2017山西中考数学复习--一元二次方程课件
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《一元二次方程》PPT课件
你目前所拥有的都将随着你的死亡而成为他人的，那为何不现在就乐施给真正需要的人呢？ 能克服困难的人，可使困难化为良机。 人生道路上既有坦道，又有泥泞；既有美景，又有陷阱，只有坚定信念又勇往直前的人才能到达胜利的终点。 每一个人都拥有生命，但并非每个人都懂得生命，乃至于珍惜生命。不了解生命的人，生命对他来说，是一种惩罚。 当我微笑着说我很好的时候，你应该对我说，安好就好。 取得成就时坚持不懈，要比遭到失败时顽强不屈更重要。——拉罗什夫科 要了解一个人，只需要看他的出发点与目的地是否相同，就可以知道他是否真心的。 书籍是造就灵魂的工具。 有志始知蓬莱近，无为总觉咫尺远。
x
根据方盒的底面积为3600cm2,
得 (100 2x)(50 2x) 3600
3600
100㎝
50㎝
即 x2 75x 350 0
问题(2) 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队 之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程 计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀 请多少个队参加比赛?
1.本节学习的数学知识是：
（1）一元二次方程的概念（2）一元二次方程的一般形式 2、学习的数学思想方法是 转化、建模思想。
3、如何理解一元二次方程的一般形式
ax2 bx c 0 (a≠0)？
（1）(a≠0)是成为一元二次方程的必要条件
找一元二次方程的二次项、一次项
（2）系数及常数项要先化为一般式
解：设竹竿的长
为x尺,则门的宽 度为(x－4)尺,长 为 (x－2)尺,依题 意得方程：
2尺 x
(x－4)2＋ (x －2)2＝ x2 即 x2－12 x ＋20 ＝x－0 4
数学化 x－2
4尺
练习巩固
1.根据题意，列出方程：
中考数学复习《2.3一元二次方程》课件
7 ∴x1= 3
x2 = -1
4、用分解因式法解方程：把y+2看作一个 （y+2)2=3(y+2） 未知数，变成 解:原方程化为 （y+2) 2- 3(y+2)=0 (y+2)(y+2-3)=0 (y+2)(y-1)=0 y+2=0 或 y-1=0 ∴y1=-2 y2=1
(ax+b)(cx+d)=0 形式。
考点四 一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题的步骤
和列一元一次方程(组)解应用题步
骤一样，即审、设、列、解、验、 答六步．
例:解下列方程
１、用直接开平方法： (x+2)2=９
解:两边开平方, 得: x+2= ±3
右边开平方 后，根号前 取“±”。
∴ x=-2±3
∴ x1=1, x2=-5
个实数根，现给出三个结论：
①x1≠x2; ②x1x2＜ab; ③x12+x22＜a2+b2. ①② 则正确结论的序号是____________. （填
上你认为正确结论的所有序号）
4. (2013•黔西南州)已知x=1是一元二 次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数
式a2+b2+2ab的值是_______________ . 1
考点三 根与系数的关系 2 关于 x 的一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0(a≠0)的根 2 的判别式为 b －4ac. 2 2 1．b －4ac＞0⇔一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0 (a≠0)有两个不相等的实数根， －b± b2－4ac 则 x1,2＝ ； 2a 2 2 2．b －4ac＝0⇔一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0 b (a≠0)有两个相等的实数根，即 x1＝x2＝－ ； 2a 3．b2－4ac＜0⇔一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)没有实数根；
x2 = -1
4、用分解因式法解方程：把y+2看作一个 （y+2)2=3(y+2） 未知数，变成 解:原方程化为 （y+2) 2- 3(y+2)=0 (y+2)(y+2-3)=0 (y+2)(y-1)=0 y+2=0 或 y-1=0 ∴y1=-2 y2=1
(ax+b)(cx+d)=0 形式。
考点四 一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题的步骤
和列一元一次方程(组)解应用题步
骤一样，即审、设、列、解、验、 答六步．
例:解下列方程
１、用直接开平方法： (x+2)2=９
解:两边开平方, 得: x+2= ±3
右边开平方 后，根号前 取“±”。
∴ x=-2±3
∴ x1=1, x2=-5
个实数根，现给出三个结论：
①x1≠x2; ②x1x2＜ab; ③x12+x22＜a2+b2. ①② 则正确结论的序号是____________. （填
上你认为正确结论的所有序号）
4. (2013•黔西南州)已知x=1是一元二 次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数
