2015届福建省厦门市高三毕业班适应性考试数学理试题
福建省厦门市2015届高三5月模拟考试数学(理)试题(有答案)
高中毕业班适应性考试 数学（理科）试题注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．请将答案填涂在答题卡的相应位置．1.已知集合{}i A ,1-=，i 为虚数单位，则下列选项正确的是A ．A i∈1 B ．A i i∈+-11 C ．A i ∈5 D ．A i ∈- 2. “d c b a >>,”是“a c b d +>+”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．已知{2,3}a ∈，{1,2,3}b ∈，执行右边程序框图，则输出的结果共有A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种4．已知服从正态分布2(,)N μσ的随机变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+和(3,3)μσμσ-+内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%．某校高一年级1000名学生的某次考试成绩服从正态分布2(90,15)N ，则此次成绩在（60，120）范围内的学生大约有A ．997人B ．972人C ．954人D ．683人5．设()f x 是周期为4的奇函数，当02x ≤≤时，()(2)f x x x =-，则(5)f -等于 A. 1 B.1- C.3 D.3-6．甲、乙、丙、丁四个人排成一行，则乙、丙位于甲的同侧的排法种数是A ．16B ．12C ．8D ．6 7．数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n ∏，且(1)n n n +∏=，则5S 等于 A ．31 B ．62 C ．124 D ．126 8．在ABC ∆中， AD 是BC 边上的高，给出下列结论：①0)(=-⋅；≥+；③B =；其中结论正确的个数是A ．0B ．1C ．2D ．39．如图，棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为线段B A 1上的动点，则下列结论错误．．的是 A ．P D DC 11⊥ B ．平面⊥P A D 11平面AP A 1C ．1APD ∠的最大值为090 D ．1PD AP +的最小值为22+ 10．已知圆221:(2)16O x y -+=和圆2222:(02)O x y r r +=<<，动圆M 与圆1O ,圆2O 都相切，动圆的圆心M 的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为1e ，2e （12e e >），则122e e +的最小值是否是（第3题图） PD 1C 1B 1A 1D CBA（第9题图）B.32D.38 第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填写在答题卡的相应位置．11．把函数sin 2y x =的图象向右平移3个单位后，得到函数()f x 的图象，则函数()f x 的解析式为 ．12．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这 20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A ；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ．则P （A|B ）的值是 ．13．已知函数2 21,0,(),0.x x x x f x e x ⎧-++>=⎨≤⎩则满足()1f x ≤的实数x 的取值范围是 .14．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥02,2,0y ax y x 表示区域为D ，且圆422=+y x 在D 内的弧长为2π，则实数a 的值等于 ．15．A 、B 两地相距1千米，B 、C 两地相距3千米，甲从A 地出发，经过B 前往C 地，乙同时从B 地出发，前往C 地．甲、乙的速度关于时间的关系式分别为14()1v t t =+和2()v t t =（单位：千米/小时）．甲、乙从起点到终点的过程中，给出下列描述：①出发后1小时，甲还没追上乙 ② 出发后1小时，甲乙相距最远 ③甲追上乙后，又被乙追上，乙先到达C 地 ④甲追上乙后，先到达C 地其中正确的是 ．（请填上所有描述正确的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卡的相应位置作答． 16．（本小题满分13分） 已知函数()4sin()cos 16f x x x π=-+.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若,,A B C 是ABC ∆的三个内角，且()1f A =，4B π=，又2AC =，求BC 边的长．17. （本小题满分13分）如图1，直角梯形ABCD 中，090,//=∠BAD CD AB ，2==AD AB ，4=CD ，点E 为线段AB 上异于B A ,的点，且AD EF //，沿EF 将面EBCF 折起，使平面⊥EBCF 平面AEFD ，如图2. （Ⅰ）求证：//AB 平面DFC ；（Ⅱ）当三棱锥ABE F -体积最大时，求平面ABC 与平面AEFD（第12题图）18. （本小题满分13分）已知圆22:(1)(1)2C x y -+-=经过椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的右焦点F 和上顶点B ．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过原点O 的射线l 与椭圆Γ在第一象限的交点为Q ，与圆C 的交点为P ，M 为OP 的中点，求OM OQ ⋅的最大值.19．（本小题满分13分）自驾游从A 地到B 地有甲乙两条线路，甲线路是A-C-D-B ，乙线路是A-E-F-G-H-B ，其中CD 段，EF 段，GH 段都是易堵车路段．假设这三条路段堵车与否相互独立．这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．经调查发现，堵车概率x 在2(,1)3上变化，y 在1(0,)2上变化．在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD 段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据． （Ⅰ）求CD 段平均堵车时间a 的值；（Ⅱ）若只考虑所花汽油费的期望值大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．20．（本小题满分14分）已知函数cos ()(0)xf x x x =>，()sin (0)g x x ax x =->. （Ⅰ）函数cos ()(0)xf x x x=>的零点从小到大排列，记为数列{}n x ，求{}n x 的前n 项和n S ； （Ⅱ）若()()f x g x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）设点P 是函数()x ϕ与()x ω图象的交点，若直线l 同时与函数()x ϕ，()x ω的图象相切于P 点，且（第18题图） （表2）函数()x ϕ，()x ω的图象位于直线l 的两侧，则称直线l 为函数()x ϕ，()x ω的分切线.探究：是否存在实数a ，使得函数()f x 与()g x 存在分切线？若存在，求出实数a 的值，并写出分切线方程；若不存在，请说明理由．21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，共14分．如果多做，则按所做的前两题计分． （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 已知在矩阵M 对应的变换作用下，点A (1,0)变为A ′(1,0)，点B (1,1)变为B ′(2,1)． （Ⅰ）求矩阵M ； （Ⅱ）求2M ，3M ，并猜测nM （只写结果，不必证明）．（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C 的参数方程为1cos ,sin x αy α=+⎧⎨=⎩（α为参数，0απ≤≤）． （Ⅰ）写出直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）求直线l 与曲线C 的交点的直角坐标.（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知,,a b c R +∈，且3a b c ++=，222a b c ++的最小值为M ． （Ⅰ）求M 的值；（Ⅱ）解关于x 的不等式|4||1|x x M +--≥.2014年高中毕业班适应性考试数学（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．请将答案填涂在答题卡的相应位置． 1～10：CABCB ABDCA9．提示：⊥1DC 面11BCD A ，∴A 正确；⊥11A D 面11A ABB ，∴B 正确；当2201<<P A 时，1APD ∠为钝角，∴C 错；将面B AA 1与面11A ABB 沿B A 1展成平面图形，线段D A 1即为1PD AP +的最小值，解三角形易得D A 1=22+， ∴D 正确.