2019年《·高考总复习》数学：第一章 第1讲 集合的含义与基本关系
高考数学总复习 第一章 第一节集合的概念与运算课件 理
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考点(kǎo 集合(jíhé)的基本关系及空集的妙用 diǎn)三
【例3】 设集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m －1}，若B⊆A，求实数(shìshù)m的取值范围．
思路点拨：考查集合间的包含、相等关系，关键搞清A，B两 集合谁是谁的子集．若B⊆A，说明B是A的子集，即集合B中元素 都在集合A中，注意B是∅的情况；同样若A⊆B，说明A是B的子集， 此时注意B是不是∅；若A＝B，说明两集合元素完全相同．
A．A＝B B．B＝C C．C＝E D．B＝E
思路点拨：要注意分辨各集合的代表元素是什么，如果性质 相同，但代表元素不同，则它们所表示的集合也是不一样的．因此 对于集合问题(wèntí)，要首先确定它属于哪类集合(数集、点集或某 类图形)．
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解析：集合 A 是用列举法表示，它只含有一个元 素，即函数 y＝x2＋2，集合 B，C，E 中的元素都是数， 即这三个集合都是数集，集合 B 表示的是函数 y＝x2 ＋2 的值域2，＋∞，集合 C 表示的是函数 y＝x2＋2 的 定 义 域 R， 集 合 E 是不 等 式 x － 2≥0 的 解集 2，＋∞，集合 D 的元素则是平面上的点，此集合是 函数 y＝x2＋2 的图象上所有点所组成的集合．故只有 B＝E.故选 D.
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2．并集． (1)定义： 由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称 为(chēnɡ w集éi)合__(_j_íh_é_)_A_与__集__合__(_j_íh的é)并B集，记作___A__∪__B_____(读作 “A并B”)．即 A∪B＝{ x|x∈A，或x∈B}. (2)性质：
【名师导学】高考数学第一轮总复习 1
A．{0}
B．{1}
C．{1,2}
D．{0,2}
【解析】∵N＝{x|x＝2a＋1，a∈M}＝{1,3,5}． ∴M∩N＝{1}，选B.
3．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和 N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩图是( B)
【解析】∵N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0} M＝{－1,0,1}． ∴选B.
4．(2011辽宁)已知M，N为集合I的非空真子集，且 M，N不相等，若N∩∁IM＝∅，则M∪N＝( A)
A．M
B．N
C．I
D．∅
【解析】利用韦恩图：N M，∴M∪N＝M，∴选A.
5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}， B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素的个数共 有__2__个．
【解析】由已知得M∩N＝{2,3}，∴∁U(M∩N)＝ {1,4}，选D.
4．(2011广东)已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且
x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且y＝x}，则
A∩B的元素的个数为( C)
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】集合A表示的是圆心在原点的单位圆，集合 B表示的是直线y＝x，画图可知选C.
1．确定一个集合的依据是：一是判断集合的元素 是什么？二是理解元素的属性有哪些？
2．判断集合之间的包含关系，关键是理解符号 “⊆”的含义．注意∅对问题的影响．
3．对求解含有参数的集合运算问题，能化简的集 合应先化简，以便使问题进一步明朗化．
4．集合问题多与函数、方程、不等式、解析几何 等有关．在解题时，要注意相关知识间的联系．
③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
【高考数学导学案】第01讲 集合的概念与运算(解析版)
第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R [注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B (或B A)集合相等集合A，B中元素相同A＝B3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈B}∁U A＝{x|x∈U且x∉A} 知识梳理考点探究考点1 集合的含义及表示【例1】设集合A ＝{x ∈Z ||x |≤2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则B 中的元素有( ) A ．5个 B ．4个 C ．3个D ．无数个【解析】依题意有A ＝{－2，－1，0，1，2}，代入y ＝x 2＋1得到B ＝{1，2，5}，故B 中有3个元素．【例2】设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2【解析】因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.【例3】(多选)已知集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，则m ＋n 的值可能为( ) A ．0 B ．12C ．1D ．2【解析】因为集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，－2n ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝4－4m ＝0，n ＝－－22m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝12或⎩⎨⎧m ＝1，n ＝1，所以m ＋n ＝12或m ＋n ＝2.故选BD.【例4】已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 【解析】由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，符合题意，故m ＝－32.【答案】－32【名师点拨】与集合中元素有关问题的求解策略考点2 集合间的基本关系【例】(1)(2021·八省联考)已知M ，N 均为R 的子集，且∁R M ⊆N ，则M ∪(∁R N )＝( ) A ．∅ B ．M C ．ND ．R(2)已知集合A ＝{x |y ＝4－x 2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[2，＋∞)【解析】 (1)因为M ，N 均为R 的子集，且∁R M ⊆N ，所以N ＝∁R M ，所以M ∪(∁R N )＝M .故选B.(2)集合A ＝{x |y ＝4－x 2}＝{x |－2≤x ≤2}，因为B ⊆A ，所以有⎩⎨⎧a ≥－2，a ＋1≤2，所以－2≤a ≤1.【答案】 (1)B (2)C【名师点拨】题目中若有条件B ⊆A ，则应分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行讨论． 【变式训练】1．(多选)已知集合M ＝{x |x <2}，N ＝{x |x 2－x <0}，则下列正确的是( )A ．M ∪N ＝RB ．N ⊆MC ．N ∪∁R M ＝RD ．M ∩N ＝N【解析】因为N ＝{x |x 2－x <0}＝{x |0<x <1}，则N ⊆M ，故BD 正确． 2．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈N *}，则集合A 的真子集的个数为( ) A ．7 B ．8 C ．15D ．16【解析】方法一：A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈N *}＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．方法二：因为集合A 中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)．3．已知集合M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________． 【解析】由题易得M ＝{a }．因为M ∩N ＝N ，所以N⊆M，所以N＝∅或N＝M，所以a＝0或a＝±1.考点3 集合间的基本运算角度一集合的运算【例】(1)(2020·高考全国卷Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U(A∪B)＝()A．{－2，3} B．{－2，2，3}C．{－2，－1，0，3} D．{－2，－1，0，2，3}(2)(多选)已知全集U＝R，集合M＝{x|－3≤x<4}，N＝{x|x2－2x－8≤0}，则()A．M∪N＝{x|－3≤x<4}B．M∩N＝{x|－2≤x<4}C．(∁U M)∪N＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)D．M∩(∁U N)＝(－3，－2)【解析】(1)方法一：由题意，得A∪B＝{－1，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{－2，3}，故选A.方法二：因为2∈B，所以2∈A∪B，所以2∉∁U(A∪B)，故排除B，D；又0∈A，所以0∈A∪B，所以0∉∁U(A∪B)，故排除C，故选A.