式a2+b2+2ab的值是_______________ . 1
考点三 根与系数的关系 2 关于 x 的一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0(a≠0)的根 2 的判别式为 b －4ac. 2 2 1．b －4ac＞0⇔一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0 (a≠0)有两个不相等的实数根， －b± b2－4ac 则 x1,2＝ ； 2a 2 2 2．b －4ac＝0⇔一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0 b (a≠0)有两个相等的实数根，即 x1＝x2＝－ ； 2a 3．b2－4ac＜0⇔一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)没有实数根；
人教版初三数学一元二次方程全章复习课件PPT
配方法 公式法 x b b2 4ac (b2 4ac 0)
2a
因式分解法
初中数学
7
3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式 (1) △=b2-4ac
(2) 一元二次方程根的情况
△>0 方程有两个不等的实数根； △=0 方程有两个相等的实数根； △<0 方程无实数根.
初中数学
8
初中数学
14
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (1) 求证：方程总有两个实数根；
(1) 证明：△=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2) =(k+3)2-8k-8 = k2-2k+1 =(k-1)2.
∵(k-1)2≥0, ∴方程总有两个实数根.
初中数学
15
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (2) 若方程有一个根小于1,求k的取值范围．
知识回顾与例题
1. 一元二次方程的概念 等号两边都是整式,只含有一个未知数 (一元),并 且未知数的最高次数是2 (二次) 的方程.
一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
初中数学
4
初中数学
知识结构
实际问题 实际问题的答案
一元二次方程 ax2+bx+c=0 解 方 程
方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根
3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式
(3) 一元二次方程根的判别式的应用
➢不解方程,判断 (证明) 方程根的情况. ➢ 已知方程根的情况,确定方程中字母的值或
2a
因式分解法
初中数学
7
3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式 (1) △=b2-4ac
(2) 一元二次方程根的情况
△>0 方程有两个不等的实数根； △=0 方程有两个相等的实数根； △<0 方程无实数根.
初中数学
8
初中数学
14
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (1) 求证：方程总有两个实数根；
(1) 证明：△=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2) =(k+3)2-8k-8 = k2-2k+1 =(k-1)2.
∵(k-1)2≥0, ∴方程总有两个实数根.
初中数学
15
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (2) 若方程有一个根小于1,求k的取值范围．
知识回顾与例题
1. 一元二次方程的概念 等号两边都是整式,只含有一个未知数 (一元),并 且未知数的最高次数是2 (二次) 的方程.
一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
初中数学
4
初中数学
知识结构
实际问题 实际问题的答案
一元二次方程 ax2+bx+c=0 解 方 程
方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根
3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式
(3) 一元二次方程根的判别式的应用
➢不解方程,判断 (证明) 方程根的情况. ➢ 已知方程根的情况,确定方程中字母的值或
中考数学总复习考点知识讲解课件30---一元二次方程及其应用
C．x2－x＋1＝0
D．x2＝1
百变四：已知方程系数关系，判断方程根的情况 4．(2016·河北)a，b，c为常数，且(a－c)2＞a2＋c2，则关于x的方程ax2 ＋bx＋c＝0的根的情况( ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为0
【解析】 ∵(a－c)2＝a2＋c2－2ac＞a2＋c2，∴ac＜0.∴在方程ax2＋bx＋ c＝0中，b2－4ac≥－4ac＞0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数 根．故选B.
