2012中考冲刺训练——直接开平方、配方法、求根公式法、因式分解法解一元二次方程
_一元二次方程的解法(直接开平方法配方法公式法因式分解)--
观察(1)(2)看所填的常 数与一次项系数之间
有什么关系?
(3) x2 4x 22=( x 2 )2
1.会用直接开平方法解形如(x a)2 b(b 0)
的方程. 2.灵活运用因式分解法解一元二次方程. 3.了解转化、降次思想在解方程中的运用。
合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练 地解一元二次方程。
a x 1.如果 x2 a(a 0) ，则 就叫做 的 平方根 。
2.如果 x2 a(a 0) ， 则x = a
解：（1） χ2=25
（2）移项，得χ2=900
直接开平方，得χ=±5 直接开平方，得χ=±30
∴ χ1=5，χ2=－5
∴χ1=30 χ2=－30
2、利用直接开平方法解下列方程：
（1）（χ+1）2－4=0
（2） 12（20 （2） 12（2－χ）2－9=0
分析：我们可以先把（χ+1）看作一个整体，原方程便可
χ1=－1,χ2=1.
利用因式分解的方法解方程，这种方法 叫做因式分解法。
1、利用因式分解法解下列方程： 1) χ2－3χ=0； 2） 16χ2=25； 3）（2χ+3）2－25=0.
解：1）方程左边分解因式，得χ（χ－3）=0.
∴ χ=0,或χ－3=0，
解得 χ1=0，χ2=3. 2) 方程移项，得16χ2－25=0
问题2 要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且
面积为16 m2 , 场地的长和宽应各是多少?
解:设场地的宽xm,长(x+6)m,根据矩形面积
为16 m2 ,列方程
X(x+6)=16
即x2 6x 16 0
怎样解?
想x2一想6x解 1方6 程 0x2 6x 16 0的流程怎样?
①因式分解法②直接开平方法③公式法④配方法
①因式分解法②直接开平方法③公式法④配方法因式分解法、直接开平方法、公式法和配方法都是解题方法，用于解决一元二次方程的题目。
下面将对这四种方法进行详细的解释。
因式分解法是一种将一元二次方程进行因式分解，从而得到方程的解的方法。
一般来说，对于形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程，若a、b、c都是整数及其系数，且方程的解为有理数，那么可以用因式分解法来求解。
首先，将方程的左边进行因式分解，得到(ax + m)(x + n) = 0的形式，然后根据乘法公式，可以得到ax^2 + (m + n)x + mn = 0，与原方程进行比较，可以得到 a = 1，b = m + n，c = mn的关系。
接下来，便可以根据这些关系，将方程进行求解。
直接开平方法是另一种求解一元二次方程的方法。
对于形如ax^2 +bx + c = 0的方程，可以通过将方程的左边进行完全平方的形式，即(a^2x^2 + 2abx + b^2) - b^2 + c = 0，然后将其化为一个二次幂减去一个常数的形式。
接下来，可以将其化为(x + a)^2 = b的形式，然后对其两边进行开平方，可以得到方程的解。
公式法是解一元二次方程的一种常用方法。
对于形如ax^2 + bx + c = 0的方程，可以通过求解方程的根的公式来得到方程的解。
一般来说，方程的根的公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，其中a、b、c分别为方程的系数。
根据方程的根的公式，可以得到方程的两个根，从而求解方程。
配方法也是解一元二次方程的常用方法之一、对于形如ax^2 + bx + c = 0的方程，可以通过一系列变形，将方程转化为一个可以进行因式分解的形式，从而求解方程。
一般来说，配方法的步骤包括将方程的左边进行变形，得到(a^2 + 2abx + b^2) - b^2 + c = 0的形式，然后将其化为一个二次幂减去一个常数的形式。
解一元二次方程(直接开方法、配方法、公式法、因式分解法)
一元二次方程知识讲解只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．【例题讲解】例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：去括号，得： 40-16x-10x+4x2=18移项，得：4x2-26x+22=0其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．小试牛刀1.将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．2求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．一元二次方程的解叫做一元二次方程的根解一元二次方程:直接开方法配方法公式法因式分解法【例题讲解】例1：解方程：x2+4x+4=1解：由已知，得：（x+2）2=1直接开平方，得：x+2=±1即x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根x1=-1，x2=-3例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10（1+x）2=14.4（1+x）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因为增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．即，每年人均住房面积增长率应为20%．例题共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”直接开方法：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=．【小试牛刀】1. 求出下列方程的根吗？（1）x 2-64=0 （2）3x 2-6=0 （3）x 2-3x=02.某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？例题讲解 例1. 解下列方程（1）x 2+6x+5=0 （2）2x 2+6x-2=0 （3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0 解：（1）移项，得：x 2+6x=-5 配方：x 2+6x+32=-5+32（x+3）2=4 由此可得：x+3=±2，即x 1=-1，x 2=-5 （2）移项，得：2x 2+6x=-2二次项系数化为1，得：x 2+3x=-1 配方x 2+3x+（32）2=-1+（32）2（x+32）2=54由此可得x+32=x 132，x 232（3）去括号，整理得：x 2+4x-1=0 移项，得x 2+4x=1配方，得（x+2）2=5 ， x+2=x 1，x 2从以上例题可以看出，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解． 配方法：总结用配方法解一元二次方程的步骤（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．【小试牛刀】用配方法解以下方程（1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=9（3）x 2+12x-15=0 （4）41 x 2-x-4=0【课堂引入】例1. 用配方法解下列方程（1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52例2．某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22mx +（m-2）x-1=0提出了下列问题．若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．解：存在．根据题意，得：m 2+1=2 ，即 m 2=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠0当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9x=(1)13224--±=⨯ 即 x 1=1，x 2=-12 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=-12． 公式法：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2b a -就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 小试牛刀1．用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0 因式分解法因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A ·B ＝0A ＝0或B ＝0．【例题精讲】例1：用因式分解法解下列方程：(1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1． 解：(1)方程可变形为(y ＋1)(y ＋6)＝0，y ＋1＝0或y ＋6＝0，∴y 1＝－1，y 2＝－6． (2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0，(2t －1)(t －3)＝0，2t －1＝0或t －3＝0，∴t 1＝21，t 2＝3．(3)方程可变形为2x 2－3x ＝0．x (2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0．∴x 1＝0，x 2＝23． 说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2．(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考？【同步练习】 1．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8 (2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．．x ＝21B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝－1(3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )A ．x 1＝53，x 2＝3B ．x ＝53C ．x 1＝－53，x 2＝－3D ．x 1＝53，x 2＝－3(4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对(5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5 (6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．－4D ．4(7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A ．5B ．5或11C ．6D ．11(8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．填空题(1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________． (3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________． (4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________． (5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________． 3．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0；(2)4x 2－1＝0； (3)x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0；(5)(x －1)(x ＋3)＝12；(6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x 2－x －3＝0；(8)(x －1)2－4(x －1)－21＝0．巩固提高练习1. 用直接开平方法解下列方程：（1）； （2）．2. 解下列方程：（1）； （2）；2225x =21440y -=2(1)9x -=2(21)3x +=（3）． （4）．3. 用直接开平方法解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4） 4. 填空（1）（ ）（ ）．（2）（ ）＝（ ）． （3）（ ）＝（ ）．5. 用适当的数（式）填空：； ＝．6. 用配方法解下列方程1）． 2）． 3）．2(61)250x --=281(2)16x -=25(21)180y -=21(31)644x +=26(2)1x +=2()(00)ax c b b a -=≠，≥28x x ++=x +2223x x -+x -22by y a-+y -223x x -+(x =-2)2x px -+(x -2)23223(x x x +-=+2)+210x x +-=23610x x +-=21(1)2(1)02x x ---+=7. 方程左边配成一个完全平方式，所得的方程是．8. 用配方法解方程．9. 关于的方程的根 ， ． 10. 关于的方程的解为 11. 用配方法解方程（1）； （2）．12. 用适当的方法解方程（1）； （2）；（3）； （4）．13. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．22103x x -+=23610x x --=22540x x --=x 22291240x a ab b ---=1x =2x =x 22220x ax b a +-+=210x x --=23920x x -+=23(1)12x +=2410y y ++=2884x x -=2310y y ++=x 22(21)10m x m x +-+=m。
直接开平方、配方法、求根公式法、因式分解法解一元二次方程
(2019年1月最新最细）2018全国中考真题解析考点汇编☆直接开平方、配方法、求根公式法、因式分解法解一元二次方程一、选择题1.（2018•泰州，3，3分）一元二次方程x2=2x的根是（）A、x=2B、x=0C、x1=0，x2=2D、x1=0，x2=﹣2考点：解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题。
分析：利用因式分解法即可将原方程变为x（x﹣2）=0，即可得x=0或x﹣2=0，则求得原方程的根．解答：解：∵x2=2x，∴x2﹣2x=0，∴x（x﹣2）=0，∴x=0或x﹣2=0，∴一元二次方程x2=2x的根x1=0，x2=2．故选C．点评：此题考查了因式分解法解一元二次方程．题目比较简单，解题需细心．2.（2018湖北荆州，3，3分）将代数式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（）A、（x-2）2+3B、（x+2）2-4C、（x+2）2-5D、（x+2）2+4 考点：配方法的应用．专题：配方法．分析：根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．解答：解：x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=x+22-5，故选C．点评：本题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值，难度适中．3.（2018•柳州）方程x2﹣4=0的解是（）A、x=2B、x=﹣2C、x=±2D、x=±4考点：解一元二次方程-直接开平方法。
专题：计算题。
分析：方程变形为x2=4，再把方程两边直接开方得到x=±2．解答：解：x2=4，∴x=±2．故选C．点评：本题考查了直接开平方法解一元二次方程：先把方程变形为x2=a（a≥0），再把方程两边直接开方，然后利用二次根式的性质化简得到方程的解．4.（2018•湘西州）小华在解一元二次方程x2﹣x=0时，只得出一个根x=1，则被漏掉的一个根是（）A、x=4B、x=3C、x=2D、x=0考点：解一元二次方程-因式分解法。
(完整版)初中数学用因式分解法解一元二次方程及答案
初中数学用因式分解法解一元二次方程一.选择题（共7小题）1.（2013秋？广州校级期中）用因式分解法解一元二次方程x （x- 1） -2 （1-x） =0,正确的步骤是（）A .（x+1 ）（x+2） =0 B. （x+1 ）（x-2） =0C. （x-1）（x- 2）=0D. （x-1）（x+2）=02.（2012春？萧山区校级期中）解一元二次方程2x2+5x=0的最佳解法是（）A.因式分解法B.开平方法C.配方法D.公式法3,解一元二次方程（y+2） 2-2 （y+2） - 3=0时，最简单的方法是（）A.直接开平方法B.因式分解法C.配方法D.公式法4.（2015?东西湖区校级模拟）一元二次方A. 0B. 25.（2014?平顶山二模）一元二次方程一A . 3 B. - 36.（2011春？招远市期中）一元二次方程A. c4B. cv0 W x2 - 2x=0 的解是（）C. 0, - 2D. 0, 2x2=3x的解是（）C. 3, 0 D, - 3, 0x2+c=0实数解的条件是（）C. c> 0D. c用7.（2011?北京模^若x= - 1是一元二次方程x2- ax=0的一个解，则a的值（）A . - 1 B. 1 C. 0 D. 土二.填空题（共3小题）8.（2012秋？开县校级月考）一元二次方程3x2 -4x-2=0的解是.9.（2012?铜仁地区）一元二次方程x2-2x-3=0的解是.10.（2014秋？禹州市期中）一元二次方程（4-2x） 2—36=0的解是三.解答题（共10小题）11.（2006秋?阜宁县校级月考）用指定的方法解下列一元二次方程:（1）2x2- 4x+1=0 （配方法）；（2）3x （x-1） =2-2x （因式分解法）；（3）x2-x-3=0 （公式法）.12.用因式分解法解下列关于x的一元二次方程.11) x2+x - k2x=0(2) x2-2mx+m 2-n2=0 .13. (2008?温州)(1)计算:曲-(b-1)(2)我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法,配方法和公式法.请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程.① x2—3x+1=0;②(x-1) 2=3；③ x2— 3x=0;④ x2-2x=4.14.用因式分解法解下列一元二次方程:(1)5x2=\/2x(2) 4 (2x+3) - ( 2x+3) 2=0(3)(x-2) 2= (2x+3) 2(4)一(x+1 ) 2=A (x- 1) 2.4 g15.因式分解法解方程：3x2-12x=-12.16.用因式分解法解方程：x2-9x+18=0 .17.用因式分解法解方程：12x2+x-6=0.18. （2013秋？黄陂区校级月考）用因式分解法解方程： 3 （x-5）2=2 （5-x）19. （2013秋？富顺县校级期中）用因式分解法解方程（x+3）2=5 （x+3）(3t-1 ) 2t C21-3) 20.因式分解法解一元二次方程. +1 —初中数学用因式分解法解一元二次方程参考答案与试题解析一．选择题(共7 小题)1．(2013秋？广州校级期中)用因式分解法解一元二次方程x (x- 1) -2 (1-x) =0,正确的步骤是( )A. (x+1 ) (x+2) =0B. (x+1 ) (x-2) =0C. (x-1)(x- 2)=0D. (x-1)(x+2)=0考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：将方程左边第二项提取-1变形后，提取公因式化为积的形式，即可得到结果.解答：解：方程x (x — 1) — 2 (1 — x) =0,变形得：x (x-1) +2 (x- 1) =0,分解因式得：(x- 1) (x+2) =0, 故选D点评：此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握此解法是解本题的关键.2．( 2012 春？萧山区校级期中)解一元二次方程2x2+5x=0 的最佳解法是( )A．因式分解法B．开平方法C．配方法D．公式法考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：方程左边缺少常数项，右边为0,左边可以提公因式x,运用因式分解法解方程.解答：解：方程2x2+5x=0左边可提公因式x,分解为两个一次因式的积，而右边为0,运用因式分解法．故选A．点评：本题考查了解一元二次方程的解法的运用．解方程时，要根据方程左右两边的特点，合理地选择解法，可使运算简便．3,解一元二次方程(y+2) 2-2 (y+2) - 3=0时，最简单的方法是( )A．直接开平方法B．因式分解法C．配方法D．公式法考点：解一元二次方程-因式分解法．分析：此题考查了数学思想中白^整体思想，把( y+2)看做一个整体，设(y+2)为x,则原方程可变为x2-2x-3=0 ,可以发现采用因式分解法最简单.解答：解：设( y+2) =x原方程可变为x2 - 2x - 3=0,(x - 3) (x+1 ) =0 采用因式分解法最简单.故选B点评：此题考查了数学思想中的整体思想，也就是换元思想，解题的关键是要充分理解一元二次方程各种解法的应用条件．4.（2015?东西湖区校级模拟）一元二次方程x2-2x=0的解是（）A . 0 B. 2 C. 0, - 2 D. 0, 2考点：解一元二次方程-因式分解法．分析：先提公因式x,然后根据两式相乘值为0,这两式中至少有一式值为0 .”进行求解. 解答：解：原方程化为：x（X-2） =0,解得x i=0, x2=2.故选D.点评：本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0 后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0 的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．5.（2014?平顶山二模）一元二次方程- x2=3x的解是（）A. 3B. -3C. 3, 0 D, - 3, 0考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：方程移项后，右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0 转化为两个一元一次方程来求解．解答：解：方程变形得：x2+3x=0,即x （x+3） =0,解得：x=0或x= - 3,故选D点评：此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．6.（2011 春?招远市期中）一元二次方程x2+c=0 实数解的条件是（）A. c 码B. cv 0C. c> 0D. c 不考点：根的判别式．专题：计算题．分析：由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于c的不等式，求出不等式的解集即可得到 c 的范围．解答：解：: 一元二次方程x2+c=0有实数解，2△ =b - 4ac= - 4c刃，解得：c旬.故选A点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．7.（2011?北京模^若x= - 1是一元二次方程x2- ax=0的一个解，则a的值（）A.TB. 1C. 0D. 土考点：一元二次方程的解．分析：由方程的解的定义，将 x=- 1代入方程，即可求得 a 的值解答：解：- 1是关于x 的方程：x 2-ax=0的一个解，，1+a=0,解得a= - 1,故选A.点评：本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题. 二.填空题（共3小题）8. （2012秋？开县校级月考）一元二次方程考点：解一元二次方程-公式法.分析：利用公式法解此一元二次方程的知识，即可求得答案. 解答：解：--- a=3, b=—4, c= - 2,△ =b 2-4ac=（- 4） 2-4X3X （ -2） =40,.|4±y40j2±Vi0x=2a2X3 3故答案为：士屈. 3点评：此题考查了公式法解一元二次方程的知识.此题难度不大，注意熟记公式是关键.9. （ 2012?铜仁地区）一元二次方程 x2-2x - 3=0的解是 x 』=3. xg= - 1考点：解一元二次方程-因式分解法. 专题：计算题；压轴题.分析：根据方程的解x 1x 2=-3,x 1+x 2=2可将方程进行分解，得出两式相乘的形式，再根据 两 式相乘值为0,这两式中至少有一式值为 0”来解题.解答：解：原方程可化为：（x-3） （x+1） =0,x — 3=0 或 x+1=0 , x 1=3, x 2= — 1 .点评：本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方 法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.本题运用的是因 式分解法.10. （2014秋？禹州市期中）一元二次方程（ 4-2x ） 2 — 36=0的解是 x j = — 1 ： x 2=5 .考点：解一元二次方程-直接开平方法.分析：先移项，写成（x+a ） 2=b 的形式，然后利用数的开方解答. 解答：解：移项得，（4- 2x ） 2=36,开方得，4 - 2x= =6, 解得 x 1= - 1, x 2=5. 故答案为x 1= - 1, x 2=5.点评：本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，注意：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有： x 2=a （a 涮）；ax 2=b （a, b 同号且a^0）; （x+a ） 2=b （b 用）；a （x+b ） 2=c （a, c 同号且a 加）.法则：要把方程化为 左3x2 - 4x- 2=0 的解是 2 土 力°一3平方，右常数，先把系数化为1,再开平方取正负，分开求得方程解(2)运用整体思想，会把被开方数看成整体.(3)用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点.三.解答题(共10小题)11. (2006秋?阜宁县校级月考)用指定的方法解下列一元二次方程：(1) 2x 2-4x+1=0 (配方法)；(2) 3x (x-1) =2-2x (因式分解法)；(3) x 2-x-3=0 (公式法).考点：解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程 -因式分解法. 专题：计算题.分析：(1)用配方法，用配方法解方程，首先二次项系数化为1,移项，把常数项移到等号的右边，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数的一半，即可使左边是完全平方 式，右边是常数，直接开方即可求解；(2)用因式分解法，用提公因式法解方程，方程左边可以提取公因式x-1,即可分解，转化为两个式子的积是0的形式，从而转化为两个一元一次方程求解；(3)利用公式法即可求解.解答：解：(1) 2x2 - 4x+1=0x2- 2x+—=0 2 (x T) 2=_!.…也■ - x1=1+——, x2=1 ---；2 2(2) 3x ( x T ) =2 - 2x 3x (x - 1) +2 (x- 1) =0 (x- 1) (3x+2) =0-2• - x 1=1 , x 2=—;J 本题考查了解一元二次方程的方法，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法, 要会灵活运用.当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任 何一元二次方程.12.用因式分解法解下列关于 x 的一元二次方程.(1) x 2+x - k 2x=0(2) x 2-2mx+m 2-n 2=0 .考点：解一元二次方程-因式分解法.专题：计算题.x=(3) x 2-x- 3=01 ±、氐 x 1 = 2----- ，x2= --- --2 2 点评:分析：两方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.解答：解：（1）分解因式得：x （x+1 - k2） =0,解得：X1=0, x2=k2_ 1;（2）分解因式得：（x-m+n）（x-m-n） =0,解得：x i=m-n, x2=m+n .点评：此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.13. （2008?温州）（1）计算:展-（例-1）口+|-1|；（2）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法.请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程.① x2—3x+1=0;②（x-1）2=3；③ x2— 3x=0 ;④ x2-2x=4.考点：实数的运算；解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程 -配方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法.专题：计算题.分析：（1）本题涉及零指数哥还有绝对值，解答时要注意它们的性质.（2）①x2- 3x+1=0采用公式法；②（x-1） 2=3采用直接开平方法；③x2- 3x=0采用因式分解法；④x2- 2x=4采用配方法.