故选C.10.提示：①动圆与两定圆都内切时：1122||4||||4||MO R MO MO r MO R r =-⎧⇒+=-⎨=-⎩，所以24e r =- ②动圆与两定圆分别内切，外切时：1122||4||||4||MO R MO MO r MO R r =-⎧⇒+=+⎨=+⎩，所以24e r =+ 122202,44r e e r r<<∴=>=-+ 处理1：12114e e +=，再用均值求122e e +的最小值；处理2：1224244e e r r+=+=-+ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填写在答题卡的相应位置． 11．()sin(26)f x x =- 12．5913．(,0][2,)-∞+∞ 14．1 15．④15．提示：经过x 小时，甲乙走过的路程分别为104()4ln(1)1xS dt x t ==++⎰， 220 2xx S t d t ==⎰，令4ln(1)41x x e +=⇒=-，232x x =⇒=令24ln(1)12x x +=+，设2()4ln(1)12x F x x =+--…三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卡的相应位置作答．16．本题考查三角恒等变换、三角函数图象及其性质、解三角形等基础知识；考查学生运算求解能力；考查数形结合思想和分类整合思想．满分13分．解:(Ⅰ)()4sin()cos 16f x x x p =-+1cos )cos 12x x x =-+ -----------1分2cos 21x x cos x =-+2cos2x x =- -------------------3分2s i n (2)6x p =- --------------------4分 令 222()262k x k k Z p p p p p -?? -----------------------5分 解得 (Z)63k x k k p p p p -＃+ ∴函数()f x 的递增区间是[,](Z)63k k k p pp p -+ . --------------------------6分 (Ⅱ)由()1f A =得, 1sin(2)62A p -=,∵0A p << , ∴6A p = 或2A p = . -------8分 (1)当6A p =时,由正弦定理得,2sinsin 6sin sin sinB sin 4BC ACAC A BC A Bpp ×=?==； ---------------------------------10分(2) 当2A p=时,由正弦定理得, 2sinsin 2sin sin sinB sin 4BC AC AC A BC A B pp ×=?== ----------------------------------12分综上，BC =或BC = ------------------------------------------------------13分17．本题考查立体几何中的线面、面面关系，空间角，空间向量在立体几何中的应用等基础知识；考查运算求解能力、空间想象能力；考查数形结合思想、化归与转化等数学思想．满分13分． （Ⅰ）证明：∵CF BE //，⊄BE 面DFC ，⊂CF 面DFC ，∴//BE 面DFC ， --------------------2分 同理//AE 面DFC ， --------------------3分 又E AE BE = ，∴面//ABE 面DFC ， --------------------4分 又⊂AB 面ABE ，∴//AB 面DFC . --------------------5分 （Ⅱ）法一：∵面⊥EBCF 面AEFD ，又EF CF ⊥，面 EBCF 面EF AEFD =，∴⊥CF 面AEFD .以FE 所在直线为x 轴，FD 所在直线为y 轴，FC 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系xyz F -， -----------------------7分 设)20(<<=x x AE ，则x EB -=2，2)2(213131⨯-⨯=⨯=∆-x x EF S V ABE ABE F 31)1(312+--=x ， ∴当1=x 时，三棱锥ABE F -体积最大. -----------------------9分 ∵)3,0,0(),1,0,2(),0,1,2(C B A ， ∴)3,1,2(),2,0,2(-=-=CA CB ， ---------10分设平面CBA 的法向量),,(000z y x m = ， ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00m CA m， ∴⎩⎨⎧=-+=-032000000z y x z x ， 令10=x ，得平面CBA 的一个法向量)1,1,1(=m， -------------------------11分又面AEFD 的一个法向量为)2,0,0(=FE ，∴33232,cos =⨯=>=<FE m， --------------------------12分 ∴平面ABC 与平面AEFD 所成锐二面角的余弦是33. --------------------13分 法二：∵面⊥EBCF 面AEFD ，又EF CF ⊥，面 EBCF 面EF AEFD =，∴⊥CF 面AEFD以FE 所在直线为x 轴，FD 所在直线为y 轴，FC 所在直线为z 轴，建立空间直 角坐标系xyz F -． -------------------------2分 设)20(<<=x x AE ，则x EB -=2.（Ⅰ）)2,,0(),2,,0,2(),0,,2(x x AB x B x A --=-， -------------------------3分面DCF 的一个法向量为)0,0,2(=FE ， ---------------------------4分00)2(0)(02=⨯-+⨯-+⨯=⋅x x ，∴FE AB ⊥，又⊄AB 面DFC ，∴//AB 面DFC . --------------------------7分（Ⅱ）同法一．18．本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合、化归与转化及函数与方程等数学思想．满分13分． 解：（Ⅰ）在22:(1)(1)2C x y -+-=中，令0y =得(2,0)F ，即2c =，令0x =，得(0,2)B ，即2b =， -------------------2分由2228a b c =+=，∴椭圆Γ：22184x y +=. ------------------4分（Ⅱ）法一：依题意射线l 的斜率存在，设:(0,0)l y kx x k =>>，设1122(,),(,)P x kx Q x kx -5分22184y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(12)8k x +=，∴2x = ---------------6分 22(1)(1)2y kx x y =⎧⎨-+-=⎩得：22(1)(22)0k x k x +-+=，∴1x ， ---------7分 ∴11(,)22x kxOM OQ ⋅=⋅22212121(,)()0)2x kx x x k x x k =+=>. -------9分=设2221()12k k k kϕ++=+，2/22422()(12)k k k k ϕ--+=+， 令2/22422()0(12)k k k k ϕ--+=>+，得112k -<<． 又0k >，∴()k ϕ在1(0,)2单调递增，在1(,)2+∞单调递减. -----------11分∴当12k =时，max 13()()22k ϕϕ==，即OM OQ ⋅的最大值为. -------13分法二：依题意射线l 的斜率存在，设:(0,0)l y kx x k =>>，设1122(,),(,)P x kx Q x kx ---5分22184y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(12)8k x +=，∴2x =分 ()OM OQ OC CM OQ OC OQ ⋅=+⋅=⋅ =222(1,1)(,)(1)x kx k x ⋅=+=0)k > ---------------9分=设1(1)t k t =+>，则222222(1)11312243224()3()3[()]33k t k t t t t t +===≤+-+-+-+.当且仅当12,3t =即max []OM OQ ⋅=法三：设点00(,)Q x y ，000,0x y >>，()OM OQ OC CM OQ OC OQ ⋅=+⋅=⋅ --------------------6分 =0000(1,1)(,)x y x y ⋅=+ . -----------------7分 又2200184x y +=， 设00b x y =+与2200184x y +=联立得：220034280x bx b -+-= . --------------9分令2201612(28)0b b b ∆=⇔--=⇒=±分又点00(,)Q x y 在第一象限，∴当0x =时，OM OQ ⋅取最大值. -----13分 19．本题考查利用频率分布表求平均数，相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量分布列，数学期望，几何概型等基础知识；考查运用统计、概率、数学期望等数学知识解决实际问题的能力，以及运算求解能力；考查数形结合数学思想方法. 