高等数学(下册)-电子教案 D8.8 多元函数的极值及其求法
第八节多元函数的极值及其求法
f (x, y)在点( 3, 0 )没有极值
在点( 3 , 2 )处， A fxx( 3 , 2 ) 12
B fxy ( 3 , 2 ) 0 C f yy (3,2 ) 6
(12) (6) 02 = 72 > 0 又 A 0
f (x, y)在点( 3 , 2 )有极大值 f (3 , 2 ) 31
(极小值) 的某个去心邻域内必有：
f(x,y)<f(x0,y0) 所以，在点(x0 ,y0)的某个邻域内，点(x0 ,y0 , f(x0 ,y0)) 为曲面的最高点.
(最低点)
定理1 (必要条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0 ,y0)处具 有偏导数，且在点(x0 ,y0)有极值，则有：
f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0
fx (x0, y0) = [ f (x, y0) ]'|xx0 = 0
同理可证: f y (x0, y0) 0
说明
(1) 几何上,定理1意味着: 在曲面 z f (x, y) 上, 极值点 (x0, y0)所对应的点 (x0, y0, f (x0, y0)) 处的
切平面平行于 xoy 坐标平面.
(2) 定理1的逆命题不成立. 反例: f (x, y) xy, 经计算得: fx (0,0) 0, f y (0,0) 0 但 点 (0,0)不是 f (x, y) 的极值点.
(3) 使 fx (x, y) 0, f y (x, y) 0 同时成立的点
(x0, y0) 称为函数 z f (x, y) 的驻点.
z a2 2xy 2(x y)
代入V 的表达式，得
V xy a2 2xy 2(x y)
8.8高数第八章多元函数极值及其求法新
高等数学（下）
x y z 例 7 在第一卦限内作椭球面 2 2 2 1 的切平 a b c
2
2
2
面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小 求切点坐标.
y0 , z 0 ) 为椭球面上一点, 2 2 2 x y z 令 F ( x, y, z ) 2 2 2 1, a b c 2 y0 2 z0 2 x0 则 Fx |P 2 ， F y | P 2 ， Fz | P 2 a b c
是极值.
高等数学（下）
例 4 求由方程 x y z 2 x 2 y 4 z 10 0
2 2 2
确定的函数 z f ( x , y ) 的极值
解 将方程两边分别对 x, y 求偏导
由函数取极值的必要条件知, 驻点为 P (1,1), 将 P (1,1) 代入原方程, 有 z1 2, z 2 6 ,
第八节 多元函数的极值及其求法
高等数学（下）
河海大学理学院
一、极值 1、定义 设函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 ) 的点( x , y ) ： 若满足不等式 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ，则称函数 在 ( x 0 , y0 ) 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ，则称函数在( x0 , y0 ) 有极 小值； 极大值、极小值统称为极值.
AC B 4((6 x 1)(6 y 1) 1)
2 2 2
高等数学（下）
P1 , P2处 ：AC B 2 在
96 0, A 10 0
大学高等数学课件——8-8多元函数的极值及其求法
1 1 1 1 , ) 和( , ) , 得驻点( 2 2 2 2
x y 0 因为lim 2 2 x x y 1 y
即边界上的值为零.
1 1 1 z( , ) , 2 2 2
1 1 1 z( , ) , 2 2 2
1 1 所以最大值为 ，最小值为 . 2 2
3 2
解得唯一驻点(6,4,2) ，
故最大值为 umax 6 4 2 6912.
x y z 例 8 在第一卦限内作椭球面 2 2 2 1 的 a b c
切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体 体积最小，求切点坐标.
2
2
2
解 设 P ( x 0 , y0 , z 0 ) 为椭球面上一点,
f x ( x , y ) x ( x , y ) 0, f y ( x , y ) y ( x , y ) 0, ( x , y ) 0. 解出 x , y , ，其中x, y 就是可能的极值点的坐标.
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况： 要找函数u f ( x , y , z , t ) 在条件 ( x , y , z , t ) 0 ， ( x , y , z , t ) 0 下的极值， 先构造函数F ( x , y , z , t ) f ( x , y , z , t ) 1 ( x , y , z , t ) 2 ( x , y , z , t ) 其中1 , 2 均为常数，可由 偏导数为零及条件解出 x , y , z , t ，即得极值点的坐标.
得区域D 内唯一驻点( 2,1) , 且 f ( 2,1) 4 ,
再求 f ( x , y ) 在D 边界上的最值， 在边界 x 0 和 y 0 上 f ( x , y ) 0 ,
高等数学 8-8.多元函数的极值及求法
条件最值的求法：找出Langrange函数的所有驻点 与不可导点，及边界上的驻点与不可导点.
例7
将正数 12 分成三个正数x, y, z 之和 使得 3 2 u = x y z 为最大.
2
′ 由 f x = 4 x ( x − 6) + 2 x = 0 ,
2
得 x1 = 0, x2 = 4
f (4,2) = −64,
为最大值, 比较后可知 f (2,1) = 4为最大值
y
x+ y=6
D
为最小值. f (4,2) = −64为最小值
o
x
x+ y 的最大值和最小值. 例 6 求z = 2 的最大值和最小值 2 x + y +1
仿照一元函数， 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时 为零的点，均称为函数的驻点 驻点. 为零的点，均称为函数的驻点 注 意： 驻点 (可导的 极值点 可导的)极值点 可导的
例如, 点( 0,0) 是函数 z = xy 的驻点, 例如 的驻点 但不是极值点. 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
由此构造三元函数
F ( x , y , λ ) = f ( x , y ) + λϕ ( x , y ) )为 易知点(x0 ,y0 ,λ0 )为F ( x, y, λ )的驻点.
