高二数学选修4-5柯西不等式导学案(1)

§3.1.1

柯西不等式(1) 姓名

高二数学备课组

一 学习目标： 1. 掌握二维柯西不等式的几种形式并会简单应用，理解它们的几何意义；

2. 会证明二维柯西不等式及向量形式

二 自主学习：(学习教材31页——34页完成下列内容)

1. 定理1 如果,a b R ∈, 那么22

2a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.

当0,0a b >>时，由22

2a b ab +≥⇒基本不等式：

2. 如果么222a b ab +≥， 222c d cd +≥⇒2222()()a b c d ++≥

另一方面，有22222()2ac bd a c b d abcd +=++≥

问题：2222()()

a b c d ++2()ac bd +

???

3. 柯西不等式：若,,,a b c d R ∈，则22222()()

()a b c d ac bd +++.

当且仅当 时, 等号成立. 即二维形式的柯西不等式. 证法1.（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222(

)()()ac bd =++

当且仅当 时, 等号成立.

∴ . 得证.

证法2.（向量法）设向量(,)m a b = ，(,)n c d =

， 则||m = ，||n = .

∵ m n ⋅=

，且><⋅⋅=⋅n m n m n m ,cos ||||，有||||||n m n m ⋅⋅.

∴ . 得证.

2. 二维柯西不等式的变式： 变式1.若,,,a b c d R ∈，则||2

222bd ac d c b a ++⋅+ 或bd ac d c b a ++⋅+2222；

变式2. 若,,,a b c d R ∈，则2222

22()()a b c d a c b d +++-+- ；

变式3. 若1122,,,x y x y R ∈，则2222

2211221212()()x y x y x x y y +++-+-.

几何意义:

三 课堂互动探究：

4422332 ,()()()1a b a b a b a b ++≥+已知为实数,

证明例

*11

,,b 1,

42a b R a a b

∈+=+≥设求证例

511023y x x =-+-求函数的最大值例

例4 22231,49,x y x y +=+若求的最小值并求最小值点.

四 学习评价：

221.,,10,( )a b R a b a b ∈+=-若且则的取值范围是

A.-2

5,2

5

⎡⎤⎣⎦

.2

10,210B ⎡⎤-⎣⎦ .10,10C ⎡⎤-⎣⎦

.5,

5D ⎡⎤-

⎣⎦

.

222.

1,23( )x y x y +=+已知那么的最小值是

3.2121______y x x =-++函数的最大值为

224,

,326,2______

x y x y P x y +≤=+设实数满足则的最大值是

五 学习小结：

六 课后作业：1教材36页习题第1 3 4 6 7 9题

2选作36页习题第5 8题