有限差分法在斜拉桥拉索内力测试中的应用

有限差分法在斜拉桥拉索内力测试中的应用陈水生1 温世游1 谢彩文2（1 华东交通大学土木建筑学院南昌 330013）（2 江西省公路开发总公司南昌）摘要：使用有限差分法将拉索自由振动偏微分方程转化为常微分方程，用状态空间法求解广义特征值，从而计算系统的模态频率。

将计算得到的模态频率与测试得到的模态频率比较，进而修正拉索张拉力，直到计算频率与测试频率近似相等，最后修正的张拉力则为拉索内力。

通过对实际工程的测试结果分析表明，本文方法与传统计算方法的不同，说明了本文算法的通用、准确、可靠性。

关键词：桥梁工程；有限差分法；斜拉索；测试技术；模态频率；中图分类号：U443.38;O3290 前言斜拉索是斜拉桥的主要承重构件之一，也是为斜拉桥主梁提供弹性支撑的构件，拉索内力的大小直接影响拉索自身及主梁的安全。

所以，如何准确的测试拉索内力，是保障大桥安全运营极为重要的研究课题。

对于正在使用的斜拉索，使用振动测试是首选方法，通过振动响应信号，由频谱分析得到拉索的振动基频，然后通过拉索振动频率与内力的关系求得内力。

影响拉索内力的准确性有两个方面：其一是准确的测定拉索的振动频率，这涉及测试设备的质量和频谱分析的准确性；其二是振动频率与拉索内力关系方程的准确性。

目前广泛使用的是由标准弦方程得到的内力与频率方程[1]，这对拉索垂度很小的斜拉索是适用的，而对拉索垂度较大的斜拉索将有较大的误差。

大量研究表明，拉索振动频率与拉索垂度、抗弯刚度有关。

M.Pacheco[2]及陈[3]的研究均表明，随拉索垂度的增大拉索振动频率增大。

所以，为了准确计算拉索振动频率，考虑垂度及抗弯刚度的影响是必要的。

本文综合考虑索的垂度及抗弯刚度，使用有限差分方法将拉索自由振动方程离散，使用复特征值求解方法，计算拉索振动频率。

由环境激励测试拉索振动响应，通过频谱分析得到索的振动基频。

对钱塘江三桥进行了现场测试，使用本文方法计算了拉索内力，并与传统方法进行了比较。

1 斜拉索自由振动方程及特征值求解不计索的轴向振动，由牛顿定律并考虑索的垂度及抗弯刚度，可以得出斜拉索面内自由振动方程[4]：()θτcos222222mgtvmsvdsdyTsxvEIx-∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⋅+∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂-（1）其中，v为拉索在Y方向的振动位移，y为索的自重在Y方向产生的垂度曲线，T为初始切向拉力，τ为索的振动拉伸而产生的附加切向动拉力，s为索的弧长坐标，m为索的单位长度质量，θ为索的倾斜角度，EI为索的抗弯刚度。

认为拉索抗弯刚度沿索长为常数，由几何变换关系[5]，方程(1)可表示为：222222144tvmdxydhxvHsxvEIx∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂⋅+∂∂--(2)其中：hH,分别为X方向静、动张拉力，在整个索长L范围内为常数。

令v的解表示为如下分离变量形式：)()(1tqxVv⋅=(3)其中1q可表示为：t peq11=(4)由线性阻尼系统理论可知，1p可表示为：()211ξξω-⋅+-=ip(5)ω为无阻尼索的面内自振频率，ξ为对应的模态阻尼比。

方程(2)中h的线性表达式为[5]：11022qhdxqVdxydLEAh Le⋅'=⋅⋅⋅-=⎰(6)()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅≈⋅=⎰2381LdLdxdxdsL Le(7)其中d为跨中垂度在Y方向的值。

由(3)～(7)各式，方程(2)可记为：cos 2122144=⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅'-⋅--V p m H m g h dx V d H s dx V d EIx θ用中心差分法求解，将索均分为1+n 段，每段长度)1/(+=n L a 。

