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Z
Z'
V
Y
V
Y' X'
X
x y V z
x ' V ' y ' z '
则
x' cos 1 y ' cos 1 z ' cos 1
cos 2 cos 2 cos 2
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
20
3.6 用柯氏加速度解释: 河岸冲刷
河水的苛氏加速度: ω Vr
Ak 2 Vr
苛氏加速度向西, 对应的作用力由 东岸提供。
河水的反作用力作用在东岸上
因此东岸被冲刷得更厉害.
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
O
X
x1
y
Y y 1
x
将上述结果合并，得到从基座到 内环的变换矩阵 :
x cos y 0 z sin 0 sin 1 0 1 0 0 cos 0 cos 0 sin 0 X 1 sin Y 0 cos Z
Z
M
V
R
O
X
Y
如果点 M 相对刚体移 动呢？
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
14
3.2 速度合成定理
假设一个动(旋转)坐标系和刚体固联 当动坐标系绕其原点转动, 并且一个质点 M 相对动坐标系作相对运动, 则 M 点的绝 对速度
Z
M
V
R
~ dR d R V R dt dt
动量矩守恒：当 M = 0 H 不变
dH Mx dt x dH My dt y dH Mz dt z
H I zz
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
Ar
相对
Ae
牵连切向
Ak
苛氏
Ane
牵连法向
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
18
3.5*苛氏加速度: 示例
~ dR Ak 2 dt
牵连运动 -- 圆盘的转动 相对运动 -- 沿径向向外 上述两种运动的相互影响 牵连 相对 又可写为
cos 3 x y cos 3 cos 3 z
方向余弦阵 (Direction cosine matrix -- DCM)
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
9
2.4 Frame: step-wise rotations
I -- 刚体的转动惯量矩阵 (angular inertia matrix) 主（ principal ）转动惯量和离心（ centrifugal ）转动惯量 如果刚体相对所选坐标系的三个平面都对称, 则所有离心转动惯 量元素都为零, 于是:
H J xxi J y y j J zz k
外环相对基座转过 α 内环相对外环转过 β
通过引入外环坐标系 x1y1z1
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
10
2.5 坐标系: 第一次旋转
外框架相对基座, 绕外框架轴转过α 角 假设一个向量 R 在基座坐标系和外环坐标系中的投影分别 是 (X, Y, Z) 和 (x1, y1, z1) , 则利用投影关系: z1 Z X Y Z x1 1 0 0 y1 0 sin cos Z cos z1 0 sin cos
6
2.1 坐标系: 惯性系
Solar-centered Inertial frame (SCI 日心惯性系) Earth-centered inertial frame (ECI 地心惯性系)
North Pole
Ze
ZS
Sun
Earth
YS
Ye
XS
Equator
Xe
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
直接计算方向余弦矩阵经常较困难
X x’ y’ z’ Y Z
Z z1
z
C11 C21 C31
C12 C22 C32
C13 C23 C33
X
O
x1
Y y 1
y
x
DCM 计算可借助分步旋转.
陀螺内环相对于基座的转动 基座(Base) 坐标系 OXYZ 内环(Inner Ring)坐标系 oxyz
--- 分步:
或
0 x1 1 y 0 cos 1 z1 0 sin
0 X sin Y cos Z
Z sin
X
Y cos
y1
Y
x1 Y sin
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
13
3.1 转动引起的牵连速度
假设某刚体绕着固定点 O 以角速度 ω 转动， M 是刚体内的一点（相对刚体固定） M 的牵连(transport) 速度为: i j k V R x y z (向量叉乘) x y z ( y z z y)i ( z x x z) j ( x y y x)k 坐标系可以任意选取
M 点的动量 (momentum) = mV
M 的动量矩 (angular momentum)
h = R×mV 刚体的动量矩 H = ∑h = ∑(R×mV)
z
mV
R
V M
O
y
x
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
23
4.1 动量矩: 坐标分量表示
刚体的动量矩 H = ∑h = ∑(R×mV) 坐标分量表示
21
Outline
关于地球 相关的坐标系和坐标变换
柯氏定律和柯氏加速度
动量矩定理
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
22
4.1 动量矩: 定义
M 为刚体内一质点, 刚体绕着固定点 O 以角速度ω 旋转 M 的质量为 m, 位置为 R, 速度为 V
Ak 2 Vr
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
19
3.6 用柯氏加速度解释: 河岸冲刷
现象: 两极附近，南北方向的河 流两岸冲刷的程度不一样. 对北半球向北的河流, 东岸被冲刷 得更厉害. 该现象可以通过苛氏 (Coriolis) 加 速度得到解释.