(2)由x2－2x－8≤0，得－2≤x≤4，所以N＝{x|－2≤x≤4}，则M∪N＝{x|－3≤x≤4}，A错误；M∩N＝{x|－2≤x<4}，B正确；由于∁U M＝(－∞，－3)∪[4，＋∞)，故(∁U M)∪N ＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)，C正确；由于∁U N＝(－∞，－2)∪(4，＋∞)，故M∩(∁U N)＝[－3，－2)，D错误．故选BC.【答案】(1)A(2)BC角度二利用集合的运算求参数【例】(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝()A．－4 B．－2C．2 D．4(2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为()A．0 B．1C．2 D．4【解析】 (1)方法一：易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤－a2}，因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2.故选B.方法二：由题意得A ＝{x |－2≤x ≤2}．若a ＝－4，则B ＝{x |x ≤2}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤2}，不满足题意，排除A ；若a ＝－2，则B ＝{x |x ≤1}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，满足题意；若a ＝2，则B ＝{x |x ≤－1}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}，不满足题意，排除C ；若a ＝4，则B ＝{x |x ≤－2}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |x ＝－2}，不满足题意．故选B.(2)根据集合并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故a ＝4. 【答案】 (1)B (2)D【名师点拨】利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．【变式训练】 1．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】由题意得，A ∩B ＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A ∩B 中元素的个数为4，选C.2．(2021·四省八校第二次质量检测)若全集U ＝R ，集合A ＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B ＝{x ||x |≤2}，则如图阴影部分所示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}【解析】∁U A ＝{x |－1≤x ≤4}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，记所求阴影部分所表示的集合为C ，则C ＝(∁U A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}．3．(2021·武昌区高三调研)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |a －2<x <a }，若A ∩B ＝{x |－1<x <0}，则A ∪B ＝( )A ．(－1，2)B ．(0，2)C ．(－2，1)D ．(－2，2)【解析】由x 2－x －2<0得－1<x <2，即A ＝{x |－1<x <2}．因为B ＝{x |a －2<x <a }，A ∩B ＝{x |－1<x <0}，所以a ＝0，所以B ＝{x |－2<x <0}，所以A ∪B ＝(－2，2)，故选D.考点4 集合中的新定义问题【例】(1)定义集合的商集运算为A B ＝{x |x ＝mn ，m ∈A ，n ∈B }．已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合BA ∪B 中的元素个数为( ) A ．6 B ．7C ．8D ．9(2)(多选)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，ab ，ab∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，下列命题中正确的是( ) A ．数域必含有0，1两个数 B ．整数集是数域C ．若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域D ．数域必为无限集【解析】 (1)由题意知，B ＝{0，1，2}，B A ＝{0，12，14，16，1，13}，则B A ∪B ＝{0，12，14，16，1，13，2}，共有7个元素，故选B. (2)当a ＝b 时，a －b ＝0，a b ＝1∈P ，故可知A 正确；当a ＝1，b ＝2时，12∉Z 不满足条件，故可知B 不正确；当M 比Q 多一个元素i 时，则会出现1＋i ∉M ，所以它也不是一个数域，故可知C 不正确；根据数域的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知D 正确． 【答案】 (1)B (2)AD【变式训练】1．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ．1B ．3C ．7D ．31【解析】因为x ∈A ，且1x ∈A ，所以－1∈A ，2∈A 且12∈A ，所以集合M 的非空子集中具有伙伴关系的集合有{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2，共3个．故选B.2．设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________．【解析】由已知A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}， 又由新定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }， 结合数轴得A ⊗B ＝{0}∪[2，＋∞)．。
第1讲 集合的概念与运算 讲义--高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
第1讲集合的概念与运算1.元素与集合的概念(1)集合：研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫作集合.(2)集合元素的特性：确定性、互异性.2.元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a∉A a不属于集合A 3.集合的分类(1)空集：不含任何元素的集合，记作∅.(2)非空集合：①有限集：含有有限个元素的集合.②无限集：含有无限个元素的集合.4.常用数集的表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋或N*Z Q R5.列举法把有限集合中的所有元素都列举出来，写在花括号“{__}”内表示这个集合的方法.6.描述法(1)集合的特征性质如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质.(2)特征性质描述法集合A可以用它的特征性质p(x)描述为{x∈I|p(x)}，它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的.这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法.7.集合间的基本关系关系自然语言符号语言V enn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集A＝B子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.8.集合的运算(1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U表示；集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}例1(大纲全国，1) 设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为()A.3B.4C.5D.6例2 已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．[玩转跟踪]1.(新课标全国，1)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B 中所含元素的个数为()A.3B.6C.8D.102.已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a.3.(探究与创新)设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A(a≠1).求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集.题型二集合的表示方法例3 下面三个集合：A＝{x|y＝x2＋1}；B＝{y|y＝x2＋1}；C＝{(x，y)|y＝x2＋1}. 问：(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？例4 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ∈R .若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A .1.已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝⎩⎨⎧m |m ＝x |x |＋y |y |＋⎭⎬⎫xy |xy |为( )A.{0,3}B.{1,3}C.{－1,3}D.{1，－3}2.(探究与创新)已知集合A ＝{x |ax 2－3x －4＝0，x ∈R }： (1)若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围； (2)若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围.题型三 集合间的基本关系例5 集合{－1，0，1}共有________个子集. 例6 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ，412|，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ，421|，则( ) A ．N M =B ．NM C ．MN D ．=N M ∅例7 已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1＜x ＜m ＋1}，且B ⊆A . 求实数m 的取值范围.1.设M 为非空的数集，M ⊆{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有( ) A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个2.(2016·山东北镇中学、莱芜一中、德州一中4月联考)定义集合A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B },若集合M ＝{1,2,3,4,5},集合N ＝{x |x ＝2k －1,k ∈Z },则集合M －N 的子集个数为( ) A.2 B.3C.4D.无数个3.已有集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}，B ＝{x |mx －3＝0}，且B ⊆A ，求实数m 的集合.题型四 集合的基本运算例8 设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0},B ＝{x |2x －3>0},则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，3 例9 (2015·四川,1)设集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0},集合B ＝{x |1＜x ＜3},则A ∪B ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜3} B ．{x |－1＜x ＜1} C ．{x |1＜x ＜2} D ．{x |2＜x ＜3} 例10 (1)设全集U ＝R ，A ＝{x |x (x ＋3)<0}，B ＝{x |x <－1}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |－3<x <－1}B ．{x |－3<x <0}C ．{x |－1≤x ＜0}D ．{x |x <－3}(2).若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B ＝( )A.{x |－1≤x ＜0}B.{x |0<x ≤1}C.{x |0≤x ≤2}D.{x |0≤x ≤1}例11 已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1，或x ＞5}，若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围.[玩转跟踪]1.若集合P ＝{x ||x |＜3,且x ∈Z },Q ＝{x |x (x －3)≤0,且x ∈N },则P ∩Q 等于( ) A.{0,1,2} B.{1,2,3} C.{1,2} D.{0,1,2,3}2.如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A.(M ∩P )∩SB.(M ∩P )∪SC.(M ∩P )∩(∁I S )D.(M ∩P )∪(∁I S )3.(探究与创新)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围.1．已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．－3∈A B ．3∉B C ．A ∩B ＝BD ．A ∪B ＝B2．设集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x<2，则下列结论中正确的是( ) A ．N M B ．M N C ．N ∩M ＝∅D ．M ∪N ＝R3．(2018·全国Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．44.(2018·济南模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x －1≤0}，集合B ＝{x |x 2－x －6<0}，则右图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x <3}B ．{x |－3<x ≤1}C ．{x |x <2}D ．{x |－2<x ≤1}5．(2018·潍坊模拟)设集合A ＝N ，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x x －3≤0，则A ∩B 等于( ) A ．[0,3) B ．{1,2} C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,3}6．(2017·全国Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B 等于( ) A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3} D ．{1,5}7．已知集合A ＝{x |－1<x <0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)8.满足{a ，b }∪B ＝{a ，b ，c }的集合B 的个数是________.9.设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________.10.已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，则满足条件的实数x组成的集合为________.11.已知全集I＝{2,3，a2＋2a－3}，若A＝{b,2}，∁I A＝{5}，求实数a，b.12.已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求实数a组成的集合C.13.设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜6}，B＝{x|2＜x＜9}.(1)分别求A∩B，(∁R B)∪A；(2)已知C＝{x|a＜x＜a＋1}，若C⊆B，求实数a的取值构成的集合.14.已知集合A＝{x|0＜x－a≤5}，B＝{x|－a2＜x≤6}.(1)若A∩B＝A，求a的取值范围；(2)若A∪B＝A，求a的取值范围.。
专题：集合与常用逻辑用语[答案版]
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全国中小学个性化教育辅导专家 ------佳绩改变未来第1讲 集合的含义与基本关系强化训练1.设全集U M N =⋃={1,2,3,4,5}(M ,⋂U ðN )={2,4},则N 等于( )A.{1,2,3}B.{1,3,5}C.{1,4,5}D.{2,3,4}答案:B 解析:画出韦恩图,可知N ={1,3,5}.2.已知A ={x |512x -<-},若B ={x |x +4<-x },则集合A B ð等于( ) A.{x |23x -≤<} B.{x |23x -<≤}C.{x |-2<x <3}D.{x |23x -≤≤} 答案:A 解析:集合A ={x |x <3},B={x |x <-2},故选A.3.设集合A ={x ||x -a |<1,x ∈R },B ={x |15x x <<,∈R },若A B ⋂=∅,则实数a 的取值范围是 .答案:0a ≤或6a ≥解析:由|x -a |<1得-1<x -a <1,即a -1<x <a +1.如图所示.由图可知11a +≤或15a -≥,所以0a ≤或6a ≥.题组一 集合的基本概念1.设全集U =R ,A ={x |10x<},则U A ð等于( ) A.{x |10x >} B.{x |x >0} C.{x |0x ≥} D.{x |10x≥} 答案:C 解析:∵A ={x |x <0},∴U A =ð{x |0x ≥}.2.设集合A ={1,2,3},集合B ={2,3,4},则A B ⋂等于( )A.{1}B.{1,4}C.{2,3}D.{1,2,3,4}答案:C 解析:∵A ={1,2,3},B ={2,3,4},∴A B ⋂={1,2,3}⋂{2,3,4}={2,3}.故选C.3.已知集合M ={x |24x <},N ={x |2230x x --<},则集合M N ⋂等于( )A.{x |x <-2}B.{x |x >3}C.{x |-1<x <2}D.{x |2<x <3}答案:C 解析:∵M ={x |-2<x <2},N ={x |-1<x <3}, ∴M ⋂N ={x |-1<x <2}.故选C.题组二 集合间的基本关系4．