解答：解：（1）场-［炳-1）（2）① x2- 3x+1=0 ,刎/日抖而Vs解得町二丁厂，¥.2二一^；②（xT） 2=3,x - 1=V^或x -1= - Vs解得x1 = 1 + \!, 3,x2=1 h/s③ x2-3x=0,x （x - 3） =0解得x1=0, x2=3;④ x2-2x=4,即x2 - 2x - 4=02- 2x=4x即x2- 2x+1=5（x T） 2=5解得x1=l-V^0二计听.点评：本题考查实数的综合运算能力，解决此类题目的关键熟记零指数哥和绝对值的运 算.解一元二次方程时要注意选择适宜的解题方法.14.用因式分解法解下列一元二次方程: (1) 5x 2=V2x(2) 4 (2x+3) - ( 2x+3) 2=0 (3) (x- 2) 2= (2x+3) 2(4)一(x+1 ) 2=1 (x- 1) 2.4 9考点：解一元二次方程-因式分解法. 分析：(1)移项后提公因式即可；(1) 移项后因式分解即可； (2) 移项后因式分解即可； (3) 直接开平方即可解答.解答：解：(1) 5x 2=/2x ,移项得 5x 2 - J^x=0 ,提公因式得x (5x-=0, 解得 x 1=0 x 2=Y2.5(4) 4 (2x+3) - ( 2x+3) 2=0,提公因式得，(2x+3) [4- (2x+3) ]=0, 解得，2x+3=0 , 1 - 2x=0 ,(5) (x — 2) 2= (2x+3) 2,移项得，(x-2) 2- ( 2x+3) 2=0,因式分解得，(x- 2 - 2x - 3) (x-2+2x+3) =0 , 则—x — 5=0, 3x+1=0 , 解得，x 1= - 5, x 2=- ';(6) — (x+1) 2」(x- 1) 2,4 9直接开平方得 J (x+1) =W(x-1), £ J解得x 1= - 5,点评：本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方 法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.15.因式分解法解方程： 3x 2-12x=-12.则［(x+1) 2=4 (xT),(x+1)考点：解一元二次方程-因式分解法.分析：先移项，再两边都除以3,分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可. 解答：解：3x2- 12x= -12,移项得：3x2- 12x+12=0 ,2- 4x+4=0 ,x(x-2) (x-2) =0,x-2=0, x-2=0, x i=x2=2.点评：本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元- 次方程，题目比较好，难度适中.16.用因式分解法解方程：x2-9x+18=0 .考点：解一元二次方程-因式分解法.分析：分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.解答：解：x2 - 9x+18=0 ,(x - 3) (x - 6) =0,x — 3=0 , x — 6=0, x1=3, x2=6.点评：本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元- 次方程.17.用因式分解法解方程：12x2+x-6=0.考点：解一元二次方程-因式分解法.分析：分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.解答：解：分解因式得：(3x-2) (4x+3) =0,3x - 2=0, 4x+3=0 ,点评：本题考查了解一元二次方程的应用, 解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元次方程.18.(2013秋？黄陂区校级月考)用因式分解法解方程： 3 (x-5) 2=2 (5-x)考点：解一元二次方程-因式分解法.专题：因式分解.分析：先移项，然后提公因式，这样转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可.解答：解：移项，得3 (x-5) 2+2 (x-5) =0,(x-5) (3x-13) =0,•• x - 5=0 或3x - 13=0 ,所以x1=5, x2=-^y.第11页(共11页)点评：本题考查了利用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解的能力.要熟练掌握因式分解的方法. 19. (2013秋？富顺县校级期中)用因式分解法解方程(x+3) 2=5 (x+3)考点：实数范围内分解因式.分析：利用因式分解法进行解方程得出即可.解答：解：(x+3) 2-5 (x+3) =0, (x+3) [ (x+3) — 5]=0,(x+3) =0 或(x+3) - 5=0,解得：x i = - 3, x 2=2.点评：此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键.考点：解一元二次方程-因式分解法.分析：首先移项，然后利用平方差公式使方程的左边进行因式分解，再进行去分母，最后解 两个一元一次方程即可."解:「『—况”、t (2L3) 5 52 .(t+3)2 (3fl ) 2 2?-3t-2 .. ------- = , 5 5 2(t+3- (t+3+3t-l) (2t+lJ (t-2)-4 (t-2) C2t11)(2t+D (t-2? - 8 (t-2) (2t+1) =5 (t —2) (2t+1), 13 (t —2) (2t+1) =0,. . t — 2=0 或 2t+1=0,t 1=2 , t 2=一点评：本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是熟练掌握平方差公式的应用，此题难度不大. 20.因式分解法解一元二次方程.32+1—(孕-1)二9” 5 52。
完整版)一元二次方程解法及其经典练习题
完整版)一元二次方程解法及其经典练习题一元二次方程的解法及经典练题方法一：直接开平方法（基于平方根的定义）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
即，如果x²=a，那么x=±√a。
注意，x可以是多项式。
一、使用直接开平方法解下列一元二次方程：1.4x²-1=22.(x-3)²=233.81(x-2)²=1644.(x+1)²/4=255.(2x+1)²=(x-1)²6.(5-2x)²=9(x+3)²7.2(x-4)²/3-6=0.方法二：配方法解一元二次方程1.定义：把一个一元二次方程的左边配成一个平方，右边为一个常数，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
2.配方法解一元二次方程的步骤：1）将方程移项，使等式左边为完全平方，右边为常数。
2）将等式左右两边开平方。
3）解出方程的根。
二、使用配方法解下列一元二次方程：1.y²-6y-6=02.3x²-2=4x3.3x²-4x=94.x²-4x-5=05.2x²+3x-1=06.3x²+2x-7=0方法三：公式法1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
2.公式的推导：使用配方法解方程ax²+bx+c=0（a≠0），解得x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。
3.由上可知，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因为1）当b²-4ac>0时，方程有两个实数根，x₁=[-b+√(b²-4ac)]/(2a)，x₂=[-b-√(b²-4ac)]/(2a)。
2）当b²-4ac=0时，方程有一个实数根，x₁=x₂=-b/(2a)。
中考数学试题直接开平方、配方法、求根公式法、因式分解法解一元二次方程
知识点4：直接开平方、配方法、求根公式法、因式分解法解一元二次方程，实数范围内因式分解一.选择题1.（2008年江苏省苏州市）若，则的值等于（）A．B．C．D．或2. 方程的解是（）A．B．C．D．3. （2008山西省）一元二次方程的解是A． B． C． D．4. （2008广州市）方程的根是（）A B C D5.（2008甘肃兰州）方程的解是（）A．B．C．或 D．6. (2008 福建龙岩)方程的解是（）A．，B．，C．，D．，二、填空题1.(2008年辽宁省十二市)一元二次方程的解是．2. (2008黑龙江黑河)三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是．3. （2008桂林市）一元二次方程的根为。
4.（2008 江西）一元二次方程的解是．5.（2008年浙江省嘉兴市）方程的解是．6. （08莆田市）方程的根是_________________.7.（2008遵义）一元二次方程的解是8.（2008海南省）方程的解是 .9. (2008 浙江丽水)一元二次方程可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是，则另一个一次方程是▲．10.（2008 四川凉山州）等腰两边的长分别是一元二次方程的两个解，则这个等腰三角形的周长是．11.（2008年庆阳市）方程的解是．三、简答题1（2008年四川巴中市）解方程：2.（2008年吉林省长春市）解方程：3．（2008年山东省青岛市）用配方法解一元二次方程：．4.（2008年江苏省连云港市）（2）解方程：．5. .(2008 重庆)解方程：6. (2008泰安) 用配方法解方程：．7. （2008山西太原）解方程：。
8.（2008湖北武汉）解方程：．9. (2008湖南株洲)解方程：10. (2008山东济宁)用配方法解方程：．12. （1）；13.(2008浙江温州)我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个．．，并选择你认为适当的方法解这个方程．。
配方法解一元二次方程(一)-直接开平方
配方法解一元二次方程（一）-直接开平方预习归纳若()20x p p =≥，则1x =__________，2x =_____________． 基础过关知识点：将()200ax bx c a ++=≠化作形如()2mx n p +=的方程 1．16的平方根是（ ）A ．4B ．4-C ．4±D ．8± 2．一元二次方程24x =的根是（ ）A ．2x =B ．2x =-C ．10x =，22x =D ．12x =，22x =-3．一元二次方程250x -=的根是（ ）A ．5x =±B ．x =C ．1x =2x =D ．10x =，25x =4．方程()214x +=的解是（ ）A ．12x =，22x =-B ．13x =，21x =-C ．1x =D ．11x =，23x =-5．方程()219x -=的解是（ ）A ．13x =，23x =-B ．14x =，24x =-C ．14x =，22x =-D ．4x =6．方程230x -=的根是______________________． 7．用直接开平方法解方程．（1）2925x = （2）22980x -=（3）()2320x -= （4）()23127x -=（5）()215x -= （6）()223x +=能力提升1．已知0b ＜，关于x 的一元二次方程()21x b -=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有两个实数根2．一元二次方程()2616x +=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是64x +=，则另一个一元一次方程是（ ）A ．64x -=-B ．64x -=C ．64x +=D ．64x +=-3．一元二次方程24960x x +-=变形正确的是（ ）A ．()22100x += B ．()22100x -=C ．()24100x +=D ．()24100x -=4．方程232x =的根是__________________________． 5．解下列方程．（1）()22510x +-= （2）()()111x x -+=（3）()2531250x --= （4）24415x x -+=6．若()223x +的值与()231x -的值互为相反数，求23xx +的值．综合拓展1．如图，在长和宽分别为m 、n 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x 的正方形．（1）用含m ，n ，x 的式子表示纸片剩余部分的面积；（2）当12m =，4n =，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求剪去正方形的边长．。
初高中衔接(二)《一元二次方程解法(直接开平方、配方法)》专题
《一元二次方程解法(直接开平方、配方法)》专题2014年（ ）月（ ）日 班级： 姓名 再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达。
解下例方程x 2＝169； 45－x 2＝0； x 2-12=04x 2=92x 2-3=0 12y 2－25＝0；75－x 2＝0；4x 2－1＝0 16x 2－25＝0.x 2-214=03x 2-163=0 (2x+1)2=25；81(x-2)2=16 ；3(2x+1)2=12 22)23()5(+=-x xx 2+2x+1=0；x 2+x+14=0 x 2+4x+4=0x 2-6x+9=4x 2-4x+4=09x 2-6x+1=0例：用直接开平方法解方程：22)6(16)3(49+=-x x解：开平方得，7(3)4(6)x x -=±+∴7(3)4(6)x x -=+由或7(3)4(6)x x -=-+由 ∴115.x =得，23.11x =- 【点评】直接开平方法的要点是：通过等式变形变出2x n =或2()x m n -=的形式，再直接开平方；另外注意方程解得书写格式1x 、2x .用直接开平方法解下列一元二次方程2435x -= (2)(2)21x x -+= 2(2=9x ）;51)12(212=-y 4（x -3）2=25 24)23(2=+x()21-350x -= x 2+2x+1=4 2269(52)x x x -+=-2216(1)9(1)x x -=+ 2249(3)16(6)x x -=+ 22((1x =1、 请说出完全平方公式。
（a ＋b ）2 = （a -b ）2 =2、 用直接开平方法解下例方程：（1）5)3(2=+x （2）134)5(2=+-x3、思考如何解下例方程（1）16442=+-x x （2）13425102=++-x x问题1、请你思考方程5)3(2=+x 与0462=++x x 有什么关系，如何解方程0462=++x x 呢？问题2、能否将方程0462=++x x 转化为（n m x =+2)的形式呢？ 0462=++x x先将常数项移到方程的右边，得在方程的两边加上一次项系数6的一半的平方，即32后，得（x ＋3）2= 5解这个方程，得例：用配方法解方程： x 2+2x -3=0解：移项得： x 2+2x =3两边同时加1得： x 2+2x +1=3+1配方得： 2)1(+x =4解得： x +1=2±∴ x +1=2或x +1=2-∴ 11=x ，32-=x用配方法解方程0662=--y y 0542=--x x 9642=-x xy 2+22y-4=0； x 2＋8x －2＝0 x 2－5x －6＝0.34322x x =-021232=-+x x 037322=-+x xx x 4232=- 01322=-+x x 07232=-+x x1、若2228170x x y y ++-+=，求,x y 的值。