称F ( x, y, λ )为条件极值的Langrange函数.
拉格朗日乘数法 要找函数 z = f ( x , y ) 在条件ϕ ( x , y ) = 0 下的 可能极值点， 可能极值点，先构造函数
多元函数的极值及求法课件
详细描述
在交通网络、通信网络或其他类型的网络中，最短路 径问题是一个重要的优化问题。通过使用多元函数的 极值理论，可以找到网络中两点之间的最短路径，或 者从一个点出发到另一个点的最短路径。这有助于节 省时间和资源，提高效率。
生产成本最小化问题
要点一
总结词
生产成本最小化问题是企业经常面临的问题，通过最小化 生产成本来提高利润。
在工程领域的应用
结构优化设计
在工程设计中，如何优化设计方案以使 得结构性能最优是一个重要问题。多元 函数的极值理论可以用来解决这类问题， 通过找到使得结构性能函数最大的最优 解，得到最优的结构设计方案。
VS
控制工程问题
在控制工程中，如何确定控制系统的参数 以使得系统性能最优是一个重要问题。多 元函数的极值理论可以用来解决这类问题， 通过找到使得性能函数最大的最优解，得 到最优的控制系统参数。
04
多元函数极的展
偏导数与极值的关系
偏导数
在一元函数中，导数描述了函数值随自变量变化的速率。在多元函数中，偏导数描述了 函数值随某个自变量变化，而其他自变量保持不变的速率。
极值必要条件
如果一个多元函数在某点的偏导数都为0，那么这个点可能是函数的极值点。然而，这 个条件只是必要条件，不是充分条件，也就是说，偏导数都为0的点不一定是极值点。
生产成本最小化
在生产过程中，企业希望通过优化生产要素的投入比例，使 得生产成本最小化。多元函数的极值理论可以用来解决这类 问题，通过找到使得成本函数最小的最优解，实现生产成本 的最小化。
资源分配问题
在资源有限的情况下，如何合理分配资源以最大化经济效益 是经济领域中常见的问题。多元函数的极值理论可以用来解 决这类问题，通过找到使得收益函数最大的最优解，实现资 源的最优配置。
08-多元函数的极值及其求法课件
多元函数的极值及其求法多元函数的极值多元函数的最大值、最小值条件极值拉格朗日乘数法多元函数的极值定义 设函数()z f x y =,的定义域为D ,()000,P x y 则称函数在点()00,x y 有极大值(或极小值) ()00,f x y为D 的内点，若存在0P 的某个邻域()0U P D ⊂,如果对于该邻域内任何异于0P 的点(),x y , 都有()()00,,f x y f x y < (或()()00,,f x y f x y >),极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.例 函数2234z x y =+在点(0,0)处有极小值.()0,00z =, 例 函数22y x z +-=在点(0, 0)处有极大值.当()(),0,0x y ≠时, 0z >.=在点(0,0)处既不取得极大值也不取得极小例函数z xy值.()0,00z=,而在点(0, 0)的任一邻域内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点.设n 元函数()u f P =在点0P 的某一邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于0P 的点P , 都有则称函数()fP 在点0P 有极大值(或极小值)()0f P .()()0f P f P < (或()()0f P f P >),定理1(必要条件) 设函数()z f x y =,在点()00,x y 具 有偏导数, 且在点()00,x y 处有极值, 则有()00,0x f x y =, ()00,0y f x y =.不妨设()z f x y =,在点()00,x y 处有极大值. 证 依极大值的定义, 对于点()00,x y 的某邻域内异于()00,x y 的点(),x y , 都有不等式特殊地, 在该邻域内取0y y =而0x x ≠的点,也应有()()00,,f x y f x y <()()000,,f x y f x y <这表明一元函数()0,f x y 在0x x =处取得极大值,因而有()00,0x f x y =.类似地可证()00,0y f x y =.从几何上看, 这时如果曲面()z f x y =,在点()000,,x y z 处有切平面, 则切平面()()()()0000000,,x y z z f x y x x f x y y y -=-+-成为平行于xoy 坐标面的平面0z z =.凡是能使()00,0xf x y =, ()00,0y f x y =同时成立的点()00,x y 称为函数()z f x y =,的驻点.具有偏导数的函数的极值点必定是驻点.但函数的驻点不一定是极值点.例如, 函数z xy =在点 (0,0)处的两个偏导数都是零, 但(0,0)不是极值点.定理2(充分条件) 设函数()z f x y =,在点()00,x y 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又()00,0x f x y =, ()00,0y f x y =,令()00,xx f x y A =, ()00,xy f x y B =, ()00,yy f x y C =则()f x y ,在()00,x y 处是否取得极值的条件如下:(2)20AC B -<时没有极值;(1) 20AC B ->时具有极值, 且当0A <时有极大值,当0A >时有极小值;(3) 20AC B -=时可能有极值, 也可能没有极值.极值的求法: 第一步 解方程组求得一切实数解, 即可得一切驻点.第二步 对于每一个驻点()00,x y , 求出二阶偏导数的 ()00,0x f x y =, ()00,0y f x y =,值A 、B 和C .第三步 定出2AC B -的符号, 按定理2的结论判定()00,f x y 是否是极值、是极大值 还是极小值.例 求函数()3322,339f x y x y x y x =-++-的极值.解 解方程组⎩⎨⎧=+-==-+=063),(0963),(22y y y x f x x y x f yx 得驻点为()1,0、()1,2、()3,0-、()3,2-.求得1,3x =- ; 0,2y =再求出二阶偏导数(),66xx f x y x =+,(),0xy f x y = ,(),66yy f x y y =-+.在点()1,0处,21260AC B -=⋅>, 又0A >,所以函数在()1,0处有极小值()1,05f =-;在点()1,2处, ()21260AC B -=⋅-<,所以()1,2f 不是极值;所以()3,0f -不是极值;所以函数在()3,2-处有极大值()3,231f -=.在点()3,0-处, 21260AC B -=-⋅<,在点()3,2-处,()21260AC B -=-⋅->, 又0A <,不是驻点也可能是极值点.例如,函数220,0处有极大值,=-+在点()z x y0,0不是函数的驻点.但()多元函数的最大值、最小值如果()f x y ,在有界闭区域D 上连续, 则()f x y ,在 D 上必定能取得最大值和最小值.假定函数在D 上连续、在D 内可微分且只有有限个驻 点, 如果函数在D 的内部取得最大值(最小值), 那么这个 最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值).求最大值和最小值的一般方法将函数()f x y ,在D 内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较, 其中最大的就是最大 值, 最小的就是最小值.实际问题中如果根据问题的性质, 知道函数()f x y , 的最大值(最小值)一定在D 的内部取得, 而函数在D 内 只有一个驻点, 那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数 ()f x y ,在D 上的最大值(最小值).例 某厂要用铁板做成一个体积为38m 的有盖长方体水箱.问当长、宽、高各取多少时, 才能使用料最省.解 设水箱的长为x , 宽为y , 则其高应为xy8. 此水箱所用材料的面积为)0 ,0( )88(2)88(2>>++=⋅+⋅+=y x yx xy xy x xy y xy A令0)8(22=-=x y A x , 0)8(22=-=yx A y , 得2x =, 2y =.当水箱的长为2m 、宽为2m 、高为82m 22=⋅时, 水箱所用的材料最省.条件极值拉格朗日乘数法例如, 对自变量有附加条件的极值称为条件极值.求表面积为2a 的长方体的最大体积.设长方体的三棱的长为x y z 、、, 则体积V xyz =.x y z 、、还必须满足附加条件22()xy yz xz a ++=.由条件2)(2a xz yz xy =++, 解得)(222y x xy a z +-=, 于是得 V ))(2(22y x xy a xy +-=. 有些条件极值问题可以化为无条件极值问题.例如, 求表面积为2a 的长方体的最大体积.函数()z f x y =,在条件()0x y ϕ=,下取得极值的必要 条件.如果函数()z f x y =,在()00,x y 取得所求的极值, 则()00,0x y ϕ=.假定在()00,x y 的某一邻域内()f x y ,与()x y ϕ,均有连续的一阶偏导数, 将其代入目标函数()z f x y =,, 得的函数()y x ψ=, 定理, 由方程()0x y ϕ=,确定一个连续且具有连续导数而()00,0y x y ϕ≠. 由隐函数存在一元函数()()z f x x ψ=,.0x x =是一元函数()()z f x x ψ=,的极值点,由取得极值的必要条件, 有即()()0000d d ,,0d d x y x x x x z yf x y f x y xx--=+=()()()()00000000,,,0,x x y y x y f x y f x y x y ϕϕ-=设λϕ-=),(),(0000y x y x f y y , 则函数()z f x y =,在条件 ⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0),(0),(),(0),(),(0000000000y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ ()0x y ϕ=,下在()00,x y 取得极值的必要条件是拉格朗日乘数法要找函数()z f x y =,在条件()0x y ϕ=,下的可能极值点, 可以先构成辅助函数()()()L x y f x y x y λϕ=+,,,其中λ为某一常数. 然后解方程组(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0(,)0L x y f x y x y x x x L x y f x y x y y y y x y λϕλϕϕ⎧=+=⎪=+=⎨⎪=⎩ 由这方程组解出,x y 及λ, 则其中(),x y 就是所要求的可能的极值点.此方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形.例 求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积.解 设长方体的三棱的长为x y z 、、, 构成辅助函数解方程组()()2,222L x y z xyz xy yz xz a λ=+++-,(,,)2()0(,,)2()0(,,)2()02222L x y z yz y z x L x y z xz x z y L x y z xy y x z xy yz xz aλλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪++=⎩ 得a z y x 66===, 这是唯一可能的极值点. 最大值就在这个可能的值点处取得. 此时3366a V =.。
多元函数的极值及其求法
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉 格 朗 日 乘 数 法
要 找 函 数zf(x,y)在 条 件(x,y)0下 的 可 能
极 值 点 ,
先构造函数 F(x, y) f (x, y) (x, y)，其中
为某一常数，可由
fx(x, y) x(x, y) 0,
0,
Ft(x, y,z,t) 0,
(x, y,z,t) 0, ( x , y , z , t ) 0 .
解出 x, y, z, t 即得 可能极值点的坐标.
例6 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积.
解 设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V . 则问题就是条件 2 x y 2 y z2 x z a 2 0 下， 求函数 V x( x y 0 ,y z 0 , z 0 )的最大值.
若满足不等式
f (x, y) f (x0, y0)，
则称函数在(x0, y0)有极大值；
若满足不等式
f (x, y) f (x0, y0)，
则称函数在(x0, y0)有极小值；
极 大 值 、 极 小 值 统 称 为 极 值 .
使 函 数 取 得 极 值 的 点 称 为 极 值 点 .
例1 函数z 3x2 4y2
例 5求 zx 2x y 2 y 1的 最 大 值 和 最 小 值 .