R xi yj zk
V R xi y j z k
则刚体动量矩的坐标分量表示形式为:
z
mV
R y
V M
x
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
24
4.2 动量矩: 转动惯量矩阵
m( y 2 z 2 ) H mxy mxz x 2 2 m( x z ) myz y I m yz m( x 2 y 2 ) z mxy mxz
k
z
Bz
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
17
3.4 加速度合成定理
~ dR 速度: V R dt 加速度： ~ ~ ~ ~ dR dR d dV dV R R A V dt dt dt dt dt ~2 ~ ~ d R d dR 2 ( R) R 2 dt dt dt
这时，坐标轴称为刚体的惯性主轴 (inertial principal axes)
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals 25
4.3*动量矩定理
刚体动量矩和其所受外加力矩的关系:
dH / dt M
动量矩定理
刚体动量矩 H 的变化率等于刚 体所受到的合外力矩 M. 坐标 分量 表示:
11
2.6 坐标系: 第二次旋转
类似，从外框架到内框架，绕着内框架轴转过 β 角
Z z1
z
x cos y 0 z sin
0 sin x1 1 0 y1 0 cos z1
26
summary
关于地球 相关的坐标系和坐标变换
绝对 速度
相对 速度 牵连 速度
O
X
Y
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
15
3.3*推广: 苛氏定律
~ dR d R R dt dt
苛氏定律 (Coriolis Theorem)：对任何和运动有关的矢量 B ：
~ dB d B B dt dt
绝对变 化率 相对变 化率 牵连变 化率
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
来自百度文库
16
3.3* 苛氏定律的分量表示
~ dB d B B dt dt
如果 B 和ω 都是分解在动坐标系 oxyz 中 B Bxi By j Bz k xi y j z k i j ~ d B dBx dBy dBz 则 B x y i j k dt dt dt dt Bx B y
0 1 X Y 1 Z
（小角度近似）
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
12
Outline
关于地球 相关的坐标系和坐标变换
柯氏定律和柯氏加速度
动量矩定理
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
纬度：当地垂线和地球赤道平面之间的夹角
垂线的定义
地心垂线 -- 地心到当地表面的连线 重力垂线 -- 沿着当地重力方向
P
'
a
和垂线的不同定义相对应，纬度也有不同定义
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
4
1.3*关于地球: 运动
地球的运动包括各种成分，惯性导航中主要考虑的有：
对地球形状的最粗糙近似 -- 球形 重力 (gravity) W 为万有引力 j 和 地球自转引起的离心 (centrifugal) 力 F 之和：
e
R P F
j
W
W jF
F 远远小于 W，Δθ 最多几个角分
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
3
1.2 关于地球: 垂线和纬度
绕太阳的公转 自转
地球自转角速度: -- 相对太阳 15o/h -- 相对惯性空间 15.04107o/h
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
5
Outline
关于地球 常用的坐标系和坐标变换
柯氏定律和柯氏加速度
动量矩定理
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
Mechanical Fundamentals
力学基础
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
1
主要内容
关于地球 常用的坐标系和坐标变换
柯氏定律和柯氏加速度
动量矩定理
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
2
1.1*地球形状和重力
7
2.2*坐标系: 地球和地理坐标系
地球坐标系 （Earth Frame）
北极 Z
地理坐标系 (Geographic, East-North-Up)
本地
子午面
R R Y
N
E
O
0
X
赤道
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
8
2.3 坐标系: 变换
假设向量 (vector) V 分别投影在坐标系 XYZ 和 X’Y’Z’ 中，即:
Z'
V
Y
V
Y' X'
X
x y V z
x ' V ' y ' z '
则
x' cos 1 y ' cos 1 z ' cos 1
cos 2 cos 2 cos 2
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
20
3.6 用柯氏加速度解释: 河岸冲刷
河水的苛氏加速度: ω Vr
Ak 2 Vr
苛氏加速度向西, 对应的作用力由 东岸提供。
河水的反作用力作用在东岸上
因此东岸被冲刷得更厉害.