直接开平方法,配方法 ,因式分解法,公式法,根与系数的关系
１直接开平方法、配方法练习姓名：一、选择题1. 方程2850xx -+=的左边配成一个完全平方式后得到的方程是（ ）A ．2(6)11x -=B ．2(4)11x -=C ．2(4)21x -=Ｄ．2(6)21x -=2. 用直接开平方法解方程2(3)8x -=，方程的根为（ ） A．3x =+B．3x =-C．13x =+23x =-D．13x =+23x =-3. 方程22310x x -+=化为2()x a b +=的形式，则正确的结果为（ ）A ．23()162x -=B ．2312()416x -= C ．231()416x -=D ． 以上都不对4. 用配方法解一元二次方程x 2+6x -11=0，则方程可变形为（ ） A ．(x +3)2=2 B ．(x -3)2=20 C ．(x +3)2=20 D ．(x -3)2=25. 用配方法解方程()2227724x x x ⎡⎤⎛⎫-+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦过程中，括号内填（ ） A ．47 B ．27 C ．1649 D ．496. (x +m )2=n (n >0)的根是（ ） A ．m +n B ．-m ±n C ．m +n D ．m ±n7. 已知方程260x x q -+=可以配方成2()7x p -=的形式，那么262x x q -+=可以配方成下列的（ ）A ．2()5x p -=B ．2()9x p -= C ．2(2)9x p -+= D ．2(2)5x p -+=8. 已知222(1)4x y ++=，则22x y +的值为（ ）A ．1或3-B ．1C ．3-D ．以上都不对9. 小明用配方法解下列方程时，只有一个配方有错误，请你确定小明错的是（ ）A ．22990xx --=化成2(1)100x -= B ．2890x x ++=化成2(4)25x +=C ．22740t t --=化成2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D ．23420y y --=化成221039y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭２10. 把方程23402x x +-=左边配成一个完全平方式后，所得方程是（ ） A ．2355416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．231524x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭C ．231524x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭D ．2373416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 11. 用配方法解方程22103x x -+=，正确的解法是（ ） A ．21839x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，133x =± B ．21839x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，无实根C ．22539x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，x = D ．22539x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，无实根 12. 用配方法解下列方程，其中应在两端同时加上4的是（ ）A ．225xx -= B ．2245x x -= C ．245x x += D ．225x x +=二、填空题13. 方程2(5)214x -=的解是 ．14. 223x x --=(x - ）2＋ ．15. 方程2(1)2x -=的解是________．17. （1）2210()()x x x ++=+ ； （2）223()()2x x x -+=- ； （3）222912()9()(3)x x x x ++=-=- ；（4） x 2+5x +( )=(x +_____)2 18. []225(____)(____)2x x x ++=+，[]222(____)(____)3y x y -+=-． 19. 由配方法知257x x -+有最 值，是 。
中考数学专项练习直接开平方法解一元二次方程(含解析)
中考数学专项练习直接开平方法解一元二次方程（含解析）【一】单项选择题1.假设分式的值为0，那么x的值是〔〕A.1或-1B.1C.-1D.0【考点】分式的值为零的条件，解一元二次方程-直接开平方法【解析】【分析】根据分子为0，同时分母不等于0时，分式值是零，即可得到结果．由题意得，解得，那么x=1，应选B.【点评】解答此题的关键是熟练掌握分式值是零的条件：分子为0，同时分母不等于0．2.假设25x2=16，那么x的值为〔〕A.B.C.D.【考点】直接开平方法解一元二次方程3.方程的根是〔〕A.B.C.D.【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】用开平方法可得【分析】将原方程变形为=4，用直接开平方法解得x=2，即= 2 ，= − 2.4.一元二次方程x2=2的解是〔〕A.x=2或x=﹣2B.x=2C.x=4或x=﹣4 D.x=或x=﹣【考点】解一元二次方程-直接开平方法5.方程x2=9的解是〔〕A.x1=x2=3B.x1=x2 =9C.x1=3，x2=﹣3 D.x1=9，x2=﹣9【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】解：x2=9，两边开平方，得x1=3，x2=﹣3．应选C、【分析】利用直接开平方法求解即可．6.一元二次方程〔x+6〕2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，那么另一个一元一次方程是〔〕A.x-6=-4B.x-6=4C.x+6=4D.x+6=-4【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】〔x+6〕2=16，两边直接开平方得：x+6=±4，那么：x+6=4，x+6=-4，应选：D、7.方程x2=9的解是〔〕A.x=9B.x=±9C.x=3D.x=±3【考点】直接开平方法解一元二次方程【解析】【解答】解：∵x2=9，∴x=±3，应选：D、【分析】直接开平方法即可得．8.假设是反比例函数，那么b的值为〔〕A.1B.－1C.D.任意实数【考点】直接开平方法解一元二次方程，反比例函数的定义9.如果﹣2是方程x2﹣m=0的一个根，那么m的值为〔〕A.2B.﹣4C.3D.4【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】解：∵x=﹣2是方程的根，∴x=﹣2代入方程有：4﹣m=0，解得：m=4．应选D、【分析】把x=﹣2代入方程，得到关于m的一元一次方程，可以求出m的值．10.一元二次方程x2﹣1=0的根为〔〕A.x=1B.x=﹣1C.x1=1，x2=﹣1 D.x1=0，x 2=1【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】解：x2﹣1=0，移项得：x2=1，两边直接开平方得：x=±1，应选：C、【分析】首先把﹣1移到方程的右边，再两边直接开平方即可．【二】填空题11.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对〔a，b〕进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3．假设将实数〔x，﹣2x〕放入其中，得到﹣1，那么x=________．【考点】解一元二次方程-直接开平方法，定义新运算12.一元二次方程x2=3的根是________．【考点】解一元二次方程-直接开平方法13.一元二次方程〔x+6〕2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，那么另一个一元一次方程是________．【考点】解一元二次方程-直接开平方法14.一元二次方程2x2-6=0的解为________.【考点】直接开平方法解一元二次方程【解析】【解答】解：2x2-6=0，2x2=6，x2=3，x=±【分析】将常数项移到方程的右边，根据等式的性质，方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后根据平方根的意义直接开平方得出原方程的解。
2.2 用直接开平方与配方法求解一元二次方程(解析版
双清课堂2020-2021学年九年级数学上册章节同步（北师大版）2.2 用直接开平方与配方法求解一元二次方程堂清知识点一元二次方程的解法：有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法.（1）直接开方法适用形式：x 2=p 、(x +n )2=p 或(mx +n )2=p 。
（2）配方法:套用公式a 2+2ab +b 2=(a +b )2；a 2-2ab +b 2=(a -b )2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；③配方——两边同时加上b 2，把左边配成x 2+2bx +b 2的形式，并写成完全平方的形式；④开方，即降次；⑤解一次方程.日清典型习题一、选择题1．（2020·湖北省初三期中）一元二次方程290x -=的根为（ ）A ．x =3B ．x =-3C ．x 1=3，x 2=-3D ．x =9【答案】C2．（2019·深圳市光明区实验学校初三月考）用配方法解方程2420x x -+=，下列配方法正确的是（ ）A ．2(2)2x -=B ．2(22)x +=C ．2(2)2x -=-D ．2(26)x -=【答案】A3．（2020·福建省初一月考）已知方程240x x q -+=可以配方成 2()5x p -=的形式，那么q 的值是（ ）A ．－2B ．－1C ．1D ．2【答案】B4．（2020·山东省中考真题）将一元二次方程2850x x --=化成2()x a b +=（a ，b 为常数）的形式，则a ，b 的值分别是（ ）A ．4-，21B ．4-，11C ．4，21D ．8-，69【答案】A5．（2020·扬州市梅岭中学初二期中）关于代数式 −x 2+4x -2 的取值，下列说法正确的是（ ）A ．有最小值-2B ．有最大值2C ．有最大值−6D ．恒小于零【答案】B二、填空题6．（2020·江苏省中考真题）方程（x +1）2=9的解是_________．【答案】2或-47．（2020·温州外国语学校初二月考）代数式2241x x -+的最小值为__________．【答案】﹣18．（2020·扬州市江都区第三中学初一期中）若把代数式245x x --化为()2x m k -+的形式，其中m 、k 为常数，则m k +=______．【答案】-79．（2019·辽宁省初三月考）如果方程240x x n ++=可以配方成2()3x m +=，那么2018()m n -=___【答案】110．（2018·山东省初三期末）对于实数p q ，，我们用符号min{}p q ，表示p q ，两数中较小的数，如min{1,2}1=.因此，{min = ________；若{}22min (1)1x x -=，，则x ＝________．【答案】 2或-1．三、解答题11．（1）解方程：4(x +3)2=25(x -2)2（2）解方程：x 2﹣4x ﹣5＝0（用配方法）【答案】（1）解：4(x +3)2=25(x -2)2，开方得：2(x +3)=±5(x -2)，解得：x 1＝163，x 2＝47（2）解：方程变形得：x 2﹣4x ＝5，即x 2﹣4x +4＝9，变形得：（x ﹣2）2＝9，开方得：x ﹣2＝3或x ﹣2＝﹣3，解得：x 1＝5，x 2＝﹣1．12．（2020·河北省初三一模）对关于x 的二次三项式249x x -+进行配方得2()x m n ++，（1）填空：m = ，n = ；（2）当x 为何值时，此二次三项式得值为7．【答案】（1）2249(2)5x x x -+=-+，∴25m n =-=，，故答案为：-2，5；（2）由题意可得，2497x x -+=，即2(2)57x -+=，∴2(2)2x -=，∴2x -=解得：1222x x =+=13．（2020·黑龙江省初二期末）已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，满足a 2+b 2=10a +8b ﹣41，且c 是△ABC 中最长的边，求c 的取值范围．【答案】解：∵满足a 2+b 2=10a +8b -41，∴a 2-10a +25+b 2-8b +16=0，∴（a -5）2+（b -4）2=0，∵（a -5）2≥0，（b -4）2≥0，∴a -5=0，b -4=0，∴a =5，b =4；∴5-4＜c ＜5+4，∵c 是最长边，∴5＜c ＜9．14．（2020·渠县崇德实验学校初一期中）“a 2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x 2+4x +5＝x 2+4x +4+1＝（x +2）2+1，∵（x +2）2≥0，∴（x +2）2+1≥1，∴x 2+4x +5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x 2﹣4x +5＝（x ）2+ ；（2）已知x 2﹣4x +y 2+2y +5＝0，求x +y 的值；（3）比较代数式：x 2﹣1与2x ﹣3的大小．【答案】解：（1）x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1；（2）x 2﹣4x +y 2+2y +5＝0，（x ﹣2）2+（y +1）2＝0，则x ﹣2＝0，y +1＝0，解得x ＝2，y ＝﹣1，则x +y ＝2﹣1＝1；（3）x 2﹣1﹣（2x ﹣3）＝x 2﹣2x +2＝（x ﹣1）2+1，∵（x ﹣1）2≥0，∴（x ﹣1）2+1＞0，∴x 2﹣1＞2x ﹣3．15．（2020·江苏省初一期中）阅读材料：把形如2ax bx c ++的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即222)2(a ab b a b ±+=±.例如：2224213x x x x -+=-++2(1)3x =-+是224x x -+的一种形式的配方；所以，()213x -+，2(2)x -2x +，22213224x x æö-+ç÷èø是224x x -+的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）.请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出249x x -+三种不同形式的配方；（2）已知22610340x y x y +-++=，求32x y -的值；（3）已知2223240a b c ab b c ++---+=，求a b c ++的值.【答案】解：（1）249x x -+的三种配方分别为：2249(2)5x x x -+=-+；2249(3)10x x x x -+=+-；2249(3)2x x x x -+=-+（或2222549339x x x x æö-+=-+ç÷èø；（2）∵x 2+y 2-6x +10y +34=x 2-6x +9+y 2+10y +25=（x -3）2+（y +5）2=0，∴x -3=0，y +5=0，∴x =3，y =-5，∴3x -2y =3×3-2×（-5）=19（3）2223240a b c ab b c ++---+=()2222134421044a ab b b bc c -++-++-+=22213(2)(1)024a b b c æö-+-+-=ç÷èø∴102a b -=，3(2)04b -=，10c -=∴1a =，2b =，1c =，则4a b c ++=。