解令
zx(x2(y x2 2 1y )2 21 x)(2xy)0, zy(x2(y x2 2 1y )2 21 y)(2xy)0,
得 驻 点 (1,1)和 (1,1),
22
22
四、小结
多元函数的极值 （取得极值的必要条件、充分条件） 多元函数的最值 拉格朗日乘数法
高数多元函数微分学教案 第八讲 多元函数的极值及其求法
第八讲 多元函数的极值及其求法授课题目：§8. 8 多元函数的极值及其求法教学目的与要求：了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。
教学重点与难点：重点与难点：方向导数的概念及方向导数的计算讲授内容：一、多元函数的极值及其求法回顾一元函数的极值及最大值、最小值定义 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于(x 0, y 0)的点(x , y )，都有f (x , y )<f (x 0, y 0)(或f (x , y )>f (x 0, y 0)),则称函数在点(x 0, y 0)有极大值(或极小值)f (x 0, y 0).极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.例1 函数z =f (x , y )=1)2()122--+-y x （在点(1, 2)处有极小值1-．因为当0)2()122≠-+-y x （时 z =f (x , y )=)2,1(11)2()122f y x =->--+-（ 当(x , y )=(0, 0)时, z =0, 而当(x , y )≠(0, 0)时, z >0. 因此z =0是函数的极小值.例2 函数z =f (x , y ))sin(2122y x +-=在点(0, 0)处有极大值1/2，因为我们对于在（0，0）的去心领域2022π<+<y x 中的 一起点（x, y ）有，所以0)sin(22>+y xz =f (x , y ))00(21)sin(2122，f y x =<+-= 以上关于二元函数的极值概念, 可推广到n 元函数. 设n 元函数u =f (P )在点P 0的某一邻域内有定义, 如果对于该邻域内任何异于P 0的点P , 都有f (P )<f (P 0)(或f (P )>f (P 0)),则称函数f (P )在点P 0有极大值(或极小值)f (P 0).与一元函数一样，关于二元函数极值的判定，我们有定理1(必要条件) 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)具有偏导数, 且在点(x 0, y 0)处有极值, 则有f x (x 0, y 0)=0, f y (x 0, y 0)=0.证明 不妨设z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处有极大值. 依极大值的定义, 对于点(x 0, y 0)的某邻域内异于(x 0, y 0)的点(x , y ), 都有不等式f (x , y )<f (x 0, y 0).特殊地, 在该邻域内取y =y 0而x ≠x 0的点, 也应有不等式f (x , y 0)<f (x 0, y 0).这表明一元函数f (x , y 0)在x =x 0处取得极大值, 因而必有f x (x 0, y 0)=0.类似地可证f y (x 0, y 0)=0.从几何上看, 这时如果曲面z =f (x , y )在点(x 0, y 0, z 0)处有切平面, 则切平面z -z 0=f x (x 0, y 0)(x -x 0)+ f y (x 0, y 0)(y -y 0)成为平行于xOy 坐标面的平面z =z 0.这里的极值点与驻点类似地可推得, 如果三元函数u =f (x , y , z )在点(x 0, y 0, z 0)具有偏导数, 则它在点(x 0, y 0, z 0)具有极值的必要条件为f x (x 0, y 0, z 0)=0, f y (x 0, y 0, z 0)=0, f z (x 0, y 0, z 0)=0.使f x (x , y )=0, f y (x , y )=0同时成立的点(x 0, y 0)称为函数z =f (x , y )的驻点. 这里的极值点与驻点的定义以及极值的必要条件都不难推广到二元以上的多元函数．与一元函数类似，从定理1可知, 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点. 但函数的驻点不一定是极值点.例3 函数z =f (x , y )22y x -有偏导数x xz 2=∂∂，y y z 2-=∂∂，点(0, 0)是函数的驻点，但函数在点(0, 0)处既不取得极大值也不取得极小值，因为f (0,0)＝0，而在(0,0)的任意邻域内f (x , y )既能取到正值也能取到负值。
第八节多元函数的极值及其求法
第 八 节 多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题．熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值．教学重点：多元函数极值的求法．教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值．教学内容：一、 多元函数的极值及最大值、最小值1．多元函数的极值定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00y x 的点，如果都适合不等式 00(,)(,)f x y f x y <（或),(),(00y x f y x f >）则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y （或极小值),(00y x f ）．极大值、极小值统称为极值．使函数取得极值的点称为极值点．例1 函数2243y x z +=在点(0,0)处有极小值．因为对于点(0,0)的任一邻域内异于(0,0)的点，函数值都为正，而在点(0,0)处的函数值为零．从几何上看这是显然的，因为点(0,0,0)是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点．例２ 函数22y x z +-=在点(0,0)处有极大值．因为在点(0,0)处函数值为零，而对于点(0,0)的任一邻域内异于(0,0)的点，函数值都为负，点(0,0,0)是位于xOy 平面下方的锥面22y x z +-=的顶点． 例３ 函数xy z =在点(0,0)处既不取得极大值也不取得极小值．因为在点(0,0)处的函数值为零，而在点(0,0)的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点．定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(,0),(0000==y x f y x f y x证 不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值．依极大值的定义，在点),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式 ),(),(00y x f y x f <在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式 000(,)(,)f x y f x y <．这表明一元函数0(,)f x y 在0x x =处取得极大值，因此必有 0),(00=y x f x ．类似地可证 0),(00=y x f y ．从几何上看，这时如果曲面),(y x f z =在点),,(000z y x 处有切平面，则切平面))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=-成为平行于xOy 坐标面的平面00=-z z ．凡是能使0),(,0),(==y x f y x f y x 同时成立的点),(00y x 称为函数),(y x f z =的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点．但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点(0,0)是函数的驻点，但函数在该点并无极值．怎样判定一个驻点是否是极值点呢？定理2（充分条件） 设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，令则在处是否取得极值的条件如下：(1)时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值；(2)时没有极值；(3)时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论．利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数的极值的求法叙述如下：第一步 解方程组，求得一切实数解，即可以得到一切驻点．第二步 对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值，和．第三步 定出的符号，按定理2的结论判定是否是极值、是极大值还是极小值．例1 求函数的极值．解 先解方程组求得驻点为（1,0）、（1,2）、（-3,0）、（-3,2）．再求出二阶偏导数(,)66,(,)0,(,)66xx xy yy f x y x f x y f x y y =+==-+在点(1,0) 处，06122>⋅=-B AC 又0>A ，所以函数在(1,0)处有极小值(1,0)5f =-；在点(1,2) 处，0)6(122<-⋅=-B AC ，所以f (1,2)不是极值；在点(-3,0) 处，06122<⋅-=-B AC ，所以f (-3,0)不是极值；在点(-3,2) 处，0)6(122>-⋅-=-B AC 又0<A 所以函数在(-3,2)处有极大值f (-3,2)=31．2．多元函数的最值与一元函数类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最值．我们知道，如果函数(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，则(,)f x y 在D 上必能取得最大值和最小值．最大值点和最小值点既可能在D 的内部，也可能在D 的边界上．我们假定，函数在D 上连续、在D 内可微且只有有限个驻点，这时如果函数在D 内部取得最大值（最小值），则这个最大值（最小值）也是函数的极大值（极小值）．求函数最大值和最小值的方法：将函数(,)f x y 在D 内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较，最大的就是最大值，最小的就是最小值．在实际问题中，如果知道最大值（最小值）一定在D 的内部取得，而函数在D 内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数在D 上的最大值（最小值）．例2 某厂要用铁板作成一个体积为2m 3的有盖长方体水箱．问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省．解 设水箱的长为(m)x ，宽为(m)y ，则其高应为2(m)xy，此水箱所用材料的面积 )22(2xyx xy y xy A ⋅+⋅+=， 即 )22(2yx xy A ++= （0>x ，0>y ） 可见材料面积A 是x 和y 的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点),(y x ．令 0)2(22=-=x y A x ， 0)2(22=-=yx A y 解这方程组，得：32=x ，32=y 从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小．二、条件极值 拉格朗日乘数法上面所讨论的极值问题对于函数的自变量除了限制在函数的定义域内以外，并无其它条件，这类极值称为无条件极值．但在实际问题中，有时会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题称为条件极值．条件极佳值保化为无条件极值，但在很多情形下，将条件极值化为无条件极值并不简单．拉格朗日乘数法 要找函数),(y x f z =在附加条件0),(=y x φ下的可能极值点，可以先构造辅助函数 ),(),(),(y x y x f y x F λφ+=其中λ为某一常数求其对x 与y 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2)联立(,)(,)0(,)(,)0(,)0x x y y f x y x y f x y x y x y λφλφφ+=⎧⎪+=⎨⎪=⎩（1）由这方程组解出x ，y 及λ，则其中x ，y 就是函数),(y x f 在附加条件下0),(=y x φ的可能极值点的坐标．这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形．例如，要求函数),,,(t z y x f u =在附加条件0),,,(=t z y x φ，0),,,(=t z y x ψ(2)下的极值，可以先构造辅助函数 12(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)L x y z t f x y z t x y z t x y z t λφλψ=++其中1λ，2λ均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与(2)中的两个方程联立起来求解，这样得出的t z y x 、、、就是函数),,,(t z y x f 在附加条件(2)下的可能极值点的坐标．至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定．例3 求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积．解 设长方体的三棱长为z y x ,,， 则问题就是在条件 2(,,)2220x y z xy yz xz a ψ=++-= （3）下，求函数xyz V = )000(>>>z y x ，，的最大值．构造辅助函数2(,,,)(222)L x y z xyz xy yz xz a λλ=+++-求其对y x 、、z 的偏导数，并使之为零，得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++0)(20)(20)(2z y xy z x xz z y yz（4）再与(3)联立求解． 因y x 、、z 都不等于零，所以由(11)可得y x ＝z y z x ++， zy ＝z x y x ++． 由以上两式解得z y x ==将此代入式(3)，便得 z y x ===a 66 这是唯一可能的极值点．因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得．也就是说，表面积为2a 的长方体中，以棱长为a 66的正方体的体积为最大，最大体积3366a V =． 小结：本节研究多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值问题．在介绍多元函数极值的定义后，介绍了二元极值的性质以及利用偏导数求极值的步骤，讨论了二元函数的最值问题和实际问题的最值问题．最后介绍了利用拉格朗日乘数法求条件极值的方法及应用．思考：多元函数的最大值一定是极大值？多元函数的驻点一定是极值点吗？作业：作业卡p20-21。
0808多元函数的极值及其求法
f y ( x , y ) = −3 y 2 + 3,
令 f x ( x , y ) = f y ( x , y ) = 0,
得驻点 : (1,1), (1,−1), ( −1,1), ( −1,−1),
. 为 例5 现要用铁皮做一个体积 2m3的有盖长方体水箱
尺寸时 水箱的用料最省 ,水箱的用料最省 . 问当长宽高各取怎样的
解：设水箱的长为 x m,宽为 y m, 高为 z m, 宽为
水箱所用材料的面积为 : A = 2( xy + yz + zx ), ( x > 0, y > 0, z > 0), 其中 : xyz = 2.