满分13分．解：（Ⅰ）a =863824240.5 1.5 2.5 3.5 4.5100100100100100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ------------2分 499584108100100100100100=++++=3． ----------------4分 （Ⅱ）设走甲线路所花汽油费为ξ元，则500(1)(50060)50060E x x x ξ=-++=+． ----------------5分 法一：设走乙线路多花的汽油费为η元，∵EF 段与GH 段堵车与否相互独立， ∴11(0)(1)(1) , (20)(1)44P y P y ηη==--==-⋅， 11(40)(1) , (60)44P y P y ηη==-==， ----------------7分11110(1)(1)20(1)40(1)604444E y y y y η∴=⋅--+⋅-+⋅-+⋅405y =+． ----8分∴走乙线路所花的汽油费的数学期望为(545)54555040E E y ηη+=+=+．--9分 依题意，选择走甲线路应满足 (55040)(50060)0y x +-+≥， ------------10分即6450x y --≤，又211 , 032x y <<<<，P ∴（选择走甲线路）21151(1)(1)732264218(1)32-⋅-⋅-⋅==-⋅． ----------------13分法二：在EF 路段多花汽油费的数学期望是20240y y ⨯=元， ---------------6分在GH 路段多花汽油费的数学期望是120154⨯⨯=元， ----------------7分 因为EF 、GH 路段堵车与否相互独立，所以走乙路线多花汽油费的数学期望是405y +元． ----------------8分 以下解法同法一．20．本题考查三角函数、导数及其应用、等差数列等基础知识；考查运算求解能力、等价转化能力；考查化归与转化、函数与方程、有限与无限等数学思想方法．满分14分． 解：（Ⅰ）∵cos 0x x =，0x > ∴cos 0x = ∴2x k ππ=+，k Z Î． -------------1分 ∴(1)2n x n ππ=+-， ----------------2分∴2(1)222n n n n n S πππ-=+=． ----------------4分 （Ⅱ）∵()()f x g x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，∴2sin cos x x x a x-≥在(0,)x ∈+∞上恒成立． ----------------5分 设2sin cos ()x x x x x ϕ-=， ∴23cos (2)()x x x x ϕ+'=， ---------------6分∴()x ϕ在(0,)2π单调递增，3(,)22ππ单调递减，3(,)()22k k k Z ππππ+++∈单调递增，35(,)()22k k k Z ππππ+++∈单调递增， ∴()x ϕ的极大值为1(2)()222k k N k πϕπππ+=∈+，∴()x ϕ的最大值为2()2πϕπ=， ∴2a π≥ ． ----------------8分（Ⅲ）若函数()f x 与()g x 存在分切线，则有“()()f x g x ≥”或“()()f x g x ≤”在(0,)+∞ 上恒成立，∵当0x →时，cos ()xf x x=→+∞，()sin 0g x x ax =-→． ∴0(0,)x ε∃∈，使得()()f x g x >， ∴()()f x g x ≤在(0,)+∞不恒成立．∴只能是()()f x g x ≥在(0,)+∞上恒成立． ------------9分∴由（Ⅱ）可知2a π≥， ∵函数()f x 与()g x 必须存在交点， ∴2a π=．----10分当2a π=时，函数()f x 与()g x 的交点为(,0)2π,∵2()()22f g πππ''=-=， ∴存在直线21y x π=-+在点(,0)2π处同时与()f x 、()g x 相切，∴猜测函数()f x 与()g x 的分切线为直线21y x π=-+． ----------11分证明如下： ①∵22cos 2()(1)x x xf x x xππ+---+=，设22()cos h x x x x π=+-，则4()sin 1h x x x π'=-+-．令4()sin 1t x x x π=-+-，则有4()cos 0t x x π'=-+>．∴()h x '在(0,)+∞上单调递增，∴()h x '在(0,)+∞上有且只有一个零点． 又∵()02h π'=，∴()h x 在(0,)2π单调递减，在(,)2π+∞单调递增，∴()()02h x h π≥=，∴2()(1)0f x x π--+≥，即2()1f x x π≥-+在(0,)+∞上恒成立．∴函数()f x 的图象恒在直线21y x π=-+的上方． ---------------13分②∵2()(1)sin 10g x x x π--+=-≤在(0,)+∞上恒成立，∴函数()g x 的图象恒在直线21y x π=-+的下方．∴由此可知，函数()f x 与()g x 的分切线为直线21y x π=-+，∴当2a π=时，函数()f x 与()g x 存在分切线，为直线21y x π=-+． ---------14分21. （1）选修4-2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的乘法等基础知识；考查运算求解能力；函数与方程、特殊与一般的数学思想．满分7分解：（Ⅰ）设a b M c d ⎛⎫=⎪⎝⎭，则1100a b c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1211a b c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， -------------1分∴1021a c a b c d =⎧⎪=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩， 解得1101a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ ． -------------2分 ∴1101M ⎛⎫= ⎪⎝⎭． ------------------3分（Ⅱ）2111112010101M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， -------------------4分32111213010101M M M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， -----------------6分猜测101n n M ⎛⎫= ⎪⎝⎭． ----------------7分（2）选修4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查直线的极坐标方程、圆的参数方程及其几何意义、直线与圆的位置关系、极直互化等基础知识；考查运算求解能力；数形结合思想．满分7分． 解：（Ⅰ）∵sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1sin 2ρθθ⎫-=⎪⎪⎝⎭ ----------------1分∴1222x y -=即所求直线l0y -=． ----------3分 （Ⅱ）曲线C 的直角坐标方程为：()()221101x y y -+=≤≤ ， ---------------4分∴()22011y x y -=-+=⎪⎩，解得32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． -------------------6分 所以，直线l 与曲线C的交点的直角坐标为3,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． -----------------7分（3）选修4-5：不等式选讲本小题主要考查利用柯西不等式求最值、绝对值不等式的解法等基础知识；考查运算求解能力；化归与转化、分类与整合的思想．满分7分． 解：（Ⅰ）根据柯西不等式，有：()()()22222221119a b ca b c ++++≥++=，------1分∴2223a b c ++≥，当且仅当1a b c ===时等号成立． ----------------2分 即3M =． -----------------3分 （Ⅱ）|4||1|3x x +--≥可化为()()4413x x x ≤-⎧⎨-+--≥⎩或()41413x x x -<<⎧⎨+--≥⎩或()1413x x x ≥⎧⎨+--≥⎩， -----------5分 解得，x ∈∅或01x ≤<或1x ≥， ----------------------6分 所以，综上所述，原不等式的解集为[)0,+∞． -----------------------7分。
福建省厦门市2015届高三理综适应性考试试题概要
2015年厦门市高中毕业班适应性考试理科综合能力测试本卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷。
第1卷均为必考题，第Ⅱ卷包括必考和选考两部分。
第1 卷1一4页，第Ⅱ卷5—1 2页，共12页。