将方程(8)中的微分项化为各结点位移形式。

对于非边界结点，有差分表达式：()()1122221+-+⋅-=i i i i V V V a x dx V d(9a) ())464(12112444++--+⋅-⋅+⋅-=i i i i i iV V V V V a x dx V d 式中1,,3,2-=n i 对边界结点（铰节点）：()()21212221V V ax dx Vd +⋅-= ()()3214144451V V V ax dx Vd +⋅-⋅= (10a) ()()n n n nV V V a x dx V d ⋅+⋅-=--54112444 (10b) 将h '的积分转化为离散形式：∑=⋅⋅⋅='nj j e V a H mg L EA h 1cos θ (11) 由方程(8)可以得出如下特征方程： [][]{}{}{}021=⋅⋅+V p M K (12)[][][][]321K K K K ++= (13)[]M 为对角矩阵，对角元素为m 。

{}[]T n V V V V 21=，[]1K 、[]2K 、[]3K 分别是抗弯刚度、静态张拉力、动态张拉力提供的等效刚度矩阵。

为求解(12)式的特征值问题，引进状态向量{}V ：(14)则(12)式可以转化为以下广义特征值问题： []{}[]{}V B p V A ⋅=1 (15)其中：(16)则由(15)式可以求得n 对共轭特征值1p ，再由(5)式可以求出各阶模态无阻尼自振频率。

2 斜拉桥拉索自振频率测试及内力分析由方程(8)和(13)式可知，特征分析得到的自振频率与拉索内力是对应的，即某一内力值，可以计算出拉索对应的各阶自振频率。

使用频谱分析及参数识别技术，由环境振动测试得到的振动加速度信息，识别出拉索振动频率。

根据识别出的拉索振动频率，由标准弦振动频率方程得出一个力：2224n f m gL T n ⋅= (17) 式中：T 为拉索的轴向内力；n f 为拉索的n 阶振动频率；n 为拉索的振动频率阶数。

将此力作为拉索的初始力，代入(15)式，计算得到拉索的振动频率，与测试识别出的频率相比，当两者相差较大时，按5％的比例增大或减小内力值，按(15)式重新计算振动频率，直到计算得到的频率与测试得到的值相差很小时为止，此值即为拉索的内力值。

本文以钱塘江三桥近萧山方向的15号斜拉索为测试对象（如表1所示），为有效的测试出拉索响应的各阶频率成分，在拉索长度18%的位置安装压电式加速度传感器。

试验数据采样频率及滤波截止频率均为1000Hz ，本文以面内测试数据为分析对象。

由环境激励得到的自振信号如图２所示[6]{}{}{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅=V p V V 1[][][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=M K A 00[][][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=00M M B （9b ） （8）图2 加速度响应时程信号图3 加速度响应自谱密度从图3可以看出，拉索的振动响应主要由2、3、4阶频率成分组成，从加速度响应自谱密度与频率关系曲线，由高分辩率的频谱分析可以得到拉索振动的基频。

本文采用的频率分辨率是0.0076Hz，得到拉索的振动基频是0.7715Hz，使用本文提出的方法可以得到拉索内力为：4.53*103 kN，由标准弦方程导出的频率内力关系（16）计算得到的拉力为：4.79*103kN，本文计算得到的值比（16）式值小约6%，这个差值将随拉索垂度的增大而增大。

这表明对垂度较大的斜拉索，按标准弦方程计算得到的内力是偏保守的。

3 结语根据有限差分方法，由斜拉索的自由振动方程导出拉索的差分计算格式，得到特征方程，进而计算拉索自振频率。

对钱塘江三桥的15号拉索进行了现场测试，由频谱分析得到拉索的振动基频，采用本文提出的差分格式，通过叠代求解，计算拉索内力。

研究结果表明，按本文方法求出的内力比常规的标准弦方程求得的值小，这种差值将随拉索垂度的增大而增大。

参考文献[1]刘志军，党志杰，罗元文，汪凤泉，振动法测定缆索张力的研究[J]，桥梁建设，2002.2[2]Benito M.Pacheco, Yozo Fujino, Ajai Sulekh, Estimation Curve for Modal Damping in Stay Cables with Viscous Damper[J], Journal of Structural Engineering, Vol.119(6),1993[3]陈水生、孙炳楠，大跨度斜拉桥拉索－桥藕合参数振动数值方法[J]，土木工程学报，36（4），2003[4]陈水生、孙炳楠，斜拉桥拉索模态耦合非线性共振响应特性[J]，《工程力学》，2003.2[5]陈水生、孙炳楠、胡隽，粘弹性阻尼器对斜拉桥拉索的振动控制研究[J]，土木工程学报，35（6），2002 [6]陈水生、秦鸣、陈勇、孙炳楠，大跨度斜拉桥拉索的振动及控制现场试验[J]，长安大学学报， 23(2)， 2003。