一元二次方程的四种解法
一元二次方程的四种解法一元二次方程是中考的重点内容，也是初中数学学习的重点，解一元二次方程是重要的应用，不管是直接开平方，还是配方法、公式法、因式分解法等等方法解方程，四种解法各有不同，不同的依据，不同的适用范围，都需要同学们重点掌握的，然后根据题目的实际情况，选择最佳的解题方法。
下面我们通过实例讲解一元二次方程的四种解法，让同学们在考试中得心应手，同时也希望同学们谨记各部分的注意事项，记住各种方法的适用方位，在考试中灵活运用，避免出现错误。
一、直接开平方法：依据的是平方根的意义，步骤是：①将方程转化为x=p或（mx+n)=p的形式；②分三种情况降次求解：①当p>0时；②当p=0时；③当p<0时，方程无实数根。
需要注意的是：直接开平方法只适用于部分的一元二次方程，它适用的方程能转化为x=p或（mx+n)=p的形式，其中p为常数，当p≥0时，开方时要取“正、负。
二、配方法：把一般形式的一元二次方程ax+bx+c=0(a≥0)左端配成一个含有未知数的完全平方式，右端是一个非负常数，进而可用直接开平方法来求解。
一般步骤：移项、二次项系数化成1，配方，开平方根。
配方法适用于解所有一元二次方程。
三、公式法：利用求根公式，直接求解。
把一元二次方程的各系数代入求根公式，直接求出方程的解。
一般步骤为：(1)把方程化为一般形式；(2)确定a、b、c的值；(3)计算b-4ac的值；(4)当b-4ac≥0时，把a、b、c及b-4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当b-4ac<0时，方程没有实数根。
需要注意的是：公式法是解一元二次方程的一般方法，又叫万能方法，对于任意一个一元二次方程，只要有解，就一定能用求根公式解出来。
求根公式是用配方法解一元二次方程的结果，用它直接解方程避免繁杂的配方过程。
因此没有特别要求，一般不会用配方法解方程。
四、因式分解法：先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。
完整版)解一元二次方程练习题(配方法)
完整版)解一元二次方程练习题(配方法) 一元二次方程解法练题一、用直接开平方法解下列一元二次方程。
1、4x-1=2、(x-3)^2=2、2、(x-1)^2=5、81(x-2)=16二、用配方法解下列一元二次方程。
1、y^2-6y-6=0、3x^2-4x+2=02、x^2-4x-5=0、2x^2+3x-1=03、x^2-4x=9、3x^2+2x-7=04、x^2-4x-5=0、-4x^2-8x=165、2x^2+3x-1=0、(2-3x)^2=46、-4x^2+12x=0三、用公式解法解下列方程。
1、x^2-2x-8=0、4y^2-2y-1=02、2x^2-5x+1=0、-4x^2-8x=16、2x^2-3x-2=0四、用因式分解法解下列一元二次方程。
1、x^2=2x、(x+1)^2-(2x-3)^2=3、x^2-6x+8=02、4(x-3)^2=25(x-2)、(1+2)x^2-(1-2)x=6、(2-3x)^2+(3x-2)^2=1五、用适当的方法解下列一元二次方程。
1、3x/(x-1)=x/(x+5)、2x-3=5x、x-2y+6=22、x^2-7x+10=0、(x-3)(x+2)=6、4(x-3)+x(x-3)=23、(5x-1)^-2=8、3y^2-4y-9=0、x^2-7x-30=24、(y+2)(y-1)=4、x^2-4ax=b^2-4a^2、x^2+(531/36)x=05、4x(x-1)=3、3x^2-9x+2=0一元二次方程解法练题六、用直接开平方法解下列一元二次方程。
1.4x-1=2解：移项得4x=3，两边平方得16x^2=9，即x=±3/4.2.(x-3)^2=2解：展开得x^2-6x+7=0，两边平方得x-3=±√2，即x=3±√2.3.(x-1)^2=5解：展开得x^2-2x-4=0，两边平方得x-1=±√5，即x=1±√5.4.81(x-2)=162解：移项得(x-2)^2=2，两边开平方得x-2=±√2，即x=2±√2.七、用配方法解下列一元二次方程。
一元二次方程解法专题训练导学案(直接开平方、配方法、求根公式、十字相乘、因式分解)
鸡西市第十九中学学案鸡西市第十九中学学案《直接开平方法》专题班级 姓名不要被失败吓到，不要被胜利冲昏头脑。
例：用直接开平方法解方程：22)6(16)3(49+=-x x 解：开平方得，7(3)4(6)x x -=±+∴7(3)4(6)x x -=+由或7(3)4(6)x x -=-+由 ∴115.x =得，23.11x =-【点评】直接开平方法的要点是：通过等式变形变出2x n =或2()x m n -=的形式，再直接开平方； 另外注意方程解得书写格式1x 、2x . 用直接开平方法解下列一元二次方程2435x -= (2)(2)21x x -+= 2(2=9x ）;51)12(212=-y 4（x -3）2=25 24)23(2=+x()21-350x -= x 2+2x+1=4 2269(52)x x x -+=-2216(1)9(1)x x -=+ 2249(3)16(6)x x -=+22((1x =x 2+4x+4=0 x 2-6x+9=16 x 2-4x+4=10 x 2+x+14=4鸡西市第十九中学学案《配方法》专题班级 姓名空想会想出很多绝妙的主意，但却办不成任何事情。
例：用配方法解方程： x 2+2x -3=0 解：移项得： x 2+2x =3两边同时加1得： x 2+2x +1=3+1配方得： 2)1(+x =4 解得： x +1=2±∴ x +1=2或x +1=2-∴ 11=x ，32-=x1、若2228170x x y y ++-+=，求,x y 的值。
2、求241x x -+的最小值。
用配方法解方程0662=--y y 0542=--x x 9642=-x xy 2+22y-4=0； x 2＋8x －2＝0 x 2－5x －6＝0.34322x x =-021232=-+x x 037322=-+x xx x 4232=- 01322=-+x x 07232=-+x x鸡西市第十九中学学案鸡西市第十九中学学案鸡西市第十九中学学案一元二次方程根与系数的关系一、学习目标：1、掌握一元二次方程根与系数的关系。
解一元二次方程(直接开平方、配方法、配方法的应用)(解析版)
解一元二次方程（直接开平方、配方法、配方法的应用）【知识梳理】一．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.二．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．三、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 【考点剖析】题型一、用直接开平方法解一元二次方程例1.解方程（1）3x 2-24=0； (2)5(4-3n)2=320．【答案与解析】（1）把方程变形为3x2=24，x2=8．开平方，得原方程的根为x=或x=-．(2)原方程可化为(4-3n)2=64， 2222()a ab b a b ±+=±所以有4-3n=8或4-3n=-8．所以，原方程的根为n=-或n=4．【总结升华】应当注意，形如=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．例2.解方程(x-3)2=49．【答案与解析】把x-3看作一个整体，直接开平方，得x-3=7或x-3=-7．由x-3=7，得x=10．由x-3=-7，得x=-4．所以原方程的根为x=10或x=-4．【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x2=361；2；(3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0．【答案】(1)∵x2=361，∴x=19或x=-19．(2)∵2y2-72=0，2y2=72，y2=36，∴y=6或y=-6．(3)∵5a2-1=0，5a2=1，a2=，∴a=或a=-．(4)∵-8m2+36=0，-8m2=-36，m2=，∴m=或m=-．【变式2】解方程：4（x+3）2=25（x﹣2）2．【答案】解：4（x+3）2=25（x﹣2）2，开方得：2（x+3）=±5（x﹣2），解得：，．题型二、用配方法解一元二次方程例3.用配方法解方程x2-7x-1＝0．【答案与解析】将方程变形为x2-7x＝1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x2-7x+＝1+，所以有＝1+．直接开平方，得x-＝或x-＝-．所以原方程的根为x＝+或x＝-．【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：(1)把形如ax2+bx+c＝0(a≠0)的方程中二次项的系数化为1；(2)把常数项移到方程的右边；(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n≥0)的方程；(4)用直接开平方的方法解此题．【变式】用配方法解方程.(1)x2-4x-2＝0； (2)x2+6x+8＝0.【答案】(1)方程变形为x2-4x＝2．两边都加4，得x2-4x+4＝2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2＝n 的方程，即有(x-2)2＝6．解这个方程，得x-2＝或x-2＝-．于是，原方程的根为x ＝2+或x ＝2-． (2)将常数项移到方程右边x2+6x ＝-8．两边都加“一次项系数一半的平方”＝32，得 x2+6x+32＝-8+32，∴ (x+3)2＝1．用直接开平方法，得x+3＝±1，∴ x ＝-2或x ＝-4．例4.用配方法解方程：22330x x −−=． 【答案与解析】解：∵22330x x −−=， ∴233022x x −−= ∴23993216162x x −+=+ ， ∴2333416x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭∴1233,44x x +== ．【总结升华】原方程的二次项系数不为1，必须先化成1，才能配方．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，配成的形式，然后用直接开平方法求解即可．【变式】 用配方法解方程 （1）2x 2+3=5x （2）【答案】（1） ()()20x m n n +=≥20x px q ++=2235x x +=2253x x −=−. （2）①当时，此方程有实数解， ；②当时，此方程无实数解.例5．若代数式，，则的值（ ）A ．一定是负数B ．一定是正数C ．一定不是负数D ．一定不是正数 【答案】B ；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.例6．用配方法说明： 代数式 x 2+8x+17的值总大于0. 【答案与解析】 25322x x −=−2225535()()2424x x −+=−+251()416x −=5144x −=±123,12x x ==20x px q ++=222()()22p p x px q ++=−+224()24p p q x −+=240p q −≥12x x ==240p q −＜221078M a b a =+−+2251N a b a =+++M N −22221078(51)M N a b a a b a −=+−+−+++2222107851a b a a b a =+−+−−−−29127a a =−+291243a a =−++2(32)30a =−+>x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x 取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.【变式1】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2＝0时，代数式 x2+8x+17的最小值是1.【变式2】用配方法证明的值小于0．【答案与解析】 证明：． ∵ ，∴ ，即．故的值恒小于0． 【总结升华】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明．本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致．【变式3】求证：代数式3x 2﹣2x+4的值不小于． 【答案】 解：3x2﹣2x+4=3（x2﹣x+）﹣+4=3（x ﹣）2+ 21074x x −+−22271074(107)410410x x x x x x ⎛⎫−+−=−+−=−−− ⎪⎝⎭27494910410400400x x ⎛⎫=−−+−− ⎪⎝⎭274910420400x ⎡⎤⎛⎫=−−−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2274971111041020402040x x ⎛⎫⎛⎫=−−+−=−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2710020x ⎛⎫−−≤ ⎪⎝⎭271111002040x ⎛⎫−−−< ⎪⎝⎭210740x x −+−<21074x x −+−11323191313113∵3（x ﹣）2≥0，∴3（x ﹣）2+≥，即代数式3x2﹣2x+4的值不小于．例7.已知2226100a b a b +−++=，求100123a b −⋅−⋅的值．【思路点拨】采用配方法求出,a b 的值，代入计算即可得到答案．【答案与解析】解：由题意可得：2221690a a b b −++++=()()22130a b −++=∴10a −=，30b +=∴1,3a b ==−将1,3a b ==−代入得：(11002133213−⨯−⨯−=+=【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．