满分300分，考试时间1 50分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置o2．答题要求，见答题卡上的“填涂举例’’和“注意事项。
相对原子品质(原子量)：H一1 N一1 4 O—1 6 S一32第Ⅰ卷(必考)本卷共18题，每小题6分，共108分。
在下列各题的四个选项中，只有一个选项是正确的。
1．下列关于ATP的叙述正确的是A．叶肉细胞在有光无光条件下均能合成ATPB．人体细胞吸收葡萄糖均需要消耗ATPC．维持人体体温的能量主要来自ATP的水解D．神经纤维上电信号的传导不需要消耗ATP2．下列关于实验方法的描述正确的是A．调查蚜虫或跳蝻的种群密度可采用标志重捕法B．观察质壁分离现象时不能用洋葱鳞片叶内表皮细胞C．观察人口腔上皮细胞的细胞核可用龙胆紫溶液染色D．向酵母菌培养液加人溴麝香草酚蓝水溶液以检测C02的产生情况3．下列有关细胞的结构与功能的描述相匹配的一组是4．右图表示某二倍体生物的细胞，有关叙述正确的是A．该细胞正处于有丝分裂前期B．在该细胞形成过程中一定发生了基因突变C．该细胞分裂至后期时含有4个染色体组D．该细胞分裂能产生2种基因型的子细胞理科综合能力测试第1页(共12页)5．下图为某种真菌细胞线粒体中蛋白质的生物合成局部示意图。
下列相关叙述正确的是A．①③过程既可在细胞质基质又可在线粒体中进行B．②④过程均在核糖体中进行C．线粒体的功能不受细胞核基因的控制D．遗传信息能从核DNA传递给线粒体DNA6．下列生产过程中，不涉及．．．氧化还原反应的是A．氯碱工业 B．制普通玻璃 C．海水提溴 D．工业制硝酸7．下列物质所含粒子数为0.1N A(N A为阿伏加德罗常数的值)的是NH A．0.1 mo1 Na2O2所含的阴离子 B．1 L0.1 mol·L－1氨水中的4 C．12.5mL 16 mo1·L－1的浓硫酸能溶解的Cu D．4.6g N02气体所含的分子8．乙烯的相关转化关系如右图。
福建省厦门市2015届高三第一学期质量检测数学理试卷
福建省厦门市2015届高三第一学期质量检测数学理试卷一、选择题1、设集合{}x x 20x y A B A B ⎧==+>==⋂=⎨⎩，，则（ ） . {}2.->x x A {}3.<x x B {}32.>-<x x x C 或 {}32.<<-x x D2、已知命题001p x sinx p 2R ∃∈≥⌝：，，则是（ ） . 21sin ,.00≤∈∃x R x A 21sin ,.00<∈∃x R x B 21sin ,.≤∈∀x R x C 21sin ,.<∈∀x R x D 3、已知向量()2a m 1b m ,2,a b 0m R λλ==∈+==（，），，若存在使得，则（ ） . A.0 B.2 C.0或2 D.0或-24、曲线2y 3x =与直线x 1x 2==，及x 轴所围成的封闭图形的面积等于（ ） .A.1B.3C.7D.85、函数()2x y 2cos -1x 23R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴经过点（ ） . ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,6.πA ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,6.πB ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,3.πC ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,3.πD 6、确的是表示平面，下列说法正表示两条不同的直线，已知αm l ,（ ） .m l m l A ⊥则若,,.αα αα⊥⊂⊥l m m l B 则若,,.ααl m m l C 则若,,.⊂ m l m l D 则若,,.αα7、等差数列{}n a 中，3a 和9a 是关于方程()216064x x c c -+=<的两根，则该数列的前11项和11S （ ） . A.58 B.88 C.143 D.1768. 在直角坐标系中，函数xx x f 1sin )(-=的图像可能是（ ） .9.椭圆E ：13222=+y a x 的右焦点为F,直线m x y +=与椭圆E 交于A,B 两点。
2015届福建省厦门市高三上学期期末质量检测理科数学试卷(带解析)
绝密★启用前2015届福建省厦门市高三上学期期末质量检测理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：69分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、设函数，则 （ ）.A ．B ．C ．D ．2、椭圆E ：的右焦点为F,直线与椭圆E 交于A,B 两点.若△EAB周长的最大值是8，则m 的值等于 （ ）. A ．0 B ．1 C ．D ．23、在直角坐标系中，函数的图像可能是（ ） .4、等差数列中，和是关于方程的两根，则该数列的前11项和（ ）A ．58B ．88C ．143D ．1765、函数的图形的一条对称轴经过点（ ） .6、曲线与直线x=1,x=2及x 轴围城的封闭图形的面积是（ ） .A ．1B ．3C ．7D ．87、已知向量若存在使得则m=（ ） .A ．0B ．2C ．0或2D ．0或-28、已知命题则是（ ）.C． D．9、设集合则（）.A． B．C． D．10、已知l,m表示两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是（） . A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11、已知且则的最大值等于 .12、在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线L的极坐标方程为，圆C的参数方程为；，则圆心C到直线L的距离等于 .13、已知矩阵A且，则x+y= .14、已知数列中，，①当b=1时，=12;②存在，数列成等比数列；③当时，数列是递增数列；④当时数列是递增数列以上命题为真命题的是 .（写出所有真命题对应的序号）15、已知双曲线C：的渐近线与圆相切，则双曲线C的离心率等于 .16、三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积等于 .三、解答题（题型注释）17、已知则= .参考答案1、A2、B3、A4、B5、D6、C7、C8、9、D10、A11、12、113、314、①②③15、16、317、-3【解析】1、试题分析：由题根据所给函数取值进行分析判断即可.由题方法一：x=0时，，时，，；故选A.方法二：设，同理令可得..故选A方法三：由题根据泰勒公式和中值定理可得，故选A.考点：导数在研究函数问题中的应用2、试题分析：首先利用椭圆的定义建立周长的等式，进一步利用三角形的边长关系建立等式，求出相应的值，最后求出结果．椭圆E：的右焦点为F，N为左焦点，直线y=x+m与椭圆E交于A，B两点，则△EAB周长l=AB+BF+AF=AB+2a-NB+2a-NA=4a+（AB-NA-NB），，N、A、B三点共线时，所以椭圆的方程为：直线直线y=x+m 经过左焦点．所以：m=1故选B考点：椭圆的性质3、试题分析：由题意根据函数的奇偶性排除C,结合排除B、D，得到正确选项. 由题意∴图象关于原点对称，故排除C；当时，；故排除B、D；故选A．考点：函数的图像和性质4、试题分析：由题根据韦达定理和等差中项性质不难得到，然后求得数列的前11项和.由题根据韦达定理得到，故选B.考点：等差数列性质5、试题分析：先化简可得函数解析式为从而可求其对称轴方程，即可确定答案．∴令可得∴当k=0时，函数的图象的一条对称轴经过点，故选D．考点：二倍角公式，余弦函数的图像6、试题分析：首利用定积分的几何意义求解即可．由题意，，故选C.考点：定积分在求面积中的应用7、试题分析：根据向量的坐标运算和题意求出，利用向量相等的条件列出方程组，求出m的值即可；，故选C．考点：平面向量坐标运算8、试题分析：根据特称命题的否定是全称命题，即可得到结论．原命题为特称命题，故其否定为全称命题，故选D考点：命题的否定9、试题分析：由题根据所给集合满足条件化简集合，然后根据交集定义求解即可.,故选D 考点：交集运算10、试题分析：对四个命题分别进行判断，即可得出结论．对于A，若，则根据直线与平面垂直的性质定理知：，故A正确；对于B，若，则根据直线与平面垂直的判定定理知：不正确，故B不正确；对于C，，∴由直线与平面平行的性质定理知：l与m平行或异面，故C不正确；对于D，若，则l与m平行，异面或相交，故D不正确．故选：A．考点：空间中线线，线面，面面位置关系11、试题分析：∵x、y均为正数，且x+2y=2，∴由柯西不等式可得当且仅当时，取等号.故所求式子最大值为考点：函数最值及其几何意义12、试题分析：利用消去参数将圆C的参数方程化成直角坐标方程，再将直线l的极坐标方程也化成直角坐标的方程，把圆C与直线l的方程组成方程组解出对应的方程组的解，即得到交点坐标．由圆C的参数方程消去参数化为普通方程，直线l的极坐标方程为，的直角坐标方程为：x=1；所以圆心C到直线l的距离等于1．故答案为：1．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．13、试题分析：由题根据矩阵运算首先求得A的逆矩阵，然后根据矩阵的乘法性质不难得到x,y对应的值，求得结果.由题.考点：矩阵运算14、试题分析：①由题根据所给条件直接验证即可；②假设存在满足条件的值，根据等比数列定义分析，然后根据所给条件利用系数相等求得对应的即可；③④由题根据所给条件应用累加法不难得到数列的单调性，从而判断对应命题的真假；①当b=1时，易知，故①对；②若为等比数列，设公比为q,则，，故存在使数列为等比数列；故②对；③由题可得，，所以b>1时，数列为递增数列；故③对；④由题可得所以，当时数列是递减数列，故④错.考点：等比数列的性质，数列与函数的关系15、试题分析：根据双曲线的渐近线与圆E ：相切⇔圆心（5，0）到渐近线的距离等于半径r=3，利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出．设的一条渐近线bx-ay=0．所给圆的圆心（5，0），半径r=3．∵渐近线与圆E：相切. 故答案为考点：双曲线的简单性质16、试题分析：由三棱柱的三视图可得原三棱柱的底面边长及高，三棱柱的高为2，求出底面三角形的面积，然后直接由棱柱的体积公式求体积．由棱柱的三视图可得原三棱柱的底面边长为2，底边上的高为1．故棱柱的底面面积棱柱的高h=3，故棱柱的体积V=Sh=3，故答案为：3考点：由三视图求面积，体积17、试题分析：由条件求得,然后运用和角公式求解即可..考点：三角函数化简求值。
2015厦门质检 福建省厦门市2015届高中毕业班3月质量检查考数学理试题 Word版含答案
厦门市2015届高中毕业班质量检查考数学理试题 2015.3一、选择题（50分）1．设复数z 满足（1＋i ）＝2（i 为虚数单位），则z ＝A.1一iB.1＋i C ．一1一i D.一1＋i2.某程序框图如图所示，则输出的S 的值为A.11B. 19C. 26D. 573．设集合A ＝｛x ｜x ＜a ｝，B ＝｛x ｜x ＜3｝，则“a ＜3”是“A ⊆C B ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.如图，函数f(x)＝()sin(2)(0,||)2f x A x A πϕϕ=+><的图象过点(0，则f(x)的图象的一个对称中心是A 、（－3π，0）B 、（－6π，0）C 、（6π，0）D 、（4π，0） 5．高三年上学期期末考试中，某班级数学成绩的频率分布直方图如图所示，数据分组依次如下：［70，90），［90，110），［110，130），［130，150］．估计该班级数学成绩的平均分等于A. 112 B ．114 C ．116 D.1206.长方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2AD ，G 为CC 1中点，则直线A 1C 1与 BG 所成角的大小是A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°7、数列{n a ｝满足11111,1(*)211n n a n N a a +==-∈--学科网，则10a ＝ A. 910 B. 109 C, 1011 D. 11108.如图，正六边形ABCDEF 中，AB ＝2，则()()BC BA AF BC -+＝A. -6B. －D. 69.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且f （x －2）＝f （x ＋2），当0＜x ＜2时,f(x)＝1一log 2(x ＋1），则当0 <x <4时，不等式（x 一2）f （x ）＞0的解集是A. (0，1） (2,3）B. (0，1）（3,4）C.（1,2）（3,4） D （1,2）（2，3）10.已知函数f (x)＝321(23)()3x mx m x m R +++∈存在两个极值点12,x x ，直线l 经过 点211(,)A x x ，222(,)B x x ，记圆221(1)5x y ++=上的点到直线l 的最短距离为g （m ）， g （m ）的取值范围是A. [0,2]B. [0,3]C. [0D 、[0）第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11、62()x x -的展开式中的常数项是 （用数字作答）． 12.设变量,x y 满足约束条件260240x y y x +-≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩学科网，则y x 的最小值为＿＿＿ 13.等比数列{n a ｝的前n 项和为Sn ，已知S 3二a 1十3a 2，则公比q ＝＿＿＿．14.利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a 和b ，在a ＋b 为偶数的条件下｜a －b ｜＞2发生的概率是＿．15.如图，在平面直角坐标系xoy 中，将直线2x y =与直线x ＝1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋 转一周得到一个圆锥，圆锥的体积据此类比：将曲线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V ＝＿＿＿三、解答题：本大题共6小题：共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分）在2014-2015赛季CB A 常规赛中，某篮球运动员在最近5场比赛中的投篮次数及投中次 数如下表所示：（I)分别求该运动员在这5场比赛中2分球的平均命中率和3分球的平均命中率； （II ）视这5场比赛中2分球和3分球的平均命中率为相应的概率，假设该运动员在 第6场比赛终场前一分钟分别获得1次2分球和1次3分球的投篮机会，求该运动 员在最后一分钟内得分ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xoy 中，点P （x ，y ）满足a ·b =3，其中向量a ＝（2x +3，y ），b ＝（2x －3，y ）．（I ）求点P 的轨迹方程；（II ）过点F （0,1）的直线l 交点P 的轨迹于A ，B 两点，若｜AB ｜＝165，求直线l 的方程．18．（本小题满分13分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝2π，AC=3，BC ＝2，P 是△ABC 内的一点． （I)若P 是等腰直角三角形PBC 的直角顶点，求PA 的长；（II ）若∠BPC ＝23π，设∠PCB ＝θ，求△PBC 的面积S （θ）的解析式，并求S(θ)的最大值·19．（本小题满分13分）已知等边三角形PAB 的边长为2，四边形ABCD 为矩形，AD =4,平面PAB ⊥平面ABCD, E ，F ，G 分别是线段AB ，CD ，OD 上的点·（I ）如图（（1），若G 为线段PD 的中点，BE ＝DF ＝23，证明：PB ∥平面EFG; （II ）如图(2），若E, F 分别为线段AB ，CD 的中点，DG = 2 GP ，试问：矩形ABCD 内（包括边界）能否找到点H ，使之同时满足下列两个条件，并说明理由．（i ）点H 到点F 的距离与点H 到直线AB 的距离之差大于4；（ii ）GH ⊥PD ．20．（本小题满分14分）已知函数2411()(,())222x f x f x m =+在处的切线方程为8x －9y ＋t ＝0.（,m N t R ∈∈) （I ）求m 和t 的值； （II ）若关于x 的不等式f(x) 89ax ≤+在［1,2+∞）恒成立，求实数a 的取值范围，21．本题有（1）、（2）、（3)三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂 黑，并将所选题号填人括号中．(1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵M ＝11a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 的一个属于特征值3的特征向量11α⎛⎫ ⎪⎝⎭＝，正方形区域OABC 在矩阵N 对应的变换作用下得到矩形区域OA'B'C’，如图所示．（I ）求矩阵M;（II ）求矩阵N 及矩阵（MN ）－1．(2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xoy 中，圆C 1的参数方程为22cos (y=2sin ϕϕϕ⎧⎨⎩x=＋为参数），以坐标原点为极 点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4sin9.（I ）写出圆C 1的普通方程及圆C 2的直角坐标方程；（II)圆C 1与圆C 2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．(3）（本小题满分7分）选修4一5：不等式选讲已知函数f(x)＝｜x 一m ｜，关于x 的不等式f(x) ≤3的解集为［一1,5］．（I ）求实数m 的值；（B ）已知a ，b ，c ∈R ，且a －2b ＋2c ＝m ，求a 2＋b 2＋c 2的最小值．。
福建省厦门市2015年高中毕业班适应性考试数学理试题及答案
a5
▲．
▲．
a5( x 1)5 ,
13．一个口袋内有 5 个不同的红球， 4 个不同的白球 .若取一个红球记 2 分， 取一个白球记 1 分，从中任取 4 个球，使总分不少于 7 分的取法有 ▲ 种 .
a=0 S=1 WHILE a<3
S=S*3 a=a+1 WEND PRINT S END
14．如图，在 △ ABC 中， AD BC 0 , BC 3BD ，过点 D 的直线分别交
16．（本小题满分 13 分）
如图，平面直角坐标系 xOy 中， ABC （Ⅰ）求 AB 的长；
, ? ADC 3
p , AC 6
7 ， BCD 的面积为 3 .
