(精华)函数的奇偶性经典题型归纳总结讲义学生版(无答案)

课时二：函数的奇偶性

一、奇偶性定义

1、图形描述：

函数()f x 的图像关于y 轴对称⇔()f x 为偶函数；

函数()f x 的图像关于原点轴对称⇔()f x 为奇函数

2、定量描述

一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有__________则称()f x 为____________；如果都有_______________则称()f x 为______________；

如果()()f x f x -=与()()--f x f x =同时成立，那么函数()f x 既是奇函数又是偶函数；（常常只有一类：0)(=x f ）

如果()()f x f x -=与()()--f x f x =都不能成立，那么函数()f x 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

如果函数()f x 是奇函数或偶函数，则称函数()y f x =具有奇偶性。

二、隐藏含义

（1）讨论奇偶性的前提是：定义域关于原点对称。（如果不对称，没有奇偶性讨论）

（2）所有的函数分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数。

（3）若函数时奇函数，且在原点处有定义，则有：0)0(=f 。 （4）偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。

三、常用性质

（1）、()(),f x g x 是定义域为12,D D 且1

2D D 要关于原点对称，那么就有以下结论：

奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇⨯奇=偶 偶⨯偶=偶 奇⨯偶=奇

（2）、 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。

四、判断、证明函数的奇偶性

类型一 函数奇偶性的判断

练习1：判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 2

＋1；

(2)f (x )＝|x ＋1|－|x －1|；

练习2：(2014～2015学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )

A ．y ＝x ＋1

B ．y ＝－x 2

C ．y ＝1x

D ．y ＝x |x |

五、分段函数的奇偶性

类型二 分段函数奇偶性的判定

例2：用定义判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

－x 2

＋x x 2

－

x

的奇偶性．

类型三利用奇(偶)函数图象的对称特征，求关于原点对称的区间上的解析式

例3：若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(1－x)，求：当x≥0时，函数f(x)的解析式．

练习1：(2014～2015学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)已知函数f(x)是R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x＋1，则函数f(x)的解析式为________________．

六、几类特殊函数的奇偶性判断、证明

类型四抽象函数奇偶性的证明

例4：已知函数y＝f(x)(x∈R)，若对于任意实数a、b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数．

练习1：已知函数y＝f(x)(x∈R)，若对于任意实数x1、x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)

＝2f (x 1)·f (x 2)，求证： f (x )为偶函数．

类型五 含有参数的函数的奇偶性的判断

例5：设a 为实数，讨论函数f(x)＝2

x ＋|x －a|＋1的奇偶性．

练习1：(2014～2015学年度河南省实验中学高一月考)已知函数f (x )＝x 2

＋a x

，常数a ∈R ，讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由．

七、奇偶性的应用

类型六 利用奇偶性确定函数中字母的值

例6: 已知函数f (x )＝ax 2＋23x ＋b 是奇函数，且f (2)＝5

3.求实数a 、b 的值；

练习1：已知定义域为R 的函数f (x )＝b －2x

2x ＋a

是奇函数．

(1)求a 、b 的值；

类型八 利用奇偶性求函数值

例8：已知函数f(x)与g(x)满足f(x)＝2g(x)＋1，且g(x)为R 上的奇函数，f(－1)＝8，求f(1)．

练习2: (2014～2015学年度广东肇庆市高一上学期期中测试)设函数f (x )(x ∈R )为奇函数，f (1)＝1

2

，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于( )

A ．0

B ．1

C ．5

2 D ．5

课时八：单调性和奇偶性的综合应用

一、回顾

（1）单调性:同号增，异号减。 （2）单调性与区间相关。

（3）单调区间不能用并集表示。如x

x f 1

)(=，在),0(+∞、)0,(-∞上递增。 （4）奇偶性的前提是定义域关于原点对称。

（5）既是奇函数又是偶函数的函数只有一个：0)(=x f 二、典型例题

例1：已知定义在R 上的偶函数)(x f 在区间上是单调递增，则)2(-f 、)1(f 、)3(-f 的大小关系是：_____________________。

例2：)(x f 是定义在)1,1(-上的偶函数，且在)1,0(上为增函数，若0)4()2(2

<---a f a f ，试确定a 的取值范围。

例3：奇函数的定义域为：),0()0,(+∞⋃-∞，且在),0(+∞上单调递增，0)1(=f ，解不等式0)]2

1([<-x x f 。

例4：已知函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数且是减函数，若f(m －1)＋f(1－2m)≥0，求实数m 的取值范围．

练习2：(2014～2015学年度河南省实验中学高一上学期月考)已知偶函数f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，则满足f (2x －1)

3

)的x 的取值范围是( )

A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23

B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23

C ．⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，23 D ．⎣⎢⎡⎭

⎪⎫12，23