天津市杨柳青一中2010届高三上学期第一次月考--数学理科
天津市西青区杨柳青第一中学高数学第一次月考试题(无答案)
天津市西青区杨柳青第一中学2013-2014学年高数学第一次月考试题(无答案)一. 选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)1. 下列命题中正确的是( )A .由五个平面围成的多面体只能是四棱锥B .圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆C .仅有一组对面平行的六面体是棱台D .有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱锥2. 右图的几何体是由下面哪个平面图形旋转得到的( ).A. B. C. D.3. 如果一个几何体的正视图是矩形,则这个几何体不可能是( ).A. 三棱柱B.四棱柱C.圆锥D.圆柱4. 球的体积与其表面积的数值相等,则球的半径等于( ) A .21B .1C .2D .35. 过正三棱柱底面一边的截面是( )A .三角形B .三角形或梯形C .不是梯形的四边形D .梯形6. 一长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6,这个长方体对角线的长为( )A .23B .32C .6D .67. 圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面,那么此圆锥的轴截面(过轴的截面)是( ) A .顶角为30°的等腰三角形 B .等腰直角三角形 C .等边三角形 D .其他等腰三角形 8. b a ,是空间两条不相交的直线,那么过直线b 且平行于直线a 的平面( ) A.有且仅有一个 B.至少有一个 C.至多有一个 D.有无数个二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)9. 直观图(如右图)中,四边形A ′B ′C ′D ′为菱形且边长为2cm ,则在xoy 坐标中四边形ABCD 面积为______cm 2.10. 已知底面是边长为2的正三角形的三棱柱,其正视图(如右图所示的矩形)的面积为8,则侧视图的面积为 .11. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB=5,BC=3,AA 1=2,则一只小虫从A 点沿长方体的表面爬到C 1点的最短距离是 .12. 一个正方体的顶点都在球面上,它的表面积与正方体的表面积之比为 .13. 如图,一个封闭的立方体,它的六个表面各标有A,B,C,D,E,F 这六个字母之一,现放置成如图的三种不同的位置,则字母A 对面的字母为 .14.已知两平面α、β,直线a 、b 、c ,给出下列命题,其中正确命题的序号是_________.①异面直线a 和c 在平面内α的射影必相交. ②若a 和b 与c 成等角,则a ∥b .③若a ⊥c ,b ⊥c ,则a ∥b . ④a ∥α,b ∥α,则a ∥b . ⑤若a 与b 没有公共点,则a ∥b.⑥若a 和α内无数条直线没有公共点,则a ∥α. ⑦若a ∥α,α⊂b ,则a ∥b .⑧若α∥β,βα⊂⊂b a ,,则a ∥b .⑨若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c. ⑩α∥β,β∥γ,则α∥γ。
天津市第一中学2016届高三上学期第一次月考数学(理)试题(含答案)
天津一中2015—2016学年度高三年级第一次月考数学(理科)学科试卷一.选择题1. 已知全集U R =,{|21}x A y y ==+,{||1||2|2}B x x x =-+-<,则()U C A B = ( )A .∅B .1{|1}2x x <≤ C .{|1}x x <D .{|01}x x << 【答案】B2.执行右面的程序框图,若8.0=p ,则输出的n =( )A .2B .3C .4D .5【答案】C .3.已知m R ∈,“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞(,)上为减函数”的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B4 .已知函数)x f y (=的导函数为)('x f ,且x f x x f sin )3(')(2+=π,则=)3('πf ( ) A .π463- B .π263- C .π463+ D .π263+ 【答案】A5.若把函数sin y x ω=图象向左平移3π个单位,则与函数cos y x ω=的图象重合,则ω的值可能是 A .13 B .32 C .23 D .12【答案】B6. 已知函数0,0,(),0,x x f x e x ≤⎧=⎨>⎩则使函数()()g x f x x m =+- 有零点的实数m 的取值范围是( )A.[0,1]B.(,1)-∞C. (,1)(2,)-∞+∞D. (,0](1,)-∞+∞【答案】D7.设,则多项式的常数项( )A. B. C. D.【答案】D8. 已知()()[]22,0,1,132,0x x f x f x ax x x x ⎧-≤=≥∈-⎨->⎩若在上恒成立,则实数a 的取值范围是 A.(][)10,-∞-⋃+∞ B.[]1,0- C.[]0,1D.),1[]0,(+∞⋃-∞ 【答案】B二.填空题9. 复数满足2)1()1i z i +=+-(,其中i 为虚数单位,则复数z =【答案】i -1 10. 右图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积大小为 .10.【答案】243π- 11. 已知点P 在曲线14+=x e y 上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是___________________ 【答案】00135180α≤<或3[,)4ππ12.直线4,:(),:)12.4x a t l t C y t πρθ=+⎧=+⎨=--⎩为参数圆(极轴与x 轴的非负半轴重合,且单位长度相同),若直线l 被圆C 截得的弦长为5,则实数a 的值为 . 【答案】 0或213.如图,C B A ,,是圆O 上三个点,AD 是BAC ∠的平分线,交圆O 于D ,过B 作直线BE 交AD 延长线于E ,使BD 平分EBC ∠. 若,3,4,6===BD AB AE 则DE 的长为【答案】DE=278.14.在边长为1的正三角形ABC 中,BD BC 2=,CE CA λ=,若41-=⋅,则λ的值为 【答案】3三.解答题15. 已知函数22()sin cos 3cos f x x x x x =++,x R ∈.求:(I) 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间; (II) 求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的值域.15.【解】(I): 1cos 23(1cos 2)()222x x f x x -+=+22cos2x x =+2sin(2)26x π=++ .......................4分 ∴最小正周期22T ππ==, ..........................5分 ∵222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈时()f x 为单调递增函数 ∴()f x 的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈......................8分 (II)解: ∵()22sin(2)6f x x π=++,由题意得: 63x ππ-≤≤∴52[,]666x πππ+∈-, ∴1sin(2)[,1]62x π+∈-,∴()[1,4]f x ∈ ∴()f x 值域为[1,4] ......................13分16.某班植树小组栽培甲、乙两种松树,已知小组中每位成员甲、乙两种至少要栽培一种,已知栽培甲品种的有2人,栽培乙品种的有6人,现从中选2人,设选出的人中既栽培甲品种又栽培乙品种的人数为ξ,且520P ==)(ξ,求: (1)植树小组的人数; (2)随机变量ξ的数学期望。
天津市第一百中学2010届高三上学期第一次月考数学理试题及答案
天津市第一百中学2010届高三上学期第一次月考数学理试题
及答案
2012年05月23日亲,很高兴访问《天津市第一百中学2010届高三上学期第一次月考数学理试题及答案》一文,也欢迎您访问店铺()的高考频道,为您精心准备了2010高考数学日常练习的相关模拟考试试题内容!同时,我们正在加紧建设高考频道,我们全体编辑的努力全是为了您,希望您能在本次高考中能获得好的名次,以及考上满意的大学,也希望我们准备的《天津市第一百中学2010届高三上学期第一次月考数学理试题及答案》内容能帮助到您。
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天津一中2017-2018学年高三上学期第一次月考数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年天津一中高三(上)第一次月考数学试卷(理科)一、选择题:1.设全集U=R,集合A={x|x2﹣2x≥0},B={x|y=log2(x2﹣1)},则(∁U A)∩B=()A.[1,2)B.(1,2)C.(1,2]D.(﹣∞,﹣1)∪[0,2]2.在复平面上,复数对应的点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设函数(e为自然底数),则使f(x)<1成立的一个充分不必要条件是()A.0<x<1 B.0<x<4 C.0<x<3 D.3<x<44.下列中是假的是()A.∃m∈R,使是幂函数B.∃α,β∈R,使cos(α+β)=cosα+cosβC.∀φ∈R,函数f(x)=sin(x+φ)都不是偶函数D.∀a>0,函数f(x)=ln2x+lnx﹣a有零点5.设变量x,y满足:,则z=|x﹣3y|的最大值为()A.3 B.8 C.D.6.在如图所示的程序框图中,若输出i的值是3,则输入x的取值范围是()A.(4,10]B.(2,+∞)C.(2,4]D.(4,+∞)7.函数f(x)=(x2﹣2x)e x的图象大致是()A.B.C.D.8.已知函数f(x)=,若∃x1,x2∈R,x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是()A.a<2 B.a>2 C.﹣2<a<2 D.a>2或a<﹣2二、填空题:9.若(2x+)dx=3+ln2(a>1),则a的值是.10.已知函数f(x)=若f(2﹣a2)>f(a),则实数a的取值范围为.11.在直角△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,D为斜边AB的中点,则=.12.如图,PB为△ABC外接圆O的切线,BD平分∠PBC,交圆O于D,C,D,P共线.若AB⊥BD,PC⊥PB,PD=1,则圆O的半径是.13.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C1、C2的极坐标方程分别为,,则曲线C1上的点与曲线C2上的点的最远距离为.14.已知函数f(x)=|xe x|,方程f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根,则t的取值范围.三、解答题:15.已知函数f(x)=sin(2x+)+sin(2x﹣)+2cos2x﹣1,x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间[]上的最大值和最小值.16.在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.(Ⅰ)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(Ⅱ)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列和数学期望.17.如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,DE⊥AB于E,CF⊥AB于F,且AE=BF=EF=2,DE=CF=2.将△AED和△BFC分别沿DE,CF折起,使A,B两点重合,记为点M,得到一个四棱锥M﹣CDEF,点G,N,H分别是MC,MD,EF的中点.(1)求证:GH∥平面DEM;(2)求证:EM⊥CN;(3)求直线GH与平面NFC所成角的大小.18.已知首项为,公比不等于1的等比数列{a n}的前n项和为S n,且S3、S2、S4成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记b n=n|a n|,数列{b n}的前n项和为T n,求T n.19.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,直线y=x被椭圆C截得的线段长为.(I)求椭圆C的方程.(Ⅱ)直线l是圆O:x2+y2=r2的任意一条切线,l与椭圆C交于A、B两点,若以AB为直径的圆恒过原点,求圆O的方程,并求出|AB|的取值范围.20.已知f(x)=xlnx+mx,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为1.(1)求实数m的值;(2)设g(x)=f(x)﹣x2﹣x+a(a∈R)在其定义域内有两个不同的极值点x1,x2,且x1<x2,已知λ>0,若不等式e1+λ<x1•x2λ恒成立,求λ的范围.2016-2017学年天津一中高三(上)第一次月考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:1.设全集U=R,集合A={x|x2﹣2x≥0},B={x|y=log2(x2﹣1)},则(∁U A)∩B=()A.[1,2)B.(1,2)C.(1,2]D.(﹣∞,﹣1)∪[0,2]【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】求解一元二次不等式化简A,求函数的定义域化简B,然后利用交、并、补集的混合运算得答案.【解答】解:∵A={x|x2﹣2x≥0}={x|x≤0或x≥2},∴∁U A={x|0<x<2},由x2﹣1>0,得x<﹣1或x>1.∴B={x|y=log2(x2﹣1)}={x|x<﹣1或x>1},则(∁U A)∩B={x|0<x<2}∩={x|x<﹣1或x>1}=(1,2).故选:B.2.在复平面上,复数对应的点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义.【分析】求解得到对应点的坐标即可判断选项.【解答】解:复数=+.复数的对应点的坐标(,)在第一象限.故选:A.3.设函数(e为自然底数),则使f(x)<1成立的一个充分不必要条件是()A.0<x<1 B.0<x<4 C.0<x<3 D.3<x<4【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】由f(x)<1,可得x2﹣3x<0,解得x范围,即可判断出结论.【解答】解:由f(x)<1,可得x2﹣3x<0,解得0<x<3,可得:0<x<1是使f(x)<1成立的一个充分不必要条件.故选:A.4.下列中是假的是()A.∃m∈R,使是幂函数B.∃α,β∈R,使cos(α+β)=cosα+cosβC.∀φ∈R,函数f(x)=sin(x+φ)都不是偶函数D.∀a>0,函数f(x)=ln2x+lnx﹣a有零点【考点】的真假判断与应用.【分析】A.根据幂函数的定义进行求解即可.B.利用特殊值法进行判断.C.利用特殊值法进行判断.D.利用函数与方程的关系将函数进行转化,结合一元二次函数的性质进行判断.【解答】解:A.∵函数f(x)是幂函数,则m﹣1=1,则m=2,此时函数f(x)=x﹣1为幂函数,故A正确,B.当α=,β=﹣时,cos(α+β)=cos(﹣)=cos=,而cosα+cosβ=cos+cos(﹣)=,即此时cos(α+β)=cosα+cosβ成立,故B正确,C.当φ=,k∈Z时,f(x)=sin(x+φ)=cosx是偶函数,故C错误,D.由f(x)=ln2x+lnx﹣a=0得ln2x+lnx=a,设y=ln2x+lnx,则y=(lnx+)2﹣≥﹣,∴当a>0时,ln2x+lnx=a一定有解,即∀a>0,函数f(x)=ln2x+lnx﹣a有零点,故D正确故选:C5.设变量x,y满足:,则z=|x﹣3y|的最大值为()A.3 B.8 C.D.【考点】简单线性规划.【分析】由题意作出其平面区域,m=表示了区域内的点到直线x﹣3y=0的距离;而m取得最大值时z也取得最大值;从而求解.【解答】解:由题意作出其平面区域,m=表示了区域内的点到直线x﹣3y=0的距离;而m取得最大值时z也取得最大值;当取点A(﹣2,2)时,m取得最大值;故z=|x﹣3y|的最大值为|﹣2﹣3×2|=8;故选B.6.在如图所示的程序框图中,若输出i的值是3,则输入x的取值范围是()A.(4,10]B.(2,+∞)C.(2,4]D.(4,+∞)【考点】程序框图.【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【解答】解:设输入x=a,第一次执行循环体后,x=3a﹣2,i=1,不满足退出循环的条件;第二次执行循环体后,x=9a﹣8,i=2,不满足退出循环的条件;第三次执行循环体后,x=27a﹣26,i=3,满足退出循环的条件;故9a﹣8≤82,且27a﹣26>82,解得:a∈(4,10],故选:A7.函数f(x)=(x2﹣2x)e x的图象大致是()A.B.C.D.【考点】函数的图象.【分析】用函数图象的取值,函数的零点,以及利用导数判断函数的图象.【解答】解:由f(x)=0,解得x2﹣2x=0,即x=0或x=2,∴函数f(x)有两个零点,∴A,C不正确.∴f'(x)=(x2﹣2)e x,由f'(x)=(x2﹣2)e x>0,解得x>或x<﹣.由f'(x)=(x2﹣2)e x<0,解得,﹣<x<即x=﹣是函数的一个极大值点,∴D不成立,排除D.故选:B8.已知函数f(x)=,若∃x1,x2∈R,x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是()A.a<2 B.a>2 C.﹣2<a<2 D.a>2或a<﹣2【考点】特称.【分析】若∃x1,x2∈R,x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则说明f(x)在R上不单调,分a=0及a≠0两种情况分布求解即可【解答】解:若∃x1,x2∈R,x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则说明f(x)在R上不单调①当a=0时,f(x)=,其图象如图所示,满足题意②当a<0时,函数y=﹣x2+ax的对称轴x=<0,其图象如图所示,满足题意③当a>0时,函数y=﹣x2+ax的对称轴x=>0,其图象如图所示,要使得f(x)在R上不单调则只要二次函数的对称轴x=∴a<2综上可得,a<2故选A二、填空题:9.若(2x+)dx=3+ln2(a>1),则a的值是2.【考点】微积分基本定理.【分析】根据题意找出2x+的原函数,然后根据积分运算法则,两边进行计算,求出a值;【解答】解:=(x2+lnx)=a2+lna﹣(1+ln1)=3+ln2,a>1,∴a2+lna=4+ln2=22+ln2,解得a=2,故答案为:2;10.已知函数f(x)=若f(2﹣a2)>f(a),则实数a的取值范围为(﹣2,1).【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法;二次函数的性质.【分析】先根据二次函数的解析式分别研究分段函数在各自区间上的单调性,从而得到函数f(x)的单调性,由此性质转化求解不等式,解出参数范围即可.【解答】解:函数f(x),当x≥0 时,f(x)=x2+4x,由二次函数的性质知,它在[0,+∞)上是增函数,当x<0时,f(x)=4x﹣x2,由二次函数的性质知,它在(﹣∞,0)上是增函数,该函数连续,则函数f(x)是定义在R 上的增函数∵f(2﹣a2)>f(a),∴2﹣a2>a解得﹣2<a<1实数a 的取值范围是(﹣2,1)故答案为:(﹣2,1)11.在直角△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,D为斜边AB的中点,则=﹣1.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据含有30°角的直角三角形的性质,得到AB与CD的长度,求出两个向量的夹角是120°,利用向量的数量积公式写出表示式,得到结果.【解答】解::∵∠C=90°,∠A=30°,BC=1,∴AB=2.∵D为斜边AB的中点,∴CD=AB=1,∠CDA=180°﹣30°﹣30°=120°.∴=2×1×cos120°=﹣1,故答案为:﹣1.12.如图,PB为△ABC外接圆O的切线,BD平分∠PBC,交圆O于D,C,D,P共线.若AB⊥BD,PC⊥PB,PD=1,则圆O的半径是2.【考点】与圆有关的比例线段.【分析】连结AD,由PB为圆O的切线,得∠PBD=∠BCP=∠BAD,结合BD为∠PBC的平分线,可得∠PDB=2∠PBD=60°,在Rt△BPD中,由PD=1,得BD=2,由Rt△ABD与Rt△BPD的内角关系得AD的长度,即得圆O的半径.【解答】解:如右图所示,连结AD,∵PB为圆O的切线,∴∠PBD=∠BCD=∠BAD,∵BD为∠PBC的平分线,∴∠PBD=∠CBD,∴∠PDB=∠CBD+∠BCD=∠PBD+∠PBD=2∠PBD,又∵PC⊥PB,∴∠PBD=∠BCD=∠CBD=∠BAD=30°,∠PDB=60°.由PD=1,得BD=2PD=2.在△ABD中,∵AB⊥BD,∴AD是圆O的直径,且直径AD=2BD=4,∴圆O的半径为2.故答案为:2.13.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C1、C2的极坐标方程分别为,,则曲线C1上的点与曲线C2上的点的最远距离为.【考点】简单曲线的极坐标方程.【分析】先将曲线的极坐标方程方程化为普通方程,曲线C1的普通方程为x2+y2=2y,即x2+(y﹣1)2=1.表示以C(0,1)为圆心,半径为1 的圆.曲线C2的普通方程为x+y+1=0,表示一条直线.利用直线和圆的位置关系求解.【解答】解:曲线C1的极坐标方程分别为即ρ=2sinθ,两边同乘以ρ,得ρ2=2ρsinθ,化为普通方程为x2+y2=2y,即x2+(y﹣1)2=1.表示以C(0,1)为圆心,半径为1 的圆.C2的极坐标方程分别为,即ρsinθ+ρcosθ+1=0,化为普通方程为x+y+1=0,表示一条直线.如图,圆心到直线距离d=|CQ|=曲线C1上的点与曲线C2上的点的最远距离为|PQ|=d+r=故答案为:,14.已知函数f(x)=|xe x|,方程f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根,则t的取值范围.【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】函数f(x)=|xe x|是分段函数,通过求导分析得到函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,在(﹣∞,﹣1)上为增函数,在(﹣1,0)上为减函数,求得函数f(x)在(﹣∞,0)上,当x=﹣1时有一个最大值,所以,要使方程f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根,f(x)的值一个要在内,一个在内,然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解t的取值范围.【解答】解:f(x)=|xe x|=当x≥0时,f′(x)=e x+xe x≥0恒成立,所以f(x)在[0,+∞)上为增函数;当x<0时,f′(x)=﹣e x﹣xe x=﹣e x(x+1),由f′(x)=0,得x=﹣1,当x∈(﹣∞,﹣1)时,f′(x)=﹣e x(x+1)>0,f(x)为增函数,当x∈(﹣1,0)时,f′(x)=﹣e x(x+1)<0,f(x)为减函数,所以函数f(x)=|xe x|在(﹣∞,0)上有一个极大值为f(﹣1)=﹣(﹣1)e﹣1=,要使方程f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根,令f(x)=m,则方程m2+tm+1=0应有两个不等根,且一个根在内,一个根在内,再令g(m)=m2+tm+1,因为g(0)=1>0,则只需g()<0,即,解得:t<﹣.所以,使得函数f(x)=|xe x|,方程f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根的t的取值范围是.故答案为.三、解答题:15.已知函数f(x)=sin(2x+)+sin(2x﹣)+2cos2x﹣1,x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间[]上的最大值和最小值.【考点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值.【分析】(1)利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f(x)=sin(2x+)+sin(2x﹣)+2cos2x﹣1化为f(x)=sin(2x+),即可求得函数f(x)的最小正周期;(2)可分析得到函数f(x)在区间[]上是增函数,在区间[,]上是减函数,从而可求得f(x)在区间[]上的最大值和最小值.【解答】解:(1)∵f(x)=sin2x•cos+cos2x•sin+sin2x•cos﹣cos2x•sin+cos2x =sin2x+cos2x=sin(2x+),∴函数f(x)的最小正周期T==π.(2)∵函数f(x)在区间[]上是增函数,在区间[,]上是减函数,又f(﹣)=﹣1,f()=,f()=1,∴函数f(x)在区间[]上的最大值为,最小值为﹣1.16.在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.(Ⅰ)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(Ⅱ)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列和数学期望.【考点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差.【分析】(I)设事件A表示:“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”,观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣=,利用互斥事件的概率公式,即可求得结论;(II)由题意,X可取0,1,2,3,求出相应的概率,即可得到X的分布列与数学期望.【解答】解:(Ⅰ)设事件A表示:“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”,观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣=,∴P(A)=,∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为;(Ⅱ)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,则X可取0,1,2,3.观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙选中3号歌手的概率为,当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时,这时X=0,P(X=0)=(1﹣)(1﹣)2=,当观众甲、乙、丙只有一人选中3号歌手时,这时X=1,P(X=1)=(1﹣)2+(1﹣)(1﹣)+(1﹣)(1﹣)=,当观众甲、乙、丙只有二人选中3号歌手时,这时X=2,P(X=2)=•(1﹣)+(1﹣)•+(1﹣)=,当观众甲、乙、丙都选中3号歌手时,这时X=3,P(X=3)=•()2=,∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×=.17.