【自主解答】 解：(1)四 x＝ (2)x2－2x－24＝0， 移项，得x2－2x＝24， 配方，得x2－2x＋1＝24＋1， 即(x－1)2＝25， 两边开平方，得x－1＝±5， ∴x1＝6，x2＝－4.
解一元二次方程的注意点
(1)在运用公式法解一元二次方程时，要先把方程化为一般形式，再确定 a，b，c的值，否则易出现符号错误； (2)用因式分解法确定一元二次方程的解时，一定要保证等号的右边化为 0，否则易出现错误； (3)如果一元二次方程的常数项为0，不能在方程两边同时除以含有未知数 的相同因式； (4)对于含有不确定量的方程，需要把求出的解代入原方程检验，避免增 根．
知识点二 一元二次方程的解法
x＝b b2 4ac 2a
知识点三 一元二次方程根的判别式
b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式．判别式 的符号决定了方程根的情况，即
(1)b2－4ac>0⇔方程有两个 _不__相__等__的实数根；
(2)b2－4ac_＝__0⇔方程有两个相等的实数根； (3)b2－4ac<0⇔方程__没__有___实数根．
【分析】由每个月的平均增长率相同，可分别表示二月份和三月份的工业 产值，再结合第一季度总产值为175亿元列方程即可． 【自主解答】由平均每月增长的百分率为x，则二月的工业产值为50(1＋x) 亿元，三月的工业产值为50(1＋x)2 亿元，则根据题意可得方程：50＋ 50(1＋x)＋50(1＋x)2＝175，故选D.
初三数学中考专题复习 一元二次方程 课件(共22张PPT)
• 8、若9am2-4m+4与5a9是同类项，则m= ___
• 9、某商场将进货价为30元的台灯以40元售 出，平均每月能售出600个，调查表明：， 这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就 将减少10个，若销售利润率不得高于100% ，为了实现平均每月10000元的销售利润， 这种台灯的售价应定为多少？这时应进台 灯多少个？
• 5、 若x，y为矩形的边长，且(x＋y＋4)(x ＋y＋5)＝42， 则矩形的周长为___．
• 6、如果正整数a是一元二次方程x2－3x＋ m＝0的一 个根，－a是一元二次方程
• x2＋3x－m＝0的一个 根，则a＝____．
• 7、一元二次方程ax2+bx+c=0，若x=1是它 的一个根，则 a+b+c= ___,若a-b+c=0， 则方程必有一根为___
运动与方程
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，
AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、
B速两点出发分别沿AC，BC方向 A
向点C匀运动，它们的速度都是 P 1m/s，几秒后四边形APQB的面积
为Rt△ACB面积的1\3？
C
QB
几何与方程
1.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正 方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3, 求原铁皮的边长.
适应于左边能分解为两个一次因式的积右边是00的方程一一元二次方程的定义1判断下面方程是不是一元二次方程14xx2023x2y103ax?bxc04853xx13????122方程m2xm3mx40是关于x的一元二次方程则m3方程m21x2m1x2m10当m时是一元二次方程
第二章 一元二次方程 复习
把握住：一个未知数，最高次数是2，
• 9、某商场将进货价为30元的台灯以40元售 出，平均每月能售出600个，调查表明：， 这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就 将减少10个，若销售利润率不得高于100% ，为了实现平均每月10000元的销售利润， 这种台灯的售价应定为多少？这时应进台 灯多少个？
• 5、 若x，y为矩形的边长，且(x＋y＋4)(x ＋y＋5)＝42， 则矩形的周长为___．
• 6、如果正整数a是一元二次方程x2－3x＋ m＝0的一 个根，－a是一元二次方程
• x2＋3x－m＝0的一个 根，则a＝____．
• 7、一元二次方程ax2+bx+c=0，若x=1是它 的一个根，则 a+b+c= ___,若a-b+c=0， 则方程必有一根为___
运动与方程
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，
AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、
B速两点出发分别沿AC，BC方向 A
向点C匀运动，它们的速度都是 P 1m/s，几秒后四边形APQB的面积
为Rt△ACB面积的1\3？
C
QB
几何与方程
1.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正 方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3, 求原铁皮的边长.
适应于左边能分解为两个一次因式的积右边是00的方程一一元二次方程的定义1判断下面方程是不是一元二次方程14xx2023x2y103ax?bxc04853xx13????122方程m2xm3mx40是关于x的一元二次方程则m3方程m21x2m1x2m10当m时是一元二次方程
第二章 一元二次方程 复习
把握住：一个未知数，最高次数是2，
一元二次方程数学PPT课件
解得：m=20
∴ 方程的解为：x1=55， x2=15。
D 拓展训练 ● 推导求根公式 ● 几何意义 ● 韦达定理
拓展训练 之 求根公式推导
一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）求根公式推导过程如下：
第一步：约分
第二步：配方
第三步：通分
第四步：开平方
拓展训练 之 几何意义
一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的几何意义
整理，得x2-36x+35=0.
解方程，得x1=1，x2=35. x2=35不合题意舍去，所以 x=1.
答:道路宽为1米.
解应用题 之 精选例题
【数学问题】
5、一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为5;把十位上的数字与个位上数字互 换后再乘以原数得736，求原来两位数. 解:设原来两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为(5-x)，原来的两位数就是: 10(5-x)+x，新的两位数就是:10x+(5-x).可列出方程:
【例题】
1、解方程 x²-8x+15=0 解：利用十字相乘法，-8=-3-5， 15=3×5
∴原式可化为(x-3)(x-5)=0 ∴ x1=3；x2=5
方程解法 之 基本方法 • 配方法
【之三 配方法】
将一元二次方程配成(x+m)2=n 的形式，再利用直接开平方法求解的方法。配方法 的理论依据是完全平方公式。配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1， 然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
基本步骤
①把原方程化为一般形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根； 如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
2017年山西省中考一轮章节考点复习课件：第7讲 一元二次方程及其应用
(x－3)(x－9)＝0，
∴x－3＝0或x－9＝0， ∴x1＝3，x2＝9
命题点2：一元二次方程的实际应用
1．(2014·山西22(2)题5分)某项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的
矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56 米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道 (如图所示)，问人行
通道的宽度是多少米？(导学号 02052085)
解：设人行通道的宽度是 y 米．根据题意，得(20－3y)· (8－2y)＝56，解 26 得 y1＝2，y2＝ 3 (不合题意，舍去)，答：人行通道的宽度是 2 米
2．(2012·山西24题10分 )某山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克
40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查
发现，单价每降价2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若该专卖店 销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
(1)每千克核桃应降价多少元？
(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该 店应按原售价的几折出售？
x 解：(1)设每千克核桃降价 x 元．根据题意，得(60－x－40)(100＋2×20) ＝2240，化简得 x2－10x＋24＝0，解得 x1＝4，x2＝6，答：每千克核桃 应降价 4 元或 6 元； (2)由(1)可知，每千克核桃可降价 4 元或 6 元，因为要尽可能多地让利于 54 顾客，所以每千克核桃应降价 6 元，此时：售价为 60－6＝54(元)，60 ×100%＝90%，答：该店应按原售价的九折出售
③其他几何图形问题：如线段、周长等．
(3)面积问题常见类型：
①如图①，阴影部分面积为：S＝(a－2x)(b－2x)；
山西中考数学复习第二单元方程(组)与不等式(组)第7讲一元二次方程及其应用课件
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2.一元二次方程的解法
a ,这种解一元 (1)直接开平方法:形如x2=a(a≥0)的一元二次方程,其解为x=±
二次方程的方法叫做直接开平方法. (2)配方法:一个一元二次方程化成一般形式后,在方程的两边都加上某一常
n∓ 数使方程转化成(x±m)2=n的形式,再通过直接开平方法求解,其解为x=±
m,这种方法称为配方法. (3)公式法:将一元二次方程一般形式中的各系数代入一元二次方程的求根公
b b 2 4ac 式即可求解.一元二次方程的求根公式是x1,2= . 2a
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(4)因式分解法:当方程的一边为0,另一边可以分解为两个一次因式的积的形 式时,可用因式分解法求解,其依据是若ab=0,则②a=0或b=0. 注意:用配方法解一元二次方程的关键是方程两边同除以二次项的系数,使二 次项系数化为1,重点是配方.解一元二次方程的基本思想方法是③降次.
积;
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(4)“道路”问题的解题思路:将被道路分成的若干块部分组合成新的图形, 从而使组合图形的面积与原面积存在数量关系; (5)其他问题模型:单循环问题、感冒传染问题、互赠贺卡问题、黄金分割问 题等.
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学法提点 要充分利用题设中的已知条件,善于分析题中隐含的条件,挖掘其隐含关 系.由于一元二次方程通常有两个根,所以要根据题意对两根加以检验.判断 或确定方程的根与实际背景和题意是否相符,并将不符合题意和实际意义的 根舍去.
∵b2-4ac=(-12)2-4×1×27=36>0,
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12 36 12 6 ∴x= = =6±3. 2 1 2
2017人教版中考数学第7讲《一元二次方程》
方法总结 要求关于 x1 和 x2 的某个代数式的值，先把这个代 数式变形为 x1＋x2 和 x1x2 表达的式子，再把 x1＋x2 和 x1x2 的值整体代入；若给出了关于 x1 和 x2 的某个代数 式的值或范围，要求系数中的未知字母的值或范围，先 把这个代数式变形为用 x1＋x2 和 x1x2 表达的式子， 然后 根据所给的值或取值范围，构造方程或不等式解决，若 二次项系数中有字母，要注意二次项系数不为 0.
x＋p 2＝－ q＋p 2. 2 2
p x1＝－ ＋ 2 p 2 p － q＋ 2 ， x2＝－ － 2 p 2 － q＋ 2 .
3 ．公式法：如果方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a≠0) 且
2 － b ± b －4ac 2 b －4ac≥0，则 x1,2＝ . 2a
考点五
一元二次方程的应用
例 5 (2013· 广东 )雅安地震牵动着全国人民的心， 某单位 开展了“一方有难， 八方支援”的赈灾捐款活动． 第一天收 到捐款 10 000 元，第三天收到捐款 12 100 元． (1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐 款的增长率； (2)按照 (1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收 到捐款多少元？
2 2 2 2 2 2
)
7．关于 x 的一元二次方程(a－1)x2＋x＋|a|－1＝0 的一个根是 0，则实数 a 的值为( A A．－1 C．1 B．0 D．－1 或 1 解 得 a ＝ － 1. )
a－1≠0， 解析：由题意，得 |a|－1＝0，
故选 A.
8．如果关于 x 的一元二次方程 kx － 2k＋ 1x＋ 1 ＝ 0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是 ( D ) 1 B． k＜ 且 k≠ 0 2 1 1 D．－ ≤ k＜ 且 k≠ 0 2 2 1 A． k＜ 2 1 1 C．－ ≤k＜ 2 2
中考数学第1讲第3课时一元二次方程[配套课件]
![中考数学第1讲第3课时一元二次方程[配套课件]](https://img.taocdn.com/s3/m/9dfda82db52acfc789ebc962.png)
8.(2018 年辽宁大连)如图2-1-3，有一张矩形纸片，长10 cm， 宽 6 cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成 一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是 32 cm2，求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是
x cm，根据题意可列方程为(
)
图 2-1-3 A.10×6－4×6x＝32 C.(10－x)(6－x)＝32 答案：B B.(10－2x)(6－2x)＝32 D.10×6－4x2＝32
)
2.(2018 年江苏盐城)已知一元二次方程 x2＋k－3＝0 有一个
根为 1，则 k 的值为( A.－2 答案：B )
B.2
C.－4
D.4
3.方程 x2＋x－2＝0 的根为____________________. 答案：x1＝1，x2＝－2 4.(2017 年甘肃张掖)若关于 x 的一元二次方程(k－1)x2＋4x ＋1＝0 有实数根，则 k 的取值范围是__________________. 答案：k≤5，且 k≠1 5.(2017 年黑龙江龙东)原价 100 元的某商品，连续两次降 价后售价为 81 元，若每次降低的百分率相同，则降低的百分率
2
为(
)
12 A.y＋2 ＝1 12 B.y－2 ＝1 12 3 C.y＋2 ＝4 12 3 D.y－2 ＝4
答案：B
2.(2018 年江苏淮安)一元二次方程 x2－x＝0 的根是_____ _____. 答案：x1＝0，x2＝1
一元二次方程 根的判别式
(续表) 知识点
一元二次 方程的应用
内容 列一元二 (1) 审题； (2) 设未知数； (3) 列一元二 次方程解 次方程； (4) 解一元二次方程； (5) 检 应用题的 验；(6)作答 一般步骤
山西省太原市2017届中考数学复习讲义第1讲一元二次方程的判别式及根系关系(pdf)
得 k 1， b c k 2 3， c 2 ，这与 a b c 矛盾，故 a 不能为腰．
12．已知 x1 、 x2 是关于 x 的一元二次方程 4x2 4(m 1)x m2 0 的两个非零实数根，问： x1 与 x2 能否同号？若能同号请求出相应的 m 的取值范围；若不能同号，请说明理由．
第一讲 一元二次方程的判别式及根系关系
一、知识摘要
1．一元二次方程根的判别式的定义
运用配方法解一元二次方程过程中得到 (x b )2 b2 4ac ，显然只有当 b2 4ac 0 时，才
2a
4a2
能直接开平方得： x b b2 4ac ．
2a
4a2
也就是说，一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 只有当系数 a 、b 、c 满足条件 b2 4ac 0
4．韦达定理
如果 ax2
bx c
0(a
0)
的两根是
x1 ， x2
，则
x1
x2
b a
， x1x2
c a
．（隐含的条件：
0）
特别地，当一元二次方程的二次项系数为 1 时，设 x1 ， x2 是方程 x2 px q 0 的两个根，则 x1 x2 p ， x1 x2 q ．
5．韦达定理的逆定理
时才有实数根．这里 b2 4ac 叫做一元二次方程根的判别式．
2．判别式与根的关系 在实数范围内，一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的根由其系数 a 、b 、c 确定，它的根的情
况（是否有实数根）由 b2 4ac 确定． 设一元二次方程为 ax2 bx c 0(a 0) ，其根的判别式为： b2 4ac 则
【解析】⑴由题意可得： (k 2)2 8k （k 2)2 0
12．已知 x1 、 x2 是关于 x 的一元二次方程 4x2 4(m 1)x m2 0 的两个非零实数根，问： x1 与 x2 能否同号？若能同号请求出相应的 m 的取值范围；若不能同号，请说明理由．
第一讲 一元二次方程的判别式及根系关系
一、知识摘要
1．一元二次方程根的判别式的定义
运用配方法解一元二次方程过程中得到 (x b )2 b2 4ac ，显然只有当 b2 4ac 0 时，才
2a
4a2
能直接开平方得： x b b2 4ac ．
2a
4a2
也就是说，一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 只有当系数 a 、b 、c 满足条件 b2 4ac 0
4．韦达定理
如果 ax2
bx c
0(a
0)
的两根是
x1 ， x2
，则
x1
x2
b a
， x1x2
c a
．（隐含的条件：
0）
特别地，当一元二次方程的二次项系数为 1 时，设 x1 ， x2 是方程 x2 px q 0 的两个根，则 x1 x2 p ， x1 x2 q ．
5．韦达定理的逆定理
时才有实数根．这里 b2 4ac 叫做一元二次方程根的判别式．
2．判别式与根的关系 在实数范围内，一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的根由其系数 a 、b 、c 确定，它的根的情
况（是否有实数根）由 b2 4ac 确定． 设一元二次方程为 ax2 bx c 0(a 0) ，其根的判别式为： b2 4ac 则
【解析】⑴由题意可得： (k 2)2 8k （k 2)2 0
山西省太原市2017届中考数学复习讲义第2讲一元二次方程综合应用(pdf)
在 b2 4ac≥0 的条件下，我们有如下结论：
⑴当 c 0 时，方程的两根必一正一负．若 b ≥ 0 ，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若
a
a
b 0 ，则此方程的正根小于负根的绝对值． a
⑵当 c 0 时，方程的两根同正或同负．若 b 0 ，则此方程的两根均为正根；若 b 0 ，
5
；当 k
0 时， x 1
12．当 m 为何整数时，方程 2x2 5mx 2m2 5 有整数解． 【解析】方法一：
将方程 2x2 5mx 2m2 5 左边因式分解可得 (2x m)(x 2m) 5
故
2x m
x
2m
5 1
，或
2x m
x
2m
1 5
，或
2x m
x
2m
当三角形的三边是 4，4，2 时，则三角形的周长是 4+4+2=10．
综上所述此三角形的周长是 6 或 12 或 10．
5．已知一元二次方程 x2 2x m 0 ． （1）若方程有两个实数根，求 m 的范围；
（2）若方程的两个实数根为 x1 ， x2 ，且 x1 3x2 3 ，求 m 的值． 【解析】（1）∵方程 x2﹣2x+m=0 有两个实数根， ∴△=（﹣2）2﹣4m≥0， 解得 m≤1；
原式 2 2 5 5 0
8． 已知 2 2 2 1， 2 2 2 1，求 的值． 【解析】有两种情况：
⑴若 ，则 0 ；
⑵若 ，根据题意， 、 是方程 2x2 2x 1，即 2x2 2x 1 0 的根，
则
2
2 4
12
4
1 2
【解析】设每台冰箱的定价应为 x 元，依题意得（x﹣2500）（8+
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4.互赠礼物、比赛问题
(2014年天津市，第10题3分)
要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之 间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程 计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织 者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ B ）
1 A． 2 x（x+1）=28
1 B. 2
x（x﹣1）=28
C．x（x+1）=28
2
（2016· 江西· D3分）设α、β是一元二次方程
x +2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（ A．2 B．1
2
D）
C．-2
D．-1
（2016· 山东省德州市· 4分）
方程2x ﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，则 2 2 x1 +x2 =——————
2
考点五
一元二次方程的应用
1.增长率问题 2.利润问题 3.面积问题 4.互赠礼物、比赛问题 5.细胞分裂、病毒传染问题
2
2
2
考点四
一元二次方程根与系数的关系 选学
2
1． 若关于 x 的一元二次方程 ax ＋ bx＋ c＝ 0(a≠ 0) b 有两个实数根 ，分别为 x1 ， x2 ， 则 x1 ＋ x2 ＝－ ， a c x1 x2＝ . a 2． (简易形式 )若关于 x 的一元二次方程 x ＋ px＋ q ＝ 0 有两个实数根，分别为 x1， x2，则 x1＋ x2＝－ p， x1 x2＝ q.
D.x（x﹣1）=28
一组学生，每人送给小组其他成员一张 照片作为毕业留念，共计210张。设这一组 学生有x人，则可列出方程_________
x( x 1) 210
5.细胞分裂、病毒传染问题 有一人患了流感，经过两轮传染后共有 169人患了流感，每轮传染中平均一个人传 染了几个人？
考点六
1.增长率问题 （2011山西15题3分）
“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强 省，以旅游业为龙头的服务业将成为推动山西经 济发展的丰要动力．2010年全省全年旅游总收 入大约l000亿元，如果到2012年全省每年旅游总 收入要达到1440亿元，那么年平均增长率应为 ___________。
（2015•四川省宜宾市，第13题，3分）
某楼盘2013年房价为每平方米8100 元，经过两年连续降价后，2015年房价 为7600元.设该楼盘这两年房价平均降低 率为x，根据题意可列方程为______
某厂一月份的产值为100万元，第一 季度的产值为331万元，若每个月的增长 率均为x，则可列出方程__________
100 100(1 x) 100(1 x) 331
一元二次方程与二次函数的关系
2 2
（2014年江苏南京，第24题）
已知二次函数y=x ﹣2mx+m +3（m是常 数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象 与x轴没有公共点.
课标要求
理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法 解数字系数的一元二次方程。 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况。 了解一元二次方程的根与系数的关系。 能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方 程是刻画现实世界数量关系的有效模型。 能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否 合理。
(3)b － 4ac＜ 0⇔方程没有实数根．
2
（2016广西桂林· 3分）若关于x的一元二次方
程方程(k﹣1)x +4x+1=0有两个不相等的实 数根，则k的取值范围是（ B ） A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
2
(2016河北3分）
若a，b，c为常数，且(a-c) >a +c ，则 2 关于x的方程ax +bx+c=0根的情况是（B） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为0
（2012山西24题10分）
山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元， 则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销 售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能 让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折 出售？
2
2.利润问题 （2014年山东泰安，第13题3分）
某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定 的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若 每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使 每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设 每盆多植x株，则可以列出的方程是（ A ） A．（3+x）（4﹣0.5x）=15 B．（x+3）（4+0.5x）=15 C．（x+4）（3﹣0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=15
考点一
一元二次方程的定义
1.只含有1个未知数，并且未知数的最高次数 是2，这样的整式方程叫做一元二次方程，一元 2 二次方程的一般形式是ax ＋bx＋c＝0(a，b，c 是常数，且a≠0)．
2.一元二次方程的解：使一元二次方程左右 两边相等的未知数的值．
1．已知1是关于x的一元二次方程 2 (m－1)x ＋x＋1＝0的一个根，则m的 值是( B ) A．1 B．－1 C．0 D．无法确定
2
2
考点三
2
一元二次方程根的判别式
2
关于 x 的一元二次方程 ax ＋ bx＋ c＝ 0(a≠ 0)的根 (1)b － 4ac＞ 0⇔方程有两个不相等的实数根，即
2 2
的判别式为 b － 4ac，一般用符号 Δ 表示．
－ b± b － 4ac x1,2 ＝ ； 2a 2 (2)b － 4ac ＝ 0 ⇔ 方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， b 即 x1＝ x2＝－ ； 2a
3.面积问题 （2014•山西22（2）题5分） 某新建火车站站前广场绿化工程中有一块长为20米， 宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿 地，它们的面积 之和为56米2 ，两块绿地之间及周边留有 宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是 多少米？
（2014•新疆，第19题10分）
（2008山西11题3分）
一元二次方程x +3x=0的解是（ C ） A.x=-3 B.x1=0，x2=3 C.x1=0，x2=-3 D.x=3
2
（2009山西19（3）题4分）
方程：(2x-1) =x(3x+2)-7
2
（2016山西17题7分）解方程：2(x-3) =x -9
如图，要利用一面墙（墙长为25米）建 羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方 米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边 长AB，BC各为多少米？
（2015•山西23题任务一6分） 综合与实践：制作无盖盒子 任务一：如图1，有 一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一 3 个正方形，折成高为4cm，容积为616cm 的无盖长 方体盒子（纸板厚度忽略不计）． （1）请在图1的 矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表 示折痕． （2）请求出这块矩形纸板的长和宽.
（2016· 内蒙古包头· 3分）
若关于x的方程x +（m+1）x+ =0的 一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值 是（ C ） A．﹣ B． C.﹣ 或 D．1
2
（2009山西3题2分）
请你写出一个有一个根为1的一元 二次方程：——————
考点二
一元二次方程的解法
1.直接开平方法 2.因式分解法 3.配方法 4.公式法
一元二次方程
课标要求
理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法 解数字系数的一元二次方程。 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况。 了解一元二次方程的根与系数的关系。 能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方 程是刻画现实世界数量关系的有效模型。 能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否 合理。