令 Ax = A y = 0, 即令 2( y − ) = 0, ) = 2( x − y2 x2
解之得唯一驻点 : ( 3 2 , 3 2 ),
2
2
又由题意 , 最小值一定存在 , 且在开区域内取到 ,
∴ 可断定 当x = y = 3 2时, A最小 , 且此时 z = 3 2 ,
∴ 当长宽高均为 3 2m时, 水箱的用料最省 .
◆无条件极值： 无条件极值： 对自变量除了有定域内的限制，无其它条件. 对自变量除了有定域内的限制，无其它条件
二、条件极值、拉格朗日乘数法 条件极值、 ◆条件极值：对自变量有附加条件的极值． 条件极值：对自变量有附加条件的极值．
. 为 例5 现要用铁皮做一个体积 2m3的有盖长方体水箱
尺寸时 水箱的用料最省 ,水箱的用料最省 . 问当长宽高各取怎样的
8.8 多元函数极值及其求法-文档资料
取得极值的必要条件： 定理1 设函数zf (x，y)在点(x0，y0)具有偏导数，且在点
(x0，y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： fx(x0，y0)0，fy(x0，y0)0．
类似地可推得，如果三元函数uf (x，y，z)在点(x0，y0，z0) 具有偏导数，则它在点(x0，y0，z0)具有极值的必要条件为
处有极小值f(1，0)5，所以f (1，2)不是极值；
在点(3，0)处，ACB 212·6<0，所以f (3，0)不是极值；
在点(3，2)处，ACB 212·(6)>0，又A<0，所以函数的
(3，2)处有极大值f(3，2)31．
应注意的问题： 不是驻点也可能是极值点． 例 如 函 数 z x 2 y 2 在 点 ( 0 ， 0 ) 处 有 极 大 值 ， 但 ( 0 ， 0 ) 不 是
函数的驻点．因此，在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的 驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑．
z O
y
x
最大值和最小值问题：
解 设 水 箱 的 长 为 x m ， 宽 为 y m ， 则 其 高 应 为 2 m ． xy
此水箱所用材料的面积为
A 2 ( x y y · 2 x · 2 ) ， 即 2 ( x y 2 2 ) ( x > 0 ， y > 0 ) ． x x y y x y
令 A x 2 ( y x 2 2 ) 0 ， A y 2 ( x y 2 2) 0 ． 得 x 3 2 ， y 3 2 ． 由题意可知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，并在开区域
高中数学备课教案多元函数的极值与条件极值的计算
高中数学备课教案多元函数的极值与条件极值的计算高中数学备课教案多元函数的极值与条件极值的计算导言：多元函数的极值和条件极值在高中数学中扮演着重要的角色。
通过计算多元函数的极值，我们可以找到函数的最大值和最小值，帮助我们解决实际问题。
本教案将重点介绍多元函数的极值和条件极值的计算方法。
一、多元函数的极值1.1 极值的概念在单变量函数中，我们已经学习了极值的概念。
对于多元函数，极值的定义也类似。
对于函数f(x₁, x₂, ..., xn)，如果在特定点(x₁₀,x₂₀, ..., xn₀)处，存在一个邻域，使得在这个邻域内，函数值都小于（或大于）f(x₁₀, x₂₀, ..., xn₀)，那么这个点就被称为函数的极小值（或极大值）点，相应的函数值就是函数的极小值（或极大值）。
1.2 极值的判定要判定一个多元函数的极值，我们可以使用以下方法：1）求偏导数，令偏导数为0，解方程组，找到可能的极值点；2）求二阶偏导数，根据二阶偏导数的性质，判断极值点的类型。
1.3 举例说明考虑函数f(x, y) = x² + y² - 2x - 4y + 1，我们来求解该函数的极值。
解：首先，求偏导数：∂f/∂x = 2x - 2∂f/∂y = 2y - 4令偏导数为0，解方程组：2x - 2 = 02y - 4 = 0解得x = 1，y = 2，因此极值点为(1, 2)。
然后，求二阶偏导数：∂²f/∂x² = 2∂²f/∂x∂y = 0∂²f/∂y² = 2计算得到二阶偏导数的值。
根据二阶偏导数判断极值点的类型：当∂²f/∂x² > 0，∆= ∂²f/∂x² * ∂²f/∂y² - (∂²f/∂x∂y)² > 0 时，极值点为极小值点；当∂²f/∂x² < 0，∆ < 0 时，极值点为极大值点；当∆ = 0 时，判定不出来。
多元函数的极值及其求法教师教材
则称函数在( x0 , y0 )有极小值；
极大值、极小值统称为极值.
使函数取得极值的点青苗称辅导为极值点.
1
例1 函数 z 3x2 4 y2 在 (0,0) 处有极小值．
例２ 函数 z x2 y2 在 (0,0) 处有极大值．
例３ 函数 z xy 在 (0,0) 处无极值．
青苗辅导
(1) (2)
因 x 0, y 0, z 0, 由(2), (1)及(3), (2)得
x y
x y
z z
,
青苗zy辅导
x x
y z
,
18
因 x 0, y 0, z 0, 由(2), (1)及(3), (2)得
x y
x y
z z
,
y z
x x
y z
,
于是， x y z. 代入条件，得
2x x 2x x 2x x a2 0. 6x2 a2,
青苗辅导
14
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法
要找函数 z f (x, y) 在条件 (x, y) 0 下的可能 极值点,
先构造函数 F(x, y) f (x, y) (x, y)，其中
为某一常数，可由
f x ( x, y) x ( x, y) 0,
f
y
(
x
,
y
)
y
例如，显然函数 z x2 y2 在(0, 0) 处取得极小值. 但函数在(0, 0) 处偏导数 不存在。
青苗辅导
10
3、多元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值 来求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法：
将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中 最大者即为最大值，最小者即为最小值.