如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,DE⊥AB于E,CF⊥AB于F,且AE=BF=EF=2,DE=CF=2.将△AED和△BFC分别沿DE,CF折起,使A,B两点重合,记为点M,得到一个四棱锥M﹣CDEF,点G,N,H分别是MC,MD,EF的中点.(1)求证:GH∥平面DEM;(2)求证:EM⊥CN;(3)求直线GH与平面NFC所成角的大小.【考点】直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定.【分析】(1)连结NG,EN,则可证四边形ENGH是平行四边形,于是GH∥EN,于是GH ∥平面DEM;(2)取CD的中点P,连结PH,则可证明PH⊥平面MEF,以H为原点建立坐标系,求出和的坐标,通过计算=0得出EM⊥CN;(3)求出和平面NFC的法向量,则直线GH与平面NFC所成角的正弦值为|cos<>|,从而得出所求线面角的大小.【解答】证明:(1)连结NG,EN,∵N,G分别是MD,MC的中点,∴NG∥CD,NG=CD.∵H是EF的中点,EF∥CD,EF=CD,∴EH∥CD,EH=CD,∴NG∥EH,NG=EH,∴四边形ENGH是平行四边形,∴GH∥EN,又GH⊄平面DEM,EN⊂平面DEM,∴GH∥平面DEM.(2)∵ME=EF=MF,∴△MEF是等边三角形,∴MH⊥EF,取CD的中点P,连结PH,则PH∥DE,∵DE⊥ME,DE⊥EF,ME∩EF=E,∴DE⊥平面MEF,∴PH⊥平面MEF.以H为原点,以HM,HF,HP为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示:则E(0,﹣1,0),M(,0,0),C(0,1,2),N(,﹣,1).∴=(,1,0),=(﹣,,1).∴=+1×+0×1=0.∴.∴EM⊥NC.(3)F(0,1,0),H(0,0,0),G(,,1),∴=(,,1),=(0,0,2),=(﹣,,1),设平面NFC的法向量为=(x,y,z),则,即.令y=1得=(,1,0),∴cos<>==.∴直线GH与平面NFC所成角的正弦值为,∴直线GH与平面NFC所成角为.18.已知首项为,公比不等于1的等比数列{a n}的前n项和为S n,且S3、S2、S4成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记b n=n|a n|,数列{b n}的前n项和为T n,求T n.【考点】数列的求和;数列递推式.【分析】(1)易知2S2=S3+S4,从而可得2a3+a4=0,从而可得{a n}是以为首项,﹣2为公比的等比数列;从而求得;(2)化简b n=n|a n|=n•2n﹣2,从而利用错位相减法求其和.【解答】解:(1)∵S3、S2、S4成等差数列,∴2S2=S3+S4,∴2a3+a4=0,∴=﹣2,又首项为,故{a n}是以为首项,﹣2为公比的等比数列,故a n=•(﹣2)n﹣1=﹣(﹣2)n﹣2;(2)b n=n|a n|=n•2n﹣2,T n=1•+2•1+3•2+…+n•2n﹣2,2T n=1•1+2•2+3•4+…+n•2n﹣1,故T n=﹣﹣1﹣2﹣4﹣…﹣2n﹣2+n•2n﹣1=n•2n﹣1﹣=(n﹣1)2n﹣1+.19.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,直线y=x被椭圆C截得的线段长为.(I)求椭圆C的方程.(Ⅱ)直线l是圆O:x2+y2=r2的任意一条切线,l与椭圆C交于A、B两点,若以AB为直径的圆恒过原点,求圆O的方程,并求出|AB|的取值范围.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(Ⅰ)由椭圆离心率得到a,b的关系,化简椭圆方程,和直线方程联立后求出交点的横坐标,把弦长用交点横坐标表示,则a的值可求,进一步得到b的值,则椭圆方程可求;(Ⅱ)分类讨论当斜率不存在时,设x=﹣r,代入椭圆方程求得A、B点坐标,以AB为直径的圆恒过原点,⊥,利用向量数量积的坐标,求得r2,求得丨AB丨;当斜率不存在时,设出直线方程,将直线方程代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程,利用韦达定理,及向量垂直,求得圆的方程,进而表达出丨AB丨,综上即可求得丨AB丨的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)椭圆方程+=1(a>b>0),a2=b2+c2,∵,∴a2=2c2,∴a2=2b2,设直线与椭圆交于P,Q两点.不妨设P点为直线和椭圆在第一象限的交点,又∵弦长为,∴,∴,又a2=2b2,解得a2=8,b2=4,∴椭圆方程为.(Ⅱ)(i)当切线l的斜率不存在时,设x=r(或x=﹣r),代入椭圆方程得:y=±∴A(r,),B(r,﹣),∵以AB为直径的圆恒过原点,∴⊥,∴r2﹣=0,∴r2=,∴圆O的方程为x2+y2=,此时|AB|=2=(同理当x=﹣r时,上述结论仍然成立),(ii)当切线l的斜率存在时,设l方程为:y=kx+m,∵l与圆O相切∴=r,即m2=(1+k2)r2,将直线方程代入椭圆方程并整理得:(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0,①△=8k2+4﹣m2>0,②设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个解,由韦达定理得:x1+x2=﹣,x1x2=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=,∵以AB为直径的圆恒过原点,∴⊥,∴x1x2+y1y2=0,∴+=0,∴3m2﹣8﹣8k2=0,3m2=8(1+k2),又∵m2=(1+k2)r2,∴3(1+k2)r2=8(1+k2),∴r2=,此时m2=(1+k2),代入②式后成立,∴圆O的方程为x2+y2=,此时|AB|=•,=•,=••,=••,=•,=•,=•;(i)若k=0,则|AB|=,(ii)若k≠0,则|AB|=•∈(,2],综上,圆O的方程为x2+y2=,|AB|的取值范围是[,2].20.已知f(x)=xlnx+mx,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为1.(1)求实数m的值;(2)设g(x)=f(x)﹣x2﹣x+a(a∈R)在其定义域内有两个不同的极值点x1,x2,且x1<x2,已知λ>0,若不等式e1+λ<x1•x2λ恒成立,求λ的范围.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值.【分析】(1)求出原函数的导函数,得到f′(1),由f′(1)=1求得m值;(2)求出g(x),求其导函数,可得lnx1=ax1,lnx2=ax2,不等式e1+λ<x1•x2λ恒成立,转化为恒成立,进一步转化为恒成立.令,t∈(0,1),则不等式在t∈(0,1)上恒成立.令,求导可得满足条件的λ的范围.【解答】解:(1)f′(x)=1+lnx+m,由题意知,f′(1)=1,即:m+1=1,解得m=0;(2)∵e1+λ<x1•x2λ等价于1+λ<lnx1+λlnx2.g(x)=f(x)﹣x2﹣x+a=xlnx﹣x2﹣x+a,由题意可知x1,x2分别是方程g′(x)=0,即:lnx﹣ax=0的两个根,即lnx1=ax1,lnx2=ax2.∴原式等价于1+λ<ax1+λax2=a(x1+λx2),∵λ>0,0<x1<x2,∴原式等价于.又由lnx1=ax1,lnx2=ax2.作差得,,即.∴原式等价于,∵0<x1<x2,原式恒成立,即恒成立.令,t∈(0,1),则不等式在t∈(0,1)上恒成立.令,又h′(t)=,当λ2≥1时,可得t∈(0,1)时,h′(t)>0,∴h(t)在t∈(0,1)上单调增,又h(1)=0,h(t)<0在t∈(0,1)恒成立,符合题意.当λ2<1时,可得t∈(0,λ2)时,h′(t)>0,t∈(λ2,1)时,h′(t)<0,∴h(t)在t∈(0,λ2)时单调增,在t∈(λ2,1)时单调减,又h(1)=0,∴h(t)在t∈(0,1)上不能恒小于0,不符合题意,舍去.综上所述,若不等式e1+λ<x1•x2λ恒成立,只须λ2≥1,又λ>0,∴λ≥1.2016年11月7日。
天津市第一中学高三数学上学期第零次月考试卷 理(含解析)
2015-2016学年天津一中高三(上)第零次月考数学试卷(理科)一、选择题:1.已知复数z满足(3+4i)z=25,则z=()A.3﹣4i B.3+4i C.﹣3﹣4i D.﹣3+4i2.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则()A.¬p:∀x∈A,2x∉B B.¬p:∀x∉A,2x∉B C.¬p:∃x∉A,2x∈B D.¬p:∃x∈A,2x∉B 3.执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.4.已知a=2,b=log2,c=log,则a,b,c的大小关系为()A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a5.若α∈(,π),则3cos2α=sin(﹣α),则sin2α的值为()A.B.﹣C.D.﹣6.设各项均不为0的数列{a n}满足a n+1=a n(n≥1),S n是其前n项和,若a2a4=2a5,则S4=()A.4 B.8 C.3+3D.6+67.若正数m,n满足m+3n=5mn,则3m+4n的最小值为()A.B.C.6 D.58.已知x∈R,符号[x]表示不超过x的最大整数,若函数有且仅有3个零点,则a的取值范围是()A.B.C.D.二、填空题:9.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于.10.在(x﹣)6的展开式中,x2的系数为.11.已知平面直角坐标系xOy内直线l的参数方程为(t为参数),以Ox为极轴建立极坐标系(取相同的长度单位),圆C的极坐标方程为ρ=2sin(θ+),则直线l与圆C的位置关系是.12.已知向量与的夹角为120°,且,.若,且,则实数λ=.13.如图,△ABC内接于⊙O,过BC中点D作平行于AC的直线l,l交AB于E,交⊙O于G、F,交⊙O在A点的切线于P,若PE=3,ED=2,EF=3,则PA的长为.14.在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1﹣y),若对∀x>2,不等式(x﹣a)⊗x≤a+2都成立,则实数a的取值范围是.三.解答题(共6题,80分)15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若B=,且(a﹣b+c)(a+b﹣c)=bc.(Ⅰ)求cosC的值;(Ⅱ)若a=5,求△ABC的面积.16.端午节吃粽子是我国的传统习俗,设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同,从中任意选取3个.(Ⅰ)求三种粽子各取到1个的概率;(Ⅱ)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.17.设函数f (x)=.(1)求f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程;(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,求g (x)在区间上的值域.18.正项数列{a n}满足f(a n)=(a n≠2),且{a n}的前n项和S n= [3﹣]2.(Ⅰ)求证:{a n}是等差数列;(Ⅱ)若b n=,求数列{b n}的前n项和T n.19.已知函数f(x)=1nx﹣﹣2x(1)若函数f(x)在x=2处取得极值,求实数a的值;(2)若函数f(x)在定义域内单调递增,求a的取值范围;(3)若a=﹣时,关于x的方程f(x)=﹣x+b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.20.已知函数为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线与x轴平行.(Ⅰ)求k的值;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)设g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x>0,g(x)<1+e ﹣2.2015-2016学年天津一中高三(上)第零次月考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:1.已知复数z满足(3+4i)z=25,则z=()A.3﹣4i B.3+4i C.﹣3﹣4i D.﹣3+4i【考点】复数相等的充要条件.【专题】数系的扩充和复数.【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,计算求得z的值.【解答】解:∵复数z满足(3+4i)z=25,则z====3﹣4i,故选:A.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,属于基础题.2.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则()A.¬p:∀x∈A,2x∉B B.¬p:∀x∉A,2x∉B C.¬p:∃x∉A,2x∈B D.¬p:∃x∈A,2x∉B 【考点】全称命题;命题的否定.【专题】简易逻辑.【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题,写出命题的否定命题即可.【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,所以设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则¬p:∃x∈A,2x∉B.故选D.【点评】本题考查命题的否定,全称命题与特称命题的否定关系,基本知识的考查.3.执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.【考点】程序框图.【分析】列出循环过程中S与i的数值,满足判断框的条件即可结束循环.【解答】解:判断前i=1,n=3,s=0,第1次循环,S=,i=2,第2次循环,S=,i=3,第3次循环,S=,i=4,此时,i>n,满足判断框的条件,结束循环,输出结果:S== =故选:B【点评】本题考查循环框图的应用,注意判断框的条件的应用,考查计算能力4.已知a=2,b=log2,c=log,则a,b,c的大小关系为()A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a【考点】对数值大小的比较.【专题】函数的性质及应用.【分析】利用对数函数与指数函数的单调性即可得出.【解答】解:∵0<a=2<1,b=log2<0,c=log=log23>1,∴b<a<c,故选:A.【点评】本题考查了对数函数与指数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.5.若α∈(,π),则3cos2α=sin(﹣α),则sin2α的值为()A.B.﹣C.D.﹣【考点】三角函数的化简求值;同角三角函数基本关系的运用;两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数.【专题】计算题;三角函数的图像与性质.【分析】直接利用两角和与差的三角函数以及二倍角的余弦函数化简函数的表达式,利用平方关系式求出结果即可.【解答】解:3cos2α=sin(﹣α),可得3cos2α=(cosα﹣sinα),3(cos2α﹣sin2α)=(cosα﹣sinα),∵α∈(,π),∴sinα﹣cosα≠0,上式化为:sinα+cosα=,两边平方可得1+sin2α=.∴sin2α=.故选:D.【点评】本题主要考查二倍角的余弦函数,同角三角函数的基本关系的应用,属于中档题.6.设各项均不为0的数列{a n}满足a n+1=a n(n≥1),S n是其前n项和,若a2a4=2a5,则S4=()A.4 B.8 C.3+3D.6+6【考点】等比数列的前n项和.【专题】等差数列与等比数列.【分析】易得数列{a n}为公比q=的等比数列,由已知式子可得a1=2,代入求和公式可得.【解答】解:∵各项均不为0的数列{a n}满足a n+1=a n(n≥1),∴=,即数列{a n}为公比q=的等比数列,∵a2a4=2a5,∴a1q•a1q3=2a1q4,解得a1=2,或a1=0(矛盾,舍去)∴S4===6+6故选:D【点评】本题考查等比数列的前n项和,涉及等比数列的判定,属基础题.7.若正数m,n满足m+3n=5mn,则3m+4n的最小值为()A.B.C.6 D.5【考点】基本不等式.【专题】不等式的解法及应用.【分析】原式可化为+=1,可得3m+4n=(3m+4n)(+)=+++,由基本不等式可得.【解答】解:∵正数m,n满足m+3n=5mn,∴=1,即+=1,∴3m+4n=(3m+4n)(+)=+++≥+2=5,当且仅当=即m=1且n=时取等号,故选:D.【点评】本题考查基本不等式求最值,“1”的代换是解决问题的关键,属基础题.8.已知x∈R,符号[x]表示不超过x的最大整数,若函数有且仅有3个零点,则a的取值范围是()A.B.C.D.【考点】函数零点的判定定理.【专题】函数的性质及应用.【分析】由题意可得,方程在(0,+∞)上有且仅有3个实数根,且a≥0,[x]=1,2,3.分别求得[x]=1,2,3,4时,a的范围,从而确定满足条件的a的范围.【解答】解:因为f(x)=,有且仅有3个零点,则方程在(0,+∞)上有且仅有3个实数根,且a≥0.∵x>0,∴[x]≥0;若[x]=0,则=0;若[x]≥1,因为[x]≤x<[x]+1,∴<≤1,∴<a≤1,且随着[x]的增大而增大.故不同的[x]对应不同的a值,故有[x]=1,2,3.若[x]=1,则有<≤1;若[x]=2,则有<≤1;若[x]=3,则有<≤1;若[x]=4,则有<≤1.综上所述,<a≤,故选:C.【点评】本题主要考查函数零点的判定定理,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题.二、填空题:9.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于.【考点】由三视图求面积、体积.【专题】计算题;空间位置关系与距离.【分析】已知中的三视图可知:该几何体是以一个半圆柱和三棱柱组成的组合体,分别计算他们的体积,相加可得答案.【解答】解:由三视图可知:该几何体是以一个半圆柱和三棱柱组成的组合体,半圆柱的体积为:π•12×2=π,三棱柱的体积: =2.该几何体的体积等于:.故答案为:.【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积,其中分析出几何体的形状是解答的关键.10.在(x﹣)6的展开式中,x2的系数为.【考点】二项式定理的应用.【专题】计算题;二项式定理.【分析】在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于2,求出r的值,即可求得x2的系数.【解答】解:(x﹣)6的展开式的通项公式为T r+1=•(x)6﹣r•(﹣)r=(﹣)r••x6﹣2r,令6﹣2r=2,解得r=2,∴展开式中x2的系数为×=,故答案为:.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题.11.已知平面直角坐标系xOy内直线l的参数方程为(t为参数),以Ox为极轴建立极坐标系(取相同的长度单位),圆C的极坐标方程为ρ=2sin(θ+),则直线l与圆C的位置关系是相切.【考点】点的极坐标和直角坐标的互化;直线与圆的位置关系;参数方程化成普通方程.【专题】直线与圆;坐标系和参数方程.【分析】先把直线与圆的参数方程化为普通方程,求出圆心到直线的距离d,只要比较d与r的大小即可.【解答】解:直线l的参数方程为:(t为参数),消去参数得x﹣y﹣2=0,圆C的极坐标方程:ρ=2sin(θ+),直角坐标方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.圆心C(1,1),半径r=;∴圆心C(0,0)到直线l的距离d==r,∴直线x﹣y﹣2=0与圆(x﹣1)2+(y﹣1)2=2相切,∴直线l与圆C的公共点的个数只有一个.故答案为:相切.【点评】利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系,判断出直线与圆的位置关系是解题的关键.12.已知向量与的夹角为120°,且,.若,且,则实数λ=.【考点】数量积表示两个向量的夹角;向量的模.【专题】平面向量及应用.【分析】利用,,表示向量,通过数量积为0,求出λ的值即可.【解答】解:由题意可知:,因为,所以,所以===﹣12λ+7=0解得λ=.故答案为:.【点评】本题考查向量的数量积的应用,向量的垂直,考查转化数学与计算能力.13.如图,△ABC内接于⊙O,过BC中点D作平行于AC的直线l,l交AB于E,交⊙O于G、F,交⊙O在A点的切线于P,若PE=3,ED=2,EF=3,则PA的长为.【考点】圆的切线的判定定理的证明;与圆有关的比例线段.【专题】选作题;立体几何.【分析】根据DE∥AC利用平行线的性质,证出AE=BE且∠BDE=∠C.再由弦切角定理证出∠BDE=∠PAE,从而得出∠BED=∠PEA,可得△BED∽△PEA,最后利用题中数据计算线段的比,即可算出PA的长.【解答】解:∵D是BC的中点,DE∥AC,∴AE=BE,且∠BDE=∠C.又∵PA切圆O于点A,∴∠PAE=∠C,可得∠BDE=∠PAE.∵∠BED=∠PEA,∴△BED∽△PEA,可得,∴AE2=BE•AE=PE•ED=6.由此解出AE=.∵AE2=GE•EF,∴GE=2,∴PG=1,∴PA2=PG•PF=6,∴PA=.故答案为:.【点评】本题给出圆满足的条件,求线段PA的长.着重考查了弦切角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识,属于中档题.14.在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1﹣y),若对∀x>2,不等式(x﹣a)⊗x≤a+2都成立,则实数a的取值范围是a≤7.【考点】函数恒成立问题.【专题】证明题.【分析】利用定义求出:(x﹣a)⊗x≤a+2得(x﹣a)(1﹣x)≤a+2,对不等式进行整理变形a≤﹣1=x﹣2++3,利用均值不等式求表达式的最小值即可.【解答】解:∵(x﹣a)⊗x≤a+2,∴(x﹣a)(1﹣x)≤a+2,∴a≤﹣1=x﹣2++3,∵x﹣2++3≥7,∴a≤7.【点评】考察了对题中定义的理解,和对式子的变形,利用均值定理证明不等式.三.解答题(共6题,80分)15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若B=,且(a﹣b+c)(a+b﹣c)=bc.(Ⅰ)求cosC的值;(Ⅱ)若a=5,求△ABC的面积.【考点】余弦定理.【专题】解三角形.【分析】(Ⅰ)已知等式利用平方差公式及完全平方公式变形,整理后得到关系式,利用余弦定理表示出cosC,将得出的关系式代入求出cosA的值,进而求出sinA的值,由cosC=﹣cos(A+B),利用两角和与差的余弦函数公式化简,把各自的值代入计算即可求出cosC的值;(Ⅱ)由sinC,a,sinA的值,利用正弦定理求出c的值,利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可.【解答】解:(Ⅰ)(a﹣b+c)(a+b﹣c)=bc可得:a2﹣(b﹣c)2=a2﹣b2﹣c2+2bc=bc,∴a2=b2+c2﹣bc,∴cosA==,∴sinA==,则cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣×+×=;(Ⅱ)由(Ⅰ)可得sinC==,在△ABC中,由正弦定理==,得:c===8,则S=acsinB=×5×8×=10.【点评】此题考查了余弦定理,以及三角形的面积公式,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.16.端午节吃粽子是我国的传统习俗,设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同,从中任意选取3个.(Ⅰ)求三种粽子各取到1个的概率;(Ⅱ)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式.【专题】概率与统计.【分析】(Ⅰ)根据古典概型的概率公式进行计算即可;(Ⅱ)随机变量X的取值为:0,1,2,别求出对应的概率,即可求出分布列和期望.【解答】解:(Ⅰ)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率公式有P(A)==.(Ⅱ)随机变量X的取值为:0,1,2,则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,X 0 1 2PEX=0×+1×+2×=.【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算,求出对应的概率是解决本题的关键.17.设函数f (x)=.(1)求f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程;(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,求g (x)在区间上的值域.【考点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;复合三角函数的单调性.【专题】三角函数的图像与性质.【分析】(1)利用和差角公式对f(x)可化为:f(x)=sin(2x+),由周期公式可求最小正周期,令2x+=kπ+,解出x可得对称轴方程;(2)根据图象平移规律可得g(x)=﹣cos2x,由x的范围可得2x范围,从而得cos2x的范围,进而得g(x)的值域;【解答】解:f(x)=sin2xcos+cos2xsin﹣cos2x=sin2x+cos2x=sin(2x+),(1)所以f(x)的最小正周期为T=π,由2x+=kπ+,得x=,k∈Z,所以函数f(x)图象的对称轴方程为:x=,k∈Z;(2)由题意得,g(x)=f(x﹣)=sin(2x﹣)=﹣cos2x,∵x,∴,从而cos2x∈[﹣,1],所以g(x)的值域为[﹣,].【点评】本题考查三角函数的恒等变换、三角函数的周期及其求法、三角函数的图象变换等知识,熟练掌握有关基础知识解决该类题目的关键.18.正项数列{a n}满足f(a n)=(a n≠2),且{a n}的前n项和S n= [3﹣]2.(Ⅰ)求证:{a n}是等差数列;(Ⅱ)若b n=,求数列{b n}的前n项和T n.【考点】数列的求和;等差关系的确定.【专题】等差数列与等比数列.【分析】(Ⅰ)利用a n与S n的关系求得a n﹣a n﹣1=2,由等差数列的定义可得数列{a n}是首项为1,公差为2的等差数列;(Ⅱ)由(Ⅰ)求得b n==,利用错位相减法求得数列的和.【解答】(Ⅰ)证明:∵f(a n)=(a n≠2),S n= [3﹣]2.∴S n= [3﹣(2﹣a n)]2=.当n=1时,由a1=,得a1=1,当n≥2时,S n﹣1=,由a n=S n﹣S n﹣1=(﹣+2a n﹣2a n﹣1),整理得(a n+a n﹣1)(a n﹣a n﹣1﹣2)=0,∴当n≥2时,由题意a n>0,则a n﹣a n﹣1=2,∴数列{a n}是首项为1,公差为2的等差数列;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知{a n}的通项公式为a n=2n﹣1,∴b n==,∴T n=+++…+,T n=+++…+,两式作差得T n=+++…+﹣,∴T n=2×(+++…+)﹣﹣=2×﹣﹣=﹣,∴T n=3﹣.【点评】本题主要考查等差数列的定义及数列求和等知识,考查学生的运算能力,属中档题.19.已知函数f(x)=1nx﹣﹣2x(1)若函数f(x)在x=2处取得极值,求实数a的值;(2)若函数f(x)在定义域内单调递增,求a的取值范围;(3)若a=﹣时,关于x的方程f(x)=﹣x+b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.【专题】计算题;函数的性质及应用;导数的概念及应用.【分析】(1)求出函数的导数f'(x),根据题意解关于a的等式f'(2)=0,即可得到实数a的值;(2)由题意,不等式f'(x)≥0在(0,+∞)内恒成立,等价转化为a≤在(0,+∞)内恒成立,求出右边的最小值为﹣1,即可得到实数a的取值范围;(3)原方程化简为x2﹣x+lnx﹣b=0,设g(x)=x2﹣x+lnx﹣b(x>0),利用导数研究g(x)的单调性得到原方程在[1,4]上恰有两个不相等的实数根的等价命题,建立关于b的不等式组并解之,即可得到实数b的取值范围.【解答】解:(1)f'(x)=﹣ax﹣2=﹣(x>0)∵f(x)在x=2处取得极值,∴f'(2)=0,即=0,解之得a=﹣(经检验符合题意)(2)由题意,得f'(x)≥0在(0,+∞)内恒成立,即ax2+2x﹣1≤0在(0,+∞)内恒成立,∵x2>0,可得a≤在(0,+∞)内恒成立,∴由=(﹣1)2﹣1,当x=1时有最小值为﹣1,可得a≤﹣1因此满足条件的a的取值范围为(﹣∞,﹣1](3)a=﹣,f(x)=﹣x+b即x2﹣x+lnx﹣b=0设g(x)=x2﹣x+lnx﹣b,(x>0),可得g'(x)=列表可得∴[g(x)]极小值=g(2)=ln2﹣b﹣2;[g(x)]极大值=g(1)=﹣b﹣∵方程g(x)=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,且g(4)=2ln2﹣b﹣2∴,解之得ln2﹣2<b≤﹣【点评】本题给出含有对数的基本初等函数,讨论函数的极值与单调性,并依此探求关于x的方程有解的问题.着重考查了导数在研究函数的单调性、求函数的极值与最值等方面的应用,考查了数形结合思想与逻辑推理能力,属于中档题.20.已知函数为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线与x轴平行.(Ⅰ)求k的值;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)设g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x>0,g(x)<1+e ﹣2.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】导数的综合应用.【分析】(Ⅰ)先求出f′(x)=,x∈(0,+∞),由y=f(x)在(1,f(1))处的切线与x轴平行,得f′(1)=0,从而求出k=1;(Ⅱ)由(Ⅰ)得:f′(x)=(1﹣x﹣xlnx),x∈(0,+∞),令h(x)=1﹣x﹣xlnx,x∈(0,+∞),求出h(x)的导数,从而得f(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减;(Ⅲ)因g(x)=(1﹣x﹣xlnx),x∈(0,+∞),由(Ⅱ)h(x)=1﹣x﹣xlnx,x∈(0,+∞),得1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2,设m(x)=e x﹣(x+1),得m(x)>m(0)=0,进而1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2<(1+e ﹣2),问题得以证明.【解答】解:(Ⅰ)∵f′(x)=,x∈(0,+∞),且y=f(x)在(1,f(1))处的切线与x轴平行,∴f′(1)=0,∴k=1;(Ⅱ)由(Ⅰ)得:f′(x)=(1﹣x﹣xlnx),x∈(0,+∞),。
《KS发布》天津一中高三上学期第一次月考数学试题含答案
5
19.设椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的右顶点为
,上顶点为
.已知椭圆的离心率为
5, 3
| AB | 13 .
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设直线 :
与椭圆交于 , 两点,且点 在第二象限. 与 延长线交于
点 ,若 的面积是
面积的 3 倍,求 的值.
20.已知函数
f
(x)
lnx ,
g(x)
天天津津一一中中2021091-290-22002高0三高年三级年一级月一考数月学考试数卷学(试理卷)
本试卷分为第 I 卷(选择题)、第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟
考生务必将答案涂写在规定的位置上,答在试卷上的无效。祝各位考生考试顺利!
一、选择题:
1.已知集合 A={x|x2﹣x﹣2<0},B={x| log 1 x ≥﹣1},则 A∪B=( )
18.已知函数 f (x) sin(2 x ) sin(2 x ) 2 cos2 x ,其中 0 ,且函数 f (x) 的最
3
3
小正周期为
(1)求 的值;
(2)求 f (x) 的单调增区间 (3)若函数 g(x) f (x) a 在区间 [ , ] 上有两个零点,求实数 a 的取值范围.
7.【解答】解:设截去的小正方形的边长为 x cm,铁盒的容积为 V cm3, 由题意得,V=x(18﹣2x)2(0<x<9), V′=12(3﹣x)(9﹣x), 令 V′=0,则在(0,9)内有 x=3. 故当 x=3 时,V 有最大值; 故选:C. 8.【解答】解:由 y=f(x)﹣ax 恰有两个零点,而当 x=0 时,y=f(0)﹣0= 0,即 x=0 是函数的一个零点,
天津市高三数学上学期第一次月考试题 理 新人教A版
天津新华中学2012-2013学年度第一学期高三年级第一次月考数学试卷(理科)一、选择题:(本大题共8小题,每小题4分,共32分.)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2A={|log <1},B={x|0<<c}x x x ,若=A B B U ,则c 的取值范围是 A. (0,1] B. [1,+)∞ C. (0,2]D. [2,+)∞【答案】D【解析】2{log 1}{01}A x x x x =<=<<.因为A B B =U ,所以A B ⊆.所以1c ≥,即[1,)+∞,选B.2. 已知命题:"[1,2],-0"2p x x a ∀∈≥,命题:"R,+2+2=0"2q x x ax -a ∃∈使,若命题“p q 且”是真命题,则实数a 的取值范围是A. {|-2=1}a a a ≤或B. {|-2}a a ≤C. {|-22}a a a ≤≤≤或1D. {|-21}a a ≤≤ 【答案】A【解析】由20x a -≥,得2,[1,2]a x x ≤∈,所以1a ≤.要使q 成立,则有244(2)0a a ∆=--≥,即220a a +-≥,解得1a ≥或2a ≤-.因为命题“p q 且”是真命题,则,p q 同时为真,即112a a a ≤⎧⎨≥≤-⎩或,即2a ≤-或1a =,选A.3. 已知函数()()2531m f x m m x --=--是幂函数且是()0,+∞上的增函数,则m 的值为 A. 2 B. -1 C. -1或2D. 0【答案】B【解析】因为函数为幂函数,所以211m m --=,即220m m --=,解得2m =或1m =-.因为幂函数在(0,)+∞,所以530m -->,即35m <-,所以1m =-.选B. 4. 已知定义在区间[0,2]上的函数=()y f x 的图象如图所示,则=(2-)y f x 的图象为【答案】A【解析】当0x =时,(20)(2)1y f f =-==,排除B,C,D,选A.5. 给定函数①12=y x -,②23+3=2xx y -,③12=log |1-|y x ,④=sin2xy π,其中在(0,1)上单调递减的个数为A. 0B. 1 个C. 2 个D. 3个 【答案】C【解析】①为幂函数,102-<,所以在(0,1)上递减.②223333()24x x x -+=-+,在(0,1)上递减,所以函数23+3=2x x y -在(0,1),递减.③1122log 1log 1y x x =-=-,在(0,1)递增.④sin2y x π=的周期,4T =,在(0,1)上单调递增,所以满足条件的有2个,选C.6. 设3=2a log ,=2b ln ,12=5c -,则A. <<a b cB. <<b c aC. <<c a bD. <<c b a 【答案】C【解析】321log 2log 3=,21ln 2log e =,1255-=2252log 3log 0e >>>>,所以22110log 3log 5e <<<,即c a b <<。
天津市西青区杨柳青第一中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试卷
天津市西青区杨柳青第一中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试卷一、单选题1.已知集合{|41}M x x =-<≤,{|13}N x x =-<<,则M N ⋃=( ) A .{}43x x -<< B .{}11x x -<≤ C .{}0,1,2D .{}14x x -<<2.“0xy =”是“220x y +=”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 3.三个数2log 0.7a =,20.3b =,0.32c =的大小关系为( ) A .a b c <<B .b a c <<C .a c b <<D .b c a <<4.已知某函数的部分图象如图所示,则下列函数中符合此图象的为( )A .e e xxxy -=+B .cos y x x =C .()e e x xy x -=-D .()cos e e x xy x -=+5.随着居民家庭收入的不断提高,人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温.某城市统计了最近5个月的房屋交易量,如下表所示:若y 与x 满足一元线性回归模型,且经验回归方程为ˆˆ0.24y x a =+,则下列说法错误的是( ) A .根据表中数据可知,变量y 与x 正相关B .经验回归方程ˆˆ0.24yx a =+中ˆ0.28a = C .可以预测6x =时房屋交易量约为1.72(万套) D .5x =时,残差为0.02-6.在正方体1111ABCD A B C D -中,三棱锥11A B CD -的表面积为积为( )A .BC .D .7.将函数()πcos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上的所有点向左平移5π6个单位长度,得到函数()g x 的图象,则( )A .()2πcos 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B .()g x 在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C .()g x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .直线π4x =是()g x 图象的一条对称轴8.已知双曲线C :22221()00a x y a bb >-=>,,圆221:(2)4O x y -+=与圆222:(1)1O x y +-=的公共弦所在的直线是C 的一条渐近线,则C 的离心率为( )AB .2C D9.已知函数()1πcos sin 222f x x x x ωωω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭(ω∈R ,且0ω>),x ∈R ,若函数()f x 在区间()0,2π上恰有3个极大值点,则ω的取值范围为( ) A .1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦.C .1319,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .1319,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题10.i 是虚数单位,复数42i1i+=-. 11.53212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是.(用数字作答)12.袋子中有6个大小相同的小球,其中4个红球,2个白球.每次从袋子中随机摸出1个球,摸出的球不再放回,则两次都摸到红球的概率为;在第一次摸到红球的条件下,第二次摸到红球的概率为.13.在ABC V 中,已知3DC BD =u u u r u u u r ,P 为线段AD 的中点,若BP BA BC λμ=+u u u r u u u r u u u r ,则11λμ+=.14.已知实数0a >,0b >,11111a b +=++,则2+a b 的最小值是. 15.已知函数()e -=x tf x ,()e =-+g x x ,()()(){}max ,h x f x g x =,其中{}max ,a b 表示a ,b 中最大的数.若1t =,则()0h =;若()e h x >对R x ∈恒成立,则t 的取值范围是.三、解答题16.在ABC V 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知b =sin A C =,cos B =. (1)求a 的值; (2)求cos C 的值; (3)求()sin 2+C B 的值.17.如图,已知在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 为直角梯形,,//AD CD AB CD ⊥,2,4AB AD PD CD ====,点E 是棱PC 上靠近P 端的三等分点,点F 是棱PA 上一点.(1)证明://PA 平面BDE ; (2)求点F 到平面BDE 的距离;(3)求平面BDE 与平面PBC 夹角的余弦值.18.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>,左顶点A 与上顶点B (1)求椭圆C 的方程;(2)点P 在椭圆C 上,且P 点不在x 轴上,线段AP 的垂直平分线与y 轴相交于点Q ,若PAQ △为等边三角形,求直线AP 的方程.19.已知{}n a 为等差数列,前n 项和为(){}*n n S n b ∈N ,是首项为2的等比数列,且公比大于0,2334111412,2,11b b b a a S b +==-=.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)若数列{}n c 满足:21n n n n na c a ab ++=⋅⋅,求数列{}nc 的前n 项和n T ;(3)若数列{}n d 满足:11n n n n n b bd b b =++-,证明:121ni i d n =<+∑. 20.设函数()2ln f x x x =+.(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程; (2)设函数()()()R g x f x ax a =-∈(i )当1x =时,()g x 取得极值,求()g x 的单调区间; (ii )若()g x 存在两个极值点12,x x ,证明:()()212142g x g x a x x a ->--.。
2022-2023学年天津市西青区杨柳青一中高三(上)第一次适应性数学试卷(学生版+解析版)
2022-2023学年天津市西青区杨柳青一中高三(上)第一次适应性数学试卷一、单选题(每小题5分,共45分)1.(5分)设集合A={﹣1,1,2,3,5,6},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A ∩C)∪B=()A.{2}B.{2,3}C.{﹣1,2,3}D.{1,2,3,4}2.(5分)“sin x=√22”是“x=2kπ+π4(k∈Z)”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(5分)函数f(x)=x3−3xe|x|在[﹣5,5]的图象大致为()A.B.C.D.4.(5分)某市为了减少水资源的浪费,计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度.为了确定一个比较合理的标准,通过简单随机抽样,获得了100户居民的月均用水量数据(单位:吨),得到如图所示的频率分布直方图.估计该市居民月均用水量的中位数为( )A .8.25B .8.45C .8.65D .8.855.(5分)已知a =log 123,b =ln π,c =e−12,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .b >c >a B .b >a >cC .c >b >aD .c >a >b6.(5分)如图所示,在多面体ABCDEF 中,已知四边形ABCD 是边长为1的正方形,且△ADE 、△BCF 均为正三角形,EF ∥AB ,EF =2,则该多面体的体积为( )A .√23B .√33C .23D .437.(5分)已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点为F (﹣c ,0),抛物线y 2=4cx 的准线与双曲线的一个交点为P ,点M 为线段PF 的中点,且△OFM 为等腰直角三角形,则双曲线C 的离心率为( ) A .√2B .√2+1C .√5+12D .√10+√228.(5分)已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,其中A(π12,2),B(π3,0),则下列说法错误的是( )A .f (x )的最小正周期为πB .将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后关于原点对称C .f (x )在[−π,−2π3]上单调递减 D .直线x =7π12为f (x )图象的一条对称轴 9.(5分)如下图,在平面四边形ABCD 中,AB ⊥BC ,AD ⊥CD ,∠BCD =π3,CB =CD =2√3.若点M 为边BC 上的动点,则AM →⋅DM →的最小值为( )A .83B .214C .−114D .−133二、填空题(每小题5分,共30分)10.(5分)已知复数z =1+3i 1+i (i 为虚数单位),则|z |= .11.(5分)二项式(√x −1√x3)n 的展开式中第4项为常数项,则常数项为 . 12.(5分)已知直线x +y −√3a =0与圆C :(x +1)2+(y ﹣1)2=2a 2﹣2a +1相交于点A ,B ,若△ABC 是正三角形,则实数a = .13.(5分)为了抗击新冠肺炎疫情,现从A 医院150人和B 医院100人中,按分层抽样的方法,选出5人加入“援鄂医疗队”,现拟再从此5人中选出两人作为联络人,则这两名联络人中B 医院至少有一人的概率是 .设两名联络人中B 医院的人数为X ,则X 的期望为 .14.(5分)已知正实数m ,n 满足m +n =2,则nm+12n的最小值为 ,此时m 的最大值为 .15.(5分)已知函数f (x )={x 2+(4a −3)x +3a ,x <0log a (x +1)+1,x ≥0(a >0且a ≠1)在R 上单调递减,且关于x 的方程|f (x )|=2﹣x 恰有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是 . 四、解答题(共75分)16.(15分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,b =2√7,c =2,B =π3. (Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)求sin A ;(Ⅲ)求sin (B +2A )的值.17.(15分)如图,四棱锥P ﹣ABCD 中,侧面P AB ⊥底面ABCD ,CD ∥AB ,AD ⊥AB ,AD =AB =2,CF =13CD =12,P A =PB =√5,E ,N 分别为AB ,PB 的中点. (Ⅰ)求证:CN ∥平面PEF ; (Ⅱ)求二面角N ﹣CD ﹣A 的余弦值;(Ⅲ)在线段BC 上是否存在一点Q ,使NQ 与平面PEF 所成角的正弦值为√1414,若存在求出BQ 的长,若不存在说明理由.18.(15分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),左右焦点为F 1,F 2离心率为12,短轴长为2√3.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若直线y =x +m (m >0)与椭圆交于P 、Q 两点,且OP ⊥OQ ,求m .(3)若点A 在椭圆上且在第一象限内,AF 2⊥F 1F 2,直线AF 1与椭圆交于另外一点B ,设点M 在椭圆上,记三角形OAB 与三角形MAB 的面积分别为S 1、S 2,若S 2=3S 1,求M坐标.19.(15分)已知{a n}为等差数列,{b n}为公比大于0的等比数列,且b1=2,b2+b3=12,a3=3,a4+2a6=b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)d n={(3a n+1+5)b n+1(a n b n+1)(a n+2b n+2+1),n=2k−1a nb n,n=2k,(k∈N*),求数列{d n}的前2n项和S2n;(3)记∁m为{b n}在区间(0,m](m∈N*)中项的个数,求数列{∁m}的前200项和T200.20.(15分)已知f(x)=x2﹣4x﹣6lnx.(Ⅰ)求f(x)在(1,f(1))处的切线方程以及f(x)的单调性;(Ⅱ)对∀x∈(1,+∞),有xf′(x)﹣f(x)>x2+6k(1−1x)﹣12恒成立,求k的最大整数解;(Ⅲ)令g(x)=f(x)+4x﹣(a﹣6)lnx,若g(x)有两个零点分别为x1,x2(x1<x2)且x0为g(x)的唯一的极值点,求证:x1+3x2>4x0.2022-2023学年天津市西青区杨柳青一中高三(上)第一次适应性数学试卷参考答案与试题解析一、单选题(每小题5分,共45分)1.(5分)设集合A={﹣1,1,2,3,5,6},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A ∩C)∪B=()A.{2}B.{2,3}C.{﹣1,2,3}D.{1,2,3,4}【解答】解:因为A∩C={1,2},所以(A∩C)∪B={1,2,3,4}.故选:D.2.(5分)“sin x=√22”是“x=2kπ+π4(k∈Z)”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解:∵sinx=√2 2,∴x=2kπ+π4(k∈Z)或x=2kπ+3π4(k∈Z),∴“sin x=√22”不能推出“x=2kπ+π4(k∈Z)”,充分性不成立,“x=2kπ+π4(k∈Z)”能推出“sin x=√22”,必要性成立,故“sin x=√22”是“x=2kπ+π4(k∈Z)”的必要不充分条件.故选:A.3.(5分)函数f(x)=x3−3xe|x|在[﹣5,5]的图象大致为()A.B.C.D.【解答】解:函数f(x)=x3−3xe|x|在[﹣5,5],则f(﹣x)=−x3+3xe|x|=−f(x),所以f(x)为奇函数,故排除B;由f(5)=53−15e5=110e5>0,故排除AC.故选:D.4.(5分)某市为了减少水资源的浪费,计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度.为了确定一个比较合理的标准,通过简单随机抽样,获得了100户居民的月均用水量数据(单位:吨),得到如图所示的频率分布直方图.估计该市居民月均用水量的中位数为()A .8.25B .8.45C .8.65D .8.85【解答】解:由频率分布直方图,可知月均用水量在5.2吨以下的居民用户频率为4×0.06=0.24,月均用水量在9.2吨以下的居民用户的频率为4×(0.06+0.08)=0.56>0.5, 故中位数落在区间(5.2,9.2)内.设中位数为x ,则0.24+(x ﹣5.2)×0.08=0.5, 即x =5.2+0.5−0.240.08=8.45.故估计该市居民月均用水量的中位数为8.45. 故选:B .5.(5分)已知a =log 123,b =ln π,c =e−12,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .b >c >aB .b >a >cC .c >b >aD .c >a >b【解答】解:a =log 123<log 121=0,b =ln π>lne =1, 0<c =e−12<e 0=1,所以a <c <b . 故选:A .6.(5分)如图所示,在多面体ABCDEF 中,已知四边形ABCD 是边长为1的正方形,且△ADE 、△BCF 均为正三角形,EF ∥AB ,EF =2,则该多面体的体积为( )A .√23B .√33C .23D .43【解答】解:如图所示,分别过点A ,B 作EF 的垂线,垂足分别为G ,H ,连接DG ,CH ,则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱,因为三棱锥高为12,直三棱柱高为1,AG =√1−(12)2=√32,取AD 的中点M ,则MG =√22,所以S △AGD =12×1×√22=√24, 所以该多面体体积V =√24×1+2×13×√24×12=√23, 故选:A .7.(5分)已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点为F (﹣c ,0),抛物线y 2=4cx 的准线与双曲线的一个交点为P ,点M 为线段PF 的中点,且△OFM 为等腰直角三角形,则双曲线C 的离心率为( ) A .√2B .√2+1C .√5+12D .√10+√22【解答】解:抛物线y 2=4cx 的准线为x =﹣c ,不妨设点P 的坐标为(﹣c ,y ),y >0,代入双曲线方程有c 2a 2−y 2b 2=1,解得y =b 2a ,∴点P 的坐标为(−c ,b2a),∵点M 为线段PF 的中点,且F (﹣c ,0),∴M (﹣c ,b 22a),∵△OFM 为等腰直角三角形,∴b 22a=c 即2ac =b 2=c 2﹣a 2,∴(ca)2−2⋅c a−1=0,解得c a=1±√2(舍负),∴c a=1+√2. 故选:B .8.(5分)已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,其中A(π12,2),B(π3,0),则下列说法错误的是( )A .f (x )的最小正周期为πB .将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后关于原点对称C .f (x )在[−π,−2π3]上单调递减 D .直线x =7π12为f (x )图象的一条对称轴 【解答】解:由题意得,T4=π3−π12=π4,则T =π,ω=2πT =2,而f(π12)=2, 即π6+φ=π2+2kπ(k ∈Z),解得φ=π3+2kπ(k ∈Z),∵|φ|<π2, ∴φ=π3,∴f(x)=2sin(2x +π3),故A 正确;函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后,得到f(x −π6)=2sin2x ,该函数图象关于原点对称,放B 正确;∵x ∈[−π,−2π3],∴2x +π3∈[−5π3,−π],则f (x )在[−π,−2π3]上先增后减,故C 错误;∵f(7π12)=2sin 3π2=−2,∴直线x =7π12为f (x )图象的一条对称轴,故D 正确. 故选:C .9.(5分)如下图,在平面四边形ABCD 中,AB ⊥BC ,AD ⊥CD ,∠BCD =π3,CB =CD =2√3.若点M 为边BC 上的动点,则AM →⋅DM →的最小值为( )A .83B .214C .−114D .−133【解答】解:如图所示:以B 0为原点,以BA 所在的直线为x 轴,以BC 所在的直线为y 轴. 过点D 作DP ⊥y 轴,过点D 作DQ ⊥y 轴.∵AB ⊥BC ,AD ⊥CD ,∠BAD =120°,CB =CD =2√3. ∴B (0,0),A (2,0),C (0,2√3),D (3,√3). 设M (0,a ),则AM →=(−2,a),DM →=(−3,a −√3). 故AM →⋅DM →=6+a(a −√3)=(a −√32)2+214≥214. 故选:B .二、填空题(每小题5分,共30分) 10.(5分)已知复数z =1+3i1+i(i 为虚数单位),则|z |= √5 . 【解答】解:∵z =1+3i 1+i =(1+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=4+2i2=2+i . ∴|z |=|2+i |=√22+12=√5. 故答案为:√5.11.(5分)二项式(√x −1√x3)n 的展开式中第4项为常数项,则常数项为 ﹣10 .【解答】解:由题意可知(√x −1√x 3)n 的展开式的常数项为T 4=C n 3(√x)n−3(−1√x3)3=(−1)3C n 3x n−52,令n ﹣5=0,可得n =5.故所求常数项为T 4=(−1)3C 53=−10. 故答案为:﹣10.12.(5分)已知直线x +y −√3a =0与圆C :(x +1)2+(y ﹣1)2=2a 2﹣2a +1相交于点A ,B ,若△ABC 是正三角形,则实数a =12.【解答】解:设圆C 的半径为r ,由2a 2−2a +1=2(a −12)2+12>0 则r =√2a 2−2a +1 ∵△ABC 是正三角形,∴点C (﹣1,1)到直线AB 的距离为√32r ,即√3a|√2=√32√2a 2−2a +1,化简整理可得,3a 22=34(2a 2−2a +1),解得a =12.故答案为:12.13.(5分)为了抗击新冠肺炎疫情,现从A 医院150人和B 医院100人中,按分层抽样的方法,选出5人加入“援鄂医疗队”,现拟再从此5人中选出两人作为联络人,则这两名联络人中B 医院至少有一人的概率是 710.设两名联络人中B 医院的人数为X ,则X 的期望为45.【解答】解:按分层抽样的方法,这5人中,A 医院有5×150150+100=3人,B 医院有5×100150+100=2人, 故从这5人中选2人,B 医院至少有1人的概率为:C 31C 21C 52+C 22C 52=710,由题意知X 取0,1,2, 当X =0时,P =C 32C 52=310, 当X =1时,P =C 31C 21C 52=35,当X =2时,P =C 22C 52=110,故X 的数学期望E (X )=310×0+35×1+110×2=45, 故答案为:710,45.14.(5分)已知正实数m ,n 满足m +n =2,则nm+12n的最小值为54,此时m 的最大值为43.【解答】解:nm+12n=n m+24n =n m +m+n 4n=n m+m 4n+14≥2√nm ⋅m4n+14=54,当且仅当{n m =m 4nm +n =2,即m =43,n =23时,等号成立.故答案为:54;43.15.(5分)已知函数f (x )={x 2+(4a −3)x +3a ,x <0log a (x +1)+1,x ≥0(a >0且a ≠1)在R 上单调递减,且关于x 的方程|f (x )|=2﹣x 恰有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是 [13,23]∪{34} .【解答】解:函数f (x )={x 2+(4a −3)x +3a ,x <0log a (x +1)+1,x ≥0(a >0且α≠1)在R 上单调递减,则:{3−4a2≥00<a <102+(4a −3)⋅0+3a ≥log a (0+1)+1;解得,13≤a ≤34.由图象可知,在[0,+∞)上,|f (x )|=2﹣x 有且仅有一个解, 故在(﹣∞,0)上,|f (x )|=2﹣x 同样有且仅有一个解, 当3a >2即a >23时,联立|x 2+(4a ﹣3)x +3a |=2﹣x , 则Δ=(4a ﹣2)2﹣4(3a ﹣2)=0, 解得a =34或1(舍去),当1≤3a ≤2时,由图象可知,符合条件, 综上:a 的取值范围为[13,23]∪{34},故答案为:[13,23]∪{34}.四、解答题(共75分)16.(15分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,b =2√7,c =2,B =π3. (Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)求sin A ;(Ⅲ)求sin (B +2A )的值.【解答】解:(Ⅰ)因为b =2√7,c =2,B =π3,由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2ac cos B ,可得28=a 2+4﹣2×a ×2×12,可得a 2﹣2a ﹣24=0, 解得a =6,或﹣4(舍去),即a 的值为6.(Ⅱ)由正弦定理asinA =bsinB ,可得sin A =a⋅sinB b =6×√322√7=3√2114.(Ⅲ)因为cos A =b 2+c 2−a 22bc =28+4−362×2√7×2=−√714, 所以sin2A =2sin A cos A =2×3√2114×(−√714)=−3√314,cos2A =2cos 2A ﹣1=2×128−1=−1314, sin (B +2A )=sin B cos2A +cos B sin2A =√32×(−1314)+12×(−3√314)=−4√37.17.(15分)如图,四棱锥P ﹣ABCD 中,侧面P AB ⊥底面ABCD ,CD ∥AB ,AD ⊥AB ,AD =AB =2,CF =13CD =12,P A =PB =√5,E ,N 分别为AB ,PB 的中点. (Ⅰ)求证:CN ∥平面PEF ; (Ⅱ)求二面角N ﹣CD ﹣A 的余弦值;(Ⅲ)在线段BC 上是否存在一点Q ,使NQ 与平面PEF 所成角的正弦值为√1414,若存在求出BQ 的长,若不存在说明理由.【解答】解:(Ⅰ)证明:取PE 中点G ,连接GN ,FN ,GN ∥BE ,GN =12, 即GN ∥CF ,GN =CF 所以GNCF 为平行四边形,所以CN ∥FG , 因为CN ⊄平面PEF ,FG ⊂平面PEF ,所以CN ∥平面PEF . (Ⅱ)解:因为P A =PB ,E 为AB 的中点,所以PE ⊥AB ,因为AD =AB =2,CF =13CD =12,所以CD =32,DF =AE =1,所以EF ⊥AB , 又因为侧面P AB ⊥底面ABCD ,且它们的交线为AB ,所以PE ⊥平面ABCD , 又CD ∥AB ,AD ⊥AB ,分别以EB ,EF ,EP 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.P(0,0,2),C(12,2,0),D(−1,2,0),A(−1,0,0),B(1,0,0),N(12,0,1), 平面CDA 的法向量m →=(0,0,1),CD →=(−32,0,0),CN →=(0,−2,1),设平面CDN 的法向量n →=(x ,y ,z),则{n →⋅CD →=0n →⋅CN →=0,即{32x =0,−2y +z =0,令y =1,得n →=(0,1,2).所以cos <m →,n →>=2√5=2√55,所以二面角N ﹣CD ﹣A 的余弦值为2√55.(Ⅲ)解:设BQ →=λBC →=(−12λ,2λ,0),Q(−12λ+1,2λ,0),NQ →=(−12λ+12,2λ,−1),平面PEF 的法向量p →=(1,0,0), 所以cos <NQ →,p →>=|−12λ+12|√(−12λ+12)+(2λ)2+1=√1414,解得λ=13或λ=﹣9(舍),所以BQ =√176.18.(15分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),左右焦点为F 1,F 2离心率为12,短轴长为2√3.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若直线y =x +m (m >0)与椭圆交于P 、Q 两点,且OP ⊥OQ ,求m .(3)若点A 在椭圆上且在第一象限内,AF 2⊥F 1F 2,直线AF 1与椭圆交于另外一点B ,设点M 在椭圆上,记三角形OAB 与三角形MAB 的面积分别为S 1、S 2,若S 2=3S 1,求M 坐标.【解答】解:(1)由题意可得{2b =2√3e =c a =12a 2=b 2+c 2,解得:b =√3,a =2,所以椭圆的方程为:x 24+y 23=1;(2)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),联立{y =x +m3x 2+4y 2=12,整理可得:7x 2+8my +4m 2﹣12=0, Δ=64m 2﹣4×7(4m 2﹣12)>0,即m 2<7, 且x 1+x 2=−8m 7,x 1x 2=4m 2−127,y 1y 2=(x 1+m )(x 2+m )=x 1x 2+m (x 1+x 2)+m 2=4m 2−127−8m 27+m 2=3m 2−127, 因为OP ⊥OQ ,所以OP →•OQ →=0, 即x 1x 2+y 1y 2=0, 即4m 2−127+3m 2−127=0,整理可得:7m 2=24,m >0,可得m =2√427符合Δ>0, 所以m 的值为:2√427;(3)由(1)可得A (1,32),F 2(1,0),F 1(﹣1,0),可得直线AF 1的方程为y =321−(−1)(x +1),即y =34(x +1),联立{y =34(x +1)3x 2+4y 2=12,整理可得7x 2+6x ﹣13=0,解得x =1(舍)或x =−137,可得y =34(−137+1)=−914, 即B (−137,−914),所以S △AOB =12|OF 1||32−(−914)|=12•1•157=1514;由题意可得S △MAB =3S △AOB =4514, 因为|AB |=√(1+137)2+(32+914)2=257, 设M (m ,n ),设M 到直线AB 的距离d ,则12•d •257=4514,可得d =95,而直线AB 的方程为3x ﹣4y +3=0,则d =|3m−4n+3|√32+(−4)2=|3m−4n+3|5=95, 所以3m ﹣4n =6或3m ﹣4n =﹣12, 因为M 在椭圆上,可得m 24+n 23=1,所以{3m −4n =63m 2+4n 2=12或{3m −4n =−123m 2+4n 2=12, 解得m =2,n =0或m =−27,n =−−127, 即M (2,0)或(−27,−127)19.(15分)已知{a n }为等差数列,{b n }为公比大于0的等比数列,且b 1=2,b 2+b 3=12,a 3=3,a 4+2a 6=b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)d n ={(3a n+1+5)b n+1(a n b n +1)(a n+2b n+2+1),n =2k −1a nb n,n =2k ,(k ∈N *),求数列{d n }的前2n 项和S 2n ;(3)记∁m 为{b n }在区间(0,m ](m ∈N *)中项的个数,求数列{∁m }的前200项和T 200. 【解答】解:(1){a n }为等差数列,{b n }为公比大于0的等比数列, 设公差为t ,公比q >0,且b 1=2,b 2+b 3=12,a 3=3,a 4+2a 6=b 42q +2q 2=12,整理得q =2,b n =2n ,由于a 1+2t =3,a 1+3t +2(a 1+5t )=16 所以a 1=1,t =1, 所以a n =n .(2)d n ={(3a n+1+5)b n+1(a n b n +1)(a n+2b n+2+1),n =2k −1a nb n,n =2k ,故d n={(3n+8)2n+1(n⋅2n +1)((n+2)⋅2n+2+1),n =2k −1n2n ,n =2k ={2n⋅2n+1−2(n+2)⋅2n+2+1,n =2k −1n2n ,n =2k . 记B n =222+424+626+⋅⋅⋅+2n 22n B n =24+442+643+⋅⋅⋅+2n 4n 14B n =242+443+644+⋅⋅⋅+2n4n+1,两式作差得:34B n =12+242+243+⋅⋅⋅+24n−2n 4n+1,所以34B n =12+242(1−(14)n−1)1−14−2n4n+1,34B n =12+13×12(1−(12)2n−2)−n(12)2n+1,34B n =12+16−13×(12)2n−1−n(12)2n+1,34B n =23−(13+n 4)(12)2n−1B n =89−(49+n 3)(12)2n−1,A n =(21×2+1−23×23+1)+(23×23+1−25×25+1)+⋅⋅⋅+2(2n−3+2)⋅22n−1+1−2(2n−1+2)⋅22n+1+1, A n =23−2(2n+1)⋅22n+1+1. 数列{d n }的前2n 项和S 2n =A n +B n =23−2(2n+1)⋅22n+1+1+89−(49+n 3)(12)2n−1. 故S 2n =149−2(2n+1)⋅22n+1+1−(49+n 3)(12)2n−1(3)记∁m 为{b n }在区间(0,m ](m ∈N *)中项的个数,b n =2n ,C 1=0,C 2=C 3=1,C 4=C 5=C 6=C 7=2C 8=C 9=⋅⋅⋅=C 15=3C 16=C 17=⋅⋅⋅=C 31=4C 32=C 33=⋅⋅⋅=C 63=5C 64=C 65=⋅⋅⋅=C 127=6C 128=C 129=⋅⋅⋅=C 200=7.所以求数列{∁m}的前200项和T200=2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×64+7×73=1153.20.(15分)已知f(x)=x2﹣4x﹣6lnx.