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
O
X
x1
y
Y y 1
x
将上述结果合并，得到从基座到 内环的变换矩阵 :
x cos y 0 z sin 0 sin 1 0 1 0 0 cos 0 cos 0 sin 0 X 1 sin Y 0 cos Z
Z
M
V
R
O
X
Y
如果点 M 相对刚体移 动呢？
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
14
3.2 速度合成定理
假设一个动(旋转)坐标系和刚体固联 当动坐标系绕其原点转动, 并且一个质点 M 相对动坐标系作相对运动, 则 M 点的绝 对速度
Z
M
V
R
~ dR d R V R dt dt
动量矩守恒：当 M = 0 H 不变
dH Mx dt x dH My dt y dH Mz dt z
H I zz
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
Ar
相对
Ae
牵连切向
Ak
苛氏
Ane
牵连法向
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
18
3.5*苛氏加速度: 示例
~ dR Ak 2 dt
牵连运动 -- 圆盘的转动 相对运动 -- 沿径向向外 上述两种运动的相互影响 牵连 相对 又可写为
cos 3 x y cos 3 cos 3 z
方向余弦阵 (Direction cosine matrix -- DCM)
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
9
2.4 Frame: step-wise rotations
I -- 刚体的转动惯量矩阵 (angular inertia matrix) 主（ principal ）转动惯量和离心（ centrifugal ）转动惯量 如果刚体相对所选坐标系的三个平面都对称, 则所有离心转动惯 量元素都为零, 于是:
H J xxi J y y j J zz k
外环相对基座转过 α 内环相对外环转过 β
通过引入外环坐标系 x1y1z1
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
10
2.5 坐标系: 第一次旋转
外框架相对基座, 绕外框架轴转过α 角 假设一个向量 R 在基座坐标系和外环坐标系中的投影分别 是 (X, Y, Z) 和 (x1, y1, z1) , 则利用投影关系: z1 Z X Y Z x1 1 0 0 y1 0 sin cos Z cos z1 0 sin cos
6
2.1 坐标系: 惯性系
Solar-centered Inertial frame (SCI 日心惯性系) Earth-centered inertial frame (ECI 地心惯性系)
North Pole
Ze
ZS
Sun
Earth
YS
Ye
XS
Equator
Xe
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
直接计算方向余弦矩阵经常较困难
X x’ y’ z’ Y Z
Z z1
z
C11 C21 C31
C12 C22 C32
C13 C23 C33
X
O
x1
Y y 1
y
x
DCM 计算可借助分步旋转.
陀螺内环相对于基座的转动 基座(Base) 坐标系 OXYZ 内环(Inner Ring)坐标系 oxyz
--- 分步:
或
0 x1 1 y 0 cos 1 z1 0 sin
0 X sin Y cos Z
Z sin
X
Y cos
y1
Y
x1 Y sin
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
13
3.1 转动引起的牵连速度
假设某刚体绕着固定点 O 以角速度 ω 转动， M 是刚体内的一点（相对刚体固定） M 的牵连(transport) 速度为: i j k V R x y z (向量叉乘) x y z ( y z z y)i ( z x x z) j ( x y y x)k 坐标系可以任意选取
M 点的动量 (momentum) = mV
M 的动量矩 (angular momentum)
h = R×mV 刚体的动量矩 H = ∑h = ∑(R×mV)
z
mV
R
V M
O
y
x
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
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4.1 动量矩: 坐标分量表示
刚体的动量矩 H = ∑h = ∑(R×mV) 坐标分量表示
21
Outline
关于地球 相关的坐标系和坐标变换
柯氏定律和柯氏加速度
动量矩定理
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
22
4.1 动量矩: 定义
M 为刚体内一质点, 刚体绕着固定点 O 以角速度ω 旋转 M 的质量为 m, 位置为 R, 速度为 V
Ak 2 Vr
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
19
3.6 用柯氏加速度解释: 河岸冲刷
现象: 两极附近，南北方向的河 流两岸冲刷的程度不一样. 对北半球向北的河流, 东岸被冲刷 得更厉害. 该现象可以通过苛氏 (Coriolis) 加 速度得到解释.