（Ⅱ）若函数 f ( x) M sin( x )( M 0, 0,
பைடு நூலகம்
) 的图象经过
2
y
A, B, C 三点， 其中 A, B 为 f x 的图象与 x 轴相邻的两个交点，
.现有两种
采摘方案：
方案①：茶厂不额外聘请工人，一天采摘一块茶园的茶叶； 方案②：茶厂额外聘请工人，在 12 日采摘完全部茶叶，额外聘请工人的成本为
3.2 万元 .
根据天气预报， 该地区 5 月 12 日不降雨， 13 日和 14 日这两天降雨的概率均为 40%.每天是否下
雨不相互影响 .
（Ⅰ）若采用方案①，求茶厂 14 日当天采茶的预期收益；
下列命题中，真命题的是
A． p q
B． p q
1 C.[ ,0]
4
9 3,
；命题 q : log 1
a
1
2
2
C． p
q
3 D.[ ,6]
4 log 1 a a 0 .
数学_2015年福建省厦门市高考数学适应性试卷(理科)(含答案)
2015年福建省厦门市高考数学适应性试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数i(1+i)（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A 1+i B 1−i C −1−i D −1+i2. 随机变量ξ∼N(0, 1)，则P(1≤ξ≤2)=( )（参考数据：P(μ−σ≤ξ≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ≤ξ≤μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ≤ξ≤μ+3σ)=0.9974）A 0.0215B 0.1359C 0.1574D 0.27183. 直线y =−2x +2恰好经过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的右焦点和上顶点，则椭圆的离心率等于（ ） A √55B 12C2√55 D √524. 已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( )A f(x)=12x−1−x 3B f(x)=12x−1+x 3C f(x)=12x+1−x 3D f(x)=−12x−1−x 35. 已知实数x ，y 满足{y ≥x 2x −y +2≥0，则z =x +y 的取值范围是（ ）A (0, 6)B [−14, 6]C [−14, 0]D [34, 6]6. 命题p ：函数y =x +2x在[1, 4]上的值域为[3, 92]，命题q:log 12(a +1)>log 12a(a >0)，下列命题中，真命题的是（ ）A p ∧qB p ∨qC p ∧(￢q)D p ∨(￢q)7. 已知数列{a n }满足：当p +q =11(p, q ∈N ∗, p <q)时，a p +a q =2p ，则{a n }的前10项和S 10( )A 31B 62C 170D 1023 8.如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，点B 的坐标为(−1, 2)，点C 位于第一象限，∠AOC =α．若|BC|=√5，则sin α2cos α2+√3cos 2α2−√32= ( )A −2√55 B −√55 C √55 D 2√559. 如图1，已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，动点M ，N ，Q 分别在线段AD 1，B 1C ，C 1D 1上，当三棱锥Q −BMN 的俯视图如图2所示，三棱锥Q −BMN 正视图的面积等于( )A 12a 2 B 14a 2 C √24a 2 D √34a 210. 如图所示，由直线x =a ，x =a +1(a >0)，y =x 2及x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即a 2<∫x 2a+1a dx <(a +1)2．类比之，∀n ∈N ∗，1n+1+1n+2+...+12n<A <1n+1n+1+...+12n−1恒成立，则实数A 等于（ ）A 12B 35C ln2D ln 52二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 阅读如图所示的程序，该程序输出的结果是________．12. 设1+x 5=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+...+a 5(x −1)5，则a 1+a 2+...+a 5=________． 13. 一个口袋内有5个不同的红球，4个不同的白球．若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于7分的取法有________种．14. 如图，在△ABC 中，AD →⋅BC →=0，BC →=3BD →，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ．若AM →=λAB →，AN →=μAC →(λ>0, μ>0)，则λ+2μ的最小值是________．15. 十八世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出投针问题：在平面上画有一组间距为a 的平行线，将一根长度为l 的针任意掷在这个平面上，求得此针与平行线中任一条相交的概率p =2lπa （π为圆周率）．已知l =3.14，a =6，π≈3.14，现随机掷14根相同的针（长度为l ）在这个平面上，记这些针与平行线（间距为a ）相交的根数为m ，其相应的概率为p(m)．当p(m)取得最大值时，m =________．三、解答题：本大题共5小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.如图，平面直角坐标系xOy 中，∠ABC =π3∠ADC =π6，AC =√7，△BCD 的面积为√3． （1）求AB 的长；（2）若函数f(x)=Msin(ωx +φ)(M >0, ω>0, |φ|<π2)的图象经过A ，B ，C 三点，其中A ，B 为f(x)的图象与x 轴相邻的两个交点，求函数f(x)的解析式．17. 如图，梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD // BC ，AD =6，BC =2AB =4，E ，F 分别在线段BC ，AD 上，EF // AB ．将四边形ABEF 沿EF 折起，连接AD ，AC ．（1）若BE =3，在线段AD 上一点取一点P ，使AP =12PD ，求证：CP // 平面ABEF ； （2）若平面ABEF ⊥平面EFDC ，且线段FA ，FC ，FD 的长成等比数列，求二面角E −AC −F 的大小．18. 某茶厂现有三块茶园，每块茶园的茶叶估值为6万元．根据以往经验：今年5月12日至14日是采茶的最佳时间，在此期间，若遇到下雨，当天茶园的茶叶估值减少为前一天的一半．现有两种采摘方案：方案①：茶厂不额外聘请工人，一天采摘一块茶园的茶叶；方案②：茶厂额外聘请工人，在12日采摘完全部茶叶，额外聘请工人的成本为3.2万元．根据天气预报，该地区5月12日不降雨，13日和14日这两天降雨的概率均为40%．每天是否下雨不相互影响．（1）若采用方案①，求茶厂14日当天采茶的预期收益；（2）从统计学的角度分析，茶厂采用哪种方案更合理．19. 如图，抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，过抛物线E上的动点p作PD⊥l于点D．当∠DPF=2π3时，|PF|=4．（1）求抛物线E的方程；（2）过点P作直线m⊥DF，求直线m与抛物线E的交点个数；（3）点C是△DPF的外心，是否存在点P，使得△CDP的面积最小．若存在，请求出面积的最小值及P的坐标；若不存在，请说明理由．20. 已知函数f(x)=e x−ax（e为自然对数的底数）．（1）讨论f(x)的单调性；（2）定义：函数F(x)的定义域为D，若∃x0∈D，使F(x0)=x0成立，则称x0为F(x)的不动点．当a=1时，(I)证明：函数y=1f(x)(x>0)存在唯一的不动点x0，且x0∈(ln2, 1)；(II)已知数列{a n}满足a1=ln2，a n+1=1f(a n)(n∈N∗)，求证：∀n∈N∗，f(a2n)−f(x0)a2n−x0>f(x0)+x0−1，（其中x0为y=1f(x)(x>0)的不动点）．21、22、23三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分7分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．选修4-2：矩阵与变换21. 已知矩阵A=[a2−14]．A的一个特征值λ=2．(1)求矩阵A；(2)在平面直角坐标系中，点P(1, 1)依次在矩阵A所对应的变换σ和关于x轴对称的反射变换γ的作用下得到点P′，写出复合变换γ⋅σ的变换公式，并求出点P′的坐标．选修4-4：坐标系与参数方程22. 已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ−4sinθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为{x=1+tcosαy=−1+tsinα（t为参数）．(Ⅰ)判断直线l与曲线C的位置关系，并说明理由；(Ⅱ)若直线l和曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝3√2，求直线l的斜率．选修4-5：不等式选讲23. 已知a>0，b>0，c>0，1a3+1b3+1c3+3abc的最小值为m．（1）求m的值；（2）解关于x的不等式|x+1|−2x<m．2015年福建省厦门市高考数学适应性试卷（理科）答案1. C2. B3. A4. A5. B6. D7. B8. D9. B10. C11. 2712. 3113. 4514. 8315. 4或516. 本题满分．解：（1）∵ ∠ABC=π3，∠ADC=π6，∴ ∠BCD=π6，∠CBD=2π3，BC=BD又∵ △BCD的面积为√3，∴ S△BCD=12⋅BD⋅BC⋅sin2π3=√34BC2=√3，∴ BC=2．在△ABC中，AC=√7，∠ABC=π3，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cosπ3，即7=AB2+4−2×2×12×AB，整理得AB2−2AB−3=0，∴ AB=3，或AB=−1（舍去），∴ AB的长为3．（2）由（1）知，A(2, 0)，B(−1, 0)，C(0, √3)，∵ 函数f(x)=Msin(ωx+φ)(M>0, ω>0, |φ|<π2)的图象经过A，B，C三点，其中A，B 为f(x)的图象与x轴相邻的两个交点，∴ 函数f(x)的半个周期T2=3，对称轴为x=12，∴ T=6=2π|ω|，∵ ω>0，∴ ω=π3，∴ 12×π3+φ=π2+kπ，k∈Z，∴ φ=π3+kπ，k∈Z，又∵ |φ|<π2，∴ φ=π3，∴ f(x)=Msin(π3x+π3)，又∵ f(0)=Msinπ3=√32M=√3，∴ M=2，∴ 函数f(x)的解析式是f(x)=2sin(π3x+π3)．17. （1）证明：在梯形ABCD中，AD // BC，EF // AB，BE=3，∴ AF=3，又AD=6，BC=4，∴ EC=1，FD=3，在线段AF上取点Q，使AQ=12QF，连接PQ、QE，∵ AP=12PD，∴ PQ // DF且PQ=13DF，∵ CE // DF且CE=13DF，∴ CE // PQ且CE=PQ，∴ 四边形ECPQ为平行四边形，∴ CP // EQ，∵ CP⊄平面ABEF，EQ⊂平面ABEF，∴ CP // 平面ABEF；（2）解：在梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD // BC ， ∴ EF ⊥AF ，EF ⊥FD ，∵ 平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF ∩平面EFDC =EF ，AF ⊂平面EFDC ， ∴ AF ⊥平面EFDC ， 设AF =x(0<x <4)，∵ EF =BA =2，∴ FD =6−x ，EC =4−x ，∴ FC =√4+(4−x)2，∵ 线段AF ，FC ，FD 的长成等比数列，∴ FC 2=AF ⋅FD ，即4+(4−x)2=x(6−x)， 化简得x 2−7x +10=0，∴ x =2或x =5（舍），以F 为原点，FE ，FD ，FA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图， 则F(0, 0, 0)，E(2, 0, 0)，C(2, 2, 0)，D(0, 4, 0)，A(0, 0, 2)， ∴ EC →=(0, 2, 0)，EA →=(−2, 0, 2)， 设m →=(x, y, z)是平面ACE 的一个法向量， 由{m →⋅EA →=0˙，得{2y =0−2x +2z =0，取z =1，得∴ m →=(1, 0, 1)， 又FC →=(2, 2, 0)，FA →=(0, 0, 2)， 设n →=(x, y, z)是平面ACF 的一个法向量， 由{n →⋅FA →=0˙，得{2x +2y =02z =0，取x =1，得n →=(1, −1, 0)， ∴ cos <m →，n →>=|m →||n →|˙=1√2⋅√2=12，∵ 二面角E −AC −F 为锐角， ∴ 二面角E −AC −F 为π3．18. 解：（1）若采用方案①，则茶厂14日当天采茶的预期收益为6×12×40%+6×12×40%+6×12×12×40%×40%+6×60%×60%=4.8（万元）；（2）若采用方案①，则三块茶园的收益为6+2×4.8=15.6（万元），若采用方案②，则三块茶园的收益为3×6−3.2=14.8（万元），故从统计学的角度分析，茶厂采用方案①更合理．19. 解：（1）过点P作PQ⊥x轴于点Q，当∠DPF=2π3时，|PF|=4，∴ |PF|=|PD|=4，则∠FPQ=π6，RT△PQF中，|QF|=|PF|sinπ6=2，又|DP|=|PF|，即有|AF|=|DP|+|QF|=6，即p=6，则抛物线E的方程：y2=12x，（2）当点P为原点O时，直线m的方程：x=0与抛物线E切于点O；设P(x0, y0)，则D(−3, y0)，F(3, 0)，k DF=−y06，即有直线m的斜率为k=6y0，直线m:y−y0=6y0(x−x0)，化简得：6x=y0y−y02+6x0，代入y2=12x得y2=2(y0y−y02+6x0)，即有y2−2y0y+y02=0，则y=y0(△=0)，则直线m与抛物线E有且只有一个交点P．（3）由已知得DP的中垂线：x=x0−32，与直线m:6x=y0y−y02+6x0联立，得到圆心C的纵坐标y C=y02−3x02−9y0，即有|BC|=|y0−y C|=|y0−y02−3x02−9y0|=|y02+364y0|，又|DP|=x0+3，则S△CDP=12|BC|⋅|DP|=|(y02+36)296y0|=196|y03+72y0+1296y0|不妨设f(y0)=y03+72y0+1296y0(y0>0)，由f′(y0)=3y02+72−1296y02=3(y0−2√3)(y02+2√3)(y02+36)y02由f′(y0)<0，得0<y0<2√3，由f′(y0)>0，得y0>2√3，则当y0=2√3时，函数f(y0)有最小值；故当点P的坐标为(1, 2√3)或(1, −2√3)时，S△CDP取得最小值4√3．20. 解：（1）f′(x)=e x−a，当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增；当a>0时，令f′(x)>0，得x>lna；令f′(x)<0，得x<lna；所以f(x)在(−∞, lna)单调递减，在(lna, +∞)单调递增．(2)(I)证明：依题意，只需研究关于x的方程1f(x)=x在R+上根的个数，而1f(x)=x⇔xf(x)−1=0，记g(x)=xf(x)−1=xe x−x2−1，g′(x)=(x+1)e x−2x，由(I)知，当a=1时，f(x)≥f(0)，即e x≥x+1>0，即g′(x)=(x+1)e x−2x>(x+1)2−2x=x2+1>0，则g(x)在R+上单调递增；又g(ln2)=2ln2−(ln2)2−1=−(ln2−1)2<0，g(1)=e−2>0，函数g(x)的图象在R+上连续不断，则存在唯一x0∈(ln2, 1)，使得g(x0)=0，则函数y=1f(x)在R+上存在唯一的不动点x0，且x0∈(ln2, 1)．(II)证明：要证不等式f(a2n)−f(x0)a2n−x0>f(x0)+x0−1成立，只需证(e a2n−a2n)−(e x0−x0)a2n−x0>(e x0−x0)+x0−1成立，即证e a2n−e x0a2n−x0>e x0．…(∗)下面用数学归纳法证明：∀n∈N∗，a2n>x0，①当n=1时，由(I)得，f(x)在(0, +∞)上单调递增，由(I)得，0<ln2<x0，即有f(ln2)<f(x0)，又a2=1f(a1)，即有a2=1f(ln2)>1f(x0)=x0，即a2>x0，则n=1时，结论成立．②假设n=k(k∈N∗)时，结论成立，即a2k>x0，由f(x)在(0, +∞)上单调递增，且a2k>x0>0，则f(a2k)>f(x0)>f(0)=1，则0<1f(a2k)<1f(x0)，又a2k+1=1f(a2k)<1f(x0)=x0，所以0<a2k+1<x0，则f(0)<f(a2k+1)<f(x0)，a2k+2=1f(a2k+1)>1f(x0)=x0，即a2k+2>x0．即有n=k+1时，结论成立．根据①，②可得，∀n∈N∗，a2n>x0，所以要证不等式(∗)成立，只需证e a2n−e x0>e x0(a2n−x0)成立，即证e a2n−a2n e x0>e x0−x0e x0…(∗∗)记ℎ(x)=e x−xe x0(x≥x0)，由ℎ′(x)=e x−e x0≥0，当且仅当x=x0取到等号，则ℎ(x)在[x0, +∞)上单调递增，由∀n∈N∗，a2n>x0，即有ℎ(a2n)>ℎ(x0)，即(∗∗)式成立．即f(a2n)−f(x0)a2n−x0>f(x0)+x0−1，命题得证．21. 解：矩阵M 的特征多项式f(λ)=(λ−a)(λ−4)+2， 又∵ 矩阵M 的一个特征值为2， ∴ f(2)=0，∴ a =1，由γ⋅σ=[100−1][12−14]=[121−4]，设P′(x, y)，则[121−4][11]=[x y ]，∴ x =3，y =−3， ∴ P′(3, −3)．22. （1）∵ 曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ−4sinθ， ∴ ρ2＝2ρcosθ−4ρsinθ，∴ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2＝2x −4y ，即(x −1)2+(y +2)2＝5， ∵ 直线l 过点(1, −1)，且该点到圆心的距离为√(1−1)2+(−1+2)2<√5， ∴ 直线l 与曲线C 相交．（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 过圆心，|AB|＝2√5≠3√2，因此直线l 必有斜率，设其方程为y +1＝k(x −1)，即kx −y −k −1＝0， 圆心到直线l 的距离d =√k 2+1=(√2) 解得k ＝±1，∴ 直线l 的斜率为±1．23. 解：（1）∵ a >0，b >0，c >0，1a 3+1b 3+1c 3≥3√1a 3⋅1b 3⋅1c 33=3abc ， ∴1a3+1b3+1c3+3abc ≥3abc+3abc ≥2√3abc⋅3abc =6，当且仅当a =b =c =1时，取等号，故最小值m =6．（2）∵ m =6，则|x +1|−2x <6，即|x +1|<6+2x ，−6−2x <x =1<6+2x ， 求得x >−73，故原不等式的解集为(−73, +∞)．。
福建省厦门市高考数学适应性试卷(理科)(2)
福建省厦门市高考数学适应性试卷（理科）（2）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高二上·承德期末) 若i为虚数单位，且复数z满足，则复数z的虚部是（）A . 2iB . -2iC . 2D . -22. （2分）下列四个判断：①某校高三（1）班的人和高三（2）班的人数分别是m和n，某次测试数学平均分分别是a,b，则这两个班的数学平均分为；②从总体中抽取的样本(1,2.5),(2,3.1),(3,3.6),(4,3.9),(5,4.4)则回归直线y=bx+a必过点(3,3.6)；③已知服从正态分布,且,则其中正确的个数有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个3. （2分） (2020高二上·吴起期末) 若，则的最大值为（）A .B .C .D .4. （2分）已知a=log94，b=log64，c= ，则a，b，c的大小关系为（）A . a＞b＞cB . b＞a＞cC . c＞a＞bD . c＞b＞a5. （2分）(2017·南昌模拟) 已知θ是第一象限角，且，则的值是（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·重庆模拟) 某几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图是全等的正三角形，其俯视图中，半圆的直径是等腰直角三角形的斜边，若半圆的直径为2，则该几何体的体积等于（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二下·长治期中) 双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D . 28. （2分）过坐标原点O作单位圆的两条互相垂直的半径，若在该圆上存在一点，使得（），则以下说法正确的是（）A . 点一定在单位圆内B . 点一定在单位圆上C . 点一定在单位圆外D . 当且仅当时，点在单位圆上9. （2分）若函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0）为偶函数，则函数f（x）在区间[0,]上的取值范围是（）A . [﹣1，0]B . [-,0]C . [0,]D . [0，1]10. （2分）(2018·杭州模拟) 已知三棱锥的底面为正三角形, ,平面与平面所成的锐二面角分别为，则（）A .B .C .D .11. （2分）(2020·上饶模拟) 已知，不等式对成立，则的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分）口袋中装有大小、材质都相同的6个小球，其中有3个红球、2个黄球和1个白球，从中随机摸出1个球，那么摸到红球或白球的概率是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一下·抚顺期末) 为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得如下实验数据，计算得回归直线方程为 .由以上信息，得到下表中的值为________.14. （1分） (2018高二上·无锡期末) 如果一个圆锥的侧面积与其底面积之比是5:3，那么该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为________．15. （1分） (2017高一下·包头期末) 椭圆的离心率为，则的值为________.16. （1分） (2018高三上·嘉兴期末) 在锐角中，内角所对的边分别是，若，则的取值范围是________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （15分） (2016高一下·江阴期中) 已知数列{an}满足an+1= an+t，a1= （t为常数，且t≠ ）．（1）证明：{an﹣2t}为等比数列；（2）当t=﹣时，求数列{an}的前几项和最大？（3）当t=0时，设cn=4an+1，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．18. （10分）(2016·德州模拟) 连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为ai ，若存在正整数k，使a1+a2+…+ak=6，则称k为你的幸运数字．（1）求你的幸运数字为3的概率；（2）若k=1，则你的得分为5分；若k=2，则你的得分为3分；若k=3，则你的得分为1分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记0分，求得分X的分布列和数学期望．19. （15分） (2015高三上·天津期末) 已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AB=2，AD=1，∠ABC=60°，E为A1C的中点（1）求证：D1E∥平面BB1C1C；（2）求证：BC⊥A1C；（3）若A1A=AB，求二面角A1﹣AC﹣B1的余弦值．20. （5分）(2018·齐齐哈尔模拟) 设抛物线的顶点为坐标原点,焦点在轴的正半轴上,点是抛物线上的一点，以为圆心,2为半径的圆与轴相切,切点为 .(I)求抛物线的标准方程:(Ⅱ)设直线在轴上的截距为6,且与抛物线交于 ,两点,连接并延长交抛物线的准线于点 ,当直线恰与抛物线相切时,求直线的方程.21. （10分） (2019高三上·中山月考) 已知函数（且）.（1）讨论函数的单调性；（2）若，讨论函数在区间上的最值.22. （10分）(2018·安徽模拟) 在直角坐标系中，圆的参数方程为为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为。