(Ⅰ)求f(x)在(1,f(1))处的切线方程以及f(x)的单调性;(Ⅱ)对∀x∈(1,+∞),有xf′(x)﹣f(x)>x2+6k(1−1x)﹣12恒成立,求k的最大整数解;(Ⅲ)令g(x)=f(x)+4x﹣(a﹣6)lnx,若g(x)有两个零点分别为x1,x2(x1<x2)且x0为g(x)的唯一的极值点,求证:x1+3x2>4x0.【解答】解:(Ⅰ)f(x)=x2﹣4x﹣6lnx的导数为f′(x)=2x﹣4−6 x,可得f′(1)=﹣8,f(1)=﹣3,所以f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y+3=﹣8(x﹣1)即y=﹣8x+5;由f′(x)=2x(x+1)(x﹣3),由f′(x)>0,可得x>3;由f′(x)<0,可得0<x<3,所以f(x)的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+∞);(Ⅱ)xf′(x)﹣f(x)>x2+6k(1−1x)﹣12等价于k<(x+xlnxx−1)min,可令h(x)=x+xlnxx−1,h′(x)=x−2−lnx(x−1)2,记m(x)=x﹣2﹣lnx,m′(x)=1−1x>0,所以m(x)为(1,+∞)上的递增函数,且m(3)=1﹣ln3<0,m(4)=2﹣ln4>0,所以∃x0∈(3,4),m(x0)=0,即x0﹣2﹣lnx0=0,所以h(x)在(1,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增,且h(x)min=h(x0)=x0+x0lnx0x0−1=x0∈(3,4),所以k的最大整数解为3;(Ⅲ)证明:g(x)=x2﹣alnx,g′(x)=2x−ax=(√2x+√a)(√2x−√a)x=0,可得x0=√a2,当x∈(0,√a2),g′(x)<0,x∈(√a2,+∞),g′(x)>0,所以g(x)在(0,√a2)上单调递减,(√a2,+∞)上单调递增,而要使g(x)有两个零点,要满足g(x0)<0,即g(√a2)=(√a2)2﹣aln√a2<0可得a>2e,因为0<x1<√a2,x2>√a2,令x2x1=t(t>1),由g(x1)=g(x2)⇒x12﹣alnx1=x22﹣alnx2,即x12﹣alnx1=t2x12﹣alntx1⇒x12=alntt2−1,而x1+3x2>4x0⇔(3t+1)x1>2√2a⇔(3t+1)2x12>8a,即(3t+1)2•alntt2−1>8a,由a>0,t>1,只需证(3t+1)2lnt﹣8t2+8>0,令h(t)=(3t+1)2lnt﹣8t2+8,则h′(t)=(18t+6)lnt﹣7t+6+1 t,令n(t)=(18t+6)lnt﹣7t+6+1t,则n′(t)=18lnt+11+6t−1t2>0(t>1),故n(t)在(1,+∞)上递增,n(t)>n(1)=0;故h(t)在(1,+∞)上递增,h(t)>h(1)=0;∴x1+3x2>4x0.。
天津市西青区杨柳青第一中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题
答案第21 页,共22 页
【详解】 b = 0 时, f (x) = cos x + b sin x = cos x , f (x) 为偶函数; f (x) 为偶函数时, f (-x)=f (x) 对任意的 x 恒成立, f (-x) = cos(-x) + b sin(-x) = cos x - b sin x cos x + b sin x = cos x - b sin x ,得 bsinx = 0 对任意的 x 恒成立,从而 b = 0 .从而“ b = 0 ”是
【分析】求出 x -1 < 1 的解集,根据两解集的包含关系确定.
【详解】 x -1 < 1 等价于 0 < x < 2 ,故 0 < x < 5 推不出 x -1 < 1 ;
由 x -1 < 1 能推出 0 < x < 5 .
故“ 0 < x < 5 ”是“| x -1|< 1”的必要不充分条件. 故选 B. 【点睛】充要条件的三种判断方法:
a b
>
a c
不成立,排除
A
选项;
取 a = 4,b = 3, c = 0, d = -1,计算知 ac > bc 不成立,排除 B 选项;
取
a
=
4, b
=
3, c
=
0,
d
=
-1,计算知
a
1 -
c
<
b
1 -d
不成立,排除
C
选项;
当
a
>
b
>
c
>
d
时,
a
-
天津杨柳青第一中学高三数学文月考试题含解析
天津杨柳青第一中学高三数学文月考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知S n是等差数列{a n}的前n项和,若a7=9a3,则=( )A.9 B.5 C.D.参考答案:A考点:等差数列的性质.专题:计算题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列.分析:利用等差数列的通项及求和公式,即可得出结论.解答:解:∵等差数列{a n},a7=9a3,∴a1+6d=9(a1+2d),∴a1=﹣d,∴==9,故选:A.点评:本题考查等差数列的通项及求和公式,考查学生的计算能力,属于中档题.2. 某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是A.2 B.4 C.6 D.8参考答案:C 3. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0|φ|<)图象相邻对称轴的距离为,一个对称中心为(﹣,0),为了得到g(x)=cosωx的图象,则只要将f(x)的图象( )A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向左平移个单位参考答案:D考点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.专题:三角函数的图像与性质.分析:由周期求得ω,根据图象的对称中心求得φ的值,可得函数的解析式,再根据函数y=Asin (ωx+φ)的图象变换规律得出结论.解答:解:由题意可得函数的最小正周期为=2×,∴ω=2.再根据﹣×2+φ=kπ,|φ|<,k∈z,可得φ=,f(x)=sin(2x+),故将f(x)的图象向左平移个单位,可得y=sin[2(x+)+]=sin(2x+)=cos2x的图象,故选:D.点评:本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,诱导公式的应用,函数y=Asin (ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.4. 以下角:①异面直线所成角;②直线和平面所成角;③二面角的平面角;④空间中,两向量的夹角,可能为钝角的有()A.1个B.2个 C.3个 D.4个参考答案:B略5. 已知等比数列的前n项和为,若,则等于A. 3B.C.D. 2参考答案:C略6. 已知向量,满足,则向量,夹角的余弦值为()A. B. C. D.参考答案:B略7. 对一位运动员的心脏跳动检测了8次,得到如下表所示的数据:上述数据的统计分析中,一部分计算见如下图所示的程序框图(其中是这8个数据的平均数),则输出的的值是()A.43 B.56 C.7 D .8参考答案:C8. 执行如右图所示的程序框图,则输出的结果为()A.B.C.1 D.2参考答案:【知识点】程序框图。
天津市杨柳青一中2010-2011学年高一3月月考(数学)缺答案
杨柳青一中2010-2011学年第二学期高一数学第一次月考试卷(2011.3)一.选择题(每题4分,共40分)1.在△ABC 中,已知8=a ,B=060,C=075,则b 等于 ( )A .64B .54C .34D .322 2. 在△ABC 中, BC=1,AC=3,A=30°则B 等于 ( )A .60°B .60°或120°C .30°或150°D .120°3. 两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a (km), 灯塔A 在C 北偏东30°, B 在C 南偏东60°,则A,B 之间相距 ( )A .a (km)B .3a (km)C .2a (km)D .2a (km)4. 已知数列}{n a 满足)(11,41*11N n a a a nn ∈-=-=+,则5a =( ) A .5 B .-5 C .54 D .41- 5. 在等差数列963852741,29,45,}{a a a a a a a a a a n ++=++=++则中等于( ) A . 13 B . 18 C . 20 D .226. 在各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3 ,前三项和为21,则a 3+ a 4+ a 5=( )A. 33B. 72C. 84D. 1897. 已知-9,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列,-9,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数列,则b 2(a 2-a 1)= ( ) A . 8 B . -8 C .±8 D . 8. △ABC 中,a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列,∠B=30°,△ABC 的面积为23,那么b =( ) A .231+ B .31+ C .232+ D .32+9. 若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m ,则m 的取值范围是( )A .(1,2)B .(2,+∞)C .[3,+∞)D .(3,+∞)8910. 已知两个数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ,且,3457++=n n B A n n 则使得nn b a 为整数的正整数n 的个数有 ( )A.2个B.3个C.4个D.5个二.填空题(每题4分,共24分)11. 在△ABC 中,sin A =2cos B sin C ,则三角形为12. {}n a 是等差数列,281,5a a =-=,则数列{}n a 的前9项和9S =____________.13. 若△ABC 的面积为4222c b a -+,则内角C 等于_______________. 14. 若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=,,,,则数列{}n na 中数值最小的项是第项.15. 已知数列2004,2005,1,2004-,2005-,…,这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2004项之和2004S 等于.杨柳青一中2010-2011学年第二学期高一数学第一次月考答题纸(2011.3)二.填空题(每题4分,共24分)11. 12. 13.14. 15。
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2010学年度杨柳青一中高三年级第一次月考数学(理)一、选择题(每小题5分,共50分)
1. 计算复数等于()
A.0B.2 C.D.
2. 已知命题:,则()
A.B.
C.D.
3. 实数的最大值为()
A.—1 B.0 C.2 D.4
4. 设函数则()
A 在区间内均有零点。
B 在区间内均无零点。
C 在区间内有零点,在区间内无零点。
D 在区间内无零点,在区间内有零点。
5. 不等式的解集为()
A.B.
C.D.
6. 已知向量,,若与共线,则等于( ) A.;B.;C.;D.;
7. 将函数R)的图象上所有的点向左平行移动个单位长度,再把图象
上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),则所得到的图象的解析式为()A.B.
C. D.
8. 圆关于直线对称,则ab的取值范
围是()
A.B.C.D.
9. 若不等式在上恒成立,则的取值范围是()
10. 用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹在两
个奇数数字之间,这样的五位数的个数有( )
A. 48个
B. 12个
C. 36个
D. 28个
二、填空题:(每小题4分,共24分)
11. 如图,是一程序框图,则输出结果为.
12.
13. 在的展开式中,的系数为
14. 一空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为
15. 设双曲线(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2 +1相切,则该双曲线的离
心率等于
16.已知函数,R满足,且在R上的导数满足,则不等式的解集为__ .
三、解答题:
17. 已知函数()的最小正周期为.(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函数在区间上的取值范围.
18. 旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路,每个旅游团任选其中一条. (Ⅰ)求3个旅游团选择3条不同的线路的概率
(Ⅱ)求恰有2条线路没有被选择的概率.
(Ⅲ)求选择甲线路旅游团数的期望.
19. 如图所示的几何体中,平面,∥
,,,是的中点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的余弦值
20.已知.
(Ⅰ) 如果函数的单调递减区间为
,求函数
的解析式;
(Ⅱ)若
的导函数为,对任意
,不等式
恒成立,
求实数的取值范围.
21. 已知等差数列
的公差大于0,且是方程的两根,数列的
前n 项的和为,且.
(Ⅰ) 求数列,
的通项公式;
(Ⅱ) 记
, 求证:
.
22. 椭圆C 的中心为坐标原点O ,焦点在y 轴上,离心率e = 22
,椭圆上的点到焦点的 最短距离为1-e, 直线l 与y 轴交于点P (0,m ),与椭圆C 交于相异两点A 、B ,且
.
(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)若,求m 的取值范围.。