R xi yj zk
V R xi y j z k
则刚体动量矩的坐标分量表示形式为:
z
mV
R y
V M
x
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
24
4.2 动量矩: 转动惯量矩阵
m( y 2 z 2 ) H mxy mxz x 2 2 m( x z ) myz y I m yz m( x 2 y 2 ) z mxy mxz
k
z
Bz
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
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3.4 加速度合成定理
~ dR 速度: V R dt 加速度： ~ ~ ~ ~ dR dR d dV dV R R A V dt dt dt dt dt ~2 ~ ~ d R d dR 2 ( R) R 2 dt dt dt
这时，坐标轴称为刚体的惯性主轴 (inertial principal axes)
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals 25
4.3*动量矩定理
刚体动量矩和其所受外加力矩的关系:
dH / dt M
动量矩定理
刚体动量矩 H 的变化率等于刚 体所受到的合外力矩 M. 坐标 分量 表示:
11
2.6 坐标系: 第二次旋转
类似，从外框架到内框架，绕着内框架轴转过 β 角
Z z1
z
x cos y 0 z sin
0 sin x1 1 0 y1 0 cos z1
26
summary
关于地球 相关的坐标系和坐标变换
绝对 速度
相对 速度 牵连 速度
O
X
Y
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
15
3.3*推广: 苛氏定律
~ dR d R R dt dt
苛氏定律 (Coriolis Theorem)：对任何和运动有关的矢量 B ：
~ dB d B B dt dt
绝对变 化率 相对变 化率 牵连变 化率
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
来自百度文库
16
3.3* 苛氏定律的分量表示
~ dB d B B dt dt
如果 B 和ω 都是分解在动坐标系 oxyz 中 B Bxi By j Bz k xi y j z k i j ~ d B dBx dBy dBz 则 B x y i j k dt dt dt dt Bx B y
0 1 X Y 1 Z
（小角度近似）
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
12
Outline
关于地球 相关的坐标系和坐标变换
柯氏定律和柯氏加速度
动量矩定理
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
纬度：当地垂线和地球赤道平面之间的夹角
垂线的定义
地心垂线 -- 地心到当地表面的连线 重力垂线 -- 沿着当地重力方向
P
'
a
和垂线的不同定义相对应，纬度也有不同定义
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
4
1.3*关于地球: 运动
地球的运动包括各种成分，惯性导航中主要考虑的有：
对地球形状的最粗糙近似 -- 球形 重力 (gravity) W 为万有引力 j 和 地球自转引起的离心 (centrifugal) 力 F 之和：
e
R P F
j
W
W jF
F 远远小于 W，Δθ 最多几个角分
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
3
1.2 关于地球: 垂线和纬度
绕太阳的公转 自转
地球自转角速度: -- 相对太阳 15o/h -- 相对惯性空间 15.04107o/h
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
5
Outline
关于地球 常用的坐标系和坐标变换
柯氏定律和柯氏加速度
动量矩定理
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
Mechanical Fundamentals
力学基础
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
1
主要内容
关于地球 常用的坐标系和坐标变换
柯氏定律和柯氏加速度
动量矩定理
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
2
1.1*地球形状和重力
7
2.2*坐标系: 地球和地理坐标系
地球坐标系 （Earth Frame）
北极 Z
地理坐标系 (Geographic, East-North-Up)
本地
子午面
R R Y
N
E
O
0
X
赤道
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
8
2.3 坐标系: 变换
假设向量 (vector) V 分别投影在坐标系 XYZ 和 X’Y’Z’ 中，即: