2021年九年级数学中考复习——几何专题：全等三角形性质与判定(四)

2021年九年级数学中考复习——几何专题：全等三角形性质与
判定（四）
1．如图，在Rt△ACB和Rt△ADB中，∠C＝∠D＝90°，AD＝BC，AD、BC相交于点O．求证：（1）AC＝BD；
（2）CO＝DO．
2．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ＝MN．
（1）求证：△AMN≌△P AQ；
（2）求证：PC＝AN；
（3）若NP＝2，AQ＝4，求BC的长．
3．如图，AB∥CD，BN∥MD，点M、N在AC上，且AM＝CN，求证：BN＝DM．
4．如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AC＝DF，BF＝CE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠A＝63°，求∠AGF的度数．
5．，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明；
（2）如图（2），在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
6．如图，已知AC与BF相交于点E，AB∥CF，点E为AC的中点，点D是AB上一点，如果CF＝6，AD＝4．求BD的长．
7．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P．
（1）求∠APC的度数；
（2）若AE＝4，CD＝4，求线段AC的长．
8．如图，A，C，F，D在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，求证：BC∥EF．
9．填空：把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．已知：如图，BC∥EF，AB＝DE，BC＝EF，试说明∠C＝∠F．
解：∵BC∥EF（已知），
∴∠ABC＝（）．
在△ABC与△DEF中，
∵AB＝DE，，，
∴△ABC≌△DEF（）．
∴∠C＝∠F（）．
10．如图，已知AC，BD相交于点O，AD＝BC，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，BE＝DF．
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）试猜想OA与OC的大小关系，并说明理由．
参考答案
1．证明：（1）∵∠C＝∠D＝90°，
∴△ACB和△BDA是直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），
∴AC＝BD；
（2）由（1）得：Rt△ACB≌Rt△BDA，
∴∠CBA＝∠DAB，
∴OA＝OB，
又∵AD＝BC，
∴CO＝DO．
2．证明：（1）∵BA⊥AM，MN⊥AC，
∴∠BAM＝∠ANM＝90°，
∴∠P AQ+∠MAN＝∠MAN+∠AMN＝90°，
∴∠P AQ＝∠AMN，
∵PQ⊥AB MN⊥AC，
∴∠PQA＝∠ANM＝90°，
∴在△PQA与△ANM中，
，
∴△PQA≌△ANM（ASA）；
（2）∵△PQA≌△ANM，
∴AN＝PQ AM＝AP，
∴∠AMB＝∠APM，
∵∠APM＝∠BPC，∠BPC+∠PBC＝90°，∠AMB+∠ABM＝90°，∴∠ABM＝∠PBC，
∵PQ⊥AB，PC⊥BC
∴PQ＝PC（角平分线的性质），
∴PC＝AN；
（3）∵AM2＝AN2+MN2，
∴AM2＝（AP﹣NP）2+MN2，
又∵NP＝2，AQ＝MN＝4，
∴AM2＝（AM﹣2）2+16，
∴AM＝5，
∴AP＝5，AN＝3＝QP＝PC，
∴AC＝8，
∵QP＝PC，BP＝BP，
∴Rt△BPC≌Rt△BPQ（HL），
∴BC＝BQ，
在Rt△ABC中，AB2＝BC2+AC2，
∴（4+BC）2＝BC2+64，
∴BC＝6．
3．证明：∵AB∥CD，BN∥MD，
∴∠A＝∠C，∠ANB＝∠CMD，
∵AM＝CN，
∴AM+MN＝CN+MN，
即AN＝CM，
在△ABN和△CDM中，
，
∴△ABN≌△CDM（ASA），
∴BN＝DM．
4．（1）证明：∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，
即BC＝EF．
∵AB⊥BE，DE⊥BE
∴∠B＝∠E＝90°．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE．
∵∠A＝63°，
∴∠ACB＝90°﹣63°＝27°，
∴∠DFE＝27°．
∵∠AGF＝∠ACB+∠DFE，
∴∠AGF＝27°+27°＝54°．
5．证明：（1）EF2＝BE2+CF2，
理由如下：如图（1）延长ED到G，使DG＝ED，连接CG，FG，
在△DCG与△DBE中，
，
∴△DCG≌△DBE（SAS），
∴DG＝DE，CG＝BE，∠B＝∠DCG，
又∵DE⊥DF，
∴FD垂直平分线段EG，
∴FG＝FE，
∵∠A＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠FCG＝90°，
在△CFG中，CG2+CF2＝FG2，
∴EF2＝BE2+CF2；
（2）如图（2），结论：EF＝EB+FC，
理由如下：延长AB到M，使BM＝CF，
∵∠ABD+∠C＝180°，又∠ABD+∠MBD＝180°，∴∠MBD＝∠C，
在△BDM和△CDF中，
，
∴△BDM≌△CDF（SAS），
∴DM＝DF，∠BDM＝∠CDF，
∴∠EDM＝∠EDB+∠BDM＝∠EDB+∠CDF＝∠CDB﹣∠EDF＝120°﹣60°＝60°＝∠EDF，
在△DEM和△DEF中，
，
∴△DEM≌△DEF（SAS），
∴EF＝EM，
∴EF＝EM＝BE+BM＝EB+CF．
6．解：∵AB∥CF，
∴∠A＝∠FCE，
∠B＝∠F，
∵点E为BF中点，
∴BE＝FE，
在△ABE与△CFE中，
，
∴△ABE≌△CFE（AAS），
∴AB＝CF＝6，
∵AD＝4，
∴BD＝2．
7．解：（1）∵∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，
∴∠BAC+∠BCA＝120°，∠P AC+∠PCA＝（∠BAC+∠BCA）＝60°，
∴∠APC＝120°．
（2）如图，在AC上截取AF＝AE，连接PF．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△APE和△APF中，
，
∴△APE≌△APF（SAS），
∴∠APE＝∠APF，
∵∠APC＝120°，
∴∠APE＝60°，
∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF，在△CPF和△CPD中，
，
∴△CPF≌△CPD（ASA）
∴CF＝CD，
∴AC＝AF+CF＝AE+CD＝4+4＝8．8．证明：∵AF＝CD，
∴AF﹣FC＝CD﹣FC，
即AC＝DF．
∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
∴∠ACB＝∠DFE，
又∵∠FCB＝180°∠ACB，∠CFE＝180°﹣∠DFE，
∴∠BCF＝∠EFC，
∴BC∥EF．
9．解：∵BC∥EF（已知），
∴∠ABC＝∠E（两直线平行，同位角相等）．
在△ABC与△DEF中，
∵AB＝DE，∠ABC＝∠E，BC＝EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
∴∠C＝∠F（全等三角形对应角相等）．
故答案为：∠E，两直线平行，同位角相等；∠ABC＝∠E，BC＝EF；SAS；全等三角形对应角相等．
10．证明：（1）∵BE＝DF，
∴BE+EF＝DF+EF，
∴BF＝DE，
在Rt△ADE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL），
（2）OA＝OC，
理由如下：∵Rt△ADE≌Rt△CBF，
∴AE＝CF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OA＝OC．。