§8.8 多元函数极值及其求法
§8.8 多元函数极值及其求法一、多元函数的极值1、多元函数极值定义设函数z f x y =(,)在点(,)x y 00的某个邻域内有定义,对该邻域内异于(,)x y 00的点(,)x y ,如果都适合不等式f x y f x y (,)(,)<00则称函数在点(,)x y 00取极大值；如果都适合不等式f x y f x y (,)(,)>00则称函数在点(,)x y 00取极小值。
极大值与极小值统称为函数的极值；使函数取得极值的点称为极值点。
注:二元函数的极值是一个局部概念,这一概念很容易推广至元函数。
【例1】讨论下述函数在原点(,)00是否取得极值。
(1)、z x y =+22(2)、z x y =-+22 (3)、z x y =⋅解:由它们的几何图形可知:z x y =+22是开口向上的旋转抛物面,在(,)00取得极小值；z x y =-+22是开口向下的锥面,在(,)00取得极大值； z x y =⋅是马鞍面, 在(,)00不取得极值。
2、函数取得极值的必要条件 【定理一】设函数zf x y =(,)在点(,)x y 00具有偏导数且取得极值,则它在该点的偏导数必为零,即f x y f x y x y (,)(,)00000==【证明】不妨设zf x y =(,)在点(,)x y 00处有极大值。
依极值定义,点(,)x y 00的某一邻域内的一切点(,)x y 适合不等式f x y f x y (,)(,)<00特殊地,在该邻域内取y y =0,而x x ≠0的点,也应有不等式f x y f x y (,)(,)000<这表明:一元函数z f x y =(,)0在 x x =0处取得极大值,因而必有f x y x (,)000=同理可证f x y y (,)000=【注一】当f x y f x y x y (,)(,)00000==(,)x y 00时, 曲面在点处有切平面z z f x y x x f x y y y x y -=-+-=00000000(,)()(,)()此切平面平行于水平面xoy 面。
D8-8多元函数极值
1
法向量
n (Fx , Fy, Fz) P
(
2 x0 a2
,
2 y0 b2
,
2z0 c2
)
切平面
x0 a2
(x
x0 )
y0 b2
(y
y0 )
z0 c2
(z
z0 )
0
即
x x0 a2
y y0 b2
z z0 c2
1
截距分别为 axu20令, byLf20(x,,fcyz,02z),,条, 件解方(程x, 组y, z) 0
n (Fx , Fy , Fz ) |( x0 , y0 ,z0 )
z
•D
oy
x
(2x0,4 y0,1)
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例5. 求曲面 z x2 2 y2 到平面 2x 4 y z 5 0 的最短距离.
第三步 定 AC B2 的符号，判别。
在点(3,2) 处 AC B2 24 0, 点（3，2）不是极值点;
在点(3,-2)处
AC B2 24 0, A 0,
为极大值.
AC B2
A
A0 A0
f ( x0 , y0 ) 极大值 极小值 不是极值
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(
x,
y)
0
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例5. 在第一卦限内作椭球面
的切平面, 使切平面与三坐标面围成的四面体体积
最小 , 并求此体积.
解 令
设切点 P( x0 , y0 , z0 ), 则 x2 y2 z2
课件8-8多元函数的极值资料
（1）当AC B2 0时具有极值
当A 0时,有极大值, 当A 0时,有极小值; （2）当AC B2 0时没有极值；
（3）当AC B2 0 时，可能有极值,也可能
没有极值，还需另作讨论．
例4 求函数 的极值.
0，
解得 x 4.85, y 4.46
根据题意可知,最大值一定存在, 并在开区域
D ( x, y) x 2, y 3 内取得，又函数在D内
只有唯一驻点(4.85,4.46), 因此可断定本地的
饮料价格约定为4.85元,外地的约为4.46元时，
收益最大.
三、条件极值及拉格朗日乘数法
与一元函数相类似,我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法： 将函数在D内的所有驻点处的函数值及 在D 的边界上的最大值和最小值相互比较, 其中最大者即为最大值,最小者即为最小值.
例5 求二元函数z f ( x, y) x2 y(4 x y)
在直线 x y 6，x轴和y轴所围成的闭区
在D内驻点处 f (2,1) 4，
在边界 x 0和 y 0上, f ( x, y) 0,
在边界x y 6上，f (4,2) 64,
y
比较函数值后可知：
x y6
D (4,2)
f (2,1) 4为最大值,
(2,1)
o
x
f (4,2) 64为最小值.
例6 某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子每瓶
在边界x y 6上，即 y 6 x y
于是 f ( x, y) x2(6 x)(2), 由 fx 4x( x 6) 2x2 0,
D8.8 多元函数的极值及其求法
2
结论 极小值 f ( 1 ,0 ) 5 无极值 无极值
3 ,2 ) 3 1 极大值 f(
（ 1， 0） 1 2 （ 1， 2） 1 2
（- 3，0） 12 （- 3，2） 12
0
6
6
0
2 22 3 3 z ( x y ) 在点(0,0) z x y 例2 讨论函数 及
2
(2) 当 AC B 0 时, 不取得极值.
