 D.289.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1OB a OA =200a OC +且,,A B C 三点共线(该直线不过点O )，则200S ＝( )A.100B.101C.200D.201 二、填空题（每小题4分，共16分）10.在等差数列{}n a 中，10a ＞，d ＝12，n a ＝3，nS ＝152，则1a ＝ ，n ＝ . 11.设S n 是等差数列{}n a (*n ∈N )的前n 项和，且1a ＝1，4a ＝7，则5S ＝ .12.已知等差数列{}n a 的前n 项和为18，若3S ＝1，n a 123n n a a －－＋＋＝，则n ＝ .13.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 ．三、解答题（共57分）14.(8分)在等差数列{}n a 中：(1)已知51058a a ＋＝，4950a a ＋＝，求10S ； (2)已知742S ＝，510n S ＝，345n a －＝，求n .15.（8分)在等差数列{}n a 中，(1)已知610a ＝，55S ＝，求8a 和8S ；(2)已知31540a a ＋＝，求17S .16.（8分）已知等差数列{}n a ，(1)若271221a a a ＋＋＝，求13S ； (2)若1575S ＝，求8a .17.（9分）已知在正整数数列{}n a 中，前n 项和n S 满足：n S ＝18(n a ＋2)2，(1)求证：{}n a 是等差数列；(2)若n b ＝12n a －30，求数列{}n b 前n 项和的最小值．18.（12分）甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前一分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动几分钟后相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 19.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和278n S n n ＝－－. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和n T .2.3 等差数列的前n和(人教A版必修5)答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9答案二、填空题10． 11． 12. 13.三、解答题14.15.16.17.18. 19.2.3 等差数列的前n 项和(人教A 版必修5)答案一、选择题1.B 解析：由1011S S ＝，得1111100a S S ＝－＝，111(111)0(10)(2)20a a d ⨯＝＋－＝＋－－＝.2.D 解析：∵ 212111(1)2(21)21(21)24424k k k k S S a a a kd a k d a k d k k ⨯⨯＋＋＋－＝＋＝＋＋＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝，∴5k ＝. 3.D 解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，∵ 1a ＝12，4S ＝4×12＋4×32d ＝2＋6d ＝20，∴ d ＝3，故6S ＝6×12＋6×52×3＝48，故选D.4.C 解析：由等差数列的性质，得112m m m a a a －＋＋＝，∴ 22m m a a ＝.由题意得0m a ≠，∴ 2m a ＝.又21m S －＝121(21)()2(21)22m m m a a a m --+-=＝2(21)m －＝38，∴ m ＝10. 5.B 解析：∵ {}n a 是等差数列，∴ 120219318a a a a a a ＋＝＋＝＋. 又12324a a a ＋＋＝－，18192078a a a ＋＋＝，∴ 12021931854a a a a a a ＋＋＋＋＋＝.∴ 1203()54a a ＋＝.∴ 12018a a ＋＝.∴ 20S ＝12020()2a a +＝180. 6.C 解析：由已知28111173183(6)3a a a a d a d a ＋＋＝＋＝＋＝为定值，则13S ＝11313()2a a +＝137a 也为定值，故选C.7.C 解析：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则24354,10.a a a a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②②－①，得2d ＝6，∴ d ＝3.∴ 2411113242434a a a d a d a d a ⨯＋＝＋＋＋＝＋＝＋＝.∴ 14a ＝－.∴ 10S ＝10×(－4)＋10×92×3＝－40＋135＝95.故选C.8.B 解析：设该等差数列为{}n a ，由题意得123421a a a a ＋＋＋＝，12367n n n n a a a a －－－＋＋＋＝. 又∵ 1213243n n n n a a a a a a a a －－－＋＝＋＝＋＝＋，∴ 14()216788n a a ＋＝＋＝，∴ 122n a a ＋＝， ∴ n S ＝1()2n n a a +11286n ＝＝，∴ 26n ＝. 9.A 解析：∵ 1200OB a OA a OC =+，且,,A B C 三点共线， ∴ 12002001a a S ＋＝，＝1200200()2a a +100＝.二、填空题10. 23 解析：由题意，得1113(1)21511=(1),222a n na n n ⎧=+-⨯⎪⎪⎨⎪+⨯-⨯⎪⎩，解得12,3.a n =⎧⎨=⎩11.25 解析：∵ 413a a d －＝，∴ 36d ＝，∴ 2d ＝，∴ 511155455422522S a d ⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝＋＝＋＝.12.27 解析：由题意得1()182n n n a a S +==. 由121233,1,n n n a a a a a a --++=⎧⎨++=⎩得13()4n a a ＋＝，即1n a a ＋＝43，故n ＝136362743na a ==+. 13.3 解析：1357915S a a a a a 奇＝＋＋＋＋＝，24681030S a a a a a 偶＝＋＋＋＋＝，∴ 515S S d 偶奇－＝＝，∴ 3d ＝. 三、解答题14.(1)解法一：由已知条件得510149121358,21150,a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩解得13,4.a d =⎧⎨=⎩∴ 10110S a ＝＋10(101)2d ⨯-⨯103⨯＝＋1092⨯4210⨯＝.解法二：由已知条件得51011049110458,250,a a a a d a a a a d +=++=⎧⎨+=++=⎩∴ 11042a a ＋＝，∴ 10S ＝11010()2a a ⨯+542210⨯＝＝. 解法三：由51049()()25850a a a a d ＋－＋＝＝－，得4d ＝； 由4950a a ＋＝，得121150a d ＋＝，∴ 13a ＝. 故10103S ⨯＝＋10942102⨯⨯=. (2)解：7S ＝177()2a a +4742a ＝＝，∴ 46a ＝. ∴ n S ＝143))45)510222n n n a a n a a n -+++===（（（6. ∴ 20n ＝.15.解：(1)∵ 6a ＝10，5S ＝5， ∴ 11510,510 5.a d a d +=⎧⎨+=⎩解得15,3.a d =-⎧⎨=⎩∴ 86216a a d ＝＋＝，8S ＝188()2a a +＝44. (2)∵ 117315a a a a ＋＝＋， ∴ 17S ＝11717()2a a +＝31517()2a a +＝17402⨯＝340.16.解：(1)∵ 21211372a a a a a ＋＝＋＝，271221a a a ＋＋＝， ∴ 7321a ＝，即7a ＝7. ∴ 13S ＝11313()2a a +＝71322a ⨯＝91. (2)∵ 15S ＝11515()2a a +＝81522a ⨯＝75，∴ 8a ＝5. 17.（1）证明：由21(2)8n n S a ＝＋，得2111(2)8n n S a －－＝＋(n ≥2)．当n ≥2时，n a ＝n S －1n S －＝182(2)n a ＋－1821(2)n a －＋，整理，得11()(4)0n n n n a a a a －－＋－－＝.∵ 数列{}n a 为正整数数列，∴ 10,n n a a +≠－ ∴ 14n n a a －－＝，即{}n a 为等差数列．(2)解：∵ 1S ＝1821(2)a ＋，∴ 1a ＝1821(2)a ＋.解得1a ＝2.∴ n a ＝2＋4(n －1)＝4n －2.∴ n b ＝12n a －30＝12(4n －2)－30＝2n －31.令n b <0，得n <312，∴ 15S 为前n 项和的最小值，即151215S b b b ＝＋＋＋＝2(1＋2＋…＋15)－15×31＝－225. 18.解：(1)设n 分钟后相遇，则2n ＋(1)2n n -＋5n ＝70， 整理，得2131400n n ＋－＝.解得n ＝7或n ＝－20(舍去). 故甲、乙开始运动7分钟后相遇． (2)设n 分钟后第二次相遇，则2n ＋(1)2n n -＋5n ＝3×70. 整理，得2134200n n ＋－＝.解得n ＝15或n ＝－28(舍去). 故开始运动15分钟后第二次相遇． 19.解：(1)当n ＝1时，11a S ＝＝－14； 当n ≥2时，1n n n a S S －＝－＝2n －8， 故n a ＝14(1),28(2).n n n -=⎧⎨-≥⎩(2)由n a ＝2n －8可知：当n ≤4时，n a ≤0；当n ≥5时，0n a >. ∴ 当1≤n ≤4时，278n n T S n n ＝－＝－＋＋；当n ≥5时，22444()2782(20)732n n n T S S S S S n n n n ⨯＝－＋－＝－＝－－－－＝－＋，∴ n T ＝2278(14),732(5).n n n n n n ⎧-++≤≤⎪⎨-+≥⎪⎩。