例8.若实数满足，则）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】C ； 【解析】对已知等式配方，得，∴．．故选Ｃ．【总结升华】本例是配方法在求值中的应用，将原等式左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 1313113113113x y ，224250x y x y +−−+=132+3+3−2210x y −+−=2（）（）21x y ==，3====+【变式】（1）2x 2+6x −3的最小值是 ；（2）−x 2+4x +5的最大值是 .【答案】（1）； 所以2x 2+6x −3的最小值是 （2）所以−x 2+4x +5的最大值是9.例9. 分解因式：．【答案与解析】．【总结升华】这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式．【过关检测】一、单选题 1．（广东清远·九年级统考期末）将方程2420x x ++=配方后，原方程变形为（ ）A ．2(22)x +=B ．2(4)3x +=C ．2(2)3x +=−D ．2(2)5x +=−【答案】A【分析】用配方法解一元二次方程即可．【详解】解：由题意知，方程2420x x ++=配方后，方程变形为2(22)x +=， 故选：A ． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于正确的运算．2．（2023·河北衡水·统考二模）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ）222222333152632(3)323()()32()2222x x x x x x x ⎡⎤+−=+−=++−−=+−⎢⎥⎣⎦152−22222245(4)5(422)5(2)9x x x x x x x −++=−−+=−−+−+=−−+42221x x ax a +++−42221x x ax a +++−4222221x x x ax a =+−++−4222212x x x ax a =++−−+（）（）2221x x a =+−−（）（）22(1)(1)x x a x x a =++−+−+A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果．【详解】解：228=0x x −−228x x −=22181x x −+=+()219x −=∴13x −=±解得：124,2x x ==−,丁同学是错的，故选：D ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 3．（2023·贵州贵阳·统考一模）解一元二次方程2420x x =＋＋时，配方后得到方程()22x c +=，则c 等于（ ）A ．6B ．4C ．2D ．2− 【答案】C【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而求得c.【详解】解：2420x x ++=，242x x ∴+=−， 2442x x ∴++=，()222x ∴+=，2c ∴=． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解答关键.4．（2023·北京东城·统考一模）用配方法解一元二次方程2630x x ++=时，将它化为2()x m n +=的形式，则m n −的值为（ ） A ．6− B ．3− C ．0 D ．2【答案】B 【分析】由2630xx ++=，配方可得()236x +=，进而可得m n ，的值，然后代入m n −，计算求解即可．【详解】解：∵2630x x ++=，∴2696x x ++=，∴()236x +=，∴3m =，6n =， ∴3m n −=−， 故选：B ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，代数式求值．解题的关键在于正确的配方求出m n ，的值． 5．（2023·江苏扬州·统考一模）已知2240y x −+=，则222x y x ++的最小值是（ ） A ．8 B ．8− C ．9− D ．9【答案】A【分析】由已知得224y x =−，注意x 的取值范围，代入222x y x ++再配方，利用非负数的性质即可求解． 【详解】解：∵2240y x −+=，∴224y x =−，且240x −≥即2x ≥，∴2222422x y x x x x +=−+++ 2448x x +=+−()228x =+−， ∵()220x +≥，2x ≥∴当2x =时，222x y x ++的最小值是8，故选：A ．【点睛】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式及确定x 的取值范围是解决问题的关键．6．（2022·山东德州·统考中考真题）已知2P x x =−，2Q x =−为任意实数，则P Q −的值( ) A ．大于0 B ．等于0C ．小于0D ．无法确定【答案】A【分析】根据整式的加减化简，然后根据配方法得出P Q −()2=110x −+>，即可求解．【详解】解：∵2P x x =−，2Q x =−∴P Q −()()222222110x x x x x x =−−−=−+=−+> ∴P Q −的值大于0， 故选：A ．【点睛】本题考查了整式的加减，配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键．【答案】D【分析】先二次项化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数的一半，即可求解．【详解】解：221210x x −+=二次项化系数为1得：21602x x −+=移项得：2162x x −=−配方得：216992x x −+=−整理得：()21732x −=故选：D ．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．二、填空题8．（2022秋·广东佛山·九年级校考期中）一元二次方程2450x x −−=配方后得()2x m n −=，则m n +的值为 _____． 【答案】11【分析】移项后，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，然后可得m 、n 的值，再进行计算即可．【详解】解：移项得245x x −=，配方得24454xx −+=+，即()229x −=，∴2m =，9n =， ∴11+=m n ， 故答案为：11．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．9．（2022秋·广东梅州·九年级统考期中）代数式2613a a −+可化为()2269434a a a −++=−+；无论a 取何值()230a −≥，所以()a −+≥2344，即()234a −+有最小值为4．仿照上述思路，代数式248a a −+−的最大值为__________． 【答案】4−【详解】解：248a a −+−()2444a a =−−+−()224a =−−−，∵无论a 取何值，都有()220a −≥，∴()2244a −+≥， ∴()2244a −−−≤−，即()224a −−−有最大值4−，∴248a a −+−的最大值为4−，故答案为：4−．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确理解题意是解题的关键．【答案】 16 4 36 6【分析】（1）所填的常数项为一次项系数一半的平方； （2）所填的常数项为一次项系数一半的平方；（3）所填的常数项为一次项系数一半的平方，运用配方法的运算方法，也可以直接利用完全平方公式：222)2(a ab b a b ±+=±得出结论．【详解】解：（1）22816(4)x x x ++=+．故答案为：①16； （2）22933()42x x x −+=−故答案为：②94；（3）221236(6)x x x −+=−故答案为：③36，④6．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解题的关键是掌握配方的过程中应注意不能改变原式的大小． 11．（2021秋·陕西渭南·九年级统考阶段练习）用配方法将方程220x x +=进行配方得___________．【答案】2(1)1x +=【分析】在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方，即可求解．【详解】解：220x x +=，方程两边加上1，2211x x ++=，即()2x 11+=，故答案为：()2x 11+=．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．12．（2023·全国·九年级专题练习）一元二次方程2820x x −−=，配方后可变形为 ____．【答案】()2418x −=【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【详解】解：282x x −=，281618x x −+=，()2418x −=，故答案为：()2418x −=．【点睛】本题考查了解一元二次方程—配方法，掌握配方法是解题的关键．13．（2022秋·全国·九年级专题练习）当=a _____时，代数式269a a −−有最小值为______． 【答案】 3 18−【分析】根据偶次方的非负性可知2(3)0a −≥，当30a −=时有最小值，进而可求解． 【详解】解：2269(3)18a a a −−=−−， 2(3)0a −≥∴当30a −=时代数式269a a −−取得最小值，最小值为18−，即3a =时，代数式269a a −−的最小值为18−，故答案为：3；18−．【点睛】本题主要考查了配方法、偶次方的非负性，掌握偶次方的非负性是解题的关键．14．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）已知实数a ，b 满足1b a =+，则代数式2265a b a +−+的最小值等于__________． 【答案】3【分析】将1b a =+代入代数式，根据配方法即可求解． 【详解】解：∵1b a =+∴2265a b a +−+()22165a a a =++−+247a a =−+()223a =−+，∵()220a −≥， ∴()2233a −+≥，故答案为：3．【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．15．（2023秋·辽宁丹东·九年级校考期中）将方程2890x x −−=化为()2x h k +=形式，则h =______，k =______．【答案】 4− 25【分析】把常数项移到等号的右边，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式即可．【详解】解：∵2890x x −−=，∴289x x −=，配方得2816916x x −+=+，即()2425x −=，∴4h =−，25k =， 故答案为：4−，25．【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，解题时要注意步骤，选择用配方法解一元二次方程时，先将常数1，然后进行配方．16．（2022秋·福建宁德·九年级统考阶段练习）若将方程261x x +=化为()210x m +=，则m =___________． 【答案】3【分析】此题实际上是利用配方法解方程．配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【详解】解：在方程261x x +=的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得222631+3x x ++=，配方，得2310x +=（）．所以，=3m ． 故答案为：3．【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法．掌握配方法解是解题的关键．17．（2023·浙江台州·统考一模）已知点(),A a b 在一次函数21y x =−图象上，则23a b ++的最小值为______． 【答案】1 【分析】将点(),A a b 代入一次函数解析式得出，21b a =−，代入代数式，根据配方法即可求解．【详解】解：∵点(),A a b 在一次函数21y x =−图象上，∴21b a =−∴23a b ++2213a a =+−+2211a a =+++()2111a =++≥故答案为：1．【点睛】本题考查了一次函数的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．【答案】4【分析】将22326x y x +=适当变形得到用含有x 的代数式表示22x y +的形式，再利用配方法变形后，根据x 的取值范围即可解答．【详解】解：∵22326x y x +=，∴()22226x y x x +=−+，∴222211923(3)222x y x x x +=−+=−−+，∵22326x y x +=，22362x xy −+∴=，∵20y ≥23602x x −+∴>∴02x ≤≤ ∴当2x =时22x y+的最大值为()21923422−−+=．故答案为4．【点睛】本题主要考查了代数式的极值、配方法等知识点，利用配方法对式子灵活变形是解题的关键． 三、解答题19.（2022秋•江都区期中）解方程：（1）4x 2＝49； （2）（2x ﹣1）2﹣25＝0． 【分析】（1）首先将方程整理为x2＝，再利用平方根的意义直接开方求解即可；（2）首先将方程整理为（2x ﹣1）2＝25的形式，再利用平方根的意义直接开方求解即可． 【解答】解：（1）4x2＝49， x2＝，∴，∴x1＝，x2＝﹣； （2）（2x ﹣1）2﹣25＝0， （2x ﹣1）2＝25， ∴2x ﹣1＝±5， ∴x1＝3，x2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a （a ≥0）；ax2＝b （a ，b 同号且a ≠0）；（x+a ）2＝b （b ≥0）；a （x+b ）2＝c （a ，c 同号且a ≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 20．（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解方程：2410x x ++=【答案】12x =−22x =−【分析】先利用配方法得到()223x +=，然后利用直接开平方法解方程．【详解】解：2410x x ++=，移项得：241x x +=−，配方得：24414xx ++=−+，即()223x +=，开平方得：2x +=解得：12x =−22x =−．【点睛】本题考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法步骤是解题的关键． 21．（2022秋·贵州黔西·九年级校联考阶段练习）先阅读，后解题． 已知2226100m m n n ++−+=，求m 和n 的值．解：将左边分组配方：()()2221690.m m n n +++−+=即22(1)(3)0m n ++−=．2(1)0m +≥，2(3)0n −≥，且和为0，2(1)0m ∴+=且2(3)0n −=，1m ∴=−，3n =．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：224250x x y y ++−+=，求x 和y 的值．(2)已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，满足228625a b a b +=+−且ABC 为直角三角形，求c ． 【答案】(1)2x =−，1y =(2)5c =或c =【分析】1（）由题意把等式变形为非负数的和等于0的形式，利用非负数的性质即可求解； 2（）由题意把等式变形为非负数的和等于0的形式，求得a b 、的值，然后根据勾股定理可求解．【详解】（1）解：∵224250x x y y ++−+=，()()2244210xx y y +++−+=，即()()22210x y ++−=，∵()220x +≥，()10y −≥2，且()()22210x y ++−=，∴()220x +=且()210y −=，2x ∴=−，1y =；（2）解：∵228625a b a b +=+−，方程变形为()()22430a b −+−=，∴()240a −≥，()230b −≥，∴4a =，3b =，ABC 为直角三角形，∴当4a =，3b =是直角边时，则5c =；当4a =是斜边，3b =是直角边时，则c =5c ∴=或c =【点睛】本题主要考查配方法的应用及勾股定理，熟练掌握配方法的应用及勾股定理是解题的关键．【答案】(1)见解析(2)t=32，S 最大值【分析】（1）仿照例题，利用配方求解即可．（2）先求s ，再利用配方求最值即可．【详解】（1）证明：（1）247y x x =−+2443x x =−++()223x =−+．∵()220x −≥．∴033y ≥+=．∴0y >．∴y 是正数．（2）解：∵2AP t =，CQ =，62PC t =−．0t ⎛ ⎝≤ ∴12S PC CQ =⋅ ()1622t =−2=+)23t t =− 232t ⎫=−⎪⎭ ∵2302t ⎛⎫−≥ ⎪⎝⎭．∴当32t =时，S【点睛】本题考查利用配方求最值，正确配方是求解本题的关键． 23．（2022秋·广西柳州·九年级统考期中）阅读材料数学课上，韦老师在求代数式245x x −+的最小值时，利用公式()2222a ab b a b ±=±＋，对式子作如下变形∶()2224544121x x x x x −+=−++=−+，∵()220x −≥，∴()2211x −+≥当2x =时，()2211x −+=，∴当2x =时，()221x −+有最小值1，即245x x −+的最小值为1．通过阅读，解决下列问题∶(1)当x =___________时，代数式()2254x −+有最小值为___________ (2)代数式 221x x ++的最小值为___________(3)当x 取何值时，代数式263x x −++的有最大或最小值，并求出最大或最小值．【答案】(1)5，4(2)0(3)当3x =时，263x x −++有最大值，最大值是12【分析】（1）由22(5)0x −…可得()22544x −+≥，从而判断它在5x =时取最小值； （2）配方可得2(1)x +，根据2(1)0x +…，即可得出结论； （3）提取1−，然后配方得2(3)12x −−+，根据2(3)0x −−…可得结论． 【详解】（1）解：（1）22(1)0x −…， ()22544x −+≥∴，当5x =时，取到等号，∴当5x =时，22(1)4x −+有最小值，最小值为：4；故答案为5，4；（2）解：2221(1)x x x ++=+，当=1x −时，221x x ++有最小值，最小值为：0；故答案为0；（3）解：263x x −++2(69)93x x =−−+++2(3)12x =−−+，2(3)0x −−…，2(3)1212x ∴−−+…，当3x =时，取到等号，∴当3x =时，263x x −++有最大值，最大值为12．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【答案】(1)2ax b +(2)①240b ac −≥,②ba −；c a(3)见解析【分析】（1）根据完全正确平方公式求解即可；（2）根据二次根式有意义条件求解即可；（3）用配方法解方程即可求出方程的解，再分别代入计算即可12x x +与12x x 计算即可求解．【详解】（1）解：∵2222444a x abx b ac b +++=，∴()2242c a b b x a =−+；（2）解：①一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有实根的条件是：240b ac −≥；②12x x +2b b b a a −−==−，12x x =()2224b a −−=244ac c a a −=−=；（3）解：2410x x −−=，241x x −=，24414x x −+=+，()225x −=，2x −=12x =22x =∴12224x x +=，(22122221x x ==−=−．【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程—配方法是解题的关键． 时，22x y +=时，22x y +=时，x 时，x 【答案】(1)=(2)222x y xy +≥，理由见解析；(3)代数式224+x x 的最小值为8．【分析】（1）求得2218x y +=，218xy =，得到222x y xy +=； （2）结合完全平方的非负性即可解答；（3）利用归纳的结论即可求解．【详解】（1）解：当3x =，3y =时，2218x y +=，218xy =，222x y xy ∴+=， 故答案为：=；（2）解：222x y xy +≥，理由如下，∵2222()0x xy y x y −+=−≥，∴222x y xy +≥；（3）解：∵222x y xy +≥，∴22224428x x x x +≥⋅=，∴代数式224+x x 的最小值为8． 【点睛】本题考查了配方法的应用，利用完全平方非负数的性质是解题关键．()212122⨯++= ()3131232⨯+++= 1234+++=(1)第4个图形对应的等式为______；【答案】(1)()515123452⨯+++++=(2)10【分析】（1）根据图形规律第四个图形多一行5个的点，直接列式即可得到答案；（2）根据题意找到图形点数规律列式求解即可得到答案；【详解】（1）解：由题意可得，第四个图形总点数可列为：()515123452⨯+++++=， 故答案为：()515123452⨯++++=； （2）解：由题意可得，每一个图形的行数比个数多1，每行的数字从1开始逐渐加1，∴第n 个图形的点数为：(1)(11)(1)(2)1234.....(1)22n n n n n n ++++++++++++==，∴()()12662n n ++=， 整理得+−=231300n n ，解得110n =，213n =−（舍去），∴n 的值为10；【点睛】本题考查图形规律问题及解一元二次方程，解题的关键是根据题意找到图形规律．。
02 配方法——解一元二次方程(一)——直接开平方
2．配方法——解一元二次方程(一)——直接开平方 预习归纳1．若x 2＝p (p ≥0)，则x 1＝ ，x 2＝ ．例题讲解【例】用直接开方法解方程．⑴9x 2＝25 ⑵2x 2－98＝0基础题训练1．16的平方根是( )A ．4B ．－4C ．±4D ．±8 2．方程x 2＝9的解是( )A ．x 1＝x 2＝3B ．x 1＝x 2＝－3C ．x 1＝3，x 2＝－3D ．x ＝3 3．方程x 2＝3的解是( )A ．12x x =＝B ．12x x =＝C ．1x 2x =D ．x ＝3 4．方程()210x -=的解是( ) A ．x 1＝1，x 2＝－1 B ．x 1＝x 2＝1 C ．x 1＝x 2＝－1 D ．x 1＝1，x 2＝－2 5．方程()219x -=的解是( ) A ．x 1＝1，x 2＝－3 B ．x 1＝4，x 2＝－4 C ．x 1＝4，x 2＝－2 D ．x ＝36．(2014济宁)若一元二次方程ax 2 ＝b (ab ＞0)的两个根分别是m ＋l 与2m －4，则b a ＝ ． 7．用直接开方法解方程．⑴3(x －2)2＝0 ⑵3(x －1)2＝278．如果12x =是关于x 的方程22320x ax a -=＋的根，求关于y 的方程23y a -=的解．中档题训练：9．(2013鞍山)已知b ＜0，关于x 的一元二次方程(x －1)2＝6的根的情况是( )．A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有两个实数根10．(2013丽水)一元二次方程(x ＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )．A ．x ＋6＝－4B ．x －6＝4C ．x ＋6＝4D ．x ＋6＝－4 11．一元二次方程2+2990x x -=变形正确的是( )A ．()2+1100x =B ．()21100x =﹣C ．()2+2100x =D ．()22100x -= 12．方程3x 2＝2的根是___________．13．解下列方程：⑴()22510x +-= ⑵()()11x x -＋1＝⑶()2531250x --= ⑷24415x x -＋＝综合题训练：14．已知x 、y 、z 满足2246130x x y y -=＋＋，求关于ｍ的方程2104m x y z -+-=的根．。
解一元二次方程-开平方和配方法(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)
第2讲 解一元二次方程-开平方和配方法1.理解并掌握用直接开方法解一元二次方程；2.理解并掌握用配方法解一元二次方程；知识点1：解一元二次方程-直接开方，进而得出方程的根的形式，那么如果方程能化成的形式，那么可得）如果化成（一元二次方程。
采用直接开平方解的一元二次方程可直接）或（）如（（）（p nx )0()3(px p 2)0(p 0p p 1)nx x nx x 2222±=+≥=±==≥=≥=++m p p p m m 注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数（2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程（3）方法是根据平方根的意义开平方知识点2：解一元二次方程-配方法用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解．总结：【题型 1 解一元二次方程-直接平方】【典例1】（2023春•抚顺月考）解方程：（1）x2﹣81＝0；（2）4（x﹣1）2＝9．【变式1-1】（2022秋•清新区期中）解方程：（x﹣5）2﹣36＝0．【变式1-2】（2023•龙川县校级开学）（x+1）2＝25．【变式1-3】（2022秋•嘉定区月考）解方程：．【典例2】（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．【变式2-1】解方程：（3x﹣1）2＝（2﹣5x）2【变式2-2】（2x﹣3）2＝x2【变式2-3】解方程：（x+1）2＝（1﹣2x）2．【题型2 解一元二次方程-配方法】【典例3】（2022•瑞安市一模）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣2）2＝1B．（x﹣2）2＝﹣1C．（x﹣2）2＝9D．（x﹣2）2＝﹣9【变式3-1】（2022秋•滨城区校级期末）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形为（）A．（x+1）2＝6B．（x﹣1）2＝6C．（x+2）2＝9D．（x﹣1）2＝9【变式3-2】（2022秋•陵水县期末）将一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+h）2＝k的形式，则k等于（）A．1B．2C．3D．4【变式3-3】（2022秋•平顶山期末）把一元二次方程x2﹣6x+6＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a，b的值分别是（）A．﹣3，3B．﹣3，15C．3，3D．3，15【典例4】（2022秋•颍州区期末）用配方法解方程：（1）x2+7x＝﹣；（2）3x2+6x+2＝11．【变式4-1】（2022秋•辉县市期中）解方程：x2+12x+27＝0（用配方法）．【变式4-2】（2022秋•普宁市校级期中）解下列方程3x2+4x﹣1＝0（用配方法）【变式4-3】（2022秋•颍州区校级期末）用配方法解下列方程（1）3x2﹣4x﹣2＝0；（2）6x2﹣2x﹣1＝0；（3）2x2+1＝3x；（4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5．1．（2023•佛山一模）方程x2＝1的根是（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝±1D．x＝±2 2．（2023•泸县校级模拟）方程x2﹣4＝0的根为（）A．2B．根号2C．±2D．±根号2 3．（2022•花都区三模）方程（x+1）2＝9的解为（）A．x1＝2，x2＝﹣4B．x1＝﹣2，x2＝4C．x1＝2，x2＝4D．x1＝﹣2，x2＝﹣44．（2022•台湾）已知一元二次方程式（x﹣2）2＝3的两根为a、b，且a＞b，求2a+b之值为何？（）A．9B．﹣3C．6+D．﹣6+ 5．（2022•城西区二模）若关于x的方程（x+5）2＝m﹣1有两个实数根，则m 的取值范围是（）A．m＞0B．m≥1C．m＞1D．m≠1 6．（2023•东城区一模）用配方法解一元二次方程x2+6x+3＝0时，将它化为（x+m）2＝n的形式，则m﹣n的值为（）A．﹣6B．﹣3C．0D．2 7．（2023•聊城一模）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0配方后可化为（）A．B．C．D．8．（2023•馆陶县模拟）用配方法解一元二次方程x2+4x+2＝0时，第一步变形后应是（）A．x2＝﹣4x﹣2B．x2+4x＝﹣2C．x2+2＝﹣4x D．4x+2＝﹣x2 9．（2023•泉州一模）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0，若配方后结果为（x﹣m）2＝10，则m的值为（）A．±3B．3C．﹣3D．6 10．（2023•市中区一模）用配方法解方程x2﹣2＝4x，下列配方正确的是（）A．（x+2）2＝2B．（x﹣2）2＝2C．（x+2）2＝6D．（x﹣2）2＝6 11．（2023•邯山区校级一模）用配方法解方程x2﹣8x+2＝0，则方程可变形为（）A．（x﹣4）2＝6B．（x﹣8）2＝18C．（x﹣4）2＝18D．（x﹣4）2＝1412．（2023•南平模拟）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0，变形后的结果正确的是（）A．