2 (3) 当 AC 时, 不能确定 , 需另行讨论. B 0 (证明略)
3 3 2 2 例1 求函数 f 的极值. ( x , y ) x y 3 x 3 y 9 x
解: 第一步 求可能的极值点
解方程组
2 fx( x ,y ) 3 x 6 x 9 0
2)0 A 2 ( y x 2
令
得驻点 ( 2 A y 2(x 2 ) 0
x
3
2, 2)
3
y
根据实际问题可知最小值在定义域内必存在, 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
3 2 高为 3 3 2 时, 水箱所用材料最省. 2 2
三、条件极值
极值问题 无条件极值: 对自变量只有定义域限制
( x ,y , z ) 0 ( x , y , z ) 0 , 在条件 f ( x , y , z ) 求函数 u 拉格朗 下的极值. 日函数
L f 0 x x 1 x 2 x L f 0 y y 1 y 2 y L f 0 z z 1 z 2 z (x ,y ,z ) 0 (x ,y ,z )0
f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 的 定理2 (充分条件) 若函数 z 0 0
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2
2 2
(0,0)
0
为极小值.
8.8.2 最值及最值应用问题
函数 f 在有界闭域上连续 函数 f 在有界闭域上必取得最值 最值可疑点 驻点或偏导数不存在的点 边界上的最值点
3 2 2 2 z x y 如求函数 在 D ( x, y ) x y 1 上的最值.
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, f ( P) 为最小值 f ( P) 为极小值 (大 ) (大 )
例1 求函数 解: 第一步 求可能的极值点
的极值.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 求二阶偏导数
f x x ( x, y ) 6 x 6 ,
B f x y ( x, y ) 0 , f y y ( x, y ) 6 y 6
2 , 2)
3
y
根据实际问题可知最小值在定义域内必存在, 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
3 2 高为 3 3 2 时, 水箱所用材料最省. 2 2
8.8.3 条件极值
极值问题 无条件极值: 对自变量只有定义域限制
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外, 还有其他条件限制 条件极值的求法: 方法1 化为无条件极值问题
如例3 若设水箱长、宽、高分别为 x m, y m, z m ,则 即求A在条件 将 下的极值.
代入目标函数就转化为无条件极值问题.
方法2 拉格朗日乘数法. 例如
求函数 u f ( x, y, z ) 在条件 ( x, y, z ) 0 , ( x, y, z ) 0 拉格朗 下的极值. 日函数
(4) 定理1的条件下, 曲面z=f (x, y)在极值点处有 平行于xoy面的切平面. 定理2 (充分条件) 若函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0
令 A f x x ( x0 , y0 ) , B f x y ( x0 , y0 ) , C f y y ( x0 , y0 ) A<0 时取极大值; 则: (1) 当 AC B 2 0 时, 取得极值 A>0 时取极小值. 2 (2) 当 AC B 0 时, 不取得极值. (3) 当 AC B 2 0 时, 不能确定 , 需另行讨论. (证明略)
例3 某厂要用铁板做一个体积为2 解: 设水箱长 、宽分别为 x m、 则水箱所用材料的面积为
的有盖长方体水 则高为
箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
ym,
2 m, xy
2 2 xy 2 x y
令
2 Ax 2( y 2 ) 0 3 x 得驻点 ( 2 Ay 2( x 2 ) 0
第八章
8.8 多元函数的极值及其求法
8.8.1 多元函数的极值 8.8.2 最值及最值的应用问题 8.8.3 条件极值
复习回顾
1 一元连续函数的极值 定义: 为极大值 为极小值 必要条件： f ( x)在x0可导并取得极值
第一充分条件：
过 过 由正变负 由负变正 为极大值 为极小值 为极大值 为极小值
(1,0) (1,2)
(3,0) 12 (3,2) 12
6
6
0
例2 讨论函数
是否取得极值.
及
在点(0,0)
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点, 并且在 (0,0) 都有 在(0,0)点邻域内的取值
正
可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0
而
因此
时， z
(x y ) z
yz xz ) a 下求函数
2
V xyz
的最大值
2
令 L( x, y, z ) xyz (2 xy 2 yz 2 xz a )
解方程组
yz 2 ( y z ) 0 xz 2 ( x z ) 0 x y 2 ( y x) 0 2( xy yz xz ) a 2
步骤: 设 L( x, y, z ) f ( x, y, z ) 1 ( x, y, z ) 2 ( x, y, z )
解方程组
可得到条件极值的可疑点 .
例4 求表面积为a2 而体积最大的 长方体的体积. 解: 设长方体的长、宽、高分别为x、y、z, 则问题就是 在条件 2( xy
C
A
A f x x ( x, y ) 6 x 6, B f x y ( x, y ) 0,
C f y y ( x, y ) 6 y 6
第三步 判断 驻点
A
12 12
B
0 0 0
C
6
6
AC B 2
结论 极小值 f (1,0) 5 无极值 无极值 极大值 f (3, 2) 31
则称函数在该点取得极大值 (极小值). 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.
例如 :
在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值.
定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 且在该点取得极值 , 则有
存在
f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0
第二充分条件：
2 一元连续函数的最值 闭区间上连续函数的最值
最值点应在极值可疑点和边界点上找
实际问题中的最值 常根据问题的实际意义判别
对于多元函数，该如何计算其极值与最值?
8.8.1 多元函数的极值
定义: 设函数 的某邻域内有 定义, 若对该邻域内异于( x0 , y0 ) 的任何点( x, y ), 都有
证明: 取得极值, 故 取得极值 同理
f x ( x0 , y0 ) 0
注: 例如,
f y ( x0 , y0 ) 0
(1)偏导数都为 0 的点称为驻点. (2)在点 (0,0). 又如,
在点 (0,0)
偏导数不存在的点 (3)可疑的极值点：驻点、