已知集合A ＝{1,2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，则A ∪B 为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，b B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，15.若集合M ={y |21y x =},P ={y |y =那么M P ⋂等于( ) A.(0),+∞ B. [0),+∞ C.(1),+∞ D.[1),+∞答案:A 解析:M ={y |21y x =}={y |y >0},P ={y |0y ≥},故(0)M P ⋂=,+∞,选A. 题组三 集合的运算6．(2011广东)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x 、y 为实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案:C题组四 集合的综合应用7.给定集合A 、B ,定义A *B ={x |x m n m A =-,∈,n ∈B },若A ={4,5,6},B ={1,2,3},则集合A *B 中的所有元素之和为( )A.15B.14C.27D.-14答案:A 解析:由题意可得A *B ={1,2,3,4,5},又1+2+3+4+5=15.故选A.第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件、逻辑联结词强化训练1.若a ∈R ,则”a =1”是”|a |=1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案:A2.命题”若m >0,则方程20x x m +-=有实数根”的逆命题是 .答案:若方程20x x m +-=有实数根,则m >0题组一 命题的概念及其真假判断1.函数f (x )的定义域为A,若12x x A ,∈且1()f x =2()f x 时总有12x x =,则称f (x )为单函数.例如,函数f (x )21(x x =+∈R )是单函数,下列命题: ①函数2()(f x x x =∈R )是单函数;②指数函数()2(x f x x =∈R )是单函数;③若f (x )为单函数12x x A ,,∈且12x x ≠,则1()f x ≠2()f x ;④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数.其中的真命题是 .(写出所有真命题的编号)答案:②③④解析:对于①,若12()()f x f x =,则12x x =±,不满足;②是单函数;命题③实际上是单函数命题的逆否命题,故为真命题;根据定义,命题④满足条件.题组二 充分条件、必要条件的判断5.以下有关命题的说法错误的是( )A.命题”若2320x x -+=,则x =1”的逆否命题为”若x ≠1,则2320xx -+≠” B.”x =1”是”2320x x -+=”的充分不必要条件C.若p ∧q 为假命题,则p q 、均为假命题D.对于命题p :x ∃∈R ,使得210x x ++<,则p ⌝:x ∀∈R ,则210x x ++≥答案:C 解析:若p ∧q 为假命题,则只需p ,q 至少有一个为假命题即可.故选C.6.”x >1”是”|x |>1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件答案:A解析:因”x >1”⇒”|x |>1”,反之”|x |>1”⇒”x >1或x <-1”,不一定有”x >1”.1．(2011年湖南)设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件2．(2010年陕西)“a ＞0”是“|a |＞0”的( )A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．a 、b 为非零向量，“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(a x ＋b )·(x b －a )为一次函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2010年广东)“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0”有实数解的( )A ．充分非必要条件B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分必要条件5．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件；②“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件．其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．46．(2011年山东)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝31．(2011年北京)若p 是真命题，q 是假命题，则( )A ．p ∧q 是真命题B ．p ∨q 是假命题C ．非p 是真命题D ．非q 是真命题2．(2010年湖南)下列命题中的假命题是( )A ．∃x ∈R ，lg x ＝0B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0D ．∀x ∈R,2x >03．下列四个命题中的真命题为( )A ．若sin A ＝sinB ，则∠A ＝∠BB ．若lg x 2＝0，则x ＝1C ．若a >b ，且ab >0，则1a <1bD ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列4．若函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，则下列结论正确的是( )A ．∃a ∈R ，f (x )是偶函数B ．∃a ∈R ，f (x )是奇函数C ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数D ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数5．(揭阳二模)已知命题p ：∃x ∈R ，cos x ＝54；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则下列结论正确的是() A ．命题p ∧q 是真命题 B ．命题p ∧非q 是真命题C ．命题p ∧q 是真命题D ．命题非p ∧非q 是假命题6．(汕头)命题“∀x >0，都有x 2－x ≤0”的否定是( )A ．∃x >0，使得x 2－x ≤0B ．∃x >0，使得x 2－x >0C．∀x>0，都有x2－x>0 D．∀x≤0，都有x2－x>0 1．A 2.A 3.B 4.A 5.B 6.A1.D2.C3.C4.A5.C6.B。
高二数学第一章集合知识点
高二数学第一章集合知识点在高二数学学习过程中，集合是一个非常重要的概念和工具。
在第一章中，我们将学习集合的基础知识和相关概念，掌握集合的运算和求解问题的方法。
本文将对高二数学第一章集合知识点进行概述和总结。
一、集合的基本概念集合是由一些具有共同特征的元素所构成的整体。
常用的表示方式有列举法和描述法。
例如，S={a, b, c}是一个由元素a、b、c 构成的集合，描述法表示。
二、集合的关系1. 子集关系：若集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A 是B的子集，记作A⊆B。
2. 相等关系：若集合A是集合B的子集，且集合B是集合A 的子集，则称A等于B，记作A=B。
3. 真子集关系：若集合A是集合B的子集，且集合B不等于集合A，则称A是B的真子集，记作A⊂B。
4. 互为逆关系：若集合A是集合B的子集，且集合B是集合A 的子集，则称A和B互为逆关系。
三、集合的运算1. 交集：集合A和集合B的交集，记作A∩B，表示同时属于集合A和集合B的元素构成的集合。
2. 并集：集合A和集合B的并集，记作A∪B，表示属于集合A或集合B的元素构成的集合。
3. 差集：集合A和集合B的差集，记作A-B，表示属于集合A 但不属于集合B的元素构成的集合。
4. 补集：相对于全集U，集合A的补集，记作A的̅，表示全集U中不属于集合A的元素构成的集合。
四、集合的求解方法1. 列举法：通过列举元素的方式，直观地表示集合。
2. 描述法：通过给出满足特定条件的元素构成的集合，简洁地表示集合。
3. 图示法：通过绘制Venn图或欧拉图，直观地表示集合及其运算关系。
五、应用实例1. 集合的包含关系判断：给定集合A、B、C，判断A是否包含B，B是否包含C的方法是求出A∩B和B∩C是否相等。
2. 集合的运算问题：对于给定的集合A、B、C，可以利用交集、并集、差集等运算方法解决集合间的问题，如求解集合的元素个数、求解集合中满足某一条件的元素等。
总结起来，高二数学第一章集合知识点主要包括集合的基本概念、集合的关系、集合的运算和集合的求解方法。
高考数学一轮复习讲义第一章集合概念和其基本运算
高考数学一轮复习讲义第 一章集合概念与其基本运
A 中不等式的解集应分三种情况讨论：
①若 a＝0，则 A＝R； ②若 a<0，则 A＝x|4a≤x<－1a；
③若 a>0，则 A＝x|－1a<x≤4a.
(1)当 a＝0 时，若 A⊆B，此种情况不存在． 当 a<0 时，若 A⊆B，如图，
当(a＋1)2＝1，即 a＝0 或 a＝－2 时， ①a＝0 符合要求． ②a＝－2 时，a2＋3a＋3＝1 与(a＋1)2 相同，不符合题意． 当 a2＋3a＋3＝1，即 a＝－2 或 a＝－1. ①当 a＝－2 时，a2＋3a＋3＝(a＋1)2＝1，不符合题意． ②当 a＝－1 时，a2＋3a＋3＝a＋2＝1，不符合题意． 综上所述，a＝0.∴2 013a＝1.
，∴00<<aa≤≤22 .
又∵a>0，∴0<a≤2.
综上知，当 B⊆A 时，－12<a≤2.
(3)当且仅当 A、B 两个集合互相包含时，A＝B.
由(1)、(2)知，a＝2.
高考数学一轮复习讲义第 一章集合概念与其基本运
探究提高
在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是 合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不 等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论．分类时要遵循 “不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问 题的解答． 分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类；③逐类 讨论；④归纳结论．
A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. 交集的性质：
A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. 补集的性质：
高一数学知识点与习题讲解
高一数学知识点与习题讲解第一章集合与函数基础知识点整理第1讲1.1.1 集合的含义与表示知识要点：1.把一些元素组成的总体叫作集合(set)，其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2.集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ｛｝”括起来，基本形式为佝盘忌，耳｝，适用于有限集或元素间存在规律的无限集.描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为｛X A|P(x)｝，既要关注代表元素x，也要把握其属性P(x),适用于无限集.3.通常用大写拉丁字母A,B,C,表示集合.要记住一些常见数集的表示，如自然数集N,正整数集N*或N ,整数集Z有理数集Q, 实数集R4.元素与集合之间的关系是属于(belong to )与不属于(not belong to)，分别用符号、表示，例如3 N， 2 N .例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)由方程x(x2 2x 3) 0的所有实数根组成的集合；(2)大于2且小于7的整数.解：(1)用描述法表示为：｛x R|x(x2 2x 3) 0｝；用列举法表示为｛0, 1,3｝.(2)用描述法表示为：｛x Z|2 x 7｝；用列举法表示为{3,4,5,6}.【例2 ］用适当的符号填空：已知A {x|x 3k 2,k Z},B {x|x 6m 1,m Z}，则有:17 ____ A; —5 ____ A 17 __________ B解：由3k 2 17，解得k 5 Z，所以17 A ；由3k 2 5 ,解得k 7 Z，所以5 A ；3由6m 1 17,解得m 3 Z，所以17 B.【例3］试选择适当的方法表示下列集合：(教材P6练习题2, P13 A 组题4)(1)一次函数y x 3与y 2x 6的图象的交点组成的集合；(2)二次函数y x2 4的函数值组成的集合；(3)反比例函数y 2的自变量的值组成的集合.x解: (1) {(x,y)| ' % 3 } {(1,4)}.y 2x 6(2){y|y x2 4} {y|y 4}.(3){x|y 2} {x|x 0}.x点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量.在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比(2)与(3)中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.【例4］已知集合A {a|戶1有唯一实数解},试用列举法表示集合x 2A.解：化方程—1为：x2 x (a 2) 0 .应分以下三种情况：x 2⑴方程有等根且不是 2 :由4=0,得a 9 ,此时的解为x 1,4 2 合.⑵方程有一解为• 2，而另一解不是2:将x 2代入得a 2, 此时另一解x1 2，合.⑶方程有一解为2，而另一解不是V ：将x 2代入得a 2 , 此时另一解为x .2 1，合.综上可知，A { 9, ,2, 2}.4点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示•注意分式方程易造成增根的现象•第2讲1.1.2 集合间的基本关系知识要点：1.一般地，对于两个集合A B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A是集合B的子集（subset），记作A B（或B A），读作“ A含于B” （或“ B 包含A'）.2.如果集合A是集合B的子集（A B）,且集合B是集合A的子集（B A）,即集合A与集合B的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作A B.3.如果集合A B，但存在兀素x B，且x A，则称集合A是集合B 的真子集（proper subset ）,记作A B （或B A）.4.不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作，并规定空集是任何集合的子集（1）｛菱形｝｛平行四边形三角形｝.等腰三角形｝等边(2) {x R|x2 2 0}；{0}；N {0}.(2) =, €, 吕，亍.【例2】设集合A ｛x|x二n2 能A_B歸_AA. B.表示A与B关系的是（）. Z}, B12，n Z｝，则下列图形!：A. ' B〕解：简单列举两个集合的一些元素, 1, 丄,0,二,1,二，},2 2 2B { , i, 2,2,i, }，易知B A,故答案选A.另解：由B ｛x|x 2n 1 2 ，nZ｝，易知A,故答案选A.【例3】若集合M x|x2x 6 0 ,Nx|ax 1 0，且N M ,求实数5.性质：A A ；若A B , B C，则A C ；若Ap|B A，贝卩A B ；若A^B A,贝卩B A.例题精讲：【例1】用适当的符号填空：a的值.解：由x2 x 6 0 x 2或(i )若a 0时，得N ，此时，N M ；(ii )若a 0时，得N {-}.若NM ,满足12或13，解得a a a1或a 12 3故所求实数a的值为0或1或1.2 3点评：在考察“ A B ”这一关系时，不要忘记“”,因为A时存在A B.从而需要分情况讨论.题中讨论的主线是依据待定的元素进行•【例4】已知集合A={a, a+b, a+2b}，B={a, ax, ax2}.若A=B,求实数x的值.解：若 a b ax2a+ax2-2 ax=0,所以a( x-1) 2=0，即a=0 或x=1.a 2b ax当a=0时，集合B中的元素均为0,故舍去；当x=1时，集合B中的元素均相同，故舍去.. 2若a ax2ax2- ax- a=0.a 2b ax因为a z0,所以2x2-x-1=0,即(x-1)(2 x+1)=0. 又x工1,所以只有x 1.2经检验，此时A=B成立.综上所述x -.2点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论.融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第3讲1.1.3 集合的基本运算(一)知识要点:解：在数轴上表示出集合A B, A|[B{X|3 x集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次.下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.例题精讲:【例1】设集合U R,A {X| 1 X 5},B {X|3 X19},求A B B,(U(A U B).C U(A B) {X|X 1或X 9}，【例2】设A {x Z||x| 6} , B 1,2,3 , C 3,4,5,6，求:(1)Af](B「|C) ；(2) AplOLJc).解：；A 6, 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,345,6 .(1)又T B% 3，二A「(B「|C) 3 ；(2)又丫B|JC 1,2,3,4,5,6 ,得C A(B^C) 6, 5, 4, 3, 2, 1,0 .•••A^C A(B U C) 6, 5, 4, 3, 2, 1,0 .【例3】已知集合A {x| 2 x 4} , B {x|x m}，且A* A,求实数m的取值范围.解：由Ap|B A，可得A B.在数轴上表示集合A与集合B,如右图所示:由图形可知，m 4 .点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系, 得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题【例4】已知全集U {x|x 10且x N*}，A {2,4,5,8}，B {1,3,5,8}，求C U(A U B)，C u(A「|B)，(C U A^(C U B)，(C d A) J (C d B)，并比较它们的关系解:由A「B {1,2,3,4,5,8}，贝S C U(A J B) {6,7,9}. 由A「B {5,8}，贝S C u(Ap)B) {1,2,346,7,9}由C U A {1,3,6,7,9} , C U B {2,4,6,7,9},则(C u A)f](C u B) {6,7,9},(C U A)U(C U B) {1,2,3,4,6,7,9}.由计算结果可以知道，(C u A)U(C u B) C u(A『B),(C u A)f|(C u B) C u(^.B).另解：作出Venn图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结点评：可用Venn图研究(C U A)U GB)C U(A『B)与(C u A)p|(C u B)C U(A J B)，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.第4讲1.1.3 集合的基本运算(二)知识要点：1.含两个集合的Venn图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果.我们需通过Venn图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算.通过图形，我们还可以发现一些集合性质：C U (A 口B) (C U A) I (C U B) , C U(^J B)(C U A)『G B).2.集合元素个数公式：n(A「B) n(A) n(B) n(A^B).3.在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等.也常由新的定义考查创新思维.例题精讲：【例1】设集合A 4,2a 1,a2,B 9,a 5,1 a，若A^B 9，求实数a的值.解：由于A 4,2a 1,a2,B 9,a 5,1 a，且B 9，则有：当2a 1=9时，解得a=5 ,此时A={-4, 9, 25}, B={9, 0, -4},不合题意，故舍去；当a2=9时，解得a=3或—3 .a=3时,A={-4,5,9}, B={9, -2,-2}，不合题意，故舍去；a= —3, A={ —4, —7,9}, B={9, —8, 4}，合题意、.所以，a=—3.【例2】设集合A {x|(x 3)(x a) 0,a R} , B {x|(x 4)(x1) 0}，求A U B ,A". (教材P14 B组题2) 解：B {1,4}.当a 3 时，A {3}，则A「B {1,3,4}, B ；当a 1时，A {1,3}，则A「B {1,3,4} , A^B {1}；当a 4 时，A {3,4}，则A「B {1,3,4}, A「B {4}；当a 3 且a 1 且a 4 时，A {3,a}，贝卩A J B {1,3,4,a} , B .点评：集合A含有参数a,需要对参数a进行分情况讨论.罗列参数a的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.【例3】设集合A ={ x| x2 4x 0}，B ={x| x2 2(a 1)x a2 1 0，a R}，若A B=B,求实数a的值.解：先化简集合A={ 4,0}.由A B=B,则B A可知集合B可为，或为{0}，或{- 4}，或{ 4,0}.(i )若B=，贝S 4(a 1)2 4(a2 1) 0，解得a V 1 ；(ii )若o B,代入得a2 1 =0 a=1 或a= 1 ,当a = 1时，B=A,符合题意；当a= 1时，B={0} A,也符合题意.(iii )若一4 B,代入得a2 8a 7 0 a =7或a=1,当a = 1时，已经讨论，符合题意；当a=7时，B={ —12, —4}，不符合题意.综上可得，a=1或a < 1 .点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用.通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法.解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A=B和B=的情形，从而造成错误.这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.【例4】对集合A与B,若定义A B {x|x A,且x B}，当集合A {x|x 8,x N*}，集合B {x|x(x 2)(x 5)(x 6) 0}时，有A B= .(由教材P12补集定义“集合A相对于全集U的补集为C U A {x|x U，且X A} ”而拓展)解：根据题意可知，A {123,4,5,6,7,8}，B {0,2,5,6}由定义A B {x|x A,且x B}，贝SA B {1,3,4,7,8}.点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A中排除B的元素.如果再给定全集U则A B也相当于Ap|(C u B).第5讲1.2.1 函数的概念知识要点：1.设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f : A—B为从集合A到集合B的一个函数(function ), 记作y=f(x),x A.其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域(domain),与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫值域(range).2.设a、b是两个实数，且a<b,贝卩：{x| a< x< b} = [ a, b]叫闭区间；{ x| a<x<b} = (a, b)叫开区间；{x| a<x<b} =[a,b), { x| a<x< b} = (a,b]，都叫半开半闭区间.符号：Q”读“无穷大” ；“―^”读“负无穷大” ；“ +乂”读“正解：（1）要使函数有意义，则5 4x 0，解得x ;■所以原函数的3x 2 y 5 4x 1 12x 84 5 4x3(4x 5) 234x3234 5 4x;，所以值域(2) (x 1 22)所以原函数的定义域是R,值域【例3】已知函数f(1求：（1）f（2）的值；（2）f（x）的表无穷大”.则{x|x a} (a, ) , {x|x a} [a, ) , {x|x b} ( ,b) , {x|x b} ( ,b], R (,).3.决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则.当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.例题精讲：【例1】求下列函数的定义域：（1）V 1；（2）y 3「x—3.y |x 2 i， 2 解：（1）由x 2 1 0，解得x 1且x 3，所以原函数定义域为（ ,3尢（3, MJ（1）•（2）由 3 ，解得x 3且x 9，Vx 1 2 0所以原函数定义域为［3,9）卩（9,）.【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）y；（2）5 4xy x2 x 2.定义域是｛x|x J.为{y| y -}■4达式1 x r_x2x2 ,x R .1 x（1 )求f(x) f( f(1) f(2)f(3)f(4) f1 1 9 f(3)解: （1） 由 f (x)f()丄）的 xf(》i -2X 1 1 2x2x21 x1 x2 21.1 x点评：对规律的发现,f(-))2(f ⑶ (f(4)f(-)) - 3 4 2能使我们实施巧算•正确探索出前一问的 解:（"由Y 2，解得x 3，所以f （2）1（2）设一 t ，解得x 」，所以f （t ） 口，即f （x ）1 x1 t1 t点评：此题解法中突出了换元法的思想.这类问题的函数式没有 直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.结论，是解答后一问的关键第6讲1.2.2 函数的表示法知识要点：1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势） ；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可 看出函数值）.2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x ，对应法 则不同）【例4】已知函数f （x ）x（2）原式 f （i ） (f ⑵【例2】已知f(x)二3x 3 * 2x 233x x3. 一般地，设A B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对 应法则f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一 确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A B 为从集合A 到集合B 的一个映射(mappi ng ).记作“ f: A B ” .判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f.例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各 截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是 ________________________________________ ，这个解：(1)由绝对值的概念，有y |x 2| x 2, x 22 x, x 2所以，函数y |x 2|的图象如右图所示3x 3, x 1(2) y |x 1| |2x 4| x 5, 2 x 1 ,3x 3, x 2所以，函数y |X 1| |2x 4|的图象如右图所示点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数f (x) ［x］的函数值表示不超过X的最大整数，例如[3.5] 4，[2.1] 2，当x ( 2.5,3］时，写出f(x)的解析式，并作出函数的图象.3, 2.5 x 22, 2 x 11, 1 X 0解：f(x) 0, 0 x 1 .函数图象如右：1, 1 x 22, 2 x 33, x 3点评:解题关键是理解符号m的概念，抓住分段函数的对应函数式•第7讲1.3.1 函数的单调性知识要点：1.增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量X1, x，当X1VX2 时，都有f(X1)Vf(X2)，那么就说f (x)在区间D上是增函数(increasing function ).仿照增函数的定义若 a 0，当 X 1X 2b2a 时，有XX 2 0 , X 1X 2-,即 a(x 1 x 2) b 0 , a从而 f(xj f (X 2) 0，即 f (X 1) f(X 2), 所以f(x)在(却上单调递增.同【例1】试用函数单调性的定义判断函数f(x)互在区间(0, 1)x 1X 1,X 2€(0,1)且X 1 X 22x .2x 2fg g f2(X 2 xj x 1 1 x 2(X i 1)(X 21)由于 0 x 1 x 2 1 , x 1 1 0 , x 20，故 f(x 1) f 区)0，即f(x)化).所以，函数f(x)X2X1 在(0,1) 上是减函数.【例2】求二次函数 f(x) ax 2bx c(a 0)的单调区间及单调性. 解：设任意X 1, X 2且X 1X 2 .则 2f(X 1)f (X 2) (ax 1 bxc) (ax 22bx 2 c)a(x 122X 2 ) b(x 1X 2)可定义减函数.2. 如果函数f(x)在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f(x) 在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫f(x )的单调区间.在 单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的(如右图1),减函数 的图象从左向右是下降的(如右图 2).由此，可以直观观察函数图 象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性 .3. 判断单调性的步骤：设X !、x 2 €给定区间，且x !<x 2;-计 算f(Xj — f(X 2)-判断符号-下结论.例题精讲:上的单调性.(x 1 X 2)[a(N X 2) b].时，函数取最大值4ac b 2 4a【例3】求下列函数的单调区间： (1) y |x 1| |2x 4| ； (2) y X 2 2|x| 3.3x 3, x 1解：(1) y |X 1| |2x 4| x 5, 2 x 1，其图象如右.由图可知，函数在（ 减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方 法，将函数式化为分段函数.第2小题也可以由偶函数的对称性，先 作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到f （|x|）的 图象.由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.第8讲1.3.1函数最大（小）值知识要点：1. 定义最大值：设函数y f （x ）的定义域为I ，如果存在实数M 满 足：对于任意的x € I ，都有f （x ）＜ M 存在x o € I ，使得f （x °）= M 那 么，称M 是函数y f （x ）的最大值（Maximum Value ）.仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value ）的定义.2.配方法：研究二次函数y ax 2 bx c （a 0）的最大（小）值，先2 2配方成y a （x 卫）2 4a 」后，当a 0时，函数取最小值为 如卫；当2a 4a4a3.单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以由图可知，函数在［2, （2）y x 2 2|x| 31］、［0,1］上是增函数，在［1,0］、［1,）上是解：配方为y由(X 1)2(x2) (x -)22【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小4.图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.例题精讲:【例1】求函数y 26的最大值•x x 1所以函数的最大值为8.时，每天可售出100件.现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.解：设他将售出价定为x元，则提高了(x 10)元，减少了10(x 10) 件，所赚得的利润为y (x 8)^100 10(x 10)].即y 10x2 280x 1600 10(x 14)2 360. 当x 14 时，y max 360.所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大，最大利润为360元.【例3】求函数y 2x •. x 1的最小值.解：此函数的定义域为1,，且函数在定义域上是增函数,所以当x 1时，y min 2 1 1 2，函数的最小值为2.点评：形如y ax b Jex d的函数最大值或最小值，可以用“单调性法研究，也可以用换元法研究. 厂\【另解】令4X1 t，则to ，x t2 1 ，所以■…“ 丁y 2t2t 2 2（t 4）4罟，在t 0时是增函数，当t 0时，y min 2，I ；故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1）y 3 2x x2, x [ I，2] ；（2）y |x 11 |x 2|.解：（1）二次函数y 3 2x x2的对称轴为x —，即x 1.2a2x 1 ( 1 x 2).最小值为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与 对称轴的关系，结合图象进行分析.含绝对值的函数，常分零点讨论 去绝对值，转化为分段函数进行研究.分段函数的图象注意分段作出第9讲1.3.2 函数的奇偶性知识要点：画出函数的图象， 9 4 *所以函数y 3 2x 由图可知，当x 1时,ymaxx 2, x [ 5,3]的最大值为2 2当x4,最小值为(2) y |x 1| |x 2|作出函数的图象，由图可知, y [ 3,3].所以函数的最大值为3,g(x)1.定义：一般地，对于函数f （x ）定义域内的任意一个 X ,都有 f( x) f(x)，那么函数f(x)叫偶函数(even function ).如果对于函 数定义域内的任意一个X ,都有f( x) f(x))，那么函数f(x)叫奇函数(odd function ).2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关 于原点中心对称，偶函数图象关于 y 轴轴对称.3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、 计算和差、比商法等判别f( X)与f(x)的关系.例题精讲：【例1】判别下列函数的奇偶性： (1)f(x) x 3 - ； ( 2) f(x) |x 1| |x 1| ； ( 3) f (x) x 2 x 3.x解：(1)原函数定义域为｛x|x 0｝，对于定义域的每一个X ，都有 f ( x) ( x)3丄(x 3 -)f (x)，所以为奇函数.xx(2) 原函数定义域为R,对于定义域的每一个X ，都有f( x) | x 1| | x 1| |x 1| |x 1| f(x)，所以为偶函数.(3) 由于f( x) x 2 x 3 f(x)，所以原函数为非奇非偶函数.【例2】已知f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f (x)f(x)、g(x).1f (x) g(x) 则x 11 f( x) g( x)x 11f(x) g(x)即X 11 f (X) g(x)X 1解：盒子的高为X ，长、宽为a -2x ，所以体积为V = x(a -2x)* 2.解：T f (x)是奇函数,g(x)是偶函数, f ( x) f(x) , g( x)g(x).两式相减，解得f(x)4 ;两式相加，解得X 1g(x)1 x2 1又由a-2x 0，解得x a.2所以，体积V以x为自变量的函数式是V x(a-2x)2，定义域为{x|0 x |}.X ( ,1)，求f[f (0)]的值.x (1,)解：T 0 ( ,1),二f (0)= 32 .又T 32>1,f ( 3 2 )=( 3 2 ) 3+( 3 2 ) -3=2+^ =5，即f [ f (0)]= 5.2 2 2【例3】画出下列函数的图象：(1)y |x 2|;(教材P26练习题3)(2)y |x 1| |2x 4|.3 (x 2)3 (x 1)。
高考数学总复习第1讲 集合的概念与运算
D．{1,2,3,4,6}
解：因为 A∪B＝{1,2,6}∪{2,4}＝{1,2,4,6}， 所以(A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩{1,2,3,4}＝{1,2,4}．
ห้องสมุดไป่ตู้
答案：B
4．(2017·北京卷)已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x＜
－2 或 x＞2}，则∁UA＝(
)
A．(－2,2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
点评：(1)用描述法表示集合，首先要搞清集合中代表 元素的含义，再看元素的限制条件，分清是数集、点集还 是其他类型的集合．
(2)解决含有参数的集合问题时，要注意集合中元素的 特征，并注意用互异性进行检验．
(3)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
【变式探究】
1．(1)若集合 A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，
则 a 等于( )
A．4
B．2
C．0
D．0 或 2
(2)已知集合 A＝{m＋2,2m2＋m}，若 3∈A，则 m 的值
为
.
解：(1)当 a＝0 时，方程化为 1＝0，无解， 集合 A 为空集，不符合题意； 当 a≠0 时，由 Δ＝a2－4a＝0，解得 a＝4.
解：(2)因为 3∈A，所以 m＋2＝3 或 2m2＋m＝3， 若 m＋2＝3，解得 m＝1，此时 A＝{3,3}与集合中元素的 互异性矛盾，所以 m＝1，不符合题意； 若 2m2＋m＝3，解得 m＝1(舍去)或 m＝－23. 检验知 m＝－32满足题意． 故所求 m 的值为－32.
3．注意空集∅的特殊性，在解题时，若未能指明集合
非空时，要考虑空集的可能性，如 A⊆B，则有 A＝∅或 A≠∅
两种可能，解题时常常遗漏对空集的讨论，这一点应引起 重视．
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会求两个简单集合的并集与交集.
并集运算；
化为基础问题的
(2)理解在给定集合中一个子集的补集 2017年新课标Ⅱ第1题考查并集运算； 技巧与方法，就
的含义，会求给定子集的补集.
2017年新课标Ⅲ第1题考查交集运算及 会使看似复杂的
(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系 元素个数的判断
问题变得简单
7
2.(2017 年新课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}， 则( A )
A.A∩B＝xx<32
B.A∪B＝∅
C.A∪B＝xx>32
D.A∩B＝R
解析：由 3－2x>0，得 x<32.所以 A∩B＝{x|x<2}∩xx<32
b，a}＝0，ba，b，则 b－a＝(
)
A.1
B.－1
C.2
D.－2
解析：因为集合{1，a＋b，a}＝0，ba，b，且 a≠0，所以 a＋b＝0.则ba＝－1.所以 a＝－1，b＝1.解得 b－a＝2.
答案：C
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11
(2)(2013年新课标Ⅰ)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2， n∈A}，则 A∩B＝( )
A.{1,4}
B.{2,3}
C.{9,16}
D.{1,2}
解析：∵A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，∴B＝
{1,4,9,16}.∴A∩B＝{1,4}.
答案：A
(3)(2013 年大纲)设集合 A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝
性质 ∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U
A)∪(∁U B)
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健康，学业有成，金 榜题名！
6
1.(2016年新课标Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x －3>0}，则 A∩B＝( D )
A.－3，－32
2n个子集
含 n 个元素
的集合有 (2n－1)个真 子集
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
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4
3.集合的基本运算
项目
集合的并集
图形 语言
集合的交集 集合的补集
符号 A∪B＝{x|x∈A， A∩B＝{x|x∈A， ∁U A＝{x|x∈U，
第一章 集合与逻辑用语
第1讲 集合的含义与基本关系
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1
考纲要求
考点分布
考情风向标
1.集合的含义与表示．
(1)了解集合的含义、元素与集合的属 2012年新课标第1题考查一元二次不等 1.在考查题型上，
于关系.
式解法与集合间的关系及元素的互异性；通常基本以选择
(2)集合中元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大， 特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合 中的元素是否满足互异性.
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考向 2 元素与集合的关系
例 2：(1)(2017 年浙江杭州模拟)设 a，b∈R，集合{1，a＋
＝
3 xx<2
.故选 A.
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3.(2016 年新课标Ⅱ)已知集合 A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)·
(x－2)<0，x∈Z}，则 A∪B＝( C )
A.{1} C.{0,1,2,3}
a ＋b，a∈A，b∈B}，则 M 中元素的个数为( )
A.3 个
B.4 个
C.5 个
D.6 个
解析：M＝{5,6,7,8}.故选 B.
答案：B
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【规律方法】(1)用描述法表示集合，先要搞清楚集合中代 表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数 集、点集还是其他类型集合.
B.{1,2} D.{－1,0,1,2,3}
解析：B＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0，1}，而 A＝{1,2,3}，所
以 A∪B＝{0，1，2，3}.故选 C.
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4.(2016 年新课标Ⅲ)设集合 A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，
答案：C
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(3)(2012 年新课标)已知集合 A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|
x∈A，y∈A，x－y∈A}，则 B 中所含元素的个数为( )
A.3 个
B.6 个
C.8 个
D.10 个
解析：x＝5，y＝1,2,3,4；x＝4，y＝1,2,3；x＝3，y＝1,2；
则∁A B＝( C )
A.{4,8}
B.{0,2,6}
C.{0,2,6,10}
D.{0,2,4,6,8,10}
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考点 1 集合的含义及表示
考向 1 对描述法表示集合的元素属性的解读
例 1：(1)(2015 年新课标Ⅰ)已知集合 A＝{x|x＝3n＋2，n∈
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考点 2 集合的基本运算
考向 1 求交集或并集
例 4：(1)(2017 年山东)设集合M＝{x||x－1|<1}，N＝{x|x<2}，
则 M∩N＝( )
A.(－1,1)
B.(－1,2)
C.(0,2)
D.(1,2)
解析：由|x－1|<1，得－1<x－1<1.∴0<x<2.则 M∩N＝
及运算
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1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或 表示. (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.
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B.－3，32
C.1，32
D.32，3
解析：因为 A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1<x<3}，B＝xx>32 ，
所以 A∩B＝x32<x<3
.故选 D.
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【规律方法】(1)含n个元素的集合有2n个子集；(2)注意∅的 特殊性.空集是任何集合的子集.当B⊆A时，需考虑B＝∅的情形； 当A∩B＝∅时，也需考虑B(或A)＝∅的情形；当集合B不是空集 时，可以利用数轴，既直观又简洁.
－3≤2m－1， ②当 B≠∅时，有m＋1≤4，
2m－1<m＋1，
解得－1≤m<2.
综上所述，得 m≥－1.
答案：D
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(3)已知集合 A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合 A 有且 仅有 2 个子集，则 a 的取值集合为________.
(2)能用自然语言、图形语言、集合语 2013年新课标Ⅰ第1题考查交集运算及 题或填空题的形
言(列举法或描述法)描述不同的具体问 集合间的关系；
式出现，难度较
题.
2014年新课标Ⅰ第1题考查交集运算； 小，往往与函数
2.集合间的基本关系.
2015年新课标Ⅰ第1题考查交集运算； 的定义域、值域、
(1)理解集合之间包含与相等的含义， 2015年新课标Ⅱ第1题考查一元二次不 解不等式有联系.
N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合 A∩B 中的元素个数为( )
A.5 个
B.4 个
C.3 个
D.2 个
解析：由条件知，当 n＝2 时，3n＋2＝8；当 n＝4 时，
3n＋2＝14.故 A∩B＝{8,14}.故选 D.
答案：D
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能识别给定集合的子集.
等式及交集运算；
2.对于新定义高考
(2)在具体情境中，了解全集与空集的 2016年新课标Ⅰ第1题考查交集运算； 题的准备，也需
含义.
2016年新课标Ⅱ第1题考查交集运算； 立足概念和基本
3.集合的基本运算.
2016年新课标Ⅲ第1题考查补集运算； 运算，只要掌握
(1)理解两个集合的并集与交集的含义， 2017年新课标Ⅰ第1题考查不等式及交、 了把不同问题转
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(2)(2017 年新课标Ⅱ)设集合 A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋
m＝0}.若 A∩B＝{1}，则 B＝( )
A.{1，－3}