（x+2）2＝3B．（x﹣2）2＝3C．（x+2）2＝5D．（x﹣2）2＝5 13．（2023•东城区校级模拟）将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（）A．（x﹣4）2＝6B．（x﹣8）2＝6C．（x﹣4）2＝﹣6D．（x﹣8）2＝5414．（2023春•龙湾区期中）用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，下列配方正确的是（）A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝7C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝7 15．（2023春•瑞安市校级期中）方程x2﹣6x+8＝0配方后的结果是（）A．（x﹣3）2＝1B．（x﹣3）2＝17C．（x+3）2＝1D．（x﹣6）2＝17 16．（2020•扬州）方程（x+1）2＝9的根是．17．（2023•东阿县一模）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b 为常数）的形式，则ab＝．18．（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．19．（2023•庐江县模拟）解方程：2（x﹣1）2﹣18＝01．（2022秋•海门市期末）一元二次方程x2﹣1＝0的根为（）A．x＝1B．x＝﹣1C．D．x1＝1，x2＝﹣1 2．（2023春•涡阳县月考）用配方法解一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0时，配方成（x+k）2＝h的形式，则k，h的值为（）A．k＝1，h＝B．k＝1，h＝2C．k＝﹣1，h＝D．k＝﹣1，h＝2 3．（2022秋•闵行区校级期中）方程（x+1）2＝1的根是．4．（2023春•西城区校级期中）解方程：2x2﹣1＝7．5．（2023春•东莞市月考）解方程（x﹣1）2＝64．6．2021秋•紫阳县期末）解方程：16（1+x）2＝25．7．（2022秋•江都区期中）解方程：（1）4x2＝49；（2）（2x﹣1）2﹣25＝0．8．（2022秋•安化县期末）解方程：（1）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2；（2）2（x﹣3）＝x2﹣9．9．用配方法解方程：x2﹣4x﹣3＝0．10．（2022秋•南关区校级期末）解方程：3x2﹣6x﹣1＝0（配方法）．11．解方程：．12．（2022秋•虹口区校级期中）解方程：（配方法）2x2+5x﹣1＝0．。
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(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编☆直接开平方、配方法、求根公式法、因式分解法解一元二次方程一、选择题1.（2011•泰州，3，3分）一元二次方程x2=2x的根是（）A、x=2B、x=0C、x1=0，x2=2D、x1=0，x2=﹣2考点：解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题。
分析：利用因式分解法即可将原方程变为x（x﹣2）=0，即可得x=0或x﹣2=0，则求得原方程的根．解答：解：∵x2=2x，∴x2﹣2x=0，∴x（x﹣2）=0，∴x=0或x﹣2=0，∴一元二次方程x2=2x的根x1=0，x2=2．故选C．点评：此题考查了因式分解法解一元二次方程．题目比较简单，解题需细心．2.（2011湖北荆州，3，3分）将代数式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（）A、（x-2）2+3B、（x+2）2-4C、（x+2）2-5D、（x+2）2+4考点：配方法的应用．专题：配方法．分析：根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．解答：解：x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=x+22-5，故选C．点评：本题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值，难度适中．3.（2011•柳州）方程x2﹣4=0的解是（）A、x=2B、x=﹣2C、x=±2D、x=±4考点：解一元二次方程-直接开平方法。
专题：计算题。
分析：方程变形为x2=4，再把方程两边直接开方得到x=±2．解答：解：x2=4，∴x=±2．故选C．点评：本题考查了直接开平方法解一元二次方程：先把方程变形为x2=a（a≥0），再把方程两边直接开方，然后利用二次根式的性质化简得到方程的解．4.（2011•湘西州）小华在解一元二次方程x2﹣x=0时，只得出一个根x=1，则被漏掉的一个根是（）A、x=4B、x=3C、x=2D、x=0考点：解一元二次方程-因式分解法。
分析：把原方程的左边利用提取公因式的方法变为两个一次因式乘积的形式，根据两因式积为0，两因式中至少有一个为0，得到两个一元一次方程，求出两方程的解即为原方程的解，进而得到被漏掉的根． 解答：解：x 2﹣x=0，提公因式得：x （x ﹣1）=0， 可化为：x=0或x ﹣1=0， 解得：x 1=0，x 2=1， 则被漏掉的一个根是0． 故选D ．点评：此题考查了解一元二次方程的一种方法：因式分解法．一元二次方程的解法还有：直接开平方法；公式法；配方法等，根据实际情况选择合适的方法．5. （2011，台湾省，29,5分）若方程式（3x ﹣c ）2﹣60=0的两根均为正数，其中c 为整数，则c 的最小值为何？（ ）A 、1B 、8C 、16D 、61考点：解一元二次方程-直接开平方法。
分析：利用平方根观念求出x ，再根据一元二次方程的两根都为正数，求出c 的最小值即可． 解答：解：（3x ﹣c ）2﹣60=0 （3x ﹣c ）2=60 3x ﹣c=±错误！未找到引用源。
3x=c ±错误！未找到引用源。
x=错误！未找到引用源。
又两根均为正数，且错误！未找到引用源。
＞7．所以整数c 的最小值为8 故选B ．点评：本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解，要根据方程的特点选择适当的方法． 6.（2011山东淄博10，4分）已知a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根，则22211a a a---错误！未找到引用源。
的值为（ ）2 2错误！未找到引用源。
C.﹣1 D.1考点：分式的化简求值；一元二次方程的解。
专题：计算题。
分析：先化简22211a a a---错误！未找到引用源。
，由a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根，得a 2+a ﹣1=0，则a 2+a=1，再整体代入即可．解答：解：原式=2(1)(1)(1)a a a a a -++-错误！未找到引用源。
=1(1)a a +错误！未找到引用源。
，∵a是方程x2+x﹣1=0的一个根，∴a2+a﹣1=0，即a2+a=1，∴原式=1(1)a a错误！未找到引用源。
=1．故选D．点评：本题考查了分式的化简求值，以及解一元二次方程，是基础知识要熟练掌握．7.（2011四川眉山，10，3分）已知三角形的两边长是方程x2﹣5x+6的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是（）A．1＜L＜5 B．2＜L＜6 C．5＜L＜9 D．6＜L＜10考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系。
专题：计算题。
分析：先利用因式分解法解方程x2﹣5x+6=0，得到x=2或x=3，即三角形的两边长是2和3，再根据三角形三边的关系确定第三边的取值范围，从而得到三角形的周长L的取值范围．解答：解：∵x2﹣5x+6=0，∴（x﹣2）（x﹣3）=0，∴x=2或x=3，即三角形的两边长是2和3，∴第三边a的取值范围是：1＜a＜5，∴该三角形的周长L的取值范围是6＜L＜10．故选D．点评：本题考查了用因式分解法解一元二次方程的方法：把方程左边分解成两个一次式的乘积，右边为0，从而方程就转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可．也考查了三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边．8．（2011•南充，6，3分）方程（x+1）（x﹣2）=x+1的解是（）A、2B、3C、﹣1，2D、﹣1，3考点：解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题。
分析：先移项得到（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）=0，然后利用提公因式因式分解，再化为两个一元一次方程，解方程即可．解答：解：（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）=0，∴（x+1）（x﹣2﹣1）=0，即（x+1）（x﹣3）=0，∴x+1=0，或x﹣3=0，∴x1=﹣1，x2=3．故选D．点评：本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：利用因式分解把一个一元二次方程化为两个一元一次方程．.9.（2011•黔南，13，4）分三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（）A、11B、13C、11或13D、不能确定考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系。
专题：计算题；因式分解。
分析：先用因式分解求出方程的两个根，再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长，计算出三角形的周长． 解答：解：（x ﹣2）（x ﹣4）=0 x ﹣2=0或x ﹣4=0∴x 1=2，x 2=4．因为三角形两边的长分别为3和6，所以第三边的长为4， 周长=3+6+4=13． 故选B ．点评：本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，先求出方程的根，再根据三角形三边的关系确定第三边的长，然后求出三角形的周长．10.（2011年湖南省湘潭市，7，3分）一元二次方程（x-3）（x-5）=0的两根分别为（ ） A 、3，-5 B 、-3，-5 C 、-3，5 D 、3，5考点：解一元二次方程-因式分解法． 专题：计算题．分析：由（x-3）（x-5）=0得，两个一元一次方程，从而得出x 的值． 解答：解：∵（x-3）（x-5）=0，∴x-3=0或x-5=0， 解得x 1=3，x 2=5． 故选D ．点评：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．11.（2011辽宁本溪，4，3分）一元二次方程2104x x -+=错误！未找到引用源。
的根（ ）A ．1211,22x x ==-B ．122,2x x ==-C ．1212x x ==-D ．1212x x ==考点：解一元二次方程-配方法。
专题：计算题。
分析：运用配方法，将原方程左边写出完全平方式即可．解答：解：原方程左边配方，得21()02x -=，∴1212x x ==故选D ．点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 12. 一元二次方程x （x-2）=2-x 的根是（ ） A 、-1 B 、2 C 、1和2 D 、-1和2 【答案】D【考点】解一元二次方程-因式分解法． 【专题】计算题．【分析】先移项得到x （x-2）+（x-2）=0，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可．【解答】解：x （x-2）+（x-2）=0，∴（x-2）（x+1）=0，∴x-2=0或x+1=0， ∴x 1=2，x 2=-1．故选D ．【点评】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：利用因式分解把一个一元二次方程化为两个一元一次方程．13. （2011福建福州，7，4分）一元二次方程x （x ﹣2）=0根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根 考点：根的判别式；解一元二次方程-因式分解法．分析：先把原方程变形为：x 2﹣2x =0，然后计算△，得到△=4＞0，根据△的含义即可判断方程根的情况．解答：解：原方程变形为：x 2﹣2x =0，∵△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故选A ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0，（a ≠0）根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0，原方程有两个不相等的实数根；当△=0，原方程有两个相等的实数根；当△＜0，原方程没有实数根．14. （2011福建龙岩，10，4分）现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a ★b =a 2﹣3a +b ，如：3★5=33﹣3×3+5，若x ★2=6，则实数x 的值是（ ） A.﹣4或﹣1 B.4或﹣1 C.4或﹣2 D.﹣4或2考点：解一元二次方程-因式分解法. 分析：根据新定义a ★b =a 2﹣3a +b ，将方程x ★2=6转化为一元二次方程求解． 解答：解：依题意，原方程化为x 2﹣3x +2=6，即x 2﹣3x ﹣4=0， 分解因式，得（x +1）（x ﹣4）=0，解得x 1=﹣1，x 2=4． 故选B ．点评：本题考查了因式分解法解一元二次方程．根据新定义，将方程化为一般式，将方程左边因式分解，得出两个一次方程求解．15. （2011甘肃兰州，10，4分）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．2(1)6x +=B ．2(2)9x +=C ．2(1)6x -=D ．2(2)9x -=考点：解一元二次方程-配方法．分析：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．解答：解：由原方程移项，得x 2-2x =5，方程的两边同时加上一次项系数-2的一半的平方1，得x 2-2x +1=6∴（x -1）2=6． 故选C ．点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 16. （2011广西百色，13，4分）关于x 的方程x 2+mx ﹣2m 2=0的一个根为1，则m 的值为（ ） A ．